ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

Εργαστήριο

Ηλεκτρικών

Κυκλωμάτων Ενότητα 3η

Τσόρμπας Νικόλαος

9/12/2014

Άσκηση 1: Μελέτη κυκλώµατος συντονισµού σε σειρά

Σκοπός της άσκησης αυτής ήταν η θεωρητική κατανόηση του συντονισµού κυκλωµάτων σε

σειρά καθώς και των κανόνων που διέπουν αυτό το φαινόµενο. Στόχος ήταν η πειραµατική

εφαρµογή της θεωρίας στο εργαστήριο και η επαλήθευσή της µέσω των πειραµάτων που

πραγµατοποιήθηκαν.

Άσκηση 2: Μελέτη κυκλώµατος παράλληλου συντονισµού

Σκοπός της άσκησης ήταν η θεωρητική κατανόηση των κανόνων που διέπουν τον παράλληλο

συντονισµό κυκλωµάτων. Στόχος ήταν η πειραµατική εφαρµογή τους στο εργαστήριο και η

παρατήρηση των διαφορών που παρουσιάζονται µε τον συντονισµό σε σειρά.

Άσκηση 1: Κύκλωµα συντονισµού σε σειρά

Θεωρία

1) Γενικά

Όταν ένα κύκλωµα βρίσκεται σε συντονισµό, η τάση που εφαρµόζεται σε αυτό είναι σε φάση

µε το ρεύµα Ι που διαρρέει το κύκλωµα (διαφορά φάσης τάσης – ρεύµατος ∆φ = 0).

Τα κυκλώµατα συντονισµού διαιρούνται σε δύο κατηγορίες:

i. Τα κυκλώµατα συντονισµού σειράς RLC

ii. Τα κυκλώµατα παράλληλου συντονισµού RLC

Η πρώτη κατηγορία, στην οποία το φανταστικό µέρος της σύνθετης αντίστασης Z

µηδενίζεται και µένει µόνο η πραγµατική αντίσταση R, αποτελεί το ζητούµενο της πρώτης

άσκησης.

Το κύκλωµα σειράς RLC αποτελείται από έναν ωµικό αντιστάτη R σε σειρά µε πηνίο

αυτεπαγωγής L και έναν πυκνωτή C. Στην πραγµατικότητα ο αντιστάτης είναι το άθροισµα

του καθαρού αντιστάτη στο κύκλωµα και των ωµικών αντιστατών του πηνίου και του

πυκνωτή.

Η πηγή ( ) cosmu t V tω= ⋅ τροφοδοτεί το κύκλωµα µε εναλλασσόµενη ηµιτονική τάση

πλάτους m

V και κυκλικής συχνότητας ω. Το κύκλωµα διαρρέεται από ρεύµα

( ) ( )cos .mi t I tω ϕ= ⋅ − Η σύνθετη αντίσταση ( )Z Z ω= του κυκλώµατος είναι:

1Z R j L R jX

Cω

ω = + − = +

Όπου:

1X L

Cω

ω= −

Στην κατάσταση συντονισµού ισχύει ότι Χ = 0 εποµένως για 0

ω ω= :

0 0 0

0 0

1 1 10L L

C C LCω ω ω

ω ω− = ⇒ = ⇒ =

Μελετώντας τις µεταβολές των µεγεθών , ,X Z Y το αποτέλεσµα είναι τα παρακάτω

διαγράµµατα συναρτήσει της συχνότητας της πηγής, ω.

Εικόνα 1 Τα διαγράµµατα µεταβολής συναρτήσει της συχνότητας για συντονισµό σε σειρά

Στο διάγραµµα (ω – Χ) παρατηρείται ότι ο όρος Lω παρουσιάζεται ως µια ευθεία, η κλίση

της οποίας καθορίζεται από τον συντελεστή αυτεπαγωγής του πηνίου, ενώ ο όρος 1

Cω− ως

κλάδος ισοσκελούς παραβολής. Ξεκινώντας λοιπόν από την αρχή των συχνοτήτων ο όρος Lω

ξεκινά από µηδενική τιµή και γραµµικά αυξάνεται, ενώ ο όρος 1

Cω− ξεκινώντας από άπειρη

αρνητική τιµή τείνει µε διαφορετικό τρόπο µεταβολής προς το µηδέν. Υπάρχει λοιπόν κάποια

συχνότητα όπου οι αντιστάσεις που οφείλονται στον πυκνωτή και στο πηνίο να

αλληλοαναιρούνται µε αποτέλεσµα το Χ να µηδενίζεται. Αυτή η συχνότητα ονοµάζεται

συχνότητα συντονισµού.

