Thuật toán trên đồ thị

21.04.23 Dao Thanh Tinh 2

Một số khái niệm

Đồ thị: G = {V, E},

trong đó V= n, n>0, và E VV,

V – tập đỉnh, E– tập cạnh và E= m, m0.

Nếu (a,b)E mà suy ra (b,a) E và (b,a) = (a,b) thì G – vô hướng.

Ngược lại, G – có hướng.

Nếu e=(a,b)E thì

a gọi là liền kề với b

và e liên thuộc với a và b.

Ký hiệu V= { u1, u2, ..., un}


Một số khái niệm (2)Cho đồ thị: G = {V, E}, Dãy

(uo,uk) = <uo, u1, ..., um>,

với (ui,ui+1) E, i = 0,...,k-1 và

ui V, i = 0,...,k

được gọi là đường đi từ uo tới uk.

Số cạnh có trên (uo,uk) được gọi là độ dài của đường đi (trong định nghĩa trên là m).


Một số khái niệm (3)Đồ thị: G = {V, E},

Cho ánh xạ f: E R+, với eE, f(e) – trọng số cạnh e.

Đồ thị G = {V,E,f} gọi là có trọng số

Xét đường đi

(uo,uk) = <uo, u1, ..., um>,

Đại lượng

((uo,uk)) = f(ui,ui+1)i = 0,...,k-1

được gọi là độ dài đường đi từ uo tới uk.



Đường kính của đồ thị là độ dài lớn nhất đường đi giữa các cặp đỉnh.

Đồ thị G gọi là liên thông nếu giữa hai đỉnh bất kỳ có đường đi.

Đường đi

(uo,uk) = <uo, u1, ..., um>

gọi là kín nếu uo=uk.



Đường đi

(uo,uk) = <uo, u1, ..., um>

gọi là đơn nếu mỗi cạnh có mặt trên đường đi không quá 1 lần.

Đường đi kín và đơn gọi là chu trình.


Một số khái niệm (6)Đồ thị

G = {V, E}

liên thông, không có chu trình gọi là cây.

Trong cây

T = {V,E}

nếu có một đỉnh đặc biệt được gọi là gốc thì cây được gọi là

có thứ tự.


Duyệt đồ thịĐồ thị G = {V, E} liên thông

Depth-First Search for all xV visited(x):= false;i:=0;DFS(v);output p[1..n];

Procedure DFS (v: đỉnh)a) visited(v):= true;b) i:=i+1; p[i] := v;c) for each w liền kề của v

If (visited(w)= false);DFS(w);

Thời gian tính toán

O(|V|+|E|)


Duyệt đồ thị (2)Đồ thị G = {V, E} liên thông

Breadth-First Search MakeNil(Q);for all xV visited(x):= false;i:=1; visited(v):= true; p[i] := v;enqueue(v,Q);while (QNIL)

a) u:=front(Q);dequeue(Q);b) for each x liền kề của v

If (visited(x)= false);enqueue(x,Q);visited(x):=true;inc(i); p[i]=x;

output p[1..n];

Thời gian tính toán

O(|V|+|E|)


Single-Source Shortest Paths

Cho G={V,E} liên thông, f: ER+ và u, v V.

Ký hiệu (u,v) = {(u,v)}

Tìm *(u,v)

(*(u,v)) = min {((u,v)) : (u,v) (u,v)}

The Implementation of Dijkstra’s Algorithm

Với xV ký hiệu L(x) – độ dài đường đi ngắn nhất *(u,x);

Giá trị khởi tạo L(u) = 0; L(x) = + với xV\{u}

Ký hiệu

tập S: nếu xS thì L(x) = (*(u,x))

V+(x) = {y V : (x,y) E}

V-(x) = {y V : (y,x) E}


Single-Source Shortest Paths(2)The Implementation of Dijkstra’s Algorithm L(u) = 0; for all xV\{u} do L(x) = +

while (S(v) = false)

1) L(a) = min {L(x): xV \ S; S(a)=true;

2) for all x (V\S) V+(a)

if L(a)+ f(a,x)<L(x) then L(x):=L(a)+f(a,x);

k := 0; pk := v;

while (pku)

1) Tìm y V-(pk) sao cho L(y) + f(y,pk) = L(pk)

2) pk+1 = x;

3) k++;

Output p[k..0], L(v);

Running time

O(|V||E|)


Single-Source Shortest Paths(3)

21.04.23 Dao Thanh Tinh+ 13

Single-Source Shortest Paths(4)

Chứng minh thuật toán

1. t S, L(t) = (*(u,t)). Khi k = 0 có 1 đỉnh t = u !

