The Olympiad Corner

14

Transcript of The Olympiad Corner

Page 1: The Olympiad Corner

7/30/2019 The Olympiad Corner

http://slidepdf.com/reader/full/the-olympiad-corner 1/14

3 2 5 

T H E O L Y M P I A D C O R N E R  

N o . 2 0 0  

R . E . W o o d r o w  

A l l c o m m u n i c a t i o n s a b o u t t h i s c o l u m n s h o u l d b e s e n t t o P r o f e s s o r R . E .

W o o d r o w , D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s , U n i v e r s i t y o f C a l g a r y ,

C a l g a r y , A l b e r t a , C a n a d a . T 2 N 1 N 4 .

A s a s e t o f p r o b l e m s f o r t h i s i s s u e , w e g i v e p r o b l e m s o f t h e X L M a t h -

e m a t i c a l O l y m p i a d o f t h e R e p u b l i c o f M o l d o v a . M y t h a n k s g o t o R a v i V a k i l

f o r c o l l e c t i n g t h e m w h e n h e w a s T e a m L e a d e r f o r C a n a d a a t t h e I n t e r n a t i o n a l

M a t h e m a t i c a l O l y m p i a d a t M u m b a i .

R E P U B L I C O F M O L D O V A  

X L M A T H E M A T I C A L O L Y M P I A D  

C h i s i n a u , 1 7 2 0 A p r i l , 1 9 9 6  

F i r s t D a y T i m e : 4 h o u r s

1 0 F o r m  

1  . L e t n  = 2 

1 3

1 1

7

. F i n d t h e n u m b e r o f d i v i s o r s o f n 

2

w h i c h a r e  

l e s s t h a n   n  a n d a r e n o t d i v i s o r s o f n 

2  . D i s t i n c t s q u a r e t r i n o m i a l s f  x  a n d  g  x  h a v e l e a d i n g c o e c i e n t 1 

I t i s k n o w n t h a t f  ,  1 2 +   f  2 0 0 0 +   f  4 0 0 0 =   g  ,  1 2 +   g  2 0 0 0 +   g  4 0 0 0

F i n d a l l t h e r e a l v a l u e s o f x  w h i c h s a t i s f y t h e e q u a t i o n   f  x  =  g  x 

3  . T h r o u g h t h e v e r t i c e s o f a t r i a n g l e t a n g e n t s t o t h e c i r c u m c i r c l e a r e  

c o n s t r u c t e d . T h e d i s t a n c e s o f a n a r b i t r a r y p o i n t o f t h e c i r c l e t o t h e s t r a i g h t

l i n e s c o n t a i n i n g t h e s i d e s o f t h e t r i a n g l e a r e e q u a l t o   a  b  a n d  c  a n d t o t h e  

t a n g e n t s a r e e q u a l t o   x  y  a n d  z  . P r o v e t h a t a 

2

+  b 

2

+  c 

2

=  x y  +  x z  +  y z 

4  . T w o b r o t h e r s s o l d   n  l a m b s a t a p r i c e   n  d o l l a r s . T h e y d i v i d e t h e  

m o n e y a s f o l l o w s : t h e e l d e r b r o t h e r t o o k   1 0  d o l l a r s , t h e y o u n g e r o n e t o o k  

1 0  d o l l a r s , t h e e l d e r o n e t o o k a g a i n   1 0  d o l l a r s a n d s o o n . A t t h e e n d i t

t u r n e d o u t t h a t t h e s u m f o r t h e y o u n g e r b r o t h e r w a s l e s s t h a n   1 0  . H e t o o k  

t h e r e m a i n d e r a n d t h e p e n - k n i f e o f h i s b r o t h e r . T h e b r o t h e r s a g r e e d t h a t t h e  

d i v i s i o n w a s c o r r e c t . W h a t i s t h e c o s t o f t h e p e n - k n i f e ?

1 1 1 2 F o r m  

1  . P r o v e t h e e q u a l i t y  

6 6 6 

6 0 7 

+  + 

1 9 9 6  

= 1 + 

2  3  4 

5  6  7 

+  + 

1 9 9 4   1 9 9 5   1 9 9 6  

Page 2: The Olympiad Corner

7/30/2019 The Olympiad Corner

http://slidepdf.com/reader/full/the-olympiad-corner 2/14

3 2 6 

2  . P r o v e t h a t t h e p r o d u c t o f t h e r o o t s o f t h e e q u a t i o n  

1 9 9 6   x 

l o g

1 9 9 6

=  x 

6

i s a n i n t e g e r a n d n d t h e l a s t f o u r d i g i t s o f t h i s i n t e g e r .

3  . T w o d i s j o i n t c i r c l e s C 

1

a n d  C 

2

w i t h c e n t r e s O 

1

a n d  O 

2

a r e g i v e n . A  

c o m m o n e x t e r i o r t a n g e n t t o u c h e s C 

1

a n d  C 

2

a t p o i n t s A  a n d  B  r e s p e c t i v e l y .

T h e s e g m e n t O 

1

2

c u t s C 

1

a n d  C 

2

a t p o i n t s C  a n d  D  r e s p e c t i v e l y . P r o v e  

t h a t :

a t h e p o i n t s A  B  C  a n d  D  a r e c o n c y c l i c ;

b t h e s t r a i g h t l i n e s A C  a n d  B D  a r e p e r p e n d i c u l a r .

4  . A m o n g   n  c o i n s , i d e n t i c a l b y f o r m , l e s s t h a n h a l f a r e f a l s e a n d d i e r

b y w e i g h t f r o m t h e t r u e c o i n s . P r o v e t h a t w i t h t h e h e l p o f s c a l e s w i t h o u t

w e i g h t s u s i n g n o m o r e t h a n   n  ,  1  w e i g h i n g s o n e c a n n d a t l e a s t o n e t r u e  

c o i n .

S e c o n d D a y T i m e : 4 h o u r s

1 0 F o r m  

5  . P r o v e t h a t f o r a l l n a t u r a l n u m b e r s m    2  a n d  n    2  t h e s m a l l e s t

a m o n g t h e n u m b e r s

m  a n d 

n  d o e s n o t e x c e e d t h e n u m b e r

3

6  . P r o v e t h e i n e q u a l i t y   2 

1

+ 2 

2

+  + 2 

1 9 9 6

  1 9 9 5 + 2  

1

+  a 

2

+  +  a 

1 9 9 6

f o r a n y r e a l n o n - p o s i t i v e n u m b e r s a 

1

2

1 9 9 6

7  . T h e p e r p e n d i c u l a r b i s e c t o r t o t h e s i d e   B C  o f a t r i a n g l e   A B C 

i n t e r s e c t s t h e s t r a i g h t l i n e   A C  a t a p o i n t M  a n d t h e p e r p e n d i c u l a r b i s e c t o r

t o t h e s i d e   A C  i n t e r s e c t s t h e s t r a i g h t l i n e   B C  a t a p o i n t N  . L e t O  b e t h e  

c e n t r e o f t h e c i r c u m c i r c l e t o t h e t r i a n g l e   A B C  . P r o v e t h a t :

a p o i n t s A  B  M  N  a n d  O  l i e o n a c i r c l e   S 

b t h e r a d i u s o f S  e q u a l s t h e r a d i u s o f t h e c i r c u m c i r c l e t o t h e t r i a n g l e  

M N C 

8  . A m o n g   1 9 9 6   c o i n s , i d e n t i c a l b y f o r m , t w o a r e f a l s e . O n e i s h e a v i e r

a n d t h e s e c o n d i s l i g h t e r t h a n a t r u e c o i n . W i t h t h e h e l p o f s c a l e s w i t h -

o u t w e i g h t s u s i n g f o u r w e i g h i n g s , w h a t i s t h e w a y t o s h o w i f t h e c o m b i n e d  

w e i g h t o f t h e s e t w o c o i n s i s e q u a l , g r e a t e r t h a n o r l e s s t h a n , t h e c o m b i n e d  

w e i g h t o f t w o t r u e c o i n s ?

1 1 1 2 F o r m  

5  . L e t p  b e t h e n u m b e r o f f u n c t i o n s d e n e d o n t h e s e t f  1  2  ; : : : ; m   g 

m  2  N 

, w i t h v a l u e s i n t h e s e t f  1  2  3 5  3 6  g  a n d  q  b e t h e n u m b e r o f

f u n c t i o n s d e n e d o n t h e s e t f  1  2  n  g  n  2  N 

, w i t h v a l u e s i n t h e s e t

f  1  2  3  4  5  g  . F i n d t h e l e a s t p o s s i b l e v a l u e f o r t h e e x p r e s s i o n   p  ,  q 

6  . S o l v e i n r e a l n u m b e r s t h e e q u a t i o n  

2  x 

2

,  3  x  = 1 + 2  x 

2

,  3  x 

Page 3: The Olympiad Corner

7/30/2019 The Olympiad Corner

http://slidepdf.com/reader/full/the-olympiad-corner 3/14

3 2 7 

7  . O n a s p h e r e d i s t i n c t p o i n t s A  B  C  a n d  D  a r e c h o s e n , s o t h a t

s e g m e n t s A B  a n d  C D  c u t e a c h o t h e r a t p o i n t F  , a n d p o i n t s A  C  a n d  F 

a r e e q u i d i s t a n t t o a p o i n t E  . P r o v e t h a t t h e s t r a i g h t l i n e s B D  a n d  E F 

a r e p e r p e n d i c u l a r .

8  2 0  c h i l d r e n a t t e n d a r u r a l e l e m e n t a r y s c h o o l . E v e r y t w o c h i l d r e n  

h a v e a g r a n d f a t h e r i n c o m m o n . P r o v e t h a t s o m e g r a n d f a t h e r h a s n o t l e s s

t h a n   1 4  g r a n d c h i l d r e n i n t h i s s c h o o l .

N e x t , w e g i v e s o l u t i o n s b y o u r r e a d e r s t o p r o b l e m s o f t h e V I I I N o r d i c

M a t h e m a t i c a l C o n t e s t 1 9 9 8 : 1 3 3 .

1  . L e t O  b e a p o i n t i n t h e i n t e r i o r o f a n e q u i l a t e r a l t r i a n g l e   A B C  w i t h  

s i d e l e n g t h   a  . T h e l i n e s A O  B O  a n d  C O  i n t e r s e c t t h e s i d e s o f t h e t r i a n g l e  

a t t h e p o i n t s A 

1

1

a n d  C 

1

r e s p e c t i v e l y . P r o v e t h a t

O A 

1

+  O B 

1

+  O C 

1

S o l u t i o n s b y M o h a m m e d A a s s i l a , C R M , U n i v e r s i t e d e M o n t r e a l ,

M o n t r e a l , Q u e b e c ; b y P i e r r e B o r n s z t e i n , C o u r d i m a n c h e , F r a n c e ; a n d b y  

T o s h i o S e i m i y a , K a w a s a k i , J a p a n . W e g i v e t h e s o l u t i o n b y S e i m i y a  

1 O 

0

0

1

1

S i n c e   A B  =  A C  w e h a v e , i n   4  A A 

1

  A B C  =    A C B  =    A C A 

1

s o t h a t A A 

1

A C  =  a 

S i m i l a r l y w e h a v e t h a t B B 

1

a  a n d  C C 

1

a  . W e d e n o t e t h e a r e a o f

4  P Q R  b y  P Q R  . L e t A 

0

0

b e t h e f e e t o f t h e p e r p e n d i c u l a r s f r o m   A  O 

t o  B C  r e s p e c t i v e l y . T h e r e , w e h a v e  

O A 

1

A A 

1

O O 

0

A A 

0

O B C 

A B C 

O B 

1

B B 

1

O C A 

A B C 

O C 

1

C C 

1

O A B 

A B C 

Page 4: The Olympiad Corner

7/30/2019 The Olympiad Corner

http://slidepdf.com/reader/full/the-olympiad-corner 4/14

3 2 8 

T h u s w e g e t

O A 

1

A A 

1

O B 

1

B B 

1

O C 

1

C C 

1

O B C  + O C A  + O A B 

A B C 

= 1 

S i n c e   A A 

1

a  B B 

1

a  C C 

1

a  w e h a v e  

O A 

1

A A 

1

O B 

1

B B 

1

O C 

1

C C 

1

 

O A 

1

O B 

1

O C 

1

T h u s w e h a v e   1   

O A 

1

O B 

1

O C 

1

T h i s i m p l i e s t h a t O A 

1

+  O B 

1

+  O C 

1

2  . A n i t e s e t S  o f p o i n t s i n t h e p l a n e w i t h i n t e g e r c o o r d i n a t e s i s c a l l e d  

a  t w o - n e i g h b o u r s e t , i f f o r e a c h   p q  i n  S  e x a c t l y t w o o f t h e p o i n t s p  + 1  q 

p q  + 1 p  ,  1  q  p q  ,  1 a r e i n   S  . F o r w h i c h   n  d o e s t h e r e e x i s t a t w o -

n e i g h b o u r s e t w h i c h c o n t a i n s e x a c t l y   n  p o i n t s ?

S o l u t i o n b y P i e r r e B o r n s z t e i n , C o u r d i m a n c h e , F r a n c e  

O n v a p r o u v e r q u e l e s v a l e u r s d e   n  c h e r c h e e s s o n t t o u s l e s e n t i e r s

p a i r s s u p e r i e u r s o u e q a u x a  4  s a u f 6  . O n v e r i e f a c i l e m e n t q u e   n    4  e s t

n e c e s s a i r e .

S o i t S  u n t e l e n s e m b l e a v e c c a r d   S  =  n  . P o u r M  p q  2  S  , o n d i t q u e  

l e p o i n t P  e s t v o i s i n d e   M  l o r s q u e   P  2  S  e t P  2 f  p  + 1  q  p q  + 1

p  ,  1  q  p q  ,  1 g  . A l o r s t o u t p o i n t d e   S  a d m e t e x a c t e m e n t d e u x v o i s i n s  

S o i t M 

1

p q  2  S 

S o i t M 

2

u n v o i s i n d e   M 

1

O n p o s e   M 

3

e s t l e  v o i s i n d e   M 

2

a v e c M 

3

6=  M 

1

, e t c .

S i M 

k

e t M 

k + 1

s o n t c o n s t r u i t s k    1 o n p o s e   M 

k + 2

e s t l e  v o i s i n d e  

k + 1

a v e c M 

k + 2

6=  M 

k

O n c o n s t r u i t a i n s i , a p a r t i r d e   M 

1

, u n e s u i t e d e p o i n t s d e   S  . M a i s S 

e s t n i . D o n c i l e x i s t e   i j 2  N 

a v e c i j t e l s q u e   M 

i

=  M 

j

. S o i t a l o r s

E  =  f  k  2  N 

9  i 2  N 

; i k   e t M 

i

=  M 

k

g  . O n a   E  6=    E    N 

, d o n c

E  a d m e t u n p l u s p e t i t e l e m e n t . O n p o s e   p  = m i n  E 

S o i t a l o r s i p  i 2  N 

t e l q u e   M 

i

=  M 

. O n a a l o r s i = 1  : e n e e t ,

s i o n s u p p o s e   i   1  a l o r s M 

i ,  1

i + 1

p  ,  1

s o n t d e s v o i s i n s d e   M 

i

=  M 

a v e c

 

i ,  1

6=  M 

i + 1

p a r c o n s t r u c t i o n  

i ,  1

6=  M 

p  ,  1

c a r p  = m i n  E 

d ' o u  M 

i + 1

=  M 

p  ,  1

e t

c o m m e   p  = m i n  E  , o n a   i + 1 =  p  ,  1  o n a   p  ,  1    p  e t i + 1    p  d ' o u 

p  =  i + 2  e t M 

i

=  M 

i + 2

, c e q u i e s t i m p o s s i b l e p a r c o n s t r u c t i o n .

Page 5: The Olympiad Corner

7/30/2019 The Olympiad Corner

http://slidepdf.com/reader/full/the-olympiad-corner 5/14

3 2 9 

D e n i t i o n   U n e c h a ̂ n e  C  , d e l o n g u e u r a  a  2  N 

a    2  e s t u n e n s e m b l e  

f  M 

1

g  d e p o i n t s d e   S  t e l s q u e p o u r t o u s i j d e  f  1  a  g 

  M 

i

2  S 

  M 

i + 1

e t M 

i

s o n t v o i s i n s ,

  M 

e t M 

1

s o n t v o i s i n s ,

  s i i 6=  j , a l o r s M 

i

6=  M 

j

S a n s p e r t e d e g e n e r a l i t e o n p e u t t o u j o u r s s u p p o s e r q u e p o u r t o u t

i 2 f  1  ; : : : ; a   g  M 

i

i

i

a v e c

  p 

i

  1 

  s i i   1  e t p 

i

=  p 

1

a l o r s q 

i

1

  M 

2

1

+ 1  q 

1

C e l a e n t r a ̂ n e  M 

1

1

+ 1 e t p e r m e t d ' e v i t e r d e c o n s i d e r e r d e u x f o i x l a  

m ^e m e c h a ̂ n e s i l ' o n c h a n g e d e s e n s d e p a r c o u r s " o u d e p o i n t d e d e p a r t " .

O n v e r i e a i s e m e n t q u e   a    4 

P r o p r i e t e  S i C  =  f  M 

1

g  e t C 

0

=  f  P 

1

b

g  s o n t d e u x c h a ^ n e s

a l o r s C    C 

0

=    o u  C  =  C 

0

P r e u v e   : P a r l ' a b s u r d e . S i C    C 

0

6=    e t C  6=  C 

0

, a l o r s i l e x i s t e   M  2  C    C 

0

t e l q u e :

  i l e x i s t e   i 2 f  1  a  g  j 2 f  1  b  g  M  =  M 

i

=  P 

j

  c a r d M 

i ,  1

i + 1

j ,  1

j + 1

  3  O n p o s e   M 

,  1

=  M 

,  1

=  P 

b

M a i s a l o r s M  2  S  p o s s e d e a u m o i n s t r o i s v o i s i n s , q u i e s t u n c o n t r a -

d i c t i o n .

D ' a p r e s c e q u i p r e c e d e , 8  M  2  S  9  c h a i n e   C  t e l q u e   M  2  C  , d o n c

S   

c h a ^ n e

P a r d e n i t i o n , t o u t e c h a ^ n e e s t c o n t e n u e d a n s S  , d ' o u  S  = 

c h a ^ n e

T o u t e s c e s c h a ^ n e s e t a n t d e u x a d e u x d i s j o i n t e s , a l o r s

n  = c a r d   S  = 

c h a ^ n e

c a r d   C  . 1

S o i t u n e c h a ^ n e  C  =  f  M 

1

O n p o s e   h  =  n o m b r e d e s a u t s " v e r s l e h a u t c . a . d . l e n o m b r e d ' i n d i c e s

i t e l q u e   p 

i + 1

=  p 

i

e t q 

i + 1

=  q 

i

+ 1 

b  =  n o m b r e d e s a u t s " v e r s l e b a s i d e m a v e c p 

i + 1

=  p 

i

i + 1

=  q 

i

,  1 

g  =  n o m b r e d e s a u t s " v e r s l a g a u c h e i d e m a v e c p 

i + 1

=  p 

i

,  1  q 

i + 1

=  q 

i

d  =  n o m b r e d e s a u t s " v e r s l a d r o i t e i d e m a v e c p 

i + 1

=  p 

i

+ 1  q 

i + 1

=  q 

i

Page 6: The Olympiad Corner

7/30/2019 The Olympiad Corner

http://slidepdf.com/reader/full/the-olympiad-corner 6/14

3 3 0 

L e n o m b r e d e s a u t s v e r s l a g a u c h e e s t e g a l a u n o m b r e d e s a u t s v e r s l a  

d r o i t e , e t l e n o m b r e d e s a u t s v e r s l e h a u t e s t e g a l a u n o m b r e d e s a u t s v e r s

l e b a s p l u s u n r a p p e l q 

=  q 

1

+ 1 

C a . d . h  =  b  + 1  g  =  d 

o r a  =  n o m b r e d e p o i n t s =  n o m b r e d e s a u t s p l u s u n   =  d  +  g  +  h  +  b  + 1 

D o n c a  = 2 g  +  b  + 1 p a i r  

T o u t e c h a ^ n e e s t d o n c d e l o n g e u r p a i r e .

D ' a p r e s 1 , o n e n d e d u i t q u e   n  e s t p a i r  

P o u r n  = 4 

3

2

4

1

c o n v i e n t .

P o u r n  = 6  : C o m m e   a    4  , u n t e l e n s e m b l e   S  , s ' i l e x i s t e , n ' u t i l i s e q ' u n e  

s e u l e c h a ^ n e , e t g  +  b  = 3  , a v e c g  b  2  N 

, d ' o u  g  =  b  = 1  e t d  = 1  h  = 2 

S i M 

1

e s t c h o i s i s , M 

2

e t M 

6

s o n t i m p o s e p a r c o n s t r u c t i o n .

C a r d  = 1  , i l y a d e u x p l a c e s p o s s i b l e s p o u r M 

3

1

e r

c a s

3

2

4

1

6

e m e

c a s

2

3

4

1

6

D a n s l e s d e u x c a s , l a p l a c e p o u r M 

4

e s t i m p o s e c a r d  = 1 =  b  . D a n s

l e  1 

e r

c a s , M 

1

a d o n c 3  v o i s i n s , u n e c o n t r a d i c t i o n . D a n s l e   2 

i e m e

c a s , M 

3

t r o i s v o i s i n s , c o n t r a d i c t i o n .

D o n c n  = 6  e s t i m p o s s i b l e .

P o u r n  = 2  p  p    4 

2

z |  

p  ,  1 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c o n v i e n t .

D ' o u l e r e s u l t a t a n n o n c e

Page 7: The Olympiad Corner

7/30/2019 The Olympiad Corner

http://slidepdf.com/reader/full/the-olympiad-corner 7/14

3 3 1

3  . A s q u a r e p i e c e o f p a p e r A B C D   i s f o l d e d b y p l a c i n g t h e c o r n e r D 

a t s o m e p o i n t D 

0

o n  B C  s e e g u r e . S u p p o s e   A D  i s c a r r i e d i n t o   A 

0

0

c r o s s i n g   A B  a t E  . P r o v e t h a t t h e p e r i m e t e r o f t r i a n g l e   E B D 

0

i s h a l f a s l o n g  

a s t h e p e r i m e t e r o f t h e s q u a r e .

D C 

A B 

0

0

S o l u t i o n s b y M o h a m m e d A a s s i l a , C R M , U n i v e r s i t e d e M o n t r e a l ,

M o n t r e a l , Q u e b e c ; b y P i e r r e B o r n s z t e i n , C o u r d i m a n c h e , F r a n c e ; a n d b y  

T o s h i o S e i m i y a , K a w a s a k i , J a p a n . W e g i v e t h e s o l u t i o n b y A a s s i l a  

D C 

A B 

0

0

A B  +  B C  =  A E  +  E B  +  B D 

0

+  D 

0

=  E F  +  E B  +  B D 

0

+  F D 

0

=  E D 

0

+  E B  +  B D 

0

E d i t o r ' s c o m m e n t : i t i s e a s y t o s h o w t h a t E D 

0

i s t a n g e n t t o t h e c i r c l e , c e n t r e  

D  , r a d i u s D C  ; s e e   M o r e M a t h e m a t i c a l M o r s e l s   b y R o s s H o n s b e r g e r , M A A  

D o l i c i a n i M a t h e m a t i c a l E x p o s i t i o n s , 1 9 9 1 , p . 1 1 .

4  . D e t e r m i n e a l l p o s i t i v e i n t e g e r s n   2 0 0  s u c h t h a t n 

2

+ n  + 1

2

i s

a p e r f e c t s q u a r e .

S o l u t i o n s b y M o h a m m e d A a s s i l a , C R M , U n i v e r s i t e d e M o n t r e a l ,

M o n t r e a l , Q u e b e c ; b y P i e r r e B o r n s z t e i n , C o u r d i m a n c h e , F r a n c e ; b y P a n o s  

E . T s a o u s s o g l o u , A t h e n s , G r e e c e ; a n d b y E d w a r d T . H . W a n g , W i l f r i d L a u r i e r  

U n i v e r s i t y , W a t e r l o o , O n t a r i o . W e g i v e W a n g ' s s o l u t i o n a n d r e m a r k  

T h e r e a r e e x a c t l y t h r e e s o l u t i o n s , n  = 3  2 0  1 1 9  . S u p p o s e t h a t

2

+ n  + 1

2

=  k 

2

f o r s o m e n a t u r a l n u m b e r k  . T h e n   n n  + 1  k  i s a 

P y t h a g o r e a n t r i p l e . I t i s i n f a c t a p r i m i t i v e P y t h a g o r e a n t r i p l e s i n c e  

n n  + 1 = 1  . B y a w e l l k n o w n r e s u l t , t h e r e e x i s t n a t u r a l n u m b e r s s  a n d  t

w i t h o p p o s i t e p a r i t i e s a n d   s t s u c h t h a t e i t h e r

Page 8: The Olympiad Corner

7/30/2019 The Olympiad Corner

http://slidepdf.com/reader/full/the-olympiad-corner 8/14

3 3 2 

i n  = 2  s t n  + 1 =  s 

2

,  t

2

k  =  s 

2

+  t

2

o r

i i n  =  s 

2

,  t

2

n  + 1 = 2  s t k  =  s 

2

+  t

2

I n c a s e i w e h a v e   s 

2

,  2  t s  ,  t

2

+ 1 = 0  . S o l v i n g f o r s  w e n d  

s  =  t + 

2  t

2

+ 1  . C l e a r l y   s  2  N  i f a n d o n l y i f 2  t

2

+ 1  i s a p e r f e c t s q u a r e .

S i n c e   n   2 0 0  i m p l i e s s t   1 0 0  , w e h a v e   t

2

  1 0 0  o r t   1 0  . S u b s t i t u t i n g  

t = 1  2  9  r e v e a l s t h a t 2  t

2

+ 1  i s a s q u a r e o n l y w h e n   t = 2  , i n w h i c h  

c a s e   s  = 5  n  = 2 0  n  + 1 = 2 1  a n d  k  = 2 9 

I n c a s e i i w e h a v e   s 

2

,  2  t s  ,  t

2

,  1 = 0  . S o l v i n g f o r s  , w e n d  

s  =  t + 

2  t

2

,  1  . N o t e t h a t t , 

2  t

2

,  1    0  f o r a l l t   1  . A s i n c a s e i ,

n  + 1    2 0 1  i m p l i e s s t   1 0 0  a n d t h u s t

2

  1 0 0  o r t   1 0  . S u b s t i t u t i n g  

t = 1  2  9  r e v e a l s t h a t 2  t

2

,  1  i s a p e r f e c t s q u a r e e x a c t l y w h e n   t = 1 

a n d  t = 5  . W h e n   t = 1  , w e g e t s  = 2  n  = 3  n  + 1 = 4   k  = 5  . W h e n  

t = 5  , w e g e t s  = 1 2  n  = 1 1 9   k  = 1 6 9  

R e m a r k  . I n f a c t , t h e c h a r a c t e r i z a t i o n o f a l l p r i m i t i v e P y t h a g o r e a n  

t r i p l e s o f t h e f o r m   n n  + 1  k  i s k n o w n ; f o r e x a m p l e , i n C h a p t e r 2 . 4 o f E l e -

m e n t a r y T h e o r y o f N u m b e r s   b y W . S i e r p i n s k i , 2 n d e d . , 1 9 8 5 , i t i s p r o v e d t h a t

i f t h e s e q u e n c e s f  x 

g  f  y 

g  , a n d   f  z 

g  a r e d e n e d r e c u r s i v e l y b y  

n  + 1

= 3  x 

+ 2  z 

+ 1  y 

n  + 1

=  x 

n  + 1

+ 1  z 

n  + 1

= 4  x 

+ 3  z 

+ 2  f o r

a l l n    1  , w i t h i n i t i a l v a l u e s x 

1

= 3  y 

1

= 4  a n d  z 

1

= 5  , t h e n   x 

n  = 1  2  3  w o u l d b e a l l t h e p r i m i t i v e P y t h a g o r e a n t r i p l e s f o r w h i c h  

=  x 

+ 1  . U s i n g t h e s e i t e r a t i o n s o n e c a n e a s i l y v e r i f y t h a t t h e t r i p l e s w e  

o b t a i n e d i n t h e s o l u t i o n d o i n d e e d g i v e t h e r s t t h r e e s u c h t r i p l e s . T h e n e x t

f o u r v a l u e s o f n  a r e  6 9 6  4 0 5 9  , a n d   2 3 6 6 0  

W e n i s h t h i s n u m b e r o f t h e C o r n e r b y g i v i n g r e a d e r s ' s o l u t i o n s t o  

p r o b l e m s o f t h e 4 4  

t h 

L i t h u a n i a n M a t h e m a t i c a l O l y m p i a d 1 9 9 8 : 1 9 6 1 9 7 .

G R A D E X I

1  . Y o u a r e g i v e n a s e t o f 1 0  p o s i t i v e i n t e g e r s . S u m m i n g n i n e o f t h e m  

i n t e n p o s s i b l e w a y s w e g e t o n l y n i n e d i e r e n t s u m s : 8 6  8 7  8 8  8 9  9 0  9 1 

9 3  9 4  9 5  . F i n d t h o s e n u m b e r s .

S o l u t i o n s b y M o h a m m e d A a s s i l a , C R M , U n i v e r s i t e d e M o n t r e a l ,

M o n t r e a l , Q u e b e c ; b y P i e r r e B o r n s z t e i n , C o u r d i m a n c h e , F r a n c e ; b y  

C h r i s t o p h e r J . B r a d l e y , C l i f t o n C o l l e g e , B r i s t o l , U K ; b y M u r r a y S . K l a m k i n ,

U n i v e r s i t y o f A l b e r t a , E d m o n t o n , A l b e r t a ; a n d b y E d w a r d T . H . W a n g , W i l f r i d  

L a u r i e r U n i v e r s i t y , W a t e r l o o , O n t a r i o . W e g i v e B r a d l e y ' s w r i t e - u p  

L e t S  b e t h e s u m o f a l l t e n p o s i t i v e i n t e g e r s a n d s u p p o s e   x  i s t h e  

r e p e a t e d s u m . C a l l t h e e l e m e n t s a 

1

2

1 0

. T h e n w e h a v e  

S  ,  a 

1

= 8 6  S  ,  a 

2

= 8 7  S  ,  a 

9

= 9 5  S  ,  a 

1 0

=  x 

Page 9: The Olympiad Corner

7/30/2019 The Olympiad Corner

http://slidepdf.com/reader/full/the-olympiad-corner 9/14

3 3 3 

A d d i n g , 9  S  = 8 1 3 +   x  . T h e o n l y v a l u e o f x  f r o m   8 6  8 7  8 8  9 5  w h i c h  

m a k e s 8 1 3 +   x  d i v i s i b l e b y   9  i s x  = 8 7  a n d t h e n   S  = 1 0 0  . I t f o l l o w s t h a t

t h e t e n n u m b e r s a r e r e s p e c t i v e l y   1 4  1 3  1 2  1 1  1 0  9  7  6  5  a n d  1 3 

2  . W h a t i s t h e l e a s t p o s s i b l e n u m b e r o f p o s i t i v e i n t e g e r s s u c h t h a t t h e  

s u m o f t h e i r s q u a r e s e q u a l s 1 9 9 5  ?

S o l u t i o n s b y M o h a m m e d A a s s i l a , C R M , U n i v e r s i t e d e M o n t r e a l ,

M o n t r e a l , Q u e b e c ; b y P i e r r e B o r n s z t e i n , C o u r d i m a n c h e , F r a n c e ; b y M u r r a y  

S . K l a m k i n , U n i v e r s i t y o f A l b e r t a , E d m o n t o n , A l b e r t a ; b y B o b P r i e l i p p , U n i -

v e r s i t y o f W i s c o n s i n O s h k o s h , W I , U S A ; a n d b y E d w a r d T . H . W a n g , W i l f r i d  

L a u r i e r U n i v e r s i t y , W a t e r l o o , O n t a r i o . W e g i v e K l a m k i n ' s s o l u t i o n  

F i r s t n o t e t h a t 1 9 9 5 = 3   5  7  1 9  . W e n o w u s e s o m e k n o w n t h e o r e m s

1 o n r e p r e s e n t a t i o n s o f a n u m b e r a s s u m s o f s q u a r e s .

1 . A n a t u r a l n u m b e r n  i s t h e s u m o f t w o s q u a r e s i f a n d o n l y i f t h e f a c t o r i z a t i o n  

o f n  d o e s n o t c o n t a i n a n y p r i m e o f t h e f o r m   4  k  + 3  t h a t h a s a n o d d e x p o n e n t .

2 . A n a t u r a l n u m b e r n  c a n b e t h e s u m o f t h r e e s q u a r e s i f a n d o n l y i f i t i s n o t

o f t h e f o r m   4 

l

8  k  + 7 , w h e r e   k  l a r e n o n - n e g a t i v e i n t e g e r s .

3 . E a c h o d d n a t u r a l n u m b e r i s t h e s u m o f t h e s q u a r e s o f f o u r i n t e g e r s , t w o  

o f w h i c h a r e c o n s e c u t i v e n u m b e r s .

I n v i e w o f t h e a b o v e t h e o r e m s , t h e m i n i m u m n u m b e r i s t h r e e a n d a  

r e p r e s e n t a t i o n i s g i v e n b y   1 9 9 5 = 1  

2

+ 2 5 

2

+ 3 7 

2

C o m m e n t . A n u m b e r f o r w h i c h t h e m i n i m u m n u m b e r o f s q u a r e s i s f o u r

i s g i v e n b y   1 9 9 2 = 3   8  8 3 = 1 0  

2

+ 1 8 

2

+ 2 8 

2

+ 2 8 

2

= 2 

2

+ 4 

2

+ 6 

2

+ 4 4 

2

A l s o   1 9 9 5 = 1 3  

2

+ 2 4 

2

+ 2 5 

2

+ 2 5 

2

R e f e r e n c e  

1 W . S i e r p i n s k i , E l e m e n t a r y T h e o r y o f N u m b e r s , H a f n e r , N Y , 1 9 6 4 , p p .

3 5 1 , 3 6 3 , 3 6 7 .

3  . R e p l a c e t h e a s t e r i s k s i n t h e e q u i l a t e r a l t r i a n g l e "

b y t h e n u m b e r s 1  2  3  4  5  6  7  8  9  s o t h a t , s t a r t i n g f r o m t h e s e c o n d l i n e ,

e a c h n u m b e r i s e q u a l t o t h e a b s o l u t e v a l u e o f t h e d i e r e n c e o f t h e n e a r e s t

t w o n u m b e r s i n t h e l i n e a b o v e .

Page 10: The Olympiad Corner

7/30/2019 The Olympiad Corner

http://slidepdf.com/reader/full/the-olympiad-corner 10/14

3 3 4 

I s i t a l w a y s p o s s i b l e t o i n s c r i b e t h e n u m b e r s 1  2  n  , i n t h e w a y  

r e q u i r e d , i n t o t h e e q u i l a t e r a l t r i a n g l e w i t h t h e s i d e s h a v i n g   n  a s t e r i s k s ?

S o l u t i o n s b y M o h a m m e d A a s s i l a , C R M , U n i v e r s i t e d e M o n t r e a l ,

M o n t r e a l , Q u e b e c ; a n d b y C h r i s t o p h e r J . B r a d l e y , C l i f t o n C o l l e g e , B r i s t o l ,

U K . W e g i v e B r a d l e y ' s s o l u t i o n  

T h e c a s e   n  = 9  c a n b e d o n e a s f o l l o w s :

1 7 8 1 9 8 1 7 6  

6 1 7 8 1 7 6 1  

5 6 1 7 6 1 5  

1 5 6 1 5 4  

4 1 5 4 1  

3 4 1 3  

1 3 2 

2 1 

F o r t h e c a s e   n  = 6  m  + 3  o n e s t a r t s w i t h t h e r o w  

1 4  m  + 3  1 6  m  + 1 6  m  + 2 1

c e n t r e s q u a r e

z |

6  m  + 3 6  m  + 2 1 6  m  + 1 6  m  1 4  m  + 3 4  m  + 2 

T h e n i f o n e w o r k s d o w n s i x r o w s y o u g e t

1 4  m  ,  1 1 6  m  ,  5 6  m  ,  4 1 6  m  ,  3 6  m  ,  4 1 6  m  ,  5 6  m  ,  6 1 4  m  ,  1 4  m  ,  2 

a n d t h e r e s u l t t h e n f o l l o w s b y i n d u c t i o n o n   m  , w i t h t h e p a t t e r n u p t o   m  = 1 

a s i n t h e r s t t r i a n g l e .

4  . A f u n c t i o n   f  : N  !  N  i s s u c h t h a t f  f  m  +  f  n  =  m  +  n  f o r a l l

m  n  2  N  N  =  f  1  2  g  d e n o t e s t h e s e t o f a l l p o s i t i v e i n t e g e r s . F i n d a l l

s u c h f u n c t i o n s .

S o l u t i o n s b y M o h a m m e d A a s s i l a , C R M , U n i v e r s i t e d e M o n t r e a l ,

M o n t r e a l , Q u e b e c ; b y P i e r r e B o r n s z t e i n , C o u r d i m a n c h e , F r a n c e ; a n d b y  

C h r i s t o p h e r J . B r a d l e y , C l i f t o n C o l l e g e , B r i s t o l , U K . W e g i v e t h e s o l u t i o n  

b y B o r n s z t e i n  

P o u r m  n  2  N 

, d ' a p r e s

f  f  m  +  f  n  =  m  +  n  1

f  f  m  +  f  n  +  f  f  m  +  f  n  = 2 m  +  n 

e t d o n c

f  f  f  m  +  f  n  +  f  f  m  +  f  n  =   f  m  +  f  n  +  f  m  +  f  n 

= 2 f  m  +  f  n 

e t

f  f  f  m  +  f  n  +  f  f  m  +  f  n  =   f  2  m  + 2  n 

Page 11: The Olympiad Corner

7/30/2019 The Olympiad Corner

http://slidepdf.com/reader/full/the-olympiad-corner 11/14

3 3 5 

A i n s i

2  f  m  + 2  f  n  =  f  2  m  + 2  n  . 2

P o u r m  =  n  4  f  n  =  f  4  n 

P o u r m  = 2  p  + 1  n  = 2  p  ,  1  2  f  2  p  + 1 + 2  f  2  p  ,  1 =  f  8  p  = 

4  f  2  p  d ' o u p o u r p    1 

f  2  p  + 1 = 2  f  2  p  ,  f  2  p  ,  1 . 3

D e m ^e m e p o u r m  = 2  p  + 2  n  = 2  p  ,  2  p    2 o n o b t i e n t

f  2  p  + 2 = 2  f  2  p  ,  f  2  p  ,  2 . 4

O n p o s e   f  1 =   a  f  2 =   b 

E n u t i l i s a n t 3 e t 4 o n t r o u v e  

f  3 = 2  b  ,  a 

f  4 =   f  4    1 = 4  f  1 = 4  a 

f  5 = 9  a  ,  2  b 

f  6 = 8  a  ,  b 

M a i s p o u r m  = 2  n  = 1  , 2 c o n d u i t a  f  6 = 2  f  2 + 2  f  1 = 2  a  + 2  b 

D o n c 8  a  ,  b  = 2  a  + 2  b  ; c . a . d . b  = 2  a  . O n e n d e d u i t q u e p o u r n  2 f  1 

6  g  f  n  =  a n  . U n e r e c u r r e n c e i m m e d i a t e e n u t i l i s a n t 3 e t 4 p e r m e t

d ' o b t e n i r :

f  n  =  a n p o u r t o u t n  2  N 

A l o r s d a n s 1 , p o u r t o u s m n  2  N 

m  +  n  =  f  f  m  +  f  n  =  f  a  m  +  n  =  a 

2

m  +  n 

d ' o u  a  = 1  e t f  =  i d 

R e c i p r o q u e n t , f  =  i d 

c o n v i e n t .

5  . I n t h e t r a p e z i u m   A B C D   , t h e b a s e s a r e   A B  =  a  C D  =  b  , a n d  

t h e d i a g o n a l s m e e t a t t h e p o i n t O  . F i n d t h e r a t i o o f t h e a r e a s o f t h e t r i a n g l e  

A B O  a n d t r a p e z i u m .

S o l u t i o n s b y M o h a m m e d A a s s i l a , C R M , U n i v e r s i t e d e M o n t r e a l ,

M o n t r e a l , Q u e b e c ; b y M i g u e l A m e n g u a l C o v a s , C a l a F i g u e r a , M a l l o r c a , S p a i n ;

b y P i e r r e B o r n s z t e i n , C o u r d i m a n c h e , F r a n c e ; a n d b y C h r i s t o p h e r J . B r a d l e y ,

C l i f t o n C o l l e g e , B r i s t o l , U K . W e g i v e t h e s o l u t i o n b y A m e n g u a l .

D C 

B A 

b

Page 12: The Olympiad Corner

7/30/2019 The Olympiad Corner

http://slidepdf.com/reader/full/the-olympiad-corner 12/14

3 3 6 

S i n c e t r i a n g l e s w i t h t h e s a m e h e i g h t h a v e a r e a s i n p r o p o r t i o n t o t h e i r b a s e s

a n d s i n c e   4  A O B  4  C O D  , w e h a v e  

D O A 

A O B 

O D 

O B 

o r D O A  = 

A O B 

w h e r e   P  d e n o t e s t h e a r e a o f p o l y g o n   P 

A l s o , s i n c e t h e a r e a s o f s i m i l a r t r i a n g l e s a r e p r o p o r t i o n a l t o t h e s q u a r e s

o n c o r r e s p o n d i n g s i d e s ,

C O D 

A O B 

2

2

o r C O D  = 

2

2

A O B 

F i n a l l y , s i n c e   4  A B D  a n d  4  A B C  h a v e t h e s a m e b a s e a n d e q u a l a l t i -

t u d e   A B D  = A B C  , a n d s i n c e  

A B D  = A O B  + D O A  A B C  = A O B  + B O C 

i t f o l l o w s t h a t D O A  = B O C 

C o n s e q u e n t l y ,

A B C D   = A O B  + B O C  + C O D  + D O A 

= A O B  + 2 D O A  + C O D 

t h a t i s , A B C D   = 

 

1 + 2 

2

2

 

A O B 

g i v i n g   A B C D   = 

 

a  +  b 

 

2

A O B 

a n d 

A O B 

A B C D  

 

a  +  b 

 

2

R e m a r k  . T h e f o l l o w i n g r e l a t e d p r o b l e m a p p e a r s i n   S o l v i n g P r o b l e m s  

i n G e o m e t r y   b y V . G u s e v , V . L i t v i n e n k o a n d A . M o r d k o v i c h , M i r P u b l i s h e r s ,

M o s c o w 1 9 8 8 , p a g e 6 0 : T h e d i a g o n a l s o f a t r a p e z o i d   A B C D   A D  k B C  i n -

t e r s e c t a t t h e p o i n t O  . F i n d t h e a r e a o f t h e t r a p e z o i d i f i t i s k n o w n t h a t t h e  

a r e a o f t h e t r i a n g l e   A O D  i s e q u a l t o   a 

2

, a n d t h e a r e a o f t h e t r i a n g l e   B O C 

i s e q u a l t o   b 

2

G R A D E X I I

1  . C o n s i d e r a l l p a i r s o f r e a l n u m b e r s s a t i s f y i n g t h e i n e q u a l i t i e s

,  1    x  +  y    1  ,  1    x y  +  x  +  y    1 

L e t M  d e n o t e t h e l a r g e s t p o s s i b l e v a l u e o f x 

Page 13: The Olympiad Corner

7/30/2019 The Olympiad Corner

http://slidepdf.com/reader/full/the-olympiad-corner 13/14

3 3 7 

a P r o v e t h a t M    3 

b P r o v e t h a t M    2 

c F i n d   M 

S o l u t i o n s b y M o h a m m e d A a s s i l a , C R M , U n i v e r s i t e d e M o n t r e a l ,

M o n t r e a l , Q u e b e c ; b y P i e r r e B o r n s z t e i n , C o u r d i m a n c h e , F r a n c e ; b y  

C h r i s t o p h e r J . B r a d l e y , C l i f t o n C o l l e g e , B r i s t o l , U K ; b y M u r r a y S . K l a m k i n ,

U n i v e r s i t y o f A l b e r t a , E d m o n t o n , A l b e r t a ; a n d b y E d w a r d T . H . W a n g , W i l f r i d  

L a u r i e r U n i v e r s i t y , W a t e r l o o , O n t a r i o . W e u s e t h e s o l u t i o n b y K l a m k i n  

L e t t i n g   u  =  x  + 1  a n d  v  =  y  + 1  , t h e g i v e n i n e q u a l i t i e s b e c o m e  

0    u v    2  1    u  +  v    3 

C l e a r l y   u  a n d  v  m u s t e a c h b e n o n - n e g a t i v e a n d s o t h e m a x i m u m v a l u e o f u 

i s 3  . F i n a l l y , x 

m a x

= 2 

2  . A p o s i t i v e i n t e g e r n  i s c a l l e d a n   a m b i t i o u s   n u m b e r i f i t p o s s e s s e s

t h e f o l l o w i n g p r o p e r t y : w r i t i n g i t d o w n i n d e c i m a l r e p r e s e n t a t i o n o n t h e  

r i g h t o f a n y p o s i t i v e i n t e g e r g i v e s a n u m b e r t h a t i s d i v i s i b l e b y   n  . F i n d :

a t h e r s t 1 0  a m b i t i o u s n u m b e r s ;

b a l l t h e a m b i t i o u s n u m b e r s .

S o l u t i o n s b y M o h a m m e d A a s s i l a , C R M , U n i v e r s i t e d e M o n t r e a l ,

M o n t r e a l , Q u e b e c ; b y C h r i s t o p h e r J . B r a d l e y , C l i f t o n C o l l e g e , B r i s t o l , U K ;

b y M u r r a y S . K l a m k i n , U n i v e r s i t y o f A l b e r t a , E d m o n t o n , A l b e r t a ; a n d b y  

E d w a r d T . H . W a n g , W i l f r i d L a u r i e r U n i v e r s i t y , W a t e r l o o , O n t a r i o . W e g i v e  

B r a d l e y ' s s o l u t i o n  

W e a s s u m e i n t h i s s o l u t i o n t h a t n  c a n n o t b e g i n w i t h a z e r o s o t h a t 0 4  i s

n o t a c c e p t a b l e . F o r n  t o b e a m b i t i o u s i t m u s t b e a   k  d i g i t n u m b e r d i v i d i n g  

1 0 

k

  m  f o r a l l m  , w h i c h i s s o i f a n d o n l y i f n  1 0 

k

. T h e a m b i t i o u s n u m b e r s

a r e t h u s 1  2  5  1 0  2 0  2 5  5 0  1 0 0  1 2 5  2 0 0 

3  . T h e a r e a o f a t r a p e z i u m e q u a l s 2  ; t h e s u m o f i t s d i a g o n a l s e q u a l s 4 

P r o v e t h a t t h e d i a g o n a l s a r e o r t h o g o n a l .

S o l u t i o n s b y M o h a m m e d A a s s i l a , C R M , U n i v e r s i t e d e M o n t r e a l ,

M o n t r e a l , Q u e b e c ; b y M i g u e l A m e n g u a l C o v a s , C a l a F i g u e r a , M a l l o r c a , S p a i n ;

b y P i e r r e B o r n s z t e i n , C o u r d i m a n c h e , F r a n c e ; b y C h r i s t o p h e r J . B r a d l e y ,

C l i f t o n C o l l e g e , B r i s t o l , U K ; a n d b y M u r r a y S . K l a m k i n , U n i v e r s i t y o f A l -

b e r t a , E d m o n t o n , A l b e r t a . W e g i v e t h e s o l u t i o n o f K l a m k i n  

I f a  a n d  b  a r e t h e d i a g o n a l l e n g t h s a n d     t h e a n g l e b e t w e e n t h e m , t h e n  

t h e a r e a   2 = 

1

2

a b  s i n    . S i n c e   4 =  a  +  b    2 

a b  , t h e m a x i m u m v a l u e o f a b 

i s 4  . H e n c e   s i n    = 1  , s o t h a t   =  =  2 

4  1 0 0  n u m b e r s a r e w r i t t e n a r o u n d a c i r c l e . T h e i r s u m e q u a l s 1 0 0  . T h e  

s u m o f a n y   6  n e i g h b o u r i n g n u m b e r s d o e s n o t e x c e e d   6  . T h e r s t n u m b e r i s

6  . F i n d t h e r e m a i n i n g n u m b e r s .

Page 14: The Olympiad Corner

7/30/2019 The Olympiad Corner

http://slidepdf.com/reader/full/the-olympiad-corner 14/14

3 3 8 

S o l u t i o n s b y M o h a m m e d A a s s i l a , C R M , U n i v e r s i t e d e M o n t r e a l ,

M o n t r e a l , Q u e b e c ; a n d b y P i e r r e B o r n s z t e i n , C o u r d i m a n c h e , F r a n c e . W e  

g i v e t h e s o l u t i o n o f B o r n s z t e i n  

O n a p p e l l e   x 

1

2

1 0 0

c e s n o m b r e s d a n s l e s e n s h o r a i r e , e t o n  

p o s e   x 

1 0 0 +   i

=  x 

i

. O n a , p o u r i = 1  2  1 0 0 

i

+  x 

i + 1

+  +  x 

1 0 0

+  x 

1

+  : : : x  

i ,  1

+  x 

i

+  x 

i + 1

= 1 0 0 +   x 

i

+  x 

i + 1

e t c o m m e i l y a   1 0 2 = 6    1 7  t e r m e s d a n s c e t t e s o m m e , e n l e s g r o u p a n t p a r

6  c o n s e c u t i f s , o n a   1 0 0 +   x 

i

+  x 

i + 1

  1 0 2 

c a d  x 

i

+  x 

i + 1

  2 

A l o r s

1 0 0 = x 

1

+  x 

2

+ x 

3

+  x 

4

+  + x 

9 9

+  x 

1 0 0

  2    5 0 

a v e c e g a l i t e s s i p o u r t o u t i   1  x 

2 i ,  1

+  x 

2 i

= 2  . D o n c p o u r i   1 

2 i ,  1

+  x 

2 i

= 2 

D e m ^e m e 

1 0 0 = x 

2

+  x 

3

+ x 

4

+  x 

5

+  + x 

1 0 0

+  x 

1

  2    5 0 

a v e c e q a l i t e s s i x 

2 i

+  x 

2 i + 1

= 2  p o u r i   1 

F i n a l e m e n t , p o u r t o u t i   1  x 

i

+  x 

i + 1

= 2  O r x 

1

= 6  d o n c

2

=  ,  4  e t p a r r e c u r r e n c e i m m e d i a t e p o u r i = 1  2  5 0  x 

2 i ,  1

= 6 

2 i

=  ,  4  . C e t t e f a m i l l e v e r i e b i e n l e s c o n d i t i o n s d e l ' e n o n c e

5  . S h o w t h a t , a t a n y t i m e , m o v i n g b o t h t h e h o u r - h a n d a n d t h e m i n u t e -

h a n d o f t h e c l o c k s y m m e t r i c a l l y w i t h r e s p e c t t o t h e v e r t i c a l 6  ,  1 2 a x i s

r e s u l t s i n a p o s s i b l e p o s i t i o n o f t h e c l o c k - h a n d s . H o w m a n y s t r a i g h t l i n e s

c o n t a i n i n g t h e c e n t r e o f t h e c l o c k - f a c e p o s s e s s t h e s a m e p r o p e r t y ?

S o l u t i o n b y M o h a m m e d A a s s i l a , C R M , U n i v e r s i t e d e M o n t r e a l ,

M o n t r e a l , Q u e b e c  

E l e v e n ,

3 6 0 

1 1 

n  = 0  1  2  1 0

T h a t c o m p l e t e s t h e C o r n e r f o r t h i s i s s u e . S e n d m e y o u r n i c e s o l u t i o n s

a s w e l l a s c o n t e s t m a t e r i a l s .