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CURSO DE LICENCIATURA EM ENSINO DE MATEMÁTICA TEXTO DE APOIO DE LÓGICA E TEORIA DE CONJUNTOS Tete 2016
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CURSO DE LICENCIATURA EM ENSINO DE MATEMÁTICA
TEXTO DE APOIO DE LÓGICA E TEORIA DE CONJUNTOS
Tete
2016
CURSO DE LICENCIATURA EM ENSINO DE MATEMÁTICA
TEXTO DE APOIO DE LÓGICA E TEORIA DE CONJUNTOS
Autor: Domingos Arcanjo António Nhampinga
Tete
2016
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Sumário
Introdução .............................................................................................................................................. 4
Resumo da biografia do autor .............................................................................................................. 5
Tabela 1: Visão geral da disciplina ...................................................................................................... 6
Unidade 1: Introdução a lógica ............................................................................................................ 7
1.1. Classificação da logica .......................................................................................................... 8
1.2. Raciocínio logico .................................................................................................................... 9
Unidade 2: Cálculo de proposições ................................................................................................... 11
2.1. Expressões, termos e proposições. ....................................................................................... 11
2.1.1. Expressões ........................................................................................................................ 11
2.1.2. Termos ............................................................................................................................... 11
2.1.3. Proposições ....................................................................................................................... 12
2.1.4. Exercicios de aplicação .................................................................................................... 16
2.2. Operações sobre as proposições ........................................................................................... 17
2.2.1. Negação. ........................................................................................................................... 17
2.2.2. Conjunção. ........................................................................................................................ 17
2.2.3. Disjunção ........................................................................................................................... 18
2.2.4. Implicação.......................................................................................................................... 19
2.2.5. Bicondicional ..................................................................................................................... 20
2.3. Propriedades sobre operações lógicas .................................................................................. 21
2.3.1. Tautologia refere-se a uma forma logicamente válida. ................................................. 22
2.4. Problemas de POST ............................................................................................................ 25
2.5. Argumentos lógicos ............................................................................................................. 28
2.5.1. Validade de um argumento ......................................................................................... 29
2.5.2. Métodos de Demonstração directa e indirecta .......................................................... 31
Unidade 3: Cálculo de predicados ..................................................................................................... 35
3
3.1. Símbolos da linguagem do cálculo de predicados............................................................ 35
3.1.1. Símbolos não lógicos: .................................................................................................. 35
3.1.2. Símbolos lógicos .......................................................................................................... 36
3.2. Funções Proposicionais ...................................................................................................... 39
3.2.1. Representação de proposições por Digrama de Venn ............................................. 40
3.4. Argumentos e Validade de argumentos............................................................................. 42
3.4.1. Demonstração por diagrama de Venn. ...................................................................... 43
3.4.2. Demonstração por Árvore de refutação ..................................................................... 45
Referências Bibliográficas .................................................................................................................. 48
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Introdução
O presente texto é destinado especialmente aos estudantes do curso de
licenciatura em ensino de Matematica. Ela aborda duma forma concisa alguns aspectos
da disciplina da lógica e teoriá de conjuntos. Os tópicos foram aprofundados com
exemplos ilucidativos para garantir melhor compreensão dos assuntos expostos. O
texto tenta seguir a estrutura do plano da disciplina. Ele não substitui qualquer obra
publicada, devendo o estudante se achar necessário procurar outras fontes para
auxiliar a aquisição da sua bagagem científica n área.
Tratamos até ao momento três unidades: Introducao a lógica, cálculo
proposicional e cálculo de predicados, devendo futuramente ser anexado o ultima
capitula referente a teoria de conjuto. Acreditamos que esta seja uma fote útil aos
estudantes e a quem queira estudar conteúdos de género.
Na insertesa do texto ser pouco claro ou ter lacunas, o autor agradece qualquer
observação para o me;lhoramento do mesmo.
Ultima atualização: Tete, 25 de Fevereiro de 2016
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Resumo da biografia do autor
Domingos Arcanjo António Nhampinga, Licenciado em Ensino de Matemática desde
2011 pela Universidade Pedagógica, Delegação de Quelimane. Atualmente Mestrando
em Estatística na Universidade Pedagógica – Maputo, já na fase de preparação da sua
dissertação. Foi Monitor de Didática de Matemática III na UP-Quelimane em 2010. É
Docente a tempo integral na UP-Tete desde 2012, tendo nesse período lecionado
diversas cadeiras nos cursos de regime Regular e Pós-Laboral como o de Lic. Em
Ensino de Matemática, Física, Química, Contabilidade, Ensino Básico, dentre as Quais
si destacam: Geometria analítica, Calculo Infinitesimal, Logica e Teoria de conjuntos,
Equações Diferenciais e modelagem, Etnomatemática, Matemática na Historia, Praticas
Pedagógicas de Matemática III, Matemática básica, Matemática II e Métodos de estudo
e de investigação Cientifica, inferência estatística.
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Tabela 1: Visão geral da disciplina
Unidade Tema/ Conteúdo Carga horária
Contacto Estudo
Introdução
(Objecto e
motivação
para o estudo
da Lógica)
Visão histórica do desenvolvimento da lógica
(Definição, objecto e motivação)
Classificação da lógica.
Exercícios de raciocínio lógico.
20
20
Cálculo de
proposições
Expressões, termos e proposição;
Operações sobre Proposição;
Propriedades sobre as operações lógicas;
Tautologia, contra tautologia, contingência;
Equivalência lógica;
Problemas de Poste;
Argumentos lógicos.
20
20
Cálculo de predicados
Introdução ao cálculo de predicados;
Símbolos da linguagem do cálculo de
predicados;
Funções proposicionais;
Representação de proposições por
Diagrama de Venn;
Argumentos lógicos.
20
20
Teoria de
conjuntos
Introdução a teoria de conjuntos;
Conjuntos finitos e infinitos;
Diagrama de Venn;
Modos de definir um conjunto;
Cardinal de um conjunto;
Conjunto vazio, singular, Conjunto universo;
Relação: conjunto e seus elementos.
Subconjuntos;
Operações sobre conjuntos;
Propriedades das operações sobre
conjuntos;
Conjuntos numéricos;
Pares ordenados;
Produto cartesiano;
Função como conjunto de pares ordenados;
Relações.
20
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Unidade 1: Introdução a lógica
A lógica é uma área da matemática que se preocupa no estudo das leis do pensamento
e as formas de aplicá-la corretamente. Estuda as relações entre as afirmações,
preocupa-se em investigar a realidade das afirmações ou de argumentos mediante
deduções logicas.
Em geral, falar da Lógica é falar do estudo da verdade.
Um dos principais objetivos de estudo da lógica é a validade dos argumentos (Conjunto
de afirmações das quais uma delas é a conclusão e as restantes são premissas”
As afirmações a que nos referimos são declarativas e que podem ser tomadas como
verdadeiro ou falso.
Exemplo:
a) Tete é uma cidade quente?
b) Moatize produz é a maior produtora de cana-de-açúcar em Moçambique.
c) Moçambique é o pais da marrabenta!
A logica esta preocupada em estudar afirmações do género da alínea a), pois estas
podem ser atribuídas um valor logico verdadeiro ou falso de acordo a veracidade dela.
Os argumentos a que nos referimos podem ser:
Dedutivos: Refere-se a aqueles que são validos quando as premissas são verdadeiras,
também a conclusão é verdadeira.
Exemplo:
Premissa1: Existem africanos que de raça branca.
Premissa2: Moçambique é um país africano.
Conclusão: Existem Moçambicanos que são de raça branca.
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Indutivos: Refere-se a aqueles cuja validade das premissas não asseguram a validade
da conclusão. Ela também é útil em teoria de probabilidades.
Exemplo:
Premissa 1: Sempre que chove o céu fica nublado.
Permissão 2: Hoje esta chovendo.
Conclusão: Hoje ficara nublado
1.1. Classificação da logica
O nosso estudo cingir-se-á na logica clássica também conhecida por logica matemática
na qual se rege por três princípios lógicos:
Princípio da identidade: Tudo que é, é.
Principio da não contradição: Uma proposição não pode ser simultaneamente
verdadeira e falsa.
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Princípio do terceiro excluído: Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa, não
havendo chance de uma terceira chance.
