TEZĂ DE DOCTORATdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/gherghelesliliana.pdf · construcţiei şi...

UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE CONSTRUCŢII

BUCUREŞTI

FACULTATEA DE GEODEZIE

TEZĂ DE DOCTORAT

ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR

Conducător ştiinţific: Prof. univ. dr. ing. PETRE IULIU DRAGOMIR

Doctorand: Ing. LILIANA GHERGHELEŞ

-2011-


Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 1

CUPRINS Cap I INTRODUCERE............................................................................................................................................2 I.1 Scopul şi importanţa analizei dinamice ale construcţiilor şi terenurilor ..............................................2 I.2 Legislaţia în vigoare referitoare la urmărirea comportării construcţiilor şi terenurilor........................3 I.3. Definiţii şi clasificări ale deplasărilor şi deformaţiilor.........................................................................4 I.4. Concluzii...............................................................................................................................................9 Cap II REŢELE GEODEZICE DE URMĂRIREA COMPORTĂRII CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENULUI...........................................................................................................................................................10

II.1 Metode clasice...................................................................................................................................11 II.1.1 Metoda microtriangulaţiei………………........................................................................11 II.1.2 Metoda microtrilateraţiei..................................................................................................18 II.1.3 Metoda aliniamentului…………………..........................................................................19

II.2 Metode moderne.................................................................................................................................22 II.2.1 Metoda poligonometrică...................................................................................................24 II.2.2. Utilizarea reţelelor G.N.S. S. ..........................................................................................25 II.2.3 Sistemul automatizat GOCA............................................................................................32

II.3 Concluzii............................................................................................................................................33 Cap III METODE DE PRELUCRARE ŞI ANALIZ Ă A DATELOR...................................................................34

III.1 Prelucrarea reţelelor geodezice.........................................................................................................34 III.2 Teste statistice………….…………………………..........................................................................39 III.3 Analiza integrată a datelor................................................................................................................46

III. 3.1 Analiza geometrică……………………………………………….………...............….47 III.3.2 Interpretare fizică ............................................................................................................71

III.3.2.a Interpretare statistică......................................................................................71 III.3.2.b Interpretare deterministică…………………………................................….72

III.4 Metoda elementelor finite.................................................................................................................73 III.5 Concluzii...........................................................................................................................................78

Cap IV. Metode de filtrare a datelor........................................................................................................................79

IV.1 Filtrul Wiener....................................................................................................................................80 IV.2 Filtrul Kalman...................................................................................................................................87

IV.2.1 Algoritmul filtrului Kalman discret.................................................................................90 IV.2.2 Filtrul Kalman extins (EKF)...........................................................................................92

IV.3 Filtrul Kalman discret aplicat în analiza cinematică de deformare……….....................................96 IV.3.1 Ecuaţiile standard ale Filtrului Kalman discret……………………...........................…96 IV.3.2 Aplicatiile filtrului Kalman în analiza cinematică…………………..........................…98

IV.4 Concluzii……………………….....................................................................................................109 Cap V Studiu de caz……………………………………………………………...............................................110

V.1 Descrierea şi caracteristicile studiului de caz………….............................................….................110 V.2 Aplicaţia filtrului Kalman asupra reţelei geodezice de urmărire a barajului Tileagd.....................114 V.3 Aplicaţia metodei elementului finit asupra reţelei geodezice de urmărire a barajului

Tileagd...................................................................................................................................................................127 V.4 Concluzii………..............................................................................................................................129

Cap VI Concluzii ……………………………….............................................................…….............................132 Bibliografie............................................................................................................................................................134



CAPITOLUL I - INTRODUCERE

I.1 Scopul şi importan ţa

Supravegherea în timp a construcţiilor [38] are un rol vital în conceptul de exploatare în

siguranţă a acestora. Studiul construcţiilor, pe modele şi la scară naturală, are drept obiectiv

cunoaşterea anumitor parametri ce caracterizează şi explică comportarea locală sau de

ansamblu a construcţiilor cercetate. Modificările construcţiei studiate rezultă ca urmare a

solicitărilor statice sau dinamice, sau a unor factori cum sunt: natura terenului de fundare,

variaţia nivelului apei subterane, acţiunea greutăţii proprii asupra fundaţiei, variaţiile de

temperatură, acţiunea vântului. Acestea sunt puse în evidenţă pe baza rezultatelor obţinute

din măsurători,efectuate în timpul testărilor, în timpul execuţiei ca şi după terminarea

construcţiei şi darea ei în exploatare. Măsurătorile pot fi:

• relative, dacă este controlată numai poziţia relativă a două sau mai multe puncte ale

construcţiei unul faţă de altul;

• absolute, dacă se măsoară deplasările punctelor construcţiei supusă solicitărilor în

raport cu repere fixe, amplasate în terenuri nedeformabile şi în afara zonei de

influenţă a construcţiei.

Controlul periodic al comportării construcţiilor a debutat la începutul anilor 1920, când

urmărirea deformaţiilor unui baraj era posibilă numai cu ajutorul geodeziei. Metodele

geodezice au început să piardă din importanţă odată cu dezvoltarea aparatelor mecanice

(A.M.C.-uri, ce s-au introdus în construcţii, fundaţiile construcţiilor şi terenul înconjurător) şi

datorită faptului că metodele geodezice reprezintă operaţii complexe, realizabile numai de

specialişti, cu ajutorul unor aparate de măsurare precise, în condiţii de lucru favorabile pe

teren. Utilizarea măsurătorilor geodezice la intervale regulate, de ordinul săptămânilor sau

lunilor, este practic imposibilă, metodele fiind inutilizabile iarna în zonele muntoase unde

accesibilitatea este blocată.

Cu toate limitările menţionate mai sus, metodele geodezice de urmărirea comportării

construcţiilor nu au fost abandonate nicăieri în lume deoarece prezintă şi avantaje însemnate:

• Sunt singurele metode care pot evidenţia deformaţii “absolute” ale construcţiilor;

• Precizia determinărilor este superioară altor metode în condiţii date (reţele de observaţii

corect realizate, aparatură de măsurare precise, metode de măsurare adecvate, specialişti

calificaţi în măsurarea şi prelucrarea datelor de teren);

• Se pot determina selectiv deformaţii ale întregii construcţii, ale unor părţi ale acesteia

(numai în plan vertical sau orizontal etc.)



Măsurătorile geodezice pentru urmărirea comportării construcţiilor au început să fie

reconsiderate de către proiectanţii care interpretează modul de comportare a construcţiilor în

timp, odată cu dezvoltarea aparatelor de măsură, a informaticii care intervine direct în

obţinerea valorilor celor mai probabile ale deplasărilor, pe baza utilizării testelor statistice şi

adoptării unor modele matematice complexe pentru prelucrarea datelor din teren. În unele ţări,

la unele construcţii hidrotehnice “cu probleme” urmărirea comportării prin metode geodezice

se face în mod continuu, pe baza unor aparate de măsurat distanţe care realizează măsurători

la intervale de timp necesare. Astfel, rezultatele deplasărilor construcţiilor pot fi obţinute în

intervale de timp de ordinul a câtorva minute, costul acestor metode fiind foarte ridicat

datorită aparaturii imobilizate la baraj, a tehnicii de calcul şi programelor specifice ce trebuie

realizate.

I.2 Legislaţia în vigoare referitoare la urmărirea comportării construcţiilor şi

terenurilor

Încă din faza de proiectare a construcţiilor, acestea trebuie corect dimensionate, trebuie

să se ţină seama de toate eforturile la care este supusă construcţia, de condiţiile hidrogeologice

specifice, de gradul de seismicitate al zonei, de toţi factorii ce pot produce avarii sau

fenomene periculoase. În timpul realizării construcţiilor, trebuie luate toate măsurile ca

proiectele să fie realizate corect, din materiale de calitate, pe amplasamentul indicat, cu toate

părţile constructive prevăzute. Măsurile de siguranţă a construcţiei trebuie continuate şi în

perioada ei de exploatare, astfel încât să se respecte tehnologia de exploatare în condiţii de

risc minim.

Toate aceste prevederi reprezintă o tendinţă generală care însă nu poate fi asigurată în

totalitate. Deteriorări semnificative în timp ale construcţiei, deformaţii şi deplasări anormale

ale structurii, alunecări de teren, fac ca avariile să poată apărea în diverse momente ale

exploatării. Din acest motiv, există întotdeauna un risc de care va trebui să se ţină seama.

Acest motiv impune realizarea urmăririi comportării construcţiilor cu grad mare de

periculozitate în caz de avarii, ca o componentă obligatorie în activitatea de exploatare a

construcţiilor.

În ţara noastră urmărirea comportării construcţiilor se reglementează

printr-o serie de acte normative, dintre care:

Legea calităţii construcţiilor nr. 10/1995 este predecesorul legii 8/1977 care face referire

şi la obligativitatea urmăririi comportării construcţiilor.



H.G.R. nr. 925/20.10.1995 referitoare la regulamentul de expertizare şi verificare a

proiectelor

Ordonanţa nr. 2 a Guvernului din 14.04.1994

Hotărârea Guvernului nr. 486/1993

STAS 7883/1990 – Construcţii hidrotehnice. Supravegherea comportării în timp

Urmărirea comportării construcţiilor devine astfel obligatorie, de ea trebuind să se ţină

seama în toate etapele: de proiectare, realizare şi exploatare a acestora.

Urmărirea comportării construcţiilor se execută de obicei la comanda beneficiarului

(proporietarul construcţiei). Proiectele de reţele geodezice de urmărirea comportării

construcţiilor se execută de către specialişti geodezi proiectanţi, la executarea părţilor

constructive ale pilaştrilor, reperilor şi bornelor, participând şi inginerii proiectanţi

constructori.

Efectuarea seriilor de măsurători trebuie realizate de către specialişti geodezi, dispunând

de o dotare tehnică corespunzătoare – atât în ce priveste aparatura de măsurare cât şi tehnica

de calcul.

Frecvenţa seriilor de măsurători, impusă de proiectant, este funcţie de mai multe

elemente, cum sunt: tipul construcţiei, vârsta şi starea acesteia, condiţiile impuse de fundare şi

de exploatare, acestea din urmă efectuându-se de 2 – 6 ori pe an, până odată la cel mult 2 ani.

I.3 Definiţii şi clasificări ale deplasărilor şi deformaţiilor Prin deplasare înţelegem schimbarea poziţiei spaţiale a unui punct situat pe o construcţie ce

este supusă solicitărilor.

Prin deformaţie se înţelege modificarea formei unui obiect, manifestată prin modificarea

mărimii distanţelor relative între punctele construcţiei observate.

Figura 1.1. Deplasări şi deformaţii

Deplasări Deformaţii



O construcţie supusă unui regim de solicitare determinat de condiţiile sale funcţionale

poate suferi deplasări şi deformaţii liniare, unghiulare şi specifice, după cum urmează:

• Deplasări şi deformaţii liniare :

Tasările definite ca deplasări pe verticală în jos ale fundaţiilor

construcţiilor şi a terenului de fundare ale acestora;

Bombări sau ridicări, ce reprezintă deplasări pe verticală în sus ale

fundaţiilor construcţiilor ;

Săgeţile caracteristice unor elemente de constucţie precum grinzile,

stâlpii, plăcile, supuse unor solicitări verticale sau orizontale ce

provoacă încovoierea acestora ;

Înclinările apărute ca efect al tasărilor inegale, fără însă a afecta

integritatea construcţiilor;

Crăpături şi fisuri ce sunt definite ca rupturi în plan sau în părţi

separate ale construcţiei apărute ca urmare a tasării neuniforme şi

apariţiei tensiunilor suplimentare;

Deplasările pe orizontală ale unor elemente ale construcţiei sau ale

construcţiei în ansamblul ei, datorate unor forţe orizontale (alunecări

de teren, împingerea apei) sau modificării echilibrului terenului de

fundare al construcţiei.

• Deplasări şi deformaţii unghiulare definite ca rotiri ale elementelor

construcţiilor, datorate acţiunii solicitărilor şi modificării echilibrului terenului

de fundare. Se pot ptoduce rotiri în plan vertical - înclinări ale construcţiei, sau

în plan orizontal – răsuciri.

• Deformaţiile specifice sunt definite ca fiind alungirile sau scurtările ale unui

element de construcţie sub efectul tensionării sau comprimării elementelor

respective.

“Pentru sesizarea deformaţiilor trebuie alese şi marcate pe obiect puncte potrivite, care să

permită cunoaşterea deformaţiilor pe întreg perimetrul. De aceea aceste puncte obiect trebuie

să vină în contact nemijlocit cu construcţia, de exemplu ca bolţuri sau plăcuţe lipite. Ele pot fi

atât puncte de vizare, determinabile indirect, ca de exemplu mărcile de vizare fixate pe un

perete, cât şi puncte între care se măsoară direct, ca şi în cazul punctelor marcate pe ambele

părţi ale rosturilor de separaţie ale diferitelor componente ale construcţiei. Pentru cerinţe

scăzute de precizie, marcarea poate fi omisă, dacă pe obiect există detalii identificabile fără

dubii. Numărul şi poziţia punctelor obiect influenţează atât posibilităţile de apreciere ale



comportării construcţiei cât şi, într-o măsură considerabilă, planificarea şi desfăşurarea

măsurătorilor de control. [9]. Măsurarea deplasărilor şi deformaţiilor construcţiilor poate avea

un caracter relativ sau absolut. Măsurătorile efectuate pot fi:

relative, dacă este verificată doar poziţia relativă apunctelor obiect unul faţă de

altul; în această categorie intră măsurătorile efectuate cu aparate de măsură

instalate în corpul construcţiei.

absolute, dacă se determină suplimentar şi deplasarea punctelor obiect faţă de

obiecte fixe, exterioare; din această categorie fac parte măsurătorile efectuate

cu aparate instalate în afara construcţiei.

În funcţie de durata apariţiei fenomenului, deplasările şi deformaţiile se mai pot clasifica în:

• Oscilaţii - din aceasta categorie fac parte deplasările pe o perioadă între 0.01s –

1s cum sunt cele ale instalaţiilor de maşini şi cele între 1s – 10s precum

oscilaţiile proprii ale construcţiilor.

• Mişcări de scurtă durată care se înregistrează pe o perioadă de 10s – 10 zile şi

cuprind deformaţiile construcţiilor sub solicitări, inclusiv cele cazate de factori

de mediu cum sunt : iradierile solare vântul şi mişcările diurne specifice.

• Mişcări de lungă durată – sunt mişcări cu o perioadă cuprinsă între 10 zile -

10 ani şi încadrează tasările şi mişcările sezoniere ale construcţiilor noi, la care

se adaugă mişcările între 10 ani - 100 de ani ce caracterizează mişcările

scoarţei terestre.

Punctele fixe sunt puncte de staţie şi puncte de orientare (materializând direcţii de referinţă

pentru măsurarea unghiurilor), situate în afara zonei de influenţă a construcţiei supravegheate,

a căror stabilitate este admisă şi demonstrată. Poziţia lor este determinată din puntele de

control din apropiere, prin aceasta, eventualele deplasări ale punctelor fixe faţă de punctele de

control fiind obţinute simplu şi precis. Deoarece, adesea punctele fixe sunt amplasate departe

de construcţie, se folosesc pentru determinarea a numeroase puncte obiect, puncte de

observaţie situate în apropierea obiectului supravegheat. Punctele fixe şi punctele de

observaţie trebuie, pe cât posibil, să fie materializate prin pilaştri cu dispozitive de centrare

forţată. Poziţia punctelor de staţie este controlată din punctele fixe, deoarece deplasarea unui

punct situat în zona de influenţă a construcţiei nu poate fi exclusă. Dacă nu se obţine nici o

deplasare a punctelor de observaţie, atunci acestea pot fi considerate ca puncte fixe, iar

măsurătorile spre punctele obiect ca măsurători absolute. Determinarea deformaţiilor

presupune cunoaşterea unei situaţii de referinţă stabilită printr-o primă serie de măsurători



numită ciclul zero. Ciclul zero trebuie astfel efectuat încât să poată fi definit fără echivoc în

timp şi să fie astfel conceput, în ceea ce priveşte precizia de măsurare şi aparatura, încât să

poată fi surprinse toate deformaţiile posibile, fără lacune, ca mărime şi ca evoluţie în timp. De

aceea, acesta trebuie executat cuprinzător şi e necesar să fie legat de o reţea de puncte fixe

locală sau de ordin superior. Această cerinţă de a realiza ciclul zero ca măsurătoare absolută,

oferă garanţia ca la comportări imprevizibile ale construcţiei să se poată obţine informaţie

necesară din măsurători.

După ciclul zero, la intervale prestabilite, se efectuează etapele de măsurători, ale căror

rezultate se compară cu ciclul zero şi cu rezultatele ciclurilor anterioare. Această comparaţie

trebuie să evidenţieze evoluţia eventualelor deformaţii apărute. Numai în cazul alegerii

corespunzătoare a intervalelor dintre ciclurile de măsurători se poate obţine o imagine corectă

a evoluţiei mişcării. De aceea datele ciclurilor trebuie stabilite în colaborare cu specialiştii din

disciplinele competente (ingineri constructori, geologi), cu luarea în consideraţie a

informaţiilor prioritare despre evoluţia aşteptată sau deja stabilită a construcţiei.

Forma unei reţele pentru măsurarea deformaţiilor este concepută în funcţie de forma

construcţiei, în funcţie de direcţiile aşteptate ale deplasării, ca şi în funcţie de metodele de

măsurare prevăzute.

Poziţia punctelor obiect pentru obţinerea deformaţiilor se pot determina în afara metodelor

geodezice şi prin alte metode si măsurători [9].



Măsurători continue

Figura1.2. Determinarea deformaţiilor y(t) care rezultă prin modificarea necontrolabilă a unor

influenţe x(t)

Deformaţiile neregulate şi cele imprevizibile pot fi monitorizate prin modificări

controlabile ale sarcinilor detecţia lor realizându-se în mod optim prin măsurători continue.

Pentru ca în timpul desfăşurării măsurătorilor deformările obiectului să poată fi neglijabile,

măsurătorile continue trebuie efectuate pe perioade scurte de timp. În afară de aceasta estede

dorit o minimizare a cheltuielilor. În aceste condiţii sunt preferate metodele de măsurare

electrice. Acestea au o precizie relativă considerabil mai mică decât metodele clasice, care

însă nu este un inconvenient dacă se limitează la măsurarea micilor diferenţe.

Măsurători discontinue

Dacă modificările temporare ale forţelor deformatoare şi reacţiile obiectelor sunt cunoscute cu

aproximaţie, se prognozează adesea alura temporară a deformaţiei obiectului, ca de exemplu

la supravegherea barajelor sau la determinarea tasărilor. Starea obiectului poate fi stabilită în

aceste cazuri prin cicluri de măsurători discontinue la intervale de timp determinate.

Măsurătorile discontinue se efectuează la construcţii precum poduri, ecluze, clădiri, ş. a.

pentru care instalarea de dispozitive de măsurare continue este ineficientă din punct de vedere

economic. Astfel, la supravegherea unui pod, în poziţii alese şi pe anumite profile, se pot

determina înclinările în ciclul zero şi într-un ciclu de măsurători efectuat la distanţă de un an.

y(t) x(t) Modificarea influenţelor x(t)

Timpul

Deformaţiile y(t)

t1 t2 ti tn



Aparatul pentru măsurarea înclinărilor se aşază pe mărci care înaintea ciclului zero trebuie

aduse într-o poziţie care să permită reinstalarea aparatului în aceeaşi poziţie pentru fiecare

măsurătoare. Prin prelucrarea măsurătorilor din toate punctele se determină deformaţiile

statice ale podului faţă de un ciclu de măsurători precedent. În ciclurile de măsurători nu este

nevoie să fie măsurate toate punctele, ci se aleg puncte tipice, periclitate în mod deosebit de

deformaţii. Numai dacă în acestea se obţin deformaţii importante, se efectuează, pentru

sesizarea completă a deformaţiilor, măsurători şi în restul punctelor.

I.4. Concluzii

Datorită importanţei supravegherii în timp a construcţiilor pentru punerea în evidenţă a

deformaţiilor, alegerea intervalului de măsurare precum si tipul măsurătorilor efectuate

reprezintă unul din cele mai importante etape, de ele depinzând acurateţea punerii în evidenţă

a deformaţiilor.



CAPITOLUL II - RE ŢELE GEODEZICE DE URM ĂRIRE A

COMPORTĂRII CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENULUI

Datorită gradelor diferite de precizie în determinare, de obicei tratarea problemei

urmăririi comportării construcţiilor prin metode geodezice se face separat pentru

supravegherea deplasărilor planimetrice şi supravegherea deplasărilor pe verticală.

Reţelele geodezice de urmărire a comportării construcţiilor sunt concepute, proiectate şi

realizate ca reţele planimetrice: de microtriangulaţie, microtrilateraţie şi reţele nivelitice,

constituite de obicei din trasee de nivelment geometric de precizie.

În cazuri speciale, cum ar fi urmărirea compotării terenului, a unor baraje de dimensiuni

mari, cu ajutorul echipamentelor GNSS, urmărirea în plan orizontal şi vertical se poate face

simultan în reţea geodezică unică.

Proiectarea reţelelor planimetrice de urmărirea comportării terenurilor şi construcţiilor:

Construcţiile hidrotehnice sunt cele mai urmãrite din punct de vedere al deplasărilor şi

deformărilor, în prezenta lucrare am dezvoltat reţelele geodezice pentru astfel de construcţii.

În cazul construcţiilor hidrotehnice, pentru urmărirea în plan orizontal, - conform

normativelor din România- una din cele mai utilizate metode este metoda microtriangulaţiei-

trilateraţiei, aceasta fiind realizată funcţie de natura şi mărimea construcţiei, de configuraţia

terenului, de stabilitatea terenului în zonă, de aparatura de măsurădisponibilă şi de ordinul de

mărime a deplasărilor de determinat:

- În cazul urmăririi unui ansamblu de construcţii energetice [32] amplasate pe un

baraj cu deschidere mare (peste 500m),unde deplasările se determină cu o

precizie submilimetrică, principalul tip de reţea îl reprezintă microtriangulaţia

combinată cu microtrilateraţia. În funcţie de complexitate şi de numărul de

obiecte urmărite( baraj, centrală, ecluze, versanţi) numărul punctelor reţelei,

constituite din pilaştri prevăzuţi cu dispozitive de centrare forţată, va fi de

minim 10 putându-se ajunge la 50 de pilaştri amplasaţi în amonte şi aval de

baraj, pe ambele maluri, pe versanţi, pe insule şi pe construcţii. O serie de

pilaştri , consideraţi ficşi, vor trebui amplasaţi în afara zonei de influenţă a

barajului care, în condiţii geologice favorabile poate fi considerată la o distanţă

amonte/aval faţă de axa barajului de 0,8 – 1,5 ori deschiderea barajului, dar nu

mai aproape de 300 m. Reţeaua de mărci ce se amplasează pe construcţie

trebuie realizată astfel încât mărcile să poată fi uşor vizate din minim trei

pilaştri, sub unghiuri de intersecţie favorabile.



În cazul urmăririi în plan orizontal a unui baraj de beton în arc pricipalul tip de

reţea îl reprezintă triangulaţia – trilateraţia, cu o precizie submilimetrică.

Deoarece aceste tipuri de baraje sunt amplasate în zone de munte, cu versanţi

abrupţi, înălţimile lor depăşind de multe ori 100 m nu se prevede amplasarea

pilaştrilor în amonte de baraj şi datorită văilor înguste din aval de baraj reţeaua

planimetrică de urmărire va fi constituită din lanţuri de triunghiuri şi

patrulatere cu puncte amplasate pe ambii versanţi, având o conformaţie cât

mai aproapiată de triunghiuri echilaterale.

- Proiectarea urmăririi comportării în plan orizontal al unui baraj de beton de

greutate, amplasat în zona de munte se face aproximativ ca şi la barajele de

beton în arc, însă se introduce urmărirea părţii în aliniament a barajului prin

metoda aliniamentului, din doi pilaştri situaţi pe axul barajului, pe cei doi

versanţi. Acesti pilaştri trebuie introduşi în reţeaua de urmărire din aval, fiind

posibilă determinarea şi compensarea în bloc, cu celelalte puncte ale reţelei.

- La proiectarea urmăririi comportării barajelor din anrocamente se ţine seama

de mişcările relativ mari ce apar în reţea. Astfel, deplasările acestor baraje se

vor determina cu o precizie de 1-5 mm, avându-se în vedere distanţele mari

între puncte de până la 500 m, utilizarea unor aparate precise de măsurare, la

aceste baraje urmărindu-se ambii paramenţi ai barajului, amonte şi aval.

- Pentru proiectarea reţelelor geodezice de urmărirea comportării în plan a

digurilor şi malurilor lacurilor de acumulare, metodele de bază sunt:

poligonometria de precizie, în special pentru digurile lacurilor de acumulare,

reţele de triangulaţie-trilateraţie – pentru digurile de împrejmuire a lacurilor de

acumulare de pe cursurile mijlocii ale râurilor şi reţele GNSS pentru urmărirea

crustală a lacurilor de acumulare.

II.1 Metode clasice de realizare a reţelelor de urmărire a comportării construcţiilor şi

terenului

II. 1. 1. Metoda microtriangulaţiei

Metoda microtriangulaţiei este de fapt o triangulaţie cu laturi relativ mici de 100 – 300m

în care unghiurile trebuie măsurate foarte precis [24].



Pentru măsurarea deplasărilor în plan orizontal ale construcţiilor masive, se proiectează şi

se fixează pe terenul din vecinătatea construcţiei puncte de observaţie, puncte de orientare şi

puncte de control, iar pe construcţia supusă observaţiei se fixează repere de vizare. Punctele

de observaţie, punctele de control şi punctele de orientare formează reţeaua punctelor de

referinţă faţă de care se determină deplasările punctelor de pe obiectul cercetat.

În practică se întâlnesc următoarele tipuri de reţele:

- reţea completă

- reţea incompletă

- reţea simplă

Prin reţea completă se înţelege reţeaua în care apar toate cele patru feluri de puncte

menţionate anterior. Punctele de observaţie şi punctele de control vor fi legate cu vize

reciproce, deci sunt staţionate. În majoritatea cazurilor, punctele de pe obiectul de cercetat nu

se pot staţiona şi vor fi numai vizate din staţiile de observaţie, ca şi punctele de orientare.

Exemplul tipic de folosire a unei reţele complete îl constituie microtriangulaţia barajelor.

O1

S1

B1 B2 B3 B4

O6

O6

O5

O5

O4

O3 O4

C1O2 C4C3C2

S2

S3S4

Figura 2.1.1.1. Reţea de microtriangulaţie completă

Bi- repere de vizare; Si- staţii de observaţie;Ci- puncte de control;Oi- puncte de

orientare.

Prin reţea incompletă se înţelege reţeaua în care între punctele de staţie şi de control nu

mai există vize reciproce, adică punctele de control nu sunt staţionabile.



C1O2

O1

C2

O3

S1

S2

B1 B2

C3

S3

S5

S4

B3 B4

O4

O4

O5

O5

Figura 2.1.1.2. Reţea de microtriangulaţie incompletă

Caracteristic la această reţea sunt staţiile de observaţie separate (izolate), legate de punctele

de control prin vize unilaterale. În componenţa acestei reţele intră punctele de control,

punctele de orientare, precum şi puncte sau detalii ale obiectului examinat. Acesta este cazul

terenurilor cu vizibilitate redusă sau cazul podurilor în care se staţionează direct pe obiectul

de cercetat.

Prin reţea simplă înţelegem reţeaua compusă din staţiile de observaţie, punctele de

observaţie şi punctele de control. Această reţea se poate utiliza la determinarea deformaţiilor

orizontale ale suprafeţei de teren (alunecări de terenuri) şi în general ale obiectelor accesibile

direct şi uşor. Reperele de pe obiectul cercetat sunt înlocuite cu reţeaua staţiilor de observaţie

care sunt legate între ele şi legate reciproc şi cu punctele de control. Deci deplasarea unor

părţi ale obiectului de cercetat este identică cu deplasarea staţiilor de teodolit. Punctele de

control sunt situate în afara zonei supuse deplasării.

C1

S1

S2

S6

C3

S3

C2

S4

S5

Figura 2.1.1.3.. Reţea de microtriangulaţie simplă



Punctele de control sunt amplasate în locuri aflate departe de circulaţia rutieră şi locuri

caracterizate printr-un nivel ridicat al apei freatice. Se recomandă ca aceste puncte de control

să se fixeze pe roci consolidate sau pe zidurile construcţiilor existente de cel puţin 5 ani. În

nici un caz, punctele de control nu trebuie amplasate pe terasamente, pe terenuri de

umplutură, pe versanţi alunecători sau pe nisipuri. Stabilitatea punctelor de control depinde în

mare măsură de respectarea unor anumite distanţe minime faţă de sursele posibile de

perturbare a echilibrului. Valorile orientative pentru aceste distanţe sunt menţionate mai jos:

- faţă de clădirile mari, noi, distanţa este de cel puţin 4xH sau 8xl

(H –înălţimea construcţiei, l –lăţimea);

- faţă de marginea de jos a terasamentului, distanţa este de cel puţin 10xl

(l –lăţimea terasamentelor)

- faţă de marginea de sus a gropilor de fundaţie distanţa este de cel puţin 10xH

(H-adâncimea gropii de fundaţie)

La amplasarea punctelor de control este indicată consultarea unui geolog.

Reperele de pe obiectul cercetat trebuie să fie amplasate de acord cu proiectantul construcţiei

în aşa fel încât deplasările lor să caracterizeze comportarea construcţiei în ansamblu. Pe taluze

cu mari suprafeţe precum şi pe plăci de fundaţie, reperele se vor amplasa sub formă de reţele

dreptunghiulare. În cazul apariţiei unor semne de pericol pentru integritatea construcţiei

(fisuri, căderea tencuielii, etc.), reţeaua de puncte trebuie completată. Pe suprafaţe de teren

care alunecă, reperele de vizare se vor amplasa în vârfurile reţelei de sprijin şi vor fi

staţionate. La amplasarea acestor puncte mai trebuie avută în vedere o condiţie de bază şi

anume orice punct de pe obiectul cercetat trebuie ales astfel încât să poată fi determinat din

trei staţii de teodolit. De aici rezultă necesitatea de a proiecta punctele reţelelor de

microtriangulaţie ţinând seama de poziţiile lor reciproce.

La proiectarea staţiilor de observaţie faţă de reperele de vizare este posibilă îndeplinirea

simultană a două condiţii şi anume: asigurarea preciziei de determinarea poziţiei reperelor şi

asigurarea stabilităţii punctelor de staţie.

Totuşi din formularea acestor condiţii rezultă tendinţe contradictorii. Precizia de determinare

a reperelor creşte pe măsura apropierii staţiilor de obiectul cercetat până la o distanţă optimă,

care dacă se reduce mai mult duce la creşterea erorlor de vizare. Scurtarea vizelor de

intersecţie va apropia staţiile de observaţie de construcţie şi va avea astfel o influenţă negativă

asupra stabilităţii staţiilor.



În general este acceptată ideea amplasării staţiilor astfel încât să se poată asigura precizia de

determinare a reperelor, chiar în absenţa unor condiţii optime de amplasare. Eventualele

deplasări ale staţiilor determinate cu ajutorul punctelor de control vor fi luate în consideraţie

la determinarea reperelor.

A. Materializarea punctelor reţelelor de microtriangulaţie

a) Materializarea punctelor de staţie

Această materializare variază în funcţie de condiţiile de exploatare a construcţiilor urmărite şi

de proprietăţile fizico – mecanice ale terenului de fundaţie. În general punctele de staţie se

materializează prin pilaştri. Aceşti pilaştri trebuie să îndeplinească următoarele condiţii:

să aibă o construcţie simplă şi stabilă;

să fie prevăzuţi cu dispozitive pentru centrarea mecanică, care să înlăture

erorile de centrare şi reducţie;

să fie protejaţi de ploaie şi soare cu capace şi să aibă asigurată consolidarea

terenului din jur.

Toate acestea, creează condiţii necesare de lucru pentru observator şi asigură precizia cerută

în executarea măsurătorilor.

Pe partea superioară a pilastrului se fixează un soclu de bronz cu locaş special pentru

instalarea teodolitului sau a miretelor de vizare. Precizia de centrare a instrumentului şi a

mărcilor de vizare pe pilaştrii îngropaţi este mai mică decât precizia centrării mecanice pe

capul pilastrului.

b) Materializarea punctelor de pe obiectul de cercetat

Această materializare se face cu ajutorul unor repere (mărci de vizare) care se instalează pe

părţile exterioare sau interioare ale construcţiilor şi care îşi schimbă poziţia planimetrică şi

altimetrică odată cu deplasarea construcţiei. Aceste repere sunt confecţionate din discuri plate

pe care se vizează (mărci) şi care se sudează de buloane încastrate cu mortar de ciment într-un

orificiu săpat în zid sau se folosesc mărci de vizare fixate prin dibluri sau prin lipire [10].



Figura 2.1.1.4 Fixarea prin dibluri a unei mărci de vizare şi câteva tipuri de mărci de vizare

Pe zidurile construcţiilor, în special ale barajelor de apă, se instalează uneori repere

prevăzute cu două plăci montate aproximativ perpendicular una faţă de cealaltă. Aceste repere

cu două plăci pot fi observate mai uşor şi mai precis din diferite puncte de staţie, decât vizele

obişnuite cu un singur disc, deoarece planurile plăcilor de vizare sunt mai aproape de direcţia

perpendiculară pe vize.

c) Materializarea punctelor de control

Se realizează în general cu ajutorul unor pilaştri de beton armat cu dispozitiv de centrare,

care permite aşezarea pe ele alternativ a teodolitului şi a mărcii de vizare. Este cazul reţelelor

„complete” în care între punctele de staţie şi cele de control există vize reciproce. Aceste

puncte de control nu trebuie să-şi schimbe poziţia în timp. Pentru asigurarea acestei condiţii

ele se plantează în roci stâncoase şi în afara zonei de influenţă a construcţiei. În terenurile

nestâncoase punctele de control se fixează numai în locurile unde nivelul apelor subterane se

găseşte la o adâncime de cel puţin 2 m sub nivelul de îngheţ al terenului.



