8/14/2019 The Actual Mass of Potential Energy, A Correction to the Classical Relativity

1/8

P r o c e e d i n g s o f t h eNATIONAL ACADEMY OF SCIENCES

V o l u m e 5 3 * N w n b e r 3 - M a r c h 1 5 , 1 9 6 5

THE ACTUAL MASS OF POTENTIAL ENERGY, A COR RE CTION TOCLASSICAL RELATIVITY*BY L . B R I L L O U I NCOLUMBIA UNIVERSITY

C o m m u n i c a t e d D e c e m b e r 3 1 , 1 9 6 41 . R e l a t i v i t y a n d P o t e n t i a l E n e r g y . - E i n s t e i n s r e l a t i o n b e t w e e n m a s s a n de n e r g y i s u n i v e r s a l l y k n o w n . E v e r y s c i e n t i s t w r i t e s

E = M c 2 ( 1 )b u t a l m o s t e v e r y b o d y f o r g e t s t o u s e t h i s r e l a t i o n f o r p o t e n t i a l e n e r g y . T h ef o u n d e r s o f R e l a t i v i t y s e e m e d t o i g n o r e t h e q u e s t i o n , a l t ho u g h t h e y s p e c i f i e d t h a tr e l a t i o n ( 1 ) m u s t a p p l y t o a l l k i n d s o f e n e r g y , m e c h a n i c a l , c h e m i c a l , e t c . Wheni t c o m e s t o m e c h a n i c a l p r o b l e m s , t h e f o r m u l a s u s u a l l y w r i t t e n c o n t a i n t h e m a s so f k i n e t i c e n e r g y , b u t t h e y k e e p s i l e n t a b o u t t h e m a s s o f p o t e n t i a l e n e r g y . W em u s t i n v e s t i g a t e t h i s s i t u a t i o n c a r e f u l l y a n d t r y t o u n d e r s t a n d w h a t s o r t o f d i f f i -c u l t i e s a r e r a i s e d b y s u c h a r e v i s i o n .

L e t u s c o n s i d e r a p h y s i c a l b o d y , w h i c h we a s s u m e t o b e a c l o s e d s t r u c t u r e , w i t ha n i s o l a t i n g b o u n d a r y l e t t i n g n o e n e r g y t r e s p a s s . I t c o n t a i n s a c e r t a i n e n e r g yE o , t h a t we may m e a s u r e i n a f r a m e o f r e f e r e n c e w h e r e t h e b o d y s t a y s a t r e s t .T h e i n t e r n a l e n e r g y may b e c h e m i c a l , m e c h a n i c a l , k i n e t i c , o r p o t e n t i a l ; i t w i l lc h a n g e a l l t h e t i m e f r o m o n e t y p e t o a n o t h e r t y p e ; we s t a t e t h a t t h i s e n e r g y E oy i e l d s a r e s t - m a s s Mo a c c o r d i n g t o e q u a t i o n 1 ) .When t h e p h y s i c a l b o d y i s i n m o t i o n w i t h a c o n s t a n t v e l o c i t y v , we o b t a i n anew m a s s M, w i t h a n e n e r g y E , a n d a momentum p :

E o =Moc2 E = M c 2 p = MvM - M O ( 2 )

c 2T h e c h a n g e f r o m Mo t o M a c c o u n t s f o r t h e m a s s o f k i n e t i c e n e r g y .T h e p h y s i c a l b o d y may b e m o v i n g i n a s t a t i c f i e l d o f f o r c e s a n d o b t a i n , a t ac e r t a i n i n s t a n t o f t i m e , a n e x t e r n a l p o t e n t i a l e n e r g y U . E v e r y b o d y a s s u m e st h e t o t a l e n e r g y t o b e r e p r e s e n t e d b y t h e f o r m u l a

E t o t = M c 2 + U , 3 )w h e r e U r e m a i n s u n c h a n g e d , d e s p i t e t h e m o t i o n o f t h e b o d y a t v e l o c i t y v ; t h i sf a c t r e v e a l s t h a t o n e c o m p l e t e l y i g n o r e s a n y p o s s i b i l i t y o f m a s s c o n n e c t e d w i t h t h e

4 7 5

8/14/2019 The Actual Mass of Potential Energy, A Correction to the Classical Relativity

