The Inverse EEG and MEG Problems: The Adjoint State ...

33
HAL Id: inria-00077112 https://hal.inria.fr/inria-00077112 Submitted on 29 May 2006 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. The Inverse EEG and MEG Problems: The Adjoint State Approach I: The Continuous Case Olivier Faugeras, François Clément, Rachid Deriche, Renaud Keriven, Théodore Papadopoulo, Jean Roberts, Thierry Viéville, Frédéric Devernay, José Gomes, Gerardo Hermosillo, et al. To cite this version: Olivier Faugeras, François Clément, Rachid Deriche, Renaud Keriven, Théodore Papadopoulo, et al.. The Inverse EEG and MEG Problems: The Adjoint State Approach I: The Continuous Case. [Research Report] RR-3673, INRIA. 1999, pp.28. inria-00077112

Transcript of The Inverse EEG and MEG Problems: The Adjoint State ...

Page 1: The Inverse EEG and MEG Problems: The Adjoint State ...

HAL Id: inria-00077112https://hal.inria.fr/inria-00077112

Submitted on 29 May 2006

HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinée au dépôt et à la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publiés ou non,émanant des établissements d’enseignement et derecherche français ou étrangers, des laboratoirespublics ou privés.

The Inverse EEG and MEG Problems : The AdjointState Approach I: The Continuous Case

Olivier Faugeras, François Clément, Rachid Deriche, Renaud Keriven,Théodore Papadopoulo, Jean Roberts, Thierry Viéville, Frédéric Devernay,

José Gomes, Gerardo Hermosillo, et al.

To cite this version:Olivier Faugeras, François Clément, Rachid Deriche, Renaud Keriven, Théodore Papadopoulo, etal.. The Inverse EEG and MEG Problems : The Adjoint State Approach I: The Continuous Case.[Research Report] RR-3673, INRIA. 1999, pp.28. �inria-00077112�

Page 2: The Inverse EEG and MEG Problems: The Adjoint State ...

ISS

N 0

249-

6399

ap por t de r ech er ch e

THÈMES 3 et 4

INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE

The inverse EEG and MEG problems: The adjointstate approach

I: The continuous case

O. Faugeras — F. Clément — R. Deriche — R. Keriven — T. Papadopoulo — J. Roberts —

T. Viéville — F. Devernay — J. Gomes — G. Hermosillo — P. Kornprobst — D. Lingrand

N° 3673

Mai 1999

Page 3: The Inverse EEG and MEG Problems: The Adjoint State ...
Page 4: The Inverse EEG and MEG Problems: The Adjoint State ...

Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis2004, route des Lucioles, B.P. 93, 06902 Sophia Antipolis Cedex (France)

Téléphone : 04 92 38 77 77 - International : +33 4 92 38 77 77 — Fax : 04 92 38 77 65 - International : +33 4 92 38 77 65

����������� ����������� ���������� �������� !�#"$�&%'�����(���*)+������,-�+,��.,/�0������������12�3 %4������15����,/�!�76���6��-15���8�

9;:=<?>A@2BDCFEG>IHKJ4L=<M:ONMPRQTSUCTV+WYXZL=[\:O]�CFE�^R_Y`/CaJbL=[\:Oc4CFE�^edICFVOfZL2g4:=h*>IiO>Ij/kDi&kI@2PRkDJlL?m/:O[nkDo?CFE!WKHYp�Lg4:2qZ^eQTd8^ePRPeCaJbL2<M:O]�CrdDCFE�VO>as�tuL=m/:?v4kDSwCFHGJlL?vx:Oy�CTEGSwkDH�^RPePRkDJzL=h*:2c�kDE�V2i2EGkIo2H�WKJzLO]b:?{ ^eV2BDEK>AV2jOJ

|~}����M�G� �M���#������F�������T�������r��}��r�7�7�������r��}������T����7�r�r�G�!�����T���������������r����� �¡����� �A�����¢�¤£a�¥�¦�§¡�Y�����r�Z�!�#�r¨����¥�7�¡��� �����r�

���©�«ª��«�����M�G� ���T�M¨�§¥�!¬a�G�­O���r®¯����� °=�¯���¥�7�T�I±*�����G�!��² �T³A�r��´a�¡�!�Aµ&�����7�¡�!�

²#� ¨�¨A�T�«�#���©������}�������}��¶�I·2�r¸a¹Y�l�»º4�r�O¼�½T½r½��»¾ ½¨�� �T���

¿�À/Á�Â!ÃYÄ�Å ÂTÆ ���;��}��¡�����!¨I�r�����/Ç&�n�«��¦A��ªl��}��n¨����r³�§¥���0�rÈ&��}�����}������������¥�7�����«���r�A� §=�����!�r���«����¦������¥�T�z�rÈ~��}��n��§¥�G�������¡�!�r§�r������´a�É�¯ª\�rÈ?��}���³���� ���lÈÊ���r�Ë��§¥�G�������a�!�A���!¨�}�� §��r�T���r¨�}aªbÌR°=°?ͩΩ�r���l���r�r���!���a�!���!�!¨�}A� §��r�r��� ¨�}Fª;ÌRº\°?Í©Î�Ï�Ðz�7¦������´Y� ����� �����r���r§5�r¨�¨����T�T��}x³��r�����U¦�¨A�T�U��}����!�Z��� ���U�7����}�������� ���U�������r��ÏU|~}���Ñ����«�M�T�����¡�M��}����T¨�������� § ���T�F�����r§5� È��ªa�«�������*�T�Y´r�������G�4³aª4�!§�§¥��¨������M¨��r�«�����r§2���ÉÒD�!���!�F���¡� §2�GÓT¦A�Y�����r�A�!�D��}����«�G���r�A�\�¡�Ô��}��7���!�r¦�§��r����Õ�� �����r�4� È&��}������r§�¦������r�A�Ç }���§¥�&¨��������!��´F�����5��}��&���¡���!�r�F�����a¦��¥�������?ÌÊ��}��&�����T����Î��Y� �A�.��}��=��}��������r���=�¡�8��}��&¦��«�?� È��r���r�7�������¡�O����ÈÊ�r�����Y�����r�.�T³����r�¥���G�ÈÊ���r�Ö��� �T���������Ô�������r���r�����Ô���7�r�r�G�©ÌRº4² �«Î&�������r�A�¯�����r�¥����}������r§�¦����¥�T���~�¥�Z� �4�r���Y���r�7����� §�§¥ª�׫�����r���r�A� ³�§���Ø#Ç~�KªrÏÙ4ÚFÛDÜ�Ý�Þ ÃYß�ÁTÆ °O§¥�G�������a�!�A���!¨�}�� §��r�T���r¨�}aªr��°?°?ÍM�rº4� �T�������a�!���!�!¨�}��r§¥�T�r��� ¨�}aªT��º4°?ÍM� º4�r�r���!���¡�?² �G�«�T��� ���!�=����� �T�����°O§�§¥��¨������©¨A� �����¡� §+���¥ÒI�������T�����r§à��ÓF¦�� �����r�����a�¥�a´T�!���«�Ô¨����r³�§��!�����������r¦�§¡� �������Y���¥�T�à�F�M�G�r��¦����Ô�rÈ�³���� ���Z�r�����¥´a�¥�¯ª

á~âAãeä�åeæ¯ç�èàä�é ä�çRê�ëíìî âAãeä�åeæ¯ç�ï�ìRçRëíð æñ?ò æ«ãeð ëíó¯ìô âAãeä�åeæ¯ç/õ/öK÷Gæ«ìø�ù ä!ó«ëíú�çRú=û ù�ü�ý èüàþ ëíì+ÿ+ä�ã�� ÿ���ì�����ãÊç ë���� � ì�� � � ä�ãeçRæ¯÷©é��#ç þ æOû��/èàû ý���ý ó�çRëíä�ö.÷Kæ=èàæ¯ó þ æ¯ãRó þ æ ò ä!ä��Kú¯ã���çRë ê�æ ��������� ï��

Page 5: The Inverse EEG and MEG Problems: The Adjoint State ...

� �/���Z ��#"$� � �!��� �/�8� �Ö�#� ����� �5,-����� %4"��5,2������� ���( ����5,��©, ���*)+������,3 %4 ���15��� 1&���,2�!�76

� Á��� Æ�� �r���*�!����� ¨�¨I�r�����A���r¦A� �!��¦������r�A�#§���¨����r³�§��!�7�M����§¡���������T���«����¦������¥�T�Z�����������7�!�������r������§¥§������§�� �r������´a�É����!§�����������ÓF¦������!���!³����r§¥���4¨A� �������������7�G�«¦��������� �!§����������a��������¨�}�� §��r�T���r¨�}�����ÌR°=°?Í©Î���M������� �T�������a�!���!�!¨�}��r§¥�T�r��� ¨�}��¥�ÌRº\°?Í©Î�Ï���� � ¨�¨�������}��Ô¨����T¨A�F�«��� �G�¯�#´Y� ���¡�Y�����r�����!§�§¥�TÏ/°=§¥§��©¦�����§������.�����r�¡�&�¯ªF¨I��� ���©�M�!��}������G�~��� ��� �¡���!�G�!Ï��8�M¨����!�7���!������«�?§��#���T�T�����T§¥� �T¨�������� §���� �«ª��«�����M�G�O�r�T¦�´r���������/¨�� �&�����?��ÓF¦��Y���¥�T���O� ¦�¬M��������´a�!���=¨�� �������!§�§¥�G�O�!§�§��¥¨�����ÓF¦��G�!�F§¡�©�«�G���r�A������«� §¡�7�����r¦�§¡� ���¡��� �����r������� ���r§�¦����¥�T���#�K´r�G�Ô¨����G�«����´Y� �����r�Z�����*���������T�F�����F¦��É������Ìe§¥�G� ���T�F���r¦�����Î&��� §¡�M�����r�¡�«���!�7���!�!§�§¥�����§�� ¦����¥§��¡��� �����r�z��� ����ÈÊ�r�����Y���¥�T�\�r���r�7�������¡ÓF¦����¡����¦��M��� ����� �T�!���¥�¨�� �Ô���G�«�T��� �A������� �T��������ÓF¦��ZÌÊ�¯²*º\Î#¨I�r¦��.�!�r�F����� ���������§���� ���r§�¦������r��� ���©�7�r�����!��� ׫��� �¡�«�T����� ³�§¥��Ø*� ��� ���r�7�¡ÓF¦��!�7�!�F�GÏ��Þ Â�Á Ü Å�� ÁUÆ §¥�G�������a�!���!�!¨�}A� §��r�r��� ¨�}��¥�T�/°?°?ÍM�?º4� �T�������a�!���!�!¨�}��r§¥�T�r��� ¨�}��¥�T�2º4°&ÍM�/�����r�r�!�����n¨�� �7² �G�«�T��� ���!�º4�r�r���!���¡ÓT¦��r� ÓT¦A�Y�����r�A���r¦�¬ ��������´a�!����¨��r�«���¥��§¥§������!§�§��¥¨�����ÓF¦��G�!�Ô¨����r³�§��!�7�G�����a´r�!���������#�����r¦�§¡� ���¡��� �����r�à� �7����¦����b���§�� �T������´a�É������������³����r§¥�

Page 6: The Inverse EEG and MEG Problems: The Adjoint State ...

� 3 ��,��/����6�1=,2�����°O§���������� ��°O������¨�}��r§¥�r��ÍÔ��� ¨�}aª¢Ìe°=°&Í©Î�� ��� º4� �T������� ��°O���!�!¨�}��r§¥�r��ÍÔ��� ¨�}Fª¢ÌRº\°?Í©Î7� �����¯Ç5�b���r�����a´Y�r���¥´T���7���r���M� È�7���T�«¦��������z���r�7��� È ��}��Z�!§�������������� § �r������´F�¥�¯ªx� È*��}��Z³���� ���àÏU|~}�������������}�����ÓF¦��G�M�r����Èe� ����§¥ªx�����!�!�F����� � �A���&�����T�!�G��;ÍÔ�!���7�r�U����¦����r¨���ª���}���� �������«���O�����!�r�������w�¥�'¼�½F¾ ½Z��}���Ñ����«�7}F¦��7�r� °?°?Í Ç }���§�����}���Ñ����¯�7�7���r��¦����!�7�!�F�����rÈ ��}����� �T��������� Ñ��!§¡���¥����¦����G��³aª7��}��.³����r�¥� � �5�!§����������r¨�}aª����¥�T§¥�T�r�¡�!� §A�!´T�!�F���5Ç5�!���*¨I�!��ÈÊ�r���7���n���b¼�½r¸���³aª � ÏAµ&�r}���� ¹��8� �ºZ�¯|.Ïr|~}�� ����¬a�=���Y®¯�T�=�r��´Y� �A��� ���M³��¥�T�7�r�r���!���¡�&������}����r§��r�Tª©Ç5�T�2��}��#���!´r��§¥�T¨��7�!�F�=� ���7��¦��!�!�����¯Èʦ�§����G�¯���¥���©���Z¼�½T¸r½� ÈI��}�� £ ���#� � ÌR�«¦�¨A�����!�r����¦A����������ÓF¦��r�T��¦�� ���F�����«ÈÊ����������� ����´F�¡���KÎ/³aª��I���M�7������� ���r���7���r§�§���� �T¦����� ������Ï=±*¨A����� ��������Y� §���ÓF¦��¡��}��!§���¦��Ö���!�7¨A����� ��¦��������a��}���£ ���#� � �T��}����!´r�G���r��¦���¨��������G���!�F�������«�����«�¥����´a�É�¯ªn����Ç5���������r�r���!���¡� ÑA�!§¡���!Ï|~}��G�«�?�¯Ç&� ������}�����ÓF¦��G�/}��K´r�?ÈÊ�r¦�������� �aª©��§��¥���¡�!�r§�� ¨�¨�§��¡�!�Y���¥�T����Ç }�����}M� ���?���!´a���!Ç5���©�����}��r¨����������Ô� ����½*� È� ����� Ï

�����r�Ë��}��7�r¦��������©���G�«�G� ����}��!���*}��K´r�M³A���!�;���T�����������G�\Ç �¥��}b��}���¨����T³�§��!� � È5����§�� ����������}��7�7���T�«¦������M���F���7ÌÊ��§¥�G�������¡�¨I� �����F���¡� §¡��ÈÊ�T�n°=°?ÍM�=���r�r���!���¡�nÑ���§����MÈÊ�r�nº4°?Í©Î���z��}��4�«¨A�Y����� ���!�7¨I�r��� §~�����«������³�¦������r� � È*��}��4�!�!���!³���� §~��¦������!�F����r¦������G�!���M¨����r³�§��!���a���YÇ ���T�~��}��©�¥�a´r�������©°=°?Í �r� º\°?Í ¨����T³�§��!�ZÏ?|~}��¡� ¨����r³�§��!� ���#�7�T���������n��¦�§¥� ³aª���}��©Èe�r�����}A�Y� ��}��©����§�� �����r����}���¨�³I���¯Ç5�!������}������¡�¯������³�¦����¥�T���rÈ2�!¦��������T�#���r¦������G�~� ������}��©��§¥�G�������T�7�r�r���!���¡�*Ñ��!§¡�����~���r�#�r���Ô����r���rÏ����T�5�!¬�� �7¨�§��r���¥�~}A�r�5³A���!���a���YÇ �����¥�A���*��}��Ô�����7�.� È�� �!§��7}��r§¥��ÕÔ��}A�Y�~��}������.� ���.��¦��������F�~���¡�«�����¥³�¦������r���5Ç }��¡��}� ���#���É��}��!�~��� �T����������� §�§¥ªM�r�5�!§�������������� §�§¥ª7�«��§��!�F���a�r�&³A�r��}à���T¦������¡���#��}��Ô�!�r����¦������r��í¾ ��� ÏO|~}��¡�5���5� �n�������¡�!� �����r�n�rÈà��}��Èe�r���*��}��Y�*��}��7���r§�¦������r�4���n��}�����a´r��������¨����r³�§��!� �¡� ��� �.¦����¡ÓT¦��rÏ�± ��}����Ô�����n��¦�§¥�������.�r������}��}��¥�T}l§��!´T�!§/� È=���T�����������}��©�M�G�r��¦����!�7�!�F���5� �A�n��}����«���r§¥§+�a¦��³A���5�rÈ/�7�G�r��¦����G�!�F��}��r¦��T}n��}����#§��T�¯� ¨����r³�§��!� }A�r�5���������G�n���M³I�©§������ �«��´r�!���Ç �¥��}b��}��n�T��´r���F�.�rÈ&����Ç ��ª��¯���!���.Ç �¥��};�7�r���7���!�A�«�T����í¾r¾���Ï! #�T������}��!§������Ô��}��¡�©�¡�©� �b�¥�A�������Y���¥�T�b�rÈ?��}��7Èe�r���©��}�� ���}��Ô���a´r�������#¨����r³�§��!� �¡�~� §¡�«��¥§�§¥� ¨I�T�����"�O����� §�§I´Y�r���¡�Y���¥�T���?���n��}��.�7���r��¦����!�7�!�F���&��¦�� ���M���r�¡�«�*�7�Kªn��� ¦���� ¦��FÇ ���!§¡��ª´Y� ����� �����r���5�rÈ���}����«�T§¥¦������r�àÏO|~}��¡� �!�r��³I�©¨��r�«�����r§¥§�ªn���T��³�� ������³aªn���!�r¦�§��r����Õ�� �����r��������}����¡ÓF¦����# ���A�F¹F�à¼T¼ ������Ï

$ ��� ��}��!�����!�����r¦��à���%�n��¦�§É�¯ªÔ���à��}��&�7�a���!§�§¥������Ìe¨�}aªa���¡�!� §F� ���.�T�!�T�M�!�������GÎI� Èa��}��?�!§�������������� § �!ÒI�G�����à��}��Y�2�«¦�¨�¨A�F�«�G��§¥ª�r��´r�*���¡��� ������}��*�7�G�r��¦������7�!�F����ÏOµ&�T�����������¥���¨�}aª��«�¡�!�r§A�7�����!§�§��¥���A�aÇ&�ÔÇ �¥§�§+�«���*���4£a���������r��¾©��}�� �~��}��G�«�Ô��ÒD�������~� �����¦��������}��M��§¥�G�������¡�!�r§/�T������´a�É�¯ªZ�rÈ&�«�T�7�¨I�r¨�¦�§�� �����r���*� È?���!¦���� §2����§¥§¡�.� ���l�¥�;£a���������r�z����}A�Y�Ô��}��¡�©�r������´F�¥�¯ª4�!�r�l³I�Ìe�!�T�r�����!§�ª�Î2�7�a���!§�§¥�G��³aª7�T����¦��7�������������«�����¥³�¦������r�n�rÈ8���T����¦�������´F�¥�������5� �A��� Èà¨������7�r��ª7���r¦������ �!¦��������T���=���n��}�� }��G�r�+Ï���7��}�� �¥�a´r������� °=°?Í��r����º4°?Íu¨����r³�§��!�����r�r��� ¦��«¦A� §�§¥ªM�r���«¦��7�G�/��}�� �=��}��#�����«�����¥³�¦������r���rÈD�!�r����¦A������´a�É���¥�G�=�¡���a���YÇ �³�¦��O��}��¡�O���=¦��«¦A� §�§¥ª��.�T���F���2�r¨�¨����K¬a�����Y���¥�T�àÏ $ �OÈÊ�r�2��}�� �r�!�T�7�������¡�!� §a�7�����!§�§��¥���A�r�¥�=���=�r��§�ª����������F��§�ª!¥¼�&��r���T�r�����T�r���³I���!�r¦����Ô�rÈ8��}��©�K´K�r�¥§���³��¥§��¥�¯ªn� ÈOº4� �T���������Ô² �����r�A� ���!�*����� �T���.ÌRº\² �«Î&��}�� �#� ��� ���r�7�¡�!�r§D�!�r���«����� ���F�����a�7�'�a�¥���M¦����.� È��}����r����¦��r§8�«}A� ¨I��� �rÈ���}���}��G�r�+�I�(�a¦�§�§R�A� ���Z³���� ����}��K´r�©³I�!���Z�����T�!�Z���T���n�r�����r¦��T�G���rÏ ��Ï?���n�!�r���«����� ������}���¨I�T���É���¥�T�� �A�n�r�����!�F��� �����r�n�rÈà��}��.�G�¯���¥���Y������¨�������� ��ª��«�T¦����!�*�!¦������!�F���!ÏO£a�r¨�}����«���¡�!� ���G�n���7�r�r�Ô¨����a�!�����«�������r�������!�T�7�!�F��� �����r�� §��r�T���¥��}��7�2��� �M³A�#�r¨�¨�§��¥�G�����.��}�� º\² �/���Y���*���Ô�!¬a�����r���=���!���r�¥§����M´r�T§¥¦��M� �r�����¦���Èe�r�!�5�7������§��) �T¸���� ÈI��}�� ¨I�!���«�T��� �}��G�r�z¨������r�*���Z�����!�r�����¥���n��}��!�����r�����¥´a�¥�¯ª4��}����T¦��r}b°=°?Í-�r�+*Y� �A�lº4°?Í-�7���r��¦����!�7�!�F���!Ï � �G�«¨��¥���M��}��7¦��«�7�rÈ?��}���������T���«����� ���T���!����}��M�«¨A�Y���¡� §����G�«�T§¥¦������r�Z� ÈO��}��������!�r���«����¦��������Z�r������´a�É�¯ª;Ì ��}��¨�������� ��ª����r¦��������!¦������!�F����Î~���!���r�¥��� ¨A�a�T����T�7¨�� �����lÇ �É��}bÇ }A�Y���¡�5®¯¦����r�G�z���4³I�7�T�!�!�!¨���� ³�§��4ÌÊ� È5��}����r�����!�.� È-,Y�7�nÎ�Ï�±*�z��}���� ��}��!�©}��r���+�à��}��7�����7¨A�T���r§�������r§�¦������r�\�¡�Ô� È=��}��7�r�����!�*� ÈÔ¼!���*�r���l�!�r�����¡���!�����Z����³I�7�7�r������}A� �lÇ }A�Y�©���Ô���������G�4ÈÊ�T� Èʦ��A�������r�A� §=�«��¦��������7Ìe� È��}��*�T�������?�rÈ�,Y����Î�ÏO|~}����&�¡�?�����!�r�F�����r�«�=���� ��}��!�&Èʦ����������r���r§A³���� ���n����� �r�����©������}�����ÓF¦��G�&��¦���}��T�?¨I�T���É���¥�T�n�!�7�¡�������r����T�7�r�r��� ¨�}Fª�Ìe­=°=|#Î����«�����r§��#¨�}�� ���T�����T�7¨�¦����G�M���T�M�T�r��� ¨�}aª�ÌR£�­=°5µ5|#Î?�r���MÈʦ����������r���r§Dº4²#�#Ì È �¯º4² �«ÎOÇ }�����}�}��K´T��r������¨����r³�§¥�©��¨��Y�����r§+���G�«�T§¥¦������r���5³�¦��#¦����r�����!¨���� ³�§¥�Ô�����7�©���G�«�T§¥¦������r���.̯¼��7�����4­=°=|�*r£�­=°&µ5|�� �A�l¼G�~�¥��È �¯º4² �«Î�Ï

. / �#6����� ;���/�10��!� �32U,2������������� �# �� 1?,��/��"$�#0���5,/�!154��# !����6|~}���³����r�¥�U�����}����7�T�«�7�!�r�7¨�§���¬x�r���T�r����Õ!���;�«����¦�����¦����7�a���YÇ �x���l��¬��¡�¯��8?Ç5����� �U�!�r�a´a�¥���!���T¦������!§�´r�G�©� È ��}��¡��³aª��¬��r�M������������}��#ÈÊ�T§¥§��YÇ �������a¦���³I�!����Ï2|~}��!��� � ���*�r¨�¨����K¬a�����Y���!§�ª79�:<;>=#���!¦����r�A�?������}��Ô�!�!�F����� §A���!��´r�T¦��?��ª��¯���!� Ç �É��}�Y� §����T�¯�?9�:<;>@*������}��©�r¦����!���7�T�«�~�!�r�����¡�!� §D§¡�Kªr����ÏOºZ�r���!�Y´T�!�?��}������©� ���Ô���T¦��r}�§�ªA9�:<;>BÔ��ªF�A� ¨������.���T�����G�������r�A�&³I���¯Ç5�!�����}������#���!¦����T���/��}�� �?¦���� �7�r���~��}��r�A9�:C;(D ��}����M�¡�!�r§�����¦����r�R�����r�����M�¥�«���!���E* �«�G���T���©���T��}7³�¦���§É�?�rÈD�!�r�7¨�§���¬7� �7�¥��� ���r���¡���}��r�¥����Ï |~}��¡�7�M�G� ���M��}��Y���r¨�¨����K¬��¥���Y���!§�ªF9�: =(G �!§��!�7���T��� ��ªx�7�r§�����¦�§¥�G�E* �«�G���r�A�U� ���4���T�T������³�¦����¥���l���;��}��4³���� ����r������´a�É�¯ªTÏ2°=´r�!����}��r¦��T}�Ç5�.������r�#�r��}������*�����}����«���7¨�§¥�¡�«���¡�*´a���!Ç ��}��Y�~��}��.³����r�¥����� �M���T�7¨�¦��������a��}��©���T�M¨A� �������r��¡�#���T���!�����«��������Ï �8��� ¦A�*�T����¦��7�.��}�� �*�G�r��}Z�7�r§�����¦�§¥�IH!�!�r�����¥�G��H*�T����³��¥�*�rÈ-H��¥��ÈÊ�r���7� �����r��H7Ìe��� ���©��}��ÓF¦�� ������Î��A��}����Ç5�Ô}A�K´r�Ô���M��}��¥�J���¥�����!���7�~�rÈ2�M���r��}��¥���©��� ¨��r³�§¥�.�rÈ�¨��������������¥����9�:<;>=Ô�T�¥�F�Y��³��É���E* �«�G���T���+�FÇ&���¥�T}��¥����9)KMLONQP��r������T����¦��7�¥���7§������5��}��r�R9�:�KS9�TOUWVCXYX>Z�[

��¦��«��}��!���7�r���r�A��}��¡� ×����r¨I�r�r��� ¨�}������ §ÉØ©�!�r�7¨�§���¬��¥�¯ª��¡�.���T�M¨�§¥���M���F�����l³aª���}��Èe�r���Ô��}A�Y�Ô��}��M}a¦���� �l³����r�¥�\}A�r�Ô�´r����ªM§��r���.ׯ}��¡�«���r��ªTØE���É�5���?��}��*������¦�§¥�&� È8�r�n�!´T�r§�¦������r��¨������!�����=Ç }��¡��}n¨����r³��r³�§�ªM�«���r�«�����7�Y´r���5¾'&'&©�7��§¥§��¥�T�nªr�G� ���=� �T�

è8è ö�\ �^]+_�

Page 7: The Inverse EEG and MEG Problems: The Adjoint State ...

