TodimensionaleVektorer - Matbog.dk -...

Todimensionale Vektorer

Frank Villa

5. januar 2015

Dette dokument er en del af MatBog.dk©2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9.Se yderligere betingelser for brug her.

http://matbog.dk

http://matbog.dk/index.php?show=3

Indhold

1 Introduktion 12 Todimensionale vektorer 2

2.1 Koordinatsystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Todimensionale vektorer . . . . . . . . . . . . . . . 22.3 Déjà vu? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.4 Sådan skal man tænke på en vektor . . . . . . . . . 4

3 „The basics“ 53.1 Indtegning af vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Snik-snak: Vektorrally . . . . . . . . . . . . . . . . 63.3 Længde af en vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.4 Særlige vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.5 Forbindende vektorer, stedvektorer . . . . . . . . . 10

4 Regning med vektorer 124.1 Addition og skalering . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2 Omvendt vektor og vektordifferens . . . . . . . . . 134.3 Snik-snak: Nye regneoperationer . . . . . . . . . . . 144.4 Regneregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.5 Geometrisk tolkning . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5 Prikproduktet 235.1 Vinkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.2 Projektioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.3 Ortogonalkomposanter . . . . . . . . . . . . . . . . 325.4 Ortogonalkomposanter i fysik . . . . . . . . . . . . 34

6 Tværvektor og Determinant 38

2

6.1 Tværvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.2 Vinkel med fortegn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.3 Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.4 Det udspændte areal . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

©MatBog.dk Registreret til: MatBog Versionarkiv

Resumé

I dette dokument gennemgår vi basal teori om todimensio-nale vektorer. Vi laver meget enkle, abstrakte definitioner afvektorer og regneoperationerne på disse, og diskuterer bagef-ter den geometriske tolkning af definitionerne. Til sidst brugervi vektorbegrebet til at beskrive linjer i planen på parameter-form.

1 IntroduktionVi skal i denne lille note gennemgå basal teori om vektorer i planen.Stoffet er præcis det samme som i andre lærebøger, men tilgangs-vinklen er temmeligt forskellig, idet der er brugt andre, meget mereenkle definitioner end de fleste andre steder. (Ofte ser man en vektordefineret som en ækvivalensklasse af orienterede linjestykker modulotranslationer, hvilket nok er væsentlig mere kompliceret end forfat-teren har været klar over).

Noterne indeholder kun det “tørre” stof, dvs. definitioner og sæt-ninger. Alle eksempler på praktiske anvendelser af vektorregning,herunder bestemmelse af vinkler, afstande og skæringer mellem del-mængder af koordinatsystemet, er gemt til andre dokumenter.

Forudsætninger:

Du behøver kun at være fortrolig med det todimensionale koordinat-system for at læse dette dokument. Det kan dog også anbefales atmeditere et minuts tid over det faktum at vi skal til at definere noglehelt nye objekter og nogle helt nye regneoperationer på disse. Det ermuligvis første gang du skal regne med nogle størrelser som ikke bareer tal.

side 1


2 Todimensionale vektorer2.1 KoordinatsystemetVi starter med lidt gammelt stof: Som du måske allerede ved, benyt-ter vi notationen

R2 = {(x; y) | x ∈ R, y ∈ R}

til at betegne det todimensionale koordinatsystem. - Altså mængdenaf alle punkter (x; y) hvor x og y begge er reelle tal. De to tal kaldespunktets koordinater. Bemærk det lille 2-tal foroven i „R2“. Man læserdet som “R-to”, og ikke som “R i anden”.

Når vi tænker på det todimensionale koordinatsystem, startervi med at tænkte på det specielle punkt (0; 0), også kaldet origo.Derefter tænker vi på de punkter hvor x-koordinaten er nul (ogsåkaldet y-aksen) og de punkter hvor y-koordinaten er nul (også kal-det x-aksen). Disse to akser forestiller vi os tegnet som rette linjer,vinkelret på hinanden, sådan at de skærer hinanden i origo.

På den måde ender vi med at tænke på det todimensionale koor-dinatsystem som en plan, altså et helt fladt, uendeligt stort område.

Punkter i det todimensionale koordinatsystem kaldes ofte P , Q,R eller andre store bogstaver. Man skriver for eksempel:

P = (3; −1)

Bemærk at nogle forfattere af ukendte (men dumme) årsager undla-der at skrive lighedstegnet mellem punktet og dets koordinater.

2.2 Todimensionale vektorerNu indfører vi en anden mængde:

side 2


Definition 1.Mængden af todimensionale vektorer er pr. definition følgendemængde:

V 2 ={(

xy

)| x ∈ R, y ∈ R

}

Symbolet V 2 læses som “V-to”, og det skal altså fra nu af be-tegne mængden af alle talpar (skrevet oven på hinanden i en aflangparentes), hvor begge de indgående tal er reelle.

Elementerne i V 2 kaldes todimensionale vektorer, og de to talkaldes vektorens koordinater.

Vektorer kaldes ofte u, v, w eller andre små bogstaver. Mangelærere elsker1 desuden at sætte en pil over bogstaverne for at under-strege at det er en vektor. Man kan f.eks. skrive:

v⃗ =(

38

)

men selvfølgelig også (hvis man har lyst):

d =(

−2π

)

Vi vil nogle gange bruge pile her på MatBog og andre gange ikke.Det vigtigste er at vide at man (og andre!) helt selv må vælge om devil sætte pile over de bogstaver som betegner vektorer eller ej.

1 Begrundelsen er at det bliver nemmere at se at der er tale om en vektor på denmåde. Men eftersom det alligevel altid skal være klart hvad et bogstavnavnbetegner (herunder om det er et tal, et punkt, en vektor, en funktion ellernoget andet), er dette en slags dobbeltforsikring.

side 3


2.3 Déjà vu?Nu tænker den kvikke læser: „Er vektorer egentlig ikke præcis detsamme som punkter? — Det eneste vi har gjort er jo bare at skrivekoordinaterne oven på hinanden i stedet for at skrive dem ved sidenaf hinanden.“

Og svaret er: Jo! En vektor består af præcis den samme informa-tion som et punkt, nemlig to reelle koordinater. Lad os derfor alleredenu slå fast at:

Sætning 2.

V 2 ≈ R2

— Idet man til enhver tid kan “oversætte” mellem vektorer og punk-ter: Hvis man har en vektor, kan man skrive dens koordinater vedsiden af hinanden med komma imellem, og vupti, har man et punkt.Og omvendt. (Det skal vi benytte os meget af senere.)

Den store forskel på punkter og vektorer kommer nu, nemlig imåden som vi bruger dem og tænker på dem på.

2.4 Sådan skal man tænke på en vektorEn dimensional vektor, som for eksempel(

25

)

skal vi ikke tænke på som en prik i en plan. En vektor tænker viderimod på som en flytning i koordinatsystemet.