2/8

4 7 6 PHYSICS: L . BRILLOUIN P R O C . N . A . S .e x t e r n a l p o t e n t i a l e n e r g y . I f t h i s e x t e r n a l p o t e n t i a l e n e r g y h a d a n y m a s s , t h i sm a s s w o u l d s o m e h o w b e s e t i n m o t i o n b y t h e d i s p l a c e m e n t o f t h e p h y s i c a l b o d y ,a n d t h i s m o v i n g m a s s w o u l d o b t a i n s o m e k i n e t i c e n e r g y . No p r o v i s i o n f o r a n ys u c h e f f e c t c a n b e s e e n i n e q u a t i o n 3 ) .W e a r e t h u s i n a s t r a n g e s i t u a t i o n ) w h e r e t h e i n t e r n a l p o t e n t i a l e n e r g y o bt ai nsa m a s s , w h i l e t h e e x t e r n a l p o t e n t i a l e n e r g y d o e s n o t T h e c o n t r a d i s t i n c t i o n i ss t r i k i n g a n d s h o c k i n g T h e d i s c u s s i o n o f f e r e d i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s w i l l g i v ei t s f u l l w e i g h t t o t h e p r e c e d i n g r e m a r k s .2 . T h e M e a n i n g o f P o t e n t i a l E n e r g y i n R e l a t i v i s t i c T h e o r i e s . - T h e d e f i n i t i o n o fp o t e n t i a l e n e r g y p l a y s a p r o m i n e n t r o l e i n c l a s s i c a l m e c h a n i c s , b u t w h e n we t u r nt o R e l a t i v i t y , t h i s q u a n t i t y i s h i g h o n t h e l i s t o f n e e d e d r e a p p r a i s a l s . T h e o r i g i n a lc l a s s i c a l d e f i n i t i o n c a n n o t b e m a i n t a i n e d , s i n c e i t i s b a s e d o n a b s o l u t e t i m e a n d i n f i n i t e v e l o c i t y o f p r o p a g a t i o n f o r s i g n a l s . Many o t h e r d e f i n i t i o n s a r e i nt r o u b l e f o r s i m i l a r r e a s o n s : t h e t h i r d p r i n c i p l e o f Newton ( e q u a l a c t i o n a n d r e a c t i o na t a n y d i s t a n c e ) a n d t h e n o t i o n o f c e n t e r o f m a s s e s , e t c .Ho w c o u l d we s p e a k o f e q u a l a c t i o n a n d r e a c t i o n b e t w e e n t h e s u n a n d t h e e a r t h ,f o r i n s t a n c e , w h e n i t t a k e s a b o u t 8 m i n f o r a s i g n a l t o p r o p a g a t e f r o m o n e t o t h eo t h e r ? I n 8 m i n , t h e e a r t h t r a v e l s q u i t e a d i s t a n c e , a n d t h e a t t r a c t i o n o f t h es u n i s m o d i f i e d . I f a n e x p l o s i o n o c c u r s o n t h e s u n , i t s a c t i o n w i l l b e f e l t o n t h ee a r t h 8 m i n l a t e r , a n d t h e r e a c t i o n o n t h e s u n w i l l come b a c k 1 6 m i n l a t e r T h ep r o b l e m o f t h e r e l i a b i l i t y o f p o t e n t i a l e n e r g y d e f i n i t i o n s i s a c t u a l l y a v e r y a c u t e o n e .T h e r e a r e o t h e r d i f f i c u l t i e s r a i s e d b y R e l a t i v i t y i n t h e d e f i n i t i o n o f momento f momentum, o r o f moment o f i n e r t i a , a n d m o r e g e n e r a l l y i n t h e d i s c u s s i o n o fa l l p r o b l e m s i n v o l v i n g r o t a t i o n s , t h a t s h o u l d b e c a r e f u l l y r e - e x a m i n e d ; i t i s n o tc e r t a i n t h a t t h e n e c e s s a r y r e v i s i o n s h a v e b e e n a c t u a l l y p e r f o r m e d c o r r e c t l y ; t h i s ,h o w e v e r , i s a n o t h e r s t o r y .

L e t u s c o n c e n t r a t e o n p r o b l e m s o f p o t e n t i a l e n e r g y . T h e r e m u s t b e a way o u to f t h e t r o u b l e , b e c a u s e we know t h a t R e l a t i v i t y j o i n s s m o o t h l y w i t h c l a s s i c a l m e -c h a n i c s w h e n t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s a r e f u l f i l l e d :( a ) A l l v e l o c i t i e s v m u s t b e v e r y s m a l l c o m p a r e d t o t h e v e l o c i t y c o f l i g h t :v < < c . ( 4 )

( T h i s c o n d i t i o n i n v o l v e s u s i n g s m a l l p o t e n t i a l e n e r g i e s . ) b ) D i s t a n c e s r m u s t r e m a i n s m a l l , s o t h a t d e l a y s i n t h e p r o p a g a t i o n o f s i g n a l smay p r a c t i c a l l y b e c o n s i d e r e d a s n e g l i g i b l e :

r- < < ( 5 )cw h e r e r i s a c h a r a c t e r i s t i c t i m e i n t e r v a l f o r t h e m o t i o n u n d e r c o n s i d e r a t i o n , e . g . ,i t s p e r i o d . I n t h e p r o b l e m o f s u n a n d e a r t h i n t e r a c t i o n , t h e f i r s t c o n d i t i o n ( a )i s n e a r l y f u l f i l l e d ( e x c e p t i n M i ch e l s o n s e x p e ri m e n t s ) , b u t t h e s e c o n d c o n d i t i o n b ) i s n o t .What m u s t now b e d o n e i s t o i n v e s t i g a t e c a r e f u l l y a t y p e o f d e f i n i t i o n t h a t c a nb e u s e d f o r a r e l a t i v i s t i c q u a n t i t y w h i c h c o u l d r e p l a c e p o t e n t i a l e n e r g y , a n d r e d u c et o p o t e n t i a l e n e r g y i n c l a s s i c a l m e c h a n i c s . W e s h a l l t h e n b e i n a p o s i t i o n t oe x a m i n e t h e s p a c e d i s t r i b u t i o n o f t h e new q u a n t i t y a n d o f t h e c o r r e s p o n d i n g m a s s .

