N dordre : 51 UNIVERSIT DES SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LILLE COLE CENTRALE DE LILLE UNIVERSIT DE TUNIS EL MANAR COLE NATIONALE DINGNIEURS DE TUNIS THSE prsente par Fatma TANGOUR TOUMI pour lobtention du grade de DOCTEUR enAutomatique et Informatique Industrielle Doctorat dlivr conjointement par lUniversit des Sciences et Technologies de Lille, Lcole Centrale de Lille et lcole Nationale dIngnieurs de Tunis Ordonnancement Dynamiquedans les Industries Agroalimentaires soutenue le 12juillet 2007 devant le Jury dExamen compos de : MM. Pr.Noureddine Pr.Ennaceur Pr.Abdallah Pr.Mohamed Pr.Pierre Pr.Slim Thse prpare au Laboratoire dAutomatique Gnie Informatique et Signal de lcole Centrale de Lille et lUnit de Recherche LARA-Automatique de lcole Nationale dIngnieurs de Tunis Prsident Rapporteur Rapporteur Examinateur Examinateur Examinateur ELLOUZE BENHADJ BRAIEK ELMOUDNI BENREJEB BORNE HAMMADI 1 Avant- propos Le travail faisant lobjet du prsent mmoire a t effectu au sein du Laboratoire druRechercheenAutomatique(UR-LARA)delEcoleNationaledIngnieursde Tunis(ENIT)etduLaboratoiredAutomatique,GnieInformatiqueetSignal (LAGIS) de lEcole Centrale de Lille (EC-Lille). Nous tenons exprimer notre vive gratitude Monsieur Noureddine ELLOUZE, Professeur et Directeur du Laboratoire de Systmes et Traitement du Signal (LSTS) delENIT,pournousavoirfaitlegrandhonneurdaccepterdeprsiderleJury dExamen. Quil trouve ici lexpression de notre profondrespect. Cestunagrabledevoirpournousdexprimernotretrsvivereconnaissance MonsieurleProfesseurMohamedBENREJEB,DirecteurdelUnitdeRecherche UR-LARAlENIT,MonsieurPierreBORNE,ProfesseurlEC-Lille,et Monsieur Slim HAMMADI, Professeur lEC-Lille pour nous avoir guider durant toutellaborationdecemmoireaveclesrieuxetlacomptencequiles caractrisent. Quils trouvent ici le tmoignage de notre trs profonde gratitude. NoustenonsremerciervivementMonsieurNaceurBENHADJBRAIEK, ProfesseuretDirecteurdelUnitdeRechercheUR-LECAPlEcole Polytechnique de Tunis (EPT), davoir accept de rapporter notre travail. Quil soit grandement remerci. 2 NotreprofondegratitudeMonsieurAbdellahELMOUDNI,Professeur lUniversit deTechnologie Belfort-Monbliard, pour avoir bien voulu rapporter sur nos travaux de Thse. Nous lui adressons nos sincres remerciements. Noustenons,enfin,remerciertousleschercheursduLaboratoiredeRecherche en Automatique de lENIT et du Laboratoire dAutomatique, Gnie Informatique et Signal de lEC-Lille et touteautre personne qui, par leur aide, par leur amicale prsenceetparleursympathie,ontrenducetravailagrable.Nousleur exprimons ici toute notre gratitude.

