Testing of clustering, Proc. 41 IEEE FOCS, IEEE (2000), 240-250. Also

26

Transcript of Testing of clustering, Proc. 41 IEEE FOCS, IEEE (2000), 240-250. Also

Page 1: Testing of clustering, Proc. 41 IEEE FOCS, IEEE (2000), 240-250. Also

������������ �������������������

�������! �"#��$%'&)(*�,+.-0/1&)$�-2�43657�,-98:&)/;�,-9<#=)>

?@&)"BA �CD<EC�F�$�<GC�&H+9>.<G-IJK�4/;�,-2 �CD<GC�LNMPORQTS@UNVWNX4Y�Z�[,\*Z�]�^`_a]�Z4b`_cZ�de_Pf�g

h &i�4$:$�<#&j%k�4+?l8:&j �=)�4m:&H/;<G=jno��"#"G&)��&�43e?@&)"BA KC�<EC�Aapq�,rs�?t&H"EAu �CD<GC�LNMPORQTS@UNV

5v<#=P8*�4"xwt�4+9$:�4>?l8:&y �=)�4m:&)/1<#=jno�4"#"#&H��&�,3e?@&)"BA �CD<EC�Azpq�,rs�?@&)"BA KC�<EC�LNMPORQTStUNV

\�f�d{^*Z�gR|�[:}�~�����~��o_�\�]�Z�_�Z�de_0f�g%k�,$*�!JK��$

%'&)(*�4+�-0/1&)$�-2�43e����� h I�>�-0&H/;>?t&H"EAu �CD<GC�F�$:<EC�&)+.>9<E-IJ��,/��,-` �CD<GC�L�MPORQTS@U�V� Z,W:Z���[D~,W�Yq_u]�Z,b`_cZ:de_0f�g

�K���.���P�R������z�c�:�������4�����)�a�����o ¢¡s���T£#¤�¥a¦c§c¨�©cª¬«i­u®°¯�±z²�³�ª´¯��´���¶µ.·���¸4�s�,·�¹z�z�´�z�����R�9º����H�a�e¤»��¼R¸,�����a�T£z©�ª½«i­®¾¯�±u­9§D���

�a¿�·P���z¿��eº{�À·�Á`���z��¹6£E·�¬�a��¹a��·P�a�´ÃH��Â�Ä�ÅH�z¿R�e¹u·�º{��¼��u§*�����.·�µu¿�µcÂ�¼��Æ�a��¹�����·P�TÁ`�H���T¦0Ç:ÈÉ�t��¹z�9���.�H�T·�Â�Ê��H¹z�´�z¿RÁl��a¿�·P��¸iÄo�a·�Á`�RÂ��´��Ê��B¹z�HÁË·»�������!ÅHºR�����z���RÊ�¼����z¿2¸4�c�ÆÌ������`�a¿R�tµ.·��z�T�z¿�·��s�Í�À�@£#¤�¥a¦c§°Î¾µ�´¼,�Æ�a��¹u·�¸RÂ��x·���ºo�a¿R�µ.·��z�¢�z¿,·P�T�Í����ÏzÎG�E·�¹N�B¹a��Áи,�.�´��Ê�£G¤�¥a¦ÑÀ§¾Î°µcÂ�¼����z��¹u·�¸�´�¢�B�H¹s·��)Ä`ÊH�´ÃH���2ÒoÓ�Ï@ÔvÕe·���º`�B�H¹�¦Ñ�Ö�¦0Ç:×°�KÏzÎ#�E·�¹�B¹a��Áظ4�����RÊk£G¤�¥a¦ÑÀ§¾Î°µcÂ�¼����z��¹u·�¸�´�eÌs�eÁ`�.·��2�z¿,·P�¢Á`��¹a�@�a¿�·���Ï:Ù�Ú �;ÚH�4�����)�a�T��¿���¼RÂÀº2¸4�6¹z�.Áo�PÃH�.º`�B¹a��ÁØ��z���a¿�·P���¬��¸,�9µc��Á`�9�@£G¤�¥a¦ÑÀ§¾Î°µcÂ�¼����z��¹u·�¸�´�HÇ�ÈÉ�@ÊH�´ÃH�x·�Â�Ê���¹a�´�z¿RÁl�:�B�H¹s·�ÃP·�¹a���c�ÆÄo����µc�)�Æ��Á`�9·��z¼R¹z�9�:�z¿,·P�s¼,���·`�a·�Á`�RÂ������:����Û��6����º{���4���,º{���)�@���¢Ú �;Ú¬ÅR·���º��,�H´Äi�R�HÁ`��·�Â��´�y¤�·���ºÉÕ0Ü�Ï9Ç

Ý ¼�¹t·�Â�Ê��H¹z�´�z¿�Á`�tµ�·��y·�ÂÀ���2¸4�o¼����9º'�z�KÞ���º1²uß�ß�±zà�áHâäãl²P®°¯cª½å2æ)à.à9çyµ�´¼,�Æ�a��¹a�´�RÊ)��Çtè@·�Á`�.´ÄHÅ,�a¿R�.�z�q·�¹z�µ�´¼,�Æ�a��¹a�´�RÊ)�6���T·�Â�Â*¸R¼{�»·��éÏzÎG�B¹u·�µc�z�����É���s�z¿R�l�4�����)�a�6���É�ê�z¿,·P��¿�·0Ã��`�H�{�z��Ál·�Âx£B�H¹�µcÂ��H�z�»�a�k���{�a�´Ál·�ÂÀ§µ��H���.ÇyëT¿R��¸,�.�R�cÞ��q���x�H¼R¹»·�´ÊH��¹a�¬�a¿RÁl���À���z¿,·P�»�a¿R��Äéµc�H�����z¹a¼�µ�q·���âäã@ß4ª½âE©�âä®�±z¯°ß4±z¯c­�¯cì,®¾²�®GâEà�ì����x��¼�µu¿µ�´¼,�Æ�a��¹a�´�RÊ)�¢�����a�´Á`������º{�.�,�.��º{�.�H�t���xÚ �;Ú¬Ç�ëT¿�·��x���.Å�Ì¢�´�z¿���¼{�@·Hµ�z¼,·�Â�´Ä�¿�·0Ãi�´�RÊo�a�l��·�¹z�z�´�z�����k·�Â�Â��4�����)�a����2�!Å��z¿R�@�´Á`�RÂ���µ��¬��¹z�.�R¹a�.�z���)�a·��z�����lµ�·��l¸,�x¼,���9ºo�z�»·�����Ì���¹síH¼���¹a�´�9�Nµc�H��µc�.¹z�R���RÊ6�a¿R�tµ�´¼����z�.¹�·��iÄoÊ���Ã��.��4�����)�x¸,�.´�H�RÊH���a��Ç

Page 2: Testing of clustering, Proc. 41 IEEE FOCS, IEEE (2000), 240-250. Also

î ï�ð`ñ�ò*ó2ôyõ'ö�ñ*÷cóqð

ø6ùBúDûüýPþ�ÿ�������þ���Dùäý�yû �iþ.ÿBûýKÿ����������iþcý��{û�������������{ý������iþ�ÿäýPü�����������DùBÿ� !�iücÿ"�#�Dû%$'&)(!*%+-,.�0/21��433.��/,.�655�37.��/7.��/8:9<;>=@?A���#��ýB��:ÿäücû¢ûüC������iþ��D�E�{þ�jû!�RüC��ýB��þ���Dùäý� ÿBûTü'�%��ý� Pÿ���ýGFH��ýPüC��ýPþ��I�Rÿ"�{ý��yûcýPü@JK��0LM�4�Rÿ��,ücûÿ��ON#P���ÿ�ký���û�ÿ"�#���{ùRQ@ú� PùEÿ���ý����û'��� 0ýS !��T�:ý����iþcücÿäücÿ��#��ý���ÿ��,ü'��U�ûcú��DûcýPücûV$'&!WYX[Z]\�^`_>Z:;lû'�1üC���iü2üC��ý�&>a2Z]\I��ý�� ��b PùBú�ûüýPþ`ÿBûI�iüc��Rûücde=%fg��ýD `�Rûcüh��G�S PùEú�ûüýPþc !��i�:ýj��ý`k���ý����{ûlÿäücû�l�m)n�oV^!\�^!_p$¾ÿ)= ý�*üC��ýD��2q�ÿ��ú���ÿBûcüC��� 0ýg�:ýPü�FeýPý��M���{ÿäþ�ûr��s�4�Rÿ��,ücûtÿ��jüC��ýI PùBú�ûüýPþ];>�[�{þ6ÿäücûg_'n#l�m<X[ZV$#üC���iüeÿEû!�,üC��ýHyÿ��Dÿ��ú�Íþ����ÿBúDû���t�j���{ùBù `�#�,üC�{ÿ���ÿ������{ùBù�üC��ý��4�Rÿ��,ücû`ÿ���üC��ý� PùBú�ûüýPþ];>=vuw?x�@û�ú� ��O�yUzP{F|���p���iþcücÿäücÿ��#�;ý`q�ÿBûücû��*üC��ý��pFtýyûC�e�;üC���iühJ ÿBû$)U0}�d!;�P>&!WYX[Z]\�^`_'n�~!W"^w$<F»ÿäüC�vþcý�û'�:ý� 0ü2ü'�1üC��ýS��ÿ��yýPüýPþ��{þ�üC��ýyþ����ÿEú�û% `�Rûü>;>=��h���<�{þcücú����iüý�ù�����4�{üC�T��ý� PÿEûcÿ"�#���þC���ùäý�yûB�iþcýD�H��PaøG�#��DùäýPüý��E�{þgNM��/y$�����y���iþ�ÿ�����ùäý�U�;c+v5`1���/��9{������ þ�ý���{ÿ��y���iþ>� ý!�{ý���FH��ý����#��ù"��� 0ýPþcüC�{ÿ��� `�#��ûüC��,üH������þ���q�ÿ���iücÿ"�#����TüC��ý% PùBúDûüýPþ»ûcÿ"�Pý2ÿEû�û'�Rú��#�,üj+v5�329{=?A��üC��ÿBûhFr�{þ���Feý� `�#��ûcÿ���ýPþ`üC��ý��<�RùBù"�:F»ÿ���� þcý�ù��2q��iücÿ"�#�i��@üC��ý����4�e�{ý���ý� PÿBûcÿ"�#�p��þC���ùäý�yû!�g���{þ��M�Rÿ"�{ý��������þ���q�ÿ���iücÿ"�#�O���iþ��kýPüýPþ������.�6����b��ÿBûüC��� 0ýV���iþ��kýPüýPþD�i������5���Feý�FG�Rú�ù���ùEÿ"�{ýkü'����ýPüýPþ>yÿ���ýFg��ýPüC��ýPþoüC��ý�ûýPüIJ ÿEûD$)U0}�d!;�P� PùBú�ûcüýPþ����Dùäý��{þ%�AP�(!n�_V�#þC�#��:ý�ÿ����i$)U0}e$A5B���6;Ad!;�P� PùBú�ûcüýPþ����Dùäý=c?A�p�'P�(`n_V�#þC�#$)U0}e$A5��S�6;Ad!;�P� PùBú�ûüýPþ>���DùäýhFtý ký���yüC���iü���{þcý�üC�������V�R�#þ�� 0ücÿ"�#�����üC��ý �4�Rÿ��,ücûTÿ���J ûC���Rú�ù��D�:ý6þcý���:�{ý��$<�{þ���e�{ý��0;jûC� üC���iü�J��:ý� `�#ký�ûO$)U0}e$A5����6;Ad!;V PùBú�ûüýPþ�����ùäý=��`ÿ��{ý���üC�DÿBûjþ�ý�ù��2q.�iücÿ��#����2üC��ýp��ý� PÿEûcÿ"�#���þC���ùäý���RFtý ûýPý!���{ù"��{þ�ÿäüC��yûKüC���iüDFqÿBùBù��:ýéûcÿ"�#��ÿ"k� !���ücù��O�<�{ûüýPþküC���� üC���Rûýéþcý��,úDÿäþcý��T�<�{þyû'�Rù"��ÿ����;üC��ýý`q�� 0ür��ý� PÿBû�ÿ"�#����þC��DùBý�yû!=6? �����iþcücÿ� Pú�ù��iþe�Ftýg�{ûC��üC���iü��Rú�þr�{ù���{þ�ÿäüC��yûR���ûýPþC�{ýH�{û��Gý!F¡�0�Rÿ¢��ücû@�{û��0�Rû�ûcÿ"�Dùäý�#þC�#£Jb������ þ�ú�� ÿ¢�éücÿ�ký2ûcú���P�ùBÿ���ý��iþ�ÿ���L�¤�¥ J¦¥§���{þ�ý!�{ý��;ÿ�����ý!�:ý�����ý��,ü|���L@=¨ ýÉþcý!�#ýPþ�ü'�i�{ù"��{þ�ÿäüC��yû2üC���iüD�:ýPþC�<�{þ��ûcú� >�vþ�ý�ù��2q4ý��©$�������þC�eq�ÿ¢��iüý:;%��ý� PÿBûcÿ"�#�vüC�{û'�4ûD�{û�\�^]Z`\�mEªz«b�{ùvP��{þ�ÿäüC��yû!�Hfg��ý!���iþcýkþcý��4ú�ÿäþ�ý��1ü'���Rú�ü'�Dú�üc¬2­!­!®�¯:°qÿ"��J ÿBû�$)U0}�d`;�P� PùEú�ûüýPþ����DùBý�t�����ü'���Rú�ü'�Dú�üD±¢®{² ®!­`°hF»ÿäüC���þC������DÿBùBÿäüx���iü2ùäý��{ûüD/#³�3[�sÿ"�rJ ÿBû%�'P{�<�iþ��GþC�#´$)U0}e$A5g���R;Ad`;�P� PùEú�ûüýPþ����DùBý=�$<?x�|��ý�ÿäüC��ýPþ%���Rù���û!�*üC��ýküý�ûcücÿ�����{ù"��{þ�ÿBüC�����e���Rú�ü'�Dú�üxý�ÿäüC��ýPþ|� ! 0ý!��üG�{þtþcý µý� 0ü>;>=G¶�ú� ��yüý�ûcücÿ������{ù"��{þ�ÿäüC��jû� !��S��ýqú�ûý!�¾ú�ù��{û|��S�{ùBüýPþ����2Pücÿ"�{ýqü'�D�� ý`q.� 0üG�{þeý!�{ý��M������þC��q�ÿ���iüýh��ý� PÿBûcÿ��#����þC�. 0ý���ú�þcýgFg��ý��yüC��ýH�4ú���:ýPþ���s�4�Rÿ��,ücû�L;ÿBû��{ýPþC� ù��iþC�{ý=Q��{ý��;ÿ"�tL�ÿEû ���{ü�ü'�[�jù��iþC�{ý����� üC��ýPþcýKÿEû6ücÿ�kýlü'�yþ�ú����� PùBú�ûüýPþ.ÿ������{ù"��{þ�ÿäüC��£�#�y�{ùBù*üC��ýc�0�Rÿ¢��ücû!��üý�ûcücÿ���� !����:ýM������ùBÿäý��T�{û�����þcý�ùBÿ¢yÿ����iþC��ûüý!� ÿ��b�{þ���ýPþ'ü'�O������þC�eq�ÿ�V�iüý üC��ý��4ú��{ùBÿäüx�O���üC��ýM��ý�ûcüD� >��ÿäý!�����Dùäý PùBú�ûcüýPþ�ÿ�����=·V¸t¹�ºM»z¼e¸6½E¾e¼¿ ¨ ý���þcý�ûý��,ü�����¦����{ù"�[�Pý üý�ûücÿ����T�{ù"��{þ�ÿäüC��jû��0�{üC�À�<�{þyüC��ýy�Dÿ��kýPüýPþV `�Rûü����� üC��ýþ����ÿEú�ûr `�Rûcü!=�ÁqùEù��Rú�þ|�{ù���{þ�ÿäüC��yûeþ�ú��Éÿ¢�jücÿ�yýDm<ª�l�^ Â�^`ª0l�^`ª�\G���L�¤�¥ JÀ¥§������ úDûýh�'ûC���DùäýI�Gþ��#ÃJ üC���iü���{û�û�ÿ"�Pýc�4�Rù"�[���#yÿ��{ù:ÿ��yU�����y��=¨ ýM��ý�ûC 0þ�ÿ"�:ý��{ù"��{þ�ÿäüC��yûc�<�{þ2üC��ý�Ä�Å�yýPüþ�ÿ� y$�Q@ú� PùBÿ���ý����;>���{û%��ý`k���ý��b���0�:�{ý��FH��ÿ� ���ÿ¢��üC��ý� !�{ûýV��üC��ý þ����ÿBú�û� `�RûüKý��{ûcÿEù"��ý`q4üý���� ü'�p�{üC��ýPþDyýPüþ�ÿ� PûS$¾û�ú� ����{ûjÄGÆ�;>= ¨ ýM�{ùBûC���Rÿ"�{ýM�{ù"��{þ�ÿäüC��jû2üC���iüjFr�{þC�ú�����ýPþD��z�wkýPüþ.ÿ� ��@�E�{þ���¤Ç5�= ¨ ÿäüC�7üC��ý ý`q� 0ý!��ücÿ"�#�À��g�Rú�þ��{ù"��{þ�ÿäüC��jûj�<�{þ��{ý���ýPþ��{ù|kýPüþ�ÿ¢ Pû!���{ùBùr�Rú�þ�{ù"��{þ�ÿBüC��yûg�����{ý�üC��ýj�<�RùBù"�:F»ÿ������<�{þ���Bf ��ý!�éú���ÿ"�<�{þ�yù"�Éûý�ùäý� 0üI�jûC����ùäý���@�4�Rÿ��,ücû �#þC�#�JÈ����!þ�ú�����ý`q�� 0üh��ý� PÿEûcÿ"�#����þ��[ 0ý���ú�þcýc�E�{þh�{ýPþ�ÿ"�<��ÿ�����Fg��ýPüC��ýPþ�üC��ý�û����DùäýKÿEû�$)U0}�d!;�P� PùBú�ûüýPþ�����ùäý=B? ��Fg���iü �<�RùBù"�:F»ûBFeý�#��ù"��ûcüC�iüý üC��ýÉû�ÿ"�PýS��qüC��ýéûC���Dùäýéûý�ùäý� 0üý����[�vüC��ý��{ù"��{þ�ÿBüC��yû!=if ��ýÉþ�ú����Dÿ���� ücÿ�ký�û���ý!�:ý����w�#�7üC��ýý`q�� 0üH��ý� PÿBû�ÿ"�#����þC�. 0ý���ú�þcý�ûg�����DùBÿäý��É�[����y�Rÿ"�{ý��!üC��ýj��ÿvÊS Pú�ùBü��V��TüC��ýc�DþC��Dùäý�yû�ÿEû�ý`q[�4�#��ý��,ücÿ��{ùNÿ¢�yU�����N�=5�=g���{þ��{ý���ýPþ>�{ù�kýPüþ�ÿ¢ PûsFtý��Rÿ"�{ý��{ù"��{þ�ÿBüC��yû*üC���iütFr�{þC�I�<�{þt�p¤Ë5�=6���{þ6�4�{üC�% `�Rûücû!�iüC��ýxû����Dùäýxûý�ùBý� 0üý��ÿEûH��6ûcÿ"�PýËÌÍV$)U�³��>;>�t�����üC��ý�þ.ú�����ÿ����jücÿ�kýkÿBû�ÌÍV$)U Å ³��>;>= ¨ ýS�{ùBû'����DûýPþC�{ýküC���iüI��z�i�{ù"��{þ�ÿäüC����<�{þüý�ûcücÿ����À��ÿ��kýPüýPþM PùBú�ûüýPþ�ÿ¢���T�<�{þS��δ5w$¾ú�����ýPþS�w�{ý���ýPþ��{ùhkýPüþ�ÿ� e;>��þcý��4ú�ÿäþ�ý�ûV�vû����Dùäý���2ûcÿ"�PýÏ�$AÐ L�³��];>=Ñ{Ò4Ó:ÔRÕ2Ö{×�ØÉÙeÖ{Ú]Û2ÜÝÔAÞ¦ßÝ×tà>ÜÝ×)ÚBá�â2Ú'ãÉâhà>×�ä�åxæ2çEåxè|é Üëê:×�Ø{Ô Ö{ßÝâ2ìIí"×)ßÝâ:éAÔ�à>ÜÝÜ�ÙÚ]ßÝâ!Ø{×tßÝâhàGì]ßÝî`ÔAâhéAÜÝê2×�Ø{Ô Ö�à�Ö{Ô�àCØtï:ßÝ×�Ø�à>â:éAÔ�à�ØtÞBÚ>×�ØÉðñ Ö{Ú>ÞÀØ{Ó2Ô@éAÔ â�Ø{ÔxÖÉÚ ñ Ø{Ó2Ô6ÛÚ]ê2â2ï:ßÝâ2ìrÛ�à�Üëܧòxó�à>â�ï Ø{Ó2ÔR×)Ô éAÚ]â2ïIà>×Éôeõ>övè�÷�övø å@é Üëê:×�Ø{Ô Ö{ßÝâ2ìeù