Fig. 1.12. Modul

1 - pilastru de beton

2 - pilastru de beton armat

3 - nervuri de rigiditate

4 - fundatia pilastrului5 - capac metalic

6 - dispozitiv de centrare

7 - bare metalice pentru

8 - scara

9 - placa de fundatie

asezarea balustradelor

de materializare a punctelor

Figura 2.1.1.5. Modul de materializare a punctelor

d) Materializarea punctelor de orientare

Ca puncte de orientare se utilizează în general punctele de pe construcţiile fixe depărtate şi

absolut sigure sau punctele de triangulaţie (borne cu semnale bine centrate).

În calitate de punct de orientare poate servi reperul de mai jos, instalat cu ferestruică de

vizare în pilaştrii de piatră sau beton, în pereţii clădirilor fixe depărtate sau pe colţurile de

stâncă şi de asemenea în turnurile bisericilor.

Figura 2.1.1.6 Mod de materializare a punctelor de control



II.1.2. Metoda microtrilatera ţiei

Reţelele liniare s-au dovedit eficiente la determinarea deplasărilor orizontale ale punctelor.

Reţelele topografice liniare sau reţelele de microtrilateraţie sunt alcătuite din puncte pentru a

căror determinare se efectuează numai măsurători de distanţe, acestea reprezentând de regulă

laturi de triunghiuri.

Reţelele liniare pot fi dezvoltate ca reţele constrânse, în cazul în care sistemul de axe faţă

de care urmează să se calculeze poziţia punctelor noi este definit aprioric printr-un număr de

elemente mai mare decât strictul necesar (coordonatele X, Y ale unui punct şi orientarea unei

laturi), sau ca reţele libere, în cazul în care sistemul de axe este ales convenabil.

Figura 2.1.2.1. Reţea de trilateraţie constrânsă

În cazul reţelelor constrânse, sistemul de axe se dă de regulă în mod supraabundent, prin

intermediul a cel puţin două perechi de puncte vechi de coordonate cunoscute A (X A,YA), B

(X B,YB), acestea formând aşa numita bază a intersecţiilor liniare şi C (X C,YC), D (X D,YD),

care constituie aşa numita bază de control, sau elementul de constrângere al reţelei.

Plecând de la aceste baze, de orientări cunoscute în plan, se calculează în mod treptat, prin

intersecţii obişnuite sau radieri, coordonatele punctelor noi.

Dacă punctele vechi nu formează o bază de intersecţie liniară, reţeaua neavând nici un

punct nou care împreună cu celelalte date să formeze un triunghi, atunci coordonatele

punctelor noi nu mai pot fi calculate direct în sistemul de axe dat. Ele se calculează mai întâi

X

Y

D

A

B

C

1

2 3

4

5

6

O



într-un sistem local. Coordonatele locale (x,y) astfel obţinute vor fi supuse unei transformări

liniare (o rotaţie şi două translaţii) pentru aducerea în sistemul de axe dat.

O

X

Y

A

B

1

2

34

5

6

7

8 9

10

x

Figura 2.1.2.2. Reţea liniară constrânsă pe o bază de transcalcul

În cazul reţelei liniare libere, coordonatele punctelor noi se recalculează într-un sistem

local, convenabil ales. Determinarea coordonatelor plane (X,Y) ale unui punct P, sau a unui

grup de puncte Pi, cu ajutorul distanţelor măsurate se poate realiza prin:

a) intersecţie liniară simplă

b) intersecţie liniară multiplă

c) compensarea grupului de puncte.

II.1.3. Metoda aliniamentului

Metoda aliniamentului este utilizată frecvent pentru măsurarea deplasărilor punctelor în

plan orizontal şi se aplică în mod special atunci când punctele observate sunt grupate

aproximativ în lungul unei linii drepte, de pildă la urmărirea podurilor, digurilor şi barajelor.

Principiul metodei constă în determinarea modificării poziţiei punctelor faţă de un plan

vertical ce trece prin două puncte fixe. Metoda comportă două procedee:

1. Procedeul măsurării unghiurilor paralactice care este utilizat atunci când sunt

anticipate deplasări transversale mai mari ale punctelor, de ordinul centimetrilor sau

zeci de centimetri (cazul urmăririi construcţiilor de pământ şi al alunecărilor de teren);

α

β

XA

YA



2. Procedeul vizării în lungul aliniamentului care se aplică în cazul în care sunt

asteptate deplasări transversale relativ mici, de ordinul milimetrilor până la 5 cm

(cazul construcţiilor rigide din beton armat, al construcţiilor metalice etc.).

Procedeul măsurării unghiurilor paralactice

Figura 2.1.3.1. Procedeul măsurării unghiurilor paralactice

Procedeul măsurării unghiurilor paralactice constă în stabilirea unui aliniament cât mai

apropiat de linia ce uneşte punctele construcţiei observate. Punctele de sprijin P1 şi P2 servesc

la instalarea teodolitului cu care vom măsura unghiurile φi , ψi. Unghiurile se vor determina

prin metode de măsurare specifice triangulaţiei, folosind teodolite de precizie ridicată. De

asemenea se va măsura distanţa P1 P2 notată D şi distanţele faţă de fiecare punct marcat,

notate Di. La etapa t0, abaterea mărcii a faţă de aliniament se calculează cu relaţiile :

11

1 * Dacc

P

ρϕ= )(* 1

21 DDa

ccP −=

ρψ

(2.1)

aPP Taa ≤− 21

11 (2.2)

Abaterea mărcii în prima etapă va fi egală cu a1’= 2

21

11

PP aa +.

La etapa t1 vom determina unghiurile φ1 , ψ1. Abaterea mărcii în cea de-a doua etapă a1” se va

determina cu relaţiile:

P1 P2

ψ

ψ

φ1 φ

Di

a’1

a”1

i” 1

i’ 1

D



111

1 * Dacc

P

ρϕ

= )(* 112

1 DDacc

P −=ρψ

a1”= 2

21

11

PP aa + (2.3)

Deplasarea punctului δ 1 faţă de poziţia iniţială de obţine ca diferenţă între poziţiile punctelor

la cele două etape de observaţie.

'" 111 aa −=δ (2.4)

Se consideră că punctul este deplasat dacă mărimea δ este mai mare decât dublul abaterii cu

care aceasta a fost determinată.

Acest procedeu permite determinarea simplă a deplasărilor transversale, însă nu permite

determinarea deplasărilor longitudinale. Pentru obţinerea deplasărilor cu o precizie ridicată

se impune măsurarea cu precizie foarte bună a unghiurilor φi , ψi.

Avantajul acestui procedeu constă în faptul că acesta nu necesită dispozitive speciale, ca în

cazul vizării în lungul aliniamentului. Punctele P1 şi P2 vor fi verificate din punct de vedere al

stabilităţii folosind reţeaua de urmărire a obiectivului respectiv, iar măsurătorile vor trebui să

aparţină aceleiaşi clase de precizie.

Procedeul vizării în lungul aliniamentului

Figura 2.1.3.2. Procedeul vizării în lungul aliniamentului

Pe axul longitudinal al construcţiei sau paralel cu acesta se determină un aliniament marcat la

capete cu doi pilaştri (A, D) care trebuie amplasaţi în afara zonei de influenţă a deformaţiilor

construcţiilor. Pilaştrii sunt prevăzuţi cu dispozitive de centrare mecanică a instrumentelor şi a

semnalelor de vizare. Pentru acest procedeu se foloseşte ca instrument de vizare luneta de

aliniament. Aceasta are o putere de mărire de 60x, o nivela de calare cu precizie de 10-15” şi

este demontabilă, permiţând efectuarea în ambele poziţii. Ţintele de vizare folosite pot fi cu

disc fix sau cu disc mobil. Marca de vizare cu disc mobil are ca dispozitiv de citire un sistem

A B 1

2

3

i

C D



de tip vernier, care se poate deplasa cu 10± cm şi pe care se pot efectua determinări cu

precizia de 0.1 mm.

În punctul B se instalează luneta de aliniament, iar în punctul C se instalează marca de vizare

cu disc fix. Luneta de aliniament se află în poziţia I. Se vizează marca de vizare cu disc mobil

instalată în punctul 1 şi se efectuează 3 seturi de măsurători, după care marca de vizare se

mută succesiv în punctele 2,3,..i, unde se efectuează măsurători.

Se pune luneta în poziţia a doua şi se fac măsurători mutând marca de vizare cu disc mobil

pe mărcile i, i-1,…, 3, 2, 1. Luneta se deplasează în punctul C, iar în B se instalează marca

de vizare cu disc fix. Se realizează aliniamentul şi se efectuează determinări cu luneta în

poziţia I pentru mărcile 1, 2, 3.., i şi apoi, cu luneta în poziţia a II-a pentru mărcile i, i-1,…,

3, 2, 1.

Media determinărilor corespunzătoare fiecărei mărci reprezintă poziţia mărcilor în raport

cu aliniamentul la etapa t0. Măsurătorile sunt reluate similar pentru etapa de măsurare t1.

Deplasarea punctului δ faţă de poziţia iniţială de obţine ca diferenţă între poziţiile

punctelor la cele două etape de observaţie. Se consideră că punctul este deplasat dacă

mărimea δ este mai mare decât dublul abaterii cu care aceasta a fost determinată.

II.2 Metode moderne de realizare a reşelelor de urmărire a comportării construcţiilor şi

terenului

Metodele clasice (drumuirea, triangulaţia, trilateraţia) au fost înlocuite sau completate

de măsurători prin unde, măsurători fotogrammetrice, dar în special de metodele de măsurare

şi poziţionare spaţiale. cum ar fi: măsurători laser de distanţe spre sateliţi (SLR-Satellite Laser

Ranging), măsurători interferometrice de baze (VLBI-Very Long Baseline Interferometry),

măsurători Doppler, măsurători folosind sistemul de sateliţi Navstar – GPS (Navigation

System with Time And Ranging-Global Positioning System).

Aceste metode necesită şi aparate adecvate:

a) Teodolite electronice de precizie: sunt echipate cu microprocesor [45] ce

controlează senzorii biaxiali, putând deduce înclinarea teodolitului cu o precizie de peste 1,27

mm şi corectată automat atât pe direcţia orizontală cat si verticală. În plus putem măsura

presiunea atmosferică şi temperatura aerului care sunt principalii parametri ai refracţiei.

b) Sistem de coordonate tridimensional: două sau mai multe teodolite electronice

conectate la un microcalculator, crează un sistem de coordonate tridimensional, cu calcularea



coordonatelor în timp real. Sistemul este folosit pentru poziţionarea precisă la monitorizarea

deformaţiilor pe suprafeţe mici. Dacă abaterea standard pentru măsurarea simultană a

unghiurilor orizontale şi vericale nu depăşeşte 2,54 mm, atunci poziţia (X,Y,Z) a ţintelor la

distanţe de peste 10 m, pot fi determinate cu o abatere standard mai mică de 0,05 mm.

c) Măsurare de tip puls: sunt modele de instrumente EDM cu o transmisie de puls

scurt şi măsurarea directă a timpului de propagare având o mare de energie a semnalul

transmis, putând fi utilizate fără reflectoare pentru a măsura distanţe scurte (de până la 200

m), direct la pereti sau pe suprafete plane, cu o precizie de aproximativ 10 milimetri. Diferite

firme au dezvoltat instrumente de scanare automat cu laser care pot fi utilizate pentru a scana

cu o precizie de ±5 mm, modelele detaliate în timp real a structurilor şi pe şantierele de

construcţii.

d) Instrumente cu frecvenţă duală: sunt voluminoase şi greoaie în utilizare, dar se

poate realiza cu ele o abatere standard de ± 0,1 mm ± 0,1 ppm.

e) Staţii totale automatizate coaxiale Theomat: care sunt proiectate pentru realizarea de

studii de monitorizarea deformaţiilor. Sistemul foloseste un sistem standard de montare pe

ambaza a bateriilor interne NiCad sau o baterie externă de 12 volţi şi / sau AC invertor de

putere. Utilizatorul controlează funcţiile de măsurare, pe un ecran la tastatură. Colectarea de

date se efectuează prin carduri de date cu o capacitate de 2-4 MB (aproximativ 8000

masuratori), care pot fi descărcate direct la un PC echipat cu driverele corespunzătoare

portului de comunicaţii.

f) Recunoaşterea automată a ţintei (ATR). Primele sisteme automatizate de vizare au

fost instalate în teodolitele de precizie prin anii 1980. Componentele sale de funcţionare au

constat dintr-un sistem video cu cameră externă şi o unitate de servomotor separat. Sistemele

moderne sunt mult mai sofisticate fiind încorporate în aparat şi având un fascicul de activ

capabil de detectare. Un semnal IR emis este transmis la prisma care reflectă pasiv semnal

înapoi la instrument.

g) Staţia totală motorizată: cu ajutorul acesteia se poate obţine o măsurare a obiectelor

în mişcare, folosindu-se la supravegherea şi comanda vehiculelor(utilaje, vapoare) şi

maşinilor.

Noile tehnologii simplifică şi grăbesc timpul afectat procesului de măsurare, aceste

rezultate fiind obţinute prin mărirea gradului de automatizare din timpul măsurării –

monitorizarea.

Măsurarea asupra obiectelor în mişcare.



Sunt două dispuneri diferite:

- staţia instalată fix, care măsoară până la ţinta de pe obiect

- staţia de pe obiect şi măsoară până la ţintele fixe

În multe cazuri prima dispunere este mai avantajoasă deoarece întoarcerile făcute de

obiect în spaţiu nu sunt direct transmise pe instrumentul de măsurare.

În cazul staţiilor care urmăresc ţinta se face o diferenţiere între procedeul “Stop and

Go” şi modul de măsurare cinematic. Prima metodă presupune renunţarea la căutarea uzuală,

când obiectivul aparatului este mişcat, metoda cinematică nu mai urmăreşte ţinta, ci sistemul

de măsurare determină concomitent poziţia ţintei în spaţiu şi în timp.

h) Roboţi de măsurare: pentru măsurarea continuă sau frecventă a deformaţiilor a fost

dezvoltat un sistem automat bazat pe calcule şi monitorizarea staţiiilor totale. Primul sistem

creat a fost Georobot, dar apoi au dezvoltat şi alte firme producătoare, acest sistem poate fi

programat pentru un set de puncte secvenţiale spre un set de prisme la intervale de timp

prestabilite, putând măsura distanţe şi unghiuri orizontale şi verticale şi pot transmite datele la

un computer de birou printr-o legătură la telemetru. Sistemele robotizate au găsit multe

aplicaţii, în special în monitorizarea zidurilor înalte, în minerit, carieră şi în studiile de

stabilitate a pantei. În general, precizia măsurătorii direcţilor cu teodolitele informatizate cu

autovizare este mai mică decât măsurătorile cu manualul vizare manuală spre ţinte.

II.2.1. Metoda poligonometrică

Atunci când nu poate fi folosită metoda aliniamentului, vizibilitatea între capetele

aliniamentului fiind împiedicată de diferite obstacole, condiţii naturale sau distanţe relativ

mari, este indicată utilizarea metodei poligonometrice pentru determinarea deplasărilor

orizontale.

Drumuirile poligonometrice vor trebui tratate unitar, factorul hotărâtor constituindu-l

omogenitatea. Abordarea unor astfel de reţele după sistemul ierarhic ar conduce inevitabil la

porţiuni de reţea cu precizii diferenţiate. Nu trebuie neglijat faptul că redundanţa unor astfel

de reţele este scăzută , ceea ce impune efectuarea măsurătorilor cu maximă acurateţe şi

evitarea, respectiv modelarea unor erori sistematice.

La reţelele poligonometrice planimetrice proiectate pentru lucrări de urmărire, se

recomandă tratarea acestora prin metoda măsurătorilor indirecte, ca reţele neconstrânse,

păstrând nealterată precizia interioară a reţelei, chiar dacă în reţea au fost incluse puncte dintr-

un sistem existent, cum ar fi sistemul naţional.



II.2.2. Utilizarea reţelelor GNSS pentru urmărirea comportării construcţiilor

Pentru baraje cu deschidere de peste 1000 m este recomandată [27] urmărirea comportării

barajului şi versanţilor adiacenţi şi prin metode GNSS(Global Navigation Satellite Sistem),

care oferă valori ale deplasărilor absolute ale punctelor extreme ale reţelei, cu o precizie

superioară măsurătorilor geodezice clasice fiind recomandat măsurarea cu precizie superioară

a unor laturi din reţea pentru păstrarea scării reţelei de la o etapă de măsurare la alta.

În prezent, sistemul de poziţionare cu sateliţi – G.N.S.S asigură o acoperire a întregii

suprafeţe a Pământului, dovedindu-şi calităţile speciale în diverse domenii de aplicabilitate

între care şi domeniul măsurătorilor geodezice.

Sistemul G.P.S. este alcătuit din 3 segmente principale:

1. Segmentul spaţial

2. Segmentul de control

3. Segmentul utilizator

1. Segmentul spaţial este reprezentat de către sateliţii G.P.S. care emit pe două

frecvenţe: L1 (1575.42 Mhz) şi L2 (1227.60 Mhz) semnale numite „mesaj de

navigaţie” referitoare la poziţia satelitului (efemeridele satelitului), timp şi alte

informaţii adiţionale (corecţii ale ceasurilor satelitului, parametrii corecţiilor

atmosferice, etc.). Acest flux de informaţii este recepţionat de receptoarele terestre,

prelucrat şi apoi utilizat în determinarea poziţiei punctului în care se află receptorul.

2. Segmentul de control îndeplineşte următoarele funcţii principale:

- urmărirea continuă a traiectoriei sateliţilor

- prelucrarea datelor referitoare la sateliţi

- transmiterea datelor şi supervizarea necesară controlului sistemului de

sateliţi

Segmentul de control include staţiile de monitorizare care recepţionează datele de

navigaţie, staţia principală care prelucrează datele recepţionate şi furnizează poziţiile

estimate ale sateliţilor şi corecţiile de timp şi staţiile de actualizare a datelor din memoria

sateliţilor şi retransmiterea lor la utilizatori.

3. Segmentul utilizator include diferite tipuri de receptoare şi echipament periferic

necesare pentru operaţiile din teren ale receptoarelor GNSS şi pentru prelucrarea

datelor cu ajutorul programelor corespunzătoare.



Principiul măsurătorilor GNSS

Receptoarele GNSS măsoară timpul necesar unui semnal pentru a se propaga de la satelit

la receptor - τ . Prin înmulţirea acestui timp cu viteza luminii (c) se determină distanţa

receptor – satelit, numită şi „pseudodistanţa” deoarece este afectată de eroarea de ceas a

satelitului şi receptorului.

c*τρ = (2.5)

Dacă măsurăm o singură distanţă spre satelit, dispunând de ceasuri sincronizate şi în

absenţa altor influenţe negative, vom putea determina poziţia receptorului undeva pe o sferă

centrată pe satelit şi raza egală cu distanţa măsurată. Dacă folosim măsurători simultane spre

doi sateliţi, poziţia receptorului va fi pe un cerc aflat la intersecţia celor două sfere centrate pe

cei doi sateliţi. O a treia măsurătoare de distanţă efectuată simultan dă o a treia sferă care

intersectează pe celelalte două numai în două puncte. Unul dintre aceste puncte poate fi

eliminat ca fiind poziţia receptorului, deoarece acesta se va găsi departe de poziţiile posibile.

Măsurători simultane de distanţe spre trei sateliţi asigură suficiente informaţii pentru

determinarea poziţiei unui punct în spaţiul tridimensional. Aici însă intervine cel de-al

patrulea parametru necunoscut şi anume eroarea ceasului receptorului ∆t apărut datorită

asincronismului dintre ceasul satelitului şi ceasul receptorului. Aceasta implică măsurarea

simultană a unei pseudodistanţe adiţionale spre un al patrulea satelit.

Receptorul GNSS utilizează valorile acestor corecţii ale ceasului satelitului pentru a

corecta pseudodistanţa măsurată. Ecuaţia observaţiei va fi în acest caz:

( ) ( ) ( ) ctZZYYXX rRS

RS

RSS

R *2

22 ∆+−+−+−=ρ (2.6)

unde SRρ - distanţa între satelitul S şi receptor R

rt∆ - eroarea ceasului receptorului

c - viteza luminii

SX - vectorul coordonatelor satelitului

RX - vectorul coordonatelor receptorului (vectorul parametrilor)

=S

S

S

S

Z

Y

X

X

=

R

R

R

R

Z

Y

X

X (2.7)



Tipuri de măsurători GNSS

Semnalul sateliţilor GNSS constă în:

- codul P: Pi =+1;-1 secvenţe care se schimbă pseudoaleator la fiecare 0.1 s

- codul C/A: Ci =+1;-1 secvenţe care se schimbă pseudoaleator la fiecare

1 ms

- fluxul de date (mesajul de navigaţie) Di =+1;-1 secvenţe care se schimbă sistematic

la fiecare 20 ms

- unda purtătoare: cos ( )φπ +12 f pe frecvenţa L1

cos ( )φπ +22 f pe frecvenţa L2

Măsurătorile GNSS pot fi clasificate în funcţie de tipul semnalului utilizat astfel:

a) Măsurători efectuate utilizând codurile

Acest tip de măsurători sunt denumite măsurători de pseudodistanţe şi se bazează pe

coduri. Cu ajutorul codurilor se calculează timpul necesar corelării unei replici a codului

generat de receptorul GNSS cu codul recepţionat de la satelit, astfel putându-se determina

pseudodistanţa satelit-receptor. Rezoluţia măsurătorilor depinde de precizia cu care codul

recepţionat este corelat cu codul generat.

b) Măsurători folosind faza undei purtătoare

Faza undei purtătoare reprezintă diferenţa între faza semnalului purtătoarei emis de

satelit (supus fenomenului Doppler) şi faza unui semnal de frecvenţa constantă emis de

oscilatorul receptorului. Reconstrucţia fazei se realizează prin „scăderea” codului din

semnalul satelitului sau prin „ridicarea la pătrat” a semnalului satelitului.

Reconstrucţia fazei purtătoarei prin eliminarea codului din semnalul satelitului prezintă

avantajul că menţine un nivel scăzut al zgomotului, menţine lungimea de undă a purtătoarei

(pentru L1 şi L2), iar mesajul de navigaţie rămâne clar.

Reconstrucţia fazei prin „ridicarea la pătrat” a semnalului satelitului se utilizează în cazul

receptoarelor lipsite de coduri pentru măsurători de înaltă precizie. Semnalul satelitului este

„ridicat la pătrat” pentru eliminarea codurilor , obţinându-se astfel o undă pură fără modulaţii.

c) Măsurători utilizând semnalul sub-purtătoarei codului P

Tehnica presupune obţinerea diferenţei dintre faza sub-purtătoarei codului P din banda

L1 sau L2 şi faza semnalului de referinţă generat de receptor. Precizia acestei metode este mai

slabă decât precizia măsurătorilor cu faza purtătoarei.



Se mai pot utiliza şi combinaţii ale tehnicilor prezentate anterior.

Metode de măsurare GNSS

1. Metoda de măsurare statică

Metoda de măsurare statică este cea mai frecventă metodă de măsurare GNSS. În cadrul

acestei metode, receptoarele ocupă punctele de staţie pentru intervale de timp (sesiuni) cu

durata de aproximativ 1 oră. Un receptor rămâne în acelaşi punct, pe când alte receptoare,

participante la observaţii, se deplasează în punctele noi între sesiuni.

2. Metoda de măsurare cinematică

Măsurarea cinematică este procesul prin care vectorii (bazele) dintre două receptoare, care

se află în mişcare relativă, pot fi determinate precis şi rapid dacă fiecare receptor

recepţionează continuu faza purtătoarei de la cel puţin 4 aceiaşi sateliţi. Este cea mai

eficientă metodă de determinare a punctelor

3. Metoda de măsurare pseudo-cinematică

Această metodă este similară cu cea cinematică în efectuarea observaţiilor şi similară cu cea

statică în prelucrare. Observaţiile în punctele necunoscute sunt identice cu cele cinematice, cu

excepţia faptului că fiecare măsurătoare dureaza aproximativ cinci minute şi fiecare punct

măsurat trebuie staţionat încă 5 minute la interval de cel puţin o oră faţă de prima perioadă de

observare. Nu este necesară o iniţializare specială sau menţinerea legăturii la sateliţi între

observaţii ca în cazul măsurătorilor cinematice.

4. Metode de măsurare combinate

Combinarea primelor trei metode poate asigura executarea proiectelor ample cu condiţia

cunoaşterii şi aprecierii corecte a locului şi momentului unde se pretează utilizarea fiecărei

metode.

Clasificarea metodelor de poziţionare[51] :

1. Funcţie de originea sistemului de axe de coordonate ales:

- poziţionare absolută (“point positioning“) – originea este în geocentru, vectorul de poziţie

se obţine în raport cu geocentrul

- poziţionare relativă (“relative positioning“) – originea este aleasă arbitrar în unul din

punctele de determinat, unde vectorul relativ de poziţie se obţine în raport cu originea

aleasă.



- poziţionare diferenţială – este o metodă ce combină poziţionarea absolută ţi relativă.

2. Funcţie de tipul observaţiilor estrase din semnalul satelitar şi utilizate în poziţionare :

- poziţionare cu coduri – folosind corelarea semnalului recepţionat cu codul propriu

generat de receptor ;

- poziţionare cu fază purtătoare- folosind măsurători ale fazei purtătoare

- poziţionare Doppler – folosind măsurători ale variaţiei fazei purtătoare

3. Funcţie de momentul în care se determină poziţia :

- poziţionare în timp real – poziţia este determinată în momentul efectuării observaşiilor

satelitare ;

- poziţionare în mod post-procesare- poziţia este determinată la un anumit interval de timp

după efectuarea observaţiilor satelitare.

4. Funcţie de starea de mişcare a receptorului :

- poziţionare statică – receptorul se află în repaos ;

- poziţionare cinematică – receptorul se află în miscare;

- poziţionare combinată - poziţia receptorului alternează de la starea de repaos la starea de

mişcare şi invers.

Precizia de estimare a poziţiei

Precizia poziţionării folosind sistemul GNSS este influenţată de o serie de erori care

pot fi clasificate astfel:

-erori sistematice (eliminate sau estimate în procesul de calcul):

-eroarea sistematică de reprezentare a orbitelor;

-eroarea sistematică a modelului de funcţionare a ceasului;

-eroarea troposferică şi ionosferică

-ambiguitatea fazei purtătoare

-erori aleatoare

-erori sistematice reziduale

-excentricitatea centrului de fază

-eroarea datorată reflexiei semnalelor



-erori aleatoare de măsurare

Indicatorii preciziei poziţiei

1. Abaterea standard a unităţii de pondere 0σ

Abaterea standard a unităţii de pondere nu este propriu zis o eroare de determinare a

poziţiei receptorului, ci reprezintă măsura erorii distanţei spre unul din sateliţi.

2. Diluţia preciziei (DOP)

Această mărime reprezintă contribuţia cu efect multiplicativ asupra lui0σ adusă de erorile

induse de geometria sateliţilor. Geometria sateliţilor reprezintă modul de dispunere

spaţială a sateliţilor de la care sunt recepţionate semnalele, deci unghiurile între direcţiile

de propagare a semnalelor. În general, spaţiile mari dintre sateliţi şi receptor produc erori

mai mici.

Indicatorii DOP sunt următorii :

PDOP – Diluţia preciziei poziţiei. Aceasta reprezintă o funcţie matematică de

coordonate relative ale receptorului şi sateliţilor şi poate fi calculată pentru o

anumită geometrie a acestora.

HDOP – Diluţia preciziei planimetrice

VDOP – Diluţia preciziei coordonatei pe verticală

TDOP – Diluţia preciziei în echivalent distanţă al erorii ceasului receptorului

GDOP – Indicator ce reuneşte efectele geometriei sateliţilor şi receptorului cu

efectele erorii ceasului

Precizia poziţiei va fi dată de relaţiile:

PDOPzyx *0,, σσ = (2.8)

TDOPT *0σσ =∆ (2.9)

GDOPTzyx *0,,, σσ =∆ (2.10)

Proiectarea reţelelor GNSS

Proiectarea reţelelor GNSS la un nivel de precizie şi încredere apriorice minimizând în acelaşi

timp costurile unei campanii de observaţii este un proces complex ce necesită diferite stadii de

adoptare a unor decizii. Întregul proces de proiectare a reţelelor GNSS poate fi efectuat în

patru etape:



1. Definiţia datelor geodezice de referinţă (Design de ordinul zero);

2. Configuraţia reţelei (Design de ordinul 1);

3. Specificarea ponderii observaţiilor (Design de ordinul 2);

4. Integrarea în reţele terestre existente (Design de ordinul 3).

1. Definiţia datelor geodezice de referinţă (Design de ordinul zero)

Observaţiile GNSS, fie ele pseudo-distanţe, fie faze purtătoare, sunt în prezent mai degrabă

distanţe afectate de erori sistematice decât distanţe geometrice. În consecinţă, fiecare

măsurătoare implică scara sa proprie, fiind afectată de erori sistematice, care pot fi modelate

sau luate în consideraţie. Calitatea originii şi orientării datumului sunt definite prin

constrângeri minime pe baza câtorva combinaţii de sateliţi şi coordonate terestre care

determină reţeaua.

Teoretic, fixarea orbitei unui satelit este suficientă pentru definirea originii, orientării şi

scării unui sistem de referinţă geocentric, cvasi-inerţial, iar dacă se presupun cunoscuţi şi

parametrii asociaţi rotaţiei Pământului, atunci putem defini un sistem de referinţă geocentric

în care poziţiile sateliţilor din reţea pot fi estimate.

În practică, parametri orbitali ai mai multor sateliţi sunt fixaţi, determinând un datum cu

constrângeri.

2. Configuraţia reţelei (Design de ordinul 1)

Design de ordinul 1 poate fi considerat un proces cu două etape necesitând proiectarea

redundanţei şi a configuraţiei.

Proiectarea redundanţei în observaţiile GNSS determină stabilirea unei configuraţii minime

a reţelei cu un anumit număr de parametri necunoscuţi unic definiţi. Datorită faptului că

observaţiile sunt diferenţe între semnalele oscilatorului satelitului şi semnalele oscilatorului

receptorului, ele sunt sensibile la diferenţele între erorile ceasului satelitului şi receptorului şi

a diferitelor cauze care afectează propagarea acestor semnale. Influenţa acestor erori

sistematice poate fi tratată pe diferite cai. Dacă o eroare sistematică e presupusă a avea o

structură stabilă, varianţa sa temporală poate fi tratată ca necunoscută şi determinată împreună

cu ceilalţi parametri. Alternativ, pot fi efectuate observaţii adiţionale pentru estimarea directă

a erorilor sistematice sau pentru formarea modelului erorilor sistematice. În final, eroarea

sistematică poate fi înlăturată sau puternic redusă prin diferenţierea ecuaţiilor observaţiilor

directe.



În proiectarea unei campanii de măsurători GNSS, alegerea amplasării staţiilor va fi dictată

mai ales de nevoia de a ocupa (sau reocupa) cât mai multe staţii, menţinând o durată optimă a

timpului de colectare a datelor. În practică se utilizează două metode:

a) Stabilirea configuraţiei de staţii/sateliţi care dau un DOP optim în punctele reţelei şi

pentru anumiţi sateliţi; aceasta este echivalent cu minimizarea elementelor de pe diagonala

principală a matricii de varianţă-covarianţă.

b) Stabilirea configuraţiei de staţii/sateliţi care să dea un număr maxim de baze

independente ale reţelei.

3. Specificarea ponderii observaţiilor (Design de ordinul 2)

Fiind dată o configuraţie a reţelei, selectarea preciziei observaţiilor este unul dintre

parametri de bază care determină precizia poziţiilor determinate cu GNSS. Rezultatele

observaţiilor pot fi afectate de erori datorate:

- imperfecţiunii localizării observaţiilor în timp (de exemplu asincronismul dintre ceasul

satelitului şi cel al receptorului) şi spaţiu (de exemplu erorile orbitei sateliţilor)

- imperfecţiunii performanţelor sistemului de urmărire (datorate de exemplu efectelor

reflexiei semnalelor şi variaţiei centrului de fază)

Cu cât sateliţii GNSS sunt urmăriţi un timp mai îndelungat, cu atât se realizează mai precis

poziţionarea relativă, în principal datorită extinderii eşantionului de atmosferă parcurs (şi

implicit obţinerea unui caracter aleatoriu al efectelor atmosferice) şi variaţiei mai mari a

geometriei (rezultând caracterul aleatoriu al erorilor orbitei).

Îmbinând tehnologiile descrise mai sus cu programme de prelucrare a datelor

automatizat şi permanent s-au dezvoltat sisteme automate de urmărirea deformaţiilor –

sistemul GOCA

II.2.3 Sistemul GOCA

GOCA (GNSS/GPS/LPS based on-line control and alarm sistem) este un multisistem

de componente software şi hardware care au ca scop monitorizarea şi analiza deformaţiilor

geotehnice in timp real [19].

Obietivele proiectului GOCA sunt:

Monitorizarea on-line pentru reţelele clasice de deformatii;

Monitorizarea on-line a clădirilor relevante din punct de vedere al siguranţei şi a

instalaţiilor geotehnice, pe baza sistemului de sateliţi GPS;



Vizualizare şi analiză pentru punctele-obiect, on-line la centrul GOCA;

Alerta automată dacă se ajunge la o stare critică a obiectului.

Componentele hardware ale sistemului GOCA constau din senzori GNSS şi senzori de

poziţionare locală (LPS) ca staţii totale şi instrumente de nivelment pentru monitorizare

geodezică, furnizând vectorul de stare a deplasărilor, vitezelor şi acceleraţiilor pentru punctele

obiect. Se folosesc şi senzorii locali (LS) ca senzori de forţă şi presiune rezultând o analiză

integrată a deformaţiei. Datele GNSS şi LPS sunt folosite la compensarea permanentă online

a reţelei geodezice. La analiza deformaţiilor se fac estimări cu ajutorul filtrului Kalman. Toate

aceste echipamente sunt coordonate de componente software care au rolul atât de transmitere

a corecţiilor la senzorii GNSS, de prelucrare în timp real a datelor transmise de echipamentele

hardware, cât şi de alarmare in cazul apariţiilor unor anomalii semnalate de sistem.

