Theory of unstable laser modes: edge waves and fractality

10
Theory of unstable laser modes: edge waves and fractality Michael Berry a, * , Cornelis Storm b , Wim van Saarloos b a H.H. Wills Physics Laboratory, Tyndall Avenue, Bristol BS8 1TL, UK b Instituut-Lorentz, Leiden University, P.O. Box 9506, 2300 RA Leiden, Netherlands Received 15 June 2001; received in revised form 18 July 2001; accepted 22 July 2001 Abstract For large Fresnel numbers N, unstable laser modes are highly irregular and resemble fractals. To explore this, we derive an explicit formula for the lowest-loss mode of a one-dimensional laser i.e. where the cavity is two dimensional) in terms of edge-diracted waves, and demonstrate its accuracy for large N. Between the size a of the mirror outer scale), and the inner scale a=N , there is no distinguished scale, and the graph of mode intensity has a fractal dimension close to 2. Near the inner scale, the scaling is scale dependent, and the crossover is described by an explicit formula for a `local fractal dimension' DK, describing the mode on scales near Dx a=2pNK . As K increases through the inner scale K 1, DK decreases from 2 when K 1 to 1 when K 1 re¯ecting the smoothness of the mode on ®ne scales). Ó 2001 Published by Elsevier Science B.V. Keywords: Fractals; Unstable lasers; Edge waves; Asymptotics 1. Introduction In a stable laser, where the cavity is bounded by concave mirrors, the intensity pro®le of the lowest- loss mode, regarded as a function of a transverse coordinate x perpendicular to the symmetry axis, is closely approximated by a narrow gaussian, and the edges of the mirrors play a negligible role [1]. If one of the mirrors is reversed Fig. 1), the laser becomes unstable, and the mode spreads to ®ll the space between the mirrors, with energy leaking away beyond their edges. It was observed many years ago [2,3] that the pro®les of these unstable modes are irregular, and more so as the wave- length k 2p=k decreases. Recently, it was suggested [4,5] that the re- peated geometrical magni®cations associated with the instability might imply that the modes have a fractal structure, and an attempt has been made [6] to calculate the fractal dimension D of the inten- sity pro®le by numerical and analytical means. The self-similarity associated with the magni®cation has been studied in Ref. [7]. Our purpose here is to examine more carefully the scaling structure of the lowest-loss mode of an unstable laser, over the range from the `outer scale' Dx outer a down to the `inner scale' Dx inner kL=a, where a is the size of the feedback small) mirror and L is the distance between the mirrors. On scales smaller than Dx inner , the mode is a smooth function of x. As we show in Sections 3 and 4, the mode is indeed a fractal, in the usual sense that there is no distinguished scale between Dx outer and Dx inner . In Section 4 we show that successive 1 October 2001 Optics Communications 197 2001) 393±402 www.elsevier.com/locate/optcom * Corresponding author. Fax: +44-117-925-5624. 0030-4018/01/$ - see front matter Ó 2001 Published by Elsevier Science B.V. PII:S0030-401801)01455-9

Transcript of Theory of unstable laser modes: edge waves and fractality

������ �� ��� �� ���� ����� ���� ���� �� ����������

������� ����� ���� ������ ����� � ��� �� �������

� ���� ����� ����� �� ������� ������ ������� ������� ��� ���� �� ��������� ������!� ������ ���������� ��"� ��# $%&'� ()&& *� ������� +����������

�������� � !�� "##�$ �������� � ������ ���� �% !��� "##�$ ����&��� "" !��� "##�

��������

'�� ����� '���� �� �� +� ��� �� ���� ���� ��� ������ ��������� �� ���� �� �������( �� �)&���� ���� ��

������ � �)&����� ������� ��� ��� �����*�� ���� �� � ��*�������� ���� +�(�( ����� ��� ������ � ��� ��������,

� ���� �� ����*��-������ ����� �� ��������� �� �������� ��� ����� +( ������ ��� �.� � �� ��� ������ +�����

����,� �� ��� ��� ���� ��� � ����� � � ���������� ����� �� ��� ���&� �� ���� ������ �� � ������� ������

���� �� "( /��� ��� ��� ����� ��� ����� � ���� ��&����� �� ��� ������� � ����� �� � � �)&����� ������� ��� �

0����� ������� ������1 ����� ����� �� ��� ���� � ���� ��� �� � ���"����( 2 � ������ ������� ��� ���

���� � � �� ���� ������� ���� " ��� � � � �� � ��� � � � +��3����� ��� ������ �� ��� ���� � 4�

����,( � "##� 5� ����� � 6������ ������ �(7(

��,����- '������$ 8�� �� ����$ 6��� ����$ 2��&�����

� ���� ������

9 � �� �� ����� ����� ��� ������ � ����� ������� ������� ��� ������ &��4�� �� ��� �����*�� ����� �������� � � ������ �� � ���������������� # &��&�������� �� ��� ������� �)��� ������ �&&��)������ � � ����� ������ ����� ���� �� ��� ������ &��� � ������ �� ���� :�;( 9��� �� ��� ������ � ������� +'��( �,� ��� ���� ����� ��� ��� �� ��� ���� &���� �� 4�� ���&��� ����� ��� ������� ���� ����� ���<������ ���� ����� ����( 9� �� � ����� ������� ��� :"�=; ���� ��� &��4�� �� ���� ��� ������ ��� ���������� �� ���� � � ��� ����*����� � � "��� �������(

�������� �� �� ������� :>� ; ���� ��� ��*&����� ����������� ����4����� �������� ������� ��� ����� ����� ��&�� ���� ��� ���� ���� �������� ��������� �� � �����&� �� �� ���� :?;�� ��������� ��� ������� ������ . �� ��� ���*��� &��4�� � �������� �� ��������� ���( ������*��������� �������� ���� ��� ����4������� �� ������ � ���( :@;(

A�� &��&�� ���� � �� �)���� ���� ������������ ����� �������� �� ��� �����*�� ���� �� ���� �� ����� ���� ��� ���� ���� ��� 0����� ����1������� � � ��� �� ��� 0��� ����1 ����� � ���������� � � ��� �.� �� ��� ���� ��< +����, �������� � � ��� ������ ����� ��� ������( A���� ������ ��� ������ ��� ���� � � ����������� �� #( 2 �� ��� � ������ = �� >� ������� � ����� � �������� � ��� ���� �� ��������� � � ���������� ���� ����� ������� �������( 9 ������ > �� ��� ���� �������

� A��� �� "##�

A&��� ����������� �B@ +"##�, =B=C>#"

���(�������(���D������D�&����

������&���� ������( '�)� E>>*��@*B" * ?">(

##=#*>#�%D#�DF * �� ���� ������ � "##� 5� ����� � 6������ ������ �(7(

599� �##=#*>#�% +#� ,#�> *B

����4������ &������� ���� �� �� ����� ����� ������ ���� ������� � ������ � � "( /�������� �������� ��� ������� ����� ��-�������� ����� �������( 9� � &�� �� �� ��*��� � ��� ������� �������� � ��4�� � 0������������ ������1� ��&���� � ���� �� ����� �� ��������� ��� ������� �)&�������( +����*����� ��� ����� �&&��� �� ��&�� � &����� ����� � ����(,

�� � ��� ���� ������ �� ��&��� � �)&�������������� �)&���� ��� ��� ���� +������ ",������ � ��� ���&����� +����*����, ����� � �������� ��� �� ����� ���� ��� ���� �&������( ���� � ��&��4�� ����� �� � ������������ ����*�G�� ������ � H�����. :";� �� �� �� &�������G�������� ����� ��� 0�������*�����1 �����G���� ��������� :=;( ��� ������ ������ ���� ��� 4��������� � ��� ���� � � ����*��&������ ����*������ ����� ���� ���� ����� �� ��� ��� ���+��� ��� ��� ����� � ������������� &��&������,(����� ��� ��� ��&��4����� ���� �� �� � �� ���� �� �� �������( '���� � ��� ����� ��� � � ������� ���� �� � ��&������ ����������������������� ��� � ���� �� '���� �������( ��������� ����*� ���&����� ����� ��� ���� �����&������ ��-������ �� � ��������(

��� ����� �������� �� ��� �� ���� ��������� � �������� ���� ���� �� ��� �&��4������

������ ���� �� ��� ��� �� �-���( ��� � ���������& �� ���������� �� ��� ����*��-���������� ����� ��-������ � � ����� ������ +��*������� ���&���� �� �&�G�� �� ���� ���&����,$ �� �� ������� ��� :%; ���� ��� ������� ��� &��4�� � ����� ��� &��� � � �������� ������ �� ��� ���&� �� ������ �� � � =�" ��������� � � "( ��� �)&������ ���� ����� �� ������������� �� ��� �� ���� ����� ����� �� ���������� ��������� �� ����� I���1 ���� ���������� �)����� ��� ������� ����� �� �������������(

� ��� �� � �������

2������� �� ������ ���� ������ :�;� �������� ���� � ��������� ���*�������� � �����G������� ���� ����� � ���� ���& �� ��� ������+��� ��3����� �� ��� &��&������, ��� ��������� �� �� ������� ����� �& �� � ����� ���*��&���� � +��� ���� ���������,( '�� � ���& ���*���� ����� ��� ��� � ������� � ��� ����� "� ����� ���� ��< ������� ����� &���)��� &��&���*��� �� ������� # � ��� �� �� ���*����������� �� ��� ������� �G�����

����� ������������

"��

� � �

��

�� �)&�

"� ���

� �

�"������

�������� / � ��� ����4�����$ ��� � ��� �� ��*��� � �( ��� �G����� �&&��� �� �� ��� ������$ ��� ��� &��������� ��� �� � ������� ����+'��( �,�

� ����"� � "�"�"

� ���� >�"

�" � ��� �

�"�� ����� ��� ��� �G������ ��4� ��� '������ �� +( ��� ������� �&������ � 6G( +�, ��������� �������������� ����� �� ��� 4������������ ����� � � �� �� &�������� ������� ��� �� �� ����� �� ��� ���� �� ��� ������(��������� ��� � �(

�� ��� �� ���� 6G( +�, � ��� ���&����� ����� � �� � ����� ����� �������� ������ + �*���� ��� ��� �� ����� ���� ��� ������ �&�*

'��( �( 2 ������� ��� �� ���� ������( ��� ��� ������ ���� �

����� ����� &��� 5( �� ��������� ���� &��4�� �� ��� ����

������� ���� � ��� ��� � �(

=B> /� ���� �� ��� 0 "1��� 2�33��������� �$4 5(&&�6 )$)78&(

�����,( 9 ��� &�&�� �� ���� ��������� � ��������*�� ����� ����� ��� ������ ���� ������� ������ ���������� ��� ����� ��� � ����� ������(

/����������� ����� �� ���� ����� �&���� ���� ���� ����<�� ���� ���� ���� �� �������� �����('���� ��� ������� � 6G( +�, �� � �������.��� ����� �����*�� ���������� �� ��� ������� ��*���) ��������� � ��������.����( ������ ������ � ��&������ � � �������� '������ ��������� ������ �� � �����) ��������.���� &�� ���(����� 6G( +�, �� � ����� � ��������� ���������� ����� �� ������ ������ �#���� ��� �)��&���#��� � ��

� ���� ������������

"��

� � �

��

�� �)&�

"� ���

� �

�"�� ����

�# � �� �=�

��� 4�� ��� ������ ��� &��� ��� ����� �� �������� ������ ������� G���<��$ �� � ��� �� ����� �������*����� �����G�� :=;� �� ��� �� ��������� �� �� ����� �������� �� ��&������ :";(

��� � �� ��� ������� � 6G( +=, ����������&����� �� ��� &����&�� ����� ���� ��� �����*�.�� �� ��� ���� ��������*&��� &��� � � ��+����� ����� ��� ����� ��� ���� �� ���������,��� ��� ��� ��&��� � � ��( ��� ��������*&��� ����� ���� �����&�� �� ����������� �&*���� �� ������� ����������( 9� � � ����� ���������� ��� ����� ������� ���� ����� �����)����� ��� ��������� ���� �� �4���� �����

����� � �#���������

� ������

� �>�

����� ��� ���&����� ��������� �

� � ������

� � �� � �

��� ���&���� ����� ����� � ��� ����������������� �� ������ �� ���� ��� ���� �� ������� ��< ������ ����� ���� ���� ���& �� ��� ������� ����� �� ��� ����4�����( ��� ������������ 6G( + , � �����&���� � ���������� ��� �� ���� ����� :";( 9 2&&���) 2 �� ����� ������ ��� ��� ������ '������ ���&��� ������ ���������� ���������$ '��( " ��� ����

��� ����� �� 6G( + , ��� ���� � �������� ��*���&��� �� ��� ���������� ��� ��� G���� ���� �(

��� ��&��� ����� ���� �����&�� ��I���1 ���� ����$ ���� �� � �&&��)������ ������ ������.���� �� ��� &��� �� ��� �������('�� ��� 4�� ����� ��� &�������� ���� +���������� ����������� ����� ����,

����� � ������

� �

����������

"�

��)& �

"���� ���"

���� ���

�)& �

"��� ���"

��� ���

� � � �?�

9� � &�� �� �� �)��� 6G( +>, �� +?, � �*������ ������*����� ���� � ��

���

:";� �� ���

&���� &��&�� ��� �����*����� ������ � �J*����(

/�� ������ ��� ������� � �������� ���� ����������� ��&���� ������� ��������( '���� ��� �*��������� �� ��� � ��� ������ ��� ���� ���� ����� ���� �� ��� ����� ��� ����4��� � ������ ��� ������( ��� ��� ���� ��� ���� ������� ������������ ������� ������ ��� ��� '��*�� ������� ���� ����� ���� ��� �)��� ����������� 6G( +=,( ������ ��� ��&������ �� ��� �������� ��� ������ � � ������ ��

���

��� ��� ���

����� ����( ��� ��� ���� ��� ����&������6G( +?, ��� ��� ��������� �� 6G( +=, �� ��� �"�����=���� ���� �� � �J���� �� ������ ��� ��� ��*������*&��� ����� ���� ��� ��������� ���

'��( "( ��������� �� ��� ������ ��������� ��� +����< �����, ��

�������

+������� ���, � � ������� ��� � %� �������� ����

��� �&&��)������ +2(>, +��� �����,(

/� ���� �� ��� 0 "1��� 2�33��������� �$4 5(&&�6 )$)78&( =B

���������� ����� ��� ��&��� ���� ����� ���G������� �� �� ������� �� � �� � �*������� � ��� ���&����� �����( 5��������� �������� �� ������ �����&�� ���� ��-������� ��������� ��� &��&������ �� ��� ���� ����� ���������� 4�� �������� � &����� ���������� ���� �� ����� ���(

��� ����&������ �� ���� � ������� ������ �������� �� 6G( +=, � ��� � ��� �������������<� �� �������� ����� �� ��� �����������&��&������ �� ����4����� �� ���� �����

�������

� �

��

���� ��

�)&�

"� ����

� ���"

��� �� �"� ��

�������������"��

� �

��)& �

"���� �� ��"� �

��� �� �

� �@�

����� � ����� ��� ������*����� �����*� ��*��� ����� ���� ��� ��������*&��� &���� ��

� � �� ����# �"�

� ���"

���" � �%�

9 ��K����� ���� 6G( +=,� ��� ����� ���� ������ �������� �� ��� ������ ���� �

� ��� � �

�"�

��

����������

"�

� � ���

�������

���

���� ��

��� ��

������

� �B�

�����

� ���� �)& �

"���� ��"

��� �

� ��#�

/�������� �)&������� �� ��� �� ���� �������� ��� ���� ��� � � �� ��� ������ 6G( +%,C+�#, ���� ����� ���������� �� ���� ���� ���� � ��� �)��� �������� +=,( H������� ��� � ������ ������ ��� �&&��)����� �� �)��� ���������������( /�� �� ���� �)&��� ��� &��������� ��� ���� �� ��� �� �������� ��� �&&��������� 6G( +B, �� �&&��)����� ��� ����(

9&����� �� ��� ���� � 6G( +B, ��� ���� ������� � � � �������� �����( 2 � ������� ���

���� �������� ���� ������ ���� �� � � ���������� ���� ��������� ����� �������� ��*��� � ��� &������ ���� ���� �( ��� ��� �����&&�L 9� � ����� �� �� ��4� ��� ���� �0�������� �����1 ��� ��� +��������,���� �� ��

���� � ��&������

� ���

��� ����� �� ��������� ��� ������ � � ������� ������ ����(��� ��&&� ���

� � ���) � ��������"�����

� ��"�

'�� � � ���)� ����4����� �� � �������� ������� ���� ���� ����� ��-������ ��������� ��������� ��� ��� ���� ������( '������ �������� ���� � ���) ������ ��������� ��� ��������� � � 6G( +B,( 9� ��� ��� �� ���� ������������� ���� ���� ���� ��� ������� +� ���� ��� �� �� ����� � ���) �

���

,� ����� �� ���

���&��� �� ���� ��� ������� ����� ���� �� ���� � � ����� K���4�� �� ����� ��� ��&������� � ����� ��������( ��� � � <�� �� ���&*����� ��������� ��� ����*����� 0����������1 ���� ��� ��< �� ������� ��� ����� +�(�( �����*�����, ����(

��� ������� �� �&&��)����� �������� ��� ����� ���<� �� ������ �� ��& ��� �������� �� � ���)��� ������ ��� �� � ��� ���&����� �������*���( 9������ ������.���� �� ����� ��

���

� ��

� ��� ��� ��� ����� �� ��� ������

���� � ����"

��

����������

"�

� ����)

���

�������

���

���� ��

��� ��

������

� ��=�

��� ������� ����&����� ��� ����������� ���*�4����� +0������*������*�*������1 �-��� :@;,�� ��� ��� &��� �� ��-������ �-��� �������� ��������� ��� �����(

��� �)&������� � ���� 6G( +�=, ���� ��� ������������ � � ������� �� �� ���( ��� � ����*������ � '��( = �� >� ����� ��� ���&������ 6G( +�=, ���� ���������� ���&���� � ��*������.���� �� ��� +�������.��, �����) � 6G( +�,�� �)��� �������� �������� �� 6G( +=,( /��� ����

=B? /� ���� �� ��� 0 "1��� 2�33��������� �$4 5(&&�6 )$)78&(

�� � ��� ��� 0�)���1 ���������� ��� � �### ���������.���� ��G���� �� ���� � "###� "###�����)� ������ 6G( +�=, ������ ��� �� ��������(

� ������� �� ��� � �� ���� ���

���� ��� ��&�� �� �)&����� ������� +�=, � ����� �������� ��&�������� �� ���� ��� � �

'��( =( +�������,� 0�)���1 ���� ������� ������"� ���&���� � ��������.�� ��� ������� 6G( +�, +���, �� �������� ���� 6G( +=, +���,(

+ ������,� ���� ������� ���&���� ���� ��� �&&��)������ +�=,( 9 +�� ,� � �##$ � +���,� � "##$ � +���,� � ##$ � +���,�

� �###( 2�� ���������� ��� ��� � "(

/� ���� �� ��� 0 "1��� 2�33��������� �$4 5(&&�6 )$)78&( =B@

������ �� �� �� �� �� ���� ��� ����� ���������� ��� ����( '��� 6G( +�#,� ��� �)&��� � �������������� ���� � � G�������� ������ �� #� ��������� � ����� ������( ��� ���� ��� �� ���&��*����� � �������� � ��� '������ ������� ������� � �� �� ���� ������� :?; �� � �� �������� � ������ >( �� ��� ��& ��� ���&��)������ �� ��&��� � ���� ������ �������� ��� �������.���� �� ��� �)&���(

M������� ��� +��������, ���� �� �� ���*��&���� �� ��� ���� � � ��� ���� ���� �� �

���� �� � ��&������

� ��� �������

� ��� ��������"�� ���

� ��>�

��� ���� � � ����� �����&��� �� ��� ����� �*�������� ��� # �� ����� ��� ��� ��� ���������� ���� ���� �� #� ����� � ��� ��� ��� � ������( H������� ��� ���� #� �� ��� �� # ���� � �� �� �� ��&���� 6G( +�>, � ��� #*���*&���� ���� �� ��

���� � ����"�� ���

� �� �

9� � ������� �� ���< �� ���� ���� �� ���� �������� ���� �� ��

���� "��������"� �

"

�� ���� ��?�

�� �� ����� ������

���� � ����� ��������������� �"

� � �������

� ��@�

��� ����� ��������� +� � �, �����&�� �� � �"�� ����� �� ��� ����� ��������� +� � ���(�( � � ���) � 6G( +�",, �����&�� �� � � "�(

��� ���� �� �� � ���� � ������� ��� �*���� � � � ������( H������� � ������ ������*���� �� �� ������ ��� &������ � ������������ &��� &������ ��������� ��� � � ����������� ��� / ���� �� ����� �� � �������� ����� ���� �� � � �� ���� ����� � �����( ���� ���&���� � � � ������� �� � ��� ��� &����&������ ���� 6G( +�=, �� +�@, �

���� � �

�����

�������

��������� ��%�

2 ���� ���������� ��� ���� ��� � &��&��������� ��� ������� +���� � /*���&����, ������

���� � �

� � ��������������� �"

� � ��������������� �"

� ��B�

9� ���� ���� � ������� ������ ���� ������.� ���� � �� ��� ���&� �� �� �� 9� �� �� ��� ���"+�� ���( :B;, ���� ������� ������ ��� � ��� ����� � ��� &���� ���

����������� � �

� �"��"#�

+��� ��������� �� ��� ������ �� ���( :�#C�";,(��� � ��� � �� � &��� &���� ���� � ���� ��� ������� �� &�� ��� ������ ����� + ����� ������ �� ����� ����, ���� ����� �����&�� ��� &��� �������( 9����� ��� &������ +�B, ��������� ��� ��� ���� �� ���� � ��� ��� ����������������&���� �� � � "C �� ���= ��� ������� ���� � ��� ��� 4�� ����� ����� ��� ���� ������������&���� �� � � �(

��� ����� ��4�� � ���� ��1������ 9�������3������� �&���� � 6G( +"#,� �����

���� �

"

� � ��� � ���

� ��� �

�� �"��

��� ����� � ���� ���������� ����

���� � � �

"

� �"

� ���������������

� �"

�� �""�

'��( >( ����< ������ ����4����� �� '��( =�$ +��� �����,�

����4����� �� '��( =�( ��� ����� ���� �� ��&����� ���*

������� ��� �������(

=B% /� ���� �� ��� 0 "1��� 2�33��������� �$4 5(&&�6 )$)78&(

��� ������� � ��� ��� �����( '�� � ��� ������ ���� '���� �� �� +� ���� ����� ������ �� ��� �����*�� ���� ���� ���� ����� � ���"����( '��( ��� ��� ���� �� ������������� ������� ���� " �� �(

�� ����� �����< ���� ����� � ��� 3�)� ������ ��� ����� ���� �� � ������� ������ �� �&������ ���� � �� � &���� ���( 9���� �� 6G(+"#,� �� ����� ���� ��� ������� � �� � � ������ � � �����"�� ����� ��� ������� � ���� #$ ��� ��������� ��� ���� � � �� � � � >�"� :��;( �����*����� : ���� ��� &������ +�B,� �� ���������� ����� ������ �� �� � � ��� ������� �� 6G(+"�,� ���� �� �� �� � "���� ��-���� ���� 6G(+"",� ������ ���� ������ G���������� ��������(

A ���� ���� ����� ��� ����� �� ��� �)*������ ��� ������� ������ � � � "( H������������&� �� ������ ��� ������� ������ � �*������� �����G�� ���� ��&�� ���� � ����*����� ������ ���� ����� ��������� � ��������� � ��� ������� �� ����� ����� ��� ������� ��� ������� � &�� ��( ��� ������ 4*���� ������� � ��� �����G��� �����&���� ����� 4�� ���� ��� � �� � "�� ���� +��( 6G(+�?,,� ����� �

����� �"

���

� �� �"�" � ��

�" ��"�"=�

�� � ���������� � '��( ?( ��� ������ ���� ���� � � �� �&&������ " � � �( '��

� "� ��� �)��&��� ��� � =@�" � ��>% � � �� ������ � ����� � ����� ����� :>;(

� ������� ������������

/�� �� ����� �� ��� '������ ������� �� ������� ������ �� � ����� G����� ����� ��� &����&������ � ��� +��� ���� �� ���� ������ �� ���������� '������ ����� �� ;� ������ ��� ��� ������,( ��� �&&�� ����� � '��( @ ��� ���� ��� �

'��( ( ��� ����*��&���� ������ ���� +6G( +"",, ����*

������.�� ��� �� ���� ����(

'��( ?( N����� ����� +6G( +"=,, �����&���� �� ���

4�� ���� �� ��� ���� ��� ����4����� /(

'��( @( 8&&�� ������ &������ � ��� ��� ��� �����*�� ����

���� � � �###� � ��> +�(�( � " ? ?�=� ���) � "%,( M����

������ ��� &������ �������� ���� �## �G����� &���� + �����

����� B## �� ��##( +'�� �������� ��� ��� ����� ���� ��

��&����� ����������(,

/� ���� �� ��� 0 "1��� 2�33��������� �$4 5(&&�6 )$)78&( =BB

���� ���� � ��� &��� � ���&������� ��������(���� �� ��� �� �� ����&����� :?; � ���� ����� ��������� ����4�� '���� ����*��-������&�����$ ��� ���� �� ��� 0 ��1 �� � �������������� 6G( +�>, � ����� � � ��( ��� ��&� �" ����� �������*��� &��� �� ��� &������ �� ������� :?;� �� ����&����� �������� �� 6G( +"#, ���&���� � � =�" ��� ����� � ����������� �� �������� �� ����� ����� �� � ��� &������ �����(

H������� ��� ��&� �" � � ��������� ��������� ��� �)���&������� �� ��� ����� &������ ����� '������ �������� �� ��� ��������� ���� �������&���� ��( �� ������� ���� �� �&&�� ��� �*�������� ���� ���� ����� ���� � ������������ � ���� �� �( 2 ��� ����� ����� � '��( @���� ��� ������� ��� �� ������ ��� ��&��"( /���������� ������� �� �������� �����(�� ��� ������� &������ �� ����� ������� ���� ������� ���� �� ����� �� �� �� ������ �( H��� �����&� ��� ������ �������� ������ � ����� �� /����� �� � +��( 6G( +",,� ����� � ����&���������� ���� ���� +��( 6G( +�",, �� ������� ���������& �� ����� �����&���� '������ ��(

2 '��( % ���� ��� ����� � � ���� �������&���� &������( 9 ��� ���� ����� ��� ����� ����� ����� ��� ����� ��� � ������� �*���� ��� ����� ���� ������� ��4�� ��&� ���� �=� �����&���� �� ��� ���� �� ����� ������ �� ��� ������� ����� &������ ���������� +6G( +�B,,( ��� �������� &���� &������ ������� 4���� ���� � ��K��� �� &�������� ����� ��� &������ � ���� �� ��� � ������ ��� �(

