THERMODYNAMIQUE PH
-
Upload
norddine-imad -
Category
Documents
-
view
15.634 -
download
24
description
Transcript of THERMODYNAMIQUE PH
THERMODYNAMIQUE-M.P.S.I
COURS
DE
THERMODYNAMIQUE
M.P.S.I
EL FILALI SAID
CPGE/B.Mellal Page -1/ 40- -El.Filali.Said-
THERMODYNAMIQUE
Table des matières
1 MODÈLE DU GAZ PARFAIT MONOATOMIQUE 41.1 L’équation d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Autre exemple pour une mole : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 L’énergie interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 GAZ REELS 5
3 ÉLÈMENTS DE LA STATIQUE DES FLUIDES 63.1 NOTION DE PRESSION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.1.1 Forces volumiques -Forces surfaciques . . . . . . . . . . . . . . 63.1.2 Équation fondamentale de la statique des fluides . . . . . . . . . . . . . 73.1.3 Loi de l’hydrostatique(fluide homogène,incompressible, dans un champ de
pesanteur uniforme) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.1.4 La poussée d’ARCHIMÈDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 ÉQUILIBRE D’UNE ATMOSPHÈRE ISOTHERME . . . . . . . . . . . . . . 93.2.1 Variation de la pression avec l’altitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2.2 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 SYSTÈME THERMODYNAMIQUE 104.1 VARIABLES THERMODYNAMIQUES D’ETAT ; EXTENSIVES ,INTENSIVES 104.2 TRANSFORMATIONS RÉVERSIBLES , IRRÉVERSIBLES . . . . . . . . . . 114.3 CŒFFICIENTS THERMOELASTIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.3.2 Relations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5 PREMIER PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE 145.1 TRAVAIL ECHANGÉ PAR UN SYSTÈME :TRAVAIL DES FORCES DE PRES-
SION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.2 L’ÉNÉRGIE INTERNE U,FONCTION D’ÉTAT THERMODYNAMIQUE . . . 16
5.2.1 Divers formes de transfert d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.2.2 Premier principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.2.3 Conséquences pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.3 ENTHALPIE D’UN SYSTÈME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.4 CAPACITÉS CALORIFIQUES À V = ct et P = cte . . . . . . . . . . . . . . 18
2
TABLE DES MATIÈRES THERMODYNAMIQUE-M.P.S.I
5.4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.4.2 Interprétation en terme de chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.5 DETENTE DE JOULE GAY-LUSSAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.6 DÉTENTE DE JOULE-THOMSON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.7 APPLICATIONS AUX GAZ PARFAITS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.7.1 Loi de Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.7.2 Relation de Mayer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.7.3 Loi de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.7.4 Formule de Reech : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6 SECOND PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE 226.1 ÉNONCÉ DU DEUXIÈME PRINCIPE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.2 IDENTITÉS THERMODYNAMIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.2.1 Différentielle de l’énergie interne d’un système simple . . . . . . . . . . 246.2.2 Pression et température thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . 246.2.3 Identités thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.3 TRANSFORMATIONS DU GAZ PARFAIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.3.1 Adiabatique réversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.3.2 Transformation quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.3.3 Applications aux détentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7 MACHINES DITHERMES 287.1 INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.2 LES DIFFÉRENTES MACHINES THERMIQUES . . . . . . . . . . . . . . . 28
7.2.1 Moteur thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.2.2 Machine frigorifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.2.3 Pompe à chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7.3 MACHINES DE CARNOT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.3.2 Représentation du cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
7.4 EXPRESSIONS DES RENDEMENTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327.4.1 Machines de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327.4.2 Machines Réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8 CHANGEMENT D’ÉTAT D’UN CORPS PUR 348.1 DÉFINITIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348.2 ISOTHERMES D’ANDROUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358.3 CHANGEMENT D’ÉTAT EN DIAGRAMME (PT) . . . . . . . . . . . . . . . 368.4 TRANSFERT THERMIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368.5 RÉGLES DES MOMENTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378.6 FORMULE DE CLAPEYRON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
9 APPLICATIONS 399.1 COEFFICIENT CALORIMETRIQUES D’UN FLUIDE HOMOGENE :cv,cp,ℓ
eth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399.2 ETUDE D’UN FIL METALLIQUE ELASTIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . 40
CPGE/B.Mellal Page -3/ 40- -El.Filali.Said-
THERMODYNAMIQUE-M.P.S.I
C’est l’étude des bilans d’énergie entre un système et l’extérieur.Ou bien c’est l’étude des propriétés physiques des corps en fonction de la température.
1 MODÈLE DU GAZ PARFAIT MONOATOMIQUE
– Un gaz est monoatomique s’il est constitué d’un seul type d’atome célibataire.– Un gaz monoatomique est parfait s’il est constitué d’atomes n’ayant aucune interaction
entre eux,les atomes ont uniquement des collisions avec les parois( le système ne possèdepas d’énergie potentielle)
– On suppose que le gaz est en équilibre thermodynamique c’es à dire :– Équilibre mécanique :(
∑−−→Fext =
−→0 )
– Équilibre thermique :(T = cte)– Équilibre chimique : la composition chimique du système ne varie pas (le potentiel
chimique µ = cte)– la pression cinétique pour un fluide en équilibre thermodynamique est la force par unité
de surface.
P =d2f
dS2=
1
3nmu2(Pa)
n =N
V= densité particulaire
m = masse d’une particuleu = vitesse quadratique :u2 =
∫ +∞
0v2dP (v)
d2f :force moyenne due aux collisions des atomes sur la paroi.– l’énergie mécanique d’un gaz parfait est parfaitement cinétique.
– Théorème d’équipartition :
On associe à chaque termes quadratiques dans l’expression de l’énergie1
2KT
Donc :E = Ec =1
2mu2 =
1
2m(V 2
x + V 2y + V 2
z )
Par conséquent : E = Ec =3
2KT
K = 1.38.10−23JK−1 :constante de BoltzmannT est dite température cinétique.
1.1 L’équation d’état
1.1.1 Définition
Il existe une relation entre les paramètres macroscopiques du gaz (P, T, V ) appelée équationd’état (f(P, V, T ) = 0)Pour un gaz parfait :PV = nRT avec
n =N
Na
nombre de mole et R = KNa = 8.314JK−1 : constante des gaz parfaits
GP =⇒ PV = NKT = nRT
CPGE/B.Mellal Page -4/ 40- -El.Filali.Said-
1.2 L’énergie interne THERMODYNAMIQUE-M.P.S.I
1.1.2 Autre exemple pour une mole :
– Gaz de VAN DEAR WAALS :(P +a
V 2)(V − b) = RT
– Equation de BERTHELOT :(P +a
TV 2)(V − b) = RT
– Équatin de CLAUSIUS : (P +a
T (V + c)2)(V − b) = RT
– Équatin de DRETERICI :P (V − b)ea
RTV = RT
– Équatin de VIRIEL :
PV = RT (1 +B1(T )
V+
B2(T )
V 2+ · · · +
Bn(T )
V n+ . . . )
PV = RT (1 + PA1(T ) + P 2A2(T ) + · · · + P nAn(T ) + . . . )
1.2 L’énergie interne
DEFINITION : l’énergie interne U d’un système est l’énergie moyenne dans un réfe-
rentiel galiléen R′ ou le système est au repos, sans interaction avec aucun champ extérieur :
U = Ec/R′ + Epint
Ec/R′ :énergie cinétique microscopique moyenne et Epint :énergie potentielle d’interactionentre les différents constituants du système.Pour un gaz parfait monoatomique on a donc :
U = Ec + Ep =3
2NKT =
3
2nRT
Pour un gaz parfait diatomique rigide on a cinq degré de liberté : xG, yG, zG, θet ϕ :
U =5
2NKT =
5
2nRT
2 GAZ REELS
On appelle gaz réel tout gaz qui n’est pas parfait.c’est à dire au moins :– Les interactions entre les particules ne sont pas négligeables(gaz dense 6= dilué)– Les collisions ne sont pas élastiques– Le volume propre des particules VP n’est pas négligeable devant le volume Vmacroscopique.