2. L(a) = min {L(t): t V\S} L(a) = (*(u,a)) và *(u,a) chỉ chứa các đỉnh (không kể a) thuộc S. Giả thiết đúng khi k=0.

Giả sử Lk(a) > (*(u,a)). Đặt = L(a).

Kí hiệu t là đỉnh ngay trước a trên *(u,a): L(t) + f(t,a)= (*(u,a))

hay Lk(t) < (*(u,a)) < Lk(a)

Nếu tS thì do L(t) + f(t,a)= (*(u,a)) < . Đặt L(a)= L(t)+f(t,a)< . Nghĩa là giảm được L(a). Vô lý!

Nếu t S, theo thuật toán Lk(a) < Lk(t) < = L(a).

Mâu thuẫn.

Nghĩa là (*(u,a)) = Lk(a)


Single-Source Shortest Paths(5)Floyd Shortest-Path

Kí hiệu V={1, 2, ..., n}

for x=1 to n

for y=1 to n

if ((x,y) E) D(x,y) = f(x,y) else D(x,y) = +for k=1 to n

for x=1 to n

for y=1 to n

D(x,y) = min{D(x,y), D(x,k)+D(k,y)}

Xác định đường đi: tương tự Dijsktra

Running time

O(|V|3)


Single-Source Shortest Paths (6)

Cho G={V,E} liên thông, không trọng số (f:E{1}) và u, v V.

Ký hiệu (u,v) = {(u,v)}.

Độ dài đường đi tính bằng số cạnh tham gia.

Tìm *(u,v)

(*(u,v)) = min {((u,v)) : (u,v) (u,v)}

Với xV ký hiệu L(x) – độ dài đường đi ngắn nhất *(u,x);

Giá trị khởi tạo L(u) = 0; L(x) = + với xV\{u}

Ký hiệu

tập Am = { xV: L(x) = m}

V+(x) = {y V : (x,y) E}

V-(x) = {y V : (y,x) E}


Single-Source Shortest Paths(7)The Implementation of Algorithm

m=0; L(u) = m; Am={u};for all xV\{u} do L(x) = + while (L(v) = +)

1) Am+1 ={ };

2) for all x Am

for all y V+(x) if (L(y) = +) then

L(y):= m+1;

Am+1 = Am+1 {y};

pm := v; po := u;for k:= m-1 downto 1

1) Tìm y V-(pk+1) Ak;

2) pk = y;Output p[0..m], L(v)=m;

Running time

O(|V||E|)


Minimum Spanning TreeCho G={V,E}. T={V,E*}, E* E, liên thông, không có chu trình gọi là cây khung của GRemark:

1. Đồ thị vô hướng là cây u,v V, (u,v) là đường đi đơn2. Đồ thị G có cây khung G liên thông

Kí hiệu (G) là tập các cây khung của G.

Bài toán 1. Cho G liên thông. Tìm T (G). Bài toán 2. Cho G có trọng số và T(G). Kí hiệu (T) là tổng trọng

số các cạnh thuộc T. Tìm T*(G) sao cho

(T*) = min {(T) : T(G)}

T* - minimum spanning tree của G.


Minimum Spanning Tree (2)

Bài toán 1. Cho G liên thông. Tìm T (G).

for all x V checked(x) = false;DFS(v);

void DFS(u: đỉnh); checked[u] = true; for each x V(u) if checked(x)=false

{T:= T(u,x); DFS (x);}

void BFS( a: đỉnh); enqueue (a, Q); checked[ a] = true; while ! empty(Q)

u = front(Q); dequeue(Q);for each x V(u) if checked(x) = false

{ T:=T (u, x); enqueue(x Q); checked(x)=true; }

for all x V checked(x) = false;mkenull(Q); BFS(v);

O(|V||E|)


Minimum Spanning Tree (3)Bài toán 2. Cho G có trọng số và T(G). Kí hiệu (T) là tổng trọng

số các cạnh thuộc T. Tìm T*(G) sao cho

(T*) = min {(T) : T(G)}

T* - minimum spanning tree của G.

