Tiranë 2015 - api.fshn.edu.al
Transcript of Tiranë 2015 - api.fshn.edu.al
UNIVERSITETI I TIRANËS
FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS
DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS
PROGRAMI I STUDIMIT: ANALIZË DHE ALGJEBËR
TEZË DOKTORATURE
MBI INTEGRALIN E MEKSHEINIT NË HAPËSIRAT RIESZ
Doktoranti: Udhëhoqi:
Mimoza SHKËMBI (SEFA) Prof. Dr. Agron TATO
Tiranë 2015
i
UNIVERSITETI I TIRANËS
FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS
DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS
PROGRAMI I STUDIMIT: ANALIZË DHE ALGJEBËR
TEZË DOKTORATURE
paraqitur nga
Znj. Mimoza Shkëmbi (Sefa)
Udhëhequr nga
Prof. Dr. Agron Tato
Për marrjen e gradës shkencore
DOKTOR
Me temë
MBI INTEGRALIN E MEKSHEINIT NË HAPËSIRAT RIESZ.
Mbrohet më datë____/_______/ 2015 para jurisë:
1. Prof _______________________________ Kryetar
2. Prof ______________________________ Anëtar (Oponent)
3. Prof _______________________________ Anëtar (Oponent)
4. Prof _______________________________ Anëtar
5. Prof _______________________________ Anëtar
i
FALËNDERIME
Gjej rastin ti shpreh falënderim dhe mirënjohje pedagogut dhe udhëheqësit tim
shkencor Prof. Dr. Agron Tato, për mbështetjen, këshillat, orientimin dhe udhëheqjen
shkencore në realizimin e këtij punimi.
Falënderime për Fakultetin e Shkencave të Natyrës, Departamentin e Matematikës
dhe mirënjohje për pedagogët Prof. Dr. Xhezair Teliti, Prof. Dr. Fatmir Hoxha për
gadishmërinë e treguar në ofrimin e ndihmës institucionale, shkencore e profesionale.
Falënderoj familjen time për mbështetjen e pakursyer morale që më ka dhënë.
ii
Përmbledhje
Punimi është fokusuar tek studimi i integralit të Mekshein-it në hapësirat e renditura, duke evidentuar
faktin e rëndësishëm se krahas integralit të Henstock-ut në hapësira të renditura është i domosdoshëm
edhe studimi i integralit të Mekshein-it. Në vazhdim është evidentuar se ky lloj integrali në hapësirat e
Riesz-it është më i pasur se integrali i Henstock-ut dhe më adekuat në këto hapësira, duke fituar
rezultate në lidhje me integralin sipas (o)-konvergjencës dhe është treguar se kjo është një fushë e
gjerë studimi ku mund të arrihen rezultate të ngjashme. Më tej, është treguar se: integralet e renditura
në përgjithësi nuk respektojnë barazimin pothuajse kudo, përveç funksioneve të renditura të kufizuara.
Një tjetër ndryshim interesant është se integralet e renditura gëzojnë Lemat e tipit Hake dhe Henstock.
Ky fakt ka rrjedhime interesante në L-hapësira, ku integrali i Mekshein-it sipas renditjes është më e
fortë se ai i Bohnerit (sipas normës). Ne kemi studiuar disa aspekte të (D)-konvergjencës për
integralin e tipit Mekshein, si dhe është treguar në lidhje me këtë konvergjencë se integrali i Mekshein-
it ka po ato veti që ka integrali i Henstock-ut. Një vend i rëndësishëm i është kushtuar zbatimeve të
integralit të Mekshein-it në lidhje me vlerën e ndërmjetme, si dhe studimit të serive të Walsh-it.
Rezultatet e marra tregojnë përparësitë e këtij integrimi në hapësirat e renditura.
Fjalët kyçe: hapësirat Riesz, integrali i Henstock-ut, integrali i Mekshein-it, (o)-konvergjenca, (D)-
konvergjenca, vlera e ndërmjetme, seritë Walsh.
Abstract
Our thesis is concerned to the study of Mcshane integration on ordered space pointing out the
important fact that the study, in addition, the Henstock integral on these spaces is necessary and study
of Mcshane integral. Further, we highlight that this kind of integration on Riesz space has more rich
properties as Henstock one and furthermore it is more convenient. We have obtained more results with
respect Mcshane integral by o-convergence and we demonstrate that is opened on wide study field
where one can obtain similar results with Henstock integration.
We noticed that integrals in ordered space, in general, don‟t respect the almost everywhere equation,
beside the case of ordered and bounded mappings. One other interesting difference between these kinds
of integration is the fact that they possess the properties represented by Hake and Henstock lemmas.
We observe that on the case of L-space the order integral of Mcshane is stronger as Bochner one (by
norm).
In our study a wide place take part the (o)-convergence properties of ordered Mcshane integral. In the
third part we study Mcshane integration with respect of D-convergence and find the same properties as
Henstock integration. A great attention is paid to application of Mcshane integral with respect the
intermediate value and particulary the study of Walsh series. These results show the advantages of this
integration on ordered space.
Key words: Riesz space, Henstock integral, Mcshane integral, (o)-convergence, (D)-convergence,
intermediate value, Walsh series.
iii
PËRMBAJTJA
HYRJE.................................................................................................................................IV
1.KONCEPTE BAZË MBI HAPËSIRAT E RIESZ-IT
1.1 Hapësirat lineare pjesërisht të renditura..........................................................................1
1.2 Grup laticat e renditura……………………………………………...............................3
1.3 σ-shpërndarja e dobët………………………………….....................….....…................7
2.O-RENDITJA DHE INTEGRALI I MEKSHEIN-IT
2.1 Përkufizime të integraleve Mekshein dhe Bohner sipas renditjes…………….............14
2.2Krahasimi ndërmjet integralit të Mekshein-it sipas normës dhe sipas renditjes ……...20
2.3 Lema e tipit Hake dhe Henstok…………………………………………………….....22
2.4 Teorema konvergjence……………………………………………………...…...........32
2.5 VETIA DHE ……………………………………………….....................40
2.6 Integrueshmëria në S=[0,1]…………………………………...............……......….....44
2.7 Krahasimi i integralit të renditur të Meksheinit dhe integralit të renditur të
Petisit..................................................................................................................................45
3.INTEGRALI I MEKSHEIN-IT NË HAPËSIRAT E RIESZ-IT
3.1Përkufizimi dhe disa veti të tij…………………………………..............……......…...49
3.2Teorema konvergjence…………………………………………………………...........54
3.3Lema Henstock…………..........………………………………………….…...............58
3.5Teorema e konvergjencës se dominuar të Lebesgue…….........……….. …….............59
3.6 Një version i integralit të fortë të Mekshein-it…….....…….………….…...................61
3,7Teoremat themelore të njehësimit integral për DM-integralin………………..............62
4.APLIKACIONET E INTEGRALIT TË FORTË TË MEKSHEIN-IT PËR
SERITË WALSH.............................................................................................................65
Përfundime……………………………………….………………………........................69
Literatura……………………………………………………………………...................70
iv
HYRJE
Teoria e integrimit është një teori gjithmonë në zhvillim qysh nga fillimi i shekullit
të kaluar me zbulimet e Lebegut. Për shkak të nevojave të vazhdueshme të zgjidhjes
së problemeve me natyra të ndryshme siç janë problemet stokastike dhe sidomos në
zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale, është dashur të zgjerohet kuptimi i integrimit
duke futur klasa të reja funksionesh të integrueshme, që nuk ishin të tillë me
integrimet klasike, qoftë të Rimanit qoftë të Lebegut. Zbulimet e reja të integrimit të
tipit të Henstock-Kurzweil dhe të Mekshein-it të paraprirë nga integrimet e tipit të
Denjoy dhe Perron janë bërë objekt të studimit intensiv në literaturën e sotme
botërore. Është e njohur se shumë studime të ndryshme për integralin janë bërë në
shekullin e fundit, për funksionet me vlera reale, në mënyrë që të përgjithësohet
integrali i Riemannit. Një studim i plotë i lidhjes ndërmjet tipeve të ndryshme të
integraleve për funksionet me vlera reale mund të gjendet në [Fremlin], ku integralet e
Lebesgue dhe Mekshein, janë krahasuar në mënyrë të hollësishme, me integralet e
Denjoy-it dhe Pettisit, si dhe është përshkruar ekuivalenca midis integraleve
Mekshein dhe Lebesgue. Situata ndryshon thellësisht në rastin e funksioneve me vlera
në hapësirat Banah: në këtë rast, është e njohur se lloji më i fortë i integralit është ai
Bohner, nga i cili rrjedh integrueshmëria Birkhoff, që nga ana tjetër është më i fortë
se Mekshein dhe, ky i fundit është më i fortë se integrali Henstock dhe Pettis.
Literatura është e gjerë në këtë fushë dhe me interes të madh për këtë problem. Më
pas, për nevoja të aplikimeve në ekonomi ka nisur trajtimi i integraleve të tipit të
renditur për funksione që marrin vlerat e tyre në hapësirat vektoriale të renditura, dhe
në laticat Banah në veçanti: për shembull [4], [15], [35], [5], [17], [16], [6].
Gjithashtu një numër i madh punimesh i është kushtuar problemeve të konvergjencës
në këto hapësira: për shembull [10], [7].
Idea e Meksheinit për të ndërtuar një lloj të ri të integralit doli të jetë i suksesshëm
dhe jashtëzakonisht i dobishëm, jo vetëm nga ana didaktike, por edhe nga pikëpamja
shkencore. Ai ka aplikime shumë premtuese, për shembull në ekuacione diferenciale
dhe integralet sipërfaqësore. Hapësirat Riesz, nga ana tjetër, të ofrojnë një mjet shumë
të rëndësishëm në matematikën moderne dhe kanë shumë aplikacione praktike, për
shembull në ekonomi. Dihet se teoria e integrimit me vlerat në hapësira të renditura
nuk mund të reduktohet në teorinë analoge për hapësirat lokalisht konvekse. Nga ana
tjetër, në veprën klasike të matematikanit të njohur Schaefer, një vend të dukshëm në
hapësirat e renditura zenë operatorët pozitivë gjë që bën me interes integralin e tipit të
Mekshein-it që përputhet me atë të Henscok-ut në këtë rast. Kështu në këto hapësira
lindi interesi të studiohet edhe një lloj integrali i tipit të Mekshein-it sipas renditjes.
Kombinimi i teknikave të përdorura në hapësirat e renditura, me qasjen pak a shumë
algjebrike, e cila është në themel të ndryshimeve të shumave integrale për integralet e
tipit Riemann e bën interesant dhe inspirativ investigimin e integrimit të llojit
Mekshein për funksionet me vlera në hapësirat e renditura, të cilat janë të rëndësishme
nga pikëpamja e zbatimit të integrimit dhe teorisë së probabilitetit për hulumtime të
mëtejshme.
Disertacioni përbëhet nga katër kapituj.
Në kapitullin e parë, i cili ka vlerën e prezantimit të kuptimeve dhe pohimeve bazë të
përdorur në këtë studim, mbi hapësirat vektoriale të renditura, si hapësirat e Riesz-it,
laticat, grup laticat në hapësirat e Riesz-it, si dhe kemi paraqitur disa rezultate që
v
lidhen me konceptin (o)-konvergjencës dhe ( )-konvengjencës, ashtu si dhe -
shpërndarjen e dobët dhe vetinë Egorov.
Në kapitullin e dytë, jemi ndikuar nga puna e Candeloro dhe Sambucini të cilët kanë
përdorur (o)-konvergjencën në laticat e Banahut për tipin e integralit të Henstock-ut,
duke e krahasuar me përkufizimin e integralit të Henstock-ut në hapësirat e Banahut.
Ne kemi shtrirë studimin për integralin e tipit Mekshein për funksione të
përcaktuara në një hapësirë metrike kompakte T, të pajisur me një masë të rregullt -
aditive , dhe me vlera në një laticë Banah X. Në veçanti, në hapësirën , - është
marrë në konsideratë masa Lebesgue e zakonshme. Kryesisht, studiojmë dallimet
midis integraleve sipas normës dhe sipas renditjes të tipit Mekshein, për funksione që
marrin vlerat në një laticë Banah, me normë të renditur të vazhduar, duke treguar një
ndryshim të parë të tyre: integralet e renditura në përgjithësi nuk respektojnë
barazimin pothuajse kudo, përveç funksioneve të kufizuara sipas renditjes. Një tjetër
ndryshim interesant është se integralet e renditura gëzojnë të ashtuquajturat Lemat e
tipit Hake dhe Henstock: ky fakt ka rrjedhime të rëndësishme në L-hapësira, ku
integrueshmëria Mekshein është më e fortë se ajo e Bohnerit (sipas normës). Në
vazhdim është evidentuar se ky lloj integrali në hapësirat e Riesz-it është më i pasur
se integrali i Henstock-ut dhe më adekuat në këto hapësira, duke marrë rezultate në
lidhje me integralin sipas (o)-konvergjencës, si dhe është treguar se kjo është një
fushë e gjerë studimi ku mund të arrihen rezultate të ngjashme. Në vazhdim kemi
krahasuar integralin Mekshein me integrale të tjerë në këto hapësira, duke ecur në një
drejtim të ri dhe të pavarur.
Në kapitullin e tretë, të ndikuar nga puna e Boccuto, Riecan dhe Vrábelová për
integralin e Henstockut, kemi studiuar të njëjtat probleme për një lloj tjetër të
rëndësishëm të integrimit në hapësira të tilla, integralin Mekshein. Kemi paraqitur një
mënyrë tjetër përkufizimi të integralit Mekshein në hapësirat Riesz duke përdorur
lemën shumë të rëndësishme të Fremlin. Në vazhdim, kemi rindërtuar pothuajse të
gjitha vetitë e integralit Mekshein të përcaktuar në [27], [38] të cilët bëhen pak më të
fortë, duke arritur disa rezultate të reja në krahasim me ato Henstock-Kurzweil. Më tej
kemi studiuar disa aspekte të (D)-konvergjencës për integralet sipas renditjes të tipit
Mekshein, si dhe është treguar në lidhje me këtë konvergjencë se integrali i
Mekshein-it ka po ato veti që ka integrali i Henstock-ut. Kemi vazhduar duke dhënë
një version të integralit të fortë të Mekshein-it, si dhe konditën e nevojshme dhe të
mjaftueshme të këtij koncepti. Më tej provojmë Teorema themelore për llogaritjen e
(DM)-integralit.
Në kapitullin e katërt, një vend i rëndësishëm i është kushtuar zbatimeve në lidhje
me vlerën e ndërmjetme, si dhe studimit të serive të Walsh-it. Rezultatet e marra
tregojnë përparësitë e këtij integrimi në hapësirat e renditura. Për këtë qëllim kemi
marrë në shqyrtim seri Walsh me koeficientë nga një hapësirë Riesz dhe kemi dhënë
një aplikim të këtij integrimi. Koeficientët e një serie konvergjente Walsh mund t‟i
përcaktojmë prej shumës së saj duke përdorur formulat Furier. Ne mund të përdorimin
integralin Mekshein për funksionet me vlera në hapësirat Riesz, duke shfrytëzuar σ-
shpërndarjen e dobët në grup laticat.
1
KAPITULLI I
KONCEPTE BAZË MBI HAPËSIRAT E RIESZ-IT
1.1 HAPËSIRAT LINEARE PJESËRISHT TË RENDITURA
Në kapitullin e parë trajtojmë koncepte dhe pohime bazë mbi hapësirat vektoriale të
renditura si hapësirat e Riesz-it, laticat, si dhe vetitë themelore të grup laticave në
hapësirat e Riesz-it, si dhe kemi provuar disa rezultate që lidhen me konceptin e ( )- konvengjencës, -shpërndarjen e dobët dhe vetinë Egorov.
Përkufizim 1.1.1
Një bashkësi pjesërisht e renditur është çifti (A, ), ku A është një bashkësi dhe
është një relacion binar në A i tillë që:
( ) a a për çdo a ;
( ) nëse a dhe b dhe a dhe b , atëherë a b;
( ) nëse a, b dhe c dhe a b dhe b c, atëherë a c.
Le të jetë M një nënbashkësi e bashkësisë së renditur A.
Elementi x A (respektivisht z A) është kufi i sipërm (kufi i poshtëm) i M-së në
qoftë se y x për të gjithë y nga M (respektivisht z y për të gjithë y nga M).
Ndërkaq, në qoftë se ekziston një kufi i sipërm për M (respektivisht një kufi i
poshtëm), atëherë themi se M është e kufizuar nga sipër (e kufizuar nga poshtë ).
Në qoftë se M është e kufizuar nga poshtë dhe nga lartë, themi se M është e kufizuar
sipas renditjes.
Le të jenë x, y A të tillë që x y. Do të shënojmë:
[x, y] = { z A : x z y}
intervalin e renditur të kufizuar nga x dhe y. Duket qartë që një nënbashkësi M është e
kufizuar sipas renditjes atëherë dhe vetëm atëherë kur ajo përfshihet në një interval të
renditur.
Përkufizim 1.1.2. Superiori dhe inferiori
Le të jetë (A, ) një bashkësi pjesërisht e renditur dhe B një nënbashkësi e A.
Ekziston ose jo një element a A me vetinë për çdo c A, a c nëse b c për çdo
b B, që do të thotë: a c nëse c është një kufi i sipërm për B.
Duket qartë se nuk mund të gjendet më shumë se një element i tillë a. Nëse a gëzon
këtë veti, ne themi se „bashkësia B ka kufirin më të vogël të sipërm, i cili është
ose „ekziston sup B dhe sup B .
Në mënyrë të ngjashme, nëse ekziston inf B, është një element i A i tillë që për çdo c
A, c inf B nëse c për çdo b B.
Pra, vërejmë se:
inf B sup * +, sup B inf * +,
në veçanti
inf A = sup , sup A = Inf .
2
Përkufizim 1.1.3. Bashkësitë e drejtuara
Le të jetë (A, ) një bashkësi pjesërisht e renditur. Një bashkësi B A është e
drejtuar nga lart, B↑, nëse për çdo çift elementësh a, b të B ekziston një element c B i tillë që a c dhe b c. Shënojmë B↑a nëse B↑ dhe supB = a. Vërejmë se, * +
për çdo a A. Njësoj përcaktojmë ( B është drejtuar nga poshtë ), B a po me
drejtimin nga poshtë.
Përkufizim 1.1.4
Le të jenë (A, ) dhe (B, ≼) bashkësi pjesërisht të renditura. Një funksion f: A B
është rritës nëse a fa ≼ fb. Kur funksioni f: A është një varg ⟨ ⟩
rritës, pra kur ≼ për çdo n , e shkruajmë ⟨ ⟩ .
Në mënyrë të ngjashme, nëse vargu ⟨ ⟩ është zbritës, e shënojmë ⟨ ⟩
dhe nënkuptojmë ≼ për çdo n N. Nëse ⟨ ⟩ dhe ,
atëherë simbolikisht e shënojmë ⟨ ⟩ .
Në mënyrë të ngjashme përkufizojmë ⟨ ⟩ .
Përkufizim 1.1.5
Një funksion rritës f: është i vazhdueshëm sipas renditjes nëse:
Sup , - kur dhe është jo boshe dhe inf , - kur dhe jo
boshe.
(Nëse f është rritës, atëherë , - është e drejtuar kur C është e tillë, pra ajo është e
vetmja bashkësi e cila duhet të ketë superiorin dhe inferiorin e ruajtur në këtë mënyrë.
Një funksion rritës f: është i vazhdueshëm sipas renditjes nga e majta nëse ajo
plotëson konditën , - kur dhe . Themi që është i vazhdueshëm
sipas vargjesh të renditura nëse ⟨ ⟩ kur ⟨ ⟩ dhe ⟨ ⟩
kur ⟨ ⟩
Përkufizim 1.1.6. Bashkësi e mbyllur sipas renditjes
Le të jetë (A, ) bashkësi pjesërisht e renditur dhe , shënojmë:
* +,
* +
Atëherë B dhe B . Themi se B është e mbyllur sipas renditjes nëse
Përkufizim 1.1.7
Një hapësirë lineare pjesërisht e renditur është katërshja ( ) ku ( )
është një hapësirë lineare mbi një fushë ℝ të numrave reale dhe është një renditje e
pjesshme në R e tillë:
( ) Nëse , atëherë për çdo ;
( ) Nëse në R, atëherë kur në R.
Lemë 1.1.8
Le të jetë R hapësirë lineare pjesërisht e renditur, . Atëherë:
( ) sup ( ) sup nëse ekzistojnë të dy anët.
3
( ) sup ( ) inf nëse ekzistojnë të dy anët.
( ) sup ( ) sup inf nëse ekziston ana e djathtë.
( ) nëse sup ( ) sup nëse ekziston ana e djathtë.