exemple : voir équations d’étatsRemarques :
1. Si P Ã 0 ou V Ã ∞,tout gaz réel peut se comporté comme un gaz parfait.
2. Pour le V.D.W b représente le covolume = volume propre des particules
3. La variation de PV = f(P ) pour un gaz réel et un gaz parfait
CPGE/B.Mellal Page -5/ 40- -El.Filali.Said-
THERMODYNAMIQUE-M.P.S.I
P
P
4. La loi de Dalton pour les gaz parfaits :
PT =m
∑
i=1
Pi
3 ÉLÈMENTS DE LA STATIQUE DES FLUIDES
3.1 NOTION DE PRESSION
3.1.1 Forces volumiques -Forces surfaciques
dFv
dFs
Force surfacique- force volumique
z
y
x
O
dS
dv
– Forces à distance :caractérisées par un champ de force de densité volumique de forces−→fv
−→fv (M) =
d−→Fv
dτEXEMPLES :
1. Poids :
On a : d−→P = dm−→g = ρdτ−→g ⇔
−→fg = ρ−→g
2. Force éléctrostatique :
On a : d−→Fe = dq
−→E = ρdτ
−→E ⇔
−→fe = ρ
−→E
3. Force magnétique :
On a : d−→Fm = dq
−→V ∧
−→B = ρdτ
−→V ∧
−→B ⇔
−→fm = ρ
−→V ∧
−→B
CPGE/B.Mellal Page -6/ 40- -El.Filali.Said-
3.1 NOTION DE PRESSION THERMODYNAMIQUE-M.P.S.I
– Forces surfaciques ou de contact :
Caractérisées par une densité surfacique−→fs telle que :
−→fs = d
−→Fs
dS
EXEMPLES :
1. Force de frottement−→T =
−→RT .
2. Force exercée par un fluide sur un corps solide :
dFs
dS
Sens de la force surfacique
fluide
corps solide
d−→Fs = −P (M)d−→s
P(M) est un scalaire positive sont unité dans le système international est Pa = N.m−2
,la force surfacique a pour expression−→fs = −P (M)−→n avec −→n est un vecteur normal
à la surface dirigé vers l’extérieurQuelques unités de la pression :1bar = 105Pa
1atm = 1.01325bar = 76cmHg
1mmHg = 1torr = 133.33Pa
3.1.2 Équation fondamentale de la statique des fluides
Soit un volume V délimité ,par une surface (∑
)à l’intérieur d’un fluide en équilibre dansun réferentiel galiléen :
Fluide
V
Un corps solide en équilibre dans un fluide
solide
∑−→Fe =
−→Fv +
−→Fs =
−→0 ⇔
∫∫∫ −→fvdτ +
∫∫ −→fsdS =
−→0
Or :−→fs = −P (M)−→n ainsi
∫∫
f−→dS =
∫∫∫ −−→gradfdτ
CPGE/B.Mellal Page -7/ 40- -El.Filali.Said-
3.1 NOTION DE PRESSION THERMODYNAMIQUE-M.P.S.I
∫∫∫
(−→fv −
−−→gradP (M))dτ =
−→0
d’où :−−→gradP (M) =
−→fv
REMARQUE : Cas où le réferentiel n’est pas galiléen :−→Fv +
−→Fs +
−→Fie =
−→0 (
−→Fic =
−→0 car
−→Vr =
−→0 :l’hydrostatique)
−→fie = −ρ−→ae de même :
−→Fie = −m−→ae
−−→gradP (M) =
−→fv − ρ−→ae
3.1.3 Loi de l’hydrostatique(fluide homogène,incompressible, dans un champ depesanteur uniforme)
z
h
B
A
g
y
x Hydrostatique
O
On a :ρ = cte et −→g =−→cte de même :
−→fv = ρ−→g = −ρg
−→k
−−→gradP =
∂P
∂x= 0
∂P
∂y= 0
∂P
∂z= −ρg
∂P
∂x= 0 et
∂P
∂y= 0 donc P ne dépend ni de x ni de y.
∂P
∂z= −ρg ⇔ P (M) + ρgz = cte
REMARQUES :
1. A z = h on a P = Patm ⇔ Patm + ρgh = cte
d’où P (M) − Patm = ρg(h − z) = Pe(M) avec Pe(M) la pression effective.
2. P (B) − P (A) = ρg(zA − zB)
3. Les isobares (l’ensembles des points M tel que P (M) = cte) sont des plans horizontaux(⊥
−→k )
Application :Baromètre de Torricelli :
CPGE/B.Mellal Page -8/ 40- -El.Filali.Said-
3.2 ÉQUILIBRE D’UNE ATMOSPHÈRE ISOTHERME THERMODYNAMIQUE-M.P.S.I
vide
mercure
Baromètre de Torriceli
h
Patm − 0 = ρgh avec h = 76cmHg
3.1.4 La poussée d’ARCHIMÈDE
Tout corps plongé dans un liquide subit une force dirigée vers le haut égale ennorme au poids du volume du liquide déplacé
−→FA = ρgV
−→k = −ρV −→g
3.2 ÉQUILIBRE D’UNE ATMOSPHÈRE ISOTHERME
3.2.1 Variation de la pression avec l’altitude
On suppose que :– L’atmosphère est un gaz parfait– T = cte dans toute l’atmosphère– −→g uniforme
La projection suivant Oz donne :dP
dz= −ρg
et comme ρ =dm
dV; ainsi PV =
m
MRT ⇔
dm
dV=
PM
RT
ρ = MPRT
dP
dz= −
PMg
RT⇔ LnP = −
Mg
RTz + cte
On tire que :
P = P0e−Mg
RT z
de même
ρ = ρ0e−Mg
RT z
Or R = KNa alorsM
R=
M
KNa
=m
K; Avec m la masse d’une seule particule
Sachant que ep est l’énergie potentielle d’une particule alors
P = P0e− ep
KT
CPGE/B.Mellal Page -9/ 40- -El.Filali.Said-
THERMODYNAMIQUE-M.P.S.I
REMARQUE : Pour un gaz parfait et à T = cte et P = cte on a : dNdV
= PKT
= n :avec n ladensité particulaireDonc :
n = n0e− ep
KT
avec n0 =P0
KT: de même :
m = m0e− ep
KT
CONCLUSION :Les niveaux les plus bas(z à 0) sont les plus peuplés
3.2.2 Généralisation
Lorsque un système thermodynamique en équilibre à la température T , constituéde particules dont l’énergie ε peut prendre différentes valeurs , les particules serépartissent sur les différents niveaux énergétiques proportionnellement au facteurde BOLTZMANN :e−
εKT
ε = ec + ep + . . .
4 SYSTÈME THERMODYNAMIQUE
4.1 VARIABLES THERMODYNAMIQUES D’ETAT ; EXTENSIVES,INTENSIVES
– Un système thermodynamique est un système matériel (composé de matière )délimité parune surface fermée au sens mathématique qui se laisse traversé par l’énergie.REMARQUE : cette surface peut être réelle ou fictive.
– On appelle l’univers la réunion du système thermodynamique et le milieu extérieur .
CPGE/B.Mellal Page -10/ 40- -El.Filali.Said-
4.2 TRANSFORMATIONS RÉVERSIBLES , IRRÉVERSIBLES THERMODYNAMIQUE-M.P.S.I
Système thermodynamique
l'extérieur
– Un système thermodynamique est dit :* Isolé : s’il n’échange avec le milieu extérieur ni énergie ni matière.* Fermé : s’il ne peut échanger avec le milieu extérieur que de l’énergie.* Ouvert : s’il échange de la matière avec le milieu extérieur* Homogène : si toutes les variables thermodynamiques varient de manière continues (
eau + sel avant la saturation)* Hétérogène : certains paramètres varient de manière discontinus (exemple : eau +
glace :variation de la masse volumique ρ)
eau
la glace
le fer
Discontinuité de la masse volumique
* Isotrope : aucunes propriétés physiques ne dépendent de la direction .* Simple :ne possède pas de propriétés magnétiques et diéléctrique
– On appelle variable d’état toute grandeur (scalaire ou vectorielle ) qui caractérise unepropriété macroscopique du système.(P, V, T,N, ....)