II.3 Concluzii

Datorită evoluţiei aparaturii topografice utilizate în vederea determinării deformaţiilor

absolute ale barajelor, timpul de măsurare se reduce semnificativ, în prezent putându-se

determina permanent poziţia punctelor de pe obiectul examinat, ba chiar şi interpretarea

acestor deformaţii, putându-se elimina conceptul că instrumentele mecanice instalate în

corpul barajului ar fi mai avantajoase deoarece ar putea surprinde o deformaţie apărută

instantaneu.



CAPITOLUL III - METODE DE PRELUCRARE ŞI ANALIZ Ă A

DATELOR

III.1 Prelucrarea măsurătorilor efectuate în reţelele geodezice:

În situaţia în care avem o reţea de sprijin geodezică, realizată în scopul obţinerii

coordonatelor unui set de puncte geodezice şi care este utilizată ca referinţă pentru lucrările

topografice, măsurătorile se execută şi se prelucrează o singură dată.

Într-o reţea geodezică de urmărire, realizată în scopul determinării deplasărilor unor puncte

geodezice, măsurătorile se execută şi se prelucrează în mai multe etape (epoci), între care se

determină deplasările ca diferenţe de coordonate. În acest sens se propune prelucrarea în bloc

a mãsurãtorilor efectuate în mai multe etape, într-o reţea de urmãrire.

În prelucrarea datelor geodezice, modelul funcţional este exprimat prin:

în care x este vectorul parametrilor (în general coordonate, dar poate include şi efecte fizice

sau elemente geometrice specifice cum sunt: factori de scară, coeficienţi de refracţie, etc.), iar

l este vectorul elementelor măsurate.

În procesul de prelucrare a datelor de măsurare, acordăm o atenţie deosebită

depistării erorilor mari precum şi a erorilor sistematice semnificative, observaţiile fiind

afectate de erori întâmplătoare, ceea ce justifică tratarea măsurătorilor ca variabile aleatoare şi

descrierea efectului acestor erori prin intermediul unui model stochastic.

Modelul stochastic pentru valorile măsurate ale vectorului l din relaţia (3.1) este

definit atunci când pentru un element măsurat dispunem de estimaţii nedeplasate ale mediei şi

varianţei, iar pentru fiecare pereche de elemente măsurate dispunem de o estimare nedeplasată

a covarianţei.

Dacă un acelasi element este măsurat de n ori, atunci valoarea medie calculată este

folosită ca valoare măsurată pentru elementul respectiv, dar varianţa sa este acum exprimată

prin valorile măsurate considerate independente, deci cu covarianţe nule; în acest caz matricea

de varianţă – covarianţă C1, pentru m măsurători este o matrice diagonală (m*m):

Ponderea unei măsurători este definită prin:

)2.3(1 22

xxs

ns =

[ ] )3.3(... 222

211 mdiagC σσσ=

( ) )1.3(0, =lxf



2

20

i

ipσσ

= (3.4)

unde σ02 este factorul de varianţă. Dimensiunea ponderii este inversa dimensiunii varianţei,

σ02 fiind adimensional. Matricea ponderilor pentru m măsurători este definită:

11

20

−= CP σ (3.5)

matricea cofactorilor măsurătorilor este definită prin: Q1=P-1 sau

)6.3(1

120

1 CQσ

=

Modelul funcţional (3.1) constă din ecuaţii neliniare, determinarea parametrilor

necunoscuţi x fiind dificil ă. Se liniarizează modelul funcţional cu ajutorul dezvoltării în serie

Taylor, neglijând termenii de ordinul 2 sau mai mari

unde: x0 – valorile aproximative ale necunoscutelor

l0 – valorile măsurate

xa – valorile cele mai probabile ale necunoscutelor

la – valorile cele mai probabile ale elementelor măsurate

Coeficienţii derivatelor parţiale sunt calculaţi pentru x = x0 şi l =l0. Scrişi dezvoltat, acesti

coeficienţi sunt:

unde: r – numărul de ecuaţii în modelul funcţional

m – numărul măsurătorilor; n – numărul necunoscutelor

( ) ( ) ( ) ( ) )7.3(,, 0000 lll

fxx

x

flxflxf aa −

∂∂

+−∂∂

+=

)8.3(

...

............

...

...

21

2

2

2

1

2

4

2

1

1

1

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

==∂∂

n

mmm

n

n

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

fx

f

x

f

x

f

Ax

f



)9.3(

...

............

...

...

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

==∂∂

n

rrr

n

n

l

f

l

f

l

f

l

f

l

f

l

fl

f

l

f

l

f

Bl

f

Dacă se notează:

b=f(x,l) (3.10)

atunci modelul funcţional se poate exprima într-o formă liniarizată Ax + Bv = b care

reprezintă forma liniarizată a modelului funcţional. O soluţie unică pentru cele n+m

necunoscute (n – parametri, x şi m corecţii v) se poate obţine impunând condiţia de estimare

prin metoda celor mai mici pătrate:

Ω = vTpv = min (3.11)

Se demonstrează că această soluţie unică rezultă din (m+r+n) ecuaţii normale, obţinând:

Simbolul “ ˆ “ s-a folosit pentru a desemna o estimaţie particulară a soluţiilor obţinută prin

metoda celor mai mici pătrate, iar k reprezintă multiplicatorii Lagrange.

Matricea cofactorilor pentru estimările x şi v sunt:

x = xa – x0;

v = la – l0

În practică apar frecvent două cazuri particulare. În unul dintre acestea fiecare măsurătoare

l i poate fi exprimată explicit funcţie de necunoscute, fiind cunoscut ca metoda observaţiilor

indirecte sau estimarea parametrilor prin ecuaţii ale observaţiilor:

li=gi(x)

( ) ( )( ) ( )

KBPv

bxABBPk

bBBPAABBPAx

T

T

TTTT

))

))

)

1

11

11111

)12.3(

,

−

−−

−−−−−

−=

−=

=

( )( ) ( ) ( ) )13.3(1

11

11

111

111

BQBBQABBQAEBBQBQQ

ABBQAQ

TTTTTTv

TTx

−=

=

−−−

−−

)

)



Atunci: B=-E

Ax=b+v (3.14)

Avem de asemenea:

cu matricile de covarianţă:

Al doilea caz particular, cunoscut ca metoda observaţiilor condiţionate sau estimarea

corecţiilor măsurătorilor, are loc când parametrii x nu apar în modelul funcţional, astfel încât:

Bv = b (3.17)

Cu relaţiile corespunzătoare:

Această metodă a observaţiilor condiţionate prezintă o serie de dezavantaje (dificultatea

generării automate a ecuaţiilor de condiţie, calculul laborios al matricei cofactorilor pentru

estimaţiile x) care reduc posibilităţile de aplicare a acestui procedeu în cazul prelucrării

automate.

Prelucrarea reţelelor geodezice cu matrice singulară

În prelucrarea reţelelor geodezice prin metoda observaţiilor indirecte apar situaţii în care se

obţine o matrice a sistemului de ecuaţii normale cu defect de rang, adică r<n, unde r – rangul

iar n – dimensiunea matricei respective:

( )( ) )15.3(

,1

1

bEPAPAAAbAxv

PbAPAAx

TT

TT

−=−=

=−

−

)

)

( )( )

( ) )16.3(1

11

1

TTl

TTv

Tx

APAAAQ

APAAAQQ

PAAQ

−

−

−

=

−=

=

)

)

)

( )

( )( ) )18.3(1

111

11

1

11

BQBBQBQQ

BBQQ

kBPv

bBBPk

TTv

Tk

T

T

−

−

−

−−

=

=

−=

−=



d = n-r ≠0

unde d-defectul matricei sistemului de ecuaţii normale

În cazul reţelelor libere, rezolvăm cazul în care avem o conformaţie necorespunzãtoare a

reţelei sau absenţei unei măsurători rezultând defectul de rang.

Matricea sistemului de ecuaţii normale este:

N=ATPA (3.19)

Singularitatea sa este datorată defectului de rang a matricei A sau a defectului de rang al

matricei P (care poate apărea de exemplu după eliminarea necunoscutelor de orientare la

prelucrarea direcţiilor orizontale măsurate prin metoda seriilor) dar există puţine cazuri în

realitate de defect de rang al matricei P de unde rezultă că singularitatea se datorează în

principal defectului de rang a matricei A.

Defectul de rang al matricei A poate fi cauzat de defectul de date iniţiale datorită faptului că

nu există suficiente elemente fixe, pentru a putea calcula coordonatele punctelor reţelei

geodezice (pentru a putea fixa reţeaua respectivă).

d = nr. gradelor de libertate

Una dintre problemele care apar la tratarea reţelelor libere se referă la alegerea celui mai

adecvat procedeu dintre diferitele posibilităţi de prelucrare, cum sunt:

a) Calculul matricei inverse generalizate, comform definiţiei Moore-Penrose;

b) Calculul unei inverse generalizate care satisface numai o parte din condiţiile Moore-

Penrose;

c) Introducerea unor relaţii de condiţie între necunoscute, prin care se elimină gradele de

libertate;

d) Introducerea unor ecuaţii de observaţii fictive, cu pondere mare, corespunzătoare

ecaţiilor de condiţie între necunoscute;

e) Utilizarea transformării S;

f) Impunerea condiţiei de minim asupra sumei pătratelor corecţiilor (cresteri de

coordonate)

În alegerea unuia dintre procedeele menţionate, trebuie avute în vedere următoarele criterii:

♦ Minimizarea volumului de calcul;

♦ Posibilitatea prelucrării de sisteme cât mai mari;



♦ Matrice de varianţă-covarianţă corecte (unice)

Deoarece în principiu se poate compara sau verifica orice, ipotezele statistice reprezintă un

preambul al analizei deformaţiilor.

III.2 Teste statistice

O ipoteză statistică este o presupunere asupra uneia sau mai multor repartiţii ce

caracterizează anumite populaţii, sau asupra unuia sau mai multor parametri ai unor astfel de

repartiţii.

Dacă avem o repartiţie a cărei densitate de repartiţie depinde de un parametru θ care

poate lua una din valorile θ0, θ1, θ2,…ipotezele

H0: θ= θ0, H1: θ= θ1, H2: θ= θ2,… se numesc ipoteze admisibile

Ipoteza H0: θ= θ0 se numeşte ipoteza nulă iar orice altă ipoteză admisibilă este numită

ipoteză alternativă.

Metodele pentru verificarea ipotezelor statistice se numesc teste statistice.

Ipoteza H0 se verifică cu ajutorul valorii observate a unei statistici u. Fie U mulţimea valorilor

statisticii u, astfel încât dacă ipoteza este adevărată, atunci

P(uєU)=α

Mulţimii U îi corespunde în spaţiul de selecţie o mulţime W, astfel încât

P(xєWH0)=α

unde x=[x1,x2,…xn] reprezintă vectorul observaţiilor, valoarea numerică α se numeste pragul

de semnificaţie al testului, iar mulţimea W este numită regiunea critică. Complementara

mulţimii W se numeste regiune de acceptare.

Eroarea care constă în respingerea ipotezei H0, când aceasta este adevãratã se numeste eroare

de ordinul întâi.

Probabilitatea acestei erori este egală cu pragul de semnificaţie al testului, motiv

pentru care α se alege cât mai mic (uzual 0,01sau 0,05). Acceptarea ipotezei H0 când aceasta

este falsă este numită eroare de ordinul al doilea. Se produce o astfel de eroare când xєW deşi

θ= θ1 probabilitatea evenimentului respectiv fiind β:

P(xєCWH)=β (3.20)

sau

P(xєWH)=1- β

De exemplu, la depistarea erorilor mari în măsurători, se produce o eroare de ordinul unu la

eliminarea unei măsurători bune şi o eroare de ordinul doi la acceptarea uneia greşite.

Probabilitatea de respingere a ipotezei H0 ca funcţie de θ se numeste funcţie de putere a

testului.



K(W,θ)=P(xєWθ) (3.21)

de unde:

K(W,θ0)=α (3.22)

K(W; θ1)=1-β

O problemă principală în teoria verificării ipotezelor statistice constă în alegerea dintre

toate testele având acelaşi prag de semnificaţie α, acel test pentru care β este minim, adică

puterea este maximă, un astfel de test fiind numit cel mai puternic test.

Acceptarea ipotezei H0 nu dovedeşte că aceasta este corectă ci doar că nu s-a găsit o

obiecţie la ea în cazul testului respectiv.

Pentru verificarea unei ipoteze statistice, trebuie parcurse urmãtoarele etape:

1. Formularea ipotezei nule şi a ipotezei (ipotezelor) alternative;

2. Alegerea pragului de semnificaţie;

3. Specificarea statisticii pe baza căreia se va lua decizia;

4. Se determină regiunea critică, adică valorile statisticii care conduc la respingerea

ipotezei;

5. Se consideră o selecţie;

6. Pentru selecţia considerată, se determină valoarea numerică a statisticii alese;

7. Ipoteza este acceptată (sau respinsă), după cum valoarea calculată a statisticii nu

aparţine (sau aparţine) regiunii critice.

Distribu ţia normală (Gauss):

Funcţia densităţii este:

Repartiţia normală este complet specificată dacă i se cunosc parametrii µ şi σ.

( )( )

)23.3(,;2

1,, 2

2

fσπσ

σµ σµ

+∞≤≤−∞=−−

xexfx



Graficul funcţiei f(x,µ,σ) se numeşte curba normală (clopotul lui Gauss)

Figura 3.2.1 – Graficul funcţiei distribuţiei normale

Are următoarele proprietăţi:

♦ Este simetrică în raport cu x = µ, care este în acelasi timp medie, modă şi mediană, având

în acelaşi timp un maxim de coordonate (µ,1/ σ√2π);

♦ Axa Ox este asimptotă:

Realizând transformarea:

Care este tabelată (fiind trecute valorile (1-Φ(y))

Intervalul de încredere al distribuţiei normale:

L ~ N(µ,σ2) unde µ –necunoscut (valoarea de aşteptat)

σ – cunoscut

σµ−= x

y

( ) )24.3(2

1 2

2

ξπ

φξ

deyy

∫∞−

−=

Maxim

Distributia normala (clopotul Gauss)

x

f(x)



cu probabilitatea: p = 1-α, valoarea de aşteptat se aflã în intervalul [a, b]

p = α/2, valoarea de aşteptat se aflã în afara intervalului [a, b]

Intervalul de încredere pentru µ:

Calculul limitelor intervalului de încredere:

P -y ≤ έ ≤ y = 2Φ(y)-1

Determinăm intervalul:

a = l – σy

b = l + σy

Distribu ţia χ2:

a) Definiţie şi formule:

X j ~ N(0,1); j = 1,2,…,f

xj2 – variabila aleatoare

f- gradele de libertate – dependente de abaterea standard

a l µ b

interv. de încred

p = 1-α

p = α/2 p = α/2

σµε −= l

( ) )27.3(12 −Φ=+≤≤−+≤≤−

⇔−≥≥+

≤−≤−⇔≤−≤−

yylylp

lyyl

ylyl

ylyyl

y

σµσσµσ

σµσ

σµσσ

µ

)28.3(1

22 ∑=

=f

jjf xχ

)26.3(1 αµ −=≤≤ baP

)25.3(2/αµµ =≤=≤ aPaP



Funcţia de densitate a repartiţiei χ2 se exprimă cu:

x- variabila aleatoare

G ra f ic u l fu n tie i d e d en s ita te a re p a rt it ie i x

f (x )n -2

n -2 0

2

x

n -4

n -6

Figura 3.2.2- graficul funcţiei de densitate a repartiţiei

dacă f este mic – distribuţia prezintă un grad de asimetrie ridicat

dacă f este mare – distribuţia este aproape normală

χf2 ~ N (f, 2f)

µ = f, σ2 = 2f pentru f ≥ 30

Regula sumei unor distribuţii χ2:

Distribuţia varianţei este dată de:

( ) 21

2

1

2 )2

(2xff

exf

xf−−

−

⋅⋅

Γ⋅=

)29.3()2

( 2

0

12 dxex

fff

⋅⋅=Γ−

∞−

∫

)30.3(...

...

21

222221

m

ffff

ffff

xxxm

+++=

+++=χ

)31.3()1,0(

1

1

22

N

ns

jj

n

jj

≈=

⋅= ∑=

σε

ε

ε



unde: S – varianţa

Ε – măsurătorile

n – numărul măsurătorilor

σ – abaterea standard teoretică

f = n – numãrul gradelor de libertate

- pentru corecţii:

f = n-1 ; valorile vj se cunosc ca diferenţă faţă de o valoare medie

- pentru măsurători duble:

f = n: dj sunt diferenţele între măsurătorile făcute

Intervalul de încredere al varianţei:

Presupunem că se cunoaste abaterea standard empirică S, şi vrem să determinăm a şi b:

1

22

22

1

22

2222 )32.3(

σχ

χσεσεσε

sf

nns

f

n

n

jjjj

⋅=

⋅=⋅=⇒= ∑=

)33.3(1

1

1

22 ∑=

⋅−

=n

jjv

ns

)34.3(;2

1

1

22 ∑=

⋅=n

jjd

ns

)35.3(

2

1

ασσ

ασ

==

−=≤≤

bPaP

baP

fp

2

,2

1,2

2

2,

2

22

21,

22

2,

)36.3(1

αα

αα

χσ

χ

σχ

αχχχ

−

−

≤≤

⋅=

−=

≤≤

ff

f

ff

f

sf

sf

P



Distribu ţia t – (Student)

Definiţie: L ~ N(µ, σ) ; L – variabilă aleatoare

Ε = l – µ ~ N (0, σ)

În general σ este necunoscută (abaterea standard teoretică) şi vom lucra cu s

Distribuţia tf, cu f grade de libertate

Dacă f = ∞ rezultă s = σ şi tf = έ, iar distribuţia t devine normală N (0,1)

2

2,

2

21,

2

2,

2

21,

;

)40.3(

αα

αα

χχ

χϖ

χ

ff

ff

fsb

fsa

fs

fs

⋅=⋅=

≤≤

−

+

Intervalul de încredere al valorii µ:

- se dă L ~ N (µ, σ)

- Se cere σ – abaterea standard teoretică şi µ – valoarea aşteptată

Definim intervalul de încredere al valorii µ:

2

21,

02

2

2,

2

2

2

21,

222 )39.3(

1

αα

αα

χσ

χ

χ

σ

χ

−

−

⋅≥≥⋅

⋅≤≤

⋅

ff

ff

sfsf

sfsf

)37.3(1,0(N≈=σεε

(3.38)ss

lt f

εµ =−=

stlb

stla

bPaP

baP

f

f

⋅+=

⋅−=−==

−=≤≤

−

−

21,

21

)41.3(1

1

β

α

αµµαµ

fp



Distribu ţia F - (Fisher)

Definiţie: sunt date două variabile independente ce au ca distribuţie χ2:

xI; yi – aparţin N (0, 1); xj, yj – independente stocastic pentru orice i şi j

Teoretic E xj,yj =0 oricare ar fi i şi j.

III.3 Analiza integrat ă a datelor

Chiar si cele mai precise măsurători de verificare nu vor putea servi pe deplin scopului

lor dacă nu sunt potrivit evaluate şi utilizate într-o analiză globală sau intergrată.

Analiza măsurării deformaţiei include:

• Analiza geometrică: descrie forma geometrică a corpului deformabil, schimbările lui

de formă şi dimensiuni, precum şi mişcările întregului corp deformabil (translaţia şi

rotaţia) în funcţie de reţeaua de referinţă stabilă, sau a întregului corp comparativ cu alte

corpuri.

• Interpretare fizică care constă din:

- interpretare stocastică (întâmplătoare, aleatoare) - o metodă statistică ce

analizează corelaţia între deformaţiile observate şi sarcini (cauze interne şi

externe ce produc deformaţia)

- interpretare deterministică: o metodă ce utilizează informaţia pe relatia

proprietăţilor materialelor şi legile fizice ce guvernează relaţia forţă – întindere;

care descriu stările presiunii interne şi relaţia dintre efectele cauzative (sarcini)

şi deformaţii.

Odată ce relaţia sarcină – deformaţie este stabilită, rezultatele interpretării fizice pot fi folosite

pentru dezvoltarea modelelor predefinite. Printr-o comparaţie a deformaţiei aşteptate cu

rezultatele analizelor geometrice a deformaţiilor actuale, se realizează o mai bună înţelegere a

mecanismului deformaţiei. Pe de altă parte, modelele predefinite, furnizează informaţia pentru

deformaţia aşteptată, facilitând alegerea schemei proiectului de verificare cat şi selecţia

)42.3(2

2

1

1

1

22

1

22

∑

∑

=

=

=

=

f

iif

f

jjf

xχ

χχ

)43.3(2

2

1

2

1

2

2

2

),(

2

121

12f

fffff f

f

ffF

χχχχ

⋅=÷=



modelului deformaţiei în analiza geometrică. Astfel conceptul de ”analiză integrată” înseamnă

o determinare a deformaţiei prin combinarea tuturor tipurilor de măsurători geodezice şi

geotehnice. Comparând analiza geometrică simultană a deformaţiei cu modelele predefinite,

rezultatul poate fi folositor la alegerea schemelor de verificare. Procesul este repetat iterativ

până cînd mecanismul deformaţiei este bine înţeles şi discrepanţele dintre modelele

predefinite şi deformaţiile actuale sunt bine explicate.

III. 3. 1 Analiza geometrică

Identificarea punctelor de referinţă instabile

În majoritatea studiilor deformaţiilor, este crucială informaţia despre mişcarea absolută a

punctelor obiect, în funcţie de câteva puncte de referinţă stabile. O problemă ce este frecvent

întâlnită în practică în reţelele de referinţă, este instabilitatea punctelor de referinţă. Aceasta

poate fi cauzată de amplasarea greşită a mărcilor geodezice sau de localizarea prea aproape a

punctelor de zona deformată. Orice punct de referinţă trebuie să fie întâi identificat şi să fie

calculate înainte deplasările punctelor obiectului. Altfel, deplasările calculate ale punctelor

obiect şi analiza şi interpretatea ulterioară a deformaţiei structurii poate fi distorsionată

semnificativ. De exemplu, având o situaţie unde punctele A, B, C şi D sunt puncte de referinţă

folosite la verificarea unui număr de puncte obiect de pe o structură, dacă punctul B a suferit

deplasări (dar nu se ştie) şi el este folosit cu punctul A la identificarea datelor comune pentru

două campanii de măsurători, atunci toate punctele obiect şi punctele de referinţă C şi D vor

arăta schimbări semnificative în coordonatele lor chiar dacă în realitate toate punctele sunt

stabile, în afara punctului B.

Transformarea similară ponderată iterativ (transformarea S)

A fost dezvoltată o metodă care să depisteze punctele de referinţă instabile, metodă ce este

bazată pe o transformare similară specială ce minimizează prima normă (valoarea absolută) a

vectorului deplasărilor observate a punctelor de referinţă. Cu această transformare se poate

realiza uşor verificarea pentru o reţea de referinţă uni-dimensională şi printr-o schemă

ponderată iterativ pentru reţele de referinţă multi-dimensionale, până când toate componentele

vectorilor deplasării (di) satisfac condiţia:

∑ IIdiII = minim (3.44)

în fiecare soluţie iterativă, ponderile (pi) ale fiecărei deplasări sunt modificate, fiind:

pi = 1/di (3.45)

După ultima iteraţie, vectorii deplasării transformaţi ce depăsesc elipsele erorilor în punctele

lor transformate (la 95% probabilitate) sunt identificate ca puncte de referinţă instabile.

Deplasările obţinute prin transformare, sunt practic, date independente (constrângerile minime



au fost folosite în compensarea celor mai mici pătrate în campaniile de măsurători), afişarile

deplasărilor transformate vor fi întotdeauna aceeleasi. Astfel, rezultatele obţinute reprezintă

tendinţa deformaţiei reale, care este folosită mai târziu la selectarea celui mai potrivit model

de deformaţie.

c) Analiza punctului stabil

Controlul calităţii pentru reţelele de referinţă necesită analiza stabilităţii pentru fiecare

statie de referinţă, de exemplu prin transformarea similară ponderată iterativ (IWST)

1) Organizarea prelucrării datelor: programele de rutină sunt codate pentru

automatizarea prelucrării datelor. Datele de intrare pentru prelucrarea transformării

similare ponderată iterativ, constau din compensarea coordonatelor staţiei pentru reţeaua

de referinţă (pentru măsurătorile de verificare anterioare şi curente) şi asocierea fiecărei

matrici de covarianţă a parametrilor. Ambele date organizate sunt rezultate din

compensarea reţelei prelucrate ulterior. Valorile critice ale testelor statistice şi gradele de

libertate, sunt necesare pentru interpretarea statistică a post-prelucrării.

2) Algoritmul prelucr ării matricei similare ponderată iterativ. Următoarea ecuaţie

matricială este rezolvată iterativ până când soluţia converge spre o valoare fixă

transformată (mai puţin de 0,01 mm).

(d)′ = [I-H(HTWH)-1HTW](d) = [S](d) (3.46)

unde: d′ - vectorul deplasării transformat

d – vectorul deplasării ini ţial

I - matricea unitate

H - matricea defectului de date

W – matricea ponderii

Matricea unitate este o matrice cu valoarea unu pe diagonală şi zero în rest. Matricea

defectului de date H este proiectată pentru folosirea tipurilor specifice de date geodezice.

De exemplu pentru măsurători geodezice GNSS, are o structură bloc pe diagonală, cu trei

ori trei matrici unitate în fiecare bloc reprezentând unirea defectelor de date din fiecare

măsurătoare. Matricea ponderii W este o matrice diagonală cu elemente egale cu inversa

fiecărei componente a coordonatelor deplasate. Vectorul deplasării conţine deplasările

între două măsurători pentru fiecare punct. Dimensiunile fiecărei matrici trebuie să fie

compatibile cu n ca număr de staţii, de exemplu dacă d este 3n x 1, atunci H,W şi I au

dimensiunile 3n x 3n. Matricea de covarianţă transformată iniţial este suma fiecărei

matrici de covarianţă transformate, unde matricea de covarianţă Q este de asemenea

modificată la fiecare iteraţie prin:



Q′ = SQST (3.47)

unde S = [I-H(HTWH)-1HTW]

Ca să putem folosi orice tip de observaţie geodezică sau geotehnică, într-o analiză

simultană a deformaţiei a fost dezvoltată metoda generalizată UNB de analiză geometrică.

Metoda este aplicabilă la orice tip de analiză geometrică, incluzând detectarea punctelor de

referinţă instabile ca şi determinarea componentelor de întindere şi mişcarea relativă a

corpului rigid în interiorul unui corp deformabil. Această metodă permite folosirea diferitelor

tipuri de date geodezice (măsurători clasice, GNSS şi geotehnice). Ea poate fi aplicată în orice

configuraţie a reţelei de verificare atât timp cât coordonatele aproximative ale tuturor

punctelor observate sunt cunoscute cu suficientă precizie. Rezolvarea constă din trei operaţii

de bază:

- identificarea pe modele deformate

- estimarea parametrilor deformării

- verificarea diagnosticului pe modele şi selectarea celui mai “bun” model

Pe scurt descrierea modului este dată mai jos:

1) Parametrii deformării : schimbarea de formă şi dimensiuni a corpurilor

deformabile 3D este descrisă, dacă sunt determinate 6 componente de întindere

(3 normale şi 3 constrânse) şi 3 rotaţii diferenţiale la fiecare punct al corpului.

Acesti parametrii de deformaţie pot fi calculaţi din relaţia întindere-deplasare

dacă este cunoscută o funcţie a deplasării reprezentând deformaţia obiectului.

Din moment ce măsurătorile de deformaţii implică numai puncte discrete,

funcţia deplasării trebuie să fie aproximată prin câteva modele de deformaţii

selectate care compensează schimbările observate în coordonate (deplasări), sau

orice alt tip de observaţii, în cel mai bun fel statistic. Funcţia deplasării poate fi

determinată, de exemplu, printr-o aproximare polinomială a domeniului

deplasării.

2) Funcţia deplasării : o funcţie a deplasării poate fi exprimată în formă matricială

în funcţie de un model deformabil B ca:

d(x,y,z,t-t0) = (u,v,w)T = B (x,z,y,t-t0) c (3.48)

unde:

d - deplasarea punctului de coordonate (x,y,z) la timpul t comparativ cu

timpul de referinţă t0

u,v,w – componentele funcţiei deplasării în direcţiile x,y, z

B – matricea deformării



c – vector al coeficienţilor necunoscuţi ( parametrii deformaţiei)

3) Modelele deformaţiei : exemple tipice de modele de deformaţii (funcţiile

deplasării) pentru o analiză bidimensională sunt :

a) Deplasarea unui singur punct sau deplasarea unui corp rigid a grupului de

puncte, de exemplu blocul B comparativ cu blocul A. Modelul deformaţiei

se poate exprima prin următoarea funcţie a deplasării:

uA = 0, vA = 0

uB = a0, vB = b0

unde indicii reprezintă toate punctele în blocurile indicate, iar a0 şi b0 sunt

constante.

b) Întregul corp este întins omogen şi cu rotaţie diferenţiată. Modelul

deformaţiei este liniar şi poate fi exprimat direct în funcţie de componentele

întinderii (x,y,xy) şi rotaţia diferenţiată ϖ, ca:

u = x x + xy y - ϖ y

v = xy x + y y +ϖ x (3.49)

c) Un corp cu deformare variabilă, de exemplu între blocurile A şi B, şi cu

diferite deformaţii liniare în fiecare bloc plus o deplasare a corpului rigid B

comparativ cu A. Modelul deformaţiei este scris ca:

uA = xA x + xyA y - ϖA y

vA = xyA x + yA y +ϖA x (3.50)

şi

uB = a0 + xB(x-x0) + xyB(y-y0) - ϖB(y-y0)

vB = b0 + xyB (x-x0) + yB (y-y0) +ϖB(x-x0) (3.51)

unde x0 şi y0 sunt coordonatele fiecarui punct din blocul B.

4) Modele combinate : modelul deformaţiei actuale este o combinaţie a modelelor

simple de mai sus sau, se poate exprima prin funcţii de deplasări non-liniare

care necesită rezolvarea unei funcţii polinomiale de ordin mai mare sau altă

funcţie potrivită. Dacă se constată că parametrii deformaţiei sunt dependenţi de

timp, atunci modelele deformaţiei vor conţine variabile în funcţie de timp.

5) Funcţia deplasării. Un vector δδδδl al schimbărilor în orice tip de observaţii, (de

exemplu schimbarea pantei, a distanţei sau variaţii de efort), poate fi exprimat

întotdeauna cu ajutorul funcţiei deplasării. De exemplu, relaţia dintre funcţia

deplasării şi o schimbare ds a distanţei observată între două puncte i şi j în două

campanii de măsurare, poate fi scrisă ca:



dsij = [(xj-xi)/s]uj + [(yj-yi)/s]vj - [(xj-xi)/s]ui + [(yj-yi)/s]vi (3.52)

unde uj,vj; ui,vi sunt componentele funcţiei deplasării în punctele i şi j de coordonate

xi, yi; xj, yj.

Relaţia funcţională între orice tip de observaţii şi funcţia deplasării, este exprimată în

formă matricială ca:

δl = ABδl c (3.53)

unde A este matricea transformării relatând observaţiile spre punctele deplasate, Bδl

este construită din matricea B (x,y,z, t-t0) de mai sus şi relatată la punctele incluse în

observaţii.

6) Cele mai potrivite modele de deformaţii : observaţiile suplimentare ale

elementelor vectorului c cu varianţele şi covarianţele lor sunt determinate prin

metoda celor mai mici pătrate, şi poate fi calculată semnificaţia lor statistică. O

variantă este găsirea celei mai simple funcţii de deplasare posibilă, ce s-ar

potrivi observaţiilor din punct de vedere statistic. Calcularea pentru cel mai

potrivit model de deformaţie (funcţia deplasării) este bazată pe cunoaşterea

apriori a fiecărei deformaţii aşteptate (de exemplu din analiza elementului finit)

sau analiza calitativă a tendinţei deformaţiei dedusă din toate observaţiile luate

împreună cu ajutorul filtrului Kalman (care va fi tratat în capitolul IV) prin

predicţia următorului ciclu de măsurători. În cazul observaţiilor care au fost

obţinute ca deplasări relative din măsurători geodezice, transformarea ponderată

iterativ a deplasărilor dă cea mai bună formă a tendinţei deformaţiei actuale în

analiza spaţială. În cazul seriilor de observaţii luate după o perioadă de timp

prelungită, seriile repetate ale observaţiilor individuale ajută la stabilirea

tendinţei deformaţiei şi a modelului de deformaţie în timp. În analize, se separă

tendinţa deformaţiei cunoscute de impunerea deformaţiei investigate. De

exemplu pentru a face distincţie între dilatarea termică ciclică a structurii cu o

perioadă de oscilaţii de un an şi o deformaţie impusă cauzată de alte efecte, care

sunt de exemplu, liniare în timp, toate măsurătorile pot fi analizate printr-o

compensare a celor mai mici pătrate a funcţiei ciclice la obsevaţia dată:

y = a1 cos(ωt) + a2 sin(ωt) + a3 t +a4 +a5 δ(ti) +…, (3.54)

unde ω = 2π/an şi (a3) este viteza schimbării observaţiei (extindere, pantă,

înclinare). Amplitudinea şi faza sinusoidă poate fi obţinută din (a1) şi (a2). Constanta

(a4) este intersectia cu axa Y, iar constantele (a5,…) sunt greşeli posibile



(discontinuităţi) în seria datelor unde δ(ti) este simbolul lui Kronecker care este egal

cu 1 când t>ti , ti fiind timpul întâmplării greşelii, şi este egal cu zero când t< ti .

