The Molecular Symmetry Group

8/3/2019 The Molecular Symmetry Group

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3

T h e M o l e c u l a r S y m m e t r y

G r o u p

T h e m o l e c u l a r s y m m e t r y g r o u p i s d e n e d . I n a p r e a m b l e w e o u t l i n e t h e w a y

t h a t g r o u p s a r e u s e d i n m o l e c u l a r p h y s i c s , a n d p o i n t o u t t h a t w e c o u l d u s e

t h e C N P I g r o u p a s d e n e d i n C h a p t e r 2 . H o w e v e r , t h e r e a r e d r a w b a c k s , a n d

w e s h o w h o w t h e u s e o f a s u b g r o u p , w h i c h i s t h e m o l e c u l a r s y m m e t r y g r o u p ,

o v e r c o m e s t h e s e d r a w b a c k s . W e d e n e t h e t e r m s r i g i d a n d n o n r i g i d m o l e c u l e ,

a n d g i v e e x a m p l e s o f m o l e c u l a r s y m m e t r y g r o u p s f o r t h e m . W e i n c l u d e a s p e c i a l

d i s c u s s i o n o f w e a k l y b o u n d c l u s t e r m o l e c u l e s , s o m e t i m e s c a l l e d ` v a n d e r W a a l s

m o l e c u l e s ' .

3 . 1 P R E A M B L E

T h i s i s a s u m m a r y o f r e s u l t s t h a t w i l l b e d e v e l o p e d l a t e r .

E v e r y g r o u p h a s a s p e c i c s e t o f i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n s w i t h n a m e s s u c h

a s A

1

B

g

E , a n d F

2

C h a p t e r 5 . I n t h e s a m e w a y a s w e l a b e l a s t a t e

a c c o r d i n g t o i t s p a r i t y b y d e t e r m i n i n g t h e e e c t o f E

o n t h e w a v e f u n c t i o n o f

t h e s t a t e s e e E q s . 2 - 3 - 2 - 8 , w e c a n l a b e l a s t a t e a c c o r d i n g t o t h e i r r e d u c i b l e

r e p r e s e n t a t i o n s o f a s y m m e t r y g r o u p o f t h e m o l e c u l e i n q u e s t i o n b y d e t e r m i n i n g

t h e e e c t o f t h e e l e m e n t s o f t h e g r o u p o n t h e w a v e f u n c t i o n C h a p t e r 6 . A

s y m m e t r y g r o u p o f a m o l e c u l e i s a g r o u p w h o s e e l e m e n t s c o m m u t e w i t h t h e

H a m i l t o n i a n o f t h e m o l e c u l e ; u s i n g s o m e w h a t l o o s e r l a n g u a g e t h e e l e m e n t s o f

a s y m m e t r y g r o u p o f a m o l e c u l e d o n o t c h a n g e t h e e n e r g y o f t h e m o l e c u l e .

T h i s d o e s n o t s e e m t o h a v e a n y t h i n g t o d o w i t h t h e c u s t o m a r y u s e o f t h e

w o r d ` s y m m e t r y ' w h i c h i s c o n c e r n e d w i t h t h e g e o m e t r i c a l s h a p e o f a n o b j e c t ,

a n d t h i s p o i n t i s d i s c u s s e d i n C h a p t e r 4 . D i e r e n t m o l e c u l e s h a v e d i e r e n t

s y m m e t r y g r o u p s , a n d d i e r e n t s y m m e t r y g r o u p s h a v e d i e r e n t i r r e d u c i b l e

r e p r e s e n t a t i o n s w h i c h a r e g i v e n i n c h a r a c t e r t a b l e s s e e A p p e n d i x A . T h e

i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n l a b e l s c a l l e d s y m m e t r y l a b e l s a r e s t r a i g h t f o r w a r d

t o d e t e r m i n e a n d o n c e w e h a v e l a b e l e d t h e e n e r g y l e v e l s i n t h i s w a y t h e m o l e c u l e

b e c o m e s m u c h e a s i e r t o u n d e r s t a n d . T h e e l e m e n t s o f t h e C N P I g r o u p o f a

m o l e c u l e a l l c o m m u t e w i t h t h e H a m i l t o n i a n o f t h e i s o l a t e d m o l e c u l e i n f r e e

s p a c e , a n d t h u s t h e C N P I g r o u p o f a m o l e c u l e i s a s y m m e t r y g r o u p o f t h a t

2 8


2/24

3 . 2 . T h e d r a w b a c k s o f u s i n g t h e C N P I g r o u p 2 9

m o l e c u l e C h a p t e r 7 . W e c o u l d u s e t h e i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e

C N P I g r o u p o f a m o l e c u l e t o l a b e l i t s e n e r g y l e v e l s , b u t t h i s i s n o t a l w a y s a

c l e v e r t h i n g t o d o . I t i s u s u a l l y b e t t e r t o u s e a s u b g r o u p o f t h e C N P I g r o u p

c a l l e d t h e m o l e c u l a r s y m m e t r y g r o u p .

T h e d e n i t i o n o f t h e m o l e c u l a r s y m m e t r y M S g r o u p i s e a s i e r t o a p p r e c i -

a t e a f t e r w e h a v e c o n s i d e r e d t h e q u e s t i o n w h a t d o w e d o w i t h t h e s y m m e t r y

l a b e l s " ? I n g e n e r a l t e r m s w e u s e t h e m t o l a b e l e n e r g y l e v e l s t h a t c a n b e d i s -

t i n g u i s h e d i n t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s t h a t w e a r e i n t e r p r e t i n g , a n d w e d o

n o t n e e d t o d o m o r e . W e c a n s a y t h a t i f o u r s y m m e t r y g r o u p p e r m i t s t h i s

t h e n i t i s a s u c i e n t l y l a r g e s y m m e t r y g r o u p a n d i t p r o v i d e s s u c i e n t s y m m e -

t r y l a b e l i n g . T h e m o l e c u l a r s y m m e t r y g r o u p , i n c o n j u n c t i o n w i t h t h e s p a t i a l

t h r e e - d i m e n s i o n a l p u r e r o t a t i o n g r o u p K s p a t i a l t o b e d i s c u s s e d i n t h e n e x t

c h a p t e r , a l l o w s t h i s . T o b e m o r e s p e c i c , w e u s e t h e s y m m e t r y l a b e l s t o d e -

t e r m i n e n u c l e a r s p i n s t a t i s t i c a l w e i g h t s C h a p t e r 8 , a n d t o i d e n t i f y a l l z e r o

o r d e r l e v e l s t h a t c a n a n d c a n n o t i n t e r a c t a s a r e s u l t o f c o n s i d e r i n g a t h e e f -

f e c t o f p r e v i o u s l y n e g l e c t e d t e r m s i n t h e c o m p l e t e H a m i l t o n i a n C h a p t e r 1 3 ,

o r b t h e e e c t o f a p p l y i n g a n e x t e r n a l p e r t u r b a t i o n s u c h a s a n e l e c t r i c o r

m a g n e t i c e l d . W e a l s o u s e t h e s y m m e t r y l a b e l s t o d e c i d e w h i c h s t a t e s o f t h e

m o l e c u l e c a n b e c o n n e c t e d b y t r a n s i t i o n s i n t h e p r e s e n c e o f e l e c t r o m a g n e t i c

r a d i a t i o n C h a p t e r 1 4 . W e c a n u s e t h e m o l e c u l a r s y m m e t r y g r o u p a n d t h e

g r o u p K s p a t i a l f o r t h e s e p u r p o s e s .

3 . 2 T H E D R A W B A C K S O F U S I N G T H E C N P I G R O U P

L e t u s c o n s i d e r t h e n u m b e r o f e l e m e n t s i n t h e C N P I g r o u p . F o r a s e r i e s o f

m o l e c u l e s t h e o r d e r o f t h e C N P I g r o u p t w i c e t h e o r d e r o f t h e C N P g r o u p i s

a s f o l l o w s :

H

2

2 2 = 4 C

2

H

6

2 6 2 = 2 8 8 0

H

2

O 2 2 = 4 C

2

H

5

O H 2 ! 6 2 = 2 8 8 0

B F

3

3 2 = 1 2 C

6

H

6

6 6 2 = 1 0 3 6 8 0 0

C H

3

F 3 2 = 1 2 C H

3

C O C H

2

C H

2

O H 4 ! 8 2 2 = 3 8 7 0 7 2 0

C H

4

4 2 = 4 8 C

6

H

5

C H

3

7 8 2 4 1 0

8

C

2

H

4

2 4 2 = 9 6 C

6

H

6

H

2

O

2

6 1 0 2 2 1 0

1 0

S F

6

6 2 = 1 4 4 0 C

6 0

6 0 2 1 0

8 2

C l e a r l y t h e o r d e r o f t h e C N P I g r o u p c a n b e v e r y l a r g e ,

1

a n d i t o n l y d e p e n d s

o n t h e c h e m i c a l f o r m u l a o f t h e m o l e c u l e ; t h e s t r u c t u r e o f t h e m o l e c u l e i s u n i m -

p o r t a n t .

A s w e l l a s b e i n g v e r y l a r g e t h e C N P I g r o u p a l m o s t i n v a r i a b l y p r o d u c e s a

s y m m e t r y c l a s s i c a t i o n o f t h e l e v e l s o f a m o l e c u l e i n w h i c h t h e r e a r e s y s t e m -

a t i c m u l t i p l e l a b e l s . T h e C N P I g r o u p o f m e t h a n e G

4 8

s e e T a b l e A - 2 9 h a s 1 0

i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n s a n d i t p r o v i d e s a c o n v e n i e n t e x a m p l e . U s i n g G

4 8

i t t u r n s o u t t h a t t h e r o t a t i o n - v i b r a t i o n a l e n e r g y l e v e l s o f a m e t h a n e m o l e c u l e

w o u l d b e l a b e l e d a s b e i n g o f o n e o f t h e f o l l o w i n g v e t y p e s : A

+

1

A

1

A

+

2

A

2

1

T h e e x a c t v a l u e o f 6 0 ! i s g i v e n o n p a g e 1 5 .


3/24

3 0 3 . T h e M o l e c u l a r S y m m e t r y G r o u p

E

+

E F

+

1

F

1

o r F

+

2

F

2

, w h e r e t h e ` + ' a n d ` , ' s u p e r s c r i p t s a r e t h e

p a r i t y l a b e l s g i v e n b y t h e e e c t o f t h e o p e r a t i o n E

. S u c h d o u b l e " l a b e l s

i n d i c a t e a n a c c i d e n t a l d e g e n e r a c y . S u c h s y s t e m a t i c d e g e n e r a c i e s a r e n o t r e a l l y

a c c i d e n t a l b u t w e c a l l t h e m a c c i d e n t a l h e r e s i n c e t h e y a r e n o t r e q u i r e d b y t h e

s y m m e t r y o f t h e C N P I g r o u p . T h e s e d e g e n e r a c i e s , w h i c h w e w i l l n o w c a l l s t r u c -

t u r a l d e g e n e r a c i e s , a r e c a u s e d b y t h e p r e s e n c e o f m o r e t h a n o n e v e r s i o n B o n e ,

R o w l a n d s , H a n d y a n d S t o n e 1 9 9 1 o f t h e e q u i l i b r i u m s t r u c t u r e , i n a g i v e n

e l e c t r o n i c s t a t e o f a m o l e c u l e . W e w i l l r s t e x p l a i n w h a t w e m e a n b y ` v e r s i o n s

o f t h e e q u i l i b r i u m s t r u c t u r e ' , a n d t h e n s h o w h o w s t r u c t u r a l d e g e n e r a c y a r i s e s .

T h e i d e a o f v e r s i o n s o f a n e q u i l i b r i u m s t r u c t u r e c a n b e e x p l a i n e d u s i n g t h e

m e t h a n e m o l e c u l e a s a n e x a m p l e . I n F i g . 3 - 1 a a m e t h a n e m o l e c u l e i s s h o w n

w i t h t h e n u c l e i i n t h e e q u i l i b r i u m c o n g u r a t i o n f o r t h e g r o u n d e l e c t r o n i c s t a t e .