– On appelle équation d’état toute relation entre les variables d’étatPour un G.P : PV = NKT ⇔ f(P, V, T,N) = 0
– On appelle équilibre thermodynamique un état dans lequel toutes les variables d’état sontconstantes dans le temps :L’équilibre thermodynamique est un état stationnaire.
– Une variable d’état est dite extensives s’elle peut être définie pour le système entier ouune partie et qui dépend des dimensions du système, elles sont en général additives.EXEMPLES :masse, volume, charge,le courant électrique nombre de particule,longueur,surface, l’énergie,
−→E ,
−→B .
– Une variable intensive est définie en chaque point du système (déduit d’une valeur moyenne)et elle ne sont pas additive.EXEMPLES :T, P, σ, ρ,
−→j : densité de courant, l’indice de réfraction
4.2 TRANSFORMATIONS RÉVERSIBLES , IRRÉVERSIBLES
– On dit qu’un système subit une transformation lorsque il passe d’un état d’équilibre initialà un état d’équilibre final.EXEMPLE :
CPGE/B.Mellal Page -11/ 40- -El.Filali.Said-
4.3 CŒFFICIENTS THERMOELASTIQUES THERMODYNAMIQUE-M.P.S.I
Pi
Vi
Ti n
Pf
Vf
Tf n
transformation
Transformation d'un système fermé
– Une transformation quasitatique est une transformation suffisamment lente pour qu’ellesoit considérée comme une suite continue d’états d’équilibre infiniment voisins .EXEMPLE :
gaz 1mg
1Kg
1mg 1mg
transformation rapide irreversible
transformation lente reversible
– Une transformation est dite réversible si :* On peut changer le sens des échanges d’énergie à chaque instant.* On peut négliger les frottements qui s’exercent sur le système .
REMARQUE :Une transformation réversible est FORCEMENT QUASISTATIQUE (l’inverse est faux ).
– Une transformation est irréversible s’elle n’est pas réversible ( rapide )– Une transformation isotherme est une transformation aucours de laquelle la température
reste constante (T = cte)– Une transformation isobare si P = cte.– Une transformation isochore si V = cte
4.3 CŒFFICIENTS THERMOELASTIQUES
4.3.1 Définitions
– Cœfficient de dilatation isobare :
α = 1V
(∂V∂T
)P : (K−1)
– Cœfficient de variation de pression isochore :
β = 1P
(∂P∂T
)V : (K−1)
– Cœfficient de compressibilité isotherme :
χT = − 1V
(∂V∂P
)T : (Bar−1)
CPGE/B.Mellal Page -12/ 40- -El.Filali.Said-
4.3 CŒFFICIENTS THERMOELASTIQUES THERMODYNAMIQUE-M.P.S.I
4.3.2 Relations aux dérivées partielles
On a : f(P, V, T ) = 0 ⇒ V = V (T, P ) et T = T (V, P ) donc :
dV = ∂V∂T
)
PdT + ∂V
∂P
)
TdP (1)
dT = ∂T∂V
)
PdV + ∂T
∂P
)
VdP (2)
(2) ⇒ dV = 1
( ∂T∂V )
P
dT −[(
∂T∂P
)
V
/
(
∂T∂V
)
P
]
dP
⇒ ∂V∂T
)
P= 1
( ∂T∂V )
P
et ∂V∂P
)
T= −
[(
∂T∂P
)
V
/
(
∂T∂V
)
P
]
⇒∂V∂T
)
P
(
∂T∂P
)
V∂P∂V
)
T= −1 (A)
Relation importante à connaître.
REMARQUES :
1. (A) ⇒ (−χT V )(Pβ)1
αV= −1
⇒ βχTP = α
Relation importante à connaître
2. Pour un gaz parfait :
α = β =1
T
χT =1
P3. On a :
dV =(
∂V∂T
)
PdT +
(
∂V∂P
)
TdP = αV dT − χT V dP
dV
V= αdT − χT dP
On suppose que α et χT sont constantes ; donc :
LnV
V0
= αT − χT P .
Si αT − χT P ≪ 1 alors : V = V0(1 + αT − χT P ).Si αT ≫ χT P alors :
V = V0(1 + αT )
EXERCICE :détermination des cœfficients élastiques du g.v.w
Une mole de gaz carbonique obéit à l’équation d’état de V.D.W :
(P +a
V 2)(V − b) = RT
1. Exprimer , en fonction des variables indépendantes, volume V et la température absolueT, les cœfficients de dilatation à pression constante α et à volume constant β.
2. Trouver la relation générale entre le cœfficient χTde compressibilité isotherme, les cœffi-cients α,β et la pression P du gaz.En déduire le cœfficient χT du gaz de V.D.W.
CPGE/B.Mellal Page -13/ 40- -El.Filali.Said-
THERMODYNAMIQUE-M.P.S.I
3. Dans le cas où l’on peut négliger la pression interne du gaz, montrer que :
χT =V
R
α2
β
RÉPONSE :
1. Dérivons l’équation d’état à P = cte et en remplaçant P par son expression on obtient :
(∂V
∂T)P =
RV 3(V − b)
RTV 3 − 2a(V − b)
⇒ α =1
V(∂V
∂T)P =
RV 2(V − b)
RTV 3 − 2a(V − b)
De même dérivons à volume constant, on obtient :
∂P∂T
)
V= R
V −betP = RT
V −b− a
V
⇒ β = RVRTV −a(V −b)
2. χT = − 1V
(∂V∂P
)T et comme ( ∂V∂T
)
P
(
∂T∂P
)
V
∂P∂V
)
T= −1 alors :
χT =α
βP
3. a ≈ 0 ⇔ α2 = (V −b)2
(TV )2; β = 1
T;et χT = (V −b)2
RTV
On tire donc :
χT = VR
α2
β
5 PREMIER PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE
5.1 TRAVAIL ECHANGÉ PAR UN SYSTÈME :TRAVAIL DES FORCESDE PRESSION
– Travail d’une force : δW =−→F .d
−−→OM .
– Travail des forces de pression :Soit un fluide qui subit une transformation élémentaire quimène son volume de v à v+dv.
Fext
ex
dx
dV
Le travail élémentaire
δW ext =−→F .d
−−→OM > 0.
⇒ δW ext = PestSdx = −Pextdv :le volume diminue (dv < 0).
δW ext = −Pextdv
CPGE/B.Mellal Page -14/ 40- -El.Filali.Said-
5.1 TRAVAIL ECHANGÉ PAR UN SYSTÈME :TRAVAIL DES FORCES DE PRESSIONTHERMODYNAMIQUE-M.P.S.I
Si dv < 0 ⇒ δW ext > 0 :(compression).Si dv > 0 ⇒ δW ext < 0 :(détente).
REMARQUES :
1. Si la transformation est quasi-statique alors P = Pext et on aura :
δW ext = −Pdv (q.s)
2. Si la transformation est isochore alors : dv = 0 ⇒ δW ext = 0
3. généralisation : Pour une transformation quasi-statique le travail s’écrit :
δW ext = XdY
X une grandeur intensive .Y une grandeur extensive.
4. Dans le diagramme de Clapeyron P = f(V ) on a :
P
V
A
B
S2
S1
cycle moteur en diagramme PV
WA→B = −∫ B
APdv = −S1
WB→A = −∫ A
BPdv = +(S1 + S2)
Pour le cycle ABA on a donc :| Wcycle |= WA→B + WB→A = S2
Le travail est positif si le cycle est décrit dans le sens trigonométrique
exercice d’application :
- Calculer la puissance d’une pompe servant à comprimer quasi-statiquement, à la tempéra-ture constante de 0C, 1m3 d’air par minute de 1 atm à 3.5 atm (1atm = 1.013.105Pa).W = nRT ln Vi
Vf= PiViln
Pf
Pi⇒ P = W
∆t= PiVi
∆tln
Pf
Pi
P = 2115Watt
- On fait subir une compression quasi-statique adiabatique à un litre du gaz d’azote vérifiantla relation PV γ = cte ,(γ = 1.4) pris dans les conditions normales avec un rapport volumétriquede 1.9.