8/14/2019 The Actual Mass of Potential Energy, A Correction to the Classical Relativity

3/8

V O L . 5 3 , 1 9 6 5 PHYSICS: L . BRJLLOUIN 4 7 7B e f o r e we d i s c u s s t h i s p r o b l e m we m u s t c o n s i d e r a n o t h e r d i f f i c u l t y , r e s u l t i n g

f r o m t r a d i t i o n a l m e t h o d s o f c l a s s i c a l m e c h a n i c s . Many o f t h e s e m e t h o d s c a n n o tb e e x t e n d e d t o R e l a t i v i t y , a n d f i n a l l y a l s o h a d t o b e a b a n d o n e d i n Quantumt h e o r i e s . C l a s s i c a l m e c h a n i c s , w i t h i t s a b s o l u t e t i m e , c a n s t a t e a n d d i s c u s s p r o b l e m sw i t h a n y n u m b e r o f p a r t i c l e s ( s a y : 3 1 , , M 2 , . . M e ) l o c a t e d , a t a c e r t a i n i n s t a n tt o f a b s o l u t e t i m e , a t r i , r 2 , . . . r n . T h e p o t e n t i a l e n e r g y i s s u p p o s e d t o b e a n yf u n c t i o n U ( r i , r 2 , r n ) , a n d t h e p r o b l e m i s d i s c u s s e d i n a m a t h e m a t i c a l s p a c ew i t h 3 n d i m e n s i o n s . A l o s t t h e o r e m s o f c l a s s i c a l m e c h a n i c s a r e s t a t e d i n t h i sv e r y g e n e r a l w a y .S u c h a m e t h o d i s n o t a p p l i c a b l e t o r e l a t i v i s t i c p r o b l e m s , w h e r e e a c h p a r t i c l e( c o o r d . x n y , , z n ) o b t a i n s i t s i n d i v i d u a l t i m e t . i n a g i v e n f r a m e o f r e f e r e n c e ; R e l a -t i v i t y i s c h a r a c t e r i z e d b y t h e u s e o f a f o u r - d i m e n s i o n a l s p a c e - t i m e .T h e c h a n g e i n d e f i n i t i o n s i s v e r y s e r i o u s a n d i t s c o n s e q u e n c e s a r e m a n y . F o ri n s t a n c e , l e t u s c o n s i d e r a s y s t e m o f t w o p a r t i c l e s i n t e r a c t i n g t o g e t h e r : s h a l l wes t a t e t h a t p o t e n t i a l e n e r g y i s l o c a t e d o n t h e f i r s t p a r t i c l e ? S h o u l d i t b e a t t r i b u t e dt o t h e s e c o n d o n e ? O r s p l i t b e t w e e n t h e m ? I f e n e r g y m e a n s m a s s , w h e r e s h a l lwe l o c a t e t h e m a s s ? T h i s i s a f u n d a m e n t a l q u e s t i o n w h i c h we h a v e t o d i s c u s s .T h e q u e s t i o n h a s v e r y o f t e n b e e n i g n o r e d , o r e v a d e d , b e c a u s e i t d o e s n o t a l w a y sa p p e a r c l e a r l y i n a l l p r o b l e m s . O n e o f t h e t w o b o d i e s i n t e r a c t i n g may b e v e r ymuch h e a v i e r t h a n t he o t h e r o n e , h e n c e a l m o s t m o t i o n l e s s , e . g . , t h e e ar t h a t t r a c t -i n g N e w t o n s a p p l e N e w t o n c a r e f u l l y s t a t e d h i s t h i r d p r i n c i p l e : t h e a p p l e , t o o ,i s a t t r a c t i n g t h e e a r t h B u t many t h e o r e t i c i a n s f o r g o t a b o u t i t : t he e ar t h d o e sn o t move ( s o t h e y s a i d ) , i t c r e a t e s a s t e a d y f i e l d o f f o r c e s , a n d t h e a p p l e i s m o v i n gi n t h i s g i v e n f i e l d . A s a r e s u l t , t h e s e t h e o r i e s w o u l d a s s u m e n o m a s s c o r r e -s p o n d i n g t o p o t e n t i a l e n e r g y , a n d w r i t e t h e t o t a l e n e r g y a s i n e q u a t i o n 2 ) . T h ef l a w i s , h o w e v e r , o b v i o u s , a n d t h i s i s why t h e p r e s e n t d i s c u s s i o n i s n e e d e d .3 . T h e I m p o r t a n c e o f F i e l d s i n E i n s t e i n ' s T h e o r i e s . - A l l t h e s e q u e s t i o n s h a n gc l o s e l y t o g e t h e r ; t h e y a r e t i g h t l y i n t e r r e l a t e d a n d h a v e b e e n i n t h e b a c k o f t h em i n d o f a g r e a t t h i n k e r l i k e E i n s t e i n . He e x p l a i n e d c l e a r l y t h a t a c t i o n a t ad i s t a n c e b e i n g f o r b i d d e n , o n e s ho u l d r e l y e n t i r e l y o n a c t i o n s t r a n s m i t t e d s t e p b ys t e p b y f i e l d s p r o p a g a t i n g t h r o u g h s p a c e . T h e i m p o r t a n c e o f f i e l d t h e o r y w a sd e f i n i t e l y b r o u g h t i n t o t h e f o r e g r o u n d . T h e i d e a s l a u n c h e d b y F a r a d a y a n dM a x w e l l w e r e c o m p l e t e d b y r e l a t i v i s t i c d i s c u s s i o n s . F i e l d s w e r e a s s u m e d t oh a v e a r e a l p h y s i c a l e x i s t e n c e , e v e n w h e n t h e y d o n o t a c t o n a n y m o v i n g p a r t i c l ea n d g o o n u n n o t i c e d . S u c h a n a s s u m p t i o n l o o k s p r e t t y much l i k e m e t a p h y s i c s ,b u t i t p l a y s a d o m i n a n t r o l e i n r e l a t i v i s t i c p r o b l e m s .T h e r e i s n o m o r e a n y q u e s t i o n o f a c t i o n a n d r e a c t i o n a t f i n i t e d i s t a n c e s , b u tt h e l a w o f e q u a l a c t i o n a n d r e a c t i o n a p p l i e s l o c a l l y , a t a n y g i v e n p o i n t x y z t i ns p a c e - t i m e .T h e f i e l d a s s u m e s a v e r y c o m p l i c a t e d r o l e : i t c a r r i e s e n e r g y , momentum, M a x w e l l st e n s i o n s , e t c . , a n d we w a n t t o e m p h a s i z e t h e f a c t t h a t t h e f i e l d i t s e l f c a r r i e s a m a s s .

