Toan tai lieu on thi vao thpt

1

1

V× sù nghiÖp gi¸o dôc - V× sù nghiÖp trång ng−êi

N¨m häc 2011 - 2015

TTTTµµµµiiii lllliiiiÖÖÖÖuuuu ¤¤¤¤nnnn tttthhhhiiii vvvvµµµµoooo TTTTrrrruuuunnnngggg hhhhääääcccc PPPPhhhhææææ tttthhhh««««nnnngggg

1. §iÓm - §−êng th¼ng - Ng−êi ta dïng çc ch÷ çi in hoa A,

B, C, ... ®Ó ®Æt tªn cho ®iÓm - BÊt cø h×nh nµo còng lµ mét tËp hîp

çc ®iÓm. Mét ®iÓm còng lµ mét h×nh.

- Ng−êi ta dïng çc ch÷ çi th−êng a,

b, c, ... m, p, ... ®Ó ®Æt tªn cho çc ®−êng th¼ng (hoÆc dïng hai ch÷ çi in hoa hoÆc dïng hai ch÷ çi th−êng, vÝ dô ®−êng th¼ng AB, xy, ... )

- §iÓm C thuéc ®−êng th¼ng a (®iÓm C n»m trªn ®−êng th¼ng a hoÆc ®−êng th¼ng a ®i qua ®iÓm C), kÝ hiÖu lµ: C a∈

- §iÓm M kh«ng thuéc ®−êng th¼ng a (®iÓm M n»m ngoµi ®−êng th¼ng a hoÆc ®−êng th¼ng a kh«ng ®i qua ®iÓm M), kÝ hiÖu lµ: M a∉

2. Ba ®iÓm th¼ng hµng - Ba ®iÓm cïng thuéc mét ®−êng th¼ng ta nãi chóng th¼ng hµng - Ba ®iÓm kh«ng cïng thuéc bÊt k× ®−êng th¼ng nµo ta nãi chóng kh«ng th¼ng hµng. 3. §−êng th¼ng trïng nhau, c¾t nhau, song song - Hai ®−êng th¼ng AB vµ BC nh− h×nh vÏ bªn lµ hai ®−êng th¼ng trïng nhau. - Hai ®−êng th¼ng chØ cã mét ®iÓm chung ta nãi chóng c¾t nhau, ®iÓm chung ®ã ®−îc gäi lµ giao ®iÓm (®iÓm E lµ giao ®iÓm) - Hai ®−êng th¼ng kh«ng cã ®iÓm

www.VNMATH.com

Tr−êng THCS Hång H−ngTr−êng THCS Hång H−ngTr−êng THCS Hång H−ngTr−êng THCS Hång H−ng ---- Gia Léc Gia Léc Gia Léc Gia Léc –––– h¶i D−¬ng h¶i D−¬ng h¶i D−¬ng h¶i D−¬ng

Ng−êi viÕt - Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiÖu

chung nµo, ta nãi chóng song song víi nhau, kÝ hiÖu xy//zt 4. Kh¸i niÖm vÒ tia, hai tia ®èi nhau, hai tia trïng nhau - H×nh gåm ®iÓm O vµ mét phÇn ®−êng th¼ng bÞ chia ra bëi ®iÓm O ®−îc gäi lµ mét tia gèc O (cã hai tia Ox vµ Oy nh− h×nh vÏ) - Hai tia chung gèc t¹o thµnh ®−êng th¼ng ®−îc gäi lµ hai tia ®èi nhau (hai tia Ox vµ Oy trong h×nh vÏ lµ hai tia ®èi nhau)

- Hai tia chung gèc vµ tia nµy n»m trªn tia kia ®−îc gäi lµ hai tia trïng nhau - Hai tia AB vµ Ax lµ hai tia trïng nhau

5. §o¹n th¼ng, ®é dµi ®o¹n th¼ng - §o¹n th¼ng AB lµ h×nh gåm ®iÓm A, ®iÓm B vµ tÊt c¶ c¸c ®iÓm n»m gi÷a A vµ B - Hai ®iÓm A vµ B lµ hai mót (hoÆc hai ®Çu) cña ®o¹n th¼ng AB.

- Mçi ®o¹n th¼ng cã mét ®é dµi. §é dµi ®o¹n th¼ng lµ mét sè d−¬ng

6. Khi nµo th× AM + MB = AB ? - NÕu ®iÓm M n»m gi÷a hai ®iÓm A vµ B th× AM + MB = AB. Ng−îc l¹i, nÕu AM + MB = AB th× ®iÓm M n»m gi÷a hai ®iÓm A vµ B

7. Trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng - Trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng AB lµ ®iÓm n»m gi÷a A, B vµ c¸ch ®Òu A, B (MA = MB) - Trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng AB cßn gäi lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña ®o¹n th¼ng AB

8. Nöa mÆt ph¼ng bê a, hai nöa mÆt ph¼ng ®èi nhau - H×nh gåm ®−êng th¼ng a vµ mét phÇn mÆt ph¼ng bÞ chia ra bëi a ®−îc gäi lµ mét nöa mÆt ph¼ng bê a - Hai nöa mÆt ph¼ng cã chung bê ®−îc gäi lµ hai nöa mÆt ph¼ng ®èi nhau (hai nöa mÆt ph¼ng (I) vµ (II) ®èi nhau)

9. Gãc, gãc bÑt

www.VNMATH.com

3

3


N¨m häc 2011 - 2015


- Gãc lµ h×nh gåm hai tia chung gèc, gèc chung cña hai tia gäi lµ ®Ønh cña gãc, hai tia lµ hai c¹nh cña gãc - Gãc xOy kÝ hiÖu lµ �xOy hoÆc �O hoÆc xOy∠ - §iÓm O lµ ®Ønh cña gãc - Hai c¹nh cña gãc : Ox, Oy - Gãc bÑt lµ gãc cã hai c¹nh lµ hai tia ®èi nhau

10. So s¸nh hai gãc, gãc vu«ng, gãc nhän, gãc tï. - So s¸nh hai gãc b»ng c¸ch so s¸nh c¸c sè ®o cña chóng - Hai gãc xOy vµ uIv b»ng nhau ®−îc kÝ hiÖu lµ: � �xOy uIv= - Gãc xOy nhá h¬n gãc uIv, ta viÕt:

� � � �xOy uIv uIv xOy< <=> > - Gãc cã sè ®o b»ng 900 = 1v, lµ gãc vu«ng - Gãc nhá h¬n gãc vu«ng lµ gãc nhän - Gãc lín h¬n gãc vu«ng nh−ng nhá h¬n gãc bÑt lµ gãc tï.

11. Khi nµo th× � � �xOy yOz xOz+ = - NÕu tia Oy n»m gi÷a hai tia Ox vµ Oz th× � � �xOy yOz xOz+ = .

- Ng−îc l¹i, nÕu � � �xOy yOz xOz+ = th× tia Oy n»m gi÷a hai tia Ox vµ Oz

12. Hai gãc kÒ nhau, phô nhau, bï nhau, kÒ bï - Hai gãc kÒ nhau lµ hai gãc cã mét c¹nh chung vµ hai c¹nh cßn l¹i n»m trªn hai nöa mÆt ph¼ng ®èi nhau cã bê chøa c¹nh chung. - Hai gãc phô nhau lµ hai gãc cã tæng sè ®o b»ng 900 - Hai gãc bï nhau lµ hai gãc cã tæng sè ®o b»ng 1800

- Hai gãc võa kÒ nhau, võa bï nhau ®−îc gäi lµ hai gãc kÒ bï

www.VNMATH.com



13. Tia ph©n gi¸c cña gãc - Tia ph©n gi¸c cña mét gãc lµ tia n»m gi÷a hai c¹nh cña gãc vµ t¹o víi hai c¹nh Êy hai gãc b»ng nhau - Khi:� � � � �xOz zOy xOy vµ xOz = zOy+ = => tia Oz lµ tia ph©n gi¸c cña gãc xOy - §−êng th¼ng chøa tia ph©n gi¸c cña mét gãc lµ ®−êng ph©n gi¸c cña gãc ®ã (®−êng th¼ng mn lµ ®−êng ph©n gi¸c cña gãc xOy) 14. §−êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng a) §Þnh nghÜa: §−êng th¼ng vu«ng

gãc víi mét ®o¹n th¼ng t¹i trung ®iÓm cña nã ®−îc gäi lµ ®−êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng Êy

b) Tæng qu¸t:

a lµ ®−êng trung trùc cña AB

� ⊥

a AB t¹i I

IA =IB

15. Çc gãc t¹o bëi mét ®−êng th¼ng c¾t hai ®−êng th¼ng a) Çc cÆp gãc so le trong:

� �1 3A vµ B ; � �

4 2A vµ B . b) Çc cÆp gãc ®ång vÞ:

� �1 1A vµ B ; � �

2 2A vµ B ; � �3 3A vµ B ; � �

4 4A vµ B . c) Khi a//b th×: � �

1 2A vµ B ; � �4 3A vµ B gäi lµ çc cÆp

gãc trong cïng phÝa bï nhau

16. Hai ®−êng th¼ng song song

1 4

2 3

4 3 2

1

b

a

B

A

a

I B A

www.VNMATH.com

5

5


N¨m häc 2011 - 2015


a) DÊu hiÖu nhËn biÕt - NÕu ®−êng th¼ng c c¾t hai ®−êng

th¼ng a, b vµ trong c¸c gãc t¹o thµnh cã mét cÆp gãc so le trong b»ng nhau (hoÆc mét cÆp gãc ®ång vÞ b»ng nhau) th× a vµ b song song víi nhau

b) Tiªn ®Ò ¥_clÝt - Qua mét ®iÓm ë ngoµi mét ®−êng

th¼ng chØ cã mét ®−êng th¼ng song song víi ®−êng th¼ng ®ã

c, TÝnh chÊt hai ®−êng th¼ng song song - NÕu mét ®−êng th¼ng c¾t hai ®−êng th¼ng song song th×:

� Hai gãc so le trong b»ng nhau; � Hai gãc ®ång vÞ b»ng nhau; � Hai gãc trong cïng phÝa bï nhau.

d) Quan hÖ gi÷a tÝnh vu«ng gãc víi tÝnh song song - Hai ®−êng th¼ng ph©n biÖt cïng

vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng thø ba th× chóng song song víi nhau

a c

a / / bb c

⊥ =>

⊥

- Mét ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi mét

trong hai ®−êng th¼ng song song th× nã còng vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng kia

c b

c aa / / b

⊥ => ⊥

e) Ba ®−êng th¼ng song song - Hai ®−êng th¼ng ph©n biÖt cïng

song song víi mét ®−êng th¼ng thø ba th× chóng song song víi nhau

a//c vµ b//c => a//b c

b

a

c b

a

c b

a

b

a

M

c

b

a

www.VNMATH.com



17. Gãc ngoµi cña tam gi¸c a) §Þnh nghÜa: Gãc ngoµi cña mét

tam gi¸c lµ gãc kÒ bï víi mét gãc cña tam gi¸c Êy

b) TÝnh chÊt: Mçi gãc ngoµi cña tam gi¸c b»ng tæng hai gãc trong kh«ng kÒ víi nã

� � �ACx A B= +

18. Hai tam gi¸c b»ng nhau a) §Þnh nghÜa: Hai tam gi¸c b»ng

nhau lµ hai tam gi¸c cã çc c¹nh t−¬ng øng b»ng nhau, çc gãc t−¬ng øng b»ng nhau

� � � � � �

ABC A 'B 'C 'AB A 'B '; AC A 'C'; BC B'C'

A A '; B B '; C C'

∆ = ∆= = =

⇔ = = =

b) Çc tr−êng hîp b»ng nhau cña hai tam gi¸c *) Tr−êng hîp 1: C¹nh - C¹nh - C¹nh

(c.c.c) - NÕu ba c¹nh cña tam gi¸c nµy b»ng ba

c¹nh cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ã b»ng nhau NÕu ABC vµ A'B'C' cã:AB A 'B '

AC A 'C' ABC A 'B 'C'(c.c.c)

BC B'C'

∆ ∆=

= => ∆ = ∆

=

C' B'

A' C B

A

CB'

A' C B

x C B

A

A

www.VNMATH.com

7

7


N¨m häc 2011 - 2015


*) Tr−êng hîp 2: C¹nh - Gãc - C¹nh (c.g.c)

- NÕu hai c¹nh vµ gãc xen gi÷a cña tam gi¸c nµy b»ng hai c¹nh vµ gãc xen gi÷a cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ã b»ng nhau

� �

NÕu ABC vµ A'B'C' cã:AB A 'B '

B B ' ABC A 'B 'C'(c.g.c)

BC B'C'

∆ ∆=

= => ∆ = ∆

=

*) Tr−êng hîp 3: Gãc - C¹nh - Gãc (g.c.g) - NÕu mét c¹nh vµ hai gãc kÒ cña tam

gi¸c nµy b»ng mét c¹nh vµ hai gãc kÒ cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ã b»ng nhau

� �

� �

NÕu ABC vµ A'B'C' cã:B B'

BC B'C' ABC A 'B 'C'(g.c.g )

C C'

∆ ∆=

= => ∆ = ∆

=

c) C¸c tr−êng hîp b»ng nhau cña hai tam gi¸c vu«ng

� Tr−êng hîp 1: NÕu hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng nµy b»ng hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau.

� Tr−êng hîp 2: NÕu mét c¹nh gãc vu«ng vµ mét gãc nhän kÒ c¹nh

Êy cña tam gi¸c vu«ng nµy b»ng mét c¹nh gãc vu«ng vµ mét gãc

C'

B'

A' C

B

A

A

B C A'

B' C'

C' B'

A' C B

A

www.VNMATH.com



nhän kÒ c¹nh Êy cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau.

� Tr−êng hîp 3: NÕu c¹nh huyÒn vµ mét gãc nhän cña tam gi¸c

vu«ng nµy b»ng c¹nh huyÒn vµ mét gãc nhän cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau.

� Tr−êng hîp 4: NÕu c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng cña tam

gi¸c vu«ng nµy b»ng c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau.

19. Quan hÖ gi÷a c¸c yÕu tè trong tam

gi¸c (quan hÖ gi÷a gãc vµ c¹nh ®èi diÖn trong tam gi¸c)

- Trong mét tam gi¸c, gãc ®èi diÖn víi c¹nh lín h¬n lµ gãc lín h¬n

� �ABC : NÕu AC > AB th× B > C∆ � Trong mét tam gi¸c, c¹nh ®èi diÖn víi gãc lín h¬n th× lín h¬n

� �ABC : NÕu B > C th× AC > AB∆

A

B

C A'

B'

C'

C'

B'

A'C

B

A

C'

B'

A' C

B

A

A

B C

www.VNMATH.com

9

9


N¨m häc 2011 - 2015


20. Quan hÖ gi÷a ®−êng vu«ng gãc vµ ®−êng xiªn, ®−êng xiªn vµ h×nh chiÕu

� Kh¸i niÖm ®−êng vu«ng gãc, ®−êng xiªn, h×nh chiÕu cña ®−êng xiªn

- LÊy A d, kÎ AH d, lÊy B d vµ B H. Khi ®ã∉ ⊥ ∈ ≠ : - §o¹n th¼ng AH gäi lµ ®−êng vu«ng

gãc kÎ tõ A ®Õn ®−êng th¼ng d - §iÓm H gäi lµ h×nh chiÕu cña A trªn

®−êng th¼ng d - §o¹n th¼ng AB gäi lµ mét ®−êng xiªn

kÎ tõ A ®Õn ®−êng th¼ng d - §o¹n th¼ng HB gäi lµ h×nh chiÕu cña

®−êng xiªn AB trªn ®.th¼ng d � Quan hÖ gi÷a ®−êng xiªn vµ ®−êng vu«ng gãc:

Trong c¸c ®−êng xiªn vµ ®−êng vu«ng gãc kÎ tõ mét ®iÓm ë ngoµi mét ®−êng th¼ng ®Õn ®−êng th¼ng ®ã, ®−êng vu«ng gãc lµ ®−êng ng¾n nhÊt.

� Quan hÖ gi÷a ®−êng xiªn vµ h×nh chiÕu: Trong hai ®−êng xiªn kÎ tõ mét ®iÓm n»m ngoµi mét ®−êng th¼ng ®Õn ®−êng th¼ng ®ã, th×:

� §−êng xiªn nµo cã h×nh chiÕu lín h¬n th× lín h¬n � §−êng xiªn nµo lín h¬n th× cã h×nh chiÕu lín h¬n � NÕu hai ®−êng xiªn b»ng nhau th× hai h×nh chiÕu b»ng nhau vµ

ng−îc l¹i, nÕu hai h×nh chiÕu b»ng nhau th× hai ®−êng xiªn b»ng nhau.

21. Quan hÖ gi÷a ba c¹nh cña mét tam gi¸c. BÊt ®¼ng thøc tam gi¸c

- Trong mét tam gi¸c, tæng ®é dµi hai c¹nh bÊt k× bao giê còng lín h¬n

®é dµi c¹nh cßn l¹i.

AB + AC > BC AB + BC > AC AC + BC > AB

- Trong mét tam gi¸c, hiÖu ®é dµi hai c¹nh bÊt k× bao giê còng nhá h¬n

®é dµi c¹nh cßn l¹i. AC - BC < AB AB - BC < AC AC - AB < BC

- NhËn xÐt : Trong mét tam gi¸c, ®é dµi mét c¹nh bao giê còng lín h¬n

C B

A

d

B H

A

www.VNMATH.com



hiÖu vµ nhá h¬n tæng ®é dµi hai c¹nh cßn l¹i. VD: AB - AC < BC < AB + AC

www.VNMATH.com

11

11


N¨m häc 2011 - 2015


21. TÝnh chÊt ba ®−êng trung tuyÕn cña tam gi¸c - Ba ®−êng trung tuyÕn cña mét tam gi¸c cïng ®i qua mét ®iÓm. §iÓm ®ã çch mçi

®Ønh mét kho¶ng b»ng 23 ®é dµi ®−êng

trung tuyÕn ®i qua ®Ønh Êy: GA GB GC 2DA EB FC 3

= = =

G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC 22. TÝnh chÊt ba ®−êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c - Ba ®−êng ph©n gi¸c cña mét tam gi¸c cïng ®i qua mét ®iÓm. §iÓm nµy çch ®Òu ba c¹nh cña tam gi¸c ®ã - §iÓm O lµ t©m ®−êng trßn néi

tiÕp tam gi¸c ABC

23. TÝnh chÊt ba ®−êng trung trùc cña tam gi¸c - Ba ®−êng trung trùc cña mét tam gi¸c cïng ®i qua mét ®iÓm. §iÓm nµy çch ®Òu ba ®Ønh cña tam gi¸c ®ã

- §iÓm O lµ t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC

24. Ph−¬ng ph¸p chøng minh mét sè bµi to¸n c¬ b¶n

(sö dông mét trong çc çch sau ®©y) a) Chøng minh tam gi¸c c©n

1. Chøng minh tam gi¸c cã hai c¹nh b»ng nhau 2. Chøng minh tam gi¸c cã hai gãc b»ng nhau 3. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ®−êng trung tuyÕn võa lµ ®−êng cao 4. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ®−êng cao võa lµ ®−êng ph©n gi¸c ë

®Ønh b) Chøng minh tam gi¸c ®Òu

1. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ba c¹nh b»ng nhau 2. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ba gãc b»ng nhau 3. Chøng minh tam gi¸c c©n cã mét gãc lµ 600

c) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh b×nh hµnh 1. Tø gi¸c cã çc c¹nh ®èi song song lµ h×nh b×nh hµnh 2. Tø gi¸c cã çc c¹nh ®èi b»ng nhau lµ h×nh b×nh hµnh

O

C B

A

O

C B

A

G

D

F E

C B

A

www.VNMATH.com



3. Tø gi¸c cã hai c¹nh ®èi song song vµ b»ng nhau lµ h×nh b×nh hµnh 4. Tø gi¸c cã c¸c gãc ®èi b»ng nhau lµ h×nh b×nh hµnh 5. Tø gi¸c cã hai ®−êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®−êng

lµ h×nh b×nh hµnh d) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh thang: Ta chøng minh tø gi¸c ®ã cã hai c¹nh ®èi song song e) Chøng minh mét h×nh thang lµ h×nh thang c©n 1. Chøng minh h×nh thang cã hai gãc kÒ mét ®¸y b»ng nhau 2. Chøng minh h×nh thang cã hai ®−êng chÐo b»ng nhau f) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh ch÷ nhËt 1. Tø gi¸c cã ba gãc vu«ng lµ h×nh ch÷ nhËt 2. H×nh thanh c©n cã mét gãc vu«ng lµ h×nh ch÷ nhËt 3. H×nh b×nh hµnh cã mét gãc vu«ng lµ h×nh ch÷ nhËt 4. H×nh b×nh hµnh cã hai ®−êng chÐo b»ng nhau lµ h×nh ch÷ nhËt g) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh thoi 1. Tø gi¸c cã bèn c¹nh b»ng nhau 2. H×nh b×nh hµnh cã hai c¹nh kÒ b»ng nhau 3. H×nh b×nh hµnh cã hai ®−êng chÐo vu«ng gãc víi nhau 4. H×nh b×nh hµnh cã mét ®−êng chÐo lµ ®−êng ph©n gi¸c cña mét

gãc h) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh vu«ng 1. H×nh ch÷ nhËt cã hai c¹nh kÒ b»ng nhau 2. H×nh ch÷ nhËt cã hai ®−êng chÐo vu«ng gãc 3. H×nh ch÷ nhËt cã mét ®−êng chÐo lµ ®−êng ph©n gi¸c cña mét gãc 4. H×nh thoi cã mét gãc vu«ng 5. H×nh thoi cã hai ®−êng chÐo b»ng nhau 25. §−êng trung b×nh cña tam gi¸c, cña h×nh thang a) §−êng trung b×nh cña tam gi¸c

� §Þnh nghÜa: §−êng trung b×nh cña tam gi¸c lµ ®o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm hai c¹nh cña tam gi¸c

� §Þnh lÝ: §−êng trung b×nh cña tam gi¸c th× song song víi c¹nh thø ba vµ b»ng nöa c¹nh Êy

