Teză de Doctorat - UniBuc

Universitatea din Bucureşti

Facultatea de Matematică şi Informatică

Şcoala Doctorală de Matematică

Teză de Doctorat

Proprietăţi topologice ale atractorilor

sistemelor iterative de funcţii

(Rezumat)

Îndrumător Ştiinţific: Doctorand:

Prof. Dr. Ion CHIŢESCU Dan DUMITRU

2014

ii

Prefaţă

În anul 1975, Benoît Mandelbrot a introdus termenul de fractal. O mulţime fractală prezintă mai multe neregularităţi decât mulţimile clasice, care sunt, în general, considerate netede. Există, însă, o definiţie matematică precisă a unui fractal. Astfel, în 1982, acelaşi Benoît Mandelbrot publica lucrarea " The Fractal Geometry of Nature" , unde propunea pentru prima dată definiţia riguroasă a unui fractal şi anume: " Un fractal este, prin definiţie, o mulţime pentru care dimensiunea Hausdorff-Besicovitch este strict mai mare decât dimensiunea topologică" ([59]). Din păcate, deşi această definiţie înglobează cele mai multe dintre mulţimile fractale, există şi alţi fractali care nu se încadrează în termenii definiţiei lui Mandelbrot. Unii dintre aceştia apar ca mulţimi "puncte fixe" ale unor contracţii definite pe un spaţiu metric complet şi pot fi determinate printr-un proces iterativ.

Istoric vorbind, matematicienii s-au întâlnit cu mulţimile fractale începând chiar cu secolul al XIX-lea, dar acestea fiind atât de diferite de formele geometriei clasice, au fost considerate excepţii. Un astfel de exemplu este funcţia lui Karl Weierstrass care este continuă, dar nicăieri derivabilă şi al cărei grafic reprezintă astăzi unul dintre primii fractali studiaţi. Au urmat apoi exemplele lui Giuseppe Peano şi David Hilbert de curbe în plan care au ca imagine pătratul unitate, curba lui Helge von Koch de lungime infinită sau triunghiul lui Waclaw Sierpinski de arie nulă. Pe de altă parte, matematicianul francez Gaston Julia, studiind la începutul secolului al XX-lea bazinele de atracţie ale funcţiilor raţionale în plan, a descoperit o clasă largă de mulţimi fractale care astăzi îi poartă numele. Lucrările sale, precum şi cele ale lui Pièrre Fatou, constituie, de fapt, începutul teoriei fractalilor. În zilele noastre, teoria fractalilor este considerată o ramură de sine stătătoare a matematicii, iar aceştia nu mai apar doar ca exemple singulare.

Aplicabilitatea fractalilor nu a putut fi evidenţiată decât odată cu apariţia calculatorului, care a permis înţelegerea completă a lucrărilor lui Julia şi Fatou. Benoît Mandelbrot susţine că mulţimile geometrice de acest fel pot descrie mai bine fenomenele naturale decât curbele şi suprafeţele regulate ale geometriei clasice. Astfel, preponderenţa fenomenelor haotice în natură face din fractal un concept universal care nu se restrânge doar la domeniul geometriei sau al graficii ci apare şi în diverse alte domenii, cum ar fi biologia, fizica, meteorologia sau arta.

iii

Mulţumiri

Aş dori să mulţumesc domnului profesor Alexandru Mihail de la Facultatea de Matematică şi Informatică din Bucureşti care mi-a deschis drumul în studierea teoriei matematice a fractalilor prin intermediul unui curs opţional din anul al 3-lea de facultate. De acolo, au urmat o lucrare de licenţă sub îndrumarea dânsului despre măsura şi dimensiunea Hasudorff şi primul meu articol ştiinţific în domeniu, publicat la Analele Universităţii din Bucureşti în anul 2008, în colaborare cu acesta. După perioada masteratului, am continuat cu studiile doctorale sub îndrumarea domnului profesor Ion Chiţescu, căruia aş dori să-i mulţumesc, în primul rând pentru amabilitatea de a mă accepta ca doctorand şi în al doilea rând pentru sugerarea direcţiilor asupra cărora să-mi orientez cercetarea ştiinţifică pentru a-mi putea finaliza teza. Susţinerile din partea dânsului au venit întotdeauna la momentul oportun, iar ideile dumnealui de cercetarea s-au dovedit a fi foarte eficiente şi productive. De asemenea, aş dori să mulţumesc domnilor profesori Radu Miculescu şi Daniel Stănică pentru sprijinul acordat în finalizarea prezentei lucrări.

În final, aş dori să mulţumesc părinţilor mei pentru sprijinul moral acordat pe întreaga perioadă a doctoratului.

iv

Cuprins

Introducere 5

1 Noţiuni preliminare 7

1.1 Elemente de topologie şi spaţii metrice 7

1.2 Principiul contracţiei şi spaţiul fractalilor 12

2 Sisteme iterative de funcţii finite 14

2.1 Atractorul unui sistem iterativ de funcţii finit 14

2.2 Spaţiul codurilor asociat unui sistem iterativ de funcţii finit 15

2.3 Conexiunea atractorului unui sistem iterativ de funcţii finit 18

2.4 Atractori cu mai multe componente conexe 23

2.5 Dendrite 25

3 Sisteme iterative de funcţii infinite 34

3.1 Atractorul unui sistem iterativ de funcţii infinit 34

3.2 Spaţiul codurilor asociat unui sistem iterativ de funcţii infinit 35

3.3 Conexiunea atractorului unui sistem iterativ de funcţii infinit 37

3.4 Dendrite în cazul infinit 43

4 Generalizari ale sistemelor iterative de funcţii 47

4.1 Sisteme iterative de funcţii topologice 47

4.2 Sisteme iterative de funcţii care conţin alte tipuri de contracţii 50

Bibliografie 62

5

Introducere

Sistemele iterative de funcţii sunt adesea folosite pentru a genera fractali, mulţimile rezultate fiind autosimilare sau autoasemenea. Ele au fost introduse de către John Hutchinson ([44]), generalizate la sistemele iterative de funcţii infinite ([62], [93]) şi popularizate de către Michael Barnsley ([7]). Folosirea calculatorului în studiul proceselor iterative a fost încă un motiv pentru care acest domeniu să se dezvolte foarte mult în ultimele două decenii. Fractalii construiţi ca atractori ai unor sisteme iterative de funcţii pot avea orice număr de dimensiuni, dar sunt, de obicei, desenaţi în două dimensiuni. O descriere "populară" a fractalului generat ca mai sus ar putea fi următoarea: fractalul este alcătuit din unirea mai multor copii, fiecare exemplar fiind transformat de către o anumită funcţie, de unde şi denumirea de "sistem iterativ de funcţii". Prin urmare, forma unui fractal poate fi alcătuită din mai multe copii mai mici care se suprapun, fiecare dintre acestea fiind, de asemenea, formată din suprapunerea unor copii şi mai mici, procesul efectuându-se la infinit. Un astfel de exemplu este triunghiul lui Sierpinski. Funcţiile care alcătuiesc un sisteme iterativ de funcţii sunt, de obicei, contracţii şi spaţiul pe care sunt definite este metric şi complet. Atractorul unui sistem iterativ de funcţii apare ca fiind unicul punct fix al operatorului fractal şi este, de regulă, o mulţime compactă.

Lucrare de faţă conţine un studiu al proprietăţilor topologice ale atractorilor sistemelor iterative de funcţii şi este structurată pe patru capitole.

Capitolul 1 are un caracter pregătitor, rolul acestuia fiind acela de a prezenta anumite noţiuni preliminare referitoare la topologie, spaţii metrice, principiul contracţiei şi spaţiul fractalilor. Se prezintă, aşadar, rezultatele necesare definirii teoriei sistemelor iterative de funcţii.

Capitolul 2 studiază atractorii sistemelor iterative de funcţii finite şi anumite proprietăţi topologice ale acestora (conex, conex prin arce, local conex, semi-local conex, total disconex, componentă conexă, dendrită). În secţiunea 2.1 se introduce atractorul unui sistem iterativ de funcţii finit şi se dă ca exemplu mulţimea lui Cantor. În secţiunea 2.2 se introduce spaţiul codurilor asociat unui sistem iterativ de funcţii finit şi se stabileşte legătura cu atractorul. În secţiunea 2.3 se dau caracterizările atractorilor de a fi mulţimi total disconexe, conexe, local conex sau semi-local conex. În secţiunea 2.4 sunt studiaţi atractorii cu mai multe componente conexe, iar în secţiunea 2.5 se studiază atractorii care sunt dendrite şi se introduce noţiunea de graf asociat unui atractor. Pentru o mare clasă de atractori se demonstrează că aceştia devin dendrite dacă grafurile asociate sunt arbori. Ca exemple se consideră arborele lui Hata şi mulţimea de tip „cruce”. Rezultatele originale principale ale acestui capitol sunt date de teoremele 2.4.1, 2.4.3, 2.5.1, 2.5.2.

Capitolul 3 studiază atractorii sistemelor iterative de funcţii infinite şi anumite proprietăţi topologice legate de conexiunea acestora. În secţiunea 3.1 se introduce noţiunea de atractor pentru un sistem iterativ de funcţii infinit şi în secţiunea 3.2 se stabilieşte legătura acestuia cu spaţiul codurilor. În secţiunea 3.3 sunt date condiţii necesare şi suficiente pentru

6

ca atractorul să fie total disconex, conex şi conex prin arce. În secţiunea 3.4 se studiază atractorii de tip dendrită în cazul infinit şi se deduc rezultate similare cu cele din cazul finit. Rezultatele originale principale ale acestui capitol sunt teoremele 3.3.2, 3.3.3, 3.3.4, 3.4.1, 3.4.2.

Capitolul 4 studiază unele generalizări ale sistemelor iterative de funcţii. În secţiunea 4.1 se consideră sistemele iterative de funcţii topologice şi se arată că reuniunea nevidă dintre un spaţiu Peano şi un segment poate fi privită ca atractorul unui sistem iterativ topologic format din trei funcţii. În secţiunea 4.2 se consideră sistemele iterative de funcţii infinite care conţin alte tipuri de contracţii şi se stabilesc anumite condiţii suficiente ca atractorii să fie conecşi. Rezultatele originale principale ale acestui capitol sunt reprezentate de lemele 4.2.1, 4.2.2 şi teoremele 4.1.2, 4.2.2, 4.2.8, 4.2.9, 4.2.12.

Activitatea de cercetare din timpul doctoratului s-a concretizat prin publicarea sau acceptarea spre publicare a cinci articole ştiinţifice după cum urmează: un articol în reviste din străinătate ([28]) şi patru articole în reviste CNCSIS A (ISI) ([24], [25], [26], [27]).

7

Capitolul 1

Noţiuni preliminare

În cele ce urmează vom prezenta cadrul matematic necesar definirii atât a sistemelor iterative de funcţii, cât şi a atractorilor acestora. Pentru un mai bun conţinut al lucrării, unele rezultate cunoscute vor avea pe lângă citarea aferentă şi demonstraţia corespunzătoare.

1.1 Elemente de topologie şi spaţii metrice

Fie � o mulţime nevidă, �(�) mulțimea submulțimilor lui � şi �∗(�) mulţimea submulţimilor nevide ale lui �.

Definiţia 1.1.1. Se numeşte topologie pe � o familie � ⊂ �(�) cu următoarele proprietăţi:

a). ∅, � ∈ �.

b). Dacă (��)� �,�� ⊂ �, atunci ⋂ �� ∈ �� .

c). Dacă (��)�∈� ⊂ �, atunci ⋃ �� ∈ ��∈� .

În aceste condiţii perechea (�, �) se va numi spaţiu topologic, iar elementele lui � se vor numi mulţimi deschise. O mulţime se va numi închisă în situaţia în care complementara sa aparţine lui �.

Definiţia 1.1.2. Fie (�, �) un spaţiu topologic şi � ⊂ �. Atunci � se numeşte vecinătate a lui � ∈ � dacă există o mulţime deschisă � ⊂ � astfel încât � ∈ � ⊂ �.

În continuare vom nota cu �(�) familia tuturor vecinătăţilor lui � ∈ �.

Definiţia 1.1.3. Fie (�, �) un spaţiu topologic şi � ⊂ �. Atunci:

a). Un element � ∈ � se numeşte punct interior al lui � dacă există � ∈ �(�) astfel încât � ⊂ �. Vom nota cu ��(�) mulţimea tuturor punctelor interiore ale lui �.

b). Un element � ∈ � se numeşte punct aderent (respectiv de acumulare) al lui � dacă pentru orice � ∈ �(�) avem � ∩ � ≠ ∅ (respectiv � ∩ (�\{�}) ≠ ∅). Mulţimea punctelor aderente

se numeşte aderenţa lui � şi se notează cu �!, iar mulţimea punctelor de acumulare se notează cu �′. Din definiţie avem că �" ⊂ �!.

8

c). Dacă �′ = �, atunci � se numeşte perfectă, iar dacă �! = �, atunci � se numeşte densă în �.

d). � se numeşte separabil dacă există o submulţime a sa densă şi cel mult numărabilă.

Definiţia 1.1.4. Fie două spaţii topologice (�₁, �₁) şi (�₂, �₂). O funcţie &: �₁ → �₂ se numeşte continuă în ) ∈ �₁ dacă pentru orice � ∈ �(&())) există � ∈ �()) astfel încât &(�) ⊂ �. De asemenea, funcţia & se numeşte continuă dacă este continuă în toate punctele lui �₁.

Următoarea teoremă reprezintă o caracterizare a funcţiilor continue:

Teorema 1.1.1. ([32], [52], [76]) Fie două spaţii topologice (�₁, �₁), (�₂, �₂) şi o funcţie &: �₁ → �₂. Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente:

a). & este continuă.

b). Pentru orice + ⊂ �₁ avem &(+) ⊂ &(+)��.

c). Pentru orice - ⊂ �₂ închisă, avem &⁻¹(-) ⊂ �₁ închisă.

d). Pentru orice / ⊂ �₂ deschisă, avem &⁻¹(/) ⊂ �₁ deschisă.

Definiţia 1.1.5. Un spaţiu topologic (�, �) se numeşte separat sau Hausdorff dacă pentru orice �, 0 ∈ �, � ≠ 0 există �₁, �₂ ∈ � astfel încât � ∈ �₁, 0 ∈ �₂ şi �₁ ∩ �₂ = ∅.

Definiţia 1.1.6. Fie (�, �) un spaţiu topologic şi + ⊂ �. Atunci:

a). + se numeşte compactă dacă pentru orice familie de mulţimi deschise (��)�∈� ⊂ � astfel încât + ⊂ ⋃ ��∈� (o astfel de familie se numeşte o acoperire a lui +), există 1₁, . . . , 1� ∈ � astfel încât + ⊂ ⋃ ��2�3 � . De asemenea, spunem că (�, �) este un spaţiu compact dacă

mulţimea � este compactă.

b). + se numeşte relativ compactă dacă + este compactă.

c). Un spaţiu topologic (�, �) se numeşte local compact dacă orice punct din � posedă o vecinătate compactă. O mulţime + ⊂ � se numeşte local compactă dacă privită ca subspaţiu al lui �, este spaţiu local compact.

9

Teorema 1.1.2. ([32], [52], [76]) Fie două spaţii topologice (�₁, �₁) şi (�₂, �₂), o funcţie

continuă &: �₁ → �₂ şi +, - ⊂ �₁. Atunci:

a). Presupunem, în plus, că (�₁, �₁) este separat. Dacă + este compactă, atunci + este închisă.

b). Dacă + este închisă şi - este compactă astfel încât + ⊂ -, atunci + este compactă.

c). Dacă + este compactă, atunci &(+) ⊂ �₂ este compactă.

Definiţia 1.1.7. Fie (�, �) un spaţiu topologic şi + ⊂ �, + ≠ ∅. Atunci:

a). + se numeşte conexă dacă nu există nicio separare a lui + de forma + = - ∪ /, unde -, / ⊂ + sunt mulţimi nevide astfel încât -� ∩ / = / ∩ - = ∅.

b). + se numeşte conexă prin arce dacă pentru orice �, 0 ∈ � există o funcţie continuă 56,7: [0,1] → + astfel încât 56,7(0) = � şi 56,7(1) = 0.

c). Pe mulţimea + considerăm relaţia < definită prin: �<0 dacă şi numai dacă există - ⊂ + conexă astfel încât �, 0 ∈ -. Rezultă uşor că relaţia < este o relaţie de echivalenţă. Atunci clasele de echivalenţă ale lui < se numesc componentele conexe ale lui +.

d). A se numeşte local conexӑ (respectiv local conexӑ prin arce) dacă orice punct al său admite o vecinătate conexă (respectiv conexă prin arce).

e). A se numeşte total disconexă dacă fiecare componentă conexă a sa se reduce la un singur punct.

Propoziţia 1.1.1. ([32], [52], [76]) Fie (�, �) un spaţiu topologic şi +, -, +� submulţimi ale

lui �, cu 1 ∈ �. Atunci:

a). Dacă +� este o mulţime conexă pentru orice 1 ∈ � şi +� ∩ +3 ≠ ∅ pentru orice 1 ≠ =, atunci ⋃ +��∈� este o mulţime conexă.

b). Dacă + ⊂ - ⊂ + şi + este conexă, atunci - este conexă.

Propoziţia 1.1.2. ([32], [52], [76]) a). O mulţime + ⊂ ℝ este conexă dacă şi numai dacă este un interval.

b). Fie (�, �?) şi (@, �A) două spaţii topologice şi &:� → @ o funcţie continuă. Dacă

mulţimea + ⊂ � este conexă atunci mulţimea &(+) ⊂ @ este conexă.

c). Dacă spaţiul topologic (�, �) este conex prin arce, atunci el este conex.

10

Remarca 1.1.1. Fie (�, B) un spaţiu metric conex şi local conex prin arce. Atunci (�, B) este conex prin arce.

Remarca 1.1.2. Fie (�, B) un spaţiu metric conex care, în plus, este sau local conex sau local conex prin arce. Atunci pentru orice � ∈ � şi orice � ∈ �(�), există C ∈ �(�) deschisă, conexă sau local conexă prin arce astfel încât C ⊂ �.

Vom discuta în continuare despre spaţiile metrice.

Definiţia 1.1.8. Fie � o mulţime nevidă. O aplicaţie B: � × � → [0, ∞) se numeşte semimetrică dacă sunt îndeplinite următoarele condiţii:

a). B(�, �) = 0 pentru orice � ∈ �.

b). B(�, 0) = B(0, �) pentru orice �, 0 ∈ �.

c). B(�, E) ≤ B(�, 0) + B(0, E) pentru orice �, 0, E ∈ �. În aceste condiţii perechea (�, B) se va numi spaţiu semimetric.

Definiţia 1.1.9. Fie � o mulţime nevidă. O aplicaţie B: � × � → [0, ∞) se numeşte metrică dacă este o semimetrică şi, în plus, satisface condiţia B(�, 0) = 0 ⟹ � = 0. În aceste condiţii perechea (�, B) se va numi spaţiu metric.

Definitia 1.1.10. Fie (�, B) un spaţiu metric şi � ∈ �. Atunci:

a). Bila deschisă de centru � şi rază I > 0 este K(�, I) = {0 ∈ �|B(�, 0) < I}. b). Bila închisă de centru � şi rază I > 0 este K!(�, I) = {0 ∈ �|B(�, 0) ≤ I}. c). Bila deschisă de centru + şi rază I > 0 este:

K(+, I) = {0 ∈ �|există) ∈ +astfelîncâtB(�, 0) < I}.

Definiţia 1.1.11. Fie (�, B) un spaţiu metric şi (��)�[� ⊂ � un şir de elemente din �. Atunci:

a). Spunem că (��)�[� este convergent la � ∈ � sau (��)�[� are limita � ∈ � dacă pentru orice ɛ > 0 există �] ∈ ℕ∗ astfel încât B(��, �) < ɛ pentru orice � ≥ �].

b). Spunem că (��)�[� este un şir Cauchy dacă pentru orice ɛ > 0 există �] ∈ ℕ∗ astfel încât B(��, �`) < ɛ pentru orice �,a ≥ �].

11

Remarca 1.1.3. Orice şir convergent este şir Cauchy.

Definiţia 1.1.12. Un spaţiu metric (�, B) se numeşte complet dacă orice şir Cauchy este convergent.

Definiţia 1.1.13. Fie (�, B) un spaţiu metric şi + ⊂ �. Prin diametrul lui + se înţelege B1)a(+) = sup6,7∈d B(�, 0). Dacă + = ∅, atunci B1)a(+) = 0 (prin definiţie). Totodată,

dacă - ⊂ �, - ≠ ∅, atunci pentru orice � ∈ �, distanţa de la � la - este B(�, -) =infe∈f B(�, g).

Lema 1.1.1. ([32], [52]) Fie (�, B) un spaţiu metric şi + ⊂ �. Atunci B1)a(+) = B1)a(+).

Definiţia 1.1.14. Fie (�, B) un spaţiu metric şi + ⊂ �. Atunci:

a). + se numeşte mărginită dacă B1)a(+) < ∞, b). + se numeşte total mărginită dacă pentru orice ɛ > 0 există ��, … , �j ∈ + astfel încât

+ ⊂ kKl�3 , mnj3 �

Remarca 1.1.4. Orice mulţime total mărginită este mărginită.

Teorema 1.1.3. ([32], [52], [76]) Fie (�, B) un spaţiu metric şi + ⊂ �. Dacă + este relativ

compactă, atunci + este total mărginită. Reciproc, dacă + este total mărginită şi + este

completă, atunci + este relativ compactă.

12

1.2 Principiul contracţiei şi spaţiul fractalilor

Fie (�, B) un spaţiu metric şi &: � → � o funcţie.

