Thermodynamique,exercices corrigés

8/15/2019 Thermodynamique,exercices corrigés

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T1.1. Effusion gazeuse.On considère un récipient constitué de deux compartiments de même volume V et maintenus à latempérature T .Le compartiment (1) contient N molécules d’un gaz parfait. Le compartiment (2) est vide.A la date t = 0 on perce un trou de section S entre les deux compartiments.On étudie le passage du gaz entre les compartiments (1) et (2).

Pour obtenir un ordre de grandeur du phénomène, on adopte les hypothèses simplificatrices suivantes : Le trou étant petit, le gaz se détend lentement en restant au repos. On néglige tout mouvementmacroscopique.

La vitesse de toutes les molécules est identique et égale à la vitesse quadratique u. De plus lesvitesses ne sont orientées que suivant les trois directions de l’espace.

On note N 1(t) et N 2(t) les nombres de molécules dans les compartiments (1) et (2).

Soit xu la normale au trou et orienté vers le compartiment (2).

1. Etablir l’expression du nombre dN 1 2 de molécules contenues dans le compartiment (1) àl’instant t et traversant la surface s vers le compartiment (2) entre les dates t et t +dt .Même question pour le nombre dN 2 1 de molécules contenues dans le compartiment (2) àl’instant t et traversant la surface s vers le compartiment (1) entre les dates t et t +dt .

2. En déduire les expressions de 1 2etdN dN dt dt

en fonction de N 1 , N 2 , s, u et V .

3. Etablir les expressions de N 1(t) et N 2(t) . Commenter les valeurs limites de ces grandeurs.Faire apparaître une constante de temps caractéristique du phénomène.

4. Comment varie cette constante de temps avec la masse des molécules ?Expliquer brièvement comment on peut enrichir un constituant d’un mélange avec cettetechnique.


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T1.1. Effusion gazeuse.

1. Expressions de 1 2dN et de 2 1dN .Les molécules qui passent de (1) vers (2) pendant la durée dt sont comprises dans un cylindre de longueur udt et de base S .Cependant seulement 1/6 des molécules contenues dans ce cylindre possède un vecteur vitesse ayant la bonne orientation. On a donc :

11 2

( )16

N t dN uSdt V

Une démarche identique conduit à écrire :2

2 1

( )16

N t dN uSdt

V

2. Expressions de 1dN

dt et de 2

dN

dt .

Entre les dates t et t + dt , le nombre de molécules contenues dans (1) a varié de :

1 1 1 2 1 1 2( ) ( )dN N t dt N t dN dN

1 2 11

( ) ( )6

dN uS t N t

dt V

Or 1 2( ) ( ) et 0 car le système est fermé.dN

N N t N t dt

D’où :

2 2 11

( ) ( )6

dN uS N t N t

dt V

3. Expressions de1( ) N t et

2( ) N t .

On a :

1 2 11

( ) ( )6

dN uS t N t

dt V et 2 1( ) ( ) N t N N t

1 11

2 ( )6

dN uS N t

dt V

11

1 1( )

3 6

dN uS uS t N

dt V V

La solution de cette équation différentielle est de la forme :

1 1( ) exp 3 2uS N N t K t V

Or à t = 0 : 1 ( 0) 2 2

N N t N K K . Soit :

1

1

3( ) 1 exp avec

2

lim ( )2t

N t V N t

uS

N N t

De même :

2 2 11

( ) ( )6

dN uS N t N t

dt V et 1 2( ) ( ) N t N N t


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2 21

2 ( )6

dN uS t N

dt V

22

1 1( )

3 6

dN uS uS t N

dt V V

La solution de cette équation différentielle est de la forme :

2

1( ) 'exp

3 2

uS N N t K t

V

Or à t = 0 : 2 ( 0) 0 ' 2 2

N N t K K . Soit :

2

2

3( ) 1 exp avec

2

lim ( )2t

N t V N t

uS

N N t

On a donc pour 1 2: 2t N N . La densité moléculaire évolue vers l’uniformité.

4. Variation de avec m .

On a : 3V

uS or

123 Bk T u

m

. Il s’ensuit que cette durée caractéristique est proportionnelle à la racine

de la masse : l’effusion des molécules est donc plus lente.Si l’on considère un mélange d’un corps A dont les molécules ont une masse supérieure à celle d’un corpsB participant à ce mélange, l’effusion du corps B sera donc plus rapide et si l’on referme le trou S avantque l’équilibre ne soit atteint, le compartiment (1) se retrouvera enrichi an molécules du corps A.


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T1.2. Fuite d'air dans une cabine spatiale.