DE lµ ®−êng trung b×nh cña tam gi¸c

1DE / /BC, DE BC2

=

E

C B

D

A

www.VNMATH.com

13

13


N¨m häc 2011 - 2015


b) §−êng trung b×nh cña h×nh thang � §Þnh nghÜa: §−êng trung b×nh cña h×nh thang lµ ®o¹n th¼ng nèi

trung ®iÓm hai c¹nh bªn cña h×nh thang � §Þnh lÝ: §−êng trung b×nh cña h×nh thang th× song song víi hai

®¸y vµ b»ng nöa tæng hai ®¸y EF lµ ®−êng trung b×nh cña

h×nh thang ABCD

EF//AB, EF//CD, AB CDEF2+=

26. Tam gi¸c ®ång d¹ng a) §Þnh lÝ Ta_lÐt trong tam gi¸c: - NÕu mét ®−êng th¼ng song song víi mét c¹nh cña tam gi¸c vµ c¾t hai c¹nh cßn l¹i th× nã ®Þnh ra trªn hai c¹nh ®ã nh÷ng ®o¹n th¼ng t−¬ng øng tØ lÖ

AC'AB 'B 'C'/ /BC ;AB AC

AC' C'CAB ' B 'B;B 'B C'C AB AC

=> =

= =

b) §Þnh lÝ ®¶o cña ®Þnh lÝ Ta_lÐt: - NÕu mét ®−êng th¼ng c¾t hai c¹nh cña mét tam gi¸c vµ ®Þnh ra trªn hai c¹nh nµy nh÷ng ®o¹n th¼ng t−¬ng øng tØ lÖ th× ®−êng th¼ng ®ã song song víi c¹nh cßn l¹i cña tam gi¸c

VÝ dô: AC'AB' B 'C'/ /BCAB AC

= => ; C¸c tr−êng hîp kh¸c t−¬ng tù

c) HÖ qu¶ cña ®Þnh lÝ Ta_lÐt - NÕu mét ®−êng th¼ng c¾t hai c¹nh cña mét tam gi¸c vµ song song víi c¹nh cßn l¹i th× nã t¹o thµnh mét tam gi¸c míi cã ba c¹nh t−¬ng øng tØ lÖ víi ba c¹nh cña tam gi¸c ®· cho. HÖ qu¶ cßn ®óng trong tr−êng hîp ®−êng th¼ng song song víi mét c¹nh cña tam gi¸c vµ c¾t phÇn kÐo dµi

cña hai c¹nh cßn l¹i ( AC' B 'C'AB 'B 'C'/ /BCAB AC BC

=> = = )

C' B' a

C B

A

F E

D C

B A

www.VNMATH.com



d) TÝnh chÊt ®−êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c: - §−êng ph©n gi¸c trong (hoÆc ngoµi) cña mét tam gi¸c chia c¹nh ®èi diÖn thµnh hai ®o¹n tØ lÖ víi hai c¹nh kÒ cña hai ®o¹n ®ã

DB ABDC AC

= D'B ABD'C AC

=

e) §Þnh nghÜa hai tam gi¸c ®ång d¹ng : - Hai tam gi¸c ®ång d¹ng lµ hai tam gi¸c cã çc gãc t−¬ng øng b»ng nhau vµ çc c¹nh t−¬ng øng tØ lÖ

� � � � � �A A '; B B '; C C'ABC A 'B 'C' AC BCAB k(tØ sè ®ång d¹ng )

A 'B ' A 'C ' B 'C'

= = =∆ ∆ <=>

= = =

f) §Þnh lÝ vÒ hai tam gi¸c ®ång d¹ng: - NÕu mét ®−êng th¼ng c¾t hai c¹nh cña mét tam gi¸c vµ song song víi c¹nh cßn l¹i th× nã t¹o thµnh mét tam gi¸c míi ®ång d¹ng víi tam gi¸c ®· cho

MN / /BC AMN ABC=> ∆ ∆

*) L−u ý: §Þnh lÝ còng ®óng ®èi víi

tr−êng hîp ®−êng th¼ng c¾t phÇn kÐo dµi hai c¹nh cña tam gi¸c vµ song song víi c¹nh cßn l¹i

g) Çc tr−êng hîp ®ång d¹ng cña hai tam gi¸c

a N M

C B

A

D' C

B

A

D C B

A

C' B' a

C B

A

C' B' a

C B

A

S

S

www.VNMATH.com

15

15


N¨m häc 2011 - 2015


*)Tr−êng hîp 1: NÕu ba c¹nh cña tam gi¸c nµy tØ lÖ víi ba c¹nh cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ã ®ång d¹ng.

NÕu ABC vµ A'B'C' cã:

AC BCAB ABC A 'B 'C'(c.c.c)A 'B ' A 'C' B 'C'

∆ ∆

= = => ∆ ∆

*)Tr−êng hîp 2: NÕu hai c¹nh cña tam gi¸c nµy tØ lÖ víi hai c¹nh cña tam gi¸c kia vµ hai gãc t¹o bëi c¸c c¹nh ®ã b»ng nhau th× hai tam gi¸c ®ång d¹ng

� �

NÕu ABC vµ A'B'C' cã:BCAB

A 'B ' B 'C' ABC A 'B 'C'(c.g.c)B B'

∆ ∆=

=> ∆ ∆=

*)Tr−êng hîp 3: NÕu hai gãc cña tam gi¸c nµy lÇn l−ît b»ng hai gãc cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ång d¹ng;

� �

� �

NÕu ABC vµ A'B'C' cã:A A '

ABC A 'B 'C'(g.g )B B'

∆ ∆=

=> ∆ ∆=

h) C¸c tr−êng hîp ®ång d¹ng cña hai tam gi¸c vu«ng

C' B'

A'

C B

A

CB'

A'

C B

A

CB'

A'

C B

A

S

S

S

www.VNMATH.com



*)Tr−êng hîp 1: NÕu hai tam gi¸c vu«ng cã mét gãc nhän b»ng nhau th× chóng ®ång d¹ng.

� �

� �

0NÕu ABC vµ A'B'C' cã:

A A ' 90ABC A 'B 'C'

C C'

∆ ∆= =

=> ∆ ∆=

*)Tr−êng hîp 2: NÕu hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng nµy tØ lÖ víi hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c ®ã ®ång d¹ng.

Hai tam gi¸c vu«ng ABC vµ A'B'C' cã:

ACAB ABC A 'B 'C'A 'B ' A 'C'

= => ∆ ∆

*)Tr−êng hîp 3: NÕu c¹nh gãc vu«ng vµ c¹nh huyÒn cña tam gi¸c vu«ng nµy tØ lÖ víi c¹nh gãc vu«ng vµ c¹nh huyÒn cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai gi¸c ®ã ®ång d¹ng.

Hai tam gi¸c vu«ng ABC vµ A'B'C' cã:BCAB ABC A 'B 'C'

A 'B ' B 'C'= => ∆ ∆

27. TØ sè hai ®−êng cao, tØ sè diÖn tÝch cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng

- TØ sè hai ®−êng cao t−¬ng øng cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng b»ng tØ sè ®ång d¹ng

- TØ s« diÖn tÝch cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng b»ng b×nh ph−¬ng tØ sè ®ång d¹ng

- Cô thÓ : A 'B 'C' ABC theo tØ sè k∆ ∆

C'

B'

A' C

B

A

C'

B'

A’ C

B

A

S

S S

S

www.VNMATH.com

17

17


N¨m häc 2011 - 2015


=> 2A 'B'C'

ABC

SA 'H' k vµ kAH S

= =

28. DiÖn tÝch c¸c h×nh

.S a b= 2S a=

1S ah2

= 1S ah2

=

1S ah2

=

1S (a b)h EF.h2

= + =

. . .sin= =S a h a b α 1 21S d d2

= ⋅

Chó ý: 1. DiÖn tÝch ®a gi¸c ®Òu n c¹nh, mçi c¹nh cã ®é dµi b»ng a ®−îc tÝnh

theo c«ng thøc S = 14

.na 224 aR − (R lµ b¸n kÝnh ®−êng trßn ngo¹i

tiÕp ®a gi¸c ®Òu )

2. Diện tích tam giác:

s ABC∆ = 12

.a.ha = 12

a.b.sinC = p.r = R

abc

4 = ))()(( cpbpapp −−−

+) a, b, c là độ dài các cạnh tương ứng

+) ha là độ dài đường cao ứng với cạnh a

+) C là độ lớn của góc xen giữa hai cạnh a, b

+) p là nửa chu vi của tam giác

+) r là độ dài bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

+) R là độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. 29. Häc sinh cÇn n¾m v÷ng c¸c bµi to¸n dùng h×nh c¬ b¶n

d1 d2 h

a b α

h

a F E

b

h a

h

a a a

b h

a

www.VNMATH.com



(dïng th−íc th¼ng, th−íc ®o ®é, th−íc cã chia kho¶ng, compa, ªke) a) Dùng mét ®o¹n th¼ng b»ng mét ®o¹n th¼ng cho tr−íc; b) Dùng mét gãc b»ng mét gãc cho tr−íc; c) Dùng ®−êng trung trùc cña mét ®o¹n th¼ng cho tr−íc, dùng trung

®iÓm cña mét ®o¹n th¼ng cho tr−íc; d) Dùng tia ph©n gi¸c cña mét gãc cho tr−íc; e) Qua mét ®iÓm cho tr−íc, dùng ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi mét ®−êng

th¼ng cho tr−íc; f) Qua mét ®iÓm n»m ngoµi mét ®−êng th¼ng cho tr−íc, dùng ®−êng

th¼ng song song víi mét ®−êng th¼ng cho tr−íc; g) Dùng tam gi¸c biÕt ba c¹nh, hoÆc biÕt hai c¹nh kÒ vµ gãc xen gi÷a,

hoÆc biÕt mét c¹nh vµ hai gãc kÒ.

30. HÖ thøc l−îng trong tam gi¸c vu«ng (líp 9) a) Mét sè hÖ thøc vÒ c¹nh vµ ®−êng cao trong tam gi¸c vu«ng

� 2b ab'=

� 2c ac '=

� 2 2 2a b c= + (Pi_ta_go)

� bc = ah �

2h b'c '=

� 2 2 21 1 1

b c h+ =

b) TØ sè l−îng gi¸c cña gãc nhän � §Þnh nghÜa c¸c tØ sè l−îng gi¸c cña gãc nhän

c¹nh ®èisin

c¹nh huyÒnα = c¹nh kÒ

cosc¹nh huyÒn

α =

c¹nh ®èitg

c¹nh kÒα = c¹nh kÒ

cotgc¹nh ®èi

α = � Mét sè tÝnh chÊt cña c¸c tØ sè l−îng gi¸c

+) §Þnh lÝ vÒ tØ sè l−îng gi¸c cña hai gãc phô nhau Cho hai gãc α vµ β phô nhau. Khi ®ã: sinα = cosβ; tgα = cotgβ; cosα = sinβ; cotgα = tgβ. +) Cho 0 00 90< α < . Ta cã: 2 20 sin 1; 0 cos 1; sin cos 1< α < < α < α + α =

sin costg ; cotg ; tg .cotg 1cos sin

α αα = α = α α =α α

a H

h

b'

b

c'

c

C B

A

α

www.VNMATH.com

19

19


N¨m häc 2011 - 2015


� So s¸nh c¸c tØ sè l−îng gi¸c 0 0

1 2 1 2 1 2 1 2 1 20 90 sin sin ;cos cos ;tg tg ;cotg cotg< α < α < => α < α α > α α < α α > α c) Mét sè hÖ thøc vÒ c¹nh vµ gãc trong tam gi¸c vu«ng

b = a.sinB; c = a.sinC b = a.cosC; c = a.cosB b = c.tgB; c = b.tgC b = c.cotgC; c = b.cotgB

=> a = b c b csinB sinC cosC cosB

= = =

31. §−êng trßn, h×nh trßn, gãc ë t©m, sè ®o cung

www.VNMATH.com



- §−êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R lµ h×nh gåm çc ®iÓm çch O mét kho¶ng b»ng R, kÝ hiÖu (O ; R). - H×nh trßn lµ h×nh gåm çc ®iÓm n»m trªn ®−êng trßn vµ çc ®iÓm n»m bªn trong ®−êng trßn ®ã. - Trªn h×nh vÏ: +) Çc ®iÓm A, B, C, D n»m trªn (thuéc) ®−êng trßn; OA = OB = OC = OD = R. +) M n»m bªn trong ®−êng trßn; OM < R +) N n»m bªn ngoµi ®−êng trßn; ON > R +) §o¹n th¼ng AB lµ d©y cung (d©y) +) CD = 2R, lµ ®−êng kÝnh (d©y cung lín nhÊt, d©y ®i qua t©m) +) �AmB lµ cung nhá ( 0 00 180< α < ) +) �AnB lµ cung lín +) Hai ®iÓm A, B lµ hai mót cña cung - Gãc cã ®Ønh trïng víi t©m ®−êng trßn ®−îc gäi lµ gãc ë t©m (�AOB lµ gãc ë t©m ch¾n cung nhá AmB) - Gãc bÑt COD ch¾n nöa ®−êng trßn - Sè ®o cung: +) Sè ®o cña cung nhá b»ng sè ®o cña gãc ë t©m ch¾n cung ®ã

�s®AmB = α ( 0 00 180< α < ) +) Sè ®o cña cung lín b»ng hiÖu gi÷a 3600 vµ sè ®o cña cung nhá (cã chung hai mót víi cung lín)

� 0s®AnB 360= − α +) Sè ®o cña nöa ®−êng trßn b»ng 1800, sè ®o cña c¶ ®−êng trßn b»ng 3600

32. Quan hÖ vu«ng gãc gi÷a ®−êng kÝnh vµ d©y - Trong mét ®−êng trßn, ®−êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y th× ®i qua trung ®iÓm cña d©y Êy

AB CD⊥ t¹i H => HC = HD - Trong mét ®−êng trßn, ®−êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y kh«ng ®i qua t©m th× vu«ng gãc víi d©y Êy

33. Liªn hÖ gi÷a d©y vµ kho¶ng çch tõ t©m ®Õn d©y

α

0180α =

0 00 180< α <

www.VNMATH.com

21

21


N¨m häc 2011 - 2015


§Þnh lÝ 1: Trong mét ®−êng trßn a) Hai d©y b»ng nhau th× çch ®Òu t©m b) Hai d©y çch ®Òu t©m th× b»ng nhau

AB = CD => OH = OK OH = OK => AB = CD

§Þnh lÝ 2: Trong hai d©y cña mét ®−êng trßn a) D©y nµo lín h¬n th× d©y ®ã gÇn t©m h¬n b) D©y nµo gÇn t©m h¬n th× d©y ®ã lín h¬n

AB < CD => OH > OK OH > OK => AB < CD

34. VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña ®−êng th¼ng vµ ®−êng trßn a) §−êng th¼ng vµ ®−êng trßn c¾t nhau (cã hai ®iÓm chung) - §−êng th¼ng a gäi lµ çt tuyÕn cña (O)

d = OH < R vµ HA = HB = 2 2R OH−

b) §−êng th¼ng vµ ®−êng trßn tiÕp xóc nhau (cã mét ®iÓm chung) - §−êng th¼ng a lµ tiÕp tuyÕn cña (O) - §iÓm chung H lµ tiÕp ®iÓm

d = OH = R *) TÝnh chÊt tiÕp tuyÕn: NÕu mét ®−êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn cña mét ®−êng trßn th× nã vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua tiÕp ®iÓm.

a lµ tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i H => a OH⊥

c) §−êng th¼ng vµ ®−êng trßn kh«ng giao nhau (kh«ng cã ®iÓm chung)

d = OH > R

35. DÊu hiÖu nhËn biÕt tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn - §Ó nhËn biÕt mét ®−êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn cña mét ®−êng trßn ta cã hai dÊu hiÖu sau:

� DÊu hiÖu 1: §−êng th¼ng vµ ®−êng trßn chØ cã mét ®iÓm chung (®Þnh nghÜa tiÕp tuyÕn)

� DÊu hiÖu 2: §−êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm cña ®−êng trßn vµ vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua ®iÓm ®ã

www.VNMATH.com



( )H O a lµ tiÕp tuyÕn cña (O)

a OH t¹i H

∈ =>

⊥

36. TÝnh chÊt cña hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau; ®−êng trßn néi tiÕp, bµng tiÕp tam gi¸c a) §Þnh lÝ: NÕu hai tiÕp tuyÕn cña mét ®−êng trßn c¾t nhau t¹i mét ®iÓm th×:

� §iÓm ®ã çch ®Òu hai tiÕp ®iÓm � Tia kÎ tõ ®iÓm ®ã ®i qua t©m lµ

tia ph©n gi¸c cña gãc t¹o bëi hai tiÕp tuyÕn

� Tia kÎ tõ t©m ®i qua ®iÓm ®ã lµ tia ph©n gi¸c cña gãc t¹o bëi hai b¸n kÝnh ®i qua çc tiÕp ®iÓm.

� �AB AC;OAB OAC= = ;� �AOB AOC=

b) §−êng trßn nét tiÕp tam gi¸c - §−êng trßn tiÕp xóc víi ba c¹nh cña tam gi¸c ®−îc gäi lµ ®−êng trßn néi tiÕp tam gi¸c, khi ®ã tam gi¸c gäi lµ tam gi¸c ngo¹i tiÕp ®−êng trßn - T©m cña ®−êng trßn néi tiÕp tam gi¸c lµ giao ®iÓm cña çc ®−êng ph©n gi¸c çc gãc trong cña tam gi¸c

c) §−êng trßn bµng tiÕp tam gi¸c - §−êng trßn tiÕp xóc víi mét c¹nh cña mét tam gi¸c vµ tiÕp xóc víi çc phÇn kÐo dµi cña hai c¹nh kia gäi lµ ®−êng trßn bµng tiÕp tam gi¸c - T©m cña ®−êng trßn bµng tiÕp lµ giao ®iÓm cña hai ®−êng ph©n gi¸c çc gãc ngoµi t¹i hai ®Ønh nµo ®ã hoÆc lµ giao ®iÓm cña mét ®−êng ph©n gi¸c gãc trong vµ mét ®−êng ph©n gi¸c gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh

- Víi mét tam gi¸c cã ba ®−êng

trßn bµng tiÕp (h×nh vÏ lµ ®−êng trßn bµng tiÕp trong gãc A)

37. VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña hai ®−êng trßn, tiÕp tuyÕn chung cña hai ®−êng trßn.

www.VNMATH.com

23

23


N¨m häc 2011 - 2015


a) Hai ®−êng trßn c¾t nhau (cã hai ®iÓm chung)

- Hai ®iÓm A, B lµ hai giao ®iÓm - §o¹n th¼ng AB lµ d©y chung

R - r < OO' < R + r - §−êng th¼ng OO’ lµ ®−êng nèi t©m, ®o¹n th¼ng OO’ lµ ®o¹n nèi t©m *) TÝnh chÊt ®−êng nèi t©m: §−êng nèi t©m lµ ®−êng trung trùc cña d©y chung

b) Hai ®−êng trßn tiÕp xóc nhau (cã mét ®iÓm chung)

- §iÓm chung A gäi lµ tiÕp ®iÓm +) TiÕp xóc ngoµi t¹i A:

OO' R r= +

+) TiÕp xóc trong t¹i A:

OO' R r= −

c) Hai ®−êng trßn kh«ng giao nhau

(kh«ng cã ®iÓm chung) +) ë ngoµi nhau:

OO' R r> +

+) §ùng nhau:

OO' R r< −

+) §Æc biÖt (O) vµ (O’) ®ång t©m:

OO' 0=

d) TiÕp tuyÕn chung cña hai ®−êng trßn

www.VNMATH.com



- TiÕp tuyÕn chung cña hai ®−êng trßn lµ ®−êng th¼ng tiÕp xóc víi c¶ hai ®−êng trßn ®ã - TiÕp tuyÕn chung ngoµi kh«ng c¾t ®o¹n nèi t©m - TiÕp tuyÕn chung trong c¾t ®o¹n nèi t©m

38. So s¸nh hai cung trong mét ®−êng trßn hay trong hai ®−êng trßn b»ng nhau. - Hai cung ®−îc gäi lµ b»ng nhau nÕu chóng cã sè ®o b»ng nhau - Trong hai cung, cung nµo cã sè ®o lín h¬n ®−îc gäi lµ cung lín h¬n - KÝ hiÖu: � � � � � �AB CD; EF GH GH EF= > <=> < 39. Liªn hÖ gi÷a cung vµ d©y. *) §Þnh lÝ 1: Víi hai cung nhá trong mét ®−êng trßn hay trong hai ®−êng trßn b»ng nhau: a) Hai cung b»ng nhau c¨ng hai d©y b»ng nhau b) Hai d©y b»ng nhau c¨ng hai cung b»ng nhau � � � �AB CD AB CD ; AB CD AB CD= => = = => =

*) §Þnh lÝ 2: Víi hai cung nhá trong mét ®−êng trßn hay trong hai ®−êng trßn b»ng nhau: a) Cung lín h¬n c¨ng d©y lín h¬n b) D©y lín h¬n c¨ng cung lín h¬n � � � �AB CD AB CD ; AB CD AB CD> => > > => >

40. Gãc néi tiÕp a) §Þnh nghÜa: - Gãc néi tiÕp lµ gãc cã ®Ønh n»m trªn ®−êng trßn vµ hai c¹nh chøa hai d©y cung cña ®−êng trßn ®ã. - Cung n»m bªn trong gãc ®−îc gäi lµ cung bÞ ch¾n b) §Þnh lÝ: Trong mét ®−êng trßn, sè ®o cña gãc néi tiÕp b»ng nöa sè ®o cña cung bÞ ch¾n

�BAC lµ gãc néi tiÕp ch¾n cung nhá BC(h×nh a) vµ ch¾n cung lín BC(h×nh b)

� 1BAC

2= s® �BC

c) HÖ qu¶: Trong mét ®−¬ng trßn +) Çc gãc néi tiÕp b»ng nhau ch¾n çc cung b»ng nhau +) Çc gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung hoÆc ch¾n çc cung b»ng nhau th× b»ng nhau

www.VNMATH.com

25

25


N¨m häc 2011 - 2015


+) Gãc néi tiÕp (nhá h¬n hoÆc b»ng 900) cã sè ®o b»ng nöa sè ®o cña gãc ë t©m cïng ch¾n mét cung +) Gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn lµ gãc vu«ng.

41. Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung a) Kh¸i niÖm: - Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung lµ gãc cã ®Ønh n»m trªn ®−êng trßn, mét c¹nh lµ mét tia tiÕp tuyÕn cßn c¹nh kia chøa d©y cung cña ®−êng trßn - Cung n»m bªn trong gãc lµ cung bÞ ch¾n - H×nh vÏ:

� �BAx ch¾n cung nhá AmB

� �BAy ch¾n cung lín AnB

b) §Þnh lÝ: - Sè ®o cña gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung b»ng nöa sè ®o cña cung bÞ ch¾n c) HÖ qu¶: Trong mét ®−êng trßn, gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung vµ gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng nhau.

�BAx � 1ACB

2= = s®�AmB

� �

� �

1BAx s®AmB21BAy s®AnB2

=

=

42. Gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®−êng trßn. Gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi ®−êng trßn. a) Gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®−êng trßn. - Gãc cã ®Ønh n»m bªn trong ®−êng trßn ®−îc gäi lµ gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®−êng trßn - H×nh vÏ: �BEC lµ gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®−êng trßn ch¾n hai cung lµ � �BnC , AmD - Sè ®o cña gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®−êng trßn b»ng nöa tæng sè ®o hai cung bÞ ch¾n

�� s®BnC s®AmDBEC

2+=

n

m

o

e

c

b

ad

www.VNMATH.com



b) Gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi ®−êng trßn. - Gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi ®−êng trßn lµ gãc cã ®Ønh n»m ngoµi ®−êng trßn vµ çc c¹nh ®Òu cã ®iÓm chung víi ®−êng trßn - Hai cung bÞ ch¾n lµ hai cung n»m bªn trong gãc, h×nh vÏ bªn: �BEC lµ gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi ®−êng trßn, cã hai cung bÞ ch¾n lµ � �AmD vµ BnC - Sè ®o cña gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi ®−êng trßn b»ng nöa hiÖu sè ®o hai cung bÞ ch¾n

�� s®BnC s®AmDBEC

2−=

43. KÕt qu¶ bµi to¸n quü tÝch cung chøa gãc a) Bµi to¸n: Víi ®o¹n th¼ng AB vµ gãc α

( 0 00 180< α < ) cho tr−íc th× quü tÝch çc ®iÓm M tháa m·n �AMB = α lµ hai cung chøa gãc α dùng trªn ®o¹n th¼ng AB - Hai cung chøa gãc α dùng trªn ®o¹n th¼ng AB ®èi xøng víi nhau qua AB - Khi α = 900 th× hai cung chøa gãc lµ hai nöa ®−êng trßn ®−êng kÝnh AB, suy ra: Quü tÝch çc ®iÓm nh×n ®o¹n th¼ng AB cho tr−íc d−íi mét gãc vu«ng lµ ®−êng trßn ®−êng kÝnh AB (¸p dông kiÕn thøc nµy ®Ó chøng minh tø gi¸c néi tiÕp)

1

2

3

E

O

D

B

C

A m

n

www.VNMATH.com

27

27


N¨m häc 2011 - 2015


b) Çch vÏ cung chøa gãc α - VÏ ®−êng trung trùc d cña ®o¹n th¼ng AB. - VÏ tia Ax t¹o víi AB mét gãc α ( �BAx =α ) - VÏ tia Ay vu«ng gãc víi tia Ax . Gäi O lµ giao ®iÓm cña Ay víi d - VÏ cung AmB, t©m O b¸n kÝnh OA sao cho cung nµy n»m ë nöa mÆt ph¼ng bê AB kh«ng chøa tia Ax.

c) Çch gi¶i bµi to¸n quü tÝch Muèn chøng minh quü tÝch (hay tËp hîp) çc ®iÓm M tháa m·n tÝnh chÊt T lµ mét h×nh H nµo ®ã, ta chøng minh hai phÇn: PhÇn thuËn: Mäi ®iÓm cã tÝnh chÊt T ®Òu thuéc h×nh H PhÇn ®¶o: Mäi ®iÓm thuéc h×nh H ®Òu cã tÝnh chÊt T KÕt luËn: Quü tÝch (hay tËp hîp) çc ®iÓm M cã tÝnh chÊt T lµ h×nh H 44. Tø gi¸c néi tiÕp a) Kh¸i niÖm tø gi¸c néi tiÕp - Mét tø gi¸c cã bèn ®Ønh n»m trªn mét ®−êng trßn ®−îc gäi lµ tø gi¸c néi tiÕp ®−êng trßn (gäi t¾t lµ tø gi¸c néi tiÕp) b) §Þnh lÝ: - Trong mét tø gi¸c néi tiÕp, tæng sè ®o hai gãc ®èi diÖn b»ng 1800

Tø gi¸c ABCD néi tiÕp (O), suy ra: � � � � 0A C B D 180+ = + =

c) DÊu hiÖu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp � Tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi b»ng 1800 � Tø gi¸c cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc trong cña ®Ønh ®èi

diÖn � Tø gi¸c cã bèn ®Ønh çch ®Òu mét ®iÓm (mµ ta cã thÓ x¸c ®Þnh

®−îc). §iÓm ®ã lµ t©m cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c � Tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ nhau cïng nh×n c¹nh chøa hai ®Ønh cßn l¹i

d−íi mét gãc α L−u ý: §Ó chøng minh mét tø gi¸c lµ tø gi¸c néi tiÕp ta cã thÓ chøng minh tø gi¸c ®ã lµ mét trong çc h×nh : H×nh ch÷ nhËt, h×nh vu«ng, h×nh thang c©n.

45. §−êng trßn ngo¹i tiÕp. §−êng trßn néi tiÕp

www.VNMATH.com



- §−êng trßn ®i qua tÊt c¶ c¸c ®Ønh cña mét ®a gi¸c ®−îc gäi lµ ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ®a gi¸c vµ ®a gi¸c ®−îc gäi lµ ®a gi¸c néi tiÕp ®−êng trßn - §−êng trßn tiÕp xóc víi tÊt c¶ c¸c c¹nh cña mét ®a gi¸c ®−îc gäi lµ ®−êng trßn néi tiÕp ®a gi¸c vµ ®a gi¸c ®−îc gäi lµ ®a gi¸c ngo¹i tiÕp ®−êng trßn - BÊt k× ®a gi¸c ®Òu nµo còng cã mét vµ chØ mét ®−êng trßn ngo¹i tiÕp, cã mét vµ chØ mét ®−êng trßn néi tiÕp. - Trong ®a gi¸c ®Òu, t©m cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp trïng víi t©m cña ®−êng trßn néi tiÕp vµ ®−îc gäi lµ t©m cña ®a gi¸c ®Òu.

46. Mét sè ®Þnh lÝ ®−îc ¸p dông : (kh«ng cÇn chøng minh) a) §Þnh lÝ 1: +) T©m cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c vu«ng lµ trung ®iÓm cña c¹nh huyÒn +) NÕu mét tam gi¸c cã mét c¹nh lµ ®−êng kÝnh cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp th× tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c vu«ng

b) §Þnh lÝ 2: Trong mét ®−êng trßn, hai cung bÞ ch¾n gi÷a hai d©y song song th× b»ng nhau

c) §Þnh lÝ 3: Trong mét ®−êng trßn, ®−êng kÝnh ®i qua ®iÓm chÝnh gi÷a cña mét cung th× ®i qua trung ®iÓm cña d©y c¨ng cung Êy.

d) §Þnh lÝ 4: Trong mét ®−êng trßn, ®−êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y cung (kh«ng ph¶i lµ ®−êng kÝnh) th× chia cung c¨ng d©y Êy thµnh hai cung b»ng nhau

e) §Þnh lÝ 5: Trong mét ®−êng trßn, ®−êng kÝnh ®i qua ®iÓm chÝnh gi÷a cña mét cung th× vu«ng gãc víi d©y c¨ng cung Êy vµ ng−îc l¹i, ®−êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y th× ®i qua ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung c¨ng d©y Êy.

47. §é dµi ®−êng trßn, ®é dµi cung trßn, diÖn tÝch h×nh trßn, diÖn tÝch h×nh qu¹t trßn a) §é dµi ®−êng trßn C«ng thøc tÝnh ®é dµi ®−êng trßn (chu vi h×nh

I

www.VNMATH.com

29

29


N¨m häc 2011 - 2015


trßn) b¸n kÝnh R lµ: C =2 R π HoÆc C = dπ Trong ®ã: C : lµ ®é dµi ®−êng trßn R: lµ b¸n kÝnh ®−êng trßn d: lµ ®−êng kÝnh ®−êng trßn

3,1415...π ≈ lµ sè v« tØ.

b) §é dµi cung trßn

§é dµi cung trßn n0 lµ: .

180

R nl

π=

Trong ®ã: l : lµ ®é dµi cung trßn n0 R: lµ b¸n kÝnh ®−êng trßn n: lµ sè ®o ®é cña gãc ë t©m

c) DiÖn tÝch h×nh trßn 2.S Rπ=

Trong ®ã: S : lµ diÖn tÝch h×nh trßn . R : lµ b¸n kÝnh h×nh trßn .

π ≈ 3 , 14 d) DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn

2

quat

RS =

360

nπ HoÆc .

2=�

quat

RS

Trong ®ã: S lµ diÖn tÝch h×nh qu¹t trßn cung n0

R lµ b¸n kÝnh l lµ ®é dµi cung n0 cña h×nh qu¹t trßn π ≈ 3 , 14

48. Ph−¬ng ph¸p chøng minh mét sè bµi to¸n h×nh häc th−êng gÆp khi «n thi vµo THPT a) Chøng minh tam gi¸c c©n

1. Chøng minh tam gi¸c cã hai c¹nh b»ng nhau 2. Chøng minh tam gi¸c cã hai gãc b»ng nhau 3. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ®−êng trung tuyÕn võa lµ ®−êng cao 4. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ®−êng cao võa lµ ®−êng ph©n gi¸c ë

®Ønh b) Chøng minh tam gi¸c ®Òu

1. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ba c¹nh b»ng nhau 2. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ba gãc b»ng nhau 3. Chøng minh tam gi¸c c©n cã mét gãc lµ 600

c) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh b×nh hµnh 1. Tø gi¸c cã c¸c c¹nh ®èi song song lµ h×nh b×nh hµnh

www.VNMATH.com



2. Tø gi¸c cã c¸c c¹nh ®èi b»ng nhau lµ h×nh b×nh hµnh 3. Tø gi¸c cã hai c¹nh ®èi song song vµ b»ng nhau lµ h×nh b×nh hµnh 4. Tø gi¸c cã c¸c gãc ®èi b»ng nhau lµ h×nh b×nh hµnh 5. Tø gi¸c cã hai ®−êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®−êng

lµ h×nh b×nh hµnh d) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh thang: Ta chøng minh tø gi¸c ®ã cã hai c¹nh ®èi song song e) Chøng minh mét h×nh thang lµ h×nh thang c©n 1. Chøng minh h×nh thang cã hai gãc kÒ mét ®¸y b»ng nhau 2. Chøng minh h×nh thang cã hai ®−êng chÐo b»ng nhau f) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh ch÷ nhËt 1. Tø gi¸c cã ba gãc vu«ng lµ h×nh ch÷ nhËt 2. H×nh thanh c©n cã mét gãc vu«ng lµ h×nh ch÷ nhËt 3. H×nh b×nh hµnh cã mét gãc vu«ng lµ h×nh ch÷ nhËt 4. H×nh b×nh hµnh cã hai ®−êng chÐo b»ng nhau lµ h×nh ch÷ nhËt g) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh thoi 1. Tø gi¸c cã bèn c¹nh b»ng nhau 2. H×nh b×nh hµnh cã hai c¹nh kÒ b»ng nhau 3. H×nh b×nh hµnh cã hai ®−êng chÐo vu«ng gãc víi nhau 4. H×nh b×nh hµnh cã mét ®−êng chÐo lµ ®−êng ph©n gi¸c cña mét

gãc h) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh vu«ng 1. H×nh ch÷ nhËt cã hai c¹nh kÒ b»ng nhau 2. H×nh ch÷ nhËt cã hai ®−êng chÐo vu«ng gãc 3. H×nh ch÷ nhËt cã mét ®−êng chÐo lµ ®−êng ph©n gi¸c cña mét gãc 4. H×nh thoi cã mét gãc vu«ng 5. H×nh thoi cã hai ®−êng chÐo b»ng nhau

i) Chøng minh hai ®−êng th¼ng vu«ng gãc � Ph−¬ng ph¸p 1: NÕu hai gãc cña mét tam gi¸c cã tæng b»ng 900 th×

tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c vu«ng => gãc cßn l¹i b»ng 900 => hai ®−êng th¼ng chøa hai c¹nh gãc vu«ng lµ vu«ng gãc víi nhau.

� Ph−¬ng ph¸p 2: NÕu mét ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi mét trong hai ®−êng th¼ng song song th× nã còng vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng kia

� Ph−¬ng ph¸p 3: VËn dông tÝnh chÊt, nÕu mét tam gi¸c cã mét ®−êng trung tuyÕn øng víi mét c¹nh b»ng nöa c¹nh Êy th× tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c vu«ng => hai ®−êng th¼ng chøa hai c¹nh gãc vu«ng lµ vu«ng gãc víi nhau.

� Ph−¬ng ph¸p 4: VËn dông tÝnh chÊt ba ®−êng cao cña tam gi¸c, � Ph−¬ng ph¸p 5: VËn dông hai gãc kÒ phô nhau (hai gãc kÒ cã tæng

b»ng 900) � Ph−¬ng ph¸p 6: VËn dông tÝnh chÊt hai c¹nh kÒ cña h×nh ch÷

nhËt, h×nh vu«ng th× vu«ng gãc víi nhau

www.VNMATH.com

31

31


N¨m häc 2011 - 2015


� Ph−¬ng ph¸p 7: VËn dông tÝnh chÊt cña tam gi¸c c©n Trong tam gi¸c c©n, ®−êng ph©n gi¸c, ®−êng trung tuyÕn xuÊt ph¸t tõ ®Ønh ®ång thêi lµ ®−êng cao

� Ph−¬ng ph¸p 8: VËn dông tÝnh chÊt hai ®−êng chÐo cña h×nh thoi vu«ng gãc víi nhau

� Ph−¬ng ph¸p 9: VËn dông hai tam gi¸c ®ång d¹ng víi nhau (hoÆc hai tam gi¸c b»ng nhau), trong ®ã cã mét tam gi¸c vu«ng.

� Ph−¬ng ph¸p 10: VËn dông tÝnh chÊt hai tia ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï th× vu«ng gãc víi nhau

� Ph−¬ng ph¸p 11: Dùa vµo ®Þnh lÝ ®¶o cña ®Þnh lÝ Py - ta - go � Ph−¬ng ph¸p 12: Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp cã mét gãc b»ng 900,

suy ra gãc ®èi diÖn còng b»ng 900 => hai ®−êng th¼ng chøa hai c¹nh cña gãc lµ vu«ng gãc víi nhau.

� Ph−¬ng ph¸p 13: VËn dông tÝnh chÊt ®−êng nèi t©m � Ph−¬ng ph¸p 14: VËn dông ®Þnh nghÜa ®−êng trung trùc. � Ph−¬ng ph¸p 15: Sö dông tÝnh chÊt gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng

trßn b»ng 900 � Ph−¬ng ph¸p 16: Sö dông tÝnh chÊt ®−êng kÝnh cña mét ®−êng

trßn ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y cung kh«ng ®i qua t©m th× vu«ng gãc víi d©y Êy hoÆc ®−êng kÝnh cña mét ®−êng trßn ®i qua ®iÓm chÝnh gi÷a cña mét cung th× vu«ng gãc víi d©y c¨ng cung Êy

� Ph−¬ng ph¸p 17: Sö dông tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn (tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn lu«n lu«n vu«ng gãc víi b¸n kÝnh t¹i mót n»m trªn ®−êng trßn); tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn chung cña hai ®−êng trßn.

� Ph−¬ng ph¸p 18: D©y cung chung vµ ®−êng nèi t©m cña hai ®−êng trßn th× vu«ng gãc víi nhau

� Ph−¬ng ph¸p 19: Sö dông hai gãc kÒ bï b»ng nhau � Ph−¬ng ph¸p 20: Chøng minh mét tam gi¸c b»ng mét tam gi¸c

vu«ng � Ph−¬ng ph¸p 21: Sö dông tÝnh chÊt tam gi¸c c©n � Ph−¬ng ph¸p 22: Chøng minh b»ng ph¶n chøng

k) Chøng minh hai ®−êng th¼ng song song víi nhau � Ph−¬ng ph¸p 1: Chøng minh hai ®−êng th¼ng chøa hai c¹nh ®èi

cña h×nh b×nh hµnh (hoÆc h×nh ch÷ nhËt, h×nh vu«ng, h×nh thoi) � Ph−¬ng ph¸p 2: Dùa vµo dÊu hiÖu nhËn biÕt hai ®−êng th¼ng song

song: NÕu ®−êng th¼ng c c¾t hai ®−êng th¼ng a, b vµ trong c¸c gãc t¹o thµnh cã mét cÆp gãc so le trong b»ng nhau (hoÆc mét cÆp gãc ®ång vÞ b»ng nhau) th× a vµ b song song víi nhau

� Ph−¬ng ph¸p 3: Hai ®−êng th¼ng cïng song song víi ®−êng th¼ng thø ba th× song song víi nhau.

� Ph−¬ng ph¸p 4: Hai ®−êng th¼ng cïng vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng thø ba th× song song víi nhau.

www.VNMATH.com



� Ph−¬ng ph¸p 5: ¸p dông ®Þnh lÝ ®¶o cña ®Þnh lÝ Ta - lÐt � Ph−¬ng ph¸p 6: Sử dụng tính chất đường trung bình của tam

giác, hình thang � Ph−¬ng ph¸p 7: Sử dụng phương pháp chứng minh bằng phản

chứng. m) Chøng minh hai gãc b»ng nhau

� Ph−¬ng ph¸p 1: Chøng minh hai gãc ®ã lµ hai gãc t−¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau

� Ph−¬ng ph¸p 2: Chøng minh hai gãc ®ã lµ hai gãc t−¬ng øng cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng

� Ph−¬ng ph¸p 3: Chøng minh hai gãc ë vÞ trÝ ®èi ®Ønh � Ph−¬ng ph¸p 4: NÕu hai ®−êng th¼ng song song => hai gãc so le

trong b»ng nhau, hai gãc so le ngoµi b»ng nhau, hai gãc ®ång vÞ b»ng nhau.

� Ph−¬ng ph¸p 5: Chøng minh hai gãc cña cïng mét tam gi¸c c©n � Ph−¬ng ph¸p 6: Chøng minh hai gãc cña cïng mét tam gi¸c ®Òu � Ph−¬ng ph¸p 7: Chøng minh hai gãc cïng b»ng gãc thø ba � Ph−¬ng ph¸p 8: Chøng minh hai gãc b»ng víi hai gãc b»ng nhau

kh¸c � Ph−¬ng ph¸p 9: Chøng minh hai gãc cïng phô hoÆc cïng bï víi

mét gãc thø ba � Ph−¬ng ph¸p 10: Chøng minh hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét

cung hoÆc ch¾n hai cung b»ng nhau � Ph−¬ng ph¸p 11: Chøng minh hai gãc cã sè ®o b»ng nhau. � Ph−¬ng ph¸p 12: Chøng minh hai gãc b»ng tæng (hiÖu) hai gãc

t−¬ng øng b»ng nhau � Ph−¬ng ph¸p 13: Chøng minh hai gãc ®ã lµ hai gãc ë ®¸y cña

h×nh thang c©n � Ph−¬ng ph¸p 14: Sö dông tÝnh chÊt vÒ gãc cña h×nh b×nh hµnh � Ph−¬ng ph¸p 15: Sö dông ®Þnh nghÜa tia ph©n gi¸c cña mét gãc � Ph−¬ng ph¸p 16: Sö dông c¸c gãc b»ng nhau cho tr−íc vµ biÕn ®æi � Ph−¬ng ph¸p 17: Sö dông ph−¬ng ph¸p chøng minh b»ng ph¶n

chøng � Ph−¬ng ph¸p 18: Sử dụng hàm số lượng giác sin, c«sin, tang,

c«tang. n) Chøng minh hai ®o¹n th¼ng b»ng nhau

� Ph−¬ng ph¸p 1: Chøng minh hai ®o¹n th¼ng lµ hai c¹nh t−¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau

� Ph−¬ng ph¸p 2: Sö dông tÝnh chÊt hai ®−êng chÐo cña h×nh b×nh hµnh, h×nh ch÷ nhËt, h×nh vu«ng c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®−êng

www.VNMATH.com

33

33


N¨m häc 2011 - 2015


� Ph−¬ng ph¸p 3: VËn dông tÝnh chÊt hai c¹nh bªn cña tam gi¸c c©n b»ng nhau

� Ph−¬ng ph¸p 4: VËn dông tÝnh chÊt ba c¹nh cña tam gi¸c ®Òu b»ng nhau

� Ph−¬ng ph¸p 5: VËn dông sù b»ng nhau cña c¸c c¹nh ®èi cña h×nh b×nh hµnh, h×nh ch÷ nhËt, h×nh thoi , h×nh vu«ng.