1.2 GRUP LATICAT E RENDITURA
Përkufizim1.2.1
Një laticë është një bashkësi pjesërisht e renditur (A, ) e tillë që sup * + dhe
inf * + ekziston për të gjithë elementet a dhe b të A.
Rrjedh që sup B dhe inf B ekziston për çdo bashkësi joboshe e fundme .
Në laticën A, shkruajmë dhe respektivisht për sup* + dhe inf * +. Kështu dhe i mendojmë si operator binar në A, operatorë latice. Që prej
Nëse 𝛬 është një bashkësi jo boshe dhe ( ) është një familje e elementëve në
R, shënojmë me dhe , ose sup dhe inf përkatësisht
sup * 𝛬+ dhe inf * 𝛬+, nëse ato ekzistojnë në R.
Përkufizim 1.2.2. Plotësia dedekindiane
( ) Një laticë A është e plotë dedekindiane, ose e plotë e renditur, nëse çdo
bashkësi joboshe B A e cila ka kufi të sipërm në A, ka kufi të përpiktë të sipërm.
( ) Një laticë e plotë dedekindiane R quhet super e plotë dedekindiane nëse për
çdo bashkësi jo boshe e kufizuar nga sipër, ekziston një nënbashkësi e
numërueshme e tillë që sup =sup , dhe për çdo bashkësi jo boshe e
kufizuar nga poshtë , ekziston një nënbashkësi e numërueshme e tillë që
inf = inf
( ) Nëse A është laticë, atëherë A është e plotë dedekindiane nëse çdo nënbashkësi
joboshe e A, e cila ka kufi të poshtëm, atëherë ka kufi të përpiktë të poshtëm.
Supozojmë që A është e plotë dedekindiane dhe që B A ka kufi të poshtëm dhe
nuk është boshe. Le të jetë C = { a është kufi i poshtëm për B} atëherë C
është nënbashkësi joboshe A me kufi të sipërm, kështu sup C ekziston. sup C = inf B.
Implikimi i anasjelltë është provuar në të njëjtën mënyrë.
( ) Le te jetë A një laticë, dhe B A. Le të jetë:
={sup është e fundme dhe jo boshe}.
atëherë, është i mbyllur në lidhje me operatorin laticë dhe ka të njëjtën kufi të
sipërm si B.
Kështu 1.2.2.( ) mund të shkruhet:
Një laticë është e plotë dedekindiane nëse çdo bashkësi jo boshe B A, e cila është
e drejtuar nga lart dhe ka një kufi të sipërm, ka një kufi të përpiktë të sipërm.
Përkufizim 1.2.3. Vetia shpërndarëse
Një laticë A është shpërndarëse nëse:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4
për të gjithë a, b, c ; pra secila dhe është shpërndarëse në lidhje me tjetrën.
Nëse marrim në konsideratë hapësirat lineare të renditura të cilat janë latica, karakteri
i studimit tonë ndryshon plotësisht.
Përkufizim 1.2.4
Hapësirë e Riesz-it, ose vektor laticë, quhet hapësira lineare e renditur e pjesshme
( ) e tillë që ( ) është laticë.
Nëse R është një hapësirë Riesz, atëherë shënojmë:
( ) | | ( ) për x .
Hapësirat Riesz kanë një pasuri të bollshme vetish.
Një element i një latice quhet pozitive nëse . Dy elemente pozitive
quhen jo prerës ose ortogonal nëse .
Një bashkësi jo boshe është e quajtur sistem jo prerës nëse çdo element
është pozitive dhe . Për dy elementë çfarëdo , ne
themi që ose nëse dhe . Njësh në R është një element a i
tillë që .
Një laticë R quhet e plotë laterale nëse çdo sistem jo prerës A R ka një superior në
R. Ne themi që R është e plotë universale nëse është e plotë laterale dhe
dedekindiane.
Për hapësirat e Riesz-it ose hapësirat vektoriale të renditura kanë vend vetitë e
mëposhtme:
Pohim 1.2.5
Le të jetë R një hapësirë e Riesz-it, dhe, x, y, z R dhe a kanë vend vlerësimet e
mëposhtme:
(i) x + y = (x y ) + (x y)
x y = - (- x ) (- y)
Dhe (x y) + z = (x + z) (y + z)
(ii) x = x+ - x
-
(iii) |x| = x+ + x
-, |ax| = |a||x|, dhe |x + y| |x| + |y|.
(iv) x+ y dhe paraqitja e x-it(zbërthimi i x-it) si diferencë e dy elementeve
pozitivë është e vetme.
(v) x y është ekuivalente me x+ y
+ dhe y
- x
-.
(vi) x y është ekuivalente me |x| |y| =|x| + |y|. Në këtë rast ne do të kemi |x
+y| = |x| + |y|.
(vii) (x y) z = (x z) (y z) dhe (x y) z = (x z) (y z).
(viii) Për të gjithë x, y, z R+ do të kemi ( x + y) z (x z) + (y z).
(ix) |x – y| = (x y) – (x y) dhe |x – y| = |(x z) – (y z)| +|(x y) – (y z)|
Pohim 1.2.6 (Ligji i shpërndarjes)
Për çdo , ne kemi:
5
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Dhe, në përgjithësi, për çdo familje ( ) të elementeve të R,
( ) ( )
( ) ( )
Elementi i anës së majtë të barazimit ekziston në R, atëherë dhe vetëm ateherë, kur
dhe elementi në anën e djathtë të barazimit ekziston në R. Në këtë rast të dy simbolet
përputhen.
Përkufizim 1.2.7
Një grup abelian pjesërisht i renditur quhet grup laticë e renditur ( -grup) nëse është
laticë dhe ka vend implikimi:
Pohim 1.2.8
Në një grup R çfarëdo, ka vend barazimi:
( )
Përkufizim 1.2.9
Le të jetë R një hapësirë Riesz. Një bashkësi A R është solide nëse kur për një
x , e tillë që | | | |, të rrjedh që y A.
Nëse A është nënbashkësi e R, dhe bashkësia * | | | |+ është solide
atëherë ajo është bashkësi solide më e vogël që përfshin A, dhe është quajtur
mbëshjellëse solide e A.
Përkufizim 1.2.10
Grupi ose nënhapësirë normale e R është nënhapësira lineare solide F, e tillë që kur
A F dhe sup A ekziston në R, atëherë sup A F; pra është nënhapësirë lineare
solide e mbyllur sipas renditjes.
Prerja e bashkësive të nënhapësirës Riesz është një nënhapësirë Riesz; prerja e
bashkësive të nënhapësirës lineare solide është një nënhapësirë lineare solide.
Përkufizim 1.2.11
Nëse R është një hapësirë Riesz, njësh i renditur i R, ( njësh i renditur i fortë ) është
e * + i tillë që për çdo x ekziston një n i tillë që x
. Një njësh i renditur i dobët i R është e i tillë që:
x x
Përkufizim 1.2.12
Një hapësirë Riesz është arkimediane nëse për çdo x dhe y që i përkasin R,
x për n , rrjedh që y 0.
Një nënhapësirë e Riesz-it e një hapësire arkimediane të Riesz-it është arkimediane.
6
Të gjitha hapësirat Riesz më të familjarizuara, gëzojnë vetinë arkimediane. Një
hapësirë është arkimediane nëse, ashtu si dhe numrat realë, * + është e
pakufizuar nga sipër nga elementi strikt pozitiv x. Kjo veti është e zakonshme për
hapësirat arkimediane dhe nuk e kushtëzon studimin tonë.
Përkufizim 1.2.13
Një varg i dyfishtë i kufizuar ( ) në R, quhet ( )- varg ose rregullator nëse
i, j dhe i, .
Përkufizim 1.2.14
Themi se ( ) , ( )- konvergjon tek r nëse ekziston një ( )- varg
( ) në R, që plotëson konditën: ekziston një element i tillë që:
| | ( )
për çdo n . Në këtë rast, shkruajmë ( )
Në mënyrë analoge, jepet përkufizimi i limitit i një funksioni ku
ℝ, dhe x0 është një pikë limite për A.
Përkufizim 1.2.15
Themi që (D) ( ) nëse ekziston një (D)-varg ( ) në R i tillë,
, ekziston një fqinjësi e e tillë që për çdo * + kemi që:
| ( ) | ( ) .
Pohim 1.2.16
Çdo grup R i plotë dedekindian është arkimedian.
Vërtetim
Le të jetë , dhe . Nga plotësia dedekindiane e R, elementi
ekziston në R. Kështu marrim:
( )
Rrjedh që:
Pëkufizim 1.2.17
Një varg ( ) quhet ( )- varg nëse dhe . Në këtë
rast, ne shkruajmë gjithashtu
Përkufizim 1.2.18
Le të jetë ( ) një varg në R, themi që ( ) ( )-konvergjon tek një element
nëse ekziston një ( )- varg ( ) në R, i tillë që:
| |
Në këtë rast shkruajmë ( ) lim
Përkufizim 1.2.19
Një varg ( ) në quhet ( )-Koshi nëse ekziston një ( )-varg ( ) në i tillë:
| | , dhe
7
Përkufizim 1.2.20
Një hapësirë Riesz quhet ( ) e plotë (ose e plotë në lidhje me ( )-konvergjencën) nëse çdo varg ( )-Koshi është ( )-konvergjent.
Teoremë 1.2.21 [2]
Le të jetë një -grup i plotë dedekindian, . ( )
/ , një varg rregullatorësh në
. Atëherë për çdo a ekziston një rregullator ( ) i tillë që:
.∑ . ( )( )
/ / ( )
për çdo k dhe .
Përkufizim 1.2.22
Le të jetë u Themi se u ka vetinë Egorov nëse, për çdo ( )-varg ( )
të kufizuar nga sipër nga ekziston një ( )-varg ( ) dhe një varg ( )
elementësh të Φ, të tillë që , ,
( )
Themi se ka vetinë Egorov nëse çdo element pozitiv u ka vetinë Egorov.
Pohim 1.2.23 [ 25]
Një element u ka vetinë Egorov atëherë dhe vetëm atëherë, nëse për çdo
( )-varg ( ) të kufizuar nga sipër nga ekziston një ( )-varg ( ) dhe një
element Φ i tillë që, për çdo ( ) .
1.3 -SHPËRNDARJA E DOBËT
Përkufizim 1.3.1
Themi që R është -shpërndarëse e dobët nëse për çdo ( )-varg( )
kemi që: ( ( ) )
Kontrollohet lehtë se (o)-konvergjenca e renditur sjell ( )-konvergjencën, ndërsa e
anasjellta është e vërtetë në hapësirën -shpërndarëse të dobët ( shih pohimi 1.3.5).
Tani e tutje, do të supozojmë që R është hapësirë Riesz -shpërndarëse e dobët e
plotë dedekindiane.
Lemë 1.3.2
Le të jetë {( ) ; n } familje çfarëdo rregullatorësh. Atëherë për çdo element të
fiksuar , ekziston një rregullator ( ) i tillë që për çdo ka
vend:
∑ ( ( ) )
( ) .
Përkufizim 1.3.3
Një -grup quhet -shpërndarëse e dobët nëse për çdo varg të dyfishtë të kufizuar
( ) ku kemi që:
8
( ) ( ( )
. (1.1)
Pohim 1.3.4 [24 ]
Një -grup e plotë dedekindiane është -shpërndarëse e dobët atëherë dhe vetëm
atëherë nëse për çdo ( )-varg ( ) në kemi që:
( ( )) (1.2)
Vërtetim
Provojmë konditën e nevojshme. Le të jetë ( ) një ( )-varg në . Atëherë kemi:
rrjedh se ( )
dhe nga (1.1) kemi që:
( ( ))
pra vërtetuam (1.2). Provojmë tani konditën e mjaftueshme. Fiksojmë së pari një varg
të dyfishtë të kufizuar ( ) , dhe shënojmë:
( ) ( ( )
);
Dhe për bashkësinë ( )
Meqenëse është shpërndarëse, marrim që:
( ) ( ( )
)
Duket qartë se vargu i dyfishtë ( ) është i kufizuar dhe që
.Vërejmë që Atëherë nga rrjedh që:
dhe .
Kështu ( ) është një ( )-varg. Nga ky fakt dhe (1.2) marrim që:
( ( ( ) )) , ( ( ))-
e cila tregon vërtetësinë e pohimit.
Rikujtojmë që, në hapësirat e Riesz, vetia -shpërndarëse e dobët e është
ekuivalente me vetinë, për çdo bashkësi joboshe X dhe për çdo algjebër , çdo masë
-aditive sipas renditjes e përcaktuar në , ka një shtrirje -aditive sipas renditjes
në -algjebrën 𝒜( ) [26] (Wright).
Vërejmë që, nëse nuk është -shpërndarëse e dobët, mund të ndodhë që ekzistojnë
ende disa algjebra ∑ të tilla që, çdo masë -aditive sipas renditjes, e përcaktuar në
∑, ka një shtrirje -aditive sipas renditjes tek -algjebra 𝒜(∑): për shëmbull, ky
është rasti i algjebrës së bashkësive të hapura të hapësirës topologjike kompakte,
totalisht jo e lidhur dhe, shtrirja Stone,e cila ekziston për çdo -grup të plotë
dedekindiane. [1] (Boccuto95)
M. Ducho and B. Rie an kanë provuar pohimin:
Pohim 1.3.5 [23]
Nëse ( ) , atëherë ( ) . Për më tepër nëse është
-shpërndarëse e dobët, atëherë:
9
( ) ( )
Vërtetim
Fillojmë me pjesën e parë. Nga hipoteza, kemi që, ekziston një ( )-varg ( ) i tillë
që . Për çdo j , vendosim .
Le të jetë Nëse shënojmë min * ( ) +, atëherë për çdo n
kemi që:
( )
( ) .
Nga ku rrjedh se ( ) .
Vërtetojmë pjesën e dytë. Supozojmë që është një -grup -shpërndarëse e dobët
dhe ( ) . Shënojmë .
Atëherë dhe Nga përkufizimi, për çdo
ekziston i tillë që:
( ) për çdo .
Rrjedh se
( )
Për më tepër kemi që:
( )
Nga ku rrjedh se:
( )
dhe meqenëse është -shpërndarëse e dobët, atëherë:
( ( ( ))
Kështu, që vargu ( ) është ( )-varg, çka sjell dhe vërtetimin e pohimit.
Pohim 1.3.6 [3]
Nëse ( ) ( )-konvergjon tek dhe ( ) ( )-konvergjon tek atëherë ( ) ,
( ) , ( ) ( ) ( ) ( )-konvergjojnë përkatësisht tek ,
, , dhe .
Pohim 1.3.7
Le të jetë bashkësia e të gjithë ( )-limiteve të vargut ( ). Atëherë është një
nëngrup i i tillë që kur dhe , dhe atëherë rrjedh se .
Gjithashtu, nëse jepet një varg ( ) ( )-konvergjent, bashkësia e të gjithë ( ) -limiteve të ( ) është , ku është një ( )-limit i fiksuar i ( ) Së fundi
* + atëherë dhe vetëm atëherë kur R ka vetinë -shpërndarëse të dobët.
Vërtetim
Së pari, vetia është një rrjedhim i thjeshtë i pohimit 1.3.6. Le të jetë ( ) një varg
( )-konvergjent tek Nëse atëherë ( ) ( ) , prandaj kemi që
( ) ( ) që do të thotë se është një prej ( )-limiteve të ( ) .
10
Për më tepër, nëse ( ) dhe ( ) atëherë ( ) ( ) , dhe .
Së fundi, nëse * + atëherë nuk ekziston një element pozitiv i tillë që:
( ( ))
për disa ( )-vargje ( ) (një element i tillë mund të jetë një ( )-limit i ( ))
Anasjelltas, nëse është -shpërndarëse e dobët, atëherë ( ( )) është
gjithmonë i barabartë me 0; rrjedh se, * + dhe ( )-limiti është i vetëm.
Le të shohim disa veti të ( ) konvergjencës.
Përkufizim 1.3.8
Le të jetë një -grup. Një varg ( ) në quhet ( )-Koshi nëse ekziston një ( )-
varg ( ) në i tillë që, kemi që:
| | ( )
Përkufizim 1.3.9
Le të jetë 𝛬 një bashkësi joboshe çfarëdo, ( ) një familje e vargjeve në , , 𝛬
është një familje e elementeve të . Themi se familja ( ) konvergjon tek
uniformisht në lidhje me parametrin ose shkurt ( ) konvergjon tek
, dhe simbolikisht shkruajmë 𝛬-( )
.
[Respektivisht është uniformisht Koshi në lidhje me ose është ( )-Koshi, nëse ekziston një ( )-varg ( ) në i tillë që , ( ) :
| | ( )
𝛬
[respektivisht |
| ( ) 𝛬-
Të provojmë më poshtë që çdo -grup e plotë dedekindiane është ( )- e plotë.
Përkufizim 1.3.10
Një -grup quhet ( ) e plotë (ose e plotë në lidhje me ( )-konvergjencën) nëse
çdo varg ( )-Koshi është ( )-konvergjent.
Përkufizim 1.3.11
Le të jetë 𝛬 një bashkësi çfarëdo. Një -grup quhet ( )- e plotë nëse për
çdo familje vargjesh, e cila është uniformisht ( )-Koshi në lidhje me 𝛬 rrjedh se
është uniformisht ( )-konvergjente në lidhje me 𝛬
Teoremë 1.3.12 [3]
Le të jetë 𝛬 një bashkësi joboshe çfarëdo dhe një -grup e plotë dedekindiane.
Atëherë, është 𝛬 ( )-e plotë.
Vërtetim
Nga hipoteza, ekziston një ( )-varg ( ) , i tillë që, ( )
( ) 𝛬 .
11
Shënojmë * ( )+ Fiksojmë dhe 𝛬
Atëherë, , kemi:
( )
Për çdo 𝛬 bashkësia * +, {
} Kemi që
, 𝛬 është e kufizuar, kështu ekzistojnë elementet ë :
inf
sup
.
Fiksojmë çfarëdo, dhe 𝛬 Le të jetë max * +.
Atëherë prej nga ku rrjedh se është e kufizuar. Kështu kemi që:
Për këtë arsye, ekziston e tillë që:
Zgjedh në mënyrë çfarëdo Atëherë, ekziston ( ) , e tillë që:
( ) (1.3)
Për një të fiksuar marrim superiorin në lidhje me dhe kemi që:
( )
( )
marrim inferiorin në lidhje me , dhe kemi:
( ) ( )
( )
Kështu, nga fakti që është -shpërndarëse e dobët, kemi:
( )
( )
( ( ( )
) ,
rrjedh se: ( )
( )
Kështu nëse ( ) (1.3) atëherë për të gjitha ( ) dhe 𝛬 marrim që:
( )
( )
në mënyrë të ngjashme:
( ) ( )
Rrjedhim 1.3.13
Çdo -grup e plotë dedekindiane është ( )- e plotë.
Duke patur parasysh pohimet [25] vërtetojmë teoremën e mëposhtme.
Teoremë 1.3.14
Nëse është super e plotë dedekindiane dhe -shpërndarëse e dobët, atëherë ka
vetinë Egorov. Anasjelltas, nëse është e plotë dedekindiane dhe ka vetinë Egorov,
atëherë është -shpërndarëse e dobët.
Vërtetim
Le të jetë ( ) një ( )-varg në . Nga -shpërndarja e dobët e , kemi që:
12
* ( ) +.
Nga fakti që është super-dedekindiane, ekziston një varg ( ) në , i tillë që:
{ ( ) }
Pa humbur përgjithësimin, mund të supozojmë se për çdo .
Shënojmë:
( )
për çdo , rrjedh se ( ) është një ( )-varg. Shënojmë ( )= ( ) për çdo .
Rrjedh se:
( ) ( )
për të gjitha duke shfrytëzuar vetinë [Egorov] përfundojmë pjesën e parë të
vërtetimit.
Vërtetojmë të anasjelltën. Zgjedhim një ( )-varg ( ) në Nga kushti rrjedh se
ekziston një ( )-varg ( ) dhe një varg ( ) i elementëve të të tillë që:
( ) ( )
Rrjedh se:
( ( ) ) ( )
( )
Duke shfrytëzuar ( ) për si dhe faktin ( ) është ( )-varg përfundojmë
vërtetimin.
Përkufizim 1.3.15
Një nënbashkësi e hapësirës së Riesz quhet e dendur sipas renditjes në nëse,
për çdo , dhe , ekziston , i tillë që dhe , .
Një nënbashkësi e një hapësire të Riesz quhet ideal (i ) nëse është hapësirë
Riesz dhe nënbashkësi solide e .
Përkufizim 1.3.16
Le të jetë një hapsirë Riesz. Një funksion ℝ quhet funksional linear nëse:
( ) ( ) ( ) ℝ,
Themi që ℝ është pozitiv nëse ( ) kur , . Shohim që një
funksional linear është pozitiv vetëm në qoftë se ai është rritës.
