Modelul clasic al traficului telefonic

• Modele cu pierderi au fost utilizate pentru a descrie reteaua telefonica

– Modelul lui Erlang(1878-1929)

• Pe o linie de comunicatie intre 2 abonati

– Traficul consta din apeluri telefonice neintrerupte

Modelul clasic al traficului telefonic

• Modelul lui Erlang: un sistem cu pierderi pur (m=0)

– Clientul = apelul

• λ = rata de sosire a apelurilor

– Timpul de serviciu = timpul de mentinere a apelului (holding time)• h = 1/μ = timpul mediu de mentinerea a apelului (unitati de timp)

– Server-ul = canalul de pe linie• n = numarul de canale de pe linie

Procesul trafic

Intensitatea traficului

• Marimea traficului oferit este data de intensitatea traficului A

• Prin definitie, intensitatea traficului A este produsul intre rata de sosire λ si timpulmediu de mentinerea a apelului h:

- Intensitatea traficului este o cantitate adimensionala. Totusi unitatea ei de masura se considera a fi erlangul (erl);

- Potrivit formulei lui Little: un trafic de un erlang inseamna ca, un canal este ocupat la medie (are o ocupare medie);

• Exemplu:

- Daca exista in medie 1800 de apeluri noi intr-o ora si daca timpul mediude ocupare este de 3 minute, atunci intensitatea traficului este data de:

A h= λ

31800 90

60A erl= =

Alte definitii ale traficului

• Definitia B:– Traficul oferit sau traficul de intrare este numarul mediu de cereri ce se

prezinta in sistem, cu rata de apelare λ , in decursul unui interval de timpegal cu timpul mediu de serviciu 1/μ.

Cum cererile nu pot exista in afara surselor ce le produc, aceeasi definitie se poate reflecta si in formularea:

• Definitia C:– Traficul oferit este numarul mediu de surse simultan ocupate in decursul unui

interval cat durata medie de servire (1/μ), daca rata lor de apelare este λ.

Orice cerere acceptata de sistem are la dispozitie un circuit sau un dispozitiv de prelucrare, pe care il ocupa pe toata durata lui de prezenta in sistem, ceea ceinseamna ca:

• Definitia D:– Traficul scurs (prelucrat) este numarul de resurse simultan ocupate pe

durata timpului mediu de serviciu 1/μ pentru prelucrarea cererilor oferite cu rata λ.

/ sec 1/ secA cereri= λ ⋅ μ

/ sec 1/ secA surse ocupate= λ ⋅ μ

/ sec 1/ secA resurse ocupate= λ ⋅ μ

Definitii CCITT

• Volumul traficului scurs de un fascicul de circuite sau prelucrat de un grup de dispozitive intr-o perioada T oarecare este totalul duratelor de ocupare a circuitelorsau dispozitivelor exprimate in ore.

OBS - Trebuie precizata intotdeauna durata perioadei pe care se apreciaza traficul

- Inseamna ca de fapt traficul este timp deci poate fi exprimat in unitati de timp convenabil alese.

• Intensitatea traficului scurs de un fascicul de circuite sau prelucrat de un grup de dispozitive este egala cu volumul de trafic divizat prin T, exprimat in ore.

Aceasta este o notiune fara dimensiuni, care nu depinde de durata T de observatie.

OBS - Volumul de trafic poate fi apreciat prin observatii practice, executate intr-operioada oarecare de timp.

- Orice resursa nu poate fi ocupat in decursul unei perioade T mai mult decatdurata periodei respective, adica intr-o ora nu se poate scurge decat un traficde cel mult 1E, iar pentru un grup R de resurse, cel mult R erlangi.

Blocarea traficului

• Intr-un sistem cu pierderi unele apeluri sunt pierdute

- un apel este pierdut daca toate cele n canale sunt ocupate in momentul sosiriiapelului;

- termenul blocare se refera la acest tip de eveniment;

• Exista doua tipuri diferite de probabilitati de blocare:

- Probabilitatea de blocare de apel (Call congestion) Bc = probabilitatea ca un apel care soseste sa gaseasca toate cele n canale ocupate = fractiunea de apeluricare sunt pierdute

- Probabilitatea de blocare de timp (Time congestion) Bt = probabilitatea ca toatecele n canale sa fie ocupate la un moment de timp arbitrar = fractiunea de timp in care toate cele n canalele sunt ocupate

• Cele doua marimi nu sunt egale:

- ex: - mobilul propriu

- daca apelurile sosesc dupa un proces Poisson ele sunt egale

• Blocarea de apel este pentru abonati un indicator mult mai bun in ceea ce privestecalitatea serviciului dar probabilitatea de blocare de timp este mai usor de calculat( prin masuratori de trafic ce se efectueaza asupra retelei)