3 l ammoi redemonpre mamre monmari et monf i l s mesbeaux- par ent s t out emaf ami l l e 4 Table des matires Liste des figures.....6 Introduction gnrale. 8 Notations ...............................................................................................................................15 Chapitre 1.................................................................................................. 16 Ordonnancement : tat de lart et particularits en industries agroalimentaires .................................... 16 1.1.INTRODUCTION......................................................................................................... 16 1.2.PROBLMES DORDONNANCEMENT : TAT DE LART..................................... 17 1.2.1.Caract risat ion .................................................................................................17 1.2.1.1.Les tches ....................................................................................................17 1.2.1.2.Les gammes ................................................................................................18 1.2.1.3.Les ressources.............................................................................................19 1.2.1.4.Les contraintes............................................................................................19 1.2.1.5.Les critres ..................................................................................................21 1.2.2.Types dat eliers .................................................................................................21 1.2.2.1.Le type flow-shop ......................................................................................21 1.2.2.2.Le type job-shop.........................................................................................22 1.2.2.3.Le type open-shop .....................................................................................22 1.2.3.Complexit .........................................................................................................23 1.2.3.1.Complexit algorithmique........................................................................23 1.2.3.2.Complexit problmatique.......................................................................24 1.2.4.Modlisat ion etreprsent at ion des problmes dordonnancement .............................................................................................26 1.2.4.1.Notations .....................................................................................................26 5 1.2.4.2.Modlisation...............................................................................................26 1.2.4.1.Reprsentation des solutions ...................................................................29 1.3.PARTICULARITS DE LORDONNANCEMEN T DANS UN ATELIER DE PRODUCTION AGROALIMENTAIRE................................................................ 30 1.3.1Int roduct ion.......................................................................................................30 1.3.2.Les produit s .......................................................................................................31 1.3.2.1.Les composants primaires........................................................................31 1.3.2.2.Les produits semi-finis..............................................................................31 1.3.2.3.Les produits finis .......................................................................................31 1.3.3.Spcificit s dun problme dordonnancement .............................................32 en indust ries agroaliment aires ........................................................................32 1.4.LES PROBLMES DORDONNANCEMENT UNE MACHINE............................ 35 1.4.1.Int roduct ion.......................................................................................................35 1.4.2.Prsent at ion du problme une machine .....................................................35 1.4.3.Les problmes une machine non prempt ifs ..............................................36 1.4.3.1.Les problmes polynomiaux....................................................................36 1.4.3.2.Les problmes NP-difficiles .....................................................................37 1.4.4.Les problmes une machineprempt ifs .....................................................38 14.4.1.Les problmes polynomiaux....................................................................38 14.4.2.Les problmes NP-difficiles .....................................................................38 1.4.5.Les problmes une machine en t emps rel ..................................................38 1.5.PROBLMES DOPTIMISATION ETMTHODES DE RSOLUTION ................. 40 1.5.1.Int roduct ion.......................................................................................................40 1.5.2.Problmes dopt imisat ion ...............................................................................40 1.5.2.1.Formulations...............................................................................................40 1.5.2.2.Problmesmono-objectifs........................................................................41 1.5.2.3.Problmes multi-objectifs .........................................................................41 1.5.2.4.Notion de dominance................................................................................42 1.5.3.Mt hodes de rsolut ion....................................................................................42 1.5.3.1.Mthodes exactes.......................................................................................43 6 1.5.3.2.Mthodes approches................................................................................43 1.5.3.3.Mthodes de relaxation des contraintes.................................................50 1.5.3.4.Mthodes de dcomposition....................................................................50 1.6.CONCLUSION .............................................................................................................. 51 Chapitre 2 Optimisation de la fonction de cot par lamthode branch & bound....................................................... 52 2.1.INTRODUCTION......................................................................................................... 52 2.2.PROBLME DE SATISFACTION DE CONTRAINTES ............................................ 52 2.2.1.Int roduct ion.......................................................................................................52 2.2.2.Dfinit ions .........................................................................................................53 2.2.3.Principe de rsolut ion dun CSP.....................................................................54 2.2.3.1.Ltiquetage ................................................................................................54 2.2.3.2.Le retour arrire backtracking ...........................................................55 2.2.3.3.Arbre de recherche ....................................................................................57 2.2.4.Principe de la propagat ion de cont raint es....................................................58 2.2.5.Propagat ion de cont raint es etordonnancement ..........................................61 2.3.MTHODE BRANCH & BOUND .......................................................................... 63 2.3.1.Principe ..............................................................................................................63 2.3.1.1.La sparation ..............................................................................................63 2.3.1.2.Lvaluation................................................................................................63 2.3.2.Branch & bound etordonnancement .............................................................63 2.3.3.Algorit hme gnral ...........................................................................................64 2.3.4.Exemple dalgorit hme.......................................................................................66 2.4.OPTIMISATION DE LA FONCTION DE COT- POSITION.................................. 68 DU PROBLME............................................................................................................. 68 2.4.1.Prsent at ion ......................................................................................................68 2.4.2.Syst me dordonnancementract if en t emps rel ........................................69 7 2.5.APPLICATION DE LA MTHODE BRANCH & BOUND DANS LES INDUSTRIES AGROALIMENTAIRES....................................................................... 70 2.5.1.Int roduct ion.......................................................................................................70 2.5.2.Descript ion du problme dordonnancementdynamique...........................71 2.5.3.Opt imisat ion de la fonct ion object if .......................................................71 2.5.3.1.Notion de dominance................................................................................71 2.5.3.2.Position du problme................................................................................72 2.5.3.3.Schma de sparation................................................................................72 2.5.3.4.Application des rgles de dominance des oprations..........................73 lordonnancement ...................................................................................73 2.5.3.5.Exploration et tude des diffrents cas dordonnancement ................74 2.5.3.6.Mise jour des dates .................................................................................75 2.5.3.7.Application .................................................................................................77 2.6.CONCLUSION.............................................................................................................. 79 Chapitre 3 Optimisation multicritre pour la construction dun ordonnancement dynamique.......................................................... 80 3.1.INTRODUCTION......................................................................................................... 80 3.2.OPTIMISATION PAR LES ALGORITHMES GNTIQUES................................... 80 3.2.1.Int roduct ion.......................................................................................................80 3.2.2.Principe gnral des algorit hmes gnt iques ................................................81 3.2.2.1.Concepts de base........................................................................................81 3.2.2.2.Les oprateurs ............................................................................................83 3.2.2.3.Schma de principe et algorithme gnral.............................................86 3.2.2.4.Algorithme gnral....................................................................................88 3.2.3.Applicat ion des algorit hmes gnt iques en ordonnancement ....................88 3.2.3.1.Le codage dans les ateliers de type jop-shop.........................................89 3.2.3.2.Le codage dans les ateliers de type flow-shop ......................................90 8 3.2.4.Codage propos pour le problme une machine en indust ries agroaliment aires ..............................................................................................91 3.2.4.1.Introduction................................................................................................91 3.2.4.2.Optimisation en industries agroalimentaires - Position du problme................................................................................91 3.2.4.3.Formulationdes critres ..........................................................................92 3.2.4.4.Formulation des bornes infrieures ........................................................93 3.2.4.5.Codage propos : CLOO-A pour optimiser les critres.......................94 considrs...................................................................................................94 3.2.4.6.Oprateurs utiliss dans lalgorithme propos .....................................95 3.2.4.7.Approche dvaluation multicritre........................................................99 3.2.4.8.Rsultats de simulation pour diffrentes gammes de produits agroalimentaires.......................................................................................105 3.2.4.9.Conclusion ................................................................................................106 3.3.OPTIMISATION PAR LES ALGORITHMES DE COLONIE.................................. 107 DE FOURMIS....................................................................................................................... 107 3.3.1.Le cont ext e exist ant ........................................................................................107 3.3.2.Les algorit hmes de colonie de fourmis : principe gnral .........................107 3.3.3.Reprsent at ion du problme dopt imisat ion..............................................110 3.3.4.Algorit hme dopt imisat ion par colonie de fourmis ...................................110 propos .............................................................................................................110 3.3.4.1.Prsentation ..............................................................................................110 3.3.4.2.Algorithme doptimisation par colonie de fourmis............................113 3.3.4.3.Application lordonnancement dun atelier de production agroalimentaire ........................................................................................115 3.3.4.4.Conclusion ................................................................................................116 3.4.CONCLUSION ............................................................................................................ 117 Conclusion gnrale................................................................................118 Bibliographie ...........................................................................................121 9 Liste des figures Fig. 1.1. Graphe potentiel tches... Fig. 1.2. Digrammes de Gant........ Fig. 1.3. Cycle de vie dun produit agroalimentaire. Fig. 1.4. Les deux types de minima................................................................................. Fig. 1.5. Algorithme gnral du recuit simul... Fig. 1.6. Algorithme gntique simple............................ Fig. 1.7. Algorithme de lOCF... Fig. 2.1. Algorithme backtracking .. Fig. 2.2. Arbre de recherche binaire pour le jop -shop 2x 3.. Fig. 2.3. Comportement dun systme de propagation de contraintes.. Fig. 2.4. Graphe de contraintes associ P. Fig. 2.5. Propagation de contrainte disjonctive.. Fig. 2.6. Algorithme gnral dune PSE.. Fig. 2.7. AlgorithmePSE [Car82]. Fig. 2.7. Comportement dun systme dordonnancement temps rel.. Fig. 2.8. Cas dordonnancements. Fig. 3.1. Principe gnral dun algorithme gntique... Fig. 3.2. Algorithme de croisement un point....................................... Fig. 3.3. Exemple de croisement un point Fig. 3.4. Algorithme de croisement deux points. 24 26 29 38 43 45 46 53 55 56 57 59 62 64 66 72 84 92 93 95 10 Fig. 3.6. Algorithme de mutation. Fig. 3.7. Exemple de mutation.. Fig. 3.8. Fuzzification floue dans la rsolution du problme dchelle.. Fig. 3.9. Fonction dappartenance des diffrentes valeurs des critres.. Fig. 3.10. Direction de recherche.. Fig. 3.11. Principe gnral de lalgorithme du PVC.. Fig. 3.12. Algorithme doptimisation par colonie de fourmis..... Fig. 3.13.Variation du cot en fonction des cycles.. 95 96 97 99 101 106 111 113 Liste des figures 11 Introduction gnrale Le type et la nature de la consommation actuelle sont, entre autres, caractriss par une fortedemande de produits personnaliss des prix bas. En effet, lvolution etlamondialisationdelaproductionainsiquelouverturedesmarchs internationauxontpousslesindustrielssedirigerversdessystmesde fabricationflexibles ;ceciconduitmettreenplaceunelogiqueindustriellequi remetencausecertainsfondementsdeshabitudesdelaproduction.Ainsi,la gestion des ateliers de production a pris une certaine valeur ces dernires annes afindamliorerlaproductivitetdaugmenterlaractivit.Cesnouveaux domaines dapplication rendent plus complexes les problmes dordonnancement destches ;cequiexigelarsolutionrigoureusedecesproblmes.Eneffet, par unemeilleureutilisationet planificationdesressources,unatelierdeproduction peutraliserunegrandevaritdeproduitsetlescotspeuventtrerduitsce quiconstitue unobjectifcrucial.Enparticulier,laproductivitpeuttreaffecte par lordonnancement des oprations sur les machines. Le champ dapplication de lordonnancement est large : la gestion de la production dans lindustrie, la gestion deprojets,lorganisationdesemploisdutemps,lagestiondelachargedes processeurs en informatique, etc. En raison de leur nature fortement combinatoire, ltudedesproblmesdordonnancementrestegalementdunintrtthorique toujoursrenouvel,carilnyapasencoretrouvdemthodedersolutionla fois gnrale et de faible complexit algorithmique. 12 Lesproblmesdordonnancement,trsvaris,sontcaractrissparungrand nombre de paramtres relatifs aux tches (premptives ou non, indpendantes ou non),auxressources(renouvelablesouconsommables),auxtypesdecontraintes portantsurlestches(prcdences,disjonctions),au(x)critre(s)doptimalit (minimisation de la dure de lordonnancement, minimisation du retardmaximal des tches, etc.). Rsoudre un problme dordonnancement consiste organiser ces tches, cest--dire dterminer leurs dates de dmarrage, et leur attribuer des ressources, de telle sorte que les contraintes soient respectes, afin doptimiser un certain objectif.Lanaturedesproduitsetdesprocdsainsiquelescontraintesdequalitetde contrledescotsfontquelesbesoinsdesindustrielsdelagroalimentaireen matiredegestiondesdonnestechniquessontassezdiffrentsdeceuxdes entreprisesmanufacturires.Ainsi,lvolutionetlescaractristiquesdynamiques desateliersindustriels,enparticulierceuxdesindustriesagroalimentaires, imposentlagnration,entempsrel,dunedcisionduprocessus dordonnancement.Engnral,lesproblmesdordonnancementsontdes problmesdoptimisationmulticritresoumuti-objectifs.Ainsi,lameilleure solution,appeleaussisolutionoptimale,estlasolutionayantobtenuela meilleure valuation au regard du ou des critre(s) dfini(s).Larsolutiondunproblmedordonnancementestconstituepardeuxtapes principales. La premire tape consiste identifier et modliser le problme en dcrivantlescontraintesquidoiventtrerespectesetmettantenvaleurles critres optimiser. La deuxime tape se traduit par la recherche de la mthode adquate pour rsoudre le problme considr. En effet, lexploitation de plusieurs mthodesestimportanteafindetrouverunesolutionquipermet,parla comparaison de leur efficacit dtablir des dcisions robustes. Introduction gnrale 13 Danscetteoptique,cetravaildethseproposedessolutionspourleproblme dordonnancementmulti-objectifadaptauxindustriesagroalimentaires.Les contraintesetdescritresconsidrssontspcifiquescetypedindustrie.Ce domaine prsente certaines particularits dues la nature des produits manipuls etfabriqus.Cesproduitsontdesduresdevieassezcourtes.Ainsi,les contraintes et les objectifs retenus par le systme de gestion de production mis en uvresontliscesparticularits.Eneffet,lerespectdesdatesdevaliditdes composantsprimairesformantlesoprationsetdesproduitssemi-finisestune contrainte absolue respecter. Ainsi, la premption dun composant engendre une pertematriellequisetraduitparleprixderevientdececomposant,etcette premptiongnreaussilempchementdelaralisationdeloprationprvue induisantdesretardsdelivraisondesproduitsfinis.Cesproduitsfinisontaussi une dure de vie limite et leurs prix se dgradent proportionnellement auxjours de stockage avant leur livraison. En effet, les surfaces de distribution imposent aux industrielsunepnalit,ditediscountdedistribution,parjourdestockagedu produit fini. Lu n des objectifs atteindre dans notre travail est donc de minimiser lediscountdedistribution.Ilfautnoteraussiquelesproduitsagroalimentaires sontcaractressaisonnieretirrgulier.Lesystmedeproductiondoitalors prvoirunmoyenpourcouvrirlesvariationsdelademandetraversdes substitutions dans les gammes de produits finis. Danslepremierchapitre,lesproblmesdordonnancementsontintroduits.Les types dateliers ainsi que les paramtres ncessaires pour caractriser un problme dordonnancementsontaussivoqus.Lesproblmesdoptimisationetlesleurs mthodes de rsolution, savoir les mthodes exactes et les mthodes approches et lacomplexitdelarsolutiondecesproblmes,sontgalementabords. Les particularits de lordonnancement en industries agroalimentaires sont prsentes. Introduction gnrale 14 Le deuximechapitrerepose sur la mthode branch & bound et sonapplication pour optimiserdeuxcritresspcifiqueslindustrieagroalimentairela fonction decotquisont :lecotdesproduitsprimsetlecotdudiscountde distribution. Cest uneProcduredeSparationetdvaluation progressive PSE, quiestunemthodeexactedoptimisationbasesurunenumration contrle quifournit,engnral,unesolutionoptimale.Elleconsisteconstruireune arborescencedontlaracinecorrespondlespacedessolutionsduproblme initial.Cetteprocdureestbasesurdeuxtapes.Unetapedefiltrationqui consisteliminercertainesoprationsdelespacederechercheinitialen appliquantdesrglesdedominanceissuesdesparamtresdescomposants formant une opration, tels que la date de validit de ces composants et les dures opratoires.Ainsi,ladcisiondlimineroudemainteniruneoprationde lespace de recherche initial, permet dviter la premption de certains composants et donc la minimisation des cots des produits prims. Dansletroisimechapitre,deuxmtaheuristiques,savoirlesalgorithmes gntiquesetlesalgorithmesdoptimisationparcoloniedefourmisontt appliquespourconstruireunordonnancementdynamiquemulticritre,en optimisantlesdeuxcritrescitsetuntroisimecritreplusclassique qui reprsente la date de fin de lordonnancement, le Cmax. Introduction gnrale 15 Notations ijO: jmeopration du produit i

ijt : date effective de dbut de fabrication de lopration ijO

ijr : date de dbut au plus tt de lopration ijO

ij: date de fin effective de lopration ijO

ijp: dure opratoire de lopration ijO

iP: produit fini de lopration ijO

ijkc : mek composant de lensemble des composantsde lopration ijO

ijkv : date de validit limite du composant ijkc

iPC: date de fin de fabrication du produitiP

ilivPd: date de livraison du produitiP

fPd: date de fin de la squence P

iPDv : dure de vie du produitiP

iPDr: dlai de retour du produitiP revijkP: prix de revientdu composantijkc ivenPP: prix de vente unitaire du produitiP istkPC: cot du stockage, par unit de temps, dune unit du produitiP 16 Chapitre 1 Ordonnancement : tat de lartet particularits en industries agroalimentaires 1.1.Introduction Lordonnancementreprsenteundomainedapplicationdelarecherche oprationnelleetdelagestiondelaproductionquiviseamliorerlefficacit dune entreprise en termes de cot de production et de dlai de livraison.Lesproblmesdordonnancementapparaissentdanstouslesdomaines : informatique [Bep96], industrie, transport, construction, administration... [Car88]. Rsoudreunproblmedordonnancementconsisteorganiserouordonnancer des tches, cest--dire dterminer leurs dates de dmarrage et leurs attribuer desressourcesmatriellesouhumainesncessaires,detellesortequeles contraintessoientrespectes,afindoptimiseruncertainobjectifpralablement dfini[Got93],[Lop01].Cetteplanificationdesressourcespourraliserune grandevaritdeproduitsfinisdansdesdlaisimpratifs,estungarantdela comptitivitduneentreprise.Cestpourcesraisonsquelesproblmes dordonnancement deviennent plus complexes et plus importants. 17 Ainsi le rsultat de la rsolution dun problme dordonnancement se dcompose en trois tapes fondamentales : -lallocation des ressources ncessaires pour chaque tche, -lesquencementquiprciselordredepassagedestchessurchaque ressource, -laffectation dune date de dbut et dune date de fin pour chaque tche.Cette rsolution passe, alors, par deux phases ncessaires :-une phase didentification et de modlisation, -une phase de recherche de la mthode adquate.Dans notre travail, on sintresse aux problmes dordonnancement datelier. 1.2.Problmes dordonnancement : tat de lart 1.2.1. Caractrisation Les problmes dordonnancement datelier consistent affecter plusieurs tches desmoyensdefabricationafinderaliserdesproduits(travauxoujobs)touten respectant les contraintes de fabrication et en optimisant certains critres. Les principaux lmentsdunproblmedordonnancementsontlessuivants : les tches (ou oprations), les ressources, les contraintes et les critres.

