Thermodynamique · 2020. 3. 19. · Application 2 Conduction thermique entre deux sph eres...

Thermodynamique

Boltzmann(1844–1906) Fourier(1768-1830) Planck(1858-1947)

19 mars 2020

TABLE DES MATIERES

1 PHENOMENES DE TRANSPORT THERMIQUE 2

1.1 INTRODUCTION : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Rayonnements thermique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 Transfert convectif (convection) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.3 La conduction ou diffusion thermique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 DIFFUSION THERMIQUE : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Flux thermique - Loi de Fourier : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2 Equation de la diffusion thermique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 RESOLUTION DE L’EQUATION DE DIFFUSION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1 Regime stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.2 Creation d’entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.3 Regime sinusoıdal force : onde de temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.4 Cas du regime non permanent : temperature de contact . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 TRANSFERT CONDUCTO-CONVECTIF : LOI DE NEWTON . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 RAYONNEMENT DU CORPS NOIR : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5.1 Flux reflechi, absorbe, transmis et flux radiatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5.2 Le corps noir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5.3 rayonnement du corps noir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5.4 Le flux total rayonne par le soleil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.5 Flux radiatif entre deux corps noirs en influence totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1

CHAPITRE 1

PHENOMENES DE TRANSPORT THERMIQUE

1.1 INTRODUCTION :

La quantite de chaleur ou transfert thermique est l’energie de nature microscopique echangee a traversla surface qui delimite un systeme. Il existe trois modes de transfert thermique :

1.1.1 Rayonnements thermique :

Tout corps porte au temperature T emet un rayonnement (onde EM) dont la frequence et l’intensitedependent de la temperature.

1.1.2 Transfert convectif (convection) :

La convection est attribuee a un deplacement global (macroscopique) de matiere et concerne les liquidesou les gaz. elle resulte du fait que le fluide en contact avec la source chaude possede en general une densiteplus faible que celle de fluide en contact avec source froide, ceci engendre les courants macroscopique dematiere,et par consequent un transfert thermique.

1.1.3 La conduction ou diffusion thermique :

Contrairement a la convection, c’est un transfert thermique sans deplacement de matiere. Elle est dueaux echanges des energie microscopique entre les particules par choc. Elle est bien observable dans les solde,car elle n’est pas masquer par la convection.

remarque 1 En general, un transfert thermique se fait sous les trois modes simultanement.

2

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1.2 DIFFUSION THERMIQUE :

1.2.1 Flux thermique - Loi de Fourier :

a) Mise en evidence experimentale : Experience de Ingen Housz

L’experience du physicien hollandais J. Ingen Housz, quidate de 1789, permet de comparer la diffusion thermiquedans plusieurs materiaux metalliques. On la realise faci-lement en enduisant de cire des tiges metalliques (cuivre,aluminium,fer, zinc), geometriquement identiques, dont uneextremite est en contact avec un thermostat, par exempleun bain d’eau bouillante.

On constate que la temperature, en des points homologues sur les tiges, augmente au cours du temps,mais plus ou moins rapidement d’une tige a l’autre.il n’y a pas de deplacement global de matiere, pas devariation de l’energie macroscopique (Ec + Epotext) et pas de travail recu, ce flux thermique est un fluxd’energie interne non convectif.

b) Vecteur densite de courant thermique :

Soit un milieu (gaz,solide ou liquide), de volume V delimite par une surface S.Le flux thermique ϕth(s’exprimeen W) est la quantite d’energie qui traverse une surface S par unite de temps.Pendant une duree dt, l’energie qui traverse S vaut δQ = ϕth.dt.

c) Loi de Fourier :

remarque 2 le courant thermique est d’autant plus grand que l’inhomogeneite de temperature est importante(cf la proportionnalite au gradient de la temperature).Il a le sens des temperatures decroissantes (cf le signe [-] de la loi) : le transfert thermique a lieu des zonesles plus chaudes vers les zones les plus froides et tend donc a homogeneiser la temperature.

Voici quelques ordres de grandeur de la conductivite thermique selon les milieux ( en W.m−1.K−1) :cuivre 390 ; acier inox 16 ; verre 1,2 ; gaz dans les conditions usuelles : 3.10−2 ; polystyrene expanse : 10−3.

remarque 3 Les deux phenomenes (thermique et electrique) ne sont pas independants.Les metaux qui ontune bonne conductibilite thermique possede aussi une bonne conductibilite electrique : les deux conductibilitessont du a l’existence des electrons.

