LInstitut National des Sciences Appliques de ToulouseNumro dordre : 852

THESE

Pour obtenir le grade de : DOCTEUR DE LINSAT

Discipline : Gnie McaniquePrsente et soutenue publiquement par

Pierre BARROT Le 24 novembre 2006

Analyse et modlisation du comportement des liaisons canneles Mise en place des bases dun outil dassistance la conception

JURY

M. Jean-Yves COGNARD M. David DUREISSEIX M. Jean GUILLOT M. Emmanuel MERMOZ M. Manuel PAREDES M. Marc SARTOR

Professeur lENSIETA, Brest Professeur lUniversit Montepellier 2 Professeur lINSA de Toulouse Docteur, Ingnieur Groupe Eurocopter, Marignane Matre de Confrences lINSA de Toulouse Professeur lINSA de Toulouse

Rapporteur Rapporteur Prsident Examinateur Codirecteur Directeur

REMERCIEMENTS

Je tiens remercier vivement M. Marc Sartor et M. Manuel Paredes pour la confiance quils mont accorde ainsi que pour leur encadrement, leurs nombreux conseils et leur soutien constant tout au long de cette thse. Jadresse ma reconnaissance M. Jean-Yves Cognard et M. David Dureisseix qui m'ont fait l'honneur d'tre rapporteurs de la thse. Pour cela, ainsi que pour leurs commentaires sur mon mmoire, je leur exprime ma profonde gratitude. Je remercie M. Emmanuel Mermoz d'avoir accept d'tre examinateur de ma thse, apportant ainsi un avis industriel sur le sujet. Je remercie galement M. Jean Guillot davoir accept de prsider le jury de thse. Je remercie tous les chercheurs, enseignants et membres du personnel du laboratoire LGMT et de lINSA pour leur amiti et leur aide pendant ces trois annes de thse. Notamment les membres des quipes Cosam et Mmf avec qui jai pu partager de nombreux bons moments. Cette thse est ddicace ma femme Christine, qui ma support dans les moments difficiles et sans qui ce travail n'aurait sans doute jamais commenc ni abouti. Cette thse nest pas ddicac un certain Recteur dune Acadmie lointaine, qui a tout fait pour que je ne puisse pas la terminer dans les trois annes imparties, toutes les personnes qui dnigrent le fait de vouloir faire une thse alors quon est agrg. Je termine par un grand remerciement mes parents ainsi qu toute ma famille.

Sommaire

SOMMAIRENomenclature..1 Introduction Gnrale .4 1 2 3 Chapitre 1 1.1 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.3 1.3.1 1.3.2 1.4 Chapitre 2 PRESENTATION DES TYPES DE CANNELURES ET DE LEURS UTILISATIONS ......... 4GENERALITE SUR LE DIMENSIONNEMENT ......................................................... 8

DEROULEMENT DE LETUDE ............................................................................ 9 Bibliographie sur les cannelures11 DESCRIPTION DES PHENOMENES .................................................................... 11 Comportement axial ................................................................................. 12 Comportement radial ............................................................................... 30 Comportement des dents .......................................................................... 36 EXPLOITATIONS DES MODELES : FRETTING ET FATIGUE ................................ 37 Dfinition du fretting................................................................................ 37 Le fretting appliqu aux cannelures......................................................... 39 Conclusion sur ltude du fretting............................................................ 42 NORMALISATIONS ......................................................................................... 43 Normalisation franaise........................................................................... 43 Normalisation amricaine........................................................................ 46 CONCLUSION ................................................................................................. 49 Etude de la pression et dcoupage de lanalyse du comportement dune

cannelure..51 2.1 2.1.1 2.1.2 2.2 ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE SUR LANALYSE EXPERIMENTALE DU CONTACT ... 51 Mesure durant le chargement .................................................................. 52 Mesure avant et aprs le chargement ...................................................... 53 ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE SUR LANALYSE PAR ELEMENTS FINIS DU CONTACTET CHOIX DU MODELE

................................................................................... 55

2.2.1 2.2.2 2.3

Les modles EF dans la littrature .......................................................... 56 Confrontation des diffrents codes de calculs.......................................... 57 PRESENTATION DU CHAMP DE PRESSION POUR LES DIFFERENTS TYPES DECANNELURE ET DECOUPLAGE DE LETUDE DU COMPORTEMENT .................... 58