5

Page 3: Testing of clustering, Proc. 41 IEEE FOCS, IEEE (2000), 240-250. Also

/[=g���{þ�üC��ýHÄrÅgkýPüþ�ÿ¢ g���� üC��ýI��ÿ��kýPüýPþ| `�Rûü!��üC��ý`ûC���DùäýqÿBû���sûcÿ"�Pý©ÌÍ�úÉû!üýTþ0ÿ Å� � Å���� =RÁ���ý!�:ý�����ý��� 0ý�#�¡5e³:� �{û%Feý�ùBù��{û���vý`q[�4�#��ý��,ücÿ��{ùr��ý!�:ý�����ý��� 0ý��#�vüC��ýV��ÿ�yý���ûcÿ"�#�O�iþcý ú�������Rÿ¢�����Dùäý� ¨ ýV��þC�:�{ý�éù"�:FtýPþc�4�Rú����y��GÏ�$<���� � �su� ���2;g�#��üC��ýkûcÿ"�Pý���xüC��ýkûC����ùäý�þ�ý��,ú�ÿBþcý��y�<�{þlüý�ûücÿ����O$<�<�{þ�Uy¤£5����� `�#�DûüC���üI�>;>=3[=g���{þoüC��ýjÄ�Å�kýPüþ�ÿ� %����!üC��ý�þ����ÿBú�ûg `�Rûü!��üC��ýj�{ù"��{þ�ÿBüC���FG�{þC��û �<�{þH�T¤ �M����1üC��ýKûC����ùäýKûcÿ"�Pý�ÿBûÌÍ ÿ ��� ûý � =��ú�þ�üC��ýPþ���{þcý�.�Rú�þB�{ù"��{þ.ÿäüC��yûG !����:ýoú�ûcý�� ü'�����üC�{ÿ¢�in]Â#Â�_'a��m<o�n\�^`W���«�a�a�l� PùEú�ûüýPþ�ÿ����Rû!=@Á�UzP{F|���M���iþcücÿvPücÿ"�#���¶ÿBû���M�APx«�aea�li$)U0}�d��¢;�P� PùBúDûüýPþ�ÿ����c��4J ÿ"�:ÿäü@ÿBû��%���iþcücÿäücÿ"�#�V������ÿ����% `�RûüG�iür��Rûcürd�����4�{ùEù��Dú�ü��iüG��Rûü��i�h�Gþ�� 0ücÿ��#����xüC��ý��4�Rÿ��,ücûqÿ���Jb=H?x��J ÿBû�$)U0}�d!;�P� PùBú�ûüýPþ>���Dùäý�:üC��ý���ú�ûcÿ����V�Rú�þqüý�ûcücÿ������{ù"��{þ�ÿäüC��jû!��ÿäüoÿBû�4�Rûcûcÿ"��ùäýqü'�V���üC�{ÿ��!ÿ��!ücÿ�kýjÍ�$ ��$)U0}�de}CN�}��!}'�6;';>�4Fg��ýPþcý��D$)U0}�d:}CN�}���}'�6;�ÿEû�üC��ýlþ�ú�����ÿ�����ücÿ�kýc��TüC��ý2üý�ûcüýPþ����¦m<oHÂ�W§m)&!m�\H_'^ Â�_'^`Z!^!ª�\{n\�m)a�ª���|��w�AP{��[�.��$)U0}e$A5g���6;Ad!;�P� PùBú�ûüýPþ�ÿ¢������|Jb=��h�ký�ù"��6�Rÿ"�{ý���üC��ÿBûlÿ¢��DùBÿ� PÿBüþcý!��þ�ý�ûý���üC�iücÿ��#�yFeý� !�����ýPüýPþ�yÿ���ýc�<�{þg��z���Rÿ"�{ý��y�4�Rÿ��,ü�� ��Jb�DüC��ý� PùBú�ûcüýPþqÿäüB�:ý�ù"�#���Rû�ü'��=Gf �DÿBûB !����:ý���#��ýkÿ��;ücÿ�kýVÍV$)U�; �:ýPþI�4�Rÿ��,ü�$<�{þlý!�{ý��wÍV$¾ù"��GU�;>�É��ý!��ý�����ÿ����S�#�;üC��ý� `�Rûcü>;>=D���{þKý`q.����ùäý�*ÿ���üC��ý� !�{ûý��¢þ����ÿEú�ûB PùBú�ûüýPþ.ÿ�������üC��ý�ÿ���DùBÿ¢ Pÿäütþ�ý!��þcý�ûý��,üC�iücÿ"�#��ÿBû�ûcÿ���Dù"�S� ûýPüg���U� PùBú�ûüýPþh 0ý���üýPþ�û�=|fg��ý%�:ý���ý`kDü ��ûcú� >���� ÿ���DùEÿ� Pÿäüxþcý!�Dþcý�ûý��,üC�iücÿ"�#�!ÿBûeüC���iü�ÿäüB�{ùBù��eF»ûeü'�����û'FeýPþg�4ú�ýPþ�ÿäý�ûG��süC��ýc�E�{þ>��"!'�����4�Rÿ���ücû#��}�$%��J�:ý�ù"�#���éü'� üC��ýyûC�yý� PùBú�ûüýPþ'&)(�F»ÿäüC���Rú�üI� 0ücú��{ùBù������e�4ÿ���� ü'�����iþcücÿäücÿ"�#�i�{ùBùR�4�Rÿ��,ücû!=Df ��ÿBûI������þ��#� ��OF|�{û��þcý!��ÿ"�Rú�û�ù"�V�����DùEÿäý��éÿ��T+v5)*29t������kþcý�ù��iüý��y������þC�#� ���FG�{ûg�����DùBÿäý��éÿ��w+v5�829{=+ »-,/.103254ɸ�»z¼¿ f ��ýD�E�RùBù��eF»ÿ����S������þ��#� ���ÿBûI�� `�#���#��üC��þcý���i���{ûcûcÿ���� üC��þC�Rú��#��üC��ý�����{ù��4ûcÿEûg��G��Rûü��R�Rú�þg�{ù"��{þ.ÿäüC��yû!=76�ý� !�{ùBù�üC���iü �Rú�þg�{ù���{þ�ÿäüC��yû Fr�{þC���[� ûC���DùBÿ¢���j�#þC�#KJb=rfg��ý2ûC���DùBý2ÿBûB��ÿäý!Ftý����{û�:ý�ÿ����kûý�ùäý� 0üý��;ÿ��������{ûý�û!��Fg��ýPþ�ý%Ftý�ûC���eF�üC���iügF»ÿBüC����ÿ"�#����þC������DÿBùBÿäüx���ÿ�� ý�� ��������{ûýj 0ýPþcüC�{ÿ��MÂ�_'aC«#_'^`Z�ZÿBûc����ý=D?A�i���iþcücÿ¢ Pú�ù��iþ��*ÿ��O !�{ûýVJ ÿBû%�'P{�<�iþ%�#þC�# �:ý�ÿ����O$)U0}e$A5g���6;Ad!;�P� PùBú�ûüýPþ>���Dùäý�NüC��ÿEûI��þC��{þcý�ûcûKùäý����ûü'�jþ�ý µuý� 0ücÿ"�#�p���#üýPþh�V�0�Rú�����ý��y�4ú�j��ýPþg��@�����{ûý�û!=B���{þoý`q����Dùäý��ÿ�� üC��ýD !�{ûýj��¢üC��ýj��ÿ��yýPüýPþH `�RûüI�����Éûcÿ����Rùäý% PùEú�ûüýPþ�$)U�¤�5e;>�4��þC��{þcý�û�ûqÿBûHký��{ûcú�þ�ý��;ÿ��!üýPþ�yûH��xþcý���ú� Pÿ¢���küC��ýD��RùBú�kýj��¢üC��ýKþcý!�Rÿ��#�;ÿ�� 8 �Fg��ÿ¢ ��� `�#�,üC�{ÿ���ûg�{ùEù4�0�Rÿ¢��ücûB���e�4ÿ¢������ÿBûüC��� 0ý%�iüg��RûüHdH�#þC�# ý!�{ýPþC� ûC���Dùäýc�4�Rÿ��,ü!=���{þoüC��ýlþ���DÿBú�ûB `�Rûüoú�����ýPþ�üC��ýjÄ�ÅckýPüþ�ÿ¢ ����Rú�þH����{ù��4ûcÿEû�ú�ûý�ûg�'PCª0^!\<Zj���� üC��ý�ÿäþ�þcý�ù¢�iücÿ"�#� ü'�jüC��ý"9qørP��ÿ�yý���ûcÿ"�#����s���yÿBùEÿäý�û@��NûýPücû!=�fg��ÿBûxþ�ý�ù��iücÿ"�#��F|�{ûG��þcý!��ÿ"�Rú�ûcù��Ký`q.�Dù"�Rÿäüý��S�4�{üC�jÿ��jüC��ýH `�#�,üý`q4ü|���ùBý��iþ���ÿ��������!ÿ¢�éüC��ý% `�#��üý`q�üh��6 `�#���ú�üC�iücÿ"�#���{ùs�{ý!�#yýPüþC�=: »z¹2¼�;�»<,¾=2 >�»�¿ ?A�ÉüC��ÿBûG�����:ýPþrFeýc������þC�#� >�éüC��ýI��þC��DùBý����6 PùBú�ûüýPþ�ÿ¢���j�#þC�# F»ÿäüC�Dÿ��yüC��ýI�#þ��ký!FG�{þC�V���xþ����ýPþ�ü��if�ý�ûücÿ¢���w+-3,.��5)*29{=V?A�O��þC��:ýPþcüx�;üý�ûücÿ¢��� üC��ý���#�{ùtÿBûlü'����ý� Pÿ���ý�Fg��ýPüC��ýPþ����Rÿ"�{ý��O���µuý� 0ü�$#ý=-��="��{þ��������{þV�¾ú��� 0ücÿ"�#�0;����{ûV�b��þcý���ýPüýPþ>yÿ���ý��¦�DþC��:ýPþcü�� $#ý=-��="�g `�#����ý� 0ücÿ"�4ÿBü��¦�{þS��#���{ü'�#��ÿ� Pÿäüx��;>�B�{þéÿBûc(!n�_�#þC�# ������ÿ����jüC��ý���þC��:ýPþcüx�=gf ��ýD���{ücÿ"�#����@�:ý�ÿ��������iþH�#þC�#�������ÿ���� üC��ý��DþC��:ýPþcü��y��ý!�:ý����DûB�#�1üC��ý�üx�z�:ý��É��.µý� 0ü `�#��ûcÿ¢��ýPþcý��s=@���{þ�ý`q����Dùäý��ÿ"�NüC��ýH��.µý� 0ü�ÿBû|���{þ>�����s��üC��ý��MFtýlûC�e�jüC���iü�ÿäüeÿBûG�<�iþ|�#þC�# ������ÿ���������iþcücÿ¢ Pú�ù��iþB��þC��:ýPþcüx� ÿ"�R���z� ý����{ý���.��ÿvk� !�iücÿ"�#�Dû�ûC���Rú�ù��M�:ý%����ý2ûC�yüC���iü»ÿäüB��DüC�{ÿ���û�üC��ýc�DþC��:ýPþcü��=�?A�!'���z�<(�Ftý�yý�����iü»ùäý��{ûcü �� 0ýPþcüC�{ÿ����#þ�� 0ücÿ"�#�p�B��R�{ùBù*ý����{ý�û»ÿ�� üC��ýc�{þ������s=�@þcý!�4ÿ��Rú�û FG�{þC�1ÿ�����þC��:ýPþcüx� üý�ûücÿ��������{ûh��{ÿ���ù"����ý��{ùäühF»ÿäüC����þC��:ýPþcücÿäý�ûg��@�#ú��� 0ücÿ"�#��ûD+-7.�43,��038.�R5�/.�/?*[�É5�,.�0�:9��������þC��:ýPþcücÿBý�û|����{þ�������û�+v5)*[�t5�7��É5��.��3.��3.5��1��@*e9{=A6�ý� 0ý��,ücù"���Áoù"�#�w^�\{*cn�Wv*R+-8:9t�#�e�{ýj�küý�ûcücÿ�����{ù"��{þ�ÿBüC�� �E�{þDký�j��ýPþ.ûC��ÿ"�i��6ûüþ�ÿ����Rûlÿ¢��þcý!�Rú�ù��iþ2ù¢����Rú����{ý�û!�6����TQxþ��Rú��¡^!\{*pn�W"*|+v5�/29tûücú�������þ���Dùäý�yûþcý�ù��iüý��!ü'�yüý�ûücÿ����S `�#���{ý`q�ÿäü��!ÿ¢�éü�FG�S��ÿ�yý���ûcÿ"�#��û�=B ýPþcýyFeýy�¾ú�þcüC��ýPþký`q�üý���� üC��ý;ûC `��:ý���H��þ����ýPþ�ü��7üý�ûücÿ�����ü'��üC��ý����#��{ÿ��À��c PùBúDûüýPþ�ÿ����p��þC���ùäý�yû!=C`ú�þh��þC�[��¢üý� �����ÿ��4ú�ý�ûI `�#��Dÿ¢��ýj�{ý!�#yýPüþ�ÿ� �����{ù"��ûcÿBûHF»ÿäüC����þC�������ÿBùBÿBûücÿ¢ c����{ù"��ûcÿBû�üC���iü`ÿEûH >���iþ�� 0üýPþ�ÿBûcücÿ� ��RFr�{þ��Éÿ����DþC��:ýPþcü��Éüý�ûücÿ�����= ¨ ý2üC�,úDû ����:ýlü'�yý���þ�ÿ¢ ����4�{üC�y�iþcý��{ûg���þ�ý�ûý��iþ� ��É=

/

Page 4: Testing of clustering, Proc. 41 IEEE FOCS, IEEE (2000), 240-250. Also

·�¾=.�»z¹�ºS».½5D�¾e»<EGFIH�¹=JR¿ B �. ��z���{ú� �����¶.����e��ûy+-/329 FeýPþcý üC��ý�kDþ�ûcü�ü'�vû����eF üC���iüyÿBü'ÿEû����iþ��7ü'�������þ���q�ÿ���iüý�üC��ý `�Rûür��0������ücÿ���{ù� PùBúDûüýPþ�ÿ����oü'�%F»ÿBüC��ÿ����I�<� 0ü'�{þr��4/c�E�{þ��I�{ý���ýPþ��{ù���ÿBûcüC��� 0ýB�#ú��� 0ücÿ"�#�s=f ��ý!���{ùBû'���Rÿ"�{ý���/:P�������þC�eq�ÿ�V�iücÿ"�#�i�{ù"��{þ�ÿäüC����<�{þ`üC��ý���þC��Dùäý� +-//.�É/329{=%Áoûc���{üý��i���4�e�{ý�t��ý���ýPþ������oþcýPý���ýÀ+v5�329lûC���:FêüC���iüM `�#��ûcüC���ü�������þ���q�ÿ���iücÿ"�#��ÿBûV�{ùBûC�����iþ>���<�{þMÄrÅ�����©ÄrÆ kýPüþ�ÿ� Pûp$<Fg��ýPþcý�üC��ýû'�:ý� Pÿvk� H `�#��ûüC��,ücû ��ý!�:ý����V�#�éüC��ýhyýPüþ�ÿ� h����� `�Rûü ký��{ûcú�þ�ýoú�ûcý���;>=�ÁH�������DþC��q�ÿ���iücÿ"�#�S��� 0ü'�{þB��6/D !���:ý � ���ÿBý!�{ý��yý`ÊS Pÿäý��,ücù"�D�E�{þr�{ùBù��{ý!�#kýPüþ�ÿ¢ B�2�iþ.ÿ����ücû�Ftýg `�#�Dûcÿ���ýPþH+-/�����5�329{=����{þ@üC��ý�þ����ÿBú�û@ `�Rûcü!�[����kú�����ýPþ�4�{üC�¦ÄrÆ ����¦ÄrÅ�kýPüþ�ÿ� Pû��rÁH�{þ���F|�{ùg������xþC�. `��DÿBú� O+v5]9g�Rÿ��{ýy����{ù"��{þ�ÿäüC�� �E�{þ�k0����ÿ����i�O PùBú�ûcüýPþ�ÿ�������e�4ÿ����� `�RûüH�iüh��Rûüj$A5r�À�6;6ù��iþC�{ýPþqüC��������ücÿ¢��{ùNÿ��éücÿ�yýDÍ ÿ L þ ù"��GU�� $)U�³:�6;LK � � ü'û ÑNM[Ñ ONP � =G���{þI��{þcýÿ����<�{þ���iücÿ��#���#�y PùBú�ûüýPþ.ÿ�������ûýPýS+v5!���0/[��3/29t���� þ�ý!�GýPþcý��� 0ý�û F»ÿäüC�Dÿ��s=·�¹=QRDS012 TUD�¾=25HR0�¿ ? ��¶�ý� 0ücÿ"�#� /�Ftý�ÿ¢��üþC�.��ú� 0ý�üC��ýO���{üC�iücÿ��#��ûy���� ��ý`k0��ÿäücÿ"�#��û üC���iüy�iþcý�úDûý��Øÿ��ËüC��ý�����:ýPþ�=h? �T¶4ý� 0ücÿ��#�i3SFeý���ÿBûC Pú�û�û�üý�ûücÿ����MFH��ý��1üC��ý�ú�����ýPþ�ù"��ÿ����V�DÿBûüC��� 0ýD�#ú��� 0ücÿ"�#��ÿBûH�M�{ý���ýPþ>�{ù6yýPüþ�ÿ� �=?A��¶4ý� 0ücÿ"�#�Dû%1������8[��FeýV�Dþcý�ûý��,ü2üC��ýS�{ù���{þ�ÿäüC��yû2üC���iü�FG�{þC��ú�����ýPþKüC��ýVÄ�ÅVkýPüþ�ÿ� ��6�E�{þ�üC��ýV��ÿ¢�kýPüýPþ `�RûüI����;üC��ýKþ���DÿBú�û `�Rûü!�:þcý�ûC��ý� 0ücÿ��{ý�ù"�= ?A�i¶4ý� 0ücÿ��#��1SFtý��{ùBû'�S�Rÿ"�{ýj�Rú�þqù"�:FtýPþI�4�Rú������<�{þoüC��ýj��ÿ¢�kýPüýPþ `�Rûü!=#6�ý�ûcú�ùBücû|�E�{þ �#��ý���ÿ�ký��Dûcÿ"�#���iþcý%�Rÿ"�{ý��1ÿ���¶4ý� 0ücÿ"�#��,[=V W�òXAY�÷�Z ÷.ð\[�òN÷]X_^¨ ý���ý����{üý��[����ÿBûcü!$5��}�$�;»üC��ý���ÿEûüC��� 0ýD��ýPüxFtýPý���üxFr���4�Rÿ��,ücû`�t}�$0= ¨ ýD�<�RùBù"�:F üC��ý�ûcüC������iþ��p��þ�� 0ücÿ¢ 0ýD���{ûcûcú�yÿ����2üC���iütüC��ýh��ÿBûüC��� 0ýg�:ýPü�FeýPý��������{ÿBþ���s�4�Rÿ��,ücû� !��M�:ýg `�#��Dú�üý��Éÿ��S `�#��ûüC��,üeücÿ¢ký=�¶�ÿ��� 0ýh��Rûü���üC�DÿBû�������ýPþB��ý��{ùEûrFqÿäüC�jüC��ýIÄrÅHyýPüþ�ÿ� ���ÿ��SFg���iü|�E�RùEù"�eF»ûGFeý`þcý!�GýPþ6ü'�'üC��ýcQ@ú� PùBÿ���ý���M��ÿBûüC��� 0ý=�f �,úDû!�4ÿ���t}�$%�a8 � ��üC���iü�ÿBû#��¤Ë$5� u }�b�b�b�}�� � ;r����%$�¤�$5$ u }�b�b�b:}�$ � ;>��üC��ý��ÉüC��ýIQ@ú� PùBÿ¢��ý���S�DÿBûüC��� 0ýh�:ýPü�FeýPý��c������$éÿBû ��ÿBûcü!$5��}�$�;ed'fhg¤ji k �lnm u $5� l@o $ l ; Å =�`ÿ��{ý����vû�ú��DûýPü%prq Jw� ��ý����{üý��[�¦N�$hp�;küC��ý�lm�n�oV^�\�^`_O��spG�6üC���iüÉÿBû!�eüC��ý���2q�ÿ��ú�È��ÿEûüC��� 0ý�:ýPü�FeýPý��O����;ü�FG���4�Rÿ���ücû`ÿ��tpG=vuoý����{üý��[�xw�$hp�;»üC��ý�_'n#l�m<XzZ���tüC��ý'ûC��{ùBùäý�ûcüH���{ùEù� `�#�,üC�{ÿ���ÿ����ypG=jf ���iüÿBû!�zw�$hp�;@¤�jÿ��z{�|/} P ��2qz~ |/� �DÿBûü�$5�t}�$�;>=�f ��ýI�4�Rÿ��,ü�$��a8 � �<�{þBFg��ÿ¢ ��éüC��ýcyÿ��Dÿ��ú� þ���DÿBú�û6ÿBû|� ���ÿBý!�{ý��ÿBû6üC��ýM&>^`ª�\�^`_|��süC��ý�o�mEª�m<o�X.o ~CaX[ª0l�mEª[«y~Cn�W<W.��_p|=� ýPü��´¤ $<J u }�b�b�be}'J û ;��:ý��w���iþcücÿBücÿ"�#�¦��cJb=�f ��ýwl�m)n�oV^!\�^!_���lüC��ý����iþcücÿäücÿ"�#��� ÿBûS��ý`k���ý��¡�{û� $��j;�¤���2q?�ÉN0$<J � ;�b�f ��ý�_'n#l�m<X[Z|��e� ÿEûB��ý`k���ý����{û���$��j;@¤���2qU�cw�$<J � ;�b���{þoûcú� >�y�VUzP{F|�������iþcücÿBücÿ"�#�y�Ë��RJb��Feý� `�#��û�ÿ���ýPþ�üC��ýc�<�RùBù"�:F»ÿ����'ü�FG�S `�Rûcügký��{ûcú�þ�ý�û!�5�=`��� �����S���������3�)�e���������!$��j;@¤ � $��j;>=/[=`�v� �3�¢¡3���"�3�)�1�����/�)�!$��j;@¤£��$��j;>=

B ý��� 0ý� �vûýPüMJ ÿBû�$)U0}�d!;�P� PùBú�ûcüýPþ����Dùäýp� ! `�{þ���ÿ���� ü'�b�#��ý���lüC��ý����4�:�{ý� `�Rûü�ký��{ûcú�þ�ý�ûjÿ"�`üC��ýPþcý¦^]�#m¢Z`\<Z�OUzP{FG�e�w���iþcücÿäücÿ"�#�¤� ¤ $<J u }�b�b�b�}'J û ;���gJ û�ú� �� üC���iü¥���/�)�!$��j;V�Kde=wf ��ýéûýPüyÿBû��AP�(!n�_��#þC�# �:ý�ÿ����$)U0}e$A5r�b�6;Ad!;�P� PùBú�ûcüýPþ����Dùäýc�<�{þg���Rÿ"�{ý��y���¡�B��5c������b���.�Dÿ"���E�{þj^�¦�^!_��Éûcú��DûýPü�§¨q�J ��Tûcÿ"�Pý%�iüH��Rûü$A5 o �];!¥ JÀ¥§�0������E�{þqý!�{ýPþC�yUzP{FG�e�����iþcücÿäücÿ��#�y�3©w¤�$�§�u�}�b�b�b�}]§ û ;G���§V��Feý����e�{ý\�"���)�`$��1©�;#ª�$A5G�w�6;Ad:=¶�ÿ¢�� 0ýS�{ùBùr�Rú�þ��{ù"��{þ�ÿäüC��yûj�����{ý��#��ý`P�ûcÿ���ý��výPþcþ��{þ��RFtýéûC���{ùBùeú�ûý üC��ýM�E�RùBù��eF»ÿ�������ý`k���ÿBücÿ"�#�T���üý�ûcücÿ�����{ù"��{þ�ÿBüC��yûB�<�{þH PùBúDûüýPþ�ÿ�����= ¨ ý�ûC�e� üC���iüH����{ù"��{þ�ÿäüC�� ÿBûg�%«%m)n�oV^!\�^!_�¬�­6WYXzZ`\�^`_]mEª[«b$h®Bn#lmEX[Z�¬�­6WYXzZ`\�^`_]mEª[«�;¯ ^]Z]\�^!_�ÿ�� �Rÿ"�{ý���� ! 0ý�ûcûjü'�O�4�Rÿ���ücû'ÿ��¦��ûcýPü�J °r8 � ����À���iþ��kýPüýPþ.ûVU0�Gd:�G���r����À���@üC��ýy�{ù"��{þ.ÿäüC��� ! 0ý!��ücû�J ÿ"�@ÿäülÿBû�$)U0}�d!;�P� PùBú�ûcüýPþ����Dùäý�F»ÿBüC�;þ�ý�û'�:ý� 0üoü'� üC��ý��Dÿ��kýPüýPþ% `�RûüS$#þ>���ÿBú�ûh `�Rûü>;>�������þcý µuý� 0ücû%JF»ÿäüC���DþC������DÿBùEÿäü��V�iüqùäý��{ûüH/#³�3kÿ���ÿäü�ÿEû �AP{���iþ �Gþ��#£�:ý�ÿ����y$)U0}e$A5G���R;Ad`;�P� PùEú�ûüýPþ����DùBý=

