TM3-Uebungsaufgaben (1)

TM3-Übungsaufgaben Prof. Dr.-Ing. Peter Wulf, Prof. Dipl.-Ing. P. Dalhoff, HAW Hamburg

1

Übungsaufgaben TM3 (Stand 10.03.2011) (Aufgaben mit * sind optional) 1. Kinematik des Massenpunktes 1.1) 1.2) 1.3) 1.4)

Geg.: Zwei Kettenförderer der Längen LA und LB bewegen jeweils ein Bauteil vom Punkt A bzw. B zum Punkt M, wo diese gleichzeitig ankommen sollen. Der Transport erfolgt mit konstanten Geschwindigkeiten. LA=200m, LB=140m, VA=1,25m/s, VB=2m/s

Ges.: a) Notwendige zeitliche Differenz t der Startzeiten b) Laufzeiten der beiden Teile

c) Bewegungsgleichungen sA(t), sB(t) d) Darstellung im s-t-Diagramm

Lösung: a) t=90s b) tA=160s, tB=70s c) sA(t)=vAt, sB(t)=LA+LB-vB(t-t) d) …

Geg.: Zwei Steine werden zeitversetzt aus der Ruhelage und gleicher Höhe in einen Brunnen fallen gelassen (g=9,81m/s²). Stein A startet bei t0=0s, Stein B bei t1=1s.

Ges.: Wie groß ist der Abstand s zwischen beiden bei t2=2s? . Lösung: s=14,715m

Geg.: Für eine beschleunigte Bewegung ist die Beschleu-nigungsfunktion a(s)=a0-cs² mit a0=5m/s2 und c=1m-1s-2 bekannt.

Ges.: a) Geschwindigkeitsfunktion v(s) (v0=0) b) Maximale (positive) Geschwindigkeit c) Weg bis zur Umkehr der Bewegungsrichtung Lösung: a) … b) vmax=3,86m/s c) s=3,87m

Geg.: Ein Zug beschleunigt aus der Geschwindigkeit v0=10m/s nach der Funktion a(v)=k/v4 (k=600m5/s6).

Ges.: a) Geschwindigkeit nach 30s. b) Zurückgelegter Weg nach 30s. Lösung: a) v=11,37m/s b) s=322,4m

A

B

MAv

BvBL

AL

g

A

B

s

a

s

0a


2

1.5) 1.6)

Geg.: Zwei Punkte (P1, P2) starten gleichzeitig in A ihre Bewe-gung auf einer Kreisbahn aus der Ruhe heraus. Punkt P1 bewegt sich mit konstanter Bahnbeschleunigung at1, Punkt P2 mit konstanter Winkelgeschwindigkeit 2. R und 2 sind gegeben.

Ges.: a) Wie groß muss at1 sein, damit sich beide Punkte in B treffen? b) Welche Winkelgeschwindigkeit hat P1 in B? c) Wie groß ist das Verhältnis der Radialbeschleu- nigungen der beiden Punkte in B?

Lösung: a) at1=2R2/ b) 1=22 c) ar1/ar2=4

A B

1P

2P

R

2

Geg.: Eine mit konstanter Winkelgeschwindigkeit =3rad/s drehende Führung verschiebt den Stift P in der Spiralbahn r=c· nach außen (c=0,4m).

Ges.: Radiale und zirkulare Geschwindigkeits- und Beschleunigungskomponenten beim Austritt des Stiftes aus der Führung (bei r1=0,5m).

Lösung: vr=1,2m/s v=1,5m/s ar=-4,5m/s² a=7,2m/s²

.

)(r

1r


3

2. Kinetik von Massenpunkten 2.1) 2.2) 2.3) 2.4)

Geg.: Eine Masse m wird bei t=0s aus einer Höhe h horizon-tal mit v0 abgeschossen. Für den Luftwiderstand in horizontaler Richtung gilt Fw=c0mvx². Der Luftwider-stand in vertikaler Richtung ist zu vernachlässigen.

h=15m, v0=100m/s, c0=0,05·1/m, g=9,81m/s²

Ges.: Zeit und Ort x des Aufschlags sowie horizontale Aufschlaggeschwindigkeit.