Sommaire Chapitre 3 3.1 3.2 3.2.1 3.2.2 3.3 Comportement radial.61 MODELE ELEMENTS FINIS DE REFERENCE ..................................................... 61 ETUDE DES MODELES ANALYTIQUES DE CONTACT 1D................................... 63 Mthode se basant sur des surfaces irrgulires ..................................... 63 Mthodes se basant sur des surfaces parfaites ........................................ 64 MISE EN PLACE DUN MODELE DE CONTACT RADIAL ADAPTE AUXCANNELURES A FLANCS EN DEVELOPPANTE DE CERCLE ................................ 66

3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.4

Modle de Sackfield ................................................................................. 66 Modle de Goryacheva............................................................................. 69 Adaptation possible du modle choisi...................................................... 72 DEFINITION DE LA PROCEDURE DE CALCUL POUR LA DETERMINATIONANALYTIQUE DU COMPORTEMENT RADIAL .................................................... 72

3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 3.5 3.5.1 3.5.2 3.6 Chapitre 4 4.1 4.2 4.3 4.3.1 4.3.2 4.4

Dtermination de la pression radiale....................................................... 73 Dtermination des dplacements des dents.............................................. 76 Dfinition de langle dinclinaison .......................................................... 89 Dtermination de la rigidit des dents ..................................................... 90RESULTATS ET VALIDATION ........................................................................... 90

Adquation entre les rsultats des modles analytiques et EF 2D .......... 90 Discussion ................................................................................................ 93 CONCLUSION ................................................................................................. 95

Comportement axial..97 INTRODUCTION .............................................................................................. 97 MODELE ELEMENTS FINIS TRIDIMENSIONNEL ............................................... 98 COMPARAISON DES RESULTATS EF A DES MESURES EXPERIMENTALES ......... 99 Prsentation du banc dessai ................................................................. 100 Rsultats issus du banc dessai .............................................................. 102 DETERMINATION ANALYTIQUE DU COUPLE PAR LE MODELE ...........DE TATUR

-

ORAIN ........................................................................................................ 107 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.5 4.5.1 Etude du modle Tatur - Orain dans le sens traversant ........................ 107 Exploitation du modle de Tatur - Orain ............................................... 113 Extension du modle Tatur - Orain au cas du sens non traversant ....... 117 DETERMINATION DU COUPLE PAR LA METHODE DE BLANC ......................... 120 Mise en place du modle de Blanc ......................................................... 120

Sommaire 4.5.2 Comparaison des rsultats entre le modle Tatur - Orain et le modle de Blanc ..................................................................................................... 125 4.5.3 4.6 Chapitre 5 Exploitation du modle de Blanc ........................................................... 125 CONCLUSION ............................................................................................... 126 Dveloppement dune maquette doutil dAssistance la conception dune

liaison cannele...128 5.1 5.1.1 5.1.2 5.2 5.2.1 5.2.2 5.3 Chapitre 6 6.1 6.2 6.3 6.4 INTERFACE DE LOUTIL DASSISTANCE ........................................................ 128 Interface de dfinition de la cannelure .................................................. 129 Interface de lancement des calculs......................................................... 130ALGORITHMES DE CALCUL ........................................................................... 132

Description du programme .................................................................... 132 Exemples dapplication .......................................................................... 135 CONCLUSION ............................................................................................... 139

Etude complmentaire sur linfluence du dbordement des dents..140 INTRODUCTION : INSUFFISANCE DU MODELE 1D .......................................... 140 DEFINITION DUN MODELE ETENDU ............................................................. 143 EXPLOITATION NUMERIQUE DU MODELE ETENDU ........................................ 151 IDENTIFICATION DE LA RAIDEUR GLOBALE EQUIVALENTE A PARTIR DESMESURES SUR UN MODELE EF

3D ............................................................... 155

6.4.1 6.4.2 6.4.3 6.5

Dtermination de C obtenu par EF3D ................................................. 155 Calcul de Ia et de Im partir de C EF (z)................................................ 157 Discussion sur lallure de la raideur globale quivalente, C EF (z)...... 160 CONCLUSION ............................................................................................... 162

Conclusion Gnrale...163 Rfrences...166 Liste des travaux publis.169 Annexe I..170 NORME FRANAISE ................................................................................................. 171 NORME AMERICAINE ............................................................................................... 172 Gnralit sur la norme amricaine................................................................... 172 Tables des diffrents facteurs et valeurs admissibles......................................... 172

