ISTA-IE AII-G106Thevenin & superposition

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ISTA-IE AII-G106

RESOLUTION PAR LA METHODE DE SUPERPOSITION ET THEVENIN

1 - Mthode de superposition 1.1 - Principe de superposition Soit le circuit lectrique ci-contre, on se propose de dterminer le courant I qui circule.

21

2

21

1

21

21

R RE

R RE I

: crire peut onQu'

R RE - E I

: gnralis ohmd' loi la aprsD'

++=

+=

I

R1

E1

R2

E2

On peut alors imaginer deux circuits indpendants tel que : I1 correspond au courant qui circule dans un circuit (1), I2 correspond au courant qui circule dans un circuit (2),

A 2 28 -

212 I2 - I1 I

A 2 0,5 1,58 - 12

R RE - E I

) 0,5 R ; 8V (E G

) 1,5 R ; 12V (E G

: N.A

21

21

22

11

===

=+=+=====

1.2 - Thorme de superposition Dans un circuit lectrique linaire comprenant plusieurs sources indpendantes, l'intensit de courant lectrique dans une branche est gale la somme algbrique des intensits produites dans cette branche par chacune des sources considres isolement, les autres sources tant court-circuits. 1.3 - Application Soit le circuit suivant, on se propose de dterminer les intensits des courants dans les trois branches par la mthode de superposition. Avec : R1 = 2 ; R2 = 5 ; R3 = 10 E1 = 20 V ; E2 = 70 V Solution : Daprs le thorme de superposition, l'tat initial est quivalent la superposition des tats distincts (1) et (2),

R1

E1

R2

I1

R1 R2

E2

I2

R1

E1

I

+ =R2

E2

R1 R3

E1

R2

E2

I1 I3

I2

1

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2

Les courants rels I1 ; I2 et I3 sont donnes par :

"3

"2

"1

'3

'2

'1

"3

'33

'2

"22

"1

'11

I;I;I et I;I ; I : calculer donc faut Il

I I I

I - I I

I - I I

+===

a) Calcul de I'1 ; I'2 et I'3 dans le premier cas :

==+=

==+=

=+=

++=

A 1,25 155 . 3,75 I .

R RR I

A 2,5 1510 . 3,75 I .

R RR

I

A 3,75

1510 5 2

20

R R.RR

R

E I

'1

32

2'3

'1

21

3'2

32

321

1'1

b) Calcul de I"1 ; I"2 et I"3 dans le deuxime tat :

==+=

==+=

=+=

++=

A 1,75 122 . 10,5 I .

R RR I

A 8,75 1210 . 10,5 I .

R RR

I

A 10,5

1210 2 5

70

R R.RR

R

E I

"2

31

1"3

'2

21

3"1

31

312

2"2

c) Calcul de I1 ; I2 et I3 dans l'tat rel

=+=+=======

A 3 1,75 1,25 I I 3I

A 8 2,5 - 10,5 I - I I

A 5- 8,75 - 3,75 I - I I

"3

'3

'2

"22

"1

'11

Remarque :

I1 est ngatif, donc son vrai sens est l'inverse du sens choisi, 2 Methode thevenin 2.1 Introduction Les deux mthodes prcdentes permettent de calculer tous les courants dans le rseau alors que

ceci n'est pas toujours indispensable, Souvent on est appel connatre le courant dans une seule branche, pour cette raison on se

propose de chercher une mthode pratique,

R1 R3

E1

R2

E2

I1 I3 I2

R1 R3

E1

I'1 I'3

I'2

R2 R1 R3 R2

E2

I"1 I"3 I"2

= +

Considrons un circuit complexe qui comporte des gnrateurs ou des rcepteurs rels. Le

problme consiste remplacer ce circuit complexe (diple actif), vues de ces deux bornes A et B par un gnrateur quivalent dit gnrateur de Thevenin,

Ce gnrateur possde une source de Thevenin (ETh) en srie avec une rsistance (RTh), RTh

uTh

ThR R

E I +=

2.2 - Principe Le thorme de Thevenin permet de transformer un circuit complexe en un gnrateur de Thevenin dont : La valeur de la source de Thevenin ETh (UAB) est donne par la mesure ou le calcul de la tension de

sortie vide (la charge tant dbranche), La valeur de la rsistance interne RTh est mesure ou calcule vues des bornes de sorties A et B,

avec les conditions suivantes ; - La rsistance de la charge est dbranche, - Court-circuiter les gnrateurs de tension, en gardant les rsistances internes, - Dbrancher les sources de courants, 2.3 Applications