Således vil vi tænke på ovennævnte vektor som „2 til højre og 5op“. Og mere generelt vil vi tænke på en vektor(

xy

)

side 4


som „x til højre og y op“.Bemærk at hvis f.eks. x er negativ, så betyder “x til højre” na-

turligvis at man går til venstre.Vi skal dog ikke tænke på det som to adskilte bevægelser (hen-

holdsvist vandret og lodret), men som den samlede (ofte skrå) bevæ-gelse.

En vektor angiver på den måde en retning og en afstand, menikke et startpunkt (og dermed heller ikke et slutpunkt)2. Derfor erdet stadig svært at “se” en vektor for sig. Det bliver nemmere i næsteafsnit.

I første omgang skal du bare indse at denne opfattelse af vektorergør det oplagt at bruge dem til at beskrive alle fænomener som haren retning og en størrelse.

3 „The basics“Nu skal vi se på nogle af de første ting man kan finde på at gøre medvektorer.

3.1 Indtegning af vektorerVi vil først kombinere vektorer med punkter og dermed få et geome-trisk billede af hvordan en vektor „ser ud“. Vi laver følgende defini-tion:

Definition 3 (Indtegning af vektor).Hvis man har et punkt,

(x; y) ∈ R2

2 Det svarer til at man finder et skattekort med beskrivelsen „200 skridt modNord–Vest“, men ingen angivelse af hvor man skal starte.

side 5


og en vektor, (ab

)∈ V 2

så kan man indtegne vektoren ud fra punktet ved at tegne et retlinjestykke i koordinatsystemet fra (x; y) til (x+a; y +b) og sætte enlille pilespids i enden, sådan at pilen peger fra (x; y) til (x+a; y +b).

Eksempel 4.Vi har her indtegnet vektoren

(12

)ud fra punktet (1; 0):

-1 0 1 2 3 4

-1

1

2

3

Øvelse 5.Indtegn vektoren

v⃗ =(

2−1

)ud fra punktet

P = (3; 6)

3.2 Snik-snak: VektorrallyDette afsnit er tænkt som et underholdende indslag og kan derforgodt springes over.

side 6


Et klassisk gymnasiespil (tidsfordriv, når man ikke orker at følgemed i timen) ved navn „vektorrally“ går ud på følgende: På et ternetstykke papir tegner man en racerbane. Banen skal være ringformetog have en bredde på mellem 3 og 10 tern hele vejen rundt. Desudenvedtager man et startpunkt, P, som alle spillere starter i, og en mål-linje, der går gennem P. (P bør ligge i et gitterpunkt på det ternedepapir.) Alle spillere starter med at have en “bevægelsesvektor” somer lig (

00

)Når en spiller får turen (hvilket selvfølgelig sker på skift) må han/hunændre koordinaterne i sin bevægelsesvektor, ved enten at gøre dem1 større eller 1 mindre (det er tilladt at lade en af koordinaterne ellerdem begge være uændret. - Men husk at man altid tager udgangs-punkt i den bevægelsesvektor som man lavede i sidste runde!).

Derefter skal han/hun “køre” ved at indtegne sin bevægelsesvek-tor ud fra det sidste punkt han/hun befandt sig i, og stille sig i detnye punkt vektoren peger på. F.eks. kan første spiller i første rundevælge at ændre sin bevægelsesvektor til(

10

)

Dermed vil han starte med at køre 1 tern til højre. Næste runde kanhan ændre sin bevægelsesvektor til(

21

)

Dermed vil han fortsætte skråt, 2 felter mod højre og 1 felt opad.Således fortsætter spillet. Hvis man på et tidspunkt havner uden forbanen, er man ude af spillet. Den første spiller som passerer mållinjenhar vundet.

side 7


3.3 Længde af en vektorNår vi nu har defineret hvordan man tegner en vektor som en pil ikoordinatsystemet, er den næste definition ret oplagt:

Definition 6 (Længden af en vektor).Lad

v⃗ =(

ab

)være en vektor. Vi definerer længden af v⃗ til at være:

|v⃗| =√

a2 + b2

Bemærk at de to lodrette streger, som betyder længden af en vektor,er de samme som bruges til „numerisk værdi“ af reelle tal. Der er dogingen fare for forvirring, idet man bare kan holde øje med hvad derstår imellem stregerne: Hvis det er et reelt tal, betyder det numeriskværdi, og hvis det er en vektor betyder det længde.

Øvelse 7.Beregn længden af følgende vektorer:

n⃗ =(

00

), i⃗ =

(10

), j⃗ =

(01

)og v⃗ =

(3

−4

)

Vi skal lige sikre os at begrebet „længde af en vektor“ passermed vores geometriske billede af vektorer. Det gør vi med følgendesætning:

Sætning 8.Når man indtegner en vektor v⃗ =

(ab

)ud fra et punkt, P = (x; y),

så får man en pil med længden |v⃗|.

side 8


Bevis. Pilen som man tegner går mellem punktet P = (x; y) ogpunktet Q = (x + a; y + b). Ifølge afstandsformlen er længden aflinjestykket imellem disse to punkter:

|PQ| =√

((x + a) − x)2 + ((y + b) − y)2 =√

a2 + b2 = |v⃗|

3.4 Særlige vektorerVi skal nu se på nogle særlige vektorer der optræder så ofte at de harderes egne navne.

• Allerførst er der nulvektor:

−→0 =(

00

)

• Alle de andre vektorer end nulvektor kaldes nogle steder for „egent-lige“ vektorer. Det er et dumt navn, men du bør være forberedtpå at kunne møde det.

• En vektor med længde 1 kaldes en enhedsvektor.

• De to særlige enhedsvektorer(

10

)og(

01

)kaldes første stan-

dardbasisvektor og anden standardbasisvektor. De omtales megetofte med bogstavnavnene:

i⃗ =(

10

)og j⃗ =

(01

)

Bemærkning:

For lidt siden skrev jeg at man helt selv måtte bestemme om manville sætte pile over de bogstaver som man bruger til at betegnevektorer eller ej. Vektorerne ovenover er en undtagelse.

Det skyldes at disse navne er faste navne som vi gerne vil kunnebruge igen og igen uden hver eneste gang at definere hvad de betyder.

side 9


Det kan dog kun lade sig gøre hvis vi undgår nogen sinde at brugede samme navne til andre ting. Og lige præcis bogstaverne i og jvil vi gerne have mulighed for at bruge til andet. Og symbolet 0 harallerede en anden (meget) fast betydning, nemlig tallet nul.