1.2.1.1. Les tchesLestchesreprsententtouteslesoprationseffectuerpourlafabricationdes produits.Unetche,cestdireunensembledoprations,requiertpourson excutioncertainesressourcesquilfautprogrammerdefaonoptimiserun certain objectif. Si lensemble des tches excuter au cours du temps est donna priori,cest--direleursdates(datededbutetdatedefin)etleursordres dexcution sont connus lavance, le problme dordonnancement est dit statique. Dans le cas contraire, si lensemble des tches excuter volue dans le temps, le problme est dit dynamique. Dans notre travail, on sintresse aux problmes dordonnancement dynamique. Chapitre 1Ordonnancement : tat de lart et particularits en industriesagroalimentaires 18 Deux types de tches sont distingus : lestchesmorcelables (premptives)quipeuventtreexcutesen plusieurs fois facilitant ainsila rsolution decertains problmes, les tches non morcelables (indivisibles) qui sont excutes en une seule foisetnepeuventpastreinterrompuesavantquellessoient compltement termines. Chaquetchei quicorrespondlaralisationdun produit(oujob) j est alors caractrise par : - i j kt: sa date de dbut dexcution sur la machine k , - i j kr:sadatededisponibilitoudatededbutauplusttsurla machine k , - i j kp: son temps dexcution ou sa dure opratoire sur la machinek , - i j kC: sa date de fin dexcution sur la machine k , - i j kd : sa date de fin au plus tard sur la machinek . Ainsi,pourquunordonnancementsoitralisable,laconditionsuivanteest ncessaire : i I , ijk ijk ijk ijkr t C d oIreprsente lensemble de tches ordonnancer. 1.2.1.2. Les gammes Une gamme de fabrication prcise lordre de passage des oprations permettant la ralisationduproduitsurlensembledesmachinesainsiquelenombre doprationsrelativesauproduit.Silechoixdestypesdemachinespourles oprations nest pas impos, la gamme est dite logique, les entits qui interviennent sontlesoprations.Suivantlordredexcutiondesoprationspouracheverun produit, trois types de gammes sont distingus : -la gamme libre : lordre est totalement libre, -la gamme linaire : lordre est entirement dtermin, -la gamme mixte : lordre est partiellement dtermin. Chapitre 1Ordonnancement : tat de lart et particularits en industriesagroalimentaires 19 1.2.1.3. Les ressources Une ressourceest un moyen technique ou humain utilis pour raliser une tche. Cemoyentechniqueestdoncncessaireetindispensablepourlebon fonctionnement du cycle de fabrication. Dans un atelier, plusieurs types de ressources sont distingus : lesressourcesrenouvelables,qui,aprsavoirtallouesunetche, redeviennentdisponiblesetquipeuventtrerutilises(machines, personnel, etc.), les ressources consommables,qui,aprsavoirtallouesunetche, nesontplusdisponibles,etsontdoncpuises(argent,matires premires, etc.), lesressourcespartageablesquipeuventtrepartagesentreplusieurs tches. Ces ressources peuvent tre classes dune autre manire : lesressourcesdetypedisjonctifquinepeuventexcuterquune opration ou une tche la fois, lesressourcesdetypecumulatifquipeuventexcuterplusieurs oprations simultanment. Une machine est considre comme un type de ressource qui nest caractris que par son horaire detravail [Mes99]. 1.2.1.4. Les contraintes Lescontraintesreprsententlesconditionsrespecterlorsdelaconstru ction de lordonnancementpourquilsoitralisable.Ellesrendentlesproblmes dordonnancementplusdifficilescarilfautlesrespecterlorsdelarsolutionde ces problmes. Chapitre 1Ordonnancement : tat de lart et particularits en industriesagroalimentaires 20 Ces contraintes peuvent tre classes en deux types : endogne et exogne. Les cont raint es endognesEllesconstituentdescontraintes lies directement au systme de production et ses performances telles que : -les dates de disponibilit des machines et des moyens de transport, -les capacits des machines et des moyens de transport, -les squences des actions effectuer ou les gammes des produits. Les cont raint es exognesCes contraintessont imposes extrieurement. Et sont indpend antes du systme de production ; on distingue : - lesdatesdefindefabricationauplustardduproduitimposes gnralement par les commandes, -les priorits de quelques commandes et de quelques clients, -les retards possibles accords pour certains produits. Une autre classification consiste distinguer : lescontraintesdegamme oudeprcdence,caractrisantlordre dexcution des tchesselon la gamme, lescontraintesdecapacits, caractrisesparunensembledeconflits pour lutilisation des ressources, pouvant se diviser en : -contraintes disjonctives o une seule ressource est partage par deux ou plusieurs tches la fois, -contraintes cumulatives o il ya partage de plusieurs ressources par plusieurs tches,lescontraintesliesdirectementauxproduitsfinis(datesdelivraison des commandes, priorits, dates de premption, etc.) [Gar03]. Chapitre 1Ordonnancement : tat de lart et particularits en industriesagroalimentaires 21 1.2.1.5. Les critres Uncritrecorresponddesexigencesqualitativesetquantitativessatisfaire permettant dvaluer la qualit de lordonnancement tabli. Les critres usuels sont : -la dure totale de lordonnancement, le makespan maxC-le respect des dates au plus tard, -la minimisation dun cot, etc. Les critres rguliers sont : - la minimisation de la date de fin effective de la dernire opration de la gamme, -la minimisation des dates effectives de fin de toutes les oprations, -la minimisation du plus grand retard, etc. Les critres irrguliers sont : -lquilibre de charge des ressources, -loptimisation des changements doutils, etc. [Gar03]. Lesdiffrentscritresnesontpasindpendants,certainsmmesontquivalents. Par dfinition, deux critres sont quivalents si une solution optimale pour lun est aussi optimale pour lautre et inversement. Par exemple, la moyenne des dates de fin est quivalente au retard algbrique moyen [Car88]. 1.2.2. Types dateliers La classification des types de problmes dordonnancement se fait en fonctiondu type des machines utilises ou selon lorganisation de latelier tudi. 1.2.2.1. Le type flow-shop Les ateliers de type flow-shop pour lequel la ligne de fabrication est constitue de plusieurs machines en srie ; toutes les oprations de toutes les tches passent par toutes les machines dans le mme et unique ordre. Chapitre 1Ordonnancement : tat de lart et particularits en industriesagroalimentaires 22 Ce type datelier est dit cheminement unique. Dans les ateliers de type flow-shophybride ,unemachinepeutexisterenplusieursexemplairesidentiqueset parallles. 1.2.2.2. Le type job-shopDans les ateliers de type job-shop , les oprations sont ralises selon un ordre total bien dtermin, variant selon la tche excuter. Ce type datelier est nomm aussiateliercheminementsmultiples.Danscecas,plusieurschangements doutils sont envisager.vLe t ype job-shop flexible Lejob-shopflexibleestuneextensiondumodlejob-shopclassique.Sa particularitessentiellersidedanslefaitqueplusieursmachinessont potentiellementcapablesderaliserunsous-ensembledoprations.Plus prcisment,uneoprationestassocieunensemblecontenanttoutesles machines pouvant effectuer cette opration. 1.2.2.3. Le type open-shop Aucun ordre de fabrication nest impos, dans ce cas ; lacheminement de toutes lesoprationsestmultipleetlibre ;cesoprationspeuventtreexcutesdans nimporte quel ordre. Desextensionscestypesdebaseonttdfiniesdanslebutdese rapprocher desateliersrelsdeproduction.Parexemple,laflexibilitdesmachinesqui consisteassocierchaqueoprationunensembledemachinescest--direque cette opration peut tre traite par une machine quelconque de cet ensemble. Un problme daffectation est alors ajout au problme initial dordonnancement. Chapitre 1Ordonnancement : tat de lart et particularits en industriesagroalimentaires 23 Les types suivants sont distingus : les problmes machines parallles o les oprations indpendantes et sont traites par le mme ensemble de machines, lesproblmesdetype flow-shophybride constituantuneextension du problme du type flow-shop , o la premire opration de chaque produit est traite par le premier ensemble, la deuxime opration par le deuxime ensemble, et ainsi de suite. Danslesproblmesdordonnancementavecaffectationgnralise,pourchaque opration,unensembledemachineestdfini,unemachinepouvant naturellementfairepartiedeplusieursgroupes,etuneoprationpouvanttre traite par nimporte quelle machine du groupe [Gza01]. 1.2.3. Complexit La complexit des problmes dordonnancement est dfinie suivant la complexit desmthodesdersolutionetcelledesalgorithmesutiliss[Gar79],[Car84a] [Car88],[Cha96].Certainsproblmesdordonnancementdetaillerelativement importantepeuventavoirunniveaudecomplexitsiimportantqueleur rsolution devient trs difficile. Deux catgories de complexit sont distingues : algorithmique et problmatique 1.2.3.1. Complexit algorithmique Lathoriedelacomplexitapourobjectifdanalyserlescotsdersolution, notammententermedetempsdecalcul,desproblmesdoptimisation combinatoire[Coo71].Ellepermetdtabliruneclassificationdesproblmesen plusieursniveauxdedifficult,etfaitladistinctionentreunproblme doptimisationetunproblmededcision[Gra79][Car88][Cha96].ILat dmontr que la plupart des problmes dordonnancement sont difficiles [Lop01]. Chapitre 1Ordonnancement : tat de lart et particularits en industriesagroalimentaires 24 Lacomplexitalgorithmiquesemesureparrapportautempsalloupour lexcutiondelalgorithmeouencoreparrapportlespacemmoirerequis.Le tempsdecalculestfonctiondunombredinstructionsetdelatailledesdonnes manipules. La complexit en espace est une fonction qui associe la taille dune instance dun problmedonn,unordredegrandeurdunombredecasesmmoiresutilises pour les oprations ncessaires la rsolution de ce problme [Pas05]. Laduredunalgorithme,note( ) T N ,sedduitdunombredinstructions lmentaires de cet algorithme ainsi que de la dure dexcution dune instruction. Cette dernire est majore par un nombre qui est fonction de loutil informatique et du programme utiliss. Unalgorithmeestditdecomplexit( ( )) O f N ,silexisteuneconstanteK etun entier 0Ntels que pour tout 0N N ;( ) ( ) T N Kf N . Un algorithme est dit polynomial dordrepsi( )pf N N . Dans le cas o aucune fonctionf polynomialenexiste,lalgorithmeestditnonPolynomial(NP)ou exponentiel.