Përkufizim 1.3.17
Një funksional linear quhet i kufizuar sipas renditjes nëse ai mund të shprehet si
diferencë e dy funksionalëve linearë rritës.
Pohim 1.3.18 [9]
Një funksional linear është i kufizuar sipas renditjes vetëm në qoftë se bashkësitë e
kufizuara kanë shëmbëllim bashkësi të kufizuara.
13
Përkufizim 1.3.19
Një funksional linear ℝ quhet i vazhdueshëm sipas renditjes nëse mund të
shprehet si diferencë e dy funksioneve linear rritës të vazhdueshëm sipas renditjes.
Shënojmë me R+
bashkësinë e funksionalëve linear të kufizuar sipas renditjes ℝ. Bashkësia R
+ e pajisur me shumën natyrale dhe produktin me një numër skalar , si
dhe me renditjen:
( ) ( )
është hapësirë Riesz e plotë dedekindiane [14].
Shënojmë me R* bashkësinë e funksionalëve ℝ linear të vazhduar sipas
renditjes. Bashkësia R*
e pajisur me shumën natyrale dhe produktin me një numër
skalar, si dhe me renditjen:
( ) ( )
është hapësirë Riesz e plotë dedekindiane [14].
Le të jetë ℝ bashkësia e numrave realë të zgjeruar. Nëse është hapësirë topologjike
e Hausdorff, atëherë :
( )={ ℝ e vazhduar},
( )={ ℝ e vazhduar dhe e kufizuar},
( ) { ℝ e vazhduar dhe me suport të kufizuar},
( ) { ℝ e vazhduar dhe { | ( )| + është e ngjeshur në
}
janë hapësira të Riesz-it në lidhje me renditjen natyrale.
14
KAPITULLI II
O- RENDITJA DHE INTEGRALI MEKSHEIN
Në këtë kapitull studiojmë integralet e tipit Mekshein për funksione të përcaktuara në
një hapësirë metrike kompakte T, e pajisur me një masë të rregullt -aditive, dhe me
vlera në një laticë Banah X. Në veçanti, në hapësirën , - është marrë në konsideratë
masa Lebesgue e zakonshme. Janë krahasuar integrali i tipit norm- dhe integrali i tipit
të renditur, i cili bëhet më interesant kur X është një L-hapësirë. Është e njohur se
shumë studime të ndryshme për integralin janë bërë në shekullin e fundit, për
funksionet me vlera reale, në mënyrë që të përgjithësohet integrali i Riemannit. Një
studim i plotë i përkufizimeve të ndryshme për funksionet me vlera reale mund të
gjendet në [Fremlin], ku përkufizimet e Lebesgue dhe Mekshein, janë krahasuar në
mënyrë të hollësishme, dhe, ekuivalenca midis integraleve Mekshein dhe Lebesgue
është përshkruar në mënyrë të qartë. Situata ndryshon thellësisht në rastin e
funksioneve me vlera në hapësirat Banah: në këtë rast, është e njohur se lloji më i
fortë i integralit është ai Bohner, nga i cili rrjedh integrueshmëria Birkhoff, që nga
ana tjetër është më i fortë se Mekshein dhe, ky i fundit është më e fortë se integrali
Henstock dhe Pettis. Literatura është e gjerë në këtë fushë dhe me interes të madh për
këtë problem. Më pas, janë futur dhe studiuar edhe trajtime të integralit të tipit të
renditur për funksione që marrin vlerat e tyre në hapësirat vektoriale të renditura, dhe
në laticat Banah në veçanti: për shembull [4], [15], [35], [5], [17], [16], [6].
Gjithashtu rasti me shumë vlera është studiuar intensivisht, për të dy llojet e
konvergjencave: për shembull [10], [7]. Në këtë kapitull, ne kryesisht, studiojmë
dallimet midis integraleve sipas normës dhe sipas renditjes të tipit Mekshein, për
funksione që marrin vlerat në një laticë Banah, me normë të renditur të vazhduar,
duke treguar një ndryshim të parë të tyre: integralet e renditura në përgjithësi nuk
respektojnë barazimin pothuajse kudo, përveç funksioneve të të kufizuara sipas
renditjes. Në këto hapësira janë marrë rezultate në lidhje me integralin sipas (o)-
konvergjencës dhe është treguar se kjo është një fushë e gjerë studimi ku mund të
arrihen rezultate të ngjashme. Një tjetër ndryshim interesant është se integralet e
renditura gëzojnë të ashtuquajturat Lemat e tipit Hake dhe Henstock: ky fakt ka
rrjedhime interesante në L-hapësira, ku integrueshmëria Mekshein është më e fortë se
ai i Bohnerit (sipas normës). Në vazhdim kemi krahasuar integralin Mekshein me
integrale të tjerë në këto hapësira, duke ecur në një drejtim të ri dhe të pavarur.
2.1. PËRKUFIZIME TË INTEGRALEVE MEKSHEIN DHE BOHNER SIPAS
RENDITJES
Shënojmë me T një hapësirë metrike kompakte, dhe μ masë σ-adivitive e
rregullt joatomike në σ-algjebrën e nënbashësive të Borelit në T. Me masë jo
atomike kuptojmë që një bashkësi me masë pozitive mund të ketë nënbashkësi të saj
me masë pozitive.
Një diametër është funksioni ℝ Një M-ndarje Π e intervalit T është një
koleksion i fundëm *( ) + i çifteve të tilla që, bashkësitë janë
bashkësi dy e nga dy joprerëse dhe ⋃ ( ) , në qoftë se etiketa , k=1,2,...k,
mund të mos bëjë pjesë në ndarjen përkatëse .
Një M-ndarje *( ) + e T për të cilën quhet H-
ndarje e T. Duket qartë se çdo H-ndarje e T është gjithashtu një M-ndarje e T.
15
Nëse koleksioni nuk plotëson konditën ⋃ ( ) quhet M-sistem i T. Një M-
sistem *( ) + i T për të cilën quhet H-sistem i
T.
Themi që Π është - e imët nëse distanca d( ) ( ) për çdo dhe
. Qartësisht, një diametër mund të përcaktohet si një funksion i tillë që
çdo pike i vendos në korrespondencë një rruzull të hapur më qendër në dhe
që mbulon .
Përkufizim 2.1.1[5]
Një laticë vektoriale e normuar E është me normë të vazhdueshme sipas renditjes,
respektivisht -e vazhduar sipas renditjes në qoftë se || || për çdo
sistem 𝛬 të drejtuar poshtë, respektivisht për çdo varg zbritës ( ) në E të
tillë .
Thuhet se një laticë plotëson konditën normë-Koshi në qoftë se çdo varg i kufizuar
sipas renditjes dhe rritës në E është ( )-Koshi.
Le të supozojmë tani se X është çdo laticë Banah me një normë të renditur të
vazhduar.
Nëse dhe *( ) + është një M-ndarje, atëherë
përcaktojmë shumën e Rimanit si më poshtë:
( Π) ∑ ( ) μ( )
Përkufizim 2.1.2 [5]
Një funksion është i integrueshëm sipas normës nëse ekziston i tillë
që, për çdo ekziston një diametër ℝ i tillë që, për çdo M-ndarje *( ) +, -e imët e T, kemi që:
‖ ( ) ‖
Shënojmë ∫
Përkufizim 2.1.3
Një funksion është i integrueshëm sipas renditjes në sensin Mekshein nëse
ekziston së bashku me ( )-varg ( ) në X dhe një varg korrespondues ( ) i
diametrave, i tillë që për çdo n dhe për çdo M-ndarje *( ) + - e
imët kemi që:
| ( ) |
Shënojmë ( ) ∫
.
Përkufizim 2.1.4 [12]
Një funksion është i integrueshëm sipas renditjes në sensin Henstock nëse
ekziston së bashku me ( )-varg ( ) në X dhe një varg korrespondues ( ) i
diametrave, i tillë që për çdo n dhe për çdo H-ndarje *( ) + - e
imët kemi që:
| ( ) |
Shënojmë ( )∫
.
16
Pohim 2.1.5
Nëse funksioni është i integrueshëm sipas renditjes në sensin Mekshein
atëherë ai është gjithashtu i integrueshëm sipas renditjes në sensin Henstock dhe ka
vend barazimi:
( )∫
( )∫
Në sajë të vazhdueshmërisë së renditur të normës në X, është e lehtë për të parë se
çdo ( )-integrueshmëri e funksionit është edhe ( )-integrueshmëri dhe këto
integrale përputhen. Gjithashtu do të provojmë që ( )-integrueshmëria dhe ( )-
integrueshmëria nuk janë ekuivalente në përgjithësi.
Hapësira vektoriale e të gjithë funksionalëve të vazhdueshëm sipas renditjes në R do
të shënohet me . Kjo hapësirë është gjithmonë një hapësirë e Riesz-it e plotë
dedekindiane , - Do të thuhet se ndan pikat e R në qoftë se për çdo element
, , gjendet një i tillë që ( ) Që nga ky moment do të
supozojmë se R është hapësirë e Riesz-it e plotë dedekindiane e tillë që të ndaj
pikat e R. Një shembull i tillë i një hapësire të Riesz-it R që gëzon këtë veti, ndonëse
është hapësira e të gjithë vargjeve të numrave realë konvergjent në zero
[14].
Kujtojmë se në do të thotë se ( ) ( ), x dhe, nga ana
tjetër, plotëson kushtin x , atëherë dhe vetëm atëherë kur ( ) për çdo
dhe f 0 [14]. Për çdo , një funksional linear i vazhdueshëm, sipas
renditjes , mund të përcaktohet në me anë të formulës ( )= ( ), Në
këtë mënyrë mund të përcaktohet një operator pozitiv x që çon R në . Ky
operator, i cili shënohet me e, është quajtur zhytje kanonike e R në . Operatori e
është një mbi një ( injektiv), atëherë dhe vetëm atëherë kur ndan pikat në R. Le të
jetë një nënbashkësi metrike kompakte.
Funksioni do të quhet funksion i thjeshtë në T në qoftë se =⋃ ,
⋂ ku janë të matshëm sipas Lebegut dhe ∑
, ku R.
Integral, sipas renditjes të funksioneve të thjeshtë do të quajmë shumën ∑ ( )
nga R dhe do ta shënojmë ∫
∑ ( )
Përkufizim 2.1.6
Funksionin pozitiv mbledhor të fundëm : ( ) ℝ ku ( ) do ta quajmë
masë.
Shënojmë me S bashkësinë e funksioneve të thjeshta të mësipërm, siç dihet nga raste
klasike, kjo bashkësi është një hapësirë vektoriale lidhur me shumëzimin me numra
realë.
Përkufizim 2.1.7 [1]
Le të kemi vargun e funksioneve të thjeshtë * + , , do të themi se * +
është (o)-uniformisht i integrueshëm në qoftë se për çdo varg numrash realë pozitiv
gjendet vargu * + , , i tillë që, për çdo n dhe ( )
të kemi që:
∫ | ( )|
17
Përkufizim 2.1.8
Funksioni quhet i matshëm sipas renditjes ose ( -i matshëm) në qoftë se për një
varg ( ) , 0 gjendet një varg funksionesh të thjeshtë * + të tillë që:
| ( ) ( )| .
Në artikullin , -, tregohet se jo çdo funksion i kufizuar në një hapësirë të Riesz-it
është ( )-limit i një vargu funksionesh të thjeshta. Kjo bën që klasa e funksioneve
( )-të matshëm të jetë pak më e ngushtë se ajo në rastet klasike. Kjo do të reflektojë
edhe në rastin e përkufizimit të integralit të renditjes, sipas Bohnerit, që po e japim në
vazhdim.
Do të konsiderojmë bashkësinë e vargjeve ( )-Koshi dhe do të përcaktojmë një
relacion ekuivalence.
( ) ( ) ( )- | | Pohim 2.1.9
Në qoftë se një funksion është i (o)- matshëm atëherë ai është me vlera
pothuajse separable d.m.th, gjendet një bashkësi e matshme Z me masë zero ( )
e tillë që:
( ) është separabël.
Vërtetim
Supozojmë se funksioni është i (o)- matshëm, atëherë gjendet vargu i funksioneve të
thjeshtë * + dhe bashkësia e matshme që ( ) e tillë që:
( )- ( ) ( )
për çdo . Provohet lehtë se në hapësirën laticë të Banahut ka vend:
( ) ⋃ ( )
Bashkësia ⋃ ( )
është separabël si mbyllje e një bashkësie të numërueshme. Siç
dihet, një nënhapësirë e një hapësire metrike separable (hapësira e Banahut është
metrike) është bashkësi separabël. Që këtej marrim që bashkësia e vlerave ( )
është separabël.
Në mënyrë të ngjashme me rastin e bashkësisë së numrave realë mund të shqyrtojmë
seritë me elemente nga X.
Përkufizim 2.1.10
Le të kemi një seri me terma nga një bashkësi e renditur X. Shënojmë . Thuhet që seria me elemente nga një bashkësi e renditur X konvergjon
në se ka vend barazimi:
( ) -
Kujtojmë që një seri thuhet se konvergjon absolutisht në qoftë se seria ∑ | |
është
një seri konvergjente në një hapësirë të renditur.
Seria konvergjon në mënyrë të pakushtëzuar në qoftë se ajo është konvergjente për
çdo ndërrim të vendit të termave.
18
Në qoftë se seria konvergjon absolutisht mund të provohet si në rastin real se ajo
konvergjon në mënyrë të pakushtëzuar.
Në referencën ([13] pohimi 4, f.22) provohet se nëse ∑ është një seri në X, e tillë
që çdo nënseri e ∑ është konvergjente e dobët, atëherë seria ∑ konvergjon në
mënyrë të pakushtëzuar.
Pohim 2.1.11
Në qoftë se funksioni është i matshëm, atëherë gjendet funksioni i kufizuar
dhe i matshëm dhe funksioni i matshëm që:
( ) ∑ ( ), , , t ,
ku , , janë bashkësi të matshme dy nga dy joprerëse dhe ka vend
barazimi: .
Vërtetim
Nga pohimi 2.1.9 rangu i funksionit ( ) është një nënbashkësi pothuajse separabël
në X e përbërë nga elementet * + e cila është bashkësia më e madhe e dendur
në ( ). Shënojmë:
* ( ) ( ( )) ⋃ ( ( )+
ku ( ) * ‖ ‖ +.
Duke patur parasysh se ⋃ për m, n dhe n m,
shënojmë:
( ) ∑ ( )
për . Si një seri që shumat e fundme i ka funksione të thjeshtë, funksioni
është i matshëm dhe në qoftë se atëherë:
( ) ( ) ( ) ( ),
kjo do të thotë se ‖ ( ) ( )‖ .
Shënojmë ( ) ( ) ( ), do të kemi që ‖ ( )‖ dhe ( ) ( ) ( ), .
Përkufizim 2.1.12
Funksioni X është funksion i integrueshëm, sipas Bohnerit, në qoftë se gjendet
një varg i funksioneve të thjeshtë ( )-Koshi * + i tillë që:
1) të konvergjojë sipas renditjes pothuajse kudo sipas masës tek f.
2) ( )- ∫ | ( ) ( )|
pothuajse kudo.
( )-
∫ ( ) do ta quajmë integral të Bohnerit sipas renditjes dhe do ta
shënojmë:
( )∫ ( )
.
Vargu i funksioneve të thjeshta do të quhet varg përcaktues i f.
19
Pohim 2.1.13
Në qoftë se ( ) dhe ( ) janë vargje funksionesh të thjeshta ( )-Koshi dhe
përcaktues të f, atëherë:
( )-
∫ ( ) ( )-
∫ ( )
Vërtetim.
Nga mosbarazimi:
| ( ) ( )| | ( ) ( )| | ( ) ( )|
del se vargjet ( ) dhe ( ) janë vargje ekuivalente
( )-
| |
Ose për çdo varg ( )
| ( ) ( )|
.
Duke patur parasysh se,
( )-
∫ ( ) =∫ ( )
dhe
( )-
∫ ( ) = ∫ ( )
,
Shqyrtojmë diferencën:
|( )
∫ ( ) ( )
∫
( )|
|( )
∫ ( ) ∫
( )| |( )
∫
( ) ∫
( )|
.
Duke u nisur nga fakti që ( )- integrali nuk varet nga zgjedhja e vargut përcaktues
mund të provohen lehtë vetitë:
1) Për të gjithë funksionet e integrueshëm Bohner të renditur, ku ℝ ka vend:
∫ ( ( ) ( )) ∫ ( )
∫ ( ) .
2) ∫
∫
∫
( ) , A .
3) Në qoftë se ( ) atëherë ∫
.
4) Nëse është i matshëm, dhe ∫
është uniformisht i integrueshëm sipas
renditjes sjell absolutisht i integrueshëm sipas renditjes.
Vërtetim i pikës katër:
20
Le të jetë ( ) varg i funksioneve të thjeshtë përcaktues i f . Kjo do të thotë se gjendet
vargu ( ) që | ( ) ( )| p.k dhe vargu ( )
∫ | |
∫ | | +∫ | |
( )+∫ ( )
Ku ( ) ∫ | | .
2.2 KRAHASIMI NDËRMJET INTEGRALIT TË MEKSHEINIT SIPAS
NORMËS DHE SIPAS RENDITJES
Do të shohim se ka dallime të thella midis tipit të integralit të llojit sipas normës dhe
atij sipas renditjes. Fakt është se, në përgjithësi, funksionet pothuajse të barabarta
mund të sillen në mënyra të ndryshme në lidhje me ( ) -integralin, siç është
dëshmuar në [5] një funksion , - , ku është bashkësia e funksioneve
me vlera reale dhe konvergjent në zero, me vetinë e mëposhtme: është pothuajse e
barabartë me zero (në lidhje me masën e Lebesgue) dhe nuk është ( )-
integrueshëm. Pra, ky funksion është pothuajse i barabartë me zero, pra është
Bohner-integrueshëm, por jo ( )-integrueshëm. Ne, gjithashtu, duhet të përmendim
se nuk është i kufizuar sipas renditjes. Në të vërtetë, për funksionet e kufizuar sipas
renditjes, situata është më e mirë.
Pohim 2.2.1
Le të jetë dy funksione të kufizuara, të tillë që pothuajse
kudo. Themi që është ( )- i integrueshëm, atëherë dhe vetëm atëherë nëse g është ( )- i integrueshëm, dhe në këtë rast integralet përputhen.
Vërtetim
Mjafton të vërtetojmë se është funksion ( )-i integrueshëm dhe ∫ . Shënojmë me M një mazhorant të | | dhe | |. Duke supozuar që f është ( )-i
integrueshëm shënojmë:
* ( ) +
dhe
*
( )+.
Shohim që ( ) dhe ( )
. Shënojmë një bashkësi të hapur që ( )
.
Ndërtojmë diametrin
( ) { ( )
( ) - ( ) ( ),
Duke fiksuar një ndarje çfarëdo Π ( ) e cila është - të imët, ka vend:
( )
( ) ∑ ( ) ( ) ∑ ( )
( )
( ) ∑ ( ) ( ) ∑ ( )
( ),
21
dhe
Sup *∑ ( ) ( ) ∑ ( )
( )+
,
ndërsa
∑ ( ) ( ) ∑ ( )
( )
Atëherë kemi që:
( ) |∑ ( ) ( ) ∑ ( )
( )
( ) ∑ ( ) ( ) ∑ ( )
( )
( ) ( ) ( )
.
/.
Pra, ( ) dhe ( ) janë respektivisht ( )-vargu dhe vargu
korrespondues i diametrave që tregon se g është ( )- i integrueshëm me integral Nëse ndërrojmë rolet e dhe përfundojmë plotësisht vërtetimin.
Një tjetër diferencë interesante është vlefshmëria e të ashtuquajturës Lema
Henstock, me të vërtetë, do të shohim që ( )-integrueshmëria e sjell këtë rezultat,
në ndryshim me rastin e integralit sipas normës.
Së pari, të provojmë një kriter të tipit Koshi, për ekzistencën e ( )-integralit.
Vërtetimi është i ngjashëm me atë të dhënë nga [12].
Teoremë 2.2.2
Le të jetë një funksion çfarëdo. Funksioni është ( )-i integrueshëm
atëherë dhe vetëm atëherë nëse ekziston një ( )-varg ( ) dhe një varg
korrespondues ( ) i diametrave, i tillë që për çdo n, dhe për dy M- ndarje Π, Π′ ,
-të imëta ka vend:
( ) ( Π′) ( )
Vërtetim
Kondita e nevojshme vërtetohet direkt. Të vërtetojmë konditën e mjaftueshme.
Supozojmë që ( ) është i vërtetë. Pa humbur përgjithësimin, supozojmë që vargu
( ) është zbritës. Për çdo n, përcaktojmë:
sup * ( ) është - e imët }, inf * ( ) është - e imët }.