T h i s i s t h e s i t u a t i o n w h i c h we i n t e n d t o d i s c u s s v e r y c a r e f u l l y , s i n c e i t s f u l ls i g n i f i c a n c e h a s b e e n p a r t l y o v e r l o o k e d b y many t h e o r e t i c i a n s o f R e l a t i v i t y .L e t u s s t a r t w i t h a s i m p l e p r o b l e m , o n w h i c h t h e r e i s g e n e r a l a g r e e m e n t . W ec o n s i d e r a s p h e r e o f r a d i u s a , w i t h a m a s s MO a n d a n e l e c t r i c c h a r g e Q , t h a t i sd i s t r i b u t e d o n t h e s p h e r e ' s s u r f a c e . I n a f r a m e o f r e f e r e n c e a t r e s t , t h i s c h a r g e Q

g e n e r a t e s a n e l e c t r i c f i e l d F a t a d i s t a n c e r

8/14/2019 The Actual Mass of Potential Energy, A Correction to the Classical Relativity

4/8

4 7 8 PHYSICS: L . BRILLOUIN P R O C . N . A . S .

F = Q r o ( 6 )w h e r e r 0 d e n o t e s a u n i t v e c t o r i n t h e r d i r e c t i o n . T h i s e l e c t r i c f i e l d o b t a i n s a ne n e r g y d e n s i t y ( E S C G S u n i t s )

E e l 1 I F 1 2 = Q 7 )8 7 r 8 i r r 4A c c o r d i n g t o t h e f u n d a m e n t a l r u l e 1 ) , t h i s c o r r e s p o n d s t o a m a s s - d e n s i t y

P m = g 1 J F 2 r 8 )8 i r c 2 8 i r C 2 r 4T h e e n e r g y - d e n s i t y ( 7 ) a n d m a s s - d e n s i t y 8 ) c a n b e i n t e g r a t e d o v e r t h e w h o l es p a c e , a r o u n d t h e s p h e r e a , a n d y i e l d

E e l 2 a M e l = 2 a X 9 )w h e r e E e l i s t h e t o t a l e l e c t r i c e n e r g y i n t h e f i e l d , a n d M e , r e p r e s e n t s t h e t o t a l m a s si n t h e f i e l d a r o u n d t h e s p h e r e . T h e s p h e r e may h a v e a n o t h e r m a s s M o o f i n t e r n a lo r i g i n a n d i t s g l o b a l m a s s a m o u n t s t o

M g = MO + M e l d ( 1 0 )When we w r i t e s u c h a f o r m u l a , we t a k e i n t o a c c o u n t t h e f a c t t h a t e q u a t i o n 8 )i n d i c a t e s a v e r y h i g h c o n c e n t r a t i o n o f m a s s i n t h e i m m e d i a t e n e i g h b o r h o o d o f t h es p h e r e , a n d w e a s s u m e t h a t t h i s m a s s may ( a s a f i r s ta p p r o x i m a t i o n ) b e t a k e n a s l o c a t e d u p o n t h e s p h e r e4 > i t s e l f ./ \ r 4 . T w o I n t e r a c t i n g S p h e r e s . - L e t us g o on w i t h, ' \ \ e l e c t r i c p r o b l e m s t h a t a r e b e t t e r k n o w n t h a n manyM o g o \ M 0 o t h e r s i m i l a r o n e s a n d c a n b e u s e d a s t y p i c a l e x -Q r O Q a m p l e s . We now s e l e c t a t w o - b o d y p r o b l e m , w i t hF I G . 1 . t w o s p h e r e s o f r a d i u s a , r e s t m a s s e s M O a n d M ' o ,c h a r g e s Q a n d Q ' , s u p p o s e d a t r e s t i n a c e r t a i n f r a m e

o f r e f e r e n c e ; we c a l l r o t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e m . L e t u s c a l l P a p o i n t i ns p a c e ( F i g . 1 ) w h e r e we o b s e r v e t h e r e s u l t i n g e l e c t r i c f i e l dF = Q 2 r c + Q , 2r*. 11r r

T h e e l e c t r i c e n e r g y d e n s i t y i s now g i v e n b y a f o r m u l a1 1 F Q 2 Q 1 2 Q Q 'E e l = 1 F 1 2 = [-+ - + 2 - > _ C o s j 1 2 )7 r 8 8 r L r 4 r 4 r 2 r 2 cs@ 2

w h e r e 0 r e p r e s e n t s t h e a n g l e b e t w e e n t h e v e c t o r s r a n d r .T h e m a s s d e n s i t y b e c o m e sE e l 1 Q 2QL 2 Q Q 1Pin4+ 2 o ( 1 3 )c 2 8 7 r c i r 4 r r 2 rJ2