3.5 Forbindende vektorer, stedvektorerHvis man har to punkter i koordinatsystemet, så er det ofte nyttigtat fremtrylle en vektor med den egenskab at den „peger fra det enepunkt til det andet“. Det handler den næste sætning om:

Sætning 9 (Forbindende vektor).Hvis P og Q er to punkter i koordinatsystemet, så findes der præcisen vektor som opfylder at når den indtegnes fra P , så peger den på Q.Denne vektor kaldes den forbindende vektor fra P til Q og skrivessom: −→

PQ

Hvis P = (x1; y1) og Q = (x2; y2), så er den givet ved:

−→PQ =

(x2 − x1y2 − y1

)

Bevis. Lad os kalde den ønskede vektors koordinater for(

ab

). Når

denne (endnu ukendte) vektor indtegnes fra P , så peger den på punk-tet (x1 + a; y1 + b). Hvis dette punkt skal være Q, så er vi nødt til athave:

x1 + a = x2

ogy1 + b = y2

Den eneste mulighed for at få det opfyldt er ved at: a = x2 − x1 ogb = y2 − y1. □

side 10


Hvad betyder denne sætning? Pilen imellem to punkter giver enretning og en afstand. Denne information (idet vi glemmer hvorhennepilen startede) kan udtrykkes med en vektor, og man får denne vek-tors koordinater ved at trække punkternes koordinater fra hinanden(i den rigtige rækkefølge: Slutpunktets koordinater minus startpunk-tets.)

Øvelse 10.Givet punkterne P = (1; 1) og Q = (−1; 2), beregn vektoren −→

PQ.Indtegn derefter P og Q i et koordinatsystem. Tegn til sidst vektoren−→PQ ud fra følgende punkter:

1. Origo2. P3. Q

Hvis man kun har et enkelt punkt, P = (x; y), så kan man altidlave en forbindende vektor som peger fra origo, O = (0; 0) til P .Ifølge ovenstående sætning har denne vektor koordinaterne:

−→OP =

(x − 0y − 0

)=(

xy

)

Denne vektor kaldes P ’s stedvektor. Vi ser altså nu at den sammen-hæng mellem punkter og vektorer som vi opdagede tidligere:

V 2 ≈ R2

svarer til at et punkt „oversættes“ til sin stedvektor.

side 11


4 Regning med vektorerNu kommer det som gør vektorer helt forskellige fra punkter. Vi vilnemlig definere nogle regnoperationer for vektorer. Helt præcist vilvi definere hvordan to vektorer kan lægges sammen („adderes“) oghvordan en enkelt vektor kan ganges med et reelt tal („skaleres“).

4.1 Addition og skalering

Definition 11 (Vektoraddition).Hvis vi har to vektorer, v⃗ =

(a1b1

)og w⃗ =

(a2b2

), så definerer vi

summen af de to vektorer som:

v⃗ + w⃗ =(

a1b1

)+(

a2b2

)=(

a1 + a2b1 + b2

)

Man lægger altså vektorer sammen på præcis den måde man villehave gættet på: Man lægger førstekoordinaterne sammen og anden-koordinaterne sammen.

Definition 12 (Skalering).Hvis vi har en vektor v⃗ =

(ab

)og et reelt tal, r, så definerer vi

produktet af r og v⃗ eller skaleringen af v⃗ med r som:

r · v⃗ = r ·(

ab

)=(

r · ar · b

)

Multiplikation af en vektor med et reelt tal foregår altså igen påden oplagte måde: Man ganger begge vektorens koordinater med detreelle tal.

Produktet af r og v⃗ omtales også som „skaleringen af v⃗ med r“. Afdenne grund kaldes reelle tal ofte for „skalarer“ (=dem man skalerermed) når der arbejdes med vektorer. Dette rammer vi lige ind forhukommelsens skyld:

side 12


Definition 13.Et reelt tal kaldes fremover også for „en skalar“

Der er to gode grunde til at bruge ordet „skalering“ i stedet for“produkt“.

Den ene grund er at man bedre kan huske at det er to megetforskellige objekter som bliver ganget med hinanden, og at de spillerhver sin rolle: Det er vektoren som bliver skaleret med det reelle tal,og ikke omvendt. Vi skal senere definere hele to forskellige måder at„gange vektorer med hinanden“ på.

Den anden gode grund til at „skalering“ er et godt navn er at detpasser fint med vores geometriske billede af vektorer. Det skal vi senærmere på i afsnit 4.5.

Lige nu mangler vi kun en enkelt vedtagelse:

Definition 14.Hvis der i en udregning optræder både summer og skaleringer afvektorer, så skal skaleringerne udregnes først, som om der var enusynlig parentes omkring dem.

Øvelse 15.Beregn følgende vektor:

(−3) ·(

5−2

)+ 7 ·

(2

−1

)

4.2 Omvendt vektor og vektordifferensLige som med reelle tal definerer vi et „fortegnsskift“:

side 13


Definition 16 (Omvendt vektor).Til enhver vektor v⃗ =

(ab

)definerer vi dens omvendte vektor, −v⃗

som:−v⃗ =

(−a−b

)

Dette er den samme vektor som man får hvis man skalerer v⃗ med−1.

Og lige som med reelle tal bruger vi dette til at definere hvad detbetyder at trække en vektor fra en anden:

Definition 17 (Differens).Hvis v⃗ =

(a1b1

)og w⃗ =

(a2b2

)er to vektorer, så definerer vi

differensen v⃗ − w⃗ som:

v⃗ − w⃗ = v⃗ + (−w⃗)

Dette er det samme som:

v⃗ − w⃗ =(

a1b1

)+(

−a2−b2

)=(

a1 − a2b1 − b2

)

4.3 Snik-snak: Nye regneoperationerDette afsnit er skrevet for at inspirere nysgerrige læsere til lidt ekstraomtanke. Men det er ikke nødvendigt for at forstå resten af doku-mentet, så du kan sagtens springe det over hvis du har travlt.

Nu er det jo ikke hver dag man laver helt nye regneoperationer.Men når man en gang imellem gør det, så skal man passe utroligtmeget på ikke bare at gå ud fra at de nye regneoperationer opførersig sådan som man er vant til. F.eks. er vi så vant til at 5 + 7 er detsamme som 7+5 at vi overhovedet ikke tænker over det i hverdagen.

side 14


Her kommer dog et lille skræmme-eksempel, som viser at man ikkealtid kan bytte om på to ting som er lagt sammen.

Stil dig midt på gulvet (efter at have læst dette). Du kan nuforetage forskellig rotationer af din krop. F.eks. kan du dreje dinkrop 90 grader mod venstre (prøv selv!) — Du roterer nu omkringen akse som går fra dine fødder til dit hoved. Denne rotation kaldervi r1.

Du kan også vippe forover (idet vi slukker for tyngdekraften),så du havner liggende vandret i luften med din mave nedad. — Duroterer her omkring en akse som går gennem din mave, fra den eneside til den anden — lige som en fodboldspiller i bordfodbold. Dennerotation kalder vi r2.

