Thorme de Banach-Steinhaus

Gourdon, Analyse, page 398

Thorme :

Soit (E, E) un espace de Banach et (F, F ) un espace vectoriel norm. Soit deplus, A une partie non vide de Lc(E,F ). Alors :1. Ou bien (fL)fA est born.2. Ou bien il existe x E tel que sup

fAf(x)F = +.

Soit k N. Posons Ok ={x E / sup

fAf(x)F > k

}.

An d'appliquer le thorme de Baire, montrons que Ok est un ouvert de E. Pour g A, dnissons V kg = {x E / g(x)F > k}. Il est clair que

gA

V kg Ok.

De plus, si x Ok, il existe g A tel que g(x)F > k, car sinon, pour tout f A, on aurait f(x)F k et doncsupfA

f(x)F k. Ainsi Ok gA

V kg , et nalement,

(1) Ok =gA

V kg

Pour g A, posons g : E Rx 7 g(x)F . L'application g et l'application y 7 yF tant continues, il en est donc demme de g. Ainsi, comme V

kg =

1g (]k,+[), V kg est un ouvert de E.Finalement, l'galit (1) prouve que Ok est un ouvert de E.

1er cas : pour tout k N, l'ouvert Ok est dense dans E.L'espace E tant complet, le thorme de Baire prouve alors que

kN

Ok est dense dans E. En particulier,kN

Ok 6= .

Soit donc x0 kN

Ok. Alors, pour tout k N, supfA

f(x0)F > k. A la limite sur k, il vient ainsi que supfA

f(x0)F = +.

2me cas : il existe un entier k0 tel que Ok0 ne soit pas dense dans E. (Ok0 peut mme tre vide).Il existe donc x1 E et r1 > 0 tels que B(x1, r1) Ok0 = , o

B(x1, r1) = {x E / x x1E < r1}Ainsi,

(2) y B(x1, r1), f A, f(y)F k0Soit alors x E tel que xE = 1. Soit de plus f A.Comme

r12x+x1 B(x1, r1), d'aprs (2), on a

f (r12x+ x1

)F k0. Mais la linarit de f donne f(x) = 2

r1f(r12x+ x1

)

2r1f(x1). De plus, x1 B(x1, r1), ainsi f(x1)F k0.

Finalement, f(x)F 2r1k0 +

2r1k0 =

4k0r1

=M et donc fL M . Bref, pour tout f A, fL M .Finalement, (fL)fA est born.

Application 1 : Soit (E, E) un espace de Banach et (F, F ) un espace vectoriel norm. Soit de plus (fn) une suite deLc(E,F ) convergeant simplement vers f : E F . Alors f Lc(E,F ).

En eet, l'application f , limite simple d'applications linaires, est elle aussi linaire. La seule dicult rside dans lacontinuit de f .

Soit A = {fn / n N} Lc(E,F ). Soit de plus x E.Comme lim

n+ fn(x) f(x)F = 0, la suite (fn(x)F ) est donc borne et ainsi, supgA g(x)F < +.

D'aprs le thorme prcdent, (gL)gA est born : il existe donc M R+ tel que pour tout entier n, fnL M .Finalement, pour tout x E, et pour tout n N, fn(x)F MxE . A la limite sur n, il vient, pour tout x de E,f(x)F MxE . AInsi, f est continue et f Lc(E,F ).

1

Application 2 : Il existe des fonctions continues direntes de la somme de leur srie de Fourier.

Soit E l'espace vectoriel des fonctions continues de R dans C, 2pi-priodiques. Munissons E de la norme dnie par:

f E, f = supt[pi,pi]

|f(t)|

Pour p Z, posons cp(f) = 12pi pipi

f(t)eiptdt.

Soit n N. On dnit n :E Cf 7

np=n

cp(f).

Pour f E, n(f) reprsente donc la somme partielle de la srie de Fourier associe f , prise au point 0. Il est clair quen L(E,C). Par ailleurs, pour t [pi, pi]\{0}, on a

np=n

eipt = eint1 ei(2n+1)t

1 eit = eint e

i( 2n+12 t)

eit2

sin(2n+12 t

)sin(t2

) = sin ( 2n+12 t)sin(t2

)

Dnissons alors hn :

[pi, pi] C

t 7

sin(2n+12 t

)sin(t2

)si t 6= 0

2n+ 1 sinon

. Notons que hn est continue. Pour f E, on a donc

n(f) =12pi

pipi

hn(t)f(t)dt, soit

|n(f)| (

12pi

pipi|hn(t)|dt

)f

Ainsi, n est continue et nL 12pi pipi|hn(t)|dt.

Soit alors q N. Soit fq l'application 2pi-priodique dnie par : pour tout t [pi, pi], fq(t) = hn(t)|hn(t)|+ 1q. On vrie

sans peine que fq E.Posons q =

n(fq) 12pi pipi |hn(t)|dt. Alorsq 12pi

pipi

h2n(t) |hn(t)|2 1q |hn(t)|

|hn(t)|+ 1q

dt 12piq pipi

|hn(t)||hn(t)|+ 1q

dt 1q

Ainsi,

(3) limq+n(fq) =

12pi

pipi|hn(t)|dt

Mais n(fq) = |n(fq)| nLfq nL car fq 1. A la limite, avec (3), on obtient donc nL 12pi

pipi|hn(t)|dt.

Finalement, nL = 12pi pipi|hn(t)|dt = 12pi

pipi

sin(2n+12 t

)sin(t2

) dt. Comme pour tout x R, | sinx| |x|, on a donc

(4) nL 12pi pipi

| sin ( 2n+12 t) | t2

dt = 2pi pi0

sin ( 2n+12 t)t

dt 2pi

2n+12 pi

0

| sinu|u

du

Or, on sait que limX+

X0

| sinu|u du = +.D'aprs (4), on obtient donc

(5) limn+ nL = +

Mais (E, ) est un espace de Banch, aussi le thorme de Banach-Steinhaus s'applique-t-il. D'aprs (5), (nL) n'estpas born : aussi existe-t-il f0 E tel que sup

nN|n(f0)| = +. La srie de Fourier de f0 diverge donc en 0, car sinon, lasuite (n(f0)) serait convergente et a fortiori borne. Par consquent, f0 dire de la somme de sa srie de Fourier.

En conclusion, il existe des fonctions continues qui dirent de la somme de leur srie de Fourier.

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