Toberas

RELACION DE PRESION CRITICA

Es la relación que existe entre la presión en la garganta de la tobera donde se alcanza una velocidad sónica y la presión a la entrada de la misma. Para determinar dicha relación se hace uso

de las siguientes leyes para gases ideales.

 (4, Pág. 166)

La ley referenciada como Masa, también puede expresarse de la siguiente forma: 

 

 

  Efectuando un proceso algebráico y utilizando las leyes mencionadas para gases ideales, se obtiene: 

 

 Puede decirse que la expresión anterior es una función del área por unidad de masa de gas a través de la tobera. Los valores R y Cp son constantes, al igual que T1, P1 y V1 por ser estas las condiciones conocidas de entrada a la tobera.

Por lo tanto, la variación del área depende de la variación de (x) a lo largo de la tobera, es decir, de la relación entre la presión de entrada y la presión en cualquier sección de la misma.

Si esta función se grafica, probablemente la curva obtenida será similar a la mostrada en la figura:  

Gráfica de la variación del área por unidad de masa para diferentes valores de x.

 Debido a que la relación de presión crítica se encuentra en la garganta de la tobera, es necesario calcular el área mínima derivando la expresión anterior e igualando a cero. El resultado de este desarrollo es: 

 

 Para efectos de análisis, algunos autores como Eastop y Mc Conkey (1) consideran que la velocidad de entrada a la tobera es despreciable en comparación con la velocidad de salida, por lo tanto la expresión

 podría tomar un valor de 0.

En consecuencia, se puede decir que:

 

 

 

(1, Pág. 291) Para el vapor de agua no puede hacerse el mismo análisis, debido a que se desvía considerablemente de las leyes de los gases ideales. Sin embargo probando una analogía con la expresión que relaciona la presión y el volumen específico de un gas que se expande adiabáticamente, podría decirse que durante una expansión adiabática del vapor

(1 Pág. 292; 2 Pág. 80) 

Se ha demostrado que al graficar las relaciones logarítmicas de esta expresión los valores de del vapor varían muy poco para diferentes presiones iniciales. Un valor medio para tomado por varios autores para vapor inicialmente seco y saturado es 1.135 y para vapor inicialmente sobrecalentado es de 1.3 (1, Pág. 292; 2, Pág. 81). Por lo tanto, es bastante aproximado afirmar que para el vapor también se cumple la siguiente expresión:

 

 

 (1, Pág. 305; 2 Pág. 85 y 5, Pág. 235, 281, 612)

Combinando y desarrollando las dos expresiones anteriores se obtiene: 

RELACION DE TEMPERATURA

Es la relación que existe entre la temperatura en la garganta de la tobera donde alcanza una velocidad sónica y la temperatura de entrada de la misma.

Como,

 Entonces, 

VELOCIDAD CRITICA

Es la velocidad lograda en la garganta de la tobera que corresponde a la velocidad del sonido en las condiciones de diseño.

Para un gas ideal, la velocidad en la garganta de la tobera puede expresarse como: 

 (1, Pág. 289; 2, Pág. 88; 3, Pág. 20)

Como la velocidad de entrada es muy pequeña comparada con la velocidad en la garganta, puede no considerarse en la ecuación. Si la temperatura en la garganta (Tg) es la temperatura crítica (Tc), se puede decir que

Entonces:

 La constante universal de los gases (R) y la relación de calores específicos pueden escribirse como: 

(4, Pág.97)

Las dos expresiones anteriores se pueden combinar así: 

 Sustituyendo (Cp) en () se obtiene: 

 La velocidad del sonido para los gases ideales está definida como: 

(1 y 4)

Por lo tanto, la velocidad en la garganta o velocidad crítica es la velocidad del sonido: 

FLUJO DE MASA MAXIMO

En una tobera convergente o convergente-divergente que trabaja con la relación de presión crítica, el flujo de masa que pasa a través de ella, es máximo.

(1, Pág. 295; 2 Pág. 87)  

(Haga click sobre la gráfica para ver la animación)

(Esta animación se ve mejor con una resolución de 1024 x 768 pixeles)

 Suponga un tanque que tiene gas almacenado a presión constante con un ducto, al que se le instala una válvula y un diafragma que contiene una tobera convergente.

Mientras la válvula permanezca cerrada, la presión en ambos lados del diafragma será la misma y no fluirá gas a través de la tobera. A medida que la válvula se abre, la presión en el lado derecho del diafragma disminuye y comienza a fluir una masa de gas por la tobera, haciendo que la entalpía caiga y su velocidad aumente.

Si la válvula continua abriéndose, la presión al lado derecho del diafragma se aproximará al valor de la presión crítica y el flujo de gas gradualmente alcanzará un valor máximo y fluirá a la velocidad del sonido.

Abriendo más la válvula, la presión al lado derecho del diafragma caerá por debajo de la presión crítica. Sin embargo se observa que el flujo de masa a través de la tobera permanece constante en su valor máximo como lo muestra la curva. Cuando se da esta condición se dice que la tobera está chocada o estrangulada.