1.2.3.2. Complexit problmatique Lacomplexitproblmatiquedpendduproblmersoudreainsiquedela mthodedersolutionchoisiepourconstruirelasolutionoptimaleausensdes critres retenus. Dans la littrature, les problmes dordonnancement sont souvent classs en deux catgories caractrisant leurs degrs de complexit : Lesproblmesindcidables quisontlesproblmes dordonnancement les plus difficiles pour lesquels il nexiste aucune mthode de rsolution connue,lesproblmesdcidablesquisontdeclassePoudeclasseNP [Cha96]. Chapitre 1Ordonnancement : tat de lart et particularits en industriesagroalimentaires 25 Dfinitions -Un problme de dcision est un problme qui comprend deux parties : une partiedonnesduproblmeetunequestionbinaireayant oui ou non comme rponse possible. -Unproblmederechercheestunproblmeconstitudunensemblede donnesetpourlequelchaqueensemblededonnescorrespondun ensembledesolutions.Rsoudreunproblmederechercheconsiste calculerpourchaqueensemblededonnesD lensembledessolutionsS (D)associes. -Unproblmedoptimisationestunproblmederecherchequidonne chaque solution une valeur quantitative. On cherche une valeur minimale si on a une fonction conomique minimiser, ou maximale pour dautres cas. chaqueproblmedoptimisationonpeutassocierunproblmede dcision [Cha96]. Ainsi, ltude de la complexit dun problme de dcision permetdedonnerlesindicationsrelativesauproblmedoptimisation associ. -UnproblmededcisionestdeclassePsilexisteunalgorithme polynomial pour le rsoudre. -Un problme de dcision est de classe NP, il est dit galement NP-difficile, silnepeutpastrersoluenuntempspolynomialparlesalgorithmes dterministes[Car88],[Lop99]maispeuttrersoluenuntemps polynomial par des mthodes approches.-Un problme de dcision est dit NP-complet sil appartient la classe NP et sil est rsolu, au mieux, en un temps exponentiel. -UnproblmedoptimisationestditNP-difficile si le problme de dcision associ est NP-complet. Chapitre 1Ordonnancement : tat de lart et particularits en industriesagroalimentaires 26 1.2.4. Modlisation et reprsentation des problmes dordonnancement

1.2.4.1. Notations Unemthodedenotationatproposedanslalittrature[Gra79][Bru95]pour reprsenter un problme dordonnancement dune manire simple. Cette notation consiste reprsenter le problme sous forme de trois champsa, b et c (a | b| c) : -lechampapermetdedcrireletypedatelier,lenombredejobs raliser et le nombre e machines disponibles, -le champbestutilispourprciserlescontraintesduproblmeetles diffrentes hypothses sur le mode dexcution des tches (premption, prcdence, etc.), -le champ c est ddi au(x) critre(s) optimiser. Exemple J, 10, 6| Prec, ir |maxC Il sagit dun problme dordonnancement dun atelier de type job-shop J, de dix jobssixmachines.Ledeuximechampmontrequelesjobsprsententune contrainte de prcdence, Prec, et une contrainte irdedates de dbut au plus tt. En plus la premption et interdite (nest pas mentionne dans le champprem). Le dernier champ indique que lobjectif est de minimiser le makespan, maxC . 1.2.4.2. Modlisation La modlisation, est en gnral, une tape trs importante dans la rsolution dun problmedordonnancement.Cestunecrituresimplifiedetoutesles donnes duproblmepermettantdentraduiretouslesdtailspourmieuxreprsenterla ralit des choses. Chapitre 1Ordonnancement : tat de lart et particularits en industriesagroalimentaires 27 Deux mthodes de modlisation sont distingues : les mthodes graphiques et les mthodes mathmatiques.