3

Page 5: Testing of clustering, Proc. 41 IEEE FOCS, IEEE (2000), 240-250. Also

± ²aX_^Dñ:÷.ð\³ óµ´·¶£Y�õ\^Dñ�X@òN÷�ð\³¹¸ ð'ôºXxò¼»¼X@ð\Xxò[½Ya¾ XTñ:òN÷cö�^¨ ý��:ý!�Rÿ����[����ý�ûC 0þ�ÿ"��ÿ�������y�{ù"��{þ�ÿäüC�� �E�{þqüý�ûücÿ�������ÿ¢�kýPüýPþg PùBú�ûcüýPþ�ÿ�����Fg��ý��éüC��ýKú�����ýPþ.ù"�4ÿ¢���j��ÿEûüC��� 0ý�¾ú��� 0ücÿ"�#�7ÿBûD����byýPüþ�ÿ� M����b��¤Ç5�=Of ��ýM�{ù"��{þ�ÿäüC�� ��ÿBûcücÿ����Rú�ÿBû���ý�ûI�:ýPü�FeýPý�� üC��ýM !�{ûcýéÿ¢�bFg�Dÿ� ��wJ ÿBû$)U0}�d!;�P� PùBú�ûüýPþ>���Dùäý�t�����üC��ý� !�{ûcýyÿ���FH��ÿ� ��pJ ÿBûc�AP{���iþc�GþC�# $)U0}�/d!;�P� PùBú�ûcüýPþ����Dùäý��ú�����ýPþoüC��ý��{ûcûcú����ücÿ"�#�üC���iü¢üC��ýB��ÿEûüC��� 0ý�ûR�:ýPü�FeýPý����4�Rÿ��,ücû�ÿ¢�jJ ��:ý!�KüC��ý6üþ�ÿ�����Rùäýeÿ¢��ý��,ú��{ùBÿäü��=Rf ��ý|���{û�ÿ� tÿ¢��ý��h��DüC��ý �{ù"��{þ.ÿäüC��ÿBû�ü'� üþC�������k0�����4�Rÿ���ücû»ÿ���J üC���iüH�iþ�ý�_'^ Â�_C^]Z!^!ª�\{n\�m5¦�^`ZD��@��ÿÀ¿:ýPþcý��,üg PùBú�ûcüýPþ�û!=rfg���iü»ÿBû!�DüC��ý�ÿäþ ���{ÿBþCF»ÿBûý��ÿBûcüC��� 0ý�û|�iþcýc�{þcý��iüýPþ�üC����éüC��ýI�{ùEù"�eFeý�����ÿ��kýPüýPþ d:=@?A�� !�{ûýcJ ÿBûc$)U0}�d!;�P� PùBú�ûüýPþ>���DùäýlüC��ý��ÉüC��ýPþcýc !����:ý�iüg��RûcüHUéûcú� >� þcý!��þcý�ûcý���üC�iücÿ"�{ý�û�=�CI�éüC��ý��{üC��ýPþg������É���{ûBFtý�ûC���eF¶ÿ��éüC��ý�����{ù��4ûcÿEûr��TüC��ý%�{ù���{þ�ÿäüC�����ÿ��J ÿEûI�'P{�<�iþc�#þC�#È$)U0}�d!;�P� PùBú�ûcüýPþ����Dùäý�*üC��ý��iFqÿäüC�p��þC������DÿEùBÿäü��y�iü2ùBý��{ûü%/#³�3éüC��ý��{ù"��{þ�ÿäüC�� FqÿBùBùtk����iUD��5ûcú� >�7þcý!��þcý�ûý��,üC�iücÿ"�{ý�û!=Tfg��ýM�{ù���{þ�ÿäüC��Ç�E�{þ'üC��ýÉþ����ÿEú�û� `�Rûü��{ûDFeý�ùBùG�{ûkÿäücûj����{ù"�4û�ÿBû!�@�iþcý��{ýPþC�vûcÿ¢yÿBù��iþ�=��ú�þ�üC��ýPþ���{þcý�.�� 0ýPþ�üC�{ÿ��jþ�ý`k���ý�ký��,ü���NüC��ÿEûxÿ���ý���ûýPþC�{ý�ûG�{ûr�����{ûcÿBû��E�{þeüC��ýH����{ù"�4û�ÿBû@��Nû'�#kýh��*üC��ýH�{üC��ýPþ�{ù"��{þ�ÿBüC��yû%$#üC���iüHFr�{þC�M�<�{þg�������Î��T��5j;>=Á�½5QSH�¹/2E¾=.1 à $<�{ý���ýPþ��{ùtyýPüþ�ÿ� �����ÿ��yýPüýPþg `�Rûü!�0UM��5����i¤�5e;Ä *�Å�^!\sþcý!� u ~�^Dn�ªTn�_�~`m�\�_An�_'�jÂ.a�m<ª�\GmEª�J Æ nV_C^xÂ0_'^`Z!^`ª�\{n\�m ¦^G(!a�_�\5Ç.^7È�_>Z]\B&�W§X[Z]\�^!_ÊÉ*Ë *µÌ�Í 5ÏÎÉk����.P���ý!FBPÆþcý!�ÐÍ f½6|�HQh*Ñ *vÒeÇzmEW�^`Ì�ΡUj�©5Mn�ª0ljk����.P���ý!F PÆþcý!��¤�f½6|�HQ�l�aÆ n'ÉÔÓ6ª�m (`a_>o�W���n�ª0lVm<ª�l�^ Â�^`ª0l�^`ª�\�W��MZ!^!W"^�&�\|n�Z!n�oHÂ�W�^�aA(cZ]mÖÕ:^»ù¢�É$)3U�;'³��e*ÆA~�Ét×E(�\5Ç.^!_'^S^]�mEZ]\<Z�njÂ.a�m<ª�\��¡mEªw\5Ç.^DZ!n�oHÂ�W"^�Ø|Z>X�&�Ç�\5Ç.n\���ÿBûcü!$5��}þcý!� � ;�ª dH(!a�_�^�¦�^!_���Ù��ÚÌ�ØB\5Ç.^!ªÌ�͹Ì4�©5�n�ª�l�þ�ý!� l ¤£�6*Æ &LÉtÛBWëZ�^aÆxn�W<W0Â.a�m<ª�\<Z�m<ªw\5Ç.^�Z`nogÂ0W"^�n�_C^Mn\Hlm¢Z`\{n�ª�&>^�n#\ o�a2Z]\GdI(]_Aa�o Z`a�oV^Kþcý!� � É=Ø�k�����P���ý!FBPÆþcý!�Í �[Á � ¶�QH*

Ü *�×E(µÌ��¡Uw\5Ç.^`ªTn#&>&>^xÂ4\5Ø|a\5Ç.^!_�Ò@mEZ!^�Ør_C^�Ý�^C&e\{*¶�ÿ¢�� 0ý1üC��ýPþ�ýp�iþcýi�iü���Rûü�U ÿäüýPþ>�iücÿ"�#��ûS��lüC��ý�FH��ÿBùäý1ù��z��É� �����ÿ�� ý�� ��ØÿäüýPþ>�iücÿ"�#� üC��ýp�{ù"��{þ.ÿäüC�� `�#��Dú�üý�ûg�iüg��RûcügU þ ù��É$)3U�;'³��h��ÿBûüC��� 0ý�û!��üC��ý2þ�ú�����ÿ�����ücÿ�kýc��TüC��ý��{ù���{þ�ÿäüC�� ÿBûgÍV$)U Å ù"��GU�³��];

+ .t»<H�¹2»<Â Ã£Þ W «za�_>m�\5Ç�o Ä mEZjn�l�m)n�oV^!\�^`_'¬'&!WYXzZ`\�^`_]mEª[«�\�^]Z]\�^!_�(!a�_g�p¤Ë5VX.ª�l�^!_jn�ª��SoV^!\�_]m�&:*: ¹ÏHHSß�à ¨ ýMkDþ�ûüj��DûýPþC�{ýÉüC���iü'üC��ý��{ù"��{þ�ÿäüC�� þcý µý� 0ücûD�#��ù"��ÿ"��ÿBü%k����DûjUV��5S�4�Rÿ��,ücû%Fg���RûcýS���{ÿBþCF»ÿBûý��ÿBûcüC��� 0ý�ûV�iþcýp�{ùBùB�{þcý��iüýPþÉüC����©de= f ��ýPþcý!�E�{þ�ý�6ÿ��HJ ÿBû�$)U0}�d!;�P� PùBúDûüýPþ����Dùäý��üC��ý�� üC��ý��{ù���{þ�ÿäüC��´��ý!�{ýPþþcý µý� 0ücû!= B ý��� 0ý���#þC�#����eF �#���{ûcûcú�kýlüC���iü J ÿBûH�AP{���iþ �Gþ��# $)U0}�/d!;�P� PùBú�ûüýPþ�����ùäý������yFtý2ûC���eF�üC���iü�üC��ý�{ù"��{þ�ÿBüC�� þcý µý� 0ücûrF»ÿäüC���DþC������DÿBùEÿäü��D�iütùäý��{ûü|/#³�3[=�f ���iüeÿBû!�#Feýqû����eFËüC���iü�FqÿäüC����þ�������DÿBùBÿBü��j�iüeùäý��{ûü|/#³�3[�ÿ��éý!�{ýPþC� ÿäüýPþ>�iücÿ"�#�y����ý!F�þcý!��þcý�ûý��,üC�iücÿ"�{ýKÿEûB�E�Rú����s��þcý�ûcú�ùBücÿ����'ÿ��yU���5`þcý!�Dþcý�ûý��,üC�iücÿ"�{ý�û!=

øG�#�Dûcÿ���ýPþ���z�����iþcücÿ¢ Pú�ù��iþ@ÿäüýPþ>�iücÿ"�#�s= ¨ ýoû����küC���iüG�%�4�Rÿ��,ü_�Ð�yJ ÿBûr�S&>n�ª�l�m)l#n\�^%_'^ Â�_C^]Z!^!ª�\{n\�m5¦�^cF»ÿäüC�þcý�û'�:ý� 0ü¢ü'�lþcý!� u }�b�b�b:}þcý!� l ÿ"�Dÿäü����{û@��ÿBûüC��� 0ý|�{þcý��iüýPþtüC����Vdr�#þC�# ý�� ��V���üC��ý�ûcýB�0�Rÿ¢��ücû!= ¨ ýg Pù��{ÿ¢¶üC���iü��{ûù"�#���j�{ûAÌ��©U0�,üC��ýPþ�ýH�ú�ûü��:ýg��{þ�ý»üC����M�'L1ûcú� ��V !�����ÿ����iüýqþcý!��þcý�ûý��,üC�iücÿ"�{ý�û!=�Áoûcûcú�ký»ÿ��� `�#�,üþ����ÿ¢ 0ücÿ"�#�üC���iüxüC��ýPþcý �iþcýg�iü���Rûü��'L!ûcú� ����4�Rÿ��,ücû!=6fg��ý���FtýH `�Rú�ù��'þcý���:�{ý»üC��ý�ûcý �4�Rÿ���ücûR�#þC�#�Jw�z������{û�ûcÿ"�#�'ý!�{ýPþC��{üC��ýPþI�4�Rÿ��,üµ$x�OJ ü'�éüC��ý�Ùâá üC�O PùBú�ûcüýPþoÿ"�@��ÿEûü�$5$�}þcý!� � ;g��d:=`ãG� üC��ý�üþ�ÿ�����RùBý�ÿ���ý��4ú��{ùBÿBü���DüC��ýD��ÿ¢�kýPüýPþ��6ý�� �� þcý�ûcú�ùBücÿ����y PùBú�ûcüýPþKÿBû%�iüD��Rûüj/d:�6Fg��ÿ� >�T `�#��üþ>���ÿ� 0ücûj�Rú�þ��{ûcûcú����ücÿ"�#�T `�#�� 0ýPþ���ÿ�����Jw=��g�:F%��ÿ��FeýKú���ÿ"�<�{þ�yù��jûý�ùäý� 0ü»ù¢�É$)3U�;'³��g�4�Rÿ��,ücû|�#þC�#£Jb��üC��ý�� üC��ý���þC������DÿEùBÿäü��jüC���iüg���V !�����ÿ����iüýlþcý!�Dþcý�ûý��,üC�iücÿ"�{ýÿBû�ûcý�ùäý� 0üý��;ÿEû�ùäý�ûcû»üC����w$A5 o �>;�äæåÏ��ç û � ý Î ý`q.��$ o �e$¾ù¢�É$)3U�;'³��>;|¤ uç û =|f ��ý%��þ�������DÿBùBÿBü��yüC���iüqüC��ÿBûB�. ! Pú�þ�ûqÿ��n�ª��éÿäüýPþ��iücÿ��#�!ÿBûB�iüH��Rûü%5e³�3[������!üC��ý2üC��ý!�{þcý���E�RùBù��eF»û!=

1

Page 6: Testing of clustering, Proc. 41 IEEE FOCS, IEEE (2000), 240-250. Also

è 2�03E12�03QéDR0êDS;3;6¹=H<ë�2�ÂìD�¾e».½¢íêQSHHEî,�½�¸�¼!¾e»[¹Ï2�03QÉ¿ ¶�ú����4�Rûý�J ÿEûS$)U0}�d!;�P� PùBú�ûüýPþ>���DùäýV���� û'�1üC��ýV�{ùvP��{þ�ÿäüC�� üýPþ�jÿ����iüý�ûMF»ÿäüC�¡�iüM��Rûcü�U þcý!��þcý�ûcý���üC�iücÿ"�{ý�ûéþ�ý!� u }�b�b�b�}þcý!� l =ÔãG� üC��ýp���4�e�{ýO����{ù��4ûcÿEû!�|F»ÿäüC���þC������DÿBùBÿäüx�w�iüéùäý��{ûü�/#³�3[��üC��ý��{ù"��{þ.ÿäüC�� ���,ý�ûS���{üjüýPþ�jÿ����iüý��{ûÉù"�#���w�{ûjüC��ýp�,ú���:ýPþ���% !����Dÿ����iüýþcý!��þ�ý�ûý���üC�iücÿ��{ý�û|F»ÿäüC� þcý�û'�:ý� 0ütü'�'þcý!� u }�b�b�b:}þcý!� l ÿEû��{þcý��iüýPþ»üC����M�CL@=�f ��ÿBûtÿ���DùEÿäý�ûxüC���iü|F»ÿBüC����þC������DÿBùBÿäüx��iü2ùäý��{ûü%/#³�3[�süC��ý�k����{ùsþcý!��þcý�ûcý���üC�iücÿ"�{ý�û������{ýyüC��ýD�<�RùBù"�:F»ÿ����M��þC��:ýPþcüx���If ��ý!����ý`k���ý����ÿ����ùBÿ� Pÿäü�þ�ý!��þcý`Pûý��,üC�iücÿ"�#�O��G�S���iþcücÿäücÿ"�#�i���e�4ÿ������Dÿ��kýPüýPþc�iü%��Rûü�/d���r�{ùBù6�Dú�üh�iü%��Rûcü%��T�AP{�#þ�� 0ücÿ"�#�i��@üC��ýD�4�Rÿ��,ücûÿ��MJb=rf ���iü�ÿBû!��ý`q� PùBú���ÿ¢����üC��ý%�iüg��Rûüg�CLp�4�Rÿ��,ücûeüC���iüg�iþcý% !�����ÿ����iüýlþcý!�Dþcý�ûý��,üC�iücÿ"�{ý�û�$¾ÿ)= ý="��üC���iü �iþcý%�iü��ÿBûcüC��� 0ý%�{þcý��iüýPþoüC�����dh�#þC�# üC��ý��iüH��RûcühUéþcý!�Dþcý�ûý��,üC�iücÿ"�{ýKþcý!� u }�b�b�be}þcý!� l ;>�Dý!�{ýPþC���{üC��ýPþH�4�Rÿ���ü��ï��J !����:ýI�{ûcûcÿ"�#��ý��éü'�yûC�#kýc PùBú�ûüýPþAÙ��E�{þBFg�Dÿ� �����ÿBûcü!$5��}þcý!� � ;|�¡d:=�f ��ý`ücÿ�ký`þcý��4ú�ÿäþcý�� ü'��k����ÉüC��ý% PùEú�ûüýPþ���Rÿ"�{ý��y�0�Rÿ¢��üB�:ý�ù"�#���Rû6ü'� ÿBûgÍ�$)U�;>=Ájð7H<ñ�»z¹�ò\H0¸303Eóß�H�¹ºôIõöÃ�¿ ? ���{ùEù�üC���iü�ÿBûG�[���:Fg�����4�Rú�ü6üC��ýc��ÿBûüC��� 0ýh�¾ú��� 0ücÿ��#�S�:ýPüxFtýPý����4�Rÿ��,ücû6ÿ��J ÿBûqüC���iü`ÿäüh���ý!��ûoüC��ý�üþ�ÿ�����Rùäý'ÿ���ý��4ú��{ùBÿBü����üC��ý��1üC��ý����4�:�{ý�þ�ý�ûcú�ùäüoÿBû»ücÿ��#��ülÿ��;üC��ýD�E�RùBù��eF»ÿ���� ûý���ûcý=h?aüÿBû ���{ü �4�Rûcûcÿ"�DùBýoü'� üý�ûüg�<�{þg��ÿ¢�kýPüýPþH PùBúDûüýPþ�ÿ������<�{þ ��Î�52úDûcÿ������yû����Dùäýc��xûcÿ��Pý2ÿ�����ý!�:ý�����ý��,ü|��RLT�{þý!�{ý��p��@ûcÿ"�Pý���$�÷ L�;>=Hf��ÉûcýPýjFg�z�!üC��ÿEû»ÿBû»üþ�ú�ý� `�#��ûcÿ���ýPþh�SyýPüþ�ÿ� 2üC���iüoÿBûh��ý`k���ý��y�[���S `�#��DùäýPüý��{þ>������#�¤ø ¤�/2L©�{ýPþcücÿ� 0ý�û�F»ÿäüC�7üC��ýM�<�RùBù"�eFqÿ�����Feý�ÿ"�#�,ücûy$���ÿBûüC��� 0ý�û>;c�#� üC��ý ý����{ý�û�=Tf ��ýPþcýÉý`q�ÿEûücû����:ýPþC�#ý� 0ü��iüC >��ÿ�������ýPüxFtýPý��7üC��ýS�{ýPþcücÿ� 0ý�û'ûcú� >��üC���iü�ý�� ��À��iüC >��ÿ����;ý����{ý����{û�Feý�ÿ"�#�,üM$���ÿEûüC��� 0ý:;%/[�������ý!�{ýPþC��{üC��ýPþqý����{ýj���{û Ftý�ÿ"�#�,üj5�=r?x�RJ `�{þcþcý�û'�4�#���Dû6ü'�S��z�éû�ú��DûýPüB��¢ûcÿ"�Pý�LO���üC��ý%�{ýPþcücÿ� 0ý�ûoûcú� >� üC���iüH���yü�FG��{ýPþcücÿ� 0ý�û'ÿ��bJ �iþcýMV�iüC ���ý��s�¢üC��ý��bJ ÿBû�$A5�}�5e;�P� PùBú�ûüýPþ>���Dùäý=ïCc�vüC��ýS�{üC��ýPþ�������s�Tÿ"�|J `�#��üC�{ÿ¢��û���{þcýüC����M�'L����{ÿäþ.ûR��4V�iüC ���ý��S�{ýPþcücÿ� 0ý�û!�,üC��ý��jÿBüxÿBû��AP{���iþ��#þC�#K$A5�}�/ o%ù ;�P� PùBú�ûüýPþ�����ùäýH�<�{þr��z� ù ª��.= B �:Ftý!�{ýPþe�ÿ����{þ���ýPþ�ü'����ÿBûücÿ����Rú�ÿBûC�V��ýPüxFtýPý��1üC��ýlü�FG�V !�{ûý�ûgF»ÿäüC�����#�.P���ý!�RùBÿ"�Rÿ"�DùBýH��þ�������DÿBùBÿBü���4üC��ý%�{ù"��{þ�ÿäüC��£���{û6ü'�ûC����ùäý�Ï%$ Ð L�³���;G�{ýPþcücÿ� 0ý�û�=+ »z¼�¾=2�0�Qwº�D�Ee2�¸t¼yúD½�¸t¼!¾:»z¹/2�0�Qìûx0�E6»z¹ÐüM»z0�»z¹ÏD�½#ý�»z¾e¹/25,#¼¿ f ��ý%�{ù"��{þ�ÿäüC�� �<�{þ�þ���DÿBú�û| PùBú�ûüýPþ.ÿ����kÿBûüC��ý ûC�ký��{û�Áoù"��{þ�ÿäüC�� 5Éý`q� 0ý!��üküC���iü��i�4�Rÿ��,ü�ÿBû'ûý�ùäý� 0üý����{û��p��ý!F þ�ý!��þcý�ûý��,üC�iücÿ"�{ý��#��ù"� ÿ"�»ÿäü'ÿBû��iü��ÿBûcüC��� 0ýg�{þcý��iüýPþ6üC�����/dB�#þC�# ý�� ��Éþcý!��þ�ý�ûý���üC�iücÿ��{ýoûý�ùBý� 0üý��ÉûC�����iþ�=_ãG�küC��ýqüþ.ÿ�����Rùäý»ÿ¢��ý��,ú��{ùBÿäü���4ÿ"�4J�ÿBû$)U0}�d!;�P� PùBú�ûüýPþ>���Dùäý»üC��ý��yüC��ýPþcýh !��V�:ýg�iüG��Rûü|U'þcý!��þcý�ûcý���üC�iücÿ"�{ý�û�=#CI�küC��ýH�{üC��ýPþ|������s��ÿ��0J ÿBûG�AP{���iþ��#þC�#$)U0}�/d!;�P� PùBú�ûüýPþ>���Dùäý��üC��ý����{û»ù"�#�����{û�Ì��©UjüC��ýPþcý%�úDûüB�:ýI��{þcý`üC������'LO !����Dÿ����iüý`þcý!��þcý�ûcý���üC�iücÿ"�{ý�ûj$��{ûüC��ýr��þcý!��ÿ"�Rú�ûNþ�ý!��þcý�ûý��,üC�iücÿ"�{ý�ûR !���ûcýPþC�{ýG�{û6 PùBú�ûcüýPþ� 0ý��,üýPþ�û>;>= B ý��� 0ýtüC��ýr����{ù"��ûcÿBûÉ���üC��ý@þ>���ÿBú�ûAP� PùEú�ûüýPþ�ÿ�����{ù"��{þ�ÿBüC��K�<�RùBù"�:F»ûoüC��ý'ûC�ký'ùBÿ���ý�ûh�{ûoüC���iüI��xüC��ý���ÿ��kýPüýPþCP� PùBú�ûüýPþ�ÿ¢���S�{ù"��{þ.ÿäüC���=I��ú�þcüC��ýPþ���{þcý�s�{û`ÿ��üC��ýc !�{ûýc��6��ÿ��kýPüýPþ PùBúDûüýPþ�ÿ������.��ýPþcýoü'�[��Ftýc !��!ú�ûcýqüC��ý`þcý!�Dþcý�ûý����iücÿäücÿ��{ý�û|�E�Rú����V�[�jüC��ýc�{ù"��{þ.ÿäüC�� ü'�ÿ����Dú� 0ýc��y������þC�eq�ÿ¢��iüý�ù"�M��z�.�y PùBú�ûcüýPþ�ÿ�������RJb=þ ²aX_^Dñ:÷.ð\³ óµ´ ÿ ÷�[½Z XTñ@Xxò ¶ÚY�õ\^Dñ�XxòN÷.ð\³j¸ ð'ôºXxò ñ � X���� ¾ XTñ�òN÷�ö��� � ����������������¨ ý�ûüC�iþcüR�[�Kûücú�����ÿ����»üC��ýr�DþC��Dùäý�����üý�ûücÿ����H�<�{þ@�qûcÿ¢���Rùäýr PùEú�ûüýPþ�=6? ��üC��ý|��ý`q�ü�ûcú��Dûý� 0ücÿ"�#�jFtý|�{ý���ýPþ>�{ùBÿ"�PýüC��ý��{ù���{þ�ÿäüC�� ��þ�ý�ûý���üý�����ýPþcý����� ÿBücû ����{ù"��ûcÿBû6ü'�V��z���,ú���:ýPþB��R PùBú�ûüýPþ�ûHU0=Á�½5QSH�¹/2E¾=.1Â�� $�Ä�ÅckýPüþ�ÿ¢ �����ÿ��kýPüýPþg `�Rûcü!�0UV¤�5���N���5�����Î��T��5e;Ä *ÐÓ6ª�m (`a_>o�W���n�ª0lVm<ª�l�^ Â�^`ª0l�^`ª�\�W��MZ!^!W"^�&�\�� ¤�� ú uý þ N-ç]� Å ù"��0$A5e³:�R; ÿ Å� � � � Â.amEª�\<ZjmEªMJ�*Ë *�×E(j\5Ç.^�l�mEZ]\{n�ª�&]^V~>^!\�Òr^�^!ªb^�¦�^!_��%Â.n�m<_DaA(BÂ.a�m<ª�\<Zjm<ªO\5Ç.^�Z`n�oHÂ�W�^�mEZ�n\Go�a2Z]\@d�\5Ç�^`ªTn#&�&]^xÂ0\5ØBa\5Ç.^!_�Ò@mEZ!^_C^�Ý�^C&e\{*

8

Page 7: Testing of clustering, Proc. 41 IEEE FOCS, IEEE (2000), 240-250. Also

¶4üý!��/D���üC��ýc�{ù"��{þ�ÿBüC��£ !��y Pùäý��iþ�ù����:ýI���#��ýlÿ��Éücÿ�kýjÍ�$�� Å ;>=�? ��NV�¡3�üC��ýc��þ���Dùäý� !����:ý`ûC�Rù"�{ý��ÿ��éücÿ�yýjÍ�$���ù"�� ��;I+-321#9{=+ .t»<H�¹2»<Â!�êÞ W «za�_>m�\5Ç�o Ë mEZjn�l�m)n�oV^!\�^`_'¬'&!WYXzZ`\�^`_]mEª[«�\�^]Z]\�^!_�(!a�_hU�¤�5SX.ª�l�^!_�\5Ç.^hÄ�ÅVoV^!\�_]m�&:*

¨ ý�ûC���{ùBù:ú�ûýlüC��ý%�E�RùEù"�eF»ÿ¢���kùäý����.=����{þh��!ÿBùBùEú�ûüþ��iücÿ"�#�éûýPýj��ÿ��Rú�þcýc1�=�5�=.