CPGE/B.Mellal Page -15/ 40- -El.Filali.Said-
5.2 L’ÉNÉRGIE INTERNE U,FONCTION D’ÉTAT THERMODYNAMIQUETHERMODYNAMIQUE-M.P.S.I
Calculer la pression finale et le travail reçu par le gaz.
Pf = Pi(Vi
Vf
)γ =⇒ Pf = 2.46atm
W =PiVi
γ − 1((
Vi
Vf
)γ−1 − 1) =⇒ W = 74.1J
5.2 L’ÉNÉRGIE INTERNE U,FONCTION D’ÉTAT THERMODY-NAMIQUE
5.2.1 Divers formes de transfert d’énergie
Un système peut recevoir de l’énergie par :* Travail mécanique : δW =
−→F .d
−−→OM = Mdθ.
* Travail électrique : δW = uidt = udq.* Travail des forces pressantes : δW = −PdV = −PextdV .* Transfert thermique ou chaleur
5.2.2 Premier principe de la thermodynamique
énoncé :Aucours de la transformation ,d’un système thermodynamique d’un état d’équilibreA vers un état d’équilibre B , la somme des transferts thermiques et du travail desforces échangés avec l’exterieur ne dépend pas du processus utilisé aucours de latransformation , cette somme est égale à la variation d’énergie interne .
∆U = W ext + Q
A
BW1-Q1
W2-Q2
W3-Q3
W4-Q4
∆U = W1 + Q1 = W2 + Q2 = ... = W4 + Q4.
L’énergie interne ne dépend pas du chemin suivi : l’énergie interne U est une fonction d’étatREMARQUES :
1. Pour une variation élémentaire
dU = δW + δQ
CPGE/B.Mellal Page -16/ 40- -El.Filali.Said-
5.3 ENTHALPIE D’UN SYSTÈME THERMODYNAMIQUE-M.P.S.I
2. Pour un système possédant une énergie cinétique de translation Ec et une énergie poten-tielle due à des forces extérieures Eext
P le premier principe s’écrit :
∆U + ∆Ec + ∆EextP = W ext + Q
3. Pour une transformation cyclique
∆U = 0 ⇒ U = cte
transformation isoénergitique
5.2.3 Conséquences pratiques
– U est une fonction d’état donc dU est une différentielle totale exacte c’est à dire : dU =Adx + Bdy avec A = (∂U
∂x)y et B = (∂U
∂y)x alors le théorème de Schwartz
∂A∂y
= ∂B∂x
⇔ ∂∂y
(∂U∂x
) = ∂∂x
(∂U∂y
)
– Pour une transformation cyclique
∆U = 0 ⇒ Qcycle = −Wcycle
– Pour une transformation adiabatique Q = 0 pas d’échange thermique avec l’extérieuralors :
∆U = W
5.3 ENTHALPIE D’UN SYSTÈME
On appelle enthalpie d’un système H la fonction d’état extensive
H = U + PV (J)
– Hn = Hn
enthalpie molaire .– Hm = H
menthalpie massique .
– H = U − XY tel que δW = XdY donc
H = U + PV − Mθ − V q
– dH est une differentielle totale exacte .– ∆H ne dépend pas du chemin suivi.– ∆Hcycle = 0
CPGE/B.Mellal Page -17/ 40- -El.Filali.Said-
5.4 CAPACITÉS CALORIFIQUES À V = ct et P = cte THERMODYNAMIQUE-M.P.S.I
5.4 CAPACITÉS CALORIFIQUES À V = ct et P = cte
5.4.1 Définitions
Hypothèses :- Fluide homogène.- Seules les forces de pression qui travaillent.Dans ce cas :
{
U = U(V, T ) = U(V, P ) = U(P, T )H = H(V, T ) = H(V, P ) = H(P, T )
dU = (∂U∂T
)V dT + (∂U∂V
)T dV ; dH = (∂H∂T
)P dT + (∂H∂P
)T dP
• On définit la capacité calorifique (ou thermique ) à volume constant par :
CV = (∂U∂T
)V (JK−1)
- cv = CV
n: capacité calorifique molaire à volume constant.
- Cm = CV
m: capacité calorifique massique à volume constant.
• De même on définit la capacité calorifique à pression constante par :
CP = (∂H∂T
)P (JK−1)
REMARQUE :CV et CP dépendent à priori de la température.
5.4.2 Interprétation en terme de chaleur
On a :dU = δW + δQ = −PextdV + δQ (seules les forces pressantes travaillent )à volume constant on a :
dU = δQ
donc :Cv = (∂U
∂T)V =
δQV
dTIl en résulte :
CV = (∂QV∂T
)P ⇔ QV = ∆U =∫ T2
T1CV dT
Remarque :CV est la quantité de chaleur à fournir au système thermodynamique à volumeconstant pour élever sa température de 1K.H = U + PV ⇒ dH = dU + PdV + V dP
⇒ dH = δW + δQ + PdV + V dP
⇒ dH = (P − Pext)dV + δQ + V dP
On maintient P = cte = Pext(où à P = cte et de manière quasi-statique)dH = δQP = CpdT
Cp =δQp
dT⇔ QP =
∫ T2
T1CPdT
CPGE/B.Mellal Page -18/ 40- -El.Filali.Said-
5.5 DETENTE DE JOULE GAY-LUSSAC THERMODYNAMIQUE-M.P.S.I
5.5 DETENTE DE JOULE GAY-LUSSAC
(C1)
gaz
(V)
(C2)
VIDE
(V’)
R
Détente de Joule Gay-LussacLes parois sont calorifugées (adiabatiques).On ouvre le robinet R ; l gaz se détend et occupe le volume total (V + V ′).Considérons le système
∑
= {gaz + vide} contenu dans C1
⋃
C2
Le volume constant (paroie rigide) ⇒ W ext = 0La transformation est adiabatique alors Q=0Le premier principe donne : ∆U = W ext + Q = 0 ⇒ U = cte
conclusion :La détente de Joule Gay-Lussac est isoénergitique
5.6 DÉTENTE DE JOULE-THOMSON
P1
V1
P2
V2
P1
V1
P2
V2
Détente de Joule Thomson
Hypothèses :– Paroie adiabatique.– Ecmac ≈ 0 (On néglige la variation de la vitesse)– Epext ≈ cte (On néglige la variation de l’altitude)
On a : ∆U + ∆Ecmac + ∆Epext = W ext + Q = W ext (adiabatique)W ext = W1+W2 avec :W1 > 0 car compression (V : V1 Ã 0) et W2 < 0 car détente (V : 0 Ã V2)
W1 =0∫
V1
−PdV = P1V1
W2 =V2∫
0
−PdV = −P2V2
⇒ W = W1 + W2 = P1V1 − P2V2
CPGE/B.Mellal Page -19/ 40- -El.Filali.Said-
5.7 APPLICATIONS AUX GAZ PARFAITS THERMODYNAMIQUE-M.P.S.I
Le premier principe ∆U = W ext = P1V1 − P2V2 = U2 − U1
⇒ P1V1 + U1 = P2V2 + U2 On tire que : H1 = H2
conclusion :La détente de Joule THOMSON est isenthalpiqueRésultats expérimentaux avec P1 = 1atm et P2 = 2atm
– L’air : ∆T = −0.26K– gaz carbonique CO2 : ∆T = 1.15K– L’hydrogène H2 : ∆T = 0K
REMARQUES : détente dans une tuyère inclinée
∆U + ∆Emacc + ∆EPext = P1V1 − P2V2
⇒ U2 − U1 + 12mV 2
2 − 12mV 2
1 + mgz2 − mgz1 = P1V1 − P2V2
⇒ U2 + 12mV 2
2 + mgz2 + P2V2 = U1 + 12mV 2
1 + mgz1 + P1V1
⇒ H2 + 12mV 2
2 + mgz2 = H1 + 12mV 2
1 + mgz1
Par unité de masse :
h +1
2V 2 + gz = cte
(valable en régime permanent)
5.7 APPLICATIONS AUX GAZ PARFAITS
5.7.1 Loi de Joule
1. 1ere loi de joule : L’énergie interne d’un gaz parfait ne dépend que de la température :c’est à dire U = U(T ).dU = CV dT donc :
∆U =∫ T2
T1CV dT
2. 2eme loi de joule :On a : H=U+PV et PV=nRT donc H=U(T)+nRT =H(T)enthalpie d’un gaz parfait ne dépend que de la température .dH = CP dT donc :
∆H =∫ T2
T1CPdT
5.7.2 Relation de Mayer
On a : H=U+PV =U+nRT par conséquent : dH = dU + nRdT
⇒ CP dT = CV dT + nRdT .