Page 3


Thermique Electrique

ϕth =∮S

−→j th,−→ds I =

∮S

−→j−→ds

−→j th = −λ

−−→gradT

−→j = −γ

−−→gradV

Rth =T2 − T1ϕth

Rele =V2 − V1

I

1.2.2 Equation de la diffusion thermique :

On considere un corps homogene de masse volu-mique ρ de conductivite thermique λ et de capa-cite thermique massique C. Les grandeurs ρ, λ etC sont supposees constantes dans le domaine detemperature etudie.

a) Conduction pure unidimensionnel :

la temperature du materiau T ne depend que de l’abscisse x et du temps t.Soit alors un cylindre elementairede section S compris entre les abscisses x et x + dx.Nous allons effectuer un bilan energetique entre les instants t et t+dt sur la ”tranche” elementaire deconducteur comprise entre les abscisses x et x + dx :D’apres le premier principe de la thermodynamique dU = δQ+ δW

— δW = 0 car le corps est un solide rigide.— s’il existe une source de chaleur dans le cylindre liberant la puissance volumique µ(x, t) :

δQp = µ(x, t)dSdxdt

— le transfert thermique entrant dans la tranche de conducteur est :

— le volume S dx de conducteur, de capacite thermique massique C, de masse volumique ρ, voit sonenergie interne varier de

dU = ρCSdxdT

ρCSdxdT = λ∂2T (x, t)

∂2xdxdSdt+ µ(x, t)dSdxdt

Apres simplification par S et dx, il reste :

ρC∂T (x, t)

∂t= λ

∂2T (x, t)

∂2x+ µ(x, t)

Page 4


b) Generalisation :

Dans le cas a trois dimensions on raisonne sur un volume V delimite par la surface fermee S.l’equation dediffusion sera (sans terme de production µ(x, t) = 0) :

∆T − 1

a

∂T (x, t)

∂t= 0

Avec a =λ

ρC: la diffusivite thermique.

1.3 RESOLUTION DE L’EQUATION DE DIFFUSION

1.3.1 Regime stationnaire

a) Systeme unidimensionnel, sans terme de production, en regime stationnaire :

Soit un tige homogene cylindrique (cf. figure 1) de section S, de longueur L, et dont les extremites sontmaintenues aux temperatures T1 et T2 (T1 > T2). Nous supposons de plus qu’il n’y a aucun echange thermiqueentre la tige et le milieu exterieur par la surface laterale du cylindre (isolation thermique).

Le regime est stationnaire, la temperature est donc independante du temps. Le probleme est unidimensionnel,la temperature ne depend donc que de x. L’equation de la chaleur en absence de terme de production s’ecritalors :

d2T

dx2= 0

la temperature est donc une fonction affine (cf. figure 2) de x :T (x) = ax+ b.Les conditions aux limites permettent de determiner a et b :T (0) = T1 et T (L) = T2

T (x) =T2 − T1L

x+ T1

Soit λ la conductivite thermique du materiau constituant la tige. Le vecteur densite de courant thermique−→j th a travers la section S est :

−→j th = −λ

−−→gradT = −λT2 − T1

L−→e x ⇒ −→

j th est constant.

le flux thermique ϕth qui traverse la tige est :

ϕth =

∮S

−→j th,−→ds = λ

T1 − T2L

S ⇒ ϕth est constant

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a) Resistance thermique :

Application 1 Double vitrageOn ne considere que des regimes permanents, independant du temps.L’interieur d’une piece est separe del’exterieur par une paroi vitree de surface S, orthogonale a l’axe (Ox), et dont le verre a une conductivitethermique λ. Ses faces interne et externe sont respectivement aux temperatures Ti et Te avec Te < Ti.

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Premiere partie : On ne tient compte que de la conduction.

1. La paroi est une vitre simple d’epaisseur e. Evaluer le flux thermique ϕ1 sortant de la piece a traverscette paroi en fonction de λ, S, e, Ti et Te. Calculer la resistance thermique Rth de la paroi vitree.

2. La paroi est un ensemble de deux vitres de meme epaisseur e, separees par une epaisseur e’ d’air, deconductivite λ′. thermique

(a) Evaluer le flux thermique ϕ1 sortant de la piece, puisϕ2

ϕ1.