Vi definerer nu at summen af to sådanne rotationer skal beståaf at vi udfører dem efter hinanden. Er det så rigtigt at r1 + r2 ogr2 + r1 er det samme?

side 15


4.4 RegnereglerHeldigvis opfører de nye regneoperationer for vektorer sig præcis ligesom vi er vant til med reelle tal.

Sætning 18.Vektoraddition og skalering opfylder følgende regneregler:Den kommutative lov: Hvis v⃗ og w⃗ er vektorer, så er

v⃗ + w⃗ = w⃗ + v⃗

Den associative lov: Hvis u⃗, v⃗ og w⃗ er vektorer, så er

(u⃗ + v⃗) + w⃗ = u⃗ + (v⃗ + w⃗)

De distributive love: Hvis v⃗ og w⃗ er vektorer og r og s er skalarer,så er:

r · (v⃗ + w⃗) = r · v⃗ + r · w⃗

og(r + s) · v⃗ = r · v⃗ + s · v⃗

En homogenitetslov: Hvis v⃗ er en vektor og r og s er skalarer, så er:

(r · s) · v⃗ = r · (s · v⃗) = s · (r · v⃗)

Indskudsreglen for forbindende vektorer: Hvis A, B og C er tre punk-ter, så er: −→

AB +−−→BC =

−→AC

Længde af skalering: Hvis v⃗ er en vektor, og r er en skalar, så er:

| ⃗r · v| = |r| · |v⃗|

Trekantsuligheden: Hvis v⃗ og w⃗ er vektorer, så er

|v⃗ + w⃗| ≤ |v⃗| + |w⃗|

side 16


Anvendligt? – Praktisk eller teoretisk?

Som altid med fundamentale regneregler, skal man ikke tro at deovenstående regneregler er spor anvendelige i praksis. Hvem er f.eks.interesseret i at kunne omskrive:

6 ·((

92

)+(

14

))til

6 ·(

92

)+ 6 ·

(14

)når begge dele er lige nemme at udregne helt konkret?

Til gengæld bliver disse regneregler ekstremt nyttige når vi skalarbejde med generelle vektorer, hvor vi ikke kender deres koordinater.Dette er både tilfældet når vi forsøger at sige noget om vektorer somvi ikke kender (endnu), og i allerhøjeste grad når vi beviser sætningerom (vilkårlige) vektorer.

Egentlig burde vi bevise alle disse regneregler, men da de alle-sammen (undtagen trekantsuligheden som vi beviser i næste afsnit)følger den samme strategi, vil vi nøjes med:

Bevis (Bevis for den kommutative lov). Hvis v⃗ og w⃗ er to vektorer,så lad os se på deres koordinater. Lad os sige at:

v⃗ =(

x1y1

)og w⃗ =

(x2y2

)Vi kan nu udregne:

v⃗ + w⃗ =(

x1 + x2y1 + y2

)og

w⃗ + v⃗ =(

x2 + x1y2 + y1

)Men da koordinaterne er reelle tal, og det er ligegyldigt hvilken ræk-kefølge man lægger reelle tal sammen i, giver de to udregninger densamme vektor. □

side 17


Øvelse 19.Bevis den associative lov.

Hjælp: Navngiv de tre vektorers koordinater. Udregn derefter deto sider af lighedstegnet hver for sig, og forklar hvorfor de bliver ens.

4.5 Geometrisk tolkningDe regneoperationer som vi indførte i sidste afsnit passer rigtig fintsammen med vores geometriske billede af vektorer. Gå eventuelt til-bage og læs afsnittet om indtegning af vektorer igen.

Sætning 20 (Geometrisk tolkning af vektoraddition).Hvis v⃗ og w⃗ er vektorer og P er et punkt, og vi indtegner v⃗ ud fra P ,og bagefter indtegner w⃗ ud fra det punkt som v⃗ peger på (løst sagt:Vi indtegner w⃗ i forlængelse af v⃗) , så vil spidsen af w⃗ pege på detsamme punkt som v⃗ + w⃗.

Bevis. Hvis vi kalder v⃗’s koordinater for a og b, og w⃗’s koordinaterfor c og d, så er

v⃗ + w⃗ =(

a + cb + d

)Hvis P = (x; y) og vi indtegner v⃗ derfra, så vil den pege på punktet(x + a; y + b). Når w⃗ indtegnes derfra, så vil den pege på punktet:(x + a + c; y + b + d). Men det er præcis det samme punkt som v⃗ + w⃗peger på når den indtegnes fra P . □

Denne sætning giver meget bedre mening hvis man tegner den.Se figur 1.

Hvis vi altså tænker på vektorer som angivelser af en bevægelsei koordinatsystemet, så består addition af vektorer løst sagt af atforetage den ene bevægelse først, og derefter den anden, for derefterat glemme hvorhenne man stoppede undervejs.

Dette illustrerer også den kommutative lov: Hvis man i stedetindtegner v⃗ i forlængelse af w⃗, så får man tegningen på figur 2.

side 18


Figur 1: Geometrisk forståelse af summen af to vektorer.

-2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

Figur 2: Summen af to vektorer – på to måder.

-2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

side 19


Denne tegning er kendt i fysik som „kræfternes parallelogram“,idet den illustrer hvordan to kræfter (som jo er vektorer) lægges sam-men, og at det er ligegyldigt i hvilken rækkefølge de lægges sammen(den kommutative lov).

Sjovt nok bevirker det geometriske billede at vi nu kan bevise„trekantsuligheden“ fra sætning 18 meget nemt, og samtidigt indsehvorfor den hedder trekantsuligheden. Længderne |v⃗|, |w⃗| og |v⃗ + w⃗|er nemlig længder af de tre sider i en trekant. Sætningen siger dermedbare at summen af de to siders længder er større end eller lig medden sidste sides længde.

Sætning 21 (Geometrisk tolkning af skalering).Hvis v⃗ er en vektor og r er en skalar, og vektorerne v⃗ og r ·v⃗ indtegnesfra det samme punkt, så giver r · v⃗ anledning til en pil som er parallelmed pilen fra v⃗, og med en længde der er |r| gange så lang.

Hvis r er negativ, så peger de to pile i modsatte retninger.

Bevis. Kald vektorens koordinater for:

v⃗ =(

ab

)

Når den indtegnes fra et punkt P = (x; y) så giver den en pil sompeger på punktet (x + a; y + b). Derfor er pilen et linjestykke medhældningskoefficient:

α = ∆y

∆x= (y + b) − y

(x + a) − x= b

a

Hvis vektorenr · v⃗ =

(r · ar · b

)indtegnes, så giver det en pil der peger på punktet

(x + r · a; y + r · b)

side 20


Denne pil er et linjestykke med hældning:

β = ∆y

∆x= (y + r · b) − y

(x + r · a) − x= r · b

r · a= b

a

Dette viser at de to pile er parallelle. Påstanden om deres længderer en del af sætning 18. □

Øvelse 22.Lav en tegning som illustrerer sætning 21.

Sætning 21 leder til følgende definition:

Definition 23.To vektorer v⃗ og w⃗ kaldes parallelle hvis den ene kan skrives som enskalering af den anden. — Altså hvis der findes et reelt tal, r, sådanat enten r · v⃗ = w⃗ eller r · w⃗ = v⃗

Bemærk at nulvektor pr. definition er parallel med alle vektorer.

Øvelse 24 (Tolkning af vektordifferens).