1.2. Raciocínio logico
Raciocínio lógico refere-se as formas ou caminhos lógicos e estruturados que um
indivíduo segue solucionar determinado problema. De acordo a natureza do problema,
vários podem ser o modo de pensar de cada individuo.
Vamos estudar alguns pensamentos:
a) Durante uma expedição, um explorador encontra uma caverna com três deuses:
o deus da sinceridade, que sempre fala a verdade; o deus da diplomacia, que as
vezes diz a verdade, as vezes, não; e o deus da falsidade, cujas declarações são
sempre mentirosas. O deus A diz: ‘B é o deus da sinceridade’, mas o deus B
retruca: ‘Não, eu sou o deus da diplomacia’, e o deus C completa: ‘Nada disso, B
é o deus da mentira’. Afinal, quem é quem? Justifique a sua resposta.
Mostraremos algum pensamento para chegar a conclusão desse Problema. Ora
vejamos:
Se deus A diz que B é deus da sinceridade, então A não pode ser deus
sincero, portanto A pode ser deus da diplomacia ou da mentira.
Se B nega ser deus da sinceridade e diz que é deus da diplomacia, então B
pode ser deus da diplomacia ou da mentira.
Se C diz que B é deus da mentira, então C é deus da diplomacia ou da
sinceridade.
Nem A nem B são deuses da sinceridade, então C é deus da sinceridade,
portanto, B é deus da mentira e A é deus da diplomacia.
Resposta: A Deus da diplomacia;
B Deus da mentira e;
C Deus da sinceridade.
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Deixamos as tarefas seguintes aos estudantes:
b) Tem 2 portas, uma que te leva a morte e outra a um lugar maravilhoso. Na frente
de cada uma das portas tem um porteiro a guardando. 1 dos porteiros é
mentiroso, mente sempre. O outro nunca mente, sempre fala a verdade. Qual é a
pergunta que você pode fazer para que os dois apontem para a mesma porta?
c) Um turista está andando pela terra dos honestos e mentirosos. Lá, as pessoas
são radicais, umas só falam a verdade e outras só falam mentiras. Chegou a
hora do almoço e o turista encontra-se numa estrada com uma bifurcação. O
turista sabe que um dos caminhos é para um restaurante e o outro para um
abismo, mas não sabe distingui-los. Nesta bifurcação ele encontra um homem
nativo. Naturalmente o turista não sabe se ele é honesto ou mentiroso. Como o
turista descobre o caminho para o restaurante fazendo uma única pergunta a
esse nativo?
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Unidade 2: Cálculo de proposições
O cálculo de proposições, também chamada lógica proposicional é um dos ramos
mais simples da lógica simbólica. Tem por objectivo estudar os significados dos
conectivos lógicos e, objecto de estudo as proposições.
2.1. Expressões, termos e proposições.
2.1.1. Expressões
Uma expressão é um agrupamento de símbolos elementares e/ou os próprios
símbolos elementares. O símbolo é o elemento mais pequeno que compõe uma
expressão e, pode ser: letras de vários alfabetos, sinais de operações, sinais de
pontuação, etc.
As expressões podem ou não ter significado próprio de acordo a sua formação
simbólica.
Exemplo1: Tete: É uma expressão com significado próprio, composta pelos
símbolos T e E, que são letras do alfabeto português, ao passo que : é uma
expressão sem significado próprio, composta pelos símbolos 4 e .
Portanto, das expressões que possuem significado próprio destacamos os termos
ou designações, objectos e as proposições, esta última que será objecto de estudo
deste capítulo.
2.1.2. Termos
Refere-se a termos ou designações, aos nomes que se dão os objectos, tais
como: números, figuras geométricas, operações matemáticas, pessoas, animais, etc.
Refere-se a objecto, ao conteúdo do próprio termo.
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Exemplo2: Considere as seguintes expressões: okmdg, Beira, , manga,
, .
São termos as expressões Moatize, , manga, , pois:
Moatize designa um distrito da província de Tete;
Designa 3 ou seja o seu conteúdo é 3;
Manga designa uma fruta e;
Designa 4, ou seja o seu conteúdo é 4.
2.1.2.1. Termos equivalentes
Dois ou mais termos dizem-se equivalentes se tiverem objectos comum, ou seja
se tiverem o mesmo conteúdo.
Exemplo3: Considere os seguintes termos: Zebra, , Songo, ,
Maravia, , .
Os termos , e , são equivalentes entre si, pois tem os
mesmo conteúdo 2 e 3 respectivamente.
Nota: Os termos e os objectos não coincidem, apenas correspondem-se.
2.1.2.2. Distinção entre termos e objecto
Os termos distinguem-se dos objectos destacando os termos entre aspas.
Exemplo 4: “Triângulo” – é um termo.
Triângulo – é um objecto.
2.1.3. Proposições
Uma proposição é uma afirmação declarativa, que pode assumir o valor lógico
verdadeiro ou falso.
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Exemplo5: Considere as afirmações:
I. Quem tem dinheiro tem a vida.
II. O João não foi a escola porque não comeu?
III. Cahora Bassa é o distrito onde se produz corrente eléctrica!
IV. Moatize é o distrito mais próximo da cidade de Tete.
V. .
As afirmações i), iv) e v) são consideradas proposições, pois são afirmações
declarativas e podem tomar o valor lógico verdadeiro ou falso, de acordo a veracidade
da afirmação. Neste caso, a proposição iv) é verdadeira e a proposição v) é falsa. Pela
natureza da afirmação a proposição i) pode ser verdadeira ou falsa de acordo o meio e
a vida real.
Daqui para diate, indicaremos por “V” as proposições verdadeiras e “F” as
proposições falsas.
As afirmações ii) e iii) não são consideradas proposições, pois não são afirmações
declarativas e, sobre elas não se pode dizer se são verdadeiras ou falsas.
Portanto, as proposições acima citadas são proposições simples e, estão escritas
na linguagem verbal. Elas podem ser combinadas umas as outras formando novas
proposições, designadas proposições compostas e também podem ser transformadas
em linguagem simbólica, usando os símbolos lógicos “símbolos da linguagem do
cálculo proposicional” a destacar:
2.1.3.1. Variáveis proposicionais
Constituem variáveis proposicionais, as letras minúsculas do alfabeto (p, q, r, ...)
que permitem escrever as proposições verbais duma forma mais compacta, isto é, “em
linguagem simbólica”.
Exemplo6: Considere as proposições:
I.Moçambique é o país mais rico do mundo.
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II.A terra gira em volta do sol.
III.O quadrado de um número natural é maior que si próprio.
Para compactar as proposições, designamos simbolicamente: i) por “p”; ii) por “q”
e iii) por “r”.
2.1.3.2. Conectivos lógicos
Constituem conectivos lógicos, os símbolos que permitem a combinação de duas
ou mais proposições simples, formando uma proposição composta, e são eles:
a) “∧” – Que se lê-se “e”.
Exemplo7: Considere as proposições: “Agonia é celeiro da província de Tete. –
p”, “Maputo é capital de Moçambique. – q”.
Combinadas as proposições com a partícula “∧”, teremos:
“Agonia é celeiro da província de Tete e Maputo é capital de Moçambique”.
Simbolicamente fica “p∧q”.
b) “∨” – Que se lê-se “ou”.
Exemplo8: Combinando as proposições do exemplo7 com a partícula “∨”,
teremos:
”Agonia é celeiro da província de Tete ou Maputo é capital de Moçambique”.
Simbolicamente fica “p∨q”.
c) “→” – Que se lê-se “se... então” ou “implica que…”.
Exemplo9: Se Agonia é celeiro da província de Tete então Maputo é capital de
Moçambique. Simbolicamente fica “p→q”.
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d) “↔” – Que se lê-se “se e somente se”.
Exemplo10: Agonia é celeiro da província de Tete se e somente se Maputo é
capital de Moçambique. Simbolicamente fica “p↔q”.
e) “¬ ou ~” – que se lê-se “não ou não é verdade que...”.
Este símbolo permite negar uma determinada proposição, seja simples ou
composta.
Exemplo11: Negando a 2ª proposição do exemplo7, teremos: “Maputo não é
capital de Moçambique”, ou, “não é verdade que Maputo é capital de Moçambique”.