7) Procedee de modelarea deformaţiei: analiza deformării geometrice foloseste

metoda generalizată UNB, care este realizată în patru paşi:

a) Analiza tendinţei în domeniul spaţiu şi timp, şi selectarea câtorva modele

de deformaţii alternative, par să se potrivească tendinţei în sensul fizic.

b) Compensarea prin metoda celor mai mici pătrate a datelor observate şi

testarea statistică a modelelor.

c) Selectarea celui mai”bun” model care are cât mai putini coeficienţi posibili

cu o semnificaţie cât mai mare posibila (de preferinţă toţi coeficienţii să fie

semnificativi la probabilităţi mai mari de 95%) şi care dau cea mai mica

eroare.

d) Prezentarea grafică a deplasării.

Rezultatele analizei geometrice servesc la introducerea în interpretarea fizică şi în

dezvoltarea modelelor predefinite.

Pentru analiza în spaţiu şi timp, există în principiu două clase de modele:

- modelele testând identitatea sau congruenţa proprietăţilor geometrice ale unui obiect

care se referă la două sau mai multe epoci de timp, numite modele de congruenţă.

Ele privesc doar implicit factorul timp.

- modelele ce descriu doar deformaţia pe baza unei funcţii date sau asumate de timp,

(de exemplu:viteza, acceleraţia) sunt numite modele cinematice.

În principiu următoarele patru categorii de modele pot fi diferenţiate pentru evaluarea

deformaţiei (tabelul de mai jos):

Tabelul 3.3.1 – Ierarhia modelelor în analiza deformării geodezice

Modelele deformaţiei

Modele descriptive Modele cauză-răspuns

Modele congruente

Modele cinematice

Modele statice

Modele dinamice



1. Modele de congruenţă

Analiza deformărilor clasice constă într-o comparaţie geometrică pură a stării unui obiect

(reprezentat prin puncte concrete) la intervale diferite de timp. Modelul pentru analiza

deformării nu ia în considerare intervalele de timp între observaţii şi nici factorii responsabili

în mod explicit pentru deformaţii. Câteva informaţii despre presupusul comportament al

obiectului şi deformaţia în spaţiu şi timp trebuie să fie cunoscute pentru o organizare adecvată

a proiectului de verificare a deformaţiei.

Singurele date introduse în evaluarea modelului sunt observaţiile geodezice în timp ce datele

rezultate sunt coordonate x a punctelor caracteristice la un anumit timp.

Din 1960 identitatea sau congruenţa coordonatelor punctelor în legătură cu aşa numita epocă

nulă sau iniţială a fost investigată statistic. Procedura constă în formularea ipotezei nule care

constă în egalitatea coordonatelor cu cele iniţiale. Această ipoteză nulă este inclusă în ecuaţia

Gauss-Markov:

E(l) = Ax ; Ho : Hx = 0 (3.55)

Cov(l) = σo2Q = σo

2P-1 (3.56)

Aspectul crucial este testul statistic din aşa numita medie goală (test global de congruenţă-

care este tratat mai jos)

h

dQdddQ

TT

=

h = rK(Qdd) (3.57)

d – vectorul diferenţelor de coordonate

Qdd - matricea cofactorilor pe baza relaţiei probabilităţii

01,,20

2

IHFs

Qp fh α−≤

= 1-α (3.58)

Testul global detectează dacă există diferenţe semnificative între coordonate iar dacă există,

următorul pas este localizarea punctelor cauzative. Dacă este necesar, mişcările grupelor de

puncte pot fi generalizate prin mişcarea blocului rigid, sau analiza întinderii, sau în funcţie de

alte modele. Acest mod de analiză a deformaţiilor se referă atât la analiza deformaţiilor

rezultând modelul, cât şi la deformarea modelului. De aici analiza deformaţiei geometrice este

bazată pe ipoteza (3.55) de identificarea coordonatelor punctelor, modelul deformat fiind

numit model identic sau congruent.



2. Modele cinematice Intenţia modelelor cinematice este aceea de a găsi o descriere a

mişcărilor punctului, prin funcţia timp, fără a ţine cont de relaţia potenţială dintre forţele

cauzative.

Relaţia spaţiu – timp a coordonatelor x1 la epoca iniţială t1, comparativ cu coordonatele x2 la o

epocă t2 consecutivă, sunt descrise prin relaţia dependentă de timp:

( ) ( ) ...tx2

1txx...tt

dt

xd

2

1tt

dt

dxxx 2

1

2

122

2

1212 +∆+∆+=+−+−+=•••

(3.59)

unde •••xşix - reprezintă media vitezei şi acceleraţiei punctelor din intervalul de timp ∆t

parametri necunscuţi care trebuie estimaţi. Acesti parametri sunt relevanţi la analiza

procesului. Corespondenţa ecuaţiei observaţiilor liniarizate, se exprimă cu:

••

•

∧

⋅∆∆=+

x

x

x

ttvl TTT 2

2

1ααα (3.60)

Acest sistem reprezintă în general orientarea analizei regresiei. În extinderea de bază a

analizei, succesiunea algoritmilor de compensare sunt o unealtă matematică importantă a

Filtrelor Kalman, şi sunt capabile să utilizeze observaţii consecutive pentru modernizarea şi

estimarea stării prelucrării in timpul investigaţiilor.

3. Sisteme dinamice şi analiza deformaţiei avansate sunt – modele de deformaţie

sistematizate

Evaluarea modelelor avansate pentru analiza deformării nu iau in considerare doar schimbarea

geometriei unui obiect în spaţiu şi timp, ci mai degrabă arată factorii care influenţează

sistemul (forţe cauzative, sarcini externe şi interne) cauzând deformaţia. Ele privesc şi

proprietăţile fizice ale obiectelor (constante materiale, coeficienţi de extindere) care sunt

caracteristici şi responsabili pentru răspunsul obiectului la acţiunea forţelor.

Se pot enumera trei elemente care duc la un proces dinamic (sistem dinamic), pentru un

ansamblu cauză – efect, în funcţie de terminologia teoriei sistemului, conform figurii 3.3.1.1 :

- forţele care acţionează - ca semnal de intrare

- transmiterea prin obiect - ca proces de transfer

- răspunsul obiectului - ca semnal de ieşire



Figura 3.3.1.1 – deformaţia ca un element a sistemului dinamic [5]

În ultimii ani, ştiinţele inginereşti au stabilit o descriere matematică standardizată a

comportamentului temporar a sistemelor dinamice în funcţie de teoria sistemului şi sunt

caracterizate următoarele tipuri de sisteme dinamice:

• Sistem dinamic cauză – răspuns. Semnalele de intrare se modifică în timp depinzând

de procesul de adaptare al sistemului cu consecinţa că reacţia semnalelor de ieşire este

întârzâiată; în cazul general un sistem dinamic are o memorie. Cazurile speciale pot fi

deosebite în funcţie de factorul timp. Există două tipuri de sisteme dinamice:

a. sisteme dinamice ca şi reacţiunea în cazul general: deformaţiile ca semnale de

ieşire, sunt o funcţie de timp şi sarcini (variate) în care memoria sistemului este

bazată pe tendinţe.

b. sisteme statice, pot apărea ca un caz special de sisteme dinamice. Ele

reacţionează imediat (fără o memorie) la schimbarea forţelor cauzative, starea

nouă fiind una de echilibru. Deformaţiile sunt numai funcţie de sarcinile

schimbate.

• Sisteme autonome (libere) nu se referă la forţele ce acţionează ; astfel de sisteme pot fi

în mişcare. Există două tipuri de sisteme autonome:

a) sisteme cinematice: sunt în mişcare, mişcarea putând fi descrisă ca o funcţie de

timp;

b) sisteme mişcătoare întâmplător: sunt în mişcare dar mişcarea este întâmplătoare, o

funcţie de timp neputând fi stabilită apriori;

Modelarea unui proces dinamic ce implică elementele prezentate în figura 3.3, este mult mai

bine înţeleasă decât doar modelarea deformaţiei ca reacţie a obiectului în spaţiu şi timp şi este

prezentată în figura 3.3.1.2. Complexitatea modelării dinamice, face necesara cooperarea

interdisciplinară:

Semnal de intrare: forţe cauzative

Transmiterea prin obiect

Semnal de ieşire: deformaţia



Figura 3.3.1.2 – Modelare dinamică a construcţiei

De exemplu, sistemul tehnic „construcţie” este presat prin forţe interne şi externe sau

sarcini (ca traficul sarcinii, presiunea vântului, presiunea de sub apă, temperatură). Aşa

numitele cantităţi de intrare (semnale de intrare) trebuie să fie determinate prin măsurători.

Reacţia sistemului este deformaţia (ex. mişcările corpului rigid, întindere). În funcţie de

model (calculat, prognozat) trebuie să fie considerat atât sistemul cât şi semnalul de ieşire, cu

includerea adecvată în model a funcţiei de transfer. Parametrii care permit aceasta sunt în

special geometria construcţiei, parametrii materialului exprimând comportamentul preluat al

materialului. Dacă sunt cunoscute două elemente, – semnalul de intrare şi funcţia de transfer,

procesul dinamic poate fi modelat şi reacţia poate fi prevăzută cantitativ (cu ajutorul metodei

elementului finit sau printr-o altă metodă de calcul) acest tip de model dinamic este considerat

ca un model deterministic, mecanic sau calculat, în consecinţă propagarea erorilor ar putea fi

luată în considerare. Dacă adăugăm reacţia sistemului ca deformare determinată prin

măsurători, potenţialul modelelor dinamice devine evident, (modele integrate). Compararea

deformaţiei de aşteptat cu ceea observată poate dezvălui câteva abateri care sunt numite

„inovaţii”. Inovaţia este elementul de bază pentru tehnicile filtrelor Kalman. Figura 3.3.1.2

Măsurători

Determinare cantitativă a semnalelor de intrare

Determinare de : - întindere(strângere) - deplasări - alţi indicatori

Modelare

Semnale de intrare: - forţe interne - forţe externe

Obiect: - geometria obiectului - parametrii materialului - comportamentul materialului

Reacţia sistemului: - mişcările corpului rigid - distorsiuni

Abateri între reacţia sistemului măsurat şi calculat

-parametrii de etalonare -adaptarea modelului

-concluzii pe valori limitate -prognoza vieţii serviciului

Interpretare: - verificarea rezultatelor - validarea modelului

Metode de evaluare: - adaptive (potrivite) - probabilistice



accentuează componentele investigaţiei şi analizează procesul de modelare (teoretic),

interpretarea măsurătorilor a semnalelor de intrare şi ieşire, evaluarea relaţiilor funcţionale şi

stocastice, şi în final analiza găsită prin verificare şi validare. În acest fel modelul poate fi

etalonat şi procesul dinamic identificat.

Modelele dinamice sunt cele mai generale şi cele mai bine înţelese, deoarece descriu complet

realitatea sistemelor dinamice. Mişcările şi distorsiunile obiectului sunt considerate în funcţie

de sarcină şi timp, aceasta implicând faptul că forţa şi reacţia variază în timp. În contrast cu

situaţia statică, obiectul este permanent în mişcare. Verificarea unei astfel de situaţii, necesită

proceduri de observare automatizată în permanentă.

Modelele dinamice pot fi:

- parametrice

- non-parametrice

Al ţi termeni pentru modelele non-parametrice sunt modele statistice, modele experimentale

sau empirice, evaluarea conectată modelelor non-parametrice este de asemenea numită „acces

operaţional”. Există şi câteva modele dinamice parametrice fiind folosite pentru analiza

geodezică sau procesul dinamic, nu pentru aşa numitele situaţii multiple (intrări multiple –

ieşiri multiple MIMO). Aproape toate modelele dinamice aplicate la analiza deformaţiei sunt

non-parametrice.

În tabelul de mai jos , patru categorii de modele de deformaţii sunt caracterizate prin

capacitatea lor luând factorii „timp” şi „sarcină” în considerare.

Modelul

deformaţiei

Model

congruenţă

Model cinematic Model static Model dinamic

timp nemodelat mişcările ca o

funcţie de timp

nemodelat

acţiunea

forţelor

nemodelat nemodelat deplasări ca o funcţie

de sarcină

mişcările ca o

funcţie de timp

starea

obiectului

suficient în

echilibru

permanent în

mişcare

suficient în echilibru

sub sarcini

permanent în

mişcare

Tabelul 3.3.2.- Modele de deformaţii



Identificarea sistemului prin modele parametrice

In teroria sistemului, organizarea unei reprezentări corespunzătoare ale funcţiei de transfer

matematico-fizice a sistemului dinamic este numita identificarea sistemului. Identificarea

sistemului poate fi realizată dacă semnalele de intrare şi cele de ieşire sunt disponibile ca şi

cantităţi măsurate. Realizarea unui model pentru funcţia de transfer poate fi organizată.

Modele parametrice

Dacă relaţia fizică între semnalele de intrare şi ieşire (de exemplu procesul de transmitere sau

transfer a semnalelor prin obiect – sau în alte cuvinte – transmiterea semnalelor de intrare şi

ieşire) este presupusă cunoscută şi poate fi descrisă prin ecuaţii diferenţiale, atunci modelul

este numit model parametric (sau structural).

Ecuaţia fundamentală a oricărui sistem dinamic este ecuaţia diferenţială a elasticităţii

dinamice liniare:

)t(y

)t(x

)t(x

)t(x

MDK =••

• (3.61)

y(t) – sistemul introdus, acţiunile forţelor care poate fi completat cu zgomotul disturbator.

x(t) – şi derivatele lui – pentru a putea fi verificat (în înţeles geodezic) sistemul de ieşire;

matricile K, D şi M conţin în cazul unei aplicaţii mecanice parametrii materialului proiectaţi

pentru rigiditate, umiditate şi masă. Depinzând de problema actuală, punerea individuală a

parametrilor sau măsurătorilor pentru modele statice, în cazuri speciale, este aplicabil

modelului dinamic:

k x(t) = y(t) (3.62)

Sistemele statice sunt caracterizate de capturarea unei noi stări de echilibru după preluarea

unei sarcini cu y(t) = const.

Cazul x(t) = const (8) este de interes special, cuprinzâd modele de identitate şi congruenţă.

4. Modele statice:

Modelele statice descriu relaţia fundamentală între presiune şi întindere. Presiunea este

cauzată de sarcini sau acţiunea forţelor pe obiect, rezultând întinderea acestuia. În acest caz

factorul timp nu este considerat explicit în modele statice, obiectul trebuind să fie suficient

timp în echilibru în amândouă epocile de observare exemplu înainte şi după ce presiunea a

fost crescută pe obiect . Dacă obiectul să apare mai puţin în mişcare în timpul observaţie, se

poate considera cu suficientă preciziei în echilibru. Mişcările şi distorsiunile obiectului sunt

considerate ca funcţie numai de sarcină dar nu şi de timp. Pentru modele statice, structura



fizică şi geometrică, parametrii materialului şi alte cantităţi caracteristice ale obiectului

trebuie să fie cunoscute şi formulate în funcţie de ecuaţiile diferenţiale, exprimând relaţia

presiune – întindere a obiectului. Aceste cerinţe conduc la alt termen ce caracterizează

modelele statice: modelele statice sunt parametrice, modele structurate sau deterministice.

Al ţi termeni utilizaţi sunt: stări sau modele teoretice, evaluarea conectării modelelor numită

„model acces”. Modelele statice sunt aplicate frecvent, testarea capacitatii sarcinii de pe

construcţii ca poduri, pile etc.

Modelele statice sunt cele mai larg aplicate în producţie şi descriu relaţia fundamentală între

presiune şi întindere.

În faza incipientă de analiză a deformaţiilor aceste modele permiteau compararea a două etape

de măsurători, cu timpul permiţând prelucrarea şi compararea mai multor etape de măsurători

[33].

Testul global de congruenţă

În principiu comparăm coordonatele punctelor reţelei măsurate la etape diferite, dacă acestea

formează sau nu figuri congruente. Diferenţa dintre parametrii determinaţi pentru punctele

reţelei trebuie să se încadreze într-o limită de siguranţă care este funcţie de abaterea medie

pătratică (abaterea standard empirică).

Dacă nu se încadrează în limitele de siguranţă, testul indică prezenţa deformaţiilor în reţea.

Stabilim modelul funcţional:

Unde XI - vector al parametrilor (corecţii pentru coordonatele provizorii)

Modelul stocastic:

Σ li = σo2Qli ; pi = Qli

-1 (3.64)

Σ li – matricea de varianţă - covarianţă

σo – abaterea standard teoretică

Qli- matricea de cofactori

Modelul este supus condiţiei VTPV= minim

)63.3(ˆiiii XAvl ⋅=+

)66.3(;0

02

;0

0

)65.3(;ˆ

ˆ

0

0

22

11200

22

11

2

1

22

11

2

1

2

1

⋅==Σ

=

⋅

=

+

Q

QQl

p

pP

X

XA

A

v

v

l

l

lσσ



Prelucrarea comună a celor două epoci

Condiţiile pentru ca testul de congruenţă să localizeze posibile deformaţii,sunt:

- pentru ambele etape trebuie introduse aceleaşi coordonate provizorii (pentru a face

referire la aceleaşi mărimi – datum)

- în ambele etape trebuie să avem acelaşi defect pentru datele de referinţă (datum) – de

regulă modelul de prelucrare este cel de la reţele libere.

Pentru a localiza reţeaua într-un sistem de axe avem nevoie de:

a) două puncte de coordonate cunoscute- reţea neconstrânsă

b) trei puncte de coordonate cunoscute - reţea constrânsă

c) pentru studiul deformaţiilor se folosesc reţele libere:

- configuraţiile reţelelor în ambele etape trebuie să fie aceleaşi

- abaterea standard teoretică σo2 să fie aceeasi pentru ambele etape de măsurători. După

compensare se face comparaţia acesteia cu σ0 empiric. Pentru aceasta se scrie ipoteza de

zero:

Ho : Es201 ≡Es2

02=σo2 (3.67)

Es201 – valoarea de aşteptat a lui s201 (abaterea standard empirică) din prima etapă de

măsurători

σo2 – abaterea standard teoretică (admisă de noi)

Apoi aplicăm testul F

α−1,f,f2

02

2

01

12F

s

sf - σo

2 – nu este identică (3.68)

Algoritmul de compensare:

Dacă ATPA este singulară – avem defect în datum

Qx – se poate determina (ATPA)+ metoda Moore – Penrose sau folosind matricea inversă

generalizată. Alte mărimi pregătite pentru testul de congruenţă:

Ω = Ω1 + Ω2 = V1TP1V1 + V2

TP2V2 - rezultă abaterea standard empirică din cele două etape

de măsurători

α−≤ 1,t,t2

02

2

01

21F

s

s

)69.3(

ˆ

)()(ˆ

20

20

1

1111

1111

dunfundef

pvvs

Qs

nQX

lPAAPAX

T

x

x

TT

+−==

⋅=Σ

⋅=

⋅= −



f=f1+f2 – numărul gradelor de libertate

s02 = Ω/f – varianţa empirică comună celor două etape de măsurători

Se observă că: Qx = N-1 = (AiTPiA I)

-1

Qx - se poate determina utilizând matricea inversă generalizată sau

pseudoinversa după metoda Moore-Penrose.

Pentru testul de congruenţă mai trebuiesc considerate:

- Varianţa (abaterea) standard empirică a celor două etape de măsurători:

s02 = Ω/f ; (3.70)

Ω = Ω1 + Ω2 = V1TP1V1 + V2

TP2V2 ; f = f1 + f2

Pentru aplicarea oricărui test statistic trebuie în prealabil stabilite ipoteze. O astfel de ipoteză

are forma: B X = W (3.71)

unde X – vector al parametrilor

B – matrice care explică funcţia

W – vector al discrepanţelor

Ipoteza de zero pentru testul de congruenţă se poate scrie:

EX1≡EX 2

Unde EX2 – valoarea de aşteptare a parametrilor X în etapa 2, sau scrisă altfel:

EX1-EX 2=0

Pentru a aprecia modificarea valorii Ω se formulează această ipoteză liniară.

Putem scrie că ΩH = Ω+R,

unde Ω este suma pătratelor erorilor VTPV iniţiale

ΩH – suma pătratelor erorilor influienţate de ipoteza liniară

R - influenţa ipotezei liniare stabilite

Evaluarea lui R este dată după relaţia generală:

R = (B X –W)T (B (AT P A)+ BT)+ (B X-W) (3.73)

Qdd = (A1TP1A1)

++ (A2TP2A2)

+ (3.75)

Qdd – se poate calcula numai dacă se respectă condiţia cu privire la configuraţia reţelei în cele

două etape de observaţii

[ ] )72.3(0ˆ

ˆ

2

1

=

⋅−X

X

II LM

( ) ( ) ( ) ( )12

1222211112

ˆˆ:

)74.3(ˆˆˆˆ

XXdNotãm

XXAPAAPAXXR TTT

−=

−

+−=

+++



Rezultă: R = dTQ+ddd

se notează: h- rangul matricei Q+dd

h = r(Q+dd)

Dacă defectul este acelaşi în ambele etape de măsurători, atunci se poate scrie ecuaţia:

h = r(Qx1) = r(Qx2); h = n-d; d – defectul în datele de referinţă

Mărimea test

Are o distribuţie statistică în conformitate cu distribuţia Fisher

Mărimea F a fost introdusă de Pelzer în 1971, observând că aceasta are o distribuţie Fisher.

Testul de calitate stabilit cu distribuţia Fisher având h grade de libertate la numitor şi f grade

de libertate la numărător, satisface ipoteza Ho dacă este îndeplinită relaţia de probabilitate:

PF > Fh,f,1-α Ho = α

Decizia testului:

F ≤ Fh,f,1-α – Ho este adevărată şi deci EX1=EX 2 deci nu avem deformaţii

F > Fh,f,1-α - Ho nu este adevărată şi deci EX1≠EX 2 deci în reţea au apărut deformaţii.

α = 0,05

Observaţii:

- decizia stabilită în urma aplicării testului este adevărată cu o probabilitate 1- α (o

hotărâre luată având certitudinea 100% nu este posibilă)

- testul global de congruenţă pune în evidenţă faptul că cele două reţele nu sunt

congruente, deci au apărut deformaţii, dar nu specifică unde au apărut aceste deformaţii

(nu permite localizarea lor);

Prelucrarea a două epoci cu ipoteza zero implicită

hs

R2

0 ⋅

)76.3(; 202

0 ff

VPVs

hs

RF

T Ω==⋅

=

)77.3(h

f

VPV

dQd

h

fR

hf

RF

Tdd

T

⋅=⋅Ω

=⋅Ω

=+

)78.3(ˆ22

11

2

1

2

1HX

A

A

v

v

l

l⋅

=

+



Modelul funcţional:

Se estimează că în comun vectorul de coordonate XH pentru cele două epoci.

În acest caz: l+v = A XH ipoteza EX1=EX 2 este inclusă în modelul funcţional astfel

stabilit.

Rezultă:

R = ΩH - Ω1 - Ω2; H = u – d;

Se calculează so2 ca la celălalt model; urmând faza de testare.

Avantaj: dacă nu avem aceeaşi configuraţie a reţelelor se poate introduce acest lucru direct

din ipoteza de zero de mai sus. Acesta este posibila prin stabilirea vectorul XH numai pentru

punctele comune celor două etape plus acele coordonate pentru punctele observate numai în

etapa 1 sau numai în etapa 2.

A. Testul global de congruenţă când configuraţiile sunt diferite

Se cunosc două metode pentru rezolvarea acestei probleme:

1. Se compensează independent reţeaua în cele două etape de măsurători, dar sunt folosite

numai informaţiile referitoare la punctele comune.

a) minimizarea totală a urmei matricei numai pentru punctele identice.

Pentru fiecare epocă este în general singulară şi nu poate fi calculată inversa N-1

Determinarea parametrilor poate avea loc folosind pseudoinversa N+ cu ajutorul matricei G

care se foloseste astfel:

pentru configuraţii identice

sau pentru configuraţii diferite,

B = E G (3.82)

)ˆ()ˆ( HT

HH XAlpXAl −⋅⋅−=Ω

)79.3()(ˆ 1 lpAApAX TT ⋅= −

)80.3(0)(

)(0 1

11

=

−

−+−

TT

T

TGGG

GGGN

G

GN

)81.3(0)(

)(0 1

11

=

−

−+−

TT

T

TGBG

GBGN

B

BN



E – matrice de selecţie

b) minimalizarea parţială a urmei matricii cofactorilor: şi în acest caz se introduce tot

matricea G, condiţia pentru introducerea ei fiind N G = 0

La această condiţie se mai adaugă:

- Analiza spectrală:

- vectorii proprii: matricea G cuprinde vectorii proprii care au valoarea proprie zero

- valori proprii

- Altă condiţie: GT X = 0 este o condiţie suplimentară cunoscută sub numele

“transformare Helmert”

2. Când configuraţiile nu sunt identice putem face compensări libere folosind toate punctele

şi măsurătorile din epoci diferite (avem datum diferit în cele două epoci).

Din prelucrări rezultă: X1 Qx1 respectiv X2 Qx2. Aducerea la acelaşi datum se face

utilizând “transformarea S”, astfel:

Unde Sn = I-G (GTEnG)-1GTEn

Observaţii:

- trebuie alese date de referinţă comune

- dacă se cunosc la o reţea liberă prelucrată, doar rezultatele, nu şi datumul, transformarea

S ne ajută să facem o comparare a rezultatelor

Determinarea elementelor necesare testului global de congruenţă:

=

O

1

1

1

0

0

0

E

)83.3(;ˆˆ

;ˆˆ

2222

1111

T

T

n

X

nn

X

nn

n

X

nn

X

nn

SQSQXSX

SQSQXSX

==

==

=

0

10

0

1

01

0

nE



X1nn – subvector care conţine punctele comune

X1n - subvector care conţine puncte noi sau cele care au dispărut

Sub ipoteza zero Ho: EX1nn ≡ EX 2n

n (3.85)

dn = X2nn – X1n

n

Qddn = Qx1n

n – Qx2nn

Rezultatele ce se obţin trebuie să fie aceleaşi ca la minimizarea parţială a urmei matricei

cofactorilor.

Localizarea deformaţiilor

Testul global de congruenţă pune în evidenţă faptul că în intervalul de timp analizat au apărut

deformaţii f ără a indica anume punctele care sunt deplasate, contribuind astfel la

nonconcordanţa reţelelor. Există mai multe posibilităţi de localizare a deformaţiilor.

A. Folosirea testului T (Student):

Se testează fiecare parametru în parte:

dj = X2j – X1j ; j = 1,2,…, n (3.86)

sj = so√Qjj

unde: sj – abaterea standard corespunzătoare mărimilor dj calculate mai sus

so – abaterea standard empirică calculată pentru modelul de deformaţie

j - numărul total de parametri cuprinşi în vectorul care-l analizăm

Qdd+ - matricea cofactorilor deformaţiilor

În continuare se procedează la calculul testului de calitate t:

tj = dj/sj; j = 1,2,…,n

testul se execută de n ori

)84.3(...

...;

...

...;

1

1

22

2

22

11

11

=

=

=

=

n

nn

xn

nNn

n

nxn

xn

nNn

QQ

X

XX

QQ

X

XX

=+

nn

jj

d

d

d

d

dd

q

q

q

q

Q

O

O

22

11



sub ipoteza Ho : Edj =0

Se recomandă ca : dacă deformaţia este mai mică decât abaterea standard empirică so, testul

să nu se facă.

Pt1 ≤t lim ٨ t2 ≤ tlim٨…٨tn< tlim | Ho = 1 – α. Marja de siguranţă este de 98%, α – coeficient

de risc (posibilitatea de a comite erori). = 5%. Deoarece toate cele n mărimi nu sunt

stocastic independente, ele provenind din compensări, ar trebui calculat din punct de vedere

statistic un nou coeficient de risc ά din relaţia (1- ά) = 1-α. În practică se aproximează ά cu

ά = α/n

Sub Ho : tlim = tf, 1-ά unde f- numărul gradelor de libertate al modelului de deformaţie

Testul de decizie: tj ≤ tf, 1-ά rezultă că Ho este adevărată Edk= 0 – valoarea de aşteptare

pentru dj poate fi considerată ca fiind zero

tj > tf, 1-ά – rezultă Ho nu este adevărată

Edk≠ 0, Xj este o coordonată unde au apărut deformaţii

Observaţii:

- pentru ά nu se găsesc tabele cu distribuţia t dar pot fi programate uşor

- în acest test sub ipoteza Ho trebuie să folosim numai puncte stabile, dar nu toate

îndeplinesc această condiţie

- testul nu ţine seama de corelaţiile care apar qdjj rezultând că el elimină corelaţiile

Testul multiplu F

În acest caz este testat fiecare punct corespondent al vectorului d.

Pentru o reţea cu două dimensiuni, elementele vectorului d sunt aranjate astfel:

sunt puse în evidenţă deformaţiile pe direcţiile X şi Y pentru punctul k, k = 1,2,…,n/2

rezultă elementele din matricea de cofactori pentru punctul k

această matrice este plină, nu are elemente nule.

)87.3(

=M

yk

xk

k d

d

d

)88.3(

=

kkkk

kkkk

yyxy

yxxx

k qq

qqQ

)89.3(...

...

2

2

1

=

n

kdd

Q

Q

Q

Q

Q

O

O



Pentru fiecare punct în parte se calculează valoarea testului:

Mărimea Fk are o distribuţie Fisher, so2 – provine din cele două cicluri, iar 2 – reprezintă

dimensiunea reţelei.

Sub ipoteza Ho : Edk= 0 pentru orice k

PF1 ≤F lim ٨ F2 ≤ Flim٨…٨Fn< Flim | Ho = 1 – α.; Flim = F2, f, 1-ά cu ά = 2α/4

f- reprezintă numărul punctelor introduse în vectorul dk

Testul de decizie:

Fk ≤ F2, f, 1-ά , rezultă Ho este adevărată

Edk= 0 în punctul k nu au survenit deplasări

Fk > F2, f, 1-ά, rezultă Ho este falsă; Edk≠ 0 acest punct a suferit deformaţii

Observaţii:

- calcularea lui α este destul de dificilă

- testul dă rezultate bune când avem multe puncte stabile

- testul ia în considerare coordonatele unui punct, dar nu ţine seama de corelaţiile care

apar între puncte

- testul oferă informaţii referitoare la punct şi nu la coordonate

- se poate testa concomitent un grup de puncte din reţea

Metode de localizare pe baza discrepanţelor maxime

Vectorul d se divide în:

ds – puncte stabile

dm – puncte mobile

Asemănător şi matricea cofactorilor Qdd+

Fiecare punct intră pe rând în dm. Deoarece nu putem folosi valorile brute pentru dm şi Pss aşa

cum rezultă ele din partiţionarea vectorului d, respectiv a matricei Qdd+ va trebui să calculăm

valorile:

)90.3(2 2

0

1

s

dQdF kk

Tk

k⋅⋅=

−

)91.3(

=

m

s

d

dd

)92.3(

==+

mmms

smssdddd pP

PPPQ



Valorile de mai sus rezultă prin aplicarea metodei eliminărilor Gauss.

În cazul unei reţele planimetrice totdeauna dimensiunea vectorului dm va fi egală cu 2 şi:

R- este contributul ipotezei făcute de noi, asupra erorilor medii pătratice

Punctul pentru care se găseste Ri max se consideră că s-a deplasat. De aici şi denumirea

metodei de discrepanţe maxime.

Localizarea constă în aflarea punctului cu Rmax. Se pune întrebarea dacă nu cumva mai sunt şi

alte puncte care au suferit deformaţii.

După eliminarea punctului pentru care s-a găsit Ri max, dacă se reface testul global de

congruenţă, vom găsi Ho adevărat sau nu.. aceasta se poate face numai în urma unei

transformări S, adică:

di = Si d; Qddi = Si Qdd SiT (3.96)

di – vectorul datelor care nu conţine informaţii despre punctul deplasat

d – vectorul deformaţiilor în datumul vechi:

Si = I – G(GTEIG)-1 GT EI (3.97)

Ei – matricea de selecţie

Acum di se poate partiţiona din nou în puncte stabile şi mobile:

msmmssss

ssmmmmm

PPPP

dPPdd

⋅⋅=

⋅⋅+=−

−

1

1 )93.3(

)94.3(mmmTmsss

Tsdd

Tm dPddPddPdR ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=

)95.3(2/,...,2,1; nidPdR mmmTmi =

⋅⋅=

)98.3(

1

1

00

0

1

01

1

1

=

O

iE



Continuând testul vom avea:

Unde: dSi – vector din care au fost extrase informaţiile despre punctele mobile, acesta fiind

compus din punct de vedere matematic din elemente stabile.

hi – numărul nou al gradelor de libertate

h – numărul gradelor de libertate înainte de aplicarea testului global de congruenţă;

m – numărul parametrilor incluşi în vectorul dm (reţea planimetrică, m = 2 la eliminarea

unui singur punct)

Statistica se calculează ca şi înainte:

Această statistică are o distribuţie Fisher. Testul global de congruenţă pentru punctele

cuprinse în dSi este supus unei relaţii de probabilitate:

Dacă Fi > Flim rezultă că trebuie făcut un nou test de localizare şi problema devine reiterativă

(o altă transformare S).

În final trebuie făcută o transformare S a datumului pentru punctele stabile şi va rezulta:

- vectorul dmi cu toate punctele mobile (conţine deformaţiile reale)

- vectorul dsi cu toate punctele stabile

Observaţii:

- toate informaţiile privind corelaţiile sunt cuprinse în matricea Qdd (la primele două

metode acest lucru nu era valabil)

- nu avem nevoie de informaţii apriori despre stabilitatea sau mobilitatea punctelor

(modelul le depistează singur)

- metoda este riguroasă din punct de vedere matematic

- se poate porni de la configuraţii care nu sunt identice.

