TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG

HÌNH HỌC 10

GV: PHAN NHẬT NAM

TÍCH VÔ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG


GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com

GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 00 ĐẾN 180

0

CƠ SỞ LỶ THUYẾT

1. Định nghĩa

Lấy M trên nöûa ñöôøng troøn ñôn vò taâm O. Xeùt goùc nhoïn = xOM . Giaû söû 0 0( ; )M x y .

sin = 0y (tung ñoä)

cos = 0x (hoaønh ñoä)

tan =

y tung ñoä

x hoaønh ñoä

0

0

(x 0)

cot =

x hoaønh ñoä

y tung ñoä

0

0

(y 0)

Chú ý: – Nếu tù thì cos < 0, tan < 0, cot < 0.

– tan chỉ xác định khi 900, cot chỉ xác định khi 0

0 và 180

0.

2. Tính chất

Góc phụ nhau Góc bù nhau

0

0

0

0

sin(90 ) cos

cos(90 ) sin

tan(90 ) cot

cot(90 ) tan

0

0

0

0

sin(180 ) sin

cos(180 ) cos

tan(180 ) tan

cot(180 ) cot

3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

4. Các hệ thức cơ bản

tan .cot 1 (sin .cos 0)

sintan (cos 0)

cos

coscot (sin 0)

sin

2 2

2

2

2

2

sin cos 1

11 tan (cos 0)

cos

11 cot (sin 0)

sin

Chú ý: 0 sin 1 ; 1 cos 1.

00 30

0 45

0 60

0 90

0 180

0

sin 0 1

2

2

2

3

2

1 0

cos 1 3

2

2

2

1

2

0 –1

tan 0 3

3

1 3 0

cot 3 1 3

3

0

1

1

-1 0

http://www.toanhocdanang.com/



CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN:

Dạng 1: Biết một giá trị lượng giác của một góc, tính các giá trị lương giác còn lại

Từ giả thuyết ta xác định khoảng giá trị của góc thuộc 0 0(0 , 90 ) hoặc

0 0(90 ,180 ) cụ thể:

0 0(0 , 90 ) sin 0 , cos 0 , tan 0 , cot 0

0 0(90 ,180 ) sin 0 , cos 0 , tan 0 , cot 0

Sử dụng các hằng đẳng thức lượng giác tương ứng để tìm các giá trị lượng giác còn lại:

Nếu gt cho sin a thì : 2 2 2cos 1 sin 1 a , sin

tancos

,

coscot

sin

Nếu gt cho cos a thì : 2 2sin 1 cos 1 a ,

sintan

cos

,

coscot

sin

Nếu gt cho tan a thì : 2 2

2 2

1 11 tan cos

cos 1 a

, sin tan .cos

Nếu gt cho cot a thì : 2

2 2

1 11 cot sin

sin 1 a

, cos cot .sin

Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho biết 1

cos10

. Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc

Giải:

Ta có 0 01cos 0 (90 ,180 ) sin 0

10 , tan 0 , cot 0

Lại có: 2 2 2 3sin cos 1 sin 1 cos

10 (vì sin 0 )

sin

tan 3cos

và

cos 1cot

sin 3

Vậy các giá trị lượng giác còn lại của là: 3

sin10

, tan 3 và 1

cot3

Ví dụ 2: Cho biết 1

sin3

. Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc

Giải:

Ta có 0 0(0 ,180 ) sin 0

TH1: 0 0(0 , 90 ) cos 0 khi đó ta có:

2 2 2 2 2sin cos 1 cos 1 sin

3

sin 1 2

tancos 42 2

và

coscot 2 2

sin

.




TH2: 0 0(90 ,180 ) cos 0 khi đó ta có:

2 2 2 2 2sin cos 1 cos 1 sin

3

sin 1 2

tancos 42 2

và

coscot 2 2

sin

.

Ví dụ 3: Cho biết tan 2 . Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc

Giải:

Ta có 0 0tan 2 0 (0 , 90 ) sin 0 , cos 0 , cot 0

Lại có: 2 2 2

2

1 1 5tan 1 2 1 5 cos cos

cos 5 5

(vì cos 0 )

sin 2 5

tan sin tan .coscos 5

1 1

cottan 2

Vậy các giá trị lượng giác còn lại của góc là: 5

cos5

, 2 5

sin5

và 1

cot2

Ví dụ 4: Cho biết tan 2x . Tính giá trị của biểu thức: 3

3

cos sin cos

sin 3cos

x x xA

x x

Giải:

3

3 3 3 3 2 2

33

23 3

cos sin cos sin 1 11 .

cos sin cos cos cos cos cos cos cos1sin cossin cos

1coscos cos

x x x x

x x x x x x x x xAx xx x

xx x

2 2 3 2 3 2

2 2 2

1 tan (tan 1) (tan 1) tan tan tan 2 2 21

1 (tan 1) tan 2 2 2

x x x x x x

x x

Ví dụ 5: Cho biết sin cos 2

a. Tính các giá trị lượng giác : sin , cos , tan , cot

b. Tính giá trị của biểu thức: 6 6sin cosA

Giải:

a. sin cos 2 cos sin 2

Lại có: 2

2 2 2 2sin cos 1 sin sin 2 1 2sin 2 2 sin 1 0

2 1

2 sin 1 0 sin2




Do đó: 1 1

cos sin 2 22 2

sin

tan 1cos

và

coscot 1

sin

Vậy các giá trị lượng giác cần tìm là: 2

sin2

, 2

cos2

, tan 1 , cot 1

b. 3 3

6 6 2 2sin cos sin cosA

3

2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1sin cos 3sin cos sin cos 1 3sin cos 1 3. .

2 2 4

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng Oxy cho M(- 4; 3). Hãy tìm các giá trị sin , cos , tan , cotx x x x với x xOM

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Cho các giá trị lượng giác của một góc, tính các giá trị lượng giác còn lại:

a. 1

sin4

(biết là góc nhọn) d. 1

cos3

b. tan 2 2 e. cot 2

c. 4

sin5

f. 3

cos5

Bài 2: Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính giá trị của biểu thức:

a. Cho biết: 0 01sin , 90 180

3x x . Tính

tan 3cot 1

tan cot

x xA

x x

b. Cho biết: tan 2x Tính 2 3

sin cos

sin 3cos 2sin

x xB

x x x

,

3sin cos

sin cos

x xC

x x

c. Cho biết: sin 2x Tính cot tan

cot tan

x xC

x x

d. Cho biết: cot 3x Tính 2 2

2 2

sin 2sin cos 2cos 1

2sin 3sin cos 4cos

x x x xE

x x x x

Bài 3: Cho biết 0 045 90

a. Chứng minh rằng: sin cos 1

b. Đặt: sin cosa . Hãy tính giá trị của các biểu thức :

sin cosA sin cosB 4 4sin cosC

4 4sin cosD 6 6sin cosE 6 6sin cosF

Bài 4: Biết 0 6 2

sin15

4

. Tinh 0 0 0

cos15 , tan15 , cot15 .




Bài 5 : Cho 4

sin cos3

. Hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

sin cosA sin cosB 4 4sin cosC

4 4sin cosD 6 6sin cosE 6 6sin cosF

8 8sin cosG 2 2

2 2

cos cot

sin tanH

Bài 6: Tính giá trị các biểu thức sau:

a. a b c0 0 0

sin0 cos0 sin90 e. a b c0 0 0

cos90 sin90 sin180

b. a b c2 0 2 0 2 0sin90 cos90 cos180 f. 2 0 2 0 2 0

3 sin 90 2cos 60 3tan 45

c. a a a2 2 0 0 2 0 24 sin 45 3( tan45 ) (2 cos45 ) g.