Bevis at hvis vektorerne v⃗ =(

a1b1

)og w⃗ =

(a2b2

)indtegnes fra

samme punkt, så er den forbindende vektor fra v⃗’s endepunkt til w⃗’sendepunkt givet ved differensen:

w⃗ − v⃗

som illustreret på figuren nedenunder.

side 21


-2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

(Hjælp: For at bevise det, skal man først finde et udtryk for deto endepunkters koordinater, og dernæst beregne den forbindendevektors koordinater.)

side 22


5 PrikproduktetI dette afsnit vil vi definere et produkt af vektorer. –Altså en mådeat „gange“ to vektorer med hinanden.

Definition 25.Hvis v⃗ =

(a1b1

)og w⃗ =

(a2b2

)er to vektorer, så defineres prikpro-

duktet af v⃗ og w⃗ som:

v⃗ • w⃗ = a1 · a2 + b1 · b2

Man „prikker“ altså to vektorer med hinanden ved at gange deresførstekoordinater med hinanden, gange deres andenkoordinater medhinanden og lægge de to resultater sammen.

Bemærk (!!) at prikproduktet af to vektorer ikke giver en ny vek-tor, men en skalar. Af denne grund kaldes prikproduktet også noglegange “skalarproduktet”, men vi vil undlade det her, da det i nogleører kan lyde som om det er et produkt af skalarer. Observationener dog så vigtig at vi lige rammer den ind:

Prikproduktet af to vektorer giver en skalar!

Øvelse 26.Beregn følgende prikprodukter: (Tegn gerne vektorerne først!)

a)(

23

)•(

−11

)

b)(

00

)•(

64

)c) i⃗ • j⃗ (Husk at disse to vektorer er indført i afsnit 3.4.)

d)(

21

)•(

−816

)(Hvorfor giver det mon det det gør?)

side 23


Naturligvis skal vi også se på regneregler for prikproduktet. Detviser sig heldigvis igen at det nye produkt opfører sig præcis lige somvi er vant til at et produkt opfører sig:

Sætning 27 (Regneregler for prikproduktet).Prikproduktet opfylder følgende regneregler:Den kommutative lov: Hvis v⃗ og w⃗ er vektorer, så er

v⃗ • w⃗ = w⃗ • v⃗

Den distributive lov: Hvis u⃗, v⃗ og w⃗ er vektorer, så er

u⃗ • (v⃗ + w⃗) = u⃗ • v⃗ + u⃗ • w⃗

En homogenitetslov: Hvis v⃗ og w⃗ er vektorer og r er en skalar, så er

(r · v⃗) • w⃗ = r · (v⃗ • w⃗) = v⃗ • (r · w⃗)

Prikprodukt og længde: Hvis v⃗ er en vektor, så er

v⃗ • v⃗ = |v⃗|2

Hvis man skal forklare de tre første regler i ord, så siger den kom-mutative lov at „faktorernes orden er ligegyldig“, den distributivelov at „man må gange ind i parenteser“ og homogenitetsloven at deforskellige gangetegn er „lige hurtige“ i regnearternes hierarki, sådanat man kan prikke, skalere eller gange i den rækkefølge man har lysttil.

De fire regneregler er bevist i et seperat dokument3.

5.1 VinklerFor at forstå den geometriske betydning af prikproduktet, indførervi et par nye begreber:

3 Læs beviserne her

side 24


Definition 28 (Vinkel mellem vektorer).Hvis v⃗ og w⃗ er to vektorer som ikke er nulvektor, så definerer vivinklen mellem dem til at være den vinkel mellem 0◦ og 180◦ somopstår hvis v⃗ og w⃗ tegnes ud fra samme punkt.

Læg mærke til at man ikke definerer vinklen mellem nulvektor ogen anden vektor.

Bemærk også at der som regel dannes to forskellige vinkler når tovektorer tegnes ud fra samme punkt, men man vælger altid den somer mellem 0◦ og 180◦.

Figur 3: Vinklen mellem to vektorer

-2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

Definition 29 (Ortogonale vektorer).To vektorer v⃗ og w⃗ kaldes ortogonale (eller: vinkelrette) hvis vinklenmellem dem er 90◦ eller hvis en af dem er nulvektor. Man skriverdette som:

v⃗ ⊥ w⃗

Bemærk at nulvektor af praktiske grunde siges at være vinkel-ret på alle vektorer. Dermed har vi defineret at nulvektor både erparallel med og vinkelret på alle vektorer. Selvom dette kan virke

side 25


lidt forvirrende, er det med vilje! Det betyder nemlig at nogle af vo-res sætninger kan formuleres uden at skulle tage særlige hensyn tilnulvektor.

Sætning 30.Hvis v⃗ og w⃗ er to vektorer som ikke er nulvektor, og α er vinklenimellem dem, så er:

v⃗ • w⃗ = |v⃗| · |w⃗| · cos(α)

Denne sætning er meget nyttig, fordi den kan bruges til at findevinklen imellem to vektorer. Vi gemmer beviset til et andet doku-ment4 og viser i stedet et eksempel på hvordan den anvendes:

Eksempel 31.Lad os starte med vektorerne:

v⃗ =(

27

)

og

w⃗ =(

−14

)Vi kan lynhurtigt beregne prikproduktet:

v⃗ • w⃗ = 2 · (−1) + 7 · 4 = 26

og de to vektorers længder:

|v⃗| =√

22 + 72 =√

53

|w⃗| =√

(−1)2 + 42 =√

17

4 Du kan finde beviset her

side 26


Dermed siger sætning 30 at:

26 =√

53 ·√

17 · cos(α)dvs.

cos(α) = 26√53 ·

√17

≈ 0,866

dvs.α ≈ cos−1(0,866) ≈ 30◦

Bemærk at cos−1 altid giver den (entydigt bestemte) vinkel mel-lem 0◦ og 180◦ som har den givne cosinusværdi. Derfor er det altidden rigtige vinkel som kommer ud når man bruger den inverse cosinusi sidste linje.

Øvelse 32.Find vinklen mellem vektorerne

v⃗ =(

25412

)

og

w⃗ =(

−364

)

Sætning 30 har en meget nyttig konsekvens, nemlig at man megetnemt kan se om to vektorer er vinkelrette på hinanden eller ej:

Sætning 33 (Vinkelrette vektorer).To vektorer, v⃗ og w⃗ er vinkelrette hvis og kun hvis deres prikproduktgiver nul. Sagt med symboler:

v⃗ ⊥ w⃗

⇕v⃗ • w⃗ = 0

side 27


Bevis. Vektorerne er vinkelrette præcis hvis en af dem er nul (pr.definition) eller hvis cos(α) = 0. Dette er præcis de situationer hvorprikproduktet giver nul ifølge sætning 30. □

Bemærk at dette korollar er den tekniske grund til at man sigerat nulvektor er vinkelret på alle andre vektorer.

Øvelse 34.Er følgende to vektorer vinkelrette?

v⃗ =(

1622

)og w⃗ =

(−19

4

)

5.2 ProjektionerHer kommer et begreb som er meget vigtigt i f.eks. fysik og statistik.For at gøre notationen lidt mindre gnidret vil vi droppe pile overvektorernes navne i resten af dette dokument.