Στην καµπύλη µεταβολής της Z ως προς ω, παρατηρείται ότι η καµπύλη εµφανίζεται

ανεβασµένη κατά R, γιατί στην σύνθετη αντίσταση Ζ συνεισφέρει και η ωµική αντίσταση του

κυκλώµατος. Ελάχιστο υπάρχει στη συχνότητα συντονισµού, όπου η σύνθετη αντίσταση

γίνεται καθαρά ωµική, ενώ αριστερά της συχνότητας συντονισµού η σύνθετη αντίσταση

µεγαλώνει λόγου του όρου 1

Cω− και δεξιά λόγω του όρου Lω.

Είναι φανερό ότι όσο µικραίνει ο ωµικός αντιστάτης R, τόσο η Z τείνει προς την µορφή της

παραπάνω εικόνας.

Τέλος στο διάγραµµα της αγωγιµότητας παρατηρείται ότι στη συχνότητα συντονισµού η

σύνθετη αγωγιµότητα παίρνει την µέγιστη τιµή της, ενώ δεξιά και αριστερά µειώνεται

ανάλογα µε την τιµή του αντιστάτη R. Για µικρές τιµές του αντιστάτη παρατηρείται µια πολύ

οξεία καµπύλη µε απότοµη µεταβολή στη συχνότητα συντονισµού, ενώ για χαµηλότερες

τιµές του R, η καµπύλη γίνεται πολύ αµβλεία µε µικρές µεταβολές.

2) Μελέτη της καµπύλης συντονισµού

Ως κατεξοχήν καµπύλη συντονισµού θεωρείται η καµπύλη ( )Iω − , όπου I είναι η ένταση

του ρεύµατος που διαρρέει το κύκλωµα και δίνεται από την σχέση ,V

IZ

=

ενώ το µέτρο της

είναι ίσο µε:

( )2 2

2 21 1

mm

V VI I

R L R LC C

ω

ω ωω ω

= = = + − + −

Η γραφική παράσταση της καµπύλης είναι η παρακάτω:

Εικόνα 2 Η γραφική παράσταση της καµπύλης συντονισµού

Παρατηρείται ότι η καµπύλη δεν είναι συµµετρική ως προς την µέγιστη τιµή που

παρουσιάζεται στη συχνότητα συντονισµού, δηλαδή το ρεύµα δεν µειώνεται προς τα

αριστερά της συχνότητας συντονισµού µε τον ίδιο τρόπο που µειώνεται προς τα δεξιά.

Επίσης είναι φανερό ότι στη συχνότητα συντονισµού η ένταση του ρεύµατος µεγιστοποιείται.

Από την εξίσωση του µέτρου της έντασης του ρεύµατος βγαίνουν τα εξής συµπεράσµατα

όσον αφορά την εξάρτηση της καµπύλης από την τιµή του ωµικού αντιστάτη R. Επειδή το R

βρίσκεται στον παρονοµαστή της σχέσης, µικρή τιµή του R σηµαίνει µεγάλη τιµή του max

I

και οξύτερη καµπύλη συντονισµού, ενώ µεγάλη τιµή του R σηµαίνει καµπύλη συντονισµού

και µικρή τιµή του max

I . Για R που τείνει στο µηδέν η ένταση του ρεύµατος τείνει να

απειρεισθεί.

Η οξύτητα της καµπύλης έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον αφού καθορίζει την επιλεκτικότητα του

κυκλώµατος. Γενικά ένα κύκλωµα χαρακτηρίζεται ως επιλεκτικό, αν για µια µικρή µεταβολή

των συχνοτήτων ∆ω γύρω από την συχνότητα συντονισµού, προκύπτει µεγάλη µεταβολή ∆Ιm

του πλάτους του ρεύµατος Ιm. Ως µέτρο της οξύτητας συντονισµού ορίζεται η διαφορά των

δύο τιµών ω1 και ω2 της συχνότητας που αντιστοιχούν σε τιµές ισχύος ίσες µε το µισό της

ισχύος στη συχνότητα συντονισµού. Οι συχνότητες αυτές ονοµάζονται σηµεία µισής ισχύος ή

συχνότητες µισής ισχύος και σε αυτές αντιστοιχούν τιµές έντασης ίσες µε max .2

I Η διαφορά

2 1ω ω− ονοµάζεται εύρος ζώνης.