)99.3(

=

=

ii

ii

i

i

mmms

smss

dd

m

si

QQ

QQQ

d

dd

mhh

dQdR

i

SSS

TSSi iii

−=

⋅⋅= + )100.3(

)101.3(20 i

i

hs

RF

⋅=

)102.3(101,,20

αα −=

⋅= − HF

hs

RFP fh

i

if



Localizarea deformaţiilor cu ajutorul Transform ării S

Este considerat ca fiind cel mai bun algoritm

Vectorul d este partiţionat astfel:

dSi – subvector ce conţine puncte stabile

dmi – subvector ce conţine puncte mobile

QSiSi – matricea cofactorilor corespunzătoare punctelor stabile

Qmimi - matricea cofactorilor corespunzătoare punctelor mobile

Vectorul dSi – conţine punctele stabile considerând că un singur punct este mobil. Fiecare

punct din reţea va fi pus în situaţia de-a fi considerat mobil astfel că vom avea atâţia dI câte

puncte avem în reţea.

Pentru o reţea planimetrică cu u puncte calculele de mai sus se vor repeta de u/2 ori. De

fiecare dată se va calcula contributul:

Se consideră că punctul pentru care se găseste Rsi = minim s-a mişcat

RSi – influienţa ipotezei asupra punctelor fixe.

Prin efectuarea transformării S, încă de la început şi de fiecare dată, s-a scos din calcule

influenţa punctului mobil. După eliminarea punctului mobil se reface testul global de

congruenţă şi dacă este cazul se reface testarea prin intermediul transformării S.

Observaţii:

- toate informaţiile privind corelaţiile sunt cuprinse în matricea Qdd;

- nu e nevoie să avem informaţii apriorice despre situaţia punctelor, modelul le depistează

singur

- când nu avem configuraţii identice se fac compensări prin metoda reţelelor libere pentru

ambele configuraţii, în care intră atât punctele comune cât şi cele necomune. Apoi se

face o transformare S a vectorilor parametrilor X1 şi X2 respectiv a matricei cofactorilor

Qx1x1 şi Qx2x2 într-un datum comun celor două etape.

Abia după acest pas (acum avem un datum comun) se trece la analiza deformaţiilor,

respectând algoritmul pentru punctele din acelaşi datum.

)103.3(Tississ

siS

sQsQ

dsd

ii

i

=

⋅=

)104.3(;

=

=

iiii

iiii

i

i

i

mmms

msssdd

m

si QQ

QQQ

d

dd

)105.3(2/,...,2,1; uidQdRiiiii sss

Tss == +

)106.3(;

=

=

nnnsns

mnmmms

snsmss

xx

n

m

s

j

i

QQQ

QQQ

QQQ

Q

x

x

x

Xji



Această subîmpărţire este exprimată matematic astfel:

Xn – subvector ce conţine parametrii punctelor neidentice între cele două configuraţii

Xm – puncte mobile

Xs – puncte stabile

Transformăm vectorul parametrilor XS1 şi XS2 în acelaşi datum XSi şi formăm vectorul

deformaţiilor dSi urmând ca acesta să fie testat conform algoritmului.

La fel se procedăm şi cu matricea cofactorilor din cele două etape – se transformă Qx1x1 şi

Qx2x2 pentru acelaşi datum şi după aceea formăm matricea cofactorilor deformaţiilor Qddxi

pentru datumul stabilit.

Concluzii:

- în cazul configuraţiilor neidentice, metoda pentru localizare, folosind transformarea S

conduce cel mai rapid la soluţii optime

- în ansamblu trebuie să calculăm pe Rsi, modul cum se ajunge la Rsi diferă de la o metodă

la alta.

III.3.2 Interpretare fizic ă - care constă din:

III.3.2 .a Interpretare statistică.

Metoda statistică stabileşte un model empiric a relaţiei sarcină-deformare prin analiza

regresiei, care determină corelaţii între deformaţiile şi sarcinile observate (cauze interne şi

externe care produc deformaţia). Folosind acest model, deformaţia prognozată poate fi

obţinută din măsurarea cantităţilor cauzative. Un acord între prognoze şi măsurători, prezice

o comportare a corpul deformabil ca în etapa anterioară. Altfel, motivele trebuie depistate şi

modelul trebuie redefinit.

Interpretarea prin metoda statistică necesită un număr minim de observaţii, atât din

punct de vedere al cauzelor cât şi al efectelor. Fie d(t) deformaţia observată pe un punct obiect

la timpul t, de exemplu, pentru un baraj din beton aceasta poate fi descompusă în trei

componente:

d(t) = dH(t) +dT(t) +dr(t) (3.107)

unde dH(t), dT(t), dr(t) reprezintă: componenta presiunii hidrostatice, componenta

termică şi respectiv componenta ireversibilă datorită comportamentului non-liniar al

barajului. Componenta dH(t) este o funcţie de nivelul apei în lac, şi poate fi modelată

printr-o funcţie polinomială simplă:

dH(t) = a0 + a1H(t) + a2H(t)2 + … +amH(t)m (3.108)



unde H(t) înălţimea apei în lac. Componenta dT(t) poate fi modelată în diferite moduri

depinzând de informaţia existentă. Dacă sunt măsurate în baraj câteva temperaturi

cheie Ti(t), pentru i= 1,2,…,k, atunci:

dT(t) = b1T1(t) + b2T2(t) +…+ bkTK(t) (3.109)

Dacă se ţine cont de temperatura aerului, se ia in considerare răspunsul întârzâiat la

barajele din beton la schimbarea în temperatura aerului. Dacă nu este măsurată

temperatura, componenta termică poate fi modelată printr-o funcţie trigonometrică.

Componenta ireversibilă dr(t) provine dintr-un fenomen non-elastic cum este

mişcarea betonului sau mişcarea rocilor. Comportamentul dependenţei de timp se

schimbă în funcţie de obiect şi poate fi modelat, de exemplu cu o funcţie exponenţială.

Următoarea funcţie este utilizată pentru barajele din beton:

dr(t) = c1t + c2ln(t) (3.110)

Coeficienţii ai, bi, ci sunt determinaţii folosind analiza regresiei aplicând metoda

celor mai mici pătrate. Modelul final sugerează comportamentul rezultat, în funcţie de

diferiţi factori cauzativi şi este folosit pentru predicţie.

Pentru baraje de pământ, efectul termic este o componentă ireversibilă devenind

dominant. Trebuie menţionat că metoda statistică pentru interpretare fizică nu este

aplicată numai la deplasările observate, ci şi la orice alte verificări cantitative, cum

sunt forţa, presiunea apei, înclinarea fundaţiei, etc. Diferenţa este că răspunsul funcţiei

se poate schimba pentru fiecare cantitate cauzativă.

III.3.2 .b Interpretare deterministică

Metoda deterministică furnizează informaţii despre deformaţia aşteptată utilizănd

informaţia acţiunii forţelor (sarcini), proprietăţile materialelor şi legile fizicii ce guvernează

relaţia forţei de întindere. Deformaţia pe un obiect va fi dezvoltată dacă este aplicată asupra sa

o forţă exterioară. Forţele exterioare pot fi de două tipuri: forţele de suprafaţă de exemplu

forţele distribuite pe suprafaţa corpului şi forţele corpului, care sunt distribuite pe volumul

corpului, astfel de forţe fiind forţele gravitaţionale şi presiunea apei din acumulare. Dacă d

este vectorul deplasării unui punct şi f este acţiunea forţei, ele sunt scrise ca:

LTDLd + f = 0 (3.111)

Unde D este matricea constitutivă (înfinţată) a materialului ale cărei elemente sunt

funcţii ale proprietăţilor materialului (exemple modulul lui Young şi raportul lui Poisson) şi L

este un operator diferenţial transformând deplasarea în întindere. Dacă există întinderea

iniţială ε0 şi presiunea iniţială σ0, ecuaţia de mai sus devine:



LTDLd + (LTσ0 - LTDσ0) + f = 0 (3.112)

În principiu, când sunt date condiţiile limit ă, chiar sub formă de deplasări sau sub

forma acţiunii forţelor şi forţele corpului sunt prescrise, ecuaţia diferenţială poate fi rezolvată.

Soluţia directă poate fi dificil de obţinut şi sunt folosite metodele numerice ca metoda

elementelor finite.

Conceptul de bază al metodei elementului finit consta în înlocuirea corpului continuu

printr-un ansamblu de elemente mici care sunt conectate numai la nodurile elementelor. În

interiorul fiecărui element a fost presupusă o funcţie a deplasării (functia formă) şi este aplicat

principiul potenţialului minim de exemplu diferenţa dintre munca făcută prin acţiunea forţelor

şi deformaţia energiei este minimă. De aceea, operatorul diferenţial L este aproximat printr-un

operator algebric liniar. În prezent există numeroase pachete de programe pentru metoda

elementului finit.

În modelarea deterministică a deformaţiei barajului, barajul şi fundaţia lui sunt subîmpărţite

într-o reţea de elemente finite. Componenta termică (dT) şi componenta presiunii hidrostatice

(dH) sunt calculate separat. Presupunând câteva nivele de apă discrete în lac, sunt calculate

corespondenţele deplasărilor punctelor de interes. O funcţie polinomială a deplasării în

funcţie de nivelul apei este obţinută prin potrivirea (compensarea) celor mai mici pătrate cu

metoda elementului finit calculând deplasările punctelor discrete. Apoi deplasările la orice

nivel al apei pot fi calculate prin funcţia deplasării. La calculul componentelor termice,

trebuie rezolvată în prealabil distribuţia temperaturii în interiorul structurii, putându-se folosi

şi în acest caz metoda elementului finit.

III. 3. Metoda elementelor finite

Metoda elementelor finite [44] (MEF) este o metodă generală de rezolvare

aproximativă a ecuaţiilor diferenţiale cu derivate parţiale care descriu sau nu fenomene fizice.

Principial MEF constă în descompunerea domeniului de analiză în porţiuni de formă

geometrică simplă, analiza acestora şi recompunerea domeniului respectând anumite cerinţe

matematice.

Din punct de vedere al domeniilor de aplicaţie metoda poate fi extinsă în orice domeniu de

activitate care descrie un fenomen cu ajutorul unor ecuaţii diferenţiale. Până în prezent

metoda s-a dezvoltat în mod deosebit în domenii ca: analiza structurală; analiza termică;

analiza fluidelor; analiza electrică; analiza magnetică, dar şi în analiza fenomenelor complexe

interdisciplinare cum ar fi: analiza termoelastică, analiza cuplată termic şi structural, analiza

interacţiunii fluid-solid; analiza electro-magnetică; analiza piezoelectrică şi altele.



Programul de calcul folosit pentru analiza problemei nu rezolvă structura reală, ci doar un

model al ei . Modelarea este o activitate de simplificare a structurii prin încadrarea diverselor

porţiuni ale structurii în categoria barelor, plăcilor, blocurilor, prin simplificarea încărcărilor

şi a rezemărilor etc. Modelarea corectă (cât mai aproape de realitate) ţine de experienţă,

inspiraţie şi nu mai puţin de cunoaşterea bazelor teoretice ale metodei. De regulă un model se

dezvoltă funcţie de scopul analizei.

Fiecare program cu elemente finite prezintă particularităti care trebuie învăţate dar există o

serie de reguli de bază ale metodei care odată stăpânite permite abordarea oricărui program cu

elemente finite.

Indiferent de metoda abordată, analiza unei structuri reale prezintă câteva etape esenţiale:

- structura reală se identifică, prin folosirea unor ipoteze simplificatoare, cu un model fizic

primar, numit "model conceptual";

- modelul primar serveşte la formularea unui "model matematic", adică la un set de ecuaţii

care urmează a fi rezolvate;

- rezultatele obţinute sunt interpretate şi dacă există motive întemeiate acestea pot fi validate.

Astfel seria celor două modele conceptual şi matematic pot fi folosite şi pentru alte probleme

similare.

Pentru a rezolva problema cu MEF, domeniul de analiză (sau volumul structurii) notat V,

rezolvat cu metoda elementului finit, se împarte într-un număr NE de subdomenii sau

fragmente (porţiuni de formă geometrică relativ simplă, fiecare de volum Ve) numite elemente

finite. Deoarece elementele finite nu se intersectează între ele se poate scrie că ∑=

=NE

e

eVV1

.

Fiecare element finit se numerotează (este identificat printr-un număr), de obicei de la 1 la

numărul total de elemente finite NE. Raportarea la un element oarecare se face de obicei

printr-un indice superior ("e" pentru un element oarecare).

Elementele finite se pun în evidenţă (geometric) prin intermediul unor puncte, de exemplu

colţurile triunghiului, dacă elementul finit are forma unui triunghi. Aceste puncte poartă

denumirea de noduri. Elementele finite "se leagă" (interacţionează) între ele prin intermediul

nodurilor comune, astfel că în domeniul de analiză există un număr finit de noduri. Similar

elementelor, nodurile se numerotează, de obicei, de la 1 la numărul total de noduri NN.

Operaţia de împărţire a unui domeniu în noduri şi elemente finite de un singur tip sau chiar

mai multe tipuri, precum şi numerotarea acestora, adică atribuirea unor numere de

identificare, poartă denumirea de discretizare (Fig. 3.3.1). Discretizarea nu este unică, în

general ea se realizează astfel încât să răspundă unor cerinţe practice.



elemente finite

5 2511

2 626

i23 UXUX

UY 274

3

56 grade de libertate

4noduri

Fig. 3.3.1: Discretizarea domeniului de analiză

Fiecare nod din domeniul de analiză are o deplasare posibilă pe orizontală-axa OX şi

una pe verticală-axa OY, se poate spune că există doi parametri independenţi care definesc

unic deplasarea unui nod în plan. Aceşti parametri poartă denumirea de grade de libertate

ataşate nodului. De obicei, gradele de libertate ale tuturor nodurilor definite reprezintă

necunoscutele primare ale problemei în MEF, în exemplul de faţă, gradele de libertate nodate

UX şi UY definesc deplasarea "posibilă" a unui nod oarecare.

Pentru unele noduri (1, 2, 3 şi 4 punctele fiind încastrate), deplasările sunt nule, deci în aceste

puncte gradele de libertate se definesc "potenţial", ele nu reprezintă necunoscute. Numărul

total de grade de libertate al problemei N se obţine prin însumarea gradelor de libertate active

ale tuturor nodurilor. Prin grade de libertate active se înţeleg acele grade de libertate care

definesc o deplasare necunoscută.

Un domeniu continuu cu un număr infinit de grade de libertate este transpus într-un model

discret cu N grade de libertate, necunoscutele problemei se limitează funcţie de discretizare.

Deoarece analiza cu elemente finite este dependentă de implementarea unor programe de

calcul, mărimile cu care aceasta lucrează sunt de regulă vectori şi matrice.



Figura 3.3.2: : : : Gradele de libertate şi forţele nodale pentru un element oarecare e Pentru toată structura se defineşte vectorul deplasărilor nodale totale sau al structurii

U=[UX,1 Uy,1 Ux,2 Uy,2 ... Uxnn Uynn T , (3.113)

şi vectorul forţelor nodale exterioare

F=[FX,1 Fy,1 Fx,2 Fy,2 ... Fxnn FynnT (3.114)

Se consideră un element oarecare e din discretizarea precedentă (figura 3.2.2), pentru care

cele trei noduri se notează cu /, J şi K. Se defineşte vectorul deplasărilor nodale al elementului, de

fapt al tipului de element finit triunghiular

U e=U X I Uy I UxJ UyJ UXK UyK T, (3.115)

care, din condiţii de continuitate, este un subset al vectorului definit de relaţia (3.113), şi

vectorul forţelor nodale al elementului

F e= eXIF e

YIF eXJF e

YJF eXKF e

YKF T (3.116)

între care se poate obţine relaţia matriceală

F e = [K e]U e ,e=1,2,.. .,NE, (3.117)

similară relaţiei de echilibru a unui sistem elastic (arc) cu un grad de libertate F=/cx. Matricea

pătratică [K e] poartă denumirea de matricea de rigiditate a elementului finit. . Aceasta se poate

determina pentru fiecare element finit.

Figura 3.3.3: Forţele exterioare care lucrează în model şi echilibrul unui nod oarecare n



Goluri

Interferenţaa

Dacă se izolează un nod oarecare n din modelul cu elemente finite ( figura 3.3.3), pentru care

există Nc elemente concurente, atunci fiecare element finit acţionează cu o forţă în acel nod şi

din motive de echilibru suma tuturor forţelor trebuie să fie zero. Atunci când în nodul izolat

acţionează şi forţe exterioare acestea trebuie incluse şi echilibrul nodului n se scrie

nx

NC

i

inx FF ,

1, =∑

=

ny

NC

i

iny FF ,

1, =∑

=

n= 1,2,…, NE (3.118)

Dacă se ţine seama de cele 2 * NN ecuaţii (3.118), şi în expresiile sumelor se introduc forţele

obţinute din relaţiile (3.116), se obţine o relaţie matriceală de forma:

F = [ K ]U , (3.119) în care [K] este numită matricea de rigiditate globală a structurii.

Cunoscând câmpul deplasărilor în cele NN noduri se poate reprezenta, scalat pentru o

vizualizare convenabilă, configuraţia deformatei structurii, dacă însă matricele de rigiditate

ale elementelor nu au fost "adecvat" calculate, având în vedere că elementele sunt legate între

ele numai în noduri, e posibil să apară goluri sau suprapuneri între laturile elementelor finite

adiacente (nu este îndeplinită condiţia de continuitate între laturile comune elementelor

finite).

Fig. 3.3.4: Elementele nu asigură continuitatea pe laturile comune Discretizarea - tipuri de elemente finite Se pune problema discutării aspectelor MEF din punctul de vedere al utilizatorului. S-a

menţionat mai sus că MEF consideră modelul de calcul format dintr-o sumă de porţiuni

numite elemente finite legate între ele punctual, adică în noduri. Este clar că o structură (un



domeniu) poate fi împărţită în diverse moduri, cu mai multe sau mai puţine noduri şi elemente

finite.

MEF a dezvoltat o serie de tipuri de elemente finite care din punct de vedere al formei pot fi

clasificate în:

- elemente finite unidimensionale (reprezentând bare, grinzi, tiranţi...);

- elemente finite bidimensionale (reprezentând plăci, învelişuri şi chiar volume);

- elemente finite tridimensionale (reprezentând solidele, blocurile).

Din punct de vedere al modului de variaţie al câmpului necunoscutelor (de exemplu

deplasările) în interiorul sau pe conturul lor pot fi clasificate în:

-liniare;

-parabolice;

-cubice

Dacă se consideră numărul şi felul gradelor de libertate pentru un nod, elementele finite

structurale uzuale 3D pot avea maxim 3 grade de libertate translaţii şi 3 grade de libertate

rotaţii. Uneori gradele de libertate pot fi completate şi cu temperaturi, presiuni, viteze sau alte

mărimi funcţie de formulările particulare fiecărui tip de element finit.

Fiecare tip de element finit trebuie conceput (proiectat) astfel încât să satisfacă cât mai

bine anumite cerinţe, neexistând un element finit "universal valabil", care să poată modela

orice formă geometrică. Un tip de element finit satisface numai o parte dintre multiplele

cerinţe dictate de domeniul de analiză şi fenomenele descrise de ecuaţiile diferenţiale pe care

le rezolvă "aproximativ". Preciziile de modelare a elementelor finite sunt direct proporţionale

cu funcţiile de formă alese pentru aproximare.

III.4. Concluzii

Analiza geometrică a deformaţiilor, trebuie să poată combina orice tip de observaţii

(geotehnice sau geodezice) într-o analiză simultană.

Testul global de congruenţă pune în evidenţă faptul că în intervalul de timp analizat au

apărut deformaţii f ără a indica care puncte sunt deplasate, iar dacă realizăm testul statistic

corespunzător putem localiza deformaţiile.

Modelarea unui obiect este urmată de simularea procesului studiat, urmărindu-se

evoluţia unor parametri cu ajutorul modelului, în condiţii apropiate de cele reale, iar metoda

elementului finit permiţând acest lucru se poare estima încă din faza de proiectare, mărimea

deformaţiilor care vor rezulta asupra obiectului examinat, în condiţii de exploatare normală.



CAPITOLUL IV - METODE DE FILTRARE A DATELOR

Problema filtrării constă în a determina estimarea variabilelor sistemului atunci când mediul

în care se desfăşoară procesul prezintă perturbaţii aleatoare. Pot fi utilizate două puncte de

vedere: unul a lui Wiener care utilizează descrierea frecvenţială şi unul al lui Kalman

descrierea temporală. În ambele cazuri, pentru început se determină un sistem (filtru), optimal

în sensul minimizării variaţiei erorii dintre variabila reală şi estimarea sa. Aplicaţia de filtrare

adaptivă nu admite o soluţie unică. În fapt, avem la dispoziţie un întreg arsenal de tehnici

diferite, fiecare având avantaje si dezavantaje specifice.

Tipuri de algoritmi adaptivi reprezentativi:

- algoritmul celor mai mici pătrate (Least-Mean-Squares)

- algoritmul celor mai mici pătrate recurente (Recurrent Least-Squares)

- filtrul Wiener

- filtrul Kalman

Aceşti algoritmi au fost elaboraţi în contextul utilizării unor filtre liniare, însa cu modificări

specifice se regăsesc si în cazul filtrelor neliniare.

Metoda cunoscută prin care se introduc algoritmii adaptivi este o problema de filtrare

optimală.

Filtrarea adaptivă urmareste determinarea parametrilor care definesc un filtru (liniar) în care

se introduce un semnal de intrare care este constituit din două componente, una considerata

reală, iar cealaltă eronată astfel încat răspunsul să fie cât mai precis, adică să contină într-o

măsură cât mai mare semnalul real (util).

+ Răspuns dorit d[n] y[n] - iesire Eroare de estimare e[n] Fig. 4.1 -schema bloc al unui filtru adaptiv Datele introductive ale evaluării [29] prin filtre se reprezintă vectorial. Pentru evaluarea

acestora vor rezulta trei ipoteze principale:

• Filtrare : din toate datele introductive prezentate, până la timpul tk, trebuie determinată

valoarea cea mai plauzibilă a vectorului necunoscut xk. Evaluarea datelor introductive

Sistem discret liniar Σ Semnal de intrare u[0], u[1]…



folosite, poate sta la dispozitia datelor de măsurare directă (observaţii în funcţie de

timp) sau a valorilor determinate indirect (de exemplu coordonate sau alte date);

• Predicţie: din datele introductive actuale, în ceea ce priveste timpul tk si până la un

moment dat, informaţiile găsite asupra comportamentului sistemului, se poate

prognostica eventualul decurs al procedeului într-un timp viitor tk+1;

• Netezire: din datele introductive prezentate, precum si din informaţiile acumulate până

la un anumit timp parcurs, se poate determina o medie (“netezită”) a procedeului din

acel timp.

În plus se ţine cont şi de necesitatea discuţiei asupra problemei de evaluare într-un model

funcţional cât şi într-unul stocastic si apoi se vor integra cele doua.

IV.1. Filtrul Wiener

Wiener [47] a determinat soluţia predicţiei erorii celor mai mici pătrate în termeni ale

funcţiilor de autocorelaţie ale semnalului şi zgomotului. Soluţia este de forma unui operator

integral care poate fi sintetizat cu circuite analogice, dându-i-se anumite constrângeri ale

regularitătii funcţiilor de autocorelaţie sau, echivalent, ale transformatelor Fourier. Abordarea

lui reprezintă natura probabilistică ale fenomenelor aleatoare în termenii densităţilor spectrale

de putere.

Considerăm un sistem pentru care se dă un ansamblu de măsurări ( )ft,tm 0 , între

momentele t0 (timpul iniţial) şi tf (timpul final), pe intrări şi ieşiri. Căutăm să se estimeze

valoarea stării x la un moment dat τ (care se va nota cu ( )( )ft,tm/x 0τ ). În funcţie de

valoarea lui τ , se disting trei situaţii:

- dacă ft<τ este vorba de o problemă de netezire;

- dacă ft=τ este vorba de o problemă de filtrare;

- dacă ft>τ este vorba de o problemă de predicţie.

Atunci când o problemă de predicţie poate fi redusă la o problemă de filtrare printr-o

estimare ( )( )fff t,tm/txx 0= urmată de o predicţie prin utilizarea modelului iniţializat la

xf, nu este aceeaşi ca la netezire. Această ultimă problemă poate fi rezolvată prin combinarea a

două probleme de filtrare: o filtrare de la t0 la τ şi o filtrare retrogradată de la tf la τ .

Metoda elaborată de Wiener permite a determina matricea de transfer a filtrului care

reconstituie un semnal ( )tx plecând de la o măsură ( )ty alterată de un zgomot.



Filtrul optimal ales este acela care minimizează varianţa erorii de estimare,

( ) ( ) ( )txtxtx~)−= :

Metoda se utilizează în cazul semnalelor de intrare şi de ieşire scalare, însă poate fi aplicată şi

în cazul sistemelor multivariabile. Se va restrânge la rezolvarea unei probleme de filtrare

(estimarea lui t plecând de la informaţiile disponibile până la acest moment), dar metoda poate

fi utilizată pentru predicţie sau netezire.

Ecuaţia lui Wiener-Hopf

Pentru a putea estima ( )tx , realizăm un ansamblu de măsurări la ieşire:

( ) ( ) 0, ≥−= ττtytY (4.1)

Estimarea liniară optimală căutată ( )tx , verifică proprietatea de ortogonalitate: 0)()](ˆ)([,0 =−−≥∀ ττ tytxtxE

a) Cazul semnalelor continue Determinăm funcţia de transfer H(s) optimală, semnalele ( )tx şi ( )ty sunt presupuse

aleatoare, scalare, centrate, necorelate şi staţionare. Se vor distinge prin ( )∑ τxy covarianţa

celor două semnale ( )tx şi ( )ty :

∈τ∀ ℜ , ( )∑ =

xyτ E ( ) ( ) tytx τ+ (4.2)

şi prin ( )sSxy , spectrul de covarianţă, care este, prin definiţie, transformata Laplace bilaterală

a lui ( )∑ τxy :

( )sSxy =Lb ( ) ( )∫ ∑∑+∞

∞−

−= τττ de sT

xyxy (4.3)

Transformata lui Laplace bilaterală poate fi calculată plecând de la forma lui Laplace

L cu relaţia:

Lb ( ) =tf L ( ) tf+ + L* ( ) tf −− ,

( ) ( )

<≥

=+ ,tpentru

,tpentrutftf

00

0 (4.4)

( ) ( )

≥−<

=− ,tpentrutf

,tpentrutf

0

00

L* =. [ L* . ] ss −→ .

Autovarianţa (covarianţa pentru y=x) este o funcţie pară:



∈τ∀ ℜ , ( ) ( )∑∑ τ−=τ xxxx (4.5) în consecinţă, spectrul de autovarianţă se scrie sub forma: ( ) ( ) ( ) ( )sGsGsSsG xx −+=∃ , (4.6)

Ecuaţia lui Wiener-Hopf Pentru a putea estima ( )tx , se va realiza un ansamblu de măsurări la ieşire:

( ) ( ) 0, ≥−= ττtytY (4.7) 0)()](ˆ)([,0 =−−≥∀ ττ tytxtxE (4.8)

Cum filtrul )(sH este presupus realizabil, răspunsul său la semnal de tip impuls )(th , este

nul pentru 0<t , de unde rezultă relaţia:

∫+∞

−=0

)()()(ˆ µµµ dtyhtx (4.9)

Această relaţie permite scrierea ecuaţie (2.8) sub forma:

∑ ∫+∞

−−=≥∀0

)()()()(,0 µτµµττ dtytyhExy (4.10)

care conduce direct la ecuaţia lui Wiener-Hopf continuă:

∑ ∫ ∑+∞

−=≥∀0

)()()(,0 µµτµττ dh yyxy (4.11)

verificată prin răspunsul la impuls al filtrului optimal.

De notat că în cazul semnalelor ergodice, varianţele pot fi înlocuite prin funcţii de corelare:

∫+

−∞→

+=T

TTxy dttytx

TR )()(

2

1)( lim ττ (4.12)

ecuaţia lui Wiener-Hopf scriindu-se:

∫+∞

−=≥∀0

)()()(,0 µµτµττ dRhR yyxy (4.13)

Rezolvarea ecuaţiei Prezenţa unei integrale de convoluţie în ecuaţia lui Wiener-Hopf va duce în mod

natural la utilizarea transformatei lui Laplace (bilaterală).

A. Preliminarii. Dacă o funcţie mărginită )(tf este identic nulă pentru

valorile pozitive ale lui t , atunci Lf(t) nu prezintă poli cu parte reală negativă. Ca urmare:



| Lb f(t)| ωσ js += = ( ) dteetf tjt ωσ −−

∞−∫0

(4.14)

converge pentru 0<σ , ceea ce contrazice prezenţa unui pol pentru Lf(t), astfel că 0<σ .

Factorizarea. Fie o fracţie raţională )(sF , care poate fi factorizată (cu un factor

multiplicativ) sub forma:

)()()( sFsFsF −+= (4.15)

în care, )(sF + are toţi polii săi în semiplanul stâng al planului complex (factor de fază

minim), iar )(sF − are toţi polii săi în semiplanul drept.

În cazul unei fracţii raţionale pară, adică:

)()( sFsF =− (4.16)

atunci când s este un zero (pol) din )(sF rezultă că şi s− este un zero (pol) al fracţiei

raţionale. Din ecuaţia (4.15) rezultă:

)()( sFsF −= +− (4.17) obţinându-se factorizarea sub forma:

)()()( sFsFsF −= ++

(4.18)

în care )(sF + are toţi polii săi şi zerourile în semiplanul stâng.

Descompunere. )(sF se poate scrie, prin descompunere în elemente simple, sub

forma descompusă:

)()()( sFsFsF −+ += (4.19)

în care, )(sF+ are toţi polii săi în semiplanul stâng, iar )(sF− are toţi polii săi în semiplanul

drept.

B. Rezolvarea ecuaţiei lui Wiener-Hopf. Funcţia )(tf definită prin:

∑ ∫ ∑+∞

−−=0

)()()()( τττ dthttf yyxy (4.20)

trebuie să fie nulă pentru 0≥t . Polii lui )(sF nu aparţin semiplanului stâng, unde )(sF este

dată prin ecuaţia:



)()()()( sSsHsSsF yyxy −= (4.21) Pe de altă parte, ca urmare a utilizări relaţiilor (4.5) şi (4.18), se poate scrie:

)()()( sSsSsS yyyyyy −= ++ (4.22)

unde +yyS are toţi zerouri săi în semiplanul stâng.

Astfel )(sU , definită prin:

)()()(

)(

)(

)()( sSsH

sS

sS

sS

sFsU yy

yy

xy

yy

+++ −

−=

−= (4.23)

trebuie să aibă toţi polii săi în semiplanul drept.

Dacă se descompune )(/)( sSsS yyxy −+ sub forma:

+

+

−

++

−+

−=

)(

)(

)(

)(

)(

)(

sS

sS

sS

sS

sS

sS

yy

xy

yy

xy

yy

xy

(4.24)

faptul că )(sH trebuie să fie stabilă, conduce la existenţa unui polinom )(sP astfel încât:

)()(

)(

)(

1)( sP

sS

sS

sSsH

yy

xy

yy

+

−=

+

++

(4.25)

Deci )(sH trebuie să fie realizabilă iar semnalele au energie finită, de unde trebuie

ca 0)( ≡sP . Filtrul optimal în sensul Wiener are funcţia de transfer dată de relaţia:

+++

−=

)(

)(

)(

1)(

sS

sS

sSsH

yy

xy

yy

(4.26)

b) Cazul semnalelor discrete Ecuaţia lui Wiener-Hopf

O analogie cu cea utilizată în paragraful precedent poate fi realizată atunci când

semnalele )(tx şi )(ty sunt şiruri ix şi iy , i∈N scalare, centrate şi staţionare. Definind

covarianţa a două semnale eşantionate:

∑ +=ℵ∈∀ )()()(, iyjixEjj xy (4.27) ecuaţia lui Wiener-Hopf discretă definitorie în care răspunsul la impuls hi, i∈N al filtrului optimal discret se va scrie:



∑ ∑ ∑∞

=

−=∈∀0

)()(,i

yyixy ijhjNj (4.28)

în care demonstraţia este imediată folosind principiul de ortogonalitate a unui estimator

optimal liniar.

Notaţii. Ca şi în cazul continuu, pentru rezolvare se utilizează transformata în z

bilaterală , Zif i ∈ :

∑+∞

−∞=

−==i

iiib zffZzF )( (4.29)

care se calculează utilizând transformata în z (mono-laterală) .Z definită prin:

0* ffZfZfZ iiib −+= −+ ,

≥<

=+

0

00

ipentruf

ipentruf

ii (4.30)

≥<

=−

−

0

00

ipentruf

ipentruf

ii ,

1.][.*−→

=zz

ZZ .

Spectrul de covarianţă este, prin definiţie, transformata în z bilaterală a funcţiei de covarianţă (4.28):

)()( ∑= jZzS xybxy (4.31)

Pentru o funcţie de autovarianţă:

∑∑ =−∈∀ )()(, jjZj xxxx (4.32) spectrul de autovarianţă se pune sub forma:

∑−+=∀ − )0()()()(),( 1xxxx zGzGzSzG (4.33)

ceea ce va duce la proprietatea:

)()( 1 zSzS xxxx =− (4.34) În acelaşi mod, se utilizează noţiunile de factorizare şi descompunere de fracţii raţionale în z.

A. Factorizarea:

)()()( zFzFzF −+= (4.35)



în care, +F (respectiv −F ) are toţi polii şi zerourile în interiorul (respectiv exteriorul)

cercului unitate: 1, =∈ zCz .

După relaţia (6.34), dacă z este un pol (sau un zero) din )(zSxx , atunci 1−z este

analog, obţinându-se o factorizare de forma:

)()()( 1−++= zSzSzS xxxxxx (4.36)

unde, )(zSxx

+ are toţi polii şi zerourile în interiorul cercului unitate.

B. Descompunerea:

0)()()( fzFzFzF −+= −+ (4.37)

în care, +F (respectiv −F ) are toţi polii în interiorul (respectiv exteriorul) cercului unitate. Rezolvarea ecuaţiei

O demonstraţie asemănătoare cazului semnalelor continue, va conduce la exprimarea

funcţiei de transfer a filtrului optimal, pentru semnale discrete, prin relaţia:

+−++

=

)(

)(

)(

1)(

1zS

zS

zSzH

xx

xy

xx

(4.38)

care este analogă cu relaţia (4.26).