��� ������� ����� ��� � � �� ���� � � �"���( ��� ����� �� ��&� �&&��� ������ ���&�� �&&���� ������ �� '��( � ����� ������������� �� ��� ����� �)&��� �� ��� &����&��������G������� �� ��� ����� ����������( ��� ���� � ��&����� &���( ��� . �&������ � � ������ �� ���� +��� �� '��( %, ���������� ����� � ���&����� �� ��� �)�������� ��&���.��( ��� �����*; �)������ ���� � � ��� ������ ��3��� ��� �������� ������ �� ���� ���� ��� ��� ����( ��� ��� ����*; ������������� � � � "� � ���4���� &�� �� ��� ����� �������� ����4����� �������� ���� ��������� ��� ������ �� ���� ���� ������ ��� ��� �������� ���� ������� � ����� ����� ������� ��*���� � � "( H������� � ��� ������� ������ �� � � "��� � �&&������� ��� ������������� ���� ������ � ����� �� � ��� &����������� +6G( +"",,(

� ����� ��� �����!�

��� ����*��&���� ����� �������� �������� � ��� ����� � � ���&��������� �������&������� �� ��G���� ����� �� ��� � ����������������� � ��������� �� ��� �����������*�&��� �����( ��� ���� ����� �������� � � ����� ���&������� �� ����� � ���� ���&����������� �� �� ��� ������� ��� ���< ��&����� �# +��( ��� �����< ����� 6G( +�>,,( 9 � ��� ���&������ ���<� ��� ����� �� 6����1 ����*���� ���� ����� ���� �� ��� �������� �� �������:�=;� � ����*4�� ����� ��� ����� ������( '���������� ��� ����� ����� ����� ���� ��*������ �� � 4)�� ���� ���� � ���� ����� ����( ��������� � ��� �� ���� ���� ��� ����� �*���� ���� � �� �)����� �����( 2���������� &������ ���� �)�� �� ������� ����� ���

'��( %( !����� ������ &������ ���� ��� � ���� �������� ����

# �G����� &���� + ����� ����� B## �� ��## +���

� � �###� � @">#?�"� ���) � BB,( ������ ������ �����������

&������ +�B,� ���� ���� ���� � 6G( +�?,( 9��� ����� �������

������ . +6G( +"",,� &������ ��������(

>## /� ���� �� ��� 0 "1��� 2�33��������� �$4 5(&&�6 )$)78&(

���� � ������� ���� �� ����� ����� ��� ��� ������ &������ � ���� �)��&�� ����� ��� ��������� � ���������� �)&�������(

A�� ����� &�������� �� � ����� �)&���*�������( ��� ��&��� &�������� ����� � �������( +�, ������ ��� ���� ������� ������"��� � ��� �� �� ��� �� ���� ���� � ���� ��&�������� ��� ���� ����� �� + �� /( +", '������ ����� ��������� ��� &���� &������ �� ������"+����� ����� ���� ������ ������� �������� �� ���&���� &������ �� ���� �����,( +=, 2������ ����&���� &����� ���� ��� ��� �� �� ����( +>,���&��� � ���C��� &��� �� ��� �������� &����&������ ���� ��� &�������� �� 6G( +�B,� ��������� ��� ������� ������� ������ " �� � +����������� � ������ >,� �� ��� ������� ���*����� ��� � � "���( �� �����&��� ���� ��� ��������� ��������� �)������ ���� � ��� �����*������� &�������� ����� �������� ���� � �&*&���� � ��������� ����� ������� ��� ��� ����������� ���� � ��� ��(

�����*��&���� ����� ��� ��� ��� ��������� �� � ������ ���� ��������������� :�>;(��� � ���� ������ ��������� ����� ����� ������-���� ������� ������ ��� �������� ����*����� ����� ����( 9� ����� � �������� �� �)&������� &�� ����� ���� ��� �� ���� ���� ���������������� �&���� �� �� ���� �� ��� �(

/���������� ��� ����� �������� �� ��� ������ � ���� � ��� �� ���&������� ��� ��&��4������ ������ �������( �� ���� �������������� ��� �&&���� ���� ���� ����� �*�� �� ���� ���� �� ��� ���� � ��� ��� ���-���� �� � ��� ��� �� �-��� ��� ����� � ��*���� +�� ��� ���������� &������� ������&��:%;,� � ��� ���� � ������� �������( ���������*������ ��� ���� ������� +�=, ���< ������ �� �����������C����� ��� ������ :��;( ���� �*����� ��&����� ����4�����( H������� � �����������C����� ��� ��� ��� ���������� ������� ������������ �)&������� � ��� ������ � �'������ ����� �� ��� ����� � ������� ��������� ���� ���� ��� &��� �� ��� ���������� ������� G��������� �� ��� ���J���� �� ������ ��������� �����(