Sigurisht, kemi që për çdo , dhe gjithashtu
nga fakti që ( ) ( Π′) Duke nënkuptuar se sup :
pohojmë që vlera e përbashkët është integrali . Në të vërtetë, për të njëjtin varg
(zbritës) ( ) ne marrim që:
( )
dhe
( )
Të dy mosbarazimet qëndrojnë për çdo M- ndarje Π, -e imët e cila mjafton për të
provuar konditën e mjaftueshme.
22
2.3 LEMAT E TIPIT HAKE DHE HENSTOK
Të vërtetojmë disa lema të tipit Henstock, për ( )-integralin. Vërtetimi është i
ngjashëm me atë të dhënë nga [16] , si dhe nga pohimi i mësipërm.
Pohim
Le të jetë një funksion ( )- i integrueshëm. Atëherë ekziston ( )-varg
( ) dhe një varg korrespondues ( ) diametrave, i tillë që për çdo dhe për çdo,
M-ndarje Π, -e imët ka vend:
∑ {|∑ ( ) ( ) ∑ ( ) (
) |}
Π
lëvizin përgjatë të gjithë M-ndarjeve të imëta të .
Vërtetim
Së pari vërejmë se, në sajë të kriterit Koshi, ekziston një ( )-varg ( ) , së bashku
me një varg korrespondues ( ) të diametrave, të tillë që:
∑ ( ) ( ) ∑ ( ) (
) ( )
Mosbarazimi ka vend për të gjitha M-ndarjet , të imëta. Nëse për ndonjë M-
ndarje e imët, dhe për çdo element E nga Π, marrrim në konsideratë dy nëndarje
çfarëdo dhe , atëherë, duke marrë bashkimin e nëndarjeve si E dhe duke
bërë të njëjtat veprime me nëndarjen ne fitojmë dy M-ndarjet e imëta të T, për
të cilat ( ) është i vërtetë. Nga ku rrjedh se:
∑ ( ) ( ) ∑ ( ) (
) . ( )
Tani, shënojmë me elementin e parë të Π. Atëherë, në shumatoren që ndodhet në
të majtë, fiksojmë të gjitha , dhe gjithashtu, të gjithë
që nuk janë të përfshira në
, duke marrë superiorin, kur ndryshon në të gjitha mënyrat e mundshme, marrim:
(
) ∑ ( ) ( )
∑ ( )
Nëse ndryshojmë vetëm që janë të përfshira në nxjerrim si përfundim:
(
) (
)+∑ ( ) ( )
∑ ( )
{|∑ ( ) ( ) ∑ ( ) (
) |}
+ ∑ ( ) ( )
∑ ( ) ( )
Nëse fiksojmë të gjitha që nuk përfshihen në bashkësinë e dytë të (ose ) dhe
bëjmë të njëjtat veprime, do të kemi:
{|∑ ( ) ( ) ∑ ( ) (
) |}
+
+ {|∑ ( ) ( ) ∑ ( ) (
) |}
23
+ ∑ ( ) ( )
∑ ( ) ( )
Duke vazhduar në të njëjtën procedurë përfundojmë vërtetimin.
Rrjedhim 2.3.2
Nëse çdo funksion është ( )- i integrueshëm në atëherë, është i tillë në çdo
nënbashkësi të matshme A .
Vërtetim
Në të vërtetë, duke marrë të njëjtin ( )-varg ( ) dhe të njëjtin varg korrespondues
( ) si për integrueshmërinë e , marrim që për çdo , çdo M-ndarje e imët e A
mund të shtrihet tek M-ndarja e imët e në sajë të Lemës Cousin, dhe kështu, për
çdo dy Π, Π' M-ndarje - të imëta të A, marrim që:
| ( ) ( )|
{|∑ ( ) ( ) ∑ ( ) (
) |}
Duke shfrytëzuar kriterin Koshi përfundojmë vërtetimin.
Rrjedhim 2.3.3
Nëse është i integrueshëm në , dhe , janë dy nënbashkësi të matshme jo prerëse
të , atëherë:
∫
∫
∫
.
Teoremë 2.3.4
Le të jetë një funksion çfarëdo ( )-i integrueshëm. Atëherë ekziston një ( )-varg ( ) dhe një varg korrespondues ( ) i diametrave, të tillë që:
1) për çdo dhe çdo M-ndarje Π, -e imët ka vend:
∑ | ( ) ( ) ( )∫
;
2) për çdo dhe çdo M-ndarje Π, - e imët ka vend:
∑ | ( ) ( ) ( ) ( ) .
ku të gjitha etiketat plotësojnë kushtin ( ) dhe ( ) për të gjitha .
Vërtetim
Për të vërtetuar 1) mjafton të fiksojmë dhe M-ndarjen çfarëdo ( ) -të
imët. Vërejmë që:
( ) ( ) ∑ ( ) ( )
{|∑ ( ) ( ) ∑ ( ) (
) |}
ka vend për çdo M-nëndarje , -e imët e E dhe për çdo . Atëherë, kemi
që:
| ( ) ( ) ( )∫
| | ( ) ( ) ∑ ( ) ( )|
24
|∑ ( ) ( )
( )∫ |
{|∑ ( ) ( ) ∑ ( ) ( )
|}
Nga arbitrariteti i k dhe Pohimi marrim pohimin.
Për të vërtetuar 2), mjafton të tregojmë se:
| ( ) ( ) ( ) ( )|
{|∑ ( ) ( ) ∑ ( ) (
) |}
,
ku etiketat janë zgjedhur si më sipër.
Një rrjedhim i kësaj teoreme është se nga ( ) -integrueshmëria e rrjedh ( )-
integrueshmëria e | |.
Teoremë 2.3.5
Nëse është ( ) -i integrueshëm, atëherë edhe | | është ( ) -i integrueshëm.
Vërtetim
Përdorim kriterin Koshi: ekziston një ( )-varg ( ) dhe një varg korrespondues
( ) i diametrave, të tilla që, për çdo n dhe M-ndarje Π, Π' , -të imëta dhe Π'
është më e imët se Π,
|∑ | ( )| ( ) Π ∑ | ( )| ( ) | (2.4)
(Për kondita e mjaftueshme procedojmë në mënyrë të ngjajshme si tek [16]: Nëse
kushti (2.4) është i plotësuar, marrim dy ndarje dhe çfarëdo -të imëta,
atëherë është gjithmonë e mundur të gjendet M-ndarja Π′, -e imët, më e imët se
dhe . Pra nga (2.4) kemi që:
| ( ) ( )| | ( ) ( )| | ( ) ( )| )
Nëse ( ) dhe ( ) i zgjedhim si teorema 2.3.4, dhe dhe si më sipër:
∑ | ( )| ( ) ∑ | ( )| ( )
∑ ∑ (| ( )| | ( )|) ( )
∑ (| ( )| | ( )|) (
) ,
ku etiketa përputhet me kur , , për këtë arsye duke shfrytëzuar një
zbatim të thjeshtë të 2.3.4 (2), arrijmë tek mosbarazimi (2.4) duke përfunduar
vërtetimin.
Siç dihet, në rastin e hapësirave të Banahut një dallim ndërmjet integralit të Henstock-
Kurzweil dhe integralit të Meksheinit është teorema Hake. Kjo teoremë ka vend për
integralin e parë dhe nuk ka vend për të dytin. Të tregojmë më poshtë se kjo ndodh
edhe për integralet e renditur të dy tipeve, duke bërë modifikimet e nevojshme në
këtë teoremë.
25
Lemë 2.3.6 (Saks-Henstock) [28]
Le të jetë funksioni një funksion ( ) -i integrueshëm dhe ( ) një ( )- varg në X, si dhe një varg ( ) diametrash korrespondues, i tillë që për M- ndarje
Π *( ) +, - e imët e T:
|∑ ( ) ( ) ( )∫
| .
Në qoftë se Π {( ) } është një M-ndarje - i imët i
çfarëdoshëm i T, atëherë për çdo n do të kemi:
|∑ ( ( ) ( ) ( )∫ )
| .
Vërtetim
Përderisa {( ) } është një Mekshein –sistem -i imët, bashkësia
⋃ ( )
përbëhet nga një sistem i fundmë të intervaleve të T, dy
e nga dy jo mbulues. Funksioni është ( )- i integrueshëm që tregon se nga kushti
Bolcano - Koshi, integrali ( )∫
ekziston. Kjo do të thotë se nga përkufizimi i
integralit, për një ( )- varg ( ) dhe një varg ( ) diametrash, të tillë që për
çdo n , ( ( )) ( ( )) për i tillë që, për çdo do të kemi:
|∑ ( )
(
) ( )∫
|
ku ndarja {(
) } është M-ndarje - e imët e intervalit . Shuma:
∑ ( ) ( ) ∑ ∑ (
) ( )
paraqet një shumë integrale, e cila i korrespondon një M-ndarje - e imët e intervalit
T, dhe për pasojë, nga kushti do të kemi:
|∑ ( ) ( ) ∑ ∑ (
) ( )
( )∫
| Nga ku rrjedh se:
|∑ ( ) ( ) ( )∫
|
|∑ ( ) ( ) ∑ ∑ (
) ( )
( )∫
|
∑ |∑ ( ) (
) ( ) ∫
|
Kemi marrë kështu vërtetimin e lemës .
Në qoftë se M-ndarjet në pohimin e mësipërm i zëvendësojmë me K-ndarjet e
integralit të Henstock-ut do të fitojmë lemën:
Lemë 2.3.7
Le të jetë funksioni një funksion ( ) -i integrueshëm dhe ( ) një ( )- varg në X, si dhe ( ) një varg diametrash korrespondues, i tillë që, për një H-
ndarje Π *( ) +, e imët të T:
|∑ ( ) ( ) ( )∫
|
26
Atëherë, në qoftë se {( ) } është një K-ndarje e çfarëdoshme për çdo
n, - i imët, do të kemi:
|∑ ( ( ) ( ) ( )∫ )
|
Rrjedhim 2.3.8
Në qoftë se funksioni , f ( ), latica e Banahut X është me një numër të
fundëm përmasash dhe në qoftë se për çdo ( )- varg ( ) gjendet vargu i
diametrave ( ) për çdo në T, i tillë që:
|∑ ( ) ( ) ( )∫
|
për çdo M-ndarje *( ) + të T, - e imët, atëherë do të kemi që:
∑ |( ( ) ( ) ( )∫
|
për një M-sistem {( ) } të çfarëdoshëm - të imët. (c është një
konstante e cila varet nga përmasa e laticës të Banahut).
Vërtetim
Duket qartë se nuk bëhet ndonjë kufizim në qoftë se supozojmë se dimX =1. Në rastin
e dimensioneve më të mëdha do të bëhet diskutimi sipas çdo komponenti. Le të
supozojmë atëherë se . Shënojmë me bashkësinë e indekseve për të cilët:
( ) ( ) ( )∫
Dhe bashkësinë e indekseve për të cilët :
( ) ( ) ( )∫
Në sajë të lemës së Saks-Henstock do të kemi:
∑ ( ( ) ( ) ( )∫ )
|∑ ( ( ) ( ) ( )∫ )
|
dhe
∑ ( ( ) ( ) ( ) ∫ )
=|∑ ( ( ) ( ) ( )∫ )
|
Rrjedh se:
∑ | ( ) ( ) ( )∫
| =
∑ ( ( ) ( ) ( ) ∫ )
∑ ( ( ) ( ) ( ) ∫ )
.
Ky rrjedhim mund të formulohet dhe të vërtetohet në të njëjtën mënyrë edhe për
integralin ( ).
27
Pohim 2.3.9
Le të jetë një funksion i përcaktuar në një interval të kufizuar ℝ, i cili
mund të jetë i hapur, gjysmë i hapur etj. Supozojmë se për ndonjë nëninterval
integrali ( ) ∫
ekziston. Kështu, për çdo ( )-varg ( ) gjendet vargu i
funksioneve : për çdo , i tillë që, nëse {( ) } është një
M-ndarje -e imët e dhe për atëherë, ka vend mosbarazimi:
|∑ , ( ) ( ) ( )∫ -
| .
Vërtetim
Supozojmë se
është një varg intervalesh të mbyllur të cilët plotësojnë kushtin ⋃ Në qoftë
se dhe t nuk është skaj i intervalit , atëherë gjendet një indeks ( ) që pika i përkas brendësisë së intervalit ( ). Në qoftë se është skaji i intervalit J,
shënojmë ( ) të tillë që, t ( ). Një indeks i tillë ekziston sepse ne kemi
⋃ Nga kushtet për çdo integrali ∫
ekziston. Kjo do të thotë
që në sajë të përkufizimit të ( )- integralit për çdo dhe për çdo ( )- varg ( ) , gjendet vargu i diametrave - , për çdo nga , i tillë që,
për çdo M -ndarje ( ) - të imët të intervalit të kemi:
|∑ ( ) ( ) ∫
|
.
Për zgjedhim, për çdo ( ) të tillë që:
( ) ( )( )
Dhe - ( ) ( ), ( ) për çdo . Rrjedh se për një M-ndarje
{( ) } -të imët për çdo , do të kemi:
|∑ , ( ) ( ) ( ) ∫ -
|
∑ |∑ , ( ) ( ) ( ) ∫ -
( ) | ∑
meqenëse ( ) , atëherë . ( )/ për çdo dhe mosbarazimi:
|∑ , ( ) ( ) ( ) ( )∫ ( ) -
|
është rrjedhim i menjëhershëm nga lema 2.3.6. Saks-Henstock-ut e zbatuar në
intervalin .
Teoremë 2.3.10 (Hake )
Le të jetë , - ℝ, një interval kompakt (segment) dhe funksioni , -
, ku X është një hapësirë Banah-laticë, për të cilën ekziston (oH) ∫
për çdo c
që . Në qoftëse ekziston limiti:
28
( )- ( ) ∫
atëherë ekziston edhe integrali ( ) ∫
dhe ka vend barazimi:
( ) ∫
Vërtetim
Le të jetë ( ) një ( )-varg në X dhe një varg korrespondues ( ) diametrash, i
tillë që për çdo n, dhe për një H- ndarje Π *( ) +, - të imët nga
kushti kemi:
|( ) ∫
|
për çdo , , ku ( ).
Funksioni f, në gjysmëintervalin , ,, plotëson kushtet e teoremës 2.3.9, nga ku
ekziston vargu ( ) ,
, , - , i tillë që:
janë elemente të intervalit , , për të cilët:
[ ] ] ( ) (
)[.
Për atëherë:
|∑ , ( ) ([ ]) ( ) ∫ ( )
|
.
Shënojmë:
( ) (
( | ( )|))
dhe
( ) (
(
)( ))
për , ,.
Shohim që nga zgjedhja e diametrave ( ( )) për një për H- ndarje
*( , -) +, - të imët të tillë që:
do të kemi dhe gjithashtu , (Vemë në dukje se kjo zgjedhje nuk
ndodh në rastin e M-ndarjes) .
Duke përdorur faktet e paraqitura më sipër do të kemi që:
|∑ ( ) ([ ]) | |∑ ( )
([ ]) ( ) ∫
|+
|( )∫
| | ( ) (, -)|
| ( )| (, -)
| ( )|
( | ( )|))
29
për një H- ndarje *( , -) +, ( ) -të imët të intervalit J. Kjo
tregon ekzistencën e integralit ( ) ∫
ashtu sikurse vlera e tij është A
( ) ∫
Një teoremë analoge ka vend edhe në rastin kur kemi limitin e djathtë në skajin e
majtë të gjysmëintervalit të - -:
Teoremë 2.3.11 (Hake )
Le të jetë , - ℝ, një interval kompakt (segment) dhe funksioni , -
, ku X është hapësirë Banah -laticë për të cilën integrali i renditur ( ) ∫
ekziston për çdo që . Supozojmë se limiti:
(
( ) ∫
,
atëherë ekziston edhe integrali ( ) ∫
dhe ka vend barazimi:
( ) ∫
.
Kujtojmë që një laticë Banah X është një L-hapësirë, nëse norma e saj ‖ ‖ vërteton
barazimin:
për të gjithë elementet pozitivë x, y në X , -
Përkufizim 2.3.12 [ 37]
Një funksion quhet ( ) -i integrueshëm nëse ekziston një funksion aditiv
F: P( ) R i tillë që për çdo ekziston një diametër , i tillë që ka vend
mosbarazimi
∑ ‖ ( ) ( ) ( )‖ ( )
për çdo M-ndarje *( ) + -të imtët të intervalit T.
Teoremë 2.3.13
Le të jetë ( )-i integrueshëm. Supozojmë që është një -hapësirë.
Atëherë është Bohner i integrueshëm.
Vërtetim
Për të vërtetuar integrueshmërinë Bohner, do të mjaftonte të tregojmë se është ( ) –i integrueshëm fortësisht.
Në të vërtetë, nga [37], ( ) –integrueshmëria sjell integrueshmërinë Bohner. Ne do
të fillojmë duke provuar M-integrueshmërinë e . Në përputhje me teoremën
2.3.4, dhe me të njëjtat kuptime të simboleve, ekziston një ( )-varg ( ) dhe një
varg korrespondues ( ) i diametrave, i tillë që, për çdo dhe për çdo M-ndarje ,
-e imët rrjedh se kemi:
∑ | ( ) ( ) ( ) ( )|
30
Rrjedh se norma e është në përputhje me renditjen, dhe . Kështu
që zgjedhim dhe ndonjë numër të plotë , i tillë që, . Atëherë , nëse
është M-ndarje çfarëdo -e imët, kemi që:
‖∑ | ( ) ( ) ( ) ( )| ‖ ‖ ‖
Sipas ( ). Në sajë të natyrës së veçantë të normës ‖ ‖ ne vërtetojmë se:
∑ ‖| ( ) ( ) ( ) ( )|‖
Prej nga rrjedh se:
∑ |‖ ( )‖ ‖ ( )‖| ( ) ( )
Dhe nëse është një M-ndarje -e imët, për të dy etiketat dhe për duke
ndjekur të njëjtën procedurë si në vërtetimin e teoremës 2.3.5, provojmë se ‖ ‖
plotëson kriterin Koshi për M-integrueshmerinë dhe për këtë arsye ai është i
integrueshëm.
Nga teorema 2.3.4 (1), edhe në sajë të (2.6) është e lehtë për të nxjerrë përfundimin
(2.5). Në përfundim themi se është ( )- i integrueshëm, rrjedh gjithashtu
integrueshmëria Bohner.
Rrjedhim 2.3.14
Nga ( )-integrueshmëria në përgjithësi nuk rrjedh ( )-integrueshmëria.
Vërtetim
Në të vërtetë, në qoftë se X është çdo hapësirë Banah e pafundme, ekziston një
funksion Mekshein (normë)-i integrueshëm , - që nuk është Bohner i
integrueshëm [36 ]. Në veçanti, kur X është një L-hapësirë (e pafundme), një funksion
i tillë nuk mund të jetë ( ) –i integrueshmëm, sipas Teoremës së mësipërme
2.3.13.
Rrjedhim 2.3.15
Një M-hapësirë X ka një normë ekuivalente me një L-normë vetëm nëse ajo është me
dimensione të fundme.
Vërtetim
Në fakt në një M-hapësirë X, ( ) -integrueshmëria dhe ( ) -integrueshmëria janë
të njëjta: kështu, në qoftë se X ka një L-normë ekuivalente, atëherë nga rrjedhimi
2.3.14. rrjedh se X duhet të jetë me dimensione të fundme.
Teorema e mëposhtme mund të krahasohet me një rezultat paraprak të Drewnowski
dhe Wnuk, ([22]), ku integrali Bohner është trajtuar, për funksione që marrin vlera në
një laticë Banah X, dhe është provuar që moduli i integralit të pacaktuar Bohner i
është pikërisht integrali i pacaktuar i | | Ne mund të themi një rezultat të ngjashëm
për ( )-integrueshmërinë.
Përkufizim 2.3.16 [12]
Le të jetë një funksion çfarëdo ( )-i integrueshëm, atëherë do të quajmë
integral të pacaktuar i :
( ) ( ) ∫
31
për të gjithë bashkësitë e Borelit . Moduli i që shënohet me | |, është
përcaktuar për çdo si vijon:
| |( ) *∑ ( ) ( )+
ku ( ) është familja e të gjithë ndarjeve të fundme të .
Teoremë 2.3.17
Supozojmë që është ( )-i integrueshëm, atëherë kemi që:
| |
Vërtetim
Vërejmë se | | është gjithashtu e integrueshme në sajë të Teoremës 2.3.5. Le të jetë
( ) një ( )-varg. Nga përkufizimi i ( )- i integrueshmërisë gjendet vargu
korrespondues i diametrave ( ) - , i tillë që, për çdo -ndarje
*( ) + të T-së -të imët kanë vend mosbarazimet:
|∑ ( ) ( ) ( )∫
|
dhe
|∑ | ( )| ( ) ( )∫ | |
|
Për një -ndarje të fiksuar *( ) + ( )-të imët të intervalit T do të
marrim:
|( ) ∫
| |∑ ( ) ( ) ( ) ∫
| |∑ ( ) ( )
|
∑ | ( )| ( ) |∑ | ( )| ( )
( )∫ | |
| ( )∫ | |
( )∫ | |
.