Les mthodes graphiques Unproblmedordonnancementpeuttremodlisparungraphe,ditgraphe potentiel - tches, figure 1.1, constitu par : des noeuds reprsentant les tches,desarcsconjonctifsillustrantlescontraintesdeprcdence(en indiquant les dures des tches), desarcsdisjonctifsindiquantlescontraintesderessources[Roy70], [Got93] et [Jai99]. Lesmthodesgraphiquesontconnuunetrsimportantevolutionsurtoutavec lapparitiondesRseauxdePtri(RdP)[Chr83],[Car84b]quipermettentde traduireplusieursnotionsfondamentalesquiontunlienaveclesproblmes dordonnancement telles que : -les conflits sur les ressources, -les dures opratoires certaines (RdP temporiss), -les dures opratoires alatoires (RdP stochastiques), -les gammes, -lesdisponibilits,lesmultiplicitsetlescapacitsdesressources (RdP synchronisset capacits), -la rptitivit (RdP cycliques). Exemple [Kac03] Fig.1.1. Graphe potentiel - tches 3 1 * 2 0 47 6 5 3 0 4 17 8 2 3 3 0 Chapitre 1Ordonnancement : tat de lart et particularits en industriesagroalimentaires 28 La modlisation polydriqueLeprincipedecetypedemodlisationestdetrouverlescontrainteslinaires dfinissentdesdemi-espaces.Lintersectiondecesdemi-espacesdonneun polydre dont les sommets reprsentent une solution ralisable du problme. Si la fonctionobjectifestlinaire,lutilisationdelaprogrammationlinairepermet dobtenir la solution optimale. Cette approche sest beaucoupdveloppe dans le domaine de loptimisation combinatoire [Gro88]. Denombreuxproblmescommelevoyageurdecommercefontintervenirce genre de modlisation pour leur description [Law87]. Le modle polydrique pour des problmes dordonnancement introduit par Balas [Bal85], dfinit un vecteur solutiont dont les composantes sont les dates de dbut calculesdechaqueoprationordonnancer.Testalorslensembledetousles vecteurs t vrifiant les contraintes du problme. Il considre le polydre P comme tant lenveloppe convexe des points de T. Les mthodes mathmatiques Les mthodes mathmatiques consistent crire les donnes, les contraintes et la fonctiondvaluationdescritressousformedquationsmathmatiques.Ces mthodessontcourantesettrsutilises ;ellespermettent,engnral,dobtenir une criture simple, puissante et facilement exploitable en programmation. Parexemple,lesdonnessuivantes sontrelativeslexempledelafigure1.1, { } 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 i , reprsente lensemble des tches,lobjectif tant de : calculer it (date de dbut dexcution de la tche i)minimiser la date de fin dexcution de la dernire tche, lemaxC ,respecterlescontraintesindiquesdansletableau1.1,danslequel ipreprsente la dure opratoire de la tche i. Chapitre 1Ordonnancement : tat de lart et particularits en industriesagroalimentaires 29 Tab.1.1. Donnes et contraintes relatives lexemple de la figure 1.1 Contraintes de donnes Contraintes de prcdence Contraintes de ressources 13 p 1 1 3t p t + 1 1 2 2 2 1( ) ( ) t p t OU t p t + + 22 p 34 p 1 1 4t p t + 3 3 5 5 5 3( ) ( ) t p t OU t p t + + 41 p 3 3 7 7 7 3( ) ( ) t p t OU t p t + + 58 p 3 3 6t p t + 7 7 5 5 5 7( ) ( ) t p t OU t p t + + 63 p 4 4 7t p t + 77 p 2 2 5t p t + 4 4 6 6 6 4( ) ( ) t p t OU t p t + + 1.2.4.1.Reprsentation des solutions La solution dun problme dordonnancement est reprsente gnralement par le digramme de Gantt. Ce diagrammeconstitue la plus ancienne et la plus facile des mthodes envisages pour reprsenter cette solution.Le digramme de Gantt peut avoir deux reprsentations, figure 1.2 : -la reprsentation(a), Produits ,-la reprsentation(b), Machines . Fig.1. 2. Digrammes de Gantt P11 P12 P13 P21 P22 P23 M1 M2 temps M achines M2 M1 P1 M2 M1 P2 temps Produits M2 M1 P3 (a)(b) Chapitre 1Ordonnancement : tat de lart et particularits en industriesagroalimentaires 30 1.3.Particularits de lordonnancement dans un atelier de production agroalimentaire 1.3.1Introduction Les industries agroalimentaires sont trs dpendantes de lvolution des habitudes deconsommationdanslemondeentieretdesdiffrentesrglementations internationales.Lesentreprisesagroalimentairesdoiventelles-mmes voluer en terme demploi : effectifs, structure de qualification, comptences, etc. Lvolution de ce type dentreprise dpend, essentiellement, des facteurs suivants : unfacteurexternequiestdirectementliaucontextesectorieletqui dpenddelvolutionqualitativeetquantitativedumarch,des circuits de distribution et des innovations technologiques, unfacteurinternequidpenddelastratgieoudelapolitiquede lentreprise qui identifie les objectifs souhaits, un deuxime facteur interne qui concerne essentiellement les choix de lentrepriseenmatiredorganisationdetravailetdecoordination entre les postes fonctionnels et oprationnels. Cedernierfacteuratsouventjugtrsimportantetmmedcisifpourla majoritdesentreprisesagroalimentaires[Gar03].Eneffet,certainesentreprises ontfaituneffortdautomatisationdeleurslignesdefabricationdanslebutde mieux organiser et matriser les flux de produits. Chapitre 1Ordonnancement : tat de lart et particularits en industriesagroalimentaires 31 1.3.2. Les produits 1.3.2.1.Les composants primairesUnproduitagroalimentairefini iP fabriquerestcomposparn oprationset caractris par : ir : la date de mise en fabrication au plus tt, id: la date de fin de fabrication au plus tard, ig: la gamme dfinissant lensemble des oprations raliser. Ceproduitestgalementdfiniparunenomenclaturequimetenvidenceles composantsprimairesncessairespourlobtenir.Cescomposantssontsouvent reprsents par des produits agricoles et des matires crues qui sont prissables et qui ont des dures de vie limites. 1.3.2.2.Les produits semi-finis A cause des risques de contamination, les produits semi-finis manipuls dans les industriesagroalimentairesontgnralementdesduresdevietrscourtes.Ces produits doivent tre transfrs sur les postes de travail dans dlais trs courts. En effet,lasynchronisationentrelesdiffrentspostesdetravaildelalignedefabrication est ncessaire pour viter la premption en ligne. 1.3.2.3.Les produits finis Contrairementdautresproduitsindustriels,lesproduitsagroalimentairesont uneduredevie(Dv)biendterminecompterdeleursdatesdefinde fabrication(Dff).Achaqueproduitfini,estalorsassocieunedatelimitede consommation (Dlc). Il est noter que la vente de ces produits passe souvent par des surfaces de distribution qui imposent certaines conditions aux manufacturiers, le produit tant considr invendable partir dun certaindlai de sa date limite deconsommation.Cedlaiestappeldlaideretour(Dr).Leresponsabledela production doit alors reprendre son produit. Chapitre 1Ordonnancement : tat de lart et particularits en industriesagroalimentaires 32 Exemple (figure 1.3.) : Considrons un exemple de produit fini ayant une dure de 21 jours. Si son dlai de retour est fix 5 jours, ce produit doit tre repris par le manufacturier 5 jours avant sa date limite de sa consommation [Gar03]. 1.3.3. Spcificits dun problme dordonnancementen industries agroalimentaires Dansleparagrapheprcdent,lesparticularitsdesproduitsmanipulsen industriesagroalimentairessontcites.Eneffet,ilfauttenircomptedeces particularits lors de la rsolution du problme dordonnancement. Contrairement aux autres industries, la succession des oprations dans un mme poste de travail dans un atelier de production agroalimentaire est caractrise, gnralement, par desoprationsdenettoyagededuresvariablesquiinterrompentlecyclede fonctionnement de la production et peuvent donc provoquer des retards. Dff DrDlc Dv= 21 jours temps j : 0j : -5 j : -21 produit invendable produit prim Fig.1.3. Cycle de vie dun produit agroalimentaire Chapitre 1Ordonnancement : tat de lart et particularits en industriesagroalimentaires 33 Ces oprations, engendrant des temps improductifs assez importants, ncessitent loptimisation des changements de recettes et des gammes de produits.Dautresoprationsdenettoyagededuresdexcutionplusimportantessont dautrepartimposesparleservicequalitpourviterlacontaminationdes ressourcesetassurerainsiunequalitsatisfaisante.Danscetypedindustrie,les produitssemi-finisrsultantsdesoprationslmentairesduprocessusde fabricationpeuventtremodifisetnesontpasforcmentceuxquiontt planifis,decefait,lvolutiondansletempsduneoprationencoursde ralisationnestpastoujoursdterministe(lescaractristiquesdescomposants : acidit,concentration,etc.ouencorelesconditionsdeproduction : temprature, taux dhumidit, etc.). Ces produits peuvent tre compltement perdus si aucune actioncorrectivenestpossible.Desdcisionsdinterruptionsdesoprationsen-coursoudengagementsdautresoprationspeuventavoirlieudanstelles conditions.Onestdoncfaceunproblmedordonnancementdynamique.Un outil ractif daide la dcision en temps rel peut tre alors la meilleure solution pour ce type de problme. Ci-aprsuntableau (Tab.1.2)quirsumelesprincipalesdiffrencesentreun ordonnancement classique et un ordonnancement en industries agroalimentaires. Chapitre 1Ordonnancement : tat de lart et particularits en industriesagroalimentaires 34 Tab.1.2. Comparaison entre un problme dordonnancement classiqueet celui en industries agroalimentaires Critres de comparaison Ordonnancement classique Ordonnancementagroalimentaire Matires premires -non prissables -discrtises -approvisionnement matris -prissables -non discrtises -approvisionnement irrgulier Produits semi-finis -non prissables -discrtiss -dure de vie courte -non discrtiss Produits finis -non prissables -prix de vente fixe et invariable -prissables -prix de vente variable -cot de stockage lev Duresopratoires -fixes -temps dattente connus -variables -temps dattente entre oprations, variable -minimisation des produits prims -minimisation du discount de distribution Critres -minimisation du makespan -minimisation du retard-respect des dates dchances clients -quilibre des charges de ressources -minimisation des changements doutils Contraintes -contraintesdedisponibilitdesmatires premires -contraintes de disponibilit du personnel -contraintes de gamme (de prcdence) -contraintes disjonctives et cumulatives Demandedemande prvisibledemande variable Chapitre 1Ordonnancement : tat de lart et particularits en industriesagroalimentaires 35 1.4.Les problmes dordonnancement une machine1.4.1. Introduction Lesproblmesclassiquesunemachine,enselimitantuneapproche monocritre,peuventtredcompossendeuxcatgoriesprincipales :les problmes de type min max o la fonction objectif consiste minimiser la plus grandevaleurducritreconsidretlesproblmesdetype minsumola fonction objectif consiste minimiser la somme des critres. Plusieurs travaux de rechercheonttconsacrscetypedeproblme[Alb93],[Bea92],[Wig94], [Bru98], [Cha98a], [Cha98b], [Now94], [Pan92], [Cha96], etc. Danscettepartie,untatdelartsurlesproblmesmonocritresunemachine, o la fonction objectif consiste minimiser une fonction de cot, est prsent. Ces problmessontdetypemin-max puisquelobjectifestdeminimiserlaplus grandevaleurducot.Ilssontditsaussiproblmesdetypedisjonctifoude capacitunitaire,cest--direquelacapacitdelaressourceest1,ellenepeut excuter quune seule opration la fois. 1.4.2. Prsentation du problme une machine Dansunproblmeunemachine,lebutestdordonnancerunensembleEde n oprations sur une machine unique. Chaque opration iO , occupant la ressource pendant un tempsdonn, est caractrise par : -sa date de dbut au plus tt ir , -sa date de dbut effective it , -sa dure opratoire ip , -sa date de fin effective iC , -sa date de fin au plus tard id . Quant une opration iO est soumise une date au plus tt iret une date de fin au plus tard id , lintervalle [ir ,id ] reprsente la fentre de ralisation de cetteChapitre 1Ordonnancement : tat de lart et particularits en industriesagroalimentaires 36 opration, o elle doit imprativement tre excute, lobjectif tant de minimiser unefonctionobjectifdontlespluscourantessont:ladatedefindexcutionde lordonnancement maxC (lemakespan), leplusgrandretardalgbrique maxL .Ils existent des relations qui lient deux oprations : les contraintes de prcdence. Ces contraintessontdedeuxtypes :lepremiertypeindiqueque,pourquun ordonnancementsoitralisable,ilfautquuneopration iO sexcuteavant lopration jO .Ledeuximeajoute,enplusdecettecondition,quentreledbut de lopration iO etledbutdelopration jO ,unintervalledetempsdoittre respect.Deuxtypesdeproblmessontdistingus :lesproblmespremptifsetles problmesnon-premptifs.Danslepremiercas,uneoprationpeuttre interrompue pendant son excution tandis que pour le second un tel procd est interdit [Mau04]. 1.4.3. Les problmes une machine non premptifsSuivantlatailleetlacomplexitduproblme, les problmes une machine non premptifssont de deux types : les problmes polynomiaux et ceuxNP-difficiles. 1.4.3.1. Les problmes polynomiaux Exemples Problme : 1|ir |maxCCest un problme une machine o, chaque opration iO E de dure opratoire ip , ne peut tre excute avant sa date de dbut au plus tt ir; lobjectif tant de minimiserladuretotaledelordonnancement :lemakespan.Ceproblmepeut trersoluparlalgorithmeERT(EarliestReleaseTime),quidonne,engnral, unesolutionoptimale[Mau04].Cetalgorithmeconsisteordonnancerles oprations en les triant par dates de dbut au plus tt croissantes. Chapitre 1Ordonnancement : tat de lart et particularits en industriesagroalimentaires 37 Problme : 1| .|maxLLobjectifdeceproblmeestdeminimiserleplusgrandretardalgbrique maxL , cest diredeminimiserleplusgrandretardassociuneopration iO E . Si toutes les oprations sont termines temps, il sagit de maximiser la plus petite avance. Lalgorithme qui peut rsoudre ce problme est lalgorithme EDD (Earliest Due Date) qui consiste placer par ordre croissant les oprations des dates de fin souhaites. 1.4.3.2. Les problmes NP-difficiles Exemple Problme : 1|ir | max( )i iC q +La complexit de ce problme a t dmontre quelle est NP-difficile au sens fort [Len77] [Gar79]. Ce problmea fait lobjet de plusieurs travaux de recherche dans les annes soixante-dix et les annes quatre-vingt [Bra73] [Mah75] [Pot80] [Car82], etc. Bienquecetypedeproblmeaitunecomplexitassezforte,unemthodede SparationetdEvaluationProgressive(PSE),proposeparCarlier[Car82],a t efficacepourlersoudre.Lamthodepossdelaparticularitdedcrireun ordonnancementcompletchaquenudetreposesurleprincipeque lalgorithmedeSchrage[Sch71]peuttoujoursfournirlasolutionoptimaledu problmeunemachine,silesdonnesdeceproblmeonttmodifies pour certaines oprations (voir section 2.3.4). Chapitre 1Ordonnancement : tat de lart et particularits en industriesagroalimentaires 38 1.4.4. Les problmes une machinepremptifs14.4.1.Les problmes polynomiaux Exemple Problme : 1| prmt, ir | ( ) maxi iC q +Pour ce type de problme, chaque opration iO E de dure opratoire ipne peut treexcuteavantsadatededbutauplustt ir etesteffectivementacheve aprs une dure de latence iq . De plus la premption est autorise.Ceproblmeestquivalentau1| prmt, ir |maxL .Ilpeuttrersolu,enuntemps polynomialetendonnantunesolutionoptimale,parlalgorithmedeJPS (JacksonsPreemptiveSchedule)[Jac55].Cetalgorithmeconsisteplaceren prioritloprationdisponibledeplusgrand iq .Ilpeuttreprogrammenun temps O (n log n) [Car82], o n reprsente le nombre doprations ordonnancer. 14.4.2.Les problmes NP-difficiles Exemple Problme : 1| prmt, prec, ir | ( ) maxi iC q +Cestlemmeproblmequeleprcdentavec,danscecas,descontraintesde prcdence gnralises ajoutes. De ce fait, ce problme est class NP-difficile au sensfort[Bal95]pourlequelilnexiste,jusquprsent,notreconnaissance, aucun algorithme pour le rsoudre. 1.4.5. Les problmes une machine en temps rel Les premiers problmes importants traits en temps rel ont concern le pilotage de systmes complexes (avion, centrale nuclaire,). Ilssont concerns galement lordonnancement de radars [Orm98], ou de processeurs en informatique[Chr95]. Pourcesproblmes,ilestncessairedefournirrapidementunesolutionsans pouvoir attendre les informations sur les demandes long terme. Chapitre 1Ordonnancement : tat de lart et particularits en industriesagroalimentaires 39 Lordonnancemententempsrelpermetaussidefournirundlaidefabrication prcisauclient,linstantoilpassesacommande[Fia98].Aujourdhui,les applicationsdelordonnancemententempsrelsedveloppentparcequelles permettentderagirdynamiquementauxalasimprvisiblesquipeuvent intervenir chaque instant. Les applications en temps rel impliquent de dvelopper des techniques rapides, etdelesappliquer,deprfrencepourtouslescasdeproblmesrencontrs.La rapidit souhaite dobtention des rsultats dpend du problme trait : pour une entreprise,ilpeutsagirdequelquesminutes,pourunradar,dequelques millisecondes [Dur02]. Le terme temps rel signifiant que lapplication considre est capable de fournir une solution un problme avant que dautres vnements ne viennent modifierltat du systme. La rapidit dun algorithme en temps rel est fonction desa complexit , cest--dire lvaluation du nombre doprations lmentaireseffectuesparlalgorithmedanslecasextrme.Elleestdonneen fonctiondelatailledesproblmestraits[Gau87].Pourgarantirqueletemps dexcution dun algorithme ne dgnre pas dans des cas dapplication en temps rel, il est souhaitable que sa complexit soit polynomiale.Aucontraire,lesproblmesNP-difficilesausensfortformentuneclassepour laquelle on ne connat pas dalgorithme polynomial pour les rsoudre de manire optimale ;lesseulesmthodesconnuesconsistentexplorerexplicitementou implicitement toutes les solutions, ce quinest possible que pour des exemples de taille trs limite. Ainsi, pour lesapplications relles et lorsque la recherche de la solutionoptimaledevient combinatoire ,desheuristiquesquifournissent,au mieux, une solution proche de la solution optimale, sont utilises. Chapitre 1Ordonnancement : tat de lart et particularits en industriesagroalimentaires 40 1.5.Problmes doptimisation etmthodes de rsolution 1.5.1. Introduction Les problmes dordonnancement sont, en gnral, des problmes doptimisation puisque leur objectif est de minimiser (ou maximiser) une fonction objectif tout en respectant certains critres.

1.5.2. Problmes doptimisationRsoudreunproblmed'optimisationconsistetrouverla(oules) meilleure(s) solution(s),vrifiantunensembledecontraintesetd'objectifsdfinispar lutilisateur [Bar03]. Pour dterminer si une solution est meilleure quune autre, il est ncessaire que le problme introduise un critre de comparaison. 1.5.2.1.FormulationsLa fonct ion object if Cest la fonction de cot, notefquil sagit doptimiser. Les variables de dcision Elles sont regroupes dans un vecteur x . Cest en faisant varier ce vecteur que lon recherche un optimum de la fonctionf[Col02]. Types de minima Il existe deux types de minima : les minima locaux et les minima globaux,figure 1.4. -Minimum global Un point *xest un minimum global de la fonctionf , si on a :*( ) ( ) f x f x < x tel que *x x -Minimum local Un point *xest un minimum local de la fonctionfsi on a :

*( ) ( ) f x f x 0 alors la modification est accepte avec la probabilit ( ) exp / p E T , si T > alors diminuer lentement T et retourner la deuxime tape, si T ou (amlioration non observe) alors ltat actuel est la solution recherche, wfin. Fig.1.5. Algorithme gnral du recuit simul Chapitre 1Ordonnancement : tat de lart et particularits en industriesagroalimentaires 47 Les algorit hmes gnt iquesLes Algorithmes Gntiques [Hol75] sont des algorithmes itratifs dont le but est doptimiser une fonction prdfinie, appele fitness . Pour raliser cet objectif, lalgorithme,figure1.6.,travaillesurunensembledepoints, appels population dindividus.Chaqueindividuouchromosome(chanebinairedelongueur finie) reprsenteunesolutionpossibleduproblmedonn.Ilestconstitudlments appels gnes, pouvant prendre plusieurs valeurs, appeles allles [Mes99]. Le principe des algorithmes gntiques repose sur une analogie entre un individu dans une population et la solution dun problme parmi un ensemble de solutions potentielles : un individu (une solution) est caractris par une structure gntique (codage des solutions du problme). Selon les lois de survie de Darwin, seuls les individus lesplusforts(lesmeilleuressolutions)survivrontetpourrontdonner une descendance. Les oprateurs de croisement et de mutation (recombinaison et mutationdescodagesdessolutions)permettentdesedplacerdanslespacedes solutionsduproblme.Apartirdunepopulationinitialeetaprsuncertain nombre de gnrations, on obtient une population dindividus forts, cest dire de bonnes solutions du problme considr. Lesoprateursutilissparlesalgorithmesgntiquessontlesoprateursde slection, les oprateurs de croisement et les oprateurs de mutation : -loprateurdeslectionapourobjectifdechoisirlesindividusquivont pouvoir survivre et/ ou se reproduire pour transmettre leurs caractristiques la gnration suivante. La slection se base sur le principe de conservation des individus les mieux adapts et dlimination des moins adapts [Hao99]. -loprateur de croisement, assurant le brassage et la recombinaison des gnes parentaux, permet de former des descendants aux potentialits nouvelles. tantalatoire,cetoprateuragitselonuneprobabilitPcfixepar lutilisateur en fonction du problme optimiser [Mes99]. Chapitre 1Ordonnancement : tat de lart et particularits en industriesagroalimentaires 48 -loprateurdemutationconsistechanger,alatoirement,lavaleurde certains allles dans un individu. Sans elle, on aura une population uniforme, incapable dvoluer. La mutation classique consiste changer un 0par un 1 et inversement. Lestravauxderecherchesurlesalgorithmesgntiquesapoursouciprincipal lamliorationdelarobustesse,lquilibreentrelaperformanceetlecot ncessaire la survie dans des environnements nombreux et diffrents [Gol94]. 1.Calcul de la population initiale Construire une population de solutions ralisables2.Calcul des nouveaux individus Accrotre la population en ajoutant des individus issus de mutations ou de croisements dindividus de la gnration prcdente 3. Slection des individusSlectionner les meilleurs individus pour revenir la taille de la population initiale 4. Condition darrtRecommencer les croisements et les mutations jusqu vrifierune condition darrt Fig. 1.6. Algorithme gntique simple Chapitre 1Ordonnancement : tat de lart et particularits en industriesagroalimentaires 49 Les algorit hmes de colonies de fourmisLes algorithmes dOptimisationpar Coloniesde Fourmis (OCF), figure 1.7., sont proposs pour rsoudre des problmes NP-difficiles. Ces algorithmes sont ns la suite de constatations faites sur le comportement des fourmis qui sont capables de trouver le chemin le plus court du nid une source denourriture et de sadapter aux changements de lenvironnementet ceci grce la phromone (substance leur permettantdelaisserunetracesurleurchemin).Cesalgorithmesont donc pour but de reproduire le comportement naturel des fourmis pour trouver la meilleure solution possible plusieurs types de problmes [Gag01]. Algorithme gnral Tant que la condition darrt nest pas atteinte faire {Initialisation} 1.Gnrer et activer la colonie de fourmis 2.Initialiser la phromone {Dbut de loptimisation} Chercher le chemin de chaque fourmi Mettre jour la phromone {Fin de loptimisation} 3.Retenir la meilleure solution Fin Tant que Fig.1.7. Algorithme de lOCF Chapitre 1Ordonnancement : tat de lart et particularits en industriesagroalimentaires 50 1.5.3.3.Mthodes de relaxation des contraintes Lesmthodesderelaxationontundoublerledanslarsolutiondeproblmes d'optimisationcombinatoire[Geo74].Ellesdonnentdebonnesbornesinfrieures pour augmenter lefficacit de mthodes branch and bound d'une part, etsont labasedemthodesdersolutionscommelarelaxationlagrangienne[Fis76] [Fis81], d'autre part. Le principe de ces mthodes et de relaxer un certain nombre de contraintes de faon rendre plus facile la rsolution du problme. Dans le cas du job-shop, une relaxation des contraintes de ressources et ensuite une relaxation descontraintesdegammesopratoires,peuttreenvisageable[Fis83].Cette mthode donne de bonnes solutions pour des problmes de petite taille mais na pas t teste pour des tailles plus importantes. 1.5.3.4.Mthodes de dcomposition Les mthodes de dcomposition ont pour principe de diminuer la complexit du problmeendcomposantleproblmeinitialenplusieurssousproblmesplus faciles rsoudre. Lobjectif dune telle approche est de regrouper les jobs utilisant le mme ensemble de machines. Le but est alors de rendre les plus indpendants possibles les groupes de jobs [Pen94]. Pour cela, il faut quun job nutilise que des machines lies son groupe, et quune machine ne traite que des jobs dun mme groupe.Pourdcomposerunproblmedecetype,desmthodescommela technologiedegroupepeuventtreutilises[Dri87][Por88].Quandleproblme estdcomposable,deuxcasseprsentent:ladcompositionestditeparfaite lorsquelessousproblmessontcompltementindpendants,larsolutionde chacundessous-problmessparmentdonnantunesolutionglobalede l'ordonnancement.Siladcompositionnestpasparfaitelorsquecertainsjobs passentsurdesmachinesliesdesgroupesdiffrents,larsolutiondechaque sous problme ne donnant pas une solution ralisable du problme global [Leo91]. Chapitre 1Ordonnancement : tat de lart et particularits en industriesagroalimentaires 51 1.6.ConclusionDanscechapitre,nousavonsprsentuntatdelartsurlesproblmes dordonnancementdateliers etles approches utilises pour rsoudre ce type de problme,combinatoire.Cesapproches,quellessoientexactesouapproches, restent incapables de rsoudre tous les problmes rels dordonnancement. De ce fait, les mthodes hybrides donnent, en gnral, de meilleurs rsultats.Lesparticularitsdunproblmeordonnancementdansunatelierdeproduction agroalimentaire, sontprsentes. Pour russir trouver la meilleure solution ce type de problme, il faut dabord, dfinir les critres et les contraintesspcifiques cetypedindustrie,savoir :laprissabilitdesproduits,lediscountde distributionetlecotdestock.Pourremdiercesproblmes,un ordonnancement temps rel et donc, dynamique, reste le mieux adapt.Danslechapitresuivant,lamthodebranch&bound,quiestune mthode exacte, est dveloppe et applique pour optimiser les critres retenus. Chapitre 1Ordonnancement : tat de lart et particularits en industriesagroalimentaires 52 Chapitre 2 Optimisation de la fonction de cot par lamthode branch & bound 2.1.Introduction Lamthode branch&boundouProcduredeSparationetdvaluation progressive(PSE),estunemthodeexactedoptimisationbasesurune numration contrle qui fournit, en gnral, une solution optimale. Elle consiste construireunearborescencedontlaracinecorrespondlespacedessolutions du problme initial. Dans le cas dun problme de minimisation, un majorant ou une borne suprieure dune solution ralisable de la valeur de la fonction objectif, est avant tout calcul en utilisant une mthode approche ou une heuristique.Elle constitueunedesmthodespourrsoudreleproblmedesatisfactionde contraintes. 2.2.Problme de satisfaction de contraintes 2.2.1.Introduction Le problme de satisfaction de contraintes (Contraints Satisfaction Problem, CSP) [Dec92] [Bap98] a trsolu par plusieurs mthodes.Sa rsolution, seffectue, en gnral, par lintermdiaire dunarbre de recherche, en plusieurs tapes : dabord ltiquetage, ensuite le retour arrire (backtracking), et enfin la propagation. 53 Cetteapprocheafaitsespreuvesdanslarsolutiondesproblmes dordonnancement. Plusieurs applications industrielles ont confirm lefficacit de cet outil de rsolution. 