Din ambele cazuri, rezultă că metoda lui Wiener este o metodă de sinteză a filtrelor

care ţine cont de caracterul aleatoriu al intrărilor sistemului deservit. Problema generală,

rezolvată de această metodă, este de determinare a filtrului optimal H(.)în care D(.) este un

filtru (nu neapărat realizabil) pentru care se doreşte a se estima ieşirea d.

Ca urmare, se pot rezolva probleme de predicţie sau de netezire. În acelaşi timp,

această metodă nu este utilizată în practică decât în cazul semnalelor scalare şi a sistemelor

staţionare.

Una dintre principalele dificultăţi a sintezei unui filtru Wiener este determinarea

spectrelor de varianţă şi factorizarea lor.Astfel, vom aborda o metodă mai generală, filtrarea

Kalman, utilizată în cazul sistemelor multivariabile nestaţionare, bazată pe noţiunea de ecuaţie

de stare şi de răspuns temporal al proceselor.

Metoda lui Kalman este o extindere a metodei lui Wiener; filtrul optimal a lui Wiener

corespunde formei staţionare a unui filtru Kalman



IV.2 Filtrul Kalman

Un filtru Kalman [48] este un algoritm optimal recursiv de procesare a datelor. Un filtru

Kalman este optimal pentru că el conţine toate informaţiile care îi sunt furnizate. El

prelucrează toate măsurătorile disponibile, indiferent de precizia lor şi estimează valoarea

curentă a variabilelor care ne interesează cu ajutorul:

- cunoştinţelor despre sistem şi măsurătorile dispozitivului dinamic;

- descrierea statistică a zgomotului din sistem, erorile de măsurare şi incertitudinile

modelului dinamic.

- orice informaţie disponibilă despre condiţiile ini ţiale ale variabilelor care ne interesează

Un filtru este un algoritm de procesare a datelor realizat din modele matematice fiind un

instrument mecanic care nu rezolva probleme de unul singur.

Este considerat potrivit pentru implementarea pe calculatoare digitale pentru că foloseşte

o reprezentare finită a problemei de estimare (un numar finit de variabile).

Este o caracterizare statistică completă a unei probleme de estimare. Este mult mai mult

decat un estimator, deoarece el propagă întreaga distribuţie de probabilitate a variabilelor pe

care trebuie sa le estimeze. Aceasta e o caracterizare completă a stării de cunoaştere curentă a

sistemului dinamic, incluzand influenţa măsurărilor anterioare. Aceste distribuţii de

probabilitate sunt de asemenea, folositoare pentru analizele statistice si modelele predictive al

sistemelor senzoriale.

Fig.4. 2.1 Concepte fundamentale in filtrarea Kalman

Aplicatiile filtrelor Kalman acoperă multe domenii, dar folosirea lui ca pe un instrument

este aproape în exclusivitate pentru două cauze: estimare si analiza performanţelor

estimatoarelor.

Filtrare Kalman

Cele mai mici pătrate

generalizate

Sisteme stohastice

Cele mai mici pătrate

Teoria probabilităţii

Sisteme dinamice

Fundamente matematice



Filtrul Kalman este un set de ecuatii matematice ce furnizeaza un calcul eficient intentionand

să estimeze starea procesului, într-un fel ce minimizează media erorilor pătratice. Filtrul este

foarte utilizabil pentru câteva aspecte: susţine estimările trecute, prezente si chiar stările

viitoare.

Estimarea procesului

Filtrul Kalman abordează problema generală a estimării stării x R∈ a unui process controlat

în timp discret care este guvernat de ecuaţii diferenţiale stohastice liniare.

111 −−− ++= kkkk WBuAXX (4.39)

cu măsuratoarea mz R∈ :

kkk VHxZ += (4.40)

Variabilele aleatoare wk şi vk reprezintă zgomotul procesului şi măsurătorii. Se presupune a fi

independente (una de cealaltă), şi cu distibuţii cu probabilităţi normale

QNwp ,0()( ≅ ) (4.41)

),0()( RNvp ≅ (4.42)

În practică, matricile procesului covarianţei de zgomot Q şi măsurătorii

covarianţei zgomotului R se pot schimba la fiecare pas de timp sau măsuratoare, oricum în

acest caz spunem că sunt constante.

Matricea ( )A n n× în ecuaţia diferenţială (4.39) arată starea de la pasul de timp anterior k-1 la

starea de la pasul curent k, în absenţa fie a unei funcţii de conducere fie a unui proces de

zgomot. În practică A se poate modifica cu fiecare pas de timp, dar aici se presupune ca e

constantă. Matricea ( )B n l× arată intrarea de control opţională lu R∈ la starea x. Matricea

( )H m n× în ecuaţia măsuratorii (4.40) arată starea la măsuratoarea kz .

În practică H se poate modifica cu fiecare pas de timp sau măsuratoare, dar aici spunem este

constantă.

Calculele de bază ale filtrului

Definim nkx R∈ ca fiind starea a priori estimată la pasul k ţinând cont de procesul anterior la

pasul k, şi nkx R∈ ca fiind starea a posteriori estimată la pasul k cunoscând kz . Putem defini

erorile de estimare a priori şi a posteriori:

ˆk k ke x x− −≡ − şi (4.43)

ˆk k ke x x≡ − .



Eroarea de estimare a prori a covarianţei este:

[ ]Tk k kP E e e− − −= (4.44)

Eroarea de estimare a posteriori a covarianţei este:

[ ]Tk k kP E e e= (4.45)

Derivarea ecuaţiilor pentru filtrul Kalman, se face cu scopul de a afla o ecuaţie care

calculează o stare de estimare ˆkx a posteriori ca o combinaţie liniară a unei estimări a priori

ˆkx−

− şi o diferenţă semnificativă între o măsuratoare actuală kz şi o măsura prezisă ˆkHx cum

este arătat în ˆ ˆ ˆ( )k k k kx x K z Hx− −= + − (4.46)

Diferenţa ˆ( )k kz Hx−− în (4.46) este numită inovaţia măsuratorii sau rezidual. Rezidualul

reflectă discrepanţa dintre măsuratoarea prezisă ˆkHx− şi măsuratoarea actuală kz .

Când rezidualul este zero înseamnă că cele două sunt în compatibilitate perfectă.

Matricea ( )K n m× în (4.46) este aleasă câştigul sau factorul de amestec care minimizează

eroarea covarianţei a posteriori (4.45). Această minimizare poate fi obţinută mai întâi

substituind (4.46) în definiţia lui ek, substituind aceasta în (4.45), îndeplinind rezultatele

dorite, luând derivata rezultatului faţă de K, egalând rezultatul cu zero şi rezolvându-l pentru

K. Una din formele rezultatului K ce minimizează (4.45) este dată de:

1( )T

T T kk k k T

k

P HK P H HP H R

HP H R

−− − −

−= + =+

(4.47)

Pe masură ce măsurarea erorii covarianţei R se apropie de zero, valoarea lui K măsoara

rezidualul mai greu.

1

0

limk

KR

K H −

→=

Pe de altă parte, pe masură ce estimarea a priori a erorii de covarianţă kP− se apropie de zero,

valoarea lui K măsoară rezidualul mai usor.

0

lim 0k

kP

K− →

=

Un alt mod de abordare a măsurării de către K este aceea că pe măsură ce măsuratoarea erorii

de covarianţă R se apropie de zero, măsuratoarea actuală kz se ia în calcul din ce în ce mai

mult, în timp ce măsuratoarea prezisă ˆkHx− se ia în calcul din ce în ce mai puţin. Pe de altă

parte, pe măsură ce estimarea a priori a erorii de covarianţă kP− se apropie de zero

măsuratoarea actuală kz este luată în calcul din ce în ce mai putin, în timp ce măsuratoarea

prezisă ˆkHx− este luată în calcul din ce în ce mai mult.



Originile filtrului [11]

Justificarea pentru (4.46) işi are rădăcinile în probabilitatea estimării a priori ˆkx− condiţionată

în toate măsurătorile antrerioare kz (regula lui Bayes). Filtrul Kalman menţine primele două

momente distribuţiei stării:

ˆ[ ]k kE x x=

ˆ ˆ[( )( ) ]Tk k k k kE x x x x P− − = (4.48)

Estimarea stării a posteriori (4.46) reflectă sensul distribuţiei stărilor – este normal distribuită

dacă sunt îndeplinite condiţiile (4.41) si (4.42). Estimarea a posteriori a erorii de covarianţă

(4.45) reflectă varianţa distribuţiei stării.

( ) [ ] ( )( )[ ]( ) ( )kkt

kkkkkkk PxNxxxxExENzxp ,ˆˆˆ, =−−≈ (4.49)

IV.2.1 Algoritmul filtrului Kalman discret

Filtrul Kalman estimează un proces folosind o formă a controlului feedback: filtrul

estimează starea procesului la momente de timp şi apoi obţine feedback sub forma de

măsuratori.

Prin urmare, ecuaţiile filtrului Kalman se împart în: ecuaţiile de actualizare a timpului şi

ecuaţile de actualizare a măsurătorii. Ecuaţiile de actualizare a timpului sunt responsabile cu

proiectarea timp a stării actuale şi a erorii covarianţei estimând obţinerea a priori aproximând

următorul pas de timp. Ecuaţiile de actualizare a măsurătorii sunt responsabile cu feedback-ul

– de exemplu pentru a adăuga o nouă măsurătoare la estimările a priori pentru a obţine

estimări a posteriori îmbunătăţite.

Ecuaţiile de actualizare a timpului pot fi de asemenea considerate ecuaţii predictor, în timp ce

ecuaţiile de actualizare a măsurătorii pot fi ecuaţii corector. Intr-adevăr, algoritmul de

estimare final seamănă cu un algoritm predictor – corector pentru rezolvarea problemelor

numerice asa cum rezultă din figura 4. 2.2.

Actualizarea timpului Actualizarea măsurătorii (predicţie) (corecţie) Fig 4.2.2 Conceptul de filtru Kalman Ecuaţiile specifice actualizării timpului şi măsurătorii sunt prezentate în relaţiile 4.51 şi 4.52.

( , )k k kz h x v= (4.50)



Ecuaţiile de actualizare a timpului ale filtrului Kalman discret

1 1ˆ ˆk k kx Ax Bu−− −= + (4.51)

1T

k kP AP A Q−−= + (4.52)

Se poate observa cum ecuaţiile de actualizare a timpului (relaţiile 4.51 şi 4.52) proiectează

estimările de stare şi covarianţa de la pasul k-1 la pasul k.

Ecuaţiile de actualizare a masuratorii ale filtrului Kalman discret

1( )T Tk k kK P H HP H R− − −= + (4.53)

ˆ ˆ ˆ( )k k k k kx x K z Hx− −= + − (4.54)

( )k k kP I K H P−= − (4.55)

Primul pas într-o actualizare de măsurătoare este calcularea rezultatelor Kalman, Kk.

Următorul pas este de a măsura efectiv procesul pentru a obtine zk, iar apoi generarea unei

stări a posteriori prin adăugarea măsurătorii ca în (4.54). Ultimul pas este de a obţine o

estimare a erorii de covarianţă a posteriori.

Dupa fiecare actualizare de timp si măsurare, procesul se repetă cu estimări a posteriori anterioare,

folosite pentru a proiecta sau aproxima noile estimări a priori. Unul din caracteristicile de bază ale

filtrului Kalman este cel recursiv. Prin urmare face ca implementările practice să fie mult mai

realizabile (de exemplu o implementare a filtrului Wiener care este conceput să calculeze toate

datele direct din estimări). Filtrul Kalman condiţionează recursiv estimarea curentă a tuturor

măsurătorilor anterioare. Figura 4.2.2 oferă o vedere de ansamblu a modului de operare a filtrului

Kalman, combinând diagrama de nivel înalt din figura 4.2.1 cu ecuaţiile din relaţiile 4.51 şi 4.52

respectiv 4.53, 4.54, şi 4.55..

Parametrii filtrului şi ajustarea În implementarea filtrului, măsurarea covarianţei zgomotului R este de obicei obţinută

înaintea operaţiei de filtrare.

Determinarea covarianţei zgomotolui de proces Q este în general mai dificilă deoarece nu

avem posibilitatea să observăm direct procesul care trebuie estimat. Câteodată un model de

proces relativ simplu poate da rezultate acceptabile dacă se “inserează” suficientă

incertitudine în proces prin selectarea lui Q, în acest caz ne asteptăm ca măsurătorile

procesului să fie sigure.

Şi într-un caz şi în altul, chiar dacă nu avem o bază raţională pentru alegerea parametrilor, de

cele mai multe ori performanţele superioare ale filtrului (din punct de vedere statistic) pot fi

obţinute prin ajustarea parametrilor Q şi R. Ajustarea este făcută de obicei off-line, de cele



mai multe ori cu ajutorul unui alt filtru Kalman într-un proces care poartă numele de

recunoaşterea sistemului.

Estimări ini ţiale pentru 1ˆkx − şi 1kP −

Figura 4.2.3 Ecuaţiile filtrului Kalman În cazul în care Q şi R sunt constante, estimările covarianţei de eroare Pk cât şi rezultatul

Kalman Kk se va stabiliza rapid şi va ramâne constant. Dacă ne confruntăm cu un astfel de

caz, parametrii pot fi precalculati fie prin punerea filtrului în funcţiune off-line sau de

exemplu prin determinarea valorii de stare stabilă a lui Pk.

În cele mai multe cazuri eroarea măsurătorii nu rămane constantă. De asemenea procesul de

zgomot Q este câteodată dinamic schimbat în timpul operaţiei de filtrare – devenind Qk – cu

scopul de a se ajusta different dynamics. În unele cazuri Qk poate fi ales să justifice

incertitudinea intenţiilor utilizatorului şi incertitudinea de model.

IV.2.2 Filtrul Kalman extins (EKF)

Estimarea procesului Filtrul Kalman adresează problema generală unui process controlat în timp discret care este

guvernat de o ecuaţie cu diferenţe liniare finite. Un filtru Kalman ce liniarizează pasul curent

şi covarianţa este un filtru Kalman extins (EKF). Asemănător seriei Taylor, putem liniariza

estimarea în jurul aproximării curente utilizând derivate parţiale ale proceselor şi funcţii

estimate pentru a calcula aproximările chiar şi în expresia relaţiilor neliniare. Presupunem că

procesul are un vector de stare ( nx R∈ ) şi este descris de o ecuaţie diferenţială neliniară

1 1 1( , , )k k k kx f x u w− − −= (4.56)

Actualizarea măsurătorii (corecţie) (1) Calculul caştigului Kalman

1( )T Tk k kK P H HP H R− − −= +

(2) Actualizarea estimării cu zk

ˆ ˆ ( )k k k k kx x K z Hx− −= + −

(3) Actualizarea erorii de covarianţă ( )k k kp I K H P−= −

Actualizarea timpului (predictie) (1) Proiectarea stării

1 1ˆ ˆk k kx Ax Bu−− −= +

(2) Proiectarea erorii de covarianţă

1T

k kP AP A Q−−= +



cu măsurătoarea mz R∈

unde variabilele aleatoare wk şi vk reprezintă procesul şi zgomotul măsurat. În acest caz

funcţia neliniară f, în ecuaţia diferenţială 4.56 face legatura între starea la pasul k-1 şi starea la

pasul curent k. Aceasta include ca parametri, orice funcţie de conducere uk-1 şi the zero-mean

process noise wk. Funcţia neliniară h, în ecuaţia 4.56 arată starea xk la măsurătoarea zk.

Putem aproxima starea şi vectorul măsurătoare astfel: ( )0,,ˆ~

11 −−= kkk uxfx (4.57) şi ( )0,~~

kk xhz = (4.58)

unde ˆkx este o estimare a posteriori a stării (de la pasul anterior de timp, k).

Distribuţiile variabilelor aleatoare (sau a densităţilor în cazul continuu) nu mai sunt aceleaşi

după transformările neliniare respective. EKF este un simplu estimator de stare ad-hoc ce

aproximează optimizarea regulilor lui Bayes prin liniarizare.

Originile calculate ale filtrului Pentru a estima un proces cu relaţii diferenţiale neliniare, începem prin a scrie noua ecuaţie de

guvernare care liniarizează o estimare despre (4.57) şi (4.58),

1 1 1ˆ( )k k k k kx x A x x Ww− − −≈ + − +% (4.59)

( )k k k k kz z H x x Vv≈ + − +%% (4.60) unde:

• xk şi zk sunt vectorii de stare respectiv măsurare;

• kk zx ~,~ sunt vectorii de stare aproximată respectiv măsurare;

• kx este un estimator a posteriori a stării la pasul k;

• variabilele aleatoare wk şi vk descriu procesul şi zgomotul măsurat;

• A este matricea Jacobiană a derivatelor parţiale ale funcţiei f faţă de x:

[ ][ , ] 1 1

[ ]

ˆ( , ,0)ii j k k

j

fA x u

x − −

∂=

∂ (4.61)

• W este matricea Jacobiană a derivatelor parţiale ale funcţiei f faţă de w:

[ ][ , ] 1 1

[ ]

ˆ( , ,0)ii j k k

j

fW x u

w − −

∂=

∂ (4.62)

• H este matricea Jacobiană a derivatelor parţiale ale funcţiei h faţă de x:



[ ][ , ]

[ ]

( ,0)ii j k

j

fH x

x

∂=

∂% (4.63)

• V este matricea Jacobiană a derivatelor parţiale ale funcţiei h faţă de v:

[ ][ , ]

[ ]

( ,0)ii j k

j

hV x

v

∂=

∂% (4.64)

În notaţie nu se folosesc paşi de timp k cu matricile Jacobiene A,W,H şi V, chiar dacă sunt

diferite la fiecare pas.

Se defineşte o notaţie pentru eroarea predicţiei,

kx k ke x x≡ −% % (4.65)

şi pentru măsurătoarea reziduală,

kz k ke z z≡ −% % (4.66)

În practică vectorul de stare, cantitatea pe care încercăm să o estimăm, nu are acces la xk în

(4.65). Pe de altă parte măsurătoarea actuală, cea care e utilizată la estimarea lui xk, are acces

la yk în (4.66). Utilizând (4.65) şi (4.66) putem scrie ecuaţiile de guvernare pentru o eroare de

proces, astfel:

1 1ˆ( )kx k ke A x x

kε− −≈ − +% (4.67)

kxzkk

eHe π+≈ ~~ (4.68)

unde kε şi kη reprezintă noile variabile aleatoare independente cu pas zero şi matricile

covarianţe TWQW şi TVRV , cu Q şi R ca în (4.41) şi (4.42).

Trebuie menţionat faptul că ecuaţiile (4.67) şi (4.68) sunt liniare, şi că se aseamană diferenţei

şi măsurătorii ecuaţiilor (4.1) şi (4.2) din filtrul Kalman discret. Aceasta ne motivează să

folosim măsurătoare actuală reziduală în (4.66) şi un filtru Kalman secundar (ipotetic) pentru

a estima eroarea predicţiei exk dată de (4.67). Această estimare, numită ek, poate fi apoi

folosită împreună cu ecuaţia (4.65) pentru a obţine estimările stării

a posteriori pentru procesul neliniar initial ca

kkk exx ˆ~ˆ += (4.69)

Variabilele aleatoare ale ecuaţiilor (4.67) şi (4.68) au urmatoarele probabiliţati distribuite:

( ) [ ]( )( ) ( )( ) ( )T

k

Tk

Txxk

VRVNp

WQWNp

eeENepkk

,0

,0

~,~,0~

≈

≈

≈

η

ε



Dând aceste aproximari şi lăsând valoarea prevazută a lui ke să fie zero, ecuaţia filtrului

Kalman utilizată în aproximarea lui ke este:

ˆkk k ze K e= % (4.70)

Substituind (4.70) în (4.69) şi utilizând la (4.66) se observă că nu este nevoie de filtrul

Kalman secundar (ipotetic):

ˆ ( )kk k k z k k k kx x K e x K z z= + = + −% % % % (4.71)

Ecuaţia (4.71) poate fi folosită pentru actualizarea măsurătorilor în filtrul Kalman extins, cu xk

şi zk provenind din (4.57) şi (4.58), şi câştigul Kalman Kk care provine din (4.71) cu

substituţia corespunzătoare pentru măsurarea erorii covarianţei.

Setul complet de ecuaţii EKF este arătat în relaţiile 4.72 şi 4.73 respectiv 4.74, 4.75 şi 4.76 .

Menţionam faptul că avem substituit xk pentru că xk să rămână consistent cu notaţia “super

minus”, şi că ataşam k matricilor Jacobiene A,W,H şi V, pentru a întări noţiunea că sunt

diferite (de aceea trebuie calculate) la fiecare etapă de timp.

Ecuaţiile de actualizare a timpului ale EKF

1 1ˆ ˆ( , ,0)k k kx f x u−− −= (4.72)

1 1T T

k k k k k k kP A P A W Q W−− −= + (4.73)

În concordanţa cu filtrul Kalman discret, ecuaţiile de actualizare a timpului în tabelul

4-3, proiectează starea şi covarianţa estimează de la pasul de timp anterior k-1 la pasul de timp

curent k. Funcţia f în (4.72) provine de la (4.57), Ak şi Wk sunt procese Jacobiene la pasul k, şi

Qk este procesul covarianţei zgomotului la pasul k.

Ecuaţiile de actualizare a măsurătorii ale EKF

1( )T T Tk k k k k k k k kK P H H P H V R V− − −= + (4.74)

ˆ ˆ ˆ( ( ,0))k k k k kx x K z h x− −= + − (4.75)

( )k k k kP I K H P−= − (4.76)

Operaţia de bază a filtrului Kalman extins este la fel cu cea a filtrului Kalman discret liniar

aşa cum este arătat în figura 4.2.3. Figura 4.2.4 oferă o imagine completă a operaţiilor filtrului

Kalman extins, combinând diagrama de nivel ridicat a figurii 4.2.3 cu kH ecuaţiile din

relaţiile 4.72 şi 4.73 respectiv 4.74, 4.75 şi 4.76.



Actualizarea timpului (predictie) (1) Proiectarea starii

1 1ˆ ˆ( , ,0)k k kx f x u−− −=

(2) Proiectarea erorii de covarianţă

1 1T T

k k k k k k kP A P A W Q W−− −= +

Estimări ini ţiale pentru 1ˆkx − şi 1kP − Figura 4.2.4 Ecuaţiile filtrului Kalman O caracteristică importantă a filtrului Kalman extins este aceea că ecuaţia Jacobiană pentru

câştigul Kalman este folosită pentru a propaga corect sau mări doar componenetele relevante

ale informaţiei măsurătorii.

IV.3. Filtrul Kalman discret aplicat în analiza cinematică de deformare IV.3.1 Ecuaţiile standard ale filtrului discret Kalman În conformitate cu un filtru Kalman [29], ne referim la un algoritm care permite să estimeze

pe baza observaţiilor, variabilele în timp a starii unui sistem dinamic şi cinematic recursiv.

Un sistem dinamic este caracterizat de două ecuaţii, şi anume, ecuaţia de sistem şi ecuaţia de

observare.

Ecuaţia de sistem este data de:

xk = T 1ˆ −kx +Gk-1 wk-1 (4.77)

În cazul în care:

k-1,k - timp

xk - starea vectorului la timpul k

T - matricea de predictie

Gk-1 - matricea de zgomot

wk-1 - vectorul zgomot

Ecuaţia de observatie este:

lk = Akxk +єk (4.78)

unde:

l k - vectorul necorectat al observaţiilor

A k - matricea coeficient

Actualizarea măsurătorii (corecţie) (1) Calculul caştigului Kalman

1( )T T Tk k k k k k k k kK P H H P H V R V− − −= +

(2) Actualizarea estimării cu zk

ˆ ˆ ˆ( ( ,0))k k k k kx x K z h x− −= + −

(3) Actualizarea erorii de covarianţă ( )k k k kp I K H P−= −



xk - vector al parametrilor

єk - vector de măsurare a zgomotului

Pentru ecuaţiile (4.77) şi (4.78) se va aplica:

0

0

0

=

==

=

==

=

∑

∑

Tlk

llklkTlk

k

wwklkTlk

k

wlE

RE

lE

QwwE

wE

δεε

δ (4.79)

cu funcţia Dirac:

1=klδ pentru k = 1;

0=klδ pentru k ≠ 1

În aplicarea ecuaţiilor filtrului Kalman sunt efectuate următoarele două etape:

- etapa de predictie a vectorului de stare

1ˆ −= kk xTx (4.80)

- etapa de predictie a matricei de covarianţă a vectorului de stare T

kwwkT

kxxxx GGTT 111, −−− Σ+Σ=Σ (4.81)

Actualizarea vectorului de observaţii compensat

kx = xk+ k(lk-Akxk) (4.82) matricea de covarianţă corectata a vectorului de stare; ∑∑∑ −= xxkxxxx KAˆˆ (4.83)

unde

( ) 1−∑ ∑∑ += ll

Tkxxk

Tkxx AAAK (4.84)

Ecuaţia (4.80) reprezintă aşa-numitele informaţii de referinţă care sunt corectate, cu

măsurătorile nou adăugate. Matricea K (4.84) se numeşte matricea de amplificare sau matrice

de castig.

Popularitatea filtrului Kalman este caracterizată prin aplicaţiile sale multiple, atât în domeniul

ştiinţelor inginereşti, dar şi în domeniul economiei, mai cu seama în navigare. Principalele

aspecte generale legate de utilizarea procedurii filtrului Kalman sunt :

- formularea stării

- pregatirea ecuaţiei de măsurare

- analiză inovare

- corectarea epocii iniţiale

Proprietatea esenţială a filtrului Kalman, o reprezintă schimbarea unui sistem

independent de observaţii. Acesta permite mai multor parametri care urmează să fie



determinaţi, (de exemplu: coordonatele şi parametrii de mişcare), de a-i cuprinde într-un

vector de stare. Aceast vector de stare ar trebui să conţină toate informaţiile actualizate pentru

a fi stocate. Comportamentul sistemului este descris de o ecuaţie de sistem. Utilizarea

factorului de timp a adus şi altă variabilă numită zgomotul sistemului inclus în vectorul de

stare prezis. În primul rând, tulburările nu au nici un efect asupra vectorul de stare, deoarece

acestea sunt variabile aleatoare. Efectul său se manifestă în matricea de varianţă-covarianţă a

vectorului de stare prezis.

Sub considerentul că vectorul de stare nu poate fi estimat din măsurători unice, trebuie

reprezentată ecuaţia de stare care are scopul de a estima legătura între mărimile măsurate şi

parametrii stabiliţi. Este important să se asigure care matrice de coeficienti urmează a fi

compensată. Acesta poate fi sau nu constantă. Pentru modelul stocastic de observaţii, este

necesară o presupunere. În esenţă, acestea sunt corelate sau necorelate la observaţii. Astfel in

cele mai multe cazuri observaţiile necorelate se schimbă astfel încât matricea ponderilor să fie

diagonală.

Separarea ecuaţiei de sistem din ecuaţia de observare în filtrul Kalman mai are

avantajul că poate fi selectată în mod corespunzător, în funcţie de rolurile respective ale

relaţiei dintre poziţia de zgomot de sistem şi precizia de măsurare. În cazul în care zgomotul

de sistem este mult mai mic decât zgomotul de măsurare, atunci şi măsurătorile au o influenţă

scăzută asupra vectorului de stare. În cazul opus, adică pentru zgomotul de sistem foarte mare,

vectorul de stare poate fi mult îmbunătăţit prin observaţii.

Diferenţele dintre observaţiile prezise şi observaţiile nou adăugate (ec. 4.82), în terminologia

de filtru Kalman este o inovaţie introdusă de Kailaith (1968). Introducerea de inovare, a

marcat o noua dezvoltare a filtrului Kalman, în domeniul măsurătorilor de deformare.

Filtrul Kalman operează recursiv, acest lucru necesită să fie bine cunoscute valorile

iniţiale. Posibilităţile de tratare a aşa-numitei epoci initiale, sunt foarte importante pentru a

putea rezolva mai bine problemele formulate anterior.

IV.3.2 Aplicarea filtrului Kalman în analiza cinematică de formulare a deformatiei Formularea stării

Toate punctele unei reţele de control formeaza un câmp de puncte cinematic . In

acest camp de puncte, miscarea unui vector de coordonate reprezintă o funcţie de timp:

...5.0 1211 +∆+∆+= −−− kkkk xtxtxx &&& (4.85)

Aici este: x k - coordonatele vectorului la momentul t k



x 1−k - coordonatele vectorului la momentul tk-1

1−kx& - vectorul de viteză la momentul t 1−k

2−kx&& - vectorul acceleraţie la momentul t 1−k

1−−=∆ kk ttt

Fie x 1−k , 1−kx& si 1−kx&& un vector de stare

1

1

−

− =

k

k

x

x

x

y

&&

& (4.86)

acest lucru trebuie să fie în măsură să descrie starea actuală a câmpului de puncte cinematice. Derivând relatia (4.85) rezultă viteza şi a doua derivare acceleraţia:

11 −− ∆+= kkk xtxx &&&& (4.87)

1−= kk xx &&&& (4.88)

În cazul în care acceleraţia este constantă, atunci vom obţine de la ecuaţiile (4.86), (4.87) şi

(4.88) de mai jos

Predicţia

1

2

1

ˆ

ˆˆ

00

021

ˆ

−

−

∆

∆∆

==

=

kk

k

kk

x

x

x

I

tII

IttII

x

x

x

y

yTy

&&

&

&&

& (4.89)

I este matricea unitate

Matricea T =

I

tII

IttII

00

021 2

∆

∆∆

(4.90)

este considerată matricea de predicţie, care reprezintă dinamica sistemului câmpului de

puncte.

Determinarea parametrilor de mişcare pentru un filtru Kalman

Se pune următoarea problemă: o reţea tridimensională de control constând din punctele P, a

fost măsurată la t1, t2, ..., tk-1. Coordonatele vectorului u are trei componente: u = 3 * p

Acelaşi număr de componente are vectorul de viteză şi vectorul acceleraţie;

pentru momentul tk-1 este dat vectorul de stare 1ˆ −ky



1

)1(

ˆ

ˆˆ

ˆ

−

− =

k

k

x

x

x

y

&&

& (4.91)

asociate acesteia matricea de covarianţă

1

1,ˆˆ

−

−

ΣΣΣΣΣΣΣΣΣ

=Σ

kxxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

kyy

&&&&&&&&&

&&&&&&

&&&

(4.92)

Reţeaua de control a fost măsurată la momentul tk .Observaţiile sunt combinate într-un singur

vector de observare Lk. Vectorul de stare ky şi matricea sa de covarianţă kyy ,ˆˆΣ trebuie să fie

determinate la timpul tk. Determinarea vectorului de stare yk se efectuează în două etape:

Etapa 1: Actualizare temporară

Folosind ecuaţia (4.81), predicţia vectorului de stare yk-1 poate fi:

1ˆ −= kk yTy (4.93)

Pentru a utiliza ecuaţia (4.82), este necesară modelarea perturbatiilor de mişcare. Având în

vedere că, zgomotul nu este cunoscut şi se presupune că variabila aleatoare prezisă a

vectorului de zgomot este egala cu zero, matricea de covarianţă a fost prezisă, dar noi trebuie

să luam în considerare incertitudinea cu privire la acest vector. În alte cuvinte, ar trebui ca

matricea G şi vectorul w din (4.78) să fie cunoscute. Pentru a facilita modelarea de

interferenţă se explica în fig. (4.3.2.1) pe principiul de actualizare a vectorului de stare pentru

un singur punct.



X k-1

l j+1j+1

Xk-1

X

l jl j

l

k-1P X k-1

X

k

k

Xk

aP

k

com

ponenta ac

celeratiei

Pk

Xk X k

X k

Figura 4.3.2.1 Actualizarea vectorului de stare a unui punct singular la momentul t

Din aceast desen rezultă faptul că pentru timpul tk-1, pe traiectoria vectorului de stare prezis

ky , avem punctul KP şi vectorul de stare ky . Se pune întrebarea cu privire la motivele pentru

care subvectorul kx a vectorului de stare prezis, nu corespunde coordonatelor vectorului kx .

Pe de o parte, a fost obţinut subvectorul kx din măsuratorile anterioare. Incertitudinea 1ˆ −ky si

vectorul de stare 1ˆ −kx este descrisă de către matricea de covarianţă 1,ˆˆ −Σ kyy . Pe de altă parte,

măsurătorile alăturate nu sunt exacte. Erori de măsurare sunt denumite în continuare zgomotul

de măsurare în filtrul Kalman. Ele pot fi modelate cu un vector de zgomot aleator din ecuaţia

(4.93) care depinde de intervalul de timp şi nu este cunoscut.