CP − CV = nR (relation de Mayer)
CPGE/B.Mellal Page -20/ 40- -El.Filali.Said-
5.7 APPLICATIONS AUX GAZ PARFAITS THERMODYNAMIQUE-M.P.S.I
conséquences :
•CP > CV > 0.• Si on pose γ = CP
CValors :
γ = CPCV
> 1
•Pour un gaz parfait monoatomique on a : U = 32nRT donc :
CV = 32nR; CP = 5
2nR; γ = 53 = 1.67
•Pour un gaz parfait diatomique on a : U = 52nRT donc :
CV = 52nR; CP = 7
2nR; γ = 75 = 1.7
REMARQUES :On a CP − CV = nR et γ = CP
CVil en résulte :
CV = nRγ−1; CP = γ
γ−1nR (a retenir)
5.7.3 Loi de Laplace :(Pour une transformation adiabatique )
dU = CV dT = nRγ−1
dT
nRdT = d(PV )
}
⇒ dU =1
γ − 1d(PV )
dU = δQ + δW ⇒ δQ = dU − δW
δQ = γ
γ−1d(PV ) + PdV
On tire que :
δQ = γγ−1PdV + 1
γ−1V dP
Pour une transformation adiabatique d’un gaz parfait (δQ = 0) on a donc :γPdV + V dP = 0 ⇒ γ dV
V+ dP
P= 0
PV γ = cte
De même :
TV γ−1 = cte
P 1−γT γ = cte
CPGE/B.Mellal Page -21/ 40- -El.Filali.Said-
THERMODYNAMIQUE-M.P.S.I
5.7.4 Formule de Reech :
– Pour une transformation adiabatique : γPdV + V dP = 0 ⇒ γ = −VP
(∂P∂V
)adiabatique
– Pour une transformation isotherme :PV = nRT = cte ⇒ VP
= −(∂V∂P
)T
d’où γ = (∂V∂P
)T × (∂P∂V
)adiabatique
γ =(∂V∂P
)T
(∂V∂P
)ad
On sait que :χT = − 1
V(∂V
∂P)T ⇒ (∂V
∂P)T = − 1
χT V
et :χS = − 1V
(∂V∂P
)ad ⇒ (∂V∂P
)ad = − 1χSV
On tire la formule de Reech :
γ =χT
χS
(formule de Reech)
conséquences :
•γ > 1 ⇒ χS < χT
• De même :(∂P
∂V)ad < (
∂P
∂V)T (la suite voir les machines thermiques)
6 SECOND PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE :PRIN-CIPE D’ÉVOLUTION
Question : Pourquoi un 2emeprincipe ?Soit l’exemple suivant
T1 T2 Te
Système isolé : UA = UB Conservation de l’énergie. et pourtant le système a évolué : unequantité d’énergie passe du corps (1) vers le corps (2).d’où il faut un deuxième principe pour décrire l’évolution des transformation .
6.1 ÉNONCÉ DU DEUXIÈME PRINCIPE(ILYA PRIGOGINE)
Il existe plusieurs énoncé du deuxieme principe (Carnot ,Clausius,Thomson . . .)
CPGE/B.Mellal Page -22/ 40- -El.Filali.Said-
6.1 ÉNONCÉ DU DEUXIÈME PRINCIPE THERMODYNAMIQUE-M.P.S.I
chaleur
système
énoncé :Lors de l’évolution infinitésimale d’un système physique fermé , la varia-tion d’une fonction d’état appelé entropie dS du système est donnée par :
dS = δQe
TΣ+ δSi
δQe : la quantité de chaleur élémentaire échangée avec le milieu extérieur .TΣ :température du système à l’interface Σ.
δSe =δQe
TΣ
: l’entropie élémentaire échangée .
δSi : entropie élémentaire crée due à toutes modifications internes au système (réactions chi-miques , transfert thermique,. . .).tous les phénomènes irréversibles à l’intérieur du sys-tème .⋄ S est une fonction d’état alors :
– ∆S ne dépend pas du chemin suivi .– vérifie le théorème de Schwartz (d.t.e).
⋄ S est une grandeur extensive (additive).
SIGNE DE δSi :
1. Si la transformation est irréversible alors δSi > 0
2. Si la transformation est réversible alors δSi = 0
conclusion :
δSi > 0 (important)
remarques :
1. δSe et δSi ne sont pas des differentielle totale exacte .
2. Pour une transformation adiabatique réversible on a :δQe = 0 et δSi = 0 donc S =cte ;c’est à dire :
adiabatique + réversible = isentropique
3. S augmente avec le désordre interne.
4. Lorsque un système physique isolé évolue d’une manière spontanée vers l’équilibre
thermodynamique ,cela se fait toujours dans le sens d’une augmentation de son
entropie ,jusqu’à l’équilibre ou elle sera maximale.
CPGE/B.Mellal Page -23/ 40- -El.Filali.Said-
6.2 IDENTITÉS THERMODYNAMIQUES THERMODYNAMIQUE-M.P.S.I
6.2 IDENTITÉS THERMODYNAMIQUES
6.2.1 Différentielle de l’énergie interne d’un système simple
Pour un système simple fermé il y a deux variables thermodynamique indépendantes à
choisir ;parmi N,T,P,V,U,S,H,.....Toutes les fonctions thermodynamique peuvent s’exprimer de deux variables indépendantes,pour l’énergie interne les variables naturelles sont S et V ;c’est à dire U = U(S, V ) et parconséquent :
dU = (∂U∂S
)V dS + (∂U∂V
)SdV
6.2.2 Pression et température thermodynamique
On définit la pression et la température thermodynamique par les relations suivantes :
T = (∂U∂S
)V ; P = −(∂U∂V
)S
On admet que :la température thermodynamique est égale à la température cinétique et la pressionthermodynamique est égale à la pression cinétique
6.2.3 Identités thermodynamique
1erprincipe donne :dU = δQe + δW e.Or δW e = −PdV et pour une transformation quasi-statique : δQe = TdS − TδSi
On imagine une transformation réversible entre les même états initiaux et finaux (énergie in-terne est une differentielle totale exacte ) (δSi = 0) ; d’où :
dU = TdS − PdV (a retenir)
C’est l’identité thermodynamique fondamentale du système simple fermé ,elle est applicable pourune transformation quelconque ,réversible ,irréversible ,quasi-statique , non quasi-statique carU est une fonction d’état à condition que les états initial et final soient des états d’équilibre.