Definiţia 1.2.1. Constanta o1p(&) = sup6,7∈?,6q7 rls(6),s(7)nr(6,7) ∈ [0,∞] se numeşte constanta

Lipschitz asociată lui &. Dacă o1p(&) < ∞, atunci & se numeşte funcţie Lipschitz, iar dacă o1p(&) < 1, atunci &se numeşte contracţie.

Remarca 1.2.1. O funcţie Lipschitz este uniform continuă.

Definiţia 1.2.2. Un element � ∈ � se numeşte punct fix pentru funcţia & dacă &(�) = �. Se notează cu t1�(&) = {� ∈ �|�estepunctfixpentru&}.

În continuare vom folosi următoarele notaţii: &⁰ = �B şi &` = & ∘. . .∘ &xyzy{`|}� pentru orice a ≥ 1.

Teorema 1.2.1. (Principiul contracţiei) ([84] )Fie (�, B) un spaţiu metric complet şi &: � → � o contracţie. Atunci există un unic punct ) ∈ � astfel încât &()) = ). Mai mult,

pentru orice � ∈ �, şirul (&�(�))�[� este convergent la ).

Teorema 1.2.2. ([84]) Fie (�, B) un spaţiu metric complet şi &: � → � o funcţie continuă.

Presupunem că există p ∈ ℕ∗ astfel încât &~ să fie contracţie. Atunci există un unic ) ∈ �

astfel încât &()) = ).

Pentru un spaţiu metric complet (�, B), vom nota cu �(�) şi ℬ(�) spaţiul părţilor nevide şi compacte, respectiv spaţiul părţilor nevide, închise şi mărginite ale lui (�, B). Se ştie că, dacă definim ℎ?:�(�) × �(�) ⟶ [0,+∞) (respectiv ℎ?: ℬ(�) × ℬ(�) ⟶ [0,+∞)) prin ℎ?(+, -) = a)�{B(+, -), B(-, +)}, unde

B(+, -) = sup�∈� B(�, -) = sup�∈� �inf�∈�B(�, 0)�

atunci ℎ? este o metrică (metrica Hausdorff-Pompeiu). Vom folosi, însă, notaţia ℎ? şi într-un context mai general şi anume definim ℎ?: �∗(�) × �∗(�) ⟶ [0,∞] prin aceleaşi relaţii ca mai sus.

13

Propoziţia 1.2.1. ([84]) Fie (�, B?) şi (@, BA) două spaţii metrice. Atunci:

1). Dacă � şi � sunt două submulţimi nevide şi mărginite ale lui �, atunci ℎ?(�, �) =ℎ?(�!, �!).

2). Dacă (��)�∈� şi (��)�∈� sunt două familii de submulţimi nevide ale lui �, atunci

ℎ? �k��∈� ,k��∈� � = ℎ? �k��∈�� ,k��∈�

�� ≤ sup�∈� ℎ?(��, ��)

3). Dacă � şi � sunt două submulţimi nevide ale lui � şi &: � → @ o funcţie atunci

ℎA(&(�), &(�)) ≤ o1p(&) ⋅ ℎ?(�,�)

4). Dacă (��)�[� ⊂ �∗(�) este un şir de mulţimi nevide şi � ∈ �∗(�) este o mulţime nevidă

astfel încât ℎ?(�,��) ⟶ 0, atunci un element � ∈ � este în � dacă şi numai dacă există �� ∈ �� pentru orice � ≥ 1 astfel încât �� ⟶ �,

5). Dacă (��)�[� ⊂ �∗(�) este un şir de mulţimi nevide şi relativ compacte şi � ∈ �∗(�)

este o mulţime nevidă astfel încât ℎ?(�,��) ⟶ 0, atunci � este o mulţime relativ compactă.

6). Dacă (��)�[� ⊂ �∗(�) este un şir de mulţimi nevide, compacte şi conexe şi � ∈ �∗(�)

este o mulţime nevidă şi închisă astfel încât ℎ?(�,��) ⟶ 0, atunci � este o mulţime compactă şi conexă.

Teorema 1.2.3. ([84]) Dacă (�, B) este un spaţiu metric complet, atunci (ℬ(�), ℎ) şi (�(�), ℎ) sunt spaţii metrice complete.

Definiţia 1.2.3. Spaţiul complet (�(�), ℎ) se numeşte spaţiul fractalilor.

14

Capitolul 2

Sisteme iterative de funcţii finite

Sistemele iterative de funcţii au fost introduse de John Hutchinson ([44]) şi apoi popularizate de către Michael Barnsley ([7]). Ele reprezintă una dintre cele mai generale metode de construcţie ale fractalilor. Se consideră un spaţiu metric complet (�, B) şi o familie finită de contracţii pe acel spaţiu. Perechea astfel obţinută se numeşte sistem iterativ de funcţii. În situaţia în care spaţiul submulţimilor compacte şi nevide ale lui � este înzestrat cu metrica Hausdorff-Pompeiu se demonstrează existenţa şi unicitatea atractorului unui sistem iterativ de funcţii. Dintre exemple, mulţimea lui Cantor, triunghiul lui Sierpinski sau curba lui Koch pot fi văzute ca atractori ai sistemelor iterative de funcţii finite.

2.1 Atractorul unui sistem iterativ de funcţii finit

Fie (�, B) un spaţiu metric complet. Vom considera pe �(�) metrica ℎ? (notată uneori ℎ).

Definiţia 2.1.1. Un sistem iterativ de funcţii (finit) pe spaţiul complet (�, B) constă dintr-o familie finită de contracţii {&�}� �,�� pe � şi este notat cu � = (�, {&�}� �,��).

Definiţia 2.1.2. Operatorul fractal asociat unui sistem iterativ de funcţii finit � =(�, {&�}� �,��) se defineşte prin t�:�(�) ⟶ �(�), t�(�) = ⋃ &�(�)�� pentru orice � ∈ �(�).

Propoziţia 2.1.1. ([44]) Fie (�, B) un spaţiu metric şi � = (�, {&�}� �,��) un sistem iterativ de

funcţii finit cu � = a)�j �,�� o1p(&j) < 1. Atunci o1p(t�) ≤ � < 1.

Teorema 2.1.1. ([33], [44], [84]) Fie (�, B) un spaţiu metric complet şi � = (�, {&�}� �,��) un

sistem iterativ de funcţii finit cu � = maxj �,�� o1p(&j) < 1. Atunci există o unică mulţime + ∈ �(�), care se numeşte atractorul lui �, astfel încât t�(+) = + şi, totodată, pentru

fiecare �₀ ∈ �(�) şirul (��)�[� definit prin �� = t�(��) converge la +. Pentru viteza de

convergenţă avem estimarea: ℎ(��, +) ≤ �ⁿ�� ∙ ℎ(�₀,�₁) pentru orice � ∈ ℕ∗.

15

Lema 2.1.1. ([84]) Fie (�, B) un spaţiu metric complet şi � = (�, {&�}� �,��) un sistem iterativ

de funcţii finit cu � = maxj �,�� o1p(&j) < 1. Fie + atractorul lui �, +₀ ∈ �(�), -₀ ∈�(�), +` = t�[`](+₀) şi -` = t�[`](-₀) astfel încât +� ⊂ t�(+�) = +� şi t�(-�) = -� ⊂-₀. Atunci +` ⊂ +`��, -`�� ⊂ -`, + = ⋃ +``[�� şi + =⋂ -`��`[� , unde t�[`] = t� ∘ … ∘t� de m ori.

2.2 Spaţiul codurilor asociat unui sistem iterativ de funcţii finit

În continuare vom descrie spaţiul codurilor asociat unui sistem iterativ de funcţii şi vom studia legătura dintre acesta şi atractorul asociat. Pentru două mulţimi nevide + şi -, -d reprezintă mulţimea funcţiilor din + în -. Vom nota cu ℕ� = {0,1, … , �} şi ℕ�∗ = {1,2, … , �} pentru orice � ≥ 1. Fie - o mulţime nevidă fixată. Prin Λ = Λ(-) vom întelege mulţimea -ℕ∗

şi prin Λ� = Λ�(-) vom întelege mulţimea -ℕ�∗ .

Elementele mulţimii Λ = Λ(-) pot fi scrise sub forma unor cuvinte infinite � =�� …�` … unde �` ∈ -, iar elementele mulţimii Λ� = Λ�(-) pot fi scrise sub forma unor cuvinte finite � = �� …��. Vom spune că Λ(-) este mulţimea cuvintelor infinite cu litere din alfabetul -, iar Λ�(-) este mulţimea cuvintelor finite de lungime � cu litere din alfabetul -.

Prin Λ∗ = Λ∗(-) vom înţelege mulţimea tuturor cuvintelor finite cu litere din alfabetul -, adică: Λ∗ = Λ∗(-) = (⋃ Λ�(-)�[� ) ∪ {�}, unde � este cuvântul vid. Dacă � =�� …�` … sau � = �� …�� şi � ≥ a, atunci [�]` = �� …�`. Dacă � =�� …�` … sau � = �� …�� şi � ≥ a > �, atunci [�]j = �j��j�� …�`. Deci [�]` = [�]� . Pentru � ∈ Λ∗, |�| reprezintă lumgimea cuvântului �, deci |�� …��| = �. Observăm că |�| = 0. Prin definiţie, dacă � ∈ Λ, atunci |�| = ∞. Pentru două cuvinte ∈ Λ�(-) şi ¡ ∈ Λ`(-) sau ∈ Λ�(-) şi ¡ ∈ Λ(-) prin ¡ vom înţelege concatenarea cuvintelor şi ¡, mai precis, ¡ = � � … �¡�¡� …¡` sau respectiv ¡ = � � … �¡�¡� …¡` …. Pentru ∈ Λ∗şi ¡ ∈ Λ∗ sau ¡ ∈ Λ, spunem că ¡ prelungeşte pe şi notăm ≺ ¡ dacă | | ≤ |¡| şi [¡]|£| = . Prin convenţie � = şi [ ]� = � pentru

orice ∈ Λ∗(-) ∪ Λ(-). Pe Λ = Λ(ℕ�∗ ) = (ℕ�∗ )ℕ∗ considerăm distanţa:

B¤( , ¡) = ¥¦1 − ¨£©ª©3j ¦¬j �

unde ¨67 = 1, dacă� = 00, dacă� ≠ 0 . Atunci perechea (¯�(ℕ�∗ ), B°) devine un spaţiu metric compact

([51]).

16

Definiţia 2.2.1. a). Spaţiul metric (¯�(ℕ�∗ ), B°) se numeşte spaţiul codurilor sau spaţiul de

ridicare (de shift) asociat unui sistem iterativ de funcţii format din � funcţii.

b). Funcţiile tj: Λ(ℕ�∗ ) ⟶ Λ(ℕ�∗ ) definite prin tj(�) = �� pentru orice � ∈ {1,2, . . , �} se numesc funcţiile de shift la dreapta.

c). Funcţia <: Λ(ℕ�∗ ) ⟶ Λ(ℕ�∗ ) definită prin <(�� …�` …) = ��± …�`�� … se numeşte funcţia de shift la stânga.

Vom face în continuare câteva notaţii:

a). Fie (�, B) un spaţiu metric şi � = l�, {&j}j �,��n un sistem iterativ de funcţii finit. Pentru � = �� …�` ∈ Λ`(ℕ�∗ ), notăm cu &² = &²³ ∘ &²´ ∘ … ∘ &²µ , t² = t²³ ∘ t²´ ∘ … ∘ t²µ şi -² = &²(-), unde - ⊂ �. De asemenea, &¶ şi t¶ reprezintă funcţia identică, iar -¶ = -.

b). Fie (�, B) un spaţiu metric şi &: � ⟶ � o contracţie. Atunci notăm cu ·s punctul fix al lui & şi cu ·² = ·s punctul fix al lui &², unde � ∈ Λ`(ℕ�∗ ).

Remarca 2.2.1. a). Funcţiile tj sunt contracţii pentru orice � ∈ {1,2, … , �}. Mai mult, avem

că B¤ltj( ), tj(¡)n = r¹(£,ª)± pentru orice , ¡ ∈ Λ(ℕ�∗ ).

b). Funcţia <: Λ(ℕ�∗ ) ⟶ Λ(ℕ�∗ ) este Lipschitz, deci continuă. Într-adevăr:

B¤l<( ), <(¡)n = 3B¤( , ¡) − º1 − ¨£³ª³» ≤ 3B¤( , ¡)

pentru orice , ¡ ∈ Λ(ℕ�∗ ).

c). Avem că (< ∘ tj)(�) = � şi (tj ∘ <)(�) = ��± …�` … pentru orice � ∈{1,2, … , �} şi � ∈ Λ(ℕ�∗ ).

d). Avem că Λ(ℕ�∗ ) = ⋃ tjlΛ(ℕ�∗ )n�j � . Cu alte cuvinte Λ(ℕ�∗ ) este atractorul sistemului

iterativ de funcţii finit � = lΛ(ℕ�∗ ), {tj}j �,��n. Mai general, Λ(ℕ�∗ ) = ⋃ t£lΛ(ℕ�∗ )n£∈¤µ(ℕ�∗ ) .

Definiţia 2.2.2. Fie un sistem iterativ de funcţii finit � = l�, {&j}j �,��n definit pe un spaţiu

metric complet (�, B), + atractorul lui �, +� = &�(+) pentru orice 1 ∈ {1,2, … , �} şi +² =&²(+) pentru orice � ∈ Λ`(ℕ�∗ ). Atunci � se numeşte disconex dacă +� ∩ +3 = ∅ pentru

orice 1, = ∈ {1,2, … , �} diferiţi şi total disconex dacă +² ∩ +²¼ = ∅ pentru orice �,�" ∈Λ`(ℕ�∗ ) diferiţi şi orice a ∈ ℕ∗.

Rezultatele principale privind relaţia dintre un sistem iterativ de funcţii finit şi spaţiul codurilor asociat sunt cuprinse în următoarea teoremă:

17

Teorema 2.2.1. ([51], [84]) Dacă (�, B) este un spaţiu metric complet, � = l�, {&j}j �,��n un

sistem iterativ de funcţii finit cu � = a)�j �,�� o1p(&j) < 1 şi + atractorul lui �, atunci:

1). Pentru � ∈ ¯(ℕ�∗ ), +[²]µ½³ ⊂ +[²]µ ⊂ + şi B1)al+[²]µn ⟶ 0 când a ⟶ ∞. Mai

precis, B1)al+[²]µn ≤ �` ∙ B1)a(+).

2). Dacă )² ∈ + este definit prin {)²} = ⋂ +[²]µ`[� , atunci Bl·[²]µ , )²n ⟶ 0 când a ⟶ ∞.

3). + = ⋃ {)²}²∈°(ℕ�∗ ) şi +ª = ⋃ ¾)ª²¿²∈°(ℕ�∗ ) pentru orice ¡ ∈ ¯∗(ℕ�∗ ).

4). Mulţimea ¾·[²]µ|� ∈ ¯(ℕ�∗ )șia ∈ ℕ∗¿ este densă în +.

5). Proiecţia canonică Á: ¯(ℕ�∗ ) ⟶ + dată de Á(�) = )² este continuă şi surjectivă. În

cazul în care sistemul iterativ de funcţii finit � este disconex şi &j sunt injective pentru orice � ∈ {1,2, … , �}, atunci Á este injectivă, deci Á este un homeomorfism.

6). Á ∘ tj = &j ∘ Á, unde &j: + ⟶ +, &j(�) = &j(�) pentru orice � ∈ + şi � ∈ {1,2, … �}. tj

Λ(ℕ�∗ ) Λ(ℕ�∗ )

Á Á

+ +

&j

Remarca 2.2.2. Referitor la punctul 5), subliniem că pentru injectivitatea lui Á este necesar ca funcţiile &j să fie injective pentru orice � ∈ {1,2, … , �}.

De exemplu, dacă toate funcţiile &j sunt constante, &j(�) = )j pentru orice � ∈{1,2, … , �}, atunci pentru orice � = �� … .�� … ∈ Λ(ℕ�∗ ) avem Á(�) = )²³. În ([7]) se

afirmă, în mod eronat, că simplul fapt că � este disconex, asigură injectivitatea lui Á. De asemenea, în cazul de injectivitate, rezultă ca toţi atractorii + sunt mulţimi homeomorfe cu spaţiul Λ(ℕ�∗ ) care este un spaţiu compact, metrizabil şi total disconex.

18

2.3 Conexiunea atractorului unui sistem iterativ de funcţii finit

Următoarea teoremă reprezintă o caracterizare a atractorilor total disconecşi. Caracterizări ale atractorilor total disconecşi au fost studiate pentru prima dată de către R.F. Williams în ([94]).

Teorema 2.3.1. ([44], [82], [94]) Fie (�, B) un spaţiu metric complet şi � = l�, {&j}j �,��n

un sistem iterativ de funcţii finit cu ∑ o1p(&�) < 1�� (deci � = a)�� ,�� o1p(&�) < 1). Fie +

atractorul lui �. Atunci + este total disconexă.

Remarca 2.3.1. În cazul în care ∑ o1p(&�) ≥ 1�� , atractorul poate avea orice fel de structură: poate fi conex (v. teorema 2.3.3 şi remarca 2.3.2) sau poate fi total disconex (v. remarca 2.3.2).

Definiţia 2.3.1. a). Fie � o mulţime nevidă şi (+�)�∈� o familie de submulţimi nevide ale lui �. Atunci familia (+�)�∈� se numeşte conexă dacă pentru orice 1, = ∈ �, 1 ≠ =, există {1j}j �,�� ⊂ � astfel încât 1� = 1, 1� = = şi +�© ∩ +�©½³ ≠ ∅ pentru orice � ∈ {1,2, … , � − 1}. De asemenea, mulţimile +�© de mai sus se vor numi lanţ de la +� la +3). Dacă o familie (+�)�∈� nu este conexă, atunci aceasta se numeşte disconexă.

b). Considerăm pe o familie de mulţimi (+�)�∈� următoarea relaţie: +� ∼ +3 dacă şi numai

dacă există {1j}j �,�� ⊂ � astfel încât 1� = 1, 1� = = şi +�© ∩ +�©½³ ≠ ∅ pentru orice � ∈{1,2, … , � − 1}. Se observă cu uşurinţă că relaţia este una de echivalenţă. Atunci o componentă conexă a familiei (+�)�∈� este o clasă de echivalenţă a relaţiei de mai sus.

Referitor la conexiunea atractorului unui sistem iterativ de funcţii avem următoarea teoremă:

Teorema 2.3.2. ([42], [51]) Fie (�, B) un spaţiu metric complet şi � = l�, {&j}j �,��n un

sistem iterativ de funcţii finit cu � = a)�j �,�� o1p(&j) < 1. De asemenea, considerăm +

atractorul lui � şi notăm cu +� = &�(+) pentru orice 1 ∈ {1,2, . . , �}. Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1). Familia de mulţimi (+�)� �,�� este conexă.

2). + este conexă prin arce.

3). + este conexă.

19

În cazul în care sistemul iterativ de funcţii este format din doar două funcţii injective, atunci atractorul său nu poate fi decât conex sau total disconex, după cum rezultă din următoarea teoremă.

Teorema 2.3.3. ([42], [82]) Fie (�, B) un spaţiu metric complet şi � = (�, {&�, &�}) un sistem

iterativ de funcţii finit cu � = a)�{o1p(&�), o1p(&�)} < 1 şi &�, &� injective. Notăm cu +

atractorul lui � şi cu +� = &�(+) pentru orice 1 ∈ {1,2}. Atunci avem următoarele proprietăţi:

a). Dacă +� ∩ +� ≠ ∅, atunci + este conexă.

b). Dacă +� ∩ +� = ∅, atunci + este total disconexă.

Remarca 2.3.2. Referitor la afirmaţia din teorema 2.3.1, observăm că în cazul în care ∑ o1p(&�) ≥ 1�� putem avea orice situaţie:

a). Luăm � = [0,1] şi &�, &�: � ⟶ � definite prin &�(�) = 6� şi &�(�) = 6�� . Atunci o1p(&�) =o1p(&�) = �� şi atractorul este + = � = [0,1] o mulţime conexă.

b). Putem construi atractori total disconecşi pentru care suma constantelor Lipschitz să fie mai mare sau egală cu 1:

1). Considerăm funcţiile t: [0,1] ⟶ ℝ de forma t(�) = Ä6�e£6�ª pentru orice � ∈ [0,1], unde

, ¡ > 0. Atunci t sau este o constantă sau este strict monotonă, depinzând de cum Å) g ¡Å ≠0 sau nu, deoarece t"(�) = Äª�£e(£6�ª)´.

2). Avem că t([0,1]) = Æeª , Ä�e£�ªÇ dacă t este strict crescătoare sau t([0,1]) = ÆÄ�e£�ª , eªÇ dacă t este strict descrescătoare.

3). Fie � = t([0,1]). Dorim ca � ⊂ [0,1]. Să presupunem varianta când � = Æeª , Ä�e£�ªÇ. Atunci

trebuie îndeplinite următoarele condiţii:

È) + g ≤ + ¡g ≥ 0 g < )¡)¡ − g < ¡�

Acest sistem de inecuaţii admite soluţii. Spre exemplu, putem considera ) = 1, g = 0, =2, ¡ = 2.

4). Aşadar, cu cele de mai sus, putem considera o funcţie &: [0,1] ⟶ [0,1] de forma &(�) =Ä6�e£6�ª.

20

5). Alegem acum funcţia É: [0,1] ⟶ Æ0, �ÊÇ, É(�) = 6�6�� şi obţinem că o1p(É) = ��. Prin

urmare, considerând sistemul iterativ de funcţii injective � = ([0,1], {É, ℎ}), unde ℎ: [0,1] ⟶Æ�� , 1Ç, ℎ(�) = 6�� , obţinem că o1p(É) + o1p(ℎ) = 1, dar atractorul + al lui � verifică É(+) ⊂ É([0,1]) = Æ0, �ÊÇ şi ℎ(+) ⊂ ℎ([0,1]) = Æ�� , 1Ç. Aşadar É(+)∩ ℎ(+) = ∅ şi din

teorema 2.3.3, punctul b), rezultă că + este total disconexă.