Definition 35 (Projektion af vektor på vektor).Hvis v og w er to vektorer, så definerer vi projektionen af v på wsom den vektor,

vw

der, når alle tre vektorer indtegnes fra samme punkt, får situationenpå figur 4 til at opstå: Sådan at vw peger på den vinkelrette projektionaf v’s pilespids, på den linje som er parallel med w.

Hvis vinklen mellem v og w er stump, så ser situationen lidtanderledes ud, nemlig som vist på figur 5.

Bemærkninger

• De to vektorer spiller helt forskellige roller. Derfor skal man væreomhyggelig med at tale om den vektor som „projiceres“ og denvektor som man „projicerer på“.

side 28


Figur 4: Projektionen af en vektor på en anden, hvis vinklen mellemdem er spids.

-2 -1 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

3

Figur 5: Projektionen af en vektor på en anden, hvis vinklen mellemdem er stump.

-2 -1 1 2 3 4 5

-1

1

2

3

• Det giver ikke mening at projicere en vektor på nulvektor.• Hvis vinklen mellem de to vektorer er 90◦, så bliver projektionen

nulvektor.• Det er ligegyldigt om den vektor som man projicerer peger forlæns

eller baglæns, og hvor lang den er. Man projicerer alligevel på denstiplede forlængelse af denne vektor.

• Projektionen kan både blive længere end, kortere end og enddamodsat rettet den vektor man projicerer på.

side 29


Definition 35 er meget intuitiv, men til gengæld er den svær atbruge i praksis. Den fortæller nemlig ikke hvordan vi skal regne pro-jektioner ud. Det klarer følgende sætning:

Sætning 36 (Projektionen af en vektor på en anden).Hvis v og w er to vektorer, så er projektionen af v på w givet ved:

vw = v • w

|w|2· w

Bevis. Vi vil lave projektionen i to skridt: Først laver vi en enheds-vektor (altså en vektor med længde 1) som peger i den retning somvw skal pege i. Derefter vil vi skalere denne enhedsvektor med denrigtige længde.

Fremgangsmåden er en lille smule forskellig alt efter om vinklenmellem v og w er spids eller stump. Vi tager den mest besværligesituation her, nemlig hvor vinklen er stump.

I dette tilfælde skal vw pege i den modsatte retning af w. (Se figur5.) En enhedsvektor som peger i den retning er:

− 1|w|

· w

(Skaleringen med 1|w| giver en vektor med længde 1 som peger samme

vej som w, og fortegnsskiftet får den til at pege den modsatte vej.)Nu er det bare spørgsmålet hvor lang projektionen skal være. Hvis

vi kalder denne længde for x, så er x en jo katete i den retvinkledetrekant på figur 5. Hyptenusen i denne retvinklede trekant har sammelængde som v, altså |v|. Desuden har vi styr på den vinkel, β somligger mellem kateten med længde x og hypotenusen. Den er nemlig:

β = 180◦ − α

hvor α er vinklen mellem v og w.Det giver os en sammenhæng:

cos(β) = x

|v|

side 30


Dvs.

x = |v| · cos(β)= |v| · cos(180◦ − α)= −|v| · cos(α)

— Hvor vi i den sidste udregning benyttede at

cos(180◦ − α) = − cos(α)

Nu er der blot tilbage at skalere enhedsvektoren med den rigtigelængde for at få projektionen:

vw = x ·(

− 1|w|

· w

)

= −|v| · cos(α) ·(

− 1|w|

· w

)

= |v| · cos(α) · 1|w|

· w

For at få det til at ligne den påståede formel, vil vi gange ogdividere med længden af w. Det giver:

vw = |v| · |w| cos(α) · 1|w|2

· w

= v • w · 1|w|2

· w

= v • w

|w|2· w □

Øvelse 37.Gennemfør beviset for sætning 36 i den situation hvor vinklen mel-lem v og w er spids.

side 31


Øvelse 38.Beregn projektionen af v =

(24

)på w =

(−10

). Beregn også

projektionen af w på v.

5.3 OrtogonalkomposanterUdover at være et rigtig sejt ord, så er „ortogonalkomposanter“ megetvigtigt i f.eks. fysik. Og det behøver slet ikke være så mystisk somdet lyder: „komposanter“ betyder „bestanddele“ og „ortogonal“ er etfint ord for „vinkelret“.

Når man siger at en vektor „opdeles i ortogonalkomposanter“betyder det bare at man vil skrive den som en sum af nogle vektorersom er vinkelrette på hinanden:

Det er heldigvis nemt på grund af begreberne fra sidste afsnit:

Sætning 39.Hvis v og w er to vektorer som er vinkelrette på hinanden, og u eren tredje vektor, så er:

u = uv + uw

Bevis. Hvis vi indtegner u, v og w fra det samme punkt og tilføjerde to projektioner, så vil det se ud som på figur 6. Eftersom de tremarkerede vinkler er rette, må vektorerne, u, uv og uw pege ud påhjørnerne i et rektangel. Og eftersom et rektangel er et parallelogram,viser tegningen samtidigt hvad der sker når uv og uw lægges sammen:Man får nemlig den vektor som peger diagonalt i det parallelogramsom de udspænder. Og det er jo u. □

Øvelse 40.Lad v være vektoren:

v =(

13

)

side 32


Figur 6: Projektioner af en vektor, u, på to ortogonale vektorer.

, w =(

−31

)og u =

(79

). Kontroller at v og w er vinkelrette på

hinanden. Beregn projektionerne uv og uw. Og kontroller til sidst at

u = uv + uw

Definition 41.Hvis v og w er to vektorer som er vinkelrette på hinanden, og u eren tredje vektor, så kaldes de to projektioner

uv og uw

for u’s ortogonalkomposanter langs v og w.Man siger at u opdeles i ortogonalkomposanter efter v og w, idet

man skriver:u = uw + uv

En særligt pæn situation er hvis de to vinkelrette vektorer erenhedsvektorer. Det har man et specielt navn til:

side 33


Definition 42.Hvis v og w er to enhedsvektorer som er vinkelrette på hinanden, såkalder man dem en ortonormalbasis for det todimensionale koordi-natsystem.

Bemærk at de to vektorer i⃗ og j⃗ som vi definerede i afsnit 3.4udgør en ortonormalbasis.

Det er specielt nemt at opdele en vektor i ortogonalkomposanterefter en ortonormalbasis:

Sætning 43.Hvis v og w udgør en ortonormalbasis, og u er en tredje vektor, såer dens opdeling i ortogonalkomposanter efter v og w:

u = (u • v) · v + (u • w) · w

Bevis. Dette er en direkte konsekvens af sætning 39 og formlen frasætning 36, idet v og w har længde 1. □

Øvelse 44.Lad u =

(16

−12

). Opdel u i ortogonalkomposanter efter vektorerne

i⃗ og j⃗. Er du overrasket over resultatet?

5.4 Ortogonalkomposanter i fysikDette afsnit er lidt sværere end de andre, og det kan sagtens springesover hvis man er ved at være træt. Formålet er at vise at de projek-tioner som man laver i fysik af f.eks. kraftvektorer er de samme somdem vi har snakket om her.

