Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1...

Univerzitet u Beogradu, Građevinski fakultet

[email protected]

Tok i grafik funkcije 3

nastavnik: Marina S. Markagić

Građevinarstvo - osnovne akademske studije 2014, I godina / I semestar

Matematička analiza I (B2O1A1) 9.12.2020.

Sva autorska prava autora prezentacije i/ili video snimka su zaštićena. Snimak ili prezentacija mogu se koristiti samo zanastavu na daljinu studenata Građevinskog fakulteta Univerziteta u Beogradu u školskoj 2020/2021 i ne mogu se koristiti

za druge svrhe bez pismene saglasnosti autora materijala.

December 9, 2020Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 1 / 18

Zadatak 1

1. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije

f (x) =1 + ln |x |

x.

Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 2 / 18

Zadatak 1


f (x) =1 + ln |x |

x.

Rešenje:

1. Domen: Funkcija f je definisana za x 6= 0.


Zadatak 1


f (x) =1 + ln |x |

x.

Rešenje:

1. Domen: Funkcija f je definisana za x 6= 0. Stoga je

Df = (−∞, 0) ∪ (0, +∞) .


Zadatak 1


f (x) =1 + ln |x |

x.

Rešenje:


Df = (−∞, 0) ∪ (0, +∞) .

2. Parnost i neparnost: Domen je simetričan, pa ima smisla ispitivati ovutačku.


Zadatak 1


f (x) =1 + ln |x |

x.

Rešenje:


Df = (−∞, 0) ∪ (0, +∞) .


f (−x) =1 + ln | − x |

−x= −1 + ln |x |

x= −f (x).


Zadatak 1


f (x) =1 + ln |x |

x.

Rešenje:


Df = (−∞, 0) ∪ (0, +∞) .


f (−x) =1 + ln | − x |

−x= −1 + ln |x |

x= −f (x).

Dakle, funkcija f je neparna.


Zadatak 1


f (x) =1 + ln |x |

x.

Rešenje:


Df = (−∞, 0) ∪ (0, +∞) .


f (−x) =1 + ln | − x |

−x= −1 + ln |x |

x= −f (x).

Dakle, funkcija f je neparna. Grafik f-je je centralnosimetričan u odnosu nakoordinatni početak, pa ćemo dalje ispitivanje vršiti na intervalu (0, +∞).


Zadatak 1


f (x) =1 + ln |x |

x.

Rešenje:


Df = (−∞, 0) ∪ (0, +∞) .


f (−x) =1 + ln | − x |

−x= −1 + ln |x |

x= −f (x).

Dakle, funkcija f je neparna. Grafik f-je je centralnosimetričan u odnosu nakoordinatni početak, pa ćemo dalje ispitivanje vršiti na intervalu (0, +∞).

3. Nule i znak:

f (x) = 0 ⇐⇒ 1 + ln x = 0 ⇐⇒ ln x = −1 ⇐⇒ x =1

e.


Zadatak 1

Jedna nula funkcije je tačka N1

(

1

e, 0

)

.


Zadatak 1


(

1

e, 0

)

.

Znak funkcije:


Zadatak 1


(

1

e, 0

)

.

Znak funkcije:

f (x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (1/e, ∞)


Zadatak 1


(

1

e, 0

)

.

Znak funkcije:

f (x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (1/e, ∞)

f (x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (0, 1/e) .


Zadatak 1

4. Asimptote:


Zadatak 1

4. Asimptote:

limx→+∞

f (x) = limx→+∞

1 + ln |x |x

= limx→+∞

1 + ln x

x

∞

∞= limx→+∞

1/x

1= 0 .


Zadatak 1

4. Asimptote:

limx→+∞

f (x) = limx→+∞

1 + ln |x |x

= limx→+∞

1 + ln x

x

∞

∞= limx→+∞

1/x

1= 0 .

Dakle, funkcija ima horizontalnu asimptotu y = 0 .


Zadatak 1

4. Asimptote:

limx→+∞

f (x) = limx→+∞

1 + ln |x |x

= limx→+∞

1 + ln x

x

∞

∞= limx→+∞

1/x

1= 0 .


Dalje je:

limx→0+

1 + ln |x |x

= limx→0+

1 + ln x

x= −∞ .


Zadatak 1

4. Asimptote:

limx→+∞

f (x) = limx→+∞

1 + ln |x |x

= limx→+∞

1 + ln x

x

∞

∞= limx→+∞

1/x

1= 0 .


Dalje je:

limx→0+

1 + ln |x |x

= limx→0+

1 + ln x

x= −∞ .

Prava x = 0 je vertikalna asimptota funkcije f .


Zadatak 1

4. Asimptote:

limx→+∞

f (x) = limx→+∞

1 + ln |x |x

= limx→+∞

1 + ln x

x

∞

∞= limx→+∞

1/x

1= 0 .


Dalje je:

limx→0+

1 + ln |x |x

= limx→0+

1 + ln x

x= −∞ .


