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8/14/2019 tipping model

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G B T M e m o 1 2 4

T h e G B T T i p p i n g - S t r u c t u r e M o d e l i n C

D o n W e l l s L e e K i n g

M a r c h 2 1 , 1 9 9 5

A b s t r a c t

T h e n i t e e l e m e n t m o d e l o f t h e G B T t i p p i n g s t r u c t u r e h a s b e e n t r a n s l a t e d i n t o e x e c u t a b l e c o d e

e x p r e s s e d i n t h e C l a n g u a g e , s o t h a t i t c a n b e u s e d b y t h e c o n t r o l s o f t w a r e m o d u l e s f o r t h e p o i n t i n g ,

f o c u s - t r a c k i n g , q u a d r a n t d e t e c t o r , a c t i v e - s u r f a c e a n d l a s e r - r a n g e n d e r s u b s y s t e m s o f t h e G B T . W e g i v e

a d e s c r i p t i o n o f t h i s C - c o d e v e r s i o n o f t h e t i p p i n g s t r u c t u r e m o d e l a n d t w o e x a m p l e s o f i t s a p p l i c a t i o n

t o p r a c t i c a l p r o b l e m s .

1 F r o m N A S T R A N - o u t p u t t o C - c o d e

T h e G B T s t r u c t u r e w a s d e s i g n e d f o r C R S I

1

b y L o r a l u s i n g t h e \ N I S A I I "

2

n i t e - e l e m e n t m o d e l l i n g p a c k a g e .

T h e n a l v e r s i o n o f t h e t i p p i n g - s t r u c t u r e w a s m o d e l \ 9 5 B " ( 2 8 O c t o b e r 1 9 9 3 ) . T h e d e s i g n w a s c o n r m e d

b y C R S I u s i n g t h e \ A N S Y S "

3

m o d e l l i n g s o f t w a r e , a d i e r e n t p a c k a g e f r o m t h e o n e u s e d b y L o r a l . N R A O

v e r i e d t h e m o d e l u s i n g y e t a n o t h e r p a c k a g e , \ M S C / N A S T R A N " .

4

T h e N A S T R A N l i n e - p r i n t e r - l i s t i n g l e

p r o d u c e d b y N R A O ' s e x e c u t i o n o f m o d e l 9 5 B w a s p a r s e d b y a p r o g r a m c o d e d i n t h e A W K l a n g u a g e i n o r d e r

t o e x t r a c t t h e r e s u l t s f o r t h e n o d e s o f t h e s t r u c t u r e a n d r e f o r m a t t h e m i n t o s o u r c e c o d e i n t h e C l a n g u a g e

( s e e A p p e n d i x C , p . 1 5 ) .

N R A O ' s v e r s i o n o f t h e m o d e l c u r r e n t l y c o n t a i n s o n l y t h e n o d e s o n t h e r i g h t - h a n d - s i d e o f t h e G B T . N o d e s

w h i c h w e r e n o t i n t h e G B T ' s p l a n e o f s y m m e t r y w e r e d u p l i c a t e d b y t h e A W K p r o g r a m , a n d n e g a t i v e n o d e -

I D s w e r e a s s i g n e d . T h e s i g n s o f c o m p o n e n t s o f t h e t r a n s l a t i o n a l a n d r o t a t i o n a l d i s p l a c e m e n t s f o r t h e s e

d u p l i c a t e d n o d e s w e r e i p p e d i n a c c o r d a n c e w i t h a p p r o p r i a t e s y m m e t r y r u l e s ( f o r e x a m p l e , s e e t h e v a l u e s

f o r n o d e s 7 6 8 0 1 2 o n p a g e 1 6 ) . T h e f u l l s y m m e t r i c m o d e l h a s a t o t a l o f 5 5 7 7 n o d e s , o f w h i c h 4 0 % a r e t h e

a c t i v e s u r f a c e a c t u a t o r n o d e s .

T h e 2 2 0 9 a c t i v e s u r f a c e a c t u a t o r s a r e n o d e - I D s 7 0 0 0 0 1 t h r o u g h 7 6 8 0 1 2 . T h e s e I D n u m b e r s a r e c o m p o s e d o f

7 0 0 0 0 0 p l u s a n a n g l e p a r t a n d a h o o p p a r t ; e . g . , n o d e - 7 6 8 0 1 2 i s 6 8 0 d e g r e e s f r o m t h e p l a n e o f s y m m e t r y

( p o s i t i v e a n g l e s a r e c l o c k w i s e a s s e e n w h e n l o o k i n g d o w n f r o m t h e + Z a x i s ) a n d i s i n h o o p n u m b e r 1 2 o f t h e

s t r u c t u r e . T h i s h o o p - a n d - a n g l e n o t a t i o n i s e q u i v a l e n t t o t h e n o t a t i o n u s e d t o s p e c i f y a c t u a t o r s i n t h e a c t i v e

s u r f a c e c o n t r o l s y s t e m a n d i n t h e l a s e r r a n g e n d e r s y s t e m ; e . g . , t h e r e t r o r e e c t o r n a m e d \ Z G 1 2 + 6 8 0 " i n

P a r 9 4 ] i s t h e n o d e w i t h I D \ 7 6 8 0 1 2 " i n t h i s m o d e l .

T h e u n d i s p l a c e d Z c o o r d i n a t e s o f t h i s m o d e l i n c l u d e t h e 1 9 0 0 i n c h h e i g h t o f t h e e l e v a t i o n a x l e a b o v e t h e

t o p o f t h e a z i m u t h t r a c k . I . e . , t o g e t c o o r d i n a t e s i n t h e e l e v a t i o n c o o r d i n a t e s y s t e m ( X

e

Y

e

Z

e

) a s d e n e d

i n K i n 9 4 ] , 1 9 0 0 . 0 i n c h e s s h o u l d b e s u b t r a c t e d f r o m n o d e _ i - > g r i d 2 ] , t h e u n d i s p l a c e d Z v a l u e , w h i c h i s

r e t u r n e d b y t h e f u n c t i o n g e t _ n o d e _ d a t a ( )

1

C O M S A T R S I , f o r m e r l y R S i .

2

f r o m E n g i n e e r i n g M e c h a n i c s R e s e a r c h C o r p o r a t i o n .

3

f r o m S w a n s o n A n a l y s i s S y s t e m s , I n c .

4

\ N A S T R A N " i s a r e g i s t e r e d t r a d e m a r k o f t h e N a t i o n a l A e r o n a u t i c s a n d S p a c e A d m i n i s t r a t i o n N A S A ] ; M S C / N A S T R A N

i s a n e n h a n c e d , p r o p r i e t a r y v e r s i o n d e v e l o p e d a n d m a i n t a i n e d b y T h e M a c N e a l - S c h w e n d l e r C o r p o r a t i o n .

1


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2 P a g e T h e G B T T i p p i n g - S t r u c t u r e M o d e l i n C G B T M e m o 1 2 4

2 S o f t w a r e t o r e t r i e v e t h e m o d e l r e s u l t s

F u n c t i o n g e t _ n o d e _ d a t a ( ) ( s e e A p p e n d i x A . 1 , p . 9 ) r e t r i e v e s v a l u e s f r o m t h e t a b l e o f n o d e s ( A p p e n d i x C ,

p . 1 5 ) . I t t a k e s t h e e l e v a t i o n a n g l e a s a n a r g u m e n t a n d r e t u r n s t h e u n d i s p l a c e d \ g r i d " c o o r d i n a t e s , t h e

d i s p l a c e m e n t s ( t o b e a d d e d t o t h e \ g r i d " v a l u e s ) a n d t h e r o t a t i o n s . T h e d i s p l a c e m e n t s a n d r o t a t i o n s a r e

c o m p u t e d b y f o r m i n g a w e i g h t e d s u m o f t h e v a l u e s f o r t h e z e n i t h a n d h o r i z o n g r a v i t a t i o n a l d e e c t i o n c a s e s .

F u n c t i o n g e t _ i n d e x ( ) ( s e e A p p e n d i x A . 2 , p . 1 1 ) s e a r c h e s t h e t a b l e o f n o d e s t o n d t h e t a b l e i n d e x f o r a

s p e c i e d n o d e - I D . T h e i n d i c i e s a r e c a c h e d s o t h a t r e p e a t e d c a l l s f o r t h e s a m e n o d e - I D s a r e f a s t e r .

3 A p p l i c a t i o n s

T h i s s t r u c t u r a l m o d e l i s e x p e c t e d t o b e u s e d f o r t h e f o l l o w i n g p u r p o s e s :

B F P , G r a v i t y P o i n t i n g T e r m D e e c t i o n s o f t h e n o d e s w h i c h m o d e l t h e a c t i v e s u r f a c e a c t u a t o r s w i l l b e

t t e d t o d e r i v e p a r a m e t e r s o f t h e \ b e s t - t t i n g p a r a b o l o i d " B F P ] a s a f u n c t i o n o f e l e v a t i o n . T h e B F P

w i l l b e t h e p r i m a r y c o m p o n e n t o f t h e \ c o m m a n d e d s u r f a c e " i n t h e o p e n - l o o p a c t i v e s u r f a c e m o d u l e .

A l s o , t h e t i l t p a r a m e t e r o f t h e B F P w i l l b e t h e a p r i o r i e s t i m a t e o f t h e g r a v i t a t i o n a l d e e c t i o n t e r m s

o f t h e \ t r a d i t i o n a l " p o i n t i n g c o r r e c t i o n m o d u l e .

A c t i v e S u r f a c e T h e o p e n - l o o p a c t i v e s u r f a c e c o n t r o l f o r \ P h a s e - 2 " o f t h e G B T p r o j e c t w i l l c o n s i s t o f

d r i v i n g t h e a c t u a t o r s w i t h t h e d i e r e n c e b e t w e e n t h e s t r u c t u r a l m o d e l a n d t h e B F P , p r o j e c t e d t o l o c a l

s u r f a c e n o r m a l .

F o c u s T r a c k i n g T h e f o c u s t r a c k i n g s u b s y s t e m w i l l d e p e n d o n t h e s t r u c t u r a l m o d e l t o c o m p u t e

d i s p l a c e m e n t s o f t h e p r i m e f o c u s a n d G r e g o r i a n o p t i c s r e l a t i v e t o t h e p r i m e f o c a l p o i n t o f t h e B F P

( w h i c h i t s e l f d e p e n d s o n t h e s t r u c t u r a l m o d e l ) .

R a n g e n d e r C o n t r o l & A n a l y s i s T h e l a s e r - r a n g e n d e r s u b s y s t e m w i l l u s e t h e s t r u c t u r a l m o d e l t o

c o m p u t e t h e d i s p l a c e d l o c a t i o n s o f r e t r o r e e c t o r s f o r a c q u i s i t i o n a n d t r a c k i n g p u r p o s e s . T h e

d i s p l a c e m e n t s w i l l a l s o b e u s e d a s c o r r e c t i o n s i n t t i n g o f r a n g e m e a s u r e m e n t s t o d e r i v e d e s i r e d

p a r a m e t e r s ( s u c h a s t h e o r i e n t a t i o n o f t h e d i s t o r t e d b a c k u p s t r u c t u r e ) . T i l t s o f n o d e s w i l l b e i m p o r t a n t

w h e n r a n g e n d e r s a r e a t t a c h e d t o t h e n o d e s , o r w h e n r e t r o r e e c t o r s a r e a t t a c h e d t o b r a c k e t s w h i c h

a r e a t t a c h e d t o n o d e s ( t h e e n d s o f t h e b r a c k e t s a r e d i s p l a c e d b y t h e t i l t s ) .

Q u a d r a n t D e t e c t o r T h e a p r i o r i e s t i m a t e o f t h e \ e x p e c t e d t r a c k " o f t h e q u a d r a n t d e t e c t o r w i l l b e

c o m p u t e d u s i n g d i s p l a c e m e n t s a n d t i l t s f r o m t h e s t r u c t u r a l m o d e l .