8/14/2019 The Actual Mass of Potential Energy, A Correction to the Classical Relativity

5/8

V O L . 5 3 , 1 9 6 5 PHYSICS: L . BRJLLOUIN 4 7 9I n t h i s r e m a r k a b l e f o r m u l a , t h e f i r s t t e r m o b v i o u s l y r e p r e s e n t s t h e c o n t r i b u t i o nt o t h e m a s s Mo o f t h e f i r s t p a r t i c l e , w h i l e t h e s e c o n d t e r m c o n t r i b u t e s t o t h e M ' om a s s o f t h e s e c o n d p a r t i c l e , b u t w h a t i s t h e m e a n i n g o f t h e t h i r d t e r m , w i t h t h e Q Qc r o s s p r o d u c t ?I n o r d e r t o c l a r i f y t h i s p o i n t , l e t u s f i r s t c o n s i d e r t h e i n t e g r a l o f t h e c r o s s p r o d u c ti n f o r m u l a ( 1 2 ) f o r e l e c t r i c e n e r g y . W e c a l l E i n t t h e t h i r d t e r m , t h a t r e p r e s e n t si n t e r a c t i o n b e t w e e n Q a n d QE i n t f i n t d r = - f ( F . F ) d r = -O114 W ~ V W

1 v F x + V Fy+ z F z ) w ( 1 4 )w h e r e x y z a r e t h e c o o r d i n a t e s o f p o i n t P , w h i l e d r i s a v o l u m e e l e m e n t i n s p a c ea n d ( F - F ) i s t h e s c a l a r p r o d u c t .W e i n t r o d u c e d t h e s t a t i c p o t e n t i a l V f o r c h a r g e Q ' , n o r m a l i z e d b y t h e u s u a lc o n d i t i o n V = 0 a t i n f i n i t y :

I Q 1V = - r ( 1 5 )I n t e g r a t i n g b y p a r t s , w e f i n d

E i n t = - I V F 2 + F y + F , I i + + Vv ' ( V F ) d T .T h e i n t e g r a t e d t e r m i s z e r o a n d i n t h e i n t e g r a l we n o t e

( V F ) = 4 7 r P e l , ( 1 6 )w h e r e P e l i s t h e e l e c t r i c d e n s i t y f o r c h a r g e Q . T h e r e s u l t i s

E i n t = V Q = ( 1 7 )r ot h e n c e t h e f o l l o w i n g t h e o r e m :T h e i n t e g r a t e d i n t e r a c t i o n e n e r g y , t a k e n o v e r a l l s p a c e , y i e l d s t h e q u a n t i t y u s u a l l yc a l l e d p o t e n t i a l e n e r g y f o r t w o c h a r g e s Q a n d Q ' , a t r e s t i n a c e r t a i n f r a m e o f r e f e r e n c e .

T h i s m e a n s a l s o t h a t t h e t o t a l m a s s d u e t o t h e c r o s s p r o d u c t e n e r g y t e r m s Q Qr e p r e s e n t s t h e m a s s o f p o t e n t i a l e n e r g y a n d i s a c t u a l l y d i s t r i b u t e d i n t h e w h o l es p a c e .M p o t - Q r Q ( 1 8 )r o c 2

F o r t w o c h a r g e s Q Q a t r e s t i n a c e r t a i n f r a m e o f r e f e r e n c e , we h a v e b e e n a b l e t or e p l a c e t h e m a t h e m a t i c a l a b s t r a c t i o n o f p o t e n t i a l e n e r g y b y a p h y s i c a l m o d e l ,w h e r e t h e e n e r g y i s d i s t r i b u t e d i n s p a c e a c c o r d i n g t o t h e f i e l d .I f we now w a n t t o d i s c u s s a p r o b l e m o f m o v i n g c h a r g e s , we s i m p l y h a v e t o f o l l o wa s i m i l a r p r o c e d u r e , a n d t o c o m p u t e t h e e n e r g y d e n s i t y i n t h e f i e l d o f b o t h i n t e r a c t -i n g p a r t i c l e s . T e r m s i n Q Q w i l l y i e l d d i r e c t l y t h e i n t e r a c t i o n e n e r g y , f o r a n yd i s t a n c e a n d a n y v e l o c i t y . T h e e n e r g y d i s t r i b u t e d i n s p a c e , a c c o r d i n g t o t h ef i e l d , c o r r e s p o n d s t o m a s s .