Thuật toán PRIME1. T:= { e E, f(e) - min};2. While Số cạnh(T) < n-1 do

Chọn e là cạnha) liên thuộc với một đỉnh của T;b) T{ e} không có chu trình;c) có trọng số nhỏ nhất.

T := T { e};3. Output T, (T);

Thuật toán KRUSKAL1. T:= {};2. While Số cạnh(T) < n-1 do

Chọn e là cạnha);b) T{ e} không có chu trình;c) có trọng số nhỏ nhất.

T := T { e};3. Output T, (T);

O(m+nlgn)


Minimum Spanning Tree (4)Thuật toán PRIME1. T:= { e E, f(e) - min};2. While Số cạnh(T) < n-1 do


T := T { e};3. Output T, (T);

Thuật toán KRUSKAL1. T:= {};2. While Số cạnh(T)<n-1 do


T := T { e};3. Output T, (T);


Minimum Spanning Tree (5)Thuật toán PRIME1. T:= { e E, f(e) - min};2. While Số cạnh(T) < n-1 do


T := T { e};3. Output T, (T);

Xét cấu trúc:V={1, 2, ...,n}E= g(1..m) of record

d, c : tên đỉnh;t : trọng số;

end;Sử dụng S: đánh dấu đỉnh thuộc T

1) sort g(1).t...g(m).t;2) for x=1 to n do S(x)=0;3) k:=1; T(k) := g(1); S(T(k).d) :=1; S(T(k).c) :=1;4) := T(1).t;5) while (k<n-1)

a) j=2; while (S(g(j).d)=S(g(j).c)) j:= j +1; c) k:= k+1; T(k):=g(j); := + T(k).t; S(T(k).d):= 1; S(T(k).c):= 1;

6) output T(1)..T(n-1), ;

Time of Algorithm is O(nm)


Minimum Spanning Tree (6)Thuật toán KRUSKAL1. T:= {};2. While Số cạnh(T) < n-1 do


T := T { e};3. Output T, (T);

Xét cấu trúc:V={1, 2, ...,n}E= g(1..m) of record

d, c : tên đỉnh;t : trọng số;

end;Sử dụng S: đánh dấu cây con

1) sort g(1).t...g(m).t;2) for x=1 to n do S(x)=x; k=0; =0; j=1;3) while (k<n-1)

a)while (S(g(j).d)=S(g(j).c)) j= j+1; c) k:= k+1; T(k):=g(j); = + T(k).t; p=S(T(k).d); h=S(T(k).c); for x:=1 to n do if (S(x)=h) S(x)=p;

4) output T(1)..T(n-1), ;Time of Algorithm is O(nm)


Minimum Spanning Tree (7)Thuật toán PRIM (1)

1. for all i V L(i):=∞;

2. p(v) := null; L(v) := 0;

3. H = V;

4. while (H null)

L(a)=min{ L(x): xH}; H=H\{a};

for all xV(a)H

if L(x) > f(a, x) then

{L(x) = f(a, x); p(x) := a;}

5. output {(x,p(x)), xV, p(x)null;}

Time of Algorithm is O(n2)

= 9+8+7+6+4 = 34


Minimum Spanning Tree (8)Thuật toán PRIM

1. for all i V L(i):=∞;

2. p(v) := null; L(v) := 0;

3. H = V;

4. while (H null)

L(a)=min{ L(x): xH}; H=H\{a};

for all xV(a)H

if L(x) > f(a, x) then

{L(x) = f(a, x); p(x) := a;}

5. output {(x,p(x)), xV, p(x)null;}

(a,b) (c,b) (d,f) (e,d) (f,c)

= 8+9+7+6+4 = 34

V\H H a b c d e f

p b b b c f f d c

a b c d e f 0

b a c f d e 8 9 10

b a c f d e

b a c f d e 9 4

b a c f d e 7 9

b a c f d e 6

b a c f d e


The Network Flow ProblemT = {G,f} - mạng vận tải

G={V,E} có hướng

! a, z : V(a)=, V+(z)= ,

a- cửa vào và z-cửa ra

e: f(e)- khả năng của mạng tại e

Luồng trên mạng T

: E Ro

e E, 0(e)f(e)

v V\{a,z} thoả mãn: )1()()()( )(

vEe vEe

ee

)2()()(,)()()( )(

zEe aEe

eaQezQ

Từ (1) Q(a) = Q(z).