6). În acelaşi mod se poate construi un sistem iterativ de funcţii finit în care suma constantelor Lipschitz să fie strict mai mare decât 1, dar atractorul să fie în continuare total disconex. Spre

exemplu, putem lua É(�) = 6�6�� şi Ë(�) = �6��± , ambele definite pe intervalul [0,1]. Avem că o1p(É) + o1p(Ë) = �� + �± = ÌÍ > 1, iar É(+) ∩ Ë(+) ⊂ É([0,1]) ∩ Ë([0,1]) = Æ0, �ÊÇ ∩ Æ�± , 1Ç =∅. Deci + total disconexă.

Definiţia 2.3.2. O mulţime conexă + ≠ ∅ se numeşte semi-local conexă în � ∈ + dacă pentru orice m > 0 există o vecinătate �] ∈ �(�) astfel încât +\�] are un număr finit de componente conexe. Dacă o mulţime + ≠ ∅ este semi-local conexă în orice punct, atunci se numeşte semi-local conexă.

Teorema 2.3.4. ([42], [51], [82]) Fie (�, B) un spaţiu metric complet şi � = l�, {&j}j �,��n

un sistem iterativ de funcţii finit cu � = a)�j �,�� o1p(&j) < 1 şi + atractorul lui �. Dacă +

este conexă, atunci:

1). + este local conexă.

2). + este semi-local conexă.

3). Există o funcţie continuă şi surjectivă É: [0,1] ⟶ +.

Remarca 2.3.3. a). Dacă atractorul unui sistem iterativ de funcţii finit este conex, atunci acesta devine un spaţiu Peano, adică este compact, conex şi local conex.

b). În ([42]) M. Hata ridică următoarea întrebare care se dovedeşte a avea un răspuns negativ: "Este orice mulţime compactă, conexă şi local conexă atractorul unui sistem iterativ de funcţii finit?". Cu alte cuvinte, se pot caracteriza spaţiile Peano cu ajutorul sistemelor iterative de funcţii finite? Răspunsul la această întrebare este negativ, existând cel puţin o mulţime compactă, conexă şi local conexă în plan, care nu este atractorul niciunui sistem iterativ de

funcţii finit. Spre exemplu, fie ) > 0, � ∈ ℕ∗ şi t(), �) = ⋃ Î�Äj Ï × [0, )]j�� . De asemenea,

considerăm mulţimea translatată t� = t()�, ��) + º �� , 0», unde )� = 2�´��´� şi �� = 2�´�

.

Fie + = ([0,1] × {0}) ∪(⋃ t�¬� � ). Atunci + este compactă, conexă, local conexă dar nu

21

este atractorul niciunui sistem iterativ de funcţii finit, după cum se arată în ([53]). Prin urmare, mulţimile compacte, conexe şi local conexe nu pot fi caracterizate prin intermediul sistemelor iterative de funcţii finite. Alte exemple de mulţimi care nu sunt atractorii niciunui sistem iterativ de funcţii finit se pot găsi în ([80], [81]).

Definiţia 2.3.3. Fie (�, B) un spaţiu metric şi &: � ⟶ � o funcţie. Atunci & se numeşte

asemănare dacă există I > 0 astfel încât Bl&(�), &(0)n = I ∙ B(�, 0) pentru orice �, 0 ∈ �.

Observăm că în acest caz o1p(&) = I.

Următorul rezultat reprezintă o caracterizare a segmentelor din spaţiul ℝ`.

Teorema 2.3.5. ([44]) Fie + ⊂ ℝ` o mulţime compactă şi conexă. Atunci + este un segment

dacă şi numai dacă + este atractorul unui sistem iterativ de funcţii finit � = l+, {&�}� �,��n,

unde funcţiile &� sunt asemănări pentru orice 1 ∈ {1,2, … , �} şi ∑ o1p(&�) = 1�� .

Vom aplica rezultatele deomonstrate până acum pentru a determina conexitatea unor atractori cunoscuţi.

Exemplul 2.3.1. ([7], [33], [51]) Considerăm mulţimea ℝ dotată cu distanţa dată de modul şi

funcţiile &�, &�: ℝ ⟶ ℝ definite prin &�(�) = 6� şi &�(�) = 6�� . Fie, de asemenea, sistemul

iterativ de funcţii � = (ℝ, {&�, &�}). Atunci atractorul lui � va fi + = [0,1]. Într-adevăr t�([0,1]) = &�([0,1])∪ &�([0,1]) = Æ0, ��Ç ∪ Æ�� , 1Ç = [0,1]. Avem +� = &�([0,1]) = Æ0, ��Ç, +� = &�([0,1]) = Æ�� , 1Ç şi +� ∩ +� = Î��Ï. Remarcăm că + este conexă şi familia de mulţimi (+�, +�) este conexă.

Exemplul 2.3.2. ([7], [33], [51]) Considerăm mulţimea ℝ dotată cu distanţa dată de modul şi

funcţiile &�, &�: ℝ ⟶ ℝ definite prin &�(�) = 6± şi &�(�) = 6��± . Fie, de asemenea, sistemul

iterativ de funcţii � = (ℝ, {&�, &�}). Atunci atractorul + al lui � va fi mulţimea lui Cantor / = + ⊂ [0,1]. În ceea ce priveşte conexiunea mulţimii lui Cantor avem că +� ⊂ Æ0, �±Ç, +� ⊂ Æ�± , 1Ç şi +� ∩ +� = ∅. Remarcăm că + este total disconexă şi familia de mulţimi (+�, +�) este disconexă. Reamintim, totodată, modul de construire a mulţimii lui Cantor: considerăm intervalul [0,1] ⊂ ℝ. Din acest interval excludem treimea din mijloc, adică

intervalul º�± , �±» rămânând reuniunea intervalelor Æ0, �±Ç ∪ Æ�± , 1Ç = +�. Mai departe vom

exclude treimea din mijlocul fiecărui interval rămânând reuniunea Æ0, �ÐÇ ∪ Æ�Ð , �±Ç ∪ Æ�± , ÌÐÇ ∪

22

ÆÑÐ , 1Ç = +�, etc. În acest mod definim mulţimile +� ⊂ [0,1] pentru orice � ≥ 1, iar mulţimea

"triadică" a lui Cantor va fi / = ⋂ +��[� .

Exemplul 2.3.3. ([51]) Fie � = [0,1] şi ), g > 0 astfel încât ) + g < 1. Considerăm următorul sistem iterativ de funcţii � = (� = [0,1], {&�, &�}), unde &�, &�: � ⟶ � sunt definite prin &�(�) = )� şi &�(�) = g(� − 1) + 1. Fie + atractorul sistemului iterativ de funcţii � şi +� = &�(+) pentru orice 1 ∈ {1,2}. Observăm că +� ⊂ [0, )] şi +� ⊂ [1 − g, 1]. Deci +� ∩+� = ∅. Prin urmare sistemul iterativ de funcţii � este disconex şi conform teoremei 2.2.1, punctul 5), rezultă că proiecţia canonică Á: ¯(ℕ�∗) ⟶ + este injectivă. Cum Á este continuă şi surjectivă, rezultă că Á: ¯(ℕ�∗) ⟶ + este un homeomorfism. În cazul particular în care ) = g = �±, regăsim mulţimea lui Cantor din exemplul 2.3.2.

Exemplul 2.3.4. ([84]) Fie � = [0,1] × [0,1] ⊂ ℝ�. Considerăm următorul sistem iterativ de

funcţii � = (�, {&�, &�, &±, &Ê}), unde &�, &�, &±, &Ê: � ⟶ � sunt definite prin &�(�, 0) = º6± , 7±», &�(�, 0) = º�± + 6Í − 7√±Í , 6√±Í + 7Í», &±(�, 0) = º�� + 6Í + 7√±Í , √±Í − 6√±Í + 7Í» şi &Ê(�, 0) =º6��± , 7±». Atunci atractorul + al sistemului iterativ de funcţii �, se numeşte curba lui Von

Koch. Notăm cu +� = &�(+) pentru orice 1 ∈ {1,2,3,4} şi observăm că +� ∩ +� = Îº�± , 0»Ï, +� ∩ +± = Îº�� , √±Í »Ï şi +± ∩ +Ê = Îº�± , 0»Ï, adică familia de mulţimi (+�, +�, +±, +Ê) este

conexă. Prin urmare + este conexă prin arce. În continuare vom prezenta o schiţa a curbei lui Koch.

Exemplul 2.3.5. ([84]) Considerăm mulţimea ℝ� dotată cu distanţa euclidiană şi funcţiile &�, &�, &±: ℝ� ⟶ ℝ� definite prin &�(�, 0) = º6� , 7�», &�(�, 0) = º6�� , 7�» şi &±(�, 0) = º6� , 7�� ».

Funcţiile &�, &�, &± sunt asemănări ale planului de raţie ��. Fie acum sistemul iterativ de funcţii � = (ℝ, {&�, &�, &±}). Atunci atractorul + al lui � se numeşte triunghiul lui Sierpinski. Avem &�(0,0) = (0,0), &�(1,0) = (1,0) şi &±(0,1) = (0,1). Deci (0,0), (1,0), (0,1) ∈ +. De

asemenea, &�(1,0) = &�(0,0) = º�� , 0» ∈ +�∩ +�, &�(0,1) = &±(0,0) = º0, ��» ∈ +�∩ +±, &�(0,1) = &±(1,0) = º�� , ��» ∈ +�∩ +±. Rezultă că familia de mulţimi (+�, +�, +±) este

conexă şi deci + este conexă prin arce. În continuare vom prezenta o schiţa a triunghiului lui Sierpinski.

23

2.4 Atractori cu mai multe componente conexe

Vom da în continuare o condiţie suficientă ca atractorul unui sistem iterativ de funcţii finit să aibă mai multe componente conexe. Mai întâi însă, vom arăta un rezultat de echivalenţă în ceea ce priveşte mulţimile +² = &²(+) pentru � ∈ Λ`(ℕ�∗ ).

Teorema 2.4.1. Fie (�, B) un spaţiu metric complet şi � = l�, {&j}j �,��n un sistem iterativ

de funcţii finit cu � = a)�j �,�� o1p(&j) < 1. Notăm cu + atractorul lui �, cu +� = &�(+)

pentru orice 1 ∈ {1,2, … , �} şi cu +² = &²(+) pentru orice � ∈ ¯`(ℕ�∗ ), a ∈ ℕ∗. Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1). Mulţimea +� este conexă prin arce pentru orice 1 ∈ {1,2, … , �}. 2). Mulţimea +� este conexă pentru orice 1 ∈ {1,2, … , �}. 3). Mulţimea +² este conexă prin arce pentru orice � ∈ ¯`(ℕ�∗ ) şi a ∈ ℕ∗. 4). Mulţimea +² este conexă pentru orice � ∈ ¯`(ℕ�∗ ) şi a ∈ ℕ∗.

Următorul rezultat reprezintă o condiţie suficientă pentru ca atractorul unui sistem iterativ de funcţii finit să aibă un număr finit de componente conexe.

Teorema 2.4.2. ([72]) Fie (�, B) un spaţiu metric complet şi � = l�, {&j}j �,��n un sistem

iterativ de funcţii finit cu � = a)�j �,�� o1p(&j) < 1. Notăm cu + atractorul lui � şi cu +� = &�(+) pentru orice 1 ∈ {1,2, … , �}. Dacă mulţimea +� este conexă pentru orice 1 ∈{1,2, … , �} atunci:

a). + are un număr finit de componente conexe.

b). + este local conexă prin arce.

Atractorii cu un număr finit de componente conexe se dovedesc a avea o proprietate interesantă şi anume componentele lor devin conexe prin arce. Acest rezultat nu este valabil în situaţia unui atractor cu un număr infinit de componente.


de funcţii finit cu � = a)�j �,�� o1p(&j) < 1 şi + atractorul lui �. Dacă + are un număr finit

de componente conexe, atunci fiecare componentă conexă a sa este conexă prin arce.

24

Exemplul 2.4.1. Fie � ∈ ℕ, � ≥ 3. Considerăm funcţia &: [0,1] ⟶ [0,1] definită prin:

&(�) =ÔÕÖÕ× �2 , dacă� ∈ Ø0, 1�Ù12� , dacă� ∈ �1� , � − 1� Ù�� − � + 22� , dacă� ∈ �� − 1� , 1Ù

Atunci o1p(&) = ��. Fie funcţia É: [0,1] ⟶ [0,1] definită prin É(�) = 1 − &(1 − �). Atunci o1p(É) = ��. Considerăm acum următorul sistem iterativ de funcţii � = ([0,1], {&, É}). Avem

că atractorul lui � este + = Æ0, ��Ç ∪ Æ�� , 1Ç. Într-adevăr &(+) = & ºÆ0, ��Ç ∪ Æ�� , 1Ç» =& ºÆ0, ��Ç» ∪ & ºÆ�� , 1Ç» = Æ0, ��Ç ∪ Æ �� , ��Ç = Æ0, ��Ç şi É(+) = É ºÆ0, ��Ç ∪ Æ�� , 1Ç» =É ºÆ0, ��Ç» ∪ É ºÆ�� , 1Ç» = �1 − & ºÆ�� , 1Ç»� ∪ �1 − & ºÆ0, ��Ç»� = Î1 − Æ �� , ��ÇÏ ∪Î1 − Æ0, ��ÇÏ = Æ�� , �� Ç ∪ Æ�� , 1Ç = Æ�� , 1Ç. Deci t�(+) = +. Aşadar atractorul lui � este + = Æ0, ��Ç ∪ Æ�� , 1Ç. Deoarece � ≥ 3

rezultă că + nu este conexă, dar conţine două componente conexe prin arce.

Exemplul 2.4.2. Considerăm spaţiul ℝ� înzestrat cu metrica euclidiană şi sistemul iterativ de

funcţii finit � = lℝ�, {&j}j �,��n, unde &j(�, 0) = º6�j� , �» pentru orice � ∈ {0, … , � − 1}. Atunci se obţine că atractorul lui � este + = ⋃ Æj� , j�� Ç × {�}��j � . Într-adevăr, pentru

orice � ∈ {0,… , � − 1} avem că:

&j(+) = &j �kØ1� , 1 + 1� Ù × {1}�� = k&j �Ø 1� , 1 + 1� Ù , 1� =��

� �

kØ1 + �� , 1 + 1 + �� Ù × {�} = Ø�� , � + 1� Ù�� × {�}

Aşadar + = ⋃ Æj� , j�� Ç × {�} = ⋃ &j(+)��j ��j � . Remarcăm că A are � componente conexe

care sunt toate conexe prin arce.

Remarca 2.4.1. Teorema 2.4.3 nu este valabilă în cazul atractorilor cu o infinitate de componente conexe. Următorul exemplu reprezintă un atractor cu o infinitate de componente conexe dintre care una nu este conexă prin arce.

25

Exemplul 2.4.3. Considerăm următoarea mulţime din planul ℝ� înzestrat cu metrica euclidiană:

+ = ({0} × [0,1]) ∪ Úk� 12�Û × [0,1]��[� Ü = +∗ ∪�k+��[� �

unde +∗ = {0} × [0,1] şi +� = Î ��Ï × [0,1] pentru orice � ∈ ℕ. Atunci + este atractorul

sistemului iterativ de funcţii �� = (+, {&�, &�, &�, &±}), unde &�: + ⟶ ℝ� sunt definite pentru

orice 1 ∈ {0,1,2,3} prin &�(�, 0) = º6� , 7�», &�(�, 0) = º6� , 7�� », &�(�, 0) = º1, 7�» şi &±(�, 0) =º1, 7�� ». Remarcăm că + are o infinitate de componente conexe. Considerăm acum funcţia &Ê: + ⟶ ℝ� definită prin:

&Ê(�, 0) =ÔÕÖÕ×º�2 − 02�� , 02 + 3» , dacă(�, 0) ∈ +��pentruorice� ∈ ℕº�4 + 02��± , 02 + 3» , dacă(�, 0) ∈ +��pentruorice� ∈ ℕ

º0, 02 + 3» , dacă(�, 0) ∈ +∗

Atunci &Ê este o contracţie şi - = &Ê(+) este o mulţime conexă care nu este conexă prin arce. De fapt &Ê transformă orice linie verticală a lui + într-o linie oblică a lui - astfel încât segmentul determinat de <(1,0) şi Þ(1,1) se duce în segmentul ß� determinat de à� º�� , 3» şi á� º�Ê , Ì�», segmentul determinat de <� º�� , 0» şi Þ� º�� , 1» se duce în segmentul ß�

determinat de à� º�Ê , Ì�» = á� şi á� º�Ñ , 3», segmentul determinat de <� º�Ê , 0» şi Þ� º�Ê , 1» se

duce în segmentul ß± determinat de à± º�Ñ , 3» = á� şi á± º ��Í , Ì�», etc. La sfârşit, segmentul

determinat de �(0,0) şi à(0,1) se va duce în segmentul � determinat de �"(0,3) şi à" º0, Ì�».

Fie É�, É�, É�, É±, ÉÊ: + ∪ - ⟶ + ∪ - funcţiile definite prin É�|â = &� pentru orice 1 ∈{0,1,2,3,4}, É�(-) = {(0,0)}, É�(-) = {(0,1)}, É�(-) = {(1,0)}, É±(-) = {(1,1)} şi ÉÊ(-) = {(0,3)}, unde &�: + ⟶ ℝ� sunt definite anterior pentru orice 1 ∈ {0,… ,4}. Atunci / = + ∪ - va fi atractorul sistemului iterativ de funcţii �� = (+ ∪ -, {É�, É�, É�, É±, ÉÊ}). Remarcăm că + ∪ - are o infinitate de componente conexe, dar nu toate dintre acestea sunt conexe prin arce. Mai exact - nu este conexă prin arce.

2.5 Dendrite

În linii mari, dendritele reprezintă un analog topologic al arborilor din teoria grafurilor. Asocierea dintre un atractor al unui sistem iterativ de funcţii finit şi o dendrită a fost făcută pentru prima dată în ([42]) de către M. Hata, unele rezultate fiind apoi generalizate în ([48]) de către A. Kameyama. Scopul acestui subcapitol este de a studia atractorii sistemelor

26

iterative de funcţii finite prin intermediul grafurilor asociate şi de a deduce situaţii în care aceştia devin dendrite.

Fie (�, �) un spaţiu topologic nevid. Spunem că două drumuri 5 şi ã în �, 5: [), g] ⟶ �, ã: [ , ¡] ⟶ � sunt echivalente dacă există ℎ: [ , ¡] ⟶ [), g] homeomorfism strict crescător astfel încât 5 ∘ ℎ = ã. Remarcăm că echivalenţa de drumuri în � este într-adevăr o relaţie de echivalenţă (reflexivitatea: dacă ℎ = �B atunci 5 ∘ ℎ = 5; simetria: dacă 5 ∘ ℎ = ã atunci 5 = ã ∘ ℎ��; tranzitivitatea: dacă 5 ∘ ℎ = ã şi ã ∘ ℎ� = ä atunci 5 ∘(ℎ ∘ ℎ�) = (5 ∘ ℎ) ∘ ℎ� = ã ∘ ℎ� = ä). În aceste condiţii, o clasă de echivalenţă de drumuri se numeşte curbă.

Definiţia 2.5.1. Numim dendrită un spaţiu topologic (�, �) compact, conex şi local conex care are următoarea proprietate: pentru orice �, 0 ∈ �, � ≠ 0, există 5: [0,1] ⟶ � continuă şi injectivă astfel încât 5(0) = � şi 5(1) = 0 şi, în plus, dacă mai există ã: [0,1] ⟶ � continuă şi injectivă astfel încât ã(0) = � şi ã(1) = 0, atunci ã este echivalent cu 5.

Definiţia 2.5.2. 1). Printr-un graf (finit) înţelegem o pereche (�, å), unde � este o mulţime finită de vârfuri şi å este o submulţime a lui � × � = {(1, =)|1, = ∈ �}. Un element (1, =) ∈ å se va numi muchie.

2). Un graf (�, å) se numeşte simetric dacă pentru orice (1, =) ∈ å avem (=, 1) ∈ å.

De acum înainte, vom lucra numai cu grafuri simetrice.

3). Fie (�, å) un graf şi �, 0 ∈ � oarecare. Un drum de la � la 0 este o familie de vârfuri (æ�, æ�, … , æj) cu æ� = �, æj = 0 şi pentru orice 1 ∈ {1,2, … , } avem (æ��, æ�) ∈ å. Prin lungimea unui drum vom înţelege numărul muchiilor care intră în componenţa acestuia.

4). Fie (�, å) un graf. Un drum (æ�, æ�, … , æj) se numeşte ciclu dacă: � ≥ 3, æ� = æj şi æ�, æ�, … , æj�� sunt diferite.

5). Un graf (�, å) se numeşte conex dacă pentru orice �, 0 ∈ �, � ≠ 0 există un drum de la � la 0.

6). Un graf (�, å) se numeşte un arbore dacă este conex şi nu are cicluri.

Definiţia 2.5.3. Fie � o mulţime nevidă şi (+�)�∈� o familie de submulţimi nevide ale lui �. Atunci:

1). Graful (�, å), unde å = ¾(1, =)|1, = ∈ �astfelîncât+� ∩ +3 ≠ ∅și1 ≠ =¿ se numeşte

graful intersecţiilor asociat familiei (+�)�∈�. În mod clar, graful intersecţiilor este simetric, pentru a ne încadra în condiţia menţionată anterior.

27

2). Familia (+�)�∈� se numeşte arbore de mulţimi dacă pentru orice 1, = ∈ � astfel încât 1 ≠ = există un unic şir (1j)j �,�� ⊂ �, cu 1�, … , 1� diferiţi, astfel încât 1� = 1, 1� = = şi +�© ⋂+�©½³ ≠∅ pentru orice � ∈ {1,2, … , � − 1}.