(b) A.N : Te = 270k , Ti = 292k , e = e′ = 3mm , λ = 1, 2W.m−1.k−1 , λ′ = 0, 025W.m−1.k−1.

Calculerϕ2

ϕ1et les temperatures T1 et T2 des faces en regard des deux vitres.Representer graphi-

quement les variations de la temperature en fonction de x dans le double vitrage.

Application 2 Conduction thermique entre deux spheres concentriquesConsiderons un materiau homogene compris entre deux spheres concentriques de centre O, de rayons a et b(a < b),de conductivite thermique λ, de capacite thermique massique c et de masse volumique ρ. Les paroisspheriques de ce materiau sont maintenues aux temperatures T (r = a) = T1 et T (r = b) = T2 et on supposeT1 > T2.

1. Ecrire l’equation aux derivees partielles que verifie la temperature T en un point M, a l’instant t.

2. Determiner, en regime permanent :

(a) la temperature T(r) en tout point M du materiau.

(b) la puissance P transferee entre les deux spheres de rayons a et b.

(c) la resistance thermique Rth de ce conducteur.

1.3.2 Creation d’entropie

Le systeme est stationnaire (U, H, S sont independant du temps)mais n’est pas en equilibre(la tempera-ture n’est pas uniforme). On a donc creation d’entropie dans le systeme.On defini l’entropie dans le systemepar unite de volume et de temps :

σp =δSp

dτdt

D’apres le bilan entropique : dS = δSr + δSp = 0Or,

δSr =δQ(x+ dx)

T (x+ dx)+δQ(x)

T (x)

D’apres le bilan energetique :

dU = δQ(x+ dx) + δQ(x) = 0

D’ou, δSp = δQ(x)

(1

T (x+ dx)− 1

T (x)

)D’apres la loi de Fourier : δQ(x) = jthdsdt et jth = −λ∂T (x)

∂x

δSp = λdxdtds1

T 2

(∂T

∂x

)2

σp =δSp

dτdt=

λ

T 2

(∂T

∂x

)2

> 0

Page 7


1.3.3 Regime sinusoıdal force : onde de temperature

Le sous-sol est considere comme un milieu semi-infini, ho-mogene, de conductivite thermique λ, de masse volumiqueρ, de capacite thermique massique c,situe dans le demi-espace x > 0.On suppose que la temperature de la surface du sol (plan x= 0) est soumise a des variations sinusoıdales.

T (t) = T0 + θ0cosωt

La temperature oscille donc entre une temperature maxi-male T0 + a et une temperature minimale T0 − a, avec uneperiode τ : T0 peut representer une moyenne journaliere, etdonc τ = 1jour , ou une moyenne annuelle, et τ = 1an...

Determinons la temperature T(x,t) d’un point de profondeur x, en regime sinusoıdal force (on utilisera unenotation complexe).on pose le changement de variable θ(x, t) = T (x, t)− T0.

On voit bien qu’a une profondeur de quelques δ,la fluctuation de T(x,t) est pratiquement negligeable.

1.3.4 Cas du regime non permanent : temperature de contact

Un probleme interessent est l’interpretation de la sensation de chaud et de froid que l’on constatelorsqu’on touche des materiaux differents qui sont a la meme temperature.Considerons le contact de deux materiaux a des temperatures differents : T1 < T2 a partir de l’instantinitial ou les deux corps sont en contact, il y a diffusion thermique du corps 2 vers le corps 1.cherchons latemperature Tc de contact entre les deux corps.

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On pose : θ1 = Tc − T1θ1 = T2 − Tc

Comme le flux thermique est le meme dans le deux materiaux en x = 0, on a a un instant t :

La temperature de contact est la temperature moyenne des temperature des deux materiaux, ponderes parleurs effusivites.

cuivre acier inox bois corps humaine

b.103(S.I) 36,5 8 0,34 1,6

Application 3 CNC-physique 2-MP2008.• La temperature de la main est T1 = 37C. Calculer T0 pour un contact main-bois puis T ′0 pour un contactmain-acier dans les deux cas suivants et conclure :

— T2 = 100C (sensation de chaud) ;— T2 = 10C (sensation de froid).