Lösung: t=1,75s, x=45,5m, vx=10,3m/s

0v

h

xg

Geg.: Eine Auto mit Masse m überfährt eine parabel-förmige Kuppe mit konstanter Geschwindigkeit v.

v=9m/s, m=800kg, s=80m, x0=80m, y0=20m

Ges.: Resultierende Führungskraft und resultierende Widerstandskraft im Punkt A.

Hinweis: Verwenden Sie natürliche Koordinaten (n-t):

- Krümmungsradius =(1+(y’)²)3/2 / |y’’| - Neigungswinkel der Fahrbahn tan=y’ Lösung: FN=6,73kN, FW=3,51kN

g

Geg.: In einem senkrecht stehendem Hohlzylinder (Radius R) wird in A eine Masse m mit der horizontalen Tan-gentialgeschwindigkeit v0 eingesetzt und spiralt dann an der glatten Innenseite nach unten.

H=5m, g=9,81m/s², v0,a)=6m/s, h=2m

Ges.: a) Bahnwinkel gegenüber der Horizontalen in B b) v0 so, dass die Masse in C unter 45° auftrifft Lösung: a) =46,2° b) v0=9,9m/s

g

Geg.: Eine Masse hat bei A die Geschwindigkeit v0. Zwischen Masse und Boden herrscht Gleitreibung () von A bis B. Bei B staucht die Masse (verlustfrei) eine Feder bewegt sich nach dem Rückstoß in Richtung von s.

L=1,2m, g=9,81m/s², v0=4m/s, =0,4

Ges.: An welcher Stelle s bleibt die Masse liegen? Lösung: s=0,84m

L

A

s

g


4

3. Kinetik von Massenpunktsystemen 3.1) 3.2) 3.3) 3.4)

210

2121 )(

mmm

Lmxmms

g

z

Geg.: Zwei Personen bewegen sich aus der Ruhe von den Rändern der reibungsfrei beweg-lichen und anfangs ruhenden Plattform mit konst. Geschwindigkeiten aufeinander zu.

m0, m1, m2 und L sind bekannt

Ges.: Erfolgte Verschiebung s der Plattform beim Zusammentreffen der Personen in Abhängig-keit von x1

Lösung:

Geg.: Drei gleiche Massen (m=2,75kg) sind jeweils über eine masselose Stange gleicher Länge gelenkig verbunden. Die Massen rutschen aus der skizzierten Ruhelage im Viertelkreis herunter in die Ebene (g=9,81m/s²).

Ges.: Aufgetretener Energieverlust wenn beim Übergang der letzten Masse in die Ebene die Systemgeschwindigkeit vS=1,56m/s beträgt

Lösung: E=2,52J

Geg.: Zwei kleine Massen m sind wie skizziert in Ruhelage durch einen Schnur (Länge 2b) verbunden. In der Schnurmitte trifft nun ein Geschoß (m0) senkrecht mit v0 ein (a) und lenkt die Schnur verlustfrei aus (b).

Ges.: a) Gesamtgeschwindigkeit des Systems unmittelbar bevor die Massen m sich berühren (c)

b) Winkelgeschwindigkeit für Pos. (c) Lösung: a) b)

g

.

mm

vmv

20

00

mm

m

b

v

20

00

Geg.: Vier gleiche Massen sind wie skizziert über ein reibungs-freies und masseloses Seil- und Rollensystem verbunden. An den (beweglichen) oberen beiden Seilrollen wirken die angegebenen Kräfte (g=9,81m/s²).

Ges.: Beschleunigung des Systemschwerpunktes Lösung: zS = -15,19m/s²

..


5

3.5) 3.6*)

Geg.: Ein Boot entfernt sich mit der Geschwindig-keit v1B vom Pier. Eine Person (Masse M) springt mit der relativen Horizontalgeschwin-digkeit w in das Boot. Unmittelbar nach dem Aufspringen bewegen sich beide mit der horizontalen Geschwindigkeit v2 weiter.

M=75kg, w=1m/s, v1B=0,5m/s, v2=1m/s Ges.: Masse m des Bootes Lösung: m = 75kg

Geg.: Von einem antriebslos und reibungsfrei vorwärts treibenden Boot (Anfangsgeschwindigkeit v0, An-fangsmasse M) werden in Fahrtrichtung nachein-ander einzelne Massen m horizontal mit der Relativ-geschwindigkeit w abgeschossen.

M=500kg, m=20kg, v0=5m/s, w=60m/s

Ges.: Prüfen Sie, ob sich die Gleitrichtung des Bootes bereits nach dem zweiten Schuss umgekehrt hat.