Ratele apelurilor

• Intr-un sistem cu pierderi un apel este fie pierdut fie prelucrat (carried). Astfel, vorbimde 3 tipuri de rate ale apelurilor:

- λoferit = rata de sosire a cererilor de apelurilor

- λprelucrat= rata apelurilor prelucrate

- λpierdut= rata apelurilor pierdute

(1 )

oferit prelucrat pierdut

prelucrat c

pierdut c

B

B

λ = λ + λ = λ

λ = λ −

λ = λ

λofertit λprelucrat

λpierdut

Tipuri de trafic

• Cele 3 rate ale apelurilor conduc la 3 tipuri de trafic:

- Trafic oferit:

- Trafic prelucrat:

- Trafic pierdut:

• Traficul oferit si cel pierdut sunt cantitati ipotetice, dar traficulprelucrat este masurabil intrucat corespunzator formulei lui Little el corespunde numarului mediu de canale ocupate de pe linie.

oferit oferitA h= λ

(1 )

oferit prelucrat pierdut

prelucrat c

pierdut c

A A A A

A A B

A AB

= + =

= −

=

prelucrat prelucratA h= λ

pierdut pierdutA h= λ

λofertit λprelucrat

λpierdut

Notatii Kendal pentru sistemele cu cozi de asteptare

A/B/n/p/kA- se refera la procesul de sosireIpoteza: intervalele de timp intre sosiri sunt variabile iid;Distributii posibile:

– M = exponentiala (fara memorie)– D = determinista– G = generala

B- se refera la timpii de servireIpoteza:timpii de servire sunt variabile iid;Distributii posibile:

– M = exponentiala (fara memorie)– D = determinista– G = generala

n – numarul de servere paralelep - numarul de pozitii in sistem = numar de servere + pozitii de asteptare

A/B/n/p/k

• k – marimea populatiei clientului

• Valori implicite sunt de obicei omise:

• Exemple:

•

•

• Modelul Poisson

• Modelul Erlang

• Modelul Binomial

• Modelul Engset (n < k)

/ /1M M / /1M D

,p k= ∞ = ∞

,p k= ∞ = ∞

/ /1G G/ /1M G

/ /M M n / / /M M n n m+

/ /M M ∞

/ / /M M n n

/ / / /M M k k k

/ / / /M M n n k

Analiza traficului

• Capacitatea sistemului

- n = numarul de canale de pe linie

• Incarcarea cu trafic

- A = Intesitatea traficului oferit

• Calitatea serviciului (din punctul de vedere al abonatilor)

- Bc = call blocking= probabilitatea ca un apel care soseste sa gaseasca toate cele n canale ocupate

• Fie un sistem cu piederi M/G/n/n:

- apelurile sosesc potrivit unui proces Poisson ( cu rata λ)

- timpii de prelucrare sunt variabile iid (independent identicaly distributed)

corespunzatoare unei distributii oarecare de medie h

Analiza traficului

• Relatia cantitativa intre cei trei factori este data de Formula lui Erlang:

• Numita deasemenea:

- Formula Erlang B

- Formula de blocare Erlang

- Formula de pierderi Erlang

- Prima formula a lui Erlang

1

!( , ) :

!

! ( 1) 2 1, 0! 1

n

c in

i

AnB Erl n AAi

n n n

=

= =

= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ =

∑

…

Exemple

• Sa presupunem ca sunt n = 4 canale pe o linie si traficul oferit este A = 2 erl. Probabilitatea de blocare este data in acest caz de:

Daca capacitatea linie este crescuta la n = 6, atunci Bc se reduce conform:

4

2 3 4

224!(4,2) 9.5%212 2 2

1 22! 3! 4!

cB Erl= = = ≈

+ + + +

6

2 3 4 5 6

26!(6,2) 1.2%

2 2 2 2 21 2

2! 3! 4! 5! 6!

cB Erl= = ≈

+ + + + + +

Capacitate versus trafic

• Fiind data cerinta: Bc < 1%, impusa de calitatea serviciului, numarul de resursenecesare depind de intensitatea traficului dupa cum urmeaza:

( ) min{ 1,2, ( , ) 0,01}n A i Erl i a= = <…

Calitatea serviciului versus trafic

• Fiind data capacitatea n = 20 canale, calitatea impusa serviciului: 1 – Bc depinde de intensitatea traficului dupa cum urmeaza:

1 ( ) 1 (20, )cB A Erl A− = −

Calitatea serviciului versus capacitatea

• Fiind data intensitatea traficului de 15 erl, calitatea impusa serviciului 1- Bcdepinde de capacitatea n dupa cum urmeaza:

1 ( ) 1 ( ,15)cB n Erl n− = −

Modelul de trafic la nivelul pachetelor de date

• Modelul cu cozi de asteptare este potrivit pentru a descrie traficul de date la nivelulde pachete

- primele incercari au fost facut in anii 60, 70 in legatura cu reteaua ARPA si cele maisemnificative apartin lui L. Kleinrock

• Fie legatura intre doua rutere de pachete

- traficul consta din pachete de date transmise de-a lungul liniei

Modelul de trafic la nivelul pachetelor de date

• Acest sistem poate fi modelat ca un sistem pur cu coada de asteptare cu un singurserver si un bufer (coada de asteptare) infinit.

- clientul = pachetul

• λ = rata de sosire a pachetelor ( pachete pe unitatea de timp)

• L= lungimea medie a pachetelor( unitati de date pe unit de timp)

- serverul = linia, pozitiile de asteptare= bufer-ul

• C = viteza liniei (unitati de date pe unitati de timp)

- timpul de serviciu = timpul de transmitere al unui pachet

• 1/μ = L/C= timpul mediu de transmisie al unui pachet ( unitati de timp)

Procesul trafic

Incarcarea cu trafic

• Marimea traficului oferit este descrisa de incarea cu trafic ρ

• Prin definitie, incarcarea cu trafic ρ este raportul intre rata de sosire λ si rata de serviciu μ = C/L:

- incarcarea cu trafic este o marime fara dimensiune

- conform formulei lui Little ne da informatii despre factorul de utilizare al serverului, care reprezinta probabilitatea ca severul sa fie ocupat

LCλλ

ρ = =μ

Exemple

• Fie o linie intre doua rutere de pachete. Sa presupunem ca:

- in medie sossec 50000 de pachete noi pe secunda

- lungimea medie a unui pachet este de 1500 bytes si

- viteza liniei este de 1 Gbps.

• Incarcarea cu trafic ( ca si utilizarea in acelasi timp ) este:

9

850000 1500 0,6 60%

10ρ = ⋅ ⋅ = =

Intarzierea

• Intr-un sistem cu coada de asteptare unele pachete trebuie sa astepteinainte de a fi servite

– Un pachet este trecut in bufer daca linia e ocupata in momentul sosirii lui

• Intarzierea unui pachet consta din– Timpul de asteptare care depinde de starea sistemului inainte de sosire si:

– Timpul de transmisie care depinde de lungimea pachetului si capacitatea liniei

• Exemple:– Lungimea unui pachet =1500 bytes

– Viteza liniei = 1 Gbps

– Timpul de transmisie = 1500*8/109 = 0,000012s =12μs

Analiza traficului

• Capacitatea sistemului– C = viteza liniei in kbps

• Incarcarea cu trafic– λ = rata de sosire a pachetelor in pps( considerata aici ca o variabila)

– L = lungimea medie a unui pachet in kbits ( presupus constanta aici de 1kbit)

• Calitatea serviciului (din punctul de vedere al utilizatorilor)– PZ = probabilitatea ca un pachet sa trebuiasca sa astepte prea mult, mai mult

decat o valoarea impusa z( presupusa aici o constanta z=10μs)

• Sistem cu asteptare M/M/1– Pachetele sosesc dupa un proces Poisson ( cu rata λ)

– Lungimea pachetelor este un proces idd distribuit conform unui procesexponential de medie L

Analiza traficului

• Relatia cantitativa intre cei trei factori ( sistem, trafic, si QoS) este data de urmatoarea formula:

• Nota:– Sistemul este stabil numai in primul caz( ρ<1). In alte conditii numarul pachetelor

din bufer creste fara limite.

( ) (1 )

( , ; , ) :

, ( 1)

1, , ( 1)

z

Cz zL

P Wait C L z

Le e L C

CL C

− −λ −μ −ρ

= λ =

⎧λ⎪ = ρ λ < ⇔ ρ <⎨⎪ λ ≥ ⇔ ρ ≥⎩

Exemple

• Sa presupunem ca pachetele sosesc cu rata λ =600000pps=0,6 pachete/μs si vitezaliniei este C= 1Gbps =1 kbit/μs

• Sistemul este stabil intrucat

• Probabilitatea ca un pachet sa astepte prea mult ( mai mult de z =10 μs) este:

0,6 1L

C

λρ = = <

4(1,0,6;1,10) 0,6 1%zP Wait e−= = ≈

Capacitate versus rata de sosire

• Impunand conditia de asigurare a calitatii serviciului (QoS) Pz < 1% capacitateanecesara a liniei depinde de rata de sosire λ:

( ) min{ ( , :1,10) 0.01}C c LWait cλ = > λ λ <

QoS versus rata de sosire

• Fiind data viteza liniei C=1Gbps, QoS 1-PZ depinde de rata de sosire λ dupa cum urmeaza:

1 ( ) 1 (1, :1,10}zP Wait− λ = − λ

Calitatea serviciului versus capacitate

• Fiind data rata de sosire a pachetelor calitatea

servicului depinde de viteza liniei C dupa cum urmeaza:

600000 0.6 /pachete sλ = = μ1 zP−

1 ( ) 1 ( ,0.6;1,10}zP R Wait C− = −

Modelul la nivel de flux pentru traficul elastic de date

• Pentru modelarea traficului de date elastic la nivel de flux sunt utilizatemodelele cu partajare

– Elasticitatea se refera in acest caz la rata de transfer a fluxurilor TCP care este adaptiva

– Aceste modele au fost propuse de J. Roberts

• Fie o linie intre doua rutere de pachete– Traficul consta din fluxurile TCP care incarca linia

Modelul la nivel de flux pentru traficul elastic de date

• Cel mai simplu model este un sistem pur cu partajare cu server unic ( n =1) cu o rata totala a serviciului fixa μ

– Clientul = fluxul TCP = fisierul ce urmeaza a fi transferat

• λ =rata de sosire a fluxurilor (fluxuri pe unitatea de timp)

• S = marimea medie a fluxului = marimea medie a fisierului (unitati de date)

– Serverul = legatura

• C = viteza liniei (unitati de date /unitati de timp)

– Timpul de serviciu = timpul de transfer al fisierului la viteza liniei

• 1/μ = timpul mediu de transfer al fisierului la viteza liniei (unitati de timp)

Procesul trafic

Incarcarea din punctul de vedere al traficului

• Marimea traficului oferit este data de incarcarea cu trafic ρ• Prin definitie acesta incarcare este raportul intre rata de sosire λ si rata

de servire μ = C/S

– incarcarea cu trafic este o marime fara dimensiune– conform formulei lui Little ne da informatii despre factorul de utilizare al

serverului

SCλλ

ρ = =μ

Exemplu

• Fie legatura intre doua rutere de pachete.supunem ca:– In medie 50 noi fluxuri sosesc pe secunda

– Marimea medie a unui flux este de 1500000 bytes

– Viteza liniei este de 1 Gbps

• Incarcarea cu trafic sau utilizarea este:

9

850000 1500 0,6 60%

10ρ = ⋅ ⋅ = =

Debitul

• Intr-un sistem cu partajare capacitatea de servire este impartitade catre fluxurile active. In consecinta toate fluxurile vor suferiintarzieri cu exceptia cazului in care un singur flux este activ;

• Prin definitie raportul intre marimea medie a fluxului S si valoareamedie a intarzierii D a unui flux reprezinta debitul θ:

• Exemple:– S = 1 Mbit

– D = 5s

– θ = S/D = 0,2 Mbps

S

Dθ =

Analiza traficului

• Capacitatea sistemului– C = viteza liniei Mbps

• Incarcarea cu trafic– λ = rata de sosire a fluxului in fluxuri pe secunda ( variabila)

– S = marimea medie a fluxului in kbits ( presupusa constanta 1Mbit)

• Calitatea serviciului QoS– θ = debitul

• Sistem cu partajare M/G/1-PS– Fluxurile sosesc dupa un proces Poisson ( cu rata λ)

– Marimea fluxurilor este o variabila iid distribuita dupa o lege oare cu media S

Analiza traficului

• Relatia cantitativa intre cei trei factori (sistem, trafic, si QoS) estedata de urmatoarea formula:

• Nota:– Sistemul este stabil numai in primul caz (ρ < 1). Altfel numarul

fluxurilor ca si intarzierea medie cresc nelimitat. Debitul tinde catre 0.

(1 ), ( 1)( , ; ) :

0, , ( 1)

C S C daca S CXput C L

daca S C

− λ = −ρ λ < ρ <⎧θ = λ = ⎨ λ ≥ ρ ≥⎩

Exemple

• Sa presupunem ca rata de sosire a fluxurilor este λ = 600 fluxuri/s sicapacitatea liniei este de C = 1000Mbps = 1Gbps.