� Ph−¬ng ph¸p 6: Chøng minh hai ®o¹n th¼ng cïng b»ng mét ®o¹n th¼ng thø ba

� Ph−¬ng ph¸p 7: Chøng minh hai ®o¹n th¼ng lµ hai c¹nh bªn cña h×nh thang c©n

� Ph−¬ng ph¸p 8: Trong mét ®−êng trßn hoÆc trong hai ®−êng trßn b»ng nhau, hai d©y c¨ng hai cung b»ng nhau th× b»ng nhau

� Ph−¬ng ph¸p 9: Trong mét ®−êng trßn hoÆc trong hai ®−êng trßn b»ng nhau, hai d©y c¸ch ®Òu t©m th× b»ng nhau

� Ph−¬ng ph¸p 10: VËn dông ®Þnh lÝ, nÕu mét ®−êng th¼ng ®i qua trung ®iÓm mét c¹nh cña tam gi¸c vµ song song víi c¹nh thø hai th× nã sÏ ®i qua trung ®iÓm cña c¹nh thø ba

� Ph−¬ng ph¸p 11: VËn dông ®Þnh nghÜa ®−êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng, ®ịnh nghĩa trung điểm của đoạn thẳng, định nghĩa đường trung tuyến của tam giác

� Ph−¬ng ph¸p 12: Chøng minh hai đoạn thẳng cã cùng số đo. � Ph−¬ng ph¸p 13: Chøng minh hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn

thẳng thứ ba. � Ph−¬ng ph¸p 14: Chøng minh hai đoạn thẳng cùng bằng tổng,

hiệu, trung bình nhân, . . . , của hai đoạn thẳng bằng nhau từng đôi một.

� Ph−¬ng ph¸p 15: Sö dông tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền, tính chất cạnh đối diện với góc 300 của tam giác vuông.

� Ph−¬ng ph¸p 16: Sö dông tính chất đường phân giác của một góc.

� Ph−¬ng ph¸p 17: Sö dông tính chất của hai đoạn thẳng song song bÞ chắn giữa bởi hai đường thẳng song song.

� Ph−¬ng ph¸p 18: Chứng minh bằng phản chứng. � Ph−¬ng ph¸p 19: Sử dụng các đoạn thẳng bằng nhau cho trước

rồi biến đổi. � Ph−¬ng ph¸p 20: Sử dụng định lí đường trung bình của tam giác

(thuận và đảo). � Ph−¬ng ph¸p 21: Sử dụng tính chất trọng tâm cña tam gi¸c

(tính chất của giao điểm ba đường phân giác cña tam gi¸c), tính chất của giao điểm ba đường trung trực.

� Ph−¬ng ph¸p 22:

www.VNMATH.com



Sử dụng bình phương của chúng bằng nhau (có thể sử dụng định lí Pitago, tam giác đồng dạng, hệ thức lượng trong tam giác, trong đường tròn để đưa về bình phương của chúng bằng nhau)

o) Chøng minh ba ®iÓm th¼ng hµng � Ph−¬ng ph¸p 1: Lîi dông hai gãc kÒ bï � Ph−¬ng ph¸p 2: VËn dông tiªn ®Ò ¬-clÝt

Qua mét ®iÓm ë ngoµi mét ®−êng th¼ng, chØ cã mét ®−êng th¼ng song song víi ®−êng th¼ng ®· cho (hai ®−êng th¼ng cïng ®i qua hai trong ba ®iÓm Êy cïng song song víi ®−êng th¼ng thø ba)

� Ph−¬ng ph¸p 3: VËn dông tÝnh chÊt: Qua mét ®iÓm ë ngoµi mét ®−êng th¼ng, chØ cã mét ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng ®· cho (hai ®−êng th¼ng cïng ®i qua hai trong ba ®iÓm Êy cïng vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng thø ba)

� Ph−¬ng ph¸p 4: Chøng minh ®−êng th¼ng vÏ qua hai ®iÓm ®i qua ®iÓm cßn l¹i.

� Ph−¬ng ph¸p 5: VËn dông tÝnh chÊt cña h×nh b×nh hµnh lµ hai ®−êng chÐo cña chóng c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®−êng.

� Ph−¬ng ph¸p 6: Chøng minh ba ®iÓm cïng thuéc mét tia hoÆc mét ®−êng th¼ng

� Ph−¬ng ph¸p 7: Chøng minh b»ng ph¶n chøng p) Chøng minh ba ®−êng th¼ng ®ång quy

� Ph−¬ng ph¸p 1: Dùa vµo tÝnh chÊt çc ®−êng ®ång quy trong tam gi¸c: Ba ®−êng cao, ba ®−êng trung tuyÕn, ba ®−êng ph©n gi¸c, ba ®−êng trung trùc.

� Ph−¬ng ph¸p 2: Chøng minh giao ®iÓm cña hai ®−êng th¼ng n»m trªn ®−êng th¼ng thø ba.

� Ph−¬ng ph¸p 3: Chøng minh çc ®−êng cïng ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.

� Ph−¬ng ph¸p 4: Chøng minh b»ng ph¶n chøng L−u ý: Çc ph−¬ng ph¸p trªn cã thÓ ®−îc vËn dông bëi nh÷ng kÜ n¨ng kh¸c nhau. q) Chøng minh çc ®iÓm cïng thuéc mét ®−êng trßn

� Ph−¬ng ph¸p 1: Chøng minh çc ®iÓm çch ®Òu mét ®iÓm cè ®Þnh, kho¶ng çch ®ã lµ b¸n kÝnh cña ®−êng trßn.

� Ph−¬ng ph¸p 2: NÕu mét ®iÓm nh×n mét ®o¹n th¼ng d−íi gãc 090 , th× theo quü tÝch cung chøa gãc, ®iÓm ®ã thuéc ®−êng trßn nhËn ®o¹n th¼ng Êy lµ ®−êng kÝnh

� Ph−¬ng ph¸p 3: NÕu chøng minh bèn ®iÓm cïng thuéc mét ®−êng trßn, ta cã thÓ chøng minh tø gi¸c néi tiÕp

www.VNMATH.com

35

35


N¨m häc 2011 - 2015


� Ph−¬ng ph¸p 4: NÕu chøng minh bèn ®iÓm cïng thuéc mét ®−êng trßn, ta cã thÓ chøng minh bèn ®iÓm ®ã lµ bèn ®Ønh cña h×nh vu«ng, h×nh ch÷ nhËt, h×nh thang c©n.

r) Chøng minh quü tÝch cña ®iÓm lµ ®−êng trßn � B−íc 1: T×m ®iÓm cè ®Þnh � B−íc 2: Chøng minh kho¶ng çch cña ®iÓm chuyÓn ®éng víi ®iÓm

cè ®Þnh kh«ng ®æi. � B−íc 3: KÕt luËn.

§iÓm chuyÓn ®éng trªn ®−êng trßn, nhËn ®iÓm cè ®Þnh lµm t©m, kho¶ng çch kh«ng ®æi lµ b¸n kÝnh.

s) Chøng minh mét tø gi¸c lµ tø gi¸c néi tiÕp � Ph−¬ng ph¸p 1: Tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi b»ng 1800 � Ph−¬ng ph¸p 2: Tø gi¸c cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc trong

cña ®Ønh ®èi diÖn � Ph−¬ng ph¸p 3: Tø gi¸c cã bèn ®Ønh çch ®Òu mét ®iÓm (mµ ta cã

thÓ x¸c ®Þnh ®−îc). §iÓm ®ã lµ t©m cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c

� Ph−¬ng ph¸p 4: Tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ nhau cïng nh×n c¹nh chøa hai ®Ønh cßn l¹i d−íi mét gãc α

� Ph−¬ng ph¸p 5: §Ó chøng minh mét tø gi¸c lµ tø gi¸c néi tiÕp ta cã thÓ chøng minh tø gi¸c ®ã lµ mét trong çc h×nh : H×nh ch÷ nhËt, h×nh vu«ng, h×nh thang c©n.

� Ph−¬ng ph¸p 6: Chøng minh tæng çc gãc ®èi b»ng nhau *) Thñ thuËt th−êng gÆp: � Sö dông kü thuËt céng gãc � Chøng minh tæng hai gãc ®èi diÖn cña tø gi¸c b»ng tæng ba gãc

cña mét tam gi¸c nµo ®ã � Dùa vµo çc tam gi¸c ®ång d¹ng ®Ó chøng minh gãc ngoµi t¹i mét

®Ønh b»ng gãc trong cña ®Ønh ®èi diÖn. � §Ó chøng minh tø gi¸c nµy néi tiÕp ta cÇn chøng minh th«ng qua

mét tø gi¸c néi tiÕp kh¸c n÷a. t) Chøng minh mét ®−êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn;

chøng minh mét ®−êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai ®−êng trßn � Ph−¬ng ph¸p 1: Chøng minh ®−êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm cña

®−êng trßn vµ vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua ®iÓm ®ã.

( )H O a lµ tiÕp tuyÕn cña (O)

a OH t¹i H

∈ =>

⊥

www.VNMATH.com



� Ph−¬ng ph¸p 2: §§Ó chøng minh ®−êng th¼ng d tiÕp xóc

víi ®−êng trßn (O) t¹i ®iÓm A ta chøng minh gãc t¹o bëi ®−êng th¼ng d víi d©y AB nµo ®ã b»ng gãc néi tiÕp ch¾n cung AB. Cho h×nh vÏ: NÕu � �BAx ACB= th× d lµ tiÕp tuyÕn cña

®−êng trßn

� Ph−¬ng ph¸p 3: Sö dông ®Þnh lÝ ®¶o cña ®Þnh lÝ vÒ gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung Cho h×nh vÏ:

NÕu � �1BAx s®AmB2

= th× Ax lµ mét tia

tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn

u) Ph−¬ng ph¸p chøng minh mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a çc ®o¹n

th¼ng, çc c¹nh cña hai tam gi¸c, çc ®o¹n th¼ng víi b¸n kÝnh cña ®−êng trßn , ...

� Ph−¬ng ph¸p 1: ¸p dông hÖ thøc l−îng trong tam gi¸c vu«ng � Ph−¬ng ph¸p 2: Chøng hai tam gi¸c ®ång d¹ng � Ph−¬ng ph¸p 3: VËn dông hai cÆp tam gi¸c ®ång d¹ng ®Ó cã tØ sè

trung gian (nguyªn t¾c b¾c cÇu) a cb d a a' hay ab' = a'b

b b'a' cb' d

=

=> ==

� Ph−¬ng ph¸p 4: VËn dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c � Ph−¬ng ph¸p 5: VËn dông ®Þnh lÝ Py - ta - go � Ph−¬ng ph¸p 6: Ph−¬ng ph¸p ®Þnh l−îng (tÝnh to¸n hai vÕ) � Ph−¬ng ph¸p 7: VËn dông tÝnh chÊt ®−êng ph©n gi¸c trong tam

gi¸c ®Ó cã tØ sè trung gian 49. Ph−¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ h×nh häc THCS

1. Với ba điểm bất kì trong mặt phẳng (không gian) A, B, C ta có:

AC≤ AB + BC

AC = AB + BC ⇔ A, B, C thẳng hàng và B ở giữa A và C ACAB − BC≤

AC – AB = BC ⇔ A, B, C thẳng hàng và B ở giữa A và C

2. Trong số các đường xiên và đường vuông góc hạ từ một điểm đến

một đường thẳng trong mặt phẳng ta có:

www.VNMATH.com

37

37


N¨m häc 2011 - 2015


a) Đường vuông góc ngắn hơn mọi đường xiên.

b) Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại.

3. Trong một tam giác, đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn và

ngược lại.

4. Trong hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau, nếu cạnh

thứ ba của tam giác này lớn hơn cạnh thứ ba của tam giác kia thì góc

đối diện cũng tương ứng lớn hơn và ngược lại.

5. Trong tất cả các đường nối liền hai điểm, đoạn thẳng nối liền hai

điểm đó là ngắn nhất.

6. Trong tất cả các dây cung của đường tròn, đường kính là dây lớn

nhất.

7. Trong một đường tròn, dây nào có độ dài lớn hơn thì khoảng cách từ

đó đến tâm nhỏ hơn và ngược lại.

8. Bất đẳng thức côsi:

Cho a, b là hai số không âm. Ta luôn có: a b ab2+ ≥

+) Nếu a + b (không đổi) ⇒ ab lớn nhất khi a = b.

+) Nếu ab (không đổi) ⇒ a + b nhỏ nhất khi a = b.

9. Một phân thức với tử và mẫu dương, có tử thức không đổi, phân thức

đạt giá trị lớn nhất nếu mẫu thức đạt giá trị nhỏ nhất và phân thức

đạt giá trị nhỏ nhất nếu mẫu thức đạt giá trị lớn nhất.

ph©n d¹ng vµ ph−¬ng ph¸p gi¶iph©n d¹ng vµ ph−¬ng ph¸p gi¶iph©n d¹ng vµ ph−¬ng ph¸p gi¶iph©n d¹ng vµ ph−¬ng ph¸p gi¶i ��

M«n : M«n : M«n : M«n : §¹i Sè§¹i Sè§¹i Sè§¹i Sè ---- THCS THCS THCS THCS

Website: http://quanghieu030778.violet.vn

I I I I ---- Çc lo¹i ph−¬ng tr×nh Çc lo¹i ph−¬ng tr×nh Çc lo¹i ph−¬ng tr×nh Çc lo¹i ph−¬ng tr×nh 1. Ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt

- Ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt lµ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng ax + b = 0 (a 0≠ )

- Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = ba

−

www.VNMATH.com



- Chó ý: NÕu ph−¬ng tr×nh chøa tham sè ta chuyÓn vÒ d¹ng Ax = B vµ xÐt çc tr−êng hîp sau:

� NÕu A 0≠ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = BA

−

� NÕu A = 0 , B 0≠ ph−¬ng tr×nh trë thµnh 0.x = B => ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm

� NÕu A = 0, B = 0 => ph−¬ng tr×nh v« sè nghiÖm 2. Ph−¬ng tr×nh tÝch

- Ph−¬ng tr×nh tÝch cã d¹ng A(x).B(x) = 0 - Çch gi¶i: A(x).B(x) = 0 <=> A(x) = 0 hoÆc B(x) = 0

- Tr×nh bµy gän : A(x).B(x) = 0 <=> A(x) 0

B(x) 0

= =

- Më réng: A(x).B(x).C(x) = 0 <=> A(x) 0

B(x) 0

C(x) 0

= = =

3. Ph−¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu - Gi¶i ph−¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu ta thùc hiÖn theo 4 b−íc:

� B−íc 1: T×m §KX§ cña ph−¬ng tr×nh � B−íc 2: Quy ®ång mÉu hai vÕ cña ph−¬ng tr×nh råi khö mÉu � B−íc 3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh võa nhËn ®−îc � B−íc 4: (kÕt luËn)

Trong çc gi¸ trÞ cña Èn t×m ®−îc ë b−íc 3, çc gi¸ trÞ tháa m·n §KX§ chÝnh lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®· cho, gi¸ trÞ cña x kh«ng thuéc §KX§ lµ nghiÖm ngo¹i lai (lo¹i ®i)

4. Ph−¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi

- §Þnh nghÜa: A nÕu A 0

AA nÕu A < 0

≥=

−

- Çc d¹ng ph−¬ng tr×nh � f (x ) 0 f (x ) 0= <=> =

� f (x ) k

f (x ) k(k 0) f (x) kf (x) k

== > <=> = ± <=> = −

� f ( x) g(x )

f (x ) g(x)f (x ) g(x )

== <=>

= −

HoÆc [ ] [ ] [ ] [ ]2 2 2 2f (x) g(x) f (x ) g(x) f (x) g(x) 0= <=> = <=> − = , ¸p dông h»ng ®¼ng thøc hiÖu hai b×nh ph−¬ng vµ ®−a vÒ ph−¬ng tr×nh tÝch (nÕu çc ®a thøc ë hai vÕ lµ bËc nhÊt th× cã thÓ khai triÓn ngay vµ kh«ng cÇn chuyÓn vÕ)

www.VNMATH.com

39

39


N¨m häc 2011 - 2015


� f (x ) g(x)= <=>

f (x ) 0

f (x) g(x )

f (x ) 0

f (x ) g(x )

≥

= ≤

= −

hoÆc <=>

g(x) 0

f (x) g(x )

g(x ) 0

f (x ) g(x )

≥

= ≥

= −

HoÆc <=> g(x) 0

f (x ) g(x ) hoÆc f (x ) g(x )

≥

= = −

HoÆc <=> [ ] [ ]2 2

g(x) 0

f (x ) g(x)

≥

=

- Chó ý: 2 2A A= ; A A≥ ± vµ A B A B A B− ≤ ± ≤ +

5. Ph−¬ng tr×nh v« tØ �

2f (x ) A(A 0) f (x) A= ≥ <=> = (víi f(x) lµ mét ®a thøc)

�

[ ]2

f (x ) 0g(x) 0f (x ) g(x )

f (x) g(x )

≥ ≥

= <=> =

�

f (x ) 0

f (x ) g(x ) g(x) 0

f (x ) g(x )

≥

= <=> ≥ =

*)L−u ý: HÇu hÕt khi gi¶i ph−¬ng tr×nh chøa Èn trong c¨n, ta cÇn x¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn cã nghÜa cña ph−¬ng tr×nh vµ c¸c ®iÒu kiÖn t−¬ng ®−¬ng. NÕu kh«ng cã thÓ thö l¹i trùc tiÕp. 6. Ph−¬ng tr×nh trïng ph−¬ng Ph−¬ng tr×nh trïng ph−¬ng lµ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng:

4 2ax bx c 0 (a 0)+ + = ≠ � §Æt x2 = t ( t 0≥ ), ph−¬ng tr×nh trïng ph−¬ng trë thµnh ph−¬ng

tr×nh bËc hai Èn t : 2at bt c 0+ + = (*) � Gi¶i ph−¬ng tr×nh (*), lÊy nh÷ng gi¸ trÞ thÝch hîp tháa m4n t 0≥ � Thay vµo ®Æt x2 = t vµ t×m x = ?

7. Ph−¬ng tr×nh bËc cao a) Ph−¬ng tr×nh bËc ba d¹ng: ax3 + bx2 + cx + d = 0

H−íng dÉn: NhÈm nghiÖm (nÕu cã nghiÖm nguyªn th× nghiÖm ®ã lµ −íc cña h¹ng tö tù do d) hoÆc dïng s¬ ®å Hooc- ne hoÆc dïng m¸y tÝnh ®Ó t×m nhanh nghiÖm nguyªn cña ph−¬ng tr×nh, khi ®4 biÕt mét nghiÖm th× dÔ dµng ph©n tÝch VT d−íi d¹ng tÝch vµ gi¶i ph−¬ng tr×nh tÝch (hoÆc chia ®a thøc)

b) Ph−¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 H−íng dÉn: Ph−¬ng ph¸p t−¬ng tù nh− ph−¬ng tr×nh bËc ba trªn

c) Ph−¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng:

www.VNMATH.com



x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 (víi d = 2

c

a

).

Ph−¬ng ph¸p: Víi x = 0, thay vµo ph−¬ng tr×nh vµ kiÓm tra xem x = 0 cã lµ

nghiÖm hay kh«ng ?

Víi x ≠ 0. Chia c¶ hai vÕ cho x2, sau ®ã ta ®Æt t = x + c

ax

d) Ph−¬ng tr×nh bËc 4 d¹ng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = k (víi a + b = c + d = m)

Ph−¬ng ph¸p: §Æt t = x2 + mx + +ab cd

2

e) Ph−¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = kx2 (víi ab = cd = k) Ph−¬ng ph¸p:

Chia c¶ hai vÕ cho x2. §Æt t = x + k

x

IIIIIIII---- BÊt ph−¬ng tr×BÊt ph−¬ng tr×BÊt ph−¬ng tr×BÊt ph−¬ng tr×nhnhnhnh bËc nhÊt mét Èn bËc nhÊt mét Èn bËc nhÊt mét Èn bËc nhÊt mét Èn 1) §Þnh nghÜa: Mét bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng ax + b > 0 (hoÆc ax + b < 0) víi a 0≠

®−îc gäi lµ mét bÊt ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn 2) C¸ch gi¶i: ax + b > 0 <=> ax > - b

NÕu a > 0 th× bxa

> −

NÕu a < 0 th× bxa

< −

3) KiÕn thøc cã liªn quan: � Hai bÊt ph−¬ng tr×nh ®−îc gäi lµ t−¬ng ®−¬ng nÕu chóng cã cïng

tËp nghiÖm vµ dïng kÝ hiÖu <=> ®Ó chØ sù t−¬ng ®−¬ng ®ã � Quy t¾c chuyÓn vÕ: Khi chuyÓn mét h¹ng tö (lµ sè hoÆc ®a thøc) tõ

vÕ nµy sang vÕ kia cña bÊt ph−¬ng tr×nh ta ph¶i ®æi dÊu h¹ng tö ®ã => ta cã thÓ xãa hai h¹ng tö gièng nhau ë hai vÕ

� Quy t¾c nh©n: Khi nh©n hai vÕ cña mét bÊt ph−¬ng tr×nh víi cïng mét sè kh¸c 0, ta ph¶i: Gi÷ nguyªn chiÒu BPT nÕu sè ®ã d−¬ng; ®æi chiÒu BPT nÕu sè ®ã ©m.

4) TÝnh chÊt c¬ b¶n cña bÊt ®¼ng thøc - Víi mäi sè thùc a, b, c ta cã : a > b <=> a + c > b + c - Víi mäi sè thùc a, b, c, d ta cã : a > b, b > c => a > c (t/c b¾c cÇu)

a > b, c > d => a + c > b + d a > b > 0, c > d > 0 => ac > b

- Víi mäi sè thùc a, b, c, + NÕu c > 0 th× a > b <=> ac > bc

www.VNMATH.com

41

41


N¨m häc 2011 - 2015


+ NÕu c < 0 th× a > b <=> ac < bc

- Víi a, b lµ hai sè thùc : a > b <=> 3 3a b> vµ a > b <=> 3 3a b>

- NÕu a 0,b 0≥ ≥ th× a > b <=> a b> vµ a > b <=> 2 2a b> - Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña mét biÓu thøc A

A, nÕu A 0A

A, nÕu A < 0.