În situaţia în care nu există nicio confuzie asupra mulţimii vârfurilor, pentru uşurinţa notaţiei, graful intersecţiilor asociat unei familii de mulţimi va fi notat doar prin å.

Remarca 2.5.1. a). Familia (+�)�∈� este un arbore de mulţimi dacă şi numai dacă graful intersecţiilor asociat este un arbore.

Într-adevăr, să presupunem că familia (+�)�∈� este un arbore de mulţimi. Atunci graful (�, å) este în mod clar conex. Să presupunem acum că există ciclul l1�, … , 1~, 1~��n, 1~�� = 1�,

în å. Atunci există muchiile (1�, 1�),… , l1~��, 1~n, l1~, 1�n în å. În aceste condiţii să

considerăm indicii 1� şi 1~. Pentru aceştia găsim două şiruri de indici l1�, … , 1~n ⊂ � şi l1~, 1�n ⊂ � care unesc +�³ şi +�ç. Contradicţie cu faptul că (+�)�∈� este un arbore de mulţimi.

Pentru reciprocă, să presupunem că familia (+�)�∈� nu este un arbore de mulţimi. Atunci sau i) sau ii), unde:

i). Există 1, = ∈ � şi cel puţin două şiruri de indici (1j)j �,�� ⊂ �, cu 1�, … , 1� diferiţi şi l=~n~ �,`�� ⊂ �, cu =�, … , = diferiţi, astfel încât 1� = 1, 1� = = şi +�© ⋂+�©½³ ≠ ∅ pentru orice � ∈ {1,2, … , � − 1} şi =� = 1, = = = şi +3ç ⋂+3ç½³ ≠ ∅ pentru orice p ∈ {1,2, … ,a − 1}. Remarcăm, mai întâi, că 1� = 1 = =� şi 1� = = = = . Atunci există în å următorul ciclu (1�, 1�, … , 1��, 1� = = , =`��, … , =�, 1�). Contradicţie cu faptul că å este un arbore.

ii). Există 1, = ∈ � pentru care nu există niciun şir de indici (1j)j �,�� ⊂ �, cu 1�, … , 1� diferiţi,

astfel încât 1� = 1, 1� = = şi +�© ⋂+�©½³ ≠ ∅ pentru orice � ∈ {1,2, … , � − 1}. Atunci nu

există niciun drum în å de la 1 la =, cu alte cuvinte, graful å nu este conex.

b). Familia (+�)�∈� este conexă dacă şi numai dacă graful intersecţiilor asociat este conex.

c). Dacă familia (+�)�∈� este un arbore de mulţimi, atunci intersecţia a trei mulţimi diferite din familie este vidă.

Într-adevăr, dacă am presupune că există trei mulţimi +� , +3 , +j ∈ (+�)�∈� pentru care +� ∩ +3 ∩ +j ≠ ∅, atunci cu necesitate +� ∩ +3 ≠ ∅, +� ∩ +j ≠ ∅ şi +3 ∩ +j ≠ ∅. Aceasta

înseamnă că există muchiile (1, =), (=, �) şi (�, 1) în graful intersecţiilor å asociat familiei de mulţimi (+�)�∈�. Cu alte cuvinte, (1, =, �, 1) formează un ciclu în å, deci familia (+�)�∈� nu este un arbore de mulţimi. Contradicţie cu punctul a).

28

Lema 2.5.1. Fie (�, B) o dendrită şi +�, … , +� ⊂ � submulţimi ale lui �, � ∈ ℕ∗, cu

proprietatea că ⋂ +� ≠ ∅�� şi +� este o dendrită pentru orice 1 ∈ {1,2, … , �}. Atunci

mulţimea - = +� ∩. . .∩ +� este o dendrită.

Corolarul 2.5.1. Fie (�, B) un spaţiu metric complet şi � = l�, {&j}j �,��n un sistem iterativ

de funcţii finit cu � = a)�j �,�� o1p(&j) < 1. Notăm cu + atractorul lui � si cu +j = &j(+)

pentru orice � ∈ {1,2, … , �}. Presupunem că &j este injectivă pe + pentru orice � ∈{1,2, … , �} şi că + este o dendrită. Atunci +�³ ∩. . .∩ +�µ este o dendrită pentru orice 1�, … , 1` ∈ {1,2, … , �}, a ∈ ℕ∗, astfel încât ⋂ +�2 ≠ ∅3 � .

Lema 2.5.2. Fie [), g] şi [)�, g�] două intervale reale, + ⊂ [), g] şi +� ⊂ [)�, g�] două

mulţimi dense în [), g] respectiv în [)�, g�] şi æ: + ⟶ +� o funcţie bijectivă şi crescătoare.

Atunci există o unică funcţie continuă, bijectivă şi crescătoare è: [), g] ⟶ [)�, g�] astfel

încât è(�) = æ(�) pentru orice � ∈ +.

În continuare, vom nota cu é([0,1]) mulţimea diviziunilor intervalului [0,1]. Lema 2.5.3. Fie (�, B) un spaţiu metric şi 5, 5": [0,1] ⟶ � două funcţii continue şi injective astfel încât există două şiruri de diviziuni ale intervalului [0,1], (ê�)�∈ℕ ∈ é([0,1]) şi (ê�")�∈ℕ ∈ é([0,1]) cu următoarele proprietăţi:

a). ê� ⊂ ê�� şi ê�" ⊂ ê��" pentru orice Ë ∈ ℕ.

b). ê� = l0 = 0�� < 0�� < ⋯ < 0�ì� = 1n şi ê�" = l0 = E�� < E�� < ⋯ < E�ì� = 1n au acelaşi

număr de elemente pentru orice Ë ∈ ℕ.

c). ||ê�|| ⟶ 0 şi ||ê�"|| ⟶ 0 când Ë ⟶ ∞, unde í|∆|í = a)�j �,�� |0j�� − 0j| dacă ∆= () = 0� < 0� < ⋯ < 0� = g) este o diviziune oarecare a unui interval [), g] ⊂ ℝ, ) <g,

d). 5l0j� n = 5"lEj� n pentru orice Ë ∈ ℕ şi � ∈ {0,1, … , ��}. Atunci există o unică funcţie continuă, bijectivă şi crescătoare è: [0,1] ⟶ [0,1] astfel

încât 5" ∘ è = 5, adică 5 şi 5" sunt echivalente.

Lema 2.5.4. Fie (�, B) un spaţiu metric şi 5, 5": [0,1] ⟶ � două funcţii continue şi injective

astfel încât există două şiruri de diviziuni ale intervalului [0,1], (ê�)�∈ℕ ∈ é([0,1]) şi (ê�")�∈ℕ ∈ é([0,1]) cu următoarele proprietăţi:

29

a). ê� = l0 = 0�� < 0�� < ⋯ < 0�ì� = 1n şi ê�" = l0 = E�� < E�� < ⋯ < E�ì� = 1n au acelaşi

număr de elemente pentru orice Ë ∈ ℕ.

b). ||ê�|| ⟶ 0 şi ||ê�"|| ⟶ 0 când Ë ⟶ ∞.

c). a)�j �,�ì�� B º5l0j� n, 5"lEj� n» ⟶ 0 când Ë ⟶ ∞.

Atunci există o unică funcţie continuă, bijectivă şi crescătoare è: [0,1] ⟶ [0,1] astfel

încât 5" ∘ è = 5, adică 5 şi 5" sunt echivalente.

Lema 2.5.5. Fie (�, B) un spaţiu metric complet astfel încât � = ⋃ +�� , unde +� este o

mulţime compactă pentru orice 1 ∈ {1,… , �} şi �)IBl+� ∩ +3n ∈ {0,1} pentru orice 1, = ∈{1,… , �}diferiţi. Presupunem că å, graful intersecţiilor asociat familiei de mulţimi (+j)j �,��, este un arbore. Atunci pentru orice funcţie continuă şi injectivă 5: [0,1] ⟶ �

astfel încât 5(0) ∈ +� şi 5(1) ∈ +� avem că 5([0,1]) ⊂ +� unde Ë ∈ {1,… , �}.

Lema 2.5.6. Fie (�, B) un spaţiu metric complet astfel încât � = ⋃ +�� , unde +� este o

mulţime compactă pentru orice 1 ∈ {1,… , �}. Presupunem că å, graful intersecţiilor asociat

familiei de mulţimi (+j)j �,��, este un arbore. Fie �, 0 ∈ �, � ≠ 0 şi Î+�2Ï3 �,`�� ⊂ � astfel

încât 1�, … , 1` ∈ {1,… , �} diferiţi, � ∈ +�ï, � ∉ +�³, 0 ∈ +�µ , 0 ∉ +�µñ³ şi +�2 ⋂+�2½³ ≠ ∅

pentru orice = ∈ {0,… ,a − 1}, a ∈ ℕ, a ≥ 2. Atunci pentru orice funcţie continuă şi

injectivă 5: [0,1] ⟶ � astfel încât 5(0) = � şi 5(1) = 0 există o diviziune ê =(0 < 0� < 0� < ⋯ < 0`�� < 1) a intervalului [0,1] astfel încât 5l03n ∈ +�2 ⋂+�2½³ pentru

orice = ∈ {0,… ,a − 1}.

Vom da acum două caracterizari ale dendritelor ca atractori ai unor sisteme iterative de funcţii finite.


de funcţii finit cu � = a)�j �,�� o1p(&j) < 1. Notăm cu + atractorul lui �, cu +j = &j(+)

pentru orice � ∈ {1,… , �} şi cu å graful intersecţiilor asociat familiei de mulţimi (+j)j �,��. Presupunem că următoarele condiţii sunt îndeplinite:

a). +� ∩ +3 este total disconexă sau vidă pentru orice 1, = ∈ {1, . . , �} diferiţi.

b). +� ∩ +3 ∩ +j = ∅ pentru orice 1, =, � ∈ {1,… , �} diferiţi.

c). &j este injectivă pe + pentru orice � ∈ {1,… , �}. Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente:

30

1). + este o dendrită.

2). å este un arbore şi �)IBl+� ∩ +3n ∈ {0,1} pentru orice 1, = ∈ {1,… , �} diferiţi.


de funcţii finit cu � = a)�j �,�� o1p(&j) < 1. Notăm cu + atractorul lui � şi cu å` graful

intersecţiilor asociat familiei de mulţimi (+²)²∈°µ(ℕ�∗ ) pentru orice a ∈ ℕ∗. Dacă graful å`

este un arbore pentru orice a ∈ ℕ∗, atunci + este o dendrită.

Notaţia 2.5.1. Fie (�, B) un spaţiu metric complet şi � = l�, {&j}j �,��n un sistem iterativ de

funcţii finit şi å` graful intersecţiilor asociat familiei de mulţimi (+²)²∈°µ(ℕ�∗ ) pentru orice a ∈ ℕ∗. Prin &j(å`) vom înţelege graful:

&j(å`) = ({� | ∈ Λ`(ℕ�∗ )}, {(� , �¡)|( , ¡) ∈ å`})

pentru orice � ∈ {1,2, … , �}. Cu alte cuvinte vârfurile din &j(å`) vor fi vârfurile din å`, rescrise primind în faţă litera �, iar muchiile din &j(å`) vor corespunde cu cele din å`.

Exemplul 2.5.1. (Arborele lui Hata)

Definim „arborele lui Hata” conform ([51]). Fie � = ℂ. Considerăm funcţiile &�, &�: ℂ ⟶ ℂ, &�(E) = �E şi &�(E) = (1 − |�|�)E + |�|�, unde � ∈ ℂ astfel încât |�|, |1 − �| ∈(0,1). Atractorul sistemului iterativ de funcţii � = (�, {&�, &�}) se numeşte "Arborele lui Hata" şi se va nota cu �. Fie, de asemenea, + = {�|� ∈ [0,1]} ∪ {��|� ∈ [0,1]}. Atunci + ⊂ &�(+) ∪ &�(+) = tó(+) şi, prin urmare, conform lemei 2.1.1, atractorul � =⋃ t�[`](+)`[�� ⊃ +. Considerăm acum +� = &�(�), +� = &�(�) şi avem, conform ([51]), că +� ∩ +� = {|�|�}. Mai mult, observăm că +� ∩ +3 ∩ +j = ∅ pentru orice 1, =, � ∈ {1,2} diferiţi, pentru că, de fapt, nu putem alege asemenea indici şi &�, &� sunt funcţii injective. Deci, sunt îndeplinite ipotezele teoremei 2.5.1. Totodată, graful intersecţiilor å = å� ={(1,2)} este un arbore şi �)IB(+� ∩ +�) = 1. Prin urmare, conform teoremei 2.5.1, � este o

dendrită. Calculăm acum grafurile asociate familiei de mulţimi l+² = &²(�)n²∈°µ(ℕ∗ ) pentru orice a ∈ ℕ∗. Avem:

i). +� ∩ +� = {|�|�} implică å� = {(1,2)}. ii). Prin aplicarea funcţiilor &� şi &� relaţiei din i), obţinem că +�� ∩ +�� = {&�(|�|�)} ={�|�|�} şi +�� ∩ +�� = {&�(|�|�)} = {(2 − |�|�)|�|�}. Totodată, observăm că &�l&�(1)n =|�|� şi &�l&�(0)n = |�|�. Prin urmare, +�� ∩ +�� = {|�|�}.

31

Mai mult, +�� ∩ +�� = +�� ∩ +�� = +�� ∩ +�� = ∅. Într-adevăr, să presupunem, spre exemplu, că +�� ∩ +�� ≠ ∅. Cum +�� ⊂ +� şi +�� ⊂ +� urmează că +�� ∩ +�� ⊂ +� ∩ +� ={|�|�}. Deci +�� ∩ +�� = {|�|�} = +�� ∩ +��. Aşadar +�� ∩ +�� ∩ +�� = {|�|�}. Dar +�� ∩ +�� = {(2 − |�|�)|�|�} şi, prin urmare (2 − |�|�)|�|� = |�|� ⟹ 2 − |�|� = 1 ⟹|�|� = 1 ⟹ |�| = 1 ceea ce reprezintă o contradicţie. Acum, celelalte cazuri se pot trata analog. Aşadar, am obţinut că å� = {(11,12), (11,21), (21,22)}. iii). Raţionamentul se poate continua similar cazului ii) şi se obţin, astfel, grafurile å` pentru orice a ≥ 1. Sintetizând, avem următoarele grafuri:

å�: (1,2).

å�: (11,12), (11,21), (21,22).

å±: (111,121), (121,122), (111,112), (112,211), (211,212), (211,221), (221,222). åÊ: (1111,112), (1112,1211), (1211,1212), (1211,1221), (1221,1222), (1111,1121), (1121,1122), (1122,2111), (2111,2121), (2121,2122), (2111,2112), (2112,2211), (2211,2212), (2211,2221), (2221,2222). În general: å`: &�(å`��),(1122…2,211…1), &�(å`��).

Obţinem, astfel, că å` sunt arbori cu 2` − 1 muchii pentru orice a ∈ ℕ∗. Prin urmare, conform teoremei 2.5.2, � este o dendrită.

Exemplul 2.5.2. (Mulţime de tip „cruce”)

Fie � = ℂ. Considerăm funcţiile &3: ℂ ⟶ ℂ, = ∈ {0,… ,4}, definite prin &�(E) = õ±, &�(E) = õ��± , &�(E) = õ��± , &±(E) = õ��± şi &Ê(E) = õ��± . Atractorul sistemului iterativ de

funcţii � = (ℂ, {&�, &�, &�, &±, &Ê}) este o mulţime de tip „cruce” şi se va nota cu +(�). Fie, de asemenea mulţimea + = {E = � + 10||�| + |0| ≤ 1}. Atunci, remarcăm că:

t�(+) = &�(+) ∪ &�(+) ∪ &�(+) ∪ &±(+) ∪ &Ê(+) =

�+3� ∪ �+ + 23 � ∪ �+ + 213 � ∪ �+ − 23 � ∪ �+ − 213 � ⊂ +

Aşadar, conform lemei 2.1.1, atractorul +(�) = ⋂ t�[`](+)��`[� ⊂ +. Punctele fixe ale

contracţiilor &�, &�, &�, &±, &Ê sunt 0,1, 1, −1 respectiv – 1 şi, prin urmare, 0,1, 1, −1,−1 ∈ +(�).

Considerăm acum +3 = &3l+(�)n pentru orice = ∈ {0,… ,4} şi avem următoarele:

32

a). Pe de o parte, +� ∩ +� = &�l+(�)n ∩ &�l+(�)n ⊂ &�(+) ∩ &�(+) = ºd±» ∩ ºd��± » = Î�±Ï şi

pe de altă parte &�(1) = &�(−1) = �±. Aşadar +� ∩ +� = Î�±Ï.

Similar se obţine că +� ∩ +� = Î��± Ï, +� ∩ +± = Î− �±Ï şi +� ∩ +Ê = Î− ��± Ï. De

asemenea +� ∩ +� ⊂ ºd��± » ∩ ºd��± » = ∅, +� ∩ +± ⊂ ºd��± » ∩ ºd��± » = ∅, +� ∩ +Ê ⊂ºd��± » ∩ ºd��± » = ∅, +� ∩ +± ⊂ ºd��± » ∩ ºd��± » = ∅, +� ∩ +Ê ⊂ ºd��± » ∩ ºd��± » = ∅ şi +± ∩ +Ê ⊂ ºd��± » ∩ ºd��± » = ∅.

b). +� ∩ +3 ∩ +j = ∅ pentru orice 1, =, � ∈ {0, … ,4} diferiţi. Într-adevăr, deoarece 1, =, � sunt

diferiţi, rezultă că există doi indici, să zicem = ≠ �, astfel încât =, � ∈ {1,2,3,4}. Atunci, conform punctului a), +3 ∩ +j = ∅ şi, prin urmare, +� ∩ +3 ∩ +j = ∅ pentru orice 1, =, � ∈{0,… ,4} diferiţi.

c). Funcţiile &�, &�, &�, &±, &Ê sunt injective.

Deci, sunt îndeplinite ipotezele teoremei 2.5.1. De asemenea, graful intersecţiilor å = å� = {(0,1), (0,2), (0,3), (0,4)} este un arbore şi �)IBl+� ∩ +3n ∈ {0,1} pentru orice 1, = ∈ {0,… ,4} diferiţi. Prin urmare, conform teoremei 2.5.1, +(�) este o dendrită. Calculăm

acum grafurile asociate familiei de mulţimi º+² = &²l+(�)n»²∈°µ(ℕ÷) pentru orice a ∈ ℕ∗.

Avem următoarele:

i). +� ∩ +� ≠ ∅, +� ∩ +� ≠ ∅, +� ∩ +± ≠ ∅, +� ∩ +Ê ≠ ∅ şi +� ∩ +3 = ∅ pentru orice 1, = ∈ {1,2,3,4} diferiţi. Deci å� = {(0,1), (0,2), (0,3), (0,4)}. ii). Prin aplicarea funcţiilor &�, &�, &�, &±, &Ê relaţiilor din i), obţinem că:

+�� ∩ +�� ≠ ∅, +�� ∩ +�� ≠ ∅, +�� ∩ +�± ≠ ∅ şi +�� ∩ +�Ê ≠ ∅, deci muchiile (00,01), (00,02), (00,03) şi (00,04) sunt în å�.



+±� ∩ +±� ≠ ∅, +±� ∩ +±� ≠ ∅, +±� ∩ +±± ≠ ∅ şi +±� ∩ +±Ê ≠ ∅, deci muchiile (30,31), (30,32), (30,33) şi (30,34) sunt în å�.

+Ê� ∩ +Ê� ≠ ∅, +Ê� ∩ +Ê� ≠ ∅, +Ê� ∩ +Ê± ≠ ∅ şi +Ê� ∩ +ÊÊ ≠ ∅, deci muchiile (40,41), (40,42), (40,43) şi (40,44) sunt în å�.

Mai mult, deoarece &�l&�(1)n = &�l&±(−1)n = �±, &�l&�(1)n = &�l&Ê(−1)n = �±, &�l&±(−1)n = &±l&�(1)n = − �± şi &�l&Ê(−1)n = &Êl&�(1)n = − �±, rezultă că +�� ∩ +�± ≠ ∅,

33

+�� ∩ +�Ê ≠ ∅, +�± ∩ +±� ≠ ∅, +�Ê ∩ +Ê� ≠ ∅ şi, deci, muchiile (01,13), (02,24), (03,31) şi (04,42) sunt, de asemenea, în å�.

Remarcăm, totodată, că toate celelalte intersecţii rămase verifică +�3 ∩ +j� = ∅ (spre

exemplu, putem considera cazul lui +�� ∩ +�� ⊂ &��(+) ∩ &��(+) = ºdÐ» ∩ ºd�ÍÐ » = ∅, toate

celelalte variante tratându-se similar).

iii). Raţionamentul se poate continua similar cazului ii) şi se obţin, astfel, grafurile å` pentru orice a ≥ 1. Sintetizând, avem următoarele grafuri:

å�: (0,1), (0,2), (0,3), (0,4). å�: (00,01), (00,02), (00,03), (00,04), (01,13), (13,10), (10,11), (10,12), (10,14), (02,24), (24,20), (20,21), (20,22), (20,23), (03,31), (31,30), (30,32), (30,33), (30,34), (04,42), (42,40), (40,41), (40,43), (40,44).

În general: å`: &�(å`��), (011…1,133…3), &�(å`��), (022…2,244…4), &�(å`��), (033…3,311…1), &±(å`��), (044…4,422…2), &Ê(å`��).

Obţinem, astfel, că å` sunt arbori cu 5` − 1 muchii pentru orice a ∈ ℕ∗. Prin urmare, conform teoremei 2.5.2, +(�) este o dendrită.