¸���Ï����5���&� §¡�«���7�F�¯�?�rÈD��}�� �����M�*�¥�����F�������T�������r�7Ç �¥��}������r�7¨�§���¬�� �A�7´K�r���¡� ³�§¥� ���F´a�����T���7�!�F�=ÈÊ���r� Ç }��¡��}��É�5���G���!��´r�G�� È/��}��Ô�T�����!� � È�9�:�D KS9�:C;(=*³��É��� � È/�¥��ÈÊ�T����� �����r� * �«�G���r�A�+Ï

|~}��G�«�Z�a¦���³I�!���7¨I�r���T�7���;��}��ZÈe�T���7��}�� �n�r��§�ªz× �������������� ���� Ø\�7�����!§¡���rÈÔ��¦���} �r� ���F���������Y���Z��ª��¯���!� �!� � ³I����T�������������G�+ÏwºZ�r���!�Y´T�!�G�/�������������T��}w���!¦����T�w���7�!�r�����G�������;���S9�:��OKW9�:'G�� ��}��!�M����¦����T����¥�U��}��4�����F����� §5���!��´r�T¦����ªa�«����� �¥�A���¥´a�¡��¦��r§/���!¦����r�l�T�����¥´a�¥�¯ªr�+�!�r����� �.³I�M�!�r���������!�����\�r§¥�T����T�*������§¥��´Y� �F�*�������¡�!� ���r�Ô� È?��}��M³���� ���l�r������´F�¥�¯ªrÏ|~}a¦��~Ç5�Ô�r���Ô¨�¦���}������ �F� ���n���T�������r�A�«�¡���!������� �������������� ���� �7�����!§¡�~� È���}��.³���� ����³I�!}A�K´F���r� �T�&�7�G� ���5� È2�!�r¨���¦�����������r�7���r��¨I������� �rÈ=�É���#Èʦ��������¥�T���¥����ÏÔ��� ��¦������*�r¦�� ��}A�Y��º4°?Í � �A�\°=°?Í-�����!�r¨���¦����M�«�T�M���7�T�����T�����T¨����.¨����T¨A���«���¥�G�� È/��}��Ô³����r�¥�Z�r������´F�¥�¯ª���}��Y� ��� ��}��r¨I��Èʦ�§�§�ª�³I�©¦��«�G�����7³�¦���§��4��¦���}��7�a���!§¡�!ÏÐb�����YÇ ³���������ªb��¦����U���l��}���³����r§��r�r�¡�!�r§?³��T�«�G���rÈ ��}����!§�������������� §~�r������´F�¥�¯ª;� È#��}���³����r�¥�UÇ }�����}U���7��¦������z�¥�T�

�7����}��r���¡�«���5��}����T¦��r}���}��.����¦����r���M����³���� ���r�����!�ÔÑ��r¦����7¼©� ��� ¸��A¾ ��� Ï

100 mV

1 ms

-80mV

Repolarization

Propagation

Depolarization

Quadripolar structure of

-80 mV

K+

K+ Na+

+ 20 mV

Na+

Action Potential

action potential

Axon Membrane

Ion-pump Ion-pump

�/�¥�T¦����M¼��=°2¬a�����r�!�!§�§¥¦�§¡� � �!¦������!�F�#���r¦������G�5�r�����«���J���~�¥����}����Y¬��r�8Ï

��������Ä �5Ã Ú Å Ú�� Â�� Þ � ���b��´r����ª\�����M¨�§¥�¥Ñ����z��� �����!�G�àÇ }��!�;�����!¦���� � ����� �A�«�7�¥�«�����.�M�T§¥�G��¦�§�����r¦A��}����©�����!¦����T�à�+��}���M����³���� ����¨I�!���M�G� ³���§��É�¯ªx�¡�7� §¥���!�����wÈÊ�r�7�«¨I���!�ÉÑI�����r�A��Ì ��� � ����� �.ΩÈÊ�T�Ç }�����} ��}��Z���T�������F�����Y�����r�UÇ5�T��r���¥�T�¥���r§¥§�ªl���r�¥�F���r�¥�����x�T¦��M�rÈ#��ÓF¦���§¥��³����¥¦���³FªM *�Y�!�Öׯ¨�¦��M¨A��Ø����\��}��Y�M��}���ªx�«¦������!��§�ªx��¦��«}w��}����r¦��T}x��}���M����³���� ���Ô�r�����r��´r�Ô���¡�«�Ô���n� "��$#&%'$(*)��� �#+���, "�*#!-�).#+���0/ � È/�r³A�T¦��#9�:�132 Ç �¥��}4�7��¦����Y�����r��� È 9�:�1 ZTÏ|~}�� �r�!ªF��¨A�T�¥�F�©�¡�Ô��}�� �©��}��¡�©�7����}��r���¡�«�Ë}A�r���Z���¥�7¨�§����r���r�7�������¡��«����¦�����¦������ ���;�!�r�z³I�����!¨��������!�F���G�l�T�©�4 � "�*/5�0� ÑA�!§¡�+�����G�������r�������M�T�5��}��©���a´r�������*�rÈ8��}�����ÓF¦��r���.�rÈ8��}��������«���r�����TÏ|~}��©����§�� ���G�4��¦��������F�«�����¥¨I�r§��.�7�r�7�!�F� Ç }��¡��}4�7�����!§¡�~��}����*��ÒD����� ��� � È/��}���r�����!� �rÈ)9�:7698:1b�����7��}�� �*� ³I�r¦��9�:�;*����¦����T���~��¦A�¯�#³I���r������´K� ���G�����¥�¦�§¥��� ���!�r¦A�«§�ª����7�T�!������� ���.��7�G�r��¦����r³�§��Ô��§¥�G�������r� ��� �T���������#Ñ��!§¡�+ÏÐ �É��}��}��r¦A���r�����2� È+��ªF�A� ¨������/¨I�!�=����¦����r��Ìe¨aªF��� �7�¡��� §��!�!§�§��2���MÈe�r����Î��F� ���7�r�M�K´T�!��� �r�5���!�A�«�¥�¯ª�� È 9�: B ���!¦����r�A�¨A���<1=1 = � �T���&Ç5�r¦�§��©�!¬�¨A�G���2���Ô³A� �r³�§¥�&���.���!�������=�r�����¥´Y� �����r���/� ÈI� �����r�/���7�r§¥§��!����}A�Y�)9�1=1�= � ³�¦��O���¨����r�����¡���T�³A�G�!� ¦A�«� �rÈI¨��r�«�����r§��!�r������§¥§¡�Y���¥�T��rÈD��}��#��§¥�G�������r� ��� �T���������&Ñ���§��à�r��¬�¨I�!���¥�7���T��� §��«��¦A���¥�G� ÌR�«���# ¾T¾���ÈÊ�T�?�©���!´a�¥��Ç Î�«}��YÇ���}�� �#�r��§�ª��r������´a�É���¥�G�~� ÈO� �����r�5�rÈ?>�:OKML�:�:01=1�=Ô� ���©������������� ³�§¥�TÏ

��������Ä � Ú @�ÊÁGÁA� Þ � |~}�������!�r���l�«�T¦����!��� È&�!§����������r� ���r�r���!���¡�ÔÑ��!§¡���Ô���Ô��¦������ ����#+���0)3 B�0#'-�)C#&���*/ �r�Ô������� ��§¥�G�4���\Ñ��r�¦�����¼T�AÇ }��!�Z��}�������¦����T�4��� ¨����r¨��r�T�Y���¥���7���«���r���r§��r§¥�T�����É��� � ¬a�T�àÏ $ ���¥�7��§��r� *�Y�!�'׫¨�¦��7¨aØ��7����}��r���¡�«� ����Y�~��}��©�T�����r�����rÈ���}������©��¦������!�F���~Ç }��F�«�ÔÈÊ����ÓF¦�������ªlÌe��� � �r�7¨�§¥�¥��¦A���GÎ5�����������G�5��}��©����¦����r���r§I����ÈÊ�T�����Y���¥�T�àÏ|~}������7¨A�T�«��� �F�M¨I�r���F�M�¡���}�� ���}��¡�¨�}��!���T�7�!���T�U�¡�Ç5�!§�§~�7�a���!§����w³aªx�ED�F � 4 �$� "�*/5�0� �«����¦�����¦����bÌe�RÏ �rÏ;�¯Ç5��r¨�¨I�T���É���!§�ª��r�����!�F���G�����¨I�r§����OÇ }��F�«� �T�������r�A�O�!� �A���!§��G�r��}M� ��}��!��Î/�r�����!���Y���¥���.�ÔÑ���§��7���G�������r�������Ô�T�/��}�� �¥�a´r�������� È���}��#��¦�³A� �rÈA��}��#���¡�¯��� ���!�rÏ/�����2��ÒD�����=���O��}a¦��O�����r§��¥�T�¥³�§¥�~Ç �¥��}7���G�«¨I�����2���.��}�� ¨A�F�¯������ªa��� ¨������&¨I� �����F���¡� §�Ç }�����M�G�r��¦������n�T¦������¡���Ô��}����!�r������¬+����´r�!���¥È/�¥���#�r�7¨�§¥�¥��¦A���©���~}��¥�T}��!�GÏ��¦�����}������7�T���T�Y��}�� �����7�*���T���«��� �F�=�rÈ+��}��¡�=¨�}��!���T�M�����r���¡�?�r���r�����!�?� È+��� �r���É��¦���� ����� §�§¥���*Ì>9A1 ZKÎ/��}�� ��¨I�T�«�«��«ªa���r¨����¡�M¨A�r���!�F�����r§���Ì(9�:01AZKÎ�Ï7���©��}a¦������r�F������³�¦������Ô���Z}����r}��!���RÈÊ����ÓF¦�������ªZÑ���§����©Ç }��¡��}l���!���z���\��� ���!�!§O�G�r��}� ��}��!�~Ç }��!�4�K´T�!��� �r�G���Y´r���5�����M�TÏ

û��/èàû ý

Page 8: The Inverse EEG and MEG Problems: The Adjoint State ...

���7��¦��7��� ��ªr� ��´r������}��r¦��T}��r�����¥�T����¨A�r���!�F�����r§��2�����!�r�F�����¥³�¦����~���.��}�� ��§¥�G�������r���r�r���!���¡�=Ñ���§����O�r¦����«�¡���~��}�� }����T���}���ª��r���©���r� ªr�!� �7���T�«¦�������³aª��!¦��������T� ������}����r§��r�rª��¥�\°?°?Í � ���\º\°?Í Ìe�!�r�F����� ��ª�����Ç }��Y�*�!�r¦�§¡�Z³I�����r����¥����}��©¨I�!����¨�}��!��� §+���!��´r�r¦A�5��ª��¯���!�nÎ�Ï

|�������Ñ����7��§��É����§����r¦��©�r��� §�ª��«�¡�!�+�¥�©���.���7¨A�T�«��� �F�.���Z���r���M��}�� �©��� ��� §�§O����¦����T���Ô�r�����!���Y���M���7���T�«¦���� ³�§¥�M�!§�����������r���r�r���!���¡�ÔÑ��!§¡�+Ï#���4��}���!�!�F����� §8���!��´r�T¦��#��ªa�«�����Z�A³I����� ¦����©��}���Ñ���§��4�T�!������� ���G��³aª4����¨A�T§¥�G� ���G�������T�«�G� Ç �É��}4��}�����F´T�!���«�Ô� È/��}�����ÓF¦��r���Ô� È���}������¡�«��� �A���r���r��§�ª���¦������!�F���5¨��������!�F� ������}������T�«����¬nÇ ��§¥§8³A�©�7���T�«¦����r³�§¥�TÏ

��¦��«��}��!���7�r���r�?��� ���r§¥§ �!�r�����¡�!�r§#���!§�§¡�7Ç �¥§�§ ������¦��!�ZÑ��!§¡�����M�G�r��¦���� ³�§�����}����r¦��T}¢°?°?Í0�r��º4°&ÍMÏ ���T���¥�A�¯��� ���!��«���!§�§¡�Y�����!�!§�§��©�T�!������� ���©×«�!§¥�F�«�G�\ÑA�!§¡����Ø7�¥�b��}��n�«���������}��Y�©��}��!������ªF�A� ¨������.}��K´T�M��}��T�7�r�r�����!�T¦��.���!�A�«�¥�¯ªl³I����� ¦������}��Ô���!¦����r�����!�������¥���G�&Ç }�����}����G���!��´r� ��}��©��ªa��� ¨������?®¯¦����������r���~}A�K´r� ��� �7�¥ÑA�!� �����r���&�����r§¥§+�������G�����¥�T���!Ï $ ���Y���r�7����� §�§¥ª�¥� ���#�r��§�ªn��}�� .(*� �*� � 4 �*/ ��-�/ / Ìe�r� �«}��YÇ �����ZÑ��r¦�����¾�Ï $ Î Ç }�����}Z�T�!������� ���©�7����§¥��´Y� �F�#�!§����������r��� �T���������*Ñ���§��+�I�«�����!���}��!ª\}��K´T��7׫���¥¨I�r§¡� �«Ø���T��Ñ��r¦���� �����r�à�+���!�Ñ��r¦�����¾�Ï �*Ï+|~}��F�«�M����§¥§¡�!�8�M�F�¯��§¥ª4¨����G�«���T�.���\��}��7�r���l� È=��}���¸��!�r�����¡�!�r§

Cortical Surface

---

--

- --

Pyramidal cell

Pyramidal cellConfiguration

Pyramidal cellDipolar

Structure

B

E

(dashed lines)

(solid lines)

White matter

ScalpSkull

CortexSulcus

V

V V VV

VV

V

VV

V

Cells

Pyramidal

Pyramidal cellsRepartitionA B C

Gyrus

E B E

�/���r¦�����¾ �=­Oªa��� �7�¡��� §à�!�!§�§��~������}����!�r������¬+ϧ¡�Kªr�!���2ÈÊ�T�=��}�� ´a����¦��r§A���T�«����¬7�r�&�¥����}���,Y��}�§¡�Kªr��� Ìʨaªa���r�7�����r§ �5����Õ*�!�!§�§���Î2� È+��}�� �7�r���r�5���T�«����¬7�7�r�¥��§¥ªM����§��Kª.ׯ§����!�r§ Ø����ÈÊ�r�����Y�����r�Ç �É��}�������}�� ���ÉÒD�!���!�F�=���T�«������� §F§��KªT�!�����r�����!�r���«���¥��¦���� � §��7�T�«�=¹�& � �rÈ������ �����r�����¡�!�r§T���!¦����r����Ï�|~}��!ª.��}a¦��ªa�¥��§�������ÈÊ�r�����Y���¥�T��� ³I�r¦�� ��}��©���F���!�����r§�ׯ´T�!�����¡�!� §ÉØ*�r������´a�É�¯ªn³I�!§��YÇu��}��©���T�«����¬���¦���Èe�r�!�Ô���4�M�r��´r�!�����T�«������� §à���T§¥¦��M�8Ï

µ&�r�A�«�¡���!�������Z��}�� ����}����K´T�!��� �r�7³I�!}��K´a���r���rÈ �\¨I�r¨�¦�§�� �����r�x� È ��¦���}w�!�!§�§������7�����!§����x�T��r�x�!§����������¡�!�r§&����¨I�r§��Ç �¥��}l�����r���7�r§8��� �T���������©Ñ��!§¡�\� �A�\�7���r���r���F���¡� §8��§¥�G�������¡�.Ñ���§��wÌR�r�*�«}��YÇ �4���4Ñ��T¦����¾�Ï µ~Î��IÇ&�����r����§¥ªZ������¦�������}�� �°=°?Í��7���r��¦����!�7�!�F���=Ç ��§¥§D³I�Ô���r�¥��§�ª7����§�� ���G�7�����}��.�r������´a�É�¯ª7� È8��}��G�«�.����§¥§¡�?�����!�r�����¡�!�r§A�TªF����Ìe¨�� ��� §�§��!§A�����}��.�(�a¦�§�§ ÎÇ }������G�r� º4°?Í �7���r��¦����!�7�!�F���~Ç �¥§�§+³A�©���r�¥��§�ªn���!§¡�Y���������M��}����T�����¥´a�¥�¯ªn� È/��}��G�«�©�!�!§�§��~���4���r�����¡�!�r§+�«¦�§¡���&ÌÊ���T����� §I�����}����(�a¦�§�§¡Î�Ï

���4���T����§�¦����¥�T�à��°=°?Í � �A�Zº\°?Í �r���©�!�r�7¨�§��!�7�!�F���r��ª��M�G�r��¦������5� ÈO�«�T�7�Ô�rÈ���}����!�r������¬n��§¥�G�������¡�!�r§8�r������´F�¥�¯ª���¦�����M��}��©´Y� ����� �����r���~�rÈ8��}��©¨A�F�¯������ªa��� ¨������Ô¨I� ���!�F���¡� §¡�~� È���}��©¨aªa���r�7�����r§à����§¥§¡�~�¥����}������T�«������� §+���T§¥¦��7����Ï

� ����1&�/���815���Z��10���������!1&�� U"$�����# !� �32 ������!� ��1=,/��n��,����� � ���������������O�������T���~� �A�n���Y�����¥¬����~� ���Ô���!���r�������¥��³I�r§¡�aÈe�r�!�rÏO|~}��.´r�G�����T�&�rÈ�� �7�������¡�!�Y���¥������}��.¨A�F�«�¥�����r��� Èà��}��.¨A�T�¥�F����Ìe���G�«¨àÏ��� ÎÔÇ �¥§�§O³A�n���!���r����� �lÌe���G�«¨8Ï!�"�¡Î�Ï$# ���!���r�����Ô��}���¦���¦�� §8׫���r³�§��YØ�r¨I�!���Y���r�GÏ������¡�©�«¦A��}l��}��Y�©ÈÊ�T�.�������r§2Èʦ��������¥�T�%�& �('Ìe���G�«¨8Ï %�& � � '�Î���# % ÌÊ������¨àÏ)# � % ÎÔ���©��}��n�T���T�����!�F�©� È % ��� Ï �TÏn��}��n´r�G�����r�©Ç }��F�«�����a�T��������� �����©�r���M��}��n¨��r�«�����r§��������´Y�Y����´r�G�=�rÈ % Ç �É��}n���G�«¨I�����?������}��*���a�T��������� �����?� È*�7ÌÊ������¨àÏ2� È*� � Î�Ï ���r�&���r��´r���n�«�7�a� ��}n´r�G�����T�OÑ���§��)+ & �(',#.-+�¡�5��}�������´r�����T�!���!�*�rÈ���}��¡�~Ñ��!§¡�;Ìe�7���!� §¡� ��Î&� ���/#102+ �¡�~��}����!¦���§+� È8��}��¡�~Ñ��!§¡�;Ìe�M´r�G�����r��Î�Ï

ÍÔ��´r�!�w�¯Ç&�z¨A�T�¥�F���3�l�r���4� � �O��}��Z´r�������T�35768��K9� � �r���w�¥���M���T���;:<6>=?5@=7¨�§��Kªw�r�w���M¨I�r�����r�F�M���r§��������}��M����ÓF¦���§RÏ.|~}��Èʦ��������¥�T� ;A �¡�Ô�nÈʦ��A�������r�z� È����r���B� � ÏÔÐb�7�!� �\��}������!ÈÊ�r������T����������� �¥���Ô�r���r���¥���T�G�A��� ���G�@#DC ;A�EÇ �¥��}U������¨I�����M��� �4� ���U�É���M�r���r�����!�F���O������� �����9#�� C ;AFE �=Ç �¥��} ���G�«¨I��������� �"� Ïx|~}������!§¡�Y���¥�T�w³I���¯Ç5�!�!�w��}����¯Ç&�z����«����� ���r}F�«ÈÊ�T��Ç~� ���"�

# �*G 9:IH 6WKJ# G 9:IH 6 5: �LK ̯¼KÎ

è8è ö�\ �^]+_�

Page 9: The Inverse EEG and MEG Problems: The Adjoint State ...

����� �������;������ � ������J���������� �Ðb���¯��� ���5ÈÊ���r� º4�Y¬�Ç5�!§�§�� �~��ÓF¦�� �����r���5��� �����0� 4 �

# -�� 6��� @�� # 0�� 6 K� "! X ÌR¾TÎ

Ç �¥��}���}�� -�/5-���#+�$�����*/C B-��$� � #+#&�#�A� #&($� @�%'& K & T 9�:)(";(=+* 1,(";K���r���# - ! 6 : � # 0 ! 6.- @ G)/�0 � @ � X,H Ìe�TÎ

Ç �¥��}���}�� ���21�)�-�#+���, "-��$��-��43�� / � #+( - @ 6 >65�9�:)(87+9 1:( ;KÏ2Ðz�©��� ���Ô��}��Y�~��}��©¨A�����7���r³���§¥�¥�¯ªn� È����¡����¦��G�&������}��.}��G�r�������}A�Y�#� ÈO���M¨��¯ª���¨��r�!�r��� Ï �TÏ;-B6'- @ � ������}��Y� � @ - @=< = 6 9r��Ç }������ < 6'> K :':-9�:'D�1WZ?( ;*��� ��}���´T�!§������¥�¯ªn� È2§¥���r}F�#���4�´r�T���àÏ

�#�����T�a��}�� �+@��0��1 - 4 -�)C$� #+( � � ������}�� � F �$� -�).# 4 -�)"$� #&( / � ���*���!§¡�Y������³aª# - / 6 K A� X K��¦��«��}��!���7�r���r�����Z�M¨��T������´r��ÌÊ���n��}A� ���r�r�a���T�#��¦������!�F� �r�!���!���Y���T��Î?���T��� ���r�r���!���¡�*�7�G���¥¦���� / �¡�~��}����«¦��-� È/��}��

�B@ � ���C�*�*/ F ��- �!¦������!�F�#� �A�n��}�� B�0/5�*�$�ED��0#+���0) ��¦������!�F����������¨I�������¥´T�!§�ª �/ 6.FG� 0 "H X � ÌÊ�aÎ

Ç }������ H 6 & � K � @ 'I����� ��}��¨A�T§��r����Õ�� �����r�Z� ����F ÌÊ�!¬�¨����G�����������:JK(";.1,(";�Î � �A� � � ���.��}������T����¦�������´F�¥�¯ª��r������}��¨I�!���M�¥�«���¥´a�¥�¯ª��rÈ8��}��©�7� �������¡� § �����G�«¨I��������´r��§¥ªTÏ

��� � LM�F�N� �POQ� �������SR �TKT�U���F�SV ����� ��� �XW �Y���Z�;���[�� S C�����F����� ���K� �|~}��ÔÓT¦A�r���É���¯���Y�����*� ¨�¨����K¬��¥��� �����r�4Ìí®¯¦��«���¥Ñ��G�����Qí¾r¾��à� �A�n� ¨�¨I�!�A���ɬ $ Î?�r§¥§��YÇ#�=¦A�=���������r§������ � §�§A�����M�.��������´Y�Y����´r�G�=�����}��T���Ô�GÓF¦��Y���¥�T���!Ï=£a�����!�.��}����!¦���§+�rÈ���}��©�!§������������*Ñ���§������¡�~Õ!�����A�a��}�� � Ñ��!§¡�����5��}��©�r���r�����!�F�~� ÈO�M¨A�r���!�F�����r§�2��

� 6 KJ# 2 K������}���ÓF¦��T�«�¥���¯���Y���¡�Ô� ¨�¨����K¬��¥��� �����r�à��º4� ¬aÇ5�!§�§�� �&ÈÊ�r¦��«��}��GÓF¦��Y���¥�T��³I���!�r�7���# 0 ! 6.- @ / �Ç }��¡��}à�à���T��³������G�lÇ �¥��}z��}��M��}��¥���\�GÓF¦��Y���¥�T�à�+�¥�7¨�§������Ô��}�� �5��� ����£��K´Y�r�«� §¡�KǶÈÊ�T�.�!�r�7¨�¦����¥������}��M�7�r�r���!���¡��ÑA�!§¡�z� �� �aªn¨I�r���F�J�.ÈÊ���r�Ö��}�����¦������!�F� ���!�����¥�¯ª / �

! & �(' 6 - @>65 \^] / & � � '�0/# ��G 9:)H`_ � � K Ì ,TÎ

£a����� ¨�¨I�!�����ɬ $ ÈÊ�T�#�M����´F���!Ç©Ï

���ba ������R"��UYUc�*� �4OQ �"� ����d8�Y���Ze�e,fgT�U��Xhi j��Vk� �$ §¥��}��r¦��T}n��}�� ���!���ml�nlpo ���5�a¦�§�§I���n�GÓT¦A�Y�����r�bÌÊ�aÎO¦����¥������}��ÔÓF¦��T�«�¥���¯���Y���¡�#�r¨�¨����K¬a�����Y���¥�T�à� ��}����~�!¦������!�F�5§��KÇ �¦��¯�~³I��7�����ÉÑA���b³A�G�!�r¦��«�M��}��7³����r�¥�b�¡�.��� ����¨��T�����¥´T��7�G���¥¦�����³�¦����¡�©�«¦�³�®¯�����©���4� �b�!§�������������� §=�r������´a�É�¯ª4�������G�������z³Fªz� .�$� ���*�$(=� F �$�-�)C# �����r����� /rq ÏOÐz�.��}F¦A� }��K´r�*���7Ç ���É���'�/ & �(' 6 / q & �(' 0 F & �('I� & �(',6 / q & �('�K[F & �(' # 2 & �(' Ìe¸FÎ

|~}��.¨����¥���r��ªn�!¦������!�F�#���¡�¯������³�¦����¥�T�Z���~¨������!�����!§�ªnÇ }�� �#°=°?Í � ���Zº4°?Í �r���*����ªa�¥���M�������«�����7� ���TÏ

û��/èàû ý

Page 10: The Inverse EEG and MEG Problems: The Adjoint State ...