..

.

C

(0,0)

" t

o

"$#w

s��ÿ��Rú�þcý�5���Áh�!ÿBùBùEú�ûüþ��iücÿ"�#�S�<�{þ�üC��ý%��þ��z����� � ý����y5�=ðG»<  D¤Ã Åt^!\�� ~�^�n�&!m<_'&!W�^�aA(%_'n#l�m<XzZ�n\�o�a2Z`\@d2*�Å�^!\e��n�ª�l��j~�^�nª��S\�Ò�a�Â.amEª�\<Z�a�ªÐ��Ørn�ª�lMW�^!\3�p~>^nHÂ.amEª�\ra�ª�\5Ç.^cZ!^�«oV^`ª�\�&>a�ª�ª0^�&�\�m<ªz«v�Sn�ª�l���Ø6Z>X�&�ÇM\5Ç[n\É��ÿEûü�$N�#}]�#;G�¡d�*\­@a�ª�Z]m�lz^`_c\5Ç.^IWYm<ª0^�Â�^!_{Â�^!ª�l�m)&!X.W"n�_\{aO\5Ç.^�W§m<ª0^�\5Ç�_'a�X#«/Çt�bn�ª0lc�Mn\��Àn�ª�lOW"^�\&% ~�^Mm�\<Z Æ &!W"a2Z!^!_ÊÉpoV^�^!\�m<ªz«SÂ�a�mEª�\"Ò@m<\5Ç�\5Ç.^�&!m<_'&!W�^¥��* ¯ Ç.^!ª��ÿBûcü!$�%j}]�#;|����ÿEûü�$��z}��C;'³�/�*: ¹ÏHHSß�à uoý����{üýM�z�('�¤ �DÿBûü�$��[}��';%����)'��@¤ ��ÿEûü�$�%�}]�#;>= ¨ ýV�Dù�� 0ýjüC��ýV 0ý��,üýPþj��6üC��ýV PÿBþ� Pùäý��£�iü�üC��ý�{þ�ÿ"�Rÿ¢�©$��.}C��;>�G���� ûcýPü�üC��ý�$b�2q�ÿBû�ü'�i�:ýV���iþ��{ùEùäý�ù@ü'��üC��ýéùBÿ���ýV `�#����ý� 0ücÿ����t������ì�]= � ýPü�wb��d��:ýÉüC��ýþ����ÿEú�ûG�����=@?x��Ftý���ý����{üýlüC��ý"$� `�z�{þ��Dÿ����iüýc��1���[�+*0��üC��ý�� ÿäücû��p `�z�{þ>��ÿ����iüý2ÿBû-,T¤ Ð w Å o * Å =r�lÿ"�{ý��üC��ý���ÿBûüC��� 0ý�û �:ýPü�FeýPý���üC��ýj�4�Rÿ��,ücûj$�����1üC��ýD�{þ�ÿäý��,üC�iücÿ"�#����¢üC��ý� `�z�{þ��Dÿ����iüý�ûC�4ûüý�M;>��üC��ý��4�Rÿ��,ü��yÿBûH�iü `�[�{þ���ÿ����iüý�ûj$.,�}/* o 'e;>������éüC��ý%�4�Rÿ���ü&%��iüj$.,y�0'��E}/* o 'e;>=G¶�ÿ��� 0ý1%¶ÿBûB�#�!üC��ý� Pÿäþ� PùBý��Ftý%�ú�ûüg�����{ý

$.,��2' � ; Å � $�* o 'e; Å ¤éw Å $A5e;Fg��ÿ¢ �� ÿ����ùBÿäý�ûeüC���iü ' � ¤ i w Å o $�* o 'e; Å o , $)/#;? ��Feý����:F�ûcú��Dûcücÿäücú�üý1,T¤ Ð w Å o * Å Ftý��{ýPü' � ¤ i w Å o $�* o 'e; Å o i w Å o * Å

¤ $5w Å o $�* o 'e; Å ; o $5w Å o * Å ;Ð w Å o $�* o 'e; Å � Ð w Å o * Ť * Å o $�* o 'e; ÅÐ w Å o $�* o 'e; Å � Ð w Å o * Ť '$)/3* o 'e;Ð w Å o $�* o 'e; Å � Ð w Å o * Ū '$)/3* o 'e;/Ïw¶�ÿ��� 0ý%������ì���iþcýM�4�{üC�b�#� üC��ý� Pÿäþ� PùäýM����w�DÿBûü�$N�#}��C;D¤���ÿEûü�$N�#}]�#;����DÿBûü�$��[}��';V�£d|�4'2�RFeýM���e�{ýéüC���iü/3*��¡d@�0'�= B ý��� 0ý�Dûcÿ��� 0ý"w��¡d:��Feý%���üC�{ÿ��!üC���iü-'�����'e³�/��{ûH Pù��{ÿ�ký��s=

,

Page 8: Testing of clustering, Proc. 41 IEEE FOCS, IEEE (2000), 240-250. Also

: ¹ÏHHSß#HSß + .�»<H�¹2»<Â5�yßÊH�¹7698:�4¿ ¨ ýqûcüC�iþcü��[����þC�e��ÿ����KüC��ý�üC��ý!�{þcý�Ã�<�{þ@ü�FG����ÿ�ký���û�ÿ"�#��û!�#����yüC��ý��ûC���:FË���eFÍÿäüh�{ý���ýPþ��{ùBÿ��Pý�ûqü'����z��N���ÿ�yý���ûcÿ"�#��û�=oø6ùäý��iþ�ù��!ÿ"�@J ÿBû�$A5�}�d`;�P� PùEú�ûüýPþ����DùBý�üC��ý��;üC��ýD�{ù"��{þ.ÿäüC��� ! 0ý!��ücû!= ¨ ý�üC�4ú�ûh�<�[ Pú�ûh�#�p��þC�:�4ÿ¢���jüC���iülÿ"�@J ÿBûh�'P{�<�iþc�#þC�# �:ý�ÿ����p$A5�}e$A5 ���6;Ad!;�P� PùBú�ûüýPþ>���Dùäý'üC��ý���üC��ý�{ù"��{þ�ÿBüC�� þcý µý� 0ücûgF»ÿBüC����þC������DÿEùBÿäü����iüoùäý��{ûüg/#³�3[=¨ ý�ûC���{ùEù�4ÿBý!F üC��ýeûC���DùBýr�{û6�:ý�ÿ�����ûý�ùäý� 0üý��'ÿ��<;�¤ />=t³:� Å �����{ûcý�û!��Fg��ýPþcýeÿ��2ý�� >�j�����{ûý&��$¾ù"��0$?;4;'³��];�4�Rÿ��,ücûg�iþcý�ûý�ùäý� 0üý��À$¾ú���ÿ"�<�{þ�yù"�M����1ÿ¢����ý!�:ý�����ý��,ücù"��;>= ¨ ý�ûC���{ùBùNû����eF üC���iügFqÿäüC����ÿ��#����þC�������ÿBùBÿäüx�S�:�{ýPþüC��ýc ����Rÿ� 0ýI��NüC��ýlûC���DùBý�4ÿ�� ý�� ��y�����{ûýI 0ýPþcüC�{ÿ��VÂ�_'aC«_C^]Z>ZKÿBû|����ý=�f ��ýH��þ���{þcý�ûcû6ÿBûeûcú� ��ÉüC���iüB���#üýPþ �iü��Rûü@;M�����{ûý�û!�,üC��ýH��ÿ¢�kýPüýPþr��É�{ùEùDûC����ùäý �4�Rÿ��,ücû@ÿBû��{þcý��iüýPþ6üC����Sd%$� !�{úDûcÿ�����üC��ýH�{ù"��{þ.ÿäüC�� ü'��þcý µý� 0ü>;>=���{þ2ý�� >��5V�£Ùp�A;t�NùäýPüCB@����ý����{üýküC��ýyú��Dÿ"�#�p��r�{ùBùR�4�Rÿ��,ücû`ûý�ùäý� 0üý���ÿ���üC��ý�k�þ�ûü�Ùy�����{ûý�û!= ¨ ý ûC���{ùBù��ýPý�� üC��ý%�E�RùEù"�eF»ÿ¢������ý`k���ÿäücÿ��#��û!=D »FEe012E¾=25HR0êà GIH a�_�n�ª��D«#m ¦^`ªVÂ.a�m<ª�\1�Ð�a8 Å ØrW"^�\1�7~plz^`ª�a\�^D\5Ç�^�&!m<_A&�W"^�aA(�_An#lmEX[Zhd�&]^`ª�\�^!_'^�l�n\1�6*G�H a�_Mn�«#m ¦^`ª£Æ È�ª�m<\�^LÉyZ!^�\_� q¼8 Å ØHW�^!\KJ�$ �I;Ml�^!ª�a\�^�\5Ç.^�ÿ¢��üýPþ�ûcý� 0ücÿ"�#� aA(Sn�W<WG&�mE_'&!W�^]Z��7~ÀaA(IÂ.a�m<ª�\<Z�a�y�D*G�H a�_Dnª��V_C^{«#m�a�ªx�KmEªx8 Å Ø�W�^!\MLD$���;jl�^!ª�a\�^D\5Ç.^�Z]mÖÕ:^%Æxn�_C^Cn'É�aA(µ��*ãG�yüC��ýI���4�e�{ýc��ý`k���ÿBücÿ"�#�s�#�<�{þ6ý�� ��M�����{ûý�Ù���ý!�{ýPþC�V�0�Rÿ¢��ü7$��NJ0$OB@�2;xÿBûG�iü|��ÿBûüC��� 0ýI�iü|��RûüBdB�#þC�# ^�¦�^!_���4�Rÿ��,ü�ÿ�� üC��ýéûC���DùäýÉûý�ùäý� 0üý�� û'�p�<�iþe=�? �»ÿ��w�����{ûý\ÙD�Ë5S�i��ý!F ûC���DùBýV�4�Rÿ��,üv�¦���{ùBùBû%�Rú�ücûcÿ���ý J�$OB@�2;>�üC��ý��7üC��ý��{ù"��{þ�ÿäüC�� þcý µý� 0ücû!�G�{û�üC�DÿBûjyý����û�üC���iü'üC��ýM��ý!F �4�Rÿ��,ü�ÿEûj�iü���ÿBûcüC��� 0ýS�{þ�ý��iüýPþküC����¦d��#þC�#û'�#kýoûC���DùBý �4�Rÿ���ü!=ACoüC��ýPþCF»ÿBûý�0$5�a�PJ0$OB � ;';>�.FeýH `�#��û�ÿ���ýPþ@üC��ýH��ý� 0þcý��{ûcýqÿ��jüC��ýH�iþcý�����*üC��ýqÿ¢��üýPþ�ûcý� 0ücÿ"�#� !�{ú�ûý��y�z�éüC��ý%����Dÿäücÿ"�#����1�t=�f ���iü�ÿBû!�QL�$.J�$OB@��;'; o L�$.J�$OB�KR(S��@T2;';�¤UL�$.J�$OB�:;WV��7~�;>=D »FEe012E¾=25HR0U�YX ^�Z!n/��\5Ç[n\cn�Â.a�m<ª�\#�·�ÀJ mEZ7Z?[]\_^2®>[e°`Z ¬Fa1Ò@m<\5ÇO_C^]Z{Â�^C&�\I\{a J�$OB � ;�m ("�cb��J�$OB � ;Va�_�m ("�&�nXzZ�^]ZhnjZ]mv«#ª�m Èr&�n�ª�\Rlz^C&!_C^Cn�Z!^Im<ª�\5Ç.^cn�_C^CnVaA( J0$OB@�:;`*-djn�oV^`W��ÏØ�m (g\5Ç.^cn�_C^CneLD$.J0$OB@��;fV �7~z;g\5Ç[n\RmEZ _'^!o�a�¦�^Cl(]_Aa�o \5Ç.^jm<ª�\�^`_>Z!^�&�\�m)a�ªâØ�mEZH«_C^Cn#\�^`_j\5Ç.n�ªb$<��d!; Å ³�/�*

¨ ý� Pù¢�{ÿ� üC���iü»ÿ"�ÉJ ÿBû �AP{���iþB�#þC�# �:ý�ÿ�����$A5�}e$A5r�b�6;Ad!;�P� PùBú�ûüýPþ�����ùäý��üC��ý��!ÿ��Éý!�{ýPþC�M�����{ûcý�Ùh�¡5`üC��ýPþcý�iþcýD�iüqùäý��{ûüI�'LT�4�Rÿ��,ücû»ÿ¢��J üC���iüH�iþcý'ÿ���g�ú�ý���ücÿ¢�{ù4F»ÿäüC� þcý�ûC��ý� 0üqü'�+J0$OB@�:;>=H¶�ú��.µý� 0ü�ü'�jüC��ÿEûg Pù��{ÿ�y�Dÿ"�TüC��ýûC����ùäý�ÿ��ký�� >�S�����{ûý»ÿBû���Nûcÿ"�Pýg�iüeùäý��{ûütù¢�4$)3`;s;'³��!��üC��ý��yüC��ý ��þC�������ÿBùBÿäüx�KüC���iüG��jÿ���g�ú�ý���ücÿ¢�{ù.�0�Rÿ¢��üxÿBûr���{üûý�ùäý� 0üý��éÿ��S�`È3�z^�l������{ûý�4ÿEûr�iüB��Rûüc$A5 o �];�äæå=�Àçih)¢� ý Î ý`q.��$ o ù��É$)3`;s;';�¤�5e³.$)3`;4;>= B ý��� 0ý��üC��ýg��þC������DÿBùBÿäüx�üC���iü �<�{þcZ!a�oV^j�����{ûý%���yÿ¢��g�ú�ý��,ücÿ��{ù0�4�Rÿ���ü�ÿBû»ûý�ùäý� 0üý��1ÿEû�ùäý�ûcû�üC����b5e³�3[=f �4ú�û!�z�{ûcûcú�kýg�GþC�#����eF¡�#�yüC���iür�E�{þxý!�{ýPþ��������{ûý7Ù@�T5���üC��ý»û����Dùäý�ûý�ùBý� 0üý�� ÿ��'üC�DÿBû@�����{ûcýg `�#��üC�{ÿ¢��û�� ÿ���g�ú�ý���ücÿ¢�{ù��4�Rÿ��,üs�¡F»ÿäüC�7þcý�û'�:ý� 0ü'ü'�jJ�$OB � ;>=ÀÁqûkûcüC�iüý������4�e�{ý�6ÿ"�µ�kb�lJ�$OB � ;KüC��ý�� üC��ýy�{ù"��{þ.ÿäüC��þcý µý� 0ücû!=¥CoüC��ýPþCFqÿBûý��w��ý� 0þcý��{ûý�ûlüC��ý��iþ�ý����� J0$OB@�:;H�[�i�iü2ùäý��{ûüV$<��d!; Å ³�/[= B �eFeý!�{ýPþ���û�ÿ��� 0ý'üC��ý��iþcý�����üC��ýoÿ���ÿäücÿ��{ù� PÿBþ� PùäýD$���ý`k���ý����[�küC��ýgkDþ�ûü@û����Dùäý �4�Rÿ��,ü>;TÿBû =Éd Å �,üC��ý��jüC��ýI�,ú�j�:ýPþ���s�����{ûcý�ûtÿ��VFg��ÿ� >�yûcú� >�����ý� 0þ�ý��{ûý� !��y�. ! Pú�þ»ÿEûB�iüg��Rûüm;�¤ />=t³:� Å =?A���{þ���ýPþ�ü'�S `�#��DùäýPüý2üC��ý%��þC�[���f ��ý!�{þcý�K/y$<�<�{þgN�¤ /#;>��Feý��úDûü�ûC���:F�üC���iü�üC��ýPþ�ý%�iþcý��iü»ùäý��{ûcüH�'L�4�Rÿ��,ücû¢ÿ���J üC���iür�iþcý»ÿ���g�ú�ý���ücÿ¢�{ù�F»ÿBüC�'þcý�û'�:ý� 0ü¢ü'�nJ�$OB�:;>�z�E�{þxý!�{ýPþ��D�����{ûýAÙ��O5�=RÁoûcûcú�ký `�#��üþ>�iþC�'ü'�2üC��ý Pù��{ÿ� üC���iü6üC��ýPþcýI�iþcýc�iü|��Rûü �'L�ÿ���g�ú�ý��,ücÿ��{ù��0�Rÿ¢��ücûrF»ÿäüC� þcý�û'�:ý� 0üeü'�'ûC�#kýoJ0$OB@�2;>=�f ��ý��SFtýc !��Éþcý���:�{ýüC��ý�ûý�$��iüB��Rûü>;r�'L�ÿ���g�ú�ý��,ücÿ��{ù��4�Rÿ��,ücûr�GþC�#ÃJb=�fg��ýg�4�Rÿ��,ücûxüC���iü6þcý�V�{ÿ��jÿ��VJ �{ùBù���ý�ù��#���2ü'�pJ�$OB � ;>�������{û`üC��ý��<�RùBù"�eFqÿ���� ùBý����ÉûC���eFqû!�*üC��ý!���<�{þ� �� PùBú�ûüýPþI��G��ÿ��kýPüýPþc�iü%��Rûü�$A5B�¦�R;Ade�sÿ��� `�#�,üþ����ÿ¢ 0ücÿ"�#�ü'���Rú�þH�{ûcûcú���Dücÿ"�#���#��Jb=ðG»<  Dj� Åt^!\`� ~�^On�ªS�%È�ª�m<\�^iZ>X�~]Z�^!\�aA(y8 Å * ¯ Ç.^!ªT(`a_O^�¦�^`_'� �t}�$î�qJ�$ �I;�Z]X�&�Ç¡\5Ç[n\���m¢Zpª�a�ª�¬m<ªsrrX�^!ª�\�m�nW Ò@m<\5Çy_C^]Z�Â�^C&e\|\{a��vØ ��ÿBûü!$5�t}�$�;|� $A5r���6;Ad�*

*

Page 9: Testing of clustering, Proc. 41 IEEE FOCS, IEEE (2000), 240-250. Also

: ¹ÏHHSß�à ?zü�ÿBûB PùBý��iþB��� `�Rú�þ�ûcýoüC���iü6ÿ�� $��ï�7~�üC��ý����DÿBûü�$5�t}�$�;G�¡d:=�f ��ýPþ�ý!�E�{þcý��ùäýPü�$%�NJ]�mV7�7~.=tøG�#�Dûcÿ���ýPþüC��ýKùEÿ���ýoüC��þC�Rú��#�y�p����y$0������!ùäýPü½���:ýlüC��ýc�4�Rÿ��,üBFg��ýPþ�ý`ÿBü�ÿ���üýPþ.ûý� 0ücû F»ÿBüC�Ð�7~[=rf ��ý��s�

��ÿBûcü!$5��}�$�;�¤���ÿBûü�$5��}]�;��À��ÿBûcü!$��[}�$�;�bø6ùäý��iþ.ù"�S��ÿEûü�$5�t}]�#;�¤ d:=�f �4ú�û!�.Feý%F|���üqü'�jûC���:F�üC���iüg��ÿEûü�$��z}�$�;G���6de=� ýPü1ú�ûy��þ>��F�üC��ý�üC����{ý���ü;ü'�é�7~¦�iüÐ�À�����ùäýPüPt¡����c% �:ý�üC��ýTkDþ�ûüéü�FG���4�Rÿ��,ücû ÿäüykýPýPücû��#�

üC��ý��4�Rú������iþC�O��oJ � =�f ��ýM�4�Rÿ��,ücû\$0}/%�}utT��ý`k0��ý���üþ�ÿ�����Rùäý%����Fg���Rûýy��ý�ÿ��#��ükÿBûwv©¤ ��ÿBûü�$��[}�$�;>= � ýPü' u ¤Ë��ÿBûcü!$�%j}]�#;>�t����x'!Å�¤Ë��ÿBûcü`$.t�}]�#;>=�f �4ú�û!�:üC��ýkùäý����{üC�p��@üC��ýD���{ûý���@üC��ý'üþ�ÿ�����Rùäýºp�ÿBûy' u ��'`Å�= � ýPüL�$ �I;|��ý����{üýKüC��ý%�iþcý�����3��=G¶�ÿ��� 0ý`� qIJ]�KV��7~[������c��ÿEûB���#�.P�ÿ���g�ú�ý���ücÿ¢�{ù)�,üC��ý��LD$ �c;�¤ vt$$' u �0'!Å�;/ � $<��d!; Å/ b $)3#;

¨ ý�FqÿBùBù0���eF ûC���eF�üC���iüyv��z' u �0'!Å2��������#þC�# üC��ÿEû `�#�� PùBú���ýoüC���iüyvy����dI�{û�þcý��4ú�ÿäþcý��É=¨ ýH��þC�e�{ý»üC���iüm' u �Av�³�/[= � ýPü#� u �:ý�üC��ý Pÿäþ� PùäýB�#��Fg��ÿ� >�7%ËûcÿBücû!������yùBýPü7�g����\�6�:ý�üC��ý�ÿ¢��üýPþ�ûcý� 0ücÿ"�#��4�Rÿ��,ücû ��¢üC��ý'ùBÿ���ý% `�#����ý� 0ücÿ����%�O����Ð$�FqÿäüC�!üC��ýD Pÿäþ� Pùäý\� u =j$¾ûýPý���ÿ��Rú�þcý�1�=�5e;>= ¨ ý������{ý�s��ÿBûcü!$��[}��C;H��v����y�DÿBûü�$N�#}]�#;G�©de= ¨ ýD !��!üC�4ú�û ������ù"� � ý�����5�������y�{ýPü�üC���iü' u ¤���ÿEûü�$�%�}]�#;|���DÿBûü�$��[}��';'³�/��Av�³�/<b

C1 C2C3

Cx

x

.z

y

t

w

{}|~

.