Simbolicamente termos: “q”.
2.1.3.3. Símbolos auxiliares
São símbolos auxiliares os parênteses curvos “( )”, rectos “[ ]”, chavetas “{ }”, etc.,
que permitem denotar o alcance que um conectivo lógico tem sobre outro ou seja,
permite denotar a prioridade que um conectivo lógico tem sobre outro.
Exmplo12: Considere a proposição:
“Não é verdade que Maputo é capital de Moçambique se e somente se é a
província mais desenvolvida ou mais limpa do país”.
Tomado: p = Maputo é capital de Moçambique.
q = Maputo é a província mais desenvolvida.
r = Maputo é a província mais limpa do país.
Simbolicamente a proposição será: ( )p q r . Foram aqui usadas parênteses
curvos e chavetas para denotar a prioridade que os conectivos , , tem um sobre
outro.
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2.1.4. Exercicios de aplicação
1. Considere as seguntes expressões:
i) Moçambique tem belas praias! ii) 4-8 ii) Tete é uma cidade quente.
ii) 2-)+5 iv) Moatize v) -4 vi) UP é uma unversdade?
vii) Matze é um dstrt mner. Viii) carvão
a) Indique as que representam termos.
b) Indique os termos equivalentes.
c) Indique as que representam uma proposição.
2. Escreva as proposiçõs em linguagem simbolica.
a) Todo número inteiro é posetivo ou o seu quadrado é maior que si.
b) Se Moatiz é um distrito mineiro, então tem muita mão-de-obra.
c) Se Pedro é natural de Tete, então é inteligente ou mineiro.
d) O quadrado de qualquer número decimal é decimal e menor que si.
3. Diga se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações:
a) A soma dos ângulos internos de um quadrilátero vale 180º.
b) Moçambique tem 11 provincias.
c) O quadrado que qualquer número impara é impar.
d) A terra gira em torno do sol.
e) Moatize é provinca de Mocambique.
4. Considere “p – Maputo é capital de Moçambique”; “q – Maputo tem belas
paizagens”; “r – Quelimane é capital da Zambéza”.
a) Escreva em linguagem verbal: ; ;p r q q r p q
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2.2. Operações sobre as proposições
Na lógica matemática, constituem operações lógicas a negação, conjunção,
disjunção, implicação e a equivalência.
2.2.1. Negação.
A negação é uma operação lógica que permite converter uma proposição
verdadeira em falsa e vice-versa. Representa-se pelo símbolo ~ ou , que se lê: Não é
verdade... ou... não...
Exemplo1: Considere a proposição: “Tete é uma província rica em minerais.” – p
A negação será: “Não é verdade que Tete é uma província rica em minerais.” Ou,
“Tete não é uma província rica em mineral.”
Simbolicamente será: ~p ou .
Exemplo2: Considere as proposições, “ ” e “Tete é capital de
Moçambique.”
Como se pode observar a primeira proposição é verdadeira mas a sua negação
“não é verdade que ” é falsa. Ao contrário da segunda proposição, é falsa mas
a sua negação “Tete não é capital de Moçambique” é verdadeira.
Olhando para a definição da operação lógica negação em conformidade com os
exemplos, construímos a seguinte tabela verdade:
Tabela verdade para operação lógica negação:
p ~p
V F
F V
2.2.2. Conjunção.
A conjunção é a operação lógica que faz corresponder duas proposições simples
a uma proposição composta considerada verdadeira se, e somente se ambas
proposições simples forem verdadeiras. Ela representa-se pelo símbolo “∧”, que se lê: i.
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Exemplo3: Seja dada as proposições:
p – Moatize é uma província.
q – Tete é a Cidade mais quente de Moçambique.
r – Maputo faz fronteira com África do Sul.
Consideremos as conjunções resultantes da combinação das proposições dadas:
I. p ∧ q – Moatize é uma província e Tete é a Cidade mais quente de Moçambique.
II. r ∧ q – Maputo faz fronteira com África do Sul e Tete é a Cidade mais quente de
Moçambique.
Ora vejamos, da definição do conceito conjunção em lógica, vem que a proposição
i) é falsa, pois é composta por uma proposição falsa e outra verdadeira ao passo que a
proposição ii) é verdadeira, pois é composta por proposições verdadeiras.
Tabela verdade, sobre a conjunção de proposições:
p q p ∧ q
V V V
V F F F V F
F F F
2.2.3. Disjunção
A Disjunção é uma operação lógica que faz corresponder duas proposições
simples numa composta que é falsa se e somente se ambas proposições simples forem
falsas. A disjunção representa-se pelo símbolo “ ” e lê-se ou.
Exemplo4: considere as proposições,
Moatize é uma província – p;
Moçambique é um distrito – q;
Maputo é capital de Moçambique – r.
Considere as seguintes combinações:
I. Moatize é uma província ou Moçambique é um distinto. – p v q
II. Maputo é capital de Moçambique ou Moçambique é um distrito. – q v r
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A proposição i é falsa, pois é uma proposição composta por duas falsas, ao passo
que a proposição ii é verdadeira pois umas das proposições que a compõe é
verdadeira.
Assim, a tabela verdade fica definida:
p q p ∨ q
V V V
V F V F V V
F F F
2.2.4. Implicação
A implicação é a operação lógica que faz corresponder duas proposições simples
numa composta que é falsa se e somente se a primeira for verdadeira e a segunda for
falsa. Esta é uma operação condicional e representa-se pelo símbolo “→” que se lê
“se..., então …”
Exemplo5: Considere as proposições do exemplo4, combinando-as duas a duas
com a implicação teremos:
I. Se Moatize é uma província então, Moçambique é um distrito. “pq”;
II. Se Maputo é capital de Moçambique, então Moçambique é um distrito. “rq”.
III. Se Moçambique não é um distrito, então Maputo é capital de Moçambique. “q
r.
Ora vejamos: a proposição i é verdadeira, pois é composta por duas falsas.
Portanto, falsa implica falsa resulta numa verdadeira. A proposição ii é falsa, pois é
composta pela 1ª proposição que é verdadeira e a 2ª proposição que é falsa. A
proposição iii é verdadeira, pois é composta por proposições verdadeiras.
Veja a tabela verdade:
p q p q
V V V
V F F
F V V
F F V
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2.2.4.1. Variações da implicação
São as variações da implicação a recíproca, inversa e contra positiva,
respectivamente cm são apresentadas na tabela verdade abaixo.
Implicação Recíproca Inversa Contra positiva
P q p → q q → p ~p → (~q) ~q → (~p)
V V V V V V
V F F V V F
F V V F F V F F V V V V
Exemplo6: Considere a proposição;
`q`p
Se o quadrado de A é maior que si próprio , então A é um número inteiro. "p q"
Portanto as suas variações serão:
Recíproca: Se A é um número inteiro, então o quadrado de A é maior que si
próprio. “q→p”.
Inversa: Se o quadrado de A não é maior que si próprio, então A não é um
número inteiro. “~ p → (~ q)”.
Contraposta: Se A não é um número inteiro, então o quadrado de A não é maior
que si próprio ~q → (~p).
2.2.5. Bicondicional
A Bicondicional é uma operação lógica que faz corresponder duas proposições
simples numa composta, que é verdadeira se e somente se ambas proposições tiverem
o mesmo valor lógico. Representa-se pelo símbolo “↔” que se lê “…se e somente se
…”
Exemplo7: Considere as proposições;
i) 2 +3 =5 se, e somente se 5=2+3
ii) O quadrado é um polígono regular, se e somente se tem lados diferentes.
iii) Moçambique é um distrito se, e somente se Maputo é uma localidade.
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iv) 0,3 é um número inteiro se, e somente se o quadrado de 0,3 é maior que s
próprio.
Pela definição da Bicondicional, as proposições i) e iv) são verdadeiras, pois são
combinações de duas proposições verdadeiras. As proposições ii) e iii) são falsas, pois
são formadas por proposições simples com valores lógicos alternados.