Meqenëse kur do të fitojmë mosbarazimin e kërkuar.
( ) ∫
( ) ∫ | |
Për çdo bashkësi , kemi që: | |
Kjo gjithashtu tregon se moduli | | është i kufizuar.
Provojmë tani mosbarazimin e kundërt. Për këtë qëllim përdorim Lemën Henstock,
teoremën 2.3.4, dhe në veçanti pika (1). Le të jenë ( ) dhe ( ) ( )-varg dhe
vargu korrespondues i diametrave ( ) , të tilla që, për çdo dhe për çdo ( ) M-ndarje, -e imët kemi që:
∑ ( ) ( ) ( )∫
(2.7)
dhe ∑ ( ) ( ) ( ) ∫
(2.8)
Nga (2.7) rrjedh se:
∑ || ( )| ( ) ( )∫
(2.9)
Kështu që, duke shfrytëzuar (2.8) dhe (2.9) kemi:
32
( ) | |( ) ∑ ( ( ) |( )∫
| )
∑ ( ( ) | ( )| ( ))
∑ ( ( ) ( ) |( )∫
|)
Meqenëse ( ) është një ( )-varg, marrim që | |( ) ( ), dhe është e qartë
se | |( ) ( ). Kjo përfundon vërtetimin.
2.4. TEOREMA KONVERGJENCE
Duke u nisur nga përkufizimet e integraleve bindemi se integrimi është një proces
limit.Teoremat e konvergjencës për integralin kanë të bëjnë me mundësinë e kalimit
të limitit brenda shenjës së integralit, që formalisht, do të thotë të këmbejmë vendin e
integralit me vendin e limitit. Nga integrali klasik dimë që kjo mund të bëhet në qoftë
se procesi limit është “uniform” në lidhje me integralin. Problemi është të shqyrtojmë
një varg funksionesh ( ) ( ), dhe të fiksojmë kuptimin e
uniformitetit të procesit të integrimit në lidhje me k.
Le të fillojmë me përkufizimin e mëposhtëm:
Përkufizim 2.4.1[28]
Koleksioni , i funksioneve quhet ( )-ekui-i integrueshëm (( )-ekui-i
integrueshëm) në qoftë se çdo është ( )-Mekshein i integrueshëm ( -
Henstock i integrueshëm ), dhe për çdo -varg ( ) gjenden për çdo diametrat
( ) të tillë që, për ndonjë ka vend mosbarazimi :
|∑ ( ) ( ) ( ) ∫
|
(|∑ ( ) ( ) ( )∫
| )
ku ndarja *( ) + është një M-ndarje (K-ndarje) -e imët e intervalit T.
Teoremë 2.4.2 [28]
Le të jetë * ) një varg (( )-ekui-i integrueshëm) i tillë që:
( )
( ) ( )
Atëherë, funksioni është Mekshein i integrueshëm dhe ka vend barazimi:
( )
( )∫ ( ) ∫
.
Vërtetim
Le të jetë ( ) vargu i diametrave që përmenden në përkufizimin e ekui-
integrueshmërisë të vargut të funksioneve ( ) që i korrespondon -vargut ( ) . Për
ndonjë do të kemi:
|∑ ( ) ( ) ( )∫
| (2.10)
Për çdo n dhe për çdo M-ndarje *( ) + -të imët të intervalit të T.
33
Në qoftë se ndarja *( ) + është fiksuar atëherë konvergjenca pikësore
na jep:
( )
∑ ( ) ( ) ∑ ( )
( ).
Zgjedhim një të tillë që për ka vend mosbarazimi:
|∑ ( ) ( ) ∑ ( )
( )|
ku nga marrim
|∑ ( ) ( ) ( ) ∫
|
|∑ , ( ) ( ) ( ) ( )-|
|∑ , ( ) ( ) ( )∫ -
|
për . Kjo na jep që për mosbarazimin:
|( ) ∫ ( )∫
-|
duke marrë një mosbarazim të ngjashëm me ( ) për .
Nga ana tjetër vargu ( ) ∫ , me elemente nga është një varg Bolcano-
Koshi. Meqenëse X është ( )-i plotë do të kemi që ekziston limiti:
( )
( )∫ . (2.11)
Të marrim përsëri ( )-vargun ( ) sipas përkufizimit të ekui-integrueshmërisë,
gjendet vargu ( ) i diametrave që të kenë vend mosbarazimi ( ) për çdo dhe për çdo -ndarje *( ) +, e cila është një ndarje -e imët e
intervalit të T. Në sajë të barazimit ( ) zgjedhim të tillë që:
|( ) ∫ |
për të gjithë Supozojmë tani se *( ) + është një -ndarje -e
imët për çdo e intervalit T. Përderisa vargu i funksioneve konvergjon tek në
mënyrë pikësore, gjendet një N e tillë që:
|∑ ( )
( ) ∑ ( )
( )| .
Kemi që:
|∑ ( ) ( ) | |∑ ( )
( ) ∑
( ) ( )|
|∑ ( )
( ) ( )∫
| |( ) ∫ |
Kjo sjell që është ( )-Mekshein i integrueshëm në T dhe
( )
( )∫ ( )∫
Për rastin e integralit ( )-Henstock vërtetimi është i ngjashëm.
Pohim 2.4.3 [28]
Një funksion është ( )- Mekshein i integrueshëm, atëherë dhe vetëm
atëherë kur bashkësia * ( ) ( )+ është ( )-ekui-i integrueshëm.
34
Vërtetim
Kondita e nevojshme. Meqenëse është ( )- Mekshein i integrueshëm, për çdo ( )- varg ( ) gjendet vargu korrespondues ( ) i diametrave, i tillë që për çdo n,
( ( ) - , në T do të kemi që:
|∑ ( ) ( ) ( ) ∫
|
për çdo -ndarje *( ) + - e imët për çdo e T.
Le të jetë funksioni i çfarëdoshëm do të kemi:
∑ ( ( )) ( ) (( )∫ )
| | |∑ ( ) ( ) ( ) ∫
| | |
Meqenëse është i fiksuar, po ashtu dhe vlera absolute në është i fiksuar, kemi që
ky mosbarazim tregon se koleksioni * ( ) ( )+ është ( ) -Mekshein –ekui-i
integrueshëm .
Kondita e mjaftueshme. Nga ana tjetër, në qoftë se koleksioni * ( ) ( )+ është ( )-ekui-i integrueshëm, atëherë për çdo ( )- varg ( ) gjendet vargu i
diametrave ( ) , ku : - , në i tillë që mosbarazimi:
∑ ( ( )) ( ) ( ) ∫ ( )
,
ka vend për çdo -ndarje * + - të imët të intervalit T dhe ( ). Në
qoftë se *( )+ dhe {( )} janë dy -ndarje -të imët të intervalit T në sajë të
faktit që kur është ( )-e plotë rrjedh se dhe është ( )-e plotë, do të kemi:
| (∑ ( ) ( ) ∑ ( ) ( )) |
∑ ( ( )) ( ) ∑ . ( )/ ( ) (2.12)
për çdo ( ). Mosbarazimi është ai Bolcano –Koshi në gjë që tregon se:
|∑ ( ) ( ) ∑ ( ) ( ) | (2.13)
Duke patur parasysh se ( ) paraqet konditën -Bolcano-Koshi të dobët, del se ka
vend ( ) që jep konditën ( )-Bolcano Koshi në , e cila duke qenë e plotë na
tregon se funksioni është ( )-Mekshein i integrueshëm.
Duke u fokusuar tek koncepti i dhënë i ekui integrueshmërisë, të një familje
funksionesh të dhënë, nga përkufizimi ( ), vëmë në dukje rezultatin e
mëposhtëm, i cili paraqet një tip kondite Bolcano-Koshi për ekui-integrueshmërinë e
një familje funksionesh .
Teoremë 2.4.4 [28]
Një koleksion i funksioneve është ( )-ekui-i integrueshëm atëherë dhe
vetëm atëherë kur për çdo ( )-varg ( ) gjendet një varg diametrash ( ) , ku :
T - ,, i tillë që ka vend mosbarazimi:
|∑ ( ) ( ) ∑ ( ) ( )
|
35
për çdo dhe për M-ndarje *( ) + , {( ) } - të imëta të
intervalit T, dhe për çdo .
Vërtetim
Në qoftë se është një koleksion ekui-integrueshëm, atëherë kondita duket qartë se
plotësohet për diametra ( ) që i korrespondojnë të themi
, ku është ( ) -
vargu që i përgjigjet përkufizimi 2.4.1.
Nga ana tjetër, nëse konditat e teoremës plotësohen, atëherë çdo funksion i veçantë
është -i integrueshëm, për të njëjtin varg ( ) -korrespondues të vargut të
dhënë ( ) kjo provon teoremën.
Mund të formulohet në lidhje me ekui-integrueshmërinë një lemë që na kujton lemën
(Saks –Henstock) të vërtetuar më parë .
Lemë 2.4.5 [28]
Le të jetë dhënë koleksioni i funksioneve - ekui- të integrueshëm. Për
një ( )-varg ( ) gjendet vargu korrespondues i diametrave ( ) në T, për të cilët
ka vend mosbarazimi:
|∑ ( ) ( ) ( )∫
|
për çdo M-ndarje *( ) + -e imët të intervalit T . Atëherë, në qoftë se
{( ) } është një M-ndarje -e imët do të kemi:
|∑ . ( ) ( ) ( )∫
/ | për çdo .
Vërtetimi përsërit fjalë për fjalë vërtetimin e lemës *Saks-Henstock+ ndaj nuk po e
bëjmë.
Shënim Për të thjeshtuar shkrimin e disa formulave më poshtë do të përdoren
shënimet *( )+ për një M-sistem në vend të shënimit *( ) + i cili
specifikon numrin r të elementeve të një M-sistemi. Për një funksion dhe
për një M-sistem *( )+ do të shkruajmë ∑ ( ) ( ) në vend të:
∑ ( ) ( ) .
Lemë 2.4.6 [28]
Supozojmë se X është L-hapësirë dhe , janë funksione të
integrueshëm të Mekshein-it sipas renditjes dhe të tillë që:
1. ( ) ( ) për çdo t 2. Bashkësia * + formon një varg funksionesh ekui - ( ) -të
integrueshëm,
atëherë për çdo varg ( ) zbritës konvergjent në zero gjendet një e tillë që,
nëse F është bashkësi e mbyllur, G e hapur, dhe ( ) gjendet një
varg diametrash : - , që:
( ( )) për ,
( ( )) për .
36
Vërtetim
Shënojmë ( ) ( ) ∫ për një interval (primitive e ) dhe shënojmë
. Përderisa funksionet janë oM- të integrueshëm, në sajë të lemës Saksit -
Henstock (2.4.5) gjendet një varg diametrash në ku:
|∑ , ( ) ( ) Φ ( )]|
(2.14)
për çdo M – system {( , )} të imët dhe .
Supozojmë se *( )+ është një M copëtim -i imët i T-së. Le të jetë dhe
për çdo p, në sajë të faktit që X është L- hapësirë, atëherë:
| ( ) ( )|
për dhe . Shënojmë:
* ( )| | ( )|+
Kemi që:
| ( )|
për çdo k dhe p. Supozojmë se > 0 plotëson mosbarazimin:
Kemi që:
( ) ( ),
Përderisa bashkësitë G dhe T \ F janë të hapura, diametri mund të zgjidhet i tillë
që: ( ( )) për , dhe ( ( )) për .
Teoremë 2.4.7
Në kushtet e lemës së mësipërme, për çdo varg ( ) zbritës konvergjent në zero dhe
për M-copëtimet * )+ *( )+ - të imët që gëzojnë vetinë;
⋃ ⋃
ka vend:
| ∑ ( ) ( ) ∑ ( ) ( )|
për çdo k .
Vërtetim
Përderisa *( )+ është copëtim i T-së do të kemi që ⋃ dhe mund të
shkruajmë:
∑ ( ) ( ) ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) ∑ ∑ ( ) ( )
⋃ ) ∑ ∑ ( ) ( )
Ose njëlloj
37
∑
( ) ( ) ∑∑∑
( ) ( ) ∑ ∑ ( )
( )
⋃ ) ∑ ∑ ( ) ( )
M- sistemet :
{( ) +
{( ) +
janë -të imët dhe nga mosbarazimi (14) i lemës së mësipërme do të kemi:
| ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) Φ ( )|
| ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) Φ ( )| .
Rrjedh se:
|∑ ∑ ∑ ( ) ( ) ∑ ∑ ∑ ( ) ( )|
në mënyrë të ngjashme kemi:
| ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) ∑ ∑ ∑ ( ) ( )|
.
(2.15)
Rrjedh se:
|∑ ∑ ∑ ( ) ( ) ∑ ∑ ∑ ( ) ( )|
.
Përderisa *( )+ është një M -system - i imët , ku duke patur parasysh
vetitë e diametrave të lemës (2.4.6) dhe nga supozimi që:
⋃ ⋃
do të kemi:
{( ⋃ ) } *( ) +
{( ⋃ ) } *( ) +
janë - të imët. Në sajë të mosbarazimit (2.14) do të marrim:
|∑ , ( ) ( ⋃ ) Φ ( ⋃ )-
∑ , ( ) ( ) Φ ( )-|
Njëlloj provojmë se:
| ∑ , ( ) ( ⋃ ) Φ ( ⋃ )-
∑ , ( ) ( ) ( )-| .
Nga mosbarazimet e mësipërme kemi:
38
|∑ , ( ) ( ⋃ ) Φ ( )]|
rrjedh se:
| ∑ , ( ) ( ⋃ ) ∑ , ( ) ( )-|
(2.16)
duke vepruar njëlloj si më sipër kemi:
| ∑ , ( ) ( ⋃ ) ∑ ,
( ) ( )-| (2.17)
Në sajë të mosbarazimeve (2.15), (2.16) dhe (2.17) marrim:
|∑ ( ) ( ) ∑ ( ) ( )|
Pohim 2.4.8
Në qoftë se funksioni është ( )-i integrueshëm, atëherë për çdo varg ( ) gjendet një e tillë që:
(a) nëse F është bashkësi e mbyllur, G e hapur, dhe ( ) , gjendet
një varg diametrash : - , të tillë që:
( ( )) për ,
( ( )) për .
(b) dhe për M-ndarjet *( )+ *( )+ -të imëta që gëzojnë vetinë:
⋃ ⋃
ka vend mosbarazimi:
|∑ ( ) ( ) ∑ ( ) ( )|
për çdo .
Vërtetim
Pohimi rrjedh menjëherë nga pohimet e mësipërme 2.4.6 dhe 2.4.7, në qoftë se
zëvendësojmë për çdo .
Teoremë 2.4.9
Në qoftë se funksioni është ( ) -i integrueshëm atëherë edhe është
( )-i integrueshëm për çdo bashkësi të matshme ( është ( ) -i
integrueshëm në E).
Vërtetim
Le të jetë ( )-vargu ( ) dhe numri real 0 korrespondues i tij si në pohimin
2.4.8. Supozojmë që është e matshme. Atëherë gjendet një bashkësi F e
mbyllur në T dhe G e hapur, , të tilla që ku ( ) .
Supozojmë se vargu i diametrave ( ) : - , është i dhënë si në
pohimin 2.4.8, dhe M-ndarjet *( )+ *( )+ janë -të imëta në F. Ka vend
përfshirja :
në qoftë se atëherë dhe (⋃ ) . (Nga vetitë e diametrave
do të kemi që në qoftë se d.m.th ⋃ . Në
qoftë se atëherë dhe ⋃ , pra ⋃ ).
39
Njëlloj:
Në qoftë se atëherë dhe (⋃ ) .
Në sajë të pohimit 2.4.8. do të kemi:
|∑ ( ) ( ) ∑ ( ) ( )|
Dhe për më tepër
|∑ ( ) ( ) ( ) ∑ ( ) ( ) ( )|
Kjo tregon se funksioni është ( )-i integrueshëm dhe ka vend:
( )∫ ( )∫
Pohim 2.4.10 [21]
Le të jetë , një varg bashkësish të matshme dy nga dy jo prerëse dhe
, . Supozojmë se seria ∑ ( ) është konvergjente e pakushtëzuar
në X dhe se :
( ) ∑
( ), .
Atëherë vargu : T , është ( )-ekui-i integrueshëm.
Teoremë 2.4.11
Le të jetë , një varg bashkësish të matshme dy nga dy jo prerëse dhe
, . Supozojmë se seria ∑ ( ) është konvergjente e pakushtëzuar
në X. Atëherë funksioni i përcaktuar nga barazimi:
( ) ∑
( ),
është ( )-i integrueshëm dhe ( ) ∫
=∑ ( ) .
Vërtetim
Nga pohimi 2.4.10 vargu ( ) ∑
( ), është ( )-ekui-i
integrueshëm dhe duket qartë
(o)- ( ) ( ) për Atëherë në sajë të teoremës së konvergjencës
2.4.2 është ( )-i integrueshëm dhe ka vend barazimi:
( )∫
= (o)- ( )∫ (o)- ∑ ( )
∑ ( )
Teoremë 2.4.12 [37]
Supozojmë se vargu : T , është ( )-i integrueshëm i tillë që:
1. (o)- ( ) ( ) për ,
2. Bashkësia * + është ( )-ekui-i integrueshme.
Atëherë vargu , është ( )-ekui-i integrueshëm për çdo bashkësi të
matshme E
40
Përkufizim 2.4.13
Një funksion quhet ( )- fortësisht i integrueshëm nëse ekziston një
funksion aditiv F: P( ) R, i tillë që, për çdo ( )-varg ( ) gjendet vargu i
diametrave ( ) , : - , për të cilët, ka vend mosbarazimi:
∑ | ( ) ( ) ( )|
për M-ndarje (K-ndarje) *( ) + -të imtët të intervalit T.
Shënojmë me ( ) bashkësinë e funksioneve të cilët janë ( ) -fortësisht
të integrueshëm në T.
2.5 VETIA DHE
Përkufizim 2.5.1
Funksioni ka vetinë ( ) në qoftë se për çdo ( )-varg ( ) gjendet vargu i diametrave ( ) , : - , ,i tillë që, ka vend mosbarazimi:
∑ ∑ | ( ) ( |
( )
për M-ndarje (K-ndarje) *( ) + dhe {( ) } -të imëta të
intervalit T.
Vërtetohet lehtësisht pohimi:
Pohim 2.5.2
Në qoftë se funksioni gëzon vetinë atëherë ai gëzon edhe vetinë
Duke u mbështetur tek përkufizimi 2.5.1 vërtetohet pohimi:
Teoremë 2.5.3
Në qoftë se funksioni gëzon vetinë ( ) atëherë është ( )-i
integrueshëm (( )-i integrueshëm).
Vërtetim.
Në qoftë se *( ) + dhe {( ) } janë M-ndarje (K-ndarje)
-të imëta të intervalit do të kemi:
( ) ∑ ( )
dhe
( ) ∑ ( )
Shqyrtojmë:
|∑ ( ) ( ) ∑ ( ) ( )
|
|∑ ∑ ( )
( ) ∑ ∑ ( )
( )|
|∑ ∑ ( ( ) ( ))
( )|
∑ ∑ | ( ) ( )|
( ) .
41
Në bazë të kriterit Bolcano-Koshi dhe plotshmërisë së X del se ekziston ( )-
integrali (( )- i integrali).
Rrjedhim 2.5.4
Në qoftë se funksioni ka vetinë , atëherë funksioni | | shtë
( )-i integrueshëm.
Në qoftë se funksioni ka vetinë , atëherë funksioni | | shtë
( )-i integrueshëm.
Vërtetim
Përderisa
|| ( )| | ( )|| | ( ) ( )|
për ndonj , themi se funksioni | | ka vetinë (ose ).
Pohimi 2.5,3 sjell këtë integrueshmëri (ose ).
Lemë 2.5.5
Në qoftë se ka vetinë ( ) atëherë ai është ( )-fortësisht i
integrueshëm (vetinë ) ( ose ).
Vërtetim
Vërtetimin po e bejmë vetëm për ( )-integralin. (Mund të konstatohet se është i
ngjashëm edhe për rastin ). Në qoftë se ka vetinë atëherë nga
përkufizimi 2.5.1, për çdo ( )-varg ( ) gjendet vargu i diametrave ( ) , : - ,, ku ka vend mosbarazimi:
∑∑| ( ) ( )|
( )
për dy M-ndarjet *( ) + dhe {( ) } -të imëta për çdo n
të intervalit . Supozojmë se *( ) + është një M-ndarje e çfarëdoshme
-e imët e intervalit . Në sajë të teoremës , - kemi që ( ) që do të
thotë se është ( )- i integrueshëm në çdo interval , nga vetia
Bolcano–Koshi. Kjo do të thotë se për ( )-vargun e dhën ( ) gjendet vargu i
diametrave ( ) ( ) për t i tillë që, për ndonjë M-ndarje {. ( )
( )
/
( ) }
-të imët të intervalit do të kemi:
|∑ . ( )
/ . ( )
/ ( )
( )∫
|
|∑ , . ( )
/ . ( )
/ ( )
( )∫ - ( ) |
.