În ecuaţia (4.93) este implicat un vector al zgomotului, atunci vom obţine următoarea ecuaţie

model:

SayTy kk += −1ˆ (4.94)

în cazul în care S este matricea de zgomot şi dată de:



I

Itt

Itt

S kk

kk

)(

)(21

1

21

−

−

−

−

= (4.95)

Cu toate că vectorul prezis de stare depinde doar de matricea de predicţie, incertitudinea sa

este mai mare, din cauza zgomotului de sistem şi este dată de:

sskyykyy Σ+Σ=Σ ,, (4.96)

În cazul în care:

Tkyy T1, −Σ (4.97)

Matricea de covarianţă a vectorului de state prezis:

Taass SSΣ=Σ (4.98)

Matricea de covarianţă pentru componenta de interferenţă.

kyy,Σ : matricea covarianţă a vectorului de stare prezis, luând în considerare zgomotul de

sistem

Etapa 2: Actualizarea observaţiilor

Actualizarea în timp este realizabilă, fără reţeaua de observare. Dacă observaţiile nu sunt

disponibile pentru timpul t, atunci se aplică ecuaţiile de actualizare a filtrului Kalman de la

secţiunea 4.3.2. În plus, ecuaţiile de observare trebuie să fie stabilite. Linearizarea ecuaţiilor

de observare sunt date de:

kkxklkk xAvll ˆˆ,, =+= (4.99)

kl -vector al observaţiilor compensate

lk - vector al observaţiilor necompensate

vk – vectorul corecţiilor

Ax,k - matricea de coeficienţi

kx - vector de coordonate compensate

Pentru ca ecuaţiile de bază ale filtrului Kalman să fie valabile, trebuie formulat

modelul funcţional si stocastic al modelului corectat. Este de aşteptat ca vectorul prezis de

stare să fie corectat cu observaţii noi. Această idee este prezentată în ecuaţia următoare, ţinând

cont de ecuaţia (4.94):



kkyk yvy ˆ, =+ (4.100)

yk - vector de predicţie a starii

vy,k – vector de corecţii

ky - noul vector de stare

Se pune problema în cazul în care funcţiile neliniare ale observaţiilor unei reţele

geodezice trebuie să fie liniarizate. În cazul în care vectorul de stare prezis yk (ec. 4.94) este

cunoscut, atunci este necesar să se liniarizeze funcţiile neliniare a observaţiilor de la locaţiile

de coordonate prezise. Relaţia (4.100) devine:

kky dyv =+ ,0 (4.101)

Iar relaţia (4.99)

kkxkkyklk dyAdyAvl 00,,, ==+ (4.102)

Iar medie:

ktk

kkx dy

xA

=

δδϕ )(

, (4.103)

dyk - vector supliment al vectorului de stare prezis

Ecuaţiile (4.100) şi (4.102) conduc la modelul funcţional pentru o compensare după

observaţiile efectuate.

kk

kykl

ky

ldy

A

I

v

v 0

,,

, −= (4.104)

Modelul stocastic corespunzător este dat de:

kll

kyykk

,

,

0

0

ΣΣ

=Σ (4.105)

Din ultimele două ecuaţii rezulta următoarele ecuaţii normale:

kkllT

kykkykllT

kykyy lAdyAA 1,,,

1,,

1, )( −−− Σ=Σ+Σ (4.106)

Rezultă din această ecuaţie:

kykllT

kykyyk AAdy ,1,,,ˆˆ

−ΣΣ= (4.107)

cu

=Σ kyy ,ˆˆ1

,1,,

1, )( −−− Σ+Σ kykll

Tkykyy AA (4.108)

În (4.108) la inversare unei sume de matrice este utilizat procedeul Schur-Frobenius, unde se

aplică următoarele:

1111111 )()( −−−−−−− ++=+ VCUVCBUCCUBVC (4.109)



În cazul în care C şi B sunt matrici regulate.

Utilizarea acestei formule pentru (4.108) dă: T

kyykyy KDK−Σ=Σ ,,ˆˆ (4.110)

Tkykyykykll AAD ,,,, Σ+Σ= (4.111)

1,,

−Σ= DAK Tkykyy (4.112)

Vectorul căutat de stare este acum definit, astfel încât ecuaţia (4.110) este folosită în ecuaţia

(4.107). Apoi avem:

kkllT

kykyykyT

kykyykyyk lAADAdy 1,,,,

1,,, )( −− ΣΣΣ−Σ= (4.113)

kkllT

kykyykykyT

kyykllkykyyk lAADAAdy )( 1,,,,

1,,

1,,,

−−− ΣΣΣ−ΣΣ= (4.114)

Dar

IAAAA kllkllT

kykyykykllT

kykyyky −ΣΣ+Σ=ΣΣ −− 1,,,,,

1,,,, )( (4.115)

după câteva transformări folosite în (4.114), se obţine:

dyk=K lk (4.116)

Vectorul de stare final, după actualizarea observaţiilor, este:

kkkkk Klydyyy +=+=ˆ (4.117)

cu

)( kkk xLl ϕ−= (4.118)

Ecuaţiile (4.87), (4.96), (4.110) şi (4.117) reprezintă filtrul Kalman extins. Matricea A a

coeficienţilor din acest filtru nu este constantă, astfel încât crează prelucrări mai multe. La

mişcări mai ample, acest lucru este de mare importanţă, deoarece o constantă a coordonatelor

de aproximare nu poate fi absolut garantată.

Această actualizare a unui câmp de puncte cinematice a fost obţinute de Pelzer

(1987). Ca rezultat, alte formule luate de la Pelzer pot fi necesare pentru analiza cinematică

de deformare .

Folosind (4.104), vectorul de corecţii şi matricea de covarianţă pot fi calculaţi după

cum urmează:

- Corectiile vectorului de stare şi de observaţii:

kllkl

ky lD

K

v

vv 1

,

,

−Σ−== (4.119)

- Covarianţele corespunzătoare

Tkykyykykll

Tkll

kllT

llyl

lyyyvv AAK

KKDK

vvvv

vvvv

,,ˆˆ,,,

,

),(),(

),(),(

Σ−ΣΣ−Σ−

=ΣΣΣΣ

=Σ (4.120)



- Varianţa empirică pe unitatea de pondere:

k

k

k

kTk

k f

T

n

lDls ==

−12,0 (4.121)

nk =fk : numărul de observaţii pentru momentul tk

Inovare şi compatibilitate de testare

Determinarea vectorului de stare ky , va fi realizată în două etape.

- ecuaţiile de actualizare fără a exista observatii la momentul tk

- observaţiile sunt actualizate folosind (4.120).

Observaţiile pot fi permanent actualizate, în cazul în care inovaţia a fost analizată. În esenţă,

acestea sunt răspunsurile la două întrebări de mai jos:

a) observaţiile actuale sunt compatibile cu observaţiile prezise?

Vectorul de inovare este definit astfel:

)( kkkkk xLLLl ϕ−=−= (4.122)

Răspunsul la întrebarea de mai sus poate fi dat prin testare. În primul rând, ipoteza nula

trebuie să fie stabilită:

0:0 =klEH (4.123)

Ipoteza alternativă este:

0: ≠kA lEH (4.124)

Testarea statistică se calculează :

kTkk lDlT 1−= (4.125)

Testarea dacă ipoteza nulă este adevărată se realizează cu distribuţia statistică χ2- cu nk grade

de libertate. Pentru a testa ipoteza nulă comparam 21, αχ −kn cu Tk..

Ipoteza nulă este acceptată în cazul în care Tk este mai mică decât 21, αχ −kn , apoi observaţiile

pot fi actualizate în celelalte cazuri, ipoteza alternativă este valabilă. Motivele trebuie să fie

examinate la punctul b).

b) localizarea cauzelor care induc incompatibilitate

Având definiţia de inovare, vor rezulta cauzele de incompatibilitate a observaţiilor prevăzute

cu observaţii curente care constau în a prezice coordonate noi şi alte observaţii. În primul

rând, orice erori grave ale observaţiilor, sunt detectate şi apoi eliminate. Ele pot fi detectate cu

un test. Pentru a detecta erorile de observare într-o compensare a diferitelor metode de testare



Unterberg (analiza 1991) unde au fost propuse procedurile de testare pentru detectarea

erorilor brute în filtrul Kalman. Cercetarile sale extinse pe acest test au confirmat faptul că

este dificil să se decidă dacă a aparut o eroare de observatie grosolană sau dacă modelul de

mişcare este fals. Din acest motiv, ar fi util pentru a detecta erorile de observare înainte de

filtrare. În cauzele posibile de intoleranţă de inovaţie sunt excluse erorile doar în coordonatele

prezise. Testul de inovare acum arată că există variaţii ale modelului în punctele de reţea care

trebuie sa fie localizate primele. Prin urmare, este necesar pentru a investiga corecţii ale

vectorului de stare de predictie. Toate componentele vectorului trebuie să fie analizate si

compensate în comun, pentru că sunt corelate. Pentru a determina testarea unui punct Pi se

formeaza primul subvector vi.

ix

x

x

i

v

v

v

v

&&

&= (4.126)

−xv –corecţie de poziţie

−xv & corecţie de viteză

−xv && corecţie de acceleraţie

Cu acest subvector şi matricea corespunzătoare de covarianţă se aplică testul statistic pentru a

determina eroarea în acest punct al modelului.

iiiiTi

p

vvT

i 9

1

9χ≅Σ=

−

(4.127)

După compararea testului statistic χ2 cu 9 grade de libertate , decizia de test poate fi făcută.

În cazul în care 29χ≥

ipT se gaseste o schimbare de modele perturbatoare în acest punct. Acest

model de perturbare este eliminat prin creşteri de zgomot de sistem pentru acest punct. Cu

cresterea zgomotului de sistem, algoritmul reporneste.

Daca testul de semnificaţie nu mai arată inovaţia, atunci vectorul prezis de stare trebuie

evaluat.

kkkk lKyy +=ˆ (4.128)



Matricea covarianţă a vectorului stări de echilibru este calculat cu:

Tkyykyy KDK−Σ=Σ ,,ˆˆ (4.129)

Cazuri speciale

Pentru matricea de predicţie T şi coeficienţii matricei de zgomot distingem următoarele

cazuri speciale:

- Model dinamic

I

tT

0

1 ∆= (4.130)

0, xky AA = (4.131)

- Model static

T=I (4.132)

Ay,k=Ax (4.133)

Vectorul l de observare al unei reţele geodezice poate fi descompus în subvectori.

kkT lll 1−= (4.134)

Acesti subvectori arată că observaţiile pentru punctele temporare (k-1) şi k sunt cunoscute.

Vor fi păstraţi parametrii cum ar fi coordonate, pe motiv că din vectorul de observaţii l k-1 se

obţin vectorul coordonatelor 1ˆ −kx şi matricea corespunzătoare de cofactori 1, −kxxQ ca şi

vectorul de observare nou format l k ..

Potrivit subvectorului l se înlocuieşte cu următoarele matrici:

matricea pondere k

k

P

PP

0

01−= (4.135)

matricea coeficient kkT AAA 1−= (4.136)



formule uzuale de compensare:

k

k

k

k

T

k

kxx A

A

p

p

A

AQ 1111

0

0 −−−− = (4.137)

Sau kkTkkk

Tkxx APAAPAQ += −−−

−111

1

1111 )( −

−−− += kkTkkk

Tkxx APAAPAQ (4.138)

Folosind (4.109) în (4.138), atunci Qxx are următoarea formă:

Tkkkxxxx DKKQQ −= −1, (4.139)

Unde 11,

−−= DAQK T

kkxxk (4.140)

Tkkxxkk AQAPD 1,

1−

− += (4.141)

Pentru stabilirea coordonatelor vectorului X :

plAQx Txxk =ˆ (4.142)

Înlocuind (4.139) (4.136) (4.135) şi (4.134) în (3.142) şi după câteva transformări rezultă:

)ˆ(ˆˆ 11 −− −+= kkkkkk xAlKxx (4.143)

K este determinat din relaţia (4.140).

Compensarea recursiva, este utilizată atunci când a fost efectuat un număr mare de observaţii

sau sunt disponibile observaţii suplimentare.

Pentru acest algoritm recursiv este necesar a inversa matricea Dk . Aceasta ridică probleme

dacă matricea inversa K poate fi omisă. Pentru filtru Kalman, algoritmul recursiv este descris

într-o altă formă.

După actualizarea (k-1) - observaţiile sunt corectate în vectorul coordonatelor 1ˆ −kx rezultând

matricea de varianţă-covarianţă ∑ −1.kxx cu suma pătratelor corecţiilor 1−Ωk . Daca efectuăm

mai multe actualizari pentru o observaţie unică k avem nevoie de următoarele ecuaţii:



În termen absolut: 1ˆ( −−= kkk xLl ϕ ) (4.144)

Varianţa lk: Tkkxxkk aa 1,

21

2−Σ+= σσ (4.145)

Matricea de câştig kk: 2

1, / kTkkxxk ak σ−Σ= (4.146)

Coordonatele vectorului estimat kx : kkkk lkxx += −1ˆˆ (4.147)

Matricea de varianţă-covarianţă după actualizare :

( )( ) 21,, / k

Tkkkkkxxkxx kaak σ−Σ=Σ − (4.148)

Suma pătratelor corecţiilor: 2211 / kkkk l σ−− +Ω=Ω (4.149)

Acest algoritm se repetă până când nu mai există nici o eroare mare. Principalul avantaj al

acestui algoritm recursiv este acela de a compara raportul:

221 / kkl σ− (4.150)

Comparând această procedură de mai sus cu filtrul Kalman, se poate concluziona că cele

două metode de lucru sunt identice în cazul în care nu este inclus zgomotul de sistem în

procesul de evaluare.

IV. 4 Concluzii

Interpretarea deformaţiilor spaţiale ale obiectelor determinate prin măsurători

geodezice a fost realizată prin metode geometrice, extinzându-se la modele cinematice care au

ca parametri specifici viteza si acceleraţia folosite pentru puncte discrete ale obiectului

examinat.

O altă abordare este analiza deformării prin metode dinamice, unde nu se ia în

considerare doar schimbarea geometriei unui obiect în spaţiu şi timp. Ele mai degrabă

investigate şi unite, influenţează factorii (forţe cauzative, sarcini externe şi interne) cauzând

deformaţia. Ele privesc şi proprietăţile fizice ale obiectelor (constante materiale, coeficienţi de

extindere) care sunt caracteristice şi responsabile pentru răspunsul obiectului la acţiunea

forţelor.

Filtrul Kalman permite integrarea unor date suplimentare care influenţează poziţia obiectului

examinat. Acesta se utilizează la filtrarea mărimilor de stare a unui sistem, eliminând

zgomotul prin modelarea părţii deterministe a sistemului.



CAPITOLUL V - STUDIU DE CAZ

V.1 Descrierea şi caracteristicile studiului de caz

Obiectul studiului de caz este barajul Tileagd construit din anrocamente si centrala

hidroelectrică aferentă acestuia, amplasate pe Crişul Repede între orasul Aleşd şi Oradea, la o

distanţă de 23 km în amonte de Oradea.

Caracteristicile barajului :

- cotă coronament 199.0 m

- cotă fundaţie 161.5 m

- înălţime baraj 37.5 m

- lungime front retenţie 36.5 m

- N.N.R. 195.0 m

- N. minim de exploatare 183.0 m

- N. maxim de exploatare 197.0 m

Acumularea Tileagd a fost pusă în funcţiune în anul 1988.

Reţeaua geodezică de urmărire planimetrică a barajului şi centralei Tileagd este o reţea de

microtriangulaţie formată din doisprezece pilaştri de tip foraţi doisprezece reperi de parament

montaţi pe centrală şi baraj si cinci borne pentru urmărirea planimetrică a digului mal drept în

zona RK unde a fost semnalată o fisură în anul 1990.

Pilaştrii au fost dispusi astfel :

- patru pe malul drept al canalului de fugă- PI (deteriorat), PIV, PVII şi PD

- trei pe digul dintre canalul de fugă şi Crişul Repede- PII, PV si PS (distrus)

- cinci pe malul stâng al Crişului Repede – PIII, PVI, PVIII, PIX şi PX

- doi în grădinile proprietarilor particulari din apropierea zonei de RK- PXI şi PXII si nu

există vizibilitate nici între ei, nici dinspre ei spre ceilalţi pilaştri.

Reperii de parament sunt amplasaţi pe centrală şi pe baraj astfel :

- cinci pe centrală : R1, R2, R3, R3A şi R3B

- şapte pe baraj şi priză R1A, R4, R5, R6, R7 R8 şi R9.

Condiţii de exploatare în timpul mǎsurǎtorilor

În timpul efectuării măsurătorilor centrala funcţiona în condiţii normale, cu lacul

aproape plin.

Perioada efectuǎrii mǎsurǎtorilor



Coordonatele punctelor reţelei sunt determinate într-un sistem de coordonate local, constituit

special în scopul urmăririi în timp a construcţiilor acestei acumulări.

Măsurătorile în vederea urmăririi comportării barajului în reţeaua de microtriangulaţie au

fost efectuate în perioada 06.08 2001- 15.10.2005 respectiv 01.08.2006- 01.06.2009.

Măsurarea directiilor unghiulare între punctele reţelei de control şi punctele obiect au fost

realizate cu teodolotul Wild T3, prin metoda turului de orizont cu două serii complete.

Prelucrarea datelor s-a efectuat cu ajutorul programului APORT 2000. Măsurătorile efectuate

în reţeaua planimetrică au fost compensate în prima etapă ca măsurători într-o reţea liberă.

Rezultatul deplasarilor planimetrice ale punctelor sunt trecute in tabelul de mai jos (anexa nr.

1) iar schiţa amplasării punctelor reţelei de urmărire în fig. 5.1

spre

Ora

dea PD

P IXCrişul R

epede

P VIIIP VI

P III

canal de fuga

P V

P II

R7 R8

R9

R5 R6

Baraj

sp

re C

luj

P VII P I R2

R3

R3A

R3B

CH

E T

ileagd

R1A

R4

pri

ză

P IV

R1

Staţie 110 KW

Talu

z înie

rbat

Talu

z înie

rbat

B1Talu

z înie

rbat

P X

Fig. 5.1 Schiţa amplasării punctelor reţelei de urmărire



Anexa nr. 1- rezultatul deplasărilor planimetrice a punctelor reţelei geodezice şi a punctelor obiect faţă de ciclul zero de măsurare

PIL Cordonate de baza aug.01 oct.01 apr.02 oct.02 apr.03 oct.03 apr.04 oct.04 apr.05 oct.05

REP X(m) Y(m) dX dY dX dY dX dY dX dY dX dY dX dY dX dY dX dY dX dY dX dY

PI 999,9991 1000,0016 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

PII 931,1442 1019,0063 4,4 -

14,2 9,3 -

17,7 9,4 -

13 9 -

12,7 9,1 -

13 9,9 -

13,6 10 -14 8,3 -

13 9,3 -

14 7,64 -14

PIII 844,0286 1038,3341 -13 1,3 -4,6 -0,7 -4,6 1,2 -5,7 1,5 -6,4 2,5 -4,2 2,3 -

4,3 0,5 -

3,8 -

1,9 -4,8 -

0,2 -5,3 0,67

PIV 1007,976 952,9093 - - -1,7 -6,2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

PV 916,349 981,241 10,2 -6,7 16,8 -9,7 18,1 -

6,7 19,1 -6,9 19 -

6,1 19,9 -7,3 21 -

8,4 20 -

8,5 21 -

8,5 20,2 -7,3

PVI 834,4927 1006,5275 -7,6 2,4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

PVII 979,1537 884,8074 -1,9 -

10,4 -4,7 -7,6 0 0 0 0 0 0 0 0 -

2,4 -8 0 0 -1,8 -8 -2 -6,7

PVIII 828,3989 974,7381 2 -

15,7 10,7 -14 10,7 -

14 12,5 -

12,4 12,4 -

13 11,3 -

13,2 11 -14 11 -

15 11,6 -

13 11,7 -13

PIX 840,34 763,947 -8,5 -

15,1 - - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

PX 1094,636 709,333 - - 5 7 -0,3 2,4 -1,9 2,3 -2,1 2,2 -7,2 5,1 6,7 0,5 6,2 -

3,4 0,7 5,7 0 0

B1 1028,372 1141,321 -1,5 -0,9 9 -16 2,2 -

8,6 2,1 -

10,9 -3,7 -

13 0,9 -

12,7 2,2 -18 -

0,3 -

18 1,4 -

13 -3,5 -17

PD 763,102 894,533 7,9 -

10,9 - - 9,5 3,3 11,9 5,7 13,2 5,9 15,3 6,2 9,9 5,2 14 5,1 10,7 3,9 11,8 4,04

PS 772,731 841,708 - - - - - - - - - - - - - - - - - -



PIL Cordonate de baza aug.06

nov 06

mai.07

sep.07

aug.08

oct.08

iul.09

REP X(m) Y(m) dX dY dX dY dX dY dX dY dX dY dX dY d X dY

PI 999,9991 1000,0016 - - - - - - - - - - - - - -

PII 931,1442 1019,0063 11 -17,9 11,5 -14,3 12,3 -16,1 11,4 -18,3 12,7 -18,7 13 -16,6 12,4 -19,9

PIII 844,0286 1038,3341 -4 1,4 -2,9 2,2 -5 1,2 -5,6 0,7 -6 2 -4,3 0,8 -6 0,5

PIV 1007,976 952,9093 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

PV 916,349 981,241 24,2 -9,4 26,3 -9,1 26,3 -9,5 27 -10 28,1 -10,2 30,1 -10,2 28,2 -11,1

PVI 834,4927 1006,5275 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

PVII 979,1537 884,8074 -4,6 -8,7 -4,1 -7,6 -5,1 -8,2 -5,1 -8,9 -5,1 -8,4 -4,7 -8,6 -4,5 -9,5

PVIII 828,3989 974,7381 11,6 -12,9 12 -11,6 10,7 -13,4 10,7 -14,1 10,9 -12,5 11,7 -12,9 10,5 -12,9

PIX 840,34 763,947 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

PX 1094,636 709,333 0,3 5,2 1,4 6,6 -2,8 7,1 -1,2 4,6 -2,4 7 -1,4 5,5 -1 4,8

B1 1028,372 1141,321 2,6 -18,3 4,9 -15,7 1,3 -16,6 3,6 -17,1 5,3 -15,9 3,9 -13,1 2,3 -17,5

PD 763,102 894,533 10,6 1,4 7,5 3,9 10,8 0,9 10,5 1,3 13,6 -0,6 9,5 1,6 12,4 -0,2

PS 772,731 841,708 5,8 -18,5 7,1 -7,3 8,4 -7,6 8,9 -9,5 11,6 -7,3 13,6 -4,3 13,9 -7,9



V.2 Aplicaţia filtrului Kalman asupra re ţelei geodezice de urmărire

Filtrul Kalman a fost aplicat cu ajutorul unui cod al programului MATHLAB. Întâi am încercat să estimez poziţia pilastrului P2 dar separat pe axa x şi axa y, astfel:

function [Z_buffer,Xk_buffer,Z_buffer_pred,Xk_buffe r_pred] = filtru_kalman_v2(scop, X, X_initial, X_final, Xk_anterior, Zgomot) % INTRARE: X - setul de date de intrare % X_initial - prima valoare din setul de date % Xk_anterior - valoarea (estimată) la momentul initial % Zgomot - zgomotul suprapus % % IESIRE: Z_buffer - valorile masurate (impreuna cu zgomotul) % Xk_buffer - valorile estimate de filtru Kalman % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Initializare pentru estimata starii curente Xk = []; % Phi reprezinta dinamica sistemului. Este liniar deci are forma: Phi = [1 1; 0 1]; %++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ % X(k+1) = Phi*Xk(k) + W(k), unde Phi este matricea de tranzitie a starilor % iar W este zgomotul masurat (W = Zgomot)! % Presupunem ca zgomotul masurat este de tip normal cu media zero % si deviatia standard SIGMA %++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ % P este matricea de covarianta a erorii Eq. 4.4.3 sigma_model = 10; P = [sigma_model^2 0; 0 sigma_model^2]; % Q este covarianta zgomotului de proces si reprezinta cantitatea de % incertitudine a modelului. Eq. 4.4.1 Q = [0 0; 0 0]; % H este matricea de masuratori (matricea de legatura dintre vectorul de % stari si cel masurat). % Masuram X, deci H(1) = 1 iar H(2)= 0 (nu se masoara, se estimeaza) H = [1 0]; % R este covarianta zgomotului masurat Eq. 4.4.2 sigma_masurat = 10; R = sigma_masurat^2; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Filtrul Kalman %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Buffere necesare pentru afisarea rezultatelor Xk_buffer = zeros(2,size(X,2)); Xk_buffer(:,1) = Xk_anterior; Z_buffer = zeros(1,size(X,2)); Z_buffer(:,1) = X_initial; for k = 1:size(X,2)-1 % Z este vectorul de masuratori Eq. 4.40 Z = X(k+1) + sigma_masurat*Zgomot(k+1); %Z = X(k+1); Z_buffer(k+1) = Z; % Iteratii Kalman (vezi figura 11.1) - proiectia in k + 1: P1 = Phi*P*Phi' + Q; S = H*P1*H' + R; % % K este castigul Kalman. Daca K este mare, masuratorile sunt prea % ponderate. Daca K este prea mic, modelul de predictie este prea % ponderat.



K = P1*H'*inv(S); % Eq. 4.74 P = P1 - K*H*P1; % Eq. 4.76 % Corectia estimatei % Eq. 4.75 Xk = Xk_anterior + K*(Z - H*Xk_anterior); Xk_buffer(:,k+1) = Xk; % Pentru urmatoarea iteratie (Xk_anterior este acum Xk): Xk_anterior = Xk; end; if strcmp(scop,'predictie') disp('Ati ales predictie'); etp = input('Introduceti numarul de esantioane de timp in viitor (predictie) = '); % Initializare Qt = [sigma_masurat 0; 0 sigma_masurat]; Xk_pred = [ ]; RR = [1 0;0 1]; Xk_buffer_pred = zeros(2,etp); % Initializare cu ultima valoare Xk_buffer_pred(:,1) = Xk_buffer(:,end); Z_buffer_pred = zeros(1,etp); Z_buffer_pred(:,1) = X_final; X_p = Xk_buffer(:,end); for k = 1:etp - 1 % Varianta 1 Xk_pred = Phi*X_p; P = Phi*P*Phi'+ RR*Qt*RR'; Z_pred = H*Xk_pred; Z_buffer_pred(k+1) = Z_pred; Xk_buffer_pred(:,k+1) = Xk_pred; X_p = Xk_pred; % % Varianta 2 % Xk_buffer_pred(:,k+1) = Phi*Xk_buffer(:,end); % P = Phi*P*Phi'+ RR*Qt*RR'; % % Z_buffer_pred(k+1) = H*Xk_pred; end else Z_buffer_pred = []; Xk_buffer_pred = []; disp('Ati ales estimare'); end % Varianta 1 - estimare separata pe x si y %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Datele pentru P2 pe X: X_initial = 931.1442; dX = 0.001*[4.4 9.3 9.4 9 9.1 9.9 10.3 8.3 9.3 7.64]; %X_total = [X_initial X_initial + dX]; dX2 = 0.001*[11 11.5 12.3 11.4 12.7 13 12.4]; X_total = [X_initial X_initial + dX X_initial + dX2]; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Se aplica filtrul Kalman pentru varianta 1 % Starea initiala (ghicita): Xk_anterior = [931.0; 931.0]; Zgomot = 0.001*randn(1,size(X_total,2)); % 0.001 --> milimetrii ! X_final = X_total(end); scop = 'estimare';



[Z_buffer_x, Xk_buffer, Z_buffer_pred_x, Xk_buffer_pred] = filtru_kalman_v2(scop, X_total, X_initial, X_final, Xk_anterior, Zgomot); % Afisarea rezultatelor figure(1); plot(1:size(X_total,2)-1,X_total(2:end),'g'); hold on; plot(1:size(X_total,2)-1,Z_buffer_x(2:end),'b'); plot(1:size(X_total,2)-1,Xk_buffer(1,2:end),'r'); % plot(0:size(X_final,2)-1,X_final,'g'); % hold on; % plot(0:size(X_total,2)-1,Z_buffer,'b'); % plot(0:size(X_total,2)-1,Xk_buffer(1,:),'r'); title('Rezultate - Pozitia estimata pe X'); xlabel('Esantioane in timp'); ylabel('Deplasarea pe X'); legend('Pozitia masurata pe X','Pozitia cu zgomot pe X','Deplasarea pe X estimata cu ajutorul filtrului Kalman'); grid on %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Evaluarea erorilor Eroare1_x = X_final - Xk_buffer(1,:); Eroare2_x = X_final - Z_buffer_x; % Eroarea Medie Patratica dintre valorile reale si cele masurate EMP_reale_masurate_x = mse(Eroare2_x) % Eroarea Medie Patratica dintre valorile reale si estimate EMP_reale_estimate_x = mse(Eroare1_x) % Deviatia standard dintre valorile reale si cele masurate Dev_std_reale_masurate_x = std(X_final - Z_buffer_x) % Deviatia standard dintre valorile reale si cele estimate Dev_std_reale_estimate_x = std(X_final - Xk_buffer(1,:)) eroarea_x = Z_buffer_x - Xk_buffer(1,:) if strcmp(scop,'predictie') Valoarea_pe_X_in_viitor = Xk_buffer_pred(1,:) end Ultima_valoare_estimata_pe_X = Xk_buffer(1,end) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Datele pentru P2 pe Y: Y_initial = 1019.0063; dY = 0.001*[-14.2 -17.7 -13.3 -12.7 -13.1 -13.6 -14.1 -13.2 -14.4 -13.74]; %Y_total = [Y_initial Y_initial + dY]; dY2 = 0.001*[-17.9 -14.3 -16.1 -15.3 -18.7 -16.6 -19.9]; Y_total = [Y_initial Y_initial + dY Y_initial + dY2]; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Se aplica filtrul Kalman pentru varianta 1 % Starea initiala (ghicita): Yk_anterior = [1019.1; 1019.1]; %Zgomot = 0.001*randn(1,size(Y_total,2)); % 0.001 --> milimetrii ! Y_final = Y_total(end); [Z_buffer_y, Yk_buffer, Z_buffer_pred_y, Yk_buffer_pred] = filtru_kalman_v2(scop, Y_total, Y_initial, Y_final, Yk_anterior, Zgomot); % Afisarea rezultatelor figure(2); plot(1:size(Y_total,2)-1,Y_total(2:end),'g'); hold on; plot(1:size(Y_total,2)-1,Z_buffer_y(2:end),'b'); plot(1:size(Y_total,2)-1,Yk_buffer(1,2:end),'r'); % plot(0:size(Y_final,2)-1,Y_final,'g'); % hold on;



% plot(0:size(Y_total,2)-1,Z_buffer_y,'b'); % plot(0:size(Y_total,2)-1,Yk_buffer(1,:),'r'); title('Rezultate - Pozitia estimata pe Y'); xlabel('Esantioane in timp'); ylabel('Deplasarea pe Y'); legend('Pozitia masurata pe Y','Pozitia cu zgomot pe Y','Deplasarea pe Y estimata cu ajutorul filtrului Kalman'); grid on %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Evaluarea erorilor Eroare1_y = Y_final - Yk_buffer(1,:); Eroare2_y = Y_final - Z_buffer_y; % Eroarea Medie Patratica dintre valorile reale si cele masurate EMP_reale_masurate_y = mse(Eroare2_y) % Eroarea Medie Patratica dintre valorile reale si estimate EMP_reale_estimate_y = mse(Eroare1_y) % Deviatia standard dintre valorile reale si cele masurate Dev_std_reale_masurate_y = std(Y_final - Z_buffer_y) % Deviatia standard dintre valorile reale si cele estimate Dev_std_reale_estimate_y = std(Y_final - Yk_buffer(1,:)) eroarea_y = Z_buffer_y - Yk_buffer(1,:) if strcmp(scop,'predictie') Valoarea_pe_Y_in_viitor = Yk_buffer_pred(1,:) end Ultima_valoare_estimata_pe_Y = Yk_buffer(1,end) Se observă cum la început diferenţa dintre poziţia reală şi cea estimată este foarte mare, iar apoi cu cât introducem mai multe seturi de măsurători, cu atât estimarea este mai apropiată de valoarea reală, tendinţa fiind de minimizare a erorilor.