Ký hiệu = Q(a) - giá trị của luồng


The Network Flow Problem (2)

Bài toán:

Cho T = {G,f}

Tìm sao cho đạt giá trị lớn nhất



Thuật toán:

Ý tưởng:

1. Chọn luồng khởi tạo;

2. Tìm các đường tăng được (dãy các đỉnh từ cửa vào đến cửa ra mà ta có thể thêm hoặc bớt hàm trên mỗi cung của dãy này cùng một giá trị nào đó mà vẫn đảm bảo là luồng đồng thời làm tăng giá trị của luồng). Ví dụ, dãy

{ (x0x1) (x1x4) (x4 x3) (x3z) }

là đường tăng được. Thêm vào các cung trên dãy này một giá trị là 2. Hàm ’ nhận được vẫn là luồng.

3. Lặp lại bước 2 cho đến khi không còn đường tăng được



Thuật toán:

for each e E do (e) := 0;

:= 0;

repeat

xoá nhãn, dấu

gán nhãn, dấu và tính giá trị tăng được *;

if chưa cực đại

thực hiện tăng luồng ;

:= + *;

until -cực đại;



Gán nhãn, xác định giá trị tăng được *:

1) Gán chỉ số cho các đỉnh, u0 = a;

2) Gán dấu cho cung e thích hợp:

Nếu e=(uk,x), (e)<f(e) thì M(e)=‘+’, Nếu e=(x,uk), (e)>0 thì M(e)= ‘‘.

2) Nhãn của đỉnh x: L(x)={c(x), (x)}

c(x)=k, chỉ số của uk và giá trị lớn nhất mà luồng có thể tăng được kể từ cửa vào cho đến nút x.

Nếu dấu e = (uk,x) là ‘+’ thì có thể tăng , ngược lại, nếu dấu e=(x,uk) là ‘-‘có thể giảm .

Ví dụ, e=(x1,x4) có thể gán dấu +

L(x4) = {1, 6} nếu xét dãy các đỉnh từ x0, x1, x4.


The Network Flow Problem (6)1) (u0) := +; R := {u0};

2) while (R ) & (L(z)= { })

a) chọn uk R; R := R\{uk};

b) for each x V+(uk) or x V(uk)

if L(x) = { }

if (xV+(uk)) & ((uk,x)<f(uk,x))

c(x) = k;

M(uk, x) = ‘+’;

(x) = min {(uk), f(uk,x) - (uk,x)};

if (x,uk)>0

c(x) = k;

M(x,uk) = ‘’;

(x) = min { (uk), (x,uk) };

if (L(x){ }) R := R {x}

3) if L(z) ={ } MAX() = TRUE

else MAX() = FALSE;

4) * := (z);R={ uo

f =7

f =2

f =15

f =3

f =7

f =10

f =3

f =10

f =8

z

u3

u4

u2

u1

uo

=1

=0

=1

=0

=1

=1

=0

=1

=0{ ,}

{ 0 ,7}

+

{ 0,10}+

{ 0,2}

+

R={ u1 , u2 , u3R={u2, u3

{1,6}

R={u4, u2, u3R={u2, u3

{4,1}

*=1

+

+


The Network Flow Problem (7)x := z;

while x u0

j := c(x);

if (M(uj,x)=‘+’) (uj,x) = (uj,x)+*

else (x,uj) = (x,uj)- *;

x = uj;

f =7

f =2

f =15

f =3

f =7

f =10

f =3

f =10

f =8

z

u3

u4

u2

u1

uo

=1

=0

=1

=0

=1

=1

=0

=1

=0{ ,}

{ 0 ,7}

+

{ 0,10}+

{ 0,2}

+

{1,6}

{4,1}

*=1+

+

x = z, j = c(x) = 4

(u4,z) = (u4,z) + 1

x = u4 j = c(x) = 1

(u1,u4) = (u1,u4) + 1

x = u1 j = c(x) = 0

(u0,u1)=(u0,u1) + 1

x = u0. STOP.


The Network Flow Problem (8)Định nghĩa

W V\ {z}, a W, W* := V \W.