Assim a tabela verdade fica definida:
p q p ↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
2.3. Propriedades sobre operações lógicas
a) Idem potência: Conjunção p ∧ p ≡ p
Disjunção p ∨ p ≡ p
b) Comutativa: Conjunção p ∧ q ≡ q ∧ p
Disjunção p ∨ q ≡ q ∨ p
c) Associativa: Conjunção (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (p ∧ r)
Disjunção (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)
d) Identidade:
Elemento neutro Conjunção p ∧ V ≡ p (V é elemento neutro)
Disjunção p ∨ F ≡ p (F é elemento neutro)
Elemento absorvente: Conjunção p ∧ F ≡F (F é elemento absorvente)
Disjunção p ∨ V≡ V (V é elemento absorvente)
e) Distributiva:
Conjunção em relação a disjunção: (p ∨ q) ∧ r ≡ (p ∨ r) ∨ (q ∨ r)
Disjunção em relação a conjunção: (p ∧ q) ∨ r ≡ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r)
f) Lei de Morgan: Negação da conjunção (p ∧ q) ≡ p ∨q
Negação da disjunção (p ∨ q)≡ p ∧q
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g) Lei da complementação:
Negação da negação p ≡ p
Tautologia p ∨p ≡ V
Contradição p ∧p ≡ F
h) Definição da Implicação e Bicondicional
Implicação p → q ≡p ∨ q
Bicondicional p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
i) Troca de premissa p → (q → r) ≡ q →(p → r)
j) Exportação e importação (p ∧ q)→ r ≡ p →(q → r)
2.3.1. Tautologia refere-se a uma forma logicamente válida.
Dada uma proposição complexa, dissemos que a fórmula que a compõe é
logicamente valida se ao construirmos a tabela verdade sobre ela a última coluna danos
resultados todos verdades.
Exemplo1: Provar que p ∨ ~ p
p ~ p p ∨ ~ p
V F V
F V V
Portanto, a fórmula p ∨ ~ p é uma tautologia.
2.2.1.1. Contra tautologia refere-se a uma forma logicamente falsa.
Dada uma proposição complexa, dissemos que a fórmula que a compõe é
logicamente falsa se ao construirmos a tabela verdade sobre ela a última coluna danos
resultados todos falsos.
Exemplo2: Provar que p ∧~ p
p ~ p p ∧ ~ p
V F F
F V F
Portanto, a fórmula p ∧ ~ p é uma contra tautologia.
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2.2.1.2. Contingência ou indeterminação refere-se a uma forma logicamente
alternada.
Dada uma proposição complexa, dissemos que a fórmula que a compõe é
logicamente alternada se ao construirmos a tabela verdade sobre ela a última coluna
danos resultados alternados.
Exemplo3: Provar que p → (~ p)
p ~ p p →( ~ p)
V F F
F V V
Portanto, a fórmula p → (~ p) é uma contingência.
2.2.1.3. Equivalência lógica
Diz-se que Duas proposições são logicamente equivalentes ou iguais se e
somente se tiverem mesmo valor lógico na última coluna da tabela verdade.
Tautologicamente, diz-se que as fórmulas A e B são logicamente equivalentes se
e somente se A B é uma fórmula logicamente valda.
Exemplo4: Provar que ~ p ∨ q e ~(p ∧ ~ q) são logicamente equivalentes.
a) Por meio de tabela verdade temos:
p Q ~ p ~ q p ∧ ~ q ~ p ∨ q ~(p ∧ ~ q)
V V F F F V V
V F F V V F F
F V V F F V V
F F V V F V V
Com podemos notar, ~ p ∨ q e ~(p ∧ ~ q) tem os mesmos valores lógicos na
última coluna, portanto elas são logicamente equivalentes.
24
b) Provamos também tautologicamente por tabela verdade.
Seja A=~ p ∨ q e B=~(p ∧ ~ q), temos:
P q ~ p ~ q ~ p ∨ q p ∧ ~ q ~(p ∧ ~ q) A→B
V V F F V F V V
V F F V F V F V
F V V F V F V V
F F V V V F V V
Como vemos, a última coluna resultante (~ p ∨ q)→{~(p ∧ ~ q)} apresenta todos
valores lógicos verdadeiros, nisto, as fórmulas dadas são logicamente equivalentes.
c) Provamos também tautologicamente por demonstração algébrica.
Hipótese: ~ p ∨ q; ~ (p ∧ ~ q) são proposições.
Tese: (~ p ∨ q) → {~ (p ∧ ~ q)} é uma fórmula logicamente valida.
Passos Demonstração Justificação
1. (~ p ∨ q) → {~ (p ∧ ~ q)} Implicação de ~ p ∨ q e ~ (p ∧ ~ q)
2. (~ p ∨ q) → (~ p ∨ q) Lei de Morgan
3. ~ (~ p ∨ q) ∨ (~p ∨ q) Definição da implicação
4. (p ∧~ q) ∨ (~ p ∨ q) Lei de Morgan
5. (p ∨~ p ∨ q) ∧ (~ p ∨ q ∨~ q) Propriedade distributiva
6. (V ∨ q) ∧ (~ p ∨ V) Tautologia
7. V ∧ V Identidade
8. V Tautologia. C.q.d.
Portanto, (~ p ∨ q) → {~ (p ∧ ~ q)} é uma fórmula logicamente valida, u seja as
proposições (~ p ∨ q) e ~ (p ∧ ~ q) são logicamente equivalentes.
25
Exemplo5: prove algebricamente que [(pq) q] p é uma fórmula
logicamente valida.
Hipótese: [(pq) q] p é uma proposição.
Tese: [(pq) q] p é uma fórmula logicamente valida.
Passos Demonstração Justificação
1. [(pq) ~ q] ~ p
2. ~ [(~p ∨ q) ~ q] ∨ ~ p Definição da implicação
3. (p ~q) ∨ q ∨ ~ p Lei de Morgan
4. (p ∨ q ∨ ~ p) ∧ (~q∨ q ∨ ~ p) Propriedade distributiva
5. (p ∨ ~ p ∨ q) ∧ (~q∨ q ∨ ~ p) Propriedade comutativa
6. (V ∨ q) ∧ (V ∨ ~ p) Lei de Morgan
7. V ∧ V Tautologia
8. V Tautologia. C.q.d.
Portanto, [(pq) ~ q] ~ p é uma fórmula logicamente valida..
2.4. Problemas de POST
Considere o problema: Determine a fórmula que da origem os valores lógicos da
última coluna da seguinte tabelam verdade:
p q ? Para alguns, esse problema pode ter uma solução imediata.
Mas, se pensarmos num caso mais complexo, precisáramos muito
tempo para reflectir na tarefa. Portanto, o problema de POST
consiste em, a partir dos valores lógicos da última coluna da tabela
verdade determinar uma fórmula que as origina.
V V V
V F V
F V F
F F V
Para tal, são usadas alguns precedentes que facilitam o processo, a destacar:
1. Adicionar uma coluna na tabela verdade;
2. Em cada linha, formar uma fórmula com o conectivo para os valores lógicos
verdadeiro e, para os valores lógicos falsos da última coluna da tabela
verdade, em função dos valores lógicos das variáveis proposicionais
correspondentes;
26
3. Formar a fórmula normal conjuntiva (FNC) para as fórmulas que apresentarem
o conectivo ou, a fórmula normal disjuntiva (FND) para as fórmulas que
apresentam conectivo .
Portanto, as fórmulas normais conjuntivas e disjuntivas apresentam-se da seguinte
forma:
FNC: 1 1 2 2( ) ( ) ... ( )n nA B A B A B
FND: 1 1 2 2( ) ( ) ... ( )n nA B A B A B
Exemplo1: determinar a fórmula que gere s valores lógicos da última coluna da
tabela verdade abaixo.
p q ? Na linha 1, a última coluna apresenta o valor lógico
verdadeiro. Nisto, Precisamos formar uma fórmula com o
conectivo ∧, a partir dos valores lógicos das varáveis
proposicionais da mesma linha. A varável p possui V e a
varável q possui V, portanto V ∧ V=V, por isso teremos nesta
linha a seguinte fórmula: p ∧ q.