��ÈàÇ5� ���YÇ¢¦����#��}��#ÈÊ�T¦��«��}n� È�º\�Y¬�Ç&��§¥§�� �=��ÓF¦�� �����r�à��# 0 ! 6 - @ / �a���'�r� ��}��*����´r�����T�!���!�#� Èà³I� ��}��������G�!�a� �A��¦������}���Èe�r���#��}A�Y� #D- & # 0 ! '�6W:��AÇ5���r³���� ���\��´T�!��ª����M¨I�r�����r�F� ��ÓF¦�� �����r�Z��}A�Y�Ô�!�r����������� ��}���¨������7�r��ª���¦������!�F� /rq ���}��©�!§����������¡�Ô¨A�r�����T�����r§?2 � ������}������r�A��¦������¥´a�¥�¯ª F �# - & F # 2!'�6 # - / q K Ì ¹rÎÐb�©�7�'�r�.¦����.� È/��}��©���!§¡�Y���¥�T�I# - & FL# 2 '�6 # FI- # 2 0 F � 2 ��������Ç ���¥���*��}���� �GÓF¦��Y���¥�T� �# FI- # 2 0 F � 2D6 # - / q K Ì �FÎ

|~}�� 4 � �-���# ¨����T³�§��!� ����°=°?Í �¡�?��}��Y�~� È/���r�7¨�¦�����������}��.¨A�r�����T�����r§92 & �('=�r��´r������}��*¨������7�r��ª��!¦������!�F� /Aq & � '=�r�����}��n���r�A��¦������¥´a�¥�¯ª:F & �('�Ï�|~}�� � )c�*-����- ¨����T³�§¥���Ë���;°?°?ÍÖ�¡���8�r��´r���l�7���T�«¦����G�*�rÈ&��}��7¨A�r�����T�����r§ 2 �Y�����r�7�7¨A�T�¥�F���� ; � K K K � �����?��� �A����}������T����¦�������´a�É�¯ª F & �('������7���«�����7� ���.��}��©¨����¥��� ��ªn��¦������!�F� /rq & � '�Ï����� ������ � ���IO� ��� � U��M �"� ����d �Y�����me,fgTKU��XhK S��Vk� ���È2Ç&�.���YÇu����¨�§��T���Ô��}�����¦��������F� / ³Fª��É���~´Y� §�¦��nÌe¸FÎ?������}��#�5��� ����£��K´Y�r�«�~��ÓF¦�� �����r�;Ì ,rÎ���Ç5�Ô�T³����r�¥�

! & �(' 6 ! @ & �(' K - @>45 \ ] F & � � ' # � 2 02# � G 9: H`_ � � � Ìe½FÎ

Ç �¥��}

! @ & �(' 6 - @>45 \ ] / q & � � '�0/# �*G 9:$H _ � � � Ì«¼�&FÎ

Ç }������ ! @ ���5��}��©��� �r�������¡�*Ñ��!§¡��¨����a��¦����G��³aªn��}��©¨����¥���r��ªn�!¦������!�F� /rq ���r� ��ÓF¦���´Y� §��!�F��§�ª! & �(' 6 ! @ & �(' 0 - @

>65 \ ] 2 & � � ' # � F@0/# �*G 9:IH _ � � � Ì«¼r¼KÎ

�r� ��}��YÇ ���¥�4�r¨�¨A�������¥¬ $ Ïí¾�Ï°=ÓF¦�� �����r���5Ìe½FÎ8�r���n̯¼T¼GÎ8� ���ய¦��«�2�T�8���7¨A�T�«��� �F�8ÈÊ�T�2º\°?Í �r����ÓF¦�� �����r��Ì�¹ Î8����ÈÊ�T�/°=°&ÍMÏ� � ���&}��YÇ5�!´T�!�+��}��Y�/��}��!���

�¡� ���� ®¯�r�#���¥ÒI�����������.³I���¯Ç5�!������}��T���.��ÓF¦��Y���¥�T�����/Ç }��¥§��©��ÓF¦�� �����r�;Ì ¹ Î&�¡� ���M¨�§¥�¡���¥��ÌÊ� Ï �TÏ=� §�§¥�YÇ#�&��}������T�M¨�¦���� �����r��� È2�Î�����ÓF¦�� �����r���ÔÌe½FÎ&�r���lÌ«¼r¼KÎ=�!¬a¨�§¥�¡���¥��§�ª����!Ñ���� ! & � 'O�������!�����&�rÈ 27�YFz� ��� /rq Ï ���r�&��}��¡�~�����r���r�8�T�GÓT¦A�Y�����r�bÌ ¹rÎ?�r§����¨�§¡�Kª�� ��Èʦ������ �7���T��� §+���r§��.�¥����}����!�r���Ô� È=º4°?Í � ����Ç ��§¥§+¨�§¡�Kª���}��������T�����r§+���T§¥�Ô������}��©���!��� ��������� � È8��}��¡� ����¨A�T�«�GÏ|~}�� 4 � � - ��# ¨����r³�§��!�-�¥�\º4°?Í �¡�5�������T�M¨�¦����Ô��}��©�7�r�r���!���¡�#ÑA�!§¡� ! & �('=�T�¥´T�!�n��}��©¨����¥���r��ªn�!¦������!�F� /rq & �('����r�����}��7�!�r����¦������¥´a�¥�¯ª:F & �('*�r���\��}��7¨A�r�����T�����r§ 2 & � '�Ï7�������©���r§�´r�G�\���b�Z�«����� ���r}F�«ÈÊ�T��Ç~� ����Èe�r��}����r�\ÈÊ���r� ��ÓF¦��Y���¥�T���7Ìe½FÎ

� �A��̯¼T¼GÎ�Ïb|~}�� � )c�*-����- ¨����r³�§��!�(�¥�¢º4°?Í �¡���O�r��´r�!�x�7�G�r��¦����G���rÈ �«�T�M�����T�M¨I�r���!�F����� È ��}������ �T���������nÑ��!§¡�w� ����r�7�©¨A�T�¥�F���� ; � K K K � ��� �D� ������}����!�r����¦A������´a�É�¯ª�F & �('��A���n���«�������Y���©��}���¨�������� ��ª��!¦������!�F� /rq & �('�Ï- � ���©��}�� � ��}��������ÓF¦������G�?��}������T�7¨�¦���� �����r��� È/��}��©¨I� ���!�F���¡� §�2 & �('�Ï���z���r�7�7�!�T�«�G�3 ½��+� ���8¾r¾a�D��&�� �àÇ5�M�7�KªZ}��K´T��7�G�r��¦������7�!�F���*� È?³I� ��}l��}��7�!§������������¨A�r�����T�����r§O� ���z�«�T�M�7���T�M�

¨I�r�����T���n�rÈÔ��}��\��� �T���������4Ñ��!§¡�+϶|~}�� � )A��-����- °=°&Í �.º4°?Í(¨����r³�§��!� �¡�!�~�r��´r���¢��}��F�«�4�7�G�r��¦������7�!�F���n�r��� ��}�����T����¦�������´a�É�¯ª F & �('����������«�������Y���Ô��}��©¨����¥��� ��ªn��¦������!�F� /rq & �('�Ï����� �������^��UYW �NR8� �TKT�U���� RA�±*¦����a���YÇ §¥�G���r��� È#��}����!�r����¦������¥´a�¥�¯ªx� È ��}���³���� ���x�������«¦����M���´r����ª;§��¥�7�¥���G� í¾r¾���Ïx|~}��!����ÈÊ�T���T�O�¥� °=°?Í �T�7º\°?Í�«��¦����������#�¥���¡�n�rÈ ���!�u�r���«¦��7�G� ��}�� ����}��l}��G�r� �¡�n���r���l�r¦���� È��U�F¦���³I�!� 6¶�rÈ������e®¯�r���F��}��T�7�r�r�����!�T¦������!�T�¥�T���J ; � K K K � J��zÇ �É��}x³A�T¦������r��������� ; 6 J ; � K K K � ��� 6 J��DÏZ|~}��T���7�����r���r���©�r���7¦���¦�� §�§�ªz��}��F�«���z���4³A�n��}������!�r§¥¨8�� �F¦�§¥§ �8��������³����T��¨��¥�A� §9�A¦����à�à�r���KªZ�7� �«���!�©� ���zÇ }��¥���7���Y�����!�GÏ�|~}����!�r����¦A������´a�É�¯ª`F & �('#���©�!�r���«���r�T�.���l���T��}l�rÈ?��}�����!�r���r�A�!�+�GÓT¦A� §2��� F�� �¥� J����8� ���z��}��!����ÈÊ�T���M�É���©�r���r���¥���T�G�+Ç }��¡��}b�r¨�¨A�G� ���Ô�¥�;��ÓF¦�� �����r���7Ì �TÎ.� �A� Ì«¼r¼GÎ��à�¡�.���r��Õ��!����r��§¥ªb�r�b��}���³I�r¦������ ���¥�G������ÏZ|~}�����}��r�� §�§¥�YÇ5���z���G�«�G� ����}��!���Ô�¥�w��}���ÑA�!§¡�����rÈ °?°?Í � �A�wº4°?Í-���\���!¨�§��T���7��}��T�����ÓF¦�� �����r���*³aª4�«���7¨�§¥���.�r���G�!�D���F´T�r§�´a�¥�����r��§�ª4�«¦���Èe�r�!�����F���!�T���r§��*� ÈO��}��7�!§�������������¨A�r���!�F�����r§RÏ $ �b��¬��r�M¨�§¥�� È=�¯ªa¨��¡�!�r§���T����¦�������´a�É�¯ª´K�r§¥¦����O� ���.Ï �T����Ï &'&r�F¾*� ����Ï �r� JK(";$1:( ;?ÈÊ�r�2��}�� ���!� §�¨à�r� �a¦�§�§�� ���M³���� ���M���G�«¨I��������´r�!§�ª �C,a�r���/ÌÊ��� ��&�� ���}���}a¦���� �l� �a¦�§�§�¨�}A� �F���T� }��T�*�!�r����¦������¥´a�¥�¯ª�´Y� §�¦��G� �rÈ , ���/¼��r���x¼�&�&MÈÊ�r�.����� §�¨à�D�(�a¦�§�§/�r���Z³���� ���\������¨A�G������´r��§¥ª�Î�Ï

è8è ö�\ �^]+_�

Page 11: The Inverse EEG and MEG Problems: The Adjoint State ...

µ&�r�A���!���������Ô��}�� ���T§¥� �rÈD�r������� �����T¨������2�����}�� �!�r����¦A������´a�É�¯ª´Y� §�¦������r�T���#�!�r�����!ÈÊ�!�2��� �r�����FÇ }��!���~��}��*� ¦���}��r���O�¯��¦���ª��}��#�¥�"��¦��!�A��� � È+� �F¦�§¥§��r���¡�«�r�����r¨aª��r���}�� ÈÊ�r��Ç5�r���M� �A����a´r�������&¨����T³�§¥��� ����°=°?Í�� �A�M�!�r���!§¥¦A���~��}�� �O��}��¡�=���B��¦��!���!��¡�~�¥�7¨I�r����� �F� ÈÊ�T�~��}��.ÈÊ�T��Ç~� ����¨����r³�§��!�Z��Ç }��¥§��Ô��}���ÓF¦��G�¯���¥�T�����!��� �����~�T¨A����ÈÊ�T�~��}������r���*�rÈ���}��©���F´T�!���«�Ô¨����r³�§��!�ZÏ

�5��ÈÊ�T����Ç&��Ç ���¥������}��G�«����ÓF¦�� �����r�����=Ç5�����F��������¦������«�T�7�����r��� �����r�àÏx��È ���!�T�¥�T��� J��Ô�r���MJ��4� �����r�Y®«�r�����F���OÇ5�������� ����³aª �������}����¥�©���T�7�M�T�4³A�T¦������r��ªT�D�RÏ �rÏ ����� ���rÏÔÐz�7� §¡�«�����!���r���M³aª�� � & �('5��}��M¦����¥�Ô���T�����r§8´r�G�����r�#��� ����Y�©��}��n¨I�r���F� ���rÈ ��� �*�$��-�)C#!- 4 #!�� �*� 4 #�@�-=� F #+$� 4 - �rÈ J�� � ���;³aª� ��� & �('#��}��n¦����¥�����T����� §O´T�������r�.��� �������Y�©��}��¨I�r���T�F�©�rÈ �����.�r§�����T�����!�F���������YÇ5�r���M��}��.�r¦����«�¡���.� È J��«Ï _ Z ���©���!���r���G�?��}��©� �������!§��!�7�!�F� � È �����TÏ=£a¦��«Èe�T���Ô�!§��!�7�!�F�������ÈÊ�!�����¥������7���F���!�T��� �����r��Ç �É��}Z���G�«¨I�����5���M��}��©´Y� ���¡� ³�§�� ��ÌÊ������¨àÏ�� � Î5Ç �¥§�§à³I�����!���r���G��³aª _ ZnÌe���G�«¨àÏ _ Z � Î�Ï��� ���-�F���YÇ �bÌ(¥¼������ �A���r¨�¨A�������¥¬�� Î&��}A�Y� ��ÓF¦�� �����r�;Ì �TÎ&ÈÊ�T�~��}��©¨I� ���!�F���¡� §8³A�G���r�7�G�

� � ������� & F�� 0 F�� ' 2 & �(' 6 L?F @ 2 @ & � '�K 9L?5 ����� & F � K[F � ' \ ����� 2 & � � ' # � G 9:IH -��

��� & � � ' _ Z � ��� K Ì«¼G¾TÎ

|~}�����¦��Ö�¡�~���'�r�����Y´T�!�~� §�§à¨�� �����&�rÈ2�T�K®«�r�!�!�F� �����r���r��� ��� �A� �

�Ï 2 @ �¡�#���!Ñ�������³aª

2 @ & �(' 6 9>65=F @ \ ] # ��G 9:$H - / q & � � ' _ � � 6 K 9

>65=F @ \ ] # � - /rq: _ � � � Ì«¼��FÎÇ }������ F @ 6W9rÏ 2 @ �¡�~��}��©¨I� ���!�F���¡� §à��¦��.���M��}��©¨�������� ��ª���¦������!�F� /Aq �¥�Z�7�7������¦�� � È�¦����É�Ô���r�A��¦������¥´a�¥�¯ªrÏ

#�r���Ô��}A�Y�#��ÓF¦�� �����r�;̯¼K¾rÎ&���#� È8��}��.ÈÊ�r��� %�& 2 ' 0�� @ 6���2 �Ç �¥��} � @ 6 L?F @ 2 @ ���I6 F � 0 F � �r��� % �¡� � ���¥�F���!�r��� §+�T¨A����� ���T���%�& 23' & �('�6 \ �! #"$��%� N & � � � � ''2 & � � ' _ Z � �Ç }������3N & � � � � ' 6 K ;='& & F � K F � ' # � C ;A�E -(� ��� & � � '5ÈÊ�r� � � � �

�)�Ï*|~}��¡�*���Ô�7�����G��}��r§�� �¥�F�����r��� §�� ÈO��}��M�����!�r�����¯ªa¨I�

���+¼���� Ï£a���7�¥§¡� ��§¥ªzÌ>�¼������r����� ¨�¨I�!�����ɬ �~Î�����ÓF¦�� �����r�;̯¼r¼KÎ~�!�r��³I�©����¨�§¡�r���G�n³aª

! & � '�6 ! @ & � ' 0 - @>45 � ��� & F � K[F � ' \ ���� 2 & � � '!�

��� & � � ' 02# � G 9:)H`_ Z � ��� � Ì«¼!�aÎ

Ç �¥��} ! @ �«����§�§à�r��´r����³aª��GÓT¦A�Y�����r�;̯¼�&TÎ�Ï* � ���0,/���/6��+, �#2w,2���������l� �|~}��Z�7����}������M��}�� ��}��K´r��³A���!�¢¨����r¨I�T�����;ÈÊ�T�7���r§�´a�¥���l��}��Z�¥�a´r��������°?°?Í �r���¢º4°?Í ¨����T³�§��!���Èe� §�§5���F���x���!´r�����r§��� �������Y���!�r�T��������Ï2|~}��©� ¨�¨����T�T��}��!�r��³I�.¨����r³��r³��¥§��¡�¯������*K³��KªT�������r���¥���!§¥¦A���¥���M��� ¬a����¦��-�M¨A�F�¯���!���¥�T���D���«�������Y������ ��� ����Y¬�����¦��M��§¥� �r��§¥��}��a���R ¾'&��/�G�¯���¥��� �������I�r� �¥�©�!� �4³I�7�������!���M�����¡�¯�����rÏ ���Ô�7�KªZ�r����¦��7��n���¡�����������7 ��¹a�I��¼ �I�F¾a�D�r¸��/�T����¡�¯������³�¦������ í¾�¼ �8���&���r¦������7�7�����!§ Ïn���b��}��n���r����� È~�4�����«������³�¦����G�;�«�T¦����!�7�M������§=´Y� ���¥�T¦��©�«���!¨A�©}��K´r�M³I�!�!�;�����T�!����������r¦�§¡� ���¥Õ��Ô��}��M�«�T§¥¦����¥�T�4³aª���}��a�F�«�����7�7�¥������¦�������T��� �«�T§¥¦������r���?í¾�¼T�A�T½����T� ³aª�§����M�¥����������}����¨�� ���¡� §¥�R���!�7¨A�T���r§´Y� ����� �����r�� ÈI��}��#���r§�¦������r�M��¬��!�!¨��=�Y�=�G���r�G�� ��� Ï2² ���!�!�F��§�ªr�F� ��� ���T�M�¡�!�r§�� ���¨�}aª��«���r§��r�T����� §a���r�A�¯�����r�¥�F�����¼�&���¼�¸���¼Y¹F� ���}��K´T�Ô�r§����7³A���!�Z�¥�F��������¦��!�������7¨����!´T�!�F�~��}������r§�¦������r�A�5ÈÊ���T�-� ¨�¨I���r�������M�¥�Z¦������G� §����«���¡�.� �����r�5�rÈ8��}��©}����T�+Ï

|~}��&��}���¦��«�O� È���}��¡�2¨�� ¨I�!�2�¡�/���.¨����r¨I�T���&�Ô���!Ç � ¨�¨����T�T��}©ÈÊ�r�O���r§�´a�¥���*��}��~°?°?ÍM�Tº4°?Íu� �A��°=°?Í �.º\°?Íu�¥�a´r�������¨����r³�§��!���*�¥�b�n´T�!��ª��T�!�������r§àÈÊ��� �7�!Ç5�r� �DÏ ���l¨A� �����¡��¦�§¡� �G�AÇ5��������r�Ô�T����¦��7����}��Y�Ô��}��7���T����¦������T��� �¥�a´r�T§¥´T���Z}��K´T���¨A�G���¡� §D�«}��r¨A�G�!�a�TÏ �AÏ/��¨�}������G�!�F³�¦��~�r¦��&ÈÊ��� �7�!Ç5�r� ��r§¥§��YÇ#�=¦��&�����������T��¨I�r���Y��� � �aª7��¨����¥�T���I����ÈÊ�r�����Y�����r�n�!�r���!�!�����������}��T���Z��}��r¨A�G�!�5�rÏ ��Ï�����ÈÊ�T�����Y���¥�T�UÈÊ���r� � ��� ���r�7�¡�!�r§ º4² ���?���!�4���������¥�T� ½�Ï Ðb�\���x��� ���T����¦��7�Z�!�¥��}�������}A�Y����}��¨����¥���r��ª;��¦������!�F� / q & �('.���M�\ÑA���É���������M� È*���¥¨I�r§�����Ïz���UÈe�r���MÇ5���T����¦��7����}A�Y�7�É�7���7�l�r�!���!��� §=Èʦ��������¥�T�à�=³�¦��7�r¦��ÈÊ��� �7�!Ç5�r� ��� §�§¥�YÇ#�&¦��&���7�������T��¨I�r���Y���*� �aªn�¨����¥�T���I�¥��ÈÊ�r���7� �����r�����r�A���!������������}��¡� ��¦��������F���a�rÏ ��Ï/��}A�Y� �É� �¡�~§¥����� §��¥Õ����������}������T�«����¬��r���Z�!� ��}��K´T� H!�«}��r��¨�H#�G���r�G�!Ï

|~}��5� ¨�¨����T�T��}.���/´Y� ����� �����r���r§T�r���©¦����������G�����T�2�r��´Y�r�����G�à������T�7¨�¦�������´a�¡�«���r��Ç }��!���=´Y� ����� �����r���r§T�r¨�¨����T�r��}����à�r���­2� �����¡� § � �¥ÒD�!���!�F���¡� §�°=ÓF¦�� �����r���5Ìe­ � ° � ��Î/}A�K´r�=³I�!����¦�������«¦������G�¯Èʦ�§�§�ª*���Ô���r§�´r�5�#�a¦��³A�����rÈA�������!¦�§¥�2¨����T³�§¥�����8��¦���}�r�*���T�M¨�¦���� �����r�4� È=�T¨����¡�!�r§9���YÇ©�I�����«���r���Y���¥�T�à�����!�T�M���F���Y���¥�T�à�D�¯���!���!�Aí¾T¹F�+¾ ½��/¼�,�� Ï*���Ô� §¡����³A�T�����YÇ#�~ÈÊ���r� �r¨����¥��� §���T�F�����r§~��}��!�r��ªwÇ }������Z��}��\�G�¯���¥���Y���¥�T� �rÈ������«������³�¦����G� ¨�� ��� �7�����!���7�¥� ��ª��¯���!���n�����¥´T�!� ³aª ­ � ° � ��}��T�7���G�����¥´T������T�������������r³�§��Ô� �«�����F�����r���¥����}��©§��T�¯�~��}��¥���¯ª�ªT��� ���� ��¼ ���T¾�� ,���Ï

û��/èàû ý

Page 12: The Inverse EEG and MEG Problems: The Adjoint State ...

� � �������Ô)+���!��,-�à,��.,��(�������/����1O�Ðb�*���YÇ¢�T�¥´T�*���T�!�������r§A���G���!����¨����¥�T�n� È+��}��*�7�!��}�����Ç5� ¨����r¨I�T���#����¦���� �����T�����!�=������r§�´r� ��}��Ô�¥�a´r������� °=°&ÍM��º\°?Í� �A��°=°&Í �.º4°?Í ¨����r³�§��!����Ï/Ðb�����T����������� �M����� U � È/���G� §DÈʦ����������r��� ��}�� �5ÈÊ�T��� ������r§ �#��§¥³I�!��� ��¨��r�!�r�a�RÏ �rÏO�¥�#�¡� ����T�7¨�§¥�!��� ���T���7�G�������r§�´r�������T�2��¨��T���~Ç �É��}n� �M�¥�����!�=¨�������¦�����Ï/���7�r¦��=���r���r� Ç5�~Ç �¥§�§����T�����������O���G� §���ÓF¦�� ���&���F�����r��� ³�§��Èʦ����������r��� ����Ñ��������r�Z� ���r¨I�!�Z³I�r¦��������������r���r��J��GÓT¦��¥¨�¨I����Ç �¥��}���}��©�¥�����!� ¨�������¦����

��� ����� 6 \ ] � & �(' � & �(' _ � �Ç }��¡��}�����Ñ����G�~��}���� = ���r���-�T�1� = � = = 6 ��� � � � K���¢¨����r�������!��Ç5�ZÇ �¥§�§#}��K´T�����x���r�A�«�¡���!�n���r�7��Ç }��Y�7�7�r���Z�!�r�7¨�§������Y�����UÈʦ��������¥�T��� §#��¨��T�������&��¦���}¢�r�M��}��l£a�r³I�r§��!´��¨��r�!��� 9; & J '?� �A� 9;@ & J '- �r���A�T¾�����³�¦��#Ç5�©�!�r�����r���T���Ô��}���� ���%�n�!¦�§É�¯ª��Y� ��}���� §��!´T�!§+�rÈ/���!��� ��§ Ï�à�!�*��}��M´r�������T� ���!¨��������!�F�Ô���«�!�Ô�rÈ?¨��r���r�M�!�������*Ç }��¡��}z�!�r�\³I�7���!�r§��r� �T�*´T�������r�*Èʦ����������r���.���!Ñ������l�¥�;���r�7�Èʦ����������r���r§���¨��r�!�r�����!���r�����QU � Ï)���r� �r�Fª�w��� U � ��Ç5�����T����������� ��}���ÌÊ}��T¨A�!Èʦ�§�§¥ª�¦����¡ÓF¦��GÎ5Èʦ��������¥�T� � �rÈ�U�Ç }��¡��}���Y���¡�«Ñ����5��}����¯���Y���Ô�GÓF¦��Y���¥�T�

� & �' � 6 %�& �' � Ì«¼�,TÎÇ }������ � & ,'=�¡� ��§��������r�5�T¨A����� ���T�?ÈÊ���r��U ����� ��� ��}��!�~�«�!�-U ;� U �r��� % ��� ��Èʦ����������r��� È U ; ÏOÐz�.���!Ç ���É��� ��}�����«���Y���.��ÓF¦��Y���¥�T��¦A�«�������7´Y� ����� �����r���r§AÈÊ�T���¦�§¡�Y�����r�8�

� � & �' � K %�& �' ��� � 6 : ÈÊ�T� � §�§ � �¥� U = � Ì«¼�¸FÎÇ }������Ô��}����«¨��T���#U = ÈÊ�r�~��}��.�����«� Èʦ����������r��� � ���!¨I�!�����#�r����}����r¨�¨�§������Y�����r�Z� �A���¡� �r�����!��� §�§�ª�����§�� ���������!U Ï

|~}��¡� ���!Ñ����G� �7��� ¨�¨��¥������ � & �'&Ç }������.��}�����r§�¦����¥�T� � & �'&�rÈO��ÓF¦��Y���¥�T����Ì«¼�,TÎ~� ���xÌ«¼�¸TÎ ���*�!� §�§�������}����¯���Y���Èʦ����������r�àÏ~|����r��´r�©�«�T�7�©�¥�F��¦��É���¥�T�à�����Z��}��°=°?Í �!�T�«�.��}����¯���Y���©Èʦ����������r� � �¡� ��}��©�!§�������������� §à¨I� ���!�F���¡� §?2 �r������}��´r�G�����r��w�¡�~��}������T����¦�������´a�É�¯ª F & �('5�r������}���¨�������� ��ª��«�T¦������©��¦������!�F� ´r�������T� /Aq & � '�Ï |~}����¯���Y���©��ÓF¦��Y���¥�T�Z��� ���É��}��!���ÓF¦�� �����r�;Ì ¹rÎ5�r�~��ÓF¦�� �����r�;̯¼G¾TÎ�ÏÐb�~�r§���� ���'�r�5�M�G�r��¦����!�7�!�F���/Ç }��¡��}��� �M³A�~�7�����!§����M�r����}�� � ¨�¨�§��¡�!�Y���¥�T���rÈI�*§¥�������r�2�r¨I�!���Y���T���Y������� ������� & �'��

�����r¦��Ô�¯���Y����Èʦ��������¥�T��� � Ï |~}��¡�#�T¨A����� ���T� �7�r¨�� U����$� � Ï#°2¬�� �7¨�§���� � È?��¦���}Z�r¨I�!���Y���r���#� ���©�r��´r�������\�GÓT¦A�Y�����r�A�ÌR¾r�TÎ5� �A�bÌ ¾Y�aÎ�Ï2Ðz������Ñ����.��}��©�7���T�«¦����!�7���T���5�!�����T�&Èʦ��������¥�T��� §

� & ,' 6 9L =�� & �' � K�� = = � Ì«¼K¹rÎ

Ç }������ = - =^=#�¡���TÈÊ�T�~��¬�� �7¨�§��r�T��}��Ô¦���¦�� §+°O¦A��§������G� �����r��� �¥�I� � ��� ���������5���T�¥´T�!�n´T�������r�&� È8�7�G�r��¦������7�!�F����Ï/|~}�����F´T�!���«�Ô¨����r³�§��!� � È/Ñ����������7��}��©¨�� ��� �7�!���!��;��}��Y�#Ç5�r¦�§���³I���«�#����¨�������¦A���Ô��}��©�7�G�r��¦������7�!�F����� ���5��}��!�\����Ñ����G��r�*��}��7�M�������7�¥ÕG�Y�����r�b� È&��}��7�������r���ËÇ �¥��}b������¨A�G���.������}��7¨��r���r�7��������?ÏM|~}����©�!�r�����G�«¨I�r�A���#������}������T���¯�����r�¥������7�¥���¥�7��Õ��Y���¥�T�Z¨����T³�§��!�

���! "$# %'&)( � & ,'¤�«¦�³�®¯�����~��� � 6 � & �'����r§�¦������r��� È & 9�T ' �r� & 9+*�' K Ì«¼��FÎÐb� ¨����r¨I�T��� ����«�T§¥´T� ��}��*�7�¥�����7�¥ÕG�Y���¥�T�n¨����r³�§��!� ³aªM�����������!�F�~� §��r�r���¥��}�� ¦��«��������}��*�¥��ÈÊ�T����� �����r���r�7��}�� �T���T�����!�F�� �A��Ç5� ���r�7¨�¦����5��}��~�T���T���¥���F�/�rÈ���}��5�������r�2�����¥���!�����r��Ç �¥��}M��}�� �r�K®¯�T�¥�F�=�¯���Y���~�r¨�¨����T�T��}àÏ8|~}��¡�O� �7�r¦��T�������©���T���«�¡������8�r�r��� ���T�7��¦�§¥����¨�§��¥������Ç }�����}8�/���x��}����M���T�F�����F¦��r¦������������������2³I���!�r�7���ZÈʦ��A�������r� � H�§��¥´a����� HM���x��}�����¨��r�!��� È �����«�Èʦ����!�¥�T��� U = Ï/Ðb� ÈÊ�r������}�� �8�r�r��� ���T���r��³aª�T���������.��}�� �!�����T�2�!���¥���������r�8� ��¬�¨��������«�G�����7���������O�rÈA��}��#�«���Y��� Èʦ����������r�à�� �A�n��}������T���¯�����r�¥���¥���7�«���Y���©��ÓF¦�� �����r�à���!¬a¨����G���������¥����}��©´K�r���¡�Y���¥�T��� §IÈÊ�T��� �

, 6 , & �A�-��. �'�6 9L =�� & �' � K�� = = 0 � ��� � & ,' � K %�& �' � K Ì«¼�½FÎ

|~}��¡���� �r��� ���r�¡� �U�¡���xÈʦ��������¥�T��� § ÈÊ���T� ��}��l��� ���������¡� �¢¨����a��¦�����U 0SU = 0 U � ���F��� � Ç }��¡��} Ç&�z�r���«¦��7�Z���³I�l���¥ÒI�������T�����r³�§��r϶|~}��¡�n���M¨�§¥�����n��}��z��¬����«���������4�rÈ�Í*����������´Y�Y���¥´T���\Ì ÍËÈÊ�T��Í.� �����r¦�¬�Î7Ç �¥��} ������¨A�G���n���U� §�§ ��}������H��!�a�r�����¥�A�Y���G��H � � � ��&ÏOÐb�*���!�7�����n��}��Ô���G�r�����&�rÈà��}��©���!Ñ����¥�����r��� È/Í.� ���G� ¦�¬a�2�r� Í*����������´Y�Y���¥´T�*�rÈ���Èʦ��������¥�T��� §"*ÈÊ���r�-�M���T���7����´r�G�����r�#��¨��r�!�OU �¥�F���!�5Ï

è8è ö�\ �^]+_�

Page 13: The Inverse EEG and MEG Problems: The Adjoint State ...