Fig 5.2 Poziţiile estimate cu filtrul Kalman pe axa X pentru pilastrul PII



Fig 5.3 Poziţiile estimate cu filtrul Kalman pe axa Y pentru pilastrul PII Apoi am încercat să aplic filtrul Kalman pe vectorul deplasarărilor tot pentru acest pilastru P2 function y = kalman_2d(z, X_initial, Y_initial) % % X_initial si Y_initial - sunt datele initiale (inainte de deplasare) % Daca nu sunt cunoscute sau introduse se presupune X_initial = Y_initial % = 1; % ----------------------------------------------------------------------- % ----------------------------------------------------------------------- % Legile de miscare pentru estimarea starilor (pozitiilor) noi sunt: % X = X_0 + Vxdt % Y = Y_0 + Vydt % Vx = V_x0 + Axdt % Vy = V_y0 + Aydt % Aceste relatii sunt incluse in matricea A de tranzitie a starilor ce % contine cele 6 valorile (pentru x, y, Vx, Vy, Ax, and Ay) % ----------------------------------------------------------------------- % Initializarea matricei de tranzitie a starilor dt = 1;



A = [ 1 0 dt 0 0 0;... 0 1 0 dt 0 0;... 0 0 1 0 dt 0;... 0 0 0 1 0 dt;... 0 0 0 0 1 0 ;... 0 0 0 0 0 1 ]; % ----------------------------------------------------------------------- % Matrice de masuratori if nargin == 1 H = [ 1 0 0 0 0 0; 0 1 0 0 0 0 ]; else H = [ X_initial 0 0 0 0 0; 0 Y_initial 0 0 0 0 ]; end Q = eye(6); R = 50 * eye(2); % ----------------------------------------------------------------------- % Conditiile initiale persistent x_est p_est if isempty(x_est) x_est = zeros(6, 1); p_est = zeros(6, 6); end % Filtru Kalman foloseste starea estimata la un moment anterior, pentru a % calcula (estima) starea curenta: % ----------------------------------------------------------------------- % Starea si covarianta estimata x_prd = A * x_est; p_prd = A * p_est * A' + Q; % ----------------------------------------------------------------------- % Estimarea propriu-zisa - klm_gain - castigul Kalman S = H * p_prd' * H' + R; B = H * p_prd'; klm_gain = (S \ B)'; x_est = x_prd + klm_gain * (z - H * x_prd); p_est = p_prd - klm_gain * H * p_prd; % ----------------------------------------------------------------------- % Estimarea finala y = H * x_est; end % Datele pentru P2 pe X: X_initial = 931.1442; dX = 0.001*[4.4 9.3 9.4 9 9.1 9.9 10.3 8.3 9.3 7.64]; dX2 = 0.001*[11 11.5 12.3 11.4 12.7 13 12.4]; X_total = [X_initial X_initial + dX X_initial + dX2]; % ----------------------------------------------------------------------- % Datele pentru P2 pe Y: Y_initial = 1019.0063; dY = 0.001*[-14.2 -17.7 -13.3 -12.7 -13.1 -13.6 ... -14.1 -13.2 -14.4 -13.74]; dY2 = 0.001*[-17.9 -14.3 -16.1 -15.3 -18.7 -16.6 -19.9]; Y_total = [Y_initial Y_initial + dY Y_initial + dY2]; % ----------------------------------------------------------------------- pozitia_reala = [Y_total; X_total]; figure; title('Pozitia masurata (albastra), Pozitia estimata (verde) - 18 esantioane'); xlabel('Deplasare pe orizontala'); ylabel('Deplasare pe verticala'); %hold; grid; reala = zeros(2,size(pozitia_reala,2)); estimata = zeros(2,size(pozitia_reala,2)); eroare = zeros(1,size(pozitia_reala,2));



% ----------------------------------------------------------------------- % Bucla pentru filtru Kalman for idx = 1:size(pozitia_reala,2) % Pozitia reala z = pozitia_reala(:,idx); reala(:,idx) = z; % ------------------------------------------------------------------- % Pozitia estimata de filtrul Kalman + eroarea y = kalman_2d(z, X_initial, Y_initial); estimata(:,idx) = y; eroare(idx) = abs(sqrt(z(1)^2 + z(2)^2) - sqrt(y(1)^2 + y(2)^2)); end % Afisarea rezultatelor % ----------------------------------------------------------------------- hold on for idx = 1:size(pozitia_reala,2) plot(reala(1,idx), reala(2,idx), 'rx-'); %plot(estimata(1,idx), estimata(2,idx), 'go-'); text(reala(1,idx),reala(2,idx), sprintf('%d', idx)); pause(0.5); end for idx = 1:size(pozitia_reala,2) %plot(reala(1,idx), reala(2,idx), 'bx-'); plot(estimata(1,idx), estimata(2,idx), 'go-'); text(estimata(1,idx), estimata(2,idx), sprintf('%d', idx)); pause(0.5); end hold off % ----------------------------------------------------------------------- figure plot(1:length(eroare),eroare); title('Evolutia erorii dintre deplasarea masurata si cea estimata pentru 18 esantioane'); xlabel('Esantioane de timp'); ylabel('Valoarea erorii'); grid; eroare for idx = 1:size(pozitia_reala,2) % Pozitia reala z = pozitia_reala(:,idx); reala(:,idx) = z; % Datele pentru P2 pe X: X_initial = 931.1442; dX = 0.001*[4.4 9.3 9.4 9 9.1 9.9 10.3 8.3 9.3 7.64]; dX2 = 0.001*[11 11.5 12.3 11.4 12.7 13 12.4]; X_total = [X_initial X_initial + dX X_initial + dX2]; % ----------------------------------------------------------------------- % Datele pentru P2 pe Y: Y_initial = 1019.0063; dY = 0.001*[-14.2 -17.7 -13.3 -12.7 -13.1 -13.6 ... -14.1 -13.2 -14.4 -13.74]; dY2 = 0.001*[-17.9 -14.3 -16.1 -15.3 -18.7 -16.6 -19.9]; Y_total = [Y_initial Y_initial + dY Y_initial + dY2]; % ----------------------------------------------------------------------- pozitia_reala = [Y_total; X_total]; figure; title('Pozitia masurata (albastra), Pozitia estimata (verde) - 18 esantioane'); xlabel('Deplasare pe orizontala'); ylabel('Deplasare pe verticala'); %hold; grid; reala = zeros(2,size(pozitia_reala,2));



estimata = zeros(2,size(pozitia_reala,2)); eroare = zeros(1,size(pozitia_reala,2)); % ----------------------------------------------------------------------- % Bucla pentru filtru Kalman for idx = 1:size(pozitia_reala,2) % Pozitia reala z = pozitia_reala(:,idx); reala(:,idx) = z; % ------------------------------------------------------------------- % Pozitia estimata de filtrul Kalman + eroarea y = kalman_2d(z, X_initial, Y_initial); estimata(:,idx) = y; eroare(idx) = abs(sqrt(z(1)^2 + z(2)^2) - sqrt(y(1)^2 + y(2)^2)); end % Afisarea rezultatelor % ----------------------------------------------------------------------- hold on for idx = 1:size(pozitia_reala,2) plot(reala(1,idx), reala(2,idx), 'rx-'); %plot(estimata(1,idx), estimata(2,idx), 'go-'); text(reala(1,idx),reala(2,idx), sprintf('%d', idx)); pause(0.5); end for idx = 1:size(pozitia_reala,2) %plot(reala(1,idx), reala(2,idx), 'bx-'); plot(estimata(1,idx), estimata(2,idx), 'go-'); text(estimata(1,idx), estimata(2,idx), sprintf('%d', idx)); pause(0.5); end hold off % ----------------------------------------------------------------------- figure plot(1:length(eroare),eroare); title('Evolutia erorii dintre deplasarea masurata si cea estimata pentru 18 esantioane'); xlabel('Esantioane de timp'); ylabel('Valoarea erorii'); grid;



Fig. 5.4 Poziţiile reale pentru pilastrul PII

Fig. 5.5 Poziţiile estimate cu filtrul Kalman pentru pilastrul PII



Fig. 5.6 Poziţiile reale suprapuse peste cele estimate cu filtrul Kalman pentru pilastrul PII La fel şi aici diferenţa dintre valoarea estimată şi cea reală este la început foarte mare, dar apoi cu cât se dau mai multe date cu atât estimarea este mai bună, eroarea rezultată apropiindu-se de valoarea zero după al doilea ciclu de măsurători. Rezultatele estimărilor comparativ cu datele reale sun trecute în anexa de mai jos. Rezultatele estimării cu filtrul Kalman asupra reperilor aplasa ţi pe centrala electrică

Reperul R1

Valoarea reală Valoarea estimată Eroarea rezultată X(m) Y(m) X(m) Y(m) (m) 9.9869000e+002 1.0614800e+003 9.9789169e+002 1.0606315e+003 1.1650173e+000 9.9869470e+002 1.0614812e+003 9.9869438e+002 1.0614809e+003 4.6727109e-004 9.9869750e+002 1.0614695e+003 9.9869759e+002 1.0614696e+003 1.3480060e-004 9.9869640e+002 1.0614756e+003 9.9869640e+002 1.0614756e+003 1.4949856e-006 9.9869670e+002 1.0614759e+003 9.9869668e+002 1.0614759e+003 2.3696553e-005 9.9869750e+002 1.0614762e+003 9.9869749e+002 1.0614762e+003 1.8011671e-005 9.9869740e+002 1.0614732e+003 9.9869739e+002 1.0614732e+003 8.9009866e-006 9.9869770e+002 1.0614729e+003 9.9869770e+002 1.0614729e+003 4.2681872e-006 9.9869540e+002 1.0614764e+003 9.9869540e+002 1.0614764e+003 1.4629443e-006 9.9869630e+002 1.0614747e+003 9.9869630e+002 1.0614747e+003 2.1884944e-008 9.9869346e+002 1.0614673e+003 9.9869346e+002 1.0614673e+003 1.0021672e-006



Reperul R2 Valoarea reală Valoarea estimată Eroarea rezultată X(m) Y(m) X(m) Y(m) (m) 9.8391000e+002 1.0653000e+003 9.8390982e+002 1.0652969e+003 2.3690557e-003 9.8391170e+002 1.0652973e+003 9.8391192e+002 1.0653011e+003 2.9438016e-003 9.8391690e+002 1.0652867e+003 9.8391692e+002 1.0652871e+003 2.8371524e-004 9.8391600e+002 1.0652940e+003 9.8391598e+002 1.0652936e+003 3.1362906e-004 9.8391450e+002 1.0652938e+003 9.8391448e+002 1.0652934e+003 2.8541424e-004 9.8391590e+002 1.0652959e+003 9.8391589e+002 1.0652957e+003 1.6129231e-004 9.8391670e+002 1.0652921e+003 9.8391669e+002 1.0652920e+003 6.9853406e-005 9.8391660e+002 1.0652951e+003 9.8391660e+002 1.0652951e+003 2.5416083e-005 9.8391370e+002 1.0652973e+003 9.8391370e+002 1.0652973e+003 5.7613811e-006 9.8391380e+002 1.0652913e+003 9.8391380e+002 1.0652913e+003 3.9326051e-007 9.8390838e+002 1.0652899e+003 9.8390838e+002 1.0652899e+003 7.8991320e-007 Reperul R3 Valoarea reală Valoarea estimată Eroarea rezultată X(m) Y(m) X(m) Y(m) (m) 9.6788000e+002 1.0695800e+003 9.6788000e+002 1.0695767e+003 2.4319023e-003 9.6787900e+002 1.0695812e+003 9.6787899e+002 1.0695853e+003 3.0235171e-003 9.6788800e+002 1.0695703e+003 9.6788800e+002 1.0695707e+003 2.9147475e-004 9.6788560e+002 1.0695767e+003 9.6788560e+002 1.0695763e+003 3.2137786e-004 9.6788680e+002 1.0695761e+003 9.6788680e+002 1.0695757e+003 2.9363717e-004 9.6788620e+002 1.0695770e+003 9.6788620e+002 1.0695768e+003 1.6512711e-004 9.6788970e+002 1.0695753e+003 9.6788970e+002 1.0695752e+003 7.2660705e-005 9.6788720e+002 1.0695753e+003 9.6788720e+002 1.0695753e+003 2.4969073e-005 9.6788420e+002 1.0695753e+003 9.6788420e+002 1.0695753e+003 6.3015102e-006 9.6788580e+002 1.0695743e+003 9.6788580e+002 1.0695743e+003 7.2373064e-007 9.6788334e+002 1.0695724e+003 9.6788334e+002 1.0695724e+003 1.4419750e-006 Reperul R4 Valoarea reală Valoarea estimată Eroarea rezultată X(m) Y(m) X(m) Y(m) (m) 9.4845000e+002 1.1449000e+003 9.4844991e+002 1.1448846e+003 1.1941481e-002 9.4846450e+002 1.1449067e+003 9.4846461e+002 1.1449259e+003 1.4844077e-002 9.4847380e+002 1.1448943e+003 9.4847381e+002 1.1448961e+003 1.4321627e-003 9.4847360e+002 1.1449022e+003 9.4847359e+002 1.1449002e+003 1.5761710e-003 9.4846880e+002 1.1449009e+003 9.4846879e+002 1.1448990e+003 1.4434024e-003 9.4847100e+002 1.1448986e+003 9.4847099e+002 1.1448976e+003 8.1250249e-004 9.4846880e+002 1.1448965e+003 9.4846880e+002 1.1448960e+003 3.5608550e-004 9.4847300e+002 1.1449030e+003 9.4847300e+002 1.1449028e+003 1.2656752e-004 9.4846770e+002 1.1449010e+003 9.4846770e+002 1.1449010e+003 2.8560443e-005 9.4847260e+002 1.1449024e+003 9.4847260e+002 1.1449024e+003 2.4854473e-006 9.4846659e+002 1.1448993e+003 9.4846659e+002 1.1448993e+003 6.3018224e-006

După primele date introduse în filtrul Kalman estimările sunt foarte imprecise,

comparându-le cu datele reale dar după mai multe iteraţii si date introduse, erorile tind spre

zero.



Rezultatele estimării cu filtrul Kalman asupra reperilor aplasa ţi pe baraj Reperul R5 Valoarea reală Valoarea estimată Eroarea rezultată X(m) Y(m) X(m) Y(m) (m) 9.3532000e+002 1.1482200e+003 9.3532018e+002 1.1482171e+003 2.1244261e-003 9.3533190e+002 1.1482272e+003 9.3533167e+002 1.1482308e+003 2.6440355e-003 9.3534350e+002 1.1482142e+003 9.3534348e+002 1.1482146e+003 2.5850995e-004 9.3533920e+002 1.1482211e+003 9.3533923e+002 1.1482207e+003 2.8088479e-004 9.3534190e+002 1.1482235e+003 9.3534192e+002 1.1482232e+003 2.5763990e-004 9.3533780e+002 1.1482178e+003 9.3533781e+002 1.1482176e+003 1.4285014e-004 9.3533960e+002 1.1482204e+003 9.3533960e+002 1.1482203e+003 6.5459932e-005 9.3534390e+002 1.1482161e+003 9.3534390e+002 1.1482161e+003 2.1777587e-005 9.3533820e+002 1.1482150e+003 9.3533820e+002 1.1482150e+003 4.7904143e-006 9.3534080e+002 1.1482131e+003 9.3534080e+002 1.1482131e+003 1.1164093e-006 9.3533805e+002 1.1482071e+003 9.3533805e+002 1.1482071e+003 1.8220355e-006 Reperul R6 Valoarea reală Valoarea estimată Eroarea rezultată X(m) Y(m) X(m) Y(m) (m) 9.3457000e+002 1.1483900e+003 9.3457012e+002 1.1483900e+003 5.5203700e-005 9.3456630e+002 1.1484049e+003 9.3456615e+002 1.1484049e+003 7.0458065e-005 9.3457550e+002 1.1483932e+003 9.3457548e+002 1.1483932e+003 3.9413383e-006 9.3457250e+002 1.1484010e+003 9.3457252e+002 1.1484010e+003 6.3881796e-006 9.3457050e+002 1.1483971e+003 9.3457052e+002 1.1483971e+003 8.1060193e-006 9.3456830e+002 1.1483893e+003 9.3456831e+002 1.1483893e+003 4.1319195e-006 9.3456840e+002 1.1483911e+003 9.3456840e+002 1.1483911e+003 2.7898068e-007 9.3457000e+002 1.1483881e+003 9.3457000e+002 1.1483881e+003 9.4825577e-007 9.3456650e+002 1.1483870e+003 9.3456650e+002 1.1483870e+003 6.0071761e-007 9.3457140e+002 1.1483971e+003 9.3457140e+002 1.1483971e+003 2.2715781e-006 9.3456745e+002 1.1483895e+003 9.3456745e+002 1.1483895e+003 3.5849496e-006

Reperul R7 Valoarea reală Valoarea estimată Eroarea rezultată X(m) Y(m) X(m) Y(m) (m) 9.2159000e+002 1.1519100e+003 9.2158950e+002 1.1519061e+003 3.3567643e-003 9.2158490e+002 1.1519239e+003 9.2158553e+002 1.1519287e+003 4.1696219e-003 9.2159740e+002 1.1519119e+003 9.2159746e+002 1.1519124e+003 4.0344291e-004 9.2159210e+002 1.1519129e+003 9.2159204e+002 1.1519124e+003 4.4220271e-004 9.2159410e+002 1.1519141e+003 9.2159404e+002 1.1519136e+003 4.0706681e-004 9.2159380e+002 1.1519208e+003 9.2159377e+002 1.1519205e+003 2.2862622e-004 9.2159110e+002 1.1519054e+003 9.2159109e+002 1.1519053e+003 9.6679585e-005 9.2158980e+002 1.1519075e+003 9.2158979e+002 1.1519075e+003 3.7956063e-005 9.2159010e+002 1.1519162e+003 9.2159010e+002 1.1519162e+003 1.0066448e-005 9.2158880e+002 1.1519126e+003 9.2158880e+002 1.1519126e+003 1.9705053e-006 9.2158998e+002 1.1519108e+003 9.2158998e+002 1.1519108e+003 1.0046674e-006





V.3 Aplicarea metodei elementului finit asupra reţelei geodezice de urmărire

Apoi am aplicat metoda elementului finit atât asupra punctele reţelei geodezice de urmărire cât

si asupra punctelor obiect cu ajutorul programului COMSOL1.

COMSOL Multiphysics (fostă FEMLAB) este un pachet de programe specializat pentru

rezolvarea, simularea şi analiza diverselor aplicaţii din fizică şi inginerie cu ajutorul metodei

elementului finit. COMSOL Multiphysics oferă o interfaţă extinsă pentru MATLAB iar uneltele

sale oferă posibilităţi de preprocesare şi postprocesare pentru o mare varietate de programare.

În plus faţă de fizica convenţională pe baza de utilizator, interfaţa COMSOL Multiphysics

permite introducerea de sisteme cuplate de ecuatii diferentiale partiale (PDE), acestea putând fi

introduse direct sau folosind aşa-numita formă slabă .

Construcţia unui model natural urmează liniile create de utilizator, de la concept la realizare.

Intrarea modelului în fluxul de lucru este controlată de Modelul Builder : care aduce o structură

logică şi dinamică simulării realizate de utilizator .

Modelul Builder urmează rapid accesul la orice parte a modelului setat - schimbările aparute în

orice nod vor fi actualizate, producând modificări la toate celelalte elemente. Se pot înregistra

chiar paşii stabiliţi ca o secvenţă a nodurilor oprind procesul la orice etapa de investigare.

Comsol furnizează o grafică integrată, folosind interfeţe unde se pot construi şi rezolva modele

prin modele fizice predefinite sau prin combinarea acestora.

Modulele Comsol sunt:

- AC/DC module: cu ajutorul căruia se pot modela performanţele condensatoarelor, bobinelor,

motoarelor şi microsenzorilor;

1 Programul COMSOL a fost elaborat în cadrul Institutul Regal de Tehnologie (KTH) din Stockholm, Suedia.



- Heat Transfer Module: rezolvă problemele caracterizate prin fenomene de conducţie, convecţie

si radiaţie ;

- MEMS module : se pot modela fenomene fizice din senzori si dispozitive de dimensiune foarte

mică, cât şi efectele caracteristice microfluidelor din aceste dispozitive şi senzori piezoelectrici ;

- RF module : se pot analiza aplicatii RF, microunde si de inginerie optica. Aceste fenomene au

loc la scara mica, dar cu ajutorul RF Module se pot descrie foarte corect si aproape de realitate.

- Structural mechanics module : este specializat in analiza componentelor si subsistemelor în

care este necesară analiza deformaţiilor structurale putându-se modela geometrii foarte variate.

- Comsol CAD Import module : pot importa geometrii create de specialistii in programe CAD :

se poate analiza funcţionarea acestor dispozitive, pentru a estima mai bine

comportamentul lor în mediu industrial.

- Comsol script: acest modul permite utilizatorului folosirea unui limbaj specializat pentru a

extinde analiza datelor şi a realiza mai multe reprezentării grafice pentru o problemă analizată.

Fig. 5.7 – Reprezentarea deformaţiilor şi tensiunilor cu ajutorul FEM La aplicaţia mea am utilizat modulul “Structural mechanics module” al programului COMSOL Multiphysics. Pe axa verticală am reprezentat tensiunile iar în plan am reprezentat deformaţiile care s-au înmulţit cu 103 pentru a putea fi evidenţiate, cu cât culoarea este mai intensă cu atât deformaţia este mai mare. Se observă faptul că tensiunile maxime sunt pe baraj iar deformaţia maximă este în pilastrul PV asa cum apare si din valorile deplasărilor.



Fig. 5.8 – reprezentarea deformaţiilor şi tendinţelor acestora realizat cu ajutorul FEM Lungimea săgetilor este proporţională cu mărimea deformaţiilor. Se observă o tendinţă a deplasărilor de la nord vest către sud est. V.4 Concluzii

Filtrul Kalman are avantajul că ia în calcul toate măsurătorile, indiferent de precizia lor,

încercând să le minimizeze erorile, dar dacă datele introduse sunt afectate de erori mari şi

rezultatele vor fi de asemenea afectate de erori. Rezultatele trebuie privite cu prudenţă, deoarece

un număr de cicluri de măsurători insuficiente ar introduce incertitudini în ceea ce priveste datele

obţinute.

Analiza deformaţiilor este realizată folosind rezultatele epocilor de măsurători; la

începutul aplicării filtrului Kalman, rezultatele nu sunt relevante pentru determinarea deplasării

obiectului, dar după un număr de cel puţin trei cicluri de măsurători, diferenţele dintre valorile

prezise şi cele date la următorul ciclu sunt aproximativ egale.

Cu ajutorul metodei elementului finit se pot deduce tensiunile care apar asupra fiecărui

punct dar şi tendinţa de deplasare a acestora.

De asemenea cu această metodă putem evalua dinamica şi amploarea deformaţiilor cât şi

verificarea faţă de parametrii geometrici proiectaţi.



Având în vedere rezultatele obţinute prin cele două metode am considerat oportună

inspecţia pe teren, în special în zona amplasamentului pilastrului V, la care au rezultat

deplasările cele mai mari. Am constatat următoarele:



pe lângă faptul că se găseste în apropierea centralei electrice şi între canalul de fugă şi traseul

râului Crişul Repede, este amplasat chiar la partea superioară a taluzului dintre canalul de fugă

şi malul râului, unde stabilitatea terenului ar fi putut fi afectată, fapt ce ar putea reprezenta o

confirmare a rezultatelor din studiul de caz.



CAPITOLUL VI – CONCLUZII

Analiza şi interpretarea deformaţiilor depinde în primul rând de tipul reţelei geodezice de

urmărire şi de precizia măsurătorilor. Pentru o analiză completă, este nevoie şi de cunoaşterea

influenţei factorilor fizici care concură la deformarea obiectului examinat, deci pentru o

interpretare concretă e nevoie şi de specialişti din disciplinele complementare (ingineri

constructori, geologi, specialisti IT), cu luarea în consideraţie a informaţiilor prioritare despre

evoluţia aşteptată sau deja stabilită a construcţiei.

În lucrare am prezentat scopul şi importanţa monitorizării comportării în timp a

construcţiilor, legislaţia în vigoare referitoare la această activitate. Ca suport al acesor demersuri

am prezentat clasificarea deplasărilor şi deformaţiilor precum şi principalele tipuri de reţelele

geodezice ce pot fi utilizate la urmărirea comportării construcţiilor, prin tehnologii clasice şi cu

aparatură modernă, care permite diminuarea timpului necesar măsurării oferind posibilitatea

urmăririi acestor obiecte în mod permanent, permiţând chiar şi interpretarea deformaţiilor.

Referitor la prelucrarea măsurătorilor efectuate în reţelele geodezice de urmărire a

deplasărilor, este tratată prelucrarea în bloc a mãsurãtorilor efectuate în mai multe etape de

măsurători. De asemenea , având în vedere necesitatea evaluării stabilităţii punctelor acestor

reţelele, este efectuată o tratare a principalelor teste statistice utilizabile în astfel de abordări.

Având în vedere importanţa estimării mărimii deformaţiilor care vor afecta o construcţie,

în condiţii de exploatare normală, pa baza principiului modelării unui obiect şi simulării

procesului studiat, urmărindu-se evoluţia unor parametri cu ajutorul modelului, în condiţii

apropiate de cele reale, este tratată exhaustiv metoda elementului finit, care permite aceast tip de

abordare.

Deoarece în prezent deformaţiile se analizează nu doar prin schimbarea geometriei unui obiect în

spaţiu şi timp cât şi ţinând cont de influenţa factorilor care cauzează deformaţia, o atenţie

specială am acordat-o conceptului analizei integrate a măsurătorilor prin diferite modele de

deformaţie. În acest sens este analizată problematica filtrării datelor prin care se urmăreşte

determinarea estimărilor variabilelor unui sistem atunci când mediul în care se desfăşoară

procesul prezintă perturbaţii aleatoare. Sunt analizate conceptul de filtrare adaptivă, filtrul

Wiener care utilizează descrierea frecvenţială şi filtrul Kalman care utilizează descrierea

temporară. Acesta se utilizează la filtrarea mărimilor de stare a unui sistem, eliminând zgomotul

prin modelarea părţii deterministe a sistemului.

Pe baza aspectelor teoretice dezvoltate în capitolele al treilea şi al patrulea, în cadrul

studiului de caz am încercat să realizez analiza deformaţiilor şi să efectuez estimarea poziţiei



punctelor obiect pentru un viitor ciclu de măsurare. Pentru primul deziderat am folosit filtrul

Kalman iar pentru cel de al doilea am utilizat metoda elementului finit.

Filtrul Kalman l-am aplicat la setul de date obţinut din unsprezece cicluri de măsurători,

estimând deformaţia obiectului pe baza analizei poziţiilor precedente. Fiind un filtru recursiv,

estimează starea unui sistem liniar dinamic având la dispoziţie date culese cu măsurători

imprecise (afectate de erori-zgomot) sau date incomplete. Astfel după introducerea şi prelucrarea

primelor cicluri de observaţii, datele rezultate diferă faţă de cele din ciclul ulterior iar după al

treilea ciclu de observaţii, predicţia rezultată era aproximativ egală cu cea rezultată din

prelucrarea următorului ciclu de măsurători.

Rezultatele obţinute permit să se concluzioneze:

- cu ajutorul filtrului Kalman se obţin rezultate apropiate de valorile reale numai după mai

multe cicluri de date introduse, în cazul nostru după trei cicluri de observaţii;

- predicţia făcută cu ajutorul filtrului Kalman ne arată poziţia viitoare a obiectului

examinat, excluzând cazul unor avarii apărute din diferite motive.

Cu ajutorul metodei elementului finit am pus în evidenţă tensiunile care acţionează

asupra fiecărui punct observat, iar specialiştii din domeniul rezistenţei construcţiilor vor putea

decide ce măsuri vor trebui luate. În urma aplicării lui se poate determima dinamica şi amploarea

deformaţiilor cât şi verificarea stabilităţii barajului şi a reţelei de urmărire a acestuia faţă de

poziţia iniţială a reţelei a cărei referinţă este rezultată din ciclul de măsurători zero. Este util de

aplicat în condiţiile în care nu este supus la calamităţi naturale şi artificiale.



BIBLIOGRAFIE 1- H. Alkhatib, I. Neumann, H. Neuner and H. Kutterer -Comparison of Sequential Monte Carlo Filtering with Kalman Filtering for Nonlinear State Estimation- 1st International Conference on Machine Control & Guidance, June 24-26, 2008; 2 - T. Bayrak - Monitoring Temporal Behavior of the Yamula Dam - Shaping the Change XXIII FIG Congress Munich, Germany, October 8-13, 2006; 3 - J. A. Behr, K. W. Hudnut and N. E. King - Monitoring Structural Deformation at Pacoima Dam, California Using Continuous GPS; 4 -A de Bruijne, F. Kenselaar and F. Klejer- Kinematic deformation analzsis of the first order benchmarks in the Netherlands- The 10th FIG International Symposiumon Deformation Measurements, session V: Earth crustal deformation, earthquakes and regional mouvements II; 5 - A. Szostak Chrzanowski, M. Massiera, A. Chrzanowski –Kinematic Analysis of behavior of large Earth dams – Shaping the Change XXIII FIG Congress Munich, Germany, October 8-13, 2006; 6 - O. L. Colombo, A. W. Sutter, A. G. Evans - Evaluation of Precise, Kinematic GPS Point Positioning- Proceedings of the Institute Of Navigation (ION) GNSS-2004 Meeting, Long Beach, California, September 2004; 7- COMSOL Multiphysics User’s Guide © COPYRIGHT 1994–2007 by COMSOL AB; 8 - P. I. Dragomir- Bazele măsurătorilor inginereşti - Conspress Bucureşti, 2009; 9- P. I. Dragomir, Gh. Tămăioagă, D. Mihăilescu, P Tucan - Topografie inginerească – Compress Bucureşti 2000; 10- P. I. Dragomir –Măsurători inginereşti avansate – Universitatea Tehnică de Construcţii , Facultatea de Geodezie, note de curs; 11 - V. Dugan – Proiectarea şi utilizarea filtrelor Kalman la radarele folosite pentru determinarea ţintelor aeriene; 12 - Andreas Eichhorn - Analysis of dynamic deformation processes with adaptive Kalman-filtering - Journal of Applied Geodesy 1 (2007), 9–156 de Gruyter 2007. DOI 10.1515/JAG.2007.002; 13 – N. Fotescu –Teoria erorilor şi metoda celor mai mici pătrate- Institutul de Construcţii Bucureşti; 14 - N. Fotescu, A. Ilieş, V.Danciu – Studiul erorii unei funcţii de mărimi determinate indirect- Buletinul Ştiinţific al Universităţii Tehnice de Construcţii Bucureşti, nr. 1, 1998, p. 1-4; 15 - C.Grecea - Introducere în geodezia satelitară- Editura Mirton, Timişoara, 1999; 16 - C. D. Ince, M. Sahin - Real-time deformation monitoring with GPS and Kalman Filter - Earth Planets Space, 52, 837–840, 2000;



17 - R. Jäger, M. Oswald- GNSS/LPS/LS based Control and Alarm system (GOCA) -Ein geodätischer Beitrag zum Geo Beitrag zum Geo-/Anlagen -/Gebäude /, Monitoring, Deformationsanalyse und Katastrophenschutz , CITY BUILD 2008 Moskau, 11.-13. November 2008; 18 - H. Kuhlmann - Kalman-Filtering with coloured measurement noise for deformation analysis - Proceedings, 11th FIG Symposium on Deformation Measurements, Santorini, Greece, 2003; 19 - R. Jäger, A Hoscislawski GNSS/LPS/LS based Online Control and Alarm System (GOCA); 20 - S. Kälber, R. Jäger - GPS-Based online control and alarm system (GOCA)- 10th FIG International Symposium on Deformation Measurements, Orange, California, March 19 through 22, 2001; 21 - F. Löffler - Handbuch Ingenieurgeodäsie –Maschinen und Anlagenbau, MÖSER, M.; MÜLLER, G.; SCHLEMMER, H.; WERNER, H. (Hrsg.), Wichmann Verlag, Heidelberg 2002. ISBN-Nr. 3-87907-299-x; 22 - L. A. McGee, S. F. Schmidt - Discovery of the Kalman Filter asa Practical Tool for Aerospace and Industry - NASA Technical Memorandum 86847, November 1985; 23 - Jin F, M. Mayoud and J.P. Quesnel – Situation analysis and stability evaluation of large electron positon Collider in CERN - The 10th FIG International Symposiumon Deformation Measurements, session IX: Theory of deformation analysis I; 24 - M. Neamţu, D. Onose, J. Newner – Măsurarea topografică a deplasărilor şi deformaţiilor construcţiilor – Institutul de Construcţii Bucureşti – 1988; 25 - I. Neumann, H. Kutterer – Congruence tests and outlier detection in deformation analzszs with respect to observation imprecision- 3rd IAG/12th FIG Symposium, Baden, May 22-24, 2006; 26 - H. Neuner, H. Kutterer – On the detection of change – points in structural deformation analysis- 3rd IAG/12th FIG Symposium, Baden, May 22-24, 2006; 27 - J. Neuner – Reţele geodezice create prin tehnologii satelitare şi posibilitatea utilizării acestora în U.C.T.C; 28 - J. Neuner – Sisteme de Poziţionare Globală, MATRIXROM Bucureşti, 2000;

29 - Nguyen van Khoan - Kinematische Modelle zur Erfassung von Hangrutschungen unter besonderer Berücksichtigung des erweiterten Kalman filters;

30 - G. Nistor - Geodezie aplicată la studiul construcţiilor- Editura Gh. Asachi, Iaşi, 1993 31 - G. Nistor – Asupra unor metode topografo-geodezice de urmărire a comportării construcţiilor- Teza de doctorat Universitatea din Braşov; 32- V. Nica – Metode geodezice de urmărire a comportării construcţiilor hidrotehnice;



33- D. Onose – Urmarirea comportării construcţiilor şi terenurilor – note de curs; 34 – D. Onose – Topografie – Editura Matrixrom Bucureşti, 2004; 35 - Fredrik Orderud - Comparison of Kalman Filter Estimation Approaches for State Space Models with Nonlinear Measurements- Sem Sælands vei 7-9, NO-7491 Trondheim; 36 - S. Padmakumar, A. Vivek, R. Kallol - A Tutorial on Dynamic Simulation of DC Motor and Implementation of Kalman Filter on a Floating Point DSP- World Academy of Science, Engineering and Technology 53 2009; 37 - F. Poyraz, E. Gulal - Integration of theoretical and the empirical deformations by KALMAN-Filtering in the North Anatolia Fault Zone - Nat. Hazards Earth Syst. Sci., 7, 683–693, 2007; 38 – R. Priscu – Construcţii hidrotehnice – vol II, Editura Didactică şi pedagogică 1974; 39 - G. Puşcaşu, B. Codreş – Semnale şi metode de procesare – Universitatea Dunărea de Jos Galaţi, 2004 ; 40 - M. I. Ribeiro - Kalman and Extended Kalman Filters: Concept, Derivation and Properties - Institute for Systems and Robotics, 1049-001 Lisboa PORTUGAL, February 2004; 41 -T. Rus, V. Danciu – Determinarea contribuţiei erorilor sistematice în observaţiile GPS. Indicatorii preciziei; 42 - D. Simon - Kalman Filtering - Embedded Systems Programming JUNE 2001; 43 - D. Simon, H. El-Sherief, -Hybrid Kalman / Minimax Filtering in Phase-Locked Loops- Control Engineering Practice, October 1996; 44 – Şt. Sorohan, C. Petre - Programe şi aplicaţii cu elemente finite - Editura Printech, Bucureşti, 2004, (format electronic pentru studenţi); 45 – U. S. Army Corps of Engineers- EM 1110-1-1004 1June 2002 U. S. Army Corps of Engineers- EM 1110-2-1009 1June 2002- Technical requirements structural deformation monitoring surveys central and southern Florida flood control project; 46 – V. Ursea – Topografie ingineresacă, note de curs, Oradea, 2003 47 - I. Vasile – Estimarea şi identificarea proceselor- estimatoare stochastice-filtre. 48 - G. Welch, G. Bishop - An Introduction to the Kalman Filter-Department of Computer Science University of North Carolina at Chapel Hill Chapel Hill, NC27599-3175, updated: Monday, July 24, 2006; 49 - T. Weifeng, L. Qing, J. Zhihua - Sensor fusion in remote sensing satellites using a modified Kalman filter –Institute of Physics publishing measurement science and technology, Meas. Sci. Technol. 14 (2003) 356–367; 50 - W. Welsch, O. Heuneche, H. Kuhlamann – Auswertung geodätischer Überwachungsmessungen;



51 www.rompos.ro 52 www.fig.ro

TEZĂ DE DOCTORATdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/gherghelesliliana.pdf · construcţiei şi...

Documents

Transcript of TEZĂ DE DOCTORATdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/gherghelesliliana.pdf · construcţiei şi...