De même : H=U+PV⇒ dH = dU + PdV + V dP
⇒ dH = TdS − PdV + PdV + V dP
⇒ dH = TdS + V dP
dH = TdS + V dP (a retenir)
6.3 TRANSFORMATIONS DU GAZ PARFAIT
6.3.1 Adiabatique réversible
On a δQe = TdS = 0 et :dU = TdS − PdV
dH = TdS + V dP
}
⇒
{
dU = −PdV
dH = V dP
CPGE/B.Mellal Page -24/ 40- -El.Filali.Said-
6.3 TRANSFORMATIONS DU GAZ PARFAIT THERMODYNAMIQUE-M.P.S.I
dH
dU= −
V dP
PdV=
CP dT
CV dT= γ
On suppose que CP et CV sont constantes alors :dP
P+ γ
dV
V⇒ d(PV γ) = 0
conclusion :Les lois de Laplace pour une transformation isentropique :
PV γ = cte ‖ TV γ−1 = cte ‖ T γP 1−γ = cte
6.3.2 Transformation quelconque
L’entropie ne peut qu’augmenter. dU = TdS − PdV
⇒ dS =dU
T+
P
TdV
⇒ dS = CV
dT
T+
P
TdV
G.P ⇒ dS = CV
dT
T+ nR
dV
V
∆S = CV ln TT0
+ nR ln VV0
Autre écriture :S = S0 + CV ln T + nR ln V
Autre expression de l’entropie d’un gaz parfait :dH = TdS+VdP
⇒ dS =dH
T−
V
TdP
⇒ dS = CP
dT
T−
V
TdP
G.P ⇒ dS = CP
dT
T− nR
dP
P
∆S = CP ln TT0
− nR ln PP0
Autre écriture :
S = S′
0 + CP ln T − nR ln P
6.3.3 Applications aux détentes
6-3-3-1- Détente de Joule Gay-Lussac :Détente dans le vide d’un fluide calorifugé et sans pièce mobile (transformation irré-versible) ;Que vaut ∆S ?⋆ Bilan d’énergieAppliquons le premier principe :∆U = δW e + δQe = 0La détente de Joule Gay-Lussac est isoénergitique U=cte. Pou un gaz parfait :dU = CV dT = 0 ⇒ T = cte
CPGE/B.Mellal Page -25/ 40- -El.Filali.Said-
6.3 TRANSFORMATIONS DU GAZ PARFAIT THERMODYNAMIQUE-M.P.S.I
On conclut pour un gaz parfait la détente de Joule Gay-Lussac est isotherme (1ereloide Joule)⋆Bilan entropiqueAppliquons le deuxième principe :
∆S = CV lnT
T0
+ nR lnV
2V0comme T = T0 et V = 2V0
alors :
∆S = ∆Si = nR ln 2et puisque :∆S = ∆Se + ∆Si alors ∆Si > 0 : transformation irréversible (naturelle).
6-3-3-2- Détente de Joule Thomson :En régime stationnaire :⋆Bilan énergétiqueLe premier principe :dU = δQe + δW e = −PdV ⇒ dU + PdV = 0Dans un compartiment On peut écrire :d(U + PV ) = dH = 0On tire que : ∆H = 0 ⇒ H = cte
La détente de Joule Thomson est isenthalpique H=cte. Pou un gaz parfait :dH = CP dT = 0 ⇒ T = cte
On conclut pour un gaz parfait la détente de Joule Thomson est isotherme (2emeloi deJoule) ⋆Bilan entropiqueAppliquons le deuxième principe :
∆S = CP lnT2
T1
− nR lnP2
P1comme T2 = T1 et P1 > P2
alors :
∆S = ∆Si = −nR ln P2P1
> 0 (P2 < P1)
et puisque :∆S = ∆Se + ∆Si alors ∆Si > 0 : transformation irréversible (naturelle).
6-3-3-3- Contact thermique entre deux corps :Pour la phase condensé (solide, liquide) V ≈ cte ⇒ dV = 0 ; par conséquent U=U(T).de même on suppose que :PV << U⇒ H ≈ U ; H=H(T)donc : dH = CP dT ≈ dU = CV dT ⇒
CP ≃ CV ≃ C
Avec C la capacité calorifique.
CPGE/B.Mellal Page -26/ 40- -El.Filali.Said-
6.3 TRANSFORMATIONS DU GAZ PARFAIT THERMODYNAMIQUE-M.P.S.I
S1 S1S2S2
T1.m1.c1 T2.m2.c2 T'1=T'2=TeLe contact thermique
Le système∑
= {S1
⋃
S2} étant isolé et puisque l’énergie interne est une fonctiond’état alors :dU = du1 +dU2 = 0 ⇒ C1dT +C2dT = 0 avec Ci = mici c étant la capacité calorifiquemassique donc :m1c1dT + m2c2dT = 0.On suppose que c ne dépend pas de la température et notons Tela température d’équi-libre :
Te =m1c1T1 + m2c2T2
m1c1 + m2c2
Si m1 = m2 et c1 = c2 alors Te =T1 + T2
2Question : Que vaut ∆S ? :On a :dU = TdS − PdV (≈ 0) = mcdT ⇒ dS = mcdT
T
Par conséquent :
∆S1 = m1c1 lnTe
T1
et
∆S2 = m2c2 lnTe
T2
Si on suppose que :m1c1 = m2c2 alors : ∆SΣ = mc ln T 2e
T1T2= mc ln (T1+T2)
2
4T1T2
Comme (T1 + T2)2 > 4T1T2 en effet :(T1 + T2)
2 − 4T1T2 = (T1 − T2)2 > 1
On conclut que : ∆SΣ > 0 transformation naturelle.Remarque :énoncé du deuxieme principe selon kelvin
Soit un moteur monotherme ( en contact avec une seule source de chaleur à la tem-pérature T0 qui décrit un cycle- Le premier principe :∆U = W + Q = 0 ⇒ W = −Q
- Le deuxieme principe :∆S = Q
T0
+ ∆Si = 0 ⇒ Q = −T0∆Si < 0⇒ W > 0 : travail reçu par le moteur.d’où énoncé de KELVIN :Transformer intégralement en travail la chaleur d’une source unique aucours d’une transformation cyclique est impossible .D’où il faut deux sources de chaleur donc machine ditherme.
CPGE/B.Mellal Page -27/ 40- -El.Filali.Said-
THERMODYNAMIQUE-M.P.S.I
7 MACHINES DITHERMES
7.1 INTRODUCTION
• Une machine thermique est un convertisseur d’énergie ,pour fonctionner continuellementen régime permanent,elle effectue des cycles qui peuvent être :
– réversible : machine idéale.– irréversible : machine réelle.
Pour décrire un cycle la machine a besoin d’un agent thermique par exemple le fréon CCl2F2
pour les réfrigérateurs ,l’azote,eau vapeur.• On appelle thermostat ou source de chaleur un système thermodynamique de grande ca-
pacité calorifique (C → infty) ,c’est à dire sa temperature reste constamment constante.
7.2 LES DIFFÉRENTES MACHINES THERMIQUES
Les machines dithermes fonctionnent entre deux sources thermodynamiques de temperaturedifférentes Tc pour la source chaude et Tf pour la source froide , avec Tc > Tf .
7.2.1 Moteur thermique
Il fournit un travail W au milieu extérieur en empruntant une quantité de chaleur Qc à lasource chaude et en restituant obligatoirement une quantité de chaleur Qf à la source froide
SC SFQ QMDT
MEW
c f
Transfert thermique pour un moteur
exemple : la locomotive à vapeur :- Qc reçue par la machine ⇒ Qc > 0.- Qf ,W fournit par la machine ⇒ Qf < 0 , W < 0.On définit le rendement ρ d’un moteur par :
ρ =∣
∣
∣
ce qu′on veutce qu′on paye
∣
∣
∣< 1
ρ = −W
Qc
Si ρ = 1 alors Qf = 0 impossible par Kelvin .
Le premier principe pendant un cycle ∆U = Qc + Qf + W = 0 ⇒ W = −(Qc + Qf )
donc ρ = −Qc + Qf
Qc
⇒
ρ = 1 +Qf
Qc< 1 (Qf < 0)
CPGE/B.Mellal Page -28/ 40- -El.Filali.Said-
7.2 LES DIFFÉRENTES MACHINES THERMIQUES THERMODYNAMIQUE-M.P.S.I
7.2.2 Machine frigorifique
Son rôle est d’extraire une quantité de chaleur Qfà la source froide en recevant un travailW du milieu extérieur et en fournissant une quantité de chaleur Qc à la source chaude
SC SFQ QMDT
MEW
c f
Transfert thermique pour un frigo
On a Qc < 0 ; Qf > 0 et W > 0.Exemple : réfrigérateur , climatiseur .On définit l’efficacité de la machine frigorifique :
e =Qf
W> 1 (par but de la machine)
Or le premier principe Qc + Qf + W = 0 ⇒ W = −(Qc + Qf )
e =−1
1 + QcQf
(> 1)
7.2.3 Pompe à chaleur
Son rôle est de fournir une quantité de chaleur Qc à la source chaude , en recevant un travailW du milieu extérieur et une quantité de chaleur Qfde la source froide .