I n t h e r e m a i n d e r o f t h i s s e c t i o n , w e p r o v i d e t w o n u m e r i c a l e x a m p l e s o f t h e a p p l i c a t i o n o f t h e s t r u c t u r a l

m o d e l t o p a r t i c u l a r c a s e s .

3 . 1 T i p p i n g - s t r u c t u r e N o d e s R e f e r r e d t o G r o u n d C o o r d i n a t e s

I n t h i s e x a m p l e , w e w i l l c a l c u l a t e t h e g r o u n d - b a s e d c o o r d i n a t e s o f t h e h o m e - p o i n t o f t h e p r i m e f o c u s b o x

( n o d e 5 0 0 0 0 ) f o r e l e v a t i o n 5

, a z i m u t h 1 3 5

( s o u t h e a s t ) .

5

g e t _ n o d e _ d a t a ( ) w i l l c a l c u l a t e t h e d i s p l a c e m e n t s

u s i n g n u m b e r s e x t r a c t e d f r o m t h e t a b l e ( s e e n o d e 5 0 0 0 0 i n A p p e n d i x C ) i n t h e e x p r e s s i o n ,

6

2

4

x

y

z

3

5

=

2

4

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 4 9 1 4 9 7 8 0 3

3 4 5 7 0 0 3 8 2 1

3

5

s i n 5

s i n 4 4

c o s 5

c o s 4 4

( 1 )

=

2

4

0 0 0 0 0

5 4 3 6 7

2 2 0 5 9

3

5

( 2 )

5

T h e e x a m p l e i n t h i s s e c t i o n i s a d a p t e d f r o m a n u m e r i c a l e x a m p l e i n a n u n p u b l i s h e d m e m o P a r 9 5 ] b y D a v e P a r k e r .

6

S e e E q . 1 3 o n p . 1 0 ; n o d e 5 0 0 0 0 i s o n e o f t h e n o d e s w h i c h w i l l b e a d j u s t e d t o h a v e a r i g g i n g a n g l e o f 4 4


3/16

G B T M e m o 1 2 4 T h e G B T T i p p i n g - S t r u c t u r e M o d e l i n C P a g e 3

g e t _ n o d e _ d a t a ( ) w i l l a l s o e x t r a c t t h e u n d i s p l a c e d ( \ g r i d " ) c o o r d i n a t e s ( X

g

Y

g

Z

g

) o f n o d e 5 0 0 0 0 f r o m t h e

t a b l e ; d e e c t e d c o o r d i n a t e s o f n o d e 5 0 0 0 0 i n t h e e l e v a t i o n c o o r d i n a t e s y s t e m K i n 9 4 , K M 9 3 ] c a n t h e n b e

c o m p u t e d w i t h t h e e x p r e s s i o n

2

4

X

e

( E )

Y

e

( E )

Z

e

( E )

3

5

=

2

4

X

g

Y

g

Z

g

1 9 0 0 0

3

5

+

2

4

x

( E )

y

( E )

z

( E )

3

5

( 3 )

=

2

4

0 0 0

2 1 5 9 0 2

4 4 5 9 0 6 1 9 0 0 0

3

5

+

2

4

0 0

5 4 3 6 7

2 2 0 5 9

3

5

( 4 )

=

2

4

0 0

2 1 5 3 5 8

+ 2 5 6 1 2 7

3

5

( 5 )

T h e s e c o o r d i n a t e s c a n b e t r a n s f o r m e d f r o m t h e e l e v a t i o n c o o r d i n a t e s y s t e m t o t h e a l i d a d e c o o r d i n a t e

s y s t e m K i n 9 4 , K M 9 3 ] b y m u l t i p l y i n g b y a r o t a t i o n m a t r i x

7

a n d a d d i n g 1 9 0 0 . 0 t o t h e Z a x i s :

2

4

X

a

Y

a

Z

a

3

5

=

2

4

1 0 0

0 s i n E c o s E

0 c o s E s i n E

3

5

2

4

X

e

Y

e

Z

e

3

5

+

2

4

0

0

1 9 0 0

3

5

( 6 )

=

2

4

1 0 0

0 0 0 8 7 2 0 9 9 6 2

0 0 9 9 6 2 0 0 8 7 2

3

5

2

4

0 0

2 1 5 3 5 8

+ 2 5 6 1 2 7

3

5

+

2

4

0

0

1 9 0 0 0

3

5

( 7 )

=

2

4

0

2 3 6 3 7 4

4 2 6 8 7 4

3

5

( 8 )

T h e s e a l i d a d e c o o r d i n a t e s c a n t h e n b e t r a n s f o r m e d t o \ b a s e " c o o r d i n a t e s

8

w i t h t h e e x p r e s s i o n

2

4

X

Y

Z

3

5

=

2

4

c o s A s i n A 0

s i n A c o s A 0

0 0 1

3

5

2

4

X

a

Y

a

Z

a

3

5

( 1 0 )

=

2

4

0 7 0 7 + 0 7 0 7 0

0 7 0 7 0 7 0 7 0

0 0 1

3

5

2

4

0

2 3 6 3 7 4

4 2 6 8 7 4

3

5

( 1 1 )

=

2

4

+ 1 6 7 1 1 6

1 6 7 1 1 6

+ 4 2 6 8 7 4

3

5

( 1 2 )

w h e r e A i s t h e a s t r o n o m i c a l a z i m u t h , 1 3 5

i n o u r e x a m p l e .

T h e r e a r e t h r e e c o r r e c t i o n s w h i c h s h o u l d b e i n c l u d e d i n a p r o d u c t i o n v e r s i o n o f t h e a b o v e c a l c u l a t i o n s :

E l e v a t i o n A x l e C o l l i m a t i o n E r r o r T h e a s - b u i l t e l e v a t i o n a x l e w i l l n o t b e o r t h o g o n a l t o t h e a z i m u t h

a x i s . T h e c o r r e c t i o n f o r t h i s p r o b l e m w i l l a p p e a r a s a n a d d i t i o n a l r o t a t i o n m a t r i x i n t h e t r a n s f o r m a t i o n

f r o m e l e v a t i o n c o o r d i n a t e s t o a l i d a d e c o o r d i n a t e s ; t h e c o l l i m a t i o n a n g l e f o r t h e m a t r i x w i l l b e o b t a i n e d

f r o m t h e \ t r a d i t i o n a l " p o i n t i n g e r r o r m o d e l .

7

T h e r o t a t i o n m a t r i x o f E q . 6 h a s b e e n m o d i e d f r o m t h e v e r s i o n i n K i n 9 4 , K M 9 3 ] i n o r d e r t o a c c o m o d a t e t h e i n i t i a l

c o n d i t i o n E = 9 0

f o r t h e s t r u c t u r e g r i d c o o r d i n a t e s .

8

K i n 9 4 , K M 9 3 ] d e n e s t h e s e c o o r d i n a t e s : A

e

( A z i m u t h e n c o d e r v a l u e ) i s m e a s u r e d c o u n t e r - c l o c k w i s e f r o m Y

a

( d u e S o u t h )

i . e . , w h e n A

e

= 0

X

a

p o i n t s W e s t , Y

a

p o i n t s S o u t h . T h e c o n v e n t i o n a l a z i m u t h , a s u s e d i n t h e n u m e r i c a l e x a m p l e a b o v e , i s

r e l a t e d t o A

e

b y

A = 1 8 0

A

e

( 9 )

I n t h e \ b a s e " c o o r d i n a t e s y s t e m + X i s E a s t , + Y i s N o r t h a n d + Z i s u p , w i t h t h e o r i g i n a t t h e p i n t l e b e a r i n g .


4/16


T a b l e 1 : U p p e r - f e e d a r m d i e r e n t i a l d e e c t i o n s

G r e g . F e e d ( 4 0 7 0 0 ) S u b r e e c t o r ( 5 0 0 0 5 ) D i e r e n c e s

E

y

z

t

x

y

z

t

x

L t

s ! f

t

f ! s

F

y

F

z

( d ) ( i n ) ( i n ) ( r a d ) ( i n ) ( i n ) ( r a d ) ( i n ) ( r a d ) ( r a d ) ( r a d ) ( i n ) ( i n )

0 4 . 8 2 . 5 - 0 . 0 0 2 1 6 . 2 2 . 9 - 0 . 0 0 1 7 0 . 1 1 1 - 0 . 0 0 2 4 0 . 0 0 0 6 0 . 0 0 0 2 - 0 . 3 5 1 - 0 . 1 9 0

5 4 . 5 2 . 2 - 0 . 0 0 2 0 5 . 7 2 . 6 - 0 . 0 0 1 7 0 . 0 9 0 - 0 . 0 0 2 2 0 . 0 0 0 6 0 . 0 0 0 2 - 0 . 3 0 5 - 0 . 1 5 8

1 0 4 . 1 1 . 9 - 0 . 0 0 1 8 5 . 2 2 . 2 - 0 . 0 0 1 5 0 . 0 7 0 - 0 . 0 0 2 0 0 . 0 0 0 5 0 . 0 0 0 2 - 0 . 2 6 0 - 0 . 1 2 8

1 5 3 . 6 1 . 6 - 0 . 0 0 1 6 4 . 6 1 . 9 - 0 . 0 0 1 4 0 . 0 5 3 - 0 . 0 0 1 8 0 . 0 0 0 4 0 . 0 0 0 2 - 0 . 2 1 6 - 0 . 1 0 1

2 0 3 . 1 1 . 3 - 0 . 0 0 1 4 4 . 0 1 . 6 - 0 . 0 0 1 2 0 . 0 3 7 - 0 . 0 0 1 5 0 . 0 0 0 3 0 . 0 0 0 1 - 0 . 1 7 4 - 0 . 0 7 6

2 5 2 . 5 1 . 0 - 0 . 0 0 1 1 3 . 2 1 . 2 - 0 . 0 0 1 0 0 . 0 2 5 - 0 . 0 0 1 3 0 . 0 0 0 2 0 . 0 0 0 1 - 0 . 1 3 3 - 0 . 0 5 4

3 0 1 . 9 0 . 7 - 0 . 0 0 0 9 2 . 4 0 . 9 - 0 . 0 0 0 8 0 . 0 1 4 - 0 . 0 0 1 0 0 . 0 0 0 2 0 . 0 0 0 1 - 0 . 0 9 5 - 0 . 0 3 5

3 5 1 . 2 0 . 5 - 0 . 0 0 0 6 1 . 6 0 . 6 - 0 . 0 0 0 5 0 . 0 0 7 - 0 . 0 0 0 6 0 . 0 0 0 1 0 . 0 0 0 1 - 0 . 0 5 8 - 0 . 0 2 0

4 0 0 . 6 0 . 2 - 0 . 0 0 0 3 0 . 7 0 . 2 - 0 . 0 0 0 2 0 . 0 0 2 - 0 . 0 0 0 3 0 . 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 - 0 . 0 2 5 - 0 . 0 0 7

4 5 - 0 . 1 - 0 . 0 0 . 0 0 0 1 - 0 . 2 - 0 . 1 0 . 0 0 0 1 - 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 1 - 0 . 0 0 0 0 - 0 . 0 0 0 0 0 . 0 0 6 0 . 0 0 2

5 0 - 0 . 9 - 0 . 3 0 . 0 0 0 4 - 1 . 1 - 0 . 3 0 . 0 0 0 4 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 5 - 0 . 0 0 0 1 - 0 . 0 0 0 0 0 . 0 3 4 0 . 0 0 7

5 5 - 1 . 6 - 0 . 5 0 . 0 0 0 8 - 2 . 1 - 0 . 6 0 . 0 0 0 7 0 . 0 0 4 0 . 0 0 0 8 - 0 . 0 0 0 1 - 0 . 0 0 0 1 0 . 0 5 8 0 . 0 0 9