2 0 2 0 2 0 2 0sin 3 sin 15 sin 75 sin 87

d. 2 0 2 0 2 0 2 0cos 12 cos 78 cos 1 cos 89

Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M(x; 4) và 0120xOM . Hãy tìm x

Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M(x; y) và xOM . Hãy cho biết dấu của x, y trong các

trường hợp : nhọn , tù

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức lượng giác :

Sử dụng các hằng đẳng thức lượng giác :

sintan (cos 0)

cos

coscot (sin 0)

sin

tan .cot 1 (sin .cos 0)

2 2

2

2

2

2

sin cos 1

11 tan (cos 0)

cos

11 cot (sin 0)

sin

2 2 2

4 4 2 2 2 2 2 2 2 2sin cos sin cos sin cos 2sin cos 1 2sin cosx x x x x x x x x x

3 3 3

6 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2sin cos sin cos sin cos 3sin cos sin cos 1 3sin cosx x x x x x x x x x x x

2 2 2 2

8 8 4 4 4 4 4 4 2 2 4 4sin cos sin cos sin cos 2sin cos 1 2sin cos 2sin cosx x x x x x x x x x x x





Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức:

2

1 1 1sin sin

2 2cos 2 2cos 1 tanx x

x x x

; với 0 00 180x

Giải:

0 0(0 ,180 ) sin 0x x

2

1 cos 1 cos 1 cos 1 cossin sin sin sin

2(1 cos )(1 cos ) 2(1 cos )(1 cos ) 2 1 cos

x x x xVT x x x x

x x x x x

2 2

2

1 1 1sin sin sin sin sin sin 1 sin cos

sin sin sinx x x x x x x x

x x x

2

2

2

1 1cos

11 tan

cos

VP xx

x

Do đó ta có: 2cosVT VP x (đpcm)

Ví dụ 2: Chứng minh đẳng thức: x x x x2 2 2 2

tan sin tan .sin

Giải:

22 2 2 2

2 2

sin 1tan sin sin sin 1

cos cos

xVT x x x x

x

2 2 2 2sin tan 1 1 sin tanx x x x VP (đpcm)

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức: 2 0 2 0 2 0 2 0sin 3 sin 15 sin 75 sin 87A

Giải:

Theo công thức phụ ta có:

0 0 0 0sin 3 sin 90 87 cos87

0 0 0 0sin15 sin 90 75 cos75

Do đó ta có:

2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0cos 87 cos 75 sin 75 sin 87 cos 87 sin 87 cos 75 sin 75 1 1 2A




Ví dụ 4: Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x

4 2 4 2sin 4cos cos 4sinA x x x x

Giải:

Nhận xét: x ta đều có: 1 sin , cos 1x x 2 20 sin , cos 1 0 sin ,cos 1x x x x

2 2

4 2 4 2 2 2sin 4 1 sin cos 4 1 cos sin 2 cos 2A x x x x x x

2 2 2 2sin 2 cos 2 2 sin 2 cosx x x x (vì 2sin 2 0x và 2cos 2 0x )

2 24 sin cos 4 1 3x x (đpcm)

Bài tập áp dụng:

Baøi 1. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) x x x x2

(sin cos ) 1 2sin .cos b) x x x x4 4 2 2

sin cos 1 2sin .cos

c) x x x x2 2 2 2

tan sin tan .sin d) x x x x6 6 2 2

sin cos 1 3sin .cos

e) 2

2

sin sin cossin cos

sin cos tan 1

x x xx x

x x x

f)

2 22

2 2

cos cotcot

sin tan

x xx

x x

g) x x x x x xsin .cos (1 tan )(1 cot ) 1 2sin .cos h) 1 sin cos

cos 1 sin

x x

x x

Baøi 2. Đơn giản các biểu thức sau:

a) cos sin .tanA y y y b) 1 cos . 1 cosB b b

c) 2sin 1 tanC a a d)

2

2

1 costan .cot

1 sin

xD x x

x

e)

2 2

2

1 4sin .cos

(sin cos )

x xE

x x

f) 0 0 2 2 2sin(90 ) cos(180 ) sin (1 tan ) tanF x x x x x

g) 0 0

0

0 0

cos36 sin 54.cos54

sin144 cos126G

h)

2 2sin cot cosH x x x

i) 1 sin 1 sin

1 sin 1 sin

x xI

x x

j) 2 0 2 0 2 0 2 0cos 12 cos 78 cos 1 cos 89J

k) 0 0 0 0 0 0 0cos10 cos20 cos30 cos40 ... cos160 cos170 cos180K




Baøi 3. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến (độc lập với biến số):

a. 4 4 2 2 22cos sin sin cos 3sinA x x x x x

b. 6 4 2 2 4 4cos 2sin cos 3sin cos sinB x x x x x x

c. 2 2cot tan (cot tan )C x x x x

d. 0 0 0 0cos 60 cos 45 sin 30 cos 135D x x x x

e. 4 2 4 2sin 4cos cos 4sinE x x x x

f. 2 cot 1

tan 1 cot 1

xF

x x

g. 2 2

2

cot cos sin cos

cot cot

x x x xG

x x

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức liên quan đến các góc của tam giác

Cho tam giác ABC khi đó ta có 0180A B C hoặc 090

2 2 2

A B C

Vì lý do này nên khi xét bài toán có biến là ba góc của một tam giác ta luôn liên tương đến

công thức bù hoặc công thức phụ , cụ thể như:

0sin sin 180 sinA B C C

0cos cos 180 cosA B C C

0sin sin 90 cos2 2 2

A B C C


Ví dụ : Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta đều có:

a. 2 3

tan cot2 2

B C A A

b. cos cos 2A B C B

Giải:

A, B, C là ba góc của tam giác nên ta có:

0

0

0

180180

180

B C AA B C

A C B

a. 0

02 180 3 3 3tan tan tan 90 cot

2 2 2 2

B C A A A A

(đpcm)

b. 0cos cos cos 180 2 cos 2A B C A C B B B (đpcm)




Bài tập áp dụng: Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC. Chứng minh rằng:

1. sin( ) sinB C A 5. sin cos2

A B CC

2. cos( ) cosA B C 6. 2 3

sin cos2 2

A B C C

3. sin cos2 2

A B C 7.

2 3cot tan

2 2

A B C C

4. tan cot2

A B CC

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

CƠ SỞ LỶ THUYẾT

1. Góc giữa hai vectơ

Cho a b, 0 . Từ một điểm O bất kì vẽ OA a OB b, .

Khi đó a b AOB, với 00 AOB 180

0.

Chú ý:

+ a b, = 900 a b

+ a b, = 00 a b, cùng hướng

+ a b, = 1800 a b, ngược hướng

+ a b b a, ,

2. Tích vô hướng của hai vectơ

Định nghĩa: a b a b a b. . .cos , .

Đặc biệt: a a a a2

2. .

Tính chất: Với a b c, , bất kì và kR, ta có:

. .a b b a ; . .a b c a b a c ;

. . .ka b k a b a kb ; 2 20 ; 0 0a a a .

2

2 22 .a b a a b b ;

22 22 .a b a a b b ;

2 2a b a b a b .

.a b > 0 ,a b nhọn

.a b < 0 ,a b tù

. 0a b a b

O

A

B




3. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng

Cho a = (a1, a2), b = (b1, b2).

Khi đó: a b a b a b1 1 2 2

. .

a a a2 2

1 2 ;

a b a b

a b

a a b b

1 1 2 2

2 2 2 2

1 2 1 2

cos( , )

.

;a b a b a b1 1 2 2

0

Cho A A B B

A x y B x y( ; ), ( ; ) . Khi đó: B A B A

AB x x y y2 2

( ) ( ) .

CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN:

Dạng 1:Tính tích vô hương - Tính góc

Phương pháp chung:

1. Nếu để toán cho biết góc của hai vector ,a b thì ta sử dụng định nghĩa tích vô hướng

. . cos , . cosa b a b a b a b (1)

2. Nếu đề toán không cho góc của hai vector thì ta cần chọn vector c a b hoặc c a b

2 2 2

2 2

.2

c a bc a b c a b a b

(2)

2 2 2

2 2

.2

a b cc a b c a b a b

3. Nếu bài toán yêu cầu xác định góc của ,a b ta có thể thực hiện hai bài toán trên

Thay (1) vào (2) ta có: 2 2 2 2 2 2

cos , cos ,2 2 .

c a b c a ba b a b

a b


Ví dụ 1: Cho tam giác ABC đều cạnh a và trọng tâm G.

a. Tính các tích vô hương sau theo a : .AB AC và .BA CA .

b. Gọi I là điểm được xác định theo đẳng thức : 2 4 0IA IB IC .

b1 . Chứng minh BCIG là hình bình hành .

b2 . Tính theo a các tích vô hướng sau: IA AB AC , .IB IC và .IA IB

Giải:

a. Ta có :

0, 60AB AC BAC

0 0 0 0, 180 180 60 120AB CA BAC




Theo định nghĩa tích vô hướng ta có:

2

0. . .cos , . .cos 602

aAB AC AB AC AB AC AB AC

2

0. . .cos , . .cos1202

aAB CA AB CA AB CA AB AC

Hoặc 2

. . .2

aAB CA AB AC AB AC

b. G là trọng tâm của 3ABC IA IB IC IG

b1 . 2 4 0 3 0IA IB IC IA IB IC IB IC

IG CB BCIG là hình bình hành

b2 . Tính : IA AB AC

Cách 1: G là trọng tâm của 0 3ABC GA GB GC AB AC AG

Ta có: ABC đều . 0AG BC AG IG IG AG

2

222 3

3 3 3 33 2

aIA AB AC IG GA AG IG AG GA a

Cách 2: 1 1 2

23 3 3

IA IG GA BC AB AC AC AB AB AC AC AB

2 22 2 2 22 2 2 1

2 2 23 3 3 2

IA AB AC AC AB AB AC AC ABAC AB a a a a

Cách 3: Gọi M là trung điểm BC

Khi đó ta có: 2AB AC AM , 0AM BC CBAM và 2

3AG AM

2

2 22 4 4 32 2 2 0

3 3 3 2

aIA AB AC IG GA AM CBAM AM AM AM a

Tính : .IB IC

2

. .IB IC IA AB IA AC IA IA AB AC AB AC

2

2 22 2 2 23 5

.3 2 6

a a aAG BC IA AB AC AB AC a a

Tính : .IA IB

2 2. . . . . .IA IB IG GA IG IC IG IG IC IG GA GA IC IG IG IC GAGB

22

2 0 0 3 3 3 3 3 1 17. .cos30 . .cos120

3 2 2 2 2 2 24

a a a a aIG IG IC GAGB a

B C

A

G I




Ví dụ 2: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I, cạnh AB = a, AD = b. Tính theo a, b các tích vô hướng

a. .AB AC , .BD AC , .AC AB AC AD

b. . .MA MC MB MD . Với M là điểm tùy ý thuộc đường tròn ngoại tiếp của ABCD.

Giải:

a. AC AB AD {theo quy tắc hình bình hành}

BD AD AB {theo quy tắc ba điểm}

ABCD là hình bình hành . 0AB AD AB AD

Do đó ta có:

2

2 2. . .AB AC AB AB AD AB AB AD AB a

2 2

2 2 2 2.BD AC AD AB AD AB AD AB AD AB a b

. . 2.AC AB AC AD AB AD AB AB AD AD AD AB AD

2

2 2. 2 2 2AD AB AD AD b

Bình luận: Ở ví dụ trên ta phân tích tất cả các vectơ trong tích vô hướng về hai vectơ AB và AD

vì ta xác định được góc tạo bởi hai vectơ này , cụ thể : 0, 90 . 0AB AD AB AD

b. Cách 1:

I là tâm của hình chữ nhât nên ta có: 0IA IC IC IA , 0IB ID IB ID

Ta có IM IA R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp ABCD

nên 2 21 1

2 2IM AC a b (theo Pitago)

2 2 2

2 2. . 0MA MC MI IA MI IC MI MI IC IA IC IA MI IA R R

Tương tự ta cũng có: . 0MB MD

Do đó: . . 0MA MC MB MD

Cách 2:

Gọi (C) đường tròn ngoại tiếp ABCD.

Khi đó ta có (C) có hai đường kính là AC và BD

0

0

90

90

AMC

BMD

(góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)

. 0. . 0

. 0

MA MC MA MCMA MC MB MD

MB MD MB MD

Bình luận: Thông qua ví dụ trên ta rút được kinh nghiệm để tính tích vô hướng của hai vectơ thì

trước tiên ta phải xác định được góc tạo bởi hai vectơ đó

A B

C D

M

I




Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = 3

a. Tính .AB AC từ đó suy ra cos BAC

b. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính .AG BC

c. AM là đường trung tuyến của tam giác ABC. Tính độ dài đoạn AM.

d. Tính . . .GA GB GB GC GC GA

e. Gọi D là chân đường phân giác trong của góc A. Tính độ dài AD.

Giải:

a. Theo quy tắc 3 điểm ta có: BC AC AB

22

2 2 22 .BC AC AB BC AC AC AB AB

2 2 2 2 2 23 2 4 3.

2 2 2

AC AB BCAC AB

Theo định nghĩa tích vô hướng ta có:

3 1. . cos , . cos 2.3cos cos

2 4AB AC AB AC AB AC AB AC BAC BAC BAC

b. Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó ta có: 2 1

3 3AG AM AB AC

Do đó: 2 21 1 5.

3 3 3AG BC AC AB AC AB AC AB

c. M là trung điểm BC 2AM AB AC

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 2 ( ) 2 2AM AB AC ABAC AB AC AC AB BC AC AB BC (theo câu a)

2 2 22 2 2 10 10

4 4 2

AC AB BCAM AM

d. Theo câu c ta có: 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 10

3 3 4 3 3

AC AB BC AC AB BCAG AM

Tương tự ta cúng có:

2 2 22 2 2 31

3 2 3

BA BC ACBG

;

2 2 22 2 2 46

3 2 3

CA CB ABCG

G là trọng tâm ABC 0GA GB GC

2

2 2 20 2 . 2 . 2 . 0GA GB GC GA GB GC GAGB GB GC GC GA

2 2 2 10 31 46 29. . .

2 18 6

GA GB GCGAGB GB GC GC GA

e. D là chân đường phân giác trong của góc A nên ta có 2 2

3 3

DB AB DBDB DC

DC AC DC

2

3DB DC (vì DB , DC ngược chiều)

3 2 5 3 2AB AD AC AD AD AB AC




2 2

2 2 25 3 2 25. 9 4 12 . 54AD AB AC AD AB AC AB AC (theo câu a: 3

.2

AC AB )

3 6

5AD

Ví dụ 4: Chứng minh rằng:

a. . . . 0MA BC MB CA MC AB với mọi điểm M, A, B, C {hệ thức Euler}

b. 2 2 21.

2AB AC AB AC BC với mọi điểm A, B, C

c. 2 2 2 21.

2MN PQ MQ NP MP NQ với mọi điểm M, N, P, Q

Giải:

a. . . . . . .MA BC MB CA MC AB MA MC MB MB MA MC MC MB MA

. . . . . .MA MC MA MB MB MA MB MC MC MB MC MA

. . . . . . 0MA MC MC MA MB MA MA MB MC MB MB MC (đpcm)

Bình luận: Trong ví dụ này giả thuyết cho các điểm tùy ý nên ta không thể xác định được góc của

các cặp vectơ vì vậy ta không thể dung định nghĩa để tính các tích vô hương. Từ đó ta phải nghĩ

đến việc phân tích thành từng cặp tích vô hướng đối nhau để có thể khử nhau.

b. Cách 1:

Theo quy tắc 3 điểm ta có:

2 2

BC AC AB BC AC AB 2 2 22 .BC AC AC AB AB

2 2 21.