2.2.2.Dfinitions Dfinition 2.1 Unproblmedesatisfactiondecontraintes(CSP)estdfiniparunensemblede variables et un ensemble de contraintes. Chaque variable peut prendre une valeur choisie dans le domaine qui lui est associ. Les contraintes, quant elles, dcrivent les combinaisons autorises de valeurs pour les variables. Lobjectif est dattribuer une valeur chaque variable de sorte que toutes les contraintes soient satisfaites. Dune manire plus explicite [Mon74] : Une instance CSP, note P, est un quadruplet (X, D, C, R) avec : 1.X : un ensemble {x1, x2, ..., xn} de variables ; 2.D :unensemblededomainesfinis{dx1, dx2,...,dxn},dxitantassocila variable xi de X et contenant les valeurs que peut prendre la variable xi ; 3.C :unensemble{c1, c2,...,cm}decontraintes,chaquecontrainte ic deCest dfiniepar lensemble de variables sur lesquelles elle porte ; 4.R : un ensemble {rc1, rc2, ..., rcm} de relations,rci tant relative la contrainte icetdfiniesurixx cd.Cetterelationreprsentelesaffectationscompatibles entre les variables contraintes par ic . Dfinition 2.2 tant donnYX, uneinstanciationdesvariablesdeY,Y={y1,...,yk},estunk-uplet (v1,..., vk) de (dy1 dyk). Une instanciation est dite complte si elle porte sur toutes les variables deX, partielle sinon. Le termeaffectation est employ aussi au lieu dinstanciation. Chapitre 2Optimisation de la fonction de cot par la mthode branch & bound 54 Dfinition 2.3 Une affectationAsatisfaitunecontraintec deC siA[c]rc. Sinon,Aviolec. Une instanciation A est qualifie de consistante si c C, c XA, A[c] rc ; elle est dite inconsistante sinon. Autrement dit, une instanciation est consistante si elle ne viole aucune contrainte. Dans la littrature, le termecohrent est souvent employ (resp. incohrent). Dfinition 2.4Unesolutionestuneinstanciationcomplteconsistante.Autrementdit,une solutionestuneaffectationdetouteslesvariablesdeXavecdesvaleursprises dans leurs domaines respectifs, qui satisfait toutes les contraintes. Une instanceP estditeconsistantesiPpossdeaumoinsunesolution.Elleestqualifie dinconsistante sinon. Lesalgorithmesd'tablissementdelaconsistancesontissusdestechniquesde graphes.UnCSPestreprsentparungraphedecontraintesolesnuds correspondentauxvariablesetlesarcssonttiquetsparlescontraintes.Ceci impliquequeleCSPdoittreramenunCSPbinaire,cest--direunCSP nayant que des contraintes binaires. 2.2.3.Principe de rsolution dun CSP Leprincipedersolutiondunproblmedesatisfactiondecontraintesest constitu,gnralement,paruntiquetage,un backtracking etunarbrede recherche. 2.2.3.1.Ltiquetage Lorsdelarecherchedunesolution,ilfauttiqueteruneouplusieursvariables. C'est ltape dtiquetage ou labelling qui consiste attribuer aux variables des valeurs temporaires, qui doivent tre prises dans leurs domaines resp ectifs. Chapitre 2Optimisation de la fonction de cot par la mthode branch & bound 55 2.2.3.2.Le retour arrire backtracking Le backtracking consisteconstruireprogressivementunesolutionen affectantlesvariablesuneparuneetenrevenantenarrirechaquechec rencontr. Lorsque toutes les variables concernant une contrainte sont instancies, lavaliditdecettecontrainteestteste.Silasolutionpartiellevioleunedes contraintesduproblme,unretourarrireesteffectujusquladernire instanciationpartiellequineviolepaslescontraintesetquireprsenteune solution alternative celle qui vient dchouer. Plus explicitement, lalgorithme de backtracking, not BT, limine les sous-espaces desdomainesdevariablesquipourraienttreengendrspartirdelasolution partielle qui viole une ou plusieurs contraintes.Ainsi, lebacktrackingneparcourtpastouteslessolutionsetexploredoncmoins de solutions que lalgorithme gnral, puisquil limine les branches qui donnent des mauvaises solutions vis--vis du critre optimiser.Cependant sa complexit, dans le cas extrme reste exponentielle. Plusformellement,tantdonneuneaffectationconsistanteA,lalgorithmeBT tente dtendre de faon consistanteA. Dans ce but, il choisit une variablex parmi lesvariablesnoninstanciesetluiattribueunevaleurvissuededx.Lordre dinstanciation des variables peut alors tre soit prdfini, soit calcul grce une heuristique. Il en est de mme pour lordre dinstanciation des valeurs. Ainsi, BT tend laffectation A en A {x v}. Il value alors la consistance de laffectation en vrifiant queA{xv}nevioleaucunecontrainteliantxetunevariable affecte dansA. SiA {x v} est inconsistante, BT essaie dtendreA avec une nouvelle valeur pour x. Sil nexiste plus de valeur possible dans le domaine dex, alorsilfautrevenirenarriresurlavariableinstanciejusteavantx.Si laffectationA {x v}estconsistante,BTchercheltendrecomme prcdemment.Chapitre 2Optimisation de la fonction de cot par la mthode branch & bound 56 Larecherchesepoursuitsoitjusqucequetouteslesvariablesaientt instanciesdefaonconsistante(cest--direjusqu'lobtentiondunesolution), soit jusqu ce que toutes les possibilits aient t envisages. Lalgorithme BT est dcritlafigure2.1.AreprsentelaffectationcouranteetVlensembledes variables non instancies.InitialementA=;etV=X.Lacomplexitentempsdecetalgorithmeest exponentielle. BT (A, V) 1.V 2. Choisir x V 3.ddx 4.ConsistanceFaux 5.Tant que d ; et Consistance Faire 6.Choisir v dans d 7.dd\{v}8.Sic C telle que c viole A {x v}. 9. Alors ConsistanceBT (A {x v}, V \ {x}) 10.Fin Si 11.Fin Tant que 12. Return Consistance 13. Fin Si Fig.2.1. Algorithme backtracking [Ter02] Chapitre 2Optimisation de la fonction de cot par la mthode branch & bound 57 2.2.3.3.Arbre de recherche La recherche dune solution passe par le parcours dun arbre de recherche. Soit un exemple simple avec deux variablesx et y (sans tenir compte des contraintes qui les relient). Au premier point de choix, on peut choisir entre les valeurs de x. Si on choisitunevaleurdex,ondoiteffectuerunautrechoixpoury. Siune certaine valeurdeychouelorsdelavrificationdescontraintes,oneffectueunretour arrirejusquauplusprochepointdechoixpossdantunebranchenonencore explore,etainsidesuitejusquneplusavoirdepointdechoixdisponibleou jusqu ce quune solution est rencontre. ExempleEtantdonnunproblmedordonnancementdetypejob-shopformdetrois machinesM1,M2,M3etdeuxjobsJ1etJ2.Lebutestdedterminer lordonnancement des jobs sur ces trois machines tout en respectant les contraintes de problme dont lobjectif est doptimiser la date de fin de lordonnancementle Cmax. Larbre de recherche binaire, figure 2.4, dans lequel une disjonction est fixe danschacundesnuds,peuttreemploypourrsoudreceproblme. Loptimum est 20 (lafeuille cercle dans la figure 2.2). Supposons quune solution heuristique a t trouve (avec une valeur de 30, cette valeur reprsente une borne suprieureBSduproblmeconsidr)maisaucuneborneinfrieurenat calcule. La recherche commencera partir du noeud marqu 120 dans larbre. Ce noeuddpasselabornesuprieure,ilnestpasdoncunesolutionacceptable. Depuis la borne suprieure a t respecte dans son nud pre, on peutconclure que lechoix de J1J2 nest pas satisfaisant pour la machine 3.Leprochainnoeudexplorestainsiceluidontlavaleurest80.Laborne suprieureestunefoisdeplusestdpasse.Pourlammeraisoncommeci-dessus, elle est en raison de choixJ2 J1 sur la machine 3. Il ny a aucune autre possibilit tre examine. Chapitre 2Optimisation de la fonction de cot par la mthode branch & bound 58 MaisdanslecasoJ1 estordonnancenpremierpuisJ2 surlamachine1ainsi que sur la machine 3. Cette solution excde aussi la borne suprieure. Fig. 2.2. Arbre de recherche binaire pour le jop -shop 2x 3 2.2.4.Principe de la propagation de contraintes Pourrsoudreleproblmedesatisfactiondecontraintes,laprogrammationde contraintesestapplique.UnCSPestdcritparunensembledevariables,un ensemble de valeurs possibles (domaine) pour chaque variable, et un ensemble de contraintes liant ces variables. Le but est de trouver une attribution des valeurs de ces variables, demanire satisfaire les contraintes.Ces contraintes peuvent tre dcritesimplicitement,parexempleparuneformulearithmtique ;ou explicitement,chaquecontrainteestunensembledevaleurssatisfaisantcette contrainte.Larsolutionsefaitleplussouventtraversunalgorithmede recherche se basant sur un arbre de recherche o, chaque tape, certaines valeurs sontinstanciespardesvaleurs.Unetechniquederetourenarrirepermetde contrler le dveloppement de larborescence pour viter son explosion, figure 2.3. Machine 1Machine 2Machine 3J1J2 J1J2 J1J2 BS = 30 J1J2 J1J2 J1J2 J1J2 J2J1 J2J1 J2J1J2J1 J2J1J2J1 1208070 5040 20 40 50 Chapitre 2Optimisation de la fonction de cot par la mthode branch & bound 59 Fig. 2.3. Comportement dun systme de propagation de contraintes [Bap98] Exemple Considrons le CSP binaireP = (X, D, C, R), avec : X = {x1, x2, x3, x4, x5}, D = {d1, d2, d3, d4, d5} avec d1 = d2 = d3 = {1, 2, 3} et d4 = d5 = {1, 2}, C = {c12, c13, c15, c23, c24, c35} avec cij = {xi, xj}, R = {r12, r13, r15, r23, r24, r35}. Les relations qui relient les variables sont les suivantes : - r12 : x1 x2, - r13 : x1 x3, - r15 : x1 x5, - r23 : x2 x3, - r24 : x2 x4, - r35 : x3 x5. Dfinition du problme Prise de dcision et retour arrire Solutionpartielle Propagation de contraintes Dcision Nouvelles contraintes Propagation Contraintes dduites Contraintes initialesChapitre 2Optimisation de la fonction de cot par la mthode branch & bound 60 Legraphedecontraintes(X,C)associPestreprsentdanslafigure2.4 suivante : Fig.2.4. Graphe de contraintes associ P r35 x3x5 1 1 2 1 2 2 r24 x2x4 1 1 2 1 2 2 r23 x2x3 1 1 2 2 3 3 2 3 1 3 1 2 r15 x1x5 1 1 2 1 2 2 r12 x1x2 1 1 2 2 3 3 2 3 1 3 1 2 r13 x1x3 1 1 2 2 3 3 2 3 1 3 1 2 x3 x1 x4 x2 x5 c12 c35 c15 c13 c23 c24 Chapitre 2Optimisation de la fonction de cot par la mthode branch & bound 61 2.2.5. Propagation de contraintes et ordonnancement Dansleproblmedordonnancementdisjonctifnonpremptif,parexemple,si deuxoprationsOietOjexigentlammeressourceR,daprslacontrainte disjonctive, cesdeuxoprationsnepeuventpastreexcutesaummetemps. Dans ce cas, elles sont lies par la contrainte de prcdence suivante :Oi prcdeOj ouOjprcdeOi.Sin oprations requirent la mme ressourceR alors il y aura n * (n - 1) /(explicite ou implicite) contraintes disjonctives. Quant aux contraintesde temps, plusieurs variantes existentdans la littrature [Bap98]. Ce type de contrainte peut scrire : fin (Oi) dbut (Oj) oufin (Oj) dbut (Oi) En effet, quand la plus petite date de fin possible de Oi dpasse la plus grande date de dbut possible de Oj , Oine peut pas prcder Oj et donc Ojdoit prcder Oi. Decefait,lesdatesdedbutetdefineffectives de ces deux oprations doivent tre mises jour suivant cette contrainte.De la mmefaon, si la plus petite date de fin possible deOjdpasse la plus grande date de dbut possible deOi, Oj ne peut pas prcder Oi et doncOidoit prcderOj. Dans le cas o aucune des deux oprations ne peut prcder lautre, une contradiction est dtecte. Exemple Pour cet exemple, deux oprations requirent la mme ressource et ne peuvent pas sexcuter en mme temps. LoprationO1 prcde loprationO2 ou inversement. Ladatedefinauplusttdechaqueoprationnedoitpasdpassersadateau dbutauplustard.Lapropagationdecontraintedisjonctiveimposequeladate effectivedefindeO1soitinfrieureougaleladateeffectivededbutdeO2, tableau 2.1. Chapitre 2Optimisation de la fonction de cot pa r la mthode branch & bound 62 Tab. 2.1. Contraintes temporelles Avant propagation iridipO1042 O2152 propagation iridipO1032 O2252 o ir , id et ipreprsentant respectivement la date de dbut au plus tt, la date de fin au plus tard et la dure opratoire de lopration Oi. La figure 2.5 montre que, pour le cas (a), cette solution nest pas envisageable car ellenerespectepaslacontraintedisjonctive(loprationO1etloprationO2 sexcutent au mme temps entre les instants 2 et 3). Ce problme est rsolu par la propagation de cette contrainte en mettant jour les dates de dbut et de fin des oprations, cas (b). O1 O2 0 123456 Fig. 2.5. Propagation de contrainte disjonctive temps dexcution de Oi temps dattente de Oi (a) avant propagation (b) propagation 0 123456 Chapitre 2Optimisation de la fonction de cot par la mthode branch & bound O1 O2 63 2.3.Mthode branch & bound 2.3.1. Principe Cest lune des mthodes exactes doptimisation qui peut rsoudre le Problme de SatisfactiondeContraintes(CSP).Elleestbasesurunarbrederecherche.Le principedelamthodebranch&boundsetraduitpardeuxconcepts:le branchement, ou encore la sparation, et lvaluation. 