6 0 - 2 . 4 - 0 . 7 0 . 0 0 1 1 - 3 . 1 - 0 . 9 0 . 0 0 1 1 0 . 0 1 0 0 . 0 0 1 2 - 0 . 0 0 0 1 - 0 . 0 0 0 1 0 . 0 7 9 0 . 0 0 7

6 5 - 3 . 1 - 0 . 9 0 . 0 0 1 5 - 4 . 1 - 1 . 1 0 . 0 0 1 5 0 . 0 1 9 0 . 0 0 1 6 - 0 . 0 0 0 2 - 0 . 0 0 0 1 0 . 0 9 6 0 . 0 0 2

7 0 - 3 . 9 - 1 . 1 0 . 0 0 1 9 - 5 . 1 - 1 . 3 0 . 0 0 1 9 0 . 0 3 1 0 . 0 0 2 0 - 0 . 0 0 0 2 - 0 . 0 0 0 2 0 . 1 0 9 - 0 . 0 0 7

7 5 - 4 . 6 - 1 . 2 0 . 0 0 2 2 - 6 . 1 - 1 . 5 0 . 0 0 2 3 0 . 0 4 5 0 . 0 0 2 5 - 0 . 0 0 0 2 - 0 . 0 0 0 2 0 . 1 1 9 - 0 . 0 1 9

8 0 - 5 . 4 - 1 . 3 0 . 0 0 2 6 - 7 . 1 - 1 . 6 0 . 0 0 2 7 0 . 0 6 1 0 . 0 0 2 9 - 0 . 0 0 0 2 - 0 . 0 0 0 3 0 . 1 2 5 - 0 . 0 3 5

8 5 - 6 . 1 - 1 . 4 0 . 0 0 3 0 - 8 . 0 - 1 . 7 0 . 0 0 3 1 0 . 0 8 0 0 . 0 0 3 3 - 0 . 0 0 0 2 - 0 . 0 0 0 3 0 . 1 2 6 - 0 . 0 5 4

9 0 - 6 . 8 - 1 . 5 0 . 0 0 3 3 - 8 . 9 - 1 . 8 0 . 0 0 3 5 0 . 1 0 1 0 . 0 0 3 6 - 0 . 0 0 0 2 - 0 . 0 0 0 3 0 . 1 2 4 - 0 . 0 7 6

A z i m u t h / E l e v a t i o n N o n - i n t e r s e c t i o n E r r o r T h e a s - b u i l t e l e v a t i o n a x i s w i l l n o t i n t e r s e c t t h e a z i m u t h

a x i s . T h i s c o r r e c t i o n w i l l a p p e a r a s a n o n - z e r o Y - a x i s e l e m e n t i n t h e 0 0 1 9 0 0 0 ] v e c t o r w h i c h i s a d d e d

t o t r a n s f o r m f r o m e l e v a t i o n c o o r d i n a t e s t o a l i d a d e c o o r d i n a t e s .

E n c o d e r Z e r o - p o i n t s T h e e l e v a t i o n E i n t h e a b o v e e x p r e s s i o n s i s n o t s i m p l y t h e r a w e l e v a t i o n e n c o d e r

r e a d i n g : a z e r o - p o i n t c o r r e c t i o n m u s t b e a p p l i e d . L i k e w i s e , a z e r o - p o i n t c o r r e c t i o n m u s t b e a p p l i e d t o

t h e r a w a z i m u t h e n c o d e r r e a d i n g A

e

. T h e s e z e r o - p o i n t t e r m s w i l l b e o b t a i n e d f r o m t h e \ t r a d i t i o n a l "

p o i n t i n g c o r r e c t i o n m o d e l .

3 . 2 D i e r e n t i a l D i s p l a c e m e n t s o f t h e U p p e r F e e d a r m

T h i s s e c t i o n p r e s e n t s c a l c u l a t i o n s o f c e r t a i n d i s t o r t i o n s o f t h e u p p e r p a r t o f t h e f e e d a r m a s a f u n c t i o n o f

e l e v a t i o n . T h e r e s u l t s a r e i n t e r e s t i n g i n t h e i r o w n r i g h t , b u t t h e r e a l p u r p o s e h e r e i s t u t o r i a l : t h e p r o g r a m

w h i c h c o m p u t e s t h e s e r e s u l t s d e m o n s t r a t e s h o w t o u s e t h e s t r u c t u r a l m o d e l f u n c t i o n s , a n d t h e p r o b l e m p o s e d

d e m o n s t r a t e s t h e u s e f u l n e s s o f t h e s t r u c t u r a l m o d e l f o r c o n t r o l o f t h e o p t i c s ( t h e f o c u s - t r a c k i n g p r o b l e m ) .

W e w i s h t o c o m p u t e d i e r e n t i a l m o t i o n s o f t h e s u b r e e c t o r a n d t h e G r e g o r i a n f e e d h o r n . T h e s u b r e e c t o r

m i r r o r a n d b a c k u p f r a m e a r e r e p r e s e n t e d i n t h e m o d e l b y n o d e I D s 5 0 0 0 4 , 5 0 0 0 5 , 5 0 0 1 0 , 5 0 0 4 0 a n d 5 0 1 4 0 ;

i n p a r t i c u l a r , n o d e 5 0 0 0 5 r e p r e s e n t s a p o i n t i n t h e c e n t e r o f t h e s u b r e e c t o r m i r r o r . T h e G r e g o r i a n f e e d i s

n o d e 4 0 7 0 0 . T a b l e 1 p r e s e n t s t h e d i s p l a c e m e n t s

x

a n d

y

a n d t i l t t

x

o f n o d e s 4 0 7 0 0 a n d 5 0 0 0 5 a s a f u n c t i o n

o f e l e v a t i o n .

9

T h e d i s p l a c e m e n t s o f t h e s e n o d e s a r e p l o t t e d i n F i g u r e 1 .

T h e r e s u l t s s h o w n i n T a b l e 1 w e r e p r o d u c e d b y t h e p r o g r a m s h o w n i n T a b l e 2 .

1 0

T h e r s t 1 2 l i n e s o f

9

D i s p l a c e m e n t

x

a n d t i l t s t

y

a n d t

z

a r e n o t s h o w n i n T a b l e 1 b e c a u s e t h e y a r e a l w a y s z e r o f o r t h e s e n o d e s , w h i c h a r e i n

t h e m e r i d i o n a l p l a n e , t h e p l a n e o f s y m m e t r y o f t h e G B T .

1 0

A t s e v e r a l p o i n t s i n t h i s p r o g r a m , t h e r e a r e e x p r e s s i o n s s i m i l a r t o t h i s o n e : \ ( d o u b l e ) g r e g f e e d . g r i d i ] " . T h e p u r p o s e

o f t h e ( d o u b l e ) i n s u c h e x p r e s s i o n s i s t o e n s u r e t h a t t h e f l o a t v a l u e s f r o m s t r u c t n o d e d a t a w i l l b e c a s t i n t o d o u b l e p r e c i s i o n

i n o r d e r t o a v o i d t r u n c a t i o n e r r o r s i n c a l c u l a t i o n s .


5/16


T a b l e 2 : P r o g r a m w h i c h c o m p u t e s T a b l e 1

/ * T h i s p r o g r a m , t i p p i n g _ m o d e l _ t a b _ u f d d . c , c o m p u t e s t h e ' u f d d '

u p p e r _ f e e d a r m _ d i f f e r e n t i a l _ d e f l e c t i o n ] t a b l e o f t h e

t i p p i n g _ m o d e l . t e x G B T m e m o . D . W e l l s , N R A O - C V , 1 / 2 5 - 3 / 2 1 / 9 5 * /

# i n c l u d e < s t d l i b . h >

# i n c l u d e < m a t h . h >

# i n c l u d e " s t r u c t u r a l _ m o d e l . h "

m a i n ( ) {

s t r u c t n o d e _ d a t a g r e g _ f e e d , s u b r _ v r t x ;

d o u b l e e l e v a t i o n , s f 3 ] , s f 4 4 3 ] , l s f 4 4 , t s f 4 4 , s f s u m , d l s f , d t h e t a ,

d e l t a _ t s f , d e l t a _ t f s , s t i l t , c t i l t , r o t a t e 3 ] 3 ] , s f 4 4 p 3 ] , d e l t a _ f 3 ] ;

i n t g r e g _ i n d , s u b r _ i n d , i , j ;

c h a r f o r m 2 0 0 ] ;

g r e g _ i n d = g e t _ i n d e x ( 4 0 7 0 0 ) ; / * G r e g o r i a n - f e e d n o d e * /

s u b r _ i n d = g e t _ i n d e x ( 5 0 0 0 5 ) ; / * S u b r e f l e c t o r " V e r t e x " n o d e * /

e l e v a t i o n = 4 4 . 0 ;

i f ( g e t _ n o d e _ d a t a ( g r e g _ i n d , e l e v a t i o n , & g r e g _ f e e d ) ) e x i t ( E X I T _ F A I L U R E ) ;

i f ( g e t _ n o d e _ d a t a ( s u b r _ i n d , e l e v a t i o n , & s u b r _ v r t x ) ) e x i t ( E X I T _ F A I L U R E ) ;

f o r ( i = 0 , s f s u m = 0 . 0 ; i < 3 ; i + + ) {

s f 4 4 i ] = ( ( d o u b l e ) g r e g _ f e e d . g r i d i ] + g r e g _ f e e d . a t _ e l e v . d e l t a i ] )

- ( ( d o u b l e ) s u b r _ v r t x . g r i d i ] + s u b r _ v r t x . a t _ e l e v . d e l t a i ] ) ;

s f s u m + = ( s f 4 4 i ] * s f 4 4 i ] ) ;

}

l s f 4 4 = s q r t ( s f s u m ) ; / * s u b r e f l - - > f e e d d i s t a n c e @ 4 4 d * /

t s f 4 4 = a t a n 2 ( s f 4 4 2 ] , s f 4 4 1 ] ) ; / * s u b r e f l - - > f e e d a n g l e @ 4 4 d * /

f o r ( e l e v a t i o n = 0 . 0 ; e l e v a t i o n < = 9 0 . 1 ; e l e v a t i o n + = 5 . 0 ) {

i f ( g e t _ n o d e _ d a t a ( g r e g _ i n d , e l e v a t i o n , & g r e g _ f e e d ) ) e x i t ( E X I T _ F A I L U R E ) ;

i f ( g e t _ n o d e _ d a t a ( s u b r _ i n d , e l e v a t i o n , & s u b r _ v r t x ) ) e x i t ( E X I T _ F A I L U R E ) ;

f o r ( i = 0 , s f s u m = 0 . 0 ; i < 3 ; i + + ) {

s f i ] = ( ( d o u b l e ) g r e g _ f e e d . g r i d i ] + g r e g _ f e e d . a t _ e l e v . d e l t a i ] )

- ( ( d o u b l e ) s u b r _ v r t x . g r i d i ] + s u b r _ v r t x . a t _ e l e v . d e l t a i ] ) ;

s f s u m + = ( s f i ] * s f i ] ) ;