2AC AB AC AB BC (đpcm)

Cách 2: 2 2 2

2 2 21 1

2 2AB AC BC AB AC BC

21

2AB AC BC AC BC

1 1

2 .2 2

AB AB AC BC AB AC AB AC (đpcm)

Bình luận: Đẳng thức trên thể hiện mối quan hệ của tích vô hướng và bình phương độ dài nên

ta liên tương ngay đến phép bình phương vô hướng để có thể thiết lập được mối quan hệ trên qua

ba vectơ ;BC AC và AB từ một đẳng thức đúng BC AC AB

c. Gọi I là trung điểm PQ ta có: 1

2MQ MP MI và

1

2NQ NP NI

2 2 2 2

2 2 2 21 1 1

2 2 2MQ NP MP NQ MQ MP NQ NP

1 1

2 2MQ MP MQ MP NQ NP NQ NP

. . . .PQ MI PQ NI PQ MI NI MN PQ (đpcm)




Dạng 2: Các dạng toán sử dụng biểu thức tọa độ

Nếu bài toán cho ở dạng tọa độ 1 2;a a a và 1 2;b b b thì ta sử dụng các công thức

1 1 2 2.a b a b a b ; 1 1 2 2

2 2 2 2

1 2 1 2

.cos ,

.

a b a ba ba b

a b a a b b

1 1 2 2. 0 0a b a b a b a b

Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai vectơ 1;1a và 2;1b

a. Tính các giá trị lượng giác của góc ,a b

b. Xác định tọa độ của c , biết . 1a b c và 2 . 1a b c

Giải:

a. Theo định nghĩa tích vô hướng ta có:

2 2 2 2

. 1.2 1.1 3. . cos , cos , cos ,

10. 1 1 1 2

a ba b a b a b a b a b

a b

Ta có: 2 2 2 1sin , cos , 1 sin , 1 cos ,

10a b a b a b a b {vì sin , 0a b }

sin , 1tan ,

3cos ,

a ba b

a b ;

cos ,cot , 3

sin ,

a ba b

a b

b. Gọi ( ; )c x y

1 2 ;1 1 (3 ; 2)a b và 2 1 2 ;1 2a c x y

. 1 3 2 1 3 2 1 1( 1;1)

2(1 2 ) 1(1 2 ) 1 2 1 12 . 1

a b c x y x y xycbt c

x y x y ya c b

Ví dụ 2: Cho ba điểm A(7; 4), B(0; 3) và C(4; 0). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A lên

đường thẳng BC, từ đó suy ra tọa độ điểm A’ đối xứng A qua BC.

Giải:

Gọi H(x; y) , khi đó ta có:

; 3BH x y , 7 ; 4AH x y và 4 ; 3BC

H là hình chiếu của A lên đường thẳng BC AH BC

H BC

( 7).4 ( 4).( 3) 0. 0 4 3 16 4

(4 ; 0)33 4 12 0

4 3

x yAH BC x y x

Hx yx y yBH BC




Gọi A’(a ; b) là điểm đối xứng của A qua BC H là trung điểm của AA’

'

'

' '

2. 2.4 7 12(1; 4)

2. 2.0 4 4

2

A AH

A H A

A A A H AH

x xx

x x x aA

y y y y y by

Dạng 3: Sử dụng tích vô hướng để chứng minh quan hệ vuông góc:

Phương pháp chung: Cần chứng minh AB CD

Chọn hai vec tơ ,a b sao cho xác định được góc ,a b và tỷ số môđun của chung

Phân tích : 1 1AB m a n b và 2 2CD m a n b

Tính : 1 1 2 2. 0AB CD m a n b m a n b AB CD (đpcm)


Ví dụ 1: (Trích A – 2014) cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm của đoạn AB và N là điểm

thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC. Chứng minh DN MN

Giải:

Đăt a là độ dài cạnh của hình vuông AB AD a

Ta có: . 0AB AD AB AD

3 3 3 1

4 4 4 4DN AN AD AC AD AD AB AD AB AD

3 1 1 3

4 2 4 4MN AN AM AD AB AB AB AD

Bình luận: Xen điểm A vào các vec tơ DN và MN

để phân tích chúng qua hai vec tơ ta đã chọn là AB và AD

Khi đó ta có:

2 2 2 23 1 1 3 3 3 3 3. 0

4 4 4 4 16 16 16 16DN MN AB AD AB AD AB AD a a

DN MN (đpcm)

A

D

B

C

. M

N

E




Ví dụ 2: Cho tam giác đều ABC cạnh 3a. Lấy M, N, P lần lượt nằm trên ba cạnh BC, CA, AB sao

cho BM = a, CN = 2a, AP = x . Tìm x để AM vuông góc PN.

Giải:

Theo giả thuyết ta có:

2 1

3 33 3

BC BM AC AB AM AB AM AB AC

1

3 3

xNP AP AN AB AC

a

2

2 0. . .cos , cos602

aAB AC AB AC AB AC a

. 0AM PN AM NP

2 1 1. 0

3 3 3 3

xAB AC AB AC

a

2 22 2 1. 0

9 9 9 9

x xAB AB AC AC

a a

222 2 1 5 4

0 2 09 9 9 2 9 2 5

xa x a x aa a x

a

Vậy 4

5

ax thì AM PN

Ví dụ 3: Cho ABC có góc A nhọn. Gọi I là trung điểm BC .Dứng bên ngoài tam giác ABC các tam

giác ABD và ACE vuông cân tại A. Chứng minh AI DE

Giải:

Ta có : 0, 90 ,AE AB EAB EAC CAB CAB DAC AD AC

cos , cos ,AD AC AE AB và . 0

. 0

AE AC AE AC

AD AB AD AB

DE AE AD và 1

2AI AB AC

Ta có: 1 1 1 1

. . . . .2 2 2 2

DE AI AE AB AE AC AD AB AD AC

A

B C

D

E

I

A

B C .

.

P

M

N

x

a




1 1

. cos , . cos , 02 2

AE AB AE AB AD AC AD AC

(vì AB = AD , AC = AE và cos , cos ,AD AC AE AB )

DE AI (đpcm)

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông tại B có BC = 2BA. Điểm M là trung điểm đoạn AC.Gọi

N thuộc cạnh BC sao cho BC = 4BN. Chứng minh: BM AN

Giải:

M là trung điểm AC 1

2BM BC BA .

Lại có : BC = 4BN 1

44

BC BN BN BC (Vì BC và BN cùng chiều)

Do đó ta có: 1

4AN BN BA BC BA

22 2 21 1 1 1

. 2 08 2 8 2

BM AN BC BA BA BA BM AN (đpcm)

Dạng 4: Sử dụng tích vô hướng để giải bài toán quỹ tích

Các dấu hiệu cần nhớ: (tìm quỹ tích điểm M, với các điểm A, B, C, cố định)

Dấu hiệu 1: . 0AM BC AM BC quỹ tích M là đường thẳng qua A và vuông góc BC

Dấu hiệu 2: 2 0AM a quỹ tích M là đường tròn tâm A bán kính R a

Dấu hiệu 3: 0. 0 90MA MB MA MB AMB quỹ tích M là đường tròn đường kính AB.

Dấu hiệu 4: .MA MB a (với a là số không đổi)

Gọi I là trung điểm AB IB IA (I cố định)

2.MA MB a MI IA MI IB a MI MI IA IB IAIB a

2

2 2 2

4

ABMI IA a IM a IA a

Nếu 2

04

ABa thì không có điểm M thỏa đề

Nếu 2

04

ABa thì M I

Nếu 2

04

ABa thì quỹ tích M là đường tròn tâm I bán kính

2

4

ABR a




Dấu hiệu 5: .MA BC a

Gọi M0, A0 lần lượt là hình chiếu của M và A lên BC khi đó ta có:

0 0

0 0 0

0 0

. .