Εικόνα 3 Εύρεση ∆ω

3) Μελέτη του παράγοντα ποιότητας Q

Γενικά, ο συντελεστής ποιότητας ορίζεται από την σχέση:

2έ έ έ

Qέ ώ ά ί

µ γιστη αποθηκευµ νη εν ργειαπεν ργεια που καταναλ νεται αν περ οδο

=

Κατά τον συντονισµό κυκλώµατος σειράς RLC αποθηκεύεται σταθερή ποσότητα ενέργειας.

Η µέγιστη αποθηκευµένη ενέργεια στο πηνίο είναι 21

2L m

E LI=

Η ενέργεια που καταναλώνεται ανά περίοδο είναι στην αντίσταση R είναι:

2 2

22

m mR

I RIE R T

f

= ⋅ =

Εποµένως ο παράγοντας ποιότητας για το πηνίο γίνεται:

1

22

LQ π=

2

mL I

2

mI

2

L

LQ

RR

f

ω⇒ =

⋅

Για τον πυκνωτή:

Η µέγιστη αποθηκευµένη ενέργεια είναι

2

2

2

1 1

2 2

mC m

IE CV

Cω= =

Η ενέργεια που καταναλώνεται ανά περίοδο είναι η ίδια όπως και προηγουµένως, δηλαδή:

2 2

22

m mR

I RIE R T

f

= ⋅ =

Εποµένως

1

22

CQ π=

2

mI

2

2

m

C

I

ω

2

1C

QRCR

f

ω⇒ =

⋅

Στον συντονισµό ισχύει LO CO O

Q Q Q= =

Τέλος στον συντονισµό παρατηρείται και το φαινόµενο της υπέρτασης , της εµφάνισης,

δηλαδή, στο πηνίο και στον πυκνωτή τάσης πολύ µεγαλύτερης από την τάση τροφοδοσίας.

Ισχύει Cm m CO

V V Q= ⋅ και Lm m LO

V V Q= ⋅ . Άρα Lm Cm m O

V V V Q= = ⋅

Οι τάσεις όµως αυτές είναι αντίθετες και αλληλοαναιρούνται, ώστε δεν παραβιάζεται η αρχή

διατήρησης της ενέργειας.

Άσκηση 2: Κύκλωµα παράλληλου συντονισµού

Θεωρία

1) Γενικά

Το βασικό θεωρητικό κύκλωµα µελέτης του παράλληλου συντονισµού είναι το παρακάτω:

Εικόνα 4 Παράδειγµα κυκλώµατος συντονισµού

Λόγω της παραλληλίας είναι πιο εύκολο να γίνει η µελέτη του κυκλώµατος µε αγωγιµότητες

και όχι µε αντιστάσεις. Έτσι λοιπόν:

1R C L

jY Y jC Y

R Lω

ω−

= = =

Και εποµένως:

1 1R C L

Y Y Y Y j CR L

ολ ωω

= + + = + −

Το παράλληλο κύκλωµα συντονισµού θεωρείται σε συντονισµό όταν η συµπεριφορά του

εµφανίζεται να είναι ωµική, δηλαδή οι αγωγιµότητες που οφείλονται στον πυκνωτή και στο

πηνίο αλληλοαναιρούνται. Πρέπει δηλαδή να µηδενιστεί το φανταστικό µέρος της σύνθετης

αγωγιµότητας, δηλαδή:

[ ] 0

1Im 0Y

LCολ ω= ⇒ =

Είναι φανερό ότι η συχνότητα συντονισµού θεωρητικά έχει την ίδια τιµή µε τον συντονισµό

σε σειρά, όταν οι τιµές των L, C είναι ίδιες.