}

d l s f = ( s q r t ( s f s u m ) - l s f 4 4 ) ; / * c h a n g e i n s u b r e f l - - > f e e d d i s t a n c e * /

d t h e t a = ( a t a n 2 ( s f 2 ] , s f 1 ] ) - t s f 4 4 ) ; / * c h a n g e i n a n g l e o f l i n e * /

d e l t a _ t s f = s u b r _ v r t x . a t _ e l e v . t i l t 0 ] - d t h e t a ; / * e x t r a s u b r * /

d e l t a _ t f s = g r e g _ f e e d . a t _ e l e v . t i l t 0 ] - d t h e t a ; / * e x t r a f e e d * /

c t i l t = c o s ( s u b r _ v r t x . a t _ e l e v . t i l t 0 ] ) ; / * r o t a t i o n a b o u t X - a x i s * /

s t i l t = s i n ( s u b r _ v r t x . a t _ e l e v . t i l t 0 ] ) ;

r o t a t e 0 ] 0 ] = 1 . 0 ; r o t a t e 0 ] 1 ] = 0 . 0 ; r o t a t e 0 ] 2 ] = 0 . 0 ;

r o t a t e 1 ] 0 ] = 0 . 0 ; r o t a t e 1 ] 1 ] = c t i l t ; r o t a t e 1 ] 2 ] = - s t i l t ;

r o t a t e 2 ] 0 ] = 0 . 0 ; r o t a t e 2 ] 1 ] = s t i l t ; r o t a t e 2 ] 2 ] = c t i l t ;

f o r ( i = 0 ; i < 3 ; i + + ) {

f o r ( j = 0 , s f 4 4 p i ] = 0 . 0 ; j < 3 ; j + + )

s f 4 4 p i ] + = s f 4 4 j ] * r o t a t e i ] j ] ;

d e l t a _ f i ] =

( ( d o u b l e ) g r e g _ f e e d . g r i d i ] + g r e g _ f e e d . a t _ e l e v . d e l t a i ] )

- ( ( d o u b l e ) s u b r _ v r t x . g r i d i ] + s u b r _ v r t x . a t _ e l e v . d e l t a i ]

+ s f 4 4 p i ] ) ;

}

s t r c p y ( f o r m , " % 2 . 0 l f & % 4 . 1 f & % 4 . 1 f & % 7 . 4 f & % 4 . 1 f & % 4 . 1 f & % 7 . 4 f " ) ;

s t r c a t ( f o r m , " & % 5 . 3 l f & % 7 . 4 l f & % 7 . 4 l f & % 7 . 4 l f & % 5 . 3 l f & % 5 . 3 l f \ \ \ \ \ n " ) ;

p r i n t f ( f o r m , e l e v a t i o n , g r e g _ f e e d . a t _ e l e v . d e l t a 1 ] ,

g r e g _ f e e d . a t _ e l e v . d e l t a 2 ] , g r e g _ f e e d . a t _ e l e v . t i l t 0 ] ,

s u b r _ v r t x . a t _ e l e v . d e l t a 1 ] , s u b r _ v r t x . a t _ e l e v . d e l t a 2 ] ,

s u b r _ v r t x . a t _ e l e v . t i l t 0 ] , d l s f , d t h e t a , d e l t a _ t s f , d e l t a _ t f s ,

d e l t a _ f 1 ] , d e l t a _ f 2 ] ) ;

}

e x i t ( E X I T _ S U C C E S S ) ;

}


6/16


2 0

1 5

1 0

0 5

0 0

0 5

1 0

1 5

2 0

2 5

3 0

1 0 0 8 0 6 0 4 0 2 0

0 0 2 0 4 0 6 0 8 0

z

( i n )

y

( i n )

0

9 0

G r e g . F e e d

y

z

S u b r e e c t o r

y

z

F i g u r e 1 : T w o t r a j e c t o r i e s a s a f u n c t i o n o f E l e v a t i o n

e x e c u t a b l e c o d e i n t h i s p r o g r a m d e m o n s t r a t e h o w t o u s e f u n c t i o n s g e t _ i n d e x ( ) a n d g e t _ n o d e _ d a t a ( ) t o

o b t a i n i n f o r m a t i o n a b o u t t h e g e o m e t r y o f t h e G B T i n o r d e r t o p e r f o r m s i m p l e g e o m e t r i c c a l c u l a t i o n s o n t h e

d e s i g n ( r i g g i n g - a n g l e ) g e o m e t r y , s u c h a s t h e l e n g t h ( l s f 4 4 ) a n d p o s i t i o n a n g l e ( t s f 4 4 ) o f t h e l i n e c o n n e c t i n g

t w o n o d e s . T h e f o r - l o o p o n v a r i a b l e e l e v a t i o n i l l u s t r a t e s h o w t o u t i l i z e n o d e d i s p l a c e m e n t s a n d t i l t s a s a

f u n c t i o n o f e l e v a t i o n . T h r e e s e t s o f r e s u l t s a r e s h o w n i n t h e t a b l e :

C h a n g e o f N o d e - t o - N o d e L i n e - o f - S i g h t T h e l i n e c o n n e c t i n g n o d e s 4 0 7 0 0 a n d 5 0 0 0 5 c h a n g e s l e n g t h

a n d o r i e n t a t i o n a s a f u n c t i o n o f e l e v a t i o n . L i s t h e d i e r e n c e b e t w e e n t h e l e n g t h a t t h e s p e c i e d

e l e v a t i o n a n d t h e l e n g t h ( l s f 4 4 ) a t t h e r i g g i n g a n g l e ; i t i s p l o t t e d i n F i g u r e 2 . i s t h e d i e r e n c e

b e t w e e n t h e p o s i t i o n a n g l e o f t h e l i n e - o f - s i g h t a t t h e s p e c i e d e l e v a t i o n a n d t h e p o s i t i o n a n g l e ( t s f 4 4 )

a t t h e r i g g i n g a n g l e ; t h e p r i n c i p a l e e c t r e p r e s e n t e d i n i s t h e g r o s s b e n d i n g o f t h e e n t i r e f e e d a r m .

i s p l o t t e d i n F i g u r e 3 .

\ E x c e s s R o t a t i o n " o f t h e N o d e s t

s ! f

i s t h e e x c e s s r o t a t i o n o f t h e s u b r e e c t o r r e l a t i v e t o t h e r o t a t i o n

o f t h e l i n e o f s i g h t f r o m t h e s u b r e e c t o r t o t h e G r e g o r i a n f e e d ; s e e F i g u r e 3 . I t i s s i m p l y ( t

x

)

( i . e . 0 0 0 0 6 a t E = 0

i s ( 0 0 0 1 7 ) ( 0 0 0 2 4 ) , s e e t h e e x p r e s s i o n f o r d e l t a _ t s f i n T a b l e 2 ) . f

f ! s

i s t h e s a m e d i e r e n c e f o r t h e G r e g o r i a n f e e d h o r n .

D i s p l a c e m e n t o f S e c o n d F o c a l P o i n t R e l a t i v e t o F e e d h o r n I f a r i g i d r o d i s a t t a c h e d t o t h e

s u b r e e c t o r n o d e , r e p r e s e n t i n g t h e s e c o n d f o c a l p o i n t o f t h e e l l i p s o i d a l m i r r o r , t h e t i p o f t h i s r o d

m o v e s a s a f u n c t i o n o f e l e v a t i o n . T h e s u b r e e c t o r n o d e i s d i s p l a c e d a s a f u n c t i o n o f e l e v a t i o n , w h i c h

d i s p l a c e s t h e b a s e o f t h e r o d , a n d i t a l s o t i l t s , w h i c h m o v e s t h e t i p o f t h e r o d r e l a t i v e t o i t s b a s e .

T h e a l g o r i t h m s h o w n h e r e u s e s t h e n o d e t i l t t o c o n s t r u c t a r o t a t i o n m a t r i x w h i c h i s m u l t i p l i e d b y t h e

v e c t o r s f 4 4 ] , r e p r e s e n t i n g t h e u n d i s p l a c e d o r i e n t a t i o n o f t h e r o d . T h e t i l t e d r o d i s v e c t o r s f 4 4 p ]

w h i c h i s a d d e d t o t h e d i s p l a c e d p o s i t i o n o f n o d e 5 0 0 0 5 i n o r d e r t o g e t t h e p o s i t i o n o f t h e t i p o f t h e r o d .

V e c t o r d e l t a _ f ] i s t h e p o s i t i o n d i e r e n c e b e t w e e n t h a t t i p o f t h e r o d a n d t h e d i s p l a c e d p o s i t i o n o f

n o d e 4 0 7 0 0 , t h e G r e g o r i a n f e e d ; i t a p p e a r s i n t h e t a b l e a s F

y

a n d F

z

1 1

a n d i s p l o t t e d i n F i g u r e 4 .

C o r r e c t i o n o f t h i s p o s i t i o n d i e r e n c e w i l l b e p a r t o f t h e f o c u s t r a c k i n g a l g o r i t h m o f t h e G B T .

1 2

W e o e r t h e f o l l o w i n g c o m m e n t s a n d c o n j e c t u r e s a b o u t t h e r e s u l t s i n T a b l e 1 :

E l e v e n o f t h e t w e l v e t a b u l a t e d q u a n t i t i e s c h a n g e s i g n b e t w e e n t h e l i n e s f o r 4 0

a n d 4 5

. T h i s i s b e c a u s e

o f t h e 4 4

r i g g i n g a n g l e .

1 1

F

x

i s a l w a y s z e r o i n t h e p l a n e o f s y m m e t r y .

1 2

T h e d i e r e n c e b e t w e e n t h e r s t f o c a l p o i n t o f t h e e l l i p s o i d a n d t h e p r i m e f o c a l p o i n t o f t h e b e s t - t t i n g p a r a b o l o i d B F P ] a s

a f u n c t i o n o f e l e v a t i o n w i l l t h e d o m i n a n t t e r m o f t h e f o c u s t r a c k i n g a l g o r i t h m ( m a g n i t u d e a b o u t 2 0 l a r g e r t h a n t h e F

y

F

z

v a l u e s i n T a b l e 1 a n d F i g u r e 4 ) : t h e d i s p l a c e m e n t o f t h e r s t f o c u s i s n o t o n l y l a r g e r b u t a l s o h a s a d i s p r o p o r t i o n a t e e e c t o n

t h e i m a g i n g a n d g a i n c o m p a r e d t o t h e d i e r e n t i a l d i s t o r t i o n o f t h e f e e d a r m b e c a u s e t h e r s t f o c u s d i s p l a c e m e n t i s m a g n i e d

a t t h e s e c o n d f o c u s b y t h e e l l i p s o i d .


7/16


0 0 0

0 0 2

0 0 4

0 0 6

0 0 8

0 1 0

0 1 2

0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0

L

( i n )

E l e v a t i o n

F i g u r e 2 : C h a n g e o f d i s t a n c e b e t w e e n n o d e s 4 0 7 0 0 a n d 5 0 0 0 5

0 0 0 3

0 0 0 2

0 0 0 1

0 0 0 0

0 0 0 1

0 0 0 2

0 0 0 3

0 0 0 4

0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0

t i l t s

( r a d )

E l e v a t i o n

G r e g . F e e d t

x

S u b r e e c t o r t

x

t

s ! f

t

f ! s

F i g u r e 3 : F i v e t i l t s a s a f u n c t i o n o f E l e v a t i o n


8/16


0 2 0

0 1 8

0 1 6

0 1 4

0 1 2

0 1 0

0 0 8

0 0 6

0 0 4

0 0 2

0 0 0

0 0 2

0 4 0 0 3 5 0 3 0 0 2 5 0 2 0 0 1 5 0 1 0 0 0 5

0 0 0 0 0 5 0 1 0 0 1 5

F

z

( i n )

F

y

( i n )

0

9 0

F i g u r e 4 : F

y

F

z

t r a j e c t o r y a s a f u n c t i o n o f E l e v a t i o n

T h e d i s p l a c e m e n t s a n d t i l t s o f t h e G r e g o r i a n f e e d a n d s u b r e e c t o r a r e s i m i l a r ( s e e F i g u r e s 1 a n d 3 ) .