2.3.1 - Exercice 1 On considre le circuit lectrique donn par la figure suivante : On donne : E = 8 V ; R1 = 4 ; R2 = 12 ; R3 = 9 Calculer le courant I qui traverse la rsistance R3 en

appliquant le thorme de Thevenin, Solution : 1) Calcul de EThOn dbranche la rsistance R3, la configuration sera donc :

V 6 12 4

12 E R R

R E21

2Th =+=+=

2) Calcul de RThR3 tant toujours dbranche, on court-circuite E, la configuration sera donc :

ETh Ru

I

B

A

=Ru

I

B

A

Circuit

lectrique

R1 R3

E1

R2

I A

B

R1

E1

R2

A

B

ETH = UAB = E1 R2

A

B

ETH = UAB

R2

3

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=+=+= 3 124

124 R R

.RR R21

21Th R2

A

B

R1

3) Calcul de I

A 0,5 93

6 R R

E I3Th

Th =+=+= R3

A

B

RTh

ETh

2.3.2 - Exercice 2 Appliquons le thorme de Thevenin pour calculer le courant I du circuit suivant : On donne : E1 = 20 V ; E2 = 70 V ; R1 = 2 ; R2 = 10 ; R3 = 5

R1

E1

R2

A

B

ETH R3

E2

I Solution : Supprimons la rsistance dont nous voulons dterminer le courant, soit R3, Calculons les grandeurs caractristiques du gnrateur quivalent de Thevenin, 1) Dterminons ETh :

R1

E1

R2

A

B

ETH

E2

=

I0 I0

RTh

ETh

A

B

ETH = UAB

V

3160- 70 -

3510. E - .IR E

A 35

2 1020

R RE I

203Th

21

10

===

=+=+=

2) Dterminons RThSupprimons les f.e.m E1 et E2 et calculons la rsistance RTh A

B

R1 R2

4

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==+= 35

12102

R R.RR R

21

21Th

3) calcul de I RTh

A 8- 5

35

3160

R R

E I3Th

Th =+

=+=

Remarque : Le signe (-) veut die que le courant dans la branche 3 circule dans le sens inverse,

2.3.3 - Exercice 3 On considre le circuit lectrique donn par la figure suivante :

On donne : E1 = 10 v ; E2 = 5 v ; R1 = R3 = R4 = 100 ; R2 = 50

Calculer le courant I en appliquant le thorme de Thevenin Solution : 1) Calcul de EThOn dbranche la rsistance R4, la configuration sera donc :

R

A

B

ETh 3

R1

E1

R2

A

B

R4

I R3

E2

A

B R1

E1

R2

A

B

R3

E2

ETh = +

R1

E1

R2 ETh1R3

A

B

R3

E2

ETh2R1 R2

5

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V 3,75 E E E

V 1,25 E R

RR.RR

R R.RR

E

V 2,5 E R

RR.RR

R R.RR

E

Th2Th1Th

2

321

21

21

21

2Th

1

132

32

32

32

1Th

=+=

=++

+=

=++

+=

2) Calcul de RTh

=

++= 52

R1

R1

R1

1 R

321

Th R2

A

B

R1 R3

3) calcul de I3

RTh

A 0,03 R R

E I4Th

Th =+=

2.3.4 - Exercice 4

On considre le circuit lectrique donn par la figure suivante :

On donne : E1 = 10 v ; E2 = 5 v ; R1 = R3 = R4 = 100 ; R2 = 50

Calculer le courant I en appliquant le thorme de Thevenin Solution : 1) Calcul de ETh

R

A

B

ETh 4

R4

R3

R5

E1

R1

R2 E2

A

D

C

B

=R4

R3

R5

E1

R1

ETh

A

D

C

B E1 B D

A

C

R4

R3

R5

R1 ETh

UAB UAD

6

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==

=+=

=+==

V 3,85 U - U E

V 6,85 E R R

R U

V 3 E R R

R U

U - U E

ABADTh

153

3AD

141

1AB

ABADTh

2) Calcul de RTh

=R4

R3

R5

R1

A

D

C

B A C

B

C

R4

R3

R5

R1

D

=+++= 96,42 RR.RR

RR.RR R

53

53

41

41Th

3) calcul de I3

R4

B

D

RTh

ETh

E2

mA 17,4 R RE E I

2Th

2Th3 =+

+=

7

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