I f w e d e f o r m t h e m o l e c u l e t h r o u g h t h e p l a n a r c o n g u r a t i o n F i g . 3 - 1 b w e c a n

i n v e r t t h e m o l e c u l e t o o b t a i n t h e f o r m s h o w n i n F i g . 3 - 1 c . T h e c o n g u r a t i o n s

i n F i g s . 3 - 1 a a n d 3 - 1 c a r e t h e n u c l e a r c o n g u r a t i o n s a t t w o i d e n t i c a l l y s h a p e d

d e e p m i n i m a i n t h e p o t e n t i a l e n e r g y s u r f a c e V

N

s e e C h a p t e r 9 o f t h e g r o u n d

e l e c t r o n i c s t a t e , a n d t h e c o n g u r a t i o n s h o w n i n F i g . 3 - 1 b r e p r e s e n t s a s a d d l e

p o i n t i n V

N

b e t w e e n t h e m i n i m a . F i g s . 3 - 1 a a n d 3 - 1 c s h o w t h e t w o p o s s i b l e

v e r s i o n s o f t h e m e t h a n e m o l e c u l e i n i t s e q u i l i b r i u m c o n g u r a t i o n . D i e r e n t v e r -

s i o n s o f t h e e q u i l i b r i u m s t r u c t u r e a r i s e n o t o n l y i n m o l e c u l e s , s u c h a s m e t h a n e ,

i n w h i c h t h e y c a n b e i n t e r c h a n g e d b y i n v e r s i o n , b u t a l s o r a t h e r c o m m o n l y i n

m o l e c u l e s s u c h a s e t h a n e H

3

C C H

3

i n w h i c h t h e y c a n b e i n t e r c h a n g e d b y t o r -

s i o n . T h e r e a r e o t h e r , l e s s c o m m o n , w a y s f o r t h e m t o a r i s e , a s w e s h a l l s e e

w h e n w e c o n s i d e r t h e e t h y l e n e m o l e c u l e . I n t r o d u c i n g s o m e o t h e r t e r m i n o l o g y

t h a t w e w i l l u s e , w e c a n s a y t h a t w h e n a m o l e c u l e c o n t o r t s f r o m o n e v e r s i o n t o

a n o t h e r i t u n d e r g o e s a d e g e n e r a t e r e a r r a n g e m e n t

F i g . 3 - 1 . A m e t h a n e m o l e c u l e i n t w o d i f -

f e r e n t s y m m e t r i c a l l y e q u i v a l e n t e q u i l i b r i u m s t r u c -

t u r e s , a a n d c , w h i c h c a n b e i n t e r c o n v e r t e d

b y a d e f o r m a t i o n t h r o u g h t h e p l a n a r c o n g u r a t i o n

s h o w n i n b .

T o d i s t i n g u i s h b e t w e e n t h e d i e r e n t v e r s i o n s o f t h e e q u i l i b r i u m s t r u c t u r e o f

a m o l e c u l e i t i s n e c e s s a r y t o l a b e l t h e n u c l e i . H a v i n g l a b e l e d t h e n u c l e i o f a

m o l e c u l e i n i t s e q u i l i b r i u m s t r u c t u r e , w e d e t e r m i n e t h e n u m b e r o f v e r s i o n s o f

t h e e q u i l i b r i u m s t r u c t u r e b y n d i n g o u t h o w m a n y d i s t i n c t f o r m s c a n b e o b -

t a i n e d b y p e r m u t i n g t h e l a b e l s o n i d e n t i c a l n u c l e i w i t h a n d w i t h o u t i n v e r t i n g

t h e m o l e c u l e . V e r s i o n s a r e s u c h t h a t t o i n t e r c o n v e r t t h e m o n e c a n n o t m e r e l y r o -


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3 . 2 . T h e d r a w b a c k s o f u s i n g t h e C N P I g r o u p 3 1

t a t e t h e m o l e c u l e i n s p a c e b u t o n e m u s t d e f o r m t h e m o l e c u l e a c r o s s a p o t e n t i a l

b a r r i e r .

F o r t h e m e t h a n e m o l e c u l e t h e r e a r e o n l y t w o v e r s i o n s o f t h e e q u i l i b r i u m

s t r u c t u r e a s w e c a n s e e o n c e w e h a v e l a b e l e d t h e p r o t o n s s e e F i g . 3 - 2 . W e

c a l l t h e v e r s i o n s i n F i g s . 3 - 2 a a n d 3 - 2 b t h e A f o r a n t i c l o c k w i s e v e r s i o n a n d t h e

C f o r c l o c k w i s e v e r s i o n , r e s p e c t i v e l y , s i n c e i n t h e A C v e r s i o n 1 ! 2 ! 3 i s

a n t i c l o c k w i s e c l o c k w i s e l o o k i n g i n t h e C ! H

4

d i r e c t i o n .

F i g . 3 - 2 . T h e t w o v e r s i o n s o f t h e e q u i l i b r i u m

s t r u c t u r e o f a m e t h a n e m o l e c u l e . T h e y a r e d i s t i n -

g u i s h a b l e b e c a u s e w e h a v e n u m b e r e d t h e p r o t o n s .

T h e v e r s i o n i n a i s c a l l e d t h e a n t i c l o c k w i s e A

v e r s i o n i n t h e t e x t b e c a u s e 1 ! 2 ! 3 i s a n t i c l o c k -

w i s e w h e n v i e w e d i n t h e C ! H

4

d i r e c t i o n , a n d b

i s t h e c l o c k w i s e C v e r s i o n .

T h e e t h y l e n e m o l e c u l e w a s c o n s i d e r e d i n C h a p t e r s 1 a n d 2 , a n d i t p r e s e n t s

a f u r t h e r e x a m p l e o f s t r u c t u r a l d e g e n e r a c y . L a b e l i n g t h e p r o t o n s o n e t o f o u r

a n d t h e c a r b o n n u c l e i v e a n d s i x i n a n e t h y l e n e m o l e c u l e , w e s e e t h a t i n i t s

e l e c t r o n i c g r o u n d s t a t e t h e r e a r e a l t o g e t h e r 1 2 d i s t i n c t n u m b e r e d v e r s i o n s o f

t h e e q u i l i b r i u m s t r u c t u r e s h o w n s c h e m a t i c a l l y i n F i g . 1 - 3 o n p a g e 1 8 . T o

i n t e r c h a n g e p a i r s o f t h e s e v e r s i o n s w e e i t h e r h a v e t o t w i s t o n e C H

2

g r o u p

r e l a t i v e t o t h e o t h e r , o r w e h a v e t o b r e a k b o n d s w h i l e r e - f o r m i n g n e w o n e s .

T o u n d e r s t a n d s t r u c t u r a l d e g e n e r a c y , a n d h o w i t a r i s e s w h e n t h e r e a r e v e r -

s i o n s o f t h e e q u i l i b r i u m s t r u c t u r e , w e n e e d o n l y h a v e a q u a l i t a t i v e a p p r e c i a -

t i o n o f t h e s o l u t i o n o f t h e v i b r a t i o n a l S c h r o d i n g e r e q u a t i o n . F o r t h e m e t h a n e

m o l e c u l e w e c a n c h o o s e e i t h e r s t r u c t u r e A o r C i n F i g . 3 - 2 a s t h e e q u i l i b -

r i u m c o n g u r a t i o n f o r t h e p u r p o s e o f d e n i n g t h e v i b r a t i o n a l d i s p l a c e m e n t s .

D e p e n d i n g u p o n w h i c h s t r u c t u r e A o r C w e c h o o s e w e o b t a i n v i b r a t i o n a l

w a v e f u n c t i o n s

n

A

a n d e n e r g i e s E

n

A

, o r

n

C

a n d E

n

C

, w h e r e n = 1 2 3 ; : : : ;

f o r t h e s u c c e s s i v e e i g e n s t a t e s . I f , a s i s t r u e i n m e t h a n e , t h e b a r r i e r i n V

N

b e t w e e n t h e m i n i m a A a n d C i s v e r y h i g h t h e n t h e w a v e f u n c t i o n s

n

A

a r e

l o c a l i z e d i n t h e A m i n i m u m a n d t h e w a v e f u n c t i o n s

n

C

i n t h e C m i n i m u m ,

w i t h n o e e c t i v e p e n e t r a t i o n o f e i t h e r i n t o t h e o t h e r m i n i m u m . I n o t h e r w o r d s

t h e m o l e c u l a r v i b r a t i o n s j u s t o c c u r i n t h e r e g i o n a r o u n d e a c h m i n i m u m . S i n c e

t h e t w o m i n i m a i n V

N

f o r m e t h a n e h a v e t h e s a m e s h a p e t h e y a r e s y m m e t r i -

c a l l y e q u i v a l e n t t h e e n e r g i e s E

n

A

a n d E

n

C

w i l l b e i d e n t i c a l a n d i d e n t i c a l t o

t h e o b s e r v e d v i b r a t i o n a l e n e r g i e s E

n

. T h u s e a c h o b s e r v e d v i b r a t i o n a l e n e r g y

l e v e l w i l l b e d o u b l y d e g e n e r a t e , c o r r e s p o n d i n g t o t h e e n e r g i e s E

n

A

a n d E

n

C

a n d t h i s i s s t r u c t u r a l d e g e n e r a c y .

I f t h e r e a r e n v e r s i o n s o f t h e g l o b a l m i n i m u m a t t h e e q u i l i b r i u m s t r u c t u r e

i n t h e p o t e n t i a l f u n c t i o n V

N

f o r a m o l e c u l e , w i t h n o e e c t i v e p e n e t r a t i o n t u n -

n e l i n g o f t h e b a r r i e r s b e t w e e n t h e s e m i n i m a b y t h e l o c a l w a v e f u n c t i o n s , t h e n

e a c h l e v e l w i l l b e n - f o l d s t r u c t u r a l l y d e g e n e r a t e . W h e n t u n n e l i n g o c c u r s t h e

d e g e n e r a c y i s s p l i t , a n d t h i s h a p p e n s i f t h e b a r r i e r i s n o t h i g h r e l a t i v e t o t h e


5/24


v i b r a t i o n a l e n e r g y . I n a c t u a l f a c t t h e r e w i l l a l w a y s b e s o m e t u n n e l i n g , s i n c e

p o t e n t i a l e n e r g y b a r r i e r s a r e n o t i n n i t e l y h i g h , b u t o f t e n t h e e x p e r i m e n t a l

r e s o l u t i o n i s n o t h i g h e n o u g h t o d e t e c t t h e s p l i t t i n g . T h i s i s t h e c a s e a t t h e

m o m e n t f o r m e t h a n e . S t r u c t u r a l d e g e n e r a c y i s n o t r e q u i r e d b y t h e s y m m e t r y o f

t h e C N P I g r o u p s i n c e t h e s y m m e t r y g r o u p i s t h e s a m e r e g a r d l e s s o f t h e h e i g h t

o f t h e b a r r i e r t o t u n n e l i n g , a n d t h e p o s s i b i l i t y o f t h e s p l i t t i n g m u s t t h e r e f o r e b e

a l l o w e d f o r b y t h e s y m m e t r y l a b e l s o b t a i n e d u s i n g t h e C N P I g r o u p . A m o l e c u l e

f o r w h i c h n o o b s e r v a b l e t u n n e l i n g b e t w e e n m i n i m a i n V

N

o c c u r s w h e t h e r t h e s e

m i n i m a b e s y m m e t r i c a l l y e q u i v a l e n t o r n o t ; s e e a n s w e r v i t o P r o b l e m 3 - 1 o n

p a g e 3 9 i s s a i d t o b e r i g i d , a n d o n e f o r w h i c h o b s e r v a b l e t u n n e l i n g o c c u r s i s

s a i d t o b e n o n r i g i d . I t i s i m p o r t a n t t o r e a l i z e t h a t t h i s d e n i t i o n o f a r i g i d

m o l e c u l e s t i l l a l l o w s n o n z e r o v i b r a t i o n a l a m p l i t u d e s a n d i t a l l o w s c e n t r i f u g a l

d i s t o r t i o n .

N o e x p e r i m e n t a l s p l i t t i n g s , t o r s i o n a l o r o t h e r w i s e , r e s u l t i n g f r o m t u n n e l i n g

t h r o u g h t h e b a r r i e r s t h a t s e p a r a t e t h e 1 2 v e r s i o n s o f e t h y l e n e s e e F i g . 1 - 3 h a v e

b e e n o b s e r v e d ; t h e b a r r i e r s i n t h e g r o u n d e l e c t r o n i c s t a t e p o t e n t i a l f u n c t i o n

t h a t s e p a r a t e t h e s e 1 2 v e r s i o n s a r e f o r a l l p r a c t i c a l p u r p o s e s i n s u p e r a b l e a n d

t h e m o l e c u l e i s , t h e r e f o r e , a r i g i d m o l e c u l e . T o d e t e r m i n e t h e v i b r a t i o n a l e n e r g y

l e v e l p a t t e r n o f e t h y l e n e w e w o u l d o n l y n e e d t o c o n s i d e r o n e n u m b e r e d v e r s i o n

a n d t h e s h a p e o f t h e o n e d e e p m i n i m u m c o n t a i n i n g t h a t v e r s i o n i n t h e p o t e n t i a l

e n e r g y s u r f a c e V

N

. E a c h o f t h e t w e l v e v e r s i o n s w o u l d h a v e i d e n t i c a l v i b r a t i o n a l

e n e r g y l e v e l s a n d t h e s e w o u l d m a t c h t h e o b s e r v e d v i b r a t i o n a l e n e r g y l e v e l s

o f t h e m o l e c u l e . T h u s e a c h o f t h e v i b r a t i o n a l e n e r g y l e v e l s o f e t h y l e n e i n i t s

e l e c t r o n i c g r o u n d s t a t e h a s a t w e l v e - f o l d s t r u c t u r a l d e g e n e r a c y .

F i g . 3 - 3 . T h e t w o v e r s i o n s o f a n u n s y m m e t r i -

c a l b e n t S O

2

m o l e c u l e .

S t r u c t u r a l d e g e n e r a c y i s p r e s e n t i n n e a r l y a l l m o l e c u l e s t h a t c o n t a i n i d e n t i c a l

n u c l e i . T h e l o w e r t h e s t r u c t u r a l s y m m e t r y o f a m o l e c u l e t h e m o r e v e r s i o n s o f

t h e e q u i l i b r i u m s t r u c t u r e t h e r e w i l l b e , a n d t h e s t r u c t u r a l d e g e n e r a c y i n c r e a s e s

a t a d r a m a t i c r a t e w i t h t h e s i z e o f t h e m o l e c u l e . S i m p l e s y m m e t r i c a l m o l e c u l e s

s u c h a s S O

2

o r B F

3

i n t h e i r g r o u n d e l e c t r o n i c s t a t e s h a v e n o s t r u c t u r a l d e g e n -

e r a c y s i n c e f o r e a c h t h e r e i s o n l y o n e d i s t i n c t n u m b e r e d v e r s i o n . H o w e v e r , i t i s

p o s s i b l e t h a t S O

2

h a s u n e q u a l b o n d l e n g t h s a t e q u i l i b r i u m i n a n e x c i t e d e l e c -

t r o n i c s t a t e ; i f t r u e t h i s m e a n s t h a t i n t h i s e x c i t e d e l e c t r o n i c s t a t e t h e r e w o u l d

b e t w o d i s t i n c t n u m b e r e d v e r s i o n s o f t h e m o l e c u l e a t e q u i l i b r i u m , a s s h o w n i n

F i g . 3 - 3 , a n d e a c h l e v e l w o u l d b e s t r u c t u r a l l y d o u b l y d e g e n e r a t e i f t h e r e w a s

n o t u n n e l i n g b e t w e e n t h e v e r s i o n s . I f t h e r e w e r e a n e x c i t e d e l e c t r o n i c s t a t e

o f B F

3

i n w h i c h t h e m o l e c u l e w e r e p l a n a r w i t h t h r e e u n e q u a l b o n d l e n g t h s a t

e q u i l i b r i u m , w i t h n o o b s e r v a b l e t u n n e l i n g s p l i t t i n g s , t h e n e a c h l e v e l w o u l d h a v e

a s t r u c t u r a l d e g e n e r a c y o f s i x . I n m e t h a n e t h e v i b r a t i o n a l l e v e l s o f a n o n p l a n a r

e l e c t r o n i c s t a t e w i t h f o u r u n e q u a l e q u i l i b r i u m b o n d l e n g t h s a n d n o t u n n e l i n g

s p l i t t i n g s , w o u l d h a v e a s t r u c t u r a l d e g e n e r a c y o f 4 8 .


6/24

3 . 3 . T h e d e n i t i o n o f t h e M S g r o u p 3 3

W e s e e t h a t , a l t h o u g h m a t h e m a t i c a l l y c o r r e c t , t h e u s e o f t h e C N P I g r o u p

h a s t h e d r a w b a c k s o f o f t e n b e i n g i n c r e d i b l y l a r g e a n d o f o f t e n p r o d u c i n g a

s y m m e t r y l a b e l i n g i n w h i c h a c c i d e n t a l d e g e n e r a c i e s o c c u r i n a s y s t e m a t i c f a s h -

i o n . W e o n l y n e e d t h e c h e m i c a l f o r m u l a o f a m o l e c u l e i n o r d e r t o s e t u p t h e

C N P I g r o u p , a n d a l t h o u g h w e o f t e n k n o w , o r c a n g u e s s , t h e e q u i l i b r i u m s t r u c -

t u r e o f a m o l e c u l e a n d t h e t u n n e l i n g p o s s i b i l i t i e s , t h i s i n f o r m a t i o n i s n o t u s e d

i n s e t t i n g u p t h e g r o u p . T h i s i n f o r m a t i o n i s u s e d i n s e t t i n g u p t h e m o l e c u l a r

s y m m e t r y g r o u p , a n d t h e m o l e c u l a r s y m m e t r y g r o u p d o e s n o t s u e r f r o m t h e s e

d r a w b a c k s .

3 . 3 T H E D E F I N I T I O N O F T H E M O L E C U L A R S Y M M E T R Y M S

G R O U P

T o a p p r e c i a t e t h e d e n i t i o n o f t h e m o l e c u l a r s y m m e t r y M S g r o u p l e t u s

c o n s i d e r t h e p r o b l e m o f c a l c u l a t i n g t h e v i b r a t i o n a l e n e r g i e s o f t h e m e t h y l u o -

r i d e m o l e c u l e . T h e p o t e n t i a l e n e r g y s u r f a c e V

N

f o r t h e m e t h y l u o r i d e m o l e c u l e

i n i t s g r o u n d e l e c t r o n i c s t a t e h a s t w o d e e p m i n i m a c e n t e r e d a t t h e a n t i c l o c k w i s e

A a n d c l o c k w i s e C l a b e l e d v e r s i o n s s h o w n i n F i g s . 3 - 4 a a n d 3 - 4 b , r e s p e c -

t i v e l y . T o d e t e r m i n e t h e v i b r a t i o n a l e n e r g y l e v e l s a m a t h e m a t i c i a n m i g h t i n s i s t

t h a t w e s h o u l d d e t e r m i n e t h e e i g e n v a l u e s o f t h e v i b r a t i o n a l H a m i l t o n i a n u s i n g

t h e c o m p l e t e d o u b l e m i n i m u m p o t e n t i a l e n e r g y s u r f a c e . H o w e v e r , e x p e r i e n c e

t e l l s u s t h a t t h e r e w i l l b e n o o b s e r v a b l e s p l i t t i n g s a s a r e s u l t o f t u n n e l i n g b e -

t w e e n t h e A a n d C v e r s i o n s f o r t h e v i b r a t i o n a l l e v e l s t h a t w e s t u d y . T h u s f o r a l l

p r a c t i c a l p u r p o s e s w e c a n d e t e r m i n e t h e v i b r a t i o n a l e n e r g y l e v e l s o f t h e m e t h y l

u o r i d e m o l e c u l e b y s o l v i n g t h e v i b r a t i o n a l e q u a t i o n f o r t h e e n e r g y l e v e l s i n

o n e m i n i m u m , a p p r o p r i a t e f o r t h e A v e r s i o n , s a y , w i t h t h e c o m p l e t e n e g l e c t o f

t h e p o t e n t i a l e n e r g y s u r f a c e i n t h e r e g i o n o f t h e o t h e r m i n i m u m . V i b r a t i o n a l

i n t e r a c t i o n s o r e x t e r n a l p e r t u r b a t i o n s w i l l o n l y c o n n e c t o n e A v e r s i o n l e v e l w i t h

a n o t h e r A v e r s i o n l e v e l i n t h e a b s e n c e o f i n v e r s i o n t u n n e l i n g . T h e C v e r s i o n

w i l l p r o v i d e a d u p l i c a t e s e t o f e n e r g y l e v e l s a n d i n t e r a c t i o n s s o t h a t t h e m e t h y l

u o r i d e m o l e c u l e h a s t w o f o l d s t r u c t u r a l d e g e n e r a c y .

F i g . 3 - 4 . T h e t w o v e r s i o n s o f a m e t h y l u o -

r i d e m o l e c u l e a t e q u i l i b r i u m w h e r e a i s t h e a n t i -

c l o c k w i s e A v e r s i o n a n d b i s t h e c l o c k w i s e C

v e r s i o n .

W e c a n c o m p l e t e l y u n d e r s t a n d t h e r o t a t i o n - v i b r a t i o n e n e r g y l e v e l s a n d a l l

p o s s i b l e i n t e r a c t i o n s w i t h i n t h e g r o u n d e l e c t r o n i c s t a t e o f m e t h y l u o r i d e a p a r t

f r o m i n v e r s i o n t u n n e l i n g b y c o n s i d e r i n g o n l y o n e v e r s i o n o f t h e m o l e c u l e .

H e n c e w e n e e d o n l y m a k e a s y m m e t r y l a b e l i n g o f t h e l e v e l s o f o n e v e r s i o n

t o o b t a i n a s u c i e n t s y m m e t r y l a b e l i n g o f t h e l e v e l s o f t h e m o l e c u l e . T o d o


7/24


t h i s w e j u s t n e e d t h e C N P I g r o u p o f o n e v e r s i o n o f t h e m o l e c u l e , i . e . , t h e g r o u p

f E 1 2 3 1 3 2 1 2

2 3

1 3

g ; 3 - 1

t h i s g r o u p , c a l l e d C

3 v

M , w a s i n t r o d u c e d i n E q . 2 - 1 3 i n t h e a n s w e r t o P r o b -

l e m 2 - 2 . T h e C

3 v

M g r o u p i n E q . 3 - 1 i s t h e m o l e c u l a r s y m m e t r y g r o u p o f

m e t h y l u o r i d e w h e n i n v e r s i o n t u n n e l i n g s p l i t t i n g s a r e n o t o b s e r v e d . E l e m e n t s

i n t h e C N P I g r o u p o f m e t h y l u o r i d e t h a t i n t e r c o n v e r t t h e A a n d C v e r s i o n s ,

s u c h a s 1 2 o r 1 2 3

, a r e n o t p r e s e n t i n t h e M S g r o u p a n d c o n s t i t u t e w h a t

a r e c a l l e d L o n g u e t - H i g g i n s 1 9 6 3 u n f e a s i b l e e l e m e n t s o f t h e C N P I g r o u p o f

m e t h y l u o r i d e ; w e c o u l d e q u a l l y w e l l c a l l t h e m u s e l e s s e l e m e n t s o f t h e C N P I

g r o u p . T h e u s e o f t h e w o r d ` u n f e a s i b l e ' f o r a p e r m u t a t i o n o r p e r m u t a t i o n -

i n v e r s i o n c a u s e d s o m e c o n t r o v e r s y i n t h e e a r l y d a y s a f t e r L o n g u e t - H i g g i n s '

p a p e r ; i t s e e m e d t o s u g g e s t a ` p a t h w a y ' f o r s u c h a n o p e r a t i o n . T h u s t h e a l -

t e r n a t i v e w o r d ` u s e l e s s ' h a s s o m e m e r i t . W e w i l l , h o w e v e r , c o n t i n u e t o u s e t h e

w o r d ` u n f e a s i b l e ' s i n c e i t h a s b e c o m e e n t r e n c h e d i n t h e l i t e r a t u r e , a n d t h e f a l s e

n a t u r e o f t h e i m p l i c a t i o n o f a p a t h w a y i s u n d e r s t o o d b y t h o s e t h a t u s e t h e

g r o u p s i n m o l e c u l a r s p e c t r o s c o p y .

T h e M S g r o u p o f a m o l e c u l e i s o b t a i n e d b y d e l e t i n g a l l e l e m e n t s f r o m t h e

C N P I g r o u p o f t h e m o l e c u l e t h a t a r e u n f e a s i b l e ; t h e e l e m e n t s i n t h e M S g r o u p

a r e s a i d t o b e f e a s i b l e . A n u n f e a s i b l e e l e m e n t i s o n e t h a t i n t e r c o n v e r t s n u m b e r e d

e q u i l i b r i u m v e r s i o n s o f t h e m o l e c u l e w h e n t h e s e v e r s i o n s a r e s e p a r a t e d b y a n

i n s u p e r a b l e b a r r i e r i n t h e p o t e n t i a l e n e r g y s u r f a c e ; a n i n s u p e r a b l e b a r r i e r i s

o n e t h a t d o e s n o t a l l o w o b s e r v a b l e t u n n e l i n g t o o c c u r t h r o u g h i t o n t h e t i m e

s c a l e o f t h e e x p e r i m e n t b e i n g p e r f o r m e d . T u n n e l i n g m a y n o t b e o b s e r v a b l e i f

w e u s e a l o w r e s o l u t i o n e x p e r i m e n t y e t i t m a y o c c u r i f w e u s e a h i g h r e s o l u t i o n

e x p e r i m e n t . T h e M S g r o u p t h a t w e u s e t o a n a l y z e t h e r e s u l t s w i l l t h e n b e

d i e r e n t f o r t h e t w o c a s e s s i n c e t h e e l e m e n t s a s s o c i a t e d w i t h t h e t u n n e l i n g a r e

f e a s i b l e i n t h e l a t t e r h i g h r e s o l u t i o n c a s e b u t n o t i n t h e f o r m e r l o w r e s o l u t i o n

c a s e . I f s p l i t t i n g s f r o m i n v e r s i o n t u n n e l i n g w e r e o b s e r v e d i n m e t h y l u o r i d e

p e r h a p s i n h i g h l y e x c i t e d v i b r a t i o n a l s t a t e s , a n d w e w i s h e d t o s y m m e t r y

l a b e l t h e s p l i t l e v e l s , t h e M S g r o u p o f t h e m o l e c u l e w o u l d b e c o m e e q u a l t o

i t s C N P I g r o u p s i n c e a l l e l e m e n t s o f i t w o u l d b e f e a s i b l e . I n t h e s a m e w a y

t h a t t o s e t u p t h e p o i n t g r o u p f o r a m o l e c u l e w e n e e d t o k n o w t h e e q u i l i b r i u m

g e o m e t r y , s o t o s e t u p t h e M S g r o u p w e n e e d t o k n o w t h e e q u i l i b r i u m g e o m e t r y

a n d t h e s i t u a t i o n w i t h r e g a r d t o v i b r a t i o n a l t u n n e l i n g .

W e w i l l u s e t h e t e r m s ` f e a s i b l e ' a n d ` u n f e a s i b l e ' i n t w o d i e r e n t w a y s . T h e

r s t w a y i s a s d i s c u s s e d a b o v e w h e n d e t e r m i n i n g w h i c h p e r m u t a t i o n s i n t h e

C N P I g r o u p s h o u l d b e r e t a i n e d i n t h e M S g r o u p . T h e s e c o n d w a y i s r a t h e r

c l o s e l y r e l a t e d a n d i t c o n c e r n s t h e l a b e l i n g o f t u n n e l i n g m o t i o n s t h r o u g h b a r r i -

e r s i n t h e p o t e n t i a l f u n c t i o n o f a m o l e c u l e . I f s u c h t u n n e l i n g m o t i o n s d e g e n e r -

a t e r e a r r a n g e m e n t s p r o d u c e o b s e r v a b l e s p l i t t i n g s o r s h i f t s t h e n s u c h m o t i o n s

w i l l b e c a l l e d f e a s i b l e , a n d i f t h e y d o n o t p r o d u c e o b s e r v a b l e s p l i t t i n g s o r s h i f t s

t h e n t h e y w i l l b e c a l l e d u n f e a s i b l e . W e c a l l g e o m e t r i e s t h a t a r e a c c e s s i b l e

a l o n g f e a s i b l e t u n n e l i n g p a t h s ` a c c e s s i b l e g e o m e t r i e s ' ; t h u s t h e p l a n a r g e o m e -

t r y o f a m m o n i a i s a c c e s s i b l e . A l l t h e s e d e n i t i o n s , o f c o u r s e , d e p e n d o n t h e

r e s o l u t i o n o f t h e e x p e r i m e n t b e i n g u s e d t o s t u d y t h e m o l e c u l e i n q u e s t i o n .


8/24


F o r t h e e t h y l e n e m o l e c u l e t h e C N P I g r o u p h a s 9 6 e l e m e n t s a n d i s t h e d i r e c t

p r o d u c t S

H

4

S

C

2

E s e e P r o b l e m 2 - 3 . T h e C N P I g r o u p o f o n e o f t h e

v e r s i o n s a , b , c , o r d s h o w n i n F i g . 1 - 3 c a n b e u s e d a s t h e M S g r o u p

o f e t h y l e n e , a n d i t c o n s i s t s o f t h e e i g h t e l e m e n t s g i v e n i n E q . 2 - 1 5 . I f w e

w i s h t o u s e o n e o f t h e n u m b e r e d v e r s i o n s e , f , g , o r h i n F i g . 1 - 3 , i n t h e

v i b r a t i o n a l p r o b l e m , t h e n t h e M S g r o u p w e u s e i s

f E 1 3 2 4 1 2 3 4 5 6 1 4 2 3 5 6

E

1 3 2 4

1 2 3 4 5 6

1 4 2 3 5 6

g 3 - 2

w h e r e a s i f w e w a n t t o u s e o n e o f t h e n u m b e r e d v e r s i o n s i , j k o r l i n

F i g . 1 - 3 t h e a p p r o p r i a t e M S g r o u p i s

f E 1 4 2 3 1 2 3 4 5 6 1 3 2 4 5 6

E

1 4 2 3

1 2 3 4 5 6

1 3 2 4 5 6

g 3 - 3

T o s o l v e t h e v i b r a t i o n a l p r o b l e m w e u s e o n e v e r s i o n o f t h e e t h y l e n e m o l e c u l e ,

a n d t h e M S g r o u p i s t h e o n e a p p r o p r i a t e f o r t h a t v e r s i o n . R e g a r d l e s s o f w h i c h

v e r s i o n w e c h o s e w e o b t a i n a n i d e n t i c a l e n e r g y l e v e l p a t t e r n a n d s y m m e t r y

l a b e l i n g .

N o t e t h a t f o r a p l a n a r m o l e c u l e t h e i n v e r s i o n o p e r a t i o n E

i s a l w a y s f e a s i b l e ,

a n d t h e M S g r o u p i s t h e d i r e c t p r o d u c t o f t h e g r o u p o f f e a s i b l e p e r m u t a t i o n s

a n d t h e i n v e r s i o n g r o u p E = f E E

g

T h e M S g r o u p i s t h u s d e n e d f o r a p a r t i c u l a r e l e c t r o n i c s t a t e a n d n u m b e r e d

v e r s i o n o f a m o l e c u l e w i t h r e g a r d t o t h e e x p e r i m e n t a l o b s e r v a t i o n o r n o n o b -

s e r v a t i o n o f t u n n e l i n g s p l i t t i n g s . I t t h e r e f o r e u s e s k n o w l e d g e o f t h e m o l e c u l a r

s t r u c t u r e a n d p o t e n t i a l e n e r g y s u r f a c e t o o b t a i n a s y m m e t r y g r o u p t h a t i s m u c h

s m a l l e r t h a n t h e C N P I g r o u p i n m o s t c a s e s , b u t w h i c h p r o v i d e s a s u c i e n t

s y m m e t r y l a b e l i n g o f t h e o b s e r v e d l e v e l s . W e r e t u r n t o t h e m e t h a n e m o l e c u l e

w i t h w h i c h w e b e g a n t h i s d i s c u s s i o n . O m i t t i n g u n f e a s i b l e e l e m e n t s f r o m t h e

C N P I g r o u p G

4 8

g i v e s t h e m o l e c u l a r s y m m e t r y g r o u p T

d

M s e e T a b l e A - 1 4

h a v i n g v e i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n s . U s i n g t h i s g r o u p t h e r o t a t i o n - v i b r a t i o n

l e v e l s a r e l a b e l e d A

1

A

2

E F

1

o r F

2

a n d t h e r e i s n o r e d u n d a n t d o u b l e l a -

b e l i n g a s o b t a i n e d u s i n g G

4 8

. T h i s l a b e l i n g , i n c o m b i n a t i o n w i t h t h e l a b e l i n g

o b t a i n e d f r o m t h e g r o u p K s p a t i a l , i s s u c i e n t t o u n d e r s t a n d t h e s y m m e t r y

a s p e c t s o f a l l i n t e r m o l e c u l a r i n t e r a c t i o n s a n d e x t e r n a l p e r t u r b a t i o n s w i t h t h e

e x c e p t i o n o f e e c t s a r i s i n g f r o m i n v e r s i o n t u n n e l i n g . I f i n s o m e u l t r a - h i g h r e s -

o l u t i o n e x p e r i m e n t i n v e r s i o n d o u b l e t s w e r e o b s e r v e d f o r m e t h a n e t h e n t h e r e

w o u l d b e t e n r a t h e r t h a n v e d i s t i n g u i s h a b l e s t a t e s a s f a r a s n u c l e a r p e r m u -

t a t i o n i n v e r s i o n s y m m e t r y w e r e c o n c e r n e d a n d t o d i s t i n g u i s h t h e m o n e w o u l d

n e e d t o u s e G

4 8

s i n c e t h e r e w o u l d n o l o n g e r b e d e g e n e r a c i e s b e t w e e n t h e s t a t e s

o f o p p o s i t e p a r i t y .

O n e s y s t e m a t i c w a y t o d e t e r m i n e t h e M S g r o u p o f a m o l e c u l e i s r s t t o

l a b e l t h e n u c l e i a n d t h e n t o w r i t e d o w n t h e e l e m e n t s o f t h e C N P I g r o u p o f t h e

m o l e c u l e . T h e n e x t s t a g e i s t o d r a w a l l t h e d i s t i n c t v e r s i o n s o f t h e m o l e c u l e

a t e q u i l i b r i u m b y p e r m u t i n g t h e l a b e l s o n i d e n t i c a l n u c l e i w i t h a n d w i t h o u t


9/24


i n v e r t i n g t h e m o l e c u l e a n d t o f o r m s e t s o f t h e s e v e r s i o n s t h a t o n e w i s h e s t o

b e c o n n e c t e d b y o b s e r v a b l e t u n n e l i n g e e c t s . T o o b t a i n t h e M S g r o u p i t i s

t h e n n e c e s s a r y t o c o n s i d e r o n e p a r t i c u l a r s e t a n d t o d e l e t e f r o m t h e C N P I

g r o u p o f t h e m o l e c u l e a n y e l e m e n t s t h a t c o n v e r t t h e v e r s i o n s i n t h a t s e t t o

t h e v e r s i o n s i n o t h e r s e t s . D i e r e n t s e t s m a y h a v e d i e r e n t M S g r o u p s f o r

e x a m p l e , s e e t h e g r o u p s i n E q s . 2 - 1 5 , 3 - 2 , a n d 3 - 3 . F o r l a r g e C N P I

g r o u p s t h i s m e t h o d f o r d e t e r m i n i n g t h e M S g r o u p i s v e r y c l u m s y , a n d a m o r e

e c i e n t w a y i s d e s c r i b e d i n t h e A p p e n d i x o f B o n e , R o w l a n d s , H a n d y a n d S t o n e

1 9 9 1 . I n t h i s a p p r o a c h o n e r s t w r i t e s d o w n t h e v e r s i o n s a n d t h e n d e t e r m i n e s

t h e p e r m u t a t i o n s a n d p e r m u t a t i o n i n v e r s i o n s o f o n e o f t h e v e r s i o n s . B y t h e n

d e t e r m i n i n g t h e p e r m u t a t i o n s t h a t i n t e r c o n n e c t v e r s i o n s b e t w e e n w h i c h t h e r e

i s f e a s i b l e t u n n e l i n g o n e c a n r a t h e r q u i c k l y a r r i v e a t a l l t h e e l e m e n t s o f t h e

M S g r o u p . I n t h e d e t e r m i n a t i o n o f l a r g e r M S g r o u p s i t i s u s e f u l t o k n o w

t h a t t h e y c a n b e w r i t t e n a s t h e p r o d u c t o f s u b g r o u p s s e e S e c t i o n 5 . 7 a n d t h e

B i b l i o g r a p h i c a l N o t e s t o C h a p t e r 5 .

P r o b l e m 3 - 1 . S e t u p t h e M S g r o u p s o f t h e f o l l o w i n g m o l e c u l e s i n t h e i r

g r o u n d e l e c t r o n i c s t a t e s : i C H

2

F

2

, i i H N

3

, i i i B F

3

, i v N F

3

, v C H

4

, v i

t r a n s C H F C H F , a n d v i i C

2

H

2

. E a c h o f t h e s e m o l e c u l e s i s s u c h t h a t e i t h e r

i t d o e s n o t p o s s e s s m o r e t h a n o n e v e r s i o n o f t h e e q u i l i b r i u m s t r u c t u r e o r , i f i t

d o e s , n o o b s e r v a b l e t u n n e l i n g b e t w e e n t h e m o c c u r s . H e n c e , t h e y a r e a l l r i g i d

m o l e c u l e s .

F i g . 3 - 5 . T h e t w o v e r s i o n s o f t h e e q u i l i b r i u m s t r u c t u r e o f a C H

2

F

2

m o l e c u l e .

F i g . 3 - 6 . T h e e e c t o f t h e o p e r a t i o n E

o n t h e v e r s i o n o f C H

2

F

2

g i v e n i n F i g . 3 - 5 a .

A n s w e r . i C H

2

F

2

. W e c h o o s e t o l a b e l t h e p r o t o n s 1 a n d 2 , a n d t h e u o r i n e

n u c l e i 3 a n d 4 , s o t h a t t h e C N P I g r o u p i s

f E 1 2 3 4 1 2 3 4 E

1 2

3 4

1 2 3 4

g 3 - 4


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T h e r e a r e o n l y t w o v e r s i o n s o f t h e e q u i l i b r i u m s t r u c t u r e a s s h o w n i n F i g . 3 - 5 ,

a n d n o t u n n e l i n g b e t w e e n t h e s e v e r s i o n s i s o b s e r v e d . T h e v e r s i o n i n F i g . 3 - 5 a

h a s 2 - 3 - 4 c l o c k w i s e w h e n l o o k i n g i n t h e C ! H

1

d i r e c t i o n a n d t h e v e r s i o n i n

F i g . 3 - 5 b h a s t h e m a n t i c l o c k w i s e . T h e p e r m u t a t i o n s 1 2 a n d 3 4 i n t e r c o n v e r t

t h e v e r s i o n s a n d a r e t h u s u n f e a s i b l e , w h e r e a s 1 2 3 4 i s f e a s i b l e s i n c e i t d o e s

n o t i n t e r c o n v e r t t h e v e r s i o n s . T h e o p e r a t i o n E

i n t e r c o n v e r t s t h e v e r s i o n s

s e e F i g . 3 - 6 a n d n o t e t h a t t h e v e r s i o n i n F i g . 3 - 6 b i s i d e n t i c a l t o t h e v e r s i o n

i n F i g . 3 - 5 b ; i . e . , i t i s t h e a n t i c l o c k w i s e v e r s i o n s o t h a t E

i s u n f e a s i b l e . T h e

o p e r a t i o n s 1 2

o r 3 4

d o n o t i n t e r c o n v e r t t h e v e r s i o n s a n d a r e b o t h f e a s i b l e .

T h e o p e r a t i o n 1 2 3 4

d o e s i n t e r c o n v e r t t h e v e r s i o n s a n d i s u n f e a s i b l e . T h u s

t h e M S g r o u p o f e i t h e r v e r s i o n o f C H

2

F

2

i s t h e g r o u p

f E 1 2 3 4 1 2

3 4

g 3 - 5

i i H N

3

. W e c h o o s e t o l a b e l t h e n i t r o g e n n u c l e i 1 , 2 , a n d 3 s o t h a t t h e

e l e m e n t s o f t h e C N P I g r o u p a r e

f E 1 2 2 3 1 3 1 2 3 1 3 2 E

1 2

2 3

1 3

1 2 3

1 3 2

g 3 - 6

F i g . 3 - 7 . T h e s i x v e r s i o n s o f t h e e q u i v a l e n t e q u i l i b r i u m s t r u c t u r e o f a n H N

3

m o l e c u l e .

T h e v e r s i o n s o f t h e e q u i l i b r i u m s t r u c t u r e a r e s h o w n i n F i g . 3 - 7 . T h e r e i s

n o o b s e r v a b l e t u n n e l i n g b e t w e e n t h e s e v e r s i o n s . I t i s e a s y t o s e e t h a t a l l t h e

p e r m u t a t i o n s i n t e r c o n v e r t v e r s i o n s . F o r e x a m p l e , w e d e t e r m i n e t h a t t h e v e r s i o n

i n F i g . 3 - 7 a i s t r a n s f o r m e d a s f o l l o w s :

1 2 a = c 2 3 a = b 1 3 a = f

1 2 3 a = d a n d 1 3 2 a = e 3 - 7

T h e i n v e r s i o n E

i s f e a s i b l e s i n c e i t d o e s n o t i n t e r c o n v e r t v e r s i o n s b u t a l l p e r -

m u t a t i o n s a c c o m p a n i e d b y t h e i n v e r s i o n a r e u n f e a s i b l e . T h u s t h e M S g r o u p o f


11/24


H N

3

i s

f E E

g 3 - 8

i i i B F

3

. W e l a b e l t h e t h r e e u o r i n e n u c l e i 1 , 2 , a n d 3 a n d h e n c e t h e C N P I

g r o u p i s t h e s a m e a s t h a t o f H N

3

g i v e n i n E q . 3 - 6 . H o w e v e r , i n i t s e q u i l i b r i u m

c o n g u r a t i o n B F

3

i s p l a n a r w i t h t h r e e e q u a l B F b o n d s , a n d a s a r e s u l t t h e r e

a r e n o d i e r e n t v e r s i o n s o f t h e e q u i l i b r i u m s t r u c t u r e ; a l l o p e r a t i o n s o f t h e C N P I

g r o u p a r e f e a s i b l e . T h u s t h e M S g r o u p o f B F

3

i s t h e s a m e a s i t s C N P I g r o u p

a n d t h e r e i s n o s t r u c t u r a l d e g e n e r a c y . T h e H

2

O m o l e c u l e i s a n o t h e r e x a m p l e

o f a s i m p l e m o l e c u l e h a v i n g n o s t r u c t u r a l d e g e n e r a c y f o r w h i c h t h e M S g r o u p

i s e q u a l t o t h e C N P I g r o u p .

i v N F

3

. L a b e l i n g t h e t h r e e u o r i n e n u c l e i 1 , 2 , a n d 3 w e o b t a i n t h e C N P I

g r o u p o f E q . 3 - 6 a s f o r H N

3

a n d B F

3

. F o r t h i s p y r a m i d a l m o l e c u l e t h e r e a r e

t w o v e r s i o n s o f t h e e q u i l i b r i u m s t r u c t u r e a s s h o w n i n F i g . 3 - 8 . T o i n t e r c o n v e r t

t h e s e v e r s i o n s w e m u s t i n v e r t t h e m o l e c u l e , a n d i n v e r s i o n s p l i t t i n g s a r e n o t

o b s e r v e d . D e l e t i n g e l e m e n t s f r o m t h e C N P I g r o u p t h a t i n t e r c o n v e r t t h e s e

v e r s i o n s w e o b t a i n t h e M S g r o u p o f N F

3

a s

f E 1 2 3 1 3 2 1 2

2 3

1 3

g 3 - 9

F i g . 3 - 8 . T h e t w o v e r s i o n s o f t h e e q u i l i b r i u m

s t r u c t u r e o f a n N F

3

m o l e c u l e .

v C H

4

. L a b e l i n g t h e f o u r p r o t o n s 1 , 2 , 3 , a n d 4 w e c a n w r i t e d o w n t h e

C N P I g r o u p o f t h e m o l e c u l e a s t h e d i r e c t p r o d u c t o f t h e C N P g r o u p S

H

4

c o n t a i n i n g 4 ! = 2 4 e l e m e n t s a n d t h e i n v e r s i o n g r o u p E ; t h i s h a s 4 8 e l e m e n t s .

A s d i s c u s s e d e a r l i e r i n t h i s c h a p t e r t h e r e a r e t w o d i s t i n c t n u m b e r e d v e r s i o n s

t h e A a n d C v e r s i o n s o f F i g . 3 - 2 a n d i n v e r s i o n t u n n e l i n g i s n o t o b s e r v e d . A n y

o p e r a t i o n , s u c h a s 1 2 , i n w h i c h o n e p a i r o f p r o t o n s i s p e r m u t e d i n t e r c o n v e r t s

t h e v e r s i o n s a n d i s h e n c e u n f e a s i b l e . A n y c y c l i c p e r m u t a t i o n o f t h r e e p r o t o n s i s

c l e a r l y f e a s i b l e , a n d t h e i n v e r s i o n E

i s e q u a l l y c l e a r l y u n f e a s i b l e . F r o m t h e s e

t h r e e r e s u l t s w e c a n r a t h e r q u i c k l y d e d u c e t h e M S g r o u p o f C H

4

b y m a k i n g

u s e o f t h e f o l l o w i n g r u l e s :

a a n y o p e r a t i o n t h a t i s t h e p r o d u c t o f a f e a s i b l e o p e r a t i o n a n d a n u n f e a s i b l e

o p e r a t i o n i s i t s e l f u n f e a s i b l e , a n d

b a n y o p e r a t i o n t h a t i s t h e p r o d u c t o f t w o f e a s i b l e o p e r a t i o n s i s i t s e l f

f e a s i b l e .

F o r a n e x a m p l e o f t h e u s e o f a w e c a n l o o k a t t h e p r o d u c t

1 2 3 3 4 = 1 2 3 4 3 - 1 0

T h e o p e r a t i o n 3 4 c o n v e r t s t h e v e r s i o n A t o v e r s i o n C s i n c e i t i s a n u n f e a s i b l e

o p e r a t i o n a n d 1 2 3 t h e n s e n d s C t o C s i n c e i t i s f e a s i b l e , s o t h e p r o d u c t o f


12/24


t h e s e t w o o p e r a t i o n s s e n d s A t o C a n d i s u n f e a s i b l e . F o r m e t h a n e a n y c y c l i c

p e r m u t a t i o n o f a l l f o u r p r o t o n s i s u n f e a s i b l e . A n e x a m p l e o f r u l e b i s p r o v i d e d

b y t h e p r o d u c t

1 2 3 2 3 4 = 1 2 3 4 3 - 1 1

T h e o p e r a t i o n 2 3 4 c o n v e r t s A t o A a n d t h e n 1 2 3 c o n v e r t s A t o A , s o t h a t

t h e p r o d u c t c o n v e r t s A t o A a n d i s f e a s i b l e . W e c a n s e e t h i s l a t t e r r e s u l t

a n o t h e r w a y b y l o o k i n g a t t h i s o p e r a t i o n a s t h e p r o d u c t 1 2 3 4 , a n d t h i s i s

t h e s u c c e s s i v e a p p l i c a t i o n o f t w o u n f e a s i b l e o p e r a t i o n s : 3 4 A = C , a n d 1 2 C

= A , s o t h a t t h e p r o d u c t s e n d s A t o A a n d i s f e a s i b l e . W e c a n t h u s a p p r e c i a t e

a t h i r d r u l e :

c F o r m o l e c u l e s w i t h o n l y t w o d i s t i n c t n u m b e r e d v e r s i o n s t h e p r o d u c t o f t w o

u n f e a s i b l e o p e r a t i o n s i s i t s e l f a f e a s i b l e o p e r a t i o n . F o r m o l e c u l e s h a v i n g m o r e

t h a n t w o d i s t i n c t n u m b e r e d v e r s i o n s t h e p r o d u c t o f t w o u n f e a s i b l e o p e r a t i o n s

m a y , o r m a y n o t , b e f e a s i b l e .

F o r m e t h a n e w e d e d u c e t h a t a l l c y c l i c p e r m u t a t i o n s o f t h r e e p r o t o n s a n d

a l l p e r m u t a t i o n s c o n s i s t i n g o f t w o s u c c e s s i v e p a i r t r a n s p o s i t i o n s a r e f e a s i b l e

w h e r e a s a l l p a i r t r a n s p o s i t i o n s , a n d c y c l i c p e r m u t a t i o n s o f a l l f o u r p r o t o n s a r e

u n f e a s i b l e . S i n c e E

i s u n f e a s i b l e w e c a n u s e r u l e s a a n d c t o d e d u c e t h a t t h e

p r o d u c t o f a p a i r t r a n s p o s i t i o n a n d E

o r t h e p r o d u c t o f a c y c l i c p e r m u t a t i o n

o f a l l f o u r p r o t o n s a n d E

i s f e a s i b l e . T h e M S g r o u p o f m e t h a n e t h u s c o n s i s t s

o f t h e f o l l o w i n g 2 4 e l e m e n t s :

E 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4

1 2

1 3 2 1 3 2 4 1 2 4 3

1 3

1 2 4 1 4 2 3 1 3 2 4

1 4

1 4 2 1 3 4 2

2 3

1 3 4 1 4 2 3

2 4

1 4 3 1 4 3 2

3 4

2 3 4

2 4 3

3 - 1 2

v i t r a n s C H F C H F . N u m b e r i n g t h e p r o t o n s 1 a n d 2 , t h e c a r b o n n u c l e i 3

a n d 4 , a n d t h e u o r i n e n u c l e i 5 a n d 6 , w e o b t a i n t h e C N P I g r o u p a s t h e d i r e c t

p r o d u c t

f E 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 1 2 5 6 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 g E 3 - 1 3

A l l f o u r v e r s i o n s o f t h e e q u i l i b r i u m s t r u c t u r e a r e g i v e n i n F i g . 3 - 9 . I t i s i m p o r -

t a n t t o r e a l i z e t h a t a s t r u c t u r e s u c h a s g i v e n i n F i g . 3 - 1 0 i s n o t s y m m e t r i c a l l y

e q u i v a l e n t t o t h o s e i n F i g . 3 - 9 s i n c e i t i s n o t o b t a i n e d f r o m a n y o f t h e m b y

r e l a b e l i n g i d e n t i c a l n u c l e i w i t h o r w i t h o u t i n v e r t i n g t h e m o l e c u l e . T h e s t r u c -

t u r e i n F i g . 3 - 1 0 i s t h e c i s s t r u c t u r e o f t h e m o l e c u l e a n d i s r e l a t e d t o t h e t r a n s

s t r u c t u r e b y t w i s t i n g t h e m o l e c u l e o v e r a p o t e n t i a l b a r r i e r . T h e d i s t i n c t i o n

b e t w e e n s t r u c t u r e a n d v e r s i o n i s d i s c u s s e d b y B o n e , R o w l a n d s , H a n d y a n d

S t o n e 1 9 9 1 . I n t h i s m o l e c u l e t h e g r o u n d e l e c t r o n i c s t a t e p o t e n t i a l e n e r g y


13/24


s u r f a c e h a s f o u r v e r s i o n s f o r t h e t r a n s s t r u c t u r e a n d f o u r v e r s i o n s f o r t h e c i s

s t r u c t u r e a t a d i e r e n t e n e r g y f r o m t h a t o f t h e t r a n s s t r u c t u r e . T h e s h a p e o f

t h e p o t e n t i a l e n e r g y s u r f a c e a r o u n d t h e c i s a n d t r a n s m i n i m a w i l l b e d i e r e n t

a n d t h e v i b r a t i o n a l e n e r g y l e v e l p a t t e r n s o f t h e c i s a n d t r a n s s t r u c t u r e s w i l l b e

d i e r e n t . F o r t r a n s C

2

H

2

F

2

t h e f e a s i b l e e l e m e n t s a r e e a s y t o d e t e r m i n e a n d

t h e M S g r o u p c o n s i s t s o f

f E 1 2 3 4 5 6 E

1 2 3 4 5 6

g 3 - 1 4

F i g . 3 - 9 . T h e f o u r v e r s i o n s o f t h e e q u i -

l i b r i u m t r a n s s t r u c t u r e o f t h e C H F C H F

m o l e c u l e .

T h e M S g r o u p o f c i s C

2

H

2

F

2

i s t h e s a m e a s t h a t o f t r a n s C

2

H

2

F

2

a n d i f

c i s - t r a n s t u n n e l i n g o c c u r s t h e M S g r o u p i s s t i l l t h e s a m e . T h e t u n n e l i n g i s

n o t b e t w e e n v e r s i o n s o f t h e e q u i l i b r i u m s t r u c t u r e , s o a l t h o u g h i t m a k e s t h e

m o l e c u l e n o n r i g i d i t d o e s n o t c a u s e a s p l i t t i n g o f a n y s t r u c t u r a l d e g e n e r a c y

a n d i t d o e s n o t e n l a r g e t h e M S g r o u p .

F i g . 3 - 1 0 . A n u m b e r e d v e r s i o n o f t h e c i s s t r u c t u r e o f t h e

C H F C H F m o l e c u l e .

v i i C

2

H

2

. I n t h e a c e t y l e n e m o l e c u l e H C C H w e n u m b e r t h e p r o t o n s 1 a n d 2

a n d t h e c a r b o n n u c l e i 3 a n d 4 ; t h e C N P I g r o u p i s t h e g r o u p o f e i g h t e l e m e n t s

g i v e n i n E q . 3 - 4 . T h e o p e r a t i o n s 3 4 1 2 3 4

, a n d 1 2

a r e u n f e a s i b l e

a n d t h e M S g r o u p i s

f E 1 2 3 4 E

1 2 3 4

g 3 - 1 5

F o r a n y s y m m e t r i c a l l i n e a r m o l e c u l e t h e M S g r o u p c o n s i s t s o f t h e f o u r e l e m e n t s

E p E

, a n d p

, w h e r e p i s t h e s i m u l t a n e o u s t r a n s p o s i t i o n o f a l l p a i r s o f

i d e n t i c a l n u c l e i s y m m e t r i c a l l y l o c a t e d a b o u t t h e m o l e c u l a r m i d - p o i n t . F o r a n y

u n s y m m e t r i c a l l i n e a r m o l e c u l e s u c h a s H C N t h e M S g r o u p i s f E E

g


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P r o b l e m 3 - 2 . S e t u p t h e M S g r o u p s o f t h e f o l l o w i n g n o n r i g i d m o l e c u l e s

i n t h e i r g r o u n d e l e c t r o n i c s t a t e s : i N H

3

a l l o w i n g f o r i n v e r s i o n t u n n e l i n g ; i i

C

2

H

4

a n d i i i H

2

O

2

a l l o w i n g f o r t o r s i o n a l t u n n e l i n g i n e a c h c a s e .

A n s w e r . i N H

3

w i t h i n v e r s i o n t u n n e l i n g . N u m b e r i n g t h e p r o t o n s 1 , 2 , a n d

3 t h e C N P I g r o u p i s a s f o r H N

3

g i v e n i n E q . 3 - 6 , a n d t h e r e a r e t w o v e r s i o n s

o f t h e e q u i l i b r i u m s t r u c t u r e a s f o r N F

3

s e e F i g . 3 - 8 . A l l o w i n g f o r t h e e e c t s

o f i n v e r s i o n t u n n e l i n g i n s e t t i n g u p t h e M S g r o u p w e m u s t i n c l u d e a s f e a s i b l e

e l e m e n t s p e r m u t a t i o n s a n d p e r m u t a t i o n i n v e r s i o n s t h a t i n t e r c o n v e r t v e r s i o n s

a c r o s s t h e i n v e r s i o n b a r r i e r . T h u s t h e M S g r o u p o f i n v e r t i n g N H

3

i s t h e s a m e

a s i t s C N P I g r o u p a n d t h i s i s t h e s a m e a s t h e M S g r o u p o f p l a n a r B F

3

i i C

2

H

4

w i t h t o r s i o n a l t u n n e l i n g . T h e C N P I g r o u p o f e t h y l e n e i s t h e d i r e c t

p r o d u c t S

H

4

S

C

2

E w i t h 9 6 e l e m e n t s a s d i s c u s s e d b e f o r e . I n F i g . 1 - 3 o n

p a g e 1 8 t h e 1 2 v e r s i o n s o f t h e e q u i l i b r i u m s t r u c t u r e o f a n e t h y l e n e m o l e c u l e i n

i t s g r o u n d e l e c t r o n i c s t a t e a r e d r a w n s c h e m a t i c a l l y . G r o u p i n g t h e s e i n t o s e t s

w i t h i n w h i c h t h e v e r s i o n s a r e c o n n e c t e d b y t o r s i o n a l t u n n e l i n g w e o b t a i n t h e

s i x s e t s a , b , c , d , e , f , g , h , i , j , a n d k , l f r o m F i g . 1 - 3 .

L e t u s c o n s i d e r t h e s e t a , b . E x a m p l e s o f e l e m e n t s t h a t c o n v e r t t h e v e r s i o n s

i n t h i s s e t i n t o v e r s i o n s i n o t h e r s e t s a r e 1 3 , 5 6 , 2 4 , a n d 2 3 4 , a n d t h e s e

a r e h e n c e u n f e a s i b l e e l e m e n t s o f t h e C N P I g r o u p f o r t h e s e t a , b . E l e m e n t s

s u c h a s 1 2 a n d 3 4 a r e f e a s i b l e , a n d c o m b i n i n g t h e s e w i t h t h e e l e m e n t s o f

t h e M S g r o u p o f n o n t o r s i o n a l l y t u n n e l i n g e t h y l e n e i n t h e v e r s i o n s a a n d b

s e e E q . 2 - 1 5 w e o b t a i n t h e M S g r o u p o f t h e t o r s i o n a l l y t u n n e l i n g v e r s i o n s

i n s e t a , b o f F i g . 1 - 3 a s

E 1 2 1 2 3 4 1 3 2 4 5 6 1 3 2 4 5 6

3 4 1 4 2 3 5 6 1 4 2 3 5 6

E 3 - 1 6

T h e M S g r o u p f o r t h e s e t c , d i s t h e s a m e a s t h i s . T h e M S g r o u p f o r t h e

s e t e , f o r t h e s e t g , h i s t h e g r o u p

E 1 3 1 3 2 4 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

2 4 1 4 2 3 5 6 1 4 3 2 5 6

E 3 - 1 7

a n d t h e M S g r o u p f o r t h e s e t i , j o r t h e s e t k , l i s t h e g r o u p

E 1 4 1 4 2 3 1 2 3 4 5 6 1 2 4 3 5 6

2 3 1 3 2 4 5 6 1 3 4 2 5 6

E 3 - 1 8

S i n c e w e o n l y c o n s i d e r a s i n g l e s e t o f v e r s i o n s o f t h e e q u i l i b r i u m s t r u c t u r e c o n -

n e c t e d b y a l l o w e d t u n n e l i n g , a n d n e g l e c t t h e o t h e r s , i n a v i b r a t i o n a l a n a l y s i s ,

t h e f a c t t h a t t h e r e a r e d i e r e n t M S g r o u p s p o s e s n o p r o b l e m s a s l o n g a s w e

a r e c a r e f u l t o u s e t h e o n e a p p r o p r i a t e t o t h e p a r t i c u l a r s e t c o n s i d e r e d . T h e s e

g r o u p s l e a d t o i d e n t i c a l e n e r g y l e v e l l a b e l i n g s o f t h e a p p r o p r i a t e s e t s .

i i i H

2

O

2

w i t h t o r s i o n a l t u n n e l i n g . T h e e q u i l i b r i u m s t r u c t u r e o f H

2

O

2

i n

i t s g r o u n d e l e c t r o n i c s t a t e i s n o n p l a n a r w i t h a d i h e d r a l a n g l e o f a p p r o x i m a t e l y

1 2 0

, a s s h o w n i n F i g . 3 - 1 1 . L a b e l i n g t h e p r o t o n s 1 a n d 2 , a n d t h e o x y g e n

n u c l e i 3 a n d 4 , w e c a n l a b e l t h e n u c l e i o f t h e c o n g u r a t i o n o f F i g . 3 - 1 1 i n t h e


15/24


t w o w a y s s h o w n i n a a n d b o f F i g . 3 - 1 2 . A n o n s u p e r p o s a b l e v e r s i o n o f t h e

e q u i l i b r i u m c o n g u r a t i o n i s o b t a i n e d f r o m t h a t o f F i g . 3 - 1 1 b y i n v e r t i n g i t , a n d

t h e t w o w a y s o f l a b e l i n g t h i s c o n g u r a t i o n a r e s h o w n i n c a n d d o f F i g . 3 - 1 2 .

T h e r e a r e t h u s f o u r v e r s i o n s o f t h e e q u i l i b r i u m s t r u c t u r e o f H

2

O

2

i n i t s g r o u n d

e l e c t r o n i c s t a t e . I f t h e r e w e r e n o o b s e r v a b l e t u n n e l i n g b e t w e e n t h e s e s t r u c t u r e s

e a c h v i b r a t i o n a l l e v e l w o u l d h a v e a f o u r f o l d s t r u c t u r a l d e g e n e r a c y a n d t h e M S

g r o u p w o u l d b e

f E 1 2 3 4 g 3 - 1 9

A l l o w i n g f o r t o r s i o n a l t u n n e l i n g t h e i n t e r c o n v e r s i o n s a $ c a n d b $ d

o f F i g . 3 - 1 2 a r e f e a s i b l e , a n d w e h a v e t w o s e t s o f s t r u c t u r e s , a , c a n d b ,

d . T h e M S g r o u p f o r e i t h e r o f t h e s e s e t s i s

f E 1 2 3 4 E

1 2 3 4

g 3 - 2 0

I n H

2

O

2

t o r s i o n a l t u n n e l i n g i s o b s e r v e d a n d t h e M S g r o u p i s a s g i v e n i n

E q . 3 - 2 0 .

F i g . 3 - 1 1 . T h e H

2

O

2

m o l e c u l e i n i t s e q u i l i b -

r i u m c o n g u r a t i o n ; a i s a v i e w f r o m t h e s i d e a n d

b i s a n e n d o n v i e w .

F i g . 3 - 1 2 . T h e f o u r v e r s i o n s o f t h e e q u i l i b r i u m

s t r u c t u r e o f a n H

2

O

2

m o l e c u l e s h o w n v i e w e d e n d

o n . T h e o x y g e n a t o m O

4

i s b e h i n d t h e o x y g e n a t o m

O

3

i n t h e f o u r g u r e s .

T h e H

2

S

2

m o l e c u l e h a s a s i m i l a r e q u i l i b r i u m s t r u c t u r e t o t h a t o f H

2

O

2

, w i t h

a d i h e d r a l a n g l e o f a b o u t 9 0

. E x c e p t i n u l t r a h i g h r e s o l u t i o n L a m b - d i p e x p e r -

i m e n t s M i t t l e r , Y a m a d a a n d W i n n e w i s s e r 1 9 9 0 a n d r e f e r e n c e s t h e r e i n H

2

S

2

h a s n o o b s e r v a b l e t o r s i o n a l t u n n e l i n g i n i t s g r o u n d s t a t e , a n d t h u s f o r n o r m a l

s p e c t r o s c o p i c w o r k o n t h i s s t a t e i t s M S g r o u p i s a s g i v e n i n E q . 3 - 1 9 ; n o p e r -

m u t a t i o n i n v e r s i o n e l e m e n t s a r e p r e s e n t . A m o l e c u l e h a v i n g n o p e r m u t a t i o n

i n v e r s i o n e l e m e n t s i n i t s M S g r o u p h a s o p t i c a l l y a c t i v e v e r s i o n s a n d H

2

S

2

i s a

s i m p l e e x a m p l e o f t h i s .


16/24

3 . 4 . W e a k l y b o u n d c l u s t e r m o l e c u l e s 4 3

3 . 4 W E A K L Y B O U N D C L U S T E R M O L E C U L E S

B e g i n n i n g w i t h t h e p i o n e e r i n g w o r k o f H a r r y W e l s h a n d h i s c o l l e a g u e s a t

t h e U n i v e r s i t y o f T o r o n t o i n t h e 6 0 ' s a n d e a r l y 7 0 ' s W a t a n a b e a n d W e l s h

1 9 6 4 , K u d i a n , W e l s h a n d W a t a n a b e 1 9 6 5 , K u d i a n a n d W e l s h 1 9 7 1 , a n d

M c K e l l a r a n d W e l s h 1 9 7 1 , 1 9 7 2 t h e h i g h r e s o l u t i o n s p e c t r o s c o p i c s t u d y o f

w e a k l y b o u n d m o l e c u l a r c l u s t e r s , o f t e n c a l l e d v a n d e r W a a l s m o l e c u l e s , h a s

g r o w n i n t o a t o p i c o f w i d e s p r e a d i n t e r e s t a n d i m p o r t a n c e . W e d e n e a w e a k l y

b o u n d m o l e c u l a r c l u s t e r a s a c o m p l e x f o r m e d i n t h e g a s p h a s e o r i n a m o l e c u l a r

b e a m b e t w e e n t w o o r m o r e s t a b l e n e u t r a l m o n o m e r s ; t h e m o n o m e r s c a n b e

a t o m s o r m o l e c u l e s . W e w i l l c a l l t h e m o n o m e r u n i t s w i t h i n t h e c l u s t e r m o i e t i e s

s o t h a t w e a r e f r e e t o u s e t h e w o r d m o l e c u l e f o r t h e c l u s t e r i t s e l f w i t h o u t

a m b i g u i t y . B y f a r t h e m o s t w i d e l y s t u d i e d m o l e c u l e s o f t h i s t y p e a r e d i m e r s :

t h e r e a r e h o m o g e n e o u s d i m e r s h a v i n g i d e n t i c a l m o i e t i e s s u c h a s H

2

2

, H F

2

H

2

O

2

, a n d N H

3

2

, a n d h e t e r o g e n e o u s d i m e r s h a v i n g d i s s i m i l a r m o i e t i e s

s u c h a s A r , H

2

A r , H C l , O C O , H F , a n d C

6

H

6

, H

2

O . L a r g e r c l u s t e r s a r e a l s o

t h e s u b j e c t o f m a n y i n v e s t i g a t i o n s , a n d s y s t e m s s u c h a s A r

n

N a

n

H

2

O

n

N a C l H

2

O

n

a n d C

6

H

6

H

2

O

n

a r e o f s p e c i a l i m p o r t a n c e .

T h e s e m o l e c u l e s a r e n o t w e l l d e s c r i b e d a s h a v i n g a n e q u i l i b r i u m s t r u c t u r e

a b o u t w h i c h s m a l l a m p l i t u d e v i b r a t i o n s o c c u r , a l t h o u g h t h e y o b v i o u s l y d o h a v e

a n e q u i l i b r i u m s t r u c t u r e a n d u s u a l l y m a n y v e r s i o n s o f i t . I n t h e e q u i l i b r i u m

s t r u c t u r e t h e b o n d s c a l l e d ` v a n d e r W a a l s ' b o n d s c o n n e c t i n g t h e a t o m s o f

d i e r e n t m o i e t i e s a r e m u c h l o n g e r t h a n a c o v a l e n t e l e c t r o n p a i r c h e m i c a l b o n d ,

a n d t h e y h a v e r e l a t i v e l y l o w d i s s o c i a t i o n e n e r g i e s a n d w e a k a n g u l a r r i g i d i t y .

A s a r e s u l t t o r s i o n a l m o t i o n s a b o u t t h e m , l a r g e s c a l e b e n d i n g o f o n e o r m o r e o f

t h e m , a n d e v e n t h e c o n c e r t e d b r e a k i n g w i t h t h e f o r m i n g o f n e w v a n d e r W a a l s

b o n d s c a n o c c u r . A n e x a m p l e o f t h e l a t t e r o c c u r s i n t h e f e a s i b l e t u n n e l i n g o f

t h e H F d i m e r b e t w e e n t h e v e r s i o n s H

1

F

2

, H

3

F

4

a n d F

2

H

1

, F

4

H

3

, w h e r e t h e

F

2

, H

3

b o n d b r e a k s a s t h e n e w H

1

, F

4

b o n d f o r m s ; t h i s m o t i o n w a s d i s c o v e r e d

b y D y k e , H o w a r d a n d K l e m p e r e r 1 9 7 2 . A s a r e s u l t o f t h e s e f e a s i b l e t u n n e l -

i n g m o t i o n s w e a k l y b o u n d m o l e c u l a r c l u s t e r s a r e u s u a l l y e x t r e m e l y n o n r i g i d ,

a n d p r o v i d e s y s t e m s f o r w h i c h t h e m o l e c u l a r s y m m e t r y g r o u p h a s a c h i e v e d

w i d e s p r e a d a p p l i c a t i o n .

T h e m o l e c u l a r s y m m e t r y g r o u p o f a w e a k l y b o u n d c l u s t e r m o l e c u l e c o u l d

b e s e t u p i n t h e g e n e r a l m a n n e r d e s c r i b e d a b o v e f o r a n y m o l e c u l e r i g i d o r

n o n r i g i d b y i d e n t i f y i n g t h e f e a s i b l e e l e m e n t s o f t h e C N P I g r o u p . H o w e v e r , f o r

t h e s e s y s t e m s a s t h e n u m b e r o f m o i e t i e s i n c r e a s e s t h e C N P I g r o u p c a n b e c o m e

t r u l y g i g a n t i c . E v e n m o r e d i s c o n c e r t i n g i s t h e f a c t t h a t t h e p o t e n t i a l e n e r g y

s u r f a c e o f s u c h c l u s t e r s c a n h a v e a h u g e n u m b e r o f m i n i m a n o t n e c e s s a r i l y

a l l s y m m e t r i c a l l y e q u i v a l e n t w i t h a l a r g e n u m b e r a n d v a r i e t y o f s a d d l e p o i n t s

c o n n e c t i n g t h e m . F i n d i n g t h e e q u i l i b r i u m s t r u c t u r e a n d d e t e r m i n i n g t h e f e a -

s i b l e d e g e n e r a t e r e a r r a n g e m e n t s c a n b e a d i c u l t t a s k . T h e d e t e r m i n a t i o n o f

t h e M S g r o u p s o f s u c h m o l e c u l e s t h u s b e c o m e s a s p e c i a l c a s e . S o m e m o d e l i n g

o f t h e t o p o l o g y o f t h e p o t e n t i a l e n e r g y s u r f a c e u s i n g t h e o r e t i c a l c a l c u l a t i o n s i s

v i r t u a l l y a p r e r e q u i s i t e f o r a l l b u t t h e s i m p l e s t s y s t e m s i n o r d e r t h a t o n e c a n

g a i n i n s i g h t i n t o t h e e q u i l i b r i u m s t r u c t u r e , t h e p o s s i b l e t u n n e l i n g p a t h w a y s a n d


17/24


t h e r e l e v a n t t u n n e l i n g s p l i t t i n g s . M i n i m a o t h e r t h a n t h o s e a t t h e g l o b a l m i n -

i m u m o f t h e p o t e n t i a l f u n c t i o n i . e . , o t h e r t h a n a t v e r s i o n s o f t h e e q u i l i b r i u m

s t r u c t u r e m a y a l s o b e i m p o r t a n t f o r t h e a n a l y s i s o f t h e s p e c t r u m .

F o r a w e a k l y b o u n d c l u s t e r m o l e c u l e i t i s f r e q u e n t l y n e c e s s a r y t o c o n s i d e r t h e

s u b g r o u p o f t h e C N P I g r o u p o b t a i n e d b y d e l e t i n g o n l y e l e m e n t s t h a t i n v o l v e

u n f e a s i b l e c o n t o r t i o n s o f e a c h o f t h e m o i e t i e s ; w e c a l l t h i s g r o u p t h e f u l l c l u s t e r

t u n n e l i n g F C T g r o u p . T h i s g r o u p i s o b t a i n e d f r o m t h e C N P I g r o u p o f t h e

m o l e c u l e b y d e l e t i n g a l l e l e m e n t s t h a t c o r r e s p o n d t o d e g e n e r a t e r e a r r a n g e m e n t s

i n v o l v i n g a p a t h i d e n t i c a l t o o n e t h a t w o u l d b e u n f e a s i b l e i n a n i s o l a t e d m o i e t y .

T h u s i n t h e m e t h a n e - a r g o n d i m e r t h e F C T g r o u p w o u l d b e t h e s a m e a s t h e M S

g r o u p o f t h e m e t h a n e m o i e t y a n d E

w o u l d b e u n f e a s i b l e ; t h i s g r o u p h a p p e n s

t o b e t h e M S g r o u p o f t h e d i m e r . H o w e v e r , s o m e t i m e s t h e M S g r o u p o f t h e

c l u s t e r m o l e c u l e i s a s u b g r o u p o f t h e F C T g r o u p .

T h e r s t e x a m p l e o f a w e a k l y b o u n d c l u s t e r m o l e c u l e t h a t w e c o n s i d e r i s

t h e h y d r o g e n d i m e r

2

H

2

2

. W e l a b e l t h e p r o t o n s H

1

H

2

, H

3

H

4

. T h i s i s a n

e x a m p l e o f a d i m e r i n w h i c h t h e v a n d e r W a a l s b o n d w h i c h w e c a n d r a w

f o r t h i s m o l e c u l e a s c o n n e c t i n g t h e m i d - p o i n t s o f t h e m o i e t i e s i s o n l y w e a k l y

a n i s o t r o p i c s o t h a t a l l a n g u l a r o r i e n t a t i o n s o f e a c h m o i e t y w i t h r e s p e c t t o t h e

b o n d a r e f e a s i b l e . T h u s a l l e l e m e n t s o f t h e C N P I g r o u p a r e f e a s i b l e e x c e p t

t h o s e s u c h a s 1 3 t h a t i n v o l v e t h e b r e a k i n g a n d r e - f o r m i n g o f t h e c o v a l e n t

H , H b o n d s o f t h e m o i e t i e s , a n d t h e M S g r o u p i s t h e F C T g r o u p ; t h i s i s g i v e n

b y

E 1 2 1 2 3 4 1 3 2 4 1 3 2 4

3 4 1 4 2 3 1 4 2 3

E 3 - 2 1

F o r t h e i s o t o p o m e r H D

2

w e l a b e l t h e n u c l e i H

1

D

2

, H

3

D

4

. S i n c e H a n d D

n u c l e i a r e n o t i d e n t i c a l t h e p e r m u t a t i o n s 1 2 a n d 3 4 c a n n o t b e p r e s e n t i n

t h e s y m m e t r y g r o u p a n d s o t h e M S g r o u p i s

f E 1 3 2 4 E

1 3 2 4

g 3 - 2 2

S u c h a w e a k l y a n i s o t r o p i c i n t e r m o i e t y b o n d a s i s p r e s e n t i n t h e h y d r o g e n

d i m e r u s u a l l y o n l y o c c u r s f o r b o n d s t o r a r e g a s o r H

2

m o i e t i e s . A m o r e t y p i c a l

e x a m p l e i s t h e H F d i m e r a l r e a d y m e n t i o n e d a b o v e . F o r t h e H F d i m e r t h e t w o

v e r s i o n s o f t h e e q u i l i b r i u m s t r u c t u r e a r e a p p r o x i m a t e l y a s s h o w n i n F i g s . 3 - 1 3 a

a n d 3 - 1 3 c , a n d t h e s t r u c t u r e a t t h e s a d d l e p o i n t t r a n s i t i o n s t a t e b e t w e e n t h e m

i s a s s h o w n i n F i g . 3 - 1 3 b . T h e t u n n e l i n g m o t i o n b e t w e e n t h e s e v e r s i o n s i n -

v o l v e s t h e b r e a k i n g a n d f o r m i n g o f a v a n d e r W a a l s b o n d a t t h e t r a n s i t i o n

s t a t e . D y k e , H o w a r d a n d K l e m p e r e r 1 9 7 2 d i s c o v e r e d t h a t t h i s t u n n e l i n g i s

f e a s i b l e p r o d u c i n g a s p l i t t i n g o f 0 . 6 5 c m

1

i n a v e r y i m p o r t a n t m i c r o w a v e

s p e c t r o s c o p y s t u d y , a n d t h i s m e a n s t h a t t h e M S g r o u p i s t h e F C T g r o u p g i v e n

i n E q . 3 - 2 2 a b o v e w h e n w e n u m b e r t h e n u c l e i H

1

F

2

, H

3

F

4

T h e w a t e r d i m e r D y k e a n d M u e n t e r 1 9 7 4 , D y k e 1 9 7 7 , D y k e , M a c k a n d

M u e n t e r 1 9 7 7 i s a n e x a m p l e w i t h m o r e t h a n o n e f e a s i b l e d e g e n e r a t e r e a r -

r a n g e m e n t p a t h . N u m b e r i n g t h e p r o t o n s 1 a n d 2 , a n d t h e o x y g e n n u c l e u s 5 ,

2

T h i s d i m e r i s d i s c u s s e d a t g r e a t e r l e n g t h i n S e c t i o n 1 6 . 5 . 1 .