.

aM A

BCa MA BC M A BC M

M A a BC

cố định

Do đó quỹ tích M là đường thẳng qua 0M và vuông góc BC


Ví dụ 1: Cho tam giác đều ABC cạnh a . Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện;

a. . .MA MC MC MB c. 2 0MA MAMB MAMC

b. 2

2.2

aMB MC MA d.

25

2

aMAMB MAMC MBMC

Giải:

a. . . 0MA MC MC MB MC MA MB . 0MC BA

Tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB (vì A, B, C cố định)

b. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC 0 3GA GB GC MA MB MC MG

2 0 0 3 . 0MA MAMB MAMC MA MA MB MC MA MG . 0MA MG

090AMG tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính AG (vì A, G là hai điểm cố định)

c. Gọi I là trung điểm BC, ta có

2

2 2. .4

aMB MC MI IB MI IC IM MI IB IC IB IC IM

2 2 2 2 2

2 22 2 2 3 3

.2 4 2 4 4

a a a a aMB MC MA MI MA MI MA MI MA MI MA

23.

8

aAI MH (với H là trung điểm IA 2MI MA MH )

Nhân thấy:

22

21 1 1 3 3. .

2 2 2 2 8

a aAI AH AI AI AI

Do đó: 23

. . . 0 . 08

aAI MH AI MH AI AH AI MH AH AI MA

Tập hợp các điểm M là đường thẳng qua A và vuông góc với AI




d. 25

2

aMAMB MAMC MBMC

Gọi G là trọng tâm của 2

03 3. . . . .cos120

3 3 6

a a aABC GAGB GAGC GB GC

Ta có: 2

2 2

6

aMAMB MG GA MG GB MG MG GA GB GAGB MG MG GA GB

Tương tự ta cúng có:

2

2

6

aMAMC MG MG GA GC và

22

6

aMBMC MG MG GB GC

Do đó : 2 2

2 23 2 32 2

a aMAMB MAMC MBMC MG MG GA GB GC MG

2 2 2

25 53

2 2 2

a a aMAMB MAMC MBMC MG MG a

Ví G là điểm cố định nên tập hợp các điểm M là đường tròn tâm G bán kính R = a.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, góc A là góc nhọn. Trung tuyến AI. Tìm tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn

điều kiện: 2. .AB AH AC AK AI . Với H, K lần lượt là hình chiếu của M lên AB và AC.

Giải:

H, K lần lượt thuộc cạnh AB và AC nên ta có:

. . . . . .AB AH AC AK AB AH AC AK AB AM AC AM (theo định lý hình chiếu vuông góc)

2AM AB AC AM AI

Gọi E là trung điểm AI ta có: 2

2 . 2 .AI AI AI AI AE AI

Do đó ta có: 2. . 2 2 0 . 0AB AH AC AK AI AM AI AE AI AI AM AE AI EM

Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng qua E và vuông góc với AI (vì E, A, I cố định)

Dạng 5: Sử dụng tích vô hướng để giải bài toán cực trị hình học:

Phương pháp chung:

Sử dụng tích vô hướng để biến đổi biểu thức cần tìm cực trị và biểu thức độ dài, chẳng hạn như :

2S MI c (với c là một hẳng số , điểm I cố định)

Min S c khi MI = 0 (tức là M I)




Chú ý :

Nếu M nằm trên đường thẳng d cho trược thì Min(S) đạt được khi M là hình chiếu của I lên d.

Nếu M nằm trên đường tròn C(O,R)thì Min(S) , Max(S) đạt được khi M là một giao điểm

của đường thẳng IO và đường tròn (C)


Ví dụ 1: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (C) tâm O. Tìm vị trí của điểm M thuộc đường

tròn (C) để 2 2 22S MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất , đạt giá trị lớn nhất .

Giải:

Gọi D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ACBD.

Gọi R là bán kính của (C)

Khi đó ta có : CA CB CD và OA OB OC R

2 2 2

2S MA MB MC

2 2 2

2MO OA MO OB MO OC

2 2 22 2MO OA OB OC OA OB OC

2 2 22 2MO CA CB R R R

2 . 2. . .cos , 2. . .cos ,MO CD MO CD MO CD R CD MO CD

Ta có: 1 cos , 1 2. . 2. .MO CD R CD S R CD

( ) 2 .Min S R CD khi cos , 1MO CD (tức là M thuộc (C) sao cho MO và CD ngược chiều)

( ) 2 .Max S R CD khi cos , 1MO CD (tức là M thuộc (C) sao cho MO và CD cùng chiều)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC và đường thẳng d cố định . M là điểm tùy ý trên d.

a. Dựng điểm I thỏa mãn điều kiện: 3 2 0IA IB IC

b. Xác định vị trí của điểm M sao cho 2 2 23 2S MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất.

A B

C

O

D

M

.

M




Giải:

a. Gọi H là trung điểm AB khi đó ta có: 2IA IB IH

3 2 0 2IA IB IC IA IB IC IB

HI CB I là đỉnh thứ tư của HCBI

b. 2 2 2

3 2S MI IA MI IB MI IC

2 2 2 2

2 2 3 2 3 2MI MI IA IB IC IA IB IC

2 2 2 22 3 2MI IA IB IC

Vì A, B, C và I là các điểm cố định nên 2 2 23 2IA IB IC là một hằng số

Do đó 2 2 23 2S MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất IM đạt giá trị nhỏ nhất

M là hình chiếu vuông góc của điểm I lên đường thẳng d.

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Baøi 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Tính các tích vô hướng:

a) AB AC. b) ACCB. c) AB BC.

Baøi 2. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng :

a) .AB AC b) .AC CB c) .AB BC

Baøi 3. Cho tam giác ABC vuông cân có AB = AC = a. Tính các tích vô hướng:

a) .AB AC b) .AH CB c) .AB BC

Baøi 4. Cho tam giác ABC có : . 4AB CB và . 9AC BC

a. Tính các cạnh của tam giác ABC.

b. Gọi I, J là hai điểm thỏa mãn đẳng thức 2 0IA IB và 2 0JB JC tính độ dài đoạn thẳng IJ.

Baøi 5. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì.

a) Chứng minh: DA BC DBCA DC AB. . . 0 .

b) Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui".

Baøi 6. Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh:

BC AD CA BE ABCF. . . 0 .

Baøi 7. Cho hai điểm M, N nắm trên đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng

AM và BN.

a) Chứng minh: AM AI AB AI BN BI BA BI. . , . . .

b) Tính AM AI BN BI. . theo R.

A

B C

H I

M d




Baøi 8. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 3 , M là trung điểm của BC. Biết rằng 1

.2

AM BC

Tính độ dài AB và AC.

Baøi 9. Cho tam giác đều ABC cạnh a và AM là trung tuyến của tam giác ABC. Tính các tich vô hướng:

a. 2 3AC AB AC d. AC AC AB

b. .AM AB e. AB AC AB AC

c. CA BC CA CB f. . . .AB BC BC CA CA AB

Baøi 10. Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, AC = 8.

a) Tính AB AC. , rồi suy ra giá trị của góc A.

b) Tính CACB. .

c) Gọi D là điểm trên CA sao cho CD = 3. Tính CDCB. .