34

Capitolul 3

Sisteme iterative de funcţii infinite

Sistemele iterative de funcţii infinite apar ca o generalizare firească a sistemelor finite. Acestea se împart în sisteme numărabile şi sisteme nenumărabile sau infinite arbitrare (a se vedea ([93]), lucrare de pionierat). În mod frecvent, teoria sistemelor infinite se construieşte pentru sistemele infinite arbitrare, iar cazul numărabil este adesea folosit pentru a da exemple sau contraexemple. În ([57]) L. Máté generalizează noţiunea de atractor, care este în acest caz o mulţime închisă şi mărginită, dar nu neapărat compactă. De asemenea, legătura cu spaţiul codurilor a atractorului este stabilită în ([67]).

3.1 Atractorul unui sistem iterativ de funcţii infinit

În continuare vom introduce atractorul unui sistem iterativ de funcţii infinit.

Definiţia 3.1.1. Fie (�, B?) şi (@, BA) două spaţii metrice. O familie (&�)�∈� de funcţii continue de la � la @ se numeşte mărginită dacă mulţimea ⋃ &�(+) ⊂ @�∈� este mărginită pentru orice submulţime mărginită + ⊂ �.

Definiţia 3.1.2. Un sistem iterativ de funcţii infinit pe un spaţiu metric complet (�, B) constă dintr-o familie mărginită de funcţii continue {&�}�∈� pe � şi se notează prin � = (�, {&�}�∈�). Totodată, pentru un sistem iterativ de funcţii infinit, operatorul fractal t�: ℬ(�) ⟶ ℬ(�) se defineşte prin:

t�(-) = k&�(-)�∈��

pentru orice - ∈ ℬ(�).

Lema 3.1.1. ([67], [93]) Fie (�, B) un spaţiu metric complet şi � = (�, {&�}�∈�) un sistem

iterativ de funcţii infinit astfel încât familia de funcţii (&�)�∈� este mărginită şi � =ùèp�∈� o1p(&�) < 1. Atunci t� este o contracţie care satisface o1p(t�) ≤ �.

Folosind principiul contracţiei putem demonstra existenţa şi unicitatea atractorului în cazul sistemelor infinite.

35

Teorema 3.1.1. ([62], [67], [84]) Fie (�, B) un spaţiu metric complet şi � = (�, {&�}�∈�) un

sistem iterativ de funcţii infinit astfel încât familia de funcţii (&�)�∈� este mărginită şi � =ùèp�∈� o1p(&�) < 1. Atunci există o unică mulţime + ∈ ℬ(�), care se numeşte atractorul lui �, astfel încât t�(+) = +. Mai mult, pentru orice �� ∈ ℬ(�), şirul (��)�[� definit prin �� = t�(��) este convergent la +. Pentru viteza de convergenţă avem următoarea

estimare: ℎ(��, +) ≤ �� ℎ(��, ��) pentru orice � ∈ ℕ∗.

Remarca 3.1.1. a). În general atractorul unui sistem iterativ de funcţii infinit este o mulţime închisă şi mărginită. În particular, dacă se consideră spaţiul metric (�, B) compact, rezultă că atractorul este compact.

b). În condiţiile teoremei 3.1.1, dacă presupunem că � = sup�∈� o1p(&�) = 1 nu obţinem unicitatea atractorului unui sistem iterativ de funcţii infinit, după cum se poate vedea din următorul exemplu:

Exemplul 3.1.1. Considerăm următorul sistem iterativ de funcţii numărabil � = (ℝ, {&�}�[�),

unde &�: ℝ ⟶ ℝ sunt definite prin &�(�) = º1 − ��» � pentru orice � ∈ ℝ şi � ∈ ℕ, � ≥ 2.

Fie ), g ∈ ℝ astfel încât ) ≤ 0 ≤ g. Atunci operatorul fractal t�: ℬ(ℝ) ⟶ ℬ(ℝ) îndeplineşte următoarea condiţie:

t�([), g]) = k&�([), g])�[�� = kØ) − )� , g − g�Ù�[�

�� = [), g] Prin urmare intervalele [), g] ⊂ ℝ cu ) ≤ 0 ≤ g sunt atractori ai lui �.

3.2 Spaţiul codurilor asociat unui sistem iterativ de funcţii infinit

Pentru completitudinea lucrării reamintim unele notaţii referitoare la spaţiul codurilor asociat unui sistem iterativ de funcţii infinit, unele dintre ele fiind similare cu cazul finit. Pentru două mulţimi nevide + şi -, -d reprezintă mulţimea funcţiilor din + în -. Vom nota cu ℕ�∗ = {1,2, … , �} pentru orice � ≥ 1. Fie - o mulţime nevidă fixată. Prin Λ = Λ(-) vom

întelege mulţimea -ℕ∗ şi prin Λ� = Λ�(-) vom întelege mulţimea -ℕ�∗ .

Elementele mulţimii Λ = Λ(-) pot fi descrise sub forma unor cuvinte infinite � =�� …�` … unde �` ∈ -, iar elementele mulţimii Λ� = Λ�(-) pot fi scrise sub formă de cuvinte finite � = �� …��. Vom spune ca Λ(-) este mulţimea cuvintelor infinite cu litere din alfabetul -, iar Λ�(-) este mulţimea cuvintelor finite de lungime � cu litere din alfabetul -.

36

Prin Λ∗ = Λ∗(-) vom înţelege mulţimea tuturor cuvintelor finite cu litere din alfabetul -, adică: Λ∗ = Λ∗(-) = (⋃ Λ�(-)�[� ) ∪ {�}, unde � este cuvântul vid. Dacă � =�� …�` … sau � = �� …�� şi � ≥ a, atunci [�]` = �� …�`. Dacă � =�� …�` … sau � = �� …�� şi � ≥ a > �, atunci [�]j = �j��j�� …�`. Deci [�]` = [�]� . Pentru � ∈ Λ∗, |�| reprezintă lumgimea cuvântului �. Observăm că |�| = 0. Prin definiţie, dacă � ∈ Λ, atunci |�| = ∞. Pentru două cuvinte ∈ Λ�(-) şi ¡ ∈ Λ`(-) sau ∈ Λ�(-) şi ¡ ∈ Λ(-) prin ¡ vom înţelege concatenarea cuvintelor şi ¡, mai precis, ¡ = � � … �¡�¡� …¡` sau respectiv ¡ = � � … �¡�¡� …¡` …. Pentru ∈ Λ∗şi ¡ ∈ Λ∗ sau ¡ ∈ Λ, spunem că ¡ prelungeşte pe şi notăm ≺ ¡ dacă | | ≤ |¡| şi [¡]|£| = . Prin convenţie � = şi [ ]� = � pentru orice ∈ Λ∗(-)⋃Λ(-). Pe Λ = Λ(�) = (�)ℕ∗ considerăm distanţa:

B¤( , ¡) = ¥¦1 − ¨£©ª©3j ¦¬j �

unde ¨67 = 1, dacă� = 00, dacă� ≠ 0 . Atunci perechea (Λ(�), B¤) devine un spaţiu metric complet.

Definiţia 3.2.1. a). Spaţiul metric (Λ(�), B¤) se numeşte spaţiul codurilor sau spaţiul de ridicare (de shift) asociat unui sistem iterativ de funcţii infinit.

b). Funcţiile tj: Λ(�) ⟶ Λ(�) definite prin tj(�) = �� pentru orice � ∈ � se numesc funcţiile de shift la dreapta.

c). Funcţia <: Λ(�) ⟶ Λ(�) definită prin <(�� …�` …) = ��± …�` … se numeşte funcţia de shift la stânga.

Fie � = (�, {&�}�∈�) un sistem iterativ de funcţii infinit şi a ∈ ℕ∗. Atunci, vom nota cu ·� = ·sú punctul fix al lui &�, cu ·[²]µ = ·s[¸]µ punctul fix al lui &[²]µ şi cu +[²]µ =&[²]µ(+), unde � ∈ Λ(�) şi + ⊂ �.

Remarca 3.2.1. a). Funcţiile tj sunt contracţii pentru orice � ∈ �. Mai mult, avem că B¤ltj( ), tj(¡)n = r¹(£,ª)± pentru orice , ¡ ∈ Λ(�).

b). Avem că (< ∘ tj)(�) = � şi (tj ∘ <)(�) = ��± …�` … pentru orice � ∈ � şi � ∈ Λ(�).

Rezultatele principale privind relaţia dintre un sistem iterativ de funcţii infinit şi spaţiul codurilor asociat sunt cuprinse în următoarea teoremă:

37

Teorema 3.2.1. ([67]) Dacă (�, B) este un spaţiu metric complet, � = (�, {&j}j∈�) un sistem

iterativ de funcţii infinit astfel încât familia de funcţii (&�)�∈� este mărginită şi � =ùèpj∈� o1p(&j) < 1 şi + atractorul lui �, atunci:

1). Pentru � ∈ ¯(�), avem că +[²]µ½³ ⊂ +[²]µ ⊂ + şi B1)al+[²]µn ⟶ 0 când a ⟶ ∞.

Mai precis, B1)al+[²]µ��n = B1)al+[²]µn ≤ �` ∙ B1)a(+).

2). Dacă )² ∈ + este definit prin {)²} = ⋂ +[²]µ��[� , atunci Bl·[²]µ , )²n ⟶ 0 când a ⟶ ∞.

3). Pentru orice ) ∈ + şi � ∈ ¯(�), avem că Ë1a`⟶¬ &[²]µ()) = )².

4). + = ⋃ {)²}²∈°(�)�� şi +ª�� = ⋃ ¾)ª²¿²∈°(�)�� pentru orice ¡ ∈ ¯∗(�). Dacă + = ⋃ &�(+)�∈� ,

atunci + = ⋃ {)²}²∈°(�) .

5). Mulţimea ¾·[²]µ|� ∈ ¯(�)ș1a ∈ ℕ∗¿ este densă în +.

6). Proiecţia canonică Á: ¯(�) ⟶ + dată de Á(�) = )² pentru orice � ∈ ¯(�) are următoarele proprietăţi:

a). Á este continuă.

b). Ál¯(�)n�� = +.

c). Dacă + = ⋃ &�(+)�∈� , atunci Á este surjectivă.

7). Á ∘ tj = &j ∘ Á, unde &j: + ⟶ +, &j(�) = &j(�) pentru orice � ∈ + şi � ∈ �.

3.3 Conexiunea atractorului unui sistem iterativ de funcţii infinit

În continuare vom studia anumite proprietăţi de conexiune ale atractorului unui sistem iterativ de funcţii infinit. Remarcăm că multe dintre rezultatele din cazul finit nu mai rămân valabile în cazul sistemelor infinite.

Remarca 3.3.1. Teoremele 2.3.1 şi 2.3.3 nu sunt adevărate în cazul infinit după cum se poate vedea din următorul exemplu.

Exemplul 3.3.1. a). Vom considera un sistem iterativ de funcţii numărabil indexat după numerele raţionale din intervalul [0,1]. Fie, aşadar, &�: [0,1] ⟶ [0,1], &�(�) = 1 pentru orice � ∈ [0,1] şi 1 ∈ ℚ ∩ [0,1]. Atunci atractorul sistemului iterativ de funcţii numărabil � =l[0,1], {&�}�∈ℚ∩[�,�]n este intervalul [0,1], deoarece ⋃ &�([0,1])�∈ℚ∩[�,�]�� = ⋃ {Ë}�∈ℚ∩[�,�]�� =

38

ℚ ∩ [0,1]�� = [0,1]. Observăm că o1p(&�) = 0 pentru orice 1 ∈ ℚ ∩ [0,1], deci ∑ o1p(&�) = 0 < 1�∈ℚ∩[�,�] , dar atractorul [0,1] nu este total disconex.

b). Fie (�, B) un spaţiu metric complet şi + ∈ ℬ(�) o mulţime mărginită şi închisă. Pentru un element ) ∈ �, &Ä va însemna funcţia constantă ), adică &Ä: � ⟶ �, &Ä(�) = ) pentru orice � ∈ �. Atunci + este atractorul sistemului iterativ de funcţii infinit � = (�, {&Ä}Ä∈d), dacă + este infinită, sau sistemului iterativ de funcţii finit � = (�, {&Ä}Ä∈d), dacă + este finită. Acestea se întâmplă, în particular, pentru orice mulţime infinită şi compactă +. Deoarece o mulţime compactă poate fi conexă, dar nu şi conexă prin arce, obţinem că 2) şi 3) din teorema 2.3.2 nu sunt echivalente în general pentru un sistem iterativ de funcţii infinit. De asemenea, deorece familia de mulţimi (+Ä = &Ä(+) = {)})Ä∈d nu este conexă pentru orice mulţime +, de fapt +Ä ∩ +e = ∅, pentru ) ≠ g, obţinem că nici 1) şi 2) din teorema 2.3.2 nu sunt echivalente în general pentru un sistem iterativ de funcţii infinit.

Am văzut că există mulţimi compacte care nu sunt atractorii unui sistem iterativ de funcţii finit. Lucrând, însă, cu sisteme iterative numărabile, situaţia se schimbă. Avem:

Teorema 3.3.1. Fie (�, B) un spaţiu metric complet. Atunci, orice mulţime compactă � ⊂ � este atractorul unui sistem iterativ de funcţii cel mult numărabil.

Vom studia în continuare atractorii total disconecşi ai sistemelor iterative de funcţii infinite.

Lema 3.3.1. Fie (�, B) un spaţiu metric şi (+�)� �,j�� o familie finită de submulţimi deschise

şi nevide ale lui �. Dacă mulţimea ü = ⋃ +�j� � este conexă, atunci familia de mulţimi (+�)� �,j�� este conexă.

În continuare vom da o condiţie suficientă ca atractorul unui sistem iterativ de funcţii numărabil să fie total disconex.

Teorema 3.3.2. Fie (�, B) un spaţiu metric complet şi � = (�, {&j}j∈ℕ∗) un sistem iterativ de funcţii numărabil astfel încât familia de funcţii (&j)j∈ℕ∗ este mărginită şi � = ùèpj∈ℕ∗ o1p(&j) < 1. Notăm cu + atractorul lui � şi considerăm +� = &�(+) pentru orice 1 ∈ ℕ∗. Dacă + este compactă, + = ⋃ +�¬� � şi ∑ o1p(&�) < 1¬� � , atunci + este total

disconexă.

39

Exemplul 3.3.2. (Atractor de tipul Cantor infinit)

Fie � = [0,1]. Vom construi un şir de mulţimi închise din intervalul [0,1] după cum urmează:

/� = [0,1] /� = {0} ∪ Ø13 , 23Ù ∪ Ø19 , 29Ù ∪ Ø 127 , 227Ù ∪ … = {0} ∪ �kØ 13j , 23jÙj[� �

/� = {0} ∪ �13Û ∪ �k �3j�� + 13j , 3j�� + 23j �j[� �� ∪

�19Û ∪ �k �3j�� + 13j , 3j�� + 23j �j[± �� ∪ … =

{0} ∪ �k� 13�Û ∪ � k �3j�� + 13j , 3j�� + 23j �j[�� [� �

Continuând procedeul inductiv, putem construi pentru orice � ≥ 1 mulţimile /�, care formează un şir descrescător de mulţimi. Fie mulţimea + = ⋂ /��[� = ⋂ /��[� . Cum + ⊂ [0,1] este închisă, rezultă că + este compactă. Definim acum următoarele contracţii &�: [0,1] ⟶ [0,1] pentru orice � ≥ 0: &�(�) = 0 pentru orice � ∈ [0,1] şi &�(�) = 6��±� pentru

orice � ∈ [0,1] şi � ≥ 1. Remarcăm că, din construcţie, /j = ⋃ &�(/j��)�[� pentru orice � ≥ 1. Atunci:

+ = �/jj[� = ��k&�(/j��)�[� �j[� = ��{0} ∪ k&�(/j��)�[� �j[� =

{0} ∪ ��k&�(/j��)�[� �j[� � = {0} ∪ �k�� &�(/j��)j[� ��[� � =

{0} ∪ �k&� ��/j��j[� ��[� � = {0} ∪ �k&�(+)�[� � = k&�(+)�[�

Deci + = ⋃ &�(+)�[� . Deoarece + este compactă, rezultă că + = + = ⋃ &�(+)�[��, deci + este atractorul sistemul iterativ de funcţii numărabil � = (+, {&�}�[�). Mai mult:

¥ o1p(&�) = ¥ o1p(&�) = ¥ 13� = 12 < 1¬� �

¬� �

¬� �

şi prin urmare, conform teoremei 3.3.2, + este total disconexă.

40

Următorul rezultat reprezintă o condiţie suficientă pentru atractorul unui sistem iterativ de funcţii infinit să fie conex prin arce.

Teorema 3.3.3. Fie (�, B) un spaţiu metric complet şi � = (�, {&�}�∈�) un sistem iterativ de

funcţii infinit astfel încât familia de funcţii (&�)�∈� este mărginită şi � = ùèp�∈� o1p(&�) < 1.

Notăm cu + atractorul lui � şi cu +� = &�(+) pentru orice 1 ∈ �. Dacă familia de mulţimi (+�)�∈� este conexă şi + = ⋃ +��∈� , atunci + este conexă prin arce.


+ = ({0} × [0,1]) ∪ ([0,1] × {1}) ∪ ({1} × [0,1]) ∪ �kØ 12�j�� , 12�jÙ × {0}j[� � ∪

�k 12jÛ × Ø0, 12Ùj[� � ∪ �kØ 12�j , 12�j��Ù × 12Ûj[� �

Fie sistemul iterativ de funcţii infinit � = (+, {&�}�[�), unde funcţiile &�: + ⟶ + sunt definite

pentru orice � ∈ ℕ prin: &�(�, 0) = º0, 7�», &�(�, 0) = º0, 7�� », &�(�, 0) = º6� , 1», &±(�, 0) =º6�� , 1», &Ê(�, 0) = º1, 7�� », &�(�, 0) = º1, 7�» şi pentru � ≥ 6 considerăm:

ÔÕÕÖÕÕ×&�(�, 0) = �� + 12�j�� , 12� , dacă� = 4�și� ≥ 2&�(�, 0) = � 12�j�� , 02� , dacă� = 4� + 1și� ≥ 2&�(�, 0) = �� + 12�j�� , 0� , dacă� = 4� + 2și� ≥ 1&�(�, 0) = � 12�j�� , 02� , dacă� = 4� + 3și� ≥ 1

Atunci, + = ⋃ &�(+)�[� şi familia de mulţimi l+� = &�(+)n�[� este conexă.

Mai mult, remarcăm că + este o mulţime închisă. Într-adevăr: să notăm, mai întâi, cu �� = Æ ��´�½³ , ��´�Ç × {0} pentru orice � ≥ 0 şi, apoi, �� = Î ��Ï × Æ0, ��Ç, respectiv �� =Æ ��´� , ��´�ñ³Ç × Î��Ï pentru orice � ≥ 1. Fie (��, 0�)�[� ⊂ + astfel încât lim�⟶¬(��, 0�) =(�, 0) ∈ ℝ�. Atunci lim�⟶¬ �� = � ≥ 0 şi lim�⟶¬ 0� = 0 ∈ [0,1]. Avem acum două variante:

i). Dacă � = 0, atunci (�, 0) = (0, 0) ∈ +.

ii). Dacă � > 0, atunci putem considera �� > 0 pentru orice � ≥ 1 (eliminând, eventual, primii termeni şi renumerotând termenii şirului). Atunci există �� ∈ ℕ∗ astfel încât sau (��, 0�) ∈ �~ pentru orice � ≥ ��, unde p ≥ 0 sau (��, 0�) ∈ �~ pentru orice � ≥ ��, unde

41

p ≥ 1 sau (��, 0�) ∈ ~ pentru orice � ≥ ��, unde p ≥ 1. Să presupunem că (��, 0�) ∈ �~

pentru orice � ≥ ��, unde p ≥ 0. Atunci (�, 0) = lim�⟶¬(��, 0�) ∈ �~ ⊂ +. Celelalte cazuri

se tratează similar. Deci (�, 0) ∈ + şi, prin urmare, + este închisă.

Aşadar, + = + = ⋃ &�(+)�[��, de unde rezultă că + este atractorul lui �. Prin urmare, conform teoremei 3.3.3, + este conexă prin arce.

Remarca 3.3.3. Reciproca teoremei 3.3.3 nu este adevărată deoarece orice mulţime compactă şi conexă prin arce + verifică relaţia + = ⋃ &Ä(+)Ä∈d , unde funcţiile &Ä: + ⟶ + sunt definite pentru orice ) ∈ + prin &Ä(�) = ) pentru orice � ∈ + şi în mod clar familia de mulţimi (+Ä)Ä∈d nu este conexă.

Suntem interesaţi acum să dăm o condiţie suficientă pentru conexiunea atractorului unui sistem iterativ de funcţii infinit. Pentru aceasta avem nevoie de următorul rezultat pregătitor:

Lema 3.3.2. Fie (�, B) un spaţiu metric şi (+�)�∈� o familie conexă de mulţimi. Dacă +� este

conexă pentru orice 1 ∈ �, atunci ⋃ +��∈� este o mulţime conexă.

Teorema 3.3.4. Fie (�, B) un spaţiu metric complet, � = (�, {&�}�∈�) un sistem iterativ de

funcţii infinit astfel încât familia de funcţii (&�)�∈� este mărginită şi � = ùèp�∈� o1p(&�) < 1 şi + atractorul lui �. Fie � o mulţime nevidă şi l�3n3∈ o familie de mulţimi cu proprietatea că �3 ⊂ � pentru orice = ∈ � şi � = ⋃ �33∈ . Să presupunem că mulţimea ⋃ -33∈ este conexă, unde -3 este atractorul lui �3 = º�, {&�}�∈�2» pentru orice = ∈ �. Atunci + este o mulţime conexă.