��Ú�� �?� ÂA� Þ ��� * � �� % 4 -��$�#���I3$/5- �0# � �QU � ����� � �QU #�@�- / � � � # * 6�� �!����� @�� ��� @������ � �"!$#�% ( �&��� %� -(' � $#+ )*,+ @B- �$ � �/ �����*#&���*) * � & � '.- � � * � / � )�-��*� �0) 4 ���*)C#&� ) F � F /��� �*� U #'� �1032 ) #�@�-=� �*�- � @B-�� - * � � 4 � 4 -��-�)C#&���43�/5-�5 � # � $� � �/ ( � #+ 4 -��$�#���0#+�#�*- �*# �6 $ � �«�a�r���r� � 6 � & �'?��� ���r§�¦����¥�T���rÈ���}����¯���Y���Ô�GÓF¦��Y���¥�T�à��Ç&�.}��K´T�� & �'�6 , & � & �' �-��. �' K Ì ¾�&FÎ

Ðb���r���«¦��M����}�� �#��}����� ¨�¨������ � � & ,'5���*���¥ÒI�������T�����r³�§���� ���������r����}��©��}��MÍ*����������´Y�Y����´r�©Ç �¥��}4������¨I����� ����U� È³I� ��}4���������~� È/��}��©¨�����´a�¥�T¦��5��ÓF¦��Y���¥�T�àÏO|~}��¡� ªa�¥��§����5��}��©���!§¡�Y�����r� � 6 , � & � & �' ��� . �' � 0 , & � & �' ��� . �' Ì ¾�¼KÎ

Ç }��¡��}7}��r§¡���2ÈÊ�T�=� §�§ � �¥�!U = Ï/Ðb�#��}��a�T���&��}�� ��� �r��� ���r�?�¦�§¥����¨�§¥���!� � �«�Ô��}A�Y�=��}��~Ñ����¯�O���!��� ´Y� ���¡��}������ � Ï �TÏ2����Ñ����G�³aª , � & � & �' �-��. �' � 6 : ÈÊ�T�#� §�§ � KÐb�©���YÇ ¦����Ô��}��.Èe�T��� ��}��Y�#������� �¥§�³I�!��� �«¨��T���T���ÉÈ87 �¡� �7§¥�����G� �~�r¨I�!���Y���r�G�T��}��©�������!� ¨�������¦���� �:9 � 7<; � ���~�GÓF¦�� §D���� 7>= 9 � ; � ��Ç }������.7>=Ô�¡�5��}��©§¥�������r� �r¨I�!���Y���r� �r�K®¯�T�¥�F�~����7bÏÐb�*��}a¦�� ���T��������¦A���Ô��}��.�¯Ç5���r�K®¯�T�¥�F� �r¨I�!���Y���r����� & �'?=.�r����� & �'?=�� �������!Ç ���É���*��}��©¨����!´a���r¦��5��ÓF¦�� �����r�Z�r�

� � & ,' = & � & �' � K � ' � ��� 0 � � = & ,' �G� ��� 6 : ÈÊ�r�#� §�§ �r�Ç }��¡��}��¡� �GÓT¦��¥´Y� §��!�F�~���� = & �' � 0 � = & �' & � & �' � K � '�6A@ K Ì ¾r¾TÎ

|~}��¡� ��ÓF¦�� �����r�����#��� §�§¥�G�n��}����r�Y®¯�r���T�#�«��� ���©��ÓF¦�� �����r�àÏ|~}������!ÈÊ�r���r�a�ÉÈ � & �'?� ��� � & ,'&�r���Ô������¨A�G������´r��§¥ª��«�T§¥¦����¥�T���~� È~̯¼�,rÎ5� ���;Ì ¾r¾rÎ��a��}��©���!§¡�Y���¥�T�bÌ ¾�¼KÎ?������¦����G�5��� � 6 , & � & �' �-��. �' K�#������� ��}��*�r���r�����!�F�=�rÈ+��}��*�!�����T�?�����É���!���¥�T�n�!�r��³A�Ô���r�7¨�¦�������ÈÊ���T� ��}��Ô���r§�� ��������´Y�Y���¥´T���O�rÈ$� & �'�� � & ,'2� ��� %�& �'

Ç �¥��}Z���G�«¨I�����~��� &Ï|��7��¦��7��� ���¥Õ��r�F��}��©�M�������7�¥ÕG�Y�����r�Z¨����r³�§¥��� ̯¼��TÎ&��� �«�T§¥´T���n³aª���}��ÔÈÊ�r§�§��YÇ �¥�����«����¨��¼TÏ £F���r�«�~ÈÊ���r�-�r���G�¯���¥���Y���� @ Ï?£a���CB�6F:�Ͼ�Ï £a�r§�´r�*��}����«��� ���©�GÓT¦A�Y�����r�b̯¼�,rÎ~� �A���T³����r�¥�Z�7�«�T§¥¦����¥�T� � ��Ï��Ï £a�r§�´r�*��}����T�K®¯�r���F�#�¯���Y���©�GÓF¦��Y���¥�T�8ÌR¾T¾rÎ?Ç �É��}���}��¡� ´Y� §�¦��©� È � � � �����r³���� ���Z���«�T§¥¦����¥�T� � � Ï�AÏ Ð �É��}n��}��T���#´Y� §�¦����&� È � � � ��� � � ���!�������7�����#��}�� �T���T���¥���F� lEDl " �Y�5¨A�T�¥�F�) � � �����������!���M�����Ô������Ç ´K�r§¥¦�� � � ;� È &��������B 6FB 0 9rÏ,�Ï ��È � � ; ��� ���¥�T���¥ÑA�!�r�T��§¥ª����ÉÒD�!���!�F� ÈÊ���r� � ��}��!�Z�r�M���n¾����!§¡�«�©�«���T¨àÏ

|~}���¨����!´a���r¦��©��������¦������¥�T�b��}��YÇ#�Ô��}A�Y�©��}����7�r�¥�x�T��´Y� �F���r�r�M� È5��}��n�T�K®¯�r���F���¯���Y�����7�!��}����b���©���4������¦��!�M��}����!�T�«�� È5��}��n���r�7¨�¦����Y���¥�T�z�rÈ&��}��n��������´Y�Y����´r� lEDl " Ï���È 6 �¡�.��}��n�«��Õ!�7�rÈ)&�à��}��7�����r���¥�����r�A� §2���G��}����¡ÓF¦��4ÌÊÇ }��¡��}x���r�7¨�¦��������}����r���r���¥���T�*³Fª�Ñ����É���M���¥ÒD�!���!���!����Î ����ÓF¦������G�~�����«�T§¥´T�©��}��M�¯���Y������ÓF¦�� �����r�UÌ«¼�,TÎ 6;�����7���*���n�T³����r�¥� lGDl " � ³��r������� §�§¥ª�¥ÈIH �5�¡�Ô��}��M�¥�R��}b�!�r�7¨A�T���!�F�.� È) ��}����lÈÊ�T�Ô�G�r��}>B��àÇ5�M}��K´r�����Z����¨�§¡�r����H �5³aªJH � 0 H��5�r���l���r§�´r�M��ÓF¦�� �����r�UÌ«¼�,TÎ���4�T���.��}����É� ��}x���T�7¨A�T���!�F��� È~� È&��}��n���!���¥´Y�Y���¥´T� lGDl " Ï����b��}��7������}����¡ÓF¦��n���G���!����³A�G�l���b��}��¡�������������r�à�à��}��n�T�K®¯�r���F��«���Y������ÓF¦�� �����r�xÌR¾T¾rÎ~}A�r� ���n³I���«�T§¥´T�����r��§¥ª��r���!�.���n�T���#��}��¡� �T���T���¥���F��Ï $ � ��}����T�K®¯�r���F� ��ÓF¦�� �����r�4�¡�#¦���¦�� §�§�ª�´r����ª���¥�7��§��r�=������}��Ô�¯���Y��� ��ÓF¦��Y���¥�T�à�T���r§�´a�¥���.��}��F�«�#����ÓF¦��������O³��T�«�¡�!�r§¥§�ª���}��*��� �7� �r�7�r¦��F�?�rÈI���¥�7�*Ç }�����}��7�G� ���=��}�� �?��}�����T�7¨�¦���� �����r���r§D�����7�©� È��G�¯���¥��� ������� lEDl " �¡�#����´a�����G��³Fª 6OÏ|~}�� ���!���¥´Y�Y���¥�T���O�rÈI��}��¡�?���������¥�T�n� ���#���r���#�¥�7��}��*�!�r�F�����a¦��r¦A�=�!�T�«�TÏ/|~}��¡�?��� ��� §¡���©³A�Ô���r��� �¥�7��}�� ���¡���!���!��� ���r���� �A��Ç �¥§�§I³A� ��}��.�«¦�³�®¯�����&� È8�©Èʦ���¦����Ô����¨A�T�«�GÏ��5¦��5�É�~��� �a���YÇ �7��}A�Y�&�¥�~���?¦����r��´F�¡��� ³�§��#�������¡���!���!����Õ!�#��}��*�!�r�F�����a¦��r¦A��r�Y®¯�r���T���GÓF¦��Y���¥�T���!Ï������������ ��}����©���G���T�M�7���������z���4�������«��� ³�§¥�¡�«}b��}��!�0ÈÊ���T�Ë��}��n�r�����r����� §O���¡���!���!����Õ!�G�z¨����T³�§¥���Ë����!�A�«¦����Ô��}����!�r�a´r�����T�!���!� �rÈ8��}��©�M�������7�¥ÕG�Y�����r�4�r§¥�T�r���É��}��ËÌÊÇ }��¡��}Z�r¨I�!���Y�����~�r����}������������������.��ÓF¦��Y���¥�T����Î Ï

û��/èàû ý

Page 14: The Inverse EEG and MEG Problems: The Adjoint State ...

� � ���� ���15�.,/�!���¤,�� ,/���(����� ����������� ����� �����(���/���� !�#"$��à�!�?¦��O���YÇ ³I�#�7�r���#�«¨I���!�ÉÑI� � ³I�r¦��=��}��#�7���T�«¦������M���F����Ï $ �?Ç&�#��� �¡�M���r��§��¥�����rÇ&� �7���T�«¦����5��}�� ���¥ÒI�����������#�rÈI¨I� ���!������¡� §+� �~���r�7� §����!� �����r��� � ; � K K K � � � �z�r����}��.����� §�¨��r���n�Y� ����!ÈÊ�!���!���!� � @ Ï��8��� � ; � K K K � � �z³A�Ô��}��T��� �7���T�«¦������M���F����Ï������}��°=°?Í �!�T�«�T��Ç&�©Ç5�r¦�§¡��§¥� �r�©�T¦��#�«�T¦������©��¦������!�F� /Aq ��� H���¬�¨�§¡� ����H ��}��F�«�.�7���T�«¦����!�7���T��� �r� ³I���«� �r�~¨I�T�����¥³�§��rÏ|~}��¡� �7���r���5��}�� � �ÉÈOÇ5�.�!�r�7¨�¦����Ô��}��©¨I� ���!�F���¡� §?2 & �('=Ç �¥��}Z��ÓF¦�� �����r�;Ì ¹ Î5�T��̯¼K¾rÎ���Ç5�.Ç5�r�F�5��}���ÓF¦�� �F���É�¯ª

��� 6 9L����� � ;

& 2 & � � ��' K 2 & � @ ' K � � ��' = � Ì ¾ �FÎ

���7³I���r� ����� §�§8�r�5¨I�T���«��³�§��rÏ£a���7�¥§¡� ��§¥ªT�à���l��}���º4°?Í �!�T�«�T�+Ç&�7�7���T�«¦������}��n�!�r�7¨A�T���!�F���.� È?��}��7��� �r�������¡�Ñ��!§¡�;�Y�����r�7��r��}����©§¥�����Y�����r�A�

; � K K K � ����z���n��}��*���¥�����������r����� ; � K K K � � ���?Ï2Ðb�*Ç5�r¦�§¡��§����T� �T¦��&���r¦������Ô��¦������!�F� /rq ���AH���¬�¨�§¡� ����H5��}��T��� �7�G�r��¦����!��7�!�F���~�T�&³I���«�#�r�5¨I�T���«��³�§��rÏ��à�!��� ; � K K K � � � ³A�*��}��T���Ô�7�G�r��¦������7�!�F����Ï���È/Ç&�.���T�7¨�¦����*��}��Ô¨I� ���!�F���¡� §�2 & �('O��}����r¦��r}��ÓF¦�� �����r�UÌ�¹ Î*�r�7̯¼K¾rÎ��D�r���4��}��!�z��}����� �T����������Ñ���§��\��}����r¦��T}l�GÓT¦A�Y�����r� ̯¼r¼KÎ#�T�MÌ«¼!�aÎ��+������¨A�G������´r��§¥ªT�DÇ&�Ç5�r�T�Ô��}��ÓF¦�� �F���É�¯ª

��� 6 9L����� � ;

& ! & �� � 'L-� � � K� � � ' = � Ì ¾Y�aÎ

���7³I���r� ����� §�§8�r�5¨I�T���«��³�§��rÏ���b��}��n���r���7Ç }��!����Ç&��}A�K´r�7�«����¦�§¥���r���!�T¦���°=°&Í �r���xº4°?Í �7���T�«¦����!�7���T���!�8Ç }��Y��Ç5�n�!�r§¥§2��}���°=°?Í �.º\°?Í

�!�T�«�T�a��}��©�T�T�r§I�¡�5���7ÑA������}������¡�«�����¥³�¦������r��� ÈO�«�T¦����!�Ô�!¦��������T�~��}��Y�#�7�����¥�7��Õ!�G�~��}��©��¦�� ��� 0 � � ϲ �!ÈÊ�!�����������������������¥�T� ,��I��}���«���Y�����GÓT¦A�Y�����r�l���MÌ ¹rÎ �r�7̯¼K¾rÎ��I����¨A������������¦�¨A�T�\Ç }�� �*�7�����!§/Ç&�M��}��a�T���©ÈÊ�r�*��}��

���T����¦�������´a�É�¯ªTÏ

� � ���(��� �6�"$�0�������/����1O�������}����5���������¥�T�à�FÇ&� �!�r�����¡���!�?��}��*�¥�a´r�������#°=°?ÍM��º4°&Ͷ� ����°?°?Í �.º4°?Í�¨����T³�§¥�����=������}��Ô�!�T�«�#Ç }��!���#Ç&�*�����r� ����r����¦��7¨������r�Z�r�Z��}����!�r����¦A������´a�É�¯ª F & �(' � �����r�Z��}���¨������7�r��ª��«�T¦������©��¦������!�F� /rq & �('�Ï~���ZÈe�r�����D�r� Ç5�©Ç �¥§�§����!������¬a�����}��M�7�!��}����b�!� �z³A�7¦������l�¥�b¨����¥�A����¨�§¥��������«�������Y��� F & �(' �T�ÔÇ&��§¥§O�r� /rq & �('�ÏM|~}����¯���Y����GÓT¦A�Y�����r�z���Ô�GÓT¦A�Y�����r� Ì ¹rÎ���T�r�!��}���� Ç �¥��}l��³A�T¦������r��ªZ���T�����¥�����r�\�T� �5�A��}��³A�T¦������r��ª�� È JÔÏ*���l¨����r�����¡���r�8J'����¨��������!�F���#��}��}����T�\� ���\¨�� ���� È �UÇ �¥§�§��!�r�F���r�¥����}�������� §�¨à�����!�.Ñ��T¦�������Ï?|~}����«��� ���.Èʦ����������r�4�¡�~��}��©�!§����������¡�.¨I� �����F���¡� §?2 & �('?Ç }��¡��}4��� ���¡�¯Ñ��G�~��}��ÈÊ�r§�§��YÇ �¥���7�«���Y���©��ÓF¦�� �����r�Z� ����³A�T¦������r��ª����r�A���É���¥�T� �

���� ����# - & FL# 2!' 6 # - /rq �¥� J

2 � 6 # 2 -�� 6 P �r� � 6 J K Ì ¾',TÎ

�5����� ¦����*Ç5���r����¦��7� ��}��Y� ��}��©¨����¥��� ��ª����r¦������.��¦������!�F� ���~§����!� ������Ç �¥��}�������}��©³���� ����Ç&���T����¦��7� ��}��Y�/ q 6 : �r� � K Ì ¾ ¸FÎ

|~}��~¨��r���r�M�!����� ��¡�/��}�� ���T����¦�������´a�É�¯ª.Èʦ��A�������r� F & �('8�r������}��~¨����¥��� ��ª©�«�T¦������&�!¦��������T�2´r�G�����r� /Aq & � '�ÏO|~}��5Èʦ��������¥�T�PZ����Ñ������\�T� � �¡�Ô¦��J�a���YÇ � 8D�¥�Ô�¡� Õ��!������´r�!��ªaÇ }��!���©��¬��!�!¨��Ô¨A����}��r¨��*�¥�l��}��M�����E�4�r���G��Ï ���l¨����T�������!�r�D�É��� �!ÒI�G���.��������r§����������+��� Ï �rÏOÇ5�.��� �����'�r��P36 :�Ï��#�YÇ5�!´T�!�G�TÈÊ�T�~��}��������T�*�rÈ/�T�!�������r§¥�¥�¯ªr�a�¥�#��� �T�!¨��#������}��.ÈÊ�T§¥§��YÇ �¥���7���!���¥´Y�Y���¥�T����Ï

è8è ö�\ �^]+_�

Page 15: The Inverse EEG and MEG Problems: The Adjoint State ...

�����������

� ����� ������������������ ������� � �!�"����������� � #��%$��&����' ��()��* � +��)-,. � /

��0�����$��) *

��1��%+�( +2$&( + /3 $��!� 4��

5

�/���r¦����©�J�=|~}��.´Y� ���¥�T¦��~���!�r���r�A��J � Ï;J96 J ;76 K K K 6 J G Ï8 � ����� �� �;�=UA�4�Ze�e,f � �; S�KV �ZT�U �XhK S��V���Z��}������F´T�!���«�©°=°&Í ¨����r³�§��!�Z��Ç5��}��K´T���r�!�!����� �r��§¥ª�������}����7���T�«¦������M���F��� � � � � B � 6 9 � K K K � 6 � �&Ï |~}��!����ÈÊ�T���T��Ç5�ÈÊ�r��� ��}�� �8�r�r��� ���T���r�

, � 6 , � & 2 ��� . F � / q '�6 ��� 0 \ ] & # - & FL# 2 ' K # - / q ' � _ � �Ç }������ � & �('5�¡�~��}���r�Y®¯�r���T� Èʦ��������¥�T�àÏ~���4�r�����!� �������!���!���7�¥���.��}����ÓF¦��Y���¥�T�Z�É� �¦��«�*��� ���¡�¯Èʪ�Ç&������� ���«ÈÊ�r���:9

] & # -& FL# 2 '"K # - / q ' � _ ��³aª�¦����¥���M��}��ÔÈÊ�r����¦�§¡�3# - & 9<; ' 6 9 # - ; 0 # 9 - ; Ì ÈÊ�T� ��Èʦ��������¥�T� 9 � �A���´r�G�����T�5Ñ��!§¡�; Î^�\^] & # - & FL# 2 ' K # - / q ' � _ ��6 \Y] # - & � FL# 2$' _ � K \^] F # 2 - # � _ � 0 \^] / q - # � _ �?K \^] # - & � / q ' _ �Ðb�����!¬a�¦����n��}��nÈÊ�T���¦�§�� 9

] # - + _ � 6 9 � +8-!� _ Z����\����� �A�¯ÈÊ�T���0�¯Ç&�l� È#��}���´T�r§�¦��7�����T���!�T���r§��©���F���b�«¦���Èe�r�!����T���!�T���r§���� \ ] # - & � FL# 2 ' _ � 6 \ � � FL# 2 -(� _ Z \ ] # - & � / q ' _ ��6 \ � � / q - � _ Z�5����� ¦����*�rÈ��T¦��~³A�T¦������r��ª��!�r�����É���¥�T�n��}��.Ñ����«� �¥�F���!�r��� §D�¡�~��ÓF¦��r§A���=9 � � F P _ Z�Ç }��¥§��Ô��}��������!�r�����r���.�¡�~��ÓF¦��r§D��� &�r�~Ç5�.}��K´r�.�r����¦��7������}�� � /Aq 6 :M�T� � ÌÊ�GÓT¦A�Y�����r�xÌ ¾ ¸TÎ�Î�Ï

±*¦�� �8�r�r��� ���T���r�n}��T�~³A�G���r�7�, � 6 � � K \ ] F # 2 - # � _ � 0 \ � F�P � _ Z 0 \ ] / q - # � _ � K Ì ¾T¹rÎ

|~}��¡�~ÈÊ�r���Ö�rÈ8��}�� �8� �T���r���r�¡� �����#��¦��¥���r³�§¥�ÔÈÊ�T�#���r�7¨�¦��������nÍ.�Y���G� ¦�¬����!���¥´Y� ����´r���~Ç �¥��}Z������¨A�G���~��� F2ϱ*���Ô�7�r��� �¥���!���Y���¥�T���rÈ8��}��Ô��� �7�Ô¨������!�����&�T�>9

] F�# 2 -?# � _ ��ªa���!§¡���~� ���!¬�¨����G�������r��ÈÊ�T�&��}�� �8�r�r��� ���T���r�7��}�� ��¡� �«¦��¥���r³�§��.ÈÊ�r�~���'�a�¥���nÍ.� �����r¦�¬���������´Y�Y���¥´T���5Ç �É��}Z���G�«¨I�����5��� 2��, � 6 ��� 0 \ ] # - & F�# � '�2 _ �OK \ � F92 & # � - �,' _ Z 0 \ � F�P � _ Z 0 \ ] / q - # � _ � K Ì ¾��FÎ

û��/èàû ý

Page 16: The Inverse EEG and MEG Problems: The Adjoint State ...