5. Monotonost i ekstremne vrednosti: Prvi izvod funkcije f :


Zadatak 1

4. Asimptote:

limx→+∞

f (x) = limx→+∞

1 + ln |x |x

= limx→+∞

1 + ln x

x

∞

∞= limx→+∞

1/x

1= 0 .


Dalje je:

limx→0+

1 + ln |x |x

= limx→0+

1 + ln x

x= −∞ .


5. Monotonost i ekstremne vrednosti: Prvi izvod funkcije f :

f ′(x) =

1

|x | · |x |x

· 1 · x − (1 + ln |x |) · 1

x2= − ln |x |

x2.


Zadatak 1

f raste ⇐⇒ f ′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (0, 1) ,


Zadatak 1

f raste ⇐⇒ f ′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (0, 1) ,

f opada ⇐⇒ f ′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (1, ∞) .


Zadatak 1

U tački 1 prvi izvod menja znak, pa je Tmax(1, 1) tačka lokalnog

maksimuma.


Zadatak 1


maksimuma.

6. Konveksnost i prevojne tačke: Drugi izvod funkcije f :


Zadatak 1


maksimuma.

6. Konveksnost i prevojne tačke: Drugi izvod funkcije f :

f ′′(x) =− 1

x· x2 + ln |x | · 2x

x4=

2 ln |x | − 1

x3.


Zadatak 1

f je konveksna ⇐⇒ f ′′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (√

e, +∞) ,


Zadatak 1


e, +∞) ,

f je konkavna ⇐⇒ f ′′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (0,√

e) .


Zadatak 1


e, +∞) ,

f je konkavna ⇐⇒ f ′′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (0,√

e) .

Tačka P1

(√e,

3

2√

e

)

je prva prevojna tačka funkcije.


Zadatak 1

7. Grafik funkcije


Zadatak 2


f (x) = arccos2x

1 + x2.


Zadatak 2


f (x) = arccos2x

1 + x2.

Rešenje:

1. Domen:


Zadatak 2


f (x) = arccos2x

1 + x2.

Rešenje:

1. Domen: Funkcija f je definisana ako su ispunjene sledeće nejednakosti

−1 ≤ 2x

x2 + 1≤ 1.


Zadatak 2


f (x) = arccos2x

1 + x2.

Rešenje:


−1 ≤ 2x

x2 + 1≤ 1.

Kako je x2 + 1 > 0 za sve x ∈ R, nejednakosti su ekvivalentne


Zadatak 2


f (x) = arccos2x

1 + x2.

Rešenje:


−1 ≤ 2x

x2 + 1≤ 1.


−(x2 + 1) ≤ 2x ≤ x2 + 1.


Zadatak 2


f (x) = arccos2x

1 + x2.

Rešenje:


−1 ≤ 2x

x2 + 1≤ 1.


−(x2 + 1) ≤ 2x ≤ x2 + 1.

Razmatrajmo sledeće:


Zadatak 2


f (x) = arccos2x

1 + x2.

Rešenje:


−1 ≤ 2x

x2 + 1≤ 1.


−(x2 + 1) ≤ 2x ≤ x2 + 1.

Razmatrajmo sledeće:1 −(x2 + 1) ≤ 2x akko −x2 − 2x − 1 ≤ 0 akko −(x + 1)2 ≤ 0, što je

trivijalno ispunjeno.


Zadatak 2


f (x) = arccos2x

1 + x2.

Rešenje:


−1 ≤ 2x

x2 + 1≤ 1.


−(x2 + 1) ≤ 2x ≤ x2 + 1.


trivijalno ispunjeno.2 2x ≤ x2 + 1 akko 0 ≤ x2 − 2x + 1 akko 0 ≤ (x − 1)2, što je trivijalno

ispunjeno.


Zadatak 2


f (x) = arccos2x

1 + x2.

Rešenje:


−1 ≤ 2x

x2 + 1≤ 1.


−(x2 + 1) ≤ 2x ≤ x2 + 1.


trivijalno ispunjeno.2 2x ≤ x2 + 1 akko 0 ≤ x2 − 2x + 1 akko 0 ≤ (x − 1)2, što je trivijalno

ispunjeno.

Dakle, domen funkcije f je Df = R .


Zadatak 2

2. Parnost i neparnost:


Zadatak 2

2. Parnost i neparnost: Domen je simetričan, pa ispitujemo parnost ineparnost.


Zadatak 2


f (−x) = arccos2 · (−x)

1 + (−x)2= arccos

−2x

1 + x26= f (x) 6= −f (x).


Zadatak 2


f (−x) = arccos2 · (−x)

1 + (−x)2= arccos

−2x

1 + x26= f (x) 6= −f (x).

Dakle, funkcija f nije ni parna ni neparna.


Zadatak 2


f (−x) = arccos2 · (−x)

1 + (−x)2= arccos

−2x

1 + x26= f (x) 6= −f (x).


3. Nule i znak:


Zadatak 2


f (−x) = arccos2 · (−x)

1 + (−x)2= arccos

−2x

1 + x26= f (x) 6= −f (x).