T h i s s h o w s t h e g r o s s d e e c t i o n o f t h e u p p e r p a r t o f t h e f e e d a r m a s a f u n c t i o n o f e l e v a t i o n , a n d t h e

a s s o c i a t e d r o t a t i o n ( b e n d i n g ) . T h e t r a j e c t o r y o f t h e s u b r e e c t o r i s l o n g e r ( s e e F i g u r e 1 ) b e c a u s e i t i s

f u r t h e r o u t o n t h e f e e d a r m . T h e

y

c o m p o n e n t s a r e l a r g e a t s m a l l e l e v a t i o n s ; t h e v a l u e s a r e p o s i t i v e

b e c a u s e w h e n t h e f e e d a r m i s n e a r l y h o r i z o n t a l , t h e + Y d i r e c t i o n o f t h e t i p p i n g c o o r d i n a t e s y s t e m i s

n e a r l y p a r a l l e l t o t h e g r a v i t y v e c t o r .

t

s ! f

i s c o n s i s t e n t w i t h F

y

( a s w e w o u l d e x p e c t ) : t h e d i s t a n c e b e t w e e n n o d e s 4 0 7 0 0 a n d 5 0 0 0 5 i s

a b o u t 6 0 0 i n c h e s , s o t h e 0 . 6 m i l l i r a d i a n e x c e s s r o t a t i o n o f t h e s u b r e e c t o r a t E = 0

i m p l i e s a l a t e r a l

m o t i o n o f t h e s e c o n d f o c a l p o i n t o f t h e e l l i p s o i d r e l a t i v e t o t h e G r e g o r i a n f e e d h o r n o f a b o u t 0 . 3 6 i n c h e s

( c o m p a r e d t o F

y

= 0 3 5 ) . T h e s i g n o f F

y

i s n e g a t i v e b e c a u s e t h e s u b r e e c t o r s a g s d o w n w a r d ,

a w a y f r o m t h e f e e d a r m , i n t h e + Y d i r e c t i o n , a n d F

y

i s c o m p u t e d a s t h e G r e g o r i a n f e e d m i n u s t h e

f o c a l p o i n t ( s e e t h e f o r m u l a f o r d e l t a _ f ] i n T a b l e 2 ) .

t

f ! s

i s t h e e x c e s s r o t a t i o n o f t h e G r e g o r i a n f e e d h o r n r e l a t i v e t o t h e l i n e o f s i g h t f r o m t h e f e e d h o r n

t o t h e c e n t e r o f t h e s u b r e e c t o r . T h e r o t a t i o n i s p o s i t i v e f o r l o w e l e v a t i o n s b e c a u s e t h e f e e d r o o m s a g s

d o w n w a r d ( - Z d i r e c t i o n ) a t h i g h e l e v a t i o n s , w h i c h i s a n e g a t i v e r o t a t i o n a b o u t t h e X a x i s ( r i g h t - h a n d

r u l e ) . T h e d i s t a n c e b e t w e e n n o d e s 4 0 7 0 0 a n d 5 0 0 0 5 i s a b o u t 6 0 0 i n c h e s , a n d s o t h e 0 . 2 m i l l i r a d i a n

m i s a l i g n m e n t f o r E = 0

i m p l i e s a l a t e r a l s h i f t o f t h e p o w e r p a t t e r n o f t h e h o r n o n t h e s u b r e e c t o r b y

a b o u t 0 . 1 2 i n c h ( a b o u t 3 m m ) . T h i s w i l l p r o d u c e a v e r y s l i g h t c h a n g e o f t h e s p i l l o v e r .

4 T h r e e l i m i t a t i o n s o f t h e t i p p i n g - s t r u c t u r e m o d e l

U s e r s o f t h e s e f u n c t i o n s s h o u l d b e a w a r e t h a t t h e a s - b u i l t u n d i s p l a c e d X Y Z c o o r d i n a t e s o f n o d e s w i l l b e

d i e r e n t f r o m t h e v a l u e s r e t u r n e d b y f u n c t i o n g e t _ n o d e _ d a t a ( ) i n t h e a r r a y * n o d e _ i . g r i d ] , f o r s e v e r a l

r e a s o n s :

C o n s t r u c t i o n T o l e r a n c e s C R S I w i l l a s s e m b l e t h e s t r u c t u r e w i t h a c c u r a c y n o b e t t e r t h a n 3 m m .

T e m p e r a t u r e V a r i a t i o n s T e m p e r a t u r e c h a n g e s d u r i n g a s s e m b l y a n d d u r i n g o p e r a t i o n w i l l c a u s e

s u b s t a n t i a l c h a n g e s f r o m t h e a s - d e s i g n e d c o o r d i n a t e s : t h e e x p a n s i o n c o e c i e n t o f s t e e l i s a b o u t 1 0

5

p e r

C , w h i c h , f o r a 1 0 0 m e t e r s t r u c t u r e , i m p l i e s d i s p l a c e m e n t s o f a b o u t 1 m m p e r

C


9/16


E l e v a t o r A s s y m e t r y N R A O ' s c u r r e n t N A S T R A N m o d e l i s s y m m e t r i c { t h e l e f t h a l f i s a m i r r o r i m a g e

o f t h e r i g h t h a l f . T h i s i s s l i g h t l y i n c o r r e c t , b e c a u s e o f t h e e l e v a t o r o n t h e r i g h t h a l f . T h e m a s s o f

t h e e l e v a t o r h a s b e e n i n c l u d e d i n t h e m o d e l , a n d s o t h e m e a n d e e c t i o n o f t h e s t r u c t u r e h a s b e e n

m o d e l l e d . H o w e v e r , t h e a s s y m e t r y o f t h e m a s s d i s t r i b u t i o n w i l l c a u s e a s m a l l r o t a t i o n a l d e e c t i o n o f

t h e f e e d a r m . W e s h o u l d r e p l a c e t h e p r e s e n t m o d e l w i t h t h e a s s y m e t r i c v e r s i o n e v e n t u a l l y , s o t h a t t h e

f o c u s - t r a c k i n g s u b s y s t e m w i l l p r o p e r l y c o m p e n s a t e f o r t h i s d e e c t i o n b y r o t a t i n g t h e o p t i c a l a x i s o f

t h e G r e g o r i a n e l l i p s o i d a b o u t i t s Z - a x i s .

5 A v a i l a b i l i t y

T h e c o m p l e t e p a c k a g e o f c o d e a n d d a t a f o r t h e s t r u c t u r a l m o d e l i s a v a i l a b l e a t t h e U R L

f t p : / / f i t s . c v . n r a o . e d u / p u b / g b t _ t i p p i n g . t a r . g z

T h i s c o m p r e s s e d \ t a r " l e i s 3 5 5 k i l o b y t e s i n l e n g t h . U s e \ g u n z i p " t o d e c o m p r e s s i t , t h e n \ t a r " t o u n p a c k

i t a n d t h e n d o c o m m a n d \ m a k e " i n t h e d i r e c t o r y . I n a d d i t i o n t o t h e t h r e e p i e c e s o f c o d e l i s t e d i n t h e

a p p e n d i c e s o f t h i s d o c u m e n t , t h e t a r - l e c o n t a i n s a M a k e l e a n d t w o t e s t c a s e s f o r c o m p i l i n g a n d t e s t i n g

t h e c o d e . I t a l s o c o n t a i n s a c o p y o f t h i s G B T m e m o i n P o s t s c r i p t , p l u s a 3 3 0 k i l o b y t e P o s t s c i p t l e w h i c h

p r i n t s a c o n v e n i e n t l i s t i n g o f t h e n o d e c o o r d i n a t e s o f t h e t i p p i n g s t r u c t u r e .

R e f e r e n c e s

K i n 9 4 ] L e e K i n g . G B T c o o r d i n a t e s y s t e m s . L i m i t e d - d i s t r i b u t i o n m e m o , J a n u a r y 1 9 9 4 .

K M 9 3 ] L e e K i n g a n d G r e g M o r r i s . F o c i a r r a n g e m e n t a n d c o o r d i n a t e s y s t e m s f o r t h e G B T . G B T D r a w i n g

C 3 5 1 0 2 M 0 8 1 , N R A O , D e c e m b e r 1 9 9 3 . T h e r s t s h e e t o f t h i s s e t o f v e d r a w i n g s s c h e m a t i c a l l y

d e n e s s i x d i e r e n t c o o r d i n a t e s y s t e m s t o b e u s e d i n t h e G B T p r o j e c t . S h e e t s 2 - 5 d e n e t h e

a l g e b r a i c r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n t h e s e c o o r d i n a t e s y s t e m s .

P a r 9 4 ] D a v i d H . P a r k e r . G B T A c t u a t o r / r e t r o r e e c t o r / p a n e l S p r e a d s h e e t . G B T M e m o 1 1 4 , N a t i o n a l

R a d i o A s t r o n o m y O b s e r v a t o r y , S e p t e m b e r 1 9 9 4 . T h i s m e m o d e s c r i b e s a Q u a t t r o P r o s p r e a d s h e e t

w h i c h h a s b e e n b u i l t f r o m t h e a c t u a t o r a n d p a n e l i n f o r m a t i o n o n d r a w i n g s 1 2 5 2 0 / 2 ( 1 1 / 1 3 / 9 2 ) a n d

1 2 1 0 1 0 / 7 / A ( 1 1 / 1 2 / 9 3 ) .

P a r 9 5 ] D a v i d P a r k e r . F E A m o d e l . L i m i t e d - d i s t r i b u t i o n m e m o . T h i s m e m o d i s c u s s e s d e t a i l s o f t h e

c o o r d i n a t e c o n v e n t i o n s u s e d i n t h e N A S T R A N m o d e l o f t h e t i p p i n g s t r u c t u r e , a n d i n c l u d e s a

n u m e r i c a l e x a m p l e o f r e p r e s e n t i n g a n o d e o f t h e s t r u c t u r e i n t h e g r o u n d - r e f e r e n c e d c o o r d i n a t e

s y s t e m . , J a n u a r y 1 9 9 5 .

A T h e C - f u n c t i o n s

T h e s e f u n c t i o n s a r e i n t w o l e s , g e t _ n o d e _ d a t a . c a n d g e t _ i n d e x . c

A . 1 F u n c t i o n t o r e t r i e v e d a t a f o r n o d e s

T h e t e x t r e p r o d u c e d b e l o w i s t h e l e g e t _ n o d e _ d a t a . c , w h i c h c o n t a i n s t h e A N S I - C c o d e f o r f e t c h i n g

v a l u e s f r o m t h e s t r u c t u r a l m o d e l . N o t e t h a t t h i s m o d u l e d e p e n d s o n i n c l u d e - l e s t r u c t u r a l _ m o d e l . h

( s e e A p p e n d i x B ) a n d t h a t i t a l s o r e f e r e n c e s t h e t a b l e o f n o d e s ( A p p e n d i x C ) i n a m a n n e r w h i c h c a u s e s t h a t

s t r u c t u r e d e n i t i o n t o b e l i n k e d a s a s t a t i c e n t i t y k n o w n t o t h i s f u n c t i o n .


10/16

1 0 P a g e T h e G B T T i p p i n g - S t r u c t u r e M o d e l i n C G B T M e m o 1 2 4

T h e g r a v i t a t i o n a l d e f o r m a t i o n s a s a f u n c t i o n o f e l e v a t i o n a r e c o m p u t e d i n t h e f o r - l o o p n e a r t h e e n d o f

f u n c t i o n g e t _ n o d e _ d a t a ( ) . T h e d i s p l a c e m e n t s n o d e _ i - > a t _ e l e v . d e l t a ] a r e c o m p u t e d a s a w e i g h t e d

s u m o f v a l u e s f r o m t h e m o d e l ; t h i s s u m c a n b e r e p r e s e n t e d a s t h e v e c t o r - m a t r i x p r o d u c t

1 3

2

4

x

( E )

y

( E )

z

( E )

3

5

=

2

4

x z

x y

y z

y y

z z

z y

3

5

s i n E s i n E

r

c o s E c o s E

r

( 1 3 )

w h e r e

x

( E )

y

( E ) a n d

z

( E ) a r e t h e d e f o r m a t i o n s f r o m t h e r i g i d b o d y n o m i n a l c o o r d i n a t e s a t t h e

r i g g i n g a n g l e ,

i j

a r e t h e d e f o r m a t i o n s c o m p u t e d b y N A S T R A N f o r t h e i d i r e c t i o n f o r a g r a v i t y f o r c e i n t h e

j d i r e c t i o n , E i s t h e e l e v a t i o n a n d E

r

i s t h e r i g g i n g a n g l e .