Ðb�*���7¨A�F�«� # � -��B6 :��r� �5ÏO|~}��Ô�T�K®¯�r���F�5�«��� ���Ô��ÓF¦��Y���¥�T�n�¡�&�T³����r�¥������³aª7���'�a�¥������}��©Í.�Y�����r¦�¬n���!���¥´Y� ����´r� �rÈ , �Ç �¥��}Z���G�«¨I�����~���7��}��.Èʦ��������¥�T� 2 & �(' � , 2 2 6 �

� �& 2 & � � ��' K 2 & � @ ' K � � ��' & 2 & � � ��'�K 2 & � @ ' ' 0 \ ] # - & F�# � ' 2 _ �

|~}��¡� ��¦A�¯� ³I�©��ÓF¦�� §D���!&ÈÊ�r�#� §�§+´Y� ����� �����r��� 2 �rÈ 2���}��!���!�.��}��©�T�K®¯�r���F� �¯���Y���.�GÓT¦A�Y�����r� � � � # - & FL# � ' 0 Z������ 6 : ��� J

# � -(� 6 : �T� �Ì ¾ ½FÎ

Z ����� & �(' 6�� � � & 2 & � � � ' K 2 & � @ ' K � � ��' & & ��K � � ��' K & � K � @ '' � ÌR�'&FÎ

Ç }������ & �('?�¡�5��}��©¦��«¦A� § � �¥���r�.����§É���MÈʦ��������¥�T�xÌe�7���¡�¯������³�¦����¥�T� �T��� ���ÊÎ�Ï|~}���Í*�����!���¥´Y� ����´r� �rÈ8��}�� �8�r�r��� ���T���r��Ç �É��}�������¨A�G���~���M��}��.¨�������� ��ªn�«�T¦������.��¦��������F� / q & �('=�¡�&�����T����§¥ª��T³����r�¥���G�

ÈÊ���r�Ö�GÓT¦A�Y�����r�;ÌR¾F¹ Î5���¥���!�r���T�!�!�r�����¥�������M�GÓF¦��Y���¥�T�bÌ ¾ �TÎ�� ��� ���a�G�~��� � �!�r�F�����¥³�¦����

, � / q 6 # � K ÌR��¼KÎ

|~}��¡�5��ÓF¦��Y���¥�T�����Kªa�=��}�� �5���n�T�������?����Ñ��A����}��*¨������7�r��ª7���r¦������Ô��¦��������F�?��}A�Y�&ªa���!§¡���~��¨I� ���!�F���¡� § 2¶��}��Y�~�7�¥���¥�7��Õ!������~��Ç5�.��}��T¦�§���ÈÊ�r§�§��YÇ���}������¥�����������r��� È2�����������T�#KJ# � �Y� ��´r�!��ªn¨I�r���F����� È/��}��©´T�r§�¦��7�.� È����F�������G�¯�GÏ$ �.Ç5�7���r���z���r��§��¥�����I��}����7����}��a�b�!�r�z���b¨��������!�¥¨�§��7³A�7¦������l���Z�G�¯���¥���Y���7�r�.���!Ñ������ �b�����É�����r§O���«�������Y���7�rÈ?��}�����T����¦�������´a�É�¯ª F & �('�Ï ���T�?��}����5¨�¦���¨I�T���r�aÇ5�*�!�r���!�r�7¨�¦���� ��}��.Í*����������´Y�Y����´r� � Èà��}�� ��� �T���r���r�¡� �7Ç �¥��}����G�«¨I�����?�����}�����T����¦�������´a�É�¯ª F & �('?Ç }��¡��}��¡�~�����r���¥§�ª�ÈÊ�r¦�����ÈÊ���T�Ö��ÓF¦�� �����r�;ÌR¾T¹rÎ?���7³A�©�GÓF¦�� §D���

, � F 6 KJ# 2 - # � 0 P & � ' � & �(' � & �(' � ÌR�T¾TÎ

Ç }������ � & �('?�¡�5��}��������«������³�¦������r�4��¦���}���}�� � 9] %�& �(' � & � ' _ � 6 9 � %�& �(' _ ZTÏ

8 ��� ����� �� �;�=UA�4� �me,f ���; ���V �'TKU��Xhi j��V�����}��~���F´T�!���«�~º4°?Í ¨����r³�§��!�Z�YÇ5�&}��K´T�&�T��§�ª��r�!�!���������*��}��~�7���T�«¦����!�7���T��� � � � �Y��}��!����ÈÊ�T���5Ç&�&ÈÊ�r���¶��}�� �8� �T���r���r�¡� �

,�� 6 ,�� & 2 ��� . F � / q ' 6 � � 0 \ ] & # - & FL# 2 '�K # - / q ' � _ � �Ç }������ � & �('��¡���&�r�M���U��}��Z¨����!´a�¥�T¦��7�!�T�«�T�O��}��4�T�K®¯�r���F�MÈʦ��������¥�T�àÏ�r¦��«�n�r�M�¥� ��}���¨�����´F���r¦A�M�����������r�à�?Ç&�Z¦������r�� §¥�������A�Y���ÔÈÊ�T���Z�

, �46 ��� 0 \ ] # - & F # � ' 2 _ ��K \ � F92 & # � -��,' _ Z 0 \ � F�P � _ Z 0 \ ] / q - # � _ � �

è8è ö�\ �^]+_�

Page 17: The Inverse EEG and MEG Problems: The Adjoint State ...

� È8��}�� �8�r�r��� ���T���r�����M�!�r�7¨�¦���� ��}��Ô�T�K®¯�r���F�5�«��� ��� �GÓF¦��Y���¥�T�àÏ2���5�¡�?�T³����r�¥�����n³aª7�����a�������!¬a¨�§¥�¡���¥�5}��YÇ � � ���!¨I�!�����¦�¨I�r�©��}��5¨A�r���!�F�����r§rÈʦ��A�������r� 2 & �('�Ï2|~}��������/�r��}��¥��´r���.³aªÔ¦����¥���*��ÓF¦�� �����r��Ì«¼r¼GÎ+Ç }�����}�ªF���!§¡���8��}�� Í.�Y�����r¦�¬.���!���¥´Y�Y���¥´T�� È ! & �� � '�- � � � Ç �¥��}Z������¨A�G���~��� 2!�

& ! & �� � '*- � � � ' 2 & �(' 6 - @>65 � � � - �� 9

]2 & �"� ' #3� F 0 ��� � (���� ��� � (� � ( _ ����� 2 & �(' 6 - @

>65 # F)- G �� � K �= � � K ��= � 0 � � � H K|~}����T�K®¯�r���F� �«��� ���.��ÓF¦�� �����r����� ��}a¦��5ÈÊ�r¦���������³I�

� � # - & FL# � ' 0 # F)-� �� ��� 6 : �¥� J# � - � 6 : �r� � �

ÌR�r�FÎ

Ç }������

�� ��� & �(' 6����G & � � � & ! & � � '*- � � � K � � � ' � � � (�� ��� � (�� ( 0 � � � K ÌR� �aÎ

°=ÓF¦�� �����r��Ìe�T�TÎ.�¡��´T�!��ªl���¥�7��§��r�����l��ÓF¦��Y���¥�T� ÌR¾ ½FÎ�����}������¥ÒI�����������n³I�!�����\���;��}����«�T¦������7�������;# F -� �� ��� ´r�!����¦��Z ����� Ï|~}��4Í*�����!���¥´Y�Y���¥´T���rÈ ,�� Ç �¥��} ���G�«¨I�����M���l��}��Z¨����¥��� ��ªx�«�T¦��������!¦��������T� /rq ���7���!���w���b³I���GÓF¦�� §5���z��}��4Í*�

��������´Y�Y����´r�� È , � ¨�§¥¦��*��}��7Í*����������´Y�Y����´r�� È � � ÌR�«�������MÇ5��}��K´T����!�!�\��}�� � lED �l���� 6 :FÎ�Ï©°=ÓF¦�� �����r���M̯¼T¼GÎ*� ���wÌ«¼�&FÎ����§¥§8¦��5��}�� � ��}��¡� §¡�r�«�#���!���¥´Y� ����´r�©� ���������&ÈÊ���r� ��}��.Ñ���§�� ! @ � �������#��ÓF¦�� §D���� �� ��� Ï �#�!�A���©Ç5�Ô}A�K´r�

,�� / q 6 , � / q 0 � ��� 6 # � 0 � ��� K ÌR��,TÎ

Ðb�M��� �l�r§��������T�7¨�¦������}��MÍ*�����!���¥´Y� ����´r���rÈO��}�� �8�r�r��� ���T���r�ZÇ �É��}l������¨A�G��� ���n��}��M�!�r����¦������¥´a�¥�¯ª�Fw¦��«������� ���r��}����ÈÊ�r���Ö�rÈ���}�� �8�r�r��� ���T���r�à�F�����M��§¡� �5���\Ì ¾T¹ Î

,�� 6 � � K \ ] F�# 2 -"# � _ � 0 \ � F�P � _ Z 0 \ ] / q - # � _ � �� �A���GÓT¦A�Y�����r�;Ìe½FÎ^�

,�� F 6 , � F K # 2 -� �� ��� 6WKJ# 2 - & # � 0 �� ��� ' 0 P & �(' � & �(' � & �(' K ÌR�r¸FÎ

8 � � ����� �� �;�=UA�4�Ze�e,f�� �me,f � �; S�KV �ZT�U �XhK S��V|~}�� ������¦�§¥���/�r³���� �������M������}�� ¨����!´a���r¦����¯Ç5�.�����������r���2}A�K´r�5¨�����¨�� ��������}�� �T���T¦�����ÈÊ�r�2��}�� �!�r���~Ç }��!���~Ç&�~}��K´T�5�T�!�!������������¥�¦�§¥��� ���!�r¦A�~�!§����������¡�Ô¨A�r�����T�����r§8� �A����� �T���������Ô�7���T�«¦������M���F����Ï/Ðb�.ÈÊ�r��� ��}������T��������¨A�T��������� ��� �T���r���r�¡� �

, � � � 6 , � 0 � � 6 ,�� 0 ��� 6 ��� 0 � � 0 \ ] & # - & FL# 2 ' K # - / q ' � _ � K

û��/èàû ý

Page 18: The Inverse EEG and MEG Problems: The Adjoint State ...

|~}����T�K®¯�r���F� �«��� ���.��ÓF¦�� �����r�����

��� ��� # - & FL# � ' 0 Z ����� 0 # F)-� �� ��� 6 : �¥� J# � - � 6 : �r� � K

ÌR�F¹rÎ

Ðb�#�!� ���r§����ÔÑ������}�� ´Y�r§¥¦��G�O� ÈI��}�� Í*����������´Y�Y���¥´T���2� ÈI��}�� �8� �T���r���r�¡� ��Ç �É��}����G�«¨I�����/���.��}�� ¨�������� ��ª��«�T¦������ ��¦������!�F�� �A�n��}������T����¦�������´F�¥�¯ª �

, � � � / q 6 ,�� / q , � � � F 6 ,�� F K8 �ba � ���;�K � U ��� ����� � � �XW$�)��� TKU �SV � U�� � �;��UcR8��R"��UYUY�������2�Y��� ��� S��V �ZR � �I�|~}��Ô� ¨�¨����T�T��}���}��Y�5Ç&� }��K´r� �T¦���§��¥������������}��#¨����!´a�¥�T¦��O��}����!� �����������r���&�!� ���G�r���¥§�ªM³A�#�!¬a���!�A�����7����������§�¦����*�����r¦�§¡� �����Õ��Y���¥�T�M�!�r���«����� ���F���/�r���}�� ¨�������� ��ª��«�T¦������~��¦��������F� /rq ÌR� ����ÈÊ�r�2��}��Y�=��� �«�����O�r���}��#�!�r����¦������¥´a�¥�¯ª©Èʦ����������r� F2� ³�¦��Ç5�©Ç �¥§�§à���r� ��������¦A���5��}���� }��!���GÎ�ÏO���4¨�� �����¡��¦�§��r�������¥���!�©���r�¡���©���~¨��������!�F�#������}��©�7���T�«¦������M���F�����a��}���¨�������� ��ªn�«�T¦����!���¦������!�F� �¡� §�� �r�!§�ª�����³A�M���r�¡��ªrÏ.±*�������Kª���}��!����ÈÊ�T���M�r���4���n��}�� ��� �T���r���r�¡� ��� , �&� ,�� �T� , � � � �n���!�T¦�§¡� ���¥ÕG�Y�����r�������� � È���}��.ÈÊ�T��� \ ] & =?# & = / q & �(' = '?= ' _ � K ÌR�'�FÎ

|~}��\�!§��T��������� § ��}��r�¡���ZÈÊ�r�n��}��4Èʦ��������¥�T� -F� � � � �¡� 9 � 9 =4� Ï �4��}��l�r���\���!§¡�Y����� ���;��}��lÇ5�!§�§¥� �a���YÇ �+ ���p@B�*) �Q� ���!�T¦�§¡� ���¥ÕG�Y�����r�Z���!��� �C,�� Ï���l��}��Y���!�T�«�T�+Ç&�MÇ5�r¦�§¡�\³I���«�G� ����}��¥���nÈÊ�r�Ô��}��MÈʦ��������¥�T� /Aq Ç }�����}bÇ �¥§�§O³I����¥�¦�§É��� �����r¦���§�ª���§��T���~���.��}��#�7���T�«¦����!�7���T���O� ���7���7�F�r��}7�!���r¦��T}à�T���¥�A��� Ç5�#� ���~�T����¦�� §�§¥ª�7�¥�����7�¥Õ��¥���©��}�� �T���T�����!�F�� ÈO��}��M�7�r�r���¥��¦A�����rÈO��}��M¨����¥��� ��ªZ�«�T¦����!����¦������!�F��Ï ��È=��}��Èʦ����������r� /rq �¡���a���YÇ �Z����}��K´T����}�� ��¨l���¡���!�r�F�����a¦��¥���������� �A����}��¡�#�¡� ���7�T���©�����r§¥�¡�¯�����©�T����¦��7¨����¥�T�����4�r¦��*� ¨�¨�§¥�¡�!� �����r�à����}�� + ����@��0)��?� ³A�r�����������r¦�§¡� ����Õ��Y���¥�T���r¨�¨����T�T��}�Ç ��§¥§���r�#���'�r�©�!�r���©�rÈ���}����������¡���!�r�F�����a¦��¥�������#�r����Ç �¥§�§����!Ñ����¥����§¥ªZ�����«�����Yª���}���� �¥�7¨I�r�����r�T�#����ÈÊ�T�����Y���¥�T�Z³Fª������ �����T¨��¡�!� §�§�ª���M�a�r��}������M��}������r§�¦����¥�T�àÏ

±*���=Ç~�Kª*��� ¨�����´r�!�F�à��}��~�����«����¦������¥�T��� È���¦���}�¨�������� ��ª*���r¦������?�!¦��������T�2���¡���!�r�F�����a¦��É���¥�G�à�¡�à���*��}��a�F�«�O��}��&Èʦ��������¥�T� �¥���«¦���}n��Ç5�Kª���}�� �?��}�� �«�7�a� ��}�������¨������������OÇ ��§¥§D�r���?�¡�«�r�����r¨��¡�!�r§¥§�ª����7��}��*�����r���r���=Ç �É��}n§¥�YÇ �r���r���¥���T�=���r�r���¥��¦����ÈÊ�r�&��}��*¨������7�r��ª����r¦������*��¦��������F����� ���n�r��§�ª7�¥����}��©�������G�����¥�T�n���r����� §������}��Ô�r���r�����!�F�5´r�������T�?���n��}��*���!�T�¥�T���=Ç �¥��}��}����r}©�T���T���¥���F�8��� �r���É��¦����rÏ2º4� �aª*Èʦ����������r��� }��K´r�=³I�!����¨����r¨I�T�����Ô���©��}��&§¥�¥������� ��¦���� ÌR�«���-¥¼K¾a�Y¾a�T¼T�G¾F¹F�K¾r¸��Y¾����Y¾',��ÊÎ�Ï

±*���!�Ç5�7}��K´r�7��}��T���!�b�«¦A��}b��Èʦ����������r� �à��}����r�K®¯�T�¥�F���¯���Y���7�r¨�¨����T�T��}\��¬a���������.�����T���¥§�ª � ��}��n�r�Y®¯�r���T����¨��r�!���ÓF¦�� �����r�4�¡�#¦��A��}�� ���T���4�r���Z�É�Ô���*�r��§¥ª���}�����!���¥´Y� ����´r��� � È2��}�� �8�r�r��� ���T���r���~Ç �¥��}\������¨A�G���#������}���¨����¥���r��ª��«�T¦����!���¦������!�F�#��}��Y�Ô���!�G��� ����³I���}��r���r�G�����n�����r���¥�F�����r�!�!�r¦��F�#��}������!�T¦�§¡� ���¥ÕG�Y�����r����������ÌR�'�TÎ�Ï �à�!�*¦��*���!��� ���³aª� /rq��}��G>!0 >M���Y�����¥¬����!¨��������!�F���������}������!���¥´Y�Y���¥´T�.� È8��}��.Èʦ����������r� /rq - � � �;�<�IÏO���#�¡�~���T�«ª������«}��YÇ ��}�� �

= # & = / q & �(' ="' =�6 =� /rq - /Aq == / q = K���?�¡�=���!�!�7��}��Y�O��}��¡�=��¬�¨����������¥�T��¡�?�ÔÈʦ��A�������r���rÈ /Aq � ���M�¥���=Ñ����«�=�r�������?���!����´K� ����´r�G�� /rq Ï �à�!�?¦��&���!���r��� ³aª�� q� � � 69 � L � >��+��}��7��}����!�n�!�a�r�����¥�A�Y���G�.� È / q � ���b���!Ç ���É��� & = # & = / q & �(' ="' = ' 6 & �� � ��� � � ��� '*�T� * & / q � #�� q; � #�� q= � #�� q� '�ÏÐb�Ô�¦��«�&��}��!����ÈÊ�T���.�r���n�����}��.�T���T���¥���F�&� È���}�� �8�r�r��� ���T���r���=Ç }�����}�Ç&�Ô}��K´r�Ô���T�M¨�¦����G��������}��.¨����!´a�¥�T¦��5�«�G�������r�A���}��©´r�������T�5Ç }��T��� � ��}4���a�r���������Y���*�¡�

*�� �� K * � ���� 9 K * � ���� ; K * � ���� � � 6 9 � L � > �è8è ö�\ �^]+_�

Page 19: The Inverse EEG and MEG Problems: The Adjoint State ...

Ç }��¡��}���� �4� §¡���³I�©����Ç ���¥�«���!���¥�4�M�7�r���©���r�7¨��T���~ÈÊ�r��� �

* � �� K # - * & #C* q� ' � 6 9 � L � > K8 ��� �gR � V T � U �S� ��� � � �)� ���Y����U � T�TKU��,�NRc����� �B�Y��� ��� S��V �ZR � �I�Ðb�Ô�����}����~���T�7¨�� �������r�����n��}��.°=°?Í����r��� ³�¦��~�¥�~���~� §¡����´Y� §����nÈÊ�r�5��}��©º4°?Í � ����°=°?Í �.º4°?Í �!�T�«�G�!Ï2Ðb�Ô�T����¦��7���}A�Y�#��}���!�r����¦A������´a�É�¯ª�Èʦ����������r�\�¡�-�a���YÇ �8Ï~|~}��IH������T���É���¥�T��� §YH*�¥�a´T�!���«��°=°&Í ¨����T³�§��!� ���#��}�� � � È=�7�����¥�7��Õ!������� �Ç �¥��}l������¨I�����*��� /Aq �T�¥´T�!�Z��}���Èe�T���Ô��}�� � ��}��¨I� ���!�F���¡� § 2-��� ���¡�¯Ñ��G� �GÓF¦��Y���¥�T�wÌR¾',TÎ#�r���\�¡�#��}��!����ÈÊ�T���T�A����������������§¥ªT�+�Èʦ����������r�M� È / q Ï/����T�����!�����.�7�¥�����7�¥Õ���� � Ç �É��}������¨I�����/��� / q �T���&}A�r�����©���T�7¨�¦����~�¥���/�r���r���¥���T�2Ç �¥��}M���G�«¨I�����/��� / q� �A�n}��������*��}��Ô�r���r���¥���T�5� È<2 Ç �¥��}����G�«¨I�����?��� /rq Ï/����� ��}��!�5Ç5�r�����?�T��� }A�r�&���7�«�T§¥´T� ��}��Ô¨����T³�§¥��� � È����!�������7�����¥���}��YÇ���}����«�T§¥¦����¥�T�\� È?��}��7­2� �����¡� § � �¥ÒI�������F���¡� §O°=ÓF¦��Y���¥�T� Ì ¾',rÎ ´Y� ���¥�G�#Ç }����z�T����´Y�r������� /rq �¥�l��}��M�����r}F��}�� ���l�«�¡���rÏ|~}��¡���¡�n�;}�� ��� ¨����T³�§��!� Ç }�����} ��}��r¦�§¡� ³A�z���r�7¨��r���G�w���;��}��4�T���\���T�������«�������;�¥���FÎ7�«�T§¥´a�����b��}��\�T�K®¯�r���F���¯���Y�����ÓF¦�� �����r�4ÌR¾r½TÎ8ÈÊ�r�=��}�� �T�K®¯�r���F�?�¯���Y���~Èʦ��������¥�T� � � ���M³AÎO�!�r�7¨�¦����¥���©�É���O�r���r�����!�F��# � �«�����!�r�T�T�!�!�r�����¥���*���©��ÓF¦�� �����r�Ìe��¼GÎ����É�#�¡� ��ÓF¦��r§D���M��}���Í*����������´Y�Y���¥´T�Ô�rÈ ��� Ç �É��}�������¨I�����~��� /Aq Ï� � ������6���2Y��1&��������������12�|~}��¡�*�����������r�Z���r�E�a§¥�G� ��}����� �7����}����!��¨����r³�§¥���7�#��}��r�4��}��¨����!´a���r¦��#�r���G� ³�¦�� ��}���r����¦��7¨������r���*��}�� ���r�©ÈÊ���r� ��}���7�T�«� �r�����!��� §+�T����� ���n�7�r������¨A�G���¥ÑA� Ï5���4��ÒD�������IÇ&���T����¦��7�.��}�� �#��}������T����¦�������´F�¥�¯ª�F & �('&�¡� �!�r���«���r�T� Ç �¥��}����\�G�r��}���!�r���r� J � Ç }��!���n�¥��¡����ÓF¦��r§=���:F � Ï $ ��Ç&�����KÇ �¥� �«�G�������r�w���2�É�M����«¦ �n�!�¥���T����� �a���YÇ 2 �T�x��}����«¦���Èe�r�!��� � ��� Ï|~}��.�¯���Y��� ��ÓF¦�� �����r�lÌ ¾',TÎO���YÇ ³I���!�r�7���&��ÓF¦�� �����r�lÌ«¼G¾rÎ���2 @ ³A���¥���M�r��´r���n³aª4̯¼��FÎ�ÏO|~}��*¦��J�a���YÇ ���5� ��� ��}��*¨������7�r��ª���r¦������#�!¦������!�F� / q & �('/�r���M¨A�F�����¥³�§¥ª��}�� 6Z�!�r����¦������¥´a�¥�������XF ; � K K K F � ÏO|~}�� ���Y���Ô���!����� ���b�r��� � � �r��� ¦�����}�� ���r���àÏ��� ����� �� �;�=UA�4�Ze�e,f �^��UYW � R8� TKU��XhK S��V£a���7�¥§¡� ��§¥ªn���M��}��©´T�r§�¦��7�©�!�r���r��Ç5�ÔÈÊ�r���-���8�r�r��� ���T���r�à�r��� ���G� , ��� �, ��� 6 , ��� & 2 ����. F ; � K K K � F � � / q '�6 ��� 0�

���\� ���

� & F � 0 F��(''2 & �(' KRL6F @ 2 @ & �('�K 9LQ5 � ��� & F � K�F � ' \ ����� 2 & � � ' # � G 9:$H - �

��� & � � ' _ Z � ��� � & � ' _ Z ��� �Ç }������ � & �('5�¡�#�7Èʦ��A�������r�Z��}��Y�*���!�G��� �r��§¥ª�����³I����!Ñ����G�Z�r����}����¥�F�����«Èe�T���G� �����rÏ5���4�T�����!�~�����r³���� ������}����T�K®¯�r���F��«���Y���.��ÓF¦��Y���¥�T�����Y�����«Ñ��G��³aª � ��§¥�!�#¦��~��¬�¨��r������}��©¨�����´F���r¦A�&�GÓF¦��Y���¥�T�����F���, � � 6 � � 0 �

���\� ��� & & F � 0 F�� '!2 & � '�KRL6F @ 2 @ & �('' � & �(' _ Z ��� 0

9LQ5 �

��� � ��� & F � K[F � ' \ � ��� G \ ��%� 2 & � � ' � & �(' # � G 9:IH -(��)� & � � ' _ Z � �)� H _ Z ��� K

�à�!�#¦��~���YÇ'�«Ç �¥����}���}��*�¯Ç5���«¦��M��� �����r�4� �������T���!�T���r§D�����r���~������}��©���¥�T}F��}��r�����������'�

, ��� 6 ��� 0 ����\� ��� & & F � 0 F � '!2 & � '�KRL6F @ 2 @ & �('' � & �(' _ Z ��� 0

9L?5 � ��� \ ������� & F � K[F � '!2 & � � ' � ��� & � � 'L-��� � ��� \ � ��� � & �(' # � G 9:IH _ Z ��������� _ Z � �)� K

û��/èàû ý

Page 20: The Inverse EEG and MEG Problems: The Adjoint State ...

������}��������!�r������¦��7�7� �����r��Ç&�.�!¬���}A� ���T� ��}��©�¥�A����¬���� & � ��� '?� ��� & B � � '?�r������}��©´Y� ���¡� ³�§��������r���2� � �, ��� 6 ��� 0 �

���\� ��� & & F � 0 F � '!2 & � '�KRL6F @ 2 @ & �('' � & �(' _ Z ��� K

9L?5 �

���\� ���

� & F � K�F$� ''2 & �(' � ��� & �('*-�� � ��� \ ���� � & � � ' # � G 9: H _ Z � ����� _ Z ��� K ÌR�r½FÎ

|~}��?K �«���r��� ���¡�«�G�8ÈÊ���r� ��}��~Èe�T���O��}��Y�=�!¬���}A� ���T�¥��� �Ô� ���3� � ����� �A�¯ÈÊ�T������5 �¥�F����KJ5 ���4̯¼KÎ�Ï #�YÇ ��}�� �=Ç&� � ��� ���r���Ç �¥��}Z��}���� ��¬��!�����¡�«�.���4����Ç ���¥�������A��Ç&����� �4���T�7¨�¦�������}��Í.� ���G� ¦�¬Z���!���¥´Y� ����´r�.� È , ����Ç �¥��}4������¨A�G��� ������}���Èʦ��������¥�T�2 & �(' � , ��� 2 2 6 ��� 2 2 0 �

���\� ��� & F � 0 F � ' 2 & �(' � & � ' _ Z ��� K9LQ5 �

���\� ���

� & F �"K[F�� ' 2 & � ' � ��� & � '�-�� � �)� \ ��%� � & � � ' # � G 9:)H _ Z � ����� _ Z ��� K|~}��¡� ��¦A�¯� ³I�©��ÓF¦�� §D���!&ÈÊ�r�#� §�§+´Y� ����� �����r��� 2 & �('?� È72 � ����Ç5�Ô�T³����r�¥����}����r�K®¯�T�¥�F�#�«���Y���.��ÓF¦��Y���¥�T� �

� � � ��� � & F � 0 F � ' � & �(' 0 Z ����� & �(' 6 F � K[F �L?5 � ��� & �('*- � � ��� \ ���� � & � � ' # �*G 9:IH _ Z � ��� � K Ìe��&FÎ

#�r��� ��}�� �?��}��*���r¦������ ���!��� Z ����� }A�r�O��}��*��� �7�*´K�r§¥¦��*�r�?�¥�n��}��*´r�r§�¦��7�*���r��� � �A�7����&©ÈÊ�T�&� §�§D�«¦���Èe�r�!����� ��� �!¬����!¨����}��©�r���©���T��������¨I�r������������M��}�������� §�¨àÏ

#�!¬a� Ç&���r³���� ���Z��}��Í*����������´Y�Y����´r�©�rÈ , ����Ç �¥��}4������¨A�G���#������}��¨����¥��� ��ª����r¦����!����¦��������F��Ï £a�¥�A���©��}������!��� ������a���~��� � ���T�F�����¥³�¦����r�a��}������r§��.�!�r�F������³�¦������r�Z���T�7���&ÈÊ���T�Ö��}��.������� 2 @ �����GÓF¦��Y���¥�T�bÌR�r½TÎ+�

K�L?F @ � ��� \ � ��� � & �(' G 9>65=F @ \ ] / q & � � '*- # � G 9:$H`_ � � H`_ Z ��� K

Ðb�©��¬���}�� ���r�*��}��.�¯Ç5�7�¥�F�����r��� §+���¥�T��� � ������}��©´K�r���¡� ³�§¥�G� �� ���2� � �K 9LQ5 \ ] / q & � � '*- �� � ��� \ � ��� � & �(' # � G 9:IH _ Z ������ _ � � 6 9

LQ5 \ ] / q & �('*- �� � ��� \ � ��� � & � � ' # ��G 9:IH _ Z ���� �� _ � K|~}������!ÈÊ�r���*Ç5�.�r³���� ���

, ��� / q & �(' 6 9LQ5 �

���\� ��� � & � � ' # � G 9:)H`_ Z ���� K Ìe��¼KÎ

|~}���r���r�����!�F�*�rÈO��}�� �8�r�r��� ���T���r��Ç �¥��}z���G�«¨I����� ���n��}��M�!�r����¦A������´a�É���¥�G�KF � �!� �z� §¡�«�n³I�7���r�7¨�¦������àÏÔ|~}��������� ������a���~��� � ���T�F�����¥³�¦����'�

, ��� F � 6 ����� ����� %������ � \ � ��� 2 & �('�� & � '�K 9

L?5 � ��� & �('�- � � ��� \ ��%� � & � � ' # �*G 9:$H _ Z � �)� � _ Z ��� K Ìe�F¾TÎ

è8è ö�\ �^]+_�

Page 21: The Inverse EEG and MEG Problems: The Adjoint State ...