Corolarul 3.3.1. Fie (�, B) un spaţiu metric complet, � = (�, {&�}�∈�) un sistem iterativ de

funcţii infinit astfel încât familia de funcţii (&�)�∈� este mărginită şi � = ùèp�∈� o1p(&�) < 1 şi + atractorul lui �. Fie � o mulţime nevidă şi l�3n3∈ o familie de mulţimi cu proprietatea că �3 ⊂ � pentru orice = ∈ � şi � = ⋃ �33∈ . Să presupunem că:

1). Mulţimea ⋃ -33∈ este conexă, unde -3 este atractorul lui �3 = º�, {&�}�∈�2» pentru orice = ∈ �. 2). Familia de mulţimi l-3n3∈ este conexă.

Atunci + este o mulţime conexă.

42

Corolarul 3.3.2. Fie (�, B) un spaţiu metric complet, � = (�, {&�}�∈�) un sistem iterativ de

funcţii infinit astfel încât familia de funcţii (&�)�∈� este mărginită şi � = ùèp�∈� o1p(&�) < 1 şi + atractorul lui �. Fie � o mulţime nevidă şi l�3n3∈ o familie de mulţimi cu proprietatea că �3 ⊂ � pentru orice = ∈ � şi � = ⋃ �33∈ . Să presupunem că:

1). Mulţimile �3 sunt finite pentru orice = ∈ �. 2). Familiile de mulţimi º&�l-3n»�∈�2 sunt conexe, unde -3 este atractorul lui �3 =º�, {&�}�∈�2» pentru orice = ∈ �. 3). Familia de mulţimi l-3n3∈ este conexă.

Atunci + este o mulţime conexă.


+ = {(0,0)} ∪ ({1} × [0,1]) ∪ Úk� 12�j��Û × Ø0, 12j��Ù� ∪ � 12�j��Û × Ø0, 12j��Ù�j[� Ü ∪

�kØ 12�j�� , 12�jÙ × {0}j[� � ∪ �kØ 12�j�� , 12�j��Ù × 12j��Ûj[� �

Notăm cu �� = {1} × [0,1], �Êj = Æ ��´© , ��´©ñ³Ç × Î ��©Ï pentru orice � ≥ 1, �Êj�� = Î ��´©Ï ×Æ0, ��©Ç pentru orice � ≥ 1, �Êj�� = Æ ��´©½³ , ��´©Ç × {0} pentru orice � ≥ 0 şi �Êj�± = Î ��´©½³Ï ×Æ0, ��©½³Ç pentru orice � ≥ 0. Definim acum contracţiile &�: + ⟶ + pentru orice � ≥ 1, în felul

următor:

1). &Ñj��(�, 0) = �º ��´© , 7�� » , (�, 0) ∈ �Êj��º ��´© , ��©½³» , (�, 0) ∈ +\�Êj�� pentru orice � ≥ 0.

2). &Ñj��(�, 0) = � º ��´© , 7�» , (�, 0) ∈ �Êj��º ��´© , ��©½³» , (�, 0) ∈ +\�Êj�� pentru orice � ≥ 0.

3). &Ñj�±(�, 0) = � º6�� , 0» , (�, 0) ∈ �Êj��º ±�´©½´ , 0» , (�, 0) ∈ +\�Êj�� pentru orice � ≥ 0.

43

4). &Ñj�Ê(�, 0) = � º6� , 0» , (�, 0) ∈ �Êj��º ±�´©½´ , 0» , (�, 0) ∈ +\�Êj�� pentru orice � ≥ 0.

5). &Ñj��(�, 0) = � º ��´©½³ , 7�» , (�, 0) ∈ �Êj�±º ��´©½³ , ��©½´» , (�, 0) ∈ +\�Êj�± pentru orice � ≥ 0.

6). &Ñj�Í(�, 0) = �º ��´©½³ , 7�� » , (�, 0) ∈ �Êj�±º ��´©½³ , ��©½´» , (�, 0) ∈ +\�Êj�± pentru orice � ≥ 0.

7). &Ñj�Ì(�, 0) = � º6�� , ��©½³» , (�, 0) ∈ �Ê(j��)º ±�´(©½³)½³ , ��©½³» , (�, 0) ∈ +\�Ê(j��) pentru orice � ≥ 0.

8). &Ñj(�, 0) = � º6� , ��©» , (�, 0) ∈ �Êjº ±�´©½³ , ��©» , (�, 0) ∈ +\�Êj pentru orice � ≥ 1.

Atunci ⋃ &�(+)�[�� = +, deci + este atractorul sistemului iterativ de funcţii numărabil � = (+, {&�}�[�). În continuare, scriem ℕ∗ = ⋃ {2� − 1,2�}�[� . Atunci, observăm că atractorul sistemului iterativ de funcţii (finit) �� = (+, {&��, &��}) este mulţimea �� pentru orice � ≥ 1. Dar ⋃ ��[� este conexă prin arce, deci conexă şi, prin urmare, conform teoremei 3.3.4, rezultă că + este conexă.

3.4 Dendrite în cazul infinit

Scopul acestui subcapitol este de a generaliza rezultatele din secţiunea 2.5 pentru atractorii sistemelor iterative de funcţii infinite. Se observă că multe din rezultatele din secţiunea 2.5 rămân adevărate şi în cazul sistemelor infinite, de aceea vom evidenţia doar ce este diferit. Pentru aceasta, vom face mai întâi unele considerente asupra grafurilor infinite. Similar cu definţia 2.5.2 avem următoarea definiţie:

Definitia 3.4.1. 1). Printr-un graf (infinit) înţelegem o pereche (�, å), unde � este o mulţime infinită de vârfuri şi å este o submulţime a lui � × � = {(1, =)|1, = ∈ �}. Un element (1, =) ∈ å se va numi muchie.

2). Un graf infinit ((�, å) se numeşte simetric dacă pentru orice (1, =) ∈ å avem (=, 1) ∈ å.

De acum înainte, vom lucra numai cu grafuri infinite simetrice.

44

3). Fie (�, å) un graf infinit şi �, 0 ∈ � oarecare. Un drum de la � la 0 este o familie de vârfuri (æ�, æ�, … , æj) cu æ� = �, æj = 0 şi pentru orice 1 ∈ {1, … , �} avem (æ��, æ�) ∈ å. Prin lungimea unui drum vom înţelege numărul muchiilor ce intră în componenţa acestuia.

4). Fie (�, å) un graf infinit. Un drum (æ�, æ�, … , æj) se numeşte ciclu dacă: � ≥ 3, æ� = æj şi æ�, æ�, … , æj�� sunt diferite.

5). Un graf infinit (�, å) se numeşte conex dacă pentru orice �, 0 ∈ �, � ≠ 0 există un drum de la � la 0.

6). Un graf infinit (�, å) se numeşte un arbore infinit dacă este conex şi nu are cicluri.

Următoarele rezultate reprezintă echivalentele din secţiunea 2.5 ale corolarului 2.5.1, lemei 2.5.5 şi lemei 2.5.6 în această ordine pentru sistemele infinite. În situaţia în care nu există nicio confuzie asupra mulţimii vâfurilor, un graf infinit va fi notat doar prin å.

Corolar 3.4.1. Fie (�, B) un spaţiu metric complet şi � = (�, {&j}j∈�) un sistem iterativ de

funcţii infinit astfel încât familia de funcţii (&�)�∈� este mărginită şi � = ùèpj∈� o1p(&j) < 1.

Notăm cu + atractorul lui � şi cu +j = &j(+) pentru orice � ∈ �. Presupunem că &j este

injectivă pe + pentru orice � ∈ � şi că + este o dendrită. Atunci +�³ ∩ … .∩ +�µeste o dendrită

pentru orice 1�, … , 1` ∈ �, a ∈ ℕ∗, astfel încât ⋂ +�2 ≠ ∅3 � ..

Lema 3.4.1. Fie (�, B) un spaţiu metric complet astfel încât � = ⋃ +��∈� , unde +� este o

mulţime compactă pentru orice 1 ∈ � şi �)IBl+� ⋂+3n ∈ {0,1} pentru orice 1, = ∈ �diferiţi.

Presupunem că å, graful intersecţiilor asociat familiei de mulţimi (+j)j∈�, este un arbore.

Atunci pentru orice funcţie continuă şi injectivă 5: [0,1] ⟶ � astfel încât 5(0) ∈ +� şi 5(1) ∈ +� avem că 5([0,1]) ⊂ +� unde Ë ∈ �.

Lema 3.4.2. Fie (�, B) un spaţiu metric complet astfel încât � = ⋃ +��∈� , unde +� este o mulţime compactă pentru orice 1 ∈ �. Presupunem că å, graful intersecţiilor asociat familiei

de mulţimi (+j)j∈� este un arbore. Fie �, 0 ∈ �, � ≠ 0 şi Î+�2Ï3 �,`�� ⊂ � astfel încât 1�, … , 1` ∈ {1,… , �} sunt diferiţi, � ∈ +�ï, � ∉ +�³, 0 ∈ +�µ , 0 ∉ +�µñ³ şi +�2 ⋂+�2½³ ≠ ∅

pentru orice = ∈ {0,… ,a − 1}, a ∈ ℕ, a ≥ 2. Atunci pentru orice funcţie continuă şi

injectivă 5: [0,1] ⟶ � astfel încât 5(0) = � şi 5(1) = 0 există o diviziune ê =(0 < 0� < 0� < ⋯ < 0`�� < 1) a intervalului [0,1] astfel încât 5l03n ∈ +�2 ⋂+�2½³ pentru

orice = ∈ {0,… ,a − 1}.

45

Vom da acum două caracterizari ale dendritelor ca atractori ai unor sisteme iterative de funcţii infinite. Următoarele teoreme reprezintă generalizări ale teoremelor 2.5.1 şi 2.5.2 din cazul finit.

Teorema 3.4.1. Fie (�, B) un spaţiu metric compact şi � = (�, {&�}�∈�) un sistem iterativ de


Notăm cu + atractorul lui �, cu +� = &�(+) pentru orice 1 ∈ � şi cu å graful infinit al

intersecţiilor asociat familiei de mulţimi (+�)�∈�. Presupunem că următoarele condiţii sunt îndeplinite:

a). + este local conexă.

b). Familia de mulţimi (+�)�∈� este conexă.

c). + = ⋃ +��∈� .

d). +� ∩ +3 este total disconexă sau vidă pentru orice 1, = ∈ � diferiţi.

e). +� ∩ +3 ∩ +j = ∅ pentru orice 1, =, � ∈ � diferiţi.

f). &� este injectivă pe + pentru orice 1 ∈ �.

Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1). + este o dendrită.

2). å este un arbore infinit şi �)IBl+� ∩ +3n ∈ {0,1} pentru orice 1, = ∈ � diferiţi.

Teorema 3.4.2. Fie (�, B) un spaţiu metric compact şi � = (�, {&�}�∈�) un sistem iterativ de


Notăm cu + atractorul lui �, cu +� = &�(+) pentru orice 1 ∈ � şi cu å` graful intersecţiilor

asociat familiei de mulţimi (+²)²∈°µ(�) pentru orice a ∈ ℕ∗. Presupunem ca următoarele

condiţii sunt îndeplinite:

a). + este local conexă.

b). + = ⋃ +��∈� .

c). Graful å` este un arbore infinit pentru orice a ∈ ℕ∗. Atunci + este o dendrită.

46

Exemplul 3.4.1. (Atractor de tipul Von Koch infinit ([84])). Considerăm următoarea mulţimea din plan � = [0,1] × [0,1] ⊂ ℝ� şi contracţiile &�: � ⟶ � definite prin:

&�(�, 0) =ÔÕÕÕÖÕÕÕ× 12~�� º�3 + 2~�� − 2, 03» , dacă� = 4p + 1, p ≥ 012~�� 6 − 0√36 + 2~�� − 53 , �√36 + 06 , dacă� = 4p + 2, p ≥ 0

12~�� 6 + 0√36 + 2~�� − 32 ,− �√36 + 06 + √36 , dacă� = 4p + 3, p ≥ 012~ ��3 + 2~ − 43 , 03� , dacă� = 4p, p ≥ 1

Atractorul + al sistemului iterativ de funcţii numărabil � = (�, {&�}�[�) este o curba de tip von Koch infinit ce se obţine din copii mai mici ale curbei lui Koch. Remarcăm că + este

compactă, conexă prin arce, local conexă, familia de mulţimi (+�)�∈ℕ∗ este conexă, �)IBl+� ∩+3n ∈ {0,1} pentru orice 1, = ≥ 1 diferiţi şi + = ⋃ &�(+)�[� .

De asemenea, calculând graful asociat familiei de mulţimi (+�)�∈ℕ∗ obţinem următoarele muchii: å = {(1,2), (2,3), (3,4), (4,5),… }. Prin urmare, å este un arbore infinit pentru orice a ∈ ℕ∗ şi din teorema 3.4.1 rezultă că + este o dendrită.

47

Capitolul 4

Generalizări ale sistemelor iterative de funcţii

Vom studia în continuare două generalizări ale sistemelor iterative de funcţii. Pentru sistemele iterative finite vom considera sistemele iterative topologice şi vom demonstra că reuniunea nevidă a unui spaţiu Peano cu un segment este atractorul unui sistem iterativ topologic, iar pentru sistemele iterative infinite vom considera generalizări ale contracţiilor la funcţii de tip Meir-Keeler şi 5-funcţii.

4.1 Sisteme iterative de funcţii topologice

Fie (�, �) un spaţiu topologic separat. Conform ([74]) avem următoarea definiţie:

Definiţia 4.1.1. Un sistem iterativ de funcţii topologic constă dintr-o familie finită de funcţii

continue ¾&3¿3 �,�� definite pe spaţiul � cu următoarele proprietăţi:

a). Pentru orice submulţime compactă nevidă + ⊂ � există o submulţime compactă -d ⊂ � astfel încât + ⊂ -d şi⋃ &3(-d) ⊂ -d�3 � .

b). Pentru orice submulţime compactă nevidă + ⊂ � astfel încât⋃ &3(+) ⊂ +�3 � , intersecţia ⋂ &3³…3©(+)j[� este formată dintr-un singur punct, unde =j ∈ {1,2, … , �} pentru orice � ≥ 1.

Remarca 4.1.1. Condiţia ⋃ &3(+) ⊂ +�3 � este impusă, pentru a se evita situaţiile când ⋂ &3³…3©(+)j[� = ∅. O astfel de situaţie poate apărea dacă � = {), g} cu ) ≠ g şi &�(�) = ), &�(�) = g pentru orice � ∈ �. Atunci ⋂ &3³…3©(�)j[� = ∅.

Notaţia 4.1.1. a). Un sistem iterativ de funcţii topologic va fi notat cu � = º�, ¾&3¿3 �,��».

b). Pentru un sistem iterativ de funcţii topologic � = º�, ¾&3¿3 �,��», funcţia t�:�(�) ⟶�(�) va fi definită prin t�(+) = ⋃ &3(+)�3 � .

c). Atractorul unui sistem iterativ de funcţii topologic este mulţimea compactă + ∈ �(�) astfel încât t�(+) = +. Existenţa şi unicitatea lui + este demonstrată în ([74]), unde, de altfel, sistemele iterative de funcţii topologice au fost introduse.

48

Propoziţia 4.1.1. ([74]) Fie (�, B) un spaţiu metric complet şi � = º�, ¾&3¿3 �,��» un sistem

iterativ de funcţii finit. Atunci � este un sistem iterativ de funcţii topologic.

Avem următoarele rezultate binecunoscute.

Definiţia 4.1.2. Un spaţiu Peano este un spaţiu compact, conex şi local conex.

Teorema 4.1.1. ([76]) Fie � un spaţiu Peano. Atunci există o funcţie continuă şi surjectivă �: [0,1] ⟶ �.

În cele ce urmează vom demonstra un rezultat din care, în particular, va rezulta că reuniunea nevidă a unui spaţiu Peano cu un segment este atractorul unui sistem iterativ de funcţii topologic. Pentru aceasta fie �: [0,1] ⟶ � o funcţie continuă, unde (�, B) este un spaţiu metric complet. Atunci � = �([0,1]) este un spaţiu Peano. Fie, de asemenea, funcţia &: [0,1] ⟶ � continuă şi injectivă. Considerăm acum spaţiul � = � ∪ &([0,1]), unde � ∩ &([0,1]) = {&(0)} şi, în plus, presupunem că �(0) = &(0).

Ştim că intervalul [0,1] este atractorul sistemului iterativ de funcţii finit � =º[0,1], Î&�(�) = 6� , &�(�) = 6�� Ï». Fie funcţia p:� ⟶ &([0,1]) definită prin:

p(�) = &(0), dacă� ∈ ��, dacă� ∈ &([0,1])

Definim acum următoarele două funcţii t�: � ⟶ &([0,1]) ⊂ � prin: t�(�) = (& ∘ &� ∘ &�� ∘p)(�) pentru orice � ∈ � şi 1 ∈ {1,2}. Obţinem atunci că t�l&([0,1])n ∪ t�l&([0,1])n =&([0,1]) deoarece:

t�l&([0,1])n = & �&� �&�� ºpl&([0,1])n»� = & �&� º&��l&([0,1])n»� =

&l&�([0,1])n = & �Ø0, 12Ù�

şi

t�l&([0,1])n = & �&� �&�� ºpl&([0,1])n»� = & �&� º&��l&([0,1])n»� =

&l&�([0,1])n = & �Ø12 , 1Ù�

49

Definim acum funcţia t±: � ⟶ � prin:

t±(�) = &(0), dacă� ∈ �(� ∘ &��)(�), dacă� ∈ &([0,1])

Remarcăm din definiţiile funcţiilor t�, t± şi t± că t�(�) = & ºÆ0, ��Ç», t�(�) = & ºÆ�� , 1Ç», t±(�) = &(0) şi t±l&([0,1])n = �.

Aşadar, cu notaţiile de mai sus, putem formula următorul rezultat:

Teorema 4.1.2. Fie (�, B) un spaţiu metric complet. Se consideră o funcţie continuă �: [0,1] ⟶ � care generează spaţiul Peano � = �([0,1]) şi o funcţie continuă şi injectivă &: [0,1] ⟶ �. Se presupune că � ∩ &([0,1]) = {&(0)} = {�(0)}. Atunci � = � ∪ &([0,1]) este atractorul unui sistem iterativ de funcţii topologic format din trei funcţii.

Exemplul 4.1.1. ([74]) Fie spaţiul Hilbert Ë� = {� = (��)�[�| ∑ ��[� < ∞} cu norma í|�|í = �∑ ��[� . Considerăm funcţiile 1: ℝ ⟶ Ë� şi Á: Ë� ⟶ ℝ definite prin 1(�) =(�, 0, … ,0, … ), Á(� = (��)�[�) = �� şi É�, É�: ℝ ⟶ ℝ definite prin:

É�(�) = È 2, dacă� ≤ 2� + 22 , dacă� ∈ (2,4)3, dacă� ≥ 4

şi

É�(�) = È 3, dacă� ≤ 2� + 42 , dacă� ∈ (2,4)4, dacă� ≥ 4

Fie mulţimile / = ∏ Æ0, ��ñ³Ç�[� ⊂ Ë� şi + = / ∪ 1([1,4]). De asemenea, considerăm

funcţiile t�, t�: + ⟶ + definite prin t3 = 1 ∘ É3 ∘ Á|d pentru orice = ∈ {1,2}. Remarcăm că /

este un spaţiu Peano şi, prin urmare, + este un spaţiu Peano, fiind reuniunea a două spaţii Peano ce au un punct comun. Fie {1(1)} = / ∩ 1([1,4]) şi ℎ: [0,1] ⟶ / o funcţie continuă şi surjectivă astfel încât ℎ(0) = 1(1). Fie acum funcţia t±: + ⟶ + definită prin:

t±(�) = � 1(2), dacă� ∈ / ∪ 1([1,2])1(−Á(�) + 4), dacă� ∈ 1([2,3])ℎ(Á(�) − 3), dacă� ∈ 1([3,4])

Atunci � = (+, {t�, t�, t±}) este un sistem iterativ de funcţii topologic şi + este atractorul său (v. [74]).

50

Exemplul 4.1.2. Considerăm triunghiul lui Sierpinski ß ⊂ ℝ� şi � = ß ∪ [(), g), (�, B)], astfel încât ß ∩ [(), g), (�, B)] = {�}, unde prin [(), g), (�, B)] vom înţelege segmentul determinat de punctele (), g) şi (�, B). Atunci ß este atractorul unui sistem iterativ de funcţii finit (v. exemplul 2.3.4) şi, totodată, avem că ß este compact, conex şi local conex (v. [51]).

Prin urmare ß este un spaţiu Peano. Aşadar, conform teoremei 4.1.2, � este atractorul unui sistem iterativ de funcţii topologic format din trei funcţii.

Exemplul 4.1.3. Considerăm următoarea mulţime din planul ℝ�,

� = ([0,1] × {0}) ∪ �kt��[� �

unde t� = º �� , 0» + t()�, ��), )� = 2�´��´�, �� = 2�´�

pentru orice � ≥ 1 şi t(), �) =⋃ ºÎ�Äj Ï × [0, )]»j�� pentru orice ) > 0 şi � ∈ ℕ∗. În ([53]) s-a demonstrat că mulţimea � nu

este atractorul niciunui sistem iterativ de funcţii finit format din contracţii. Dar � este compactă, conexă şi local conexă ([53]). Prin urmare � este un spaţiu Peano. Aşadar � =� ∪ [(), g), (�, B)], unde � ∩ [(), g), (�, B)] = {�}, deci � este atractorul unui sistem iterativ de funcţii topologic format din trei funcţii. Mai mult, dacă se consideră mulţimea � =�\ºÆ ÌÐ��Ñ , 1Ç × {0}», atunci � este, de asemenea, spaţiu Peano, deoarece dacă &: [0,1] ⟶ �

este continuă şi surjectivă, iar É:� ⟶ � este definită prin:

É(�) = � � , dacă� ∈ �� 79128 , 0� , dacă� ∈ Ø 79128 , 1Ù × {0} atunci É este continuă şi surjectivă şi, prin urmare, ℎ = É ∘ &: [0,1] ⟶ � este o funcţie continuă şi surjectivă de la [0,1] la �. Aşadar, � este un spaţiu Peano. Cum � = � ∪ºÆ ÌÐ��Ñ , 1Ç × {0}» şi � ∩ ºÆ ÌÐ��Ñ , 1Ç × {0}» = Îº ÌÐ��Ñ , 0»Ï, rezultă că mulţimea � este atractorul

unui sistem iterativ de funcţii topologic format din trei funcţii. Acest exemplu arată că introducerea sistemelor iterative de funcţii topologice este efectiv benefică, producând rezultate care nu pot fi obţinute cu ajutorul sistemelor iterative de funcţii obişnuite.