Duke ecur edhe sipas indeksit do të kemi se ndarja {. ( )
( )
/
( ) } është një M-ndarje -e imët e intervalit . Për do
të kemi:
( ) ( ) ∑ ( ) ( )
. ( )
/,
42
dhe në bazë të aditivitetit të funksionit ( primitivës së f ) ( ) )∫
, kemi që:
( ) ∑ . ( )
/ ( )
Shqyrtojmë:
∑ | ( ) ( ) ( )|
∑ |∑ ( ) . ( )
/ ∑ . ( )
/ ( )
( )
|
∑ |∑ ( ( ) ( )
. ( )
/) . ( )
/ ∑ , . ( )
/ . ( )
/ ( )
. ( )/-|
∑ |∑ ( ( ) . ( )
/) . ( )
/ ( )
|
∑ |∑ , . ( )/ .
( )/ . ( )/- ( )
|
∑ ∑ | ( ) . ( )
/| ( )
.
( )/
∑ |∑ , . ( )/ .
( )/ . ( )/- ( )
|
∑
Ky tregon se funksioni është ( )- i integrueshëm fortësisht në T.
Lemë 2.5.6
Në qoftë se funksioni është ( )-Mekshein i integrueshëm fortësisht në T,
atëherë ai gëzon vetinë .
Vërtetim
Nga përkufizimi ( )-Mekshein i integrueshëm fortësisht, për çdo -varg ( )
gjendet vargu i diametrave ( ) i tillë që:
∑ | ( ) ( ) ( )|
për çdo M-ndarje *( ) + -e imët e intervalit T, ku shtë funksioni
aditiv intervalor (Funksioni primitiv i ). Në qoftë se *( ) + dhe
{( ) } janë dy M-ndarje -të imët të intervalit T, atëherë:
∑ ∑ | ( ) ( )|
( )
43
∑ ∑ | ( ) ( ) ( ) ( )|
∑ ∑ | ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )|
∑ ∑ | ( ) ( ) ( )|
∑ ∑ | ( ) ( ) ( )|
sepse duket qartë se {( ) } dhe {( )
} janë dy M-ndarje -të imëta të intervalit . Nga del se f ka
vetinë .
Vërejtje 2.5.7
Arsyetimi i përdorur në lemën e mësipërme nuk mund të përdoret për integrimin e
fortë dhe për vetinë . Në të vërtetë integrueshmëria e fortë nuk sjell në
përgjithësi vetinë Për të treguar këtë, mjafton të studiojmë funksionin
, - ℝ për të cilin , kurse | | . Funksioni f është derivat i
funksionit F( ) .
/, - - ( ) .
Kështu, shëmbull klasik ku ( ) .
/
.
/ për - - dhe
( ) Shihet që shtë i integrueshëm, kurse | | nuk është , -.
Teoremë 2.5.8
Në qoftë se funksioni është i integrueshëm Mekshein i renditur
fortësisht në intervalin T atëherë:
|( ) ∫
| ( ) ∫ | |
Vërtetim
Në sajë të teoremës , - dhe teoremës , - kemi që shtë funksion ( )-
integrueshëm dhe për pasojë edhe | | është funksion i integrueshëm.
Le të jetë ( ) një ( )-varg. Nga përkufizimi i ( )- i integrueshmërisë gjendet
vargu korrespondues i diametrave ( ) - , i tillë që, për çdo -ndarje *( ) + të T-së -të imët kanë vend mosbarazimet:
|∑ ( ) ( ) ( )∫
|
dhe
|∑ | ( )| ( ) ( )∫ | |
|
44
Për një -ndarje të fiksuar *( ) + ( )-të imët të intervalit T do të
marrim:
|( ) ∫
| |∑ ( ) ( ) ( ) ∫
| |∑ ( ) ( )
|
∑ | ( )| ( ) |∑ | ( )| ( )
( )∫ | |
| ( )∫ | |
( ) ∫ | |
Meqenëse kur do të fitojmë mosbarazimin e kërkuar.
2.6 INTEGRUESHMËRIA NË S=[0,1]
Në këtë seksion do të studiojmë ( ) -integrueshmërinë e funksioneve , - ,
ku [0,1] është i pajisur me masën Lebesgue të zakonshme λ.Tani e tutje, do të
konsiderojmë vetëm ndarjen e Mekshein-it të përbërë nga nënbashkësitë e [0,1], dhe
jo nënbashkësitë çfarëdo të matshme. Fillojmë me një rezultat të dobishëm.
Lemë 2.6.1[20]
Le të jetë , supozojmë se ekziston një ( ) -varg ( ) ,i tillë që, për çdo
dhe dy funksione ( ) – të integrueshme dhe mund të gjendet i njëjti ( )-
varg ( ) , rregullues, i tillë që, dhe ( )∫ ( ) ∫ , atëherë është ( )- i integrueshëm.
Vërtetim:
( )∫ ( ) ( ) ( ) ( )∫
( )∫
Nga ku rrjedh se nëse janë M-ndarje çfarëdo -të imëta,
( ) ( )
Nga kriteri Koshi rrjedh integrueshmëria e f.
Në mënyrë të ngjashme si në [20], ne mund të nxjerrim një përfundim se funksionet e
kufizuar sipas renditjes janë ( ) – të integrueshëm.
Teoremë 2.6.2
Le të jetë një funksion rritës. Atëherë është ( ) -i integrueshëm .
Vërtetim
Zgjedhim një numër pozitiv , dhe bashkësinë
, për dhe
, , , për . Përcaktojmë:
∑ ( )
∑ ( )
Meqenëse dhe janë ( )-të integrueshëm dhe plotësojnë konditën në , atëherë kemi:
( )∫ ( )∫ ( ) ( )
45
Meqenëse ( ( ) ( )) është ( )- varg, si dhe duke shfrytëzuar Lemën
2.6.1 përfundojmë vërtetimin.
Rrjedhim 2.6.3
Për funksionet (e kufizuar sipas renditjes) ( )–integrueshmëria është më e
përgjithshme se Riemann-integrueshmëria.
Mjafton që në vërtetimin e mëparshëm, të zëvendësojmë ( ) me ( ) , ,
në përkufizimin e dhe ( ) me ( ) , , në përkufizimin e .
Vërejtje 2.6.4
Pasi kemi studiuar (o)-Mekshein integrueshmërinë për funksionet e përcaktuara në një
hapësirë metrikë kompakte të rregullt, dhe me vlera në një laticë Banah, me një normë
të renditur të vazhduar, si dhe duke krahasuar të dyja tipet e integraleve të tipit normë
dhe integralin e tipit të renditur, arrijmë në përfundimin: se në përgjithësi integrali i
tipit të renditur është më e fortë se ai i tipit normë dhe, ndërsa në M-hapësira të dy
integralet përputhen, në L-hapësira integrali (o)- Mekshein është në të vërtetë një
integral Bohner.
2.7 KRAHASIMI I INTEGRALIT TË RENDITUR TË MEKSHEINIT DHE
INTEGRALIT TË RENDITUR TË PETISIT
Përkufizim 2.7.1
Në qoftë se është i matshëm dobët dhe i tillë që, funksioni ( ) ℝ është ( )- i integrueshëm për çdo , atëherë themi që ka integral të
Dunfordit të renditur. Integrali i Dunfordit i renditur ( ) ∫
i funksionit f mbi
bashkësinë e matshme përcaktohet nga elementi dhe shënohet:
( ) ∫
,
ku ( ) ∫ ( )
për të gjithë .
Siç duket nga përkufizimi, integrali i renditur i Dunfordit ( ) ∫
është element i
dualit të dytë të hapësirës Banah laticë X. Kjo situatë nuk është shumë komode,
pasi ne presim që vlerat e integralit si në rastin e ( )-Bohnerit apo Mekshein-it, të
jenë në hapësirën vektoriale të renditur të Banahut X. Duke përcaktur një integral
tjetër që gëzon këtë veti duhet të kujtojmë faktin që vetë hapësira X mund të zhytet në
mënyrë të natyrshme në Në qoftë se kjo ndodh, atëherë ( ) ∫
e
do të fitojmë një integral të ri.
Përkufizim 2.7.2
Në qoftë se është ( )- i integrueshëm, ku ( ) ∫
, ose më
saktësisht ( ) ∫
( ) ku është zhytje kanonike e në për çdo
bashkësi të matshme atëherë do të quhet Petis i integrueshëm sipas renditjes
dhe ky integral:
( ) ∫
( )∫
do të quhet integral i renditur i Petisit, i funksionit në bashkësinë .
46
Mund të vërejmë se integrimi i renditur Petis i funksionit mund të
përkufizohet në mënyrë ekuivalente.
Përkufizim 2.7.3
Një funksion i matshëm dobët ku ( ) është Bohner i integrueshëm sipas
renditjes, atëherë për çdo është Petis i integrueshëm sipas renditjes, në qoftë
se për çdo bashkësi të matshme gjendet një element që plotëson
barazimin:
( ) ∫ ( )
për çdo .
Duket qartë se kur është një hapësirë refleksive ( ), atëherë integrali i
Dunfordit dhe i Petisit koincidojnë.
Pohim 2.7.4
Në qoftë se është Bohner i integrueshëm sipas renditjes, atëherë funksioni
është Petis i integrueshëm sipas renditjes dhe ka vend barazimi:
( ) ∫
( )∫
Për çdo bashkësi të matshme .
Vërtetim
Përderisa ( ), shënojmë ( ) një varg (o)- Koshi funksionesh të thjeshtë
përcaktues të funksionit. Atëherë:
( )∫
( )∫
dhe për çdo do të kemi që:
(( )∫
) . ( )∫ / (( )∫
)
= ( ) ∫ ( ) ∫
,
sepse |( )∫ ( )
| ( )∫ | ( )|
( )∫
| ( )| ‖ ‖( )∫ | |
dhe
= ( ) ∫ | |
Që nga rrjedh se ( ).
Pohim 2.7.5
Në qoftë se është Mekshein i integrueshëm sipas renditjes ku ( ) ∫
atëherë për çdo funksioni real ( ) ℝ është Mekshein i
integrueshëm sipas renditjes dhe:
( )∫ ( )
(( ) ∫
).
47
Vërtetim
Në sajë të përkufizimit të integralit Mekshein të renditur për çdo -varg ( ) gjendet
vargu i diametrave ( ) për çdo n - ,, i tillë që:
|∑ ( ) ( ) ( ) ∫
|
për çdo -ndarje *( ) + -të imët të -së. Në qoftë se atëherë
nga mosbarazimi i mësipërm do të kemi:
|∑ . ( ) ( ) ( )∫
/ |
=| ∑ . ( ) ( ) ( )∫
/ |
‖ ‖ |∑ ( ) ( ) ( )∫
| ‖ ‖ ,
për çdo -ndarje -të imët *( ) + të -së.
I njëjti pohim vlen edhe për funksionet ( ) të integrueshëm.
Vërejtje 2.7.6
Siç e dimë integrali i ( )-Mekshein-it dhe integrali i Lebegut në formën Bohner, i
funksionit ( ) ℝ koincidojnë (në qoftëse ℝ ), atëherë në pohimin e
mësipërm mund të zëvendësojmë ( )-integralin e Mekshein-it me ( )-integralin e
Bohner (Lebegut) për funksionin ( ) ℝ. Kjo sjell që funksioni do të
jetë i matshëm i dobët.
Teoremë 2.7.7
Në qoftë se funksioni është Mekshein i integrueshëm sipas renditjes, dhe
( )∫
, atëherë është gjithashtu i integrueshëm Petis sipas renditjes dhe:
( ) ∫
( )∫
( )∫
për çdo bashkësi të matshme Kjo do të thotë se ( ) ( ).
Vërtetim
Në përputhje me vërejtjen e mësipërme funksioni është i matshëm i dobët.
Në sajë të teoremës , - për çdo bashkësi të matshme E T funksioni është
Mekshein i integrueshëm sipas renditjes dhe:
( )∫
( )∫
Nga pohimi i mësipërm, për çdo funksioni real ( ) është ( )-Mekshein
i integrueshëm dhe
( )∫ ( ) ( )∫
= . ∫
/
Nga përkufizimi i integralit të renditur të Petisit do të kemi që funksioni është i
integrueshëm Petis sipas renditjes.
48
Teoremë 2.7.8
Le të jetë një funksion i matshëm. Në qoftë se është Petis i integrueshëm
sipas renditjes në atëherë është Mekshein i integrueshëm sipas renditjes në .
Vërtetim
Nga pohimi matshmëria e funksionit sjell ekzistencën e një funksioni të
matshëm dhe të kufizuar dhe një funksioni të matshëm h të formës:
h( ) ∑
( ), t
ku , bashkësi të matshme dy nga dy joprerëse dhe të tillë që:
( ) ( ) ( ), t .
Meqenëse funksioni është i matshëm dhe i kufizuar ai është (oB)-i integrueshëm
[2.7.6], sepse T është supozuar një interval kompakt. Kjo sjell që është Mekshein i
integrueshëm sipas renditjes dhe nga teorema 2.4.12 dhe teorema 2.7.7 ai është Petis i
integrueshëm sipas renditjes. Përderisa është Petis i integrueshëm sipas renditjes
funksioni do të jetë Petis i integrueshëm sipas renditjes dhe seria
∑ ( ) do të konvergjojë në mënyrë të pakushtëzuar në . Nga teorema
2.4.11 funksioni h është Mekshein i integrueshëm sipas renditjes dhe nga rrjedh se
është gjithashtu Mekshein i integrueshëm sipas renditjes.
Teoremë 2.7 9
Në qoftë se është një Banah laticë separabël dhe është Petis i
integrueshëm sipas renditjes atëherë është Mekshein i integrueshëm sipas renditjes.
Vërtetim
Nga supozimi që është Petis i integrueshëm sipas renditjes del se është i matshëm
dobët. Dimë që në një hapësirë të Banahut që është separabël, një funksion është i
matshëm atëherë dhe vetëm atëherë ku është i matshëm dobët.Teorema 2.7.8 tregon
se është Mekshein i integrueshëm sipas renditjes.
Dy teoremat e mësipërme na japin rezultatin e mëposhtëm .
Rrjedhim 2.7.10
Le të jetë një hapësirë laticë e Banahut dhe separabël. Funksioni është
Petis i integrueshëm sipas renditjes atëherë dhe vetëm atëherë kur është i
integrueshëm Mekshein sipas renditjes dhe të dy integralet ( ) dhe ( )
përputhen.
Teorema 2.7.8 i jep përgjigje pyetjes në se të qenit një funksion i integrueshëm Petis
sipas renditjes është më i fortë se integrali Bohner sipas normës. Kjo rrjedh nga
vërtetimi i bëre më parë se integrali sipas renditjes i Mekshein-it është më i fortë se
integrali Bohner sipas normës në një laticë të Banahut.
49
KAPITULLI I III
INTEGRALI I MEKSHEINIT NË HAPËSIRAT RIESZ-IT
Të ndikuar nga puna e Boccuto, Riecan dhe Vrábelová ne kemi studiuar të njëjtat
probleme për një lloj tjetër të rëndësishëm të integrimit në hapësira të tilla, integralin
Mekshein. Në këtë kapitull paraqesim një mënyrë tjetër përkufizimi të integralit
Mekshein në hapësirat Riesz duke përdorur lemën shumë të rëndësishme të Fremlin-
it. Në vazhdim, kemi rindërtuar pothuajse të gjitha vetitë e integralit Mekshein të
caktuar në [27], [38], të cilët bëhen pak më të fortë, si dhe kemi arritur disa rezultate
të reja në krahasim me ato Henstock-Kurzweil. Gjithashtu kemi studiuar disa aspekte
të konvergjencës së integraleve sipas renditjes të tipit Mekshein, si dhe është treguar
në lidhje me (D)-konvergjencën se integrali i Meksheinit ka po ato veti që ka integrali
i Henstockut. Kemi vazhduar duke dhënë një version të integralit të fortë të
Mekshein-it si dhe konditën e nevojshme dhe të mjaftueshme të këtij koncepti. Me tej
provojmë Teorema themelore për llogaritjen e (DM)-integralit.
3.1 Përkufizimi dhe disa veti të tij
Le të jetë X , - ℝ. Punojmë me një familje e bashkimeve të fundme të
intervaleve të mbyllura, ku X , dhe, është e mbyllur në lidhje me prerjen dhe
bashkimin e fundëm.
Shënojmë një funksion aditiv dhe monoton , -
Aditiviteti nënkupton:
( ) ( ) ( ) ( )
ku
Me ndarje (( )-ndarje) të bashkësisë A nënkuptojmë një koleksion të fundëm *( ) ( )+, i tillë që:
( )
( ) ⋃ ( ) ,
( ) ( )
Një koleksion i fundëm *( ) ( )+ i nënbashkësive të A që plotëson
kushtet ( ) ( ) ( ) e quajmë M- ndarje e A në qoftë se etiketa , k =1,2,...n, mund
të mos bëjë pjesë në ndarjen përkatëse .
Do të thuhet se familja ndan pikët në qoftë se: për çdo A ekziston një varg (𝒜 ) i copëtimit të A, i tillë që:
( ) 𝒜 është një ndarje më i imët se 𝒜 ,
( ) Për çdo A, , ekziston dhe B 𝒜 , e tillë që: dhe
Një diametër në një bashkësi A , - është funksioni , i cili përcakton për
çdo pikë një fqinjësi ( ) e . Nëse Π *( ) ( )+ është një M-
ndarje e A dhe është një diametër në A, atëherë ne themi që Π është - e imët nëse
- ( ) ( ), për çdo * +
50
Nëse X , - ℝ , është e pajisur me një topologji të zakonshme, {familja e
të gjithë bashkimeve të fundme të intervaleve të mbyllura të X}, dhe (, -) , është masë Lebeg dhe, çdo diametër në , - mund të paraqitet me
një funksion real , - ℝ , ku ( ) ( ( ) ( ))
Le ti kthehemi përcaktimit të integralit të Meksheinit në X , - Nëse *( ) ( )+ është një M-ndarje e bashkësisë A, dhe atëherë
përcaktojmë shumën e Riemanit si më poshtë:
( ) ∑ ( ) | |
ku | | është masë Lebeg.
Vërejmë që fakti se ndan pikët, garanton ekzistencën e të paktën një M-ndarje - e
imët , e tillë që, ( ) është më së miri e përcaktuar për çdo diametër .
Përkufizim 3.1.1 [30]
Një funksion , - quhet ( )- i integrueshëm (i integrueshëm sipas
Mekshein-it) në një bashkësi A , - nëse ekziston ( ) dhe një ( )-varg
( ) i tillë që, ekziston një diametër në A i tillë:
| ( ) | ( ) ( )
ku është një M-ndarje - e imët e A e tillë që, ( ) ekziston në R. Shënojmë:
( )∫
Është e qartë ( )-integrali është integrali Henstock –Kurzweil. , -
Pohim 3.1.2 , -
Le të jenë ( ) ( ) dy ( )-vargje, atëherë ekziston një ( )-varg ( ) të
tillë që:
( ) ( )
( )
për çdo .
Lemë 3.1.3 [31]
Elementi I i përcaktuar nga përkufizimi 3.1.1 është përcaktuar në mënyrë të vetme.
Vërtetim
Le të jetë I, J elementë të tillë që, për ( )-vargje korresponduese ( ) ( ) ,
, dhe , funksione me vlera në ℝ të përcaktuara në , - të tillë që:
| ( ) | ( ) , | ( ) | ( )
,
për ndonjë M-ndarje -e imët e të , - për i=1,2. Shënojmë me = min* +,
dhe ( ) e zgjedhim sipas pohimi 3.1.2. Atëherë për ndonjë M-ndarje -e imët
të , - kemi:
| | | ( )| | ( ) | ( ) .
Duke shfrytëzuar faktin që është -shpërndarëse e dobët, rrjedh se:
51
| | ( ( ) ) .
Shënim 3.1.4
Elementi i vetëm I nga përkufizimi 3.1.1 do e shënojmë me ∫ ∫
Në mënyrë të ngjashme me [2],[8] mund të provohen pohimet:
Pohim 3.1.5
Nëse f, g janë ( )- të integrueshëm në , - dhe ℝ atëherë janë ( )-të integrueshëm në , -, dhe
∫( ) ∫ ∫ ∫ ∫
Pohim 3.1.6
Le të jenë f, g ( )-të integrueshëm në , -, f( ) ( ) për çdo t , - Atëherë:
∫ ∫
Vërtetim
Konsiderojmë së pari funksionin : , - ( )- i integrueshëm.