L1 V V V p ∧ q
L2 V F V p ∧ ~q
L3 F V F p ∨ ~q
L3 F F V ~p ∧ ~q
Na linha 2, a última coluna apresenta o valor lógico verdadeiro, nisto, precisamos
formar uma fórmula com o conectivo ∧. Nesta linha, a varável p possui valor lógico V e
a varável q possui valor lógico F, portanto V ∧ F=F, o que não corresponde ao valor
lógico da última coluna. Para termos uma equivalência lógica teremos V ∧ ~F=V, a ser
assim, a fórmula será: p ∧ ~q.
Na linha 3, a última coluna apresenta o valor lógico falso, nisto, precisamos formar
uma fórmula com o conectivo ∨. Nesta linha, a varável p possui valor lógico F e a
varável q possui valor lógico V, portanto F ∨ V =V, o que não corresponde ao valor
lógico da última coluna. Para termos uma equivalência lógica teremos F ∨ ~V=F, a ser
assim, a fórmula será: p ∨ ~q.
Na linha 4, a última coluna apresenta o valor lógico verdadeiro, nisto, precisamos
formar uma fórmula com o conectivo ∧. Nesta linha, a varável p e q possuem valor
27
lógico F, portanto F ∧ F= F, o que não corresponde ao valor lógico da última coluna.
Para termos uma equivalência lógica teremos ~F ∧ ~F= V, a ser assim, a fórmula será:
~p ∧ ~q.
A partir das fórmulas criadas na coluna vermelha, vamos formar fórmulas normais
conjuntivas e disjuntivas, que corresponderá a fórmula procurada, isto é:
FNC: p ∨ ~q, resultante da L3.
FND: (p ∧ q) ∨ (p ∧ ~q) ∨ (~p ∧ ~q), resultante de L1 ∨ L2 ∨ L4.
Portanto, a fórmula procurada pode ser a primeira ou a segunda.
Prova da validade das fórmulas usando tabela verdade
p q ~p ~q p ∧ q p ∧ ~q ~p ∧ ~q (p ∧ q) ∨ (p ∧ ~q) ∨ (~p ∧ ~q)
V V F F V F F V
V F F V F V F V
F V V F F F F F
F F V V F F V V
p q ~q p ∨ ~q
V V F V
V F V V
F V F F
F F V V
Portanto, conseguimos notar que os valores
lógicos das últimas colunas das tabelas formadas,
correspondem ou são equivalentes as da coluna em “?”
da tabela do problema, pelo que as fórmulas são
validas.
Exemplo2: Determinar a fórmula que gere os valores lógicos da última coluna da
tabela:
p q r ?
V V V V
V V F V
V F V V
V F F F
F V V V
F V F F
F F V F
F F F V
28
Resolução:
p q r ?
L1 V V V V 𝒑 ∧ 𝒒 ∧ 𝒓
L2 V V F V 𝒑 ∧ 𝒒 ∧∽ 𝒓
L3 V F V V 𝒑 ∧∽ 𝒒 ∧ 𝒓
L4 V F F F ∽ 𝒑 ∨ 𝒒 ∨ 𝒓
L5 F V V V ∽ 𝒑 ∧ 𝒒 ∧ 𝒓
L6 F V F F 𝒑 ∨∽ 𝒒 ∨ 𝒓
L7 F F V F 𝒑 ∨ 𝒒 ∨∽ 𝒓
L8 F F F V ∽ 𝒑 ∧∽ 𝒒 ∧∽ 𝒓
FNC:(∽ 𝒑 ∨ 𝒒 ∨ 𝒓) ∧ (𝒑 ∨∽ 𝒒 ∨ 𝒓) ∧ (𝒑 ∨ 𝒒 ∨∽ 𝒓), resultante da 𝐿4 ∧ 𝐿6 ∧ 𝐿7.
FND: (𝒑 ∧ 𝒒 ∧ 𝒓) ∨ (𝒑 ∧ 𝒒 ∧∽ 𝒓) ∨ (𝒑 ∧∽ 𝒒 ∧ 𝒓) ∨ (∽ 𝒑 ∧ 𝒒 ∧ 𝒓) ∨ (∽ 𝒑 ∧∽ 𝒒 ∧∽ 𝒓),
resultante de 𝐿1 ∨ 𝐿2 ∨ 𝐿3 ∨ 𝐿5 ∨ 𝐿8.
Portanto, temos as fórmulas procuradas, que pode ser tanto a primeira como a
segunda. A prova fica ao critério do estudante.
2.5. Argumentos lógicos
Refere-se a argumento lógico há um conjunto de proposições 1 2 3, , ... nP P P P
denominadas premissas que produzem ou tem como consequência uma última
proposição Q denominada conclusão.
Notação: 1 2 3, , ... nP P P P ├ Q
Exemplo3: Todos naturais de Tete são inteligentes, Juliasse é natural de Tete,
logo Juliasse é inteligente.
Consideremos: Todos naturais de Tete são inteligentes – p.
Juliasse é natural de Tete – q.
Juliasse é inteligente – r
O argumente fica definido: p, q ├ r
29
Exemplo4: Quadriláteros têm três lados. Se quadriláteros tem três lados, então
triângulo é quadrilátero. Ora, Rectângulo tem quatro lados e é quadrilátero, logo
quadriláteros não tem três lados ou rectângulo não é quadrilátero.
Consideremos: Quadriláteros têm três lados – p.
Triângulo é quadrilátero – q.
Rectângulo tem quatro lados – r
Rectângulo é quadrilátero – s
O argumente fica definido: p, pq, r s ├ ~p ~r
Uma outra forma de apresentar um argumente verbal:
Quadriláteros têm três lados. – Premissa
Se quadriláteros tem três lados, então triângulo é quadrilátero. – Premissa
Ora, Rectângulo tem quatro lados e é quadrilátero. – Premissa
--------------------------------------------------------------------------------------------
Então, Quadriláteros não têm três lados ou rectângulo não é quadrilátero. – Conclusão
2.5.1. Validade de um argumento
Definição1: Diz-se que um argumento é verdadeiro ou simplesmente válido se e
somente se as premissas forem verdadeiras, a conclusão é também verdadeira.
Exemplo5: verifique se são validos os seguintes argumentos,
i) p, pq ├ q
Premissa1 Conclusão Premissa2 Na linha 1 da tabela verdade, vemos que a
premissa 1 e 2 são simultaneamente verdadeiras
e, contudo, a conclusão tem um valor lógico
verdadeiro na mesma linha. Não havendo mas
linhas onde temos simultaneamente premissas
verdadeiras, concluímos que o argumente dado é
valido.
p Q p → q
L1 V V V
L2 V F F
L3 F V V
L4 F F V
30
i) pq, q ├ qp
Premissa2 Premissa1 Conclusão Na linha 1 e 3 da tabela verdade, vemos
que as premissas 1 e 2 são simultaneamente
verdadeiras e, no entanto, a conclusão nestas
mesmas linhas tem um valor lógico verdadeiro
e falso respectivamente. Da definição, segue
que o argumento é falso ou é um sofisma, pelo
facto da L3 ter premissas verdadeiras e
conclusão falsa.
p q p → q q → p
L1 V V V V
L2 V F F V L3 F V V F
L4 F F V V
Definição2: Diz-se que um argumento P1, P2, ... Pn ├ Q é verdadeiro ou
simplesmente válido se e somente se 1 2 ... nP P P Q é uma tautologia ou
simplesmente uma fórmula logicamente válida.
Exemplo6: Verifique a validade do seguinte argumento, pq, ~q, ├ ~p.
Da definição segue que: Se pq, ~q, ├ ~p é um argumento valido, então
p q ~q ~p. é uma fórmula logicamente valida. O Contrario diria que o argumento
não é valido. Neste caso podemos usar a tabela verdade ou a demonstração a partir
das propriedades das operações lógicas “demonstração algébrica”, como se segue:
Verificação por tabela verdade.
p Q ~p ~q p → q (p → q) ∧ ~q [(p → q) ∧ ~q] → ~p
V V F F V F V
V F F V F F V
F V V F V F V
F F V V V V V
Como se pode observar, a última coluna da tabela verdade possui todos valores
lógicos verdadeiros, com isso, podemos dizer que a fórmula é uma tautologia ou seja o
argumento dado é valido.
31
Verificação por demonstração algébrica.
Hipótese: p → q; ~q são premissas e ~p é a conclusão.
Tese: p q ~q ~p. É uma fórmula logicamente valida.