Nhát cắt: (W,W*) ={ e=(u,v): u W, u W*}

Dung lượng f(W,W*) =f(e), e (W,W*)

Ví dụ:

W = {u0, u1, u2} W*={u3, u4, z}

(W,W*) = {(u0,u3), (u1,u4), (u2,u3)}

f(W,W*) = 3+7+10 = 20

f =7

f =2

f =15

f =3

f =7

f =10

f =3

f =10

f =8

z

u3

u4

u2

u1

uo

=1

=0

=1

=0 =1

=1

=0

=1

=0

Định lý max z

bằng giá trị bé nhất của các nhát cắt trong mạng T


The Network Flow Problem (8)Định lý

max z = giá trị bé nhất của các nhát cắt trong mạng T

Chứng minh

Giả sử -luồng cực đại.

Thực hiện thủ tục gán nhãn.

Kí hiệu W ={xV: L(x)}, W* = V\W

Do a W, z W (W,W*) – nhát cắt.Nếu cửa ra z W, L(z) , tăng luồng = +(z). Mâu

thuẫn! Vì - luồng cực đại.

Xét (x,y)(W,W*). Rõ ràng (x,y) = f(x,y) Nếu (x,y)<f(x,y) L(y) , yW, trái với giả thiết y W*

Xét (u,v)E, uW*, vW (u,v) = 0.Nếu (u,v)>0 thì L(u) , uW.

Như vậy, (W,W*)=f(W,W*), (W*,W)=0.

Tự chứng minh: (W,W*)(W*,W) f(W,W*)

f =7

f =2

f =15

f =3

f =7

f =10

f =3

f =10

f =8

z

u3

u4

u2

u1

uo

=7

=8

=7

=2 =2

=16

=10

=3

=3

f =7

f =2

f =15

f =3

f =7

f =10

f =3

f =10

f =8

z

u3

u4

u2

u1

uo

=7

=8

=7

=2 =2

=16

=10

=3

=3{ ,}

+

{0,1}

{0,2}+

{2,2}

= 18


The Network Flow Problem (8)Định lý

max z = giá trị bé nhất của các nhát cắt trong mạng T

f =7

f =2

f =15

f =3

f =7

f =10

f =3

f =10

f =8

z

u3

u4

u2

u1

uo

=7

=8

=7

=2 =2

=16

=10

=3

=3

f =7

f =2

f =15

f =3

f =7

f =10

f =3

f =10

f =8

z

u3

u4

u2

u1

uo

=7

=8

=7

=2 =2

=16

=10

=3

=3{ ,}

+

{0,1}

{0,2}+

{2,2}

= 18

Xét mạng đã gán nhãn với L(z)=.

W = {u0, u1, u2, u4} W*={u3, z}

(W,W*) = {(u0,u3), (u2,u3), (u4,u3), (u4,z)}

f(W,W*) = 3+10+3+2 = 18

(W,W*) = 18

(W*,W) = 0



Author(s) Y ear ComplexityFord; Fulkerson 1956 Edmonds; Karp 1969 O(E2V )Dinic 1970 O(EV2)Karzanov 1973 O(V3)Cherkassky 1976 O(EV2)Malhotra; et al : 1978 O(V3)Galil 1978 O(V5/3.E2/3)Galil and Naamad 1979 O(EV.log2V )Sleator and Tarjan 1980 O(EV.log V )Goldberg and Tarjan 1985 O(EV.log (V2/E))


Mạng PERT (1)

Bài toán:

Dự án A có n công việc tên là 1, 2, …, n. Việc thứ i, i=1,..,n, có

một số việc tiên quyết, lưu trong danh sách Ci, tức là bắt

buộc phải thực hiện xong các việc trong Ci mới được thực

hiện việc i. Trong điều kiện cho trước, việc i cần thời gian ti

để hoàn thành.

Dự án A được khởi động vào thời điểm t0.

1) Tính thời điểm sớm nhất T có thể hoàn thành dự án A.

2) Trong thời hạn đã được nêu ra ở phần 1) hãy chỉ ra thời điểm bắt đầu sớm nhất, muộn nhất có thể được đối với từng công việc và thời gian dự trữ của từng công việc.