Baøi 11. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) AB AC. b) AB AD BD BC( )( ) c) AC AB AD AB( )(2 )

d) AB BD. e) AB AC AD DA DB DC( )( )

HD: a) a2 b) a2 c) a22 d) a2 e) 0

Baøi 12. Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = 3.

a) Tính AB AC. , rồi suy ra cosA.

b) Gọi G là trọng tâm của ABC. Tính AG BC. .

c) Tính giá trị biểu thức S = GAGB GBGC GCGA. . . .

d) Gọi AD là phân giác trong của góc BAC (D BC). Tính AD theo AB AC, , suy ra AD.

HD: a) AB AC3

.

2

, A1

cos

4

b) AG BC5

.

3

c) S29

6

d) Sử dụng tính chất đường phân giác AB

DB DC

AC

. AD AB AC3 2

5 5

, AD54

5

Baøi 13. Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, A = 600. M là trung điểm của BC.

a) Tính BC, AM.

b) Tính IJ, trong đó I, J được xác định bởi: IA IB JB JC2 0, 2 .

HD: a) BC = 19 , AM = 7

2

b) IJ = 2133

3




Baøi 14. Cho tứ giác ABCD.

a) Chứng minh AB BC CD DA AC DB2 2 2 2

2 . .

b) Suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là:

AB CD BC DA2 2 2 2 .

Baøi 15. Cho tam giác ABC có trực tâm H, M là trung điểm của BC. Chứng minh:

MH MA BC21

.

4

.

Baøi 16. Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm bất kì. Chứng minh:

a) MA MC MB MD2 2 2 2 b) MAMC MB MD. .

c) MA MBMD MAMO2

. 2 . (O là tâm của hình chữ nhật).

Baøi 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 1; 3a , 6 ; 2b và ;1a x

a. Chứng minh a b .

b. Tìm giá trị của x để a c

c. Tìm giá trị của x để a và c cùng phương nhau.

d. Tìm tọa độ vectơ d để a d và . 20b d

Baøi 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2; 3), B(9; 4), C(5; y) và D(x; -2).

a. Tìm giá trị của y sao cho tam giác ABC vuông tại C

b. Tìm x để A, B, D thẳng hàng.

Baøi 19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(-3; 3), B(4; 4).

a. Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho 090AMB

b. Tìm điểm N thuộc Ox để A, B, N thẳng hàng.

Baøi 20. Tính góc giữa hai vec tơ trong các trường hợp sau:

a. 4; 3 , 1; 7a b c. 2; 5 , 3; 7a b

b. 6; 8 , 12; 9a b d. 2; 6 , 3; 9a b

Baøi 21. Cho tam giác ABC với A(1 ; 6) , B(2 ; 6), C(1 ; 1)

a. Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

b. Tìm hình chiếu vuông góc K của đỉnh A lên đường thẳng BC. Từ đó suy ra A’ đối xứng của

điểm A qua đường thẳng BC.

Baøi 22. Cho tam giác ABC có A(1 ; -1) , B(5 ; -3) , C(2 ; 0).

a. Tính chu vi và nhận dạng tam giác ABC.

b. Tìm tọa độ điểm M biết 2 3CM AB AC

c. Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.




Baøi 23. Cho ba điểm A(7; 4), B(0; 3), C(5; -1) .

a. Tính .AB AC

b. Tính các giá trị lượng giác của góc BAC

c. Tìm tọa độ chân đường cao của tam giác ABC.

d. Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

e. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

f. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp I tam giác ABC.

g. Chứng minh I, H, G thẳng hàng, tính tỷ số HI

HG

Baøi 24. Cho tam giác ABC có AC = 2AB. Gọi D là trung điểm AC , M là điểm thỏa mãn điều kiện

1

3BM BC . Chứng minh BD vuông góc với AM.

Baøi 25. Cho tam giác ABC có A(1; –1), B(5; –3), C(2; 0).

a. Tính chu vi và nhận dạng tam giác ABC.

b. Tìm toạ độ điểm M biết CM AB AC2 3 .

c. Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Baøi 26. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8).

a. Tính AB AC. . Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.

b. Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

c. Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của tam giác ABC.

d. Tính chu vi, diện tích tam giác ABC.

e. Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B, M, A thẳng hàng.

f. Tìm toạ độ điểm N trên Ox để tam giác ANC cân tại N.

g. Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật.

h. Tìm toạ độ điểm K trên Ox để AOKB là hình thang đáy AO.

i. Tìm toạ độ điểm T thoả TA TB TC2 3 0

j. Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B.

k. Tìm toạ độ điểm I chân đường phân giác trong tại đỉnh C của ABC.

Baøi 27. Cho hình vuông ABCD.

a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Chứng minh BK AC

b. Gọi P, Q tương ứng trên BC, CD sao cho BC = m.BP, CD = m.CQ. Chứng minh AP BQ




Baøi 28. Cho hình chữ nhật ABCD.

a. AB = a, AD = 2a . Gọi K là trung điểm AD. Chứng minh BK AC

b. AB = a, AD = b. Gọi K là trung điểm của AD và L trên tia AD sao cho 2

2

bDL

a .

Chứng minh BK AL

Baøi 29. Cho tứ giác ABCD có AC BD tại M. Gọi P là trung điểm AD.

Chứng minh rằng . .MP BC MA MC MB MD

Baøi 30. Cho hình vuông ABCD, điểm M nằm trên AC sao cho AC = 4AM. Gọi N là trung điểm của DC.

Chứng minh tam giác BMN là tam giác vuông cân.

Baøi 31. Cho hình thang vuông ABCD có đường cao AB = h, cạnh đáy AD = a , BC = b. tìm điều kiện giữa a, ,

b, h để:

a. AC BD

b. 090AIB với I là trung điểm CD.

Baøi 32. Cho hình thang vuông ABCD có đường cao AB = 2a, cạnh đáy AD = a , BC = 4a.

a. Tính .AC BD , từ đó suy ra góc giữa AC và BD.

b. Gọi I là trung điểm của CD, J là điểm di động trên cạnh BC. Dùng tích vô hướng để tính BJ sao

cho AJ và BI vuông góc nhau.

Baøi 33. Cho tứ giác ABCD

a. Chứng minh : 2 2 2 2 2 .AB BC CD DA AC BD

b. Suy ra điều kiện cần và đủ để có tứ giác có 2 đường chéo vuông góc là 2 2 2 2AB CD BC DA

Baøi 34. Cho tam giác ABC vuông tại A, Gọi M là trung điểm của BC. Lấy các điểm B1, C1 trên AB và AC sao

cho 1 1. .AB AB AC AC . Chứng minh 1 1AM B C

Baøi 35. Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A , O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC,

a. Gọi M là trung điểm AB, E là trọng tâm của tam giác ACM. Chứng minh OE CM

b. Gọi BB1 và CC1 là đường cao của tam giác ABC. Chứng minh 1 1OA B C

Baøi 36. Cho đường tròn tâm O và điểm P nằm ở miền trong của đường tròn. Qua P, kẻ hai dây cung AB và CD

vuông góc nhau. Gọi M là trung điểm của dây cung BD. Chứng minh: PM AC

Baøi 37. Cho tam giác ABC. tìm tập hợp những điểm M sao cho:

a) MA MAMB22 . b) MA MB MB MC( )(2 ) 0

c) MA MB MB MC( )( ) 0 d) MA MAMB MAMC2

2 . .

Baøi 38. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tìm tập hợp những điểm M sao cho:

a) MAMC MBMD a2

. . b) MAMB MC MD a2

. . 5

c) MA MB MC MD2 2 2 2

3 d) MA MB MC MC MB a2

( )( ) 3




Baøi 39. Cho tứ giác ABCD, I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm tập hợp điểm M sao cho:

MA MB MC MD IJ21

. .

2

.

Baøi 40. Cho tam giác ABC có trọng tâm G và M là điểm tùy ý.

a. Chứng minh rằng: . . . 0MA BC MB CA MC AB

b. Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 2 23MA MB MC GA GB GC MG . từ đó suy ra vị trí của điểm

M để 2 2 2MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất.