CONDICIONES DIFERENTES A LAS DEL DISEÑO

En la práctica no siempre las toberas trabajan en las condiciones para las cuales fueron diseñadas. También pueden trabajar en otros regímenes de operación en los cuales las relaciones de presión y temperatura entre la entrada y la salida son diferentes a las estimadas en el diseño.

Mattingly (4), describe los fenómenos ocurridos en toberas que trabajan bajo condiciones diferentes a las de diseño con base en las observaciones realizadas en un túnel de viento.

Para la prueba, se instala un contenedor con un gas como el aire a una presión P1 a la entrada y un tanque receptor con una presión P2 mucho menor que la del contenedor como se muestra en el siguiente esquema.

 

Esquema del montaje empleado para observar los fenómenos ocurridos

en toberas que trabajan en condiciones diferentes a las de diseño. 

         

Gráfica que representa la variación de la relación de presión real

CONDICIONES DIFERENTES A LAS DEL DISEÑO 

Sub-expansión

 

Fotografía de una tobera en condiciones de sub-expansión (Cortesía de Jack D. Mattingly)

 

En esta condición, la presión (P2 ) en el tanque receptor es menor que la presión de salida de la tobera (Ps ), por lo tanto la relación de presión real (RPr ) es menor que la de diseño (RPd ) . El

flujo a través de la tobera, entre la entrada y la salida corresponde al de la relación de presión (RPd

) para la que fue diseñada. Sin embargo, debido a la diferencia de presiones entre la salida de la tobera y el tanque receptor, el flujo se expande violentamente hasta el valor de la presión (P2 ). Este fenómeno se presenta en cualquier punto de la zona de sub-expansión sobre la línea de

relación de presión real mostrada de la siguiente figura.

 

Gráfica que representa la variación de la relación de presión real

Expansión en las condiciones de diseño:

En esta condición, la presión (P2 ) del tanque receptor ha aumentado hasta alcanzar la misma presión (P3 ) de la salida de la tobera. La relación de presión real (RPr ) es igual a la relación de presión de diseño (RPd ) y por lo tanto, no se observa ninguna perturbación en el flujo que sale de la tobera. Esta condición únicamente ocurre en el punto de expansión de diseño sobre la línea de relación de presión real.

 

Gráfica que representa la variación de la relación de presión real

 CONDICIONES DIFERENTES A LAS DEL DISEÑO

Sobre-expansión

En esta condición la presión (P2 ) del tanque receptor es mayor que la presión (P3) a la salida de la tobera y por lo tanto, la relación de presión real (RPr ) es mayor que la relación de presión de diseño (RPd ). La transición entre la presión (P3 ) a la salida y la presión (P2 ) en el tanque receptor ocurre con un sistema de ondas de choque oblicuo conocido como reflexión regular o con un sistema de ondas combinadas de choque oblicuo y normal conocido como patrón de reflexión Mach.

 

Fotografía de una tobera en condiciones desub-expansión.Reflexión regular (Cortesía de Jack D. Mattingly)

   

Fotografía de una tobera en condiciones desub-expansión.Patrón de reflexión Mach (Cortesía de Jack D. Mattingly)

La sobre-expansión se presenta en cualquier punto de la zona de "sobre-expansión" sobre la líneas de relación de presiones y dentro de esta, la reflexión regular y el patrón de reflexión Mach. 

Gráfica que representa la variación de la relación de presión real  

Onda de choque normal a la salida

En esta condición, la presión del tanque receptor (P2 ) aumenta hasta el punto en el cual el sistema de ondas de choque se ubica en la salida de la tobera. Este fenómeno se representa únicamente en el punto de onda de choque normal a la salida sobre la línea de relación de presión real. 

Gráfica que representa la variación de la relación de presión real

 

Onda de choque normal en el interior

 

Fotografía de una tobera en condiciones de ondas de choque normal en el interior(Cortesía de Jack D. Mattingly)

En esta condición, la presión (P2 ) del tanque receptor ha aumentado aun más hasta el punto en el cual el sistema de ondas de choque se ha movido dentro de la parte divergente de la tobera. El flujo que se encuentra antes de la onda de choque es supersónico y no se ve afectado, mientras que el flujo después de ésta es subsónico.

Este fenómeno se presenta en cualquier punto de la zona de choque en el interior.  

Gráfica que representa la variación de la relación de presión real

Límite Sónico

En esta condición, la presión del tanque receptor alcanza un valor que produce un flujo isentrópico libre de ondas a través de la tobera y en el cual, se presenta una velocidad sónica en la garganta y subsónica en la parte convergente y divergente de la misma.

Este fenómeno se presenta únicamente en el punto límite sónico sobre la línea de relación de presión real. 

Gráfica que representa la variación de la relación de presión real

Flujo Subsónico

En esta condición, la presión P2 del tanque receptor alcanza un valor tal que produce un flujo subsónico a través de toda la tobera con una reducción en el flujo másico del fluido.