T h e l o g i c i n t h i s f u n c t i o n s u p p o r t s t w o d i e r e n t r i g g i n g a n g l e s , c a l l e d b i r d b a t h ( 6 6

) a n d s u r f _ r i g ( 4 4

)

T h e G B T s t r u c t u r e w i l l b e a s s e m b l e d i n t h e \ b i r d b a t h " o r i e n t a t i o n , w h i c h t h e r e f o r e i s t h e d e f a u l t r i g g i n g

a n g l e , b u t t h e s u r f a c e a n d o p t i c s n o d e s w i l l b e a d j u s t e d t o t h e c o r r e c t c o o r d i n a t e s ( w i t h i n a t o l e r a n c e , o f

c o u r s e ) f o r r i g g i n g a n g l e 4 4

. T h e I D s o f t h e n o d e s w h i c h w i l l b e a d j u s t e d a r e s p e c i e d i n t h e i f - s t a t e m e n t

b e l o w . T h e r e i s a p o s s i b i l i t y t h a t t h e f e e d a r m w i l l b e a s s e m b l e d a t s o m e o t h e r a n g l e , n o t 6 6

; i f t h a t h a p p e n s

w e w i l l i n t r o d u c e t h e t h i r d r i g g i n g a n g l e i n t o t h e l o g i c o f t h i s f u n c t i o n .

/ * F u n c t i o n g e t _ n o d e _ d a t a ( ) f o r m s a w e i g h t e d s u m o f t h e z e n i t h a n d

h o r i z o n c a s e s o f t h e G B T s t r u c t u r a l m o d e l , i n o r d e r t o c o m p u t e t h e

t r a n s l a t i o n a n d r o t a t i o n o f a s p e c i f i e d n o d e f o r a s p e c i f i e d

e l e v a t i o n . T h e c o m p u t a t i o n a c c o u n t s f o r t h e " r i g g i n g a n g l e " ,

i n c l u d i n g t h e f a c t t h a t d i f f e r e n t p a r t s o f t h e G B T w i l l b e b u i l t

w i t h d i f f e r e n t r i g g i n g a n g l e s . T h e n o d e i s s p e c i f i e d a s t h e i n d e x

i n t h e m o d e l t a b l e . S u c h i n d i c i e s c a n b e o b t a i n e d f o r a s p e c i f i e d

n o d e _ i d b y c a l l i n g f u n c t i o n g e t _ i n d e x ( ) .

D o n W e l l s < d w e l l s @ n r a o . e d u > , N R A O - C V , M a r 9 4 - M a r 9 5 . * /


# i n c l u d e < m a t h . h >

i n t g e t _ n o d e _ d a t a ( i n t i , / * t i p p i n g _ m o d e l ] i n d e x t o g e t * /

d o u b l e e l e v , / * e l e v a t i o n ( d e g ) * /

s t r u c t n o d e _ d a t a * n o d e _ i ) / * r e s u l t s r e t u r n e d i n a s t r u c t * /

{

e x t e r n s t r u c t m o d e l _ n o d e G B T _ T I P P I N G ;

s t r u c t m o d e l _ n o d e * t i p p i n g _ m o d e l = & G B T _ T I P P I N G ;

c o n s t d o u b l e

d t r = 0 . 0 1 7 4 5 3 2 9 3 ,

b i r d b a t h = ( 6 6 . 0 * d t r ) , / * b a c k u p s t r u c t u r e r i g g i n g _ a n g l e * /

s u r f _ r i g = ( 4 4 . 0 * d t r ) , / * s u r f a c e a c t u a t o r r i g g i n g _ a n g l e * /

s i n _ b i r d b a t h = s i n ( b i r d b a t h ) ,

c o s _ b i r d b a t h = c o s ( b i r d b a t h ) ,

s i n _ s u r f _ r i g = s i n ( s u r f _ r i g ) ,

c o s _ s u r f _ r i g = c o s ( s u r f _ r i g ) ;

d o u b l e s i n _ e l e v , c o s _ e l e v , s i n _ r i g , c o s _ r i g ;

i n t l , s t a t u s , a b s _ n o d e _ i d ;

s i n _ e l e v = s i n ( e l e v * d t r ) ;

c o s _ e l e v = c o s ( e l e v * d t r ) ;

i f ( ( i > = 0 ) & & ( i < = t i p p i n g _ m o d e l 0 ] . n o d e _ i d ) ) { / * l e g a l i n d e x ? * /

n o d e _ i - > n o d e _ i d = t i p p i n g _ m o d e l i ] . n o d e _ i d ; / * y e s * /

/ * g e t t h e s i n e a n d c o s i n e o f t h e a p p r o p r i a t e r i g g i n g _ a n g l e : * /

1 3

T h i s n o t a t i o n i s a d a p t e d f r o m D a v e P a r k e r ' s m e m o P a r 9 5 ] .


11/16

G B T M e m o 1 2 4 T h e G B T T i p p i n g - S t r u c t u r e M o d e l i n C P a g e 1 1

a b s _ n o d e _ i d = ( n o d e _ i - > n o d e _ i d < 0 )

? - ( n o d e _ i - > n o d e _ i d ) : n o d e _ i - > n o d e _ i d ;

i f ( ( ( a b s _ n o d e _ i d > = 7 0 0 0 0 1 ) & & ( a b s _ n o d e _ i d < = 7 6 8 0 1 2 ) ) / * s u r f a c e * /

| | ( a b s _ n o d e _ i d = = 4 0 7 0 0 ) / * p l u s G r e g o r i a n F e e d n o d e * /

| | ( a b s _ n o d e _ i d = = 5 0 0 0 0 ) / * a n d P r i m e F o c u s f e e d b o x * /

| | ( a b s _ n o d e _ i d = = 5 0 0 0 5 ) ) { / * a n d t h e S u b r e f l e c t o r " v e r t e x " . * /

s i n _ r i g = s i n _ s u r f _ r i g ; / * r i g g i n g f o r s u r f a c e ( a c t u a t o r ) n o d e s * /

c o s _ r i g = c o s _ s u r f _ r i g ; / * p l u s o p t i c s n o d e s * /

} e l s e {

s i n _ r i g = s i n _ b i r d b a t h ; / * r i g g i n g f o r o t h e r n o d e s * /

c o s _ r i g = c o s _ b i r d b a t h ;

}

/ * f o r m t h e w e i g h t e d s u m o f t h e z e n i t h a n d h o r i z o n m o d e l s : * /

f o r ( l = 0 ; l < 3 ; l + + ) {

n o d e _ i - > g r i d l ] = t i p p i n g _ m o d e l i ] . g r i d l ] ;

n o d e _ i - > a t _ e l e v . d e l t a l ] =

( s i n _ e l e v - s i n _ r i g ) * t i p p i n g _ m o d e l i ] . z e n i t h . d e l t a l ]

+ ( c o s _ e l e v - c o s _ r i g ) * t i p p i n g _ m o d e l i ] . h o r i z o n . d e l t a l ] ;

n o d e _ i - > a t _ e l e v . t i l t l ] =

( s i n _ e l e v - s i n _ r i g ) * t i p p i n g _ m o d e l i ] . z e n i t h . t i l t l ]

+ ( c o s _ e l e v - c o s _ r i g ) * t i p p i n g _ m o d e l i ] . h o r i z o n . t i l t l ] ;

s t a t u s = 0 ;

}

} e l s e {

s t a t u s = 1 3 ; / * r e t u r n b a d s t a t u s o n i l l e g a l r e q u e s t e d i n d e x * /

}

r e t u r n ( s t a t u s ) ;

}

A . 2 F u n c t i o n t o s e a r c h f o r i n d i c i e s o f n o d e - I D s

/ * F u n c t i o n g e t _ i n d e x ( ) s e a r c h e s t h e G B T s t r u c t u r a l m o d e l t a b l e t o

f i n d t h e i n d e x ( s u b s c r i p t ) f o r t h e d a t a i n t h e a r r a y o f s t r u c t

t i p p i n g _ m o d e l ] f o r a s p e c i f i e d n o d e _ i d . I t c a c h e s t h e i n d e x i n a

h a s h t a b l e t o s p e e d u p s u b s e q u e n t c a l l s f o r t h e s a m e n o d e _ i d . I n

m a n y p r a c t i c a l c a s e s , w i t h o n l y a f e w r e l e v a n t n o d e s , g e t _ i n d e x ( )

c a n b e e x e c u t e d o n c e f o r e a c h n o d e o f i n t e r e s t , a n d t h e i n d i c i e s

s a v e d a n d u s e d r e p e a t e d l y t o c a l l g e t _ n o d e _ d a t a ( ) f o r v a r i o u s

e l e v a t i o n s . D . W e l l s < d w e l l s @ n r a o . e d u > , N R A O - C V , M a r 9 4 - J a n 9 5 . * /


# i n c l u d e < m a t h . h >

/ * D e f i n e t h e h a s h t a b l e a s a s t a t i c a r r a y . D i m e n s i o n H A S H _ M s h o u l d b e

a p r i m e n u m b e r w h i c h i s a t l e a s t 1 0 p e r c e n t g r e a t e r t h a n t h e n u m b e r

o f n o d e s i n t h e m o d e l , t i p p i n g _ m o d e l 0 ] . n o d e _ i d ( w h i c h i s c u r r e n t l y

5 5 7 7 ) . * /

# d e f i n e H A S H _ M 7 9 9 3

s t a t i c s t r u c t h a s h _ n o d e {

i n t n o d e _ i d ;

i n t m o d e l _ i n d e x ;

} ;

s t a t i c s t r u c t h a s h _ n o d e h a s h _ t a b l e H A S H _ M + 1 ] ;

s t a t i c i n t h a s h _ i n i t = 0 , h a s h _ c o u n t , c h a i n _ c o u n t , m a x _ c h a i n ;


12/16


i n t g e t _ i n d e x ( i n t n o d e _ i d )

{

i n t i , k , k _ s t e p , i n d e x , h a s h _ c h a i n ;

u n s i g n e d i n t u _ n o d e _ i d ;

e x t e r n s t r u c t m o d e l _ n o d e G B T _ T I P P I N G ;

s t r u c t m o d e l _ n o d e * t i p p i n g _ m o d e l = & G B T _ T I P P I N G ;

i f ( h a s h _ i n i t = = 0 ) {

f o r ( i = 0 ; i < = H A S H _ M ; i + + )

h a s h _ t a b l e i ] . n o d e _ i d = h a s h _ t a b l e i ] . m o d e l _ i n d e x = 0 ;

h a s h _ c o u n t = c h a i n _ c o u n t = m a x _ c h a i n = 0 ;

h a s h _ i n i t = 1 ;

}

u _ n o d e _ i d = ( n o d e _ i d < 0 ) ? ( 1 0 0 0 0 0 0 - n o d e _ i d ) : n o d e _ i d ;

k = ( i n t ) h a s h 1 ( u _ n o d e _ i d , H A S H _ M ) ;

k _ s t e p = i n d e x = 0 ;

f o r ( h a s h _ c h a i n = 0 ; ; h a s h _ c h a i n + + ) {

/ * i s t h i s n o d e _ i d i n t h e h a s h t a b l e ? * /

i f ( h a s h _ t a b l e k ] . n o d e _ i d = = n o d e _ i d ) {

/ * f o u n d i t ! r e t u r n v a l u e : * /

i n d e x = h a s h _ t a b l e k ] . m o d e l _ i n d e x ;

b r e a k ;