2.3.1.1. La sparationLa sparation consiste dcomposer un sommet reprsentant lespace de solutions ensous-ensembles,cettesparationexigedenepasperdreniajouterdes solutions.Endautrestermes,cettesparationestbasesurlepartage,touten considrantlecritreoptimiser,entrelensembledessolutionsadmissibles contenuesdansunmmesommet(nud)delarborescenceetdessolutions irralisables ou moins intressantes par rapport aux solutions dj obtenues. 2.3.1.2. Lvaluation Lvaluation dun sommet consiste minorer ou majorer les solutionsassocies afindviterlesbranchesinutilescest--direneconduisantpasunesolution. Ainsi,cetteexplorationintelligentedelespacederechercheestralisegrce des valuations des branches et des comparaisons avec une borne infrieure (un minorant)ducritreoptimiser.Danslesproblmesdegrandetaille,ilsera ncessairedaffinerlavaleurduminorant(majorant)pourviterlexplosionde larbre de recherche. 2.3.2. Branch & bound et ordonnancement Dans la littrature, la mthode de sparation et dvaluation progressive, branch &bound,atappliquedansplusieursdomainesetparbeaucoupde chercheurs. Barker et McMahon [Bar85] et Carlier [Car89], entre autres, ontChapitre 2Optimisation de la fonction de cot par la mthode branch & bound 64 contribu au progrs des approches exactes, qui sont principalement bases sur la mthode branch & bound. Ilsontgnralementenvisagdesproblmesdordonnancementetontcomme repredesbenchmarkscomme dfiinformatique pourdmontrerlefficacit deleursalgorithmes,etlameilleuresolutionconnuepourunproblmeat amliore.En1989,CarlieretPinsonontrussirsoudreunproblme dordonnancementdefaonoptimaleparunemthodebranch&bound [Car89]. Depuis lors, Brucker et al. [Bru94] [Bru97], Martin et Shmoys [Mar96], et Carlier [Car94] ont amlior lexcutionet lefficacit des approches exactes pour lesproblmesNP-difficiles.Plusrcemment,Rivereau[Riv99]atravaillsurle problme flow-shop ; son travail a t inspir de [Pot80] et [Car96], et Guret et al. [Gu00], ont travaill sur le problme, open-shop. 2.3.3. Algorithme gnral Parmilesmthodesdersolutionexactesdeproblmesdoptimisation combinatoireetenparticulierdeproblmesdordonnancement,laprocdure de sparation et dvaluation progressive est la plus utilise. Lalgorithme gnral correspondant est le suivant[Zri05]: -diviser lespace de recherche en sous-espaces (branches), -chercherunebornesuprieure(infrieure)dunefonctionobjectif relative chaque sous-espace de recherche, -liminerles mauvais sous-espaces(suivantle(s)critre(s) optimiser), -reproduire les tapes prcdentes jusqu obtenir loptimum global. Unexempledalgorithmepourunproblmedeminimisationestdonndansla figure 2.6. Chapitre 2Optimisation de la fonction de cot par la mthode branch & bound 65 tape 1 Initialisation Calculer une borne suprieure BS tape 2 Sparation Slectionner le sommet (nud) sparer et crer ses fils tape 3 valuation Pour tous les sommets S crs faire Si S reprsente une solution complte alors calculer sa valeur pour le critre doptimisation et mettre jour BS Sinon calculer la borne infrieure BI Fin Si Fin Pour tape 4 limination liminer tout sommet tel que BI > BS t ape 5 Critre d' arrt Si tous les sommets ont t limins alors arrter Sinon aller ltape 2 Fig.2.6. Algorithme gnral du ne PSE Chapitre 2Optimisation de la fonction de cot par la mthode branch & bound 66 2.3.4. Exemple dalgorithme Lalgorithme de la figure 2.7,propos par Carlier [Car82], permet de rsoudre de manireexactedesinstancesdeproblmesdetype1| ri| max(Ci+qi)relatifau problme une machine avec des dates de dbut au plus tt et dont lobjectif est deminimiserlemakespan.Lamthodepossdelaparticularitdedcrireun ordonnancementcompletchaquenudetreposesurleprincipeque lalgorithmedeSchrage[Sch71]ilpeuttoujoursfournirlasolutionoptimaledu problmeunemachinesionmodifielesdonnesdecedernierpourcertaines oprations. Cet algorithme va donc permettre dans un premier temps de calculer la borne suprieure du problme et dans un second de gnrer lordonnancement dun nud. La sparation consiste augmenter une contrainte sur une opration. Not at ions it: date effective de dbut dexcution de loprationiir : date de dbut au plus tt de loprationi ip : dure opratoire de loprationiiq : dure de latence de loprationi : borne suprieure relative au makespan maxC ( critre optimiser) iC: date de fin dexcution delopration i Chapitre 2Optimisation de la fonction de cot par la mthode branch & bound 67 Un problme dordonnancement une machine, not 0P , est dfini par { } ; ;i i ir p q; 1.Initialiser 0 aP P et . 2.Appliqueruneheuristique* aP etobtenirlordonnancementdeSchrage [Sch71]etsonmakespan( )max aC P ,loprationcritique**c et l'ensemble critique***J. 3.Si( )max aC P < ,mainteniralors aP commemeilleurordonnancement, b aP P et mettre jour = ( )max aC P . 4.Gnrer lP et rP dfinispar { } { }, , , ,l l l r r ri i i i i ir p q et r p q enutilisant respectivementles quations (2.1) et (2.2). 5. Calculer ( )lP , la borne infrieure delP , comme ( ) ( ) ( ) { }max( ) max , ,l a l lP C P h J h J c o lh est calcul par (2.3) avec lh= het{ } { }, , , ,l l li i i i i ir p q r p q . Calculer( )rP de la mme manire que ( )lP . 6.Ajouter le nouveau noeud lP larbre de recherche reprsentant un nud enfant pour aP si( )lP < et ajouter rPsi ( )rP < . 7.Mettrejour aP commeunnoeuddelaplusfaibleborneparmides noeudsqui ne sont pas encore t visits. 8.Rpter de ltape 2 ltape 7 jusqu' ce quil ny ait aucun noeud qui nest pas encore visit. 9.Pbreprsente un ordonnancement optimal pour0P . Fig. 2.7. AlgorithmePSE [Car82] *lheuristiqueMRW(MostRemainingWork)quiconsisteplacerenpriorit lopration de plus grand iq . ** une opration critiquecest dfinie comme la dernire opration de lensemble critique Jtel que nc jq q < , ***unensemblecritiqueJ,( )1 2, ,...,nJ j j j ,choisidetellesortequaucune opration ne sexcute pendant lintervalle de temps1 11,j jt t1 ]. Chapitre 2Optimisation de la fonction de cot par la mthode branch & bound 68 ( ) _ , +max ,r lk k c ck Jq q p q2.1 _ , +max min ,r rk k c ck Jk Jr r r p2.2 ( )1111min mini I i Ii Irii iI h p iq + + 2.3 2.4. Optimisation de la fonction de cot- Positiondu problme 2.4.1. Prsentation Lessystmesdordonnancement,utilissjusqumaintenant,construisent,en rglegnrale,desordonnancementsimprciscausedunmanquede connaissancesurlesparticularitsdesateliersetdeslotsdefabricationquiy accdent[Vac00].Leproblmedordonnancementenindustriesagroalimentaires nchappepascesdifficults,bienaucontraireilestpluscomplexeetplus difficilersoudre.Eneffet,les principaux problmesquepeutrencontrertout atelier de fabrication sont : le problme de la gestion des en-cours de fabrication, la rpartitiondeschargesdesdiversesressourcesdelatelier,quecesoitdes ressourceshumainesoumatriellesetlarductionduretardoudelavance durant le processus de fabrication.Il sagit donc de dvelopper un outil daide lordonnancementdynamiqueadaptlindustrieagroalimentaire,afindetenir comptedesdiffrentescontraintesetdesfrquentsalasduslanaturedes produitsmanipulssavoirlesproduitsagroalimentaires.Cesderniersontla particularit davoir des dates limites de validit assez courtes. Chapitre 2Optimisation de la fonction de cot par la mthode branch & bound 69 2.4.2. Systme dordonnancement ractif en temps rel Unsystmedordonnancementractifestunsystmecapabledertablirun ordonnancementrapidementetefficacementenrponseunvnement inattendu[Lio98].Eneffet,plusieursproblmesdordonnancementse caractrisentpardesperturbationsdefonctionnement.Cesalassont gnralementdtectableslorsdelaphasedelamiseenuvredunesolution dordonnancement.Dautre part et dans un cadre multicritre, dautres alas peuvent galement avoir lieu. Ce sont les incertitudes concernant lexpression des choix et des prfrences donnssoitparundcideursoitparunutilisateur[Kac03].Lordonnancement tempsrelestalorstrscomplexevulenombredinformationstraiteret linfluence de ces perturbations et alas au cours de la production.Cest pour ces raisonsquelinterventionhumaineceniveauestcruciale.Ilsensuitquune interactionsuffisanteetefficaceestncessairepourpouvoiragirdevantdeux problmesimportantslafois,savoirloptimisationetlvaluation.Lafigure 2.7 suivante prsente un systme dordonnancement temps rel. Fig. 2.7. Comportement dun systme dordonnancement temps rel Systme dordonnancement temps rel Suivi Informations Rsultats de productionConsignes de productionChapitre 2Optimisation de la fonction de cot par la mthode branch & bound 70 2.5.Applicationdelamthode branch&bound dans les industries agroalimentaires 2.5.1.Introduction Actuellement,touteentreprisesedoitdtreperformanteparrapportaux entreprisesconcurrentesquesesoitsurleplantechniquesoitsurleplan conomique.Lamliorationdelagestiondeproductionestlabasedetoute recherche dans le domaine de la productivit accrotre. La productivit est la clef de la survie et du dveloppement des entreprises industrielles. Laloidumarchncessiteuneremiseencausedesproduitsfabriqus.Les transformations et les amliorations de produits, sont de plus en plus frquentes et lanotiondeflexibilitestfortementliecettevolution.Cetteflexibilitest ncessaire surtout dans les industries agroalimentaires. La concurrence exige que lentreprise de production agroalimentaire, en particulier, se dote dun systme de productionefficacequiragisserapidementauxcontraintesetson environnement et en particulier aux exigences et aux vo