Mạng PERT (2)

Ví dụ P1:TT Tên công việc Việc TQ Thời gian

1 Khảo sát 0 3

2 Đào móng 1 6

3 Tập kết vật liệu 1 4

4 Xây móng, tường 2,3 14

5 Làm mộc 3 20

6 Lắp cửa 4,5 4

7 Đổ trần – mái 3,4 25

8 Trát tường, trần 4,7 5

9 Quét vôi 6,8 3

10 Lắp đặt thiết bị 6,8,9 5

11 Xây hàng rào, cổng 7,8 4


Mạng PERT (3)

Sử dụng mô hình đồ thị có hướng G={V,E}:

Mỗi công việc tương ứng với một đỉnh V ={1, 2,...,n}.

Thêm vào 2 đỉnh đặc biệt là 0 và n+1, ý nghĩa là Khởi công và Kết thúc.

t0 = 0, C0 = . Với i {1,...,n}, Ci= , đặt Ci= {0},

tn+1= 0, Cn+1= { j {1,...,n}: jCk, k=1,2...,n}u Cv (u,v) E

f(u,v) = tu.


Mạng PERT (4)

Thuật toán:

Kí hiệu: xi – thời điểm sớm nhất bắt đầu việc i

yi – thời điểm sớm nhất kết thúc việc i

pi – thời điểm muộn nhất kết thúc việc i

Đặt t0=0. Suy ra: x0=0,

T = xn+1 = yn+1 = pn+1

xj = max { xi + f(i,j) : i Cj }.

pi = min { pj - f(i,j), j mà (i,j) E }.


Mạng PERT (5)xj = max { xi + f(i,j) : i Cj }.

TT Công việc TQ f(i,j) Biểu thức tính (max) Thời điểm x

0 Khởi công 0 0

1 Khảo sát 0 3 0 0

2 Đào móng 1 6 0+3 3

3 Tập kết vật liệu 1 4 0+3 3

4 Xây móng, tường 2,3 14 3+6, 3+4 9

5 Làm mộc 3 20 3+4 7

6 Lắp cửa 4,5 4 9+14, 7+20 27

7 Đổ trần – mái 3,4 25 3+4, 9+14 23

8 Trát tường, trần 4,7 5 9+14, 23+25 48

9 Quét vôi 6,8 3 27+4, 48+5 53

10 Lắp đặt thiết bị 6,8,9 5 27+4, 48+5, 53+3 56

11 Hàng rào, cổng 7,8 4 23+25, 48+5 53

12 Kết thúc 10,11 0 56+5, 53+4 61


Mạng PERT (6)pi = min { pj - f(i,j), j mà (i,j) E }.

TT Công việc TQ f(i) Biểu thức tính (min) Thời điểm p

0 Khởi công 0 0

1 Khảo sát 0 3 9-6, 9-4 3

2 Đào móng 1 6 23-14 9

3 Tập kết vật liệu 1 4 23-14, 49-20 48-25 9

4 Xây móng, tường 2,3 14 53-4, 48-25, 53-5 23

5 Làm mộc 3 20 53-4 49

6 Lắp cửa 4,5 4 56-3, 61-5 53

7 Đổ trần – mái 3,4 25 53-5, 61-4 48

8 Trát tường, trần 4,7 5 56-3, 61-5, 61-4 53

9 Quét vôi 6,8 3 61-5 56

10 Lắp đặt thiết bị 6,8,9 5 61-0 61

11 Hàng rào, cổng 7,8 4 61-0 61

12 Kết thúc 10,11 0 61


Mạng PERT (7)

TT Tên công việc Việc trước

f(i) BĐ sớm nhất (x)

Dự trữ

BĐ muộn nhất

KT muộn nhất (p)

0 Khởi công 0 0

1 Khảo sát 0 3 0 0 0 3

2 Đào móng 1 6 3 0 3 9

3 Tập kết vật liệu 1 4 5 0 5 9

4 Xây móng, tường 2,3 14 9 0 9 23

5 Làm mộc 3 20 29 0 29 49

6 Lắp cửa 4,5 4 49 0 49 53

7 Đổ trần – mái 3,4 25 23 0 23 48

8 Trát tường, trần 4,7 5 48 0 48 53

9 Quét vôi 6,8 3 53 0 53 56

10 Lắp đặt thiết bị 6,8,9 5 56 0 56 61

11 Hàng rào, cổng 7,8 4 57 0 57 61

12 Hoàn thiện 10,11 0 61 0 61 61

Thuật toán trên đồ thị

Documents

Transcript of Thuật toán trên đồ thị