Une cabine spatiale de volume V = 200 m 3 contient de l'air, que l’on assimilera à un gaz

parfait de masse molaire M = 29 g.mol-1

, maintenu à la température To = 20°C. En régimenormal, la pression Po est de 1,0 bar (10 5 Pa). A l’approche de Mars, le vaisseau rencontreune pluie de micrométéorites, la cabine est alors transpercée et un trou de surface S la met encommunication avec le vide extérieur. La climatisation fonctionnant toujours, la températurereste égale à To , mais la pression P diminue lentement.Au bout de deux minutes, l’équipage constate une diminution de la pression initiale de 50 %.

1. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par le nombre N de molécules contenuesdans la cabine.

2. Déterminer la solution de cette équation et en déduire la loi P(t) vérifiée par la pressiondans la cabine.

3. Déterminer la section S du trou percé par une des micrométéorites.

Pour obtenir un ordre de grandeur, nous adoptons des hypothèses simplificatrices: Le trou étant petit, l'air se détend lentement en restant au repos. On néglige tout

mouvement macroscopique; La climatisation assure le maintien de la température et l'uniformisation de l'air dans

toute la cabine; On considère que toutes les molécules ont une vitesse égale à u, vitesse quadratique.

De plus, ces vitesses ne sont orientées que selon les trois directions de l'espace et defaçon isotrope.

Constante des gaz parfaits : R = 8,31 U.S.I.


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T1.2. Fuite d'air dans une cabine spatiale.

1. Equation différentielle vérifiée par N .Les molécules susceptibles de sortir de la cabine pendant le temps dt se trouvent dans un cylindre

de volume dV tel que :

dV = uSdt

Le nombre de molécules contenu dans ce volume dV est :

avec N nombre de molécules dans la cabine à la date t.

Soit dN S le nombre de molécules quittant la cabine pendant le temps dt.

Comme la vitesse des particules n’est orientée que selon les trois directions de l’espace, il y aseulement 1/6 des molécules contenues dans dV qui vont quitter la cabine pendant le temps dt . Soit :

Comme la variation du nombre de molécules dans la cabine pendant la durée dt e st due auxmolécules qui quittent la cabine on a :

N(t+dt) –N(t) = dN = -dN S

Soit :

2. Evolution de la pression.

La solution de cette équation différentielle est :

avec N o nombre initial de molécules dans la cabine

L’air étant assimilé à un gaz parfait on a :


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3. Aire du trou.

A la date t = 2 minutes la pression est :

On obtient en prenant le logarithme népérien :

La vitesse quadratique u est :

On obtient finalement :


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T1.3. Equation d’état. Coefficients thermoélastiques. (1)

L’étude expérimentale d’un gaz réel a permis de déterminer ses coefficients

thermoélastiques :

α = constante

Etablir l’équation d’état du gaz.


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électricité \ électromagnétisme \ électronique \ mécanique \ optique \ thermodynamique

Jeudi 20 Août 2015 | 9:43 AM

T1.3. Equation d’état. Coefficients thermolélastiques. (1)

On utilise la définition du coefficient de dilatation isobare :

A pression constante on a :

avec une constante dépendant a priori de la pression P .

Afin de déterminer l’expression de en fonction de la pression on utilise alors la définition du coefficient de compressibilitéisotherme :

On injecte l’expression du volume trouvée précédemment dans la dérivée partielle :

On obtient :


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www.kholaweb.com \ h de haan

hubert de haan \ www.kholaw eb.com \ mise à jour : 11 déc. 2009


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T1.4. Equation d’état. Coefficients thermoélastiques. (2).

1. Le coefficient de dilation isobare et le coefficient de compression isochore d'un fluide

sont égaux. Montrer alors que le produit PV

est une fonction de la température T.

2. Déterminer cette fonction dans le cas où :

.


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T1.4. Equation d’état. Coefficients thermoélastiques (2).

1. Produit PV .

Nous avons : or 1

P P

.

En utilisant la définition de , nous obtenons l’égalité suivante :1 1

T

V V P P

A température constante :

0

ln

dV dP V P

PV Cte

Or cette constante dépend de la température, soit Cte = ln f(T).

2. Détermination de la fonction d’état.

Nous avons : 1

T

Or : 1 ln 1

P P

V V V T T T

Comme ln PV ln f(T) on peut écrire ln V = ln f(T) – ln P En injectant cette dernière expression dans la définition de nous obtenons

ln ln( (T) - ln P) ln (T) 1

P P P

V f f T T T T

Comme f(T) ne dépend pas de la pression, l’intégration de cette dernière équation donne :ln ( ) ln ln ln f T T Cte T K

Ici la constante d’intégration K est une « vraie » constante ne dépendant pas de la pression. Finalement :( ) f T KT

PV KT

31/10/2007 Hubert de Haan www.kholaweb.com


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T1.5. Echauffement isochore.