Baøi 41. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện:

a. 2 2 2 22MA MB MC a e.

25. . .

2

aMA MB MB MC MC MA

b. . .MA MC MC MB f. 2 2 23 2 0MA MB MC

c. 2 . . 0MA MA MB MA MC g. 2 2 2 22MA MB MC a

d. 2

2.2

aMB MC MA h.

2

. . .2

aMA MB MB MC MC MA

Baøi 42. Cho hình bình hành ABCD có tâm O, M là điểm tùy ý

a. Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 22MA MB MC MD OB OA

b. Giả sử M di động trên đường tròn (C), tìm vị trí của điểm M để 2 2 2MA MB MC đạt giá trị

nhỏ nhất

Baøi 43. Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 6cm. Lấy điểm M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Đặt 2 2 2S MA MB MC . Tìm vị trí của điểm M để S đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.

Baøi 44. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O.

a. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2MA MB MC MD a M thuộc đường tròn ngoại tiếp hình vuông

ABCD.

b. Chứng minh rằng: 2 2 2 23 2 3MA MB MC MD MO MA MB MC MD

c. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 2 2 2 23S MA MB MC MD khi M di động trên

đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.

Baøi 45. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn điều liện:

a. 2 2 2 2 0MA MB CA CB g. . .MA MB AB MC

b. 2 2 23 2 0MA MB MC h. 2 .MA MB MC

c. 2 22 .MB MB MC BC i. 2 2 2 2 2MA MB MC AB AC

d. .AM BC k (với k là hằng số cho trước) k. 22 . .MA MA MB MA MC

e. 0MA MB MC MB l. 2 0MA MB MB MC

f. 2 2 2. .MA MB MA MC MC MB BC m. 22 . .MA MA MB MA MC




A

B CH

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

Cho ABC có:

– độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c

– độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: ma, mb, mc

– độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: ha, hb, hc

– bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r

– nửa chu vi tam giác: p

– diện tích tam giác: S

1. Định lí côsin

a b c bc A2 2 2

2 .cos ;

b c a ca B2 2 2

2 .cos ;

c a b ab C2 2 2

2 .cos

2. Định lí sin

a b c

R

A B C

2

sin sin sin

3. Độ dài trung tuyến

a

b c am

2 2 2

2 2( )

4

;

b

a c bm

2 2 2

2 2( )

4

;

c

a b cm

2 2 2

2 2( )

4

4. Diện tích tam giác

S = a b c

ah bh ch1 1 1

2 2 2

1 1 1

sin sin sin

2 2 2

S bc A ca B ab C

4

abcS

R

S pr

( )( )( )S p p a p b p c (công thức Hê–rông)

Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác khi biết một số yếu tố cho trước.

5. Hệ thức lượng trong tam giác vuông (nhắc lại)

Cho ABC vuông tại A, AH là đường cao.

BC AB AC2 2 2 (định lí Pi–ta–go)

AB BC BH2

. , AC BCCH2

.

AH BH CH2

. , AH AB AC2 2 2

1 1 1




OM

AB

C

D

T

R

AH BC AB AC. .

b a B a C c B c C.sin .cos tan cot ; c a C a B b C b C.sin .cos tan cot

6. Hệ thức lượng trong đường tròn (bổ sung)

Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định.

Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD.

PM/(O) = MAMB MC MD MO R2 2

. .

Nếu M ở ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT.

PM/(O) = MT MO R2 2 2

Bài tập áp dụng

Baøi 1. Cho tam giác ABC, BC = a, AC = b, AB = c, S là diện tích ΔABC, R là bán kính vòng tròn ngoại

tiếp, r là bán kính vòng tròn nội tiếp; ha, hb, hc lần lượt là các đường cao hạ từ A, B, C; ma, mb, mc

lần lượt là các trung tuyến hạ từ A, B, C; la, lb, lc lần lượt là các phân giác hạ từ A, B, C; p là nửa

chu vi ΔABC.

1. a = 5; b = 6; c = 7. Tính S, ha, hb, hc, R, r.

2. a 2 3,b 2 2,c 6 2 . Tính 3 góc.

3. b = 8; c = 5; A = 60°. Tính S, R, r, ha , ma.

4. a = 21; b = 17; c = 10. Tính S, R, r, ha, ma.

5. A = 60°; hc = 3 ; R = 5. Tính a, b, c.

6. A = 120°; B = 45°; R = 2. Tính 3 cạnh.

7. a = 4, b = 3, c = 2. Tính SABC, suy ra SAIC (I trung điểm AB).

8. Cho góc A nhọn, b = 2m 2 , c = m, S = m². Tính a, la.

9. Cho c = 3, b = 4; S = 3 3 . Tính a.

10. Nếu góc A = 90°. CMR:

a. a

bcsin Al

A(b c)sin

2

b. 2 21r (b c )b c

2 c.

a b c

1 1 1 1

r h h h

11. Cho góc A = 120°. CMR: a

1 1 1

b cl

12. CMR: cotA + cotB + cotC = 2 2 2

a b cR

abc

và

2 2 2

2 2 2

tanA a c b

tanB b c a

13. Cho 3 3 3

2b c aa

b c a

và a = 2bcosC. Tam giác ABC là tam giác gì?

14. S = p(p – c). Tam giác ABC là tam giác gì?




15. S = (p – b)(p – c). Tam giác ABC là tam giác gì?

16. acosB = bcosA. Tam giác ABC là tam giác gì?

17. mb² + mc² = 5ma². Tam giác ABC là tam giác gì?

18. sinA = 2sinBcosC. Tam giác ABC là tam giác gì?

19. Cho AB = k. Tìm tập hợp M thỏa MA² + MB² = 5k²/2

20. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a. 3(GA² + GB² + GC²) = a² + b² + c²

b. 4(ma² + mb² + mc²) = 3(a² + b² + c²)

c. 4ma² = b² + c² + 2bc.cosA

21. Chứng minh với mọi tam giác ABC ta có

a. S = 2R²sinAsinBsinC = Rr(sinA + sinB + sinC)

b. a = b.cosC + c.cosB

c. ha = 2RsinBsinC

d. sinB.cosC + sinC.cosB = sinA

22. Chứng minh rằng 2 2 2

a b c

b c a ≥ 2p. Nếu dấu “ = ” xảy ra thì ABC là tam giác gì?

23. Cho b + c = 2a. Chứng minh rằng a b c

2 1 1

h h h

24. Định x để x² + x + 1; 2x + 1; x² – 1 là 3 cạnh tam giác. Khi đó chứng minh tam giác đó có

góc bằng 120°

25. Đường tròn nội tiếp tiếp xúc 3 cạnh tam giác ABC tại HIJ. Chứng minh rằng :

2

HIJ

prS

2R

26. Hai trung tuyến BM = 6, CN = 9 và hợp với nhau góc 120° tính các cạnh của ABC.

Baøi 2. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có;

a. a b C c B.cos .cos b. A B C C Bsin sin cos sin cos

c. ah R B C2 sin sin d.

a b cm m m a b c2 2 2 2 2 23

( )

4

e. ABC

S AB AC AB AC

22 21. .

2




Baøi 3. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a. Nếu b + c = 2a thì

a b ch h h

2 1 1

b. Nếu bc = a2 thì

b c aB C A h h h

2 2sin sin sin ,

c. A vuông b c am m m2 2 2

5

Baøi 4. Cho tứ giác lồi ABCD, gọi là góc hợp bởi hai đường chép AC và BD.

a. Chứng minh diện tích S của tứ giác cho bởi công thức: S AC BD1. .sin

2

.

b. Nêu kết quả trong trường hợp tứ giác có hai đường chéo vuông góc.

