Tipi di polso robotico – 2 gdl - Home@Ladispe · La cinematica riguarda lo studio delle 4...

Basilio Bona – DAUIN – Politecnico di TorinoAA 2006/07 005/1

RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

Tipi di polso robotico – 2 gdl

I polsi possono avere 2 o 3 giunti = 2 o 3 gdlI polsi sono tutti R, ma con caratteristiche

diversePer alcuni compiti bastano polsi 2R come

illustrato


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

Per altri compiti sono necessari polsi 3R

Tipi di polso robotico – 3 gdl

Codice coloriR asse xG asse yB asse z


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

Cinematica dei Polsi

Polso “euleriano” 3R

Polso “roll-pitch-yaw” 3R


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

Condizione di singolarità

Allineamento degli assi

Cinematica dei Polsi


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

Spazio di lavoro o “operativo”


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

Un robot reale è mosso dai giunti


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

Motoriduttori

Motodiruttore epicicloidale Harmonic drive

Sugli assi dei motori sono collegati dei motoriduttori che hanno lo scopo di abbassare la velocità e aumentare la coppia motrice


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

Cinematica

La cinematica riguarda lo studio delle 4 funzioni che legano le variabili “giunto” con le variabili “cartesiane”

Cinematica diretta di posizioneCinematica inversa di posizioneCinematica diretta di velocitàCinematica inversa di velocità

Posizione e velocità di cosa?

Di solito del riferimento solidale con la punta operativa


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

Cinematica

P

y

xα

βCinematica diretta

Cinematica inversa

x

y

αβ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⇐⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

x

y

αβ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⇐⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Facile !

Difficile !


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

Il robot come sistema multi-corpo

BASE

PINZA

PR

0R?

Ogni corpo rigido è caratterizzato da 6 parametri,3 di posizione e 3 di assetto

qual’è la relazione tra questi due sistemi di riferimento?


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

iR

= ×k i j

j

i

colori assi = convenzione RGB

Il riferimento DEVE essere destrorsoregola della mano destra o del cavatappi

Riferimento cartesiano


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

Corpo rigidoUn corpo rigido è descrivibile

quando è noto il riferimento solidale ad esso e la sua relazione con un riferimento “assoluto”

o “inerziale” (convenzionalmente “fisso”)


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

Trasformazioni rigide

RotazioneTraslazioneRoto-traslazione Riflessione (impossibile effettuarla con oggetti fisici)

Le trasformazioni hanno un significato geometrico e fisico, oltre che una rappresentazione matematica

A noi interessano entrambi, perché ci aiutano a scrivere i modelli dinamici dei robot


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

Rotazioni (1)La rotazione può avvenire sia intorno a un asse passante

per l’origine del riferimento localeoppure

per l’origine del riferimento “fisso”;

Perciò occorre definire l’angolo di rotazione, ma anche dire se la rotazione avviene rispetto al riferimento fisso o a quello locale

asse Locale/Mobileasse Fisso


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

Rotazioni (2)

• La rotazione è rappresentata da una matrice 3 x 3• La matrice ha determinante +1 ed è ortonormale, ossia

T T

T1−

= =

=

RR R R I

R R

• Ogni riga e ogni colonna hanno norma unitaria• Di una matrice dovete saper calcolare

1. Il determinante2. La traccia3. La trasposta4. L’inversa5. La norma6. E anche gli autovalori

• Di un vettore dovete saper calcolare la norma


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

Riferimenti e rotazioni (1)

Un riferimento rispetto ad un altro si definisce attraverso una matrice di rotazione

ARBR

rappresenta inABR BR AR

rappresenta inBAR AR BR

( )B AA B=R R

T


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY


AA =R I

1 2 3

1 0 0 1 0 0

1 0 1 1 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1

1 1 1 1 1 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜= + + =⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= + + = + +

I

e e e i j k

AB

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

R

ABi A

Bj A

Bk

ABi è il versore dell’asse x di B

rappresentato in AABj è il versore dell’asse y di

B rappresentato in AABk è il versore dell’asse z di B

rappresentato in A


RO

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TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY


( )A A A AB B B B=R i j k

ARBR


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY


Una matrice di rotazione rappresenta tre concetti:

La rotazione fisica per “portare” il riferimento Aal riferimento B (e quindi il corpo rigido A al corpo rigido B )

La rappresentazione dei versori del riferimento B nel riferimento A

Un operatore di trasformazione tra vettori


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

Rotazioni = trasformazioni (1)

Caso A: due riferimenti con origine coincidente

v

( )

AA B B

B B AB A A A B

=

= =

v R v

v R v R RT

ARBR


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY


Caso B: due riferimenti non coincidenti

v

Risposta: occorre distinguere1. Il vettore rappresenta un segmento orientato?2. Il vettore rappresenta un punto geometrico?