Sommaire Annexe II176 Annexe III.......180 MISE EN PLACE DU CHARGEMENT SOUS FORME DE CONTRAINTE ............................. 181 OBTENTION DU COUPLE ISSU DU MODELE EF .......................................................... 182 Mthode par pression ......................................................................................... 182 Mthode par lments forces.............................................................................. 184 Confrontation des deux procds prsents ....................................................... 185

Nomenclature gnrale

NOMENCLATURE GENERALECette nomenclature regroupe les notations les plus souvent employes au cours de cette thse pour les chapitres 3 et 4 concernant les comportements radial et axial de la cannelure.

LongueursNoms a c d hka , hkma m hinter,q , hinter,q

hp L laa, lama m linter,q , linter,q

loa lom lpa, lpm lsk Lt Lx s sj tb x xk xk y z

Descriptions Demi-longueur du contact le long de laxe curviligne s Demi-longueur du contact le long de laxe x Longueur curviligne o les forces fqa et fqm sont appliques Hauteurs de la dent de larbre et du moyeu au nud k Hauteur de la dent de larbre et du moyeu o les forces fqa et fqm sont appliques dans la direction y Hauteur de la dent sur le rayon primitif Longueur totale du contact dans la direction z Distance entre les rayons de tte et de fondation dans le cas de larbre et du moyeu Distance entre les rayons de fondation de larbre et du moyeu et le point o les forces fqa et fqm sont dans la direction x Distance entre le rayon de fondation de larbre et le point o M a est f,k appliqu dans la direction x Distance entre le rayon de fondation du moyeu et le point o M m, k est f appliqu dans la direction x Distance entre le rayon de fondation et le rayon primitif dans le cas de larbre et du moyeu Distance curviligne entre le rayon de commencement du contact et le nud k Longueur du tronon t Longueur totale du contact dans la direction x Coordonne curviligne Coordonne curviligne au nud j Epaisseur curviligne de la dent sur le rayon de base Coordonne suivant la hauteur de la dent Distance entre le nud k et le prcdent k - 1 dans la direction x Distance entre le nud k et le prcdent k - 1 dans la direction x Coordonne suivant la largeur de la dent Coordonne suivant la longueur de la cannelure

Units m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m

1

Nomenclature gnrale

Rayons et DiamtresNoms Dint Dp R0 Rb Rext, Dext Ri Rk Rmoy Rre Rri Descriptions Diamtre intrieur de larbre Diamtre primitif de la cannelure Rayon de tte de larbre Rayon de base de la cannelure Rayon et diamtre extrieur du moyeu Rayon de tte du moyeu Rayon au nud k Rayon moyen des dents de la cannelure, quivalent au rayon primitif Rayon fondation de larbre Rayon de fondation du moyeu Units m m m m m m m m m m

AnglesDescriptions Angle dinclinaison dune dent par rapport lautre a m (z), (z) Angles de rotation de larbre et du moyeu la section z ta , tm Rotations dans le tronon t au nud i de larbre et du moyeu i i Angle de contact incluant langle de la dent d, k Angle entre laxe x et la droite passant par le centre de la cannelure et a m lintersection entre le diamtre primitif et le flanc en contact j , j respectivement de larbre et du moyeu Angle de la force de contact avec la pression p(sj) p, j Angle de pression de la dent Angle de pression de contact au nud k k Angle de la force de contact avec la pression p(sj) p, j Noms Units rad rad rad radrad rad rad rad rad

Forces, moments et pressionNoms C0 Cext F fqa, fqm M Ma(z) , Mm(z) a M b,k , M bmk ,M ta , M tm i i

Descriptions Couple par unit de profondeur et par dent Couple extrieur transmis par la cannelure Force applique sur le flanc de la dent Force applique sur le segment q de larbre et du moyeu Couple appliqu sur le flanc de la dentCouple dans larbre et dans le moyeu la section z Moments de flexion de larbre et du moyeu au nud k Couple dans larbre et le moyeu dun tronon t au nud i Pression suivant labscisse curviligne s au nud i Pression suivant laxe radial de la dent x Pression moyenne suivant la longueur du contact Pression maximale suivant laxe radial de la dent x Pression radiale quivalente de larbre et du moyeu