2) Μελέτη του κυκλώµατος παράλληλου συντονισµού

Η µελέτη του κυκλώµατος παράλληλου συντονισµού µε βάση τα διαγράµµατα , ,X Z Y

συναρτήσει του ω δεν έχει καµιά ουσιαστική διαφορά από την αντίστοιχη µελέτη του

κυκλώµατος συντονισµού σειράς. ∆ηλαδή η σύνθετη αγωγιµότητα σε σχέση µε τη συχνότητα

ω έχει έναν σταθερό όρο, τον 1

RY

R= , έναν αυξανόµενο γραµµικά όρο, τον

CY Cω= και

έναν όρο που αποτελεί κλάδο παραβολής, τον 1

LY

Lω−

=

Εικόνα 5 ∆ιάγραµµα µεταβολής αγωγιµοτήτων συναρτήσει της συχνότητας συντονισµού σε παράλληλο

συντονισµό

Για την συχνότητα συντονισµού ισχύει CO LO

Y Y=

Για το µέτρο της σύνθετης αντίστασης σε σχέση µε την συχνότητα τότε έχουµε:

1 1

1 1Z

Yj C

R Lω

ω

= = + −

Η γραφική παράσταση της παραπάνω εξίσωσης είναι:

Εικόνα 6 ∆ιάγραµµα µεταβολής σύνθετης αντίστασης συναρτήσει της συχνότητας στον παράλληλο

συντονισµό

Παρατηρείται ότι στη συχνότητα συντονισµού η σύνθετη αντίσταση παίρνει τη µέγιστη τιµή

της, max

Z R= και όσο µεγαλώνει η τιµή του ωµικού αντιστάτη R τόσο οξύτερη γίνεται η

καµπύλη. Αυτό είναι απολύτως φυσικό, γιατί µεγάλη τιµή της R σηµαίνει µικρός όρος 1

.R

Αν το R τείνει στο µηδέν τότε η Z τείνει στο άπειρο και η min

Y τείνει στο µηδέν.

3) Καµπύλες (ω – Ι) και (ω – V) στον παράλληλο συνδυασµό

Όπως προαναφέρθηκε στη συχνότητα συντονισµού η αντίσταση απειρίζεται και έτσι το

πλάτος του ρεύµατος ΙLC µηδενίζεται. Αυτό δεν σηµαίνει ότι το πηνίο και ο πυκνωτής δεν

διαρρέονται από ρεύµα αλλά ότι το ρεύµα που διαρρέει το πηνίο είναι ίσο και αντίθετο από

το ρεύµα που διαρρέει τον πυκνωτή.

Η καµπύλη (ω – Ι) είναι η παρακάτω:

Εικόνα 7 Η καµπύλη (ω – Ι)

Είναι φανερό ότι ούτε αυτή είναι συµµετρική ως προς τη συχνότητα συντονισµού.

Η τάση VO είναι ουσιαστικά η τάση VR πάνω στον ωµικό αντιστάτη R. Αφού στη συχνότητα

συντονισµού το ρεύµα ΙLC τείνει στο µηδέν ισχύει R LC

I I I= + όπου I το ρεύµα της πηγής

έντασης, αυτό σηµαίνει ότι στη συχνότητα συντονισµού όλο το ρεύµα της πηγής περνά µέσα

από τον ωµικό αντιστάτη και γι’ αυτό το πλάτος VRm στα άκρα του γίνεται µέγιστο, Η

καµπύλη µεταβολής του πλάτους της τάσης σε συνάρτηση µε την συχνότητα είναι η

παρακάτω:

Εικόνα 8 Καµπύλη µεταβολής του πλάτους της τάσης συναρτήσει της συχνότητας

4) Υπολογισµός του παράγοντα ποιότητας

Ο παράγοντας ποιότητας στο κύκλωµα παράλληλου συντονισµού δίνεται από τον τύπο:

• 0CO

Q RCω= για πυκνωτή

• 0

LO

RQ

Lω= για πηνίο

Ισχύει LO CO O

Q Q Q= ≡

Επίσης στο κύκλωµα παράλληλου συντονισµού παρατηρείται και το φαινόµενο της

υπερέντασης, κατά το οποίο εµφανίζονται ρεύµατα πολλαπλάσια του ρεύµατος συντονισµού,

δηλαδή:

0

0

C CO S

L LO S

i Q i

i Q i

ω

ω

=

=

Πειραµατικές ασκήσεις

1η Άσκηση

Αρχικά κατασκευάστηκε το παρακάτω κύκλωµα:

Εικόνα 9 Κύκλωµα της 1ης άσκησης

Τα επιµέρους στοιχεία του κυκλώµατος έχουν τις παρακάτω τιµές:

700

2

2.5rms

R

C nF

V V

= Ω

=

=

Η τιµή της αυτεπαγωγής του πηνίου είναι άγνωστη. Στο εργαστήριο χρησιµοποιήθηκε το

µαύρο πηνίο.