Lösung: Nein, da v2=+0,1m/s

0v

m

(Klausuraufgabe)


6

4. Zentrischer Stoß 4.1) 4.2)

Geg.: Eine an einem Faden hängende Masse m1 wird aus der Höhe h1 aus der Ruhe losgelassen und stößt dann gegen die ruhende Masse m2.

m1=1kg, m2=2kg, h1=45cm, Stoßzahl e=0,75 Ges.: Rückschwinghöhe h der Masse m1

nach dem Stoß Lösung: h = 1,25cm

g

1m 2m1h

Geg.: Eine glatte Kugel (Durchmesser D, Masse m1) prallt mit der Geschwindigkeit v1 um D/2 versetzt auf eine ruhende glatte Kugel (Durchmesser D, Masse m2). Die 2. Kugel stößt an-schließend wie skizziert gegen eine glatte Seitenwand.

m1=1,2kg, m2=1kg, v1=3m/s, Stoßzahl zw. den Kugeln

eK=0,9, Stoßzahl zw. Wand und Kugel eW=0,8 Ges.: a) Geschwindigkeit von m2 nach dem ersten Stoß

b) Abprallwinkel Lösung: a) v2 = 2,69m/s b) = 24,8°

2m

1m1v


7

5. Kinematik des Starrkörpers (Bildquelle: Hibbeler, TM3) 5.1) 5.2) 5.3) 5.4*)

Geg.: Ein Ritzel rollt zwischen den beiden Zahnstangen. Die obere Zahnstange bewegt sich mit vC nach links, die untere mit vB nach rechts.

r=0,15m, vB=4m/s, vC=2m/s Ges.: a) Winkelgeschwindigkeit des Ritzels

b) Schwerpunktgeschwindigkeit vA Lösung: a) =20 rad/s b) vAx = 1m/s

Geg.: Das Ende der Stange bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit vA nach links. vA und r sind bekannt. Die Stange rutscht tangential zum Halbkreis ab.

Ges.: und als Funktion von x

Lösung:

.

22Av

rxx

r

2/3222

222A

)(

)2(v

rxx

rxr

x

Geg.: Die quadratische Platte wird in den Eckpunk-ten A und B geführt. Für die Winkellage =1 hat A die Geschwindigkeit vA.

vA=8m/s, 1=30°, a=0,3m Ges.: Geschwindigkeit von D in dieser Winkellage

Lösung: vD=5,72m/s

Geg.: Bei einem Planetengetriebe steht in der aktuellen Konfiguration das Außenrad still (R=0), während das Sonnenrad S mit S rotiert.

rS=80mm, S=5 rad/s, rP=40mm Ges.: a) P der Planetenräder P

b) A der Welle A

Lösung: a) P=5 rad/s b) A=1,67 rad/s


8

6. Kinetik des Starrkörpers bei Rotation und in der Ebene 6.1) 6.2) 6.3*) 6.4)

Geg.: Die Masse m wird mit einer Feder beschleunigt (Federweg s, Federsteifigkeit c) und rutscht über den Weg s bis sie ideal elastisch gegen ein ruhendes Pendel stößt. Dieses besteht aus einem Stab (Masse mS, Länge L) und einer Kugel (Masse mK, Radius rK). m=0,8kg, mS=1kg, mK=1kg, s=0,1m, rK=0,05m, s=0,5m, L=0,3m, c=250N/m, g=9,81m/s², =0,1 (B-C)

Ges.: Maximalauslenkung des Pendels

Lösung: =33,4°

Geg.: Eine Rolle (Gesamtmasse m) aus drei Scheiben gleicher Dicke d wird an einem Faden (parallel zur Schräge) gehalten und stützt sich an einer Schräge (Neigung ) über Haftreibung ab. m=0,5kg, r=40mm, R=60mm, g=9,81m/s², 0=0,4 (Haftung), =0,3 (Rutschen)

Ges.: a) Grenzwinkel , bei dem Rutschen einsetzt

b) Schwerpunktbeschleunigung für =60° Lösung: a) =45° b) a=2,39m/s²

g

Rr

ddd

0

L

m

Sm

Km

g

s

c

sB C

A

Geg.: Der homogene Stab der Masse m (Länge L) wird bei =0 aus der Ruhe freigegeben. Im Drehpunkt O herrscht Haftreibung mit 0=0,3.