Baøi 5. Cho ABC vuông ở A, BC = a, đường cao AH.

a. Chứng minh AH a B B BH a B CH a B2 2

.sin .cos , .cos , .sin .

b. Từ đó suy ra AB BC BH AH BH HC2 2

. , . .

Baøi 6. Cho AOB cân đỉnh O, OH và OK là các đường cao. Đặt OA = a, AOH .

a. Tính các cạnh của OAK theo a và .

b. Tính các cạnh của các tam giác OHA và AKB theo a và .

c. Từ đó tính sin2 , cos2 , tan2 theo sin , cos , tan .

Baøi 7. Giải tam giác ABC, biết:

a. c A B0 0

14; 60 ; 40 b. b A C0 0

4,5; 30 ; 75

c. c A C0 0

35; 40 ; 120 d. a B C0 0

137,5; 83 ; 57


a. a b C0

6,3; 6,3; 54 b. b c A0

32; 45; 87

c. a b C0

7; 23; 130 d. b c A0

14; 10; 145


a. a b c14; 18; 20 b. a b c6; 7,3; 4,8

c. a b c4; 5; 7 d. a b c2 3; 2 2; 6 2

Baøi 10. Cho tứ giác ABCD. Gọi α là góc hợp bởi 2 đường chéo AC và BD.

a. Chứng minh rằng: ABCDS = 1

2AC.BD.sin α

b. Vẽ hình bình hành ABDC’. Chứng minh rằng: 'ABCD ACCS S

Baøi 11. Cho tứ giác ABCD có I, J lần lượt là trung điểm của các đường chéo AC và BD.

Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 24AB BC CD DA AC BD IJ




BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II

Baøi 1. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) x x

x x x

sin 1 cos 2

1 cos sin sin

b)

x xx x

x x

3 3sin cos

1 sin .cos

sin cos

c) x

x x x

22

2 2

tan 1 11

2 tan 4sin .cos

d)

x xx

x x x

2 2

2

4 4 2

cos sin1 tan

sin cos sin

e) x x

x x

x x x x

2 2sin cos

sin cos

cos (1 tan ) sin (1 cot )

f) x x

x x

x x x x

cos sin 1tan . cot

1 sin 1 cos sin .cos

g) x x x x x2 2 2 2 2

cos (cos 2sin sin tan ) 1

Baøi 2. Biết 0 5 1

sin18

4

. Tính cos18

0, sin72

0, sin162

0, cos162

0, sin108

0, cos108

0, tan72

0.

Baøi 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) A = x x x4 2 2

cos cos sin b) B = x x x4 2 2

sin sin cos

Baøi 4. Cho các vectơ a b, .

a) Tính góc a b, , biết a b, 0 và hai vectơ u a b v a b2 , 5 4 vuông góc.

b) Tính a b , biết a b a b11, 23, 30 .

c) Tính góc a b, , biết a b a b a b a b( 3 ) (7 5 ), ( 4 ) (7 2 ) .

d) Tính a b a b, 2 3 , biết a b a b0

3, 2, ( , ) 120 .

e) Tính a b, , biết a b a b a b a b2, 4, (2 ) ( 3 ) .

Baøi 5. Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 6.

a) Tính AB AC. và cosA.

b) M, N là hai điểm được xác định bởi AM AB AN AC2 3,

3 4

. Tính MN.

Baøi 6. Cho hình bình hành ABCD có AB = 3 , AD = 1, BAD060 .

a) Tính AB AD BA BC. , . .

b) Tính độ dài hai đường chéo AC và BD. Tính AC BDcos , .

Baøi 7. Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Về phía ngoài tam giác vẽ các tam giác vuông cân đỉnh A là ABD

và ACE. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh AI DE.

Baøi 8. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác

ABO và CDO. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh HK IJ.




Baøi 9. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1, M là trung điểm cạnh AB. Trên đường chéo AC lấy điểm N

sao cho AN AC3

4

.

a) Chứng minh DN vuông góc với MN.

b) Tính tổng DN NC MN CB. . .

Baøi 10. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

a) AB AM AC AM. . 0 b) AB AM AC AM. . 0

c) MA MB MA MC( )( ) 0 d) MA MB MC MA MB MC( 2 )( 2 ) 0

Baøi 11. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có:

a) b c a b C c B2 2

( .cos .cos ) b) b c A a c C b B2 2( )cos ( .cos .cos )

b) A B C C B B Csin sin .cos sin .cos sin( )

Baøi 12. Cho ABC. Chứng minh rằng:

a) Nếu a b c b c a bc( )( ) 3 thì A060 .

b) Nếu b c a

a

b c a

3 3 3

2

thì A

060 .

c) Nếu A C Bcos( ) 3cos 1 thì B060 .

d) Nếu b b a c a c2 2 2 2( ) ( ) thì A

060 .

Baøi 13. Cho ABC. Chứng minh rằng:

a) Nếu b a

b A a B

c

2 2

cos cos

2

thì ABC cân đỉnh C.

b) Nếu B

A

C

sin2cos

sin

thì ABC cân đỉnh B.

c) Nếu a b C2 .cos thì ABC cân đỉnh A.

d) Nếu b c a

B C B Ccos cos sin .sin

thì ABC vuông tại A.

e) Nếu S R B C2

2 sin .sin thì ABC vuông tại A.

Baøi 14. Cho ABC. Chứng minh điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau là:

b c a2 2 2

5 .

Baøi 15. Cho ABC.

a) Có a = 5, b = 6, c = 3. Trên các đoạn AB, BC lần lượt lấy các điểm M, K sao cho BM = 2,

BK = 2. Tính MK.

b) Có A5

cos

9

, điểm D thuộc cạnh BC sao cho ABC DAC , DA = 6, BD16

3

.

Tính chu vi tam giác ABC.

HD: a) MK = 8 30

15

b) AC = 5, BC = 25

3

, AB = 10




Baøi 16. Cho một tam giác có độ dài các cạnh là: x x x x2 2

1; 2 1; 1 .

a) Tìm x để tồn tại một tam giác như trên.

b) Khi đó chứng minh tam giác ấy có một góc bằng 0

120 .

Baøi 17. Cho ABC có B090 , AQ và CP là các đường cao,

ABC BPQS S9 .

a) Tính cosB.

b) Cho PQ = 2 2 . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp ABC.

HD: a) B1

cos

3

b) R9

2

Baøi 18. Cho ABC.

a) Có B060 , R = 2, I là tâm đường tròn nội tiếp.

Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp ACI.

b) Có A090 , AB = 3, AC = 4, M là trung điểm của AC.

Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp BCM.

c) Có a = 4, b = 3, c = 2, M là trung điểm của AB.

Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp BCM.

HD: a) R = 2 b) R5 13

6

c) R8 23

3 30

Baøi 19. Cho hai đường tròn (O1, R) và (O2, r) cắt nhau tại hai điểm A và B. Một đường thẳng tiếp xúc với hai

đường tròn tại C và D. Gọi N là giao điểm của AB và CD (B nằm giữa A và N). Đặt

AO C AO D1 2

, .

a) Tính AC theo R và ; AD theo r và .

b) Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp ACD.

HD: a) AC = R2 sin2

, AD = r2 sin

2

b) Rr .

Baøi 20. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AC, BD = a, CAB , CAD .

a) Tính AC. b) Tính diện tích tứ giác ABCD theo a, , .

HD: a) AC = a

sin( ) b)

aS

2cos( )

2sin( )

.

Baøi 21. Cho ABC cân đỉnh A, A , AB = m, D là một điểm trên cạnh BC sao cho BC = 3BD.

a) Tính BC, AD.

b) Chứng tỏ rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD, ACD là bằng nhau. Tính cos để bán kính

của chúng bằng 1

2

bán kính R của đường tròn ngoại tiếp ABC.

HD: a) BC = m2 sin2

, AD =

m5 4cos

3

b) 11

cos

16

.


TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG

Education

Transcript of TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG