Tìm trị riêng bằng pp qr
Transcript of Tìm trị riêng bằng pp qr
![Page 1: Tìm trị riêng bằng pp qr](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061609/55849291d8b42a05388b4883/html5/thumbnails/1.jpg)
TÌM TRỊ RIÊNG CỦA MA TRẬN BẰNG PHƯƠNG
PHÁP QR
Thực hiện: Nhóm 4
![Page 2: Tìm trị riêng bằng pp qr](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061609/55849291d8b42a05388b4883/html5/thumbnails/2.jpg)
PHÂN TÍCH QR
Dùng pp Householder biến đổi ma trận đã cho về ma trận 3 đường chéo, đối xứng.
Dùng ma trận quay P để phân tích QR
![Page 3: Tìm trị riêng bằng pp qr](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061609/55849291d8b42a05388b4883/html5/thumbnails/3.jpg)
Cho ma trận là ma trận 3 đường chéo, đối xứng:
![Page 4: Tìm trị riêng bằng pp qr](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061609/55849291d8b42a05388b4883/html5/thumbnails/4.jpg)
Phương pháp QR được thực hiện bằng cách xác định một dãy các ma trận , ,… trong đó:1. với là ma trận trực giao, còn là ma
trận tam giác trên2. được định nghĩa:
Tương tự với và được định nghĩa:
![Page 5: Tìm trị riêng bằng pp qr](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061609/55849291d8b42a05388b4883/html5/thumbnails/5.jpg)
Vì trực giao nên:
Ma trận cũng là ma trận đối xứng và có cùng trị riêng với ma trận . Và với cách định nghĩa và thì cũng là ma trận 3 đường chéo.
Vì vậy, cũng có cùng trị riêng với ma trận đã cho
![Page 6: Tìm trị riêng bằng pp qr](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061609/55849291d8b42a05388b4883/html5/thumbnails/6.jpg)
ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN QUAY
Ma trận quay là 1 ma trận trực giao, nó chỉ khác so với ma trận đơn vị ở 4 phần tử:
Với mỗi ma trận quay ma trận sẽ khác ma trận A ở cột i và jma trận sẽ khác ma trận A ở hàng i và j Với mỗi , ta có thể chọn góc sao cho giá
trị
![Page 7: Tìm trị riêng bằng pp qr](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061609/55849291d8b42a05388b4883/html5/thumbnails/7.jpg)
Và được tính như sau: Ví dụ: xét thì ta chọn ma trận quay có:
với:
Và có: thì sau khi thực hiện phép nhân, ta có:
2 12 22 2 2 2
2 1 2 1
sin ; cosb a
b a b a
(1) (1)2 2A P A
(1) 2 1 1 22 2 1 2 221 2 2 2 2
2 1 2 1
( sin ) (cos ) 0b a a b
A a bb a b a
![Page 8: Tìm trị riêng bằng pp qr](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061609/55849291d8b42a05388b4883/html5/thumbnails/8.jpg)
(1)2
2 2 1 2
2 2 2 2 3
3 3
(1)2
cos sin 0 0
sin cos 0
0 0 1 0
* * *
0 * *
0 * *
P A
a b
b a b
b a
A
![Page 9: Tìm trị riêng bằng pp qr](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061609/55849291d8b42a05388b4883/html5/thumbnails/9.jpg)
Tổng quát, ta có:
1 1 1
1 1 1( )
1 1 2
0 0
0
0
0
0 0
0
0
0 0
k k kik k k
k k k
n
n n
z q r
z q r
A x y
b a b
b
b a
![Page 10: Tìm trị riêng bằng pp qr](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061609/55849291d8b42a05388b4883/html5/thumbnails/10.jpg)
Sau khi nhân với ma trận quay:1 1 1
( ) ( )1 1 1 1
2 2 3
0 0
0
0
0
0 0
0
0
0 0
k k ki ik k k k k
k k k
n
n n
z q r
z q r
A P A x y
b a b
b
b a
![Page 11: Tìm trị riêng bằng pp qr](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061609/55849291d8b42a05388b4883/html5/thumbnails/11.jpg)
Dạng của ma trận quay
1
1 1
1
1 1
1
11 12 2 2 2
1 1
;
k
k k
k
k k
n k
k kk k
k k k k
I O O
c s
O OP
s c
O O I
b xs c
b x b x
![Page 12: Tìm trị riêng bằng pp qr](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061609/55849291d8b42a05388b4883/html5/thumbnails/12.jpg)
Tiếp tục nhân tích trên lần lượt với ta thu được
1 1 1
( ) ( )
2
1
0 0
0
0
0 0
i in
n
n n
n
z q r
R Ar
z q
x
![Page 13: Tìm trị riêng bằng pp qr](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061609/55849291d8b42a05388b4883/html5/thumbnails/13.jpg)
Còn ma trận trực giao được định nghĩa:
Vậy:
![Page 14: Tìm trị riêng bằng pp qr](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061609/55849291d8b42a05388b4883/html5/thumbnails/14.jpg)
TÌM TRỊ RIÊNG BẰNG PP QR
Giả sử ma trận có các trị riêng ,… với … thì:
tốc độ hội tụ: phụ thuộc vào Mà tốc độ hội tụ xác định tốc độ hội tụ
vậy nên, nếu tỉ lệ gần bằng 1 thì sự hội tụ sẽ chậm.