Σαρώνοντας από 200Hz – 15kHz βρέθηκε η συχνότητα συντονισµού κατ’ εκτίµηση, ίση µε

6.5kHz.

Στη συνέχεια έγιναν οι µετρήσεις των R LC

V Vκαι για κάθε συχνότητα:

• 800 – f0 / 400Hz

• f0 – 10kHz / 500Hz

• 10 – 15kHz / 1kHz

Οι µετρήσεις παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα:

Πίνακας 1 Οι µετρήσεις για την πρώτη άσκηση

f (Hz) VR (V) VLC (V)

800 19.88 2.55

1200 30 2.55

1600 41.7 2.55

2000 57.8 2.55

2400 67.05 2.55

2800 83.6 2.55

3200 101.13 2.55

3600 125.17 2.55

4000 153.3 2.55

4400 192.7 2.54

4800 244.8 2.53

5200 331.5 2.51

5600 475.8 2.47

6000 790 2.26

6500 1560 0.95

7000 940 2.17

7500 57V 2.43

8000 395.8 2.53

8500 298.7 2.54

9000 246.9 2.54

9500 209.9 2.55

10000 180.36 2.55

11000 145.6 2.56

12000 120.6 2.57

13000 103 2.57

14000 90.38 2.57

15000 79.42 2.57

Στη συνέχεια µετρήθηκε, για την συχνότητα συντονισµού, η VL και η VC. Οι τιµές τους ήταν:

• 24.93C

V V=

• 25.35L

V V=

Παρατηρείται ότι είναι πολύ κοντά οι δύο αυτές τιµές.

Το αναµενόµενο ήταν να βρεθεί ότι είναι ίσες, όπως προβλέπεται από την θεωρία. Το γεγονός

όµως ότι αυτές οι τιµές διαφέρουν ελάχιστα οφείλεται στο πειραµατικό σφάλµα που υπάρχει

στις µετρήσεις, και πιστοποιεί την ορθότητα των µετρήσεων.

Παρακάτω παρουσιάζονται οι καµπύλες (f – I) και (f – VLC):

∆ιάγραµµα 1 Η καµπύλη (f – I)

∆ιάγραµµα 2 Η καµπύλη (f – VLC)

Για τον υπολογισµό του Q χρησιµοποιήθηκαν δύο τρόποι:

1ος

τρόπος: Βρέθηκαν από την καµπύλη τα ω1 και ω2 ώστε να υπολογιστεί το ∆ω. Έτσι

λοιπόν: 1 2

13800 / 12400 / .rad s rad sω π και ω π= = Άρα ∆ω = 1400π rad/s.

Εποµένως 013000

9.31400

Qω πω π

= = =∆

0

0,0005

0,001

0,0015

0,002

0,0025

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000

I(A

)

f (Hz)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000

VLC

(V)

f (Hz)

2ος

τρόπος: Από το VL = VC = QVrms.

Έτσι χρησιµοποιώντας την τιµή του VL αρχικά η τιµή του Q είναι ίση µε 10,13 ενώ

χρησιµοποιώντας την τιµή του VC η τιµή του Q είναι 9,97. Ο µέσος όρος των δύο αυτών

τιµών βγάζει για το Q τιµή ίση µε 10,05.

Με τις δύο αυτές τιµές βρέθηκε η άγνωστη τιµή της αυτεπαγωγής του πηνίου L, από τον τύπο

0Q L Rω=

• Για 9.3 0.159Q L H= ⇒ =

• Για 10.13 0.174Q L H= ⇒ =

Στη συνέχεια χρησιµοποιώντας το ίδιο κύκλωµα αυξάνοντας την τιµή της αντίστασης στα

2100Ω πραγµατοποιήθηκαν οι ίδιες µετρήσεις.

Πίνακας 2 Οι νέες µετρήσεις της πρώτης άσκησης µετά την αλλαγή της τιµής της αντίστασης

f (Hz) VR (mV) VLC (V)

800 61,8 2.55

1200 93,6 2.55

1600 128,3 2.55

2000 170,7 2.54

2400 208,6 2.54

2800 258,3 2.54

3200 308 2.53

3600 370,26 2.53

4000 452,9 2.50

4400 570 2.49

4800 710 2.44

5200 910 2.35

5600 1240 2.15

6000 1690 1,78

6500 2140 0.39

7000 1860 1.27

7500 1390 1.98

8000 1090 2.26

8500 850 2.39

9000 710 2.45

9500 610 2.48

10000 530 2.51

11000 429,2 2.53

12000 354,3 2.55

13000 305,7 2.56

14000 264,8 2.56

15000 235,65 2.56

Η τιµή της συχνότητας συντονισµού παραµένει ίδια αφού δεν εξαρτάται από την τιµή της

αντίστασης R.