8/14/2019 The Actual Mass of Potential Energy, A Correction to the Classical Relativity

6/8

4 8 0 PHYSICS: L . BRILLOUIN P R O C . N . A . S .L e t u s , f o r i n s t a n c e , c o n s i d e r a p r o b l e m w i t h o n e c h a r g e Q a t r e s t i n a c e r t a i n

f r a m e o f r e f e r e n c e , a n d t h e o t h e r m a s s m o v i n g w i t h a v e l o c i t y v . T h e f i e l d o f Qi s t h e s t a t i c f i e l d F o f e q u a t i o n ( 6 ) , b u t t h e f i e l d F o f t h e m o v i n g c h a r g e Q i sr e p r e s e n t e d b y t h e w e l l - k n o w n r e l a t i v i s t i c f o r m u l a s [ s e e , e . g . , S o m m e r f e l d , A . ,E l e c t r o d y n a m i c s ( N e w Y o r k : A c a d e m i c P r e s s , 1 9 5 2 ) , p . 2 4 0 , e q u a t i o n ( 1 4 ) ] .T e r m s i n Q Q i n t he e n e r g y d e n s i t y may t h e n b e c o m p u t e d ( i n t h i s s p e c i a l f r a m eo f r e f e r e n c e ) t o g e t h e r w i t h t h e c o r r e s p o n d i n g m a s s d i s t r i b u t i o n . F o r h i g h v e l o c i t yv a n d l a r g e d i s t a n c e , s o m e i n t e r e s t i n g r e s u l t s m i g h t b e e x p e c t e d .5 . W h e r e C o u l d t h e Mass o f P o t e n t i a l E n e r g y B e L o c a l i z e d ? L e t u s c o n s i d e ra p r o b l e m w h e r e c o n d i t i o n s ( 4 ) a n d ( 5 ) a r e f u l f i l l e d , a n d w h e n we c a n s p e a k o fp o t e n t i a l e n e r g y .T h e m a s s o f p o t e n t i a l e n e r g y i s a c t u a l l y d i s t r i b u t e d i n t h e w h o l e s p a c e , b e t w e e na n d a r o u n d t h e c h a r g e s Q a n d Q ' . I f , h o w e v e r , we l o o k m o r e c l o s e l y i n t o t h ef o r m u l a ( 1 3 ) , we n o t i c e t ha t t h e c r o s s t e r m ( i n t e r a c t i o n )

P m i n t = 4 Q c 2 r C o s ( 1 9 )4 T C r c r 2i s b e c o m i n g v e r y l a r g e o n t h e c h a r g e d s p h e r e s , w h e n e i t h e r X = a o r r = a . T h i si n d i c a t e s a c o n c e n t r a t i o n o f m a s s r i g h t o n t h e t w o c h a r g e s w i t h much s m a l l e rd e n s i t y a t a d i s t a n c e . T h e c o n c e n t r a t i o n , h o w e v e r , i s n o t s o s t r o n g a s i n e q u a t i o n( 8 ) : i t g o e s a s r - 2 i ns t e ad o f r - 4 . N e v e r t h e l e s s , we may i n t r o d u c e a f i r s t a p -p r o x i m a t i o n s i m i l a r t o t h e o n e u s e d i n s e c t i o n 3 a n d s t a t e :As a f i r s t a p p r o x i m a t i o n t h e m a s s o f p o t e n t i a l e n e r g y c a n b e c o n s i d e r e d a s l o c a l i z e di n t h e i n t e r a c t i n g c h a r g e s Q Q a n d s p l i t 5 0 / 5 0 b e t w e e n t h e m . W e r e w r i t e e q u a t i o n( 1 0 ) f o r t h e g l o b a l m a s s e s i n t h e f o l l o w i n g w a y :

mg OMO+ m e l +2rc22rOC2 ~ ~ ~ ~ ~ 2 0l M ' g = M o + M ' e I + 2 r o C 2

The d i s t r i b u t i o n o f e q u a t i o n ( 1 9 ) i s c o m p l e t e l y s y m m e t r i c a l i n r a n d r a n d t h i sj u s t i f i e s t h e 5 0 / 5 0 s p l i t .Some d e t a i l s , h o w e v e r , a r e w o r t h d i s c u s s i n g ( F i g . 2 ) . F o r m u l a ( 1 9 ) s h o w s t h a tt h e d e n s i t y o f m a s s ( a n d e n e r g y ) o b t a i n s a c e r t a i n s i g n a t l a r g e d i s t a n c e , w h e n Ci s s m a l l a n d c o s 0 i s n e a r l y u n i t y . The o r + s i g n a t l a r g e d i s t a n c e i s g i v e n b y

t h e s i g n o f t h e p r o d u c t Q Q a n d i s t h e s a m e a s t h e s i g n i n e q u a t i o n ( 1 8 ) . H o w e v e r ,we m u s t n o t i c e t h a t t h e P m , i n t d e n s i t y ( 1 9 ) i s z e r o o n a s p h e r e C o f d i a m e t e r Q Qw h e r e we h a v e C m r / 2 a n d c o s C = 0 . W i t h i n t h e s p h e r e C , t h e d e n s i t y p m i n to b t a i n s a n o p p o s i t e s i g n .A n y h o w , t h e d e n s i t i e s P m , i n t may h a v e + o r - s i g n s , a n d ( j u s t a s t h e p o t e n t i a le n e r g y i t s e l f ) t h e m a s s o f p o t e n t i a l e n e r g y c a n b e p o s i t i v e o r n e g a t i v e .Th e new m a s s e s ( 2 0 ) , c o m p u t e d f o r p a r t i c l e s a t r e s t , a r e c e r t a i n l y a g o o d f i r s ta p p r o x i m a t i o n w h e n o n e o f t h e p a r t i c l e s m o v e s a t a l o w v e l o c i t y v , s i n c e c o r r e c t i o n ss h o u l d b e o n l y i n V 2 / C 2 .6 . Many I n t e r a c t i n g C h a r g e s a t S m a l l D i s t a n c e s a n d S m a l l V e l o c i t i e s . - W ed i s c u s s e d i n s o m e d e t a i l t h e c a s e o f t w o i n t e r a c t i n g e l e c t r i c c h a r g e s Q a n d Q ' ;