Commenter les resultats obtenus.• Pour disposer d’eau fraıche a boire, deux bouteilles de 1 litre chacune sont placees dans un frigo ou regneune temperature de 5 C environ. L’une des deux bouteilles est en verre, l’autre en plastique.Au moment de se servir au frigo, que l’on suppose en equilibre thermodynamique, on se rend compte qu’autoucher, la bouteille en verre est plus froide que la bouteille en plastique.L’eau contenue dans la bouteille enverre est-elle plus fraıche ? Expliquer.

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1.4 TRANSFERT CONDUCTO-CONVECTIF : LOI DE

NEWTON

On etudie le cas ou le materiau etudie (Paroi) est en contact avec un milieu exterieur (Fluide) detemperature TF . On admet souvent que les echanges d’energie a travers la surface du materiau sont regispar une loi lineaire, appelee loi de Newton :

remarque 4 On peut montrer que h =λFe

ou λF est la conductivite thermique du fluide et e l’epaisseur

de la couche limite.

remarque 5 On associe une resistance thermique a l’echange conducto-convectif :

Rth =TP − TFϕth

=1

hS

Application 4 Double vitrage (suite)Deuxieme partie : En plus de la conduction etudiee dans la premiere partie, on doit tenir compte desechanges thermiques superficiels entre le verre et l’air. Une surface de verre d’aire S, a la temperature TS,echange avec l’air, a la temperature Tf , le flux thermique

Φ = hS(TS − Tf ) avec h > 0

1. Quelle valeur implicite donnait-on precedemment a h lorsqu’on confondait TS et Tf .

2. Montrer que ces echanges superficiels introduisent une resistance thermique Rth. Donner l’expressionde Rth.

3. Dans la premiere partie les temperatures de l’air a l’interieur et a l’exterieur sont T ′i et T ′e. Soit he lecoefficient d’echange entre le verre et l’air exterieur et hi celui relatif aux autres contacts verre-air.Les flux Φ1 et Φ2, des questions 1) et 2) (premiere partie) deviennent respectivement Φ′1 et Φ′2.ExprimerΦ′1 et Φ′2 en fonction des donnees.

A.N : hi = 10W.m−2.k−1 et he = 14W.m−2.k−1. CalculerΦ′2Φ′1

. Conclusion.

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1.5 RAYONNEMENT DU CORPS NOIR :

Tout corps chauffe emet par sa surface exterieure un rayonnement electromagnetique dont la puissanceest fonction de sa temperature : C’est le rayonnement thermique.

1.5.1 Flux reflechi, absorbe, transmis et flux radiatif

Lorsqu’un recepteur recoit un rayonnement ther-

mique, une fraction α =Φr

Φidu flux d’energie

incident Φi est reflechie ou diffusee, une fraction

de ce flux β =Φa

Φiest absorbee par le recepteur

et une fraction γ =Φt

Φiest transmise. D’ou la

relation :α+ β + γ = 1

— Un milieu est dit transparent si tout le flux incident est transmis : Φi = Φt.— Un milieu est dit opaque s’il ne transmet aucune fraction du rayonnement incident Φt = 0.— un milieu opaque est parfaitement reflechissant (Miroirs) si Φa = 0.— un milieu opaque est parfaitement absorbant (Corps noir) si Φr = 0.

Le corps opaque est en equilibre radiatif avec le rayonnement siΦR = 0 c’est a dire Φa = Φe.

remarque 6 Si Φr = 0 pour un corps opaque en equilibre radiatif : Φi = Φe

1.5.2 Le corps noir

Ce corps est appele ainsi car il ne reflechit pas la lumiere. S’il ne reflechit pas la lumiere, il doit absorbertoutes les radiations incidentes sur sa surface (absorbeur parfait) ; par consequent, pour realiser l’equi-libre energetique, doit entierement restituer l’energie sous forme de rayonnement. C’est donc egalement unemetteur parfait.

Definition 1

Page 11


Pour modeliser le corps noir,on realise une cavitemetallique cubique fermee de cotes a dont noirlaquelle on pratique une petite ouverture. Toutrayonnement penetrant dans la cavite subit unemultitude de reflexions et demeure piegee.