Shohim që h( ) për t , - Atëherë ∑ për çdo M- ndarje -e imët .
Nëse dhe : , - ℝ është funksioni korrespondues atëherë:
-∫ ∑ ∫ |∑ ∫ | ( )
për çdo M- ndarje -e imët . Meqenëse R është -shpërndarëse e dobët kemi që:
-∫ ( ( ) ) .
Rrjedh se:
∫ =∫ ∫ .
Pohim 3.1.7 [30]
Le të jetë një hapësirë e plotë dedekindiane e Riesz-it dhe solide që gëzon vetinë
-shpërndarëse të dobët. Nëse një bashkësi është e tillë që , - dhe | | dhe nëse , - është një funksion i tillë që, ( ) për çdo , -
atëherë:
( )∫
.
Vërtetim
Meqë është e plotë ajo është arkimediane. Për të provuar pohimin mjafton të
gjejmë një rregullator ( ) në që për çdo ekziston diametri , -
ℝ i tillë:
|∑ | ( )
për çdo M-ndarje - të imët. Le të jenë një varg i numërueshëm pikash
nga . Në sajë të vetisë solide, segmenti [ ( ) ( )] Shënojmë {f(t) }
dhe {f(t) }. Është e qartë se:
52
⋃ [ ( ) ( )] , -
Konsiderojmë një rinumërim të indekseve ( ) të kësaj shume. Shënojmë me
* , - ( ) , ( ) ( )-+. Meqenëse janë nënbashkësi të Q,
atëherë | | . Në sajë të supozimit që , - ℝ është e rregullt për çdo , - ekziston një rregullator ( ) , që për çdo gjendet e mbyllur dhe
e hapur në , -, e tillë që:
dhe ( ) ( )
( )
.
Përcaktojmë diametrin , - ℝ të tillë që ( ) për të gjitha , - , dhe - ( ) ( ), nqs
Për çdo M-copëtim {( ) ( )} -të imët të , - do të kemi:
0 ( ) ∑ ( )| | ∑ ∑ ( )
| |
∑ ( )∑ | |
∑ ( )| |
( )
Pohim 3.1.8 [31] (Kriteri Bolcano- Koshi)
Një funksion , - është ( )- i integrueshëm atëherë dhe vetëm atëherë
nëse plotësohet kushti: Ekziston një ( ) -varg ( ) që për çdo ekziston një
funksion , - ℝ i tillë që:
| ( ) ( )| ( )
ku janë M-ndarje -të imëta të , -
Vërtetim
Kondita e nevojshme rrjedh nga integrueshmëria dhe duke shfrytëzuar pohimin 3.
1.2.Të provojmë konditën e mjaftueshme.
Supozojmë se plotësohet kriteri Bolcano-Koshi dhe Shënojmë që:
* , - ℝ janë M-ndarje -të imëta për të cilat | ( )
( )| ( ) },
{ ( ) },
{ ( ) }
Le të jetë . Shënojmë min { } . Nëse
është –e imët rrjedh se është -e imët, prandaj ( ). Njësoj tregohet se
( ) . Rrjedh se për 𝜓 pra ka vend .
Nga ana tjetër
( ) ( ) ( )
për çdo M-ndarje -të imëta dhe .
53
Nga ky mosbarazim rrjedh se:
( )
Duke shfrytëzuar vetinë -shpërndarëse të dobët kemi që:
( ) ( ( ) ) .
Prej nga ku rrjedh se:
Përcaktojmë me I vlerën e përbashkët. Ekziston vargu i dyfishtë ( ) i tillë që,
për çdo kemi që:
( ) ( )
I ( ) ( )
| ( ) | ( )
për çdo M-ndarje -e imët e dhe .
Pohim 3.1.9 [31]
Nëse është ( )- i integrueshëm në , -, dhe nëse , - , -, atëherë është ( )- i integrueshëm dhe në , -.
Vërtetim
Meqenëse f është ( )- i integrueshëm në , -, atëherë ekziston një ( )-varg
( ) që për çdo ekziston një funksion , - ℝ i tillë që:
| ( ) ( )| ( ) ,
ku janë një M-ndarje të imëta të , - Në intervalin , - marrim të njëjtin
( )-varg ( ) dhe , - ℝ në mënyrë që , -. Le të jenë
përkatësisht M-ndarjet të imëta , -
dhe , -. Zgjedh M -ndarjet , - dhe
, -, , - dhe , - të imëta, përkatësisht të , - dhe , -. Atëherë do kemi:
, - , - , - dhe , - , - , -
ku janë M-ndarje -të imëta të , -
| ( , - ) ( , -)|
| ( , -) ( , - ) ( , -) ( , -) ( , -)
( , -)|
| ( ) ( )| ( ) ,
nga ku rrjedh se f është ( )- i integrueshëm nga kriteri Bolcano-Koshi.
Pohim 3.1.10 [30]
Le të jetë ( ) dhe , - një funksion ( )-i integrueshëm në
, - dhe , -. Atëherë është ( )- i integrueshëm dhe në , - dhe ka vend
barazimi:
54
∫
∫
∫
.
Vërtetim
Meqenëse është ( )- i integrueshëm në , - dhe , -, rrjedh se ekzistojnë
rregullatorët ( ) ( ) të tillë që, për çdo ekzistojnë funksionet
, - ℝ , - ℝ kemi që :
|∑ ∫
| ( )
, |∑
∫
| ( )
ku dhe janë M-ndarje dhe -të imëta të , -. Ndërtojmë ( ) si në
pohimin 3.1.2 dhe , - ℝ të tillë që:
( ) {
( )
( )
( )
Atëherë për çdo M-ndarje -e imët të , - ekziston M-ndarja e , - dhe M-
ndarja e , -, respektivisht dhe -të imëta, të tilla që:
∑ ∑ ∑
Kemi që:
|∑ ∫
∫
| |∑
∫
| |∑
∫
|
( ) ( )
( ) .
Pra, shohim se është ( )- i integrueshëm në , -, dhe ka vend barazimi:
∫ ∫
∫
.
Lemë 3.1.11[2]
Le të jetë R hapësirë Riesz e plotë dedekindiane, dhe . ( )
/
, një varg
rregullatorësh në R. Atëherë, për çdo a ekziston një rregullator ( )
korrespondues i tillë që:
.∑ . ( )( )
/ / ( )
për çdo k dhe .
3.2 TEOREMA KONVERGJENCE
Përkufizim 3.2.1 [1]
Një varg funksionesh ( ) me vlera në R, të përcaktuara në , - konvergjon
uniformisht tek funksioni në , - nëse ekziston ( ) -varg ( ) i tillë që, për
çdo ekziston , i tillë, për çdo dhe për çdo , - kemi:
| ( ) ( )| ( ) .
55
Teoremë 3.2.2 (Teorema e konvergjencës uniforme) [31]
Nëse ( , - ) është një varg i funksioneve ( ) -të integrueshëm që
konvergjojnë në mënyrë uniforme tek një funksion i kufizuar , - atëherë
është e ( ) - i integrueshëm dhe
( ) ∫ ∫
Vërtetim
Provojmë se për çdo ekziston i tillë:
|∑ ∑ | ( ) ( ) .
për çdo dhe për çdo M-ndarje Π e , - ku {( ) ( )} . Shohim
se:
|∑ ∑ | |∑ ( )| | ∑ ( )| |
|
∑ | ( ) ( )|| | ( )
∑ | | ( )
( ) ( )
.
Procedojmë njësoj si ( ), meqenëse është i kufizuar, për çdo dy M -ndarje
dhe të , - gjejmë :
|∑ ∑ | ( )
ku
| ( )| për , -.
Meqenëse është ( ) -i integrueshëm për çdo n në segmentin , - atëherë
ekziston një ( ) -varg . ( )
/
i tillë që, për çdo ekziston një funksion
, - ℝ në mënyrë që:
|∑ ∑ | ( )
( )
për çdo dy M -ndarje -të imëta, të , - Atëherë për të gjitha M-ndarjet
-të imëta, të , -, do të kemi që:
|∑ ∑ | ( ) (|∑ ∑
|+|∑ ∑
|
+ |∑ ∑
|) ( )
ku ( ) është rregullator, i cili ekziston nga Lema Fremlin 3.1.11. Nga kriteri
Bolcano-Koshi rrjedh se është ( ) -i integrueshëm në , -
Të provojmë se ka vend barazimi:
( ) ∫
∫
.
Fiksojmë Kemi që:
- ( ) ( ) ( ) ( )
, -
Meqenëse dhe janë të ( ) -të integrueshëm në , -, integrojmë dhe kemi
që:
56
-( ) ( ) ∫
∫
( ) ( )
,
sepse ( ) -integrali është një funksional linear monoton. Pra, ka vend barazimi i
mëposhtëm:
( ) ∫
∫
.
Teoremë 3.2.3
Le të jetë S klasa e të gjitha bashkësive të Borelit T, masa pozitive
mbledhore dhe e rregullt, E me ( ) Le të jetë r r 0 dhe g = r (e
përcaktuar nga relacioni g( ) nëse t E dhe g( ) , nëse t E). Atëherë, g
është i integrueshëm, dhe
∫
( )
Vërtetim
Nga fakti që është e rregullt në S, rrjedh se ekziston një ( ) -varg ( ) i tillë
që, për ekziston një bashkësi C kompakte dhe një bashkësi U e hapur e tillë
C E U , dhe ka vend mosbarazimi:
( ) ( ) .
Meqenëse C është kompakte dhe U e hapur, ekziston një diametër e tillë që:
(t) U t , (t) U C për çdo t , (t) C = për çdo t . Le
të jetë П një M -ndarje -e imët, *( ) ( )+, atëherë kemi:
r ( ) r ( ) ( ),
r ( ) r ( ) ( ),
dhe r ( ) ( ) r ( ) ( )
( )
(⋃ ) ∑ ( )
=∑ ( ) ( ) ∑
( ) ( ) = ∑
∑ ( ) r ( ) ( )+ ( )
,
nga ku rrjedh se për çdo M -ndarje П - e imët ka vend:
|∑ ( ) | ( ) .
Duke shfrytëzuar vetitë e produktit rrjedh se vargu i dyfishtë ( ) është një
( )-varg .
Teoremë 3.2.4
Le të jetë ( ) një varg funksionesh të integrueshme. Supozojmë se:
( ) Ekziston ( ) - varg ( ) i tillë që, për çdo ekziston një diametër λ
dhe të kemi që:
|∫ ∑ | ( )
57
Për çdo M- ndarje , - e imët dhe n ;
( ) Ekziston një funksion f: T , një funksion ( ) – i integrueshëm :T ℝ
(në lidhje me ) dhe një ( )- varg ( )
i tillë që, p ( )
( ),
| ( ) ( )| ( )( ( )
) ( )
Atëherë , f është i integrueshëm dhe
( ) ∫ ∫
Vërtetim
Përdorim kriterin Bolzano-Cauchy, nëse ( ) , λ dhe janë si në 3.2.4. ( ) Nga
3.2.4. ( ) marrim ekzistencën e një elementi i tillë që, ekziston
një diametër λ (pa humbur përgjithësimin) që për çdo M -ndarje -e imët
= {( ) } e , kemi që:
|∑ ∑ | ∑ , ( ) ( )- ( ) ( )
∑ ( )( ( )
) ( ) ( ( )
) ( )
max * ( ) + Marrim
Pa humbur përgjithësimin, ne mund të supozojmë që p( )
Zgjedhim një ( )- varg ( ) që për M- ndarjet dhe -të imëta (duke
marrë n mjaft të madhe , në varësi të ndarjeve që përfshihen në dhe ) të kemi:
|∑ ∑ | |∑ ∑
|+|∑ ∫ |
|∫ ∑
|+ |∑ ∑ | ( )
Nga mosbarazimi i mësipërm dhe kriteri Bolcano-Koshi rrjedh integrueshmëria e f .
Nga përkufizimi i integrueshmërisë rrjedh se:
|∫
∑ | ( )
për çdo M - ndarje - e imët. Nga 3.2.4.( ) gjendet një ( )- vargu ( ) i tillë
që:
|∑ ∫ | ( )
për çdo k më të madhe se (në varësi të ) dhe për çdo M-ndarje -e imët. Nga
3.2.4.( ) ekziston ( )- vargu i tillë që, si tek ( ) ne gjejmë ekzistencën e një ( )-
vargu ( ) i tillë që:
|∑ ∑ | ( )
për çdo k , ku është një element pozitiv në varësi të M -ndarjes Π. Pa humbur
përgjithësimin, mund të supozojmë që . Zgjedhim një ( ) -varg ( ) të
tillë që, (për një M- ndarje çfarëdo , -e imët) të ketë vend:
58
|∫
∫ | |∫
∑ |
+|∑ ∑ | |∑ ∫ | ( ) ,
për çdo k . Rrjedh se (D) ∫ ∫
3.3 LEMA HENSTOCK
Të provojmë një version të lemës Henstock:
Teoremë 3.3
Le të jetë g: T një funksion i integrueshëm dhe ( )- vargu ( ) i tillë që, për
çdo ekziston një diametër , në mënyrë që:
|∫
∑ | ( )
për çdo M -ndarje = {( ) } -e imët. Atëherë për çdo L L * + kemi :
|∑ ∫
∑ ( ) ( ) | ( )
Vërtetim
Nga kushti rrjedh se g është e integrueshme në çdo prandaj ekziston një ( ) -
varg ( ) që për çdo 𝜓 ekziston një diametë i tillë që:
|∑ ∫
∑ ∑ | ( ) .
ku është
- e imët . Marrim diametrin .
/ dhe
,
ku është M-ndarje -e imët për dhe bashkësinë *( ) +
(⋃
) Atëherë, është M-ndarje -e imët, rrjedh se:
|∫
–∑ | ( )
dhe
|∑ ∫
∑ ∑
| ( )
Shohim se:
|∑ ∫
∑ ( ) ( ) |
= |∫
∑ ∫
∑ ∑ ∑
|
|∫
∑ | |∑ ∑
∑ ∫
|
( ) ( )
.
|∑ ∫
∑ ( ) ( ) |- ( ) ( )
59
për çdo 𝜓 , si dhe nga fakti që R është shpërndarëse e dobët, ka vend
mosbarazimi i mëposhtëm:
|∑ ∫
∑ ( ) ( ) |- ( ) .
3.4 TEOREMA LEVI’S [2]
Teoremë 3.4 ( Teorema e konvergjencës monotone)
Le të jetë ( ) një varg funksionesh të integrueshëm të tillë që,
( ) dhe vargu .∫ /
i kufizuar. Supozojmë që:
3.4.1) Ekziston një funksion f: T , si dhe një funksion ( ) -i integrueshëm
: ℝ (në lidhje me masën ) dhe ( )- vargu ( ) i tillë që,
p( ) ( ),
| ( ) ( )| ( )( ( ) ) ( )
Si dhe supozojmë që :
3.4.2) ekziston a , a 0, dhe një diametër , i tillë që, për çdo M- ndarje , - e
imët e T, kemi:
|∑ ∫ |
Atëherë, f është integrueshëm në T, dhe ka vend barazimi:
∫
( ) ∫
3.5 TEOREMA E KONVERGJENCËS SË DOMINUAR TË LEBESGUE
Teoremë 3.5 [32]
Le të jetë ( ) një varg funksionesh të integrueshme, dhe supozojmë që κ:
T është një funksion i integrueshëm, i tillë që, | ( )| κ ( ) për të gjithë x
dhe n . Supozojmë që:
3.5.1. Ekziston një funksion f: T , një funksion ( ) -i integrueshëm : ℝ
(në lidhje me ) dhe një ( )-varg ( ) i tillë që, p( )
( ),
| ( ) ( )| ( )( ( ) ) ( )
Atëherë, f është i integrueshëm dhe
∫
( ) ∫
Vërtetim
Për të gjitha s dhe k kemi që: = | | ( ) ;
Për çdo s , kemi bashkësinë: = | | .
60
Të provojmë, që për çdo s të fiksuar, vargu ( ) plotëson hipotezën e
teoremës 3.4. Kontrollohet lehtë që vargu .∫ / shtë i përcaktuar dhe i
kufizuar në R. ( Mund të kontrollohet gjithashtu se janë të integrueshme, duke
marrë parasysh se κ është e integrueshme dhe duke proceduar si tek [2]). Zgjedhim
dhe ( ) si tek 3.5.1). Dimë që p , me p
, dhe për , kemi që:
( ) ( )( ( ) ) ( )
ku s . Atëherë ka vend mosbarazimi për çdo t
( ) ( ) ( ) ( )+ ( )
Nëse ( )-vargu ( ) dhe p është i tillë që:
0 ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ) ,
rrjedh se plotësohet kushti 3.4.1.
Shohim plotësimin e kushtit 3.4.2. Nëse κ është i integrueshëm, ekziston një
diametër dhe një element pozitiv i tillë që, për çdo ndarje -e imët
{( ) } ka vend mosbarazimi:
∑ [ ( ) ( )] ∑ ( ) ( )
( )
Nga kjo rrjedh se plotësohet kushti 3.4.2. Kështu marrim, për çdo se
është i integrueshëm dhe
∫
∫
Të provojmë që vargu ( ) plotëson hipotezat e teoremës 3.4. Së pari, provohet
lehtë se vargu .∫ / është i kufizuar. Dimë që i
tillë që, s , ka vend mosbarazimi:
| ( )| ( ) ( )( ( ) )
Pra shohim se, plotësohet 3.4.1. Në lidhje me 3.4.2 mjafton të kontrollojmë që
mosbarazimi ( ) ka vend nëse zëvendësojmë ( ) me ( ). Kështu marrim që:
( ) ∫ ∫
( )
Veprojmë në mënyrë analoge si në teoremën 3.4 për të provuar ekzistencën e ( )-
vargut ( )
m i tillë që, ekziston një diametër dhe që për
çdo M-ndarje -e imët Π {( ) } k , të kemi:
|∑ ∫ | ( )
∑ . ( )( )
/ +∑ ∑ |∫ ( )
| ( )
∑ . ( )( )
/ ∫
. ( )
(3.12)
61
Nga ( ) gjejmë ekzistencën e ( )-vargut ( )
i tillë që, ekziston një
diametër dhe që për çdo M- ndarje -fine Π, k ka vend mosbarazimi
(3.12).Duke shfrytëzuar (3.12) dhe teoremën 3.2.4 përfundojmë vërtetimin.
3.6 NJË VERSION I INTEGRALIT TË FORTË TË MEKSHEINIT
Në këtë paragraf pasi kemi përkufizuar një version të fortë të integralit të Meksheinit
dhe kemi dhënë konditën e nevojshme dhe të mjaftueshme të këtij koncepti, ne
provojmë gjithashtu Teorema themelore për llogaritjen e DM-integralit.
Përkufizim 3.6.1[30]
Një funksion , - ka vetinë D( ), në , - në qoftë se për çdo dy M -
ndarje -të imët, {( ) } dhe {( ) },
ekziston një ( ) -varg ( ) i tillë që, për çdo është i vërtetë mosbarazimi:
∑ ∑ | ( ) ( )|| |
( )
.
Lemë 3.6.2[8]
Le të jenë *( ) + dhe {( ) } dy M-ndarje -të
imëta të T atëherë, {( )
} është
një M-ndarje - e imët e I dhe ( ) ( ).
Nga dy pohimet e sipërme rrjedh se për një funksion , - integrali i
pacaktuar ( ) përcaktohet si funksion aditiv me vlera në R. Do ta shënojmë këtë
integral:
( ) ( )∫
.
Boccut & Skvortsov [8] ka provuar një version të Lemës Henstock .
Me të njëjtën metodë mund të provohet i njëjti pohim për integralin e Meksheinit .
Rrjedhim 3.6.3 [30]
Në qoftë se f është një funksion ( )- i integrueshëm në [a,b] dhe F është integrali i
pacaktuar i tij, atëherë për çdo M- ndarje -të imët, ekziston ( )-vargu ( ) i
tillë që, për çdo ka vend:
∑ | ( )| | ( )| ( )
Pohim 3.6.4 [30]
Le të jetë R një hapësirë e Riesz-it e plotë dedekindiane. Një funksion , -
është ( ) -i integrueshëm në një interval I të , -, atëherë dhe vetëm atëherë, kur
për çdo dy M-ndarje -të imëta *( ) + dhe {( )
} ekziston një ( )- ( ) , i tillë që, për çdo ka vend:
∑ ∑ | ( ) ( )|| |
( )
Vërtetim
Supozojmë se funksioni f ka vetinë -( ). Të shqyrtojmë dy ndarje M-ndarje -të
imëta *( ) + dhe {( ) } të T.
62
Do të kemi:
| | ∑ | | dhe| | ∑ | |
.