.

.

. .o

s

.

�Tÿ"�Rú�þcý�/[�%Áh��ÿBùBùBúDûüþ��iücÿ"�#���E�{þKüC��ý���þC�[����� � ý����y/[=�f ��ý� PÿBþ� Pùäý�ûv�7~����� � u �iþcý��{û%��ý`k0��ý���ÿ���üC��ý��þC�[�� =�f ��ý% Pÿäþ� PùBý�ûµ�GÅc����a� ç ��ý����{üý%�����ÿäücÿ"�#���{ùs PÿBþ� Pùäý�ûB��ý`k���ý����z���4�Rÿ��,ücû�ÿ��éüC��ý2ûC����ùäý=?A�y�������{ù"���Rú�û F|����Feý� !��1û����eF¶üC���iü-'!ÅI�4v�³�/[=|f ��ÿEû�ÿ���DùBÿBý�ûtüC���iüyvy�©/Ryÿ��t$$' u }�'`Åe;G�I' u �0'!Å�=ãG��Q��4ú��iücÿ"�#�T$)3#;|Feý� !��y `�#�� PùBú���ýlüC���iü!�

v Å/ � v�$$' u �0'!Åe;/ � $<��d!; Å/ b

7

Page 10: Testing of clustering, Proc. 41 IEEE FOCS, IEEE (2000), 240-250. Also

� ës¾e»z0�Ee2�0�Q�¾=.t» : ¹ÏHHSßS¾)Hl� 25QR.�»z¹ D 2�Âb»z0�¼)25HR0�¼¿ ���{þyý�� >� ûC���DùBýM�4�Rÿ��,ü�� ùäýPüw�`~p��ý����{üý üC��ýNP��Dÿ�ký���ûcÿ��#���{ùÉ���{ùEùÉ��xþ���DÿBú�ûHd% 0ý���üýPþcý��O�iü���= � ýPüoJ0$OB@�:; �:ýKüC��ý'ÿ��,üýPþ�ûý� 0ücÿ"�#�p����{ùEùÉ���{ùBùEûg 0ý��,üýPþcý��O�iü�4�Rÿ��,ücû2ûý�ùäý� 0üý�� ÿ��O�����{ûcý�û�5yü'��Ù��6����vùäýPü��M$.J�$OB�:;';%��ý����{üýyüC��ýV��RùBú�ký���6üC��ý ÿ���üýPþ.ûý� 0ücÿ"�#�s= � ýPü7� ���ý����{üýjüC��ý���RùBú�ký���eüC��ýVN#P���ÿ�ký��Dûcÿ"�#���{ùTú���ÿBüH���{ùEù)= B ýPþcý�FeýjûC���{ùBù¢ûC����üC���iü��y�0�Rÿ¢��ü�� ÿEû�mEªsrGX�^`ª�\�m)n�WF»ÿäüC�éþ�ý�û'�:ý� 0ü�ü'�+J�$OB � ;eÿ"�1�9b�(J�$OB � ;>���{þ»ÿ"�süC��ý%��RùBú�kýlþcý���:�{ý��y�[�%��ÿBûB�iü»ùäý��{ûcü�S$.J�$OB�2;'; o �M$.J0$OB@� RxS��WT2;';�¤l�V$.J0$OB@�:;@V&�`~#;7ª $<��d!; � þ � � �suN þ / � �su b

¶�ÿ��� 0ý�üC��ýh��RùBú�kýH��NüC��ýqÿ¢��ÿäücÿ��{ù����{ùBù���Nþ>���ÿBú�û�dj$���ý`k���ý��V�z�küC��ýgkDþ.ûütûC���Dùäý �4�Rÿ��,ü>;¢ÿBû-� � þ d � ��üC��ý�� üC��ý�4ú���:ýPþB��R�����{ûcý�ûM;;þcý��4ú�ÿäþcý��éÿBûg�iüg��RûüN þ � �/ þ � � �su þ ú /�

� � ¤ Ík� ÷ N ú /� � ��� bCI�� 0ý%���#�{ÿ��s��üC��ý��E�RùBù��eF»ÿ����'ùBý����.�� `�#��DùBýPüý�û�üC��ý%��þ��z��6��6fg��ý!�{þcý�K/��<�{þg��z��N�ª¡/[=

ðG»<  D�� Åt^!\`� ~>^Tn�ªS�%È�ª�m<\�^iZ>X�~]Z�^!\�aA(y8 � * ¯ Ç.^!ªT(`a_O^�¦�^`_'�ï�t}�$I�qJ�$ �I;�Z]X�&�Ç¡\5Ç[n\���m¢Zpª�a�ª�¬m<ªsrrX�^!ª�\�m�nW Ò@m<\5Çy_C^]Z�Â�^C&e\|\{a��vØ ��ÿBûü!$5�t}�$�;|� $A5r���6;Ad�*: ¹ÏHHSß�à ÁH�#�{ÿ��s��ùäýPü�$%�NJ]��V �`~.=eøG�#��û�ÿ���ýPþ6üC��ý2ùBÿ���ýqüC��þ��Rú��#�c������c$0������ ùäýPü½�D�:ý`üC��ýc�4�Rÿ��,üGFH��ýPþcýlÿäüÿ��,üýPþ�ûý� 0ücûgF»ÿäüC���`~.=�f ��ý��s� ��ÿBûcü!$5��}�$�;�¤���ÿBûü�$5��}]�;��À��ÿBûcü!$��[}�$�;>}Fg��ýPþ�ý%��ÿBûü�$5�t}]�#;�¤ de=rÁg�#�{ÿ��yFtýKû����eF�üC���iüyvM¤ ��ÿBûü�$��[}�$�;|����d:=

øG�#�Dûcÿ���ýPþTû'�#ký|�Dù����ýtüC���iü@���{ûcûý�û�üC��þC�Rú��#��üC��ý�ùBÿ¢��ýG��ý`k���ý��j�z�s�V�����$�=euoþ���F ÿ¢��üC�DÿBû6�Dù����ýeüC��ý�ùBÿ���ýüC����{ý��,ü�ü'�w� ~ �iü½�[= � ýPü-t����� %��:ýoüC��ýhkDþ�ûüeü�FG���4�Rÿ��,ücû@üC���iü�üC�DÿBûtùEÿ���ýIkýPýPücû|�#�éüC��ýI�4�Rú������iþC����MJ � =�H�{ücÿ� 0ý��üC���iü���z��û�ú� ����Dù¢���ý�ÿ���üýPþ.ûý� 0ücû¢ý�� ������üC��ýBN#P���ÿ�ký���û�ÿ"�#���{ùz���{ùBùBûR��ý`k��Dÿ����yJ]��ÿ����c Pÿäþ� PùäýG���þ>���ÿBú�û�iüB��RûüBd:=�f �,úDû!��Feýc !��M���#�{ÿ¢�ÉúDûý � ý����M5��.����V��þ��e�{ý�$��{û6ÿ�� � ý�����/#;>��üC���iüB��ÿBûü�$.t�}]�#;|�Iv0³�/�������ÿBûcü!$�%j}]�#;|�Av0³�/[=rf ��ÿEûrFqÿBùBù0�:ýlüþ�ú�ýc�<�{þg������Dù¢���ýI���{ûcûcÿ����küC��þC�Rú��#�éüC��ý�ùBÿ���ýI��ý`k���ý��y�z�%������x$�=f ��ýPþcý!�E�{þ�ý���b$�N o 5e;�P���ÿ¢ký���ûcÿ"�#���{ùR���{ùBùR��eþ����ÿBú�ûev0³�/ ÿBû% `�#�,üC�{ÿ���ý�� ÿ���üC��ýyÿ��,üýPþ�ûý� 0ücÿ��#�T��&J]�<V��`~F»ÿäüC�jüC��ýD$�N o 5e;�P���ÿ�ký���û�ÿ"�#���{ù��z�z�:ýPþC��ù����ý�üC����{ý��,ütü'�7�`~��iü��z=@f �4ú�û!�,üC��ýI `�#��ýg��t��ý�ÿ"�#��ü&vSFg���RûýH���{ûýÿBû6üC��ÿEû�$�N o 5e;�P��Dÿ�ký���ûcÿ��#���{ù4���{ùBù4���þ����ÿBúDû<v�³�/kÿBûg `�#��üC�{ÿ���ý��!ÿ��PJ]��V-��~.=�f ��ýc��RùBú�kýc��TüC��ÿBûB `�#��ýKÿBûvt$iv0³�/#; � �su�� � �suN����!û�ÿ��� 0ý���ÿEûB���#�.P�ÿ���g�ú�ý���ücÿ¢�{ù�Feý����e�{ývt$iv0³�/#; � �su�� � �suN � $<��d!; � þ � � �suN þ / � �su bf �4ú�û!��vy����dI�{û�þcý��4ú�ÿäþ�ý��s=���$� �������Q���_�e�f ��ý%�{ù���{þ�ÿäüC�� �<�{þHUcª�5KÿBûB���{ý���ýPþ��{ùEÿ"���iücÿ"�#�����üC��ý��{ù"��{þ.ÿäüC�� �<�{þHUV¤�5�=Á�½5QSH�¹/2E¾=.1Â�� $�Ä�ÅckýPüþ�ÿ¢ �����ÿ��kýPüýPþg `�Rûcü!�0U���5���N���5�����Î��T��5'É

Page 11: Testing of clustering, Proc. 41 IEEE FOCS, IEEE (2000), 240-250. Also

Ä *ÐÓ6ª�m (`a_>o�W���n�ª0lVm<ª�l�^ Â�^`ª0l�^`ª�\�W��MZ!^!W"^�&�\�� ¤�� ÿ û!ü ä��/� ûý þ N þ $)/#³:�6; Å�� � Â.a�m<ª�\<Z�m<ªMJ�*Ë *�×E(h\5Ç.^`_C^�^��mEZ]\<ZhncU�¬�Ò�n/�HÂ.n�_`\�m�\�m�a�ª%�£aA(H\5Ç.^IZ`n�oHÂ�W�^R(!a�_�ÒeÇ�m�&�Ç � $��j;G�¡d)Ø6\5Ç�^`ª�n#&>&>^ Â0\{*C�B\5Ç.^`_'Ò@m¢Z�^'Ø_C^�Ý�^C&e\{*9¢ýPþ�ÿ��E��ÿ�����Fg��ýPüC��ýPþ'üC��ýPþcýÉý`q�ÿBûücû��OUzP{FG�e�w���iþ�ücÿäücÿ"�#�w��<� �0�Rÿ¢��ücûD������ÿ����i��ÿ��yýPüýPþ��iü���Rûcü�dS !���:ý����#��ýyÿ���ücÿ�kýSÍ�$���; ��� û ü +-3?*:9{=Sf ��ý����{ûcÿ¢ ���DûýPþC���iücÿ"�#�vÿEû`üC���iü�FeýV��e�i `�#�Dûcÿ���ýPþc�#��ù������iþ�ücÿäücÿ"�#��ûI�<�{þFg��ÿ¢ ���üC��ýM `�#���{ý`q��,ú�ùEùBûI��6üC��ýS��ÿÖ¿�ýPþcý��,ü� PùBúDûüýPþ�û%�iþcýM��ÿBû<µ'�Rÿ��,ü!=Sf �DÿBûlÿBû2üþ.ú�ýjûcÿ��� 0ý��Rÿ"�{ý��b��yÿ���ÿ¢�ú���ÿ��yýPüýPþG���iþcücÿäücÿ"�#�S�E�{þBFH��ÿ� ��Éû'�#kýI�4�Rÿ��,ütÿ��� PùBúDûüýPþ�Ì6�:ý�ù"�#���Rûtü'�'üC��ýc `�#�z�{ý`q��4ú�ùBù���� PùBúDûüýPþ�Ìh���[Feýc !����:�{ýyüC��ÿBûI�4�Rÿ��,üI�GþC�# PùEú�ûüýPþ"Ì�ü'�� PùEú�ûüýPþ"Ì � F»ÿäüC���Rú�ü`ÿ¢�� 0þcý��{ûcÿ����ÉüC��ý���ÿ��kýPüýPþ�=�f �4ú�û!��ÿ¢�O¶�üý!�w/ÉüC��ý�{ù"��{þ�ÿBüC�� ý��,ú�kýPþ��iüý�ûg�{ùEù*ûcú� ��y���iþcücÿäücÿ"�#�Dû|���üC��ý2ûC���Dùäý%����� `�#��Dú�üý�û»üC��ý�ÿäþ ��ÿ��yýPüýPþ�=�f ��ÿBû�ÿEûB���#��ý�[�S `�#��ûcÿ¢��ýPþ�ÿ������{ùBù4 ����Rÿ� 0ý�ûB��y� û Å�� �z�z�:ýPþC��ù����ý�û|���#���'üC��ýjÍV$�� ��� u];r���[�:ýPþC�Dù����ý�ûtüC���iü�ûý!���iþ��iüý2üC��ý��

ûC����ùäýI�0�Rÿ¢��ücû!������éüC��ý���kýPþC�Rÿ����kûcú��DûýPücû|��t�4�Rÿ��,ücû6üC���iüB���{ùBù:ÿ��éüC��ý`þcý�ûcúDùäücÿ�����þcý!�Rÿ"�#��û�ÿ¢��ü'�VU� PùBúDûüýPþ�û!=+ .t»<H�¹2»<Â��ÔÞ W «za�_>m�\5Ç�o Ñ mEZjn�l�m)n�oV^!\�^`_'¬'&!WYXzZ`\�^`_]mEª[«�\�^]Z]\�^!_%X.ª�l�^!_�\5Ç.^hÄ Å oV^!\�_]m�&:*

¨ ý�ûüC�iþcü �[� ý`q�üý�����ÿ¢���küC��ý%���{ücÿ"�#�y���ÿ���g�ú�ý��,ücÿ��{ù0�0�Rÿ¢��ücû!=D »FEe012E¾=25HR04� Å�^!\A� � ¤K$hpru�}�b�b�b:}�p û ;�~�^Mn�Â.n�_`\�m<\�m)a�ª�aA(�nyZ>X�~]Z�^!\#p ° J�* X ^�Z!n/��\5Ç[n\In�Â.a�m<ª�\A�©mEZZ?[]\�^:®>[e°`Z ¬FaÒ@m�\5Ç�_C^]Z�Â�^C&e\ \{a�� � m (�^`m�\5Ç.^!_�� ³�0  ûlnm u J�$hp l ;%Æx\5Ç[n\BmEZ�Øe��mEZDn\Hl�m¢Z`\{n�ª�&]^�«#_'^�n\�^`_�\5Ç[n�ªidH(>_'a�oZ`ao�^ Â�a�mEª�\rm<ªb^�¦^`_'��p l É)ØGa�_�(`a�_�^�¦^`_'��p l/¡

�S$.J�$hp l ;�V-��~�;7ª $<�6d`; � þ � � �suN þ / � �suÆ�\5Ç.n\�mEZ�Ø�\5Ç�^�¦�a�WYX[oV^DaA(<J0$hp l ;ImEZI_C^ClX�&]^ClSZ]mv«#ª�m ÈG&�n�ª�\�W���~��"��(`a�_j^�¦�^!_���p l É*½Åt^!\3§M$�� � ;#°�J lz^`ª�a\�^D\5Ç�^Z!^�\Ga'(jn�W<W.Â.a�m<ª�\<Zj\5Ç[n#\|n_'^jm<ªsrGX�^!ª�\�m)n�W�Ò@m�\5Ç�_'^`Z{Â�^�&�\|\{a\� � *úD½5DS2�£¢¥¤ X:Â#Â.a2Z�^BJ m¢ZG��¬§(!n�_�(>_'a�oK$)U0}e$A50�y�6;Ad!;�¬'&!WYXzZ`\�^`_'n�~`W�^'Ø|n�ª�l�W�^!\@� � ¤Ë$hp u }�b�b�b:}�p û ;I~>^cnHÂ.n�_`\�m�\�m�a�ªaA(�Z!a�oV^ºpê°ËJ�* ¯ Ç.^!ªS(!a�_�n�ª��M«#m ¦^`ªi�pÎ ù Î�5ÏØ`Ò@m<\5ÇMÂ�_'a�~Cnz~`m<W§m�\��Tn\gW�^Cn�Z]\I5 o·ù Ø%nyX.ª�m (`a_>o�W��in�ª0lm<ª�l�^xÂ�^`ª�l�^!ª�\�W��SZ�^`W�^C&e\�^ClVZ`n�oHÂ�W�^�aA(%Z>mnÕe^��c� äæå=�Eu���¦�ý &�a�ª�\{n�mEª�ZDn\rW"^�n2Z]\Ba�ª0^ Â�a�mEª�\3$%�Ч�$�� � ;`*: ¹ÏHHSß�à ãG� � ý��V��3[�sÿ"��J ÿEû%�AP{���iþc�GþC�#È$)U0}e$A5g���6;Ad!;�P� PùBú�ûcüýPþ����Dùäý�NüC��ý��O��ý� 0ý�ûcûC�iþ�ÿEù"��¥ §�$�� � ;!¥ª��'L@=CoüC��ýPþ�F»ÿBûý��Feýj `�Rú�ù¢�!þcý���:�{ýj�{ùBùsÿ���g�ú�ý���ücÿ��{ù0�4�Rÿ��,ücûg������{ûcûcÿ"�#�1ý�� ����{üC��ýPþH�4�Rÿ��,ü��ï��J ü'�S�S PùBú�ûüýPþ�Ìûcú� >�!üC���iü���ÿEû ���#�.P�ÿ���g�ú�ý��,ücÿ��{ù4F»ÿäüC� þ�ý�û'�:ý� 0ü�ü'�cp l =Bf ��ÿBû|FG�Rú�ù��!þcý�ûcú�ùäüqÿ��y�VUzP{F|���y���iþcücÿäücÿ"�#����@�{ùBùt�Dú�ü�iüg��Rûcüg����B�#þ�� 0ücÿ"�#�y���üC��ý%�4�Rÿ���ücû�ÿ¢��Jb��üC���iüH���{û ��ÿ��yýPüýPþg�iüg��RûüD$A5r���6;Ad:=f ��ýPþcý!�E�{þ�ý��üC��ýc��þC�������ÿBùBÿäüx�küC���iü �kûC���DùBýh��Tûcÿ"�Pý���� äæåÏ�¢u���¦Lý FqÿBùBù�ª�a\| `�#��üC�{ÿ¢�y����M�4�Rÿ��,ü6ÿ¢�%§�$�� � ;ÿBûB�iüh��Rûü�$A5 o �];�§BÎ ý`q.��$ o � þ ��;@¤ ù �0�{û ��ý�ûcÿBþcý��s=: ¹ÏHHSß½HRß + .�»<H�¹2»<£� à CI�� 0ýI���#�{ÿ��s��ÿ"�tJ ÿBûc$)U0}�d!;�P� PùBú�ûüýPþ�����ùäý��üC��ý��ÉüC��ýc�{ù"��{þ�ÿäüC�� �{ù�FG�e�4ûB� ! 0ý!��ücû�=¨ ýKüC�4ú�ûB�<�. Pú�û|�#�!üC��ý% !�{ûcý�ÿ���Fg�Dÿ� ���J ÿBû �AP{���iþ �#þC�#£�:ý�ÿ����y$)U0}e$A5|���6;Ad!;�P� PùBú�ûüýPþ>���Dùäý=Áoû!ÿ��ËüC��ýO��þ��z��j��Df ��ý!�{þcý� /[�IFtýO��ÿäý!F üC��ý�û����DùäýO�{û��:ý�ÿ���� ûý�ùBý� 0üý���ÿ��©�����{ûý�û�= � ýPü7; ¤��$ ÷ N þ $)/#³:�6; � ;��:ý�üC��ýg�4ú���:ýPþ@��4�����{ûcý�ûxûcú.ÊS PÿBý���ü@�<�{þxüC��ýHU�¤Ë5 !�{ûý�.����yùäýPü_;6$)U�;�¤ U þ $?;B�T5e;6�:ý�üC��ý�4ú���:ýPþH��@�����{ûý�ûoú�ûý�����ýPþcý�ÿ¢� üC��ý�����{ù"��ûcÿBûB���Uaª�5�= � ýPüy�¥�%�:ý�üC��ý�ûcÿ��Pý���¢üC��ý�ûC���Dùäý�ûý�ùäý� 0üý���ÿ��üC��ý½Ùâá üC�y�����{ûý�.Fg��ýPþ�ýy�¥�hF»ÿEùBù��:ýlûýPü�û'�'üC���iü k h�� û � m u �¥�H¤U�O= � ýPüoB@�c��ý����{üý`üC��ýlú���ÿ"�#�S����{ùBù:ûC���Dùäý�ûûý�ùäý� 0üý��;ÿ��éüC��ýck�þ�ûü_Ù������{ûý�û!=�f �4ú�û!�_B ¤¨B h�� û ÿBû6üC��ý� `�#��DùäýPüý2û����Dùäý=C`ú�þg��#�{ùTÿBû�ü'�éûC���:F üC���iüHFqÿäüC�y��þ�������DÿBùBÿBü��S�iü`ùäý��{ûüc/#³�3S�e�{ýPþ`üC��ý� ����Rÿ¢ 0ýj��¢üC��ý'ûC����ùäý���<�{þ�^�¦�^!_�����iþcücÿBücÿ"�#�º� ��MB h/� û FtýH�����{ý � $��j;�ª¡d:=Rf��2üC��ÿEûTý�����Feýg��ý`k���ýB�c���yÿBù�����6mEªsrGX�^`ª�\�m)n�WD���iþcücÿäücÿ��#��û!=����{þ