• Sistemul e stabil intrucat:

• Debitul este:

6000,6 1

1000SCλρ = = = <

(1000,600;1) 1000 600 400 0,4Xput Mbps Gbpsθ = = − = =

Capacitate versus rata de sosire

• Impunand conditia de QoS conform careia: θ ≥ 400 Mbps, vitezanecesara liniei pentru a asigura aceasta cerinta depinde de rata de sosire λ dupa cum rezulta:

( ) min{ ( , ;1) 400} 400C c S Xput c Sλ = > λ λ ≥ = λ +

Calitatea serviciului versus rata de sosire

• Impunind viteza liniei C= 1000 Mbps, calitatea serviciului depinde de rata de sosire λ dupa cum rezulta:

( ) (1000, ;1) 1000 , 1000 /Xput S Sθ λ = λ = − λ λ <

Calitatea serviciului versuscapacitate

• Impunind rata de sosire λ = 600 fluxuri/s, calitatea serviciului θ depindede viteza liniei C, dupa cum rezulta:

( ) ( ,600;1) 600 , 600C Xput C C S C Sθ = = − <

Modelul la nivel de flux al traficului de date CBR

• Pentru modelarea traficului de date CBR, la nivel de flux este indicat un model de tipul sistem infinit

– Rata de transmisie si durata unui flux ce compun un streaming nu depind de starea retelei;

– Acest tip de modele au fost utilizate incepand cu anii ’90 in analiza traficului CBR in retelele ATM;

Fie o linie intre doua rutere de pachete

– Traficul consta din fluxurile UDP care transporta trafic CBR ( ca si VoIP) siincarca linia

Modelul traficului la nivel de flux CBR

• Modelul este un sistem infinit ( n =∞)

– Clientul = fluxul UDP = CBR bit stream

• λ =rata de sosire a fluxurilor (fluxuri pe unitatea de timp)

– Timpul de serviciu = durata unui flux

• h = 1/μ = durata medie a unui flux (unitati de timp)

• Model fara bufer la nivel de flux:

– Cind rata totala de transmisie a fluxurilor depaseste capacitatea liniei bitiisunt pierduti in mod uniform, de la toate fluxurile

Procesul trafic

Traficul oferit

• Fie r viteza unui flux

• Marimea traficului oferit este data de viteza totala medie R– Conform formulei lui Little numarul mediu de fluxuri este:

– Aceasta poate fi numita intensitatea traficului ca si la traficul telefonic;

– Rezulta ca:

a h= λ

R ar hr= = λ

Raportul de pierderi

• Fie N numarul de fluxuri din sistem

• Cand viteza totala de transmisie Nr depaseste capacitatea liniei C bitiisunt pierdut cu rata:

• Rata medie de pierderi este:

• Prin definitie raportul de pierderi ploss da raportul intre traficul pierdut si celoferit:

Nr C−

1[( ) ][( ) ]

[ ]loss ar

E Nr Cp E Nr C

E Nr

++−

= = −

[( ) ] [max{ ,0}]E Nr C E Nr C+− = −

Analiza traficului

• Capacitatea sistemului– C = nr = viteza liniei kbps

• Incarcarea cu trafic (traficul suportat)– R = ar = traficul oferit in kbps

– r =bit rate a unui flux in kbits ( presupusa constanta 1Mbit)

• Calitatea serviciului QoS– ploss = raportul de pierderi

• Sistem infinit M/G/∞– Fluxurile sosesc dupa un proces Poisson ( cu rata λ)

– durata fluxurilor este o variabila iid distribuita dupa o lege oare cu media h

Analiza traficului

• Relatia cantitativa intre cei trei factori (sistem, trafic, si QoS) este data de urmatoarea formula:

• Exemple:

– n = 20

– a =14,36

– Ploss = 0,01

1

1( , ) : ( )

!

ia

lossi n

ap LR n a i n e

a i

∞−

= += = −∑

Capacitate versus trafic

• Impunand conditia de QoS conform careia: ploss < 1%, capacitatea nnecesara pentru a asigura aceasta cerinta depinde de intensitateatraficului a dupa cum rezulta:

( ) min{ 1,2, ( , ) 0,01}n a i LR i a= = <…

Calitatea serviciului versus trafic

• Pentru o capacitate n = 20 data, calitatea serviciului 1- ploss depinde de intensitatea traficului a dupa cum rezulta:

1 ( ) 1 (20, )lossp a LR a− = −

Calitatea serviciului versus capacitate

• Impunand intensitatea traficului a = 15 erl, calitatea serviciului 1- plossnecesara, depinde de capacitatea n, dupa cum rezulta:

1 ( ) 1 ( ,15.0)lossp n LR n− = −