≥=

−

Ta cã: A2 ≥ 0, |A| ≥ 0, 2A A=

- BÊt ®¼ng thøc C« - si: Cho a, b lµ hai sè thùc kh«ng ©m, ta cã: a b ab2+ ≥ DÊu “=” x¶y ra <=> a = b

IIIIIIIIIIII – Çc d¹ng bµi tËp cã liªn quan ®Õn Çc d¹ng bµi tËp cã liªn quan ®Õn Çc d¹ng bµi tËp cã liªn quan ®Õn Çc d¹ng bµi tËp cã liªn quan ®Õn biÓu thøc h÷u tØ, biÓu thøc h÷u tØ, biÓu thøc h÷u tØ, biÓu thøc h÷u tØ, c¨n bËc hai, c¨n bËc bac¨n bËc hai, c¨n bËc bac¨n bËc hai, c¨n bËc bac¨n bËc hai, c¨n bËc ba.... 1. D¹ng 1 :1. D¹ng 1 :1. D¹ng 1 :1. D¹ng 1 : Rót gän vµ tÝnh gi¸ trÞ çc biÓu thøc h÷u tØRót gän vµ tÝnh gi¸ trÞ çc biÓu thøc h÷u tØRót gän vµ tÝnh gi¸ trÞ çc biÓu thøc h÷u tØRót gän vµ tÝnh gi¸ trÞ çc biÓu thøc h÷u tØ - Khi thùc hiÖn rót gän mét biÓu thøc h÷u tØ ta ph¶i tu©n theo thø tù thùc hiÖn çc phÐp to¸n : Nh©n chia tr−íc, céng trõ sau. Cßn nÕu biÓu thøc cã çc dÊu ngoÆc th× thùc hiÖn theo thø tù ngoÆc trßn, ngoÆc vu«ng, ngoÆc nhän. - Víi nh÷ng bµi to¸n t×m gi¸ trÞ cña ph©n thøc th× ph¶i t×m ®iÒu kiÖn cña biÕn ®Ó ph©n thøc ®−îc x¸c ®Þnh (mÉu thøc ph¶i kh¸c 0) 2222. . . . D¹ng 2D¹ng 2D¹ng 2D¹ng 2 : : : : T×m ®iÒu kiÖn ®Ó biÓu thøc cã nghÜaT×m ®iÒu kiÖn ®Ó biÓu thøc cã nghÜaT×m ®iÒu kiÖn ®Ó biÓu thøc cã nghÜaT×m ®iÒu kiÖn ®Ó biÓu thøc cã nghÜa

- BiÓu thøc cã d¹ng AB

x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi B 0≠

- BiÓu thøc cã d¹ng A x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi A 0≥

- BiÓu thøc cã d¹ng A

B x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi B > 0

- BiÓu thøc cã d¹ng BAC

+ x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi A 0

C 0

≥

>

- BiÓu thøc cã d¹ng BAC

+ x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi A 0

C 0

≥

≠

3. 3. 3. 3. DDDD¹ng 3¹ng 3¹ng 3¹ng 3 : : : : Rót Rót Rót Rót gän çc biÓu thøc chøa c¨n gän çc biÓu thøc chøa c¨n gän çc biÓu thøc chøa c¨n gän çc biÓu thøc chøa c¨n bËc haibËc haibËc haibËc hai, c¨n bËc ba, c¨n bËc ba, c¨n bËc ba, c¨n bËc ba

LÝ thuyÕt chung: a) Çc c«ng thøc biÕn ®æi c¨n thøc

1) 2A A=

2) AB A B ( víi A 0 vµ B 0)= ≥ ≥

3) AA (víi A 0 vµ B > 0)B B

= ≥

4) 2A B A B (víi B 0)= ≥

www.VNMATH.com



5) 2A B A B (víi A 0 vµ B 0)= ≥ ≥ 2A B A B (víi A < 0 vµ B 0)= − ≥

6) A 1 AB (víi AB 0 vµ B 0)B B

= ≥ ≠

7) A BA (víi B > 0)BB

=

8) ( ) 2

2

C A BC (víi A 0 vµ A B )

A B A B= ≥ ≠

± −

∓

9) ( )C A B

C (víi A 0 , B 0 vµ A B)A BA B

= ≥ ≥ ≠−±

∓

10) 33 a x x a= <=> = vµ ta cã : ( )3 3 33 a a a= =

11) a < b <=> 3 3a b<

12) 3 3 3.ab a b=

13) Víi b ≠ 0, ta cã: 3

33

aab b

=

*) L−u ý: §Ó rót gän biÓu thøc chøa c¨n thøc bËc hai ta lµm nh− sau :

- Quy ®ång mÉu sè chung (nÕu cã) - §−a bít thõa sè ra ngoµi dÊu c¨n (nÕu cã) - Trôc c¨n thøc ë mÉu (nÕu cã) - Thùc hiÖn çc phÐp tÝnh lòy thõa, khai c¨n, nh©n, chia , …

theo thø tù ®· biÕt ®Ó lµm xuÊt hiÖn çc c¨n thøc ®ång d¹ng - Céng, trõ çc biÓu thøc ®ång d¹ng (çc c¨n thøc ®ång d¹ng)

b) Çc h»ng ®¼ng thøc quan träng, ®¸ng nhí: 1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

+ = + + ≥2( a b) a 2 a.b b (a,b 0) 2) (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

− = − + ≥2( a b) a 2 a.b b (a,b 0) 3) a2 - b2 = (a + b).(a - b)

− = + − ≥a b ( a b).( a b) (a,b 0) 4) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 5) (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 6) + = + − +3 3 2 2a b (a b)(a ab b )

( ) ( )+ = + = + = + − + ≥3 3

3 3a a b b a b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)

7) − = − + +3 3 2 2a b (a b)(a ab b )

www.VNMATH.com

43

43


N¨m häc 2011 - 2015


( ) ( )− = − = − = − + + ≥3 3

3 3a a b b a b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)

8) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

9) + + = + + + + + ≥2( a b c) a b c 2 ab 2 ac 2 bc (a,b,c 0)

10) =2a a

Ph©n d¹ng bµi tËp chi tiÕt

DDDD¹ng 3.1¹ng 3.1¹ng 3.1¹ng 3.1 : : : : TÝnh TÝnh TÝnh TÝnh – Rót gän biÓu thøc kh«ng cã ®iÒu kiÖn Rót gän biÓu thøc kh«ng cã ®iÒu kiÖn Rót gän biÓu thøc kh«ng cã ®iÒu kiÖn Rót gän biÓu thøc kh«ng cã ®iÒu kiÖn DDDD¹ng 3.2¹ng 3.2¹ng 3.2¹ng 3.2 : : : : Rót gän biÓu thøc cã ®iÒu kiÖn Rót gän biÓu thøc cã ®iÒu kiÖn Rót gän biÓu thøc cã ®iÒu kiÖn Rót gän biÓu thøc cã ®iÒu kiÖn DDDD¹ng 3.3¹ng 3.3¹ng 3.3¹ng 3.3 : : : : TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc khi biÕt gi¸ trÞ cña biÕn TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc khi biÕt gi¸ trÞ cña biÕn TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc khi biÕt gi¸ trÞ cña biÕn TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc khi biÕt gi¸ trÞ cña biÕn DDDD¹ng 3¹ng 3¹ng 3¹ng 3.4.4.4.4 : : : : T×m gi¸ trÞ cña biÕn khi biÕt gi¸ trÞ cña biÓu thøcT×m gi¸ trÞ cña biÕn khi biÕt gi¸ trÞ cña biÓu thøcT×m gi¸ trÞ cña biÕn khi biÕt gi¸ trÞ cña biÓu thøcT×m gi¸ trÞ cña biÕn khi biÕt gi¸ trÞ cña biÓu thøc DDDD¹ng 3.5¹ng 3.5¹ng 3.5¹ng 3.5 : : : : T×m gi¸ trÞ nguyªn cña biÕn ®Ó biÓu thøc nhËn gi¸ T×m gi¸ trÞ nguyªn cña biÕn ®Ó biÓu thøc nhËn gi¸ T×m gi¸ trÞ nguyªn cña biÕn ®Ó biÓu thøc nhËn gi¸ T×m gi¸ trÞ nguyªn cña biÕn ®Ó biÓu thøc nhËn gi¸ trÞ nguyªntrÞ nguyªntrÞ nguyªntrÞ nguyªn DDDD¹ng 3¹ng 3¹ng 3¹ng 3.6.6.6.6 : : : : T×m gi¸ trÞ cña biÕn khi biÕt dÊu cña biÓu thøc T×m gi¸ trÞ cña biÕn khi biÕt dÊu cña biÓu thøc T×m gi¸ trÞ cña biÕn khi biÕt dÊu cña biÓu thøc T×m gi¸ trÞ cña biÕn khi biÕt dÊu cña biÓu thøc DDDD¹ng¹ng¹ng¹ng 3.7 3.7 3.7 3.7 : : : : Chøng minh bÊt ®¼ng thøc sau khi ®· rót gän Chøng minh bÊt ®¼ng thøc sau khi ®· rót gän Chøng minh bÊt ®¼ng thøc sau khi ®· rót gän Chøng minh bÊt ®¼ng thøc sau khi ®· rót gän DDDD¹ng 3.8¹ng 3.8¹ng 3.8¹ng 3.8 : : : : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc DDDD¹ng 3.9¹ng 3.9¹ng 3.9¹ng 3.9 : : : : Bµi tËp tæng hîp Bµi tËp tæng hîp Bµi tËp tæng hîp Bµi tËp tæng hîp IIIIVVVV – Çc d¹ng to¸n vÒ hÇc d¹ng to¸n vÒ hÇc d¹ng to¸n vÒ hÇc d¹ng to¸n vÒ hµm sèµm sèµm sèµm sè

LÝ thuyÕt chung

1) Kh¸i niÖm vÒ hµm sè (kh¸i niÖm chung).

NÕu ®¹i l−îng y phô thuéc vµo ®¹i l−îng thay ®æi x sao cho víi mçi gi¸ trÞ cña x ta lu«n x¸c ®Þnh ®−îc chØ mét gi¸ trÞ t−¬ng øng cña y th× y ®−îc gäi lµ hµm sè cña x vµ x ®−îc gäi lµ biÕn sè.

*) VÝ dô: y = 2x; y = - 3x + 5; y = 2x + 3 ; ... *) Chó ý: Khi ®¹i l−îng x thay ®æi mµ y lu«n nhËn mét gi¸ trÞ kh«ng ®æi th× y

®−îc gäi lµ hµm h»ng. *) VÝ dô: Çc hµm h»ng y = 2; y = - 4; y = 7; ...

2) Çc çch th−êng dïng cho mét hµm sè

www.VNMATH.com



a) Hµm sè cho bëi b¶ng. b) Hµm sè cho bëi c«ng thøc. - Hµm h»ng: lµ hµm cã c«ng thøc y = m (trong ®ã x lµ biÕn, m ∈� ) - -

Hµm sè bËc nhÊt: Lµ hµm sè cã d¹ng c«ng thøc y = ax + b Trong ®ã: x lµ biÕn, ∈ ≠�a,b , a 0 . a lµ hª sè gãc, b lµ tung ®é gèc. Chó ý: NÕu b = 0 th× hµm bËc nhÊt cã d¹ng y = ax ( ≠a 0 ) Hµm sè bËc hai: Lµ hµm sè cã c«ng thøc y = ax2 + bx + c (trong ®ã x lµ biÕn, ∈ ≠�a,b,c , a 0 ). Chó ý: NÕu c = 0 th× hµm bËc hai cã d¹ng y = ax2 + bx ( ≠a 0 ) NÕu b = 0 vµ c = 0 th× hµm bËc hai cã d¹ng y = ax2 ( ≠a 0 )

3) Kh¸i niÖm hµm ®ång biÕn vµ hµm nghÞch biÕn.

Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh víi mäi x ∈� . Víi x1, x2 bÊt k× thuéc R

a) NÕu gi¸ trÞ cña biÕn x t¨ng lªn mµ gi¸ trÞ t−¬ng øng f(x) còng t¨ng lªn th× hµm sè y = f(x) ®−îc gäi lµ hµm ®ång biÕn.

NÕu 1 2 1 2x x mµ f(x ) < f(x )< th× hµm sè y = f(x) ®ång biÕn trªn R b) NÕu gi¸ trÞ cña biÕn x t¨ng lªn mµ gi¸ trÞ t−¬ng øng f(x) gi¶m ®i

th× hµm sè y = f(x) ®−îc gäi lµ hµm nghÞch biÕn. NÕu 1 2 1 2x x mµ f(x ) > f(x )< th× hµm sè y = f(x) nghÞch biÕn /R

4) DÊu hiÖu nhËn biÕt hµm ®ång biÕn vµ hµm nghÞch biÕn. a) Hµm sè bËc nhÊt y = ax + b ( ≠a 0 ). - NÕu a > 0 th× hµm sè y = ax + b lu«n ®ång biÕn trªn � . - NÕu a < 0 th× hµm sè y = ax + b lu«n nghÞch biÕn trªn � .

b) Hµm bËc hai mét Èn sè y = ax2 ( ≠a 0 ) cã thÓ nhËn biÕt ®ång biÕn vµ nghÞch biÕn theo dÊu hiÖu sau:

- NÕu a > 0 th× hµm ®ång biÕn khi x > 0, nghÞch biÕn khi x < 0. - NÕu a < 0 th× hµm ®ång biÕn khi x < 0, nghÞch biÕn khi x > 0.

5) Kh¸i niÖm vÒ ®å thÞ hµm sè. §å thÞ cña hµm sè y = f(x) lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c ®iÓm biÓu diÔn c¸c

cÆp gi¸ trÞ t−¬ng øng (x; f(x)) trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é. Chó ý: D¹ng ®å thÞ:

a) Hµm h»ng. §å thÞ cña hµm h»ng y = m (trong

®ã x lµ biÕn, m ∈� ) lµ mét ®−êng th¼ng lu«n song song víi trôc Ox.

§å thÞ cña hµm h»ng x = m (trong ®ã y lµ biÕn, m ∈� ) lµ mét ®−êng th¼ng lu«n song song

víi trôc Oy.

www.VNMATH.com

45

45


N¨m häc 2011 - 2015


b) §å thÞ hµm sè y = ax ( ≠a 0 ) lµ mét ®−êng th¼ng (h×nh ¶nh tËp hîp çc ®iÓm) lu«n ®i qua gèc to¹ ®é.

*) Çch vÏ: LÊy mét ®iÓm thuéc ®å thÞ kh¸c O(0 ; 0), ch¼ng h¹n

®iÓm A(1 ; a). Sau ®ã vÏ ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm O(0 ; 0) vµ A(1 ; a) ta ®−îc ®å thÞ hµm sè y = ax ( ≠a 0 )

c) §å thÞ hµm sè y = ax + b ( ≠a,b 0 ) lµ mét ®−êng th¼ng (h×nh ¶nh tËp hîp çc ®iÓm) c¾t trôc tung t¹i ®iÓm (0; b) vµ c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm

( −b

a, 0).

*) Çch vÏ: Cã hai çch vÏ c¬ b¶n +) Çch 1: X¸c ®Þnh hai ®iÓm bÊt k× nµo ®ã thuéc ®å thÞ, ch¼ng

h¹n nh− sau: Cho x = 1 => y = a + b, ta ®−îc A(1 ; a + b) Cho x = -1 => y = - a + b, ta ®−îc A(-1 ; - a + b) VÏ ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm A vµ B ta ®−îc ®å thÞ hµm sè y

= ax + b ( ≠a,b 0 )

www.VNMATH.com



+) C¸ch 2: T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ víi c¸c trôc täa ®é, cô thÓ: Cho x = 0 => y = b, ta ®−îc M(0 ; b) Oy∈

Cho y = 0 => x = ba

− , ta ®−îc N( ba

− ; 0) Ox∈

VÏ ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm M vµ N ta ®−îc ®å thÞ hµm sè y = ax + b ( ≠a,b 0 )

d) §å thÞ hµm sè y = ax2 ( ≠a 0 ) lµ mét ®−êng cong Parabol cã ®Ønh O(0;0). NhËn trôc Oy lµm trôc ®èi xøng

- §å thÞ ë phÝa trªn trôc hoµnh nÕu a > 0. - §å thÞ ë phÝa d−íi trôc hoµnh nÕu a < 0.

6) VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña hai ®−êng th¼ng *) Hai ®−êng th¼ng y = ax + b ( ≠a 0 ) vµ y = a’x + b’ ( ≠a' 0 ) + Trïng nhau nÕu a = a’, b = b’. + Song song víi nhau nÕu a = a’, b≠ b’. + C¾t nhau nÕu a ≠ a’. + Vu«ng gãc nÕu a.a’ = -1 . *) Hai ®−êng th¼ng ax + by = c vµ a’x + b’y = c’ (a, b, c, a’, b’, c’ ≠ 0) + Trïng nhau nÕu a b c

a ' b ' c '= =

+ Song song víi nhau nÕu a b ca ' b ' c '

= ≠

+ C¾t nhau nÕu a ba ' b '

≠

7) Gãc t¹o bëi ®−êng th¼ng y = ax + b ( ≠a 0 ) vµ trôc Ox Gi¶ sö ®−êng th¼ng y = ax + b ( ≠a 0 ) c¾t trôc Ox t¹i ®iÓm A. Gãc t¹o bëi ®−êng th¼ng y = ax + b ( ≠a 0 ) lµ gãc t¹o bëi tia Ax vµ

tia AT (víi T lµ mét ®iÓm thuéc ®−êng th¼ng y = ax + b cã tung ®é d−¬ng).

- -

NÕu a > 0 th× gãc α t¹o bëi ®−êng th¼ng y = ax + b víi trôc Ox ®−îc tÝnh theo c«ng thøc nh− sau: α =tg a (cÇn chøng minh míi ®−îc dïng).

NÕu a < 0 th× gãc α t¹o bëi ®−êng th¼ng y = ax + b víi trôc Ox ®−îc tÝnh theo c«ng thøc nh− sau:

α = − β0180 víi β =tg a (cÇn chøng minh míi ®−îc dïng).

O x y

a < 0

O x

y

a > 0

www.VNMATH.com

47

47


N¨m häc 2011 - 2015


Ph©n d¹ng bµi tËp chi tiÕtPh©n d¹ng bµi tËp chi tiÕtPh©n d¹ng bµi tËp chi tiÕtPh©n d¹ng bµi tËp chi tiÕt

D¹ng 1: NhËn biÕt hµm sè D¹ng 2: TÝnh gi¸ trÞ cña hµm sè, biÕn sè. D¹ng 3: Hµm sè ®ång biÕn, hµm sè nghÞch biÕn. a) Hµm sè bËc nhÊt y = ax + b ( ≠a 0 ). - NÕu a > 0 th× hµm sè y = ax + b lu«n ®ång biÕn trªn � . - NÕu a < 0 th× hµm sè y = ax + b lu«n nghÞch biÕn trªn � .

b) Hµm bËc hai mét Èn sè y = ax2 ( ≠a 0 ) cã thÓ nhËn biÕt ®ång biÕn vµ nghÞch biÕn theo dÊu hiÖu sau:

- NÕu a > 0 th× hµm ®ång biÕn khi x > 0, nghÞch biÕn khi x < 0. - NÕu a < 0 th× hµm ®ång biÕn khi x < 0, nghÞch biÕn khi x > 0.

D¹ng 4: VÏ ®å thÞ hµm sè

§å thÞ cña hµm sè y = f(x) lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c ®iÓm biÓu diÔn c¸c cÆp gi¸ trÞ t−¬ng øng (x; f(x)) trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é.

Chó ý: D¹ng ®å thÞ: a) Hµm h»ng. §å thÞ cña hµm h»ng y = m (trong

®ã x lµ biÕn, m ∈� ) lµ mét ®−êng th¼ng lu«n song song víi trôc Ox.

§å thÞ cña hµm h»ng x = m (trong ®ã y lµ biÕn, m ∈� ) lµ mét ®−êng th¼ng lu«n song song

víi trôc Oy.

A

T

α

x

y

O

(a > 0)

Yy = ax + b

A

T

α

x

y

O

(a < 0)

β

Yy = ax + b

www.VNMATH.com



b) §å thÞ hµm sè y = ax ( ≠a 0 ) lµ mét ®−êng th¼ng (h×nh ¶nh tËp hîp çc ®iÓm) lu«n ®i qua gèc to¹ ®é.

*) Çch vÏ: LÊy mét ®iÓm thuéc ®å thÞ kh¸c O(0 ; 0), ch¼ng h¹n

®iÓm A(1 ; a). Sau ®ã vÏ ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm O(0 ; 0) vµ A(1 ; a) ta ®−îc ®å thÞ hµm sè y = ax ( ≠a 0 )

c) §å thÞ hµm sè y = ax + b ( ≠a,b 0 ) lµ mét ®−êng th¼ng (h×nh ¶nh tËp hîp çc ®iÓm) c¾t trôc tung t¹i ®iÓm (0; b) vµ c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm

( −b

a, 0).

*) Çch vÏ: Cã hai çch vÏ c¬ b¶n +) Çch 1: X¸c ®Þnh hai ®iÓm bÊt k× nµo ®ã thuéc ®å thÞ, ch¼ng

h¹n nh− sau: Cho x = 1 => y = a + b, ta ®−îc A(1 ; a + b) Cho x = -1 => y = - a + b, ta ®−îc A(-1 ; - a + b) VÏ ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm A vµ B ta ®−îc ®å thÞ hµm sè y

= ax + b ( ≠a,b 0 ) +) Çch 2: T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ víi çc trôc täa ®é, cô thÓ:

Cho x = 0 => y = b, ta ®−îc M(0 ; b) Oy∈

Cho y = 0 => x = ba

− , ta ®−îc N( ba

− ; 0) Ox∈

VÏ ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm M vµ N ta ®−îc ®å thÞ hµm sè y = ax + b ( ≠a,b 0 )

d) §å thÞ hµm sè y = ax2 ( ≠a 0 ) lµ mét ®−êng cong Parabol cã ®Ønh O(0;0). NhËn trôc Oy lµm trôc ®èi xøng

www.VNMATH.com

49

49


N¨m häc 2011 - 2015


- §å thÞ ë phÝa trªn trôc hoµnh nÕu a > 0. - §å thÞ ë phÝa d−íi trôc hoµnh nÕu a < 0.

D¹ng 5: §iÓm thuéc vµ kh«ng thuéc ®å thÞ hµm sè.

*) §iÓm thuéc ®−êng th¼ng. - §iÓm A(xA; yA) ∈(d): y = ax + b (a≠ 0) khi vµ chØ khi yA = axA + b - §iÓm B(xB; yB) ∈(d): y = ax + b (a≠ 0) khi vµ chØ khi yB= axB + b

*) §iÓm thuéc Parabol : Cho (P) y = ax2 ( ≠a 0 ) - §iÓm A(x0; y0) ∈(P) ⇔ y0 = ax0

2. - §iÓm B(x1; y1) ∉(P) ⇔ y1 ≠ ax1

2.