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY


Se il vettore rappresenta un segmento orientato, come velocità lineari o angolari, forze, momenti, accelerazioni, campi…

vP

1 2 3

1 1 2 2 3 3

x y zv v v

v v v

v v v

= + +

= + +

= + +

v i j k

i j k

e e e

Q

Modi diversi per dire la stessa cosa


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY


Il vettore rappresenta un punto geometrico

vP

1 2 3

1 1 2 2 3 3

x y zv v v

v v v

v v v

= + +

= + +

= + +

v i j k

i j k

e e e

stessa rappresentazione di prima


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY


Se rappresenta un segmento orientato, si ha semplicemente

Se rappresenta un punto geometrico

Questa è la traslazione tra le origini dei sistemi di riferimento (da A a B)

Se i sistemi di riferimento coincidono


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

Rotazioni elementari

,

1 0 0

0 cos sin

0 sin cosα α α

α α

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

iR

,

cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos

β

β β

β β

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜− ⎟⎜⎝ ⎠

jR

,

cos sin 0

sin cos 0

0 0 1γ

γ γ

γ γ

⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

kR


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

Composizione di Rotazioni (1)

Se componiamo più rotazioni, come si fa?si moltiplicano tra loro le matrici di rotazione

ma poiché il prodotto di matrici non ècommutativo, quale si mette prima e quale dopo?

1 2 2 1 ?RR RRoppure

regola: Pre-Fisso; Post-Mobileche vuol dire?


RO

BO

TIC

A –

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CFI

DV

02

CFI

CY


rotazione intorno ad asse fisso

rotazione intorno a asse mobile

rotazione intorno ad asse fisso


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY


dall’alto si capisce meglio

rotazione asse “mobile” rotazione asse “fisso”

uno viene detto “fisso” l’altro “mobile”è solo una questione di termini relativi

FISSO MOBILE

il risultato finale non è lo stesso

all’inizio i due riferimenti stanno in

questa posizione reciproca


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY


rotazione asse “mobile” rotazione asse “fisso”

cosa succederebbe se cambiassimo le definizioni di fisso e mobile?

FISSOMOBILE


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

Traslazioni

1 2 3

0 0

0 ; ; 0 ;

0 0

x x

y y

z z

d d

d d

d d

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

t t t t

1t

2t3

t


RO

BO

TIC

A –

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CFI

DV

02

CFI

CY

Traslazioni = trasformazioni (1)

Il vettore rappresenta un punto geometrico

vP

At B= +v v t

L’operatore è una somma vettoriale

tv

ARBR


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

Traslazioni = trasformazioni (2)

vP Q

Se il vettore rappresenta un segmento orientato, come velocità lineari o angolari, forze, momenti, accelerazioni, campi…

vP Q

La traslazione non cambia la rappresentazione del segmento orientato

( ) ( )A Q P

A AB Q B P B Q P

= −

= + − + = −

v v v

v v t v t v v

AR

BR


RO

BO

TIC

A –

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CFI

DV

02

CFI

CY

Rototraslazione (1)

Per unificare gli operatori di rotazione (prodotto per matrice) e di traslazione (somma di vettore), si introducono i vettori omogenei

I vettori omogenei sono delle rappresentazioni “proiettive” 4 x 1 dei vettori tradizionali 3 x 1

11

22

3 43

i ii

wvv

wv v wvv v

wv v wv

w

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ⇒ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

v v

Fattore di scala o di omogeneizzazione

Ciò permette di scrivere

Ossia come un unico prodotto matrice x vettore

1 1

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥′⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

R t vRv t

0

Matrice omogenea di rototraslazione


RO

BO

TIC

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01

CFI

DV

02

CFI

CY

Rototraslazione (2)

( , )1

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜= = ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

R tT T R t

0 T

1

cos cos sin sin sin cos

sin cos cos sin cos sin

0 sin cos

0 0 0 1

i i i i i i i

i i i i i i iii

i i i

a

a

d

θ α θ α θ θ

θ α θ α θ θ

α α−

⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

T

Struttura fissa

ESEMPIO


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

Rappresentazione omogenea (1)


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY


( , )1 1 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜= = =⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

R t I t R 0T T R t

0 0 0T T T

Traslazione

Rotazione

L’operatore di rototraslazione può essere interpretato come una traslazione seguita da una rotazione rispetto agli assi mobili (post-mobile)

Oppure come una rotazione seguita da una traslazione rispetto agli assi fissi (pre-fisso)


RO

BO

TIC

A –

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CFI

DV

02

CFI

CY


t Traslazione + rotazione “mobile”

Rotazione + traslazione “fisso”

ESEMPIO


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

Rappresentazione omogenea (4)ESEMPIO

Abbiamo invertitol’ordine


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

Angoli di Eulero (1)

Fisso Mobile Mobile


RO

BO

TIC

A –

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CFI

DV

02

CFI

CY


θ

φψ


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY



RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY


, ,φ θ ψ


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY



RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY


c c s c s c s s c c s s

s c c c s s s c c c c s

s s c s c

φ ψ φ θ ψ φ ψ φ θ ψ φ θ

φ ψ φ θ ψ φ ψ φ θ ψ φ θ

ψ θ ψ θ θ

⎛ ⎞− − − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

Partiamo dalla matrice simbolica

Osserviamo che se 1 0cθ θ= ⇒ =

( ) 00

0 0 1

c c s s c s s c

s c c s c c s sφ ψ φ ψ φ ψ φ ψ

φ ψ φ ψ φ ψ φ ψ

ψ ψ

⎛ ⎞− − + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ + − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

cos( )φ ψ+

sin( )φ ψ+

3 angoli

1 angolo


RO

BO

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CFI

DV

02

CFI

CY

Angoli RPY (1)

Fisso Fisso Fisso


RO

BO

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01

CFI

DV

02

CFI

CY

Angoli RPY (2)


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

Angoli RPY (3)

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