Passos Demonstração Justificação
1. [(p → q) ∧ ~q] → ~p
2. ~ [(~p v q) ∧ ~q] v ~p Definição da implicação
3. (~~p ∧ ~q) v ~~q v ~p Lei de Morgan
4. (p ∧ ~q) v q v ~p Dupla negação
5. (p v q v ~p) ∧(~q v q v ~p) Propriedade distributiva
6. (V v q) ∧ ( V v ~p) Tautologia
7. V ∧ V Tautologia
8. V Tautologia. cqd.
Portanto, o argumento é valido.
2.5.2. Métodos de Demonstração directa e indirecta
2.5.2.1. Método de demonstração directa
Este método consiste em deduzir a conclusão a partir das respectivas premissas
usando resultados prévios. Para tal, serão usadas as propriedades sobre as operações
lógicas e as regras de inferência estatística.
Regra de inferência
Modus Ponens MP [p ∧ (p → q)] → q
Modus de Tollens MT [~ q ∧ (p → q)] → ~ p
Silogismo Hipotético SH [(p → q) ∧ (q → r)]→ (p → r)
Silogismo Disjuntivo SD [(p ∨ q) ∧ (~ p)]→ q
Simplificação SM (p ∧ q) → p
Adição AD p → (p ∨ q)
Eliminação El {[p → (q ∨ r)] ∧ (~ q)} → (p → r)
Prova por Casos CS [(p → r) ∧ (q → r)] →[(p ∨ q) → r
Para aplicarmos esse método é necessário termos em conta alguns aspectos:
a) Identificar as premissas e ordena-las verticalmente;
b) Conjugar as premissas duas a duas, de modo que se obtenha conclusões
claras e compatíveis as regras de inferência estatística ou as propriedades
sobre as operações lógicas;
32
c) A ordem da conjugação das premissas não importa;
d) Cada passo usado não pode ser conjugado com nenhum outro passo livre.
Exemplo7: Mostre a validade dos seguintes argumentos,
i) ~p → q, q→~r, r ∨ s ├ ~s → p.
Hipótese: ~p → q, q → ~r, r ∨ s são premissas e ~s → p é a conclusão.
Tese: ~s → p é consequência das premissas ~p → q, q → ~r, r ∨ s.
Passos Demonstração Justificação
1. ~p → q, Premissa 1 2. q → ~r Premissa 2
3. r ∨ s Premissa 3
4. ~p → ~r Silogismo hipotético (SH) do passo 1 e 2 5. ~r → s Definição da implicação do passo 3
6. ~p → s Silogismo hipotético (SH) do passo 4 e 5 7. ~s → ~~p Contra positiva do passo 6
8. ~s → p Dupla negação do passo 7. cqd
Partimos das premissas e deduzimos a conclusão, portanto o argumente é valido.
ii) Se ele foi a Angónia, então passou de Moatize.
Se passou de Moatize, então comprou muita carne ou carvão mineral.
Ora, ele não comprou muita carne nem carvão mineral.
----------------------------------------------------------------------------------------
Então, ele não foi a Angónia.
Fica ao critério do estudante: escrever o argumento em linguagem simbólica;
verificar a validade do argumento por todos métodos a cima usados.
2.5.2.2. Método de demonstração indirecta
Este método consiste na validação de um argumento a partir de uma árvore,
designada árvore de refutação. Portanto, neste método começamos das premissas que
vão sendo decompostas mediante um algoritmo de construção da árvore.
33
Algoritmo para construção da árvore de refutação.
1. Identificar as premissas e ordenar na forma vertical;
2. Identificar a conclusão e determinar a sua negação;
3. Construir os ramos ou as linhas da árvore, mediante uma regra;
4. Justificar cada fórmula usada, indicando o passo para qual deu origem;
5. Dar prioridade as premissas que não produzem ramificações;
6. Marcar com o símbolo cada fórmula usada, para evitar aplicação repetida;
7. Fechar os ramos com um quando dentados átomos contrários;
8. Aplicar cada regra ao conectivo principal da fórmula.
Regras da árvore de refutação
Regra Exemplo Regra Exemplo
Dupla negaça (~~):
Gera uma linha não ramificada.
(~~p)
p
Conjunção ( ):
Gera duas linhas não
ramificadas.
p q
p
q
Disjunção ( ):
Gera uma linha com dois
ramos.
p q
p q
Implicação ( ):
Gera uma linha com dois
ramos.
p q
~p q
Bicondicional ():
Gera duas linhas e dois ramos.
P ~ q
p q
p ~p q ~q
Exemplo8: Mostre a validade do argumente,
i) p ∨ q, ~p ├ q
1. p ∨ q Premissa
2. ~p Premissa
3. ~q Negação da conclusão
4. (2, 4)
p
Definição da disjunção do passo 1
5. (3,5)
q
Definição da disjunção do passo 1
A árvore de refutação está completa e, a tentativa de refutar o argumento falhou
pelo que o argumente é valido.
34
ii) ~p → q, q→~r, r ∨ s ├ ~s → p.
1. ~p → q Premissa
2. q → ~r Premissa
3. r ∨ s Premissa
4. ~(~s → p) Negação da conclusão
5. ~s p Negação da implicação do passo 4
6. ~s Regra da conjunção do passo 5
7. p Regra da conjunção do passo 5
8. r (6, 8)s
Regra da disjunção do passo 3
9. ~(7, 9)
p
q Regra da implicação do passo 1
10. ~(9, 10)
q
~(8, 10)r
Regra da implicação do passo 2
A tentativa de refutar o argumento falhou portanto que o argumente é valido.
35
Unidade 3: Cálculo de predicados
No cálculo proposicional estávamos interessados em estudar as proposições
simples sem que sejam aprofundadas os intervenientes internos da frase. Ora vejamos,
uma frase por exemplo “João é amigo de Gil”, na lógica proposicional simbolizamos
apenas por uma varável “p”, no cálculo de predicados, essa frase terá um pouco mais
de significado, introduzindo-se novos símbolos, isto é, conseguiremos representar as
relações entre os objectos nesta frase. Frases que incluem expressões de forma
quantificada aqui são mais transparecidas e aprofundadas o seu conteúdo interno.
No cálculo de predicado, poderemos então, escrever uma frase em linguagem
simbólica mais aproximada ao conteúdo interno da frase, é por isso que o cálculo de
predicados vai mais além de determinar a falsidade ou veracidade de uma sentença.
3.1. Símbolos da linguagem do cálculo de predicados
Destacamos aqui os símbolos não lógicos e símbolos lógicos:
3.1.1. Símbolos não lógicos:
Variáveis: Designam objectos que não conseguimos distinguir (que não
conhecemos), num universo considerado e, são identificadas pelas letras minúsculas
do alfabeto, isto e, 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡, 𝑟, . ..
Constantes: Designam objectos que conhecemos (que conseguimos distinguir),
num universo considerado e, são identificados pelas letras minúsculas do alfabeto, isto
é, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, …
Predicados: São as qualidades que os objectos podem tomar e, são
identificados pelas letras maiúsculas do alfabeto, isto é, 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆, 𝑇 …
Portanto, escrevemos:
𝑷(𝒙) – Para indicar que P é uma condição na variável livre 𝑥,
𝑷(𝒙, 𝒚) – Para indicar que P é uma condição nas variáveis livres 𝑥 e 𝑦,
𝑷(𝒂) – Para indicar que P é uma condição no objecto 𝑎,
𝑷(𝒂, 𝒃) – Para indicar que P é uma condição no objecto 𝑎 e 𝑏.
36
Exemplo.
i) O João é honesto.
Predicado: “Honesto”, designamos por 𝐻.
Constantes: João, designamos por 𝑗.
Simbolicamente escrevemos: 𝐻(𝑗). Como podemos notar, essa linguagem
simbólico vai mais ao encontro do conteúdo interno da frase, que no cálculo
proposicional seria simbolizada apenas por uma letra “𝑝”.
ii) O João é amigo de Marcos.
Predicado: amigo, designamos por 𝐴.
Constante: João e Marcos, designamos por 𝑗, 𝑚.
Simbolicamente escrevemos: 𝐴(𝑗, 𝑚).
iii) Ele é inteligente e é amigo de João.