D¹ng 6: X¸c ®Þnh hµm sè D¹ng 7: X¸c ®Þnh ®iÓm cè ®Þnh cña hµm sè *) Ph−¬ng ph¸p: §Ó t×m ®iÓm cè ®Þnh mµ ®−êng th¼ng y = ax + b ( ≠a 0 ; a,b cã chøa tham sè) lu«n ®i qua víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè m, ta lµm nh− sau:

� B−íc 1: Gäi ®iÓm cè ®Þnh lµ A(x0; y0) mµ ®−êng th¼ng y = ax + b lu«n ®i qua víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè m

� B−íc 2: Thay x = x0; y = y0 vµo hµm sè ®−îc y0 = ax0 + b, ta biÕn ®æi vÒ d¹ng <=> 0 0 0 0A(x ,y ).m B(x ,y ) 0+ = , ®¼ng thøc nµy lu«n ®óng

víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè m hay ph−¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm m � B−íc 3: §Æt ®iÒu kiÖn ®Ó ph−¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm.

( 0 0 0 0A(x ,y ).m B(x ,y ) 0+ = , cã v« sè nghiÖm =⇔

=

0 0

0 0

A(x ,y ) 0

B(x ,y ) 0)

D¹ng 8: T×m giao ®iÓm cña hai ®å thÞ 8.1: T×m giao ®iÓm cña hai ®−êng th¼ng. Giao ®iÓm cña hai ®−êng th¼ng (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2

Lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh 1 1

2 2

y a x b

y a x b

= +

= +

8.2: T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña Parabol víi ®−êng th¼ng. Cho (P) : y = ax2 (a ≠ 0) vµ (d) : y = mx + n.

� XÐt ph−¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm ax2 = mx + n. � Gi¶i ph−¬ng tr×nh t×m x.

O x y

a < 0

O x

y

a > 0

www.VNMATH.com



� Thay gi¸ trÞ x võa t×m ®−îc vµo hµm sè y = ax2 hoÆc y = mx + n ta t×m ®−îc y.

+ Gi¸ trÞ cña x t×m ®−îc lµ hoµnh ®é giao ®iÓm. + Gi¸ trÞ cña y t×m ®−îc lµ tung ®é giao ®iÓm.

8.3: T×m sè giao ®iÓm cña ®−êng th¼ng vµ Parabol. Cho (P) : y = ax2 (a ≠ 0) vµ (d) : y = mx + n. XÐt ph−¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm ax2 = mx + n. (*) + Ph−¬ng tr×nh (*) v« nghiÖm (∆ < 0) ⇔ (d) vµ (P) kh«ng cã ®iÓm

chung. + Ph−¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm kÐp (∆= 0) ⇔ (d) tiÕp xóc víi (P). + Ph−¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt (∆ > 0 hoÆc ac < 0)

⇔ (d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. 8.4: T×m gi¸ trÞ cña mét tham sè khi biÕt giao ®iÓm cña hai ®−êng th¼ng. 8.5: T×m gi¸ trÞ cña 2 tham sè khi biÕt giao ®iÓm cña hai ®−êng th¼ng. 8.6: T×m gi¸ trÞ cña tham sè khi biÕt sè giao ®iÓm cña Parabol vµ ®−êng

th¼ng. Cho (d) : y = ax + b vµ (P): y = a’x2 (a’≠ 0)(a’, a, b cã chøa tham sè) XÐt ph−¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm a’x2 = ax + b. (*) + (d) vµ (P) kh«ng cã ®iÓm chung ⇔Ph−¬ng tr×nh (*) v« nghiÖm (∆ < 0) + (d) tiÕp xóc víi (P) ⇔ Ph−¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm kÐp (∆= 0). NghiÖm kÐp lµ hoµnh ®é ®iÓm tiÕp xóc + (d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt ⇔Ph−¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt (∆ > 0 hoÆc ac < 0). Hai nghiÖm ®ã lµ hoµnh ®é cña hai giao ®iÓm 8.7: T×m gi¸ trÞ cña tham sè khi biÕt to¹ ®é giao ®iÓm cña Parabol vµ ®−êng

th¼ng. Cho (d): y = ax + b vµ (P): y = a’x2 (a’≠ 0)

(a’, a, b cã chøa tham sè) T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó (d) vµ (P) c¾t nhau t¹i A(xA; yA). C¸ch lµm: Thay täa ®é cña A vµo hµm sè cña (d); (P) ®Ó t×m gi¸ trÞ cña tham sè. Dang 9: LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm 9.1: LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm

A(xA; yA) vµ B(xB; yB) trong ®ã xA ≠ xB vµ yA ≠ yB. Ph−¬ng ph¸p: Gäi ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) cÇn lËp ®i qua A vµ B cã d¹ng

y = ax + b (a≠ 0). Do A∈(d) thay x = xA; y = yA vµo y = ax + b ta cã yA = axA + b

(1)

Do B∈(d) thay x = xB; y = yB vµo y = ax + b ta cã yB = axB + b (2)

www.VNMATH.com

51

51


N¨m häc 2011 - 2015


Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh: = +

= +

A A

B B

y ax b

y ax b

Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh nµy t×m ®−îc a, b vµ suy ra ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) cÇn lËp

9.2: LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua M(x0 ; y0) vµ cã hÖ sè gãc lµ k. � B−íc 1: Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng cã hÖ sè gãc k cã d¹ng

y = kx + b � B−íc 2: §−êng th¼ng nµy ®i qua M(x0 ; y0) => 0 0y kx b= +

=> 0 0b y kx= −

� B−íc 3: Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng cÇn t×m lµ y = 0 0kx y kx+ −

9.3: LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm A(m; yA) vµ B(m; yB) trong ®ã yA ≠ yB.

Ph−¬ng ph¸p: Do A(m; yA) ∈(d): x = m; Do B(m; yB) ∈(d) : x = m; VËy ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng cÇn lËp lµ: (d): x = m 9.4: LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm

A(xA; n) vµ B(xB; n) trong ®ã xA ≠ xB. Ph−¬ng ph¸p: Do A(xA; n) ∈(d): y = n; Do B(xB; n) ∈(d) : y = n; VËy ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng cÇn lËp lµ: (d): y = n 9.5: LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua ®iÓm A(xA ; yA) vµ tiÕp

xóc víi ®−êng cong 2y ax (a 0)= ≠ � B−íc 1: Gi¶ sö ph−¬ng tr×nh cÇn lËp lµ y = a’x + b’ � B−íc 2: §−êng th¼ng nµy tiÕp xóc víi ®−êng cong 2y ax (a 0)= ≠

khi vµ chØ khi ph−¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm 2ax a'x b'= + cã nghiÖm kÐp. Ta cho 0∆ = , t×m ra mét hÖ thøc gi÷a a’ vµ b’ (1)

� B−íc 3: §−êng th¼ng ®i qua A(xA ; yA) => A Ay a'x b'= + (2)

� B−íc 4: Tõ (1) vµ (2) ta cã mét hÖ ph−¬ng tr×nh hai Èn lµ a’ vµ b’. Gi¶i hÖ t×m ®−îc a’ vµ b’ => ph−¬ng tr×nh cÇn lËp

9.6: LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng cã hÖ sè gãc lµ k vµ tiÕp xóc

víi ®−êng cong 2y ax (a 0)= ≠ � B−íc 1: Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng cÇn t×m gi¶ sö lµ y = ax + b

V× ®−êng th¼ng cã hÖ sè gãc lµ k nªn a = k => y = kx + b � B−íc 2: §−êng th¼ng y = kx + b tiÕp xóc víi ®−êng cong

2y ax (a 0)= ≠ <=> ph−¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm 2 2kx b ax ax kx b 0+ = <=> − − = cã nghiÖm kÐp

www.VNMATH.com



Cho 0( ' 0)∆ = ∆ = => b = ? � B−íc 3: Tr¶ lêi

D¹ng 10: Ba ®iÓm th¼ng hµng 10.1: Chøng minh ba ®iÓm th¼ng hµng.

� B−íc 1: LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm. � B−íc 2: Chøng minh ®iÓm cßn l¹i thuéc ®−êng th¼ng võa lËp.

10.2: T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó ba ®iÓm th¼ng hµng. � B−íc 1: LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm cã to¹ ®é ®¬n

gi¶n nhÊt. � B−íc 2: Thay to¹ ®é cña ®iÓm cßn l¹i vµo ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng

võa lËp. Gi¶i ph−¬ng tr×nh vµ t×m tham sè. D¹ng 11: Ba ®−êng th¼ng ®ång qui 11.1: Chøng minh ba ®−êng th¼ng ®ång qui.

� B−íc 1: T×m giao ®iÓm cña hai ®−êng th¼ng. � B−íc 2: Chøng minh giao ®iÓm ®ã thuéc ®−êng th¼ng cßn l¹i.

11.2: T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó ba ®−êng th¼ng ®ång qui. � B−íc 1: T×m giao ®iÓm cña hai ®−êng th¼ng ®¬n gi¶n nhÊt. � B−íc 2: Thay to¹ ®é giao ®iÓm trªn vµo ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng

cßn l¹i. Gi¶i ph−¬ng tr×nh vµ t×m tham sè. D¹ng 12: VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña hai ®å thÞ cña hai hµm sè 12.1: VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña hai ®å thÞ cña hai hµm sè bËc nhÊt Cho hai ®−êng th¼ng : (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2 +) (d1) c¾t (d2) ⇔ a1 ≠ a2 +) (d1) // (d2) ⇔ a1 = a2 +) (d1) ≡ (d2) ⇔ a1 = a2 vµ b1 = b2 +) (d1) ⊥ (d2) ⇔ a1.a2 = -1 (ph¶i chøng minh míi ®−îc dïng) 12.2: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó hai ®−êng th¼ng c¾t nhau t¹i mét ®iÓm trªn

trôc tung. Cho (d1): y = a1x + b1 vµ (d2): y = a2x + b2

§Ó (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm trªn trôc tung th× ≠

=

1 2

1 2

a a (1)

b b (2)

Gi¶i (1) Gi¶i (2) vµ chän nh÷ng gi¸ trÞ tho¶ mXn (1). 12.3: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó hai ®−êng th¼ng c¾t nhau t¹i mét ®iÓm trªn

trôc hoµnh. Cho (d1): y = a1x + b1 vµ (d2): y = a2x + b2

§Ó (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm trªn trôc hoµnh th× ≠

− −

=

1 2

1 2

1 2

a a (1)

b b(2)

a a

L−u ý: ChØ nªn ¸p dông khi hai ph−¬ng tr×nh ®Òu chøa tham sè.

www.VNMATH.com

53

53


N¨m häc 2011 - 2015


D¹ng 13: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ®−êng th¼ng y = ax + b c¾t hai trôc täa ®é Ox, Oy t¹o thµnh mét tam gi¸c cã diÖn tÝch b»ng c � B−íc 1: §Ó ®å thÞ hµm sè y = ax + b c¾t hai trôc täa ®é t¹o thµnh

mét tam gi¸c th× ta cã ®iÒu kiÖn cÇn lµ: a 0,b 0≠ ≠ => ®iÒu kiÖn cña m

� B−íc 2: T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ víi hai trôc täa ®é; gi¶ sö A vµ B lÇn l−ît lµ giao ®iÓm cña ®å thÞ víi trôc tung vµ trôc hoµnh

� A(0 ; b) vµ B( b ;0a

− )

� B−íc 3: XÐt tam gi¸c vu«ng OAB cã

SOAB = b1 1OA.OB b . c

2 2 a−= ⋅ =

=> m = ? (kiÓm tra víi ®iÒu kiÖn ë b−íc 1) D¹ng 14: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ®−êng th¼ng y = ax + b c¾t hai trôc täa ®é Ox, Oy t¹o thµnh mét tam gi¸c c©n Çch 1:

� B−íc 1: §Ó ®å thÞ hµm sè y = ax + b c¾t hai trôc täa ®é t¹o thµnh mét tam gi¸c th× ta cã ®iÒu kiÖn cÇn lµ: a 0,b 0≠ ≠ => ®iÒu kiÖn cña m

� B−íc 2: T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ víi hai trôc täa ®é; gi¶ sö A vµ B lÇn l−ît lµ giao ®iÓm cña ®å thÞ víi trôc tung vµ trôc hoµnh

� A(0 ; b) vµ B( b ;0a

− )

� B−íc 3: Tam gi¸c OAB c©n <=> OA = OB <=> bba

−= (*)

Gi¶i ph−¬ng tr×nh (*) ta t×m ®−îc gi¸ trÞ cña m (kiÓm tra ®iÒu kiÖn ë b−íc1)

Çch 2: §å thÞ hµm sè c¾t hai trôc täa ®é t¹o thµnh mét tam gi¸c c©n khi vµ chØ khi ®−êng th¼ng y = ax + b song song víi ®−êng th¼ng y = x hoÆc song song víi ®−êng th¼ng y = - x

D¹ng 15: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó giao ®iÓm cña hai ®−êng th¼ng ax + by = c vµ a’x + b’y = c’ n»m trong çc gãc phÇn t− cña hÖ trôc täa ®é. � B−íc 1: T×m täa ®é giao ®iÓm A(x ; y) cña hai ®−êng th¼ng, chÝnh

lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh: ax by c

a'x b'y c'

+ =

+ =

� B−íc 2:

+) NÕu A n»m trong gãc phÇn t− thø I th× ®iÒu kiÖn lµ: x 0

y 0

>

>

+) NÕu A n»m trong gãc phÇn t− thø II th× ®iÒu kiÖn lµ: x 0

y 0

<

>

www.VNMATH.com



+) NÕu A n»m trong gãc phÇn t− thø III th× ®iÒu kiÖn lµ: x 0

y 0

<

<

+) NÕu A n»m trong gãc phÇn t− thø IV th× ®iÒu kiÖn lµ: x 0

y 0

>

<

� B−íc 3: T×m m = ? D¹ng 16: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ tham sè ®Ó ®a thøc f(x) = Ax + B b»ng ®a thøc 0

� B−íc 1: §a thøc f(x) = Ax + B b»ng ®a thøc 0 <=> A 0

B 0

=

=

� B−íc 2: Gi¶i hÖ nµy t×m ®−îc gi¸ trÞ cña tham sè VVVV ---- Çc Çc Çc Çc d¹ng to¸n vÒ hÖ ph−¬ng tr×nhd¹ng to¸n vÒ hÖ ph−¬ng tr×nhd¹ng to¸n vÒ hÖ ph−¬ng tr×nhd¹ng to¸n vÒ hÖ ph−¬ng tr×nh

LÝ thuyÕt chungLÝ thuyÕt chungLÝ thuyÕt chungLÝ thuyÕt chung

1. §Þnh nghÜa: HÖ hai ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn cã d¹ng tæng qu¸t lµ:

+ =

+ =

ax by c(I)

a' x b 'y c ' (trong ®ã a, b, c, a’ , b’, c’ cã thÓ chøa tham sè)

2. §Þnh nghÜa nghiÖm, tËp nghiÖm - NghiÖm (x0 ; y0) cña hÖ (I) lµ nghiÖm chung cña hai ph−¬ng tr×nh

trong hÖ - NÕu hai ph−¬ng tr×nh trong hÖ kh«ng cã nghiÖm chung th× hÖ

ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm - Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh lµ t×m tÊt c¶ çc nghiÖm (t×m tËp nghiÖm)

cña nã. *) §iÒu kiÖn ®Ó hÖ hai ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn cã nghiÖm duy

nhÊt, cã v« sè nghiÖm, v« nghiÖm. ax by c

a' x b'y c '

+ =

+ = (a, b, c, a’, b’, c’ kh¸c 0)

+ HÖ cã v« sè nghiÖm nÕu a b c

a' b ' c '= =

+ HÖ v« nghiÖm nÕu a b c

a' b ' c '= ≠

+ HÖ cã mét nghiÖm duy nhÊt nÕu a b

a' b '≠

+ §iÒu kiÖn cÇn ®Ó hÖ v« nghiÖm hoÆc v« sè nghiÖm lµ ab’ – a’b = 0

3. Çc ph−¬ng ph¸p gi¶i hÖ hai ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn .

www.VNMATH.com

55

55


N¨m häc 2011 - 2015


ax by c

a' x b'y c '

+ =

+ =

a) Ph−¬ng ph¸p céng ®¹i sè. *) Çch gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh b»ng ph−¬ng ph¸p céng ®¹i sè

� B−íc1: Nh©n hai vÕ cña mçi ph−¬ng tr×nh víi mét sè thÝch hîp (nÕu cÇn) sao cho çc hÖ sè cña mét Èn nµo ®ã trong hai ph−¬ng tr×nh cña hÖ b»ng nhau hoÆc ®èi nhau.

� B−íc 2: ¸p dông quy t¾c céng ®¹i sè ®Ó ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh míi, trong ®ã cã mét ph−¬ng tr×nh mµ hÖ sè cña mét trong hai Èn b»ng 0 (tøc lµ ph−¬ng tr×nh mét Èn)

� B−íc 3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh mét Èn võa thu ®−îc, råi suy ra nghiÖm cña hÖ ®· cho

*) Tæng qu¸t:

+ NÕu cã ax by c

ax b'y c '

+ =

− + =⇔

+ = +

− + =

(b b')y c c '

ax b'y c '

+ NÕu cã ax by c

ax b'y c '

+ =

+ = ⇔

(b b')y c c '

ax b'y c '

− = −

+ =

+ NÕu cã ax by c

k.ax b'y c '

+ =

+ =⇔

+ =

+ =

k.ax kby kc

k.ax b'y c '⇔

(kb b')y k.c c '

ax by c

− = −

+ =

b) Ph−¬ng ph¸p thÕ. *) Çch gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh b»ng ph−¬ng ph¸p thÕ

� B−íc 1: Dïng quy t¾c thÕ biÕn ®æi hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho ®Ó ®−îc mét hÖ ph−¬ng tr×nh míi, trong ®ã cã mét ph−¬ng tr×nh mét Èn

� B−íc 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh mét Èn võa cã, råi suy ra nghiÖm cña hÖ ®· cho

*) Tæng qu¸t:

ax by c

a' x b'y c '

+ =

+ =⇔

a cy x

b ba' x b'y c '

= − +

+ =

⇔

= − +

+ − + =

a cy x

b ba c

a ' x b ' x c 'b b

c) Ph−¬ng ph¸p ®å thÞ - VÏ hai ®−êng th¼ng biÓu diÔn hai tËp nghiÖm cña hai ph−¬ng

tr×nh trong hÖ - Dùa vµo ®å thÞ, xÐt vÞ trÝ t−¬ng ®èi cña hai d−êng th¼ng

+) NÕu hai ®−êng th¼ng c¾t nhau th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt, dùa vµo ®å thÞ ®o¸n nhËn nghiÖm duy nhÊt ®ã, sau ®ã thö l¹i vµ kÕt luËn nghiÖm cña hÖ

+) NÕu hai ®−êng th¼ng song song th× hÖ v« nghiÖm +) NÕu hai ®−êng th¼ng trïng nhau th× hÖ cã v« sè nghiÖm

www.VNMATH.com



Chó ý: Cã thÓ ®Æt Èn phô tr−íc khi ¸p dông c¸c ph−¬ng ph¸p gi¶i hÖ: (¸p dông cho c¸c hÖ ph−¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu, d−íi dÊu c¨n bËc hai.)


D¹ng 1: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh kh«ng chøa tham sè D¹ng 2: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh khi biÕt gi¸ trÞ cña tham sè Ph−¬ng ph¸p:

� B−íc 1: Thay gi¸ trÞ cña tham sè vµo hÖ ph−¬ng tr×nh � B−íc 2: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh kh«ng chøa tham sè võa thu ®−îc.

D¹ng 3: Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph−¬ng tr×nh theo tham sè - Dïng ph−¬ng ph¸p céng hoÆc thÕ ®Ó t×m x theo tham sè m (hoÆc y

theo tham sè m), lµm xuÊt hiÖn ph−¬ng tr×nh cã d¹ng : Ax = B (1) (hoÆc Ay = B)

� NÕu A = 0 th× ph−¬ng tr×nh (1) cã d¹ng 0x = B. +) Khi B = 0 th× ph−¬ng tr×nh (1) cã d¹ng 0x = 0

⇒ ph−¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm => hÖ ph−¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm

+) Khi B ≠ 0 ph−¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm => hÖ ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm

� NÕu A ≠ 0 th× ph−¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm duy nhÊt B

A

=> hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt BxA

y y(m)

= =

D¹ng 4: T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm

duy nhÊt, v« nghiÖm, v« sè nghiÖm. *) §iÒu kiÖn ®Ó hÖ hai ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn cã nghiÖm duy

nhÊt, cã v« sè nghiÖm, v« nghiÖm. ax by c

a' x b'y c '

+ =

+ = (a, b, c, a’, b’, c’ kh¸c 0)

+ HÖ cã v« sè nghiÖm nÕu a b c

a' b ' c '= =

+ HÖ v« nghiÖm nÕu a b c

a' b' c '= ≠

+ HÖ cã mét nghiÖm duy nhÊt nÕu a b

a' b '≠

D¹ng 5: T×m gi¸ trÞ tham sè khi biÕt dÊu cña nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh

www.VNMATH.com

57

57


N¨m häc 2011 - 2015


D¹ng 6: T×m gi¸ tham sè khi biÕt nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh 6.1: T×m mét gi¸ trÞ tham sè khi biÕt nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh.

Cho hÖ ph−¬ng tr×nh : + =

′ ′ ′+ =

ax by c (1)

a x b y c (2)

T×m gi¸ trÞ tham sè ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm 0

0

x x

y y

=

=

C¸ch 1: Thay x = x0; y = y0 lÇn l−ît vµo (1) vµ gi¶i. Thay x = x0; y = y0 lÇn l−ît vµo (2) vµ gi¶i. C¸ch 2:

Thay x = x0; y = y0 vµo c¶ hai ph−¬ng tr×nh vµ gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh chøa Èn lµ tham sè

6.2: T×m hai gi¸ trÞ tham sè khi biÕt nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh.