I fysik er det meget sjældent at man har konkrete vektorer til atangive de to vinkelrette retninger. I stedet kender man ofte en særligtvigtig retning (f.eks. „vandret“ eller „opad“), hvortil alle vektorerdanner en vinkel.

side 34


I denne situation kan man altid (selvom det tit bliver gjort udenaf nævne det) vælge en enhedsvektor, v, som peger i den særligtvigtige retning, og en anden enhedsvektor, w, som peger vinkelret pådenne retning.

Man skal dog lige passe på at der er to gode muligheder for atvælge w. Her er man nødt til at vælge efter en ret kompliceret regelfor at få det til at passe:

Definition 45 (En tradition fra fysik).Hvis u er en vektor som danner vinklen α til en enhedsvektor v, ogvi skal bruge en enhedsvektor, w som er vinkelret på v, så vælger viw sådan at vinklen mellem u og w bliver mellem 0◦ og 90◦.

Hvis α = 0◦ eller α = 180◦ er det ligegyldigt hvilken af de tomuligheder vi vælger.

Det kan enten se ud som på figur 7 eller 8 alt efter om α er spidseller stump.

Figur 7: Valg af w hvis α er spids.

Dette valg er lidt underligt, og det ville nok være mere oplagtat vedtage at man altid „drejede i samme retning fra v“ (se næsteafsnit!), men dette valg har en eneste fordel, nemlig at den næstesætning bliver rigtig:

side 35


Figur 8: Valg af w hvis α er stump.

Sætning 46 (Ortogonalkomposanter ud fra en vinkel).Hvis v er en enhedsvektor, u er en vektor som danner vinklen αmed v, og w er en enhedsvektor som er valgt vinkelret på v efterovenstående regel, så kan u opdeles i ortogonalkomposanter ved:

u = |u| · cos(α) · v + |u| · sin(α) · w

Bevis. Fra sætning 43 har vi opdelingen:

u = (u • v) · v + (u • w) · w

Ved at bruge sætning 30 kan det omskrives til:

u = |u| · |v| · cos(α) · v + |u| · |w| · cos(β) · w

= |u| · cos(α) · v + |u| · cos(β) · w

–Hvor β er vinklen mellem u og w. Men på grund af vores kom-plicerede valg af w, er β enten givet ved:

β = 90◦ − α (Hvis α er spids)

eller ved:β = α − 90◦ (Hvis α er stump)

side 36


I begge tilfælde er:cos(β) = sin(α)

og dermed er sætningen bevist. □

De to ortogonalkomposanter kaldes ofte for „parallelkomposan-ten“ og „vinkelretkomposanten“ af u. Og sætning 46 forklarer altsåden kendte huskeregel fra fysik:

„Parallelkomposanten findes ved at gange med cosinus, og vinkelret-komposanten ved at gange med sinus.“

side 37


6 Tværvektor og DeterminantTil sidst skal vi lige definere to begreber mere (og et enkelt hjælpe-begreb).

Når vi senere skal arbejde med vektorer i rummet, så vil du opda-ge at alt som er foregået indtil nu også kan siges om tredimensionale(og endnu højere dimensionale) vektorer. Begreberne i dette afsnit erderimod helt specielle5 for det todimensionale koordinatsystem.

6.1 TværvektorVi starter med en definition:

Definition 47 (Tværvektor).Hvis

v =(

ab

)så definerer vi v’s tværvektor, v̂ (læses: „v-hat“) som:

v̂ =(

−ba

)

Sætning 48.Hvis v er en vektor, så er v̂ en vektor som har samme længde somv og er vinkelret på v.

Bevis. Navngiv v’s koordinater:

v =(

ab

)

5 For nu at være præcis: Tværvektorbegrebet og „vinkel med fortegn“ findesudelukkende i to dimensioner. Determinanter findes også i højere dimensioner,men det er ikke noget man tager til to vektorer, men derimod til en såkaldtmatrix.

side 38


Dermed erv̂ =

(−ba

)Prikproduktet af disse to er:

v • v̂ =(

ab

)•(

−ba

)= a · (−b) + b · a = 0

Dette viser at v̂ er vinkelret på v. Længderne er ens, idet:

|v̂| =√

(−b)2 + a2 =√

a2 + b2 = |v|

Det beviser sætningen. □

For at huske hvordan tværvektorer beregnes bør man bruge de-finitionen så mange gange at det kommer til at „ligge i hånden“hvordan man „bytter om på de to koordinater og skifter fortegn påden som ender for oven“.

Øvelse 49.Lad v være vektoren:

v =(

23

)

Beregn v̂. Udregn også ̂̂v (altså tværvektoren til tværvektoren). Ud-regn til sidst ̂̂̂v og tegn de tre vektorer ud fra det samme punkt.

6.2 Vinkel med fortegnNår du har lavet øvelsen i sidste afsnit, så har du nok opdaget aten vektors tværvektor består af en drejning mod urets retning, altsåden retning som kaldes „positiv omløbsretning“ i matematik. For atholde bedre styr på hvilken vej en vektor er roteret i forhold til enanden indfører vi et mere præcist vinkelbegreb:

side 39


Definition 50 (Vinkel med fortegn).Hvis v og w er to vektorer, så definerer vi vinklen fra v til w til atvære den sædvanlige vinkel mellem de to vektorer, angivet med etfortegn:

Hvis vinklen går fra v til w i positiv omløbsretning (modsat uretsretning), angives vinkel som positiv, og hvis den går fra v til w inegativ omløbsretning, angives den som negativ.

Hvis vinklen mellem v og w er præcis 180◦, så sættes vinklenmed fortegn til at være positiv.

Bemærk at mens man godt kan tale om vinklen (uden fortegn)„mellem“ to vektorer, så er det meget vigtigt at angive hvilken af deto vektorer der måles fra og til når man angiver vinkler med fortegn.

Eksempel 51.Om de to vektorer v og w som er indtegnet ud fra det samme punktpå figuren nedenfor gælder f.eks. at vinklen fra v til w er cirka 70◦,hvorimod vinklen fra w til v er cirka −70◦.

6.3 DeterminantVi er nu klar til at definere et værktøj som (bl.a.) kan bruges tilhurtigt at se om to vektorer er parallelle eller ej (på samme mådesom prikproduktet kan vise om de er vinkelrette eller ej.)

side 40


Definition 52 (Determinant).Hvis

v =(

a1b1

)og

w =(

a2b2

)definerer vi determinanten af v og w som:

det(v, w) =∣∣∣∣∣ a1 a2

b1 b2

∣∣∣∣∣ = a1 · b2 − a2 · b1

Denne definition er svær at vænne sig til. Læs den grundigt ogforsøg at få en fornemmelse af hvordan notationen∣∣∣∣∣ a1 a2

b1 b2

∣∣∣∣∣virker: Man skal forestille at man kører igennem firkanten fra øverstevenstre hjørne og ned til nederste højre, mens man læser “dén gan-ge dén”. Dernæst hopper man op til øverste højre hjørne, idet mantænker “miiiinus...” Til sidst kører man fra øverste højre hjørne (ogned til nederste venstre, idet man igen læser “dén gange dén”. – Påsamme måde som når man tegner en fisk.