8/14/2019 The Actual Mass of Potential Energy, A Correction to the Classical Relativity

7/8

V O L . 5 3 , 1 9 6 5 PHYSICS: L . BRILLOUIN 4 8 1t h e r e s u l t s c a n b e e a s i l y g e n e r a l i z e d t o d i p o l e s , I c o s 8 > 0q u a d r i p o l e s , m u l t i p o l e s i n t e r a c t i n g w i t h a ne l e c t r i c c h a r g e , o r w i t h s o m e o t h e r m u l t i p o l e s . Is

L e t u s , f o r i n s t a n c e , c o n s i d e r a r i g i d s t r u c - o 8 s Ct u r e a t r e s t , h o l d i n g a c e r t a i n n u m b e r o f 0 1 C o s oc h a r g e s Q ' , Q , . . . Q ( ) a n d a c t i n g u p o n ag i v e n c h a r g e Q . T h i s m a y , f o r e x a m p l e , c o r r e -s p o n d t o t h e p r o b l e m o f a c r y s t a l l a t t i c e ,w i t h a f r e e e l e c t r o n Q m o v i n g t h r o u g h t h e F I G . 2 .l a t t i c e . T h e c h a r g e s Q ' , Q I , . . . Q ( ) may h a v ee l e c t r i c i n t e r a c t i o n b e t w e e n t h e m s e l v e s , a n d t h i s i n t e r a c t i o n w i l l b e ' p a r t o f t h et o t a l p o t e n t i a l e n e r g y ( a n d m a s s ) o f t h e i r r i g i d s t r u c t u r e . T h e f r e e c h a r g e Q mayi n t e r a c t w i t h a n y o n e o f t h e Q ( n ) c h a r g e s , a n d h a l f o f t h e c o r r e s p o n d i n g m a s s o fi n t e r a c t i o n i s l o c a l i z e d o n Q , w h i l e t he o t h e r h a l f i s o n Q ( n ) * L e t u s c a l l U t h ep o t e n t i a l e n e r g y o f a l l t h e s e i n t e r a c t i o n s :

U =QQ ( 2 1 )j= 1 . 2 . . n r jT h e m a s s o f t h e f r e e c h a r g e Q i n t e r a c t i n g w i t h t h e s t r u c t u r e b e c o m e s

MQ=MO + M e l + 1 U , ( 2 2 )w h i l e t h e r e i s a n a d d i t i o n a l U m a s s o n t h e r i g i d l a t t i c e . T h i s i s a s t r a i g h t -f o r w a r d g e n e r a l i z a t i o n o f e q u a t i o n ( 2 0 ) .

L e t u s now a s s u m e t h e c h a r g e Q t o b e m o v i n g w i t h a s m a l l v e l o c i t y v , t h e t o t a le n e r g y o f p a r t i c l e Q p l u s l a t t i c e i s

MO + M e l , + 2 c 2E t o t = - / v 2 c 2 + - U ( 2 3 )4 1 - ~ 2C 2i n s t e a d o f ( 3 ) .T h i s c a n b e r e w r i t t e n i n l a s l i g h t l y d i f f e r e n t w a y :

E t t =Mo e C 2 + U +U( 1 ]V 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 4 )T h e l a s t t e r m , w i t hi n t he b r a c k e t s i s t h e n e w t e r m c o r r e s p o n d i n g t o o u r t h e o r y ,

a s s h o w n d i r e c t l y b y a c o m p a r i s o n o f ( 2 4 ) , ( 3 ) , a n d ( 1 0 ) .I n m o s t p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s t h i s new t e r m r e m a i n s s m a l l , a n d E i n s t e i n ' s

e q u a t i o n ( 3 ) r e p r e s e n t s a g o o d a p p r o x i m a t i o n . O u r new c o r r e c t i o n m i g h t b e c o m eo f i m p o r t a n c e o n l y f o r l a r g e v a l u e s o f t h e v e l o c i t y v a n d o f t h e p o t e n t i a l e n e r g y U .A l a r g e v e l o c i t y v w o u l d r e q u i r e s p e c i a l t r e a t m e n t a s n o t i c e d a t t h e e n d o f s e c t i o n 4 .A c c o r d i n g t o t h e s i g n o f U , t h e c o r r e c t i o n may b e p o s i t i v e o r n e g a t i v e .

8/14/2019 The Actual Mass of Potential Energy, A Correction to the Classical Relativity

8/8

4 8 2 GENETICS: DOBZHANSKY ET AL. P R O C . N . A . S .T h e a s s u m p t i o n t h a t t h e n e w m a s s d i s t r i b u t i o n i s p r i m a r i l y l o c a t e d o n t h ee l e c t r i c f i e l d i n t h e w h o l e s p a c e s a t i s f i e s t h e o b l i g a t i o n f o r r e l a t i v i s t i c t r a n s f o r m a -t i o n s j u s t a s f o r t h e e l e c t r o m a g n e t i c f i e l d i t s e l f . T h e s i m p l i f i e d m o d e l w i t h a d d i -t i o n a l m a s s l o c a l i z e d o n t h e p a r t i c l e m u s t b e c o n s i d e r e d o n l y a s a s i m p l i f y i n ga p p r o x i m a t i o n .7 . G e n e r a l i z a t i o n s ; Q u a n t u m P r o b l e m s . - T h e p r e c e d i n g m e t h o d c a n b e e a s i l yg e n e r a l i z e d t o many o t h e r p r o b l e m s o f p o t e n t i a l e n e r g y . T h e f i r s t s t e p i s t o