4.2 Sisteme iterative de funcţii care conţin alte tipuri de contracţii

Vom studia în continuare sistemele iterative de funcţii infinite care conţin alte tipuri de contracţii cum ar fi (m, 5)-funcţii sau funcţii de tip Meir-Keeler. Vom demonstra existenţa şi unicitatea atractorului unui astfel de sistem iterativ şi vom arăta câteva condiţii suficiente pentru conexiunea atractorului.

51

Definiţia 4.2.1. Fie (�, B) un spaţiu metric şi �, 0 ∈ �. Numim lanţ între � şi 0 o succesiune de puncte ��, ��, … , �� ∈ � astfel încât � = �� şi 0 = �� unde � ∈ ℕ∗.

Definiţia 4.2.2. Fie (�, B) un spaţiu metric şi �, 0 ∈ �. Numim m-lanţ între � şi 0 o succesiune de puncte ��, ��, … , �� ∈ � astfel încât � = ��, 0 = �� şi B(��, ��) < m pentru orice 1 ∈ {0,1, … , � − 1}, unde � ∈ ℕ∗ şi m > 0.

Remarca 4.2.1. În condiţiile definiţiilor anterioare spunem că lungimea lanţului este � + 1.

Definiţia 4.2.3. Fie (�, B) un spaţiu metric şi m > 0. Atunci (�, B) se numeşte un spaţiu metric m-înlănţuit dacă între orice două puncte �, 0 ∈ � există un m-lanţ.

Definiţia 4.2.4. Un spaţiu metric (�, B) se numeşte uniform m-înlănţuit, pentru m > 0 fixat, dacă pentru orice � > 0 există ��,] ∈ ℕ∗ astfel încât pentru orice ), g ∈ � cu B(), g) < �

există punctele ��, ��, … , �� ∈ � astfel încât �� = ), �� = g, � ≤ ��,] şi B(��, ��) < m

pentru orice 1 ∈ {1,… , �}.

Lema 4.2.1. Fie (�, B) un spaţiu metric m-înlănţuit. Atunci (�(�), ℎ) este, de asemenea, un

spaţiu metric m-înlănţuit, m > 0.

Lema 4.2.2. Fie (�, B) un spaţiu metric uniform m-înlănţuit, pentru m > 0. Atunci (ℬ(�), ℎ)

este un spaţiu metric m�-înlănţuit pentru orice m� > m.

Remarca 4.2.2. Dacă (�, B) este un spaţiu metric uniform m-înlănţuit, atunci (ℬ(�), ℎ) poate să nu fie un spaţiu metric m-înlănţuit pentru m > 0, aşa cum se poate vedea din următorul exemplu:

Exemplul 4.2.1. Să considerăm spaţiul Hilbert Ë�(ℕ∗) = {� = (��)�[�| ∑ �� < ∞�[� } şi {·�, … , ·�, … } o bază ortonormată a sa. Prin definiţie intervalul [), g] = {�) + (1 − �)g|� ∈[0,1]}. Fie � ∈ [·�, ·��] şi 0 ∈ �·3, ·3�� cu = > 1 + 1 > 0. Presupunem că � = �·� +(1 − �)·�� şi 0 = ù·3 + (1 − ù)·3��.

52

Atunci B(�, 0) = �� + (1 − �)� + ù� + (1 − ù)� ≥ 1 deoarece � + (1 − )� ≥ ��

pentru orice ∈ ℝ. Totodată, obţinem că:

inf�,�∈[�,�]B(�, 0) = inf�,�∈[�,�]�� + (1 − �)� + ù� + (1 − ù)� = 1

Considerăm acum spaţiul � = ⋃ [·�, ·��] ⊂ Ë�(ℕ∗)�[� înzestrat cu distanţa indusă din Ë�(ℕ∗), B(�, 0) = �∑ (�� − 0�)��[� . Atunci � este un spaţiu mărginit şi închis pentru că:

i). Mărginit: Fie ) ∈ � = ⋃ [·�, ·��]�[� . Atunci există � ∈ ℕ∗ astfel încât ) ∈ [·�, ·��], ceea

ce implică ) = �·� + (1 − �)·�� pentru � ∈ [0,1]. Atunci í|)|í = í|�·� + (1 − �)·��|í ≤í|�·�|í + í|(1 − �)·��|í = �í|·�|í + (1 − �)í|·��|í = � + (1 − �) = 1. Deci � este

mărginit.

ii). Închis: Fie un şir (��)�[� ⊂ � astfel încât Ë1a�� = �. Deoarece (��)�[� este convergent, rezultă că (��)�[� este un şir Cauchy. Aşadar pentru orice m > 0 există �] ∈ ℕ astfel încât B(��, �`) < m pentru orice �,a ≥ �]. Să considerăm m = 1, � = �� şi ��³ ∈ [·�, ·��]. Atunci Bl��³ , �`n < 1 pentru orice a ≥ ��. Rezultă că �` ∈ [·��, ·�] ⊂ � sau �` ∈[·�, ·��] ⊂ � sau �` ∈ [·��, ·��] ⊂ � pentru orice a ≥ ��. Deci � ∈ � şi, prin urmare, � este închis. Vom demonstra acum că � este uniform 1-înlănţuit. Pentru aceasta fie �, 0 ∈ � astfel încât B(�, 0) < �. Atunci, avem că � ∈ [·�, ·��] şi 0 ∈ [·��j, ·��j��]. Atunci B(�, 0) = B(�, ·��) + (� − 1) + B(·��j, 0) < �, ceea ce implică � < � − 1. Aşadar putem lua, spre exemplu, � = [�] − 1, unde [�] reprezintă partea întreagă a lui � şi vor exista punctele (��)� �,j�� ⊂ � astfel încât �� = �, �j = 0 şi B(��, ��) < 1 pentru orice 1 ∈{0,… , �}. Deci � este uniform 1-înlănţuit. Vom demonstra acum că (ℬ(�), ℎ) nu este 1-înlănţuit. Să considerăm următoarele două mulţimi închise şi mărginite din � : + = {·�} şi - = �. Să presupunem că există mulţimile închise şi mărgnite {+�}� �,`�� astfel încât +� = +, +` = - şi ℎ(+� , +��) < 1, ceea ce implică B(+�, +��) < 1 şi B(+��, +�) < 1 pentru orice 1 ∈ {0,… ,a − 1}. Pentru 1 = 0: B(·�, +�) < 1implică B(·�, �) < 1pentru orice � ∈ +�. Aşadar +� ⊂ [·�, ·�]. Pentru 1 = 1: B(+�, +�) < 1 implică existenţa lui 06 ∈ +� astfel încât B(�, 06) < 1 pentru orice � ∈ +�. Deci +� ⊂ [·�, ·�] ∪ [·�, ·±]. Inductiv se demonstrează că +3 ⊂ ⋃ [·�, ·��]3� � pentru orice = ∈ {1, … ,a − 1}. Atunci ℎ(+`��, �) = ∞. Într-adevăr,

deoarece pentru � ∈ [·`�j, ·`�j��] ⊂ � avem că inf7∈dµñ³ B(�, 0) > � obţinem că:

ℎ(�, +`��) ≥ B(�, +`��) = sup6∈? � inf7∈dµñ³ B(�, 0)� > �

Deoarece inegalitatea de mai sus este valabilă pentru orice � ∈ ℕ∗, rezultă că ℎ(�, +`��) =∞, ceea ce reprezintă o contradicţie. Deci (ℬ(�), ℎ) nu este 1-înlănţuit.

Definiţia 4.2.5. O funcţie 5: [0,∞) ⟶ [0,∞) se numeşte funcţie de comparaţie dacă este crescătoare, continuă la dreapta în orice punct şi satisface 5(�) < � pentru orice � ∈ (0,∞).

53

Exemplul 4.2.2. Următoarele funcţii sunt de comparaţie:

a). 5: [0,∞) ⟶ [0,∞), 5(�) = 6´6�� pentru orice � ≥ 0.

b). 5: [0,∞) ⟶ [0,∞), 5(�) = 66�� pentru orice � ≥ 0.

c). 5: [0,∞) ⟶ [0,∞),

5(�) = � �±, � ∈ [0, )]�� − ()� − )±), � ∈ (), 1]� − ()� − )±), � ∈ (1,∞)

unde ) ∈ (0,1) fixat.

Remarca 4.2.3. Fie 5: [0,∞) ⟶ [0,∞) o funcţie de comparaţie. Atunci pentru orice mulţime mărginită şi nevidă + ⊂ [0,∞) avem că sup5(+) ≤ 5(sup+) şi inf 5(+) = 5(inf +).

Vom defini în continuare alte funcţii de tip contracţii.

Definiţia 4.2.6. Pentru o funcţie &: � ⟶ � considerăm următoarele condiţii:

1). -contracţie: Există ∈ [0,1) astfel încât pentru orice �, 0 ∈ � avem Bl&(�), &(0)n ≤ ∙B(�, 0),

2). m-local -contracţie, unde m > 0: Pentru orice �, 0 ∈ � astfel încât B(�, 0) < m avem că Bl&(�), &(0)n ≤ ∙ B(�, 0),

3). 5-funcţie, unde 5 funcţie de comparaţie: Pentru orice �, 0 ∈ � avem că Bl&(�), &(0)n ≤5lB(�, 0)n,

4). (m, 5)-funcţie, unde 5 funcţie de comparaţie şi m > 0: Pentru orice �, 0 ∈ � astfel încât B(�, 0) < m avem că Bl&(�), &(0)n ≤ 5lB(�, 0)n,

5). Meir-Keeler : Pentru orice � > 0 există ¨ > 0 astfel încât pentru orice �, 0 ∈ � cu B(�, 0) < � + ¨ avem că Bl&(�), &(0)n < �,

6) m-local Meir-Keeler, unde m > 0: Pentru orice � ∈ (0, m) există ¨ > 0 astfel încât pentru

orice �, 0 ∈ � cu B(�, 0) < � + ¨ avem că Bl&(�), &(0)n < �,

7). contractivă: Pentru orice �, 0 ∈ �, � ≠ 0 avem că Bl&(�), &(0)n < B(�, 0),

8). m-contractivă, unde m > 0: Pentru orice �, 0 ∈ � astfel încât B(�, 0) < m şi � ≠ 0 avem că Bl&(�), &(0)n < B(�, 0),

54

9). non-expansivă: Pentru orice �, 0 ∈ � avem că Bl&(�), &(0)n ≤ B(�, 0).

Remarca 4.2.4. În articolul ([64]), unde a fost introdusă noţiunea, Meir şi Keeler folosesc următoarea definiţie: pentru orice � > 0, există ¨ > 0 cu proprietatea că, dacă � şi 0 sunt în �

şi � ≤ B(�, 0) < � + ¨, atunci Bl&(�), &(0)n < �. Condiţia de mai sus, aparent mai slabă

decât cea din definiţia dată anterior, este, de fapt, echivalentă cu ea. Într-adevăr, pentru � > 0, găsim ¨ > 0 conform proprietăţii „mai slabe” de mai sus. Pentru � ≠ 0 în � cu B(�, 0) < � +¨, avem două variante:

i). B(�, 0) ≥ �, din care rezultă Bl&(�), &(0)n < �.

ii). �� = B(�, 0) < �. Construim ¨� > 0 astfel încât �� ≤ B(), g) < �� + ¨� implică Bl&()), &(g)n < ��. Luăm ) = �, g = 0 şi avem Bl&(�), &(0)n < �� < �.

Remarca 4.2.5. În condiţiile definiţiei 4.2.6 avem:

a). (1) implică (3): Putem considera 5(�) = �� pentru � ∈ (0,1);

b). (3) implică (5): Ştim că Bl&(�), &(0)n ≤ 5lB(�, 0)n. Fie acum � > 0. Există atunci ¨ > 0 astfel încât B(�, 0) < � + ¨ implică Bl&(�), &(0)n < �. Într-adevăr, Bl&(�), &(0)n ≤5lB(�, 0)n < 5(� + ¨) < �, deoarece, dacă am presupune că 5(� + ¨) ≥ � pentru orice ¨ > 0, atunci, făcând ¨ ⟶ 0, ar rezulta că 5(�) ≥ � ceea ce ar reprezenta o contradicţie. Deci, există ¨ > 0 astfel încât 5(� + ¨) < � şi, prin urmare, & este Meir-Keeler.

c). (5) implică (7): Fie �� ≠ 0� în � fixate şi � = B(��, 0�) > 0. Atunci există ¨ > 0 astfel

încât pentru orice �, 0 ∈ � cu B(�, 0) < � + ¨ = B(��, 0�) + ¨ să avem Bl&(�), &(0)n <� = B(��, 0�). În particular, luând � = �� şi 0 = 0� obţinem că Bl&(��), &(0�)n < B(��, 0�).

Cum �� şi 0� cu �� ≠ 0�, au fost aleşi arbitrari, rezultă că & este contractivă.

Totodată, condiţia (1) este echivalentă cu condiţia (2) satisfăcută pentru orice m > 0, condiţia (3) este echivalentă cu condiţia (4) satisfăcută pentru orice m > 0, condiţia (5) este echivalentă cu condiţia (6) satisfăcută pentru orice m > 0, iar condiţia (7) este echivalentă cu condiţia (8) satisfăcută pentru orice m > 0.

Teorema 4.2.1. Fie (�, B) un spaţiu metric compact şi &: � ⟶ � o funcţie contractivă. Atunci & este o funcţie Meir-Keeler.

Remarca 4.2.6. Fie &: � ⟶ � o -contracţie cu ∈ (0,1). Atunci & este Meir-Keeler.

Într-adevăr: (1) implică (3) şi (3) implică (5) (v. remarca 4.2.5).

55

Exemplul 4.2.3. Fie &: [0,1] ⟶ [0,1], &(�) = � − ��. Atunci:

i). & nu este contracţie, deoarece: &"(�) = 1 − 2�, ceea ce implică sup6∈[�,�] &"(�) = 1, adică o1p(&) = 1.

ii). & este contractivă, deoarece: pentru � ≠ 0 din intervalul [0,1] avem:

|&(�) − &(0)| < |� − 0| ⟺ |� − 0| ∙ |1 − � − 0| < |� − 0| ⟺ |1 − � − 0| < 1

Într-adevăr, −1 ≤ 1 − � − 0 ≤ 1 implică |1 − � − 0| ≤ 1 cu egalitate dacă şi numai dacă � = 0 = 0 sau � = 0 = 1 ceea ce este în contradicţie cu faptul că � ≠ 0. Deci & este contractivă.

iii). & este Meir-Keeler, deoarece & îndeplineşte condiţiile teoremei 4.2.1.

Exemplul 4.2.4. (acest exemplu foloseşte un rezultat prezentat ulterior).

Fie &: [0,∞) ⟶ [0,∞) definită prin &(�) = (6��)´6�� . Atunci &"(�) = 6´�Ê6�±6´�Ê6�Ê şi, prin

urmare, 0 < &"(�) < 1 pentru orice � ≥ 0. Aşadar, conform teoremei lui Lagrange, & este contractivă. Totodată, &(�) > � pentru orice � ≥ 0. Deci, & nu admite niciun punct fix şi, prin urmare, & nu este Meir-Keeler, deoarece, conform teoremei 4.2.6 o funcţie Meir-Keeler definită pe un spaţiu metric complet admite un unic punct fix.

Exemplul 4.2.5. Fie &: [0,∞) ⟶ [0,∞) definită prin:

&(�) = È ��2 , � ∈ [0,1]� − 12 , � ∈ (1,∞)

Atunci & este non-expansivă, dar nu este contracţie.

Remarca 4.2.7. Remarcăm că teorema 4.2.1 ne ajută foarte mult în simplificarea calculelor pentru stabilirea condiţiei Meir-Keeler. Totodată, exemplul 4.2.4, ne arată că teorema 4.2.1 nu mai rămâne valabilă pe spaţii necompacte.

Definiţia 4.2.7. O familie de funcţii (&�)�∈�, &�: � ⟶ �pentru orice 1 ∈ � se numeşte uniform

Meir-Keeler dacă pentru orice � > 0 există ¨ > 0 şi � > 0 astfel încât pentru orice �, 0 ∈ �

cu B(�, 0) < � + ¨ avem că Bl&�(�), &�(0)n ≤ � − � pentu orice 1 ∈ �.

56

Definiţia 4.2.8. O familie de funcţii (&�)�∈�, &�: � ⟶ �pentru orice 1 ∈ � se numeşte m-local uniform Meir-Keeler pentru m > 0, dacă pentru orice � ∈ (0, m) există ¨ > 0 şi � > 0 astfel

încât pentru orice �, 0 ∈ � cu B(�, 0) < � + ¨ avem că Bl&�(�), &�(0)n ≤ � − � pentu orice 1 ∈ �.

Teorema 4.2.2. Fie (�, B) un spaţiu metric compact şi funcţiile &�: � ⟶ � pentru orice 1 ∈ {1,2, … , �}, unde � ≥ 1. Dacă &� este o funcţie Meir-Keeler pentru orice 1 ∈ {1,2, … , �}, atunci familia (&�)� �,�� este uniform Meir-Keeler.

Rezultatul teoremei 4.2.2 nu mai rămâne valabil pe spaţii metrice necompacte, după cum se poate vedea din următorul exemplu:

Exemplul 4.2.6. Fie spaţiul Ë¬ = {� = (��)�[�|(��)�[�estemărginit} înzestrat cu norma ‖�‖¬ = ùèp{|��|, |��|, … } şi � ⊂ Ë¬ definit prin:

� = {0} ∪ �k�2 − 1�� ·�, �1 − 1�� ·�Û�[� �

unde {·� = (1,0,0, … ), ·� = (0,1,0, … ), … } reprezintă baza canonică a lui Ë¬. Definim acum &: � ⟶ � prin: &(0) = 0, & �º2 − ��» ·�� = º1 − ��» ·� şi & �º1 − ��» ·�� = 0 pentru orice � ≥ 1. Atunci:

a). & este Meir-Keeler. Într-adevăr: pentru orice � > 0, există ¨ = �� > 0 astfel încât B(�, 0) < � + �� implică Bl&(�), &(0)n < �. Verificăm această afirmaţie în următoarele cinci

cazuri posibile:

1). � = 0 şi 0 = º2 − ��» ·�, � ≥ 1, astfel încât B(�, 0) = B º0, º2 − ��» ·�» = 2 − �� < � + ��.

Atunci: Bl&(�), &(0)n = B �&(0), & �º2 − ��» ·�� = B º0, º1 − ��» ·�» = 1 − �� < �.

2). � = 0 şi 0 = º1 − ��» ·�, � ≥ 1, astfel încât B(�, 0) = B º0, º1 − ��» ·�» = 1 − �� < � + ��.

Atunci: Bl&(�), &(0)n = B �&(0), & �º1 − ��» ·�� = B(0,0) = 0 < �.

3). � = º2 − �» ·` şi 0 = º2 − ��» ·�, � > a ≥ 1, astfel încât B(�, 0) =

B �º2 − �» ·`, º2 − ��» ·�� = 2 − �� < � + ��. Atunci: Bl&(�), &(0)n =

57

B �& �º2 − �» ·`� , & �º2 − ��» ·�� = B �º1 − �» ·`, º1 − ��» ·�� = 1 − �� < � − �� < �.

4). � = º1 − �» ·` şi 0 = º1 − ��» ·�, � > a ≥ 1, astfel încât B(�, 0) =

B �º1 − �» ·`, º1 − ��» ·�� = 1 − �� < � + ��. Atunci: Bl&(�), &(0)n =

B �& �º1 − �» ·`� , & �º1 − ��» ·�� = B(0,0) = 0 < �.

5). � = º2 − ��» ·� şi 0 = º1 − �» ·`, �,a ≥ 1, astfel încât B(�, 0) =

B �º2 − ��» ·�, º1 − �» ·`� = 2 − �� < � + ��. Atunci: Bl&(�), &(0)n =

B �& º2 − ��» ·�, & �º1 − �» ·`� = B �º1 − ��» ·�, 0� = 1 − �� < � − �� < �.

b). Vom arăta că (&) nu este uniform Meir-Keeler. Mai precis, vom lua � = 1 > 0 şi vom arăta că pentru orice ¨, � > 0, există �, 0 ∈ � astfel încât B(�, 0) < 1 + ¨ şi, totuşi, Bl&(�), &(0)n > 1 − �. Avem că există �� ∈ ℕ cu proprietatea 1 − ��ï > 1 − �. Vom lua �, 0 ∈ � de forma � = º2 − ��ï» ·�ï şi 0 = º1 − ��ï» ·�ï. Într-adevăr: B(�, 0) = 1 < 1 + ¨ şi

Bl&(�), &(0)n = B �º1 − ��ï» ·�ï , 0 = 1 − ��ï > 1 − �.

Teorema 4.2.3. Fie (�, B) un spaţiu metric şi funcţiile &�: � ⟶ � pentru orice 1 ∈ �. Dacă &� este o ��-contracţie pentru orice 1 ∈ � astfel încât � = ùèp�∈� �� < 1, atunci familia de funcţii (&�)�∈� este uniform Meir-Keeler.