Cho hÖ ph−¬ng tr×nh: ax by c

a x b y c

+ =

′ ′ ′+ = cã nghiÖm 0

0

x x

y y

=

=

� B−íc 1: Thay x = x0; y = y0 vµo c¶ hai ph−¬ng tr×nh cña hÖ ph−¬ng

tr×nh ta ®−îc 0 0

0 0

ax by c

a x b y c

+ =

′ ′ ′+ =

� B−íc 2: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh chøa Èn lµ tham sè. D¹ng 7: T×m gi¸ trÞ tham sè khi biÕt hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y.

Cho hÖ ph−¬ng tr×nh : ax by c (1)

a x b y c (2)

+ =

′ ′ ′+ =(I)

Cã nghiÖm (x; y) tho¶ mXn: px + qy = d (3) � B−íc 1: Tr−íc hÕt cÇn t×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó hÖ (I) cã

nghiÖm duy nhÊt � B−íc 2: Do (x; y) lµ nghiÖm cña hÖ (I) vµ tho¶ mXn (3) ⇒ (x; y) lµ

nghiÖm cña (1), (2), (3). KÕt hîp 2 ph−¬ng tr×nh ®¬n gi¶n nhÊt ®Ó ®−îc mét hÖ ph−¬ng tr×nh => Gi¶i hÖ t×m nghiÖm thay vµo ph−¬ng tr×nh cßn l¹i

� B−íc 3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh chøa Èn lµ tham sè

D¹ng 8: T×m gi¸ trÞ tham sè m ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt (x0 ; y0) lµ nh÷ng sè nguyªn

� B−íc 1: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt � B−íc 2: Ph©n tÝch x0 ; y0 d−íi d¹ng

0bx a víi a, b Z

A(m)= + ∈

0dy c víi c, d Z

B(m)= + ∈

www.VNMATH.com



0

0

bx Z Z A(m) ¦ (b)A(m) m ?dy Z Z B(m) ¦ (d)B(m)

∈ <=> ∈ <=> ∈

=> =∈ <=> ∈ <=> ∈

*) §Æc biÖt nÕu :

0bx a víi a, b Z

A(m)= + ∈

0dy c víi c, d Z

A(m)= + ∈

=> 0 0x ,y Z A(m) ¦ C(b,d) m ?∈ <=> ∈ => =

D¹ng 9: T×m gi¸ trÞ tham sè ®Ó biÓu thøc liªn hÖ gi÷a x, y lµ P(x,y) = ax2 + bx + c nhËn gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt. Çch 1:

� B−íc 1: Tr−íc hÕt t×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt

� B−íc 2: BiÕn ®æi biÓu thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y lµ: P(x,y) = kA2(x) + d (d lµ h»ng sè).

� k < 0 ⇒ kA2(x) ≤ 0 ⇒ kA2(x) + d ≤ d ⇒P(x,y) ≤ d Gi¸ trÞ lín nhÊt cña P(x,y) b»ng d ®¹t ®−îc khi A(x) = 0.

� k > 0 ⇒ kA2(x) ≥ 0 ⇒ kA2(x) + d ≥ d ⇒P(x,y) ≥ d Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P(x,y) b»ng d ®¹t ®−îc khi A(x) = 0.

Çch 2: P(x,y) = ax2 + bx + c ⇔ ax2 + bx + c – P(x,y) = 0

� B−íc 1: TÝnh ∆ hoÆc '∆ . � B−íc 2: §Æt ®iÒu kiÖn ∆ ≥ 0 ( '∆ ≥0)

⇒ Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh chøa Èn P(x,y). � P(x,y) ≥ e ⇒Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P(x,y) b»ng e ®¹t ®−îc

khi

∆ = '∆ = 0 ⇔ bx

2a

−= = b'

a

− .

� P(x,y) ≤ e ⇒Gi¸ trÞ lín nhÊt cña P(x,y) b»ng e ®¹t ®−îc khi

∆ = '∆ = 0 ⇔ bx

2a

−= = b'

a

−

D¹ng 10: T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo tham sè

1. Ph−¬ng ph¸p:

Cho hÖ ph−¬ng tr×nh: ax by c

a 'x b'y c '

+ =

+ = trong ®ã a, b, c, a’, b’, c’ chøa

tham sè m. T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo tham sè m ?

*) Çch 1:

www.VNMATH.com

59

59


N¨m häc 2011 - 2015


� B−íc 1: Tõ mét ph−¬ng tr×nh cña hÖ ta rót m theo x vµ y lµ m = A(x,y)

� B−íc 2: Thay m = A(x,y) vµo ph−¬ng tr×nh thø hai cña hÖ ta ®−îc hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo tham sè m

*) Çch 2: Sö dông ®èi víi hÖ ph−¬ng tr×nh cã tham sè m d−íi d¹ng bËc nhÊt

� B−íc 1: Tõ hÖ ph−¬ng tr×nh ax by c m A(x,y)

a 'x b'y c ' m B(x,y )

+ = = =>

+ = =

� B−íc 2: Cho A(x,y) = B(x,y). §©y lµ hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo tham sè m

L−u ý: Ta cÇn rót gän çc hÖ thøc sao cho ng¾n gän, ®¬n gi¶n nhÊt D¹ng 11: T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó hai hÖ ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng - Hai hÖ ph−¬ng tr×nh ®−îc gäi lµ t−¬ng ®−¬ng nÕu chóng cã cïng mét tËp nghiÖm (tøc lµ mäi nghiÖm cña hÖ nµy ®Òu lµ nghiÖm cña hÖ kia vµ ng−îc l¹i) D¹ng 12: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh theo ph−¬ng ph¸p ®Æt Èn phô vµ gi¶i mét sè hÖ ph−¬ng tr×nh kh«ng ë d¹ng hÖ hai ph−¬ng tr×nh

bËc nhÊt hai Èn (hÖ ®Æc biÖt) VI VI VI VI – Ph−¬ng tr×nh bËc hai mét ÈnPh−¬ng tr×nh bËc hai mét ÈnPh−¬ng tr×nh bËc hai mét ÈnPh−¬ng tr×nh bËc hai mét Èn

PhÇn I: Ph−¬ng tr×nh PhÇn I: Ph−¬ng tr×nh PhÇn I: Ph−¬ng tr×nh PhÇn I: Ph−¬ng tr×nh kh«ng chøa tham sèkh«ng chøa tham sèkh«ng chøa tham sèkh«ng chøa tham sè

I. §Þnh nghÜa: Ph−¬ng tr×nh bËc hai mét Èn (nãi gän lµ ph−¬ng tr×nh bËc hai) lµ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng 2 0 ( 0)ax bx c a+ + = ≠

Trong ®ã: x lµ Èn; a, b, c lµ nh÷ng sè cho tr−íc gäi lµ çc hÖ sè II. Ph©n lo¹i. 1. Ph−¬ng tr×nh khuyÕt c: ax2 + bx = 0 (a ≠0) Ph−¬ng ph¸p gi¶i: ax2 + bx = 0 (a, b ≠0)

⇔ x(ax + b) = 0⇔x 0

bx

a

=

− =

Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = 0; x2 = −b

a

2. Ph−¬ng tr×nh khuyÕt b: ax2 + c = 0 (a, c ≠0) Ph−¬ng ph¸p gi¶i:

www.VNMATH.com



ax2 + c = 0 (a ≠0)

⇔ 2 cx

a

−=

+)

+)

NÕu c

a

− < 0 ⇒ Ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm.

NÕu c

a

− > 0 ⇒ Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:

−=1

cx

a; −

= −2

cx

a

3. Ph−¬ng tr×nh bËc hai ®Çy ®ñ: ax2 + bx + c = 0 (a , b, c ≠0) *) C«ng thøc nghiÖm:

∆= b2 - 4ac +) ∆ < 0 ⇒ Ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm +) ∆ > 0 ⇒ ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:

x1 = − + ∆b

2a; x2 =

− − ∆b

2a

+) ∆ = 0 ⇒ Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: x1 = x2 =b

2a

−

* ) C«ng thøc nghiÖm thu gän

NÕu b = 2b’ (b’ = 2b )→ ta cã : ∆’ = b’2 - ac

+ NÕu ∆’ > 0 → ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ :

1 2

' ' ' ' ; x

b bx

a a

− + ∆ − − ∆= =

+ NÕu ∆’ = 0 → ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp

x1 = x2 = 'b

a

−

+ NÕu ∆’ < 0 → ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm

PhÇn II PhÇn II PhÇn II PhÇn II –––– Çc d¹ng pÇc d¹ng pÇc d¹ng pÇc d¹ng ph−¬ng tr×nh chøa tham sèh−¬ng tr×nh chøa tham sèh−¬ng tr×nh chøa tham sèh−¬ng tr×nh chøa tham sè D¹ng 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh khi biÕt gi¸ trÞ cña tham sè Thay gi¸ trÞ cña tham sè vµo ph−¬ng tr×nh vµ gi¶i ph−¬ng tr×nh D¹ng 2: Gi¶i vµ biÖn ph−¬ng tr×nh theo tham sè Tæng qu¸t:

� Víi a = 0: Ph−¬ng tr×nh trë thµnh ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt bx + c = 0. + NÕu b ≠ 0 th× ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = −c

b

+ NÕu b = 0 vµ c ≠ 0 th× ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm. + NÕu b = 0 vµ c = 0 th× ph−¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm.

� Víi a ≠0 ph−¬ng tr×nh trë thµnh ph−¬ng tr×nh bËc hai cã biÖt sè: ∆ = b2 – 4ac ( hay ∆ ’ = b’2 – ac)

www.VNMATH.com

61

61


N¨m häc 2011 - 2015


+ NÕu ∆ < 0 (∆ ’ < 0) th× ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm. + NÕu ∆ = 0 (∆ ’ = 0) th× ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp :

x1 = x2 = - b

2a = 'b

a−

+ NÕu ∆ > 0 (∆ ’ > 0) th× ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:

x1 = − + ∆ − + ∆

=b b' '

2a a; x2 =

− − ∆ − − ∆=

b b' '

2a a

D¹ng 3: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm - XÐt hai tr−êng hîp cña hÖ sè a:

� Tr−êng hîp 1: a = 0, ta t×m ®−îc mét vµi gi¸ trÞ cña m, sau ®ã thay trùc tiÕp vµo ph−¬ng tr×nh råi kÕt luËn víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña m th× ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm

� Tr−êng hîp 2: a ≠ 0, ph−¬ng tr×nh bËc hai mét Èn cã nghiÖm <=> ( )0 ' 0∆ ≥ ∆ ≥

D¹ng 4: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt Ph−¬ng tr×nh bËc hai mét Èn cã hai nghiÖm ph©n biÖt

<=> 0

0( ' 0)

a ≠

∆ > ∆ >

D¹ng 5: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp

Ph−¬ng tr×nh bËc hai mét Èn cã nghiÖm kÐp <=> 0

0( ' 0)

a ≠

∆ = ∆ =

D¹ng 6: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm - XÐt hai tr−êng hîp cña hÖ sè a:

� Tr−êng hîp 1: a = 0, ta t×m ®−îc mét vµi gi¸ trÞ cña m, sau ®ã thay trùc tiÕp vµo ph−¬ng tr×nh råi kÕt luËn víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña m th× ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm

� Tr−êng hîp 2: a ≠ 0, ph−¬ng tr×nh bËc hai mét Èn v« nghiÖm <=> ( )0 ' 0∆ < ∆ <

D¹ng 7: Chøng minh ph−¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt §Ó chøng minh ph−¬ng tr×nh lu«n lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt:

� C¸ch 1: Chøng minh: 0

0

a

ac

≠

<

www.VNMATH.com



� C¸ch 2: Chøng minh: ≠

∆ >

a 0

0

Chó ý: Cho tam thøc bËc hai ∆ = 2am bm c+ +

§Ó chøng minh 0, m∆ > ∀ ta cÇn chøng minh 2m

a 0

b 4ac 0

>

∆ = − <

D¹ng 8: T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu, tr¸i dÊu, cã hai nghiÖm d−¬ng, cã hai nghiÖm ©m, cã hai nghiÖm d−¬ng ph©n biÖt, cã hai nghiÖm ©m ph©n biÖt, cã hai nghiÖm lµ hai sè ®èi nhau, cã hai nghiÖm lµ hai sè nghÞch ®¶o cña nhau Cho ph−¬ng tr×nh 2 0ax bx c+ + = ; trong ®ã a, b, c chøa tham sè

Theo ®Þnh lÝ Vi - Ðt, ta cã : 1 2

1 2

bS x xa

cP x xa

= + = − = =

a) Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu <=>

0

0

0

a

P

≠

∆ ≥ >

hoÆc 0

0

0

a

ac

≠

∆ ≥ >

b) Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu <=> 0

0

a

P

≠

< hoÆc

0

0

a

ac

≠

<

c) Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm d−¬ng <=>

0

0

0

0

a

P

S

≠∆ ≥

> >

d) Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m <=>

0

0

0

0

a

P

S

≠∆ ≥

> <

e) Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm d−¬ng ph©n biÖt <=>

0

0

0

0

a

P

S

≠∆ >

> >

www.VNMATH.com

63

63


N¨m häc 2011 - 2015


f) Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m ph©n biÖt <=>

0

0

0

0

a

P

S

≠∆ >

> <

g) Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lµ hai sè ®èi nhau

<=>

1 2

0

0

0

a

bS x xa

≠

∆ ≥

= + = − =

h) Ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm lµ hai sè nghÞch ®¶o cña nhau

<=>

1 2

0

0

1

a

cP x xa

≠

∆ ≥

= = =

D¹ng 9: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm

� B−íc 1: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm.

� B−íc 2: TÝnh x1 + x1 = −b

a vµ x1.x1 =

c

a

� B−íc 3: BiÓu thÞ ®−îc c¸c biÓu thøc theo x1 + x1 vµ x1.x1 ; sau ®ã thay gi¸ trÞ cña x1 + x1 vµ x1.x1 vµo ®Ó tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc.

Chó ý: + = + −2 2 2a b (a b) 2ab

+ = + − +3 3 3a b (a b) 3ab(a b)

− = + −2 2(a b) (a b) 4ab

+ = + + ≥2( a b) (a b) 2 a.b (a,b 0)

+ = + −4 4 2 2 2 2 2a b (a b ) 2a b

+ = +

= + − + ≥

3 3a b a a b b

( a b)(a ab b) (a,b 0)

D¹ng 10: T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 tháa m·n mét trong c¸c ®iÒu kiÖn sau:

a) 1 2x xα β γ+ = b) 1 2

1 1 nx x

+ = c) 2 21 2x x k+ = d) 3 3

1 2x x t+ = ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

www.VNMATH.com



� B−íc 1: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm

x1, x2. Gi¶i hÖ §K: 0

0

a ≠

∆ ≥ => m = ?

� B−íc 2: Theo hÖ thøc Vi – Ðt, ta cã: 1 2

1 2

bS x xa

cP x xa

= + = − = =

� B−íc 3: BiÕn ®æi ®iÒu kiÖn cña ®Ò bµi (lµ mét ®¼ng thøc hoÆc bÊt ®¼ng thøc) ®Ó cã tæng vµ tÝch hai nghiÖm, sau ®ã thay tæng vµ tÝch hai nghiÖm cã ®−îc ë b−íc 2 vµo ®iÒu kiÖn võa biÕn ®æi; tõ ®ã gi¶i ph−¬ng tr×nh hoÆc bÊt ph−¬ng tr×nh víi biÕn lµ tham sè ®Ó t×m gi¸ trÞ cña tham sè. TiÕp theo kiÓm tra xem çc gi¸ trÞ tham sè t×m ®−îc cã tháa mXn hÖ ®iÒu kiÖn ë b−íc 1 hay kh«ng ?

HoÆc cã bµi to¸n ta kÕt hîp ®iÒu kiÖn cña ®Ò bµi víi mét hÖ thøc Vi - Ðt ®Ó t×m hai nghiÖm x1, x2 (gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh víi hai Èn lµ x1, x2); sau ®ã ta thay x1, x2 vµo hÖ thøc Vi – Ðt cßn l¹i ®Ó t×m tham sè.

D¹ng 11: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph−¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = x1. T×m nghiÖm cßn l¹i

� B−íc 1: Thay x = x1 vµo ph−¬ng tr×nh, ta cã:

21 1 0 ?ax bx c m+ + = => =

� B−íc 2: §Ó t×m nghiÖm cßn l¹i x2 ta thùc hiÖn theo hai çch: Çch 1: Thay gi¸ trÞ cña m vµo ph−¬ng tr×nh ban ®Çu. Tõ ®ã cã ph−¬ng

tr×nh bËc hai vµ gi¶i ph−¬ng tr×nh nµy ta t×m ®−îc x2

Çch 2: TÝnh x2 nhê ®Þnh lÝ Vi - Ðt: 2 1 2 1 hoÆc x = P : xx S x= −

D¹ng 12: T×m ph−¬ng tr×nh bËc hai khi biÕt tr−íc hai nghiÖm sè

� Tr−êng hîp 1: Cho tõng nghiÖm x1, x2 . Ta cã ph−¬ng tr×nh víi Èn x lµ :

( ) 21 2 1 2 1 2( ) 0 ( ) 0x x x x x x x x x x− − = <=> − + + =

� Tr−êng hîp 2: Kh«ng cã x1, x2 riªng � B−íc 1: T×m S = 1 2x x+ vµ P = 1 2x x

� B−íc 2: Ph−¬ng tr×nh víi Èn x lµ 2 0x Sx P− + = .

Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm <=> 2 4S P≥

D¹ng 13: LËp ph−¬ng tr×nh bËc hai khi biÕt mèi liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh cÇn lËp víi hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh cho tr−íc.

� B−íc 1: KiÓm tra §K cã nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh. � B−íc 2: TÝnh tæng vµ tÝch hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®X cho

www.VNMATH.com

65

65


N¨m häc 2011 - 2015


1 2 1 2

b cx x , x .x

a a

−+ = =

� B−íc 3: TÝnh tæng vµ tÝch hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh cÇn lËp x3 vµ x4 th«ng qua mèi liªn hÖ víi x1 , x2.

� B−íc 4: LËp ph−¬ng tr×nh.

D¹ng 14: T×m ®¼ng thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo tham sè

� Çch 1: � B−íc 1: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2.

Gi¶i hÖ ®iÒu kiÖn 0

0

a ≠

∆ ≥

� B−íc 2: TÝnh hÖ thøc Vi - Ðt: −

= + = = =

1 2

1 2

bS x x

ac

P x .xa

� B−íc 3: Khö tham sè trong hÖ thøc Vi – Ðt, t×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a S vµ P. §ã lµ hÖ thøc ®éc lËp víi tham sè gi÷a çc nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh.

� Çch 2: � B−íc 1: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2.

Gi¶i hÖ ®iÒu kiÖn 0

0

a ≠

∆ ≥

� B−íc 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh t×m x1, x2. � B−íc 3: T×m hÖ thøc (khö tham sè).

D¹ng 15: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña tam thøc bËc hai

2y ax bx c (a 0)= + + ≠ Çch 1: BiÕn ®æi y = kA2(x) + m (m lµ h»ng sè).

� k < 0 ⇒ kA2(x) ≤ 0 ⇒ kA2(x) + m ≤ m ⇒y ≤ m Gi¸ trÞ lín nhÊt cña y b»ng m ®¹t ®−îc khi A(x) = 0.

� k > 0 ⇒ kA2(x) ≥ 0 ⇒ kA2(x) + m ≥ m ⇒y ≥ m Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña y b»ng m ®¹t ®−îc khi A(x) = 0. Çch 2: y = ax2 + bx + c ⇔ ax2 + bx + c – y = 0 + B−íc 1: TÝnh ∆ hoÆc '∆ . + B−íc 2: §Æt ®iÒu kiÖn ∆ ≥ 0 ( '∆ ≥0) ⇒ Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh chøa Èn y.

� y ≥ m ⇒Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña y b»ng m ®¹t ®−îc khi

www.VNMATH.com



∆ = '∆ = 0 ⇔ bx

2a

−= = b'

a

− .

� y ≤ m ⇒Gi¸ trÞ lín nhÊt cña y b»ng m ®¹t ®−îc khi

∆ = '∆ = 0 ⇔ bx

2a

−= = b'

a

−

D¹ng 16: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña biÓu thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm

� B−íc 1: KiÓm tra sù cã nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh

� B−íc 2: TÝnh 1 2 1 2

b cx x , x .x

a a

−+ = =

� B−íc 3: BiÕn ®æi biÓu thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm lµ A(x1; x2) vÒ d¹ng cã chøa x1+ x2 vµ x1.x2

� B−íc 4: Thay x1 + x2 vµ x1.x2 vµo biÓu thøc A. Khi ®ã A trë thµnh tam thøc bËc hai Èn lµ tham sè.

� B−íc 5: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña A. Chän gi¸ trÞ tham sè thÝch hîp.

D¹ng 17: Chøng minh biÓu thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo tham sè

� B−íc 1: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm

1 2x ,x

� B−íc 2: TÝnh hÖ thøc Vi- Ðt: −

+ = =

1 2

1 2

bx x

ac

x .xa

� B−íc 3: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc theo x1+ x2 vµ x1.x2 ; thÊy kÕt qu¶ lµ mét h»ng sè => BiÓu thøc liªn hÖ gi÷u hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo tham sè

� D¹ng 18: T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh tháa m·n bÊt ®¼ng thøc ®· cho. D¹ng 19: T×m hai sè khi biÕt tæng vµ tÝch cña chóng

NÕu hai sè u vµ v tho¶ mXn + =

=

u v S

u.v P (S2 ≥ 4P). Th× u vµ v lµ nghiÖm

cña ph−¬ng tr×nh x2 - Sx + P = 0 (*) - NÕu ph−¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt 1 2x ,x . Do x, y cã vai trß

nh− nhau nªn cã hai cÆp sè tháa mXn lµ 1

2

u x

v x

=

= hoÆc 2

1

u x

v x

=

=

www.VNMATH.com

67

67


N¨m häc 2011 - 2015


- NÕu ph−¬ng tr×nh (*) cã nghiÖp kÐp 1 2x x a= = => u = v = a

- NÕu ph−¬ng tr×nh (*) v« nghiÖm => Kh«ng t×m ®−îc cÆp gi¸ trÞ (u, v) nµo tháa mXn yªu cÇu ®Ò bµi D¹ng 20: T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó hai ph−¬ng tr×nh bËc hai mét Èn cã nghiÖm chung

Cho hai ph−¬ng tr×nh 2 2ax bx c 0 (a 0) vµ a 'x b'x c ' 0 (a ' 0)+ + = ≠ + + = ≠

Trong ®ã a,b,c,a ', b',c ' chøa tham sè m

*) Çch 1: � Hai ph−¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm chung khi vµ chØ khi hÖ

ph−¬ng tr×nh: 2

2

ax bx c 0 (a 0)

a 'x b'x c ' 0 (a ' 0)

+ + = ≠ + + = ≠

cã nghiÖm

� Trõ vÕ víi vÕ cña hai ph−¬ng tr×nh trong hÖ ta cã ph−¬ng tr×nh d¹ng:

A(m).x = B(m) +) NÕu A(m) = 0, tõ ®¼ng thøc nµy ta rót ra mét vµi gi¸ trÞ cña m, sau ®ã thay trùc tiÕp vµo hai ph−¬ng tr×nh → gi¶i hai ph−¬ng tr×nh kh«ng chøa tham sè vµ xÐt xem øng víi gi¸ trÞ m ®ã hai ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm chung hay kh«ng ?