Ges.: Winkel , ab dem der Stab beginnt

abzurutschen

Lösung: =8,53° (=arctan(0/2)) (Quelle: Hibbeler, TM3)

L32

L3

1

Geg.: Ein Stab (Masse m, Länge L) wird an seinen Enden über masselose Gleitstücke reibungsfrei in Nuten geführt. Am Gleitstück B greift die konstante Kraft P an. Zu Beginn befindet sich der Stab bei =0° in Ruhe.

m=10kg, P=50N, L=0,8m, g=9,81m/s² Ges.: Winkelgeschwindigkeit des Stabes bei =45°

Lösung: =6,11rad/s

(Quelle: Hibbeler, TM3)

g


9

ay32

6.5) 6.6*) 6.7*)

Geg.: Eine quadratische Platte (Masse m) ist an der Ecke A aufgehängt. In B wirkt auf sie ein horizontaler Kraftstoß. Die Kantenlänge a ist bekannt.

Ges.: Maß y für Stoßmíttelpunkt P

Lösung:

F̂

a

a a

a y

B

A

Geg.: Zwei Scheiben werden jeweils bei 0=30° gleichzeitig aus der Ruhe frei-gegeben. Bei =0° stoßen die Schei-ben teilelastisch zusammen.

e=0,75, r=1m, g=9,81m/s²

Ges.: Rückschwingwinkel 1

Lösung: 1=22,4°

g



Geg.: Eine freie Scheibe (Masse m, Radius R) rollt aus der skizzierten Ruhelage an einer Kreisbahn und an einer drehbar gelagerten baugleichen Scheibe ohne zu Rutschen ab.

R=20cm, m=8kg, FB=5N, g=9,81m/s2

Ges.: a) Schwerpunktgeschwindigkeit der freien Scheibe beim Übergang in die Ebene (bei s=0) b) Weg s, den die rollende Scheibe bis zum Still- stand zurücklegt, wenn in der Ebene die konstante Bremskraft FB im Schwerpunkt wirkt

Lösung: a) vS=1,497m/s b) s=2,689m s

m g

RRm

BF

(Klausuraufgabe)


10

7. Schwingungen 7.1) 7.2) 7.3)

Geg.: An eine drehbaren Scheibe (M, R) sind eine Feder (c) und ein Dämpfer (d) jeweils im Abstand a vom Mittel-punkt angelenkt. M, R, a, d, und c sind bekannt.

Ges.: a) Bewegungsgleichung um den Drehpunkt (kleine Ausl.) b) Eigenfrequenzen und d sowie Abklingkoeffizient c) Erforderliches Verhältnis a/R für starke Dämpfung

Lösung: a)

b)

c)

Geg.: Eine Rolle (M, R) ist am Ende eines einge-spannten masselosen elastischen Balkens (EI, L) drehbar befestigt. Um die Rolle verläuft ein durch eine Feder (c) vorgespanntes Seil ohne zu Rutschen. M, R, EI, L und c sind bekannt.

Ges.: a) Ersatzsystem mit Skizze

b) Ersatzfederzahl c* des Balkens c) Bewegungsgleichung in z für kleine Ausschläge um die statische Ruhelage d) Eigenkreisfrequenz

Lösung: a) … b) c*=3EI/L3 c) d)

Geg.: Der skizzierte Schwinger wird über eine Feder mit xe(t)=x0·cost fremd-erregt. Es können kleine Auslenkun-gen und reines Rollen der Scheibe angenommen werden. R, L, m, c, d2=mc, x0 und 2=c/m sind bekannt.

Ges.: a) Bewegungsgleichung in x b) Eigenfrequenz , Abklingkoeff. c) Amplitudenverhältnis x/x0 im

eingeschwungenen Zustand

Lösung: a) b) c) x/x0 = 5,66

03

4*2

z

M

ccz

3

3

3

86

ML

cLEI

RL

EI

cM

z

R

cM

d

a

a

0222

2

2

2

MR

ca

MR

da

M

c

R

a 2

2

2222

MR

adcMRad

2

2

MR

da

22

d

cM

R

a

R

L

)(txe

c m2

mL2

d

c2

x

txm

cx

m

cx

m

dx cos

13

8

13

12

13

10

m

c

13

12

m

c

26

1

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