1.5.3 rayonnement du corps noir

Considerons le rayonnement a l’interieur d’une cavite dont les parois sont maintenues e une temperatureT.A l’equilibre,du fait des multiples reflexions du rayonnement sur les parois, ils s’etablissent des ondesstationnaires dans la cavite d’energie volumique spectrale pour des frequences comprises entre ν et ν + dν :

u(ν, T ) =dN

dνE

oudN

dνrepresente le nombre d’oscillateurs qui emettent un rayonnement de frequence comprise entre et E

l’energie moyenne d’un oscillateur.

a) Interpretation classique : Interpretation de Rayleigh-Jeans

Application de la statistique de Boltzmann ou un oscillateur (i) possede l’energie Ei avec la probabilite :

Pi =1

Zgiexp (−βεi)

L’energie moyenne de l’ensemble des oscillateurs est egale a :

E =∞∑n=0

PiEi

La Physique classique nous predit que, pour un gaz de particules en equilibre thermique a la temperatureT,on associe a chaque terme dans l’energie totale du gaz la quantite kT/2 par degre de liberte de la molecule(loi de l’equipartition de l’energie). Pour nos ondes stationnaires, l’energie totale EM d’une onde stationnairecontient deux termes quadratique (comme pour un oscillateur a ressort). Nous avons donc : E = kT .

Cherchons le nombre d’ondes stationnaires creentdans la cavite par unite de volume pour des frequences com-prises entre ν et ν + dν :L’etude des ondes stationnaires, dans une cavite metalliquecubique fermee de cotes a, conduit a une expression de la fre-quence mettant en jeu trois nombres entiers positifs (quan-tification des modes).

νnx,ny ,nz =c

2

√n2xa2

+n2ya2

+n2za2

Il est possible de donner une representation dans un hui-tieme d’espace (coordonnees toutes positives) dont les axessont gradues en nx, ny et nz. Les trois entiers positifs nx, nyet nz definissent en effet un mode par un point.Pour un intervalle de frequence [ν, ν+dν], le nombre d’ondesstationnaires est :

N(ν) = 2× a3 × 1

8× 4

3π ×

(2ν

c

)3

V = a3 etant le volume de la cavite.

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D’ou,

dN

dν=

8πν2

c3

La densite spectrale d’apres Rayleigh et Jeans s’ecrit :

u(ν, T ) =8πν2

c3kT

a) Interpretation de Planck(1900) :concept de l’interaction matiere – rayonnement

Planck a postule (sous forme d’hypothese non remise en cause depuis 1900) qu’un oscillateur (lie a la paroide la cavite) emet ou absorbe le rayonnement par quantites discretes En = nhν. La valeur moyenne del’energie de la population d’oscillateurs est modifiee :

E =

∑∞n=1En exp(−βEn)∑∞n=1 exp(−βEn)

=hν

exp(βhν)− 1

et la densite d’energie d’apres Plank est donc donnee par :

u(ν, T ) =8πν2

c3.

hν

exp( hνKT )− 1

remarque 7 Pour un intervalle [λ, λ+ dλ], la densite s’ecrit :

u(λ, T ) =8πhc

λ5.

1

exp( hcKTλ)− 1

Cette fonction rend bien compte du resultat experimental et on retrouve la loi de deplacement de Wien (λmT = 3000µm.k) ainsi que la loi de Stefan etablie anterieurement et qui exprime que la puissance rayonneepar unite de surface est :

ϕs = σT 4

σ = 5, 67.10−8W.m−2.k−4 etant la constante de Stefan- Boltzmann.

1.5.4 Le flux total rayonne par le soleil

Le flux total rayonne par le soleil de rayon Rs par le soleil de rayon dans toutes les directions est :directions est :

Φsoleil = σ4πR2sT

4s

La Terre recoit une fraction de rayonnement solaire egale a l’angle solide sous lequel la Terre est vue depuisle Soleil divise par 4π d’ou

ΦTerre = σ4πR2sT

4s

Ω

4π

Application 5 MP MINES Physique 1 - 2003

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1.5.5 Flux radiatif entre deux corps noirs en influence totale

Considererons deux surfaces noires S1 et S2 en influencetotale.Si le flux du corps (1) est totalement absorbe par lecorps (2) on aura :

Φ1→2 = σS1T41 et Φ2→1 = σS1T

42

Le bilan du flux radiatif aura pour expression :

∆φ = Φ1→2 − Φ2→1 = σS1(T41 − T 4

2 )

Application 6 MP CCP Physique 1 - 2003

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