18/24


H1

F2 H3 F4

H1

F2

H3

F4

F2

H3

H1 F4

(b)

(a)

(c)

F i g . 3 - 1 3 . A n H F d i m e r m o l e c u l e i n i t s t w o d i e r e n t v e r s i o n s o f t h e e q u i l i b r i u m s t r u c -

t u r e , a a n d c , w h i c h c a n b e i n t e r c o n v e r t e d b y a t u n n e l i n g t h r o u g h t h e s y m m e t r i c a l t r a n -

s i t i o n s t a t e s h o w n i n b .

o n o n e w a t e r m o i e t y , a n d t h e p r o t o n s 3 a n d 4 , a n d t h e o x y g e n n u c l e u s 6 , o n

t h e o t h e r , t h e n t h e F C T g r o u p i s e s s e n t i a l l y t h e s a m e a s t h a t f o r t h e h y d r o g e n

d i m e r :

E 1 2 1 2 3 4 1 3 2 4 5 6 1 3 2 4 5 6

3 4 1 4 2 3 5 6 1 4 2 3 5 6

E 3 - 2 3

T h i s g r o u p i s t h e s a m e a s t h e M S g r o u p G

1 6

o f e t h y l e n e . I f t u n n e l i n g s b e t w e e n

a l l v e r s i o n s o f t h e e q u i l i b r i u m s t r u c t u r e e x c e p t t h o s e i n v o l v i n g t h e b r e a k i n g o f

t h e c o v a l e n t O H b o n d s i n t h e m o i e t i e s a r e f e a s i b l e t h e n t h i s i s t h e M S g r o u p .

H o w e v e r , t o s e e i f t h i s i s t h e c a s e , a n d t o u s e t h e g r o u p , w e n e e d t o s t u d y

t h e s i t u a t i o n f u r t h e r w i t h t h e h e l p o f a t h e o r e t i c a l s t u d y o f t h e e e c t s o f t h e

v a r i o u s t u n n e l i n g p r o c e s s e s C o u d e r t a n d H o u g e n 1 9 8 8 , 1 9 9 0 a n d s o m e a b

i n i t i o c a l c u l a t i o n s S m i t h , S w a n t o n , P o p l e , S c h a e f e r a n d R a d o m 1 9 9 0 . T h e

s h a p e o f t h e e q u i l i b r i u m s t r u c t u r e i s d e t e r m i n e d t o b e a s s h o w n a p p r o x i m a t e l y

i n F i g . 3 - 1 4 ; t h i s i s v e r y m u c h l i k e t h e H F d i m e r i n t h a t t h e r e i s a h y d r o g e n

b o n d b e t w e e n t h e m o i e t i e s w i t h o n e m o i e t y b e i n g t h e h y d r o g e n b o n d d o n o r

o n e o f i t s p r o t o n s f o r m s t h e h y d r o g e n b o n d a n d t h e o t h e r m o i e t y b e i n g t h e

h y d r o g e n b o n d a c c e p t o r .

B y s t u d y i n g F i g . 3 - 1 4 w e d e t e r m i n e t h a t t h e r e a r e e i g h t v e r s i o n s o f t h e

e q u i l i b r i u m s t r u c t u r e i g n o r i n g t h e p o s s i b i l i t y o f b r e a k i n g t h e c o v a l e n t O H

b o n d s i n t h e m o i e t i e s : e a c h o f t h e f o u r p r o t o n s i n t u r n c a n b e t h e h y d r o g e n


19/24


F i g . 3 - 1 4 . T h e e q u i l i b r i u m

s t r u c t u r e o f t h e w a t e r d i m e r

H

H

H OO

donormoiety

acceptormoiety

hydrogen bond

H

b o n d i n g p r o t o n , a n d f o r e a c h o f t h e s e f o u r c h o i c e s t h e r e a r e t w o c h o i c e s f o r

t h e l a b e l i n g o f t h e p r o t o n s i n t h e a c c e p t o r m o i e t y .

3

T h e e i g h t v e r s i o n s o f t h e

e q u i l i b r i u m s t r u c t u r e a r e s h o w n i n F i g . 3 - 1 5 , a n d w e l a b e l t h e s e v e r s i o n s 1 t o

8 a s i n F i g . 4 o f C o u d e r t , L o v a s , S u e n r a m a n d H o u g e n 1 9 8 7 .

W e h a v e n o t d r a w n a l l t h e s e v e r s i o n s t h e s a m e w a y a r o u n d i n o r d e r t h a t t h e

d e g e n e r a t e r e a r r a n g e m e n t s t h a t c l o s e l y p a r a l l e l t h e o n e o c c u r r i n g i n t h e H F

d i m e r s h o u l d b e a p p a r e n t . T h e f o u r s o l i d d o u b l e h e a d e d a r r o w s s u c h a s t h a t

w h i c h c o n n e c t s 1 a n d 4 s h o w t h e d e g e n e r a t e r e a r r a n g e m e n t w i t h t h e l o w -

e s t h i n d e r i n g b a r r i e r , a n d t h i s i s e s s e n t i a l l y a r o t a t i o n o f t h e a c c e p t o r m o i e t y

a b o u t i t s t w o - f o l d a x i s . T h i s h a s a b a r r i e r o f a b o u t 2 0 0 c m

1

, a n d i s c a l l e d

t h e a c c e p t o r - t u n n e l i n g p a t h . T h e e i g h t d a s h e d d o u b l e h e a d e d a r r o w s s u c h a s

t h a t w h i c h c o n n e c t s 1 a n d 5 s h o w t h e d e g e n e r a t e r e a r r a n g e m e n t t h a t p a r -

a l l e l s t h a t i n t h e H F d i m e r . I n t h i s r e a r r a n g e m e n t t h e a c c e p t o r m o i e t y r o t a t e s

i n t o t h e h y d r o g e n b o n d w h i l e , i n a g e a r e d f a s h i o n , t h e d o n o r m o i e t y r o t a t e s

o u t . T h i s h a s a b a r r i e r o f a b o u t 3 0 0 c m

1

, a n d i s c a l l e d t h e d o n o r - a c c e p t o r

i n t e r c h a n g e p a t h . T h e f o u r b r o a d d o u b l e h e a d e d a r r o w s s u c h a s t h a t w h i c h

c o n n e c t s 1 w i t h 2 s h o w s t h e d e g e n e r a t e r e a r r a n g e m e n t t h a t i n v o l v e s t h e

c o n c e r t e d r o t a t i o n o f t h e d o n o r m o i e t y t o e x c h a n g e w h i c h o f i t s p r o t o n s p a r -

t i c i p a t e s i n t h e h y d r o g e n b o n d a n d i n v e r s i o n a t t h e O a t o m o f t h e a c c e p t o r

m o i e t y . T h i s h a s a b a r r i e r o f a b o u t 6 5 0 c m

1

, a n d i s c a l l e d t h e d o n o r - t u n n e l i n g

o r b i f u r c a t i o n p a t h . W e c o u l d i m a g i n e d i e r e n t s i t u a t i o n s d e p e n d i n g o n t h e f e a -

s i b i l i t y o r n o t o f t h e v a r i o u s d e g e n e r a t e r e a r r a n g e m e n t s , a n d d e p e n d i n g o n t h e

e x p e r i m e n t a l r e s o l u t i o n w i t h w h i c h t h e r o t a t i o n - v i b r a t i o n e n e r g y l e v e l s w e r e

m e a s u r e d . I f a l l d e g e n e r a t e r e a r r a n g e m e n t s w e r e u n f e a s i b l e t h e w a t e r d i m e r

w o u l d b e a r i g i d m o l e c u l e a n d t h e M S g r o u p o f v e r s i o n s 1 t o 4 w o u l d b e

3

I f t h e r e w e r e n o p l a n e o f s y m m e t r y i n t h e e q u i l i b r i u m s t r u c t u r e a c h i e v e d i f t h e s t r u c t u r e

a t e q u i l i b r i u m w e r e o b t a i n e d b y r o t a t i n g t h e a c c e p t o r m o i e t y s l i g h t l y a b o u t t h e h y d r o g e n

b o n d i n F i g . 3 - 1 4 t h e r e w o u l d b e 1 6 v e r s i o n s . T h i s i s i n k e e p i n g w i t h t h e g e n e r a l r e m a r k

m a d e o n p a g e 3 2 t h a t t h e n u m b e r o f v e r s i o n s o f t h e e q u i l i b r i u m s t r u c t u r e g o e s u p a s t h e

s y m m e t r y o f t h e e q u i l i b r i u m s t r u c t u r e g o e s d o w n .


20/24


F i g . 3 - 1 5 . T h e e i g h t d i e r e n t v e r s i o n s o f t h e e q u i l i b r i u m s t r u c t u r e o f a w a t e r d i m e r

m o l e c u l e , 1 t h r o u g h 8 , w h i c h c a n b e i n t e r c o n v e r t e d b y t h e v a r i o u s t u n n e l i n g r e a r r a n g e -

m e n t s i n d i c a t e d b y t h e d o u b l e h e a d e d a r r o w s .

f E , 3 4

g , w h e r e a s t h a t o f v e r s i o n s 5 t o 8 w o u l d b e f E , 1 2

g . E a c h o f t h e

e i g h t v e r s i o n s w o u l d h a v e t h e s a m e r o t a t i o n - v i b r a t i o n e n e r g y l e v e l s . I g n o r i n g

t h e s t r u c t u r a l d e g e n e r a c y r e s u l t i n g f r o m b o n d b r e a k i n g i n t h e m o i e t i e s e a c h

l e v e l w o u l d h a v e a n e i g h t - f o l d s t r u c t u r a l d e g e n e r a c y . I f t h e a c c e p t o r - t u n n e l i n g

p a t h s o l i d a r r o w s w e r e c o n s i d e r e d f e a s i b l e b u t t h e o t h e r d e g e n e r a t e r e a r r a n g e -

m e n t s s t i l l u n f e a s i b l e t h e n 3 4 w o u l d b e c o m e f e a s i b l e f o r v e r s i o n s 1 t h r o u g h

4 , a n d 1 2 w o u l d b e c o m e f e a s i b l e f o r v e r s i o n s 5 t h r o u g h 8 . T h e M S g r o u p


21/24


o f v e r s i o n s 1 , 4 a n d 2 , 3 w o u l d b e c o m e f E 3 4 E

3 4

g a n d t h e M S

g r o u p o f v e r s i o n s 5 , 8 a n d 6 , 7 w o u l d b e c o m e f E 1 2 E

1 2

g . T h e

m o l e c u l a r e n e r g y l e v e l s w o u l d n o w h a v e a r e s o l v e d s p l i t t i n g i n t o t w o l e v e l s e a c h

o f w h i c h w o u l d h a v e a f o u r - f o l d s t r u c t u r a l d e g e n e r a c y r e m a i n i n g b e c a u s e o f t h e

u n f e a s i b i l i t y o f t h e o t h e r d e g e n e r a t e r e a r r a n g e m e n t s . I f t h e d o n o r - a c c e p t o r i n -

t e r c h a n g e p a t h w e r e a l s o c o n s i d e r e d t o b e f e a s i b l e t h e n a l l e i g h t m i n i m a w o u l d

b e a c c e s s i b l e t o e a c h o t h e r a n d i n t h i s c i r c u m s t a n c e t h e M S g r o u p w o u l d b e

t h e F C T g r o u p g i v e n i n E q . 3 - 2 3 . N o f u r t h e r s p l i t t i n g s w o u l d b e p o s s i b l e

a l t h o u g h t h e t u n n e l i n g s c a u s e d b y o t h e r p a t h s s u c h a s t h e d o n o r - t u n n e l i n g

p a t h w o u l d m o d i f y t

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