}

/ * h a s s e a r c h r e a c h e d a n e m p t y n o d e ? * /

i f ( h a s h _ t a b l e k ] . n o d e _ i d = = 0 ) {

/ * t a b l e n o d e i s e m p t y , d o e s t h i s n o d e _ i d e v e n e x i s t ? * /

f o r ( i = 1 ; i < = t i p p i n g _ m o d e l 0 ] . n o d e _ i d ; i + + ) {

i f ( t i p p i n g _ m o d e l i ] . n o d e _ i d = = n o d e _ i d ) {

/ * n o d e _ i d d o e s e x i s t ; i n s t a l l i t i n t h i s t a b l e n o d e : * /

i n d e x = i ;

h a s h _ t a b l e k ] . n o d e _ i d = n o d e _ i d ;

h a s h _ t a b l e k ] . m o d e l _ i n d e x = i n d e x ;

c h a i n _ c o u n t + = h a s h _ c h a i n ;

i f ( h a s h _ c h a i n > m a x _ c h a i n ) m a x _ c h a i n = h a s h _ c h a i n ;

/ * c h e c k w h e t h e r h a s h _ t a b l e i s t o o f u l l : * /

h a s h _ c o u n t + + ;

i f ( h a s h _ c o u n t > ( i n t ) ( 0 . 9 * H A S H _ M ) ) {

p r i n t f ( " h a s h _ c o u n t = % d > n i n e t y p e r c e n t o f % d . A B O R T . \ n " ,

h a s h _ c o u n t , H A S H _ M ) ;

e x i t ( H A S H _ M ) ;

}

b r e a k ;

}

}

/ * i f n o d e _ i d d o e s n ' t e x i s t , w i l l r e t u r n z e r o * /

b r e a k ;

} e l s e {

/ * s t e p a r o u n d h a s h t a b l e : * /

i f ( k _ s t e p = = 0 ) k _ s t e p = ( i n t ) h a s h 2 ( u _ n o d e _ i d , H A S H _ M ) ;

k = ( k + k _ s t e p ) % H A S H _ M ;

}

}

r e t u r n ( i n d e x ) ;

}

/ * T h e f i r s t h a s h f u n c t i o n h e r e i s u s e d f o r i n i t i a l p r o b e s i n t o t h e

h a s h t a b l e . T h e o r i g i n a l v e r s i o n o f t h i s f u n c t i o n w a s b a s e d o n

f u n c t i o n h a s h ( ) o n p . 2 3 3 o f S e d g e w i c k , " A l g o r i t h m s i n C "


13/16


( A d d i s o n - W e s l e y 1 9 9 0 , I S B N = 0 - 2 0 1 - 5 1 4 2 5 - 7 , L O C = Q A 7 6 . 7 3 . C 1 5 S 4 3 ) . T h e

c u r r e n t v e r s i o n i s a D o n W e l l s i d e a ( m u l t i p l y e a c h b y t e b y a

d i f f e r e n t p r i m e n u m b e r ) . * /

u n s i g n e d i n t h a s h 1 ( u n s i g n e d i n t k , / * i n p u t k e y v a l u e t o b e h a s h e d * /

u n s i g n e d i n t m ) / * h a s h t a b l e s i z e * /

{

/ * i n t i ; * /

u n s i g n e d i n t h ;

u n i o n {

u n s i g n e d i n t k p ;

c h a r k c 4 ] ;

} u ;

/ * c o n s t i n t m u l t i p l i e r = 6 4 ; * /

u . k p = k ; / * k c ] n o w c o n t a i n s 4 b y t e s o f i n p u t k * /

/ * h = 0 ; - - - t h e a l g o r i t h m f r o m S e d g e w i c k * /

/ * f o r ( i = 0 ; i < 4 ; i + + ) * /

/ * h = ( m u l t i p l i e r * k + u . k c i ] ) % m ; * /

h = ( u . k c 0 ] * 7 1

+ u . k c 1 ] * 1 1 3

+ u . k c 2 ] * 1 7 3

+ u . k c 3 ] * 2 2 9 ) % m ;

r e t u r n ( h ) ;

}

/ * T h e s e c o n d h a s h f u n c t i o n i s u s e d t o c a l c u l a t e t h e s t e p s i z e f o r

l i n e a r p r o b i n g w h e n w e h a v e c o l l i s i o n s i n t h e h a s h t a b l e , i . e . i t

i s u s e d f o r " d o u b l e h a s h i n g " . O r i g i n a l l y t h i s w a s t h e f i r s t h 2 ( )

f u n c t i o n o n p . 2 4 0 o f S e d g e w i c k , b u t n o w i t i s l i k e h a s h 1 ( ) , b u t

w i t h d i f f e r e n t p r i m e s i n t h e f o r m u l a . * /

u n s i g n e d i n t h a s h 2 ( u n s i g n e d i n t k , / * i n p u t k e y t o b e h a s h e d * /


{

u n s i g n e d i n t h ;

u n i o n {

u n s i g n e d i n t k p ;

c h a r k c 4 ] ;

} u ;

u . k p = k ; / * k c ] n o w c o n t a i n s 4 b y t e s o f i n p u t k * /

/ * h = ( m - 2 ) - k % ( m - 2 ) ; - - - t h e o r i g i n a l S e d g e w i c k c o d e * /

h = ( u . k c 0 ] * 7 3

+ u . k c 1 ] * 1 2 7

+ u . k c 2 ] * 1 7 9

+ u . k c 3 ] * 2 3 3 ) % m ;

r e t u r n ( h ) ;

}

/ * F u n c t i o n g e t _ h a s h _ c h a i n ( ) i s u s e d t o r e t r i e v e i n t e r n a l s t a t i s t i c s

m a i n t a i n e d i n s t a t i c m e m o r y b y t h e h a s h - t a b l e - b u i l d i n g a l g o r i t h m o f


14/16


g e t _ i n d e x ( ) . * /

v o i d g e t _ h a s h _ c h a i n ( i n t * h a s h _ s i z e , / * s i z e o f h a s h t a b l e * /

i n t * h a s h _ t o t a l , / * n u m b e r o f e n t r i e s * /

i n t * c h a i n _ t o t a l , / * n u m b e r o f l i n e a r s e a r c h s t e p s * /

i n t * c h a i n _ m a x , / * l o n g e s t l i n e a r s e a r c h * /

d o u b l e * c h a i n _ a v g ) / * a v e r a g e l i n e a r s e a r c h * /

{

* h a s h _ s i z e = H A S H _ M ;

* h a s h _ t o t a l = h a s h _ c o u n t ;

* c h a i n _ t o t a l = c h a i n _ c o u n t ;

* c h a i n _ m a x = m a x _ c h a i n ;

* c h a i n _ a v g = ( ( d o u b l e ) c h a i n _ c o u n t / ( d o u b l e ) h a s h _ c o u n t ) ;

}

B T h e \ i n c l u d e " l e

T h e t e x t r e p r o d u c e d b e l o w i s t h e l e s t r u c t u r a l _ m o d e l . h , w h i c h c o n t a i n s d e n i t i o n s f o r t h e d a t a s t r u c t u r e s ,

p l u s t h e A N S I - C p r o t o t y p e s f o r t h e f u n c t i o n s .

/ * T h e i n c l u d e f o r t h e G B T s t r u c t u r a l m o d e l f u n c t i o n s a n d d a t a t a b l e .

N o t e u s e o f ' f l o a t ' r a t h e r t h a n ' d o u b l e ' i n t h e s e d e c l a r a t i o n s i n

o r d e r t o s a v e s p a c e .

D o n W e l l s , N R A O - C V , 3 / 1 8 / 9 4 , 5 / 1 9 , 1 2 / 1 6 , 1 / 2 6 / 9 5 . * /

s t r u c t d i s p l a c e m e n t {

f l o a t d e l t a 3 ] ; / * d i s p l a c e m e n t s i n X Y Z ( i n c h e s ) * /

f l o a t t i l t 3 ] ; / * r o t a t i o n s a b o u t X Y Z ( r a d i a n s ) * /

} ;

s t r u c t n o d e _ d a t a { / * s t r u c t r e t u r n e d b y g e t _ n o d e _ d a t a ( ) * /

i n t n o d e _ i d ; / * n o d e _ i d r e t u r n e d b y g e t _ n o d e _ d a t a ( ) * /

d o u b l e e l e v a t i o n ; / * e l e v a t i o n f o r n o d e _ d a t a ( d e g r e e s ) * /

f l o a t g r i d 3 ] ; / * u n d i s p l a c e d X Y Z o f n o d e _ i d ( i n c h e s ) * /

s t r u c t d i s p l a c e m e n t a t _ e l e v ; / * d i s p l a c e m e n t & t i l t a t e l e v a t i o n * /

} ;

s t r u c t m o d e l _ n o d e { / * t h e m o d e l i s a n a r r a y o f t h i s s t r u c t * /

i n t n o d e _ i d ; / * n o d e i d c o d e * /

f l o a t g r i d 3 ] ; / * X Y Z o f u n d i s p l a c e d n o d e ( i n c h e s ) * /

s t r u c t d i s p l a c e m e n t z e n i t h ;

s t r u c t d i s p l a c e m e n t h o r i z o n ;

} ;

# d e f i n e G B T _ T I P P I N G s t a t i c _ g b t _ t i p p i n g

/ * - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - f u n c t i o n p r o t o t y p e s : - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - * /

i n t g e t _ n o d e _ d a t a ( i n t i , / * t i p p i n g _ m o d e l ] i n d e x t o g e t * /

d o u b l e e l e v , / * e l e v a t i o n ( d e g ) * /

s t r u c t n o d e _ d a t a * n o d e _ i ) / * r e s u l t s r e t u r n e d i n a s t r u c t * /

;

i n t g e t _ i n d e x ( i n t n o d e _ i d )

;

u n s i g n e d i n t h a s h 1 ( u n s i g n e d i n t k , / * i n p u t k e y v a l u e t o b e h a s h e d * /



15/16


;

u n s i g n e d i n t h a s h 2 ( u n s i g n e d i n t k , / * i n p u t k e y t o b e h a s h e d * /


;

v o i d g e t _ h a s h _ c h a i n ( i n t * h a s h _ s i z e , / * s i z e o f h a s h t a b l e * /

i n t * h a s h _ t o t a l , / * n u m b e r o f e n t r i e s * /

i n t * c h a i n _ t o t a l , / * n u m b e r o f l i n e a r s e a r c h s t e p s * /

i n t * c h a i n _ m a x , / * l o n g e s t l i n e a r s e a r c h * /

d o u b l e * c h a i n _ a v g ) / * a v e r a g e l i n e a r s e a r c h * /

;

C T h e t a b l e o f n o d e s

I n t h i s s e c t i o n , w e r e p r o d u c e t h e d a t a f o r s e l e c t e d n o d e s f r o m t h e l e g b t _ t i p p i n g . c , w h o s e 1 . 1 m e g a b y t e s

o f t e x t c o n t a i n s t h e s t r u c t u r a l m o d e l i n f o r m a t i o n f o r t h e 5 7 4 4 n o d e s o f t h e t i p p i n g s t r u c t u r e . R e a d e r s w i l l

n o t i c e t h a t t h e i n f o r m a t i o n f o r t h e l e f t - h a l f n o d e s ( w i t h n e g a t i v e n o d e - I D s ) h a s b e e n c o m p u t e d f r o m t h e

r i g h t - h a l f n o d e s , a n d t h e y m a y w o n d e r w h y m e m o r y s p a c e i s b e i n g u s e d f o r r e d u n d a n t n u m b e r s . T h e r e a s o n

i s t h a t w e w i l l e v e n t u a l l y s u b s t i t u t e a n a s s y m e t r i c m o d e l f o r t h i s s y m m e t r i c o n e ( s e e S e c t . 4 ) , a n d w e p r e f e r

n o t t o h a v e t o r e v i s e t h e s o f t w a r e a t t h a t t i m e . S e v e r a l o f t h e n o d e s i n t h e t a b l e h a v e s p e c i a l s i g n i c a n c e :

N o d e - I D S i g n i c a n c e

4 0 7 0 0 G r e g o r i a n F e e d

5 0 0 0 0 P r i m e F o c u s B o x

5 0 0 0 5 S u b r e e c t o r V e r t e x

1 4

7 0 0 0 0 1 r s t a c t u a t o r

7 6 8 0 1 2 l a s t a c t u a t o r

T w o o f t h e s e v e n o d e s h a v e a s p e c i a l p r o p e r t y : t h e E u c l i d e a n d i s t a n c e b e t w e e n n o d e s 4 0 7 0 0 a n d 5 0 0 0 0 i s

4 3 3 . 0 8 i n c h e s , w h i c h i s e x a c t l y 1 1 . 0 0 0 m e t e r s ( t h e d e s i g n f o c a l l e n g t h o f t h e e l l i p s o i d a l s u b r e e c t o r ) .

