The Physics of Music - Lecture 2eclass.teiion.gr/modules/document/file.php/THMO195... ·...

Διάλεξη 2 Επανάληψη & Διάφορα

Δυνάμεις & Επιτάχυνση

Απλή Αρμονική Κίνηση

Κύματα

Η Φυσική της Μουσικής

Τ.Ε.Ι. Ιονίων Νήσων

Διδάσκων: Δρ Διονύσιος Θ. Γ. Κατερέλος ([email protected])

2

Επανάληψη της Διάλεξης 1 Οργανωτική αρχή για τη μελέτη μας στον ήχο: Ήχος = Πηγή + Διάδοση ( + Ανίχνευση)

Ο ήχος ταξειδεύει από μια πηγή ως μια περιοδική διαταραχή ενός μέσου (συνήθως του αέρα).

Ο ήχος διαδίδεται μέσω ενός μέσου χωρίς τα σωματίδια του μέσου αυτά καθαυτά να ταξειδεύουν πραγματικά από την πηγή στον ανιχνευτή.

Μερικές από τις ιδιότητες του αέρα σχετικά με τον ήχο είναι: η θερμοκρασία του, η πυκνότητα και η πίεση.

Η Φυσική της Μουσικής, Διάλεξη 2, Δ. Θ. Γ. Κατερέλος

3

Οι πηγές του ήχου συνήθως βασίζονται σε στερεά κινούμενα μέρη που είναι κατασκευασμένα να ταλαντώνονται με την ίδια συχνότητα και πλάτος με τον ήχο που παράγουν. Οι ανιχνευτές του ήχου συνήθως έχουν στερεά κινούμενα μέρη που αντιδρούν σε διαταραχές του αέρα γύρω τους.

Ένας ήχος χαρακτηρίζεται από τη συχνότητα (ή την περίοδο), την ταχύτητα, το μήκος κύματος και το πλάτος του.

Ταχύτητα = μήκος κύματος x συχνότητα

(μια άλλη έκφραση της ταχύτητας = απόσταση/χρόνος)


4

Δύναμη Δύναμη είναι μια ώση ή μια έλξη που ασκείται σε ένα αντικείμενο.

Ασκώντας μια δύναμη σε ένα αντικείμενο μπορεί να μεταβληθεί:

• Το σχήμα του, και / ή

• Η κίνησή του

Απλουστεύοντας, συνήθως αναφερόμαστε σε ιδεατά αντικείμενα (όπως οι μπίλιες του μπιλιάρδου) των οποίων τα σχήματα δε μεταβάλλονται.

Σε αυτά τα ιδεατά αντικείμενα, μια καθαρή δύναμη αναγκαστικά αλλάζει την κίνησή τους.


5

Παράδειγμα: Βαρύτητα Ένα αντικείμενο κοντά στη Γη υφίσταται την επίδραση μιας δύναμης λόγω της βαρύτητας. Το μέγεθος αυτής της δύναμης είναι ανάλογο με τη μάζα του αντικειμένου.

Βαρύτητα

Το όχημα Cassini κοντά στον Κρόνο

Η δύναμη της βαρύτητας επίσης ασκείται στο διάστημα, όπου η απόσταση μεταξύ αντικειμένων με μεγάλη μάζα καθίσταται τώρα σημαντική.


6

Παράδειγμα: Ελαστικές Δυνάμεις Ένα ελαστικό αντικείμενο (ελατήριο,

λάστιχο, εξέδρα καταδύσεων, κλπ.) ασκεί μια δύναμη αποκατάστασης όταν τεντώνεται ή θλίβεται. Το μέγεθος της δύναμης αυτής είναι ανάλογο με το πόσο το αντικείμενο έχει θλιβεί ή τεντωθεί.

αντιστέκεται στη θλίψη

αντιστέκεται στο τέντωμα


7

Παράδειγμα: Ανελαστικές Δυνάμεις Ένα ανελαστικό αντικείμενο (κορδόνι, ράβδος, κλπ) μεταφέρει δυνάμεις μεταξύ 2 άλλων αντικειμένων. (Αλλά στην πραγματικότητα δεν υπάρχουν ανελαστικά αντικείμενα).

Μεταφέρει δυνάμεις μεταξύ του χεριού και της μπίλιας

Μεταφέρει δυνάμεις μεταξύ των σκύλων


8

Παράδειγμα: Τριβή Ένα αντικείμενο που ολισθαίνει πάνω σε ένα άλλο μπορεί να υφίσταται τριβή. Η τριβή ασκεί μια δύναμη που αντιστέκεται στην κίνηση του ολισθαίνοντος αντικειμένου. Το μέγεθος της δύναμης τριβής είναι περίπου ανάλογο με το μέγεθος της δύναμης που ωθεί τα 2 αντικείμενα κοντά.


9

Συνδυασμένες Δυνάμεις, Διανύσματα Γενικά σε ένα αντικείμενο ασκούνται πέρα της μιας δυνάμεις, η κάθε μια σε διαφορετική κατεύθυνση.

Το μόνο που έχει σημασία για την κίνηση του αντικειμένου είναι η συνδυασμένης (συνισταμένη), ή καθαρή δύναμη.

Οι δυνάμεις συνδυάζονται ως διανύσματα.

Τα διανύσματα είναι απλά τόξα. 2 διανύσματα προστίθενται μεταξύ τους απλώς παρατασσόμενα αρχή με τέλος.

Πολλές ποσότητες στη φυσική είναι διανύσματα: η δύναμη, η επιτάχυνση, η ταχύτητα.


10

Παράδειγμα: Πρόσθεση Διανυσμάτων Ταχύτητας Η ταχύτητα ενός καγιάκ έχει δυο συνιστώσες: μια λόγω της κωπηλασίας και μια λόγω του ρεύματος. Ποιά είναι η ακριβής διεύθυνση κίνησης;

Διεύθυνση του ρεύματος

Διεύθυνση κωπηλασίας


11

Επιτάχυνση Επιτάχυνση είναι ο ρυθμός αλλαγής της ταχύτητας.

Π.χ., πατώντας το πεντάλ του γκαζιού σ’ ένα αυτοκίνητο αυξάνεται η ταχύτητά του.

Η επιτάχυνση μετράται σε m/s2 (γιατί;)

Το διαστημικό λεωφορείο επιταχύνεται με περίπου 30 m/s2, ή περίπου 3x την επιτάχυνση της Βαρύτητας (“3g”).


12

Μπορεί η ταχύτητα να είναι μηδέν αν η επιτάχυνση δεν είναι μηδέν (δηλ. η ταχύτητα αλλάζει);

Μπορεί η επιτάχυνση να είναι αρνητική όταν η ταχύτητα είναι θετική;


13

Ο Νόμος του Newton (Νεύτωνα) Ο τρόπος με τον οποίο αλλάζει η κίνηση ενός αντικειμένου ως αποτέλεσμα της συνισταμένης δύναμης που του ασκείται περιγράφεται από το Δεύτερο Νόμο του Newton:

Δύναμη = μάζα x επιτάχυνση

Ή, χρησιμοποιώντας τα συνήθη σύμβολα της Φυσικής:

F = m a

Το οποίο μπορεί να γραφεί και ως: a = F/m

Isaac Newton, 1642-1727


14

2ος Νόμος του Newton: Παράδειγμα Και τα δυο αυτοκίνητα έχουν μηχανή 5 λίτρων και επομένως μεταδίδουν την ίδια δύναμη στους τροχούς…

Αλλά το Crown Victoria έχει πολύ περισσότερη μάζα! Με ποιό έχει πιο πλάκα να οδηγείς;

Crown Victoria Mustang

F

m F m

a = a =


15

Παράδειγμα: Πρόσθεση Διανυσμάτων Δύναμης Μπορεί η συνισταμένη δύναμη να είναι μηδέν όταν εφαρμόζονται δυο ή περισσότερες δυνάμεις;

αεροδυναμική άνωση

βαρύτητα

a = F / m = 0

επειδή F = 0

Το ελικόπτερο αιωρείται!


16

Η Πίεση Επανεξεταζόμενη Τώρα που ξέρουμε κάποια πράγματα για τις δυνάμεις, μπορούμε να ορίσουμε την πίεση ακριβέστερα: πίεση = δύναμη / επιφάνεια Ή ισοδύναμα, δύναμη = πίεση x επιφάνεια

Η πίεση μειώνεται όταν μια δύναμη κατανέμεται πάνω σε μια μεγαλύτερη επιφάνεια.

Είναι δυσκολότερο να σκάσει ένα μπαλόνι με 100 καρφιά απ’ ότι με 1 καρφί.


17

Παράδειγμα Πίεσης Η δύναμη ενός αυγού που χτυπά το πάτωμα εξαρτάται μόνο από τη μάζα του και από το ύψος που πέφτει. Το αν θα σπάσει ή όχι το κέλυφος εξαρτάται από το σε πόση επιφάνεια κατανέμεται αυτή η δύναμη…

Πίεση = Δύναμη / Επιφάνεια Πίεση = Δύναμη / Επιφάνεια http://www.sciencejoywagon.com/physicszone/lesson/02forces/pressure/pressure.htm


http://www.sciencejoywagon.com/physicszone/lesson/02forces/pressure/pressure.htm

http://www.sciencejoywagon.com/physicszone/lesson/02forces/pressure/pressure.htm

18

Απλά Φυσικά Συστήματα Στα επόμενα θα μελετήσουμε μερικά παραδείγματα από απλά φυσικά συστήματα. Αυτά τα παραδείγματα επιλέχθηκαν διότι περιέχουν κοινά χαρακτηριστικά με τον τρόπο που παράγονται οι ήχοι:

• Εκκρεμές

• Ελατήριο

Θα δούμε πώς η κίνηση αυτών των συστημάτων σχετίζεται με τις ασκούμενες σε αυτά δυνάμεις και θα μάθουμε ότι όλα αυτά είναι παραδείγματα της Απλής Αρμονικής Κίνησης (Α.Α.Κ.)


19

Παράδειγμα: Αντικείμενο πάνω σε Ελατήριο Ένα ελατήριο είναι ένα πολύ ελαστικό αντικείμενο με μια φυσική θέση «ισορροπίας».

Συνήθως θεωρούμε ότι το ελατήριο δεν έχει μάζα, αλλά το αντικείμενο έχει μάζα (αλλιώς a = F/m απειρίζεται!)

Ας υποθέσουμε ότι ένα ελατήριο είναι στερεωμένο στο ένα του άκρο, ενώ στο άλλο συνδέεται μια μάζα ελεύθερη, που ακουμπά πάνω σε ένα τραπέζι. Ποιές είναι οι δυνάμεις που ασκούνται στη μάζα;


20

Δύναμη επανάταξης: το αντικείμενο έλκεται προς τη θέση ισορροπίας του ελατηρίου.

Σημείο ισορροπίας

Ελατήριο υπό συμπίεση

Θέση ισορροπίας

Σε έκταση


21

Παράδειγμα: Εκκρεμές Ένα εκκρεμές αποτελείται από μια χορδή συνδεδεμένη με ένα σταθερό σημείο περιστροφής στο ένα της άκρο και μια μάζα στο άλλο άκρο.

Συνήθως θεωρούμε ότι η χορδή δεν έχει μάζα και είναι ανελαστική.

Ποιές δυνάμεις ασκούνται στη μάζα;


22

Έλξη: η ανελαστική χορδή έλκει τη μάζα προς το σταθερό σημείο περιστροφής.

Βαρύτητα: η μάζα έλκεται προς τη Γη.


23

Παράδειγμα: Ομοιόμορφη Κυκλική Κίνηση Ας φανταστούμε μια μάζα δεμένη στο άκρο μιας χορδής που την περιστρέφουμε σε ένα κύκλο πάνω από το κεφάλι μας.

Ποιές δυνάμεις ασκούνται στη μάζα;

Έλξη: η χορδή τραβά τη μάζα προς το κέντρο του κύκλου.

Μια κεντρική δύναμη (π.χ., Βαρύτητα) μπορεί επίσης να τραβήξει ένα αντικείμενο προς ένα κέντρο και έχει ως αποτέλεσμα την ίδια ομοιόμορφη (απλή) κυκλική κίνηση.


24

Τί κοινό έχουν αυτά τα παραδείγματα;


25

Απλή Αρμονική Κίνηση Η επίδειξη (This demonstration) της κίνησης ελατηρίων και εκκρεμών δείχνει ότι έχουν κοινή περιοδική συμπεριφορά.

Καλούμε αυτή την περιοδική κίνηση Απλή Αρμονική Κίνηση (ή Α.Α.Κ. για συντομία).

Η Α.Α.Κ. περιγράφεται από:

• τη Συχνότητά της (ή την περίοδο)

• την ταχύτητα

• το Μήκος Κύματος

• το Πλάτος


http://positron.ps.uci.edu/~dkirkby/music/html/demos/SimpleHarmonicMotion/index.html

26

Στοιχεία Τριγωνομετρίας Η απλή αρμονική κίνηση μπορεί να περιγραφεί μαθηματικά χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρία, ως:

y(t) = A sin ( 2 f t)

Ή ομοίως, ως:

y(t) = A cos ( 2 f t)

Δεν αποτελεί σύμπτωση που η Α.Α.Κ. είναι μια πολύ κοινή φυσική κίνηση και που τα περισσότερα κομπιουτεράκια έχουν τα κουμπιά sin & cos !


27

Τί είναι ένα Κύμα; Έχουμε ήδη δει ένα παράδειγμα κύματος: τον ήχο.

Τώρα θα γενικεύσουμε την έννοια…

Ένα κύμα είναι μια περιοδική (επαναλαμβανόμενη) διαταραχή ενός μέσου, που ταξειδεύει από ένα σημείο σε ένα άλλο χωρίς το ίδιο το μέσο να μεταφέρεται. Όλα τα κύματα μπορούν να περιγραφούν με τους όρους:

• Συχνότητα

• Μήκος Κύματος

• Ταχύτητα

• Πλάτος


28

Παράδειγμα 1: Ήχος Τα ηχητικά κύματα είναι συνήθως διαταραχές του αέρα.

Τα ηχητικά κύματα που μπορούμε να ακούσουμε έχουν συχνότητες χονδρικά στο εύρος των 20 Hz – 20.000 Hz.

Υψηλότερες συχνότητες αντιστοιχούν σε οξύτερους (πιο πρίμους) ήχους.

Η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι περίπου 345 m/s.


29

Παράδειγμα 2: Φως Τα κύματα του φωτός είναι διαταραχή του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου. Δεν απαιτούν φυσικό (υλικό) μέσο και μπορούν να διαδοθούν διαμέσου του κενού διαστήματος.

Το φως είναι τμήμα του συνεχούς των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων, που περιλαμβάνουν επίσης τις ακτίνες Χ (X-rays), το υπεριώδες, το υπέρυθρο και τα ραδιοκύματα.


30

Οι συχνότητες που βλέπουμε αντιστοιχούν σε περίπου 1015 Hz!

Το φως ταξειδεύει με ταχύτητα περίπου 300,000,000 m/s.


31

Παράδειγμα 3: Κύματα στο Νερό Τα κύματα του νερού αποτελούν πολύπλοκη διαταραχή της επιφάνειας του νερού συνήθως λόγω του ανέμου.

Τα κύματα του νερού ταξειδεύουν με ταχύτητες στο εύρος από 1 – 10 m/s. Ταξειδεύουν γρηγορότερα σε ρηχά νερά.


32

Διαμήκη & Εγκάρσια Κύματα Στο επόμενο site θα δούμε προσομοιώσεις σωματιδίων για τα διάφορα ήδη κυμάτων που απαντάμε στη φύση:

http://www.kettering.edu/~drussell/Demos/waves/wavemotion.html



33

Τα στερεά σώματα μπορούν να υποστηρίζουν τόσο διαμήκη όσο και εγκάρσια κύματα, διότι είναι ελαστικά κατά μήκος όλων των αξόνων τους.

Τα υγρά και τα αέρια (ρευστά) μπορούν να υποστηρίζουν μόνο διαμήκη κύματα, διότι δεν παρέχουν αντίσταση σε πλευρικές δυνάμεις (επίσης γνωστές ως διατμητικές δυνάμεις).

Ο ήχος είναι διαμήκες κύμα.

Το φως είναι εγκάρσιο κύμα.

Τί συμβαίνει με τα κύματα του νερού;


34

Τα κύματα στο νερό συνδυάζουν τόσο διαμήκεις όσο και εγκάρσιες κυματικές κινήσεις. Το αποτέλεσμα είναι ότι τα σωματίδια του νερού ακολουθούν κυκλικές ατραπούς:




35

Αλλά το νερό είναι ρευστό! Πώς μπορεί να υποστηρίζει εγκάρσια κύματα;

Η απάντηση είναι ότι η εγκάρσια συνιστώσα των κυμάτων του νερού δεν οφείλεται στην αντίστασή του στις διατμητικές δυνάμεις, αλλά στη δύναμη που ασκεί η βαρύτητα στη μάζα του.


36

Α.Α.Κ. και Κύματα Ποιά είναι η σύνδεση μεταξύ Απλής Αρμονικής Κίνησης και Κυμάτων;

Η πηγή των κυμάτων είναι συχνά μια διαταραχή που δημιουργείται από ένα στερεό σώμα που υπόκειται σε Α.Α.Κ.

Οι ανιχνευτές κυμάτων είναι συχνά στερεά αντικείμενα που αποκρίνονται σε τοπικές διαταραχές υποκείμενα Α.Α.Κ.

Θα δούμε πολλά παραδείγματα Α.Α.Κ. όταν αργότερα ασχοληθούμε με τις πηγές και τους ανιχνευτές του ήχου…


37

Περίληψη Δύναμη είναι μια έλξη ή μια άπωση πάνω σε ένα σώμα. Επιτάχυνση είναι ο ρυθμός αλλαγής της ταχύτητας.

Δεύτερος Νόμος του Newton: F = m x a

Πίεση: P = F / A

Παραδείγματα Απλής Αρμονικής Κίνησης: ελατήριο, εκκρεμές, απλή κυκλική κίνηση.

Παραδείγματα κυμάτων: ήχος, φως, νερό.


38

Επαναληπτικές Ερωτήσεις Μπορεί ένα σώμα να ηρεμεί αν ασκούνται πάνω του δύο δυνάμεις;

Η κίνηση απαιτεί δύναμη;

Μπορεί η ταχύτητα να είναι μηδέν αν η επιτάχυνση δεν είναι;

Ποιά τα κοινά χαρακτηριστικά όλων των Απλών Αρμονικών Κινήσεων;

Ποιά τα κοινά χαρακτηριστικά όλων των κυμάτων;

Ποιές οι κοινές ιδιότητες των κυμάτων και της Απλής Αρμονικής Κίνησης;


Χρηματοδότηση

Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.

Το έργο "Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα του ΤΕΙ Ιονίων Νήσων" έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.

Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

The Physics of Music - Lecture 2eclass.teiion.gr/modules/document/file.php/THMO195... ·...

Documents

Transcript of The Physics of Music - Lecture 2eclass.teiion.gr/modules/document/file.php/THMO195... ·...