����� ����� �� �;�=UA�4� �me,f �^��UYW �NR8� T�U��;hK j��V£a���7�¥§¡� ��§¥ªn���M��}��©´T�r§�¦��7�©�!�r���r��Ç5�ÔÈÊ�r���-���8�r�r��� ���T���r�à�r��� ���G� , � � �,�� �!6 ,�� � & 2 ��� . F ; � K K K � F � � / q '�6 � � 0�

���\� ���

� & F�� 0 F�� '!2 & � '�KRL6F @ 2 @ & �(' K 9LQ5 � ��� & F � K�F � ' \ � �%� 2 & � � ' # �*G 9:IH - �

��� & � � ' _ Z � ��� � & �(' _ Z ��� K� & � '~�¡� ��}���r�Y®¯�r���T�Ô�¯���Y����Èʦ����������r�\Ç }��F�«�©�GÓF¦��Y���¥�T�4���*�r³���� �������Z³aªZ���T�M¨�¦�����������}��MÍ.� �����r¦�¬4���!���¥´Y� ����´r�©� È ,�� �Ç �¥��}4������¨A�G��� ���n��}��©¨I� ���!�F���¡� § 2�Ï?Ðb���T��§¥ª����!�G�����n�!�r�7¨�¦����©��}��MÍ.�Y���G� ¦�¬����!���¥´Y� ����´r�©� È2��}��.������� ��� Ç }��¡��}Z����r³���� �����G�n��}����T¦��r}���ÓF¦�� �����r�;̯¼��FÎ&Ç }��¡��}�ªa���!§¡���5��}���Í.�Y���G� ¦�¬����!���¥´Y� ����´r�Ô� È2� È ! & �� � '*- � � � Ç �¥��}Z���G�«¨I�����~��� 2

& ! & �� � '*- � � � ' 2 2 & � '�6 � � � - - @>65 �

��� & F � K[F�� ' \ � ��� 2 & �(' � ��� & �('�0 �� � K �= � � K ��=)_ Z ��� K|~}��¡�#��}��YÇ#�&��}�� � ��}��.���!���-���T�M�����MÈÊ���r� � � �¡� �T�¥´T�!��³Fª

� � � ��� � - @>45 & F � K�F � ' � � � &�� & � � '*- � � � K� � � '�� � � � � ��� & �(' � � K �= �� � K ��= � � �

Ç }��������������Y�¡�=��}���> 0C>©���!�������7����� �F�=� È+��}�� ��}������#´r�G�����r�����O���?� �ÏO|~}����?���&¨������!�����!§�ª��GÓT¦A� §���� & F � K F � ' � ��� & � '�- � ��� & �('�Ï=Ð }��!��� � ��� & �('?}��T�~³A���!�4���!Ñ����������������������r�l¹aÏí¾�ÏO|~}��©�T�K®¯�r���F� �«��� ���©�GÓT¦A�Y�����r���¡�~�r³���� �������� � � ��� �& F � 0 F$� ' � & � ' 0 & F � K�F$� ' � ��� & �('*-� � ��� & � '�6 F � K�F �

LQ5 � ��� & � '�- � � ��� \ ��%� � & � � ' # � G 9:IH _ Z � ����� KÌe�T�FÎ

#�!¬a� Ç&���r³���� ���Z��}��Í*����������´Y�Y����´r�©�rÈ , � ��Ç �¥��}\������¨A�G���#������}���¨����¥��� ��ª����r¦����!����¦��������F��Ï5��� ��� ��ÓF¦��r§à���n��}�����¦��� È2��}�����������´Y�Y����´r�©�rÈ , � ��¨�§�¦�� ��}����!�r�F�����¥³�¦������r�Z� È2��}������!��� ���¢Ç }�����}\�r���¡�����#���r§��!§�ªnÈÊ���r�-��}������!��� ! @ ����Ñ����G�³aªn��ÓF¦�� �����r�;̯¼�&TÎ�ÏO���#�¡�5ÈÊ�r¦��������7³A�©�GÓF¦�� §D���

� � / q & �(' 6 � ��� & �(' K|~}������!ÈÊ�r���

, � � / q & �('�6 , � � / q & �(' 0 �� ��� & �(' K Ìe�r�aÎ

|~}��.���!����´K� ����´r�G�?�rÈà��}�� ��� �r��� ���r�¡� �7Ç �É��}�������¨I�����5�����}��.�!�r����¦������¥´a�¥��������F � �!�r���r§�����³I�Ô�!�r�7¨�¦������+Ï?£��¥���!�*Ç5�.���KÇ���;��}���¨����!´a���r¦��©�����������r�b��}A�Y����}��7������� ���'���¡�b��� �M���r�F������³�¦����r�8�¥���¡�.��}��n�«¦��(� È5��}������!����´K� ����´r�G�.� È , ���zÇ �É��}������¨A�G���~����F � � ������}������!���¥´Y� ����´r�Ô� È � � Ç �É��}Z���G�«¨I�����5����F � Ï � ���¥���M�GÓF¦��Y���¥�T�bÌ«¼!�FÎ���Ç&�©�T³����r�¥�

� � F � 6 - @>65 �

� �&��$& �� � '*- � � � K � � � ' � � � - � ����� ����� %�� ��� � \ � ��� 2 & � ' � � K �= � � K ��= � 0�� ��� & � ' _ Z ������ �

Ç }��¡��}��¡� �GÓT¦A� §D���K �� ��� ����� %�� ��� � \ � ��� 2 & �(' � ��� & �('*- �� ��� & �(' _ Z ��� K

û��/èàû ý

Page 22: The Inverse EEG and MEG Problems: The Adjoint State ...

|~}������!ÈÊ�r���

,�� � F � 6 , ��� F�� K ����� ����� %������ � \ � ��� 2 & �(' � ��� & �('�-� �� ��� & � ' _ Z ��� K Ìe�C,TÎ

��� � ����� �� �;�=UA�4�Ze�e,f�� �me,f �^��UYW � R8��TKU��Xhi j��V|��Ô�!�r���!§¥¦����?��}����2�����������r�à�YÇ5�&�T� ��}����r¦��T}©��}�� ���r���?Ç }������5Ç&�5}��K´T�&�r�����G���8���Ô³A�r��}M�!§������������?¨A�r���!�F�����r§�� �����7�r�r���!���¡��7���T�«¦����!�7���T���!Ï2Ðb�.ÈÊ�r��� ��}������r��������¨A�T��������� ��� �r��� ���r�¡� �, ��� � � �!6 , ��� 0 � � 6 ,�� � 0 ��� 6 ��� 0 � � 0�

���\� ���

� & F � 0 F � '!2 & � '�KRL6F @ 2 @ & �(' K 9LQ5 � ��� & F � K�F � ' \ ��%� 2 & � � ' # �*G 9:IH - �

��� & � � ' _ Z � ��� � & �(' _ Z ��� K|~}����T�K®¯�r���F� �«��� ���.��ÓF¦�� �����r�����

� � ����� �& F�� 0 F�� ' � & �(' 0 Z ����� & �(' 0 & F � K[F$� ' � ��� & �('*-� � ��� & �(' 6F � K[F �LQ5 � ��� & �('*-�� � �)� \ ��%� � & � � ' # � G 9:IH _ Z � ��� � K Ìe�T¸FÎ

Ðb��� §¡�«�Ñ�������}��.´K�r§¥¦���� �rÈ8��}������!���¥´Y� ����´r���~�rÈ8��}�� �8�r�r��� ���T���r�nÇ �É��}Z���G�«¨I�����5���7��}��©¨�������� ��ªn�«�T¦����!�©��¦��������F�~�r�����}������r�A��¦������¥´a�¥�������

����� ����� , ��� � � � / q & �(' 6 ,�� � / q & �(' 6 , ��� / q & �(' 0 �� ��� & �(' , ��� � � � F � 6 ,�� � F � 6 , ��� F � K �� ��� ����� %�� � � � \ � ��� 2 & �('!� ��� & �('�-� �� ��� & �(' _ Z ��� K

���ba � ���;�K � U ��� ����� � � �XW$�)��� TKU �SV � U�� � �;��UcR8��R"��UYUY�������2�Y�����^��UcW �NR8��R �N�I�|~}��#���!�T¦�§¡� ���¥ÕG�Y�����r�7� ¨�¨����F�r��}��}�� �&}��T�O³I�!�!���(�T������}����M�r¦��&�¥�������������r��¹aÏ �����7��}��*´r�T§¥¦��7�#���r��� �!�r�M³I� �!¬a���!�A�����M�����}��.��¦���Èe�r�!�*�!�T�«�Ô���������§�� ����´r��§¥ª��«����� ���r}F�«ÈÊ�T��Ç~� ���Èe�r��}��¥�T�àÏ2Ðz�.¨I�T�«��¨I�r���©�M������� ��§¥�G�����¡�������¥¨����¥�T���rÈ8��}����~�!¬F���!�������r������MÈʦ���¦����©����¨A�T�«�GÏ

� 3 ��1&���/�l�����.,2�!�I0$1&�����+,/��������,��Ö��� ,/���(���/��"$�������8�6��/1&��1~6��/�/�#��,º4�r�FªM� ¦���}��r���)í¾r¾��A}��K´r� ¨I�r���F�����7�T¦��=��}��Y�=��}��#¨������7�r��ª�«�T¦����!� ��¦��������F�?���r¦�§��7³I�#�����7�r�aª�!�T�«�G�O���T���«�¡�������G������³I��M�����«������³�¦������r��� È����¥¨I�r§�����Ï?ºZ�T�«�~� Èà��}��Ô�����M�*��}��!���*�¡� �©Ñ����É���Ô�a¦��³A���~� È���¦���}����¥¨I�r§����~Ç }��¡��}���� ��³A�.���T���¯�����r�¥��������\¨A�F�«�¥�����r�8�A�T�����!�F��� �����r�Z�r�*³A�r��} �r¸���¼�&�� Ï.±*¦��*�r¨�¨����T�r��}4�r§¥§��YÇ#�~�����¥�F��������¦��!����¦���}\���T���¯�����r�¥�F��� ´r����ª����Y��¦���� §�§¥ªTÏ���T� ��¬�� �7¨�§��r��Ç5�.���KªnÇ5�r�F�5��}��©¨����¥���r��ªn�!¦������!�F���5���7³A�©§����!� �������r����}������T�«����¬+Ï�Ðb�.��}a¦�� �����T�

/ q & �(' 6�� & �(' ��� & �(' KÇ }������ ����������}��b�«¦��«Èe�T���l�rÈ©��}��b���T�«����¬ �r³���� �������à�#�rÏ ��Ï ÈÊ���T� ��}��;�«���r�7�!�F��� �����r� �rÈ�� ��� ���r�7�¡�!�r§Ôº4² ����� �T����Ï$ �� �;��§¥§�¦��«�����Y�����r�;�rÈ5��}��¡�!�/Ñ��T¦������\��}��YÇ#���4��� �T�É�����r§?�����T���¯�����������¥�T�l�rÈ �r�x� ��� ���r�7�¡�!�r§&º4² ´r�T§¥¦��M������� �T��� È �

è8è ö�\ �^]+_�

Page 23: The Inverse EEG and MEG Problems: The Adjoint State ...

}a¦���� �Z}��G�r�Z�«}��YÇ �¥�����!§¥�G� ��§¥ª���}������¥ÒD�!���!�F� � ��� ���T�M�¡�!�r§+�����r���r���~� �r�!����}��G������Ñ��r¦������4ÌR� ������� �aªn�7�r���GÎ�Ï �/���r¦����,\��}��YÇ#�M�l�!�r�7¨�� ���¡�«�T�à�2�¥� � ���r��}����M�!���F���«�������������r�;� È ��}��Z���r�7��´r�T§¥¦��M�T�O� È*���ÉÒD�!���!�F���«���r�7�!�F��� �����r�;������}����¡ÓF¦����� ���7��� �Y�7���G���Y´T�!���¥���z� �¢�r�!�!¦����Y�����r���r�7�������¡�������������¥¨����¥�T�U�rÈ ��}����¯Ç5�;�«¦���Èe�r�!���ZÌÊ���F���������r§ � ��� ��¬a�������A� § Î��rÈ ��}�����T�«����¬"�O����ÈÊ�!�����¥������7ÑA�r¦����©������}��������«¦��«Èe�T����� �r��� � � G � �A� � G B Ï&|~}��©§���È �*�!�r§�¦��7���rÈ�ÑA�r¦����3,M�«}��YÇ#�5��}����!�©¨��r�«�����r§�����T���«�������������r���&Ç }��!���Ô��}����!�!���!³����T��¨������ §.��¦��¡�+����}��©�r���Kªn� �A��Ç }��¥���©��� �«�����#� ���ÔÓF¦��¥���©´a�¡�«��³�§��'8a��}����«�G���T�����!�r§�¦��7���}��YÇ#�5��}������G�«¦�§¥� �rÈ2�r¨�¨�§�ªF�����n�����¥�7¨�§��©��}����G�«}��r§¡�����7��}����¥��� �T�.���n���!¨��r��� ���Ô��}���´Y� ���¥�T¦��#���T�7¨A�T���!�F����8���}��©��}��¥������T§¥¦��M����}��YÇ#�/��}�� ���G�«¦�§¥�=� ÈD§��F���a�¥���.�!¬a¨�§¥�¡���¥����§¥ª�ÈÊ�r�2��}��~�¯Ç&����¦���Èe�r���G� � �(G � ��� � GEB ¦����¥���©�.¨��r�¥�O�rÈD�!�r¦�¨�§¥�G�M­2�r�«�����r§� �ÉÒD�!���!�F���¡� §à°?ÓT¦A�Y�����r�A� �¼�½�� Ï �/���r¦����Ô¸7��}��YÇ#�~�� � ����¨��������!�F��� �����r���&� È���}��F�«�.�«¦��«Èe�T������� � � G �¡�~�r����}��.§���È �G� � GEB �T���}��©�����r}F� � È���}��.Ñ��T¦����rÏ

�����r¦����.� �?£�� �r�¥�«��� §à�!���F���«�������������r�n�rÈ/�r�Z�r���Y���r�7�¡�!� §àº4²'´T�r§�¦��7�Ô����� �T�rϲ �!��¦����������n�����r¦��*���Y��}��!��� ���¡�!� §2� �A� §�ªa���¡�!�A��}����������� ��}�� �Ô��}��r���r��¥�l��}��¨����!´a�¥�T¦��Ô� ���r§¥ª������*� ��� 2 @ �r��� ! @Ç }��¡��}�³I���!�r�7�

2 @ & �(' 6 9>65=F @ \ ��� # � G 9:IH - � & � � ' _ Z �

! @ & �(' 6 - @>65 \ ��� � & � � ',0/# ��G 9:)H _ Z � K

|~}��¡�O}��T�O�r��§�ª���}��#�!ÒI�G���?�rÈI�¦�§É���¥¨�§¥ªa�����©��}�� ´K�r�����r¦A�=���!����´K� ����´r�G�2� ÈI��}�� ��� �T���r���r�¡� ����Ç �¥��}�������¨A�G���O������}�� ¨������7�r��ª���r¦��������!¦��������T�Ô³aª � � & �(' Ç }��¡��}\�7���r���*��}�� �*�����¯�����T�\� È=}A�K´F�����������!�r�7¨�¦����M��´r�T§¥¦��7�M�����«������³�¦������r�z� È=¨������7�r��ª���r¦������.��¦������!�F����Ç5�.�r��§�ªn}��K´T�*�������r�7¨�¦������7�«¦��«Èe�T���©���¡�¯������³�¦����¥�T���rÈ/´T�������r���!Ï

#�!¬a�~Ç5�©���Kªn�r���«¦��M�Ô��}��Y� ��}�������¨A�T§¥�G� � � ���*���T�����r§D���M��}�����¦���Èe�r�!�Ô�rÈ���}������T�«����¬+�a}��!�A���©Ç5�ÔÇ ���¥���/ q & �(' 6 � & �(' � & � ' ��� & �(' �Ç }������ � & �(' �¡�.��}��n¦����¥�����T����� §2���Z��}����«¦���Èe�r�!� ����� ��¨A�T�¥�F����� ��� � & �(' �¡�©��}����¥�F���!�����É�¯ªz� È~��}��n���¥¨I�r§���� �©��}�� �

¨I�r���T�GÏO|~}����&}��T�?�T��§¥ªM��}�� �!ÒI�G���~� Èà}��K´a�����©������'�r� ��}��.��� �5¨�������¦A���&�rÈ+��}��Ô¨����!´a���r¦��&���!���¥´Y� ����´r���?Ç �É��}n��}�� ���T�����r§

û��/èàû ý

Page 24: The Inverse EEG and MEG Problems: The Adjoint State ...

�/���r¦����#, � �/�����������7��}��©���!�T�¥�T��� J � ÈÊ���T� ��}���º4²'�¥��� �T�.� È8ÑA�r¦����.��Ï

�/�¥�T¦����7¸ � �8��È ����|~}����«¦���Èe�r�!� � �(G ³I���¯Ç5�!���l��}��n��������³����F�«¨��¥���r§��A¦����b� �A�\��}����r���KªZ�7� �«���!�GÏ7²#�¥�T}T���©|~}����«¦���Èe�r�!�� GEB ³A�!�¯Ç&���!����}��©�T���Kªn�r����Ç }��É���©���Y�«���!�GÏ

è8è ö�\ �^]+_�

Page 25: The Inverse EEG and MEG Problems: The Adjoint State ...

� & �('&�Y�~��}��©¨A�T�¥�F�J��� È � �!Ï ���r� �!¬��r�7¨�§¥�.Ç5�.}��K´r� , ��� � � & �(' 6 9

LQ5 � & �('*- �� � ��� \ � ��� � & � � ' # � G 9: H`_ Z ���� �� � � & �(' K���4��}����*¨��r�«�����!¦�§��r� �!�T�«��Ç&���T��§�ª�}A�K´r�.�������T�M¨�¦����M�n�«¦��«Èe�T�������¡�«�����¥³�¦������r�4� È?���!�r§��r������� Ï �TÏ*�7Èʦ��������¥�T�l����ÑA�����4�T�� � ÏÐb�=���Kª*� §¡���5Ç~� �F�+���#�����r¦�§¡� ����Õ!����}��&¨�������� ��ª ���r¦������O��¦������!�F�+��� ���G��¦����2��}��=�!ÒI�G���8�rÈF��}��=���T�����OÇ }���§¥�?¨����G�«����´a�����

�¥���Ô���������T�F�����F¦��É�¯ª�Ç }��¡��}\���Kª����¥�T��� §��«�T�M���¥�7¨I�r����� �F�Ô¨�}��!���r�7�!����Ï |~}��¡�#�¡�*�r��� §��r�T�r¦��5���n��}���¨����r³�§¥��� �rÈ=�¥��� �T������«���r���Y���¥�T�l���l��}���¨��������!���!�7� È~���r�¡�«���r���l}A�r�.³I�!�!�x�«��¦����¥�G�z���x���T�M¨�¦������©´F�¡���¥�T�Sí¾T¹�� Ï��8���©¦������!�7}��YÇ Ç&���!�r��r��� ¨��M��}��¡�MÈÊ�r����� §����������z��}��Z���r����Ç }��!����Ç5�����!���w�\Èʦ��������¥�T� �¢���!Ñ����G�U�T�w��}��Z��¦���Èe�r�!� � � ÏUÐb�4�r���w���b��}���8�r�r��� ���T���r���5����!�T¦�§¡� ���¥ÕG�Y�����r�n���!���Ö�rÈ���}��.ÈÊ�r���

\��� & =?# � & �(' = ' _ Z �

Ç }�������# �Z�¡�~��}��©�T���T�����!�F�5�rÈ���}��.Èʦ����������r� �������r��� �0) #�@�- F �:��� ��- �I�«���*ÈÊ�T� ��¬�� �7¨�§�� ¥¼�����Ï��� � ����1~ !6����!���Ðb� }��K´T� ���T���«�¡�������G�M��}��Ô¨����r³�§��!� � Èà�����!�r���«����¦����������.��}��*��}������������¥�7�����«���r�A� §���§¥�G�������¡�!�r§A�r������´a�É�¯ªM� È+��}��*³����r�¥�7ÈÊ���r��7���T�«¦����!�7���T���8�rÈ���}��5��§¥�G�������¡�!�r§T¨I� ���!�F���¡� §��Y�O���r�7�?¨I�r���F���/�r����}�� ��¦��«Èe�T���&� È���}�� ����� §�¨��r�+*Y�r���.ÈÊ���r���7���r��¦����!�7�!�F���� È/��}��Ô���r�r���!���¡�ÔÑ��!§¡��������¦A������³aªn��}��¡� �r�����¥´a�¥�¯ª��Y� ���r�7�.¨I�r���T��� � ���r¦��A�n��}��©}����T�+Ï

£F��� ���������©ÈÊ���r� ��}��.º4�Y¬�Ç5�!§�§��GÓT¦A�Y�����r�A�!�FÇ&�*}��K´r�=®¯¦��¯���ÉÑA���7��}��Ô�T����¦��7¨����¥�T���O��}��Y�~� §�§¥�YÇ¢¦��?���M�r���«¦��7� ��}��Y�5��}���!§�������������� §�ÑA�!§¡�7�¥����¦����G��³aª���}����5�r������´F�¥�¯ª���!���¥´T���2ÈÊ���r� �©¨A�r�����T�����r§�Ñ���§�� 2ÖÌeÓF¦��r���¥���«��� ���¡�~}Fªa¨I� ��}���������ÎO�r�����}�� �?��}�����T��������¨I�r���������*�7�r�r���!���¡�=ÑA�!§¡���¡�2�r��´r����³aª.��}��)�5��� �«�¯£��K´Y� ����§¡�KÇ©Ï8�����}����/ÈÊ��� �7�!Ç5�r� �D�G�¯Ç&�Ô¨�� ��� �7�!���!���/� ���&���!§��!´Y� �F�����}��¨������7�r��ªZ���r¦��������!¦��������T� /Aq �r���4��}���!�r����¦A������´a�É�¯ª Fw�T�#Èʦ��������¥�T���Ô� È?��¨��r�!�rÏ*|~}�������¨��r���r�M�!�������*���r�F�����T§à��}��´Y� §�¦����/�rÈ���}��5¨I� ���!�F���¡� §C2'�r���©��}��~�7�r�r���!���¡�&Ñ��!§¡� ! ��}����T¦��r}M�.�«�G���r�A���r����������§¥§��¥¨����¡�&¨A� �����¡� §����¥ÒI�������T�����r§���ÓF¦�� �����r��¥È�Ç&�&�r���«¦��7�&��� ��¨��Y�����r§F�!�r���«����� ���F�8�r�.��}��5�!�r����¦������¥´a�¥�¯ª.�r���Ô��}����T¦��r}��#�¥�F�����r��� §C��������}��T§¥���GÓT¦A�Y�����r�©�rÈ���}��~�������T����a�¥�A���¥È2Ç&�©�r����¦��7�*��}��Y� ��}������T����¦�������´a�É�¯ªn�¡�~¨������!�!Ç �¡�«�©���T���«��� �F�GÏ

|~}���� ¨�¨�§¥�¡�!� �����r�b� È~�¯��� �����r���z�7����}������©���!´T�!§��r¨I���lÈÊ�r�.��}��n���T�T�����T§2� È �«ª��«���!���Ô�r�Y´T�!�������l³aªl�«¦A��}z�GÓT¦A�Y�����r�A�}��T� §¥�G��¦�� ���n�Y�«���r�E����}���¨����r³�§¥���-� È2���«�������Y���¥���7��}���¨������7�r��ª��«�T¦����!�©��¦��������F����� Ï �TÏ=��}����!§�������������� §8�T�����¥´a�¥�¯ªn� È2��}��³���� ���à�+³aªZ��}��7�r�Y®¯�r���T�©�«���Y����7�!��}����zÇ }�����}z}��r�Ô¨I� ���!�F���¡� §�§¥ªZ�¯Ç5���T��´Y� �F���r�r�G�!Ï#�/�����«�Ô�¥�©�!� �b�«���r���ÉÑA��� �F��§�ª4������¦��!���}��Z�r�7�r¦��F��� È.���r�7¨�¦����Y���¥�T�U����ÓF¦������G�x���b�T³����r�¥�U��}��\� � ���G���T���¯����¦A�������r� � ��� �«�G���T���+�=�¥�n���Y��¦���� §�§¥ªx�rÒI�������}��¨I�T���«��³���§¥�¥�¯ªn� È2���«�������Y���¥���M��}������T����¦�������´F�¥�¯ª��T�~Ç&��§¥§ ÏÐb� }��K´T� � §¡�«�M���T���«�¡�������G�M��}��Ô¨����r³�§��!� � È8�!�r���«����� ���������©��}��Ô���r§�¦����¥�T���=���É��}��!�5�r���r�7�������¡�!�r§¥§�ªr�T¦��«�����M� ��� ���r�7�¡�!�r§

� �A��Èʦ����������r���r§à���Y�����a�r�+*Y�r����³aª7ÈÊ�r������������}���� ���7}��K´T�*��}�� ��¨n�����r��������¨����T³�§¥��� ��}�� �#�«�T�M�Ô� È�¦��5�!���!�r¦��F�������G�n������r�7��rÈ?�r¦��Ô¨�����´F���r¦A� Ç5�r� �Z�r�l����� �T�������«���r���Y���¥�T�àÏ.Ðz�7}��K´T���}��YÇ �4��}��Y�.��}��7�T�K®¯�r���F�.�«��� ���M�7����}��a�zÇ~�r�ÔÓT¦��É�����¦��É��� ³�§��ÔÈÊ�r�~�����a�¥���7��¦���}Z���T��§¥�����G� � ���T���¯�����r�¥�F���&���F�����r�����T¦��F��Ï

ºZ¦���}4���!���r�¥��� ���n³I����T���rÏ ±*¦��*§¥�¡�«� � È2���T�(��������§�¦����G� ��}���¨����r³�§��!��� �rÈO��}�����������������¥ÕG�Y���¥�T���rÈ=�r¦�� ��ÓF¦��Y���¥�T�������}��!�������M¨�§¥���M���F���Y���¥�T�w� ���b�����«�������\�T�x�r���r¦���������¦���}w��� ���xÌe¨�}�� �F���r����Î��/��}����¥�M���r�7¨��r���¡���r�;Ç �É��}x� ��}��!��M�!��}������� �A�4��}��!���*�����«���������r�\�����r§/��� ����Ï�|��'�F�������¥�F���Z�r�����T¦��F� ��}������¥�7�7´Y� ����� �����r�4�¡�Ô�r§������!�!�����r�¥��§�ª4� �z�¥�7¨I�r����� �F�Ô�����«¦����}A�Y�#Ç5�Ô}A�K´r�Ô��� � ���r¦���}��G��¦�¨A�T��}��!���rÏ

¿7Å���� ÞaÝ � Ú ß<� Ú Ú �IÂÐb�.��}��r�J��ºZ�T}�� �7���4µ&}��T¦���}�� ���*ÈÊ�T� }��!§�¨�������¦��~Ç �¥��}4���r�7�.� È/��}��.Ñ��T¦�������Ï

û��/èàû ý

Page 26: The Inverse EEG and MEG Problems: The Adjoint State ...

� � 6����������M,��.,2��1������������n��"$�.,/�!��� �#2,/���������� �# ! .���6��.,/������w����0��� �2�����,/�!��� �#2 ,/���� �!�.,����7� *���8, ���� 6

� � � T�TKU���F��VD����� � ���@��� �Y�����;���[�� S C�����F����� ���K�|�Ç&��� ¨�¨����K¬������Y�����r�A�?�rÈ���}��.Èʦ�§�§É�&�������r���Zº4� ¬aÇ5�!§�§+��ÓF¦�� �����r��� �r���Ô� È ���!�Z¦�����Èʦ�§ Ï=|~}���ª�� ���.�����������¥³I�����r�5ÈÊ�T§¥§��YÇ#���� Ú�� ��Ä�ÁA� Ü Á�Â�Ä�Â�� Þ ��Ä�Ã Û � ¨�¨����K¬����7� �����r�����r��������¨A�T�����?���7��}��.Èe�r��� ��}��Y�#Ç5�.���!�T§¥�G��� ��}��.������� � l��lpo ������}��.ÈÊ�T¦��«��}º4�Y¬�Ç5�!§�§I�GÓF¦��Y���¥�T�bÌR�TÎ�Ï # 0 ! 6.- @ / K���n�©¨��r�����¥´T� ���r������� �T���������~�7�����¥¦��Z�FÇ }��!��� # 0 ! 6 - @ C�F � 0 � l��lpo E �r��}����&�r���«¦��M¨������r���7���r���=�����r§������������l��lpo Ç �É��}�������¨I����� ���7�r}��7�¡�Ô�!¦��������T���!��� Ï �rÏ = � l��lpo =���� = F=�!=KÏ��� Ú�� ��Ä�ÁA� Ü Á�Â�Ä�Â��ÊÅ � ¨�¨����K¬������Y�����r�Z���T��������¨I�r�����5������}���Èe�r���#��}A�Y� Ç5�������r§������ 3�0# @ ��}������!��� � l��l2o �¥�4��}��©ÈÊ�T¦��«��}º4�Y¬�Ç5�!§�§I�GÓF¦��Y���¥�T���r������}��Ô������� K l��l2o �¥����}����«�G���r�A���T���.Ç }�����}Z³I���!�r�7�����# 0 � 6 : ��«���}�� �K���¡�~�r³���� ��������ÈÊ���T� �7���!� §¡� �~¨I� ���!�F���¡� §�2 ��Ç ���É������� � 6WKJ# 2�Ï���T§¥§��YÇ �����!í¾r¾����T§����~¦��5�«}��YÇ ��}��Y�G�F�!�r�����¡���!���¥���©��}��Ô�K´r�����r�r�~�r�����!�&� Èà��� �T���¥��¦����*� ÈD��}��*³���� ���7���¡���«¦��G�?¨I�!���7�É������´a�É�¯ª� 6 9�:'B � @ �r���x���T����¦�������´a�É�¯ª[F % : K >;JK("; 1,(";Y�/��}���ÓT¦A�r���É���¯���Y�������r¨�¨����K¬a�����Y���¥�T�z�¡��´Y� §��¡�;ÈÊ�r��!§����������T��� �r�������¡�Ç~�K´r���5Ç �¥��}������7�.ÈÊ���GÓF¦��!���!�¥�G�~�¥�4�M��� ���T�*�rÈ�&M���Z¼�&'& 9 � Ï|��n´r�����¥Èʪ���}��¡�!�DÇ5�������!�r�7¨I�T���©��}���!§�������������Ñ��!§¡�4���4��}������T¦������!�Ô���r���r�¥�\�r���\���T�����������*��¨�§��r��� �*Ç5�K´T�©� ÈO��}��ÈÊ�r��� � � & � � X '�6'� @ & � '�� ='& ��� o �Ç }������ % �¡����}������!�7¨I�r��� §&ÈÊ���GÓF¦��!���!ªr�O� �A�M� @ & �('.���M�4����� §5� �7¨�§��É��¦�����´r�G�����T�����r�M����¨A�����������l¦�¨I�r�U�����7�rÏz|~}��D�F ��$� %'$#'�0#+���0)��*�$( � ¨�¨����K¬������Y�����r�8�+�RÏ �rÏB= � l��lpo =���� = F �!=K�à�¡�Ô��}a¦��.�GÓT¦��¥´Y� §��!�F�.���� 6 � L 5 % �"! F �#��� 9TÏ���;�r¦���!�T�«�T�$ % L)9�: ( � �r������}����r¨�¨����K¬��¥���Y���¥�T�n�¡� ´Y� §����+Ï|~}��:D�F �*$� %'�#!�*#&��� � ¨�¨����K¬������Y�����r�4�¡�Ô´r�����¥Ñ����z�r� ÈÊ�r§�§¥�YÇ#��Ï�Ðb�§������ @ & � 'F6&%'��='& �)( � �KÏ�%(�¡�Ô������� §O�r�M¨�§¥�¥��¦����

´r�G�����r� � ���+* �7���G� §+�«¨A�Y���¡� §DÈÊ����ÓF¦�������ª�´r�������T�~���Y�����«Èʪa�¥�����}��©�r����}��r�r�T��� §��¥�¯ª7�!�r�����É���¥�T�,* --% 6F:�Ï�5����� ¦���� # -p� @ & � '�6 L?5 � & *4-.%B'/��='& �)( � �F6F:MÇ5�©�r³���� ���#10/# 0 � @ & �(' 6 # & # -p� @ & �(''�K � � @ & � '�6 K � � @ & �(' K

�#�������$= � � @ & �(' =�6 � � � =+� @ & � '?=*�r� =0*�=+=F621�1='& Ï=|~}��.��¨�� ���¡� §DÇ5�K´T�!§��!���r��}n���r�r���¥��¦���� � � 6 ; ( 643 ='&1

�1 ���~�rÈ8��}���r�������#� È > 9-5<1b�������r§��¥�T�¥³�§���Ç �¥��}\������¨I�����*������}���}����r�4���¥�7�!�A�«���r����Ï |~}��� ¨�¨����K¬��¥��� �����r� # 0 � 6W:����#��}������!ÈÊ�r���

´Y� §����àÏ

� ��� 6 U��;V �Y��� ���J� � � OB�(��������R.� T�T�U ��F�SV ����� ��� ��� �Y��� � ����IO ������ U��M �"� �|~}��#�5��� �«�¯£��K´Y� ���&§¡�KÇu��� ��³A�����!���¥´T����¦�������� ��}��.Ç5���'�r�!� D�F ��$� %'$#'�0#+���0)��0�$( �T����¦��7¨����¥�T��� Ï �TÏ l��lpo 6F:�Ï|~}��r�J���?���7��}��.��}������4º4� ¬aÇ5�!§�§D��ÓF¦�� �����r�à� ! �r§¥Ç~�Kª��&���!���¥´T���5ÈÊ���r�-�M´r�G�����r�~¨A�r�����T�����r§R�A���Kª � � Ï �TÏ��# - ! 6 : � ! 6 # 0�� Ç �¥��} # -�� 6F: K|~}��������!�r�������T�����¥�����r�à����� §�§¥�G��� 1 � F 1 - ���T�����¥�����r�à���K´T�r�¡���?��}��©�������!���!���7�¥�A�Y�����r�Z���!§¡�Y���������M��}�������Ñ����¥�����r�Z�rÈ �\Ï��È2Ç&�.���T��������¦A����� �¥����}��ÔÈÊ�r¦�����}\º4� ¬aÇ5�!§�§+��ÓF¦�� �����r� �# 0 ! 6 # 02# 0 � 6 # & # -��/'�K # = � KÐb�M���YÇ�¦������}��7����§�� �����r��� # - � 6 :�� �A� #�=��;6 � � ���Z�r³���� ���\��}��M�GÓF¦��Y���¥�T� � � 6�K - @ / Ç }��F�«�7�«�T§¥¦������r����Y���¡�«ÈʪF������� &87 '�6 :7ÌÊ���©�7�r�r���!���¡�&Ñ��!§¡�7�Y�=����Ñ����¥�¯ª�Î/���O�T�¥´T�!�M³aª�­/�r�¡�����r��� �/ÈÊ�r����¦�§��*ÈÊ�r�O}A� ���M�T���¡�?Èʦ��������¥�T���#Ì> ���ÊÎ^�

� & �(' 6 - @>45 \ ] / & � � ' _ � �= � K � � = K

è8è ö�\ �^]+_�

Page 27: The Inverse EEG and MEG Problems: The Adjoint State ...

|/���a�¥�����}�����¦���§ ��Ç&�.�T³����r�¥����}��#�5��� ����£��K´Y�r�«�~§��KÇ

! & �(' 6 - @>45 \ ] / & � � ',0 & � K � � '=?��K � � = � _ � � �

Ç �¥��} � (� � � (� ( 6 # � C ;A�E Ï��È2�¥�Z�r�����É���¥�T��Ç5�©���T���«�¡�����~��ÓF¦��T�«�¥���¯���Y���¡�Ô� ¨�¨����K¬��¥��� �����r����}�����¦������!�F� §��KÇ �����T���5��}��ÔÈÊ�r���-� È/��ÓF¦�� �����r�;Ìe¸TÎ/ & � '�6 / q & �(' 0 F & �('I� & �(' 6 / q & �(' K�F & �(' # 2 & � ' ������}��Y�#Ç5�©�!�r��Ç ���É���Ô��}��#�5��� �«�¯£��K´Y� ���~§��KÇ'�r�~�����GÓF¦��Y���¥�T�bÌR½TÎ

! & �(' 6 ! @ & �(' K - @>65 \ ] F & � � ' # � 2 0/# �*G 9:IH _ � � �

Ç �¥��}! @ & � '�6 - @

>65 \ ] / q & � � '�0/# � G 9: H`_ � � KÐb�*� §¡�������!�G�n����§¥���r}F��§¥ª7���¥ÒI�������T�5´r�������¥�T��� ÈD��}����&��ÓF¦�� �����r�n������}����&¨�� ¨I�!�GÏ2|8��r���&�É�G�FÇ5� ���'�r� ¦���� �rÈ+��}�� ÈÊ�r����¦�§¡�# & F 2 '�6 2 # F 0 F�# 2 ����Ç ���¥���'�

K \ ] F & � � ' # � 2 0/# � G 9:IH`_ � � 6 \ ] 2 & � � ' # � F@02# � G 9:)H`_ � � K \ ] # � & F92 ',0/# � G 9:IH _ � � KÐb����}����x�����r��¦A�«�n�rÈ&��}���ÈÊ�T���¦�§�� # 0 & F92 # C ;A�E ' 6 # & F92 'F0 # C ;A�E �r���b� È~��}���ÈÊ�r����¦�§¡� 9

] # 0 + _ � 69 � + 0�� _ ZÔ���7����� ���«ÈÊ�r��� ��}��������!�r�������T���!�T���r§I���F���n�7��¦��«Èe�T���.���T���!�T���r§\� F & � � '!2 & � � ' # ��G 9:IH 0 � & � � ' _ Z � �

Ç }������ �u�¡�.��}��n³A�T¦������r��ªz� È�J � ��� ���É�������T����� § Ï���È#Ç5�n�r����¦��7�7��}�� ����}������r�A��¦������¥´a�¥�¯ª�F �¡�©�a¦�§�§?�r� �~�8��}�������T���!�T���r§I�¡� Õ��!����ÏÐb�*��}a¦�� �r³���� ���

! & �(' 6 ! @ & �(' 0 \ ] 2 & � � ' # � F 0/# � G 9:IH`_ � � �Ç }��¡��}��¡�~��}��©��¬�¨I������������ÓF¦�� �����r�;̯¼T¼GÎ�Ï

£a����������}��7��¦��«Èe�T��� � ¦���¦�� §�§¥ª4�!���F�������~��}��M�����E�xÌe���!�Ñ��T¦�����TÎ��+�¥�*�7���r}F�.³A�M�7�r�������G�r���r���r³�§��©�����r���«¦��7����}�� �F;�¡�#�!�¥��}��!���a���YÇ �4�T�#¦��J�a���YÇ �4³�¦��*���T����Õ!�!���7�r�4¨��r�«���#�rÈ �~Ï#|~}���� }��r� ��}����ÒD�����Ô� È=�r�����¥���n�7�r���.���!�����#���4��}����ÓF¦�� �����r���?��}A�Y�&Ç5� }A�K´r�*���!���¥´T���+Ï/���n��}����&���!¨I�r�����FÇ&�Ô�r���«¦��7� ��}�� ��F4�¡��:��r� �;§����K´a�¥���©��}��Ô� ��}��!�~�!�T�«�G�OÈÊ�T�?Èʦ���¦������������� ����}àÏ

� �/���#2 �32 ���6��.,/�!������� � .�� ������� � * �Ðb�©¦��«��ÍÔ���!����� �5ÈÊ�T���¦�§¡�\ ] � F: � � 2 K � � & F: '�2 � _ � � 6 \�� � F: # � 2 K # � & F: '�2 �)-�� _ Z � �

û��/èàû ý

Page 28: The Inverse EEG and MEG Problems: The Adjoint State ...

� �A�n��}��ÔÈe�r���~��}��Y��J 6 6� J � ÏOÐb�©�����!�r�7¨I�T��� ��}��ÔÑ����«�~������� �T����}��.§¥�!È ��}��r�������¡���.�r����}��©���¥ÒI�������F�~´T�r§�¦��7����J � �

\ ] F: � � 2 _ � � 6 ��� ;\ ]�F �: � � 2 _ � �

6 ��� ;\ ]�9: # � - & F � # � 2 ' _ � � ³A�G�!� ¦A�«� F � �¡�#���T���«��� �F�#� �A� � 6 # - #

6 ��� ;\ ]�9: # � - / q _ � � ³A�G�!�r¦��«��# - & F � # 2!'�6 # - / q

6 ��� ;\ ]� # � - G 9: / q H�_ � � K ���

;\ ]� # � G 9: H - / q _ � �

6 ��� ;\��

9: / q -�� � _ Z � K ��� ;\ ]� # �*G 9:IH - / q _ � � K

|~}��b�«¦���Èe�r�!�4�¥�F���!�r��� §¡�n��� ���!�!§ ¨A� ����³aª ¨A� �����r�¢��}��z�!�r�����G�«¨I�r�A���¥���w�«¦���Èe�r�!���n���������l��}��z���r����� §¡�n� ���4�r¨�¨I�T���¥���rϺZ�T�����Y´r�!�G�Y��}�� ¨������7�r��ªM�«�T¦������ �!¦������!�F�=�¡�?�a¦�§�§I�r�7��}�� §¡�r�«�5��¦��«Èe�T����ÌR�r���«¦��M�G�M���³A� ��}��Ô����� §�¨AÎ�Ï?±*��� ��}a¦��?�T³����r�¥�A�

\ ] F: � � 2 _ � � 6 \ ] # � - /Aq: _ � � 6WK \ ] # ��G 9: H - / q _ � � KÐb�.�!�r�����¡���!� ���YÇ ��}��������!�r�����������-� È/��}��©§���È ��}�� ���Z�������rÏO�������r��}�´r�T§¥¦��M�GJ � F � �¡�#���T���¯��� �F����}��!���!�\ ]

� K�F�2 & � � ' � � G 9: H�_ � � 6 >45=F � 2 & �(' �

³I���!�r¦���� � ��C ;A�E 6WK >65 & 52'����r�5��}��©���G�r����� �!� �����T�«��§�ªn´r�����¥Èʪr���r�����T���.�r³���� �����\)] K�F & � � ' 2 & � � ' � � G 9:)H _ � � 6 >65=F & � '�2 & � ' K

Ðb�Ô���YÇu���T�����������~��}��©�����r}F��}��r�������¡���©Ç }��¡��}�Ç5�������!�r�7¨I�T���*�T���G�r��}��«¦���Èe�r�!� ��

��� \��� G 9: F

� # � � 2 K�F � # � G 9:)H 2 H -�� � _ Z � K£a����������}����T���T���¥���F�� È ��}��Z¨A�r�����T�����r§&�¡�7�\¨������r���5���¡�����r�F���¥�a¦��T¦���Ç }����U�T�����T�a����ÈÊ���T�mJ � ���l��}������!���r}a³I�r¦�����������!�r���r�:J � ÌR�«�����!����}��M�!�r����¦A������´a�É�¯ªZ�¡�*���������T�T���¥�a¦��T¦���Î�� # � � �¥���������Y���G�#��}��Y�*��}��M���T�M¨I�r���!�F�*�rÈO��}��M�r���r�����!�F� �r§¥�T�����}��©���r����� § � � �¡� ���T�M¨�¦����G��� �#¨A�T�¥�F�F� � � � È � � �T�5��}��©§����M�¥�

� �!�� � @�� 2 & � �� ' K@2 & �"� � K � � � '� K

|~}��¡� �¡�*��� �Ô���GÓT¦��¥������ÈÊ�T�#��}������!���8# � C ;A�E Ç }��¡��}\���Ô���T�F�����F¦��r¦�� �¥�\�T�!�������r§8�T� � � ÏÔÍÔ���r¦�¨��¥���n¨�� �����#� ÈO���!����� �����}��©¨�����´a�¥�T¦��~�«¦��Z��Ç5�.�r³���� ���� ��� \ ����� � F

� G 9: # � � 2 K 2 # � G 9:)HJH K[F � G 9: # �� 2WK 2�# � G 9:IHFH�� -�� ��� & � � ' _ Z � K���Z��}����*��ÓF¦�� �����r�à����}������r���7�r§8´T�������r��� ��� ¨I�r���F��� ��� �*( ÈÊ���r� J � Ï#|~}������!������F � # � � 2 -(� ��� �r��� F � # �� 2 -� � � � ���������¨A�G������´r��§¥ªz��ÓF¦��r§=���\��}����!¦��������T���T�r�����4�r¦���� È�J � � �A� J � Ï4|~}��!�����¦��(������}������!ÈÊ�r������ÓF¦�� §?��� &xÌÊ��}�����¦������!�F��������«�¥�¯ªn�¡�#���T�F�����F¦��r¦���Î�Ï=£a������� � ��� 6WK � � � ��Ç&�.}��K´T�

F � # � � 2 -�� ��� 6.F � # �� 2 - � ��� �è8è ö�\ �^]+_�

Page 29: The Inverse EEG and MEG Problems: The Adjoint State ...

� �A�7��}��.���T��������¨I�r���������©���!�����&�T���7��� &����n��}��*��¦��ZÏOÐb�Ô�r��� ��}��!����ÈÊ�T���*§¥�!È �5Ç �¥��}���}��.�������T���7���!���7�&Ç }��¡��}nÇ5�*�!�r��r���r¦�¨

K � �)� & F � K[F � ' \ ���� 2 & � � ' # � G 9: H -����� & � � ' _ Z � �)� K

#�r������}�� � ��}����¦��«Èe�T�������F�����r��� §¡�#� ���©Ç&��§¥§¥������Ñ������4�¥È��7���a���*��� � ³I�!§��r��������� �aª��rÈO��}��M�«¦��«Èe�T����� � ��� Ï��&¦��*Ç5��� ���¨������!�����!§�ª��¥�F���!�����«�����à�T���7���«��� ³�§¥�¡�«}���ÓF¦�� �����r�zÌ«¼G¾TÎ��a�¥��¨I�r���T�����©��}A�Y� ���7³A��§¥�T����������}������©�«¦��«Èe�T������Ï2|~}��ÔÑ���� §D������¦�§¥�Ç ��§¥§à³I�©�r³���� �����G��³aª������a�¥���7�M§��¥�7�¥��Ï��È2Ç&�©���T��³������Ô��}������*��}����!�©������¦�§É���~Ç&�.�T³����r�¥�

K \ ] # � G 9:$H - / q _ � � 0 >65=F & �(' 2 & �(' 6 K � ��� & F � K[F � ' \ � �%� 2 & � � ' # � G 9:IH -����� & � � ' _ Z � ��� �

�r�F & � '�2 & � '�6.F @ 2 @ & �(' K 9

>65 � ��� & F � K�F � ' \ ����� 2 & � � ' # � G 9: H -����� & � � ' _ Z � ��� � Ìe�a¹rÎ

Ç }������ 2 @ ���~��}��©¨����!´a���r¦��5´Y� §�¦��rÏ$ �5Ç5�Ô��� �¡�n�G� ��§¥���!�G�T��}��¡�~���5´Y� §��¡�n�¥È������a�G�&��� �~³A��§¥�T�������M�r�aª�� Èà��}��©�«¦���Èe�r�!��� � ��� Ï&µ&�T�����������&���YÇ ��}��Ô���T���!�T���r§P & �' 6 \ � ��� 2 & � � ' # ��G 9:IH -�� ��� & � � ' _ Z ���� 6 \ � ��� 2 & � � ' IK � �= �K � � = � - � ��� & � � ' _ Z ���� !� � ��� �

� �A���T����¦��7� � � � ��� Ï&±*�����!�r����}��YÇ ��}��Y�C� �!� � � � P & �' 6 K�LQ5�2 & �(' 0 9 � ��� 2 & � � ' � (� � � (�� � ( - � ��� & � � ' _ Z � Ï��È2Ç&�.¦����Ô��}��¡� ������¦�§É� ���Z��ÓF¦��Y���¥�T�bÌe�a¹rÎ���Ç5�Ô}A�K´r�

F �'2 & �(' 6.F @ 2 @ & �(' 0 9L & F�� K[F�� '!2 & � '�K 9

>45 � ��� & F � K�F � ' \ ���� 2 & � � ' # ��G 9:)H -(���� _ Z � ��� � � ����� �

ÈÊ���r��Ç }��¡��}U�GÓT¦A�Y�����r�'̯¼K¾rÎ����G�«¦�§¥����Ïw|~}��4��¦�� ��)��¡�M�����T�!�w�Y´T�!�7� §�§5��}��4��¦��«Èe�T���G�!��� ��� �����}������T�����r§&��� � ���

�r�����!�F���G�nÈÊ���r� � ��� � Ï�à�!� ¦�� ���YÇu¨����Y´T�*�GÓF¦��Y���¥�T�z̯¼��FÎ�ÏOÐz���«���r�«� Ç �¥��}���}��#�5��� ����£��K´Y�r������ÓF¦��Y���¥�T�

� & � '�6 - @>65 \ ] & / q K[F # � 2 ',02# � G 9: H _ � � �

Ç }��¡��}�Ç5����¨�§¥�¥�#���T�����M��¦�� � È����F�����r��� §¡�?�����T�!���Y´r�!�5��}��©´r�T§¥¦��7�G��J � ��$& �(' 6 � @ & �('�K - @

>65��� ;F � \ ] � # � 2 0/# ��G 9:)H`_ � � K

� ����������}����¯Ç5�n����§�� �����r��� # 0 & 2 # C ;A�E 6 # 2 0B# C ;A�E �r��� 9] # 0�� _ �36 9 � � 0�� _ Z�Ì �x�¡� ��}�����r����� §+��� �¨I�r���T���¥���7�KÇ~�Kª7ÈÊ���r� J Î���Ç&�.�T���

� & �(' 6 � @ & �(' 0 - @>65

��� ;F � \ �� 2 & � � ' # � G 9:IH 0�� � & � � ' _ Z � � �

� �A�+��³aª��r���r¦�¨��¥���M�T�~¦��«¦A� §+¨��r�¥���5� ÈO�«¦���Èe�r�!�����F��}��.Ñ��A� §à������¦�§¥� �!�r�7���~�T¦��#���T�«��§�ª

�$& �(' 6 � @ & �(' 0 - @>65 � ��� & F � K�F � ' \ ��%� 2 & � � ' # � G 9:IH 0�� ��� & � � ' _ Z � �)� K

û��/èàû ý

Page 30: The Inverse EEG and MEG Problems: The Adjoint State ...

