Tommaso Castellani Risolvere indice i problemi · PDF file8 Risolvere i problemi difficili...

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indice

Introduzione 5

1. Problemi difficili 11

2. Computer e complessit 43

3. La fisica dei sistemi complessi 75

4. La fisica dei problemi difficili 117

Epilogo: Comportamenti di gruppo 145

Per saperne di pi 152

6 miti da sfatare 154

Forse non sapevi che 156

Indice analitico 158

Tommaso Castellani Risolvere i problemi difficiliSudoku, commessi viaggiatori e altre storie

Chiavi di lettura a cura di Federico Tibone e Lisa Vozza

FedeRettangolo

Introduzione

Questo libro tocca argomenti apparentemente mol-to diversi tra loro, come il Sudoku, i materiali vetro-si, la ricerca di numeri primi sempre pi grandi, i pagamenti sicuri on-line, lebollizione dellacqua.

Vi domanderete che cosa abbiano in comune. Per il momento, diremo soltanto che gettano luce sulla relazione tra linformatica computazionale e la fisi-ca dei problemi complessi. Ma per scoprire che co-sa ci significhi davvero, non c altra soluzione che procedere nella lettura. Diamo allora uno sguardo al percorso che seguiremo nel testo.

Per prima cosa incontreremo i cosiddetti proble-mi di ottimizzazione, in cui di solito si deve rendere massima o minima una quantit sottoposta a certi vincoli. Tra gli esempi pi antichi c il problema di Erone, che richiede di determinare il cammino pi breve tra due punti A e B che tocca una retta da-ta. Sebbene questo problema sia stato risolto elegan-temente da Erone ben duemila anni fa il cammino pi breve composto dai due segmenti che formano angoli uguali con la retta la soluzione tuttaltro che banale da dimostrare, e ha dato filo da torcere ai liceali nel compito di matematica dellEsame di Stato del 2012.

Risolvere i problemi difficili Introduzione6 7

ne una dimostrazione rigorosa si dovuto attendere lOttocento.

In altre varianti del problema, Didone eviden-temente consapevole delle potenzialit turistiche di quella che oggi la Tunisia non vuole rinunciare a una bella porzione di spiaggia: in tal caso traccer un semicerchio di terraferma che termina con il dia-metro in riva al mare.

Di problemi legati alla massimizzazione di aree e volumi ce ne sono a bizzeffe, alcuni con eviden-ti applicazioni pratiche: nel Seicento, per esempio, Keplero si interrog sulla forma ottimale da dare a una botte di vino.

I problemi di ottimizzazione di tipo geometrico, come quelli finora citati, divennero facilmente ri-solvibili quando Newton e Leibniz svilupparono la matematica che permette di trovare i massimi e i mi-nimi delle funzioni.

NellOttocento per sono stati formulati anche problemi di ottimizzazione combinatoria, che sono pi difficili da descrivere matematicamente. Tra i pi famosi c il problema del commesso viaggia-tore, che chiede quale sia il percorso pi breve per visitare un dato numero di citt. Sebbene possa sembrare soltanto una versione un poco pi elabo-rata del problema di Erone, il problema del com-messo viaggiatore si rivela molto difficile da studia-re. Addirittura, per motivi che vedremo nel corso di questo libro, se il numero delle citt molto alto il problema ancora oggi impossibile da risolvere, per-fino con lausilio dei pi potenti computer.

Un altro esempio antico il problema di Dido-ne, legato alla leggenda della fondazione di Car-tagine. Si narra infatti che Didone, giunta sui lidi dellAfrica settentrionale, desiderasse acquistare un terreno per costruire una citt. Il re del luogo, per prenderla in giro, le offr tanta terra quanta ne pu contenere una pelle di bue. Lastuta Didone, per, tagli la pelle di bue in modo da ricavarne una sotti-lissima striscia, con la quale contorn una porzione di terreno di dimensioni molto pi grandi del lembo di pelle. Della leggenda si accenna anche nel primo libro dellEneide (365368):

Devenere locos ubi nunc ingentia cernis moenia surgentemque novae Karthaginis arcem, mercatique solum, facti de nomine Byrsam, taurino quantum possent circumdare tergo.*

La domanda : una volta avuta la geniale idea di ricavare dalla pelle una striscia, quale forma deve dare Didone alla striscia per prendersi la maggior quantit possibile di terreno? A quanto pare, la spe-culazione edilizia era una questione gi attuale.

In termini matematici: tra le figure geometriche che hanno un dato perimetro, qual quella con larea massima? In questo caso la risposta giusta quella intuitiva: si tratta del cerchio. Ma per aver-

* Giunsero nei luoghi dove ora vedrai sorgere le enormi mura e la rocca della nuova Cartagine, chiamata Birsa [pelle di bue] perch fu acquistato tanto terreno quanto se ne po-tesse circondare con una pelle di toro.