Este fenómeno se presenta en la zona de flujo sónico sobre la línea de relación de presión real entre el límite sónico y RP=1 , donde ya no hay flujo a través de la tobera.

diagrama las zonas de operación para las diferentes relaciones de presión

(4, Fig. 3,46; Pág. 171)

 (Haga click sobre la figura para verla en tamaño completo)

Diagrama de las zonas de operación para diferentes relaciones de presión y área

 

EFICIENCIA DE LAS TOBERASDebido a la fricción que ocurre entre el fluido y las paredes de la tobera y entre las propias capas del fluido, se producen algunas pérdidas que hacen que el proceso de expansión sea irreversible pero adiabático y por lo tanto, habrá una diferencia entre el proceso de expansión en condiciones ideales y el proceso en condiciones reales relacionada con la eficiencia.

En general, se puede decir que para determinar la eficiencia de una tobera se compara el desempeño real bajo condiciones definidas, con el desempeño que alcanzaría en condiciones ideales.

Una manera de evaluar esta eficiencia es por medio de la relación que existe entre la ganancia de energía cinética debida a la caída de entalpía en condiciones reales y la ganancia de energía cinética debida a la caída de entalpía en condiciones ideales.  

Diagrama h-s donde se representa la caída de entalpía en condiciones ideales y reales.  

Si en un proceso ideal o isentrópico,

y en un proceso real,

entonces,

 

Como la velocidad de entrada a la tobera V1 es 0 o muy pequeña comparada con la velocidad a la salida V2 entonces puede decirse que: 

 

 

SUPERSATURACION EN TOBERAS DE VAPOR 

Cuando el vapor se expande en forma lenta e isentrópica, comienza a condensarse al pasar por la línea de saturación. Sin embargo se ha encontrado que cuando este proceso de expansión ocurre muy rápidamente como en el caso de una tobera, el vapor continua seco aún por debajo de la línea de saturación hasta que alcanza un punto en el cual la condensación ocurre repentinamente.

 (15 Pág. 306 y 5 Pág. 579)

 El fenómeno en condiciones ideales o isentrópicas se puede representar en un diagrama de temperatura-entropía o en un diagrama entalpía-entropía y se explica en la siguiente animación:

 (Haga click sobre la gráfica para ver la animación)

 

  

Diagrama P-v

 

CONDICIONES DE ESTANCAMIENTO

 El estancamiento isentrópico es el estado que alcanzará un fluido si sufre una desaceleración hasta una velocidad cero a través de un proceso adiabático reversible. El estado de estancamiento está asociado con una velocidad de flujo igual a cero y con un valor de entropía correspondiente al flujo que fluye.  

Animación condiciones de estancamiento

  Este caso puede observarse en cualquier cuerpo estacionario colocado dentro de una corriente de fluido en el cual, parte de éste pasa por encima del cuerpo y parte pasa por debajo. La línea divisoria entre los flujos se conoce como trayectoria de estancamiento que termina en el punto de estancamiento del cuerpo en donde la velocidad del flujo es cero.

(6, Pág. 117).  En una tobera, cuando el fluido es llevado isentrópicamente desde la atmósfera, la presión atmosférica y la temperatura representarían el estado de estancamiento del flujo. Las condiciones de estancamiento suelen representarse con el subíndice 0, siendo la temperatura y la presión de estancamiento T0 y P0. Según la ecuación de flujo estable, puede decirse que: 

 Y para un flujo isentrópico: 

 Por lo tanto, puede decirse que:

 (6, Pág. 717)

Para un gas ideal esta establecido que: 

Como el volumen específico es el inverso de la densidad, puede afirmarse que: 

 Esto es cierto también para las condiciones de estancamiento, por lo tanto: 

De donde,

 

P0 y v0 no varían por ser las condiciones atmosféricas que representan el estado de estancamiento, por tanto:

De donde:

 

 Según las leyes de los gases ideales, 

Por lo tanto

Donde

(1, Pág. 309.) 

 

Entonces

 (5, Pág. 605)

 

  

(6, Pág. 718) 

(1, Pág. 311) 

(6, Pág. 718) 

 

Teniendo en cuenta que la velocidad en la garganta es la velocidad del sonido y por lo tanto (M = 1) , la relación de presión crítica será: 

(1, Pág. 311) Es posible definir una expresión para la relación entre la densidad en cualquier parte de una tobera convergente-divergente y la densidad en el estado de estancamiento sabiendo que: 

Y por lo tanto,  

 

 (6, Pág. 718)

 Según Eastop y Mc Conkey (1, Pág. 310) cuando los números Mach son bajos, la relación entre la presión estática en cualquier parte de una tobera convergente-divergente y la presión del estado de estancamiento, puede escribirse de la siguiente forma:  

 

 

 (1, Pág. 310; 6, Pág. 117)

 

 

La suma de la presión estática y dinámica en cualquier punto de la tobera, es constante e igual a la presión de estancamiento únicamente para flujos isentrópicos. Cuando se considera que hay fricción en el flujo, la afirmación anterior no es válida debido a la pérdida de presión.

(1, Pág. 311). Bajo las anteriores condiciones, es decir, para números Mach bajos, se puede decir que: 

 Para flujos adiabáticos a través de una tobera, la suma de la temperatura estática y la equivalente de la temperatura en velocidad en cualquier punto de la tobera es constante e igual a la temperatura de estancamiento.