� �)2Y� ���#��1&� ��¼+��ÍMÏ $ ¦�³I�!�����8ºxÏ �~� ��§¡� ¦��+� �=Ï �5§��r�����Y�������r¦��+�D� ���l­�Ï8µ&}��r��³I�r�����¥����Ï � �!���!���7�¥�����«���¡���G���r�!� ¨����G�«����´a�����7�����r¦�§¡� �����Õ�� �����r���¥�4���T�7¨�¦����G������� �T�¥���AÏ82������ + � �*)" 2 � �p1 �� � �A��-� � ,�̯¼K¾rÎ��<���!³���¦��r��ª\¼G½r½a¹aÏ

í¾���ÍMÏ $ ¦�³I�!���Ô�r��� �=Ï��O�����rÏ $ ´K�r���¡�Y���¥�T��� §8�M�!��}����4���\����� �r�©�����!�Y´r����ªTÏ�� 2���� � F ��-�� � ) �*/ �D� �IÌ ,TÎ^��¼�½ �C���¼G½F¹Y½���±Ô�����T³A���©¼�½r½a¹aÏ ����£aªa§�´Y� ���!�5�r�¥§�§����5�r�����8�¥���.Í.� �����!����Ï $ ³��Kªr�G�«�¡� ��� ¨�¨����F�r��}M����¥�F��������¦��!�¥����� ��� ���T�M�r�RÈʦ��������¥�T��� §�¨������r���=������}��°=°&Í#* º4°?Ͷ�¥�a´r�������#¨����r³�§¥����ÏI2������ + ��*)C�����#+���0)" �0)�� ���0� - 4 ��� �0/ � )^10� ) - -��$� )I1 ���r�IÌ ,TÎ^� �F¹K���a����,�� º4�KªZ¼G½r½F¹�Ï

����° Ï �5���r§��¥�����I� ��� �7Ï��?�r��Ï�£a�T�7� ¨����r¨I�!���������?� È���´��n� ������}����¥� � ¨�¨�§¥�¡�!� �����r����������r�¥���r§I�����r���r§A¨��������G�����¥����Ï�� � 1�)��0/� � �A��-� $� )^1 �à¼��J�í¾r¾F¹���¾'�r½��' #�Y´T�!��³I�!�.¼G½'�r½�Ï

,�� ��Ï"�&¦����T�!�.� ���bÍMÏàµ&}A�K´r�!�F�GÏ©�¯���!�F���¥ÑA���Y�����r�b���7¨�� ��� �7�!�������#���!¨A� �����¡�*���r���Ô§¥�G�.��ÓF¦�� �����r���Ô� ¦�¬l���!���¥´a�!�G� ¨A� ������¥��§¥§�����Ï�� � 2 � ��C �8¼��AÌR¾TÎ^��¼r¼�,��I¼K¾ ¸���¼�½F¹ ½�Ï

¸�� ��Ï ��­/Ï�µ&}�� ���T�!¦�¬+Ï - F ��*) �*/ �*)C% + @B-�,���*/5� 1�( � � � ) 4 Ï2­=���������!���T��£��!�¥������� �à��³���� ��ªr�I¼�½'�C,�Ï8²#�!�����É�����+�+¼G½r½F¹�Ï ¹�� � Ï+µ&�T}��!�8Ï*º4� �T�������a�!���!�!¨�}��r§¥�T�r��� ¨�}aª �=��´F�¡�����������rÈ=��� �r�������¡�.Ñ���§���� ¨�������¦��!���Z³aª4� §�¨�}�����}aªT��}�� ��¦��������F����Ï

� ����-�)���- �à¼�¸�¼'� ¹�� ����¹��r¸���¼G½r¸���Ï ����²©ÏAµ&�T¦���� �F�#� ��� � Ï �#��§¥³I�!����Ï� -�# @B� 4 � � ���*#�@�-�� �0#+�����0/" c@ (�$���$ Ï �r�r}���Ð ��§¥��ª�� £a�r�����+¼�½C, ��Ï ½��#�ÔÏ �Ïaµ&¦J�7��� ��� � Ï�µ&�T}��!�8Ïàµ&�T�7¨�� �������r�M� ÈD��}�� ��� �T�������a�!���!�!¨�}��r§¥�T�r��� ���r���7�!§����������F��������¨�}��r§¥�T�r��� �ZÏ�� / - ��%#&���-�) � - c@ � / � ) � - F � �� c@ (�$���*/ �I�a¹ �¥¼G�T¾!�D¼!�F¸���¼G½F¹Y½�Ï

�¼�&�� $ �����!��� º;Ï � �r§¥���r���\º4� ����������ÏI£a����������Ï=���7¨����Y´r�G��§����!�r§¥��Õ�� �����r��� ÈO���r�����¡�!�r§à�r������´F�¥�¯ª�³aª����r�³������¥�����!�!���r����7�!�4Ç �¥��};�7���&���T�«������� §=��¦���Èe�r���7�����!�r���«����¦������¥�T� � $ §��¥���G� ���r¨�¨����T�T��}àÏ"� � F �$)��0/ � � � � 1�)C� #&�#��- - F ��*�����-�)���- �,�ÌR¾rÎ+�¥¼G¸T¾��I¼K¹ ¸���¼G½r½T��Ï

�¼r¼+��ÍMÏ � ���7�r�7�!�F��Ï*����� �r�����G���r�A�¯����¦��������r�4� �A�4���G�¯���r���Y���¥�T� �~±*´T�!��´F���!Ç'� È?�!�r�7�7�r�\�G�¯���¥��� �����r�\�«����¦�����¦����G� �r���¨����r³�§¥���7��Ï82����#� + � �*)"�� ��#&���*)C �0) � ��� F $#+���� 5 � "-�- �+@5 � � 10) �*/ � ��A��-���� )^1 �I�F¹ � ¾'&T¾Y����¾'&r�r¸�� � �G������³I�!�©¼�½��r½�Ï

�¼G¾���²©Ï � �����¡��}��n� �A�x±Ï���� ¦��r�!���r��Ï��à�G��° � ­¶�!�;�����r�É���!�7�!�F�����G�©���7�r�r�G�.����´a�¡�«���r�;¨��r�©�r�����¥�A�Y����¦��GÏ�|8�G��}����¡�!�r§���!¨I�r�������> *² � $ � �Y´r����³I�!�©¼�½T½�,�Ï $ �7�T���©���T�7¨�§¥�!���©´T�!���«���r��� È/��}��¡�#² �G�«�G� ����}�² ��¨A�T�«� }��T�#� ¨�¨A�G� �������¥����}������������}�²#�!´a¦��!H�|����r�É���!�7�!�F�#��¦\£a���r���r§ H Ï �O�r§�¦��7��¼��� #��¸M�&£a¨I���!���r§O¼�½r½T¸�Ï

�¼���� �r���r� � �¥��¦����r�����rÏ%$ /'&���-�).#� 4)( � )��*/ (��- ��´T�r§�¦��7�.��Ï?Í.� ¦���}��¥���«� � ��§�§��r���+�D¼G½r¸r½�Ï�¼!����º;Ï�­/Ï � ��µ5� ���M�AÏ+* � 4 -��-�)C#&���*/8�,-��*��-�#&�$( � � � F � �*-� �0) 4 �.F �:������-� Ï=­O�����F���¡�����Y� �r§¥§ �+¼�½a¹Y¸�Ï�¼�,��±*§��¥´a���!� �A� ¦��T�!���r�2� ���7² ����� ¦A� �.������´r���àÏ��=�r���¡�Y���¥�T��� §�¨�����������¨�§������r�«¦��«Èe�T��� �!´T�r§�¦������r�8� ¨I��� � �!�T§¥��´r�!§A�«�!�=�M�!��}������

�r���n��}����«���!���!�M¨����r³�§��!�ZÏ 2,����� + ��*)C �*) 2 � �p1 - � �����-$�$� )I1 �D¹�Ìe�FÎ^� �r�r¸-�a�r�r���Fº4� ����}z¼G½r½���Ï�¼�¸���º;Ï ��¦���}����r���U�!�n� § Ï ­/�T�����¥³���§��É���¥�G�7� È Èʦ��������¥�T��� § ³���� ��� �¥��� �T�¥���z¦��������b�;�!�r��³��¥��� �����r� � È*�7���;�r��� �M����Ï

���lµ*ÏA­2�r�T���!´D���G���É���r�G� � ���� / /5�0#'�0�$( � �*-�)C#&% � -�/5�*#!- 4 �,��*� ) * (*) �*� ���$ �I¨�� �T���~�F��,!�a�C,F¹a�< #�!Ç.�=�T� �D�J #�Y´T�!�³A���¼G½r½ �AÏF­=§¥���F¦���Ï

�¼K¹�� �?Ï�Í.�r�����!���� �A�n���#�r§RÏ � � ����r¨I�!���Y�������M�¥���­?°=|�*Y°=°&Í#* º4² �5��¬�¨I�!���¥�7���T�GÏ+/ F � �0)�� � �*� ) �� .� )^1 ��¼'� � �-�D�¼G½r½�,�Ï/£a¦�¨�¨àÏ8¼TÏ�¼���� � Ï �ÔÏAÍÔ�����!§��YÇ �¥��ÕrÏ?±*��³����F��§¥�G�������¡�.¨A�r�����T�����r§��~���4� ��}��r�7�T�r�!���!�r¦A�&´T�r§�¦��7�©���r�A��¦������r�GÏ � ���$ c@ (�$���� � � F �$) �*/ �¹ �¥¼0�I¼r¼T�A¼G½r¸a¹aÏ�¼�½�� ��ÏKÍÔ�T�7���2� ���7±Ï���� ¦��r�!���r��ÏT²#�����T������§��¥���Ô���¡�¯��� ���!�?Èʦ��A�������r�A�/�r����§��!´T�!§���������Ï�|8�G��}����¡�!�r§F² ��¨A�T�«�O�r¸T¸r¸����> *² � $ �

$ ¨�����§O¼�½T½r½�Ïí¾�&���º;Ï �21 �31 §41 �����!�8�<��ÏJ� �T� ���¥�A�F�r����º;Ï �8�!}F�������!�8Ï����F�����«ÈÊ�����������G�&�r³A�T¦�� �«�T¦����!���&� È8���!¦����r��� �T���������#Ñ��!§¡���5¦����¥���

�~�Kªr�G�«�¡� ��¨�� ��� �7�����!�~���«�������Y���¥�T�àÏ=| ²u| � �Ô�Y��� $ ¸T¾'&��<�#�!§¡���¥�J�a� � ����´r�!�����É�¯ª��rÈ2|�����}����r§��r�rªT�D¼�½'�a¹aÏ

è8è ö�\ �^]+_�

Page 31: The Inverse EEG and MEG Problems: The Adjoint State ...

í¾�¼+��º;Ï���1r� 1r§'1r�¥���!�w� �A�w²©Ï8��§��7�r�����!�7� Ï\���F������¨��������¥���\�7���r��¦������b��� �T���������7ÑA�!§¡�����rÈ~��}���³����r�¥� �M°=�«�������Y������ È�!¦������!�F� ���¡�¯������³�¦����¥�T���!Ï=| ²�| � �Ô�Y��� $ ,', ½��C� �!§¡�«���J�a� �#���¥´T�!���«�¥�¯ªn� È2|8�G��}����T§¥�T�rªr�D¼G½'� �AÏ

í¾r¾���º4� �«���� �r��� §¡� �����!�à�;² ���É������� � ��� �b² �¡�«��� ��Ï������7�r�����!�7� � �r¦J�<�Y� �.�a¦�¦����¥§¡���;� ��� ±*§�§��B��Ï �à�T¦����T�«���r��Ϻ4�r�r���!���a�!�A���!¨�}�� §��r�T���r¨�}aªT� ��}��!�r��ªr����������¦��M���F���Y���¥�T�à�Y� ���©�r¨�¨�§������Y���¥�T���à��� ���T�����F´Y�T�«��´r�=�«��¦����¥�G�8�rÈ���}��5Ç&�T� �a�����}a¦���� ��³���� ���àÏ�� -2�A��- � � � � 4 -��$) � @ (�$���$ �D¸�,�Ì ¾rÎ+� �A¼����a�T½a¹a� $ ¨�����§=¼G½r½r��Ï

í¾ ���#��ÏA´T�r�Q�#��§¥�7}��T§É��ÕrÏ � ³A��� ���¥�����r�7ÍÔ��������Õ!�������*´T�!����}����¥§�¦������!§��1�F����������}���� �¯�����T�7���¥� ���r��¨I�!��§¥�¡��}��!�Z§��!�¥�������à�I�7�É��r�FÇ5�!�A��¦����7� ¦�ÈO�����Ô�����!��������}����!§��1�F����������}�����´r������¦���}��TÏ � ).) � @ (� �� @B-�� � �T½��+¼���, ��Ï

í¾Y���µ*Ï<� ����}àÏ � ���$ c@ (������ � � � �0� F #'�0#+���0)�� 2 ) ���*�$���*#&���*) � � �A��-� $� )^1 � ) � � )^10/ - - F � �*)" Ïl± ¬aÈÊ�r���R�#����´r�������É�¯ª­O��������� �!Ç �=�r� �D�J #�!Ç �=�r� �DÏ¥�+¼G½r½r½�Ïí¾',���­/ÏB� �T����¨����T³��«��Ï � �*)C#&�$��3 F #+���0)"�� / � �-��#!� F � �*#&���*) 4�( � ���21 -$ -�#� / ( �0)��*/ (��- 4 - & D�F -�)���-��� � .���� @B-$�.�0�$���*%

#&���*).)�-�/ /5-$ -�# � D�F �*#&���*)C � F ' * &��$�#�-&�-$ � �0�$#+��-�/ /5-� Ï=­=} � ��}����������J�#����´r�������¥���.���? #�¡�����¯£a�T¨�}��¡� $ �T���¥¨I�r§��¡�!�+¼G½r½'��Ïí¾ ¸���­/Ï�� �T����¨����T³��«����²�Ï � �!���¡��}��r�4� �A� ÍMÏ $ ¦�³I�!����Ï ����� �T�u�!�r¦�¨�§��������Z�����«���r���Y���¥�T�Ö� ���Ö�!��}��r�������7�!�F� ´a�¡�

­ � ° � �!Ï ��� 2 )C#!-��$) �*#&���*)��0/ � �0) ��-��-�) ��- �*) 2 ���21 - � ���� -��$� )I1 � ´r�T§¥¦��M�z�«���rÈ��«�«���~¨��r�r�G�n�C,'���a�T¸�¼T�~£�� �F��� ��~� ��³��r�����íµ5�r§¥�¥ÈÊ�r�����¡���F±Ô�����r³I�!�©¼G½r½a¹aÏ

í¾T¹���­/Ï"�*�r����¨����r³��«���F²©Ï � �����¡��}��r���r����ÍMÏ $ ¦�³A���«�GÏ� �r��§��������r�5�T¨A����� ���T���?�¥���¥��� �T�*�����«���T��� �����r�àÏ+��� � �����-�- 4 � )I10 �$�#�@�- 2 )C#!-��$) �*#&���*) �*/ � �*)G��-��-�)���- �*) � �*� F #!-���?� ����0) �*) 4 � �*#&#!-��$) � - ��� 10).� #+���0) �Y¨��r�r�G�8�T¾�,!���r��¼T��­O¦��!����� ��² �¡���A��r¦����7¼�½T½F¹�ÏF�¯°?°=° Ï

í¾�����­/Ï��*�r����¨����r³��«����²©Ï � �!������}��T���r���xÍMÏ $ ¦�³A���«�GÏ�°=��¨8�/����³���¦��É��� �T�M�!�����!}��r¦������!�7���T�©���z�����r�É���!�7�!�F����� ���7�r�r���$ ��� §�ª��«�.���#�!�r�F�����¥³�¦������r����Ï2��� ��� ��- � �0)I1��-$ ���I2,�.Ï $ �2µ5°=|.� �T� �a¦��r��ª4¼G½r½'��Ï

í¾ ½���­/ÏC�*�r����¨����r³��«����²©Ï � �����¡��}��r���r���4ÍMÏ $ ¦�³A���«�GÏO���7�r�r�©����ÓF¦��!�A���©�����«���r���Y���¥�T�Q� $ ¨D���©³��T�«�G���!�r¦�¨�§������7����}����ÈÊ�T���¥��� �T�4���G�¯���r���Y���¥�T� � �A� �7�r�����r� �«���r�7�!�F���Y�����r�8Ï ��� � ��A��-�- 4 � )^1* � � # @B-��*#�@ � F ��� "-��*) � �0) ��-��-�) ��- �0)� �*� F #!-����� $���*) ��´r�T§¥¦��7�.�«����¨�� �T���),Y�C��� ,r¸T¾��C�������¥³I�r¦�������ÍÔ������� �aªT� � ¦����M¼G½r½���Ï

�'&���²©Ïíº;Ï �8��� }aªT� ��Ï µ*Ï�ºZ�T��}�������º;Ï ° ÏA£a¨I�!�A���!�G��º;Ï ��Ï � ¦�� ������� �A� ��Ï � Ï �à��Ç �¥���rÏ $ �¯��¦���ªn�rÈ/����¨I�r§��Ô§����!�r§¥��Õ�� �����r��T�!��¦����T��ª©ÈÊ�T�=�7�!���r���7�!���©¦��«�������.}a¦����r�n�(�a¦�§�§�¨�}A� �F���T��Ï��8�T� $ §��r�M�F�=|�����}����¡�!�r§A² ��¨A�T�«� � $ �Y� ²~��½'� ��¼��r�a¾���8�T� $ §¡� �7�T�) *�Y���¥�T��� §���� ³I�r���Y���T��ªT�aº\� ����}z¼G½r½'��Ï/²#�!´a�������r��� È � $ �Y� ²~��½F¹K� �C�'&r��Ï

��¼+� ��Ï �?Ï �8�¥�T���!Ï � �*).#+���0/5-��� �#+� ���*/ 4 -$ $(�$# ��-$i1 � F �*-��$) &� B�0� 4 -� & D�F �0#+���0)" � F ' 4 &��$�#��&�-$ B�0�$#+��-�/ /5-� Ï � ¦������Í.�r¦���}����!��� � ��§¥§¡� ���!��­2� ���¡�!�D¼�½T¸'��Ï �T¾�� ��Ï �?Ï �à���r��� �r����°#ÏAº4� �T�!���G�!Ï � ��I3$/ ��-$ � F ' / � � � #!-$ )��0) @��0� � 1 ) -$ -�# �� ./ �����0#+���0)" Ï&­2� ���¡�!� � ¦������+�à¼G½r¸'��Ï�O�T§¥¦��7�G�.¼r��¾��A��Ï �r����ÍÔ��§����r�?º4�r�����à�Fµ&}����¡�¯���r¨�}�� ÍÔ¦��!���¥�8�F£aªa§�´K�r�¥���~� ��§�§¥�!�����8�¥��� Í.� �����!�����r�r����ÍÔ�!��� ���Mº4�!¦������!�GÏI���B��¦�������� �rÈD� �a¦�§¥§

�r������� �����T¨aª*ÈÊ�T�2��}��5ÈÊ�T��Ç~� �����r�������a´r�������&¨����T³�§¥����������°=°?Í��F�«����¦�§¡�Y���¥�T��«��¦����¥�G�O¦����¥���?�2°?º �r�M����� §��¡�¯�����&}����T��7�����!§¡��Ï / F � �0) �,��*� ) �� � �� )I1 �A¸ � ¾�,�&���¾ ¸T½���¼G½r½���Ï

� ��� ��Ïíµ*ÏDºZ�T��}������Dº;Ï °#ÏD£a¨I�!�A���!�G�D²©Ï ºxÏ��8��� }aªT�A� �A�4­�Ïí£DÏ��à��Ç ����Ï#°O�����T�#³I�r¦������ ÈÊ�r�*�!����� ���\�M��������¨A�T§¥��«�T¦����!�§����!� §���Õ��Y���¥�T�àÏ�� /5-���#&���-�) ��-! A@ � / � ) � - F ��� A@ (�$���*/ � �T¸J� �'&r�-�a�F¾�¼r��¼�½r½T��Ï

��,�� �r�r}���µ*Ï�ºZ�F�«}������a² �¡��}�� ���nº;Ï �à�G� }aªr�F� ���n­2�r¦�§D£+Ï �8�!Ç �¡�!Ï8º4� �����ɬ��T�!�����!§¡�2ÈÊ�r�&��}��#ÈÊ�r��Ç~� ���¨����T³�§¥��� �¥��°?°?Í�r����º\°?ÍMÏ?|�����}����¡�!�r§+² �!¨I�r��� � $ � �*²~��½a¹G���'��¼G¾�� �à�F� $ §¡� �7�T���+¼�½T½F¹aÏ

�r¸�� �r�r}��Zµ*Ï�º4�T��}��!�G�F­2�r¦�§à£DÏ �à�!Ç �¡���a�r���n² �¡��}��r����ºxÏ �8���r}FªTÏ�ºZ¦�§¥����¨�§��©���¥¨I�r§��Ô�M������§¥�����M� ����§¥���!�r§¥��Õ�� �����r�7ÈÊ���r���¨��Y���¥�r�R���!�7¨I�r��� §I�M���n���Y����Ï82��#��� + ��*)C�����#+���0)" �*) �,���*��- 4 �����*/ � )^10� ) -�-��$� )^1 ���T½�ÌR¸TÎ^� ,Y�A¼ �J,', ����¼G½r½T¾�Ï

�F¹���º;Ï"�/Ï �r��}��G�+Ï*±*¨A����� ���T�«� ��}����r�����.�r���4���T�M¨�¦���� �����r���r§�� ¨�¨����F�r��}��G�5�����¥§�§É��¨I�T�����Z¨����r³�§��!��� Ç �É��}l� ¨�¨�§¥�¡�!� �����r����7�r�F���!�������}����r��ªrÏ82����#� + ��*)C�� ��#&���*)C �*) � ).#'-�)C) �� � ��� "�21 �*#&���*) � $ ­2��¾r½J�í¾r¾'&���¾r��¼T��¼�½���¼TÏ

�'��� �r��Ï ±*�����¡�«�T�à�KÐ �¥§�§����r��жϥ� � �!ÒI���!ª � �K´a��� �à�!Ç �����T� � �T}�� $ Ïr£�� �����!���!� �r���ºZ�¡��}��r�!§ �5Ï�� � ������}��T�����TÏ��9F )���#&���*)��0/�,��*� ) 2 ���21�� )I1 Ï&ºZ�F�«³aªr�D¼G½r½�,�Ï

û��/èàû ý

Page 32: The Inverse EEG and MEG Problems: The Adjoint State ...

�r½���²©Ï � Ï ­/�T���!¦�� §¥�¯º4� ��ÓF¦��*�r�����!�Z�r§RÏ �à�YÇ �������r§�¦����¥�T���!§����������r��� �T���������\���r�7�T�r��� ¨�}aª � $ ����ÇË�7����}�����ÈÊ�T�§����!� §���Õ!�������§¥�G�������¡�!�r§à�r�����¥´a�¥�¯ªn� È���}��©³����r�¥�àÏ 2 )C#!-��$) �*#&���*) �*/ � � F �$) �*/��$� � $(�� @B�� A@ (�$���*/5� 1�( �O¼��J� �T½-�a¸C,���¼G½r½r��Ï

��&�� ��Ï Ð¶Ï+­O}��¥§�§¥��¨����಩Ïíº;Ï��à���r}aªr����Ï µ*Ï+ºZ�T��}��!�G�+� ��� �*Ï+|~�������r��� Ï*�����r�r����������¦���� §2�r�����¥´a�¥�¯ªZ¦��«�������7�!���r���\���!�AÏ2,����� � )^10� ) -�-��$� )^1 � ) - 4 ����� ) -��*) 4 � ���0/5� 10( �p1 ��D�� )�- �8¼�¸AÌe�FÎ^� � �-�a�F¾��F½a¹aÏ ��¼+��º;Ïà£���}��!����� �A� � Ï+´r�r�;µ&���r�M�T�àÏ�°O´T�'�r�G�\����¨A�T§¥�7���r¦������¨A�r���!�F�����r§��Ô� È?��}��7}a¦���� �b� ¦����¥���T��ª4�!�r������¬+Ï � / - ��%

#&���-�) � - c@B�*/5� 1���� A@ ��� � / � )C�����0/ - F ��$ c@ (�����0/5� 10( �D¸�,J� �r�r�-���r¸�&���¼G½'�r¸�Ï �F¾��#�ÔÏF£���}��r§�Õ*�r���nÍMÏa£���}FÇ ���!��ÕrÏà­=���T³�� ³���§��É�¯ªF��³��r�����7��¦������!�F�&����¨I�r§�� §��a��� §��¥ÕG�Y���¥�T�ÈÊ���r� ³����r���r�r���!���¡�~Ñ��!§¡����Ï&2����#�+ ��*)C�����#+���0)" �*)"� ���0� - 4 �����0/ � )^10� ) -�-��$� )^1 ���A¼'� ¹Y�C,!��¹Y�F¾�� $ ¦��r¦��«�©¼�½r½r��Ï �T��� �?Ï�£���}aÇ5�r�«��ÕrÏ + @ &A�0�$��- 4 -� 4 � $#+�$��3 F #&���*)" Ï � �!����� ���à�+¼G½�,F¹aÏ �r����£DÏ �=ÏI£a�r³I�r§��!´DÏ � � ./ ��� �0#+���0)" 4 - / ( �*) �*/ (��-����0)���#+���0)C)�-�/ /5-�� F '�& D�F �*#&���*)" 4 - /5� A@ (�$� D�F - � �0# @ &����*#&� D�F - Ï �8�!��������r���r�à�I¼G½�,'&�Ï �C,�� $ Ï �Ï/|~� �a}��r���Y´;� �A� ��Ï �Ï $ �����!�����àÏ � �*/ F #&���*)C=� � 2 / / % "���- 4 � ��I3$/5-�� ÏbÐ �����¯���r�U�r���U£a�T�����OÐb�T�«}������r���r�8�

� Ïíµ*Ï��à¼G½F¹r¹�Ï �T¸�� $ �«��}F¦��#|8�T�T���a�G���É���r�GÏ � ��0� )�� �*�' �� )I1 Ï $ �!�r���!�7���.­O���������+¼�½r½���Ï �a¹���|.Ï+|�¦��r�7�¡�¯�����8²©Ï �*� ���R�à|.Ï9�©� ����§����à|.Ïà­/�r¦���� �����à�8� �A�l|.Ï �=� ��¨�¦�§¡��Ï7£F��¦A���¥�G�.� È~� ¦����¥���T��ªZ��´r�'�T���l�7�r�r���!���¡�

�r������§¥�G�������¡�Ô���G�«¨I�r���������=ºZ����� §��¥�¯ª��«¨I���!�ÉÑI���¥�¯ª�� �����7�����!§�§��¥���AÏ F �Q�*� � � ��-�).#'� � � ÌR¾rÎ+� ��¹a¼0�F���T���I¼�½��r��Ï ����� ��Ï °#Ï��I���7�7�!���7�r�à� ­/ÏY|~}��¥�����r� �r��� ��Ï |.Ï�� �r�����¥���AÏ � �����¥�T��� �A���r¨I�!���Y���¥�T�©� È��«���r³�§¥�&�«È ��³��¡�r��������¦�¨I�!�����T����¦����������

ÓF¦��r�T��¦�� �¥�F���!��ÈÊ�!���!���!�����´F�¡���G�*�r���l����� ����T�4��}��¨����r¨I�!���������*� È=¨I�!��ÈÊ������§�ª\��§����r�\�7�����r§O���r�F���r�����!Ï � � � �/ � @ (� ����¼��¥¼�,T¹r¾!�I¼�,���&���¼�½a¹�&�Ï

è8è ö�\ �^]+_�

Page 33: The Inverse EEG and MEG Problems: The Adjoint State ...

Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis2004, route des Lucioles - B.P. 93 - 06902 Sophia Antipolis Cedex (France)

Unité de recherche INRIA Lorraine : Technopôle de Nancy-Brabois - Campus scientifique615, rue du Jardin Botanique - B.P. 101 - 54602 Villers lès Nancy Cedex (France)

Unité de recherche INRIA Rennes : IRISA, Campus universitaire de Beaulieu - 35042 Rennes Cedex (France)Unité de recherche INRIA Rhône-Alpes : 655, avenue de l’Europe - 38330 Montbonnot St Martin (France)

Unité de recherche INRIA Rocquencourt : Domaine de Voluceau - Rocquencourt - B.P. 105 - 78153 Le Chesnay Cedex (France)

ÉditeurINRIA - Domaine de Voluceau - Rocquencourt, B.P. 105 - 78153 Le Chesnay Cedex (France)��������� ���� ���������� ��� ���

ISSN 0249-6399