3. Nule i znak:

f (x) = 0 ⇐⇒ arccos2x

1 + x2= 0 ⇐⇒ 2x

1 + x2= 1 ⇐⇒ x = 1.


Zadatak 2


f (−x) = arccos2 · (−x)

1 + (−x)2= arccos

−2x

1 + x26= f (x) 6= −f (x).


3. Nule i znak:


1 + x2= 0 ⇐⇒ 2x

1 + x2= 1 ⇐⇒ x = 1.

Funkcija f ima nulu f-je u tački N(1, 0) .


Zadatak 2


f (−x) = arccos2 · (−x)

1 + (−x)2= arccos

−2x

1 + x26= f (x) 6= −f (x).


3. Nule i znak:


1 + x2= 0 ⇐⇒ 2x

1 + x2= 1 ⇐⇒ x = 1.


Funkcija t 7→ arccos t je nenegativna na svom domenu, pa je takva iposmatrana f-ja f .


Zadatak 2


f (−x) = arccos2 · (−x)

1 + (−x)2= arccos

−2x

1 + x26= f (x) 6= −f (x).


3. Nule i znak:


1 + x2= 0 ⇐⇒ 2x

1 + x2= 1 ⇐⇒ x = 1.


Funkcija t 7→ arccos t je nenegativna na svom domenu, pa je takva iposmatrana f-ja f .

Dakle, f (x) > 0 za x ∈ (−∞, 1) ∪ (1, ∞) .


Zadatak 2

4. Asimptote:


Zadatak 2

4. Asimptote:

limx→±∞

f (x) = limx→±∞

arccos2x

1 + x2= arccos 0 =

π

2.


Zadatak 2

4. Asimptote:

limx→±∞


arccos2x

1 + x2= arccos 0 =

π

2.

Prava y = π/2 je horizontalna asimptota funkcije f .


Zadatak 2

4. Asimptote:

limx→±∞


arccos2x

1 + x2= arccos 0 =

π

2.


Funkcija f nema vertikalnih asimptota.


Zadatak 2

4. Asimptote:

limx→±∞


arccos2x

1 + x2= arccos 0 =

π

2.



5. Monotonost i ekstremne vrednosti: Prvi izvod:


Zadatak 2

4. Asimptote:

limx→±∞


arccos2x

1 + x2= arccos 0 =

π

2.




f ′(x) =1 − x2

|1 − x2| · (−2)

1 + x2=

−2

1 + x2, |x | < 1

2

1 + x2, |x | > 1.


Zadatak 2

4. Asimptote:

limx→±∞


arccos2x

1 + x2= arccos 0 =

π

2.




f ′(x) =1 − x2

|1 − x2| · (−2)

1 + x2=

−2

1 + x2, |x | < 1

2

1 + x2, |x | > 1.

Funkcija nema stacionarnih tačaka. U tački x = −1 važi f ′+(−1) = −1,

f ′−(−1) = 1, dok u tački x = 1 važi f ′

+(1) = 1, f ′−(1) = −1, te su ove

tačke jedini kandidati za lokalne ekstremume funkcije.


Zadatak 2

Označimo sa ϕ = ar tg 1 =π

4.


Zadatak 2


4.

Funkcija f raste na intervalima (−∞, −1) i (1, ∞) .


Zadatak 2


4.


Funkcija f opada na intervalu (−1, 1) .


Zadatak 2


4.



Tačka Tmax(−1, π) je lokalni maksimum.


Zadatak 2


4.




Tačka Tmin(1, 0) je lokalni minimum.


Zadatak 2


4.




Tačka Tmin(1, 0) je lokalni minimum.

Ugao špica u tački maksimuma jednak je ϕ =π

4ako tački prilazimo sleva,

odnosno −ϕ = −π

4zdesna.


Zadatak 2

Ugao špica u tački minimuma jednak je ϕ =π

4ako tački prilazimo zdesna,


4sleva.


Zadatak 2




4sleva.

6. Konveksnost i prevojne tačke:


Zadatak 2




4sleva.

6. Konveksnost i prevojne tačke:

f ′′(x) =

(

−2sgn(1 − x2)

1 + x2

)′

=2sgn(1 − x2) · 2x

(1 + x2)2


Zadatak 2

Funkcija f je konveksna na intervalima (−∞, −1) i (0, 1) .


Zadatak 2


Funkcija f je konkavna na intervalima (−1, 0) i (1, ∞) .


Zadatak 2



Drugi izvod menja znak prolaskom kroz tačke −1, 0 i 1.


Zadatak 2




Prevojne tačke funkcije f su P1(−1, π) , P2

(

0,π

2

)

i P3(1, 0) .


Zadatak 2




Prevojne tačke funkcije f su P1(−1, π) , P2

(

0,π

2

)

i P3(1, 0) .

Primetimo da je tačka lokalnog maksimuma Tmax istovremeno i prevojnatačka P1 funkcije, dok je nula f-je N istovremeno i lokalni minimum Tmin iprevojna tačka P3.


Zadatak 2

7. Grafik funkcije


Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1...

Documents

Transcript of Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1...