Στη συνέχεια µετρήθηκε, για την συχνότητα συντονισµού, η VL και η VC. Οι τιµές τους ήταν:

• 11.63C

V V=

• 11.67L

V V=

Τα διαγράµµατα είναι τα παρακάτω:

∆ιάγραµµα 3 Η νέα καµπύλη (f – I)

∆ιάγραµµα 4 Η νέα καµπύλη (f – VLC)

0

0,0002

0,0004

0,0006

0,0008

0,001

0,0012

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000

I (A

)

f (Hz)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000

VLC

(V)

f (Hz)

Για τον υπολογισµό του Q χρησιµοποιήθηκαν δύο τρόποι:

1ος

τρόπος: Βρέθηκαν από την καµπύλη τα ω1 και ω2 ώστε να υπολογιστεί το ∆ω. Έτσι

λοιπόν: 1 2

14400 / 11600 / .rad s rad sω π και ω π= = Άρα ∆ω = 2800π rad/s.

Εποµένως 013000

4.642800

Qω πω π

= = =∆

2ος

τρόπος: Από το VL = VC = QVrms.

Έτσι έχουµε 11.67 2.5 4.67Q Q= ⋅ ⇒ =

Οι δύο τιµές βρίσκονται πολύ κοντά οι µία από την άλλη.

Με τις δύο αυτές τιµές βρέθηκε η άγνωστη τιµή της αυτεπαγωγής του πηνίου L, από τον τύπο

0Q L Rω=

• Για 4.64 0.239Q L H= ⇒ =

• Για 4.67 0.240Q L H= ⇒ =

Μεταξύ των δύο κυκλωµάτων παρατηρήθηκε ότι στο πρώτο κύκλωµα όπου υπήρχε η

µικρότερη αντίσταση ήταν πιο οξύς ο συντονισµός, σε σύγκριση µε το δεύτερο όπου είχε

µεγαλύτερη αντίσταση, γεγονός που επιβεβαιώνεται πλήρως από την θεωρία.

Επίσης στο δεύτερο κύκλωµα ο συντελεστής ποιότητας έπεσε σηµαντικά γεγονός που

σηµαίνει ότι, δεδοµένου του ότι η µέγιστη αποθηκευµένη ενέργεια παρέµεινε σταθερή (αφού

δε υπήρχε αλλαγή στο πηνίο και στον πυκνωτή), η ενέργεια που καταναλώνεται αυξήθηκε.

Αυτό οφείλεται στην µεγαλύτερη τιµή της αντίστασης, που υπάρχει στο δεύτερο κύκλωµα.

2η Άσκηση

Αρχικά κατασκευάσθηκε το παρακάτω κύκλωµα:

Εικόνα 10 Το πρώτο κύκλωµα της άσκησης

Τα επιµέρους στοιχεία του κυκλώµατος είναι:

1

0.1

10

2rms

R k

C F

L mH

V V

µ= Ω

=

=

=

Σαρώνοντας από 200Hz – 15kHz βρέθηκε η συχνότητα συντονισµού κατ’ εκτίµηση, ίση µε

5kHz.

Στη συνέχεια έγιναν οι µετρήσεις των R LC

V Vκαι για κάθε συχνότητα:

• 500 – 7kHz / 500Hz

• 7kHz – 20kHz / 1kHz

• 20 – 30kHz / 2kHz

Οι µετρήσεις βρίσκονται συγκεντρωµένες στον παρακάτω πίνακα:

Πίνακας 3 Οι µετρήσεις για το πρώτο κύκλωµα

f (Hz) VR (V) VLC (mV)