Vëmë re se:
|∑ ( ) | | ∑ ( )
| ||
|∑ ∑ ( )| |
∑ ∑ ( )| |
|
|∑ ∑ ( )
( )| || ( )
.
Meqenëse ka vetinë -( ) kemi provuar kështu kushtin e nevojshëm.
Le të provojmë të anasjelltën. Shënojmë * respektivisht
elementet e ndarjes dhe
}.
Siç mund të vihet re | ( ) ( )| ( ) ( ) ( ) ( ). I përcaktojmë
etiketat dhe të tilla që:
( ) ( ) ( ) dhe ( ) ( ) ( ).
Marrim:
| ( ) ( )| ( ) ( ).
Le të jenë {( ) } dhe {( ) } dy M-ndarje.
Në sajë të lemës Henstock dhe janë M-ndarje -të imëta të T, kjo do të
thotë në sajë të hipotezës se ekziston:
| ( ) (
)| | ( ) ( )∫
| | (
) ( )∫
|
( ) .
Nga ana tjetër:
∑ ∑ | ( ) ( )|| |
|∑ [ ( ) ( )]
| ||
=| ( ) ( )|.
Gjë që plotëson vërtetimin.
3.7 TEOREMAT THEMELORE TË NJEHËSIMIT INTEGRAL PËR (DM)-
INTEGRALIN
Përkufizim 3.7.1 [30]
Një funksion f quhet (u)- i vazhdueshëm në pikën , - nëse ekziston ( )-vargu
( ) në R që për çdo ekziston , - ℝ të tillë që:
| ( ) ( )| ( ) për çdo ( ) ( ).
Le të na jetë dhënë E dhe , -, do të themi se funksioni f është i
vazhdueshëm në E në qoftë se ai është i vazhdueshëm në çdo pikë të E.
63
Përkufizim 3.7.2 [30]
Themi që f është (u)- i diferencueshëm në E në qoftë se ekziston një funksion
i tillë që:
| ( )
| | ( )| ( )
për çdo ( ) ( ).
Funksioni quhet (u)-derivat në lidhje me f. Provohet lehtë se u-derivati i
përcaktuar në këtë mënyrë është i vetëm.
Teoremë 3.7.3 [30]
Në qoftë se R është një hapësirë Riesz-it e plotë dedekindiane, dhe f është me vlera në
R dhe (u)-i diferencueshëm në [a,b] me derivat atëherë është ( ) -i
integrueshëm në [a,b], dhe ka vend:
∫
(, -)
Vërtetim
Në sajë të përkufizimit të (u)-diferencueshmërisë së funksionit f në , - gjendet një
( )-varg ( ) në R i tillë që, për çdo ekziston , - ℝ që plotëson
konditën:
| ( )
| | ( )| ( )
për çdo ( ) ( ).
Zgjedhim një copëtim -të imët P *( ) + të , -. Nga mosbarazimi
i mësipërm do të kemi:
|∑( ) , -| |∑ ( )| | ( ) | ∑ {| | |
( )
( )|}
(∑ | | ) ( )
( ) ( )
.
Le të ndjekim një ide të dhënë nga [34] për një funksion Mekshein të integrueshme
për funksionet me vlera reale për të vërtetuar teoremën.
Teoremë 3.7.4 [30]
Le të jetë R një hapësirë e rregullt e Riesz-it, , - , dhe le të jetë F një
funksion me vlera në R i tillë që, për ndonjë bashkësi , - me | | = 0.
Funksioni f është (u)- derivat i F në , - . Atëherë funksioni f është Mekshein i
integrueshëm në [a,b] dhe ka vend barazimi:
( )∫
(, -)
Vërtetim
Përderisa integrueshmëria Mekshein, në sajë të pohimit 3.1.9, nuk varet nga vlerat e
funksionit f në një bashkësi me masë zero mund të supozojmë ( ) në Q.
Shënojmë , - . Meqenëse f është (u)-derivat i F në , atëherë gjendet
një ( )-varg ( ) në R i tillë që, për çdo ekziston një diametër , -
ℝ , dhe nëse *( ) + është një copëtim i I-së, atëherë kemi:
||| | ( ) (| )| | | ( )
për të gjithë i .
64
Zgjedhim disa intervale nga Q, të tillë ∑ | | , ku I1,I2,…In janë intervale
jombivënës. Ndërkaq nga vazhdueshmëria e F ekziston një ( )-varg ( ) në R i
tillë që, për çdo ekziston , - ℝ i tillë që:
*| (, -) |+ ( ) .
Vërejmë se:
∑ | ( )|
( )
për . Kjo do të thotë se gjendet një diametër i
tillë që:
∑ | ( )| ( ) ( ) .
Shënojmë ( ) * ( ) ( )+. Atëherë për çdo copëtim -të imët
*( ) + të , -
Kemi që:
|[∑ | | ( ) ] (, -)| |∑ *| | ( ) ( )+
|
|∑ *| | ( ) ( )+ | ∑ | ( )| ( )
( )
Gjë që provon pohimin.
65
KAPITULLI I KATËRT
APLIKACIONET E INTEGRALIT TË FORTË TË MEKSHEIN-IT PËR
SERITË WALSH
Në këtë kapitull një vend i është kushtuar zbatimeve të integralit në lidhje me vlerën e
ndërmjetme, si dhe studimit të serive të Walsh-it. Rezultatet e marra tregojnë
përparësitë e këtij integrimi në hapësirat e renditura. Për këtë qëllim kemi marrë në
shqyrtim seri Walsh me koeficientë nga një hapësirë Riesz dhe kemi dhënë një
aplikim të këtij integrimi. Koeficientët e një serie konvergjente Walsh mund t‟i
përcaktojmë prej shumës së saj duke përdorur formulat Furier. Ne mund të përdorimin
integralin Mekshein për funksionet me vlera në hapësirat Riesz, duke shfrytëzuar σ-
shpërndarjen e dobët në l-grup.
Teoremë 4.1.1 [30]
Le të jetë R një hapësirë Riesz-i e plotë dedekindiane e rregullt. Nëse f 0 është
( )-i integrueshëm në një bashkësi solide E [a,b], atëherë ekzistojnë funksionet
g dhe h ( )- të integrueshëm që si dhe ekziston një rrjetë e drejtuar
(p) për të cilën ka vend:
( )∫ | |
Vërtetim
Ndërtojmë funksionin e thjeshtë:
( ) {
( )
ku dhe u është një element unitar nga R. Do të kemi që:
| ( ) ( )|
( )
Shohim që vargu është ( )-konvergjent tek ( ). Nëse e shkruajmë në trajtën
( ) ∑
do të gjenden , si dhe elementet pozitivë që f ( )
∑ për çdo . Për më tepër, meqë f është i integrueshëm:
∑ | | ∫
( )
Meqenëse janë të matshme sipas Lebegut, gjenden bashkësitë kompakte dhe
bashkësitë e hapura nënbashkësi të , - për të cilat dhe
ekziston > 0 i tillë që:
| |
Nga mosbarazimi (4.1) marrim që:
| |
Gjithashtu konvergjenca e serisë (4.2) na jep mosbarazimin:
66
∑ | |
Le të përcaktojmë tani funksionet:
∑
dhe ∑
Duket qartë se kanë vend mosbarazimet f h
dhe ∑
∑
∑
∑
Duke shfrytëzuar pohimin 3.1.7 përfundojmë vërtetimin e pohimit.
Nga Pohimi 1.3.5 lidhur me σ-shpërndarjen e dobët në l-grup ne mund të
formulojmë:
Lemë 4.1.2[33]
Le të jetë ( ) një varg (D)-konvergjent në zero në një hapësirë Riesz të plotë
dedekindiane R. Vargu ( ) i mesatares aritmetike të tij është gjithashtu (D)-
konvergjent tek zero.
Vërtetim
Ne kemi, për çdo n Natyral numër, n | | , ku ( ) është një (D)-varg i
elementeve të R. Për dhe ( ) marrim që:
| | | (∑ )| (∑ | |
) .∑
( ) ∑
( ) /
( ) /k ( ( ) ) ( ) ( ) .
Pra, ne kemi | | , ku ( ) është një ( )-varg i përcaktuar nga
k ( ) për ( ) . (Vërejmë se ( ) është një (D)-varg,
sepse R e kemi supozuar të jetë e plotë dedekindiane dhe për këtë arsye është
arkimediane).
Po paraqesim funksionet Walsh duke përdorur zgjerimet diadike të numrave natyrore,
si dhe ato të numrit real të intervalit gjysmë të hapur , ). Le të shënojmë ∑
me ose1, dhe ∑
me .
Për numrin racional x diadik ne përdorim vetëm zgjerime të fundme. Marrim që:
( ) ( )∑ , )
Vërejmë që për funksionet janë konstante në çdo interval ku:
0
,
/, k ,
∑ është shuma e pjesshme e një serie Walsh:
∑ , (4.3)
me koeficientët që i përkasin një hapësire Riesz R të plotë dedekindiane, e cila
është σ-shpërndarëse e dobët. Shumat janë konstante për në çdo interval
. Në kontekstin që R është -shpërndarëse e dobët, e konsiderojmë ( )-
convergjencën (convergjencë e renditur) si ( )-konvergjencë në një bashkësi.
67
Përkufizim 4.1.3 [30]
Le të jetë çdo bashkësi joboshe, R hapësirë Riesz (arbitrare) dedekindiane e plotë
dhe D . Themi se vargu i funksioneve me vlera në R( ( )) , 𝛬 , (u )-
konvergjon tek funksioni S: nëse ekziston një (D)- varg ( ) që
, ekzistojnë V(x) D të tillë që ( ) ka vend:
| ( ) ( )| ( ) dhe 𝛬.
Hapi vendimtar i zgjidhjes së problemit të koeficientëve për serinë Walsh, është të
vëzhgojmë se sa integrale ( ) ∫
përkufizon një funksion interval shtues ψ
në familjen D.
Lemë 4.1.4 [8]
Ka vend
𝜓( ) 𝜓(
) 𝜓( ).
ku
Vëmë re, nëse atëherë:
Atëherë funksioni , për është konstant në çdo dhe, nëse
atëherë: .
/ ( ).
Rrjedh se, për kemi:
(
) (
) . ( ) ( )/
Atëherë:
𝜓( ) 𝜓(
) ∫ ( )
∫ ( )
∫ ( ( ) . ( ) ( )/)
∫ ( )
∫ . ( ) ( )/
∫ ( .
/ .
/)
∫ ( )
𝜓( )
Nëse shuma është konstante në çdo kemi që:
( ) .
/
| |
, kur ( )
Nga kjo formulë rrjedh se, në qoftë se seria Walsh është (u)-konvergjente në
bashkësinë e pikave dyadik-iracionale, atëherë funksioni ψ është (u)-i diferencueshëm
në të njëjtën bashkësi.
68
Pohim 4.1.5 [33]
Në qoftë se koeficientët e një serie Walsh formojnë një (D)-varg konvergjent në zero,
atëherë funksioni ψ korrespondues është (D)-i vazhdueshëm në çdo pikë të [0,1].
Vërtetim
Njësoj si më sipër, kemi që :
|𝜓( )| |∫
| |
| ∑ | | 1/ ∑ | |
.
Shprehja e fundit është (D)-konvergjente në zero kur k → + nga lema 4.1.2.
Teorema e mëposhtme mbi mbulimin e koeficientëve të një seri Walsh nga shuma e
saj, shtrihet në rastin e integrimit Mekshein-it.
Teoremë 4.1.6 [30]
Nëse R është një hapësirë e rregullt Riesz dhe seria Walsh (4.3) është ( )-konvergjente te një funksion f mbi një bashkësi , , , ku E është nënbashkësi e
, ,, me ( ) atëherë f është Mekshein i integrueshëm mbi , - dhe seria ( ) është seri Furier të f, në kuptimin e integralit të Mekshein-it.
Në kontekstin tonë, duke qenë se seria ( )-konvergjente është gjithashtu ( )- konvergjente në , , . Vërejmë se( )-konvergjenca e serisë Walsh, së paku në një
pikë, sjell që koeficientët e serisë ( )-konvergojnë në zero. Atëherë funksioni i
përcaktuar për serinë tonë sipas pohimit 4.1.5, është kudo ( )-i vazhdueshëm në , -. Shënojmë me Q bashkësinë e pikave diadike-racional.
Nga përcaktimet e ( )-konvergjencës, ( )-diferencueshmërisë dhe nga barazimi
(4.4), rrjedh se është funksion ( )-i diferencueshëm me( )-derivat f në , , ( ) Në këto kushte mund të aplikojmë për funksionet dhe f, teoremën 3.7.4, dhe
kemi që:
( )∫
𝜓(, -)
ku , - është diadik .Vërejmë se për koeficientët janë koeficientë
Fourier të shumës së pjesshme . Duke shënuar me vlerën e funksionit në
kemi që:
∫
∑ ∫
∑ ∫
∑ 𝜓(
) ∑ ( ) ∫
( ) ∫
.
69
KONKLUZIONE DHE REKOMANDIME
- Ky studim tregon se krahas integralit të Henstock-ut në hapësira të renditura është i
domosdoshëm edhe studimi i integralit të Mekshein-it.
- Studimi tregon se ky lloj integrali në hapësirat e Riesz-it është më i pasur se integrali
i Henstock-ut dhe me adekuat në këtë hapësira.
- Në këto hapësira janë marrë rezultate në lidhje me integralin sipas (o)-konvergjencës
dhe është treguar se kjo është një fushë e gjerë studimi ku mund të arrihen rezultate të
ngjashme.
- Në lidhje me (D)-konvergjencën integrali i Mekshein-it ka po ato veti që ka integrali
i Henstockut.
- Zbatimet në lidhje me vlerën e ndërmjetme dhe rezultatet në studimin e serive të
Walsh-it tregojnë përparësitë e këtij integrimi në hapësirat e renditura.
- Duke patur parasysh zhvillimet që kanë marrë kohët e fundit zbatimet në problemet
të financës do të rekomandonim studimin e mëtejshëm të integrimit në hapësirat e
Riesz-it të integraleve të dobët siç është ai i Petisit që mbulon një numër
karakteristikash bazë të teorisë së probabilitetit dhe statistikës.
70
LITERATURA
[1] A. Boccuto, ”Abstract Integration in Riesz spaces”, Tatra Mt. Math. Publ., vol. 5,
pp. 107-124, 1995.
[2]Boccuto A., Riecan B.,Vrabelova M. Kurzweil-Henstock Integralin Riesz
spaces.Bentham e Books, 2009.
[3] A. Boccuto, ”Integration in Riesz spaces with respect to (D)-convergence”, Tatra
Mt. Math. Publ., vol. 10,pp. 33-54, 1997.
[ 4] A. V. Bukhvalov, A. I. Veksler, G. Ya Lozanovskii, Banach Lattices -Some
Banach Aspects of Their Theory, Russian Mathematical Surveys (1979), 34 (2),159–
212. doi:10.1070/RM1979v034n02ABEH002909
[5] A. Boccuto - A.M. Minotti - A.R. Sambucini, Set-valued Kurzweil-Henstock
integral in Riesz space setting, PanAmerican Mathematical Journal 23 (1) (2013), 57–
74
[6] A. Boccuto, D. Candeloro, A.R. Sambucini Vitali-type theorems for filter
convergence related to vector lattice-valued modulars and applications to stochastic
processes, in print in J. Math. Anal. Appl.; DOI:10.1016/j.jmaa-2014.05.014
[7] A. Boccuto, D. Candeloro, A. R. Sambucini A note on set-valuedHenstock–
McShane integral in Banach (lattice) space setting, preprint 2014
[8] Boccuto, A., Skvortsov, V.A. Hestock-Kurzweil type integration of Riesz-space-
valued functions and applications to Walsh series. real, Analysis Exchange, Vol
29(1), 2003/2004, pp.419-439.
[9] A. C. Zaanen, Riesz spaces, II. North - Holland Publishing. Co., 1983.
[10] B. Cascales, V. Kadets, J. Rodr´ıguez, The Pettis integral for multi-valued
functions via single-valued ones J. Math. Anal. Appl. 332 (2007), no.1, 1–10.
[11] B.Z.VULIKH, Introduction to the theory of partially ordered spaces,
(1967),Wolters - Noordhoff Sci. Publ., Groningen.
[12] D. Candeloro, A.R. Sambucini Order-type Henstock and McShane integrals in
Banach lattice setting,arXiv:1405.6502v1 [math.FA] 2014.
[13] Diestel,J.,Uhl,Jr.;Vector Measure;American Mathematical Society;(1977)
[14] D. H. Fremlin, Topological Riesz Spaces and Measure Theory. London:
Cambridge Univ. Press, 1974.
[15] D. H. Fremlin, Measure theory. Vol. 3. Measure Algebras, Torres Fremlin,
Colchester, 2002.
[16] D. Candeloro, Riemann-Stieltjes integration in Riesz Spaces, Rend. Mat.Roma
(Ser. VII), 16 (2) (1996), 563-585.
[17] D. Candeloro, A.R. Sambucini Filter convergence and decompositions for vector
lattice-valued measures, in press in Mediterranean J. Math.DOI: 10.1007/s00009-003-
0000
[18] D.S. Kurtz, C.W. Swartz, Theories of Integration, the Integrals o fRiemann,
Lebesgue, Henstock-Kurzweil, and McShane, Series in Real Analysis Vol. 9, World
Scientific (2004).
[19] L. Di Piazza, V. Marraffa, The McShane, PU and Henstock integrals ofBanach
valued functions, Czechoslovak Math. Journal 52 (2002), 609-633.
[20] Kurt, D.S., Swartz, C.W, Theories of integration, World Scientific,Vol. 9
[21] Gordon, R. A., The McShane Integral of Banach-valued functions,
Illinois J. of Math. 34(1990), 557-567.
[22] L. Drewnowski, W. Wnuk, On the modulus of indefinite vector integralswith
values in Banach lattices, Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena, 47(1999), 221-233.
71
[23] M. Duchoň and B. Riečan, ”On the Kurzweil-Stieltjes integral in ordered
spaces”, Tatra Mt. Math. Publ., vol.8, pp. 133-142, 1996.
[24] J. Jakubík, ”Weak -distributivity of lattice ordered groups”, Math. Bohemica,
vol. 126, pp. 151-159, 2001.
[25] W. A. J. Luxemburg and A. C. Zaanen, Riesz Spaces, I. North-Holland
Publishing Co., 1971.
[26] J. D. M. Wright, ”The measure extension problem for vector lattices”, Ann. Inst.
Fourier (Grenoble), vol. 21,pp. 65-85, 1971
[27] Temaj, I., Tato, A.,The convergence Theorems for the Mcshane integral of
integral of the functions taking values in a locally convex space.int.Journal of
Math.analysis.Vol 6.2012 .40 1965-1976.
[28] M.Shkëmbi,I.Temaj .Some convergence theorems for order-Mcshane equi-
integral in Riesz. JURNAL OF ADVANCES IN
MATHEMATICS.Vol.10,No.2.ISSN 2347-1921,3238-3244.2015
[29] M.Shkëmbi,“The Fundamental Theoremes of Calculus for the Integral” ,
1st International Symposium On Computing in Informatics and Mathematics
(UAMD and Epoka University) June 2-4 , 2011 ,Tiranë-Durrës, ALBANIA.
ISBN:978-9928-4044-8-0 2011,618-624
[30] M.Shkëmbi,I.Temaj, A Tato “A note of the Mcshane integral on the Riesz space”
INTERNATIONAL JURNAL OF MATHEMATICAL ANALYSIS,Vol.7,2013,
no.17, 807-819, ISSN 1312-8876 (Print) ISSN 1314-7579
[31] M.Shkëmbi “Disa veti të Integralit të Meksheinit në Hapësirat e Riesz-it”
,UNIEL, BULETINI shkencor. 2012/1 ( ) , ISSN 2221-5956, 30-40
[32] M.Shkëmbi, “Një version i teoremës së konvergjencës së dominuar në hapsirat e
Riesz-it”, Buletini shkencor UNIEL, ISSN 2221-5956, 2013/2,23-34.
[33] M.Shkëmbi,I.Temaj “Applications of strong Mcshane Integral to Walsh series
”1st International Western Balkans Conference on Mathematical sciences”
ISBN:978-9928-115-27-0 2013 , 216-222
[34] Oh,H.J.,Lee, D.H., Park, Y.J, Relation between generalized integration and
differentation, J. Naturat. Sciences. Vol. 8, pp(17-25) 1999
[ 35] P. Meyer-Nieberg, Banach lattices, (1991), Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg.
[36] V.A. Skvortsov, A.P. Solodov, A variational integral for Banach-
valuedfunctions, Real Anal. Exchange 24 (1998-1999), 799-806.
[37] Schwabik,S& Guoju.Y;Topics in Banach Space Integration;
[38] Schaefer, H.H., Banach Lattices and positive Operators, Springer Verlag 1974