SC SFQc Qf
MDT
ME
Transfert thermique pour une pompe à chaleur
W
On a Qc < 0 ; Qf > 0 et W > 0.
e = −Qc
W> 1 (par but de la machine)
Or le premier principe Qc + Qf + W = 0 ⇒ W = −(Qc + Qf )
e =Qc
Qc + Qf
(> 1)
CPGE/B.Mellal Page -29/ 40- -El.Filali.Said-
7.3 MACHINES DE CARNOT THERMODYNAMIQUE-M.P.S.I
7.3 MACHINES DE CARNOT
7.3.1 Définition
Une machine qui fonctionne sur un cycle réversible ditherme .remarques :
– Pour une machine réelle les transferts thermiques Qc et Qf sont monotherme : la tempé-rature de l’agent est différente de la température de la source : transformation irréversible.
– Si le cycle est réversible, les échanges thermiques avec les sources ne sont pas monothermesmais isotherme : la température de l’agent c’est la température de la source
On conclut que la machine de Carnot se fait entre deux isothermes et puisque la machine est
ditherme alors les autres transformations son adiabatiques et puisque le cycle set réversible donc
isentropique.
conclusion :
Le cycle de Carnot se compose de deux isothermes et de deux isentro-
piques
7.3.2 Représentation du cycle
En diagramme TS
Tc
Tf
S1 S2
S
T
cycle de Carnot en diagramme TS
Isotherme T=Tc
Isotherme T=Tf
adia +
rever =
isentropique
isentropique
recepteurmo t eu r
On a :Qc = Tc∆S =
∫ S2
S1
Tc dS > 0
Qf = Tf∆S =∫ S1
S2
Tf dS < 0
}
⇒ Qc + Qf > 0 ⇒ W < 0
d’où si le cycle est décrit dans le sens horaire alors il est moteur
• Â moteur• Á recepteur
CPGE/B.Mellal Page -30/ 40- -El.Filali.Said-
7.3 MACHINES DE CARNOT THERMODYNAMIQUE-M.P.S.I
En diagramme PV
T1
T2
isotherme
isotherme
isentropique
isentropique
P
V
Rappel :
γ =χT
χS> 1
de même : χT = −1
V
∂V
∂P)T et χS = −
1
V
∂V
∂P)S
et puisque χT et χS sont positifs alors :
∂P∂V
< 0
ainsi :
(∂P∂V
)S < (∂P∂V
)T
La pente d’une isentropique est plus forte que celle d’une isotherme .remarques :
S
T
CPGE/B.Mellal Page -31/ 40- -El.Filali.Said-
7.4 EXPRESSIONS DES RENDEMENTS THERMODYNAMIQUE-M.P.S.I
– Une isentropique ne peut pas couper une isotherme deux fois, en effet onaura du travail avec une seule source de chaleur (impossible par Kelvin)
– De même une isotherme ne peut pas couper une isentropique deux fois car
en aura un travail moteur (impossible par Kelvin)– En un point donné en diagramme (PV) il ne passe qu’une seule isotherme
et une seule isentropique car la pente est unique.
W = −
∮
PdV ⇒ −W =
∮
PdV
{
> 0 si sens horaire
< 0 si sens trigonomtrique
conclusion :
La machine de Carnot est motrice si le cycle est décrit dans le sens
horaire en diagramme (PV) .
7.4 EXPRESSIONS DES RENDEMENTS
7.4.1 Machines de Carnot
7-4-1-1- Moteur de Carnot :
ρ =Qc + Qf
Qc= 1 +
Qf
QcOr :Qc = Tc(S2 − S1) et Qf = Tf(S1 − S2)d’où le théorème de Carnot :
ρc = 1 −Tf
Tc< 1
Toutes les machines thermiques fonctionnant de manière re-
versible en échangeant de la chaleur avec deux sources de tem-
peratures Tc et Tf ont le même rendement ρc = 1 −Tf
Tcremarque :• Si Tf = Tc (une seule source de chaleur) alors ρ = 0 =⇒ W = 0• Le rendement de Carnot est indépendant de la nature de l’agent ther-mique , il ne dépend que de la température des deux sources.
énoncé du deuxieme principe selon Thomson :Une machine thermique ne peut fonctionner de manière mo-
trice en échangeant l’énergie thermique avec une seule source.
de la même façon on trouve pour :
CPGE/B.Mellal Page -32/ 40- -El.Filali.Said-
7.4 EXPRESSIONS DES RENDEMENTS THERMODYNAMIQUE-M.P.S.I
7-4-1-2- La machine frigorifique
e =−1
1 + Qc
Qf
on tire que :
ec =1
TcTf
− 1=
Tf
Tc − Tf
> 1
7-4-1-3- La pompe à chaleure = Qc
Qc+Qfon tire que :
ec = 1
1 −Tf
Tc
= TcTc−Tf
> 1
7.4.2 Machines Réelle
ρ′ = −W ′
Q′c
=Q′
c + Q′f
Q′c
= 1 +Q′
f
Q′c
Or le deuxieme principeQ′
c
Tc+
Q′f
Tf+ Si = 0 (cycle)
=⇒Q′
f
Tf= −
Q′c
Tc− Si
En effet : ΣQi
Ti= −Si < 0 : énoncé du deuxieme principe selon Clausius (inéga-
lité de Clausius)
=⇒Q′
f
Q′c
= −TfS
i
Q′c
−Tf
Tc
=⇒ ρ′ = 1 −Tf
Tc−
TfSi
Q′c
=⇒ ρ′ = ρc −TfS
i
Q′c
=⇒ −ρ′ + ρc =TfS
i
Q′c
> 0
conclusion :
Le rendement ou l’efficacité du cycle de Carnot est une limite pour
toutes les machines thermiques réelles.
ρ ≤ ρc ‖ e ≤ ec
CPGE/B.Mellal Page -33/ 40- -El.Filali.Said-
THERMODYNAMIQUE-M.P.S.I
8 CHANGEMENT D’ÉTAT D’UN CORPS PUR
8.1 DÉFINITIONS
L
S G
fusion
solidific
ation liquefaction
vaporisation
sublimation
condensation
soit un corps pur fermé (m=cte,N=cte) en équilibre entre deux phases par exemple
(L-G).On pose :
– m = mℓ + mg
– xℓ =mℓ
mtitre massique de la phase liquide .
– xg =mg
mtitre massique de la phase gazeuse ; d’où :
xℓ + xg = 1
– v =V
mle volume massique .
– vℓ =vℓ
mℓvolume massique de la phase liquide .
– vg =vg
mgvolume massique de la phase gazeuse ; d’où :
v =Vg + Vℓ
m=
mgvg
m+
mℓvℓ
m
v = xℓvℓ + xgvg = xℓvℓ + (1 − xℓ)vg = xgvg + (1 − xg)vℓ
de la même façon pour les grandeurs extensives on trouve :
u = Um
= xℓuℓ + xgug
h = Hm
= xℓhℓ + xghg
s = Sm
= xℓsℓ + xgsg
CPGE/B.Mellal Page -34/ 40- -El.Filali.Said-
8.2 ISOTHERMES D’ANDROUS THERMODYNAMIQUE-M.P.S.I
8.2 ISOTHERMES D’ANDROUS
On comprime un gaz de masse m constante à différentes températures , dansle diagramme (PV) on obtient :
C
Tc
T1
T2>T1
T3>T2GL
L + GAB
MP1
P2
Pc
P
VVgVliq
* C :Point critique.* Tc : température critique .