500 1,86 62,35

1000 1,86 127,34

1500 1,85 194,66

2000 1,84 277,69

2500 1,82 387,72

3000 1,77 537

3500 1,69 750

4000 1,5 1100

4500 0,99 1500

5000 0,24 1750

5500 0,91 1520

6000 1,36 1250

6500 1,59 980

7000 1,7 820

8000 1,79 610

9000 1,83 480

10000 1,85 401,8

11000 1,87 349,13

12000 1,87 306,6

13000 1,88 276,41

14000 1,88 250,64

15000 1,89 230,49

16000 1,89 212,75

17000 1,89 197,24

18000 1,90 185,62

19000 1,90 173,72

20000 1,90 164,46

22000 1,90 147,16

24000 1,90 134,39

26000 1,90 122,5

28000 1,90 113,58

30000 1,90 105,92

Τα διαγράµµατα είναι τα παρακάτω:

∆ιάγραµµα 5 Το διάγραµµα VR - f

∆ιάγραµµα 6 Το διάγραµµα VLC - f

Για τον υπολογισµό του Q:

Βρέθηκαν από την καµπύλη τα ω1 και ω2 ώστε να υπολογιστεί το ∆ω. Έτσι λοιπόν:

1 212000 / 8600 / .rad s rad sω π και ω π= = Άρα ∆ω = 3400π rad/s.

Εποµένως 010000

2.943600

Qω πω π

= = =∆

Χρησιµοποιώντας τον τύπο

0

RQ

Lω= βρέθηκε το 10.83L mH=

0

0,0002

0,0004

0,0006

0,0008

0,001

0,0012

0,0014

0,0016

0,0018

0,002

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000

VR(V

)

f (Hz)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000

VLC

(V)

f (Hz)

Η παραπάνω τιµή συµφωνεί απόλυτα µε την τιµή της αυτεπαγωγής του πηνίου που

χρησιµοποιήθηκε στο κύκλωµα.

Στη συνέχεια κατασκευάσθηκε το παρακάτω κύκλωµα:

Εικόνα 11 Το δεύτερο κύκλωµα της άσκησης

Τα επιµέρους στοιχεία του κυκλώµατος είναι:

1

10

4

16

rms

R k

C ώ

L mH

V V

f kHz

κιβ τιο= Ω

−

=

=

=

Μεταβάλλοντας τις τιµές της χωρητικότητας από 1 – 12nF και συµπεριλαµβάνοντας τις τιµές

14, 16, 18, 20, 25, 30nF µετρήθηκε η τάση VLC. Οι µετρήσεις παρουσιάζονται στον

παρακάτω πίνακα:

Πίνακας 4 Οι µετρήσεις για το δεύτερο κύκλωµα

C (nF) VLC (V)

1 3,97

2 3,84

3 3,59

4 3,19

5 2,65

6 2,03

7 1,34

8 0,78

9 0,328

10 0,169

11 0,462

12 0,74

14 1,13

16 1,41

18 1,62

20 1,78

25 2,03

30 2,15

Το διάγραµµα C – VLC είναι το παρακάτω:

∆ιάγραµµα 7 Το διάγραµµα C – VLC

Από το διάγραµµα φαίνεται ότι το φαινόµενο του συντονισµού συµβαίνει για C = 10nF. Από

τον τύπο 0

1 2f LCπ= η συχνότητα συντονισµού είναι ίση µε f = 15.92kHz

Στη συνέχεια χρησιµοποιώντας το ίδιο κύκλωµα αλλά χρησιµοποιώντας το µαύρο πηνίο

άγνωστης αυτεπαγωγής και µε Vrms = 3V βρέθηκε η συχνότητα συντονισµού για κάθε µια

από τις τιµές χωρητικότητας C 10, 20, 30, 40, 50 nF, µε σάρωση από 1 – 5kHz

Οι µετρήσεις βρίσκονται συγκεντρωµένες στον παρακάτω πίνακα:

Πίνακας 5 Οι µετρήσεις για το τρίτο κοµµάτι της άσκησης

C (nF) f (kHz)

10 3.17

20 2.29

30 1.91

40 1.62

50 1.45

∆ιάγραµµα 8 Το διάγραµµα C - (1/ω0)2

Η τιµή της αυτεπαγωγής του αγνώστου πηνίου είναι η κλίση της ευθείας, δηλαδή L = 239mH

0

1

2

3

4

5

0 10 20 30 40

VLC

(V)

C (nF)

y = 0,2388x + 4E-11

0,000E+00

2,000E-09

4,000E-09

6,000E-09

8,000E-09

1,000E-08

1,200E-08

1,400E-08

0 1E-08 2E-08 3E-08 4E-08 5E-08 6E-08

(1/ω

0)2

C (F)