Predicado: inteligente e amigo, designamos respectivamente por 𝐼, 𝐴.
Constante: João, designamos por 𝑗.
Varável: ele, designamos por 𝑥.
Simbolicamente escrevemos: 𝐼(𝑥) ∧ 𝐴(𝑥, 𝑗).
iv) Maria vive com João ou não é amigo de Ana.
Predicado: vive e amiga, designamos por 𝑉, 𝐴 respectivamente.
Constante: Maria, João, Ana, designamos por 𝑚, 𝑗, 𝑎.
Simbolicamente escrevemos: 𝑉(𝑚, 𝑗) ∨ [∽ 𝐴(𝑚, 𝑎)].
3.1.2. Símbolos lógicos
Fazem parte dos símbolos lógicos os símbolos do cálculo proposicional. Portanto,
acrescentam-se nesta unidade os quantificadores.
37
3.1.2.1. Quantificadores: São usados para distinguir relações gerais
subentendidas e, são dois tipos de quantificadores:
Quantificador Universal
Usa-se para representar proposições que globalizam uma ideia num todo e, é
indicada pelo símbolo "∀" que se lê “todo, nenhum, qualquer que seja”. Portanto, numa
proposição dois predicados antecedidos do quantificador universal são separados pelo
conectivo .
Uma proposição universal pode ser:
Universal Afirmativa
É toda proposição quantificada, da forma: “Todo A é B”. Ela indica que todos os
elementos de A estão contidos em B.
Simbolicamente tem-se: ∀𝑥 [𝐴(𝑥) → 𝐵(𝑥)].
Exemplo: Todos naturais de Moatize estudam na UP.
Consideremos os conjuntos: M – naturas de Tete
E – estudantes da UP
Simbolicamente têm-se: ∀ 𝑥 [𝑀(𝑥) → 𝐸(𝑥)]
Universal Negativa
É toda proposição quantificada, da forma: “Nenhum A é B”. Ela indica que todos
elementos de A não fazem parte de B.
Sua forma simbólica é: ∀ 𝑥 [𝐴(𝑥) → (¬ 𝐵(𝑥))]
Exemplo: Nenhum estudante da UP é preguiçoso.
Consideremos os conjuntos: E – estudantes da UP
P – estudantes preguiçosos
Simbolicamente têm-se: ∀𝑥 [𝐸(𝑥) → (¬𝑃(𝑥))]
38
Quantificador Existencial
Usa-se para representar proposições que indicam uma parte de um todo e, é
indicada pelo símbolo “∃”, que se lê “algum, existe”. Portanto, numa proposição dois
predicados antecedidos do quantificador existencial são separados pelo conectivo ⋀.
Uma proposição existencial pode ser:
Particular Afirmativa
É toda proposição quantificada, da forma: “Algum A é B”. Ela indica que alguns
elementos de A pertencem B.
Simbolicamente representa-se: ∃𝑥 [𝐴(𝑥) ∧ 𝐵(𝑥)]
Exemplo: Existem estudantes da UP que são naturais de Moatize.
Consideremos os conjuntos: E – estudantes da UP
M – naturais de Tete
Simbolicamente têm-se: ∃𝑥[𝐸(𝑥) ∧ 𝑀(𝑥)]
Particular Negativa
É toda proposição quantificada, da forma: “Algum A não é B”. Ela indica que
existem elementos de A que não fazem parte de B.
Simbolicamente representa-se: ∃ 𝑥[𝐴(𝑥) ⋀(∽ 𝐵(𝑥))]
Exemplo: Nem todos estudantes da UP são naturais de Moatize.
Consideremos os conjuntos: E – estudantes da UP
M – naturais de Tete
Simbolicamente têm-se: ∃𝑥[𝐸(𝑥) ∧ (~𝑀(𝑥))]
39
Quantificadores Implícitos
Algumas proposições apresentam quantificadores na forma implícita, isto é, os
quantificadores estão subentendidos, devendo ser decifrado pelo sujeito leitor;
Exemplo: Os diâmetros de uma circunferência cortam-se num ponto.
Nessa proposição está implicitamente o quantificador universal e existencial,
assim a sentença pode ser reescrita da seguinte forma:
“Para toda a circunferência existe um ponto onde passam todos os diâmetros ”.
3.2. Funções Proposicionais
As funções proposicionais são também designadas sentenças abertas. São
sentenças cujo valor lógico esta dependente de uma condição para que se tornem
verdadeiras ou falsas.
Exemplo:
i) −𝑥² + 4𝑥 − 3 = 0.
Esta afirmação não pode ser considerada verdadeira ou falsa, para que a
possamos considerar devemos introduzir um determinado valor no lugar da varável 𝑥,
portanto, a sentença tem um lugar aberto. Ex: Se substituir 𝑥 por −1, tem-se −(−1) ² +
4 ∙ (−1) − 3 ≠ 0. Logo a afirmação torna-se falsa.
ii) “Ele é aluno do curso de Licenciatura em ensino de Matemática.”
A frase é uma proposição e, está subentendida, “ele que”? Portanto, a frase não
pode ser considerada verdadeira ou falsa, ela tem um lugar aberto. Para que a frase
tenha um valor lógico deve-se substituir “ele” por um nome. Ex: Se substituir ele por
PANGANANI, tem-se “PANGANANI é aluno do curso de Licenciatura em ensino de
Matemática.” Logo a afirmação é verdadeira.
40
Uma forma de determinar a validade duma sentença aberta é a introdução de
quantificadores.
i) ∃𝑥 ∈ 𝐼𝑅: − 𝑥² + 4𝑥 − 3 = 0 é verdadeira
ii) ∀𝑥 ∈ 𝐼𝑅: − 𝑥² + 4𝑥 − 3 = 0 é falsa
iii) Considere 𝑥 sujeito subentendido e
𝑃 = aluno do curso de Licenciatura em ensino de Matemática. A frase pode ser reescrita
na linguagem simbólica da seguinte forma: ∃𝑥𝑃(𝑥) 𝑜𝑢 ∀𝑥𝑃(𝑥).
As fórmulas ∃𝑥𝑃(𝑥) 𝑜𝑢 ∀𝑥𝑃(𝑥), são uma abreviação. Se cnsdererms que exste um
unvers U, na qual o cnjunt P esta cntd, pderems escrever as afrmaces duma frma mas
cmpleta, respectivamente: ∃𝑥[𝑈(𝑥) ∧ 𝑃(𝑥)] 𝑜𝑢 ∀𝑥[𝑈(𝑥) → 𝑃(𝑥)] ou anda ∃𝑥[𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈
𝑃] 𝑜𝑢 ∀𝑥[𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝑃].
3.2.1. Representação de proposições por Digrama de Venn
O Diagrama de Venn também designada diagrama de Euler-Venn, foi concebido
para representar conjuntos por meio de curvas fechadas. Portanto, para o nosso estudo
de proposições, vamos considerar três importantes aspectos:
Conjunto vazio
É representado por um
círculo sombreado.
Conjunto não vazio
É representado por um
círculo não sombreado.
Conjunto com pelo
menos um elemento
É representado por um " ×
" no interior do círculo.
×
41
Exemplo: i) Todos moçambicanos são inteligentes.
Seja “M – conjunto dos moçambicanos” e “I – conjunto dos inteligentes”. A frase
pode ser resumida na seguinte: “Todo M é I.” a representação gráfica fica:
A Parte sombreada representa uma área vazia. Veja que, a parte não sombreada
de “M” esta toda contida em “I”, então representamos “Todo M é I.”
ii) Nenhum pugilista é fraco.
Seja P, o conjunto de pugilistas e F, o conjunto de fracos. A frase pode ser
reescrita da seguinte forma: “nenhum P é F.” e representamos graficamente da seguinte
forma:
A parte sombreada representa uma área sem elementos, portanto P e F não se
cruzam, isto é, não tem elementos em comum.
iii) Existem ricos que são Cacatas1.
Se considerarmos R o conjunto dos ricos e C, o conjunto dos Cacatas, a frase
pode ser reescrita: “Algum R é C.” Assim a representação por diagrama de Venn será:
1 Cacata: Alguém que mesmo tendo dinheiro de sobra, na solta para outrem.
42
O x indica que há cruzamento entre R e C, isto é, há ricos que são Cacatas.
iv) Existem moçambicanos que não são estudiosos.