i n t r o d u c e a c o n v e n i e n t t y p e o f f i e l d , p r o p a g a t i n g a r o u n d e a c h s o u r c e . T h e n e x tp r o b l e m i s t o o b t a i n t h e f o r m u l a f o r t h e e n e r g y d e n s i t y , c o r r e s p o n d i n g t o e q u a t i o n( 7 ) , a n d t h e n t h e c a l c u l a t i o n p r o c e e d s a s i n s e c t i o n 4 . I n s u c h d i s c u s s i o n s , o n es h o u l d a l w a y s b e w a r e o f s o - c a l l e d p o t e n t i a l s , t h a t a r e u s u a l l y d e f i n e d u p t o a na r b i t r a r y c o n s t a n t ( o r f u n c t i o n ) , a n d d i r e c t l y l e a d t o g a u g e t r o u b l e s .

Quantum p r o b l e m s w e r e d i s c u s s e d b y W. L a m b , H . B e t h e , J . S c h w i n g e r , a n do t h e r s , a n d t h e i r p a p e r s c a n b e s t b e f o u n d i n S c h w i n g e r s b o o k e n t i t l e d Q u a n t u mE l e c t r o d y n a m i c s ( N e w Y o r k : D o v e r , 1 9 5 8 ) . T h e m e t h o d l e a d s t o c o r r e c t i o n s o nt h e r e s t m a s s o f p a r t i c l e s , c a l l e d m a s s r e n o r m a l i z a t i o n , a n d y i e l d s e x c e l l e n tn u m e r i c a l r e s u l t s . Quantum e f f e c t s i n c l u d e e l e c t r o s t a t i c p o t e n t i a l e n e r g y a n d a l ls o r t s o f s p i n e f f e c t s .T h e p r e s e n t d i s c u s s i o n p r o v e s t h a t m a s s - r e n o r m a l i z a t i o n i s n o t o n l y n e e d e d i nq u a n t u m t h e o r i e s , b u t t h a t i t m u s t a l r e a d y b e i n t r o d u c e d i n c l a s s i c a l R e l a t i v i t y ,w h e r e i t w a s c o m p l e t e l y o v e r l o o k e d b y t h e f o u n d e r s o f R e l a t i v i t y . S o m m e r f e l da n d D i r a c w e r e n o t a w a r e o f t h e d i f f i c u l t y , a n d t h e i r f o r m u l a s m u s t b e v e r y c a r e -f u l l y r e v i s e d . A f i r s t d r a f t o f t h e p r e s e n t p a p e r w a s p u b l i s h e d i n F r e n c h .

* C o n t r a c t N o n r 2 6 6 ( 5 6 ) .1 B r i l l o u i n , L . , L a m a s s e d e 1 e n e r g i e p o t e n t i e l l e , C o m p t . R e n d . , 2 5 9 , 2 3 6 1 ( 1 9 6 4 ) ; B r i l l o u i n ,L . , L 6 n i g m e E = M c 2 : E n e r g i e p o t e n t i e l l e e t r e n o r m a l i s a t i o n d e l a m a s s e , J . P h y s . R a d i u m ,2 5 , 8 8 3 ( 1 9 6 4 ) .

BICHROMOSOMAL SYNTHETIC SEMILETHALS INDROSOPHILA PSEUDOOBSCURA *BY T H E O D O S I u S D O B Z H A N S K Y , B O R I S S P A S S K Y , A N D WYATT A N D E R S O N

THE ROCKEFELLER INSTITUTEC o m m u n i c a t e d J a n u a r y 1 2 , 1 9 6 5

T h e m u t a t i o n p r o c e s s i s t h e u l t i m a t e s o u r c e o f t h e g e n e t i c r a w m a t e r i a l s f r o mw h i c h e v o l u t i o n a r y c h a n g e s a r e c o m p o u n d e d b y n a t u r a l s e l e c t i o n . W i t h o u t mu-t a t i o n , e v o l u t i o n w o u l d e v e n t u a l l y b e a r r e s t e d . P o p u l a t i o n s o f s e x u a l l y r e p r o -d u c i n g , d i p l o i d , a n d p o l y p l o i d o r g a n i s m s c a r r y , h o w e v e r , e n o r m o u s s t o r e s o f p o -t e n t i a l g e n e t i c v a r i a b i l i t y . T h i s v a r i a b i l i t y i s g r a d u a l l y r e l e a s e d b y r e c o m b i n a -t i o n . The r e l e a s e o f t h e v a r i a b i l i t y c a n b e d e m o n s t r a t e d e x p e r i m e n t a l l y . P o p u -l a t i o n s o f D r o s o p h i l a c a r r y many r e c e s s i v e l e t h a l , s e m i l e t h a l , a n d s u b v i t a l g e n e t i cv a r i a n t s , m o s t l y c o n c e a l e d i n h e t e r o z y g o u s c o n d i t i o n i n n o r m a l l y v i a b l e i n d i -v i d u a l s . S o m e o f t h e s e l e t h a l s a n d s e m i l e t h a l s a r i s e b y m u t a t i o n a l c h a n g e s i ns i n g l e g e n e s , a n d p e r h a p s b y d e l e t i o n s o f s m a l l b l o c k s o f g e n e s . O t h e r l e t h a l s a n d