THEME　あみだくじ

■THEME　あみだくじ　愛媛県共通(2010年)　①

あみだくじ

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問 題 愛媛県共通(2010年)

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問 題

次の文章は,さちこさんたちがあみだくじについて話し合っている

場面の会話文です。あとの(１)～(３)の問いに答えてください。

さちこ：右の図１のあみだくじを作ったよ。あみだくじのルールは

知ってるよね。

みほ：知ってるよ。縦の線を上から下に向かって進み,横の線と

交わった点に来たら,横の線に沿って進み,次に縦の線と

　 交わった点に来たら,また,縦の線に沿って下に進むんだよ。

　 これをくり返してゴールするんだよね。

さちこ：Bから出発したときには,図１の太線のように進んで,

　 左から３番目の場所に行くよ。そこにBと書くよ。

てつお：じゃあ,残りのA,C,Dから出発したときには,それぞれ,

　 どの場所に行くのかな。やってみるね。

みほ：A,C,Dはそれぞれ別の場所に行ったね。

さちこ：そうね。このあみだくじでは,上側のA～Dから出発して

　 ゴールしたときには,A,B,C,Dの並び方はかわるんだね。

　 ゴールしたときに,並び方がかわらずに上側と同じように

　 なるあみだくじもあるかもね。

てつお：そうだ。この図１のあみだくじを図２のように二つ,

　 三つ,…とつないでいったらどうなるのかなあ。二つ,

三つ,…とつないでいって,ゴールしたときに,A,B,C,D

の順番がどのようになるのか調べてみようよ。

<横の線のかき方>①　横の線は,進む方向が一つに決まるようにかく。

②　横の線は,となりの縦の線までしかかけない。

さちこ：おもしろそう。やってみましょう。

(１)　図１のあみだくじのア～ウには,それぞれA,C,Dのいずれか

が入ります。ア～ウに入る記号を書いてください。

(２)　図１のあみだくじを,図２のようにいくつかつないでいくと,

　 ゴールしたときも,上側と同じように,左からA,B,C,Dの順番に

なるあみだくじができます。このようなあみだくじができるのは,

図１のあみだくじをいくつつないだときですか,答えを二つ書いて

ください。

(３)　右の図に,横の線を,次のかき方にしたがって,何本かかいて,

図のような結果になるあみだくじを完成させてください。

A B C D

A B C D

A B C D E

D B E A D

二つ

三つ

……

……

……

……

図１

図２

A B

B

C D

ア イ ウ

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■THEME　あみだくじ　愛媛県共通(2010年)　②

あみだくじ

解 答解 答

A B C DA B C D

B A D C

A B C D

C D B A

(１)

A B

B

C D

ア イ ウ

A B

B

C D

ア イ ウ

A B

B

C D

ア イ ウ

ABCDCDBABADCDCABABCDCDBABADCDCABABCD

図１のあみだくじをつないでいくと,下側の並び方は,左から順に１個のときは,C,D,B,A,

２個のときは,B,A,D,C,３個のときは,D,C,A,B,４個のときは,A,B,C,Dともとに戻ります。

１個のとき ２個のとき ３個のときA B C D

A B C D

D C A B

４個のとき

４つ周期になっているんだね！

１個２個３個４個５個６個７個８個

スタート

(２)

アから出発して逆に進むと,図３のようにCに行きます。

同様に,イから出発すると,図４のようにDに,ウから出発すると,図５のようにAに行きます。

よって,

ア：C, イ：D, ウ：A ……(答え)

図３ 図４ 図５

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■THEME　あみだくじ　愛媛県共通(2010年)　③

あみだくじなるほど！

A B C D E

D B E A C

以降,これをくり返すので４の倍数個をつないだときに,左からA,B,C,Dの順番になる

あみだくじができます。

よって,解答例は,

４,８ ……(答え)

※答えは,12,16など４の倍数であればよいです。

(３)

１番はなれているA(DでもOK)どうしが行き来できるように横線を引くと,

次のようになります。

Bどうしが行き来できるように横線を引くと,次のようになります。

A B C D E

D B E A C

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■THEME　あみだくじ　愛媛県共通(2010年)　④

あみだくじ

Cどうしが行き来できるように横線を引くと,次のようになります。

Dは横線を引かなくても,すでに行き来できています。

A B C D E

D B E A C

A B C D E

D B E A C

よって,解答例は次のようになります。

A B C D E

D B E A C

A B C D E

D B E A C

A B C D E

D B E A C

A B C D E

D B E A C

それぞれの記号どうしを結びます。

交差した部分に○をつけます。○をつけた部分に横線を引けば完成です。

横線の引き方は,いろんな方法があるけど,手を動かして,試行錯誤して答えを見つければOKだよ！

こんな方法もあるよ！

参 考参 考

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■THEME　あみだくじ　東京都立富士高等学校附属中学校(2017年)　①

あみだくじ

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問 題 東京都立富士高等学校附属中学校(2017年)

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問 題

テツオ君とアキコさんは,お父さんからあみだくじについて教えてもらいました。

二人はあみだくじについて話をしています。

テツオ：あみだくじは,縦線の上から下に向かって進むんだよね。図１だと,上の数字１～４から

下のローマ字A～Dに向かって進むんだね。

アキコ：下に向かって進んでいるときに,横線があれば横線に沿って進み,となりの縦線に移って,

また下に向かって進むのよね。だから,図１のあみだくじで,１からスタートするとCに

ゴールするし,２からスタートするとDにゴールするわ。

お父さん：あみだくじを作るとき,横線は,となり合う２本の縦線の間に,真横にまっすぐに引くんだよ。

テツオ：工夫して,１本の横線でも２本以上となりの縦線に進めるようにしたら,もっと面白く

　　　　なるんじゃないかな。

テツオ君とアキコさんは二人で話し合い,図２のようなあみだくじを作りました。

図の中の　　　　　という線は,半円の部分で縦線をまたぎ,２本となりの縦線に行くための線です。

半円の数が二つになれば,３本となりの縦線に移ることができます。このようにいくつかの

半円を用いた,縦線をまたぐことのできる線をワープ線と呼ぶことにします。

■問題１

図２のあみだくじで遊ぶとき,上の数字の１～４からスタートすると,それぞれA～Dのどの

ローマ字にゴールするでしょうか。

１～４の数字からーつ選び,どのローマ字にゴールするか答えなさい。

１ ２ ３ ４

A B C D

１ ２ ３ ４

A B C D

図１　あみだくじ

図２　ワープ線を用いたあみだくじ

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■THEME　あみだくじ　東京都立富士高等学校附属中学校(2017年)　②

あみだくじ

図３　アキコさんの考え方

アキコ：今度は,横線を１本引いたときの,上の数字の位置の変化を考えてみましょう。

　　　　上の数字の１～３が,どの縦線上に移動したかという経過を,左から順番に(　　)の中

　　　　に書き入れてみたわ。図３の真ん中のあみだくじは,真ん中の縦線と右の縦線の間に

　　　　横線を引いたから,上の数字が左から順番に１,３,２の位置になるので（１ ３ ２)と

　　　　書いたのよ。

テツオ：なるほど。真ん中の縦線と右の縦線の間に横線を引いたから,(　　）の中の２と３

　　　　を入れかえて表したんだね。

　　　　次に,左の縦線と真ん中の縦線の間に横線を引いたから,１と３を入れかえたんだ。

　　　　１本横線を引いたときの数字の位置の変化を,数字を入れかえることで表したんだね。

アキコ：この考え方を使えば,あみだくじを数字の位置の変化で考えられるのよ。

テツオ：この考え方は,縦線の本数が増えたあみだくじや,ワープ線を使ったあみだくじでも

　　　　使えそうだね。

■問題２

アキコさんの考え方で,あみだくじを作りたいと思います。縦線が４本のあみだくじで,(　　　）

内の数字が,(１ ２ ３ ４),(１ ４ ３ ２),(４ １ ３ ２),(３ １ ４ ２)の順番に変化する場合,

どのようなあみだくじになるでしょうか。

次の注意にしたがって,あとの図に横線やワープ線を入れ,あみだくじを完成させなさい。

１ ２ ３ １ ２ ３ １ ２

１ ２

３

３

(１ ２ ３) (１ ２ ３)

(１ ３ ２) (１ ３ ２)

(３ １ ２)

(１ ２ ３)

注意

・縦線やワープ線は,ななめに引くことはできない。

・同じ高さに引ける横線またはワープ線は１本までとする。

・数字の入れかえ１回につき,横線またはワープ線は１本まで引くことができる。

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■THEME　あみだくじ　東京都立富士高等学校附属中学校(2017年)　③

あみだくじ

テツオ：あみだくじは,横線を増やそうと思えばいくらでも増やせるけど,横線を減らしていく

　　　　ことはできるのかな。最も少なくなる本数は,決められるのかな。

お父さん：横線やワープ線の数が最も少なくなる場合を考えるんだね。スタートの数字の位置

　　　　　と結果の数字の位置を見比べてごらん。位置の変化に注目したまとまりを考えるんだ。

　　　　　そのまとまりの中で数字を入れかえる回数を調べて,合計すれば,それが横線と

　　　　　ワープ線の最も少なくなる本数になるよ。

アキコ：分かったわ。たとえば,(１ ２ ３ ４）を（１ ４ ２ ３）にする場合を考えてみま

　　　　しょう。

　　　　この場合,(１ ２ ３ ４）を「１」というまとまりと「２ ３ ４」というまとまりに

　　　　分けて考えると分かりやすいわね。

　　　　①「１」は動かさないから,１の縦線につながる横線の数は０本。

　　　　②「２ ３ ４」は４と２を入れかえて（４ ３ ２)。

　　　　　　　　　　　　３と２を入れかえて（４ ２ ３)。

　　　　　　２回動かすから横線とワープ線は合わせて２本。

　　　　①と②を足して,横線とワープ線の合計は０＋２で２本ね。

　　　　図４のあみだくじになるのよ。

テツオ：数字をまとまりに分けて,それぞれ何回動かせばよいかを考えて,合計すればいいんだね。

　　　　では,(１ ２ ３ ４)を（３ ４ １ ２)にする場合はどうなるかな。

アキコ：その場合,１は３,２は４と入れかわっているだけよ。

　　　　だから,「１ ３」と「２ ４」の二つのまとまりに分けて,

　　　　①「１ ３」は１回入れかえて（３ １)。

　　　　②「２ ４」は１回入れかえて（４ ２)。

　　　　①と②を足して,ワープ線の合計は２本ね。

　　　　図５のあみだくじになるのよ。

１ ２ ３ ４

１ ２３ ４

(１ ２ ３ ４)

(１ ４ ３ ２)

(４ １ ３ ２)

(３ １ ４ ２)

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■THEME　あみだくじ　東京都立富士高等学校附属中学校(2017年)　④

あみだくじ

テツオ：数字の位置の変化を考えれば,縦線が何本になっても横線の本数が最も少ない場合を

　　　　考えられるんだね。

問題３

アキコさんの考え方を用いて,あみだくじを作ります。数字で表した場合,(１ ２ ３ ４ ５)が

（３ ４ １ 5 ２)となるためには,どのようなあみだくじを作ればよいでしょうか。

次の注意に従って,横線とワープ線の合計の本数が最も少なくなるようなあみだくじをーつ

完成させなさい。

図４　(１ ４ ２ ３)になる　　　あみだくじの完成例

図５　(３４１２)になる　　　あみだくじの完成例

１

１

２ ３

２ ３

４

４ １ ２３

１ ２ ３ ４

４

注意

・横線やワープ線は,ななめに引くことはできない。

・同じ高さに引ける横線またはワープ線は１本までとする。

・数字の入れかえ１回につき,横線またはワープ線は１本まで引くことができる。

１ ２ ３ ４ ５

１ ２３ ４ ５

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■THEME　あみだくじ　東京都立富士高等学校附属中学校(2017年)　⑤

あみだくじ

２と４は２本となりの数字なので,ワープ線を使うよ！

１と４はとなり同士の数字なので,横線を使うよ！

問題１

問題２

■１を選んだ場合 １→３→２→Bと 進むので,答えは,B

■２を選んだ場合 ２→４→１→Aと 進むので,答えは,A

■３を選んだ場合 ３→１→４→Dと 進むので,答えは,D

■４を選んだ場合 ４→２→３→Cと 進むので,答えは,C

答えは,次のようになります。

１ ２ ３ ４

A B C D

１ ２ ３ ４

A B C D

１ ２ ３ ４

A B C D

１ ２ ３ ４

A B C D

１ ２ ３ ４

１ ４ ３ ２

１ ４ ３ ２

４ １ ３ ２

(　)内の数字の変化に着目し,となり同士の数字が入れかわっている場合は,横線,２本以上

となりの数字が入れかわっている場合は,ワープ線を使います。

(１ ２ ３ ４)から(１ ４ ３ ２)は,２と４が入れかわっているので,次のように,２と４をつなぐ

ワープ線を書けばよいです。

(１ ４ ３ ２)から(４ １ ３ ２)は,１と４が入れかわっているので,次のように,１と４を

つなぐ横線を書けばよいです。

解 答解 答

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■THEME　あみだくじ　東京都立富士高等学校附属中学校(2017年)　⑥

あみだくじ

問題３

４ １ ３ ２

(４ １ ３ ２)から(３ １ ４ ２)は,３と４が入れかわっているので,次のように,３と４を

つなぐワープ線を書けばよいです。

よって,答えの図は次のようになります。

３ １ ４ ２

１ ２ ３ ４

３ １ ４ ２

お父さんの本文中での会話「位置の変化に注目したまとまりを考えるんだ。」に着目すると,

(１ ２ ３ ４ ５)が(３ ４ １ ５ ２)に変わるとき,１と３はただ入れかわっているだけであり,

２と４と５はすべての位置が入れかわっています。

よって,「１３」と「２４５」のかたまりに分けられることがわかります。

アキコさんの考え方を用いると,

①「１３」は１回入れかえて(３ １)

②「２４５」は２と４を入れかえて(４ ２ ５)

　　　　　　　２と５を入れかえて(４ ５ ２)

となるので,最小の本数は,１＋２で３本となることがわかります。

②のワープ線はこの順で引かなければいけませんが,①のワープ線はどのタイミングで引いても

成り立つので,これらの３本の横線・ワープ線の引き方は,次のように３通りあります。

３と４は２本となりの数字なので,ワープ線を使うよ！

「２４５」→「４５２」の入れかえは,他にも２つあるよ！

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■THEME　あみだくじ　東京都立富士高等学校附属中学校(2017年)　⑦

あみだくじ

①のワープ線は,どのタイミングで引いても成り立つので,それぞれ３通りずつあるんだね！

１ ２ ３ ４ ５

１ ２３ ４ ５

１ ２ ３ ４ ５

１ ２３ ４ ５

１ ２ ３ ４ ５

１ ２３ ４ ５

１ ２ ３ ４ ５

１ ２３ ４ ５

１ ２ ３ ４ ５

１ ２３ ４ ５

１ ２ ３ ４ ５

１ ２３ ４ ５

１ ２ ３ ４ ５

１ ２３ ４ ５

１ ２ ３ ４ ５

１ ２３ ４ ５

１ ２ ３ ４ ５

１ ２３ ４ ５

■２と５を入れかえて(５ ４ ２)

　５と４を入れかえて(４ ５ ２)とする場合

　同様に,これらの３本のワープ線の引き方は,次のように３通りあります。

■４と５を入れかえて(２ ５ ４)

　２と４を入れかえて(４ ５ ２)とする場合

　同様に,これらの３本の横線・ワープ線の引き方は,次のように３通りあります。

ここで,「２４５」→「４５２」の入れかえは,他にも２つあるので,それぞれの場合を考えます。

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■THEME　あみだくじ　東京都立富士高等学校附属中学校(2017年)　⑧

あみだくじ

問題文が長くて大変だった…

１ ２ ３ ４ ５

１ ２３ ４ ５

１ ２ ３ ４ ５

１ ２３ ４ ５

１ ２ ３ ４ ５

１ ２３ ４ ５

１ ２ ３ ４ ５

１ ２３ ４ ５

１ ２ ３ ４ ５

１ ２３ ４ ５

１ ２ ３ ４ ５

１ ２３ ４ ５

以上より,答えの図は,下記９通りの中から１つを書けばよいです。

１ ２ ３ ４ ５

１ ２３ ４ ５

１ ２ ３ ４ ５

１ ２３ ４ ５

１ ２ ３ ４ ５

１ ２３ ４ ５

THEME　あみだくじ

■THEME　あみだくじ　京都市立西京高等学校附属中学校(2019年)　①

あみだくじ

Check月　 日

問 題 京都市立西京高等学校附属中学校(2019年)

Check月　 日

あみだくじに関する太郎さんと花子さんの会話を読んで,あとの問いに答えなさい。

太郎：あみだくじって知ってる？

花子：知ってるよ。こんなルールがあるんだよね。

　　　ルール①　縦線の間にいくつかの横線を入れる。

　　　　　　　　このとき,横線どうしをつないではいけない。

　　　　　　　　また,横線はとなり合う縦線２本を結ぶものに限り,横線どうしは交差しない。

図１ 図２ 図３B

B

C

C

A

A

B

B

C

A

A

C

B CA

B CA

太郎：そうそう。だから例えば,次の図１にあるあみだくじは,上端にあるA,B,Cから進むと,

　　　下端にあるA,B,Cにそれぞれ行き着くんだよね。

花子：図１のあみだくじに横線を１本加えた図２のあみだくじでは,図１に比べて,

　　　下端にあるAとCが入れかわっているね。

太郎：図１のあみだくじを上下に２個つないで作った図３のあみだくじも図２と同じく

　　　下端が左から順に,A,B,Cと並ぶね。

ルール②　縦線の上端をひとつ選び,線にそって下へ,縦線の下端まで進む。このとき,

　　　　　進む途中で,横線があれば必ず曲がる。

問 題

THEME　あみだくじ

■THEME　あみだくじ　京都市立西京高等学校附属中学校(2019年)　②

あみだくじ DB CA

AB CD

DB CA

AB DC

(１)　図４のあみだくじに横線を１本加えて,下端にあるAとDが

　　　入れかわるあみだくじを完成させなさい。

(２)　図５のあみだくじを上端から下端まで1000個つないだあみだ

　　　くじをつくりました。このあみだくじの上端を,左から順に

　　　A,B,C,Dと並べたとき,下端はどのように並ぶか答えなさい。

(４)　図４のあみだくじと図５のあみだくじをどの順に何個つないでも,「上端を左から順

　　　にA,B,C,Dと並べたとき,下端が左から順にD,C,B,Aと並ぶ」ことはないことを

　　　説明しなさい。

(３)　図４のあみだくじを【 ア 】個つないで,その下に図５のあみだくじを【 イ 】個

　　　つないで,上端から下端まで【 ア 】＋【 イ 】個つないだあみだくじをつくりました。

　　　するとこのあみだくじは,上端も下端も,左から順にA,B,C,Dと並びました。このとき,

　　　【 ア 】【 イ 】に当てはまる数を二組答えなさい。

図４

図５

THEME　あみだくじ

■THEME　あみだくじ　京都市立西京高等学校附属中学校(2019年)　③

あみだくじ

問題では,横線を加える場合が問われているけど,左図のように赤線部分を消してもAとDを入れかえることができるよ！

解 答解 答

(１)

図４のあみだくじで,AとDの両方とも通る横線は,赤線部分なので,図５のように赤線の

すぐ上(緑線)か下(水色線)に加えることで入れかえることができます。

よって,解答例は次のようになります。

DB CA

AB CD図４

DB CA

BA

AB

AB CD

DB CA

DB CA

DB CA

AB CD

DB CA

DB CA

DB CA

DB CA

図５なるほど！

右図のように,１本の横線を通る文字は,行き先が入れかわる文字のみで,

他の文字が横線を通ることはありません。

そこで,たどり着く先を変更したい場合は,変更したい２つの文字が

通る横線に着目します。変更の方法としては,横線を消すまたは横線を加える

の２通りがあります。

THEME　あみだくじ

■THEME　あみだくじ　京都市立西京高等学校附属中学校(2019年)　④

あみだくじ

ABCDCBDADBACABCDCBDADBACABCD

(２)

(３)

図５のあみだくじをつないでいくと,下端の並び方は,左から順に１個のときは,C,B,D,A,２個のときは,D,B,A,C,３個のときは,A,B,C,Dともとに戻ります。

図４のあみだくじを２個つなぐと,下端の並び方は,A,B,C,Dともとに戻ります。つまり,２の倍数個つないだとき,もとに戻ります。

以降,これをくり返すので,1000個のあみだくじをつないだときは,1000÷３＝333 あまり１ より１個のときと同じになります。よって,下端は左から順に,C,B,D,A ……(答え)

DB CA

AB DC

CB AD

DB CA DB CA

DB CA

DB CA

AB CD

DB CA

DB CA

１個のとき ２個のとき

１個のとき ２個のとき

３個のとき

３つ周期になっているんだね！

１個２個３個４個５個６個

スタート

ABCDDBCAABCDDBCAABCDDBCAABCD

２つ周期になっているんだね！

１個２個３個４個５個６個

スタート

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■THEME　あみだくじ　京都市立西京高等学校附属中学校(2019年)　⑤

あみだくじ

Point !

(４)

(１)より,図５のあみだくじをは,３の倍数個つないだとき,下端の並び方は,もとに戻ります。

よって,アは２の倍数,イは３の倍数であればよいです。

解答例は,ア：２, イ：３,　 ア：４, イ：６

(２),(３)より,図４と図５のあみだくじは何個

つないでも,下端の左から２番目は必ずBになって

います。

よって,図４のあみだくじと図５のあみだくじをどの順

に何個つないでも,下端が左から順にD,C,B,Aと並ぶこと

はありません。

図４と図５のあみだくじは何個つないでも,下端の左から２番目は

必ずBになっている。

よって,図４のあみだくじと図５のあみだくじをどの順に何個つないでも,

下端が左から順にD,C,B,Aと並ぶことはない。

以上より,説明の解答例は次のようになります。

ABCDCBDADBACABCDCBDADBACABCD

１個２個３個４個５個６個

スタートABCDDBCAABCDDBCAABCDDBCAABCD

１個２個３個４個５個６個

スタート

図５のあみだくじ図４のあみだくじ

何個つないでもBになっているね！

あみだくじをつなげる問題は,周期性に着目する！

わかるとうれしい！！