'�� ��� �����*�� ���� ���� �� �� ��� ������ ���� ���*�������� ������� ��� ������*���� �������� �� ���� &��� ��� �� �� ���� � ��&*

������ � � 4��� �� �� ����� �������� �������� ��� ��������� ���� &��� ����� ���������� ��� �� ������� ��� ���� �� ����� �����&��&����������� �� ��� �� �� � ��� �� ��*������ ��� ����� ��������( ��� ������ �� �*������� ����������� �&���� �� ���� � &� ������&�������(

��!����� �������

������� ����� � �������� ��� ��� ��&������� ����� 9������*M����.� M����� ����� ��� ���<������( �� ���< 5������ !(5( ������� ��� ����� ��� &�� ��� �� ��� �������� �� �������� ������(

����� �" � #���������$ ��������� �� ��� �����%

�����

9 ���� �� ��� ������� � ���� ��4�� � 6G( +=,���� ��������� � ��������� � ��� �����

� � ��� ��

� ����� ��� � �2���

'�� ����� � �� �� �� ��� ���&����� �&&��)�*����� +B,( ��� ��� ��-����� ����� � ��� ��� ����� �&��� ���� ��� �)��� ������ ��

�����

��*

&�� �� ��� ��� ������*����� �������� + , ����� ���������� � � ��������� ���� � ��� ����*���� ��� ���� ���) � � �( 8�� 6G( +%,�� +�#,� �� ����

�������

��

�� � ��

��� �

�� ��

� "��������������������"

�)&�

"���

���"�

�� � ��

�2�"���� 6G( +2(�, ����

� � ������

��

���������������������������"�

�����"�

��)&

"���

���"�

��

A���� �2�=�

/� ���� �� ��� 0 "1��� 2�33��������� �$4 5(&&�6 )$)78&( >#�

�� ����� ��� ��� ������

��� � ������

��

���������������������������"

�����"�

� ���

"��

���"� �

>�

��A�����

�2�>�

&���������

:�; 2(6( ������� M���� 8������� ������ ���<� ����

7������ �B%?(

:"; 5( H�����.� 2��&����� ������ �� ��� �� �������

����� !( A&�( ���( 2�( ?= +�B@=, � "%C� >=(

:=; �(H( ���������� 8�� ��*�������*���� ���������

��� �������*����� ������� !( A&�( ���( 2�( = +�B%?,

�%% C�%B�(

:>; O(5( P����� !(5( �������� '������ �������� �� ����*

���� �� ��� ��*������ ����� A&�( M���( "= +�BB%, �B#BC

�B��(

: ; O(5( P����� O(�( ��N����� O(H(�( /��� !(5( �����*

��� '������ ���� � ��� �� �������� /����� >#"

+�BBB, �=%(

:?; O(H(�( /��� �(2( I���� !(5( �������� O(�( ��N�*

���� N�-������� ����� �� ������� ������� ����� A&�(

�����( �B= +"##�, "?�C"??(

:@; !( ��������� �(!( 5������� ������*������*�*������ �-���

�� ���*������ ������� �������� � ��� �������� ��

��� �� �&����� �������� 5��( ���( M���( % +"###,

="#C ="=(

:%; �(7( ������ �( P���� 9������ ��������� �� ������� ��� ��

�-���� !( ���( A&�( >= +�BB?, "�=BC"�?>(

:B; �(7( ������ Q����� ������� � �)�� !( 5��( 2 "?

+�BB?, ??�@C??"B(

:�#; �( A���� O���� ��&�� ������ �� ��� H�����-

������ �� ����� ������ R( ������������<����������

� +�B@#, ">BC" ?(

:��; �(7( ������ R(7( M���� A ��� ��������C����� ���

������� ������� 5���( ���( ���( 2 =@# +�B%#, > BC>%>(

:�"; P( '������� '������ O�������� ������������ '����*

��� �� 2&&�������� ������ /�� I��<� �BB#(

:�=; �(�( ����� ���� ��� '������ O������� �� /������

'������ �� '������� �B%"(

:�>; �(�( ����� ���� ������������ �� ��� /���� �&������

/�� I��<� �BB%(

>#" /� ���� �� ��� 0 "1��� 2�33��������� �$4 5(&&�6 )$)78&(