Un flacon contenant un liquide est à une température telle qu'il soit complètement rempli de

ce liquide.

Connaissant les coefficients thermoélastiques supposés constants :

= 11,2.10 -3 K -1 et =3,4.10 -5 atm -1

Montrer qu’une simple élévation de température de 0,5°C suffit à créer une surpressionconsidérable. Que se passe-t-il ?


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T1.5. Echauffement isochore.

On désire déterminer la variation de pression à volume constant du fait d’une élévation de température.Le coefficient rend compte de cela.

1

V V

P P p

p T T

Les différents coefficients thermoélastiques sont reliés entre eux par la relation :

p p

Dans le cas d’une faible élévation de température on peut estimer que :

V V

P P

T T

On obtient alors :

165 atm

P T

P

Une telle élévation de pression conduit à la destruction du thermomètre.


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T1.6. Pression cinétique : Modèle du choc élastique.

Une pluie frappe une fenêtre d’aire S de façon continue selon un angle constant par rapportà la verticale.

On note m la masse d’une goutte d’eau et v sa vitesse. La densité volumique des gouttes estnotée n* .On suppose que les gouttes de pluie rebondissent sur la vitre de manière élastique.

1. Déterminer le nombre d N de gouttes qui rebondissent pendant la durée dt .2. Quelle est la pression P créée par ces gouttes.

Evaluer la valeur de cette pression.


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T1.6. Pression cinétique : modèle du choc élastique.1. Nombre de gouttes.Les gouttes qui heurtent la paroi de surface S pendant la durée dt sont contenues dans le cylindre obliquede volume dV qui correspond à la partie hachurée sur le schéma suivant :

. cos sin2

dV vdt S vdtS vdtS

Le nombre dN de gouttes est alors :* * sindN n dV n vS dt

2. Pression.On applique la relation fondamentale de la dynamique à une goutte.Le choc élastique se traduit par une réflexion de la goutte.Avant le choc :

cos sin2cos

xv v vvv v

Après le choc :

' cos sin2'

' cos

xv v vv

v v

Si l’on suppose que dt représente la durée pendant laquelle s’effectue la variation du vecteur quantité demouvement d’une goutte, on peut alors écrire que :

' 2 sin xd p mv mv mv f udt dt dt

Le principe d’interaction permet d’affirmer que la force f exercée par la fenêtre sur la goutte est égale à

l’opposée de celle exercée par la goutte sur la fenêtre, c’est cette force ' f que l’on doit prendre en compte pour la détermination de la pression créée par les gouttes :

2 sin' x

mv f u

dt

La force résultante des gouttes sur la fenêtre est :

2*' ' 2 sin x F dN f mn v Su

La pression cinétique s’exerçant sur la fenêtre est donc : 2*' 2 sin F p mn v

S

On prend :


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*

0,1 g

1 m/s

1000 gouttes/s

=45°

m

v

n

L’application numérique donne : P = 0,1 PaCette pression est négligeable devant la pression atmosphérique.


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T1.8. Reconstruction de l'équation d'état à partir de la donnée de coefficients thermoélastiques.Le coefficient de dilatation isobare a été mesuré sur un système et trouvé de la forme:

A

AT BP

Le coefficient de compressibilité isotherme T du même système est :

1T

B

P AT BP

Quelle est l'équation d'état de ce système ?


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T1.8. Reconstruction d’une équation d’état.

On a :

1

P

V AV T AT BP

(1)

1 1T

T

V BV P P AT BP

(2)

On peut écrire (1) sous la forme :

ln1 ln P P P

AT BP V V V T T T

(3)

L’intégration de cette équation conduit à :

ln lnV AT BP f P (4)

Les primitives ne dépendent que d’une fonction de P indépendante de T.

L’équation (2) s’écrit grâce à (4) :

ln1 lnce qui conduit à :

en tenant compte de l'expression de on obtient :

1

T T T T

T T

AT BP f P V V V P P P

df P B AT BP dP

df P B B AT BP dP P AT BP

Par identification on obtient :

1 lndf P C

f P dP P P

avec C une « vraie » constante

Finalement l’équation d’état de ce système est :

ln ln ln

ln ln

C V AT BP

P PV

AT BP C

PV C AT BP


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T1.9. Thermomètres différentiels à gaz parfait.Enoncé

Un tel thermomètre, destiné à mesurer de faibles différences de température, est constitué de deux réservoirs à gaz parfait identiques reliés par un tube de jonction de faible section s.