![Page 15: Tìm trị riêng bằng pp qr](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061609/55849291d8b42a05388b4883/html5/thumbnails/15.jpg)
QR tịnh tiến(“shifted QR algorithm”
“méthode QR avec translations”)
𝐴(𝑖)−𝑠𝐼=𝑄(𝑖)𝑅(𝑖)
![Page 16: Tìm trị riêng bằng pp qr](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061609/55849291d8b42a05388b4883/html5/thumbnails/16.jpg)
Trong ma trận tốc độ hội tụ của phụ thuộc vào
ta có thể cải thiện tốc độ hội tụ bằng cách chọn s gần với nhưng không gần với
s được tính bằng cách: Tìm trị riêng ma trận 2x2:
Sau đó, chọn s là trị riêng gần với nhất
( ) ( )1
( ) ( )
i in ni in n
a b
b a
![Page 17: Tìm trị riêng bằng pp qr](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061609/55849291d8b42a05388b4883/html5/thumbnails/17.jpg)
Với cách làm đó, hội tụ về 0 và hội tụ về
Vậy trị riêng của ma trận A đã cho:
Chương trình QRSYMT96 cũng sử dụng phương pháp QR cho ma trận 3 đường chéo đối xứng với cách như vậy.
![Page 18: Tìm trị riêng bằng pp qr](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061609/55849291d8b42a05388b4883/html5/thumbnails/18.jpg)
CÁC BƯỚC TÌM TRỊ RIÊNG BẰNG PP QR
B1: Tìm s, từ ma trận đã cho, ta có ma trận .
B2: Sau khi có ma trận tính các giá trị cần thiết rồi suy ra ma trận quay
B3: Tính B4: Sau khi lặp lại quá trình 3 bước trên
đủ số lần, ta thực hiện tìm các trị riêng của ma trận đã cho
![Page 19: Tìm trị riêng bằng pp qr](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061609/55849291d8b42a05388b4883/html5/thumbnails/19.jpg)
Xét ma trận vuông 3x3
VÍ DỤ: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP QR ĐỂ TÌM TRỊ RIÊNG CỦA MA TRẬN
![Page 20: Tìm trị riêng bằng pp qr](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061609/55849291d8b42a05388b4883/html5/thumbnails/20.jpg)
CÁC CÔNG THỨC CẦN LƯU Ý
( ) ( ) ( )
( 1) ( ) ( )
(1) (1)2 2
(1) (1)3 3 2
(2) (1) (1) (1)3 2 2 3
i i i
i i i
t t
A Q R
A R Q
A P A
A P A
A R Q PP A P P
![Page 21: Tìm trị riêng bằng pp qr](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061609/55849291d8b42a05388b4883/html5/thumbnails/21.jpg)
1 1 1
1 1 1( )
1 1 2
0 0
0
0
0
0 0
0
0
0 0
k k kik k k
k k k
n
n n
z q r
z q r
A x y
b a b
b
b a
Hàng thứ k
Cột thứ k
![Page 22: Tìm trị riêng bằng pp qr](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061609/55849291d8b42a05388b4883/html5/thumbnails/22.jpg)
1
1 1
1
1 1
1
11 12 2 2 2
1 1
;
k
k k
k
k k
n k
k kk k
k k k k
I O O
c s
O OP
s c
O O I
b xs c
b x b x
Ma trận quay
![Page 23: Tìm trị riêng bằng pp qr](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061609/55849291d8b42a05388b4883/html5/thumbnails/23.jpg)
VÍ DỤ
Cho ma trận
là ma trận 3 đường chéo, đối xứng
3 1 0
1 3 1
0 1 3
A
![Page 24: Tìm trị riêng bằng pp qr](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061609/55849291d8b42a05388b4883/html5/thumbnails/24.jpg)
Ta tính s1 bằng cách tìm trị riêng ma trận vuông 2x2 tạo bởi dòng thứ 2, 3 và cột thứ 2, 3
Ma trận trên có 2 trị riêng là µ1=2 và µ2=4. Ta phải chọn s1 là 1 trong 2 trị riêng gần với giá trị a3=A33=3 (ở đây chọn 2 hay 4 đều được).