+) NÕu A(m) 0≠ => x = B(m)A(m)

(chøa tham sè). Thay vµo mét

trong hai ph−¬ng tr×nh ta rót ra mét vµi gi¸ trÞ cña m, sau ®ã thay tõng gi¸ trÞ cña m vµo hai ph−¬ng tr×nh → gi¶i hai ph−¬ng tr×nh kh«ng chøa tham sè vµ xÐt xem øng víi gi¸ trÞ m ®ã hai ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm chung hay kh«ng ?

+) NÕu A(m) 0≠ => x = B(m)A(m)

(kh«ng chøa tham sè), kÕt luËn

ngay ®©y lµ nghiÖm chung cña hai ph−¬ng tr×nh. Thay nghiÖm chung ®ã vµo mét trong hai ph−¬ng tr×nh ta rót ra gi¸ trÞ cña m

� KÕt luËn: øng víi gi¸ trÞ m nµo th× hai ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm chung, nghiÖm chung lµ g× ?

*) Çch 2: ChØ thùc hiÖn çch gi¶i nµy ë mét sè bµi to¸n ®¬n gi¶n Tõ hai ph−¬ng tr×nh

2ax bx c 0 + + = => m = A(x)

2a 'x b'x c ' 0+ + = => m = B(x)

www.VNMATH.com



Ta cã: A(x) = B(x). Gi¶i ph−¬ng tr×nh nµy ta ®−îc nghiÖm chung cña hai ph−¬ng tr×nh, sau ®ã thay nghiÖm chung ®ã vµo mét trong hai ph−¬ng tr×nh ta t×m ®−îc gi¸ trÞ cña tham sè m, nÕu cÇn thiÕt thö l¹i ®Ó kiÓm tra Çch 3: ChØ thùc hiÖn çch gi¶i nµy ë mét sè bµi to¸n ®¬n gi¶n Tõ mét trong hai ph−¬ng tr×nh ta rót m theo x vµ thÕ vµo ph−¬ng tr×nh kia, ®−îc ph−¬ng tr×nh Èn x; tõ ph−¬ng tr×nh nµy ta t×m ®−îc nghiÖm chung, sau ®ã t×m m = ? D¹ng 21: Chøng minh trong hai ph−¬ng tr×nh bËc hai mét Èn cã Ýt nhÊt mét ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm Cho hai ph−¬ng tr×nh 2 2ax bx c 0 (a 0) vµ a 'x b'x c ' 0 (a ' 0)+ + = ≠ + + = ≠

Trong ®ã a,b,c,a ', b',c ' chøa tham sè

Chøng minh Ýt nhÊt mét trong hai ph−¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm Ph−¬ng ph¸p: Çch 1: Gäi 1 2,∆ ∆ lÇn l−ît lµ biÖt thøc cña hai ph−¬ng tr×nh. Ta cÇn

chøng minh +) 1 2 0∆ + ∆ ≥ => 1∆ 0≥ hoÆc 2∆ 0≥ hoÆc 1 2,∆ ∆ 0≥

+) 1 2. 0∆ ∆ ≤ => 1∆ 0≥ hoÆc 2∆ 0≥

VËy Ýt nhÊt mét trong hai ph−¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm Çch 2: Chøng minh b»ng ph¶n chøng

Gi¶ sö c¶ hai ph−¬ng tr×nh ®Òu v« nghiÖm. Khi ®ã 1 20, 0∆ < ∆ <

Ta lËp luËn dÉn ®Õn ®iÒu v« lÝ => ph¶i cã Ýt nhÊt mét trong hai biÖt thøc kh«ng ©m. VËy cã Ýt nhÊt mét trong hai ph−¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm

D¹ng 22: T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó hai ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng - LÝ thuyÕt chung: Hai ph−¬ng tr×nh ®−îc gäi lµ t−¬ng ®−¬ng nÕu chóng cã cïng mét tËp nghiÖm *) D¹ng 22.1: Hai ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt T×m nghiÖm cña hai ph−¬ng tr×nh theo tham sè vµ cho hai nghiÖm b»ng nhau, tõ ®ã t×m ®−îc gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó hai ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng *) D¹ng 22.2: Hai ph−¬ng tr×nh bËc hai mét Èn XÐt hai tr−êng hîp

� Tr−êng hîp1: Hai ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm chung Tr−íc hÕt t×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó hai ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm chung sau ®ã thay gi¸ trÞ cña tham sè vµo hai ph−¬ng

www.VNMATH.com

69

69


N¨m häc 2011 - 2015


tr×nh vµ t×m tËp nghiÖm cña chóng. NÕu tËp nghiÖm b»ng nhau th× hai ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng => gi¸ trÞ cña tham sè

� Tr−êng hîp 2: Hai ph−¬ng tr×nh cïng v« nghiÖm <=> 1

2

0

0

∆ <

∆ <

=> Gi¸ trÞ cña tham sè §Æc biÖt: NÕu nhËn thÊy mét trong hai ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm

( 1 20 hoÆc 0∆ ≥ ∆ ≥ )

=> Hai ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng khi hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh nµy còng lµ hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh kia, do ®ã ta cã thÓ ¸p dông vi - Ðt cho c¶ hai ph−¬ng tr×nh vµ t×m tham sè.

Cô thÓ ta cã: 1 2 1 2b b' c c 'x x ;x x m ?a a ' a a '

− − −+ = = = = => =

D¹ng 23: T×m gi¸ trÞ cña tham sè khi biÕt nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh 23.1: T×m gi¸ trÞ cña tham sè khi biÕt mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh.

Cho ph−¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 (a≠ 0) cã mét nghiÖm x = x1. Çch gi¶i:

� B−íc1: Thay x = x1 vµo ph−¬ng tr×nh ax12 + bx1 + c = 0.

� B−íc 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh cã Èn lµ tham sè. 23.2: T×m gi¸ trÞ cña tham sè khi biÕt hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh.

Cho ph−¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 (1) (a≠ 0) cã hai nghiÖm x = x1; x = x2. Çch 1:

� B−íc 1: Thay x = x1; x = x2 vµo ph−¬ng tr×nh (1) ta cã hÖ ph−¬ng

tr×nh: + + =

+ + =

21 1

22 2

ax bx c 0

ax bx c 0

� B−íc 2: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh cã Èn lµ tham sè. Çch 2:

� B−íc 1: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm.

� B−íc 2: Theo Vi - Ðt −

+ = =

1 2

1 2

bx x

ac

x .xa

� B−íc 3: Thay x = x1; x = x2 vµo hÖ vµ gi¶i ta ®−îc gi¸ trÞ cña tham sè.

D¹ng 24: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ tham sè ®Ó tam thøc bËc hai lu«n lu«n d−¬ng hoÆc lu«n lu«n ©m víi mäi x

Cho tam thøc bËc hai f(x) = 2ax bx c (a 0)+ + ≠

f(x) = ( ) ( )22 22

2 2b c b b 4ac ba(x x ) a x a xa a 2a 2a4a 4a

− ∆+ + = + − = + −

www.VNMATH.com



+) NÕu 0∆ < => ( )2

2bx2a 4a

∆+ − > 0. Khi ®ã f(x) cïng dÊu víi hÖ sè a,

ta cã çc tr−êng hîp sau

� f(x) > 0, x∀ <=> a 0

0

>

∆ <

� f(x) < 0, x∀ <=> a 0

0

<

∆ <

� f(x) ≥ 0, x∀ <=> a 0

0

>

∆ ≤

� f(x) ≤ 0, x∀ <=> a 0

0

<

∆ ≤

+) NÕu 2b0 f (x) a(x )2a

∆ = => = +

=> f(x) cïng dÊu víi hÖ sè a, trõ tr−êng hîp x = b2a−

Khi x = b2a− th× f(x) = 0

VII VII VII VII – Gi¶i bµi to¸n b»ng çch lËp ph−¬ng tr×nh, lËp hÖ ph−¬ng tr×nh.Gi¶i bµi to¸n b»ng çch lËp ph−¬ng tr×nh, lËp hÖ ph−¬ng tr×nh.Gi¶i bµi to¸n b»ng çch lËp ph−¬ng tr×nh, lËp hÖ ph−¬ng tr×nh.Gi¶i bµi to¸n b»ng çch lËp ph−¬ng tr×nh, lËp hÖ ph−¬ng tr×nh.

LÝ thuyÕt chungLÝ thuyÕt chungLÝ thuyÕt chungLÝ thuyÕt chung

1. Çc b−íc gi¶i bµi to¸n b»ng çch lËp ph−¬ng tr×nh B−íc 1: LËp ph−¬ng tr×nh.

- Chän Èn sè vµ x¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn thÝch hîp cho Èn sè;

- BiÓu diÔn çc ®¹i l−îng ch−a biÕt theo Èn vµ çc ®¹i l−îng ®X biÕt;

- LËp ph−¬ng tr×nh biÓu thÞ mèi quan hÖ gi÷a çc ®¹i l−îng.

B−íc 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh.

B−íc 3: Tr¶ lêi: KiÓm tra xem trong çc nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh,

nghiÖm nµo tho¶ mXn ®iÒu kiÖn cña Èn, nghiÖm nµo kh«ng råi kÕt luËn.

2. Çc b−íc gi¶i bµi to¸n b»ng çch lËp hÖ ph−¬ng tr×nh B−íc 1: LËp hÖ ph−¬ng tr×nh.

- Chän hai Èn sè vµ x¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn thÝch hîp cho chóng;

- BiÓu diÔn çc ®¹i l−îng ch−a biÕt theo çc Èn vµ çc ®¹i l−îng ®X biÕt;

www.VNMATH.com

71

71


N¨m häc 2011 - 2015


- LËp hai ph−¬ng tr×nh biÓu thÞ mèi quan hÖ gi÷a çc ®¹i l−îng.

B−íc 2: Gi¶i hÖ hai ph−¬ng tr×nh nãi trªn .

B−íc 3: Tr¶ lêi: KiÓm tra xem trong çc nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh, nghiÖm nµo tho¶ mXn ®iÒu kiÖn cña Èn, nghiÖm nµo kh«ng råi kÕt luËn.


D¹ng 1: To¸n chuyÓn ®éng

- Ba ®¹i l−îng: S, v, t

- Quan hÖ: S = vt; t = S

v; v =

S

t (dïng c«ng thøc S = v.t tõ ®ã t×m mèi

quan hÖ gi÷a S , v vµ t) - Chó ý bµi to¸n can« :

Vxu«i dßng = Vthùc + Vn−íc ; Vng−îc dßng = Vthùc – Vn−íc *) To¸n ®i gÆp nhau cÇn chó ý ®Õn tæng quXng ®−êng vµ thêi gian b¾t ®Çu

khëi hµnh. *) To¸n ®uæi kÞp nhau chó ý ®Õn vËn tèc h¬n kÐm vµ quXng ®−êng ®i ®−îc

cho ®Õn khi ®uæi kÞp nhau

D¹ng 2: To¸n vÒ quan hÖ gi÷a çc sè = +ab 10a b

= + +abc 100a 10b c §iÒu kiÖn: 0 < a ≤ 9; 0 ≤ b, c ≤ 9 (a, b, c ∈ Z )

D¹ng 3: To¸n lµm chung, lµm riªng, n¨ng suÊt *) Bµi to¸n lµm chung, lµm riªng: + Qui −íc: C¶ c«ng viÖc lµ 1 ®¬n vÞ.

+ T×m trong 1 ®v thêi gian ®èi t−îng tham gia bµi to¸n thùc hiÖn ®−îc bao nhiªu phÇn c«ng viÖc.

+ C«ng thøc: PhÇn c«ng viÖc = 1Thêi gian

+ Sè l−îng c«ng viÖc = Thêi gian . N¨ng suÊt. *) Bµi to¸n n¨ng suÊt: + Gåm ba ®¹i l−îng: Tæng s¶n phÈm ; n¨ng suÊt; thêi gian + Quan hÖ: Tæng s¶n phÈm = N¨ng suÊt . Thêi gian;

=> Thêi gian = Tæng s¶n phÈm

N¨ng suÊt; N¨ng suÊt = Tæng s¶n phÈm

Thêi gian.

D¹ng 4: To¸n diÖn tÝch

www.VNMATH.com



D¹ng 5: To¸n cã quan hÖ h×nh häc D¹ng 6: To¸n cã néi dung lÝ, hãa D¹ng 7: To¸n d©n sè, to¸n phÇn tr¨m VIII VIII VIII VIII – Çc ph−¬ng ph¸p pÇc ph−¬ng ph¸p pÇc ph−¬ng ph¸p pÇc ph−¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n töh©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n töh©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n töh©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö Ph−¬ng ph¸p 1: §Æt nh©n tö chung a) Ph−¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung ®−îc dïng khi çc h¹ng tö cña ®a

thøc cã nh©n tö chung. Cô thÓ: AB + AC + AD = A(B + C + D) b) Çc b−íc tiÕn hµnh: B−íc 1: Ph¸t hiÖn nh©n tö chung vµ ®Æt nh©n tö chung ra ngoµi dÊu ngoÆc. B−íc 2: ViÕt çc h¹ng tö trong ngoÆc b»ng çch chia tõng h¹ng tö cña ®a thøc cho nh©n tö chung. Ph−¬ng ph¸p 2: Dïng h»ng ®¼ng thøc a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng ph−¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng

thøc ®−îc dïng khi çc h¹ng tö cña ®a thøc cã d¹ng h»ng ®¼ng thøc. b) Çc h»ng ®¼ng thøc quan träng

1) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 + + = + ≥2a 2 a.b b ( a b) (a,b 0) 2) a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 − + = − ≥2a 2 a.b b ( a b) (a,b 0) 3) a2 – b2 = (a + b).(a – b) 4) − = + − ≥a b ( a b).( a b) (a,b 0) 5) a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

+ + + = + ≥3 3 3a 3a b 3b a b ( a b) (a,b 0) 6) a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3 − + − = − ≥3 3 3a 3a b 3b a b ( a b) (a,b 0)

7) + = + − +3 3 2 2a b (a b)(a ab b )

+ = + = + − + ≥3 3a a b b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)

an + bn =(a + b)(an-1 - an-2b + ... - abn-2 + bn-1) víi n lÎ 8) − = − + +3 3 2 2a b (a b)(a ab b )

− = − = − + + ≥3 3a a b b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)

an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + ... + abn-2 + bn-1). 9) a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)2 + + + + + = + + ≥2a b c 2 ab 2 ac 2 bc ( a b c) (a,b 0)

2 2 2 2 2a b c d 2ab 2ac 2ad 2bc 2bd 2cd (a b c d)+ + + + + + + + + = + + + 10) Lòy thõa bËc n cña mét nhÞ thøc (nhÞ thøc Niu t¬n) – §èi t−îng HSG

www.VNMATH.com

73

73


N¨m häc 2011 - 2015


0

1

2 2 2

3 3 2 2 3

4 4 3 2 2 3 4

5 5 4 3 2 2 3 4 5

(a b) 1(a b) 1a 1b(a b) 1a 2ab 1b(a b) 1a 3a b 3ab 1b(a b) 1a 4a b 6a b 4ab 1b(a b) 1a 5a b 10a b 10a b 5ab 1b

+ =

+ = +

+ = + +

+ = + + +

+ = + + + +

+ = + + + + +

…………………………………………………………

ViÕt tam gi¸c Pa – xcan ®Ó khai triÓn n(a b)+ nh− sau: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 ………………………………………..

Çch viÕt: + Mçi dßng ®Òu b¾t ®Çu b»ng 1 vµ kÕt thóc b»ng 1 + Mçi sè trªn mét dßng kÓ tõ dßng thø hai ®Òu b»ng sè liÒn trªn céngvíi sè bªn tr¸i cña sè liÒn trªn.

Ph−¬ng ph¸p 3: Nhãm çc h¹ng tö Ph−¬ng ph¸p nµy th−êng ®−îc dïng cho nh÷ng ®a thøc cÇn ph©n tÝch thµnh nh©n tö ch−a cã nh©n tö chung hoÆc ch−a ¸p dông ngay ®−îc h»ng ®¼ng thøc mµ sau khi nhãm çc h¹ng tö ®ã hoÆc biÕn ®æi s¬ bé råi nhãm l¹i th× xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc hoÆc cã nh©n tö chung, cô thÓ:

B−íc 1: Ph¸t hiÖn nh©n tö chung hoÆc h»ng ®¼ng thøc ë tõng nhãm. B−íc 2: Nhãm ®Ó ¸p dông ph−¬ng ph¸p h»ng ®¼ng thøc hoÆc ®Æt nh©n tö chung. B−íc 3: §Æt nh©n tö chung cho toµn ®a thøc.

Ph−¬ng ph¸p 4: T¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö; hoÆc thªm, bít cïng mét h¹ng tö *) LÝ thuyÕt chung: Ph−¬ng ph¸p nµy nh»m biÕn ®æi ®a thøc ®Ó t¹o ra nh÷ng h¹ng tö thÝch hîp ®Ó nhãm hoÆc sö dông h»ng ®¼ng thøc: *) Çc tr−êng hîp: a, Tr−êng hîp ®a thøc d¹ng ax2 + bx + c ( a, b, c ∈ Z; a, b, c ≠ 0)

TÝnh : ∆ = b2 - 4ac: - NÕu ∆ = b2 - 4ac < 0: §a thøc kh«ng ph©n tÝch ®−îc. - NÕu ∆ = b2 - 4ac = 0: §a thøc chuyÓn vÒ d¹ng b×nh ph−¬ng cña mét nhÞ thøc bËc nhÊt - NÕu ∆ = b2 - 4ac > 0 +) ∆ = b2 - 4ac = k2 ( k ∈ Q) ®a thøc ph©n tÝch ®−îc trong tr−êng Q.

www.VNMATH.com



+) ∆ = b2 - 4ac ≠ k2 ®a thøc ph©n tÝch ®−îc trong tr−êng sè thùc R. b, Tr−êng hîp ®a thøc tõ bËc 3 trë lªn: - NhÈm nghiÖm cña ®a thøc: +) NÕu tæng çc hÖ sè cña çc h¹ng tö b»ng 0 ⇒ ®a thøc cã nghiÖm b»ng 1. +) NÕu tæng çc hÖ sè cña çc h¹ng tö bËc ch½n b»ng tæng çc hÖ sè cña çc h¹ng tö bËc lÎ ⇒ ®a thøc cã nghiÖm b»ng - 1. - L−u ý ®Þnh lý: " NÕu ®a thøc cã nghiÖm nguyªn th× nghiÖm nguyªn ®ã

ph¶i lµ −íc cña h¹ng tö tù do. NÕu ®a thøc cã nghiÖm h÷u tØ d¹ng pq th×

p lµ −íc cña h¹ng tö tù do, q lµ −íc d−¬ng cña hÖ sè cña h¹ng tö cã bËc cao nhÊt". - Khi biÕt mét nghiÖm cña ®a thøc ta cã thÓ dïng phÐp chia ®a thøc, hoÆc dïng s¬ ®å Hooc – ne ®Ó h¹ bËc cña ®a thøc. Ph−¬ng ph¸p 5: Dïng phÐp chia ®a thøc (nhÈm nghiÖm) - §a thøc f(x) chia hÕt cho ®a thøc g(x) khi vµ chØ khi: f(x)= g(x).q(x)

(q(x) lµ th−¬ng cña phÐp chia) *) §Æc biÖt : f(x) chia hÕt cho x - a <=> f(a) = 0 Ph−¬ng ph¸p 6: Ph−¬ng ph¸p ®Æt Èn phô (®æi biÕn) - Dùa vµo ®Æc ®iÓm cña ®a thøc ®4 cho ta ®−a vµo 1 hoÆc nhiÒu biÕn míi ®Ó ®a thøc trë thµnh ®¬n gi¶n .Ph−¬ng ph¸p nµy th−êng ®−îc sö dông ®Ó ®−a mét ®a thøc bËc cao vÒ ®a thøc bËc 2 mµ ta cã thÓ ph©n tÝch ®−îc dùa vµo t×m nghiÖm cña ®a thøc bËc 2 . - CÇn ph¸t hiÖn sù gièng nhau cña çc biÓu thøc trong ®a thøc ®Ó chän vµ ®Æt Èn phô cho thÝch hîp Ph−¬ng ph¸p 7: Ph−¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh (®ång nhÊt hÖ sè) Trªn c¬ së bËc cña ®a thøc ph¶i ph©n tÝch, ta x¸c ®Þnh çc d¹ng kÕt qu¶, ph¸ ngoÆc råi ®ång nhÊt hÖ sè vµ gi¶i. Ph−¬ng ph¸p 8: Ph−¬ng ph¸p vËn dông ®Þnh lÝ vÒ nghiÖm cña tam thøc bËc hai - ¸p dông ®Þnh lý: NÕu ®a thøc P = ax2 + bx + c cã nghiÖm x1, x2 th× :

P = a(x - x1)(x - x2) çc bµi to¸n ¸p dông ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö

1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh bËc cao:

www.VNMATH.com

Toan tai lieu on thi vao thpt

Education

Transcript of Toan tai lieu on thi vao thpt