Se considerarmos M o conjunto dos moçambicanos e E, o conjunto dos
estudiosos, a frase pode ser reescrita: “Algum M não é E.” Assim a representação por
diagrama de Venn será:
O x indica que nem todos moçambicanos são estudiosos.
3.4. Argumentos e Validade de argumentos
Na unidade anterior, definimos argumentos e as condições para as quais devem
ser consideradas verdadeiras ou falsas. Nesta unidade a ideia não foge tanto do que já
foi visto.
Sendo as proposições do cálculo de predicado muito complexas, não é possível
balança-las na tabela para determinar a sua validade, tal como é feito no cálculo
proposicional, assim, vamos aqui tratar da demonstração da validade de um argumente
com base no diagrama de Venn e a árvore de refutação.
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3.4.1. Demonstração por diagrama de Venn.
Procedimentos:
1. Consideramos os conjuntos existentes nos argumentos e, formamos os
respectivos diagramas cruzados.
2. Transferimos as informações das premissas para os diagramas, dando
prioridade as premissas quantificadas universalmente.
3. Analisamos se toda informação apresentada na conclusão encontra-se
representada de modo único nas informações das premissas.
4. Portanto, se o ponto 3 se verificar, afirmamos que o argumente é valido, caso
contrário, o argumente é considerado uma falacia.
Exemplo1:
i) Existem moçambicanos que gostam de estudar.
Todos que gostam de estudar são inteligentes.
---------------------------------------------------------------------
Então, existem moçambicanos que são inteligentes.
Seja: “M” – conjunto dos moçambicanos; “E” – conjunto das pessoas que gostam
de estudar; “I” – conjunto das pessoas inteligentes. Representando os conjuntos por
diagrama de Venn, teremos:
A parte sombreada corresponde a
segunda premissa, que indica que o
conjunto “E” esta incluso no conjunto “I”.
A parte em X representa o enunciado da
primeira premissa, que indica que há
uma intersecção entre o conjunto M e E.
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A relação conjunta e única dos enunciadas das premissas recai sobre a parte
assinalada com X. O enunciado da conclusão, também recai sobre a mesma área,
portanto há uma relação conjunta e única entre as premissas e a conclusão, logo o
argumente é valido.
ii) Todos matemáticos são organizados.
Existem físicos que são organizados.
--------------------------------------------------
Então, todos matemáticos são físicos.
Seja: “M” – conjunto dos matemáticos; “O” – conjunto das pessoas organizadas;
“F” – Conjunto dos Físicos. Representando os conjuntos por diagrama de Venn,
teremos:
A parte sombreada corresponde a
primeira premissa, que indica que o
conjunto “M” esta incluso em “O”.
A parte em X representa o enunciado da
segunda premissa, que indica que há
uma intersecção entre o conjunto O e F.
A relação conjunta entre as premissas recaem sobre a parte em X, mas a
conclusão vai muito além dessa região, logo o argumente é inválido.
45
3.4.2. Demonstração por Árvore de refutação
Algumas das regras que serão usadas já foram mencionadas no capítulo anterior,
portanto, neste capítulo vamos aprimorar algumas delas que completam as conhecidas.
Regras da árvore de refutação
Regra Exemplo
Negação do quantificador universal (~∀):
A negação do quantificador universal é equivalente ao quantificador
existencial e a negação da sentença, portanto gera uma linha.
~∀𝑥𝑃(𝑥)
∃𝑥~𝑃(𝑥)
Negação de um quantificador existencial (~∃):
A negação do quantificador existencial é equivalente ao quantificador
universal e a negação da sentença, gera uma linha.
~∃𝑥𝑃(𝑥)
∀𝑥~𝑃(𝑥)
O quantificador universal é abandonado quando existe pelo menos
uma constante na sentença correspondente, caso não haja, dá-se
prioridade ao quantificador existencial e, gera uma linha.
∀𝑥𝑃(𝑎)
𝑃(𝑎)
O quantificador existencial pode ser abandonado independentemente
de ter ou não uma constante na proposição. Se tiver uma constante
usamo-la, se não tiver atribuímos uma constante arbitrária.
∃𝑥𝑃(𝑥)
𝑃(𝑏)
Ou
∃𝑥𝑃(𝑎)
𝑃(𝑎)
Exemplo: i) Todos os cientistas são estudiosos.
Alguns cientistas são inventores.
-------------------------------------------------
Alguns estudiosos são inventores.
Seja: C – conjunto dos cientistas; E – conjunto dos estudiosos; I – conjunto dos
inventores. O argumente fica: ∀𝑥[𝐶(𝑥) → 𝐸(𝑥)], ∃𝑥[𝐶(𝑥) ∧ 𝐼(𝑥)], ├ ∃𝑥[𝐸(𝑥) ∧ 𝐼(𝑥)].
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Construindo a árvore de refutação
Organizamos na vertical as premissas e a negação da conclusão, depois, as
regras começam a produzir efeitos. Ora vejamos;
1. "𝑥[𝐶(𝑥)𝐸(𝑥)] Premissa1
2. ∃𝑥[𝐶(𝑥) 𝐼(𝑥)] Premissa2
3. ∃𝑥[𝐸(𝑥) 𝐼(𝑥)] Negação da conclusão
4. "𝑥[𝐸(𝑥) 𝐼(𝑥)] Lei de Morgan do passo 3
5. 𝐶(𝑎) 𝐼(𝑎) Abandono de “∃” e introdução de uma constante
arbitrária, do passo 2.
6. 𝐶(𝑎)𝐸(𝑎) Abandono de “"” e introdução da constante já
existente, do passo 1.
7. [𝐸(𝑎) 𝐼(𝑎)] Abandono de “"”, do passo 4.
8. 𝐶(𝑎) Regra da conjunção, do passo 5.
9 𝐼(𝑎) regra da conjunção, do passo 5.
10. (8, 10)
C(a) E a Definição da implicação, do passo 6.
11. (10, 11)
E(a) (9, 11)
I(a) lei de Morgan, do passo 7.
Conseguimos fechar todos os ramos, nisto, a tentativa de contestar o argumento
falhou, portanto o argumento é valido.
ii) Todos matemáticos são organizados.
Existem físicos que são organizados.
--------------------------------------------------
Então, todos matemáticos são físicos.
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Seja: “M” – conjunto dos matemáticos; “O” – conjunto das pessoas organizadas e
“F” – Conjunto dos Físicos. O argumente fica:
∀𝑥[𝑀(𝑥) → 𝑂(𝑥)], ∃𝑥[𝐹(𝑥) ∧ 𝑂(𝑥)], ├ ∀𝑥[𝑀(𝑥) ∧ 𝐹(𝑥)].
Demonstração:
1. ∀𝑥[𝑀(𝑥) → 𝑂(𝑥)] Premissa 1
2. ∃𝑥[𝐹(𝑥) ∧ 𝑂(𝑥)] Premissa 2
3. ¬ ∀𝑥[𝑀(𝑥) ∧ 𝐹(𝑥)] Negação da conclusão
4. ∃𝑥¬[𝑀(𝑥) ∧ 𝐹(𝑥)] Negação de “∀”, d pass 3.
5. [𝐹(𝑎) ∧ 𝑂(𝑎)] Abandono de “∃”, introdução da constante
arbitrária, do passo 2.
6. [𝑀(𝑎) → 𝑂(𝑎)] Abandono de “∃”, introdução da constante já
conhecida, do passo 1.
7. ¬[𝑀(𝑎) ∧ 𝐹(𝑎)] Abandono de “∃”, introdução da constante já
conhecida, do passo 1.
8. 𝐹(𝑎) Regra da conjunção, do passo 5.
9. 𝑂(𝑎) Regra da conjunção, do passo 5.
10. 𝑀(𝑎) 𝑂(𝑎) Regra da implicação, do passo 6
11.
(10, 11)
( )M a(10, 11)
( )F a ( )M a ( )F a Regra da implicação, do passo 7.
Não conseguimos fechar todos os ramos, nisto, o argumento é inválido.
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Referências Bibliográficas
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Maputo. Textos Editores. 2010
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Departamento de Informática. 2004
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