1. Le tube est horizontal cylindrique. Un index de mercure en son milieu isole un même volume Vo de gaz parfaitsous la pression Po et la température est To dans chaque réservoir. On porte le gaz de gauche à la température T , legaz de droite à T’ légèrement inférieure à T . L'index se déplace vers la droite d'une petite longueur x telleque sx «Vo .

Déterminer T - T' en fonction de Vo , s, x et T .

2. Le tube est un tube en U, l'index de mercure de masse volumique Hg occupant entièrement la partie

courbe du tube. On garde les notations précédentes, l'index se déplaçant du côté droit de x, ce qui crée unedénivellation de 2 x.

Déterminer T - T' en fonction de Po , Hg , g , Vo , s, x, T et To .


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T1.9. Thermomètres différentiels à gaz parfait.Corrigé

1. Différence de température. Tube horizontal.

Soit P la pression dans le compartiment de gauche et P ’ celle dans le compartiment de droite.

L’index de mercure est à l’équilibre si P = P’ . Or :

' '

' ' ' ' '

''

''

' 2 or d'où :

' 2

o o

o

o o

o

PV nRT T T T T P V nRT V V V V

V V T T T

V V sx V sx V V

T T T T V V sx

sx T T T sx V

V sx

sx T T T

V

2. Différence de température. Tube en U.

On étudie l’équilibre de la partie de mercure qui est comprise sous l’horizontale définie par la surface

libre du mercure du côté gauche. Il y a équilibre mécanique de cette partie si :' 2

' 2

Ps P s g sx

P P gx

Comme le gaz utilisé est parfait et que la quantité de matière est constante on a :

' ''

'

o o o o o

o o o

o o o o o

o o o

P V sx PV V T P P

T T V sx T P V sx PV V T

P P T T V sx T

Comme ' 2P P gx :

1 1

'2

'2

1 1

'1 1 2

o o o o

o o o o

o o o o

o o o o

o o

o o o o o o

V V T T P P gx

V sx T V sx T V V T T

P P gx T T sx sx

V V V V

sx T sx T P P gx V T V T


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Comme 1o

sx V

un développement limité à l’ordre 1 donne :

'1 1 2

1

2'

1 1

o o o o o o

o o

o

o o

sx T sx T P P gx

V T V T

sx

V T gx T T P sx sx

V V

Comme

1

1 1

o o

sx sx V V

et en négligeant les termes d’ordre 2 et plus, l’expression précédente prend

la forme suivante :

' 1 2 2 2 2

' 2

o o

o o o o

o

o o

T T sx sx T T gx T T gx

V P V P

T s T T x T g

V P


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T1.11. Oscillations isentropiques (adiabatiques et réversibles).Enoncé.Un cylindre à parois athermanes, horizontal, séparé en deux compartiments par un pistonathermane, mobile sans frottement, contient à l'état initial une mole de gaz parfait ( Po, Vo, To) de

chaque côté.A l’instant t = 0, l'opérateur écarte le piston de sa position d'équilibre de xo faible devant la longueur d’un compartiment l o (V o = l o s).Dans le cas d’une évolution adiabatique, réversible d’un gaz parfait avec constant on a la relation : PV Cte .

En appelant, à l'instant t , x la coordonnée de position du piston, exprimer, en supposant lestransformations réversibles :

1. Les pressions instantanées à droite et à gauche du piston et la force qui en résulte.2. La période des petites oscillations.


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T1.11. Oscillations isentropiques (adiabatiques et réversibles).Corrigé.

1. Pressions.

Comme les gaz, considérés parfaits, sont en évolution adiabatique et réversible et que de plus lecoefficient est supposé constant, la loi de Laplace est alors applicable. On a alors, compte tenu desconditions initiales :

o o d d g g

o o d o g o

PV PV PV

P l P l x P l x

On obtient ainsi en remarquant que o x l :

1 1 1

1

o g o o o o

o o o

o

l x x P P P P P l x x l l

l

11 1

1

o d o o o o

o o o

o

l x x P P P P P

l x x l l l

2. Période des petites oscillations.A une date t , les forces suivantes s’exercent sur le piston de masse m :

P

poids du piston

R

réaction du cylindre

g F

force de pression due au gaz présent dans le compartiment gauche du cylindre

d F

force de pression due au gaz présent dans le compartiment droit du cylindre

Le théorème du centre d’inertie, appliqué au piston dans le référentiel terrestre supposé galiléendonne :

d g P R F F ma


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La projection de cette équation suivant Ox permet d’obtenir la relation :

1 1

2

2 0

g d

o o o o

o o

o

o

F F mx

x x P s P s mx l l

x m x

l P s

P x x

l m

Ceci est l’équation différentielle d’un oscillateur harmonique de pulsation 2 o o o

P

l m et donc de

période :

22

o o

o

ml T

P s

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