* AC : la courbe d’ébullition ( apparition des premières bulles gazeuses).
* CB :courbe de rosé (disparition de la dernière goutte liquide ).* Pour T < Tc on a vℓ 6= vg : changement d’état de première espèce.
* Dans la zone de cœxistance des deux phases(L+G)la pression reste constante :c’est la pression de vapeur saturante Ps = Ps(T ).
* Pour T = Tc on a vℓ = vg :changement d’état de deuxième espèce.remarques :
* Pour T > Tc, on ne peut pas distinguer la phase liquide de celle du gaz : on
parle de l’état fluide.* Au point C on a :
(∂P
∂V)T=Tc
= 0 (asymptote horizontale).
(∂2P
∂V 2)T=Tc
= 0(point d’inflexion)
CPGE/B.Mellal Page -35/ 40- -El.Filali.Said-
8.3 CHANGEMENT D’ÉTAT EN DIAGRAMME (PT) THERMODYNAMIQUE-M.P.S.I
8.3 CHANGEMENT D’ÉTAT EN DIAGRAMME (PT)
T
P
T
Ceau
♦ S ⇌ G : (∂P
∂T) > 0
♦ L ⇌ G : (∂P
∂T) > 0
♦ S ⇌ L : (∂P∂T ) < 0, sauf pour : l’eau , bismuth,l’antémoine, germanium
,silicium ou (∂P
∂T) < 0.
♦ C = Point critique.
♦ T = Point triple : c’est le point de cœxistance des trois phases.♦ Au point T la pression et la température sont fixes .
Par exemple pour l’eau
{
T (273.16K − 613Pa)C(647.3K − 22.1 × 106Pa)
8.4 TRANSFERT THERMIQUE
T
GL
L + GAB
MP1
P
VVgVliq
⋄ Le premier principe : puisque la pression est constante dans un changement
d’état alors on préfère utilisé H au lieu de U.
CPGE/B.Mellal Page -36/ 40- -El.Filali.Said-
8.5 RÉGLES DES MOMENTS THERMODYNAMIQUE-M.P.S.I
⋄ sur le palier : P = cte =⇒ dH = δQeP = dL
∆H = QP = Lℓ−→g
Lℓ−→g : chaleur latente de changement d’état.⋄ ainsi la chaleur latente massique par :
∆hℓ−→g =∆Hℓ−→g
m=
Lℓ−→g
m= ℓℓ−→g
⋄ De même on a dS = δQT on définit l’entropie de changement d’état puisque la
transformation se fait à température constante par :
∆S = QPT
=∆Hℓ−→g
T=
Lℓ−→g
T
⋄ ainsi l’entropie massique de changement d’état par :
∆sℓ−→g =∆hℓ−→g
T=
ℓℓ−→g
T
remarque :
Sg ≫ Sℓ > Ss
8.5 RÉGLES DES MOMENTS
T
GL
L + GAB
MP1
P
VVgVliq
On a : v = xℓvℓ + xgvg et xℓ + xg = 1 donc :v = xℓ(vℓ − vg) + vg donc :
xℓ =vg−v
vg−vℓ= MP
NP
De même :
xg = v−vℓvg−vℓ
= MNNP
CPGE/B.Mellal Page -37/ 40- -El.Filali.Said-
8.6 FORMULE DE CLAPEYRON THERMODYNAMIQUE-M.P.S.I
On conclut que :NP =MN
xg=
MP
xℓdonc :
xℓMN = xgMP
c’est la règle des moments
8.6 FORMULE DE CLAPEYRON
P
T
Sur la courbe de changement d’état on admet la loi de Clapeyron :
dP
dT=
L
T∆V
exemple :le changement d’état : Lℓ−→g :dP
dT=
LℓÃg
T (Vg − vℓ)On suppose que :
• L est constante.•vg ≫ vℓ (toujours vérifié).
• la vapeur se comporte comme un gaz parfait (approximation grossière).
dP
dT=
LℓÃg
RTVg⇒
dP
dT=
LP
nRT 2
⇒dP
dT=
Lmolaire
R
dT
T 2
⇒dP
P=
Lmolaire
R
dT
T 2
⇒ lnP
P0= −
Lmolaire
RT
Ps = P0e−Lmolaire
RT
Ceci donne la pression de vapeur saturante en fonction de la température.
CPGE/B.Mellal Page -38/ 40- -El.Filali.Said-
THERMODYNAMIQUE-M.P.S.I
9 APPLICATIONS
9.1 COEFFICIENT CALORIMETRIQUES D’UN FLUIDE HOMO-GENE :cv,cp,ℓ eth
La Détente de l’hydrogène Au cours de l’évolution élémentaire et réversibled’une mole de fluide dont la pression P varie de dP et la température T varie de
dT ,cette mole de fluide échange sous forme de chaleur une énergie Q donnée par :
Q = Cp(T, P )dT + ℓ(T, P )dP = Cv(T, P )dT + h(T, P )dv
1. Ecrire en fonction de dT et de dP les variations élémentaires correspon-dantes dH et dS de son enthalpie et son entropie molaires.
2. Ecrire en fonction de dT et de dV les variations élémentaires correspon-
dantes dU et dS de son énergie interne et son entropie molaires.
3. Enoncer les deux principes de la thermodynamique.
4. Déduire que :
(∂T∂V
)S = −(∂P∂S
)V (1)
(∂T∂P
)S = (∂V∂S
)P (2)
ℓ = T (∂P∂T
)V (3)
h = −T (∂V∂T
)P (4)
(∂Cv∂v
)T = T (∂2P∂T 2 )V (5)
(∂CP∂P
)T = −T (∂2V∂T 2 )P (6)
5. le fluide considéré est de l’hydrogène gazeux. Ce gaz vérifie bien ,dans lesdomaines de températures et de pression considéré , l’équation d’état molaire
proposée par YANG et LEE :
P = − aV 2 −
RTB
ln(1 − bV
) (7)
CPGE/B.Mellal Page -39/ 40- -El.Filali.Said-
9.2 ETUDE D’UN FIL METALLIQUE ELASTIQUE THERMODYNAMIQUE-M.P.S.I
Les termes aV 2 et b
V sont des termes correctifs.
5-1- Comment écrit - on l’équation de YANG et LEE pour n moles de fluides,
en fonction du volume V,de la pression P ,la température T et de n .
5-2- Démontrer que l’équation (7) peut être mise , à des termes correctifs
prés sous la forme :PVRT = 1 + B1(T )P (8)On donne le développement du viriel du fluide considéré en fonction deP d’une part et de 1
V d’autre part :PVRT = 1 + B1(T )P + B2(T )P 2 + . . . .PVRT = 1 + C1(T )
V + C2(T )V 2 + . . .
On rappelle que ln(1 + x) = x − x2
2 + x3
3 pour x << 1
5-3- Discuter les cas limites pour ces deux développements.
5-4- Déterminer l’expression de C1(T ) en fonction de a, b, R et T.
5-5- Déterminer une relation entre C1(T ) et B1(T ).
5-6- Déduire des questions précédentes l’expression de B1(T ) en fonction dea, b, R et T.. Dans toute la suite du problème on utilisera la formule
simplifiée(8) de l’équation d’état de l’hydrogène.
6. Déduire des relations (1) et (8) l’expression des coefficients Cp(T, P ) et
l(T, P ) en fonction de R de T et de B1(T ) et éventuellement de sa dérivée.On supposera que Cp(T, P ) tend vers une valeur C0 indépendante de la tem-
pérature lorsque la pression tends vers 0.
7. Déterminer à une constante prés l’expression de l’enthalpie molaire H(T, P )et de son entropie molaire S(T, P ) du fluide en fonction de R, C0, T, P, B1(T )et .
8. Vérifier en utilisant les résultats de la question 4-6-que :
H(T, P ) = C0T + P + H0.S(T, P ) = C0 ln T − R ln P + S0
9.2 ETUDE D’UN FIL METALLIQUE ELASTIQUE
CPGE/B.Mellal Page -40/ 40- -El.Filali.Said-