Risolvere i problemi difficili Introduzione8 9

Anche nella fisica che studiamo a scuola troviamo il moto di corpi puntiformi (cio senza dimensioni), leggi della dinamica in un mondo senza attrito, gas perfetti, forze elettriche tra cariche ancora una volta puntiformi, e via dicendo. Il mondo della fisica sem-bra cos lontano dal mondo reale, fatto di corpi non puntiformi, mucche non sferiche e gas non perfetti!

Nel libro cercheremo di spiegare come il fisico in effetti produca modelli la cui corrispondenza con la realt non cos diretta come potrebbe sembrare. I modelli sono semplici non perch si ipotizzi che la realt sia semplice, ma perch si sceglie di isolarne alcuni aspetti e studiarne pochi alla volta.

Con il progredire della fisica i modelli sono di-ventati pi sofisticati, includendo un numero sem-pre maggiore di fattori; ma non per questo sono pi realistici. Quando si sono costruiti modelli di sistemi collettivi composti da un gran numero di elementi semplici, per, si osservato spesso lemergere di fenomeni particolarmente elaborati, malgrado le-strema semplicit dei costituenti fondamentali: per questo si parla di sistemi complessi.

Anche nello studio dei sistemi collettivi, natural-mente, i fisici hanno cominciato dai casi pi facili. Si sono concentrati cos su sistemi fortemente omoge-nei, o al pi con asimmetrie molto semplici.

Negli ultimi decenni, tuttavia, nata una branca della fisica che ha cominciato a occuparsi dei siste-mi detti disordinati, in cui non evidente alcuna forma di simmetria n possibile identificare asim-metrie semplici.

Il problema del commesso viaggiatore rientra in-fatti tra quelli che chiameremo problemi difficili, una categoria di problemi che costituisce una delle sfide aperte dellinformatica computazionale, cio la branca dellinformatica che si occupa in particolare di fare calcoli per risolvere nel modo pi efficiente possibile i problemi.

Nel primo capitolo ne presenteremo alcuni e co-minceremo a riflettere sulla natura della loro diffi-colt. Nel secondo capitolo esamineremo pi a fon-do la relazione tra i problemi difficili e il computer, passando in rassegna alcune applicazioni concrete.

Di fronte allimpossibilit di affrontare i problemi difficili, ci verr in aiuto in maniera inattesa la fisica dei sistemi complessi.

Di che cosa si tratta? Per introdurre il tema pos-siamo raccontare una barzelletta che circola tra i fisici. Un allevatore di mucche da latte disperato perch, da qualche tempo, i suoi animali produco-no meno latte di prima. Decide di affrontare il pro-blema in maniera scientifica e convoca un gruppo di fisici. Gli scienziati si mettono al lavoro e dopo qualche tempo lallevatore chiede loro se sono giun-ti a qualche conclusione: Siamo a buon punto ri-spondono. Per ora sappiamo risolvere il problema nel caso di una mucca di forma sferica con distribu-zione di latte uniforme.

Questa storiella fa ridere molto i fisici, soprattut-to i fisici teorici, perch ironizza su una caratteristi-ca fondamentale dei modelli fisici: la semplicit.

c a p i t o l o 1Risolvere i problemi difficili10

Problemi difficili

Nel 1883 un non meglio identificato N. Claus de Siam, mandarino del collegio di Li-Sou-Stian, mise in vendita in Francia un vero rompicapo annamita proveniente dal Tonchino (la Catena Annamita una catena montuosa, il Tonchino la regione del Vietnam in cui si trova). Il nome del gioco era La torre di Hanoi.

La torre di Hanoi

La figura 1 mostra una versione del rompicapo con 8 dischi. In tre paletti sono infilati dischi di diame-tri diversi. Si parte mettendo in pila tutti i dischi sul primo paletto, ordinandoli verso lalto dal pi gran-de al pi piccolo.

Nel terzo capitolo mostreremo alcuni di questi modelli fisici, che sono astratti e apparentemente lontani della realt. Nel quarto capitolo infine ve-dremo come, sorprendentemente, i modelli di si-stemi disordinati hanno trovato applicazione in un campo completamente diverso da quello in cui sono stati sviluppati.

Questo campo proprio linformatica computa-zionale, e qui il cerchio di chiude: la fisica dei siste-mi disordinati permette di scoprire la vera natura della difficolt dei problemi difficili, aprendo la strada a nuovi algoritmi per la loro risoluzione.

Lalleanza tra i fisici statistici e gli informatici computazionali rappresenta, nella scienza moderna fortemente specializzata, un raro esempio di genui-na interdisciplinarit.

Figura 1. La torre di Hanoi.

Risolvere i problemi difficili Problemi difficili12 13

Sarete perplessi: davvero cera bisogno di pensar-ci, e di disegnare addirittura una figura?

Proprio per il fatto di passare del tempo a dise-gnare figure come questa, i matematici vengono irri-si dai loro colleghi fisici o ingegneri, che si ritengono impegnati in faccende ben pi utili.

Ma il matematico ben contento di aver stabilito un punto di partenza: Per risolvere il gioco con 1 disco occorre 1 mossa. E vedremo che ha ragione di compiacersi di questo risultato.

Passiamo al grado successivo di complessit, il gioco con due dischi.

In ques