5!�

Page 12: Testing of clustering, Proc. 41 IEEE FOCS, IEEE (2000), 240-250. Also

ý�� ��M�����{ûý7ÙKüC��ýPþcýqÿEû��Kûcú���P{�<�jÿBù"����Nÿ¢��g�ú�ý��,ücÿ��{ù[���iþcücÿäücÿ��#��û¢üC���iüG `�{þcþcý�û'�4�#���kü'��üC���iü������{ûý=@f ��ý�ûýh�iþcý���iþcücÿBücÿ"�#��û@���û�ú��DûýPücû���©B@��= ¨ ý`ûC���:F�üC���iürF»ÿäüC�V��þC������DÿEùBÿäü��D�iüeùBý��{ûüG/#³�3[�.�<�{þtý!�{ýPþC�V�����{ûý7Ù�����yý!�{ýPþC�ÿ���g�ú�ý���ücÿ¢�{ù����iþcücÿBücÿ"�#�«ª�Ë `�{þ�þcý�û'�4�#����ÿ����Kü'�'üC���iü|�����{ûý��üC��ýlûC���Dùäý`ûý�ùäý� 0üý�� ÿ��ÉüC��ýc��ý`q�ür�����{ûýc `�#��üC�{ÿ¢��û��!ÿ���g�ú�ý��,ücÿ��{ù��4�Rÿ��,ü|�E�{þ ª��=�f ��ÿEûrFqÿBùBù�ÿ���Dù"�jüC���iü ���GüýPþh�iüg��Rûü©;R$)U�;�¤ Us$?;D��5e;r�����{ûý�û!��üC��ý%��ÿ¢�kýPüýPþ��Tý�� ��;ÿ���g�ú�ý��,ücÿ��{ù0���iþcücÿBücÿ"�#�s������y `�#��ûcý��,ú�ý��,ücù"�M��g^�¦�^!_��cÂ.n�_`\�m<\�m)a�ªwaA(j\5Ç.^�Z`n�oHÂ�W�^���ÿBû|�{þ�ý��iüýPþqüC�����de=¨ ýO��ý`k���ý1üC��ý�ÿ���g�ú�ý���ücÿ��{ù ���iþcücÿäücÿ"�#�Dûjÿ��¡��Ëÿ¢����ú� 0ücÿ"�{ý�������ýPþ�=�? ��üC��ý�ÿ���ÿäücÿ��{ù �����{ûý¦$<�����{ûýp��;üC��ýPþcýÉÿBû��;ûcÿ����RùBýjÿ���g�ú�ý���ücÿ��{ùR���iþcücÿäücÿ"�#�O�� ��ûC����ùäý����ûcÿ"�Pý�5p$¾ÿ)= ý="�©�P¬V¤ 5e;>=p¶�ú����4�RûýküC���iü��<�{þ�ý�� >�ÿ���g�ú�ý���ücÿ¢�{ù����iþcücÿäücÿ"�#�­ª�ˤ�$hp u }�b�b�b:}�p û ;6ÿ��������{ûý�Ù o 5���üC��ý�Ùâá üC�;ûC���Dùäýj `�#��üC�{ÿ��Dûg���4�Rÿ��,üB�Gþ��# §�$@ª�j;>������ùäýPülú�ûc��ý����{üýküC��ÿBûh�4�Rÿ��,üh�[�Ð$s$ ª�j;>=y$<? �@üC��ýPþcýyÿEûh��{þcýküC����i�#��ýyûcú� ��i�4�Rÿ��,üoüC��ý��ï$4$ ª�j;oÿEûh��ý`k���ý���{ûlüC��ý��#��ý�������ÿ����éüC��ýyûC��{ùEùäý�ûü`ÿ�����ý`q4=§;Of ��ý���ÿ¢�������{ûý�Ù�FeýyûC���{ùBùR���e�{ýküC��ýVU�ÿ���g�ú�ý���ücÿ¢�{ùÉ���iþcücÿBücÿ"�#��û$hpru�R)S�$s$ ª�D;�T#}�p Å }�b�b�b�}�p û ;>}�b�b�be}e$hpru:}�b�b�b�}�p û �su!}�p û RjS�$4$ ª��;�T2;>=�f ��ÿBû`ÿ����ùBÿäý�ûqüC���iülüC��ýkü'�{üC�{ù��4ú�j��ýPþc��ÿ���g�ú�ý���ücÿ¢�{ù����iþcücÿäücÿ"�#��û�ÿ¢�������{ûýµÙ ÿBûB�iüg��RûcüHU � =¨ ý����eF������Dù��!ø�ù��{ÿ�£1 ü'� ý�� >���#��ý���¢üC��ý�U � �suqÿ¢��g�ú�ý��,ücÿ��{ù4���iþcücÿBücÿ"�#��û»ÿ¢�������{ûý�Ù o 5S$#üC���iüh���e�{ý��ÿ��yýPüýPþ��iü���RûüDd`;>=V?x�K�¥�V¤ � � �su��äæå û � äæå)�Àçih/� û 5ý ��üC��ý��OF»ÿäüC�i��þ�������DÿBùBÿBü����iüKùBý��{ûüV5 o uçih/� û ��üC��ývÙ�á üC�ûC����ùäý!ÿ��À��� 0ücûV `�#�,üC�{ÿ���ûV�T�0�Rÿ¢��üº$s$ ª�j;c� §�$ ª�j;D�<�{þjý!�{ýPþC� ÿ���g�ú�ý���ücÿ¢�{ùr���iþcücÿäücÿ"�#� ª� ÿ��À�����{ûý¥Ù o 5�=¶4ýPüücÿ����

� ¤ h/� û ®� m u �¥�g¤��¯� ;R$)U�; Å þ ù"��rU��N;R$)U�;4ù"��@;R$)U�;�� ¤��¯� U Å ù���rU� þ N þ $)/#³:�6; Å��

�Feý��{ýPüoüC���iügF»ÿBüC����þC�������ÿBùBÿäüx�S�iüqùBý��{ûüh/#³�3[��üC��ý`Ù�á üC�;û����Dùäý� `�#�,üC�{ÿ���ûH���4�Rÿ��,ü½$s$ ª�j;��ï§M$ ª�D;|�<�{þ»ý!�{ýPþC������{ûcýµÙV����!ý!�{ýPþC� ÿ���g�ú�ý��,ücÿ��{ù0���iþcücÿBücÿ"�#�°ª�Ë�#þC�#£�����{ûcýµÙ o 5�=Áoûcûcú�yý üC��ý����4�e�{ý ý!�{ý��,üjÿ��w��� 0ü����Rù���ûD���� û'��ÿ��w���iþcücÿ� PúDù��iþ�üC��ýéÿ¢��g�ú�ý��,ücÿ��{ù����iþcücÿäücÿ"�#��û��iþcý�Feý�ùBù��ý`k���ý��s= ¨ ý����eFêû����eFêüC���iüyüC��ÿBûjÿ���DùBÿBý�û�üC���iüS���#üýPþS�iüS��Rûü1;6$)U�;D�����{ûý�û!�eüC��ý��Dÿ��kýPüýPþ���`ý!�{ýPþC����iþcücÿBücÿ"�#����TüC��ý2ûC���DùBý%�ú�ûcüB��ýc�{þ�ý��iüýPþ»üC�����d:=

øG�#�Dûcÿ���ýPþ ��z�����iþcücÿäücÿ"�#�y� ¤Ë$OB�uh/� û }�b�b�b�}�B ûh/� û ;|���B h/� û ������!ùäýPü½� � ¤Ë$OBju� }�b�b�be}�B û� ;G�:ý2ÿäücûc_C^]Z`\�_>m)&�¬\�m)a�ª ü'�0B@�#=ifg���iü�ÿEû!�KB l� ¤YB lh�� û �± B��= ¨ ý� Pù��{ÿ� üC���iü�üC��ýPþcý��ú�ûcü�ý`q�ÿBûü���ûý��,ú�ý��� 0ýS��oÿ���g�ú�ý���ücÿ��{ù���iþcücÿBücÿ"�#��û�ª� u }�b�b�be}&ª� h/� û �.Fg��ýPþcý�ª���h¤Ë$hp u� }�b�b�be}�p û� ;>��û'��üC���iü6üC��ýh�E�RùBù��eF»ÿ����j���Rù��Dû!=6���{þ�ý!�{ýPþC�¥ÌC�Sp l� qcB l� �����p�<�{þoû'�#yý�Ì�� p l� ¤Ip l� �su RxS�$s$@ª�@� �su ;�T#=%f �DÿBû �<�RùBù"�:F»û`ÿ��ký���ÿ¢�iüý�ù"���z�1ÿ¢����ú� 0ücÿ"�#���#�yÙ��Hfg��ý����{ûcýD��üC��ý'ÿ�����ú� 0ücÿ"�#�s�-ÙV¤ �ÉÿBûH Pùäý��iþ�= ¨ ý��{ûcû�ú�ký�ÿBüqÿBûqüþ�ú�ýj�E�{þ½Ù o 5��s�������þC�:�{ý�ÿäüH�E�{þ½Ù�= � ýPü�5��£ÌB��Uy�:ýûcú� >�yüC���iü7$4$ ª� � �su ;��)B l� =@f ��ý���FeýqùäýPü ª� � ¤Ë$hpru� �su }�b�b�be}�p l� �su R7S�$s$ ª� � �su ;�T#}�b�b�b:}�p û ;>�zFg��ÿ� >���z����ý`k0��ÿäücÿ"�#���TüC��ý2ÿ���g�ú�ý���ücÿ¢�{ù����iþcücÿäücÿ"�#��û�ÿEûB�yÿ���g�ú�ý���ücÿ��{ù0���iþ�ücÿäücÿ"�#�s=� ýPü6úDû�k�q üC��ýI���4�e�{ý2ûý��4ú�ý��� 0ýI��sÿ¢��g�ú�ý��,ücÿ��{ù����iþcücÿäücÿ"�#�Dû!=@¶�ÿ��� 0ýoüC��ýPþcýc�iþcýK;6$)U�;�¤ U þ $?;���5e;������{ûý�û!�üC��ýPþcýB�ú�ûü@�:ý6û'�#ký%5I� Ìr�¡U�ûcú� ��'üC���iüxÿ����iüxùäý��{ûü²;r��5G�����{ûý�û Ù u }�b�b�b:}ÊÙ h � u �<p l�´³ ¤Úp l�´³ �su R1S�$s$Wª�@�O³ �su ;�T$#üC��ýjkDþ�ûüoûcú� >�������{ûý�F»ÿEùBùÉ !�{ú�ûý�p l� Ñ ü'�M�:ýj���#�.PÆý����ü���;>=`ã6ú�üh�[���Rú�þh����{ù"�4û�ÿBû ��xüC��ý�U�¤ 5D !�{ûý�:üC��ÿBû

ÿ����ùBÿäý�û6üC���iüIN�$hp lh�� û ;½ª de=I¶�ÿ��� 0ý�p lh/� û qµB lh/� û ��FeýD�����{ý�üC���iühN0$OB lh/� û ;½ª d:�4�����û'� � $��j;µª de=I¶�ÿ��� 0ýüC��ý����4�:�{ý����Rù���û|�<�{þ�ý!�{ýPþC�����iþ�ücÿäücÿ"�#�y���� B ¤µB h/� û ��üC��ý2üC��ý!�{þ�ý�£�E�RùEù"�eF»û�=���$¶ ·1¸� ¹�¸O��º4�_�¼»)½ ½��f¾À¿�¸Á4�²ÂÃ���iÄÅ��¾©¾©¹kÆÇ�È���ÂÃ�Q��¸O��º¶�ÿ�jÿBù��iþ�ù"��ü'�OFg���iüDF|�{ûyûC���eFg� ÿ��7üC��ý��Dþcý!�4ÿ��Rú�û'ûý� 0ücÿ"�#�s�eÿ"� J ÿEûy$)U0}�d`;�P� PùEú�ûüýPþ����DùBý�@üC��ý�� üC��ý üý�ûcücÿ�����{ù"��{þ�ÿBüC�� !��T�:ýyú�ûcý���ü'��k����O�� ÿ���DùEÿ� Pÿäü»þ�ý!��þcý�ûý��,üC�iücÿ"�#�T��B��T������þC��q�ÿ���iüý�ù�����[�[�©$)U0}e$A5g�¡�6;Ad!;�P PùBú�ûcüýPþ�ÿ�������6Jb= B ýPþcýlüC��ý���þC�. 0ý�ûcû�ÿBû�ûcùEÿ"�#��ücù��S��{þcýj `�#��Dùäý`q4=6»ý� !�{ùBùNüC���iüH�E�{þH�jûýPüµ����@�4�Rÿ���ücû»ÿ��Ð8 � ��J0$ �I;B��ý����{üý�û�üC��ý�ÿ��,üýPþ�ûý� 0ücÿ"�#����R�{ùEùÉNP���ÿ¢ký���ûcÿ"�#���{ù4���{ùBùBû� ~ ������ÿ����kþ���DÿBú�û dqüC���iüg�iþcýj 0ý���üýPþcý����iü �4�Rÿ��,ücû��a�c��=

55

Page 13: Testing of clustering, Proc. 41 IEEE FOCS, IEEE (2000), 240-250. Also

D »FEe012E¾=25HR0A¢ Å�^!\ � � ¤Ë$hp u }�b�b�b:}�p û ;c~�^jnhÂ.n�_`\�m�\�m�a�ªTaA(%nDZ]X�~]Z!^�\3p q�JÀ* Þ Â�a�mEª�\ �Ð��J´mEZ ÉfÊËÊFÌaÒ@m�\5Ç_C^]Z{Â�^C&�\H\{a¥� � m (�\5Ç.^`_C^�^]�mEZ]\<Z�n�ª�mEª0l�^]��5�� ÌH� U�Z]X�&�Çp\5Ç.n\_� �0J0$hp l ;�n�ª�lS��ÿBûü�$5��}�$�;c�Ã$A5 �¦�6;Adh(!a�_^�¦^`_'��$c�PJ�$hp l ;`*7�B\5Ç.^!_�Ò@mEZ!^�Ø��¦mEZ�Í�¬3ÌaÒ@m�\5Çy_C^]Z{Â�^C&�\|\{a�� � *Þ Â.n�_`\�m<\�m)a�ªï� � mEZo,tP{�����(!a�_�n�«m5¦�^!ªy���c,���5ÏØ|m (D\5Ç.^�ª�X.o�~>^`_�aA(�~Cn#ljÂ�a�mEª�\<Z\Ò@m�\5Ç�_C^]Z�Â�^C&e\g\{aº� �mEZH«_C^Cn\�^!_j\5Ç[n�ª�,�L�*7�B\5Ç.^`_'Ò@mEZ!^'Ø1� � mEZ�,ÉP{��[�[��*

Ch�DûcýPþC�{ý üC���iüD�Rÿ��{ý�����ûcú��DûýPü�pîq£J ������p���iþ�ücÿäücÿ"�#� � � ���p�üC���iükÿBû��AP{��[�.�s�A� � !��À�:ýéú�ûý�� ü'�ÿ����Dú� 0ýH��y�'P{��z�.�O$)U0}e$A5@�O�6;Ad!;G PùBú�ûüýPþ.ÿ��������Jb=�ÁoùBû'�����{üý`üC���iü|�[� � ý�V���3�ÿ��É�j�4�Rÿ��,ü#�!ÿBûG����MF»ÿäüC�þcý�û'�:ý� 0ü�ü'�V�����iþcücÿäücÿ"�#�y� � ��üC��ý��y���ú�ûü �:ýlÿ���g�ú�ý���ücÿ¢�{ù�FqÿäüC�éþcý�û'�:ý� 0ü�ü'�¥� � =Á�½5QSH�¹/2E¾=.1Â΢ $�Ág���DþC��q�ÿ���iüý�ù"�M��[�[�y PùEú�ûüýPþ�ÿ������.�Dÿ��kýPüýPþg `�Rûü>;Ä *%­@nWEW Þ W «za�_>m�\5Ç�o Ñ Ò@m<\5Ç�nVZ`n�oHÂ�W�^�aA(%Z>mnÕe^y� ¤ Í�ú ��Ï O ü � û�Ðý þ�ÿ Å� � � ù"�� ÿ ��� ûý � � � � *Ë *�Å�^!\��Ç~>^�\5Ç.^�U�¬�Ò�n���Â�n�_]\�m�\�m)a�ªÀa'(D\5Ç.^�Z`n�oHÂ�W�^S\5Ç[n\BmEZ�(!a�X.ª�l�~�� Þ W «za�_>m�\5Ç�o Ñ Æ�m (jZ>X�&�ÇpnjÂ.n�_`\�m�\�m�a�ªmEZ�(!a�X.ª�l'É�*Ñ *xÑtm{^�Ò \5Ç.^jZ!n�oHÂ�W"^Sn2Z�~�^`m<ªz«SZ�^`W�^C&�\�^�l�m<ª7;6$)U�;|¤¨��$)U þ ÷ N þ $)/#³:�6; � ;BÂSÇ[n2Z�^]Z�Ø�ÒeÇ�^`_C^CB@��lz^`ª�a\�^`Z�\5Ç�^X.ª�m)a�ªSa'(|n�W<WzZ`n�oHÂ�W�^]ZGZ!^!W"^�&�\�^ClcmEªV\5Ç�^�È�_>Z]\UÙIÂSÇ[n2Z�^]Z�Ø�nª�lj¥ÒB��¥#¤�� ÿ � ý þ ÿ N þ U Å þ ù��� ��� û � ��� h/� û ý �â� *7Å�^!\�@��~>^|\5Ç.^|_C^]Z`\�_>m)&�\�m)a�ª�aA(3�Ë\{aoB�#* ¯ Ç.n\smEZ�Ø4m (1��¤Ë$OB u }�b�b�b:}�B û ;�ØÉ\5Ç.^`ª��@�h¤�$OB u ± B@��}�b�b�b:}�B û ± B@�e;`*Ü * ¯ n3Ó#^jnªin#l�l�m<\�m)a�ª�nWÉZ`nogÂ0W"^�aA(IZ]mÖÕ:^y��$¾ù"��0$?;6$)U�;';'³��];�Ø|n�ª0lS&>a�X.ª�\�\5Ç.^�ª�X.oV~�^!_�aA(j~Cn�lcÂ�a�mEª�\<Z%mEªp\5Ç�m¢Zn�l#l�m�\�m�a�ª0n�WtZ!n�oHÂ�W�^�Ò@m<\5Çy_C^]Z�Â�^C&e\|\{a�^�n#&�Ç�Â�n�_]\�m�\�m)a�ªÐ�@��* ÅÔ * ¤ ^`W�^C&�\6\5Ç.^h_C^]Z`\�_>m)&�\�m)a�ª���ÕD\5Ç.n\3Ç[n2ZH\5Ç.^gZ]o�n�WEW�^]Z`\6ª�X.o�~>^`_IaA(h~Cn�lgÂ.a�m<ª�\<Zgm<ª�\5Ç�^gZ`n�oHÂ�W�^cn�ª�lDX[Z�^Hm<\�\{am<ª�l�X�&]^%\5Ç.^GÂ.n�_`\�m<\�m)a�ªOaA(|J�* ¯ Ç[n\�m¢Z�ØRm (�� Õ ¤Ë$OB uÕ }�b�b�be}�B ûÕ ;�Ø�\5Ç.^!ª%(`a_%^�¦�^!_����Ð��J Ø@m (I\5Ç.^!_'^D^]�#m¢Z`\<Znªbm<ª�l�^]��Ì%Z]X�&�Ç�\5Ç[n\_� �9J0$OB lÕ ;�n�ª0l���ÿBûcü!$5��}�$�;I��$A5|���6;AdH(`a_�^�¦�^!_��\$ �jJ�$OB lÕ ;�ØB\5Ç�^`ªwn2Z>Z>m"«ªa�\{a�&�W§X[Z]\�^!_½Ì>*

�H�{ücÿ� 0ý6üC���iüTüC��ý|���0�:�{ý �{ù"��{þ�ÿäüC��� !�{ùBùEû�Áoù"��{þ�ÿäüC�� 3HF»ÿäüC�D�oûC���Dùäýr���ûcÿ��PýeûcùEÿ"�#��ücù��`ù¢�iþC�{ýPþTüC����DFg���iüF|�{ûg��ýPý���ý��1ÿ��éüC��ýc��þC�[��6��Rfg��ý!�{þcý�K3[= ¨ ý�ûC���{ùBù:þcýPücú�þ��éü'�yüC��ÿBû»ÿBûcûcú�ýc�iü�üC��ýlý�������TüC��ÿBû�ûcú��Dûý� 0ücÿ"�#�s=+ .t»<H�¹2»<Â�¢ÖX m<\5ÇDÂ�_'a�~Cnz~`m<W§m�\���n#\rW�^Cn�Z]\R/#³�3-ØG\5Ç.^�Z�^`W�^C&�\�^�l�Â.n�_`\�m<\�m)a�ªÐ� Õ m¢Zg��¬)«�aea�l#*D »FEe012E¾=25HR0U× Å�^!\1p¤q�J ~�^Dn�Z�^!\GaA(GÂ.a�m<ª�\<Z`* Þ Â.n�_`\�m<\�m)a�ªx� � ¤Ë$hp u }�b�b�b:}�p û ;�aA(�p m¢Z%&�n�W<W�^Cl�nD­�Ê�[sØ2®`Ù3Ú¯2¬±�°�Z °�Z Ê�[�m (�\5Ç�^�&�a�ª�¦^]��Ç�X.W<WëZja'(�\5Ç.^�l�m Ûh^`_C^`ª�\ep lÃÜ Zjn�_'^�lm¢Z5Ý`a�m<ª�\{*ðG»<  Dj× ¯ Ç.^`_C^%^]�#m¢Z`\<ZHn�&�a�ª�Z`\{n�ª�\�Ý%Z>X�&�Ç�\5Ç[n\[(!a�_Hn�ªS�7È3�[^CljZ�^!\p7Ø�Ò@m�\5ÇIÂ�_Aaz~Cn�~!mEWYm<\���n\�W�^Cn2Z`\65 o uÞ h/� û ØnIZ!n�oHÂ�W�^IaA(GZ>mnÕe^_�I¤ ��� û ü � äæåÏ�}ßuà � à � äæå=� Þ h/� û ¢ý &�a�ª�\{nmEª�ZHn#\sW"^�n2Z]\6a�ª0^h~Cn#lBÂ.a�m<ª�\3Ò@m<\5ÇD_'^`Z{Â�^�&�\6\{aj^�n#&�Ç�$)�>³�/#;�¬C~Cn#l&�aª�¦�^���Â.n�_`\�m<\�m)a�ªwaA(�pB*: ¹ÏHHSß�à � ýPüyá���ýc��z��k�q�ý��T$)�>³�/#;�P{����y `�#���{ý`q����iþ�ücÿäücÿ"�#�M���p|=�f ��ýI��þC�������ÿBùBÿäüx�küC���iü �'ûC���DùäýI���ûcÿ"�Pý�j�{û�ûüC�iüý��1ÿ¢�éüC��ý2ùäý��������,ý�û ���{ü `�#��üC�{ÿ�����������4�Rÿ��,üGFqÿäüC�éþcý�û'�:ý� 0ü�ü'� á ÿBûB�iüg��RûüD$A5 o $)�>³�/#;';�§HÎý`q.��$ o $)�>³�/#;L��;B¤ u�}ß�à � à P�â ü � Þ h/� û =g?aüoþcý���{ÿ���û»ü'�S�{ýPþ.ÿ"�E� üC���iüqüC��ý��4ú���:ýPþH��� `�#���{ý`qp���iþcücÿäücÿ��#��û ��#p�ÿBûH�iü��Rûü�$.Ý#¥æp ¥-; � û`ü �<�{þ�û'�#ký% `�#��ûcüC���ü�Ý2=�Qr� ��y `�#�z�{ý`q����iþcücÿäücÿ"�#�M��_p� !����:ýc��ý`k���ý��M�[�S�kûý�ùäý� 0ücÿ��#���� � û Å`��z�z�:ýPþC�Dù¢���ý�ûg���#��� üC��ý�Í�$C¥æp ¥ �`� u`; �z�[��ýPþ��Dù����ý�û�üC���iüoûý!���iþ��iüý�¥æp ¥��4�Rÿ��,ücû»ÿ¢��N���ÿ¢ký���ûcÿ"�#�Dû!������;üC��ý��kýPþC�Rÿ¢��� ûcú��DûýPücûh����4�Rÿ��,ücû�üC���iüI���{ùBùsÿ¢��ü'�ÉüC��ý�þcý�ûcú�ùäücÿ¢���yþcý!�Rÿ"�#�Dûqÿ��,ü'��U� PùBúDûüýPþ�û!=If ��ý�ü'�{üC�{ù@�,ú�j�:ýPþH�� `�#�z�{ý`qy���iþcücÿäücÿ"�#�Dû�ÿBûB��ý��� 0ýDÍV$C¥æp ¥-; � û ü =ü�ã Ó:ÔAé�áeßÝâ:ìGãÉÓ2Ô Ø{Ó:Ô Ö�àGÙÚ]ßÝâ!ØÉßÝ×ÉÛ�à]ïgãÉßÝØ{ÓHÖ{ÔA×)ÙÔAé ØÉØ{ÚBàGì>ßÝî`ÔAâhÙ2à�Ö)Ø{ß-Ø{ßÝÚ]âIéAà>âIÛÔ�ïeÚ]â2Ô6ÛsägÜÝßÝâ2Ô'àCÖtÙ:Ö{Ú]ì�Ö�à>ÞBÞBßÝâ2ìeù