T h e c o m p i l e d c o d e f o r t h i s t a b l e i s a b o u t 3 6 8 k i l o b y t e s ; t h i s i s a l s o t h e a m o u n t o f m e m o r y w h i c h i s n e e d e d

f o r t h e t a b l e a t e x e c u t i o n t i m e . ( E a c h n o d e i s r e p r e s e n t e d a s 1 6 4 - b y t e o b j e c t s , t h e r e f o r e 5 7 4 4 n o d e s

w i l l n e e d 3 6 7 6 1 6 b y t e s . ) T h e r e a d e r w i l l s e e t h a t e a c h n o d e i s r e p r e s e n t e d i n t h i s t a b l e b y t h r e e l i n e s o f

t e x t . T h e s i x t e e n n u m b e r s a p p e a r i n g i n t h e t h r e e l i n e s a r e g r o u p e d b y n e s t e d b r a c k e t s . T h e s e g r o u p i n g s

c o r r e s p o n d t o t h e e l e m e n t s o f C - s t r u c t s m o d e l _ n o d e ( w h i c h u s e s s t r u c t d i s p l a c e m e n t ) , a s d e n e d i n l e

s t r u c t u r a l _ m o d e l . h ( A p p e n d i x B ) . D i s t a n c e s a r e i n i n c h e s , a n g l e s i n r a d i a n s . T h e r o t a t i o n c o n v e n t i o n f o r

t h e a n g l e s i s \ r i g h t - h a n d - r u l e " : i f t h e t h u m b o f t h e r i g h t h a n d p o i n t s i n t h e p l u s - X d i r e c t i o n , t h e n g e r s c u r l

i n t h e p l u s - r o t a t i o n s e n s e o f t h e r s t r o t a t i o n n u m b e r ( r o t a t i o n a b o u t t h e X - a x i s ) .


c h a r G B T _ T I P P I N G _ T E X T ] =

" M O D 9 5 . D A T G R A V I T Y L O A D S ( Z E N / H O R ) O C T O B E R 2 8 , 1 9 9 3 M S C / N A S T R A N 4 / 1 5 / 9 3 " ;

/ * - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - * /

/ * 0 0 1 0 D A T A 2 / L K I N G / M O D E L 9 5 D I R E C T O R Y * /

/ * 0 0 1 2 S O R T E D B U L K D A T A E C H O * /

/ * 3 4 4 4 Z E N I T H G R A V I T Y ( - 1 Z G R A V I T Y : 3 8 6 . 0 0 I N / S E C ^ 2 ) S U B C A S E 1 * /

/ * 6 9 3 1 H O R I Z O N G R A V I T Y ( + 1 Y G R A V I T Y : 3 8 6 . 0 0 I N / S E C ^ 2 ) S U B C A S E 3 * /

/ * - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - * /

1 4

T h i s n o d e , w h i c h i s r e f e r r e d t o a s t h e \ v e r t e x " o f t h e s u b r e e c t o r , i s a s s o c i a t e d w i t h t h e c e n t e r o f t h e o - a x i s s u b r e e c t o r ,

n o t w i t h t h e t r u e v e r t e x o f t h e f u l l e l l i p s o i d .


16/16


s t r u c t m o d e l _ n o d e G B T _ T I P P I N G ] = {

{ 5 7 4 4 , / * n u m b e r o f n o d e s * /

{ 0 . 0 , 0 . 0 , 0 . 0 } , { { 0 . 0 , 0 . 0 , 0 . 0 } , { 0 . 0 , 0 . 0 , 0 . 0 } } , { { 0 . 0 , 0 . 0 , 0 . 0 } , { 0 . 0 , 0 . 0 , 0 . 0 } } } ,

{ 1 0 0 0 , { 0 . 0 0 , 0 . 0 0 , 1 9 0 0 . 0 0 } ,

{ { 0 . 0 0 0 0 , 0 . 0 3 8 7 , - 0 . 7 5 7 3 } , { 0 . 0 0 0 2 1 , 0 . 0 0 0 0 0 , 0 . 0 0 0 0 0 } } ,

{ { 0 . 0 0 0 0 , 0 . 6 5 8 3 , - 0 . 0 5 6 1 } , { - 0 . 0 0 0 6 0 , 0 . 0 0 0 0 0 , 0 . 0 0 0 0 0 } } } ,

{ 1 2 0 0 , { 4 6 3 . 8 9 , 0 . 0 0 , 1 9 0 0 . 0 0 } ,

{ { - 0 . 1 4 9 8 , - 0 . 0 7 9 3 , - 0 . 5 6 3 5 } , { 0 . 0 0 0 3 5 , - 0 . 0 0 0 3 3 , - 0 . 0 0 0 1 3 } } ,

{ { - 0 . 0 4 1 7 , 0 . 6 1 6 2 , 0 . 0 2 6 1 } , { - 0 . 0 0 0 8 1 , - 0 . 0 0 0 2 0 , 0 . 0 0 0 0 3 } } } ,

{ - 1 2 0 0 , { - 4 6 3 . 8 9 , 0 . 0 0 , 1 9 0 0 . 0 0 } ,

{ { 0 . 1 4 9 8 , - 0 . 0 7 9 3 , - 0 . 5 6 3 5 } , { 0 . 0 0 0 3 5 , 0 . 0 0 0 3 3 , 0 . 0 0 0 1 3 } } ,

{ { 0 . 0 4 1 7 , 0 . 6 1 6 2 , 0 . 0 2 6 1 } , { - 0 . 0 0 0 8 1 , 0 . 0 0 0 2 0 , - 0 . 0 0 0 0 3 } } } ,

{ 4 0 7 0 0 , { 0 . 0 0 , - 2 2 0 1 . 0 6 , 4 0 2 8 . 0 3 } ,

{ { 0 . 0 0 0 0 , - 3 . 7 8 8 8 , - 3 . 3 6 7 9 } , { 0 . 0 0 1 4 8 , 0 . 0 0 0 0 0 , 0 . 0 0 0 0 0 } } ,

{ { 0 . 0 0 0 0 , 7 . 8 6 1 8 , 0 . 6 2 7 0 } , { - 0 . 0 0 3 9 9 , 0 . 0 0 0 0 0 , 0 . 0 0 0 0 0 } } } ,

{ 5 0 0 0 0 , { 0 . 0 0 , - 2 1 5 9 . 0 2 , 4 4 5 9 . 0 6 } ,

{ { 0 . 0 0 0 0 , - 4 . 4 9 1 4 , - 3 . 4 5 7 0 } , { 0 . 0 0 0 3 7 , 0 . 0 0 0 0 0 , 0 . 0 0 0 0 0 } } ,

{ { 0 . 0 0 0 0 , 9 . 7 8 0 3 , 0 . 3 8 2 1 } , { - 0 . 0 0 3 3 2 , 0 . 0 0 0 0 0 , 0 . 0 0 0 0 0 } } } ,

{ 5 0 0 0 5 , { 0 . 0 0 , - 2 3 2 7 . 9 6 , 4 6 0 8 . 7 1 } ,

{ { 0 . 0 0 0 0 , - 4 . 6 9 2 3 , - 3 . 8 2 8 0 } , { 0 . 0 0 0 6 5 , 0 . 0 0 0 0 0 , 0 . 0 0 0 0 0 } } ,

{ { 0 . 0 0 0 0 , 1 0 . 4 4 5 7 , 0 . 9 4 1 6 } , { - 0 . 0 0 4 5 4 , 0 . 0 0 0 0 0 , 0 . 0 0 0 0 0 } } } ,

{ 7 0 0 0 0 1 , { 0 . 0 0 , - 2 0 0 2 . 1 7 , 2 0 9 9 . 4 5 } ,

{ { 0 . 0 0 0 0 , - 0 . 0 0 5 8 , - 1 . 3 3 0 8 } , { 0 . 0 0 0 1 4 , 0 . 0 0 0 0 0 , 0 . 0 0 0 0 0 } } ,

{ { 0 . 0 0 0 0 , 0 . 8 3 4 6 , 0 . 9 2 1 0 } , { - 0 . 0 0 0 8 5 , 0 . 0 0 0 0 0 , 0 . 0 0 0 0 0 } } } ,

{ { 0 . 0 3 9 6 , 0 . 8 8 2 5 , 0 . 8 1 9 2 } , { - 0 . 0 0 1 0 9 , 0 . 0 0 0 0 9 , - 0 . 0 0 0 0 8 } } } ,

{ 7 6 8 0 1 1 , { 1 0 7 3 . 1 3 , - 1 7 4 3 . 4 0 , 2 2 3 1 . 3 1 } ,

{ { 0 . 0 6 1 5 , - 0 . 0 3 2 7 , - 1 . 2 5 9 2 } , { 0 . 0 0 0 8 8 , 0 . 0 0 0 1 8 , - 0 . 0 0 0 2 8 } } ,

{ { - 0 . 0 2 0 7 , 0 . 8 4 5 8 , 0 . 8 1 6 3 } , { - 0 . 0 0 1 1 5 , - 0 . 0 0 0 3 5 , 0 . 0 0 0 6 1 } } } ,

{ - 7 6 8 0 1 1 , { - 1 0 7 3 . 1 3 , - 1 7 4 3 . 4 0 , 2 2 3 1 . 3 1 } ,

{ { - 0 . 0 6 1 5 , - 0 . 0 3 2 7 , - 1 . 2 5 9 2 } , { 0 . 0 0 0 8 8 , - 0 . 0 0 0 1 8 , 0 . 0 0 0 2 8 } } ,

{ { 0 . 0 2 0 7 , 0 . 8 4 5 8 , 0 . 8 1 6 3 } , { - 0 . 0 0 1 1 5 , 0 . 0 0 0 3 5 , - 0 . 0 0 0 6 1 } } } ,

{ 7 6 8 0 1 2 , { 1 1 6 2 . 5 0 , - 1 7 0 7 . 2 9 , 2 2 5 6 . 9 4 } ,

{ { 0 . 0 5 4 9 , - 0 . 0 1 1 6 , - 1 . 2 6 6 0 } , { 0 . 0 0 0 9 4 , 0 . 0 0 0 0 6 , 0 . 0 0 0 0 6 } } ,

{ { - 0 . 0 3 1 3 , 0 . 8 5 0 8 , 0 . 8 0 9 5 } , { - 0 . 0 0 0 8 7 , - 0 . 0 0 0 1 0 , - 0 . 0 0 0 0 6 } } } ,

{ - 7 6 8 0 1 2 , { - 1 1 6 2 . 5 0 , - 1 7 0 7 . 2 9 , 2 2 5 6 . 9 4 } ,

{ { - 0 . 0 5 4 9 , - 0 . 0 1 1 6 , - 1 . 2 6 6 0 } , { 0 . 0 0 0 9 4 , - 0 . 0 0 0 0 6 , - 0 . 0 0 0 0 6 } } ,

{ { 0 . 0 3 1 3 , 0 . 8 5 0 8 , 0 . 8 0 9 5 } , { - 0 . 0 0 0 8 7 , 0 . 0 0 0 1 0 , 0 . 0 0 0 0 6 } } } } ;

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