Exemplul 4.2.7. Fie funcţiile &�: [0,1] ⟶ [0,1] definite prin &�(�) = 6��½´ + ��½³ pentru orice � ∈ ℕ. Atunci familia de funcţii (&�)�[� este uniform Meir-Keeler (v. teorema 4.2.3).

Teorema 4.2.4. Fie (�, B) un spaţiu metric complet şi � = (�, {&j}j∈�) un sistem iterativ de

funcţii infinit astfel încât familia de funcţii (&�)�∈� este mărginită. De asemenea, considerăm

funcţia t�: ℬ(�) ⟶ ℬ(�) definită prin t�(-) = ⋃ &�(-)�∈�� pentru orice - ∈ ℬ(�). Atunci următoarele afirmaţii sunt adevărate:

58

1). Dacă funcţia &j este o contracţie pentru orice � ∈ � şi � = ùèpj∈� o1p(&j) < 1, atunci

funcţia t� este o contracţie şi o1p(t�) ≤ �.

2). Dacă m > 0 şi funcţia &j este o m-local contracţie pentru orice � ∈ � şi � = ùèpj∈� o1p(&j) < 1, atunci funcţia t� este o m-local contracţie şi o1p(t�) ≤ �.

3). Dacă 5 este o funcţie de comparaţie şi funcţia &j este o 5-funcţie pentru orice � ∈ �, atunci funcţia t� este o 5-funcţie.

4). Dacă m > 0, 5 este o funcţie de comparaţie şi funcţia &j este o (m, 5)-funcţie pentru orice � ∈ �, atunci funcţia t� este o (m, 5)-funcţie.

5). Dacă funcţia &j este contractivă pentru orice � ∈ �, atunci funcţia t� este non-expansivă.

Următoarea lemă este binecunoscută.

Lema 4.2.3. ([78], [79], [84]) Fie (�, B) un spatiu metric şi +, - ∈ ℬ(�). Atunci pentru orice � > 0 şi ) ∈ + există g = gÄ,� ∈ - astfel încât B(), g) ≤ ℎ(+, -) + �.

Teorema 4.2.5. Fie (�, B) un spaţiu metric complet, � = (�, {&�}�∈�) un sistem iterativ de

funcţii infinit astfel încât familia de funcţii (&�)�∈� este mărginită şi funcţia t�: ℬ(�) ⟶ ℬ(�)

definită prin t�(-) = ⋃ &�(-)�∈�� pentru orice - ∈ ℬ(�). Atunci următoarele afirmaţii sunt adevărate:

1). Dacă familia de funcţii (&�)�∈� este uniform Meir-Keeler, atunci funcţia t� este Meir-Keeler.

2). Dacă m > 0 şi familia de funcţii (&�)�∈� este m-local uniform Meir-Keeler, atunci funcţia t�

este m-local Meir-Keeler.

Următoarele două rezultate reprezintă teoreme de punct fix binecunoscute.

Teorema 4.2.6. ([78], [79]) Fie (�, B) un spaţiu metric complet. Atunci:

1). Dacă &: � ⟶ � este o 5-funcţie, atunci & are un unic punct fix ∈ � şi pentru orice �� ∈ � şirul º&[�](��)»�[� este convergent la .

2). Dacă &: � ⟶ � este o funcţie Meir-Keeler, atunci & are un unic punct fix ∈ � şi pentru

orice �� ∈ � şirul º&[�](��)»�[� este convergent la .

59

Teorema 4.2.7. ([78], [79]) Fie (�, B) un spaţiu metric complet m-înlănţuit, unde m > 0. Atunci:

1). Dacă &: � ⟶ � este o (m, 5)-funcţie, atunci & are un unic punct fix ∈ � şi pentru orice �� ∈ � astfel încât B(��, ) < m şirul º&[�](��)»�[� este convergent la .

2). Dacă &: � ⟶ � este o funcţie m-local Meir-Keeler, atunci & are un unic punct fix ∈ � şi

pentru orice �� ∈ � astfel încât B(��, ) < m şirul º&[�](��)»�[� este convergent la .

Acum putem arăta existenţa şi unicitatea atractorului pentru sistemele iterative de funcţii infinite care conţin alte tipuri de contracţii.

Teorema 4.2.8. Fie (�, B) un spaţiu metric complet, 5 o funcţie de comparaţie şi � =(�, {&�}�∈�) un sistem iterativ de functii infinit astfel încât familia de funcţii (&�)�∈� este

mărginită, unde &�: � ⟶ � sunt 5-funcţii pentru orice 1 ∈ �. Atunci funcţia t�: ℬ(�) ⟶ℬ(�), t�(@) = ⋃ &�(@)�∈�� este o 5-funcţie şi are un unic punct fix.

Teorema 4.2.9. Fie (�, B) un spaţiu metric complet şi � = (�, {&�}�∈�) un sistem iterativ de

funcţii infinit astfel încât familia de funcţii (&�)�∈� este mărginită şi uniform Meir-Keeler.

Atunci funcţia t�: ℬ(�) ⟶ ℬ(�), t�(@) = ⋃ &�(@)�∈�� este Meir-Keeler şi admite un unic punct fix.

Teorema 4.2.10. Fie (�, B) un spaţiu metric complet uniform m-înlănţuit, 5 o funcţie de

comparaţie, m > 0, m� > m şi � = (�, {&�}�∈�) un sistem iterativ de funcţii infinit astfel încât

familia de funcţii (&�)�∈� este mărginită, unde &�: � ⟶ � sunt (m�, 5)-funcţii pentru orice 1 ∈�. Atunci funcţia t�: ℬ(�) ⟶ ℬ(�), t�(@) = ⋃ &�(@)�∈�� este o (m�, 5)-funcţie şi admite un unic punct fix.

Teorema 4.2.11. Fie (�, B) un spaţiu metric complet uniform m-înlănţuit, m > 0, m� > m şi � = (�, {&�}�∈�) un sistem iterativ de funcţii infinit astfel încât familia de funcţii (&�)�∈� este

mărginită şi m�-local uniform Meir-Keeler. Atunci funcţia t�: ℬ(�) ⟶ ℬ(�), t�(@) =⋃ &�(@)�∈�� este o m�-local Meir-Keeler şi admite un unic punct fix.

Cu demonstraţii similare demonstraţiilor făcute la teorema 3.3.3 şi corolarele 3.3.1 şi 3.3.2 obţinem următoarele rezultate:

60

Teorema 4.2.12. Fie (�, B) un spaţiu metric complet, 5 o funcţie de comparaţie şi � =(�, (&�)�∈�) un sistem iterativ de funcţii infinit, unde familia (&�)�∈� este mărginită şi toate &�: � ⟶ � sunt 5-funcţii. Fie + atractorul lui �. Considerăm l�3n3∈ o familie de mulţimi �3 ⊂ � astfel încât:

1). � = ⋃ �33∈ .

2). ⋃ -33∈ este o mulţime conexă, unde -3 este atractorul lui �3 = º�, (&�)�∈�2» pentru orice = ∈ �. Atunci + este conexă.


1). � = ⋃ �33∈ .

2). -3 este conexă, unde -3 este atractorul lui �3 = º�, (&�)�∈�2» pentru orice = ∈ �. 3). Familia de mulţimi l-3n3∈ este conexă.

Atunci + este conexă.


1). � = ⋃ �33∈ .

2). �3 sunt finite pentru orice = ∈ �. 3). Familiile de mulţimi º&�l-3n»�∈�2 sunt conexe, unde -3 este atractorul lui �3 =º�, (&�)�∈�2» pentru orice = ∈ �. 4). Familia de mulţimi l-3n3∈ este conexă.

Atunci + este conexă.

61

Exemplul 4.2.8. Fie � = ([0,1], {&�}�[�) un sistem iterativ de funcţii în care &�(�) = 66�� şi &�(�) = 6�� pentru orice � ≥ 2. Fie, de asemenea, funcţia de comparaţie 5: [0,∞) ⟶[0,∞), 5(�) = 66��. Atunci &� este o 5-funcţie pentru orice � ≥ 1. Prin urmare, conform

teoremei 4.2.8, t� este o 5-funcţie şi admite un unic punct fix. Mai mult, observăm că atractorul lui � este + = [0,1].

62

Bibliografie

[1] J. Andres, J. Fišer, G. Gabor, K. Leśniak, Multivalued Fractal, Chaos, Solitons and Fractals, Volume 24, Issue 3, 2005, 665-700.

[2] F. Arenas, M. A. Sánchez-Granero, Every Graph is a Self-Similar Set, Divulgaciones Matemáticas, Vol. 8, Number 1, 2000, 51-56.

[3] M. Atsuji, Uniform continuity of continuos functions of metric spaces, Pacific J. Math., 8(1958), 11-16.

[4] C. Bandt, K. Keller, Self-similar sets 2. A simple approch to the topological structure of fractals, Math. Nachr., 157(1991), 27-39.

[5] C. Bandt, S. Graf, Self-similar sets 7. A characterization of self-similar fractals with positive Hausdorff measure, Proc. Amer. Math. Soc., 114(1992), 995-1001.

[6] M. Barnsley, S. Demko, Iterated function systems and the global construction of fractals, Proc. R. Soc. London, A399, 1986, 243-275.

[7] M. F. Barnsley, Fractals Everywhere, Academic Press, New York, 1998.

[8] M. F. Barnsley, Superfractals, Cambridge University Press, Cambridge, 2006.

[9] M. F. Barnsley, Transformation between attractors of hyperbolic iterated function systems, arXiv:math/0703398v1 [math.DS] 14 Mar 2007.

[10] A. F. Beardon, Continued fractions, discrete groups and complex dynamics, Computational Methods and Function Theory, Volume 1(2001), no. 2, 535-594.

[11] G. Beer, UC spaces revisited, Amer. Math. Monthly, 95(1988), 737-739.

[12] C. Berge, Graphs and Hypergraphs, North-Holland, Amsterdam, 1973.

[13] A. S. Besicovitch, I. J. Schoenberg, On Jordan arcs and Lipschitz classes of functions, Acta Math., 106(1961), 113-136.

[14] P. Billingsley, Ergodic Theory and Information, J. Wiley and Sons, New York, 1965.

[15] H. Brolin, Invariant sets under iteration of rational functions, Ark. Mat., 6(1965), 103-144.

[16] T. Carleman, Sur les équations intégrales singulières à noyau réel et symétrique, Uppsala, 1923.

[17] E. Cesàro, Sur le représantation analytique des régions et des courbes qui les remplissent, Bull. Sci. Math., 21(1987), 257-266.

63

[18] W. J. Charatonik, A. Dilks, On self-homeomorphic spaces, Topology Appl. 55(1994), 215-238.

[19] I. Chiţescu, R. Miculescu, Approximation of fractals generated by Fredholm integral equations, J. Comput. Anal. Appl., Volume 11(2009), Number 2, 286-293.

[20] S. Crovisier, M. Rams, IFS Attractors and Cantor Sets, Topology Appl., 153(2006), 1849-1859.

[21] A. Denjoy, Sur une fonction réele de Minkowski, J. Math. Pures. Appl., 17(1938), 105-151.

[22] F. M. Dekking, Recurrent sets, Adv. in Math., 44(1982), 78-104.

[23] D. Dumitru, A. Mihail, The shift space of an iterated function system containing Meir-Keeler functions, Analele Universităţii din Bucureşti, Seria Matematică, Anul LVII, Nr. 1, 2008, 175-188.

[24] D. Dumitru, A. Mihail, A sufficient condition for the connectedness of the attractors of infinite iterated function systems, An. Ştiint. Univ. Al. I. Cuza Iasi Mat. (N.S)., 55(2009), suppl. 1, 87-94.

[25] D. Dumitru, Topological properties of the attractors of iterated function systems, An. Univ. Ovidius Constanţa, Seria Matematică, Vol. 19(3), 2011, 117-126.

[26] D. Dumitru, Arcwise connected attractors of infinite iterated function systems, acceptat în Analele Universităţii Ovidius din Constanţa, Vol. 2, 2014.

[27] D. Dumitru, Attractors of infinite iterated function systems containing contraction type functions, Analele Universităţii Al. I. Cuza din Iaşi, Seria Matematică, vol. LIX, 2(2013), 281-298.

[28] D. Dumitru, A. Mihail, Some remarks concerning attractors of iterated function systems, acceptat în Rocky Mountain Journal of Mathematics.

[29] P. F. Duvall, L. S. Hucsh, Attractors of iterated function systems, Proc. Amer. Math. Soc., Volume 116, Number 1, 1992, 279-84.

[30] G. Edgar, Measure, Topology and Fractal Geometry, Springer, 2008.

[31] H. G. Eggleston, On closest packing by equilateral triangles, Proc. Camb. Philos. Soc., 49(1953), 26-30.

[32] R. Engelking, General Topology, PWN, 1977.

[33] K. J. Falconer, The geometry of fractal sets, Cambridge University Press, Cambridge, 1986.

[34] K. J. Falconer, The Hausdorff dimension of some fractals and attractors of overlapping construction, J. Statist. Phys., 47(1987), 123-132.

64

[35] K. J. Falconer, The Hausdorff dimension of self-afine fractals, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 103(1988), 339-350.

[36] K. J. Falconer, Fractal Geometry - Mathematical Foundations and Applications, John Wiley, 1990.

[37] H. Federer, Geometric Measure Theory, Springer-Verlag, New York, 1969.

[38] S. Graf, The equidistribution on self-similar sets, MIP-8929 Passau, 1989.

[39] G. Gwóźdź - Łukawska, J. Jachymski, The Hutchinson-Barnsley theory for infinite iterated function systems, Bulletin of the Australian Mathematical Society, Vol. 72(2005), Number. 3, 441-454.

[40] M. Hata, Dynamics of Caianiello's equation, J. Math. Kyoto Univ., 22(1982), 155-173.

[41] M. Hata, Scrambled sets on compact metric spaces, J. Math. Kyoto Univ., 24(1984), 689-698.

[42] M. Hata, On the structure of self-similar sets, Japan J. Appl. Math., 2(1985), 381-414.

[43] M. Hata, On some properties of set-dynamical systems, Proc. Japan Acad., 61(1985), Ser. A, 99-102.

[44] J. Hutchinson, Fractals and self-similarity, Indiana Univ. J. Math. 30(1981), 713-747.

[45] S. Hu, N. S. Papageorgiou, Handbook of Multivalued Analysis, Vol. I, Kluwer Dordrecht, 1997.

[46] T. Jain, S. Kundu, Atsuji completions: Equivalent characterisations, Topology and its Applications, 154(2007), 28-38.

[47] A. Kameyama, Self-Similar Sets from the Topological Point of View, Japan J. Indust. Appl. Math., 10(1993), 85-95.

[48] A. Kameyama, Distances on topological self-similar sets and the kneading determinants, J. Math. Kyoto Univ. Volume 40, Number 4(2000), 603-674.

[49] J. Kigami, Harmonic calculus on p.c.f. self-similar sets, Trans. Amer. Math. Soc., 335(1993), 721-755.

[50] J. Kigami, Hausdorff dimension of self-similar sets and shortest path metrics, J. Math. Soc. Japan, 47(1995), 381-404.

[51] J. Kigami, Analysis on fractals, Cambridge Univ. Press, 2001.

[52] K. Kuratowski, Topology. Vol 1, Academic Press, New York, 1966.

[53] M. Kwieciński, A locally connected continuum which is not an IFS attractor, Bull. Polish. Acad. Sci., 47, Number. 2, 1999, 128-132.

65

[54] A. Lasota, M.C. Mackey, Chaos, fractals and noise: Stochastic aspects of dynamics, Appl. Math. Sci. 97, Spinger 1997.

[55] K. Leśniak, Infinite iterated function systems: A multivalued approach, Bull. Pol. Ac.Math. 52(2004), Number 1, 1-8.

[56] J. Luukkainen, J. Vaisala, Elements of Lipschitz topology, Annales Academiae Scientarium Fennicae, 3:85-122, 1977.

[57] L. Máté, The Hutchinson-Barnsley theory for certain noncontraction mappings, Period. Math. Hungar., 27, Number 1, 1993, 21-33.

[58] B. Mandelbrot, Fractals, Forms, Chance and Dimension, Freeman, San Francisco, 1977.

[59] B. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, W. F. Freeman, San Francisco, 1982.

[60] B. Mandelbrot, Multifractals and 1 / f Noise, Springer-Verlag, New York, 1999.

[61] P. Mattila, On the structure of self-similar fractals, Ann. Acad. Sci. Fenn., 7(1982), 189-195.

[62] R. D. Mauldin, M. Urbański, Dimensions and measures in infinite iterated function systems, Proc. London Math. Soc. (3) 73(1996), 105-154.

[63] R. D. Mauldin, M. Urbański, Conformal iterated function systems with applications in the geometry of continued fractions, Trans. Amer. Math. Soc., 351(1999), 4995-5025.

[64] A. Meir, E. Keeler, A theorem on contraction mappings, J. Math. Anal. Appl. 28(1969), 326-329.

[65] R. Miculescu, A. Mihail, Lipscomb's space �d is the attractor of an IFS containing

affine transformation of Ë�(+), Proceedings of AMS, 136(2008), 587-592.

[66] R. Miculescu, A. Mihail, Applications of fixed point theorems in the theory of generalized IFS, Fixed Point Theory and Appl., Volume 2008, Article ID 312876, 11 pages, doi: 10.1155/312876.

[67] R. Miculescu, A. Mihail, The shift space for an infinite iterated function system, Math. Reports, Vol. 10(60), Number 1, 2009, 21-32.

[68] R. Miculescu, A. Mihail, Generalized IFSs on Noncompact Spaces, Fixed Point Theory and Applications, Article ID 584215, 2010, 15 pages.

[69] R. Miculescu, A. Mihail, Lipscomb's o(+) space fractalized in Ë~(+), Mediterranean Journal of Mathematics, doi:10.1007/s00009-011-0133-9, 2011, 1-10.

[70] A. Mihail, The Hutchinson measure for generalized iterated function systems, Rev. Roumaine Math. Pures Appl., Vol. 54(2009), Number 4, 297-316.

66

[71] A. Mihail, On the connectivity of attractors of iterated multifunction systems, Real Analysis Exchange, 34(2008-2009), 195-206.

[72] A. Mihail, On the connectivity of attractors of iterated function systems, Rocky Mountain Journal of Mathematics, Volume 40, Number 6, 2010, 1949-1964.

[73] A. Mihail, A neccessary and sufficient condition for connectivity of the attractor of infinite iterated function systems, Rev. Roumaine Math. Pures Appl., Tome LV, Number. 2, 2010, 147-157.

[74] A. Mihail, Topological iterated function systems, Analele Universităţii Al. I. Cuza, Iaşi, (S.N.) Matematică, Tom LVIII, 2012, f.1, 105-120.

[75] P. A. P. Moran, Additive functions of intervals and Hausdorff measure, Proc. Camb. Phil. Soc., 42(1946), 15-23.

[76] J. R. Munkres, Topology: A First Course, Prentice-Hall, Inc., 1975.

[77] P. E. Oppenheim, Constructing an Atlas of Self Similar Sets, B. A. Thesis, Princeton, 1979.

[78] A. Petruşel, Fixed points theory with applications to dynamical systems and fractals, Seminar on fixed point theory Cluj-Napoca, Volume 3, 2002, 305 - 316.

[79] I. A. Rus, A. Petrusel, G. Petrusel, Fixed Point Theory 1950-2000 : Romanian Contributions, House of the Book of Science, Cluj-Napoca, 2002, 325 p.

[80] M. J. Sanders, Nonattractors of Iterated Function Systems, Texas Project NexT e-Journal: http://www.cs.southwestern. edu/txcmj/txnext.htm, 1(2003), 1-9.

[81] M. J. Sanders, An n-cell in ℝ�� that is not the attractor of any IFS on ℝ��, Missouri Journal of Mathematical Science, Volume 21, Number 1, 2009, 13-20.

[82] F. Sandoghdar, Connectedness of the attractor of an iterated function system, Master Degree Thesis, Concordia University, Montréal, Québec, Canada, 1995.

[83] A. Schief, Separation properties for self-similar sets, Proc. Amer. Math. Soc., Volume 122, Number 1, 1994, 111-115.

[84] N. A. Secelean, Măsură şi Fractali, Ed. Lucian Blaga Univ. Sibiu, 2002.

[85] N. A. Secelean, Countable iterated function systems, Far East J. Dyn. Syst. 3(2001), Number 2, 149-167.

[86] N. A. Secelean, Parametrized curve as attractors of some countable iterated function systems, Arch. Math. (Brno), 40(2004), Number 3, 287-293.

[87] N. A. Secelean, The fractal interpolation for countable system data, Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat., 14(2003), 11-19.

67

[88] N. A. Secelean, Any compact subset of a metric space is the attractor of a countable function system, Bull. Math. Soc. Roumanie, 44(2001), Number 3, 237-241.

[89] W. Sierpiński, Sur une nouvelle courbe continue qui remplit toute une aire plane, Oeuvres Choisies, II. Warszawa, 1975, 52-66.

[90] C. Tricot, Curves and Fractal Dimension, Springer-Verlag, New York, 1995.

[91] H. K. Xu, m-chainability and fixed points of set-valued mappings in metric spaces, Math. Japonica 39(1994), 353-356.

[92] M. Yamaguti, M. Hata, J. Kigami, Mathematics of Fractals, AMS, Translations of mathematical monographs, Vol 167, 1997.

[93] K. R. Wicks, Fractals and Hyperspaces, LNM 1492, Springer-Verlag, Berlin, 1991.

[94] R. F. Williams, Composition of contractions, Bol. Soc. Brasil, 2(1971), 55-59.

[95] G. T. Whyburn, Semi-Locally connected sets, American Journal of Mathematics, Vol. 61, 1939, 733-749.

Teză de Doctorat - UniBuc

Documents

Transcript of Teză de Doctorat - UniBuc