Chọn s1=µ1=2.
3 1
1 3
![Page 25: Tìm trị riêng bằng pp qr](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061609/55849291d8b42a05388b4883/html5/thumbnails/25.jpg)
Ta có:
Sau khi có ta tìm ma trận quay P2
Từ dạng tổng quát của ta sẽ có dạng của là:
(1)1 1
3 1 0 1 0 0 1 1 0
1 3 1 2 0 1 0 1 1 1
0 1 3 0 0 1 0 1 1
A A s I
1 1
11 2 2 3 1 2
3 3
0
1; 1
0
x y
A b a b x b
b a
![Page 26: Tìm trị riêng bằng pp qr](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061609/55849291d8b42a05388b4883/html5/thumbnails/26.jpg)
Từ công thức sk và ck
ta có Dạng của P2
11 12 2 2 2
1 1
;k kk k
k k k k
b xs c
b x b x
2 2
2
2s c
2 2
2 2 2
2 2 02 202 20 02 2
0 0 1 0 0 1
c s
P s c
![Page 27: Tìm trị riêng bằng pp qr](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061609/55849291d8b42a05388b4883/html5/thumbnails/27.jpg)
Tìm được:
(1) (1)2 2
1 1 1
2 2
3 3
2 3
2 2 02 2 1 1 02 2 0 1 1 12 2
0 1 10 0 1
22 2 2
0 0 2 0
0 1 1 0
0; 1
A P A
z q r
x y
b a
x b
![Page 28: Tìm trị riêng bằng pp qr](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061609/55849291d8b42a05388b4883/html5/thumbnails/28.jpg)
Tính được:
Dạng của P
Ta có thể tính nhưng không cần thiết
3 3 3
3 3
1 0 0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
P c s
s c
3 30; 1s c
(1) (1)3 3 2A P A
![Page 29: Tìm trị riêng bằng pp qr](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061609/55849291d8b42a05388b4883/html5/thumbnails/29.jpg)
Sau khi có P2 và P3, ta tìm ma trận A(2)
Nhận xét nếu và đủ nhỏ thì có thể dừng lại, để tính toán các trị riêng
(2) (1) (1) (1)3 2 1 2 3
22 02
2 212 2
20 02
t tA R Q PP A P P
![Page 30: Tìm trị riêng bằng pp qr](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061609/55849291d8b42a05388b4883/html5/thumbnails/30.jpg)
Tiếp tục lặp lại các bước như trên Đầu tiên, ta tính s2 bằng cách tìm trị riêng
ma trận vuông 2x2 tạo bởi dòng thứ 2, 3 và cột thứ 2, 3 của ma trận A(2) vừa thu được
Trị riêng của ma trận trên là
Vậy nên ta chọn gần với a3=0
21 2
2 02
1 13
2 2
2
1 13
2 2s
![Page 31: Tìm trị riêng bằng pp qr](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061609/55849291d8b42a05388b4883/html5/thumbnails/31.jpg)
Tính toán tương tự như trên 1 lần nữa ta sẽ thu được:
Vì thấy đã đủ nhỏ, ta bắt đầu tính các giá trị riêng:
(3)
2,6720277 0,37597448 0
0,37597448 1,4736080 0,030396964
0 0,030396964 0,047559530
A
(3)3 3 1 2 1,5864151a s s
![Page 32: Tìm trị riêng bằng pp qr](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061609/55849291d8b42a05388b4883/html5/thumbnails/32.jpg)
Tiếp theo, từ ma trận A(3) ta bỏ đi hàng thứ 3 và cột thứ 3, rồi tính trị riêng của ma trận vừa thu được:
Hai trị riêng của ma trận trên là và .
Ta có 2 trị riêng còn lại của ma trận A đã cho là:
2,6720277 0,37597448
0,37597448 1,4736080
1 1 1 2 4,4141886s s
2 2 1 2 2,9993964s s