Eksempel 53.Hvis v =

(2

−4

)og w =

(−1107

), så kan vi udregne:

det(v, w) =∣∣∣∣∣ 2 −1

−4 107

∣∣∣∣∣ = 2 · 107 − (−1) · (−4) = 214 − 4 = 210

Øvelse 54.Udregn følgende determinanter:

side 41


•∣∣∣∣∣ 1 2

3 4

∣∣∣∣∣•∣∣∣∣∣ 1 3

2 6

∣∣∣∣∣•∣∣∣∣∣ 0 0

1 1

∣∣∣∣∣Øvelse 55.Udregn det(v, w) hvor v =

(12

)og w =

(26

). Udregn også

det(w, v).

Lad os bevise nogle resultater om determinanten. Først skal vi seat den hænger sammen med prikproduktet og begrebet „tværvektor“som vi indførte i sidste afsnit:

Sætning 56.Hvis v og w er vektorer, så er

det(v, w) = v̂ • w

Bevis. Kald vektorernes koordinater for v =(

a1b1

)og w =

(a2b2

).

Vi udregner:

det(v, w) =∣∣∣∣∣ a1 a2

b1 b2

∣∣∣∣∣ = a1b2 − a2b1

og

v̂ • w =(

−b1a1

)•(

a2b2

)= (−b1) · a2 + a1 · b2 = a1b2 − a2b1

De to udregninger giver sørme det samme. □

side 42


Dernæst en sammenhæng som ligner sætning 30 lidt:

Sætning 57.Hvis v og w er vektorer, og α er vinklen (med fortegn!) fra v til w,så er:

det(v, w) = |v| · |w| · sin(α)

Bevis. Ved hjælp af sætning 56, 30 og 48 kan vi omskrive:

det(v, w) = v̂ • w

= |v̂| · |w| · cos(β)= |v| · |w| · cos(β)

— hvor β er vinklen (uden fortegn) mellem v̂ og w.Nu er der fire situationer som skal behandles lidt forskelligt. (Se

figur 9).

Figur 9: De fire muligheder i beviset for sætning 57

A: B:

C: D:

side 43


I hver af situationerne er vinklen (med fortegn) fra v til w givetved:

Situation A: α = 90◦ − β

Situation B: α = 90◦ + β

Situation C: α = −(270◦ − β) = β − 270◦ = 90◦ + β − 360◦

Situation D: α = −(β − 90◦) = 90◦ − β

Men det betyder under alle omstændigheder at:

sin(α) = sin(90◦ ± β) = cos(β)

Så derfor følger omskrivningen:

det(v, w) = |v| · |w| · cos(β)= |v|ă · |w| · sin(α) □

Denne sætning medfører øjeblikkeligt følgende nyttige konklu-sion:

Sætning 58.Hvis v og w er to vektorer, så giver deres determinant nul præcishvis de er parallelle. Sagt med symboler:

det(v, w) = 0⇕

v ∥ w

— hvilket forklarer navnet „determinant“. At „determinere“ betyderat „bestemme“ eller „afgøre“, og determinanten af to vektorer afgøraltså om de er parallelle eller ej.

Bevis. Selvom argumentet er næsten det samme, bør man bevisehver af de to implikationer seperat.

side 44


„⇓“: Hvis determinanten giver nul, så medfører sætning 57 entenat en af de to vektorer har længde nul, eller også at sin(α) = 0.Det første betyder at en af vektorerne er nulvektor, og det sidstebetyder at vinklen mellem dem er enten 0◦ eller 180◦. Eftersom vihar defineret nulvektor til at være parallel med alle andre vektorerbetyder begge dele at de to vektorer er parallelle.

„⇑“: Hvis de to vektorer er parallelle, så er det enten fordi en afdem er nulvektor eller fordi vinklen mellem dem er 0◦ eller 180◦. Ibegge tilfælde giver sætning 57 at determinanten må være nul.

6.4 Det udspændte arealTil allersidst en konkret anvendelse af determinanten:

Sætning 59 (Areal af det udspændte parallelogram).Hvis v og w er to vektorer som indtegnes fra det samme punkt, såudspænder de et parallelogram (se figur 10) med areal A, hvor:

A = | det(v, w)|

Figur 10: To vektorers udspændte parallelogram

side 45


Bevis. Beviset er utroligt enkelt når bare man får tegnet den rigtigetegning. (Se figur 11). Vi indtegner en højde i parallelogrammet ogtilføjer vinklen (med fortegn), α fra v til w.

Figur 11: Arealet af det udspændte parallelogram

Nu opstår der en retvinklet trekant, hvor vi hurtigt kan beregneh, fordi:

sin(α) = h

|w|dvs.

h = |w| · sin(α)

og dermed er parallelogrammets areal:

A = |v| · h = |v| · |w| · sin(α)

hvilket er det samme som determinanten af v og w ifølge sætning??. □

Desværre tog ovenstående bevis udgangspunkt i en tegning (figur11), og vi kan ikke være sikre på at situationen altid ser helt sådan ud.Derfor vil vi lige slutte af med at forsvare påstanden i de irriterendetilfælde hvor tegningen ser lidt anderledes ud.

side 46


Tilfælde 1: Vinklen fra v til w er stump.

For det første kan det tænkes at vinklen fra v til w bliver større end90◦.

I dette tilfælde er det ikke α, men derimod β = 180◦ − α som ervinkel i en retvinklet trekant sammen med modstående katete h oghypotenuse |w|. Så derfor får vi arealet:

A = |v| · h = |v| · |w| · sin(β) = |v| · |w| · sin(180◦ − α)

Men eftersomsin(α) = sin(180◦ − α)

er dette også lig med determinanten af v og w.

Tilfælde 2: Vinklen fra v til w er negativ.

For det andet kan det tænkes at v og w „bytter plads“ i tegningen,sådan at vinklen fra v til w bliver negativ. Denne mulighed er helegrunden til at der er en „numerisk værdi“ i vores sætning, for indtil nuhar arealet jo været lig med determinanten (uden numerisk værdi).Men når α er negativ, så skifter sin(α) fortegn, hvilket igen bevirkerat determinanten bliver negativ.

Den nemmeste måde at håndtere dette tilfælde på er simpelt henat bruge vores argumenter ovenfra med v og w byttet om. (Sådanat vi snakker om vinklen fra w til v, som jo er positiv.) Dermed nårvi frem til at arealet af det parallelogram som w og v udspænder(hvilket selvfølgelig er det samme som det parallelogram som v og wudspænder) er givet ved:

A = det(w, v) = − det(v, w)

Men eftersom determinanten er negativ, betyder − det(v, w) præcisdet samme | det(v, w)|, og det var hvad vi påstod at arealet ville være.

side 47

TodimensionaleVektorer - Matbog.dk -...

Documents

Transcript of TodimensionaleVektorer - Matbog.dk -...