5�/

Page 14: Testing of clustering, Proc. 41 IEEE FOCS, IEEE (2000), 240-250. Also

ðG»<  D�åæX m<\5ÇDÂ�_'a�~�n�~`m<W§m�\��yn\rW"^�n2Z]\@8#³�,-Ørm ("Òr^�Z!^!W"^�&�\|nVZ`n�oHÂ�W�^�aA(cZ]mÖÕ:^� ¤��¯� N Ïü þ Uzç� þ ú /� �

�ù"�� ú N þ U� þ �

� �\5Ç.^!ª�(!a�_�^�¦�^!_��HÂSÇ.n2Z!^#Ùpn�ª�lg(`a�_�^�¦�^`_'��&�a�ªS¦�^]�cÂ.n�_`\�m�\�m�a�ªNáKaA(oB@��\5Ç.n\�mEZI$)�]³�/#;�¬'~�n#lÏØr\5Ç.^cZ`nogÂ0W"^%Z!^!W"^�&�\�^�lm<ªVÂRÇ[n2Z!^�ÙI��5�&�a�ª�\{n�mEª�ZDn\rW"^�n2Z]\Ba�ª0^�~�n#l�Â.a�m<ª�\#Ò@m�\5Ç�_C^]Z�Â�^C&e\|\{awá�*: ¹ÏHHSß�à � ýPü©�¥�G��ýtüC��ý�ûcÿ"�PýG��DüC��ý%$�����Dÿäücÿ"�#���{ùE;NûC���DùBýtûý�ùäý� 0üý��kÿ¢�j�����{ûý�Ù��Rû'�`üC���iüg¥ÒB@�[¥#¤�¥ÒB� �su ¥��p�¥�������Fg��ýPþcýV¥ÒB ¬ ¥#¤�5�=�? �tFeýc�����Dù"� � ý��V��8DFqÿäüC�xpT¤¨B@� �su ����Ç�¥�H¤Ú����üC��ý�� ÿäü�ÿBû|���{ü ���iþ>� ü'�V�{ýPþ�ÿ"�<�üC���iü ¥ÒB � ¥[� /�Ù� þ �[N þ U Å þ ù��� Ý þ N þ U Å þ Ù þ $),`;R$)U�;';�

� b¶�ÿ��� 0ý-;6$)U�;|¤¼��$)U þ ÷ N þ $)/#³:�6; � ;>��FeýD�����{ý�üC���iü�¥ÒB h/� û ¥.¤�Í ÿ uý þ N�ç]� Å þ Uzç þ $)/#³:�6; � þ ù"�� ��� ûý � � � b B ý��� 0ý�:ÿ��FeýyüC���{ýV�!ûC���Dùäý���eû�ÿ"�Pýp� ¤�¥ÒB h�� û ¥�üC��ý���üC��ý���þC�������ÿBùBÿäüx�!üC���iüc�<�{þKû'�#kýy5M� Ùp�4;6$)U�;>������vû'�#ký$)�>³�/#;�P{����p `�#�z�{ý`q����iþ�ücÿäücÿ"�#����KB@�#�DüC��ý�$ÖÙh� 5e;�P�ûC���DùBýj���4ý�û%ª�a#\ `�#��üC�{ÿ¢��������y�4�Rÿ��,ü F»ÿäüC� þ�ý�û'�:ý� 0ü�ü'�üC��ý%���iþcücÿäücÿ"�#�s��ÿBûB�iüH��Rûüm;6$)U�; þ uÞ � h/� û ¤ uÞ =úsH�¹=H0½<½5D�¹=íUè:X m<\5ÇbÂ�_'a�~Cn�~!mEWYm�\���n\VW"^�n2Z]\D8#³�,-Øy\5Ç.^`_C^À^]�mEZ]\<ZTn�ª mEª0l�^]�©5��êéÃ�:;6$)U�;pZ]X�&�Ç©\5Ç.n\S\5Ç�^_C^]Z]\�_]m)&�\�m)a�ªx��ë�mEZ�$)�>³�/#;�¬)«�a�ael#*: ¹ÏHHSß�à Áoù"��{þ�ÿBüC���3|k0����ûÉ������ücÿ���{ù����iþcücÿäücÿ"�#�v�����üC��ýeûC���Dùäý@�[�lý��4ú�kýPþ��iücÿ����g�{ùBù# `�#�z�{ý`q����iþcücÿBücÿ"�#��û��TüC��ýKûC���Dùäý=r¶�ÿ��� 0ýlüC��ý%���iþcücÿBücÿ"�#�y� üC���iüHÁqù"��{þ.ÿäüC���3�k0����û6ÿBû `�#�z�{ý`q0�:û'�jÿEû6ý�� �����TÿBücû�þcý�ûüþ�ÿ¢ 0ücÿ"�#��û�@�=ãG� � ý�����,[�sF»ÿBüC���DþC������DÿBùEÿäü��y�iü2ùäý��{ûcüc8#³�,[�süC��ýkûC���DùBý�ûý�ùBý� 0üý���ÿ���ý�� ��O�����{ûý� `�#��üC�{ÿ¢��ûc�������4�Rÿ��,üGFqÿäüC�éþcý�û'�:ý� 0ü�ü'�yý!�{ýPþC�b$)�]³�/#;�P{����� `�#�z�{ý`qy���iþcücÿBücÿ"�#����süC��ýKûC���DùBý`ûcý�ùäý� 0üý��1û'�����iþ�=G¶�ú����4�RûýoüC���iü

üC��ÿBû�ÿ¢�S��� 0üg��������ý��Dû!=@f ��ý��éüC��ýPþcýlý`q�ÿBûücûg�������{ûý�5c�IéS��;6$)U�;>��ûcú� ��!üC���iü�üC��ýlþcý�ûüþ.ÿ� 0ücÿ"�#�y�MëKÿBû%$)�]³�/#;�P��[�[�s=�CoüC��ýPþCFqÿBûý��ûcÿ��� 0ýlý!�{ýPþC��������4�Rÿ��,ü�ÿBû ��1ÿ¢��g�ú�ý��,ücÿ��{ù0�#��ý��üC��ý��;ûcÿ�yÿEù��iþ�ù"�kü'�SFg���iüBF|�{ûH�iþC�Rú�ý��!ÿ��üC��ý%�DþC�z�����@f ��ý!�{þcý�K3[�DüC��ýc���iþcücÿäücÿ��#�y�� `�Rú�ù������{üg�����{ýj��ÿ��kýPüýPþg�iüh��Rûügd:=: ¹ÏHHSß�HRß + .�»<H�¹2»<Âì¢�à � ýPü"�Më��:ýD��¦$)�>³�/#;�P{��[�.�O���iþcücÿäücÿ��#���Rú��iþ>���üýPý��iF»ÿBüC����þ�������DÿBùBÿBü����iülùäý��{ûü8#³�,V�z�1øG�{þC�RùEù��iþC�x*z= f ��ý��s��üC��ý%��þC�������ÿBùBÿäüx�jüC���iüqüC��ý����iþ�ücÿäücÿ"�#�x� Õ ûý�ùBý� 0üý����[��Áqù"��{þ.ÿäüC���1 ÿBûH�'P{��z�.�ÿBû�ù��eFeýPþg�4�Rú�����ý����[�éüC��ý%��þ�������DÿBùBÿBü��yüC���iü»üC��ý��<�RùBù"�:F»ÿ����'ü�FG�jý!�{ý��,ücûH�0�{üC���[ ! Pú�þ��H$A5e;B���{þqý!�{ýPþC�y�'P{�������iþcücÿBücÿ"�#� �@��TüC��ýS�Gþ�� 0ücÿ��#�b��B����w�4�Rÿ��,ücûKÿ���üC��ýÉûC���DùäýjÿBû��{þcý��iüýPþküC���� ç ý�Kí $)/#;%���{þ'üC��ýi$)�>³�/#;�P{��[�[����iþcücÿBücÿ"�#�a� ë �:üC��ýD�#þ�� 0ücÿ"�#�p�������p�4�Rÿ��,ücûqÿ��1üC��ýkûC���DùBý�ÿBûh�iüc��Rûü ç ý� =Kø6ùBý��iþ�ù"��:ÿ"�@�4�{üC�;ý!�{ý��,ücûI�. ! Pú�þüC����7üC��ýéûý�ùäý� 0üý������iþcücÿBücÿ"�#�w !������{ü���ý��AP{����É=�?A�b�{þ>��ýPþ'ü'��ù"�:FtýPþ��4�Rú�����üC��ý���þC�������ÿBùBÿäüx�;üC���iü��4�{üC�üC��ý�ûý ý!�{ý���ücûj�. ! Pú�þ��6FtýÉú����:ýPþc�4�Rú�����üC��ýV��þC������DÿEùBÿäü��;üC���iüKý�ÿBüC��ýPþ��#��ýV���üC��ý� ���4ý�û����{ü%�[ ! Pú�þ�=yãr������Dù��4ÿ����V�S�ú�ùäücÿ��DùBÿ� !�iücÿ"�{ý'ø|��ýPþ����/¿T�4�Rú����s�������ú�ûcÿ¢���yüC��ýD�<� 0ü`üC���iüoüC��ý��,ú���:ýPþh��r�AP{��������iþcücÿBücÿ"�#��ûÿBû�ùäý�û�û6üC����C;6$)U�;>��Feýc�{ýPü�üC���iü �kûC���DùäýI���û�ÿ"�Pý���$¾ù"���$?;R$)U�;';'³��>;6ý��Dûcú�þcý�û6üC���iü�üC��ýc��þC������DÿEùBÿäü��küC���iü �#��ý��TüC��ý�����4ý�û ���{üg�[ ! Pú�þqÿBûB�iüg��Rûüj5e³�,[=Áh����ÿ�����üC��ý2ü�FG� û'�Rú�þ� 0ý�û ��6�<�{ÿEùBú�þcý��üC���iüoÿBû!��üC��ý%�DþC������DÿBùEÿäü��yüC���iü�üC��ýPþcýKÿEûB����$)�>³�/#;�P{��[�.�����iþ�ücÿäücÿ"�#�� ë ������!üC��ýj��þC������DÿEùBÿäü�� üC���iü»üC��ý�ûý�ùäý� 0üý������iþcücÿBücÿ"�#�x� � ÿEûg�AP{�����$<�Rÿ"�{ý��;üC���iüh���$)�>³�/#;�P{��[�[�p���iþ�ücÿäücÿ"�#��Më2ý`q�ÿBûücû>;>��Feý%�{ýPüg�yü'�{üC�{ùÉ��B5e³�3����{ÿBùBú�þcýI��þ�������DÿBùBÿBü��=

ÁoûI���{üý��p��þcý!��ÿ"�Rú�ûcù"���üC��ý'ûcÿ"�Pý���@üC��ý�û����Dùäý�ú�ûý��p��ýPþcý'ÿBûqù¢�iþC�{ýPþqüC����;üC���iüoú�ûcý��;ÿ��pÁoù"��{þ�ÿäüC���3[=f ��ýéþcý��{ûC�#� ÿBû'üC���iüyÿ��7üC��ý�����{ù"��ûcÿBûD��IÁqù���{þ�ÿäüC�� 3[��Feý!ú�ûý�� ÿ¢��g�ú�ý��,ücÿ��{ù����iþcücÿäücÿ"�#��û���Fg��ÿBùBýS��ýPþcý�Feýú�ûý� `�#�z�{ý`q¦���iþcücÿäücÿ"�#�Dû!�@Fg���Rûý��4ú�j��ýPþkÿBû'ù��iþ��{ýPþ�= ¨ ý� `�RúDù��À���{ükûýPýy���eF ü'��úDûýéüC��ý��E�{þ>kýPþyÿ��w�Rú�þ$� `�#��ûüþ.ú� 0ücÿ"�{ý:;B�iþ��Rú�ký��,ü ��ýPþcý=

5�3

Page 15: Testing of clustering, Proc. 41 IEEE FOCS, IEEE (2000), 240-250. Also

���î� »�ï�¾�ðÇ�Q��ñǾ@È ��¹Åò�¾W�)�y�À�]Âf¸O��ºAó9¸ô��Á4��ÂÃ�Q��Æ �OÈ���ÂÃ�Q��¸O��º+ .t»<H�¹2»<Â!רH a�_�n�ª����êª �<Ø�n�ª��On�W-«�a�_]m<\5ÇzoÈ\5Ç[n\�l�^�\�^`_]o�mEª0^`Z�Ò@m�\5ÇTZ>X�&>&>^]Z>ZcÂ�_'a�~Cnz~`m<W§m�\��wn\hW�^Cn2Z`\g/#³�3ÒeÇ.^�\5Ç.^`_jJ mEZV$A5�}�d!;�¬A&�W§X[Z]\�^!_Anz~`W�^ya�_ uÅ ¬Y(!n�_B(>_'a�oÈ~�^!mEªz«p$A5�}e$A5H���6;Ad!;�¬'&!WYXzZ`\�^`_'n�~`W�^%Ò@m�\5ÇO_'^`Z{Â�^�&�\I\{ap\5Ç.^Ml�m ¬n�oV^!\�^!_D&>a2Z]\5Ø�o�X[Z]\�Z`nogÂ0W"^cÏ ú ÿ u� � � � �su�¢��� � Â.amEª�\<Zr(>_'a�o J�*?A���{þ���ýPþ�ü'�V��þC�e�{ýKüC��ýlüC��ý!�{þcý�KFtýKû����{ùBùs��ýPý�� üC��ýc�E�RùBù��eF»ÿ����'ùBý����.=ðG»<  D�õµH a�_�n�ªS�Vl�mEoV^!ª�Z>m)a�ª�NâØ�¦2n�WYX�^�w\�a8 � n�ª�l ù ª¡�<Ø�m<\RmEZ�Â�a2Z�Z]m)~!W"^j\{aV&�Ç[a�a2Z�^hÏ ú ÷ N þ ÿ u¦ � � �su �n�ª�\�mëÂ.a�l�n�WRÂ.n�m<_>Z�aA(%Â.a�m<ª�\<Zya�ª�\5Ç.^�Z>X._E(!n#&]^�aA(�\5Ç.^y$�N o 5e;�¬AlmEoV^`ª�Z>m)a�ª�n�W|Z�ÂSÇ.^`_C^ya'(S_'n#l�m<X[Z�w<Ø�ÒeÇ.^`_C^y\5Ç�^l�mEZ]\{n�ª0&>^�~>^!\�Òr^�^!ªTn�ª��S\�Ò�a�Â�a�mEª�\<Z�m¢Z%W"n�_)«z^!_�\5Ç[n�ª ù þ w�*: ¹ÏHHSß�à ¨ ý� >���z�RûcýküC��ý����{ÿäþ�ûh�#��ý��[���#��ýkÿ���üC��ý��<�RùBù"�eFqÿ����VF|���=yø|���[�Rûý��M���{ÿäþI��r��,ücÿ"�4�.���{ùt�4�Rÿ��,ücûüC���iüI�iþcý�����DÿBûüC��� 0ýj�{þcý��iüýPþlüC���� ù þ w��#þC�#K�{ùBùt�4�Rÿ���ücûH ����Rûcý���ûC�V���iþ�=oøG�#�,ücÿ��4ú�ýKü'�� ����[�Rûý����ücÿ��0�.���{ù���{ÿäþ.û�ÿ��éüC��ÿBû|F|���y�{û�ù��#�����{û �4�Rûcûcÿ��Dùäý=¨ ýc Pù��{ÿ� üC���iüeüC��ý�$�N o 5e;�P���ÿ�ký���û�ÿ"�#���{ù� !����ûr��*þ>���ÿBú�û ù þ w� 0ý��,üýPþcý����iütüC��ýH�4�Rÿ��,ücû�Feýh >���Rûý�� `�e�{ýPþüC��ýKû�ú�þC��� 0ý%��TüC��ýS$�N o 5e;�P���ÿ�ký��Dûcÿ"�#���{ù*û'����ýPþcýc��Tþ����ÿBúDû�w[=�CoüC��ýPþCF»ÿEûý��ÿ"��üC��ýPþcý2ý`q�ÿBûücûH���4�Rÿ���ü6üC���iüoÿBû���{ü `�:�{ýPþcý��s�DüC��ý�� ÿäü �úDûü �{ùBû'���:ý`üC��ý� !�{ûýlüC���iüqÿäücûB���ücÿ��0�.���{ù0�4�Rÿ��,ü6ÿEûB���{ü `�e�{ýPþcý��É������éüC�4ú�û|Feý� !������y��������ÿäücÿ"�#���{ù����{ÿäþB��@���ücÿ"�4�.���{ù4�4�Rÿ��,ücû!=� ýPüwö��:ýÉüC��ýy����Rú�ù¢�iþ��Dÿ��kýPüýPþ���H�i !������qþ����ÿBúDû ù þ w.������ ùäýPüpö ¬ ¤÷=t³�/ o öz³�/[=wfg��ý��s� ù ¤÷ / o /Tû�ÿ��<ö ¬ = B ý��� 0ý��üC��ý�þ��iücÿ��S�:ýPü�FeýPý���üC��ý'ûcú�þC��� 0ýj�iþcý��M����i$�N o 5e;�P���ÿ¢ký���ûcÿ"�#���{ù�û'����ýPþcý���xþ>���ÿBú�ûw����� üC��ý2û�ú�þC��� 0ý%�iþcý�����R�� !������Tûcú� >�y�yû'����ýPþcýc���þ����ÿBú�û ù þ wkÿBû!�ø²ù � Å� ù � Å `�Rû � � Å �6NU�ø ù � Åú´û `�Rû � � Å �6NU�f ��ý%�,ú�yýPþ��iü'�{þ»ÿBûy��$A5e³ ÷ N[;B����éüC��ý���ý����#yÿ����iü'�{þ�ÿBû�ý��,ú��{ùNü'�

ü ù � Åú´û `�Rû � � Å �RN?� ¤ ü ù � ÅúOû $A5 o ûcÿ�� Å �C; P]M Ðü `�Rûâ�RN?�� ü ù � ÅúOû $)/�$A5 o ûcÿ����C;'; P]M Ðü `�Rû��RN?�¤ o 5/ þ /N o 5 þ $)/�$A5 o ûcÿ¢���';'; P�MzÑü5ýýýý

ù � ÅúOû¤ 5N o 5 þ $)/�$A5 o ûcÿ��-ö3¬�;'; P]M[Ñü¤ ù � �suN o 5B ý��� 0ý2üC��ý��4ú�j�:ýPþB����4�Rÿ��,ücûBFeý% !��� ����z�Rûý�ÿBûgÏ ú ÷ N þ0ÿ u¦ � � �su � b: ¹ÏHHSßsHSß + .t»<H�¹2»z ×@à øG�#��û�ÿ���ýPþ»üC��ý�N#P���ÿ�ký��Dûcÿ"�#���{ù����{ùBù���@þ���DÿBú�û�w[�4Fg��ýPþcý\w ÿBû`ûcùBÿ��#��ücù"���{þ�ý��iüýPþüC�����$A5g���6;Ad!³�/[=%ãr�O��ý`k0��ÿäücÿ"�#�s�*üC��ý���ÿBûüC��� 0ýV��ýPüxFtýPý��w�����üxFr����,ücÿ"�4�.���{ùR�4�Rÿ���ücûI�#�vüC��ýyûcú�þ��<� 0ý���üC��ÿBû|���{ùBù*ÿBûB�{þcý��iüýPþoüC�����d�$A5r�À�6;>=7ãG� � ý��V�V7�Feý� !��� >���z�RûcýjÏ ú ÷ N þ�ÿ u¦ � � �su � ��,ücÿ"�4�.���{ù4���{ÿäþ�û|���4�Rÿ��,ücûH�#��üC��ýkûcú�þC��� 0ý���tüC�DÿBûh���{ùBù)�*ûcú� >��üC���iü2üC��ý���ÿEûüC��� 0ý��:ýPü�FeýPý��b��z�1ü�FG�y�4�Rÿ��,ücûlÿBûI�iü2ùäý��{ûü ù þ w.=

5`1

Page 16: Testing of clustering, Proc. 41 IEEE FOCS, IEEE (2000), 240-250. Also

f �4ú�û!�[�z�����,üC������{þ��{ûBf ��ý!�{þcý� ÿ"�sFeýI ����[�Rûý ù ª Å ÷ � � Åu� � u � � ¤ Ï � ÷ � � üC��ý�� üC��ýI��ÿBûüC��� 0ýh�:ýPü�FeýPý�������ü�FG�V�4�Rÿ��,ücû6üC���iüg�iþ�ý�ª�a\|��,ücÿ"�4�[���{ù*ÿEûB�iüg��RûüHd:=� ýPü@ú�û@k�q'ûcú� ����2ûcý�ùäý� 0ücÿ"�#���� �I¤ Ïl� ÷ N þ ú u÷ � �

� �su � ���ücÿ"�4�.���{ù.���{ÿäþ.û@��4�0�Rû�ÿäücÿ"�#��û6�#�yüC��ý»ûcú�þC��� 0ý���üC��ýB���{ùBù)�����kû�ú����4�RûýGJ ÿBûTûcú� ��küC���iü@Feý ���e�{ý L�³.$N�2³�/#;R�0�Rÿ¢��ücûTÿ��'ý�� >���4�Rûcÿäücÿ"�#�s= ç ø6ùäý��iþ�ù���JêÿBû uÅ P{���iþ�#þC�# �:ý�ÿ����T$A5�}e$A5H�¡�6;Ad!;�P� PùBúDûüýPþ����Dùäý= B �:Ftý!�{ýPþe�6�[��üC��ý !A�Dÿäþ�üC�������p���iþ������qâ(w$¾ûýPý��<�{þKý`q����DùBý�+-3���9<;>�F»ÿäüC�S��ÿ"�#�V��þC������DÿEùBÿäü���[��û����Dùäý ��sûcÿ"�Pý�Ý þ ÷ �hFqÿBùBù����{ü| `�#�,üC�{ÿ��������{ÿBþ���É�4�Rÿ��,ücû@ÿ��S���ücÿ��0�.���{ù��0�Rû�ÿäücÿ"�#��û$<�<�{þ6ûC�#kýc `�#��ûüC��,ü<ÝHÎ�5e;>=�f ���iü6ÿBû!�.�{ùBù��0�Rÿ¢��ücûeÿ�� üC��ýlûC���DùäýHF»ÿBùBù��:ýH�iüB��ÿBûüC��� 0ýh�iüB��Rûü d �GþC�# ý�� >��{üC��ýPþ�=�f ��ÿBû�ÿ����ùBÿäý�û�üC���iü��Rú�þ !'���iücú�þ��{ù¢(p�{ù���{þ�ÿäüC�� $�����¦� 0ücú��{ùEù"�w��z�w�{ù"��{þ.ÿäüC�� ������ÿ����i�#��ý`P�û�ÿ���ý��ýPþcþC�{þ`;tþcý��,úDÿäþcý�û Ï ú ÿ u� � � � �su� ��� � û����DùäýI�4�Rÿ��,ücû!=f�����þ��e�{ýjüC��ýV Pù��{ÿ� �<�{þj��z�T�{ù"��{þ�ÿBüC����tFeýV !��������Dù"�i��b�iþ��Rú�ký��,üKûcÿ�yÿEù��iþlü'�1üC���iü�ú�ûý���ÿ¢��üC��ýù"�:FtýPþD�4�Rú����i��þC�[��¾ûc��%+v5�7�9{= B ýPþcýSFtýÉû'�{ýPüC �� üC��ýÉÿ���ý��.= ¨ ýS��ý`k���ýyü�FG�����yÿBùBÿBý�ûc���ûýPücû���|L��4�Rÿ��,ücû!�Fg��ýPþ�ý!ÿ��7üC��ý�kDþ�ûcüD���yÿBù��w�{ùBù�ûýPücûV�iþcýy���iþ��Gþ��# ��ý�ÿ¢����$A5�}e$A5c� �6;Ad!;�P� PùBú�ûüýPþ>���Dùäý�|���� ÿ�� üC��ý!ûcý� `�#������yÿBù"�y�{ùBùTûýPücûc�iþ�ý�$A5�}�d`;�P� PùEú�ûüýPþ����DùBý=jf ��ýjkDþ�ûcüH���yÿBù"�;ÿBûI��ý`k���ý����z�p�{ùBùR���yÿ����RûH��tüC��ý�Lw�4�Rÿ��,ücûh�#�üC��ýyûcú�þC�<� 0ý���B��N#P���ÿ�ký���û�ÿ"�#���{ù6���{ùBùR�{û���ý`k���ý��i���4�e�{ý=�?A��üC��ýyûý� `�#���O�<�jÿBù"��t� ûýPü�J ÿBûc��ý`k0��ý��i�z�ûý�ùäý� 0ücÿ¢�����E�{þlý�� >�T�#��ý���eüC��ý¥�����{ÿäþ.ûH��|��,ücÿ"�4�[���{ù6�4�Rûcÿäücÿ��#��û!�0�#��ý���@üC��ý��4�RûcÿBücÿ"�#��û!�4����i�Dú�üücÿ¢���SL�³/��4�Rÿ��,ücû�ÿ��éüC���iü �4�Rûcÿäücÿ��#�s=@Q��{ýPþC� ûcú� >��J ÿBû%$A5�}�d!;�P� PùBú�ûüýPþ�����ùäý=¨ ýT���:F ��ý`k���ý�üxFr�¦��þ��[ 0ý�ûcûcý�û!�H�#��ýp�<�{þ ý�� �� �<�yÿEù"���üC���iüy `�#��ûcüþ�ú� 0ücû�� þ�������# ûcýPü�J ÿ��ËüC��ý���yÿBù"�p�{ûKÿäü%���ûCFtýPþ�û2üC��ýV�{ù"��{þ�ÿBüC��yá½û%�4ú�ýPþ�ÿäý�û��t����T `�#���ùäýPüý�ûlüC��ÿBû� `�#��ûüþ�ú� 0ücÿ��#�T���GüýPþ�üC��ýV�{ù"��{þ.ÿäüC��üýPþ�yÿ¢���iüý�û!= ¨ ÿäüC���Rú�üoù"�Rû�ûg����{ý���ýPþ��{ùBÿäüx��Ftý���e���{ûcûcú�yýKüC���iü`üC��ýD�{ù"��{þ�ÿäüC�����ý!�{ýPþc�4ú�ýPþ�ÿäý�ûqüC��ý'ûC�ký�4�Rÿ��,ü�ü�F»ÿ¢ 0ý=hf ��ý��s���<�{þqý�� >�O�,ú�ýPþC����¢üC��ý��{ù"��{þ�ÿäüC��y�DüC��ýD��þC�. 0ý�ûcûoûý�ùäý� 0ücûI�V��ý!F �4�Rÿ��,üg�#�;üC��ý�ûC����ýPþcýÿ����kþ>������# ���{ûC��ÿ"�#��FH��ÿ� �����ý!��ý�����ûG�#� üC��ý%���yÿBù"� ü'��Fg��ÿ¢ ���J ��ý�ù��#���Rû!=Áoûcûcú�yýcFtý%�iþcý%���eF����ûCFtýPþ�ÿ¢���'üC��ý�Ùâá üC���,ú�ýPþ�������� üC��ýc��þ��[ 0ý�ûcûcý�û �úDûüB��ý� Pÿ���ýcFg��ýPþcý`ü'���4�Rûcÿäücÿ"�#�üC��ý���ý!FË�4�Rÿ��,ü!=�Qr� ��O��eüC��ýkü�FG����þC�. 0ý�ûcûý�ûckDþ�ûüyg�ÿ"�DûI�� `�Rÿ��iFqÿäüC�p�Dÿ��{û�þ4�ÉFg��ýPþ�ý7þ�ÿBûc������þC��q�ÿ���iüý�ù��Ùz³/��=�Áh ! `�{þ���ÿ����Éü'�éüC��ý��Rú�üC `�#yý�NüC��ý���ý!F��4�Rÿ���ühF»ÿBùEùÉ�:ýj��ù�� 0ý���ÿ���üC��ý�û��ký�$<�{þ%���ücÿ��0�.���{ùE;B�4�Rûcÿäücÿ"�#���H�p��þ�ý!�4ÿ"�RúDûcù"��ûý�ùäý� 0üý��À�4�Rÿ��,ü!�@�{þ��Dù�� 0ý�� ÿ����� ú����. ! Pú��Dÿäý��b�0�Rû�ÿäücÿ"�#��$<Fg���Rûý���,ücÿ"�4�[���{ù��4�Rûcÿäücÿ"�#�7ÿBû�{ùBû'� ú����. ! Pú��Dÿäý���;>=R?A� üC��ýKù¢�iüüýPþH !�{ûý�0��y���ücÿ��0�.���{ù4���{ÿBþ�ÿBû�ûý�ùäý� 0üý��;ú���ÿ"�<�{þ�yù������#���S�{ùEù*ú����. ! Pú��Dÿäý�����{ÿäþ.û!�#����küC��ýH��ý!F��4�Rÿ��,üTÿEûR�Dù�� 0ý���F»ÿBüC�'ý��,ú��{ù���þC������DÿEùBÿäü����#�yý�� ��V�4�Rûcÿäücÿ"�#�kÿ��'üC��ýB���{ÿäþ�=6? �yüC��ýB�E�{þ>kýPþ !�{ûý�[�4�{üC����þC�. 0ý�ûcûý�û¢þ>������#yù"��ûý�ùäý� 0ü���V�[ ! Pú��Dÿäý����4�Rûcÿäücÿ"�#�É�Fg��ýPþcý�üC��ýqûý� `�#������þ��[ 0ý�ûcû��Dù�� 0ý�ûxüC��ý ��ý!F�4�Rÿ��,ü»ÿ��!üC��ý�ûý�ùBý� 0üý����4�RûcÿBücÿ"�#�s������;üC��ý�kDþ�ûüH��þC�. 0ý�ûcûg��ù�� 0ý�û»üC��ýj��ý!F �4�Rÿ���ü»ý�ÿäüC��ýPþ`ÿ��!üC��ÿEûg�4�Rûcÿäücÿ��#���{þÿ�� ÿäücûg���ücÿ"�4�.���{ù0�4�Rûcÿäücÿ"�#�s=�H�{üýküC���iü%�{ûlù"�#�����{û`üC��ý��<�{þ�kýPþ% !�{ûý����,ý�ûI���{üI�. ! Pú�þ��*üC��ý���ÿEûüþ�ÿ"�Dú�ücÿ"�#��ûB�#��üC��ý��4�Rûcÿäücÿ��#��ûg��tüC��ý�4�Rÿ��,ücûh�iþ�ýký`q.� 0ücù"��üC��ýkûC�ký��<�{þc�4�{üC�i��þC�. 0ý�ûcûý�û!= B �:Ftý!�{ýPþe���<�{þ%���,ú�j�:ýPþI��G�4ú�ýPþ�ÿäý�û�Ù�ÎÅÝ þ ÷ ��$<�<�{þû'�#kýS `�#��ûüC��,üCÝMÎ�5e;>��üC��ý���þC������DÿBùBÿäüx�1üC���iüj��T�. ! Pú��Dÿäý��O�4�RûcÿBücÿ"�#��ÿBû2ûý�ùBý� 0üý��©$¾ÿ���ý�ÿäüC��ýPþ%��þ��[ 0ý�ûcû];`ÿBûùäý�ûcûoüC����À5e³�3[=%f �DÿBûqÿ¢��DùBÿäý�û�üC���iü`üC��ý�ûcüC�iücÿBûücÿ� !�{ùR��ÿÀ¿:ýPþcý��� 0ý�ûh�:ýPü�FeýPý���üC��ý���ÿBûüþ.ÿ"�Dú�ücÿ"�#�DûB�#��ûý��,ú�ý��� 0ý�û��@�,ú�ýPþ�ÿäý�ûB����y��Dû'FtýPþ.ûB�E�{þ»üC��ýlü�FG�V��þ��[ 0ý�ûcûcý�û�ÿBû�ùäý�û�û6üC����b5e³�3[������ üC��ý2üC��ý!�{þ�ý���<�RùBù"�eFqû!=ºM»<ÂìD�¹ÏJeà Qtûcûý��,ücÿ��{ùBù"�éüC��ýkûC�ký��iþC�Rú�yý���üc�{û`ÿ��;üC��ýD���4�:�{ý���þC�[��@�Rÿ"�{ý�ûc��OÏ%$�÷ Lt;qù"�eFeýPþI�0�Rú����y�<�{þ�p¤��.=дÿ âIÚ>Ö�ïeÔ Ö6Ø{Ó2à�Ø�� ÛÔ�à>â%à>éxØ{ê�à>Üz×)Ô Ø6à>â�ïIâ:Ú>Ø6à|ÞGê:ÜÝØ{ßÝ×)Ô Ø'ó:ã4Ô�é'à�âcÙ2Üëà>éAÔ@Ø{Ó:Ô�ÙÚ>ßÝâ�Ø{×�à�Ø�×)ÜÝßÝì]Ó!Ø{Ü�äcï:ß��#Ô Ö{Ô â�Ø�Û2êeØtî`Ô ÖiäHéAÜÝÚ]×)ÔÙÚ]×)ß-Ø{ßÝÚ]â:×Aù��6Ú>Ø{ÔsØ{Ó2à�Ø�Ú]ê:Ö0à>ÜÝì>Ú>Ö{ß-Ø{Ó2ÞB×0ï:Ú@â2Ú�Ø�Ö{Ô Ü äGÚ]â|Ø{Ó:ÔtÙÚ>ßÝâ�Ø{×�ßÝâ���ÛÔAßÝâ2ì�ï:ß��#Ô Ö{ÔAâ!Ø ñ Ö{Ú>ÞwÔAà>é�ÓgÚ�Ø{Ó2Ô Ö�í"Ú>Ö0à�Ø0à>â�äGÞBßëâ:ßÝÞ à>Üï:ßÝ×�Ø�à�â2éAÔ ñ Ö{Ú]Þ�Ô'à>é�ÓhÚ�Ø{Ó2Ô Öxòxù

5�8

Page 17: Testing of clustering, Proc. 41 IEEE FOCS, IEEE (2000), 240-250. Also

� ²aX_^Dñ:÷.ð\³ óµ´�I[�ôy÷�õ\^¨¶£Y.õ\^�ñ@XxòN÷�ð\³¹¸ ð'ôºX@ò�ñ � X���� ¾ XTñ:òN÷cöãeý�ù"�eF�ÿBû6�Rú�þ@�{ù"��{þ�ÿäüC�� �<�{þ¢üý�ûücÿ����IF»ÿBüC��þ�ý�û'�:ý� 0ü�ü'�lüC��ýeþ>���ÿBú�û6 `�Rûüxú�����ýPþsüC��ý ÄrÅryýPüþ�ÿ� |����D�E�{þ@�i¤��.=6�ý� !�{ùEù�üC���iüB�E�{þ6üC��ÿBû| `�Rûü ����MyýPüþ�ÿ� ����{ùBù0�4�Rÿ���ücû6ÿ�� ý�� ��� PùBú�ûüýPþB�ú�ûü|�:ýh `�#�,üC�{ÿ���ý�� ÿ��M�����{ùBù����þ>���ÿBú�ûd:=rf ��ý%����{ù"��ûcÿBûB��TüC��ÿBûg�{ù"��{þ�ÿäüC��K !��y�:ýlý��{ûcÿBù"�M�{ý���ýPþ��{ùEÿ"�Pý�� ü'�S��z��kýPüþ�ÿ� Kú�����ýPþBFg�Dÿ� �� ý�� >�� PùEú�ûüýPþÿBûI��ýPüýPþ�jÿ���ý��p�z�p�·!ûcÿ����ùäý�(S `�#�z�{ý`q�ûýPüV$#üC���iü2ÿBû!�sFH��ýPþcý�üC��ý��<�jÿBù"����6ûcú� ���ûýPücû����{û�9qørP���ÿ�yý���ûcÿ"�#�Í�$�N.;';>=�?A�����iþcücÿ� PúDù��iþ�üC��ÿBûB���Rù¢��û|�E�{þ»üC��ý%ÄrÆ kýPüþ.ÿ� �$<Fg��ýPþcýlüC��ý�ûý2ûýPücûg�iþ�ý��2q�ÿEûB�{ùBÿ"�#��ý��� Pú��:ý�û>;>=�ÁoûBFeýûýPý��:ý�ù"�:F%��üC��ýjûcÿ"�Pý���6üC��ý ûC���DùäýyÿEû%�{ù���Rûü�ùBÿ���ý��iþ2ÿ��bN�=SÁh�b�{ùBüýPþ����iücÿ"�{ýV����{ù"�4û�ÿBûc��6üC��ýV�{ù"��{þ.ÿäüC����Fg��ÿ¢ ���FG�{þC�4û �E�{þH� ª�������1ú�ûý�ûB�yûC���Dùäýc��Tûcÿ"�PýKÿ�����ý!�:ý�����ý��,ür��RN��DÿEû|�Rÿ"�{ý��1ÿ���¶�ú��Dûý� 0ücÿ"�#�y8[=�5�=Á�½5QSH�¹/2E¾=.1Â�× $�Ä Å kýPüþ�ÿ¢ ���þ����ÿBú�ûB `�Rûcü!�0UM��5���NS� 5����i¤���;Ä *ÐÓ6ª�m (`a_>o�W���n�ª0lVm<ª�l�^ Â�^`ª0l�^`ª�\�W��MZ!^!W"^�&�\|n�Z!n�oHÂ�W�^�aA(<� ¤�� ÿ ��� ûý þ ù��� ÿ ��� ûý �z� Â.a�m<ª�\<Z�m<ª�J�*Å�^!\rX[Zjl�^`ª�a#\�^D\5Ç.^ Â.a�m<ª�\<Z%Z�^`W�^C&�\�^�ly~��pB�*Ë *�×E(D\5Ç.^`_C^`ý`q�ÿBûücû�n�Â.n_]\�m�\�m�aªa��¤�$OBju�}�bÖbÖb"}�B û ;DaA(eBKZ>X�&�Ç�\5Ç[n#\���$��j;B� d�\5Ç�^`ªwn#&>&>^ Â0\{* �B\5Ç.^`_'Ò@m¢Z�^'Ø_C^�Ý�^C&e\{*

�Tÿ�����ÿ¢����U©���{ùEùBûMF»ÿäüC��yÿ���ÿ¢�ú� þ����ÿEú�ûÉüC���iüy `�#��üC�{ÿ¢� �{ùBù�� �4�Rÿ���ücûéÿ��ÐüC��ý�ûC���Dùäý¦$<�.���eFg���{û üC��ýÛ|X�&�W§m)l�^CnªVU�¬�­�^!ª�\�^`_�B_Aaz~`W�^`oM;� !����:ý ���#��ý�ÿ��'ücÿ¢kýhÍ�$�� û ���4Å ;B$'&{(`*0+-/.��¶4ý� �=A*z=�5]9<;>= ¨ ��ý���N�ÿEû¢þcý�ù��iücÿ"�{ý�ù��ûC��{ùEùqÿäü ÿBûS�4�Rûcûcÿ"��ùäý1ü'�À���üC�{ÿ�����Øÿ����þC�e�{ý�yý���ü��#�ÐüC��ÿBûÉþ�ú�����ÿ����vücÿ�kýp�z�Ëú�ûcÿ���� üC��ýO�{ù"��{þ�ÿäüC��´��ÁH�{þ���F|�{ù�����y�xþC�. `��DÿBú� �+v5!9{��Fg��ÿ� >�����{û�þ.ú�����ÿ����Kücÿ�kýn� K � �Ï� � � û ÑNM[Ñ ONP g$<Fg��ýPþ�ý��@$�N[;6ÿBûg�{ù"FG�e�4ûg�4�Rú�����ý���[��ÍV$�N ç]� Å ;';>=ºM»<ÂìD�¹ÏJeà �qû�ÿ������kþcý�û�ú�ùäüB���+v5)*:9� `�#�� 0ýPþ���ÿ����küC��ý2þcý�ù��iücÿ"�#�y��ýPüxFtýPý���ùäý��iþ��Dÿ������{ù"��{þ�ÿäüC��yû ���� üý�ûcücÿ�����{ù"��{þ�ÿBüC��yû!��Feýj `�RúDù������üC�{ÿ����yüý�ûücÿ¢���V�{ù"��{þ�ÿBüC����<�{þ»þ���DÿBú�ûB PùBú�ûcüýPþ�ÿ�����F»ÿBüC� üC��ý�û��kýj `�#���ùäý`q�ÿBü����{ûÁoù"��{þ�ÿäüC�� 8��Dú�ü�FqÿäüC�jüxFr��P�û�ÿ���ý��ÉýPþcþC�{þ�=@f �DÿBû�FG�Rú�ù��S�:ýg���{ûý��M�#�ÉüC��ý`ùäý��iþ�������ÿBùBÿäüx�j��NüC��ýh `�#�� 0ý!�Dü| Pù¢�{ûcû��ý`k���ý����[�2ú���ÿ"�#�DûÉ���U����{ùBùBû�= B ýPþcýrFeýG�Rÿ"�{ýB�H��ÿBþcý� 0ü�����{ù��4ûcÿEût����D���üC�{ÿ��j�#��ý`P�ûcÿ¢��ý��KýPþ�þC�{þ�=R��ú�þcüC��ýPþ>��{þcý�üC��ýlûC�kýlÿ���ý��j������ùBÿäý��V��ýPþcýc !�����ý`ú�ûý��Éü'�����üC�{ÿ��Éüý�ûücÿ¢�����{ù"��{þ�ÿäüC��jûr���e�4ÿ¢���j�#��ý`P�ûcÿ���ý��ÉýPþcþC�{þ|�<�{þ ������þC��:ýPþcüx� üC���iüg !����:ý%��ý`k���ý����[�����<�jÿBù"�V��¢ûcú��DûýPücûB���e�4ÿ������0�Rú�����ý��%9qørP���ÿ�yý���ûcÿ"�#�s=+ .t»<H�¹2»<Â�åÔÞ W «za�_>m�\5Ç�o Ô mEZjnS_An�l�mEX[Z'¬A&�W§X[Z]\�^!_>m<ªz«�\�^`Z]\�^`_�X[ª0l�^`_D\5Ç.^hÄ�Å�oV^�\�_>m)&G(`a_ �i¤���*

¨ ý`ûC���{ùBù���ýPý��jüC��ýg�<�RùBù"�eFqÿ����%��ý`k��Dÿäücÿ"�#��û $<Fg�Dÿ� ��V�E�{þ6ûC���{ýh��*üC��ýg��þ�ý�ûý���üC�iücÿ��#�V�iþcýI���{ü��Rÿ��{ý��jÿ��jüC��ý�ÿäþ�¾ú�ùBù��{ý���ýPþ��{ùBÿäüx��;>= � ýPü��¦�:ýH�j���yÿBù"�����û�ú��DûýPücûr��38 � ��ùäýPü#���:ýH��k���ÿBüýqûcú���ûýPü���e8 � ����éùäýPü|��Ρ� Î�5�=¨ ýqû����küC���iü#ø °ó��ÿBû���S�'PCª0^!\R�� �Ã$<F»ÿäüC�kþcý�ûC��ý� 0ü@ü'���|;¢ÿ"�4�E�{þxý!�{ýPþ���p¤��� ûcú� >�küC���iüI¥æp ± �V¥-ª¡� þ ¥ �V¥üC��ýPþcý'ý`q�ÿBûücûc�iü2ùäý��{ûcüh�#��ýD�4�Rÿ��,ü`� �·p ± øw=%?A�i�{üC��ýPþcFr�{þ>��û!� ø ÿEûh��T�'P���ýPülÿ"�@ÿäüy!'��ÿBücû](Éý!�{ýPþC��û�ú��DûýPüÿ����ËüC���iüh���{ûg�jþcý�ù��iücÿ"�{ý�ù"�éù��iþC�{ý�ÿ��,üýPþ�ûý� 0ücÿ"�#��F»ÿäüC�x��=½C`ú�þ»ÿ¢��üýPþcý�ûcüqÿ����'P���ýPücû FqÿBùBù*û'�[�#�y�:ý