Units N Nm N/m N/m NNm N N Pa Pa Pa Pa Pa

p(sj) p(x) pm(z) pmax pra , prm Vka , Vkm

Effort tranchant au nud k de larbre et du moyeu

N/m

2

Nomenclature gnrale

Sections et inertiesNoms AK a G , Gm Ea, Em Ioa, Iom Ia, Im a Sk , Skm Sa, Sm Descriptions Constante dpendant de et Module de rigidit Module de cisaillement de larbre et du moyeu Module dYoung de larbre et du moyeu Moments quadratiques polaires des dents de larbre et du moyeu o M a et M m, k sont appliques f,k f Moments quadratiques polaires de larbre et du moyeu Constante de Kolosov Surface de larbre et du moyeu o Vka et Vkm sont appliqus Surface cisaille respectivement dune dent de larbre et du moyeu Units m2/N Pa Pa m4 m4 m2/N m m

AutresNoms A A B C k kca, kcm kglis koa, kom ks a ks m Kt, global K ta , K tm Kt ,d Descriptions Units Constante dpendant de k et des proprits matriaux et gomtriques de Nm la cannelure Constante dpendant de k et des proprits matriaux et gomtriques de Nm la cannelure Constante dpendant de k et des proprits matriaux et gomtriques de Nm la cannelure Valeur caractristique de la rigidit des dents de la cannelure N/rad Constante gomtrique fonction des proprits matriaux et gomtriques m-1 de la cannelure Coefficients correcteurs de larbre et du moyeu de la compression Coefficient correctif du glissement Coefficients dinfluence de la rotation de la fondation pour larbre et pour le moyeu Coefficients section modulus de larbre et du moyeu Matrice de rigidit du tronon t Nm/rad Rigidit de la partie arbre et moyeu du tronon t Nm/rad Rigidit dune moiti de tronon Rotation de la fondation des dents de larbre et du moyeu Rotation globale de corps du moyeu Module des dents Dplacement orthoradial crs par le glissement dans larbre et le moyeu Flche issue du cisaillement respectivement de larbre et du moyeu Flche issue de la flexion respectivement de larbre et du moyeu Dplacement au niveau du rayon primitif issue de la compression Dplacements radiaux crs par le glissement dans larbre et le moyeu Nombre de dents de la cannelure Nm/rad rad rad m m m m m m

rf , rf globalea

m

m uglis usa, j , usm, ja m ub , j , ub , j

u ,uv ,va glis

a c

m c m glis

Z

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Introduction gnrale

INTRODUCTION GENERALEPour introduire le travail qui est dvelopp dans ce mmoire, nous consacrons quelques pages la description des diffrents types de cannelures existants et de leurs utilisations. Chaque type prsente des particularits au niveau de son comportement mcanique. Ces spcificits sont la base de certains choix que nous serons emmens faire, particulirement au chapitre 3 concernant le comportement radial des cannelures.

1

PRESENTATION DES TYPES DE CANNELURES ET DE LEURS UTILISATIONSDans un grand nombre dassemblages mcaniques, lemploi de simples clavettes

permettent de lier en rotation un arbre avec un moyeu (exemples : poulies, roues dentes) et, ainsi transmettre un couple. Toutefois, lusinage dune ou de plusieurs rainures dans larbre et lajustage de la ou des clavettes dans celles-ci constituent un travail toujours dlicat. De plus, lendommagement des clavettes se traduit par laugmentation du jeu dans les rainures de lassemblage, ce qui cre en dynamique des efforts parasites, souvent lorigine de la destruction de la liaison. Cest pourquoi les clavettes sont utilises lorsque le couple transmettre reste faible. Pour des couples plus importants lutilisation de cannelures est plus approprie. Leurs avantages sont multiples. Lusinage est plus facile raliser en utilisant par exemple le brochage. La prcision de lusinage permet aussi de diminuer nettement le risque de jeu dans la liaison et enfin il y a une augmentation significative de la section utile de larbre. Il existe deux types de cannelures diffrentes prsentes en Figure 1 : les cannelures flancs parallles et flancs en dveloppante de cercle. Il est aussi dusage dassocier ce type de liaison les dentelures rectilignes et les axes dentels pour petites commandes.

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Introduction gnrale

Figure 1 Les diffrents types de cannelures et dentelures La cannelure flancs parallles est essentiellement employe lors de transmission de puissance de faibles vitesses pour des systmes dvelopps en petites sries comme le montre la Figure 2 pour une boite de transmission de marque Belt .

Figure 2 Boite de transmission Belt . En effet de par sa gomtrie (Figure 3), elle se rvle tre moins rsistante et plus bruyante quune cannelure flancs en dveloppante de cercle.

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Introduction gnrale

Figure 3 Gomtrie de la cannelure flancs parallles La dsignation employe pour ce type de cannelure est : Z d D, avec Z le nombre de dents, d et D sont des diamtres de fondation et de tte de larbre, visible sur la Figure 3. La cannelure flancs en dveloppante de cercle est une application indirecte des engrenages flancs en dveloppante de cercle. La Figure 4 est une illustration reprsentant sa gomtrie. La dsignation utilise dans cette thse est Z m, avec Z le nombre de dents, m le module.

Figure 4 Gomtrie de la cannelure flancs en dveloppante de cercle Elle permet des vitesses de rotation et des couples importants, comme dans les boites de transfert dhlicoptre ou dengins de chantier. La Figure 5 en est une illustration.

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Introduction gnrale

Figure 5 Systme de direction dun tracteur Les dentelures rectilignes sont employes pour la ralisation dassemblages fixes ou bloqus pour lesquels la prcision du centrage et de lajustement peut sans inconvnient tre infrieure celle obtenu par lemploi de cannelures flancs en dveloppante de cercle. Ainsi les dentelures rectilignes sont utilises essentiellement pour des petites transmissions de puissance, comme la transmission du couple en sortie de boite de vitesse de voiture vers les roues. Leur gomtrie est reprsente Figure 6.

Figure 6 Gomtrie de dentelures rectilignes

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Introduction gnrale

Sortie cannele

Figure 7 Boite de vitesse de voiture Finalement les axes dentels pour petites commandes permettent le calage angulaire dun organe de commande dans plusieurs positions. Souvent les petits leviers de commande en sont quips. Notre travail de thse tant li au dimensionnement des cannelures lors dune transmission de puissance, nous ntudierons pas les axes dentels pour petites commandes.

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GENERALITE SUR LE DIMENSIONNEMENTLa liaison cannele, grce sa gomtrie offre aussi la possibilit de transmettre un

torseur deffort quasi complet, assimilable une liaison glissire. Cependant sa principale fonction est de transmettre un couple, ainsi les autres forces et moments transmis par la liaison sont alors considrs comme des parasites. Le dimensionnement dune cannelure seffectue en mettant un certain nombre dhypothses simplificatrices qui peuvent se rvler trs loignes de la ralit des rsultats obtenus exprimentalement ou en faisant appel des tudes plus approfondies comme la modlisation par Elments Finis. Pour la plupart des applications industrielles, le dimensionnement donn par les normes suffit et laccouplement ainsi dimensionn remplit ses fonctions. Ceci est d au fait que la mconnaissance du comportement de tels systmes mcaniques est pallie par un surdimensionnement au travers de coefficients de scurit. En revanche, pour des applications pointues et beaucoup plus contraignantes, par exemple dans le domaine de laronautique (transmission de puissance de turbines ou turboracteurs), les normes se rvlent limites et des ruptures de pices qui ont pourtant t dimensionnes dans les rgles, peuvent tre observes. Le problme vient essentiellement

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Introduction gnrale du fait que la modlisation initiale utilise pour le calcul utilise une hypothse forte qui consiste dire que la pression de contact sur les lments de lassemblage est galement rpartie sur toute la longueur de la clavette pour les assemblages clavets, et sur toute la longueur de la dent pour les lments cannels, ce qui nest pas vrifi en ralit. Si les diffrentes normes concernant les cannelures sont similaires en ce qui concerne la dfinition gomtrique, on remarque que les formules de capacit de charge (transmission de couple) et de contraintes sont plus ou moins prcises dune norme lautre, mme si les hypothses sur le comportement mcanique restent identiques.

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DEROULEMENT DE LETUDECette tude concerne lanalyse du comportement des cannelures lorsquelles sont

soumises de la torsion pure. Dans le monde industriel actuel, la ncessit de dimensionner rapidement est devenu primordial. Au dpart dune collaboration avec un industriel aronautique, nous avons voulu dvelopper un outil daide au dimensionnement des cannelures qui soit rapide et qui ne fasse pas appel des modlisations lourdes sous Elments Finis. Pour cela nous avons dvelopp une mthode analytique, qui est expose dans ce mmoire.

Le premier chapitre propose une tude bibliographique traitant uniquement des cannelures. A travers les publications, nous prsentons les divers comportements dune cannelure, suivi dune analyse dun phnomne dusure : le fretting. Enfin une prsentation des rgles de dimensionnement des normalisations courantes est faite.

Le deuxime chapitre traite de lanalyse du contact entre les flancs des dents en contact afin dobtenir un champ de pression. Aprs une investigation bibliographique des tudes exprimentales ou numriques du contact, nous exposons lallure du champ de pression prsent sur les flancs des dents pour les diffrents types de cannelure. Nous en dduisons alors la possibilit de dcoupler lanalyse du comportement global dune cannelure.

Le troisime chapitre est consacr la modlisation du comportement radial dune cannelure. Aprs une analyse de modles analytiques dj existant, une mthode entirement analytique est dveloppe pour des cannelures flancs en dveloppante de cercle. Cette mthode est valide en sappuyant sur des rsultats issus de modles EF.

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Introduction gnrale Le quatrime chapitre prsente une mthode analytique dcrivant axialement le comportement dune cannelure. Au cours de cette tude, des expriences ont t ncessaires. Cest pourquoi une partie de ce chapitre expose la conception, et lexploitation dun banc dessai. Enfin, nous proposons une validation des modles analytiques dj existants. Nous prsentons aussi une extension de ces modles un autre cas de chargement.

Le cinquime chapitre dcrit lbauche dune maquette doutil dassistance la conception de cannelures, objectif du travail de thse. Cest le bilan des deux prcdents chapitres.

Un sixime chapitre est motiv par lobjectif damliorer le modle analytique dcrivant le comportement axial. Nous montrons que le modle analytique dvelopp au chapitre 4 ne permet pas de reprsenter fidlement toutes les gomtries et nous proposons un nouveau modle. Un paramtre cl est plus particulirement tudi : la rigidit des dents. Ce travail reste une analyse o nous proposons quelques pistes de rflexions.

Pour terminer une conclusion dgageant les perspectives et dveloppements futurs de notre travail, est prsente.

En annexe, il est possible de retrouver des tableaux dcrivant des coefficients utiliss dans la normalisation amricaine. Nous prsentons aussi une tude de linfluence dun film entre deux dents sur la rpartition de la pression en contact. Enfin une troisime partie consacre la mise en place du chargement dans les modles EF 3D et lexploitation des rsultats des modles EF 3D pour obtenir la distribution du couple travers une cannelure.

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Chapitre 1 Bibliographie sur les cannelures

CHAPITRE 1 BIBLIOGRAPHIE SUR LES CANNELURESCe chapitre prsente les connaissances relatives aux cannelures que nous avons pu capitaliser menant une tude bibliographique. Nous analysons tout dabord les phnomnes existant au sein dune telle liaison sous un chargement de torsion pure. Pour cela des modles exprimentaux, Elments Finis et analytiques sont dtaills. Ensuite nous prsentons une exploitation possible de ces tudes pour rsoudre un problme important dans une cannelure : le fretting. Enfin nous dcrivons brivement les normalisations franaise et amricaine et nous mettons en vidence leurs lacunes.

1.1 DESCRIPTION DES PHENOMENESAu regard de la littrature, le comportement dun assemblage cannel apparat comme complexe. La plupart des crits signalent de fortes variations au sein de la liaison pour de nombreuses caractristiques mcaniques : transfert de couple, contraintes, pression de contact sur les dentelures. Cette non-uniformit se retrouve travers ltude du comportement dans deux directions principales. Il sagit tout dabord du comportement axial de la cannelure, qui permet de connatre la rpartition de la pression de contact le long de la cannelure, des contraintes, et donc du transfert de couple de larbre vers le moyeu ou inversement. Ensuite il sagit du comportement radial de la cannelure qui permet, dans cette direction, lanalyse des distributions de contraintes et de la pression de contact. Enfin pour pouvoir modliser le comportement dune cannelure, par exemple au sein dun ensemble dynamique, il est important de connatre la raideur de la liaison. Une modlisation de cette raideur globale est propose par Blanc dans les Techniques de lIngnieurs [Blanc, 2000]. Notons que dans la littrature, et donc dans ce chapitre, la charge considre rentre par un cot de la liaison et sort par lautre, comme le montre la Figure 1-1. Le cas o la charge rentre et sort du mme cot est frquent dans le monde industriel. Pourtant il na pas donn lieu, notre connaissance, des publications.

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Chapitre 1 Bibliographie sur les canneluresy

Cext

Cext

x Arbre Moyeu

Figure 1-1 Schma du sens traversant de la puissance

1.1.1 Comportement axial1.1.1.1 Modles EF Analyse des modles Elments Finis Une tude par Elments Finis met assez facilement en vidence le phnomne de nonuniformit au sein dune cannelure et plus particulirement celle de la rpartition de pression de contact le long des dents. La suite de ce paragraphe prsente quelques rsultats significatifs relatifs la rpartition de la pression de contact et de la distribution de contraintes obtenues par simulation numrique. A travers ces diffrentes tudes, seules des cannelures flancs en dveloppantes de cercle ont t exploites. Tjernberg [Tjernberg, 2001] prsente une tude des contraintes de cisaillement en pied de dent laide dune simulation par calcul Elments Finis. Ce travail est ralis dans le but dobtenir une mthode analytique permettant de trouver un transfert de couple rgulier travers la cannelure. La position axiale x est mesure partir de lextrmit du contact comme le montre la Figure 1-1, qui reprsente schmatiquement la configuration adopte. La Figure 1-2, qui dcrit la contrainte de cisaillement en pied de dent selon Tjernberg, montre que cette contrainte de cisaillement varie de manire importante en fonction de la position axiale, mais surtout quil existe un fort gradient en bout de dentelure.

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Chapitre 1 Bibliographie sur les cannelures

Figure 1-2 - Contrainte de cisaillement en pied de dent en fonction de la position axiale x [Tjernberg, 2001] Des rsultats comparables sur la contrainte de cisaillement sont prsents dans une autre tude mene par Leen et al. [Leen, 2000]. Adey [Adey, 2000] ralise une simulation sur des cannelures hlicodales 18 dents. Le chargement est introduit par un ensemble defforts tangentiels appliqus sur la priphrie de lextrmit du moyeu, crant ainsi un couple. Lextrmit de ce moyeu (non reprsent) est immobilise dans la direction axiale. La Figure 1-3 montre les conditions aux limites imposes larbre, lextrmit gauche tant totalement immobilise.

Figure 1-3 Arbre du modle de Adey [Adey, 2000] La Figure 1-4 illustre les zones et les distributions de pression de contact obtenues, rvlant la non-uniformit des champs de pression, notamment suivant laxe de la cannelure. Pour tudier la rpartition de chargement dans un assemblage cannel, Leen et son quipe [Leen, 2000] ont aussi dvelopp un modle EF. La gomtrie est visible sur la Figure 1-5.

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Chapitre 1 Bibliographie sur les cannelures

Figure 1-4 Dtail du maillage de larbre et visualisation de la pression de contact [Adey, 2000]

Figure 1-5 Gomtrie du modle EF de lassemblage cannel (dveloppante de cercle). Dfinitions des ctes x et z, et des dimensions a1 et a2. [Leen, 2000] 14

Chapitre 1 Bibliographie sur les cannelures Cette tude propose quatre maillages diffrents au contact dent intrieure / extrieure, du plus simple (maillage 1) au plus raffin (maillage 4), et cinq points de mesure (A-E) des pressions de contact le long du flanc des dents (Cf. Figure 1-6), le point C tant proche du rayon primitif.

n1

n2

n3

n4

Figure 1-6 Section du modle EF de laccouplement cannel, avec les points de calcul au contact et 4 niveaux de discrtisation [Leen, 2000] Le maillage 4 en z = 0 et z = a1 est affin afin de mieux observer les phnomnes existant aux bords de la cannelure (Figure 1-7).

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Chapitre 1 Bibliographie sur les cannelures

Figure 1-7 Maillage n4 de la cannelure externe [Leen, 2000] La Figure 1-8 permet une comparaison des rsultats issus des 4 maillages pour la rpartition axiale de la pression de contact adimensionne. Les rsultats aux points A et E prsentent une singularit due aux artes vives en tte et pied de dent, ils napparaissent donc pas sur les graphes. Remarque : les abscisses x et z et les dimensions a1 et a2 sont dfinies Figure 1-5.

(b)

(c)

Figure 1-8 Rpartition axiale de la pression de contact adimensionne en B, C et D le long de laxe et pour diffrents maillages [Leen, 2000] 16

Chapitre 1 Bibliographie sur les cannelures La rpartition axiale semble tre peu sensible la finesse du maillage adopt et cela pour chacun des trois points prsents. Aux extrmits (z = 0 et z = a1), il apparat des pics de pression. Selon le maillage, la valeur de ces pics varie. En effet, alors quen thorie cette pression est infinie comme nous le verrons plus loin (phnomne de punch ), la pression aux extrmits obtenue par modlisation en Elments Finis atteint une valeur maximale qui est dautant plus importante que le maillage est fin vers les bords. Il est clair que ces grands maximums de pression aux bords du contact sont particulirement dterminants pour la rupture en fatigue des cannelures et probablement aussi pour lusure, ceci dpendant bien sr des charges appliques et du champ de contraintes dans le matriau. Cest pourquoi des chercheurs ont tent de mettre en place des expriences permettant de valider les rsultats obtenus avec les Elments Finis. Confrontation des modles EF et des expriences Afin de vrifier que les modles EF fournissent des rsultats dignes dintrt, il est conseill dtablir des comparaisons entre ces modles virtuels et des expriences. Elles sont cependant difficiles mettre en place dans le cadre des cannelures, ce qui explique le peu de publication qui existe sur ce sujet. Adey [Adey, 2000] tablit une comparaison entre les rsultats concernant la contrainte de cisaillement en pied de dent donne par la simulation numrique dune part et ceux obtenues par des expriences dautre part. Ces expriences consistent mesurer les contraintes laide de jauges de contraintes dans un premier temps (Figure 1-9), puis, dans un second temps, mesurer ces mmes contraintes par photolasticit (Figure 1-10). Une photographie de lensemble cannel tudi en photolasticit est visible Figure 1-11.

Figure 1-9 Contrainte de cisaillement : comparaison entre la simulation numrique et les mesures par les jauges de contraintes [Adey, 2000] 17

Chapitre 1 Bibliographie sur les cannelures

Figure 1-10 Contrainte de cisaillement : comparaison entre la simulation numrique et les mesures par photolasticit [Adey, 2000]

Figure 1-11 Ensemble cannel [Adey, 2000] Les rsultats obtenus confirment lingalit de la rpartition des contraintes le long de la denture. Ils mettent en vidence la prsence de deux gradients importants de contrainte, un chaque extrmit de la cannelure. De plus ils montrent une bonne corrlation entre les rsultats donns par la simulation numrique et les mesures effectues avec les jauges de contraintes et par photolasticit. Ceci dmontre tout lintrt de simuler numriquement de tels assemblages afin de les dimensionner le plus correctement possible ou de vrifier les rsultats des modles analytiques. 1.1.1.2 Modles analytiques Afin dessayer de prdire le comportement des cannelures, il est possible dvaluer analytiquement la rpartition axiale du couple le long dune cannelure. Cette partie a pour but 18

Chapitre 1 Bibliographie sur les cannelures de dresser un bilan des diverses tudes analytiques visant dcrire la rpartition axiale du couple. Notons quil existe une relation directe entre le transfert du couple de larbre ou du moyeu (et donc la distribution du couple dans chacune des deux pices) et la variation selon laxe de la pression de contact au niveau des dentures. Travaux de Volfson Volfson en 1982 [Volfson, 1982] ralise une tude sur la pression maximum que peut subir une dent de la cannelure flancs parallles. Pour cela, une cannelure soumise de la torsion est prise en compte dans la mme configuration que celle prsente la Figure 1-1, c'est--dire lorsque les efforts traversent la cannelure de part en part. La rpartition de la pression de contact par lapproche des mthodes dElments Finis est alors carte cause du cot trop lev pour mener une telle analyse (document crit en 1982). Par tapes successives, et en posant des hypothses sur la rpartition radiale de la pression, Volfson cherche obtenir la pression de contact dans la direction axiale. Pour cela, il met en vidence limportance du rle du rapport des moments quadratiques polaires du moyeu et de larbre. Deux configurations sont alors traites : Ia > Im et Ia = Im, en notant Im et Ia les moments quadratiques polaires respectifs du moyeu et de larbre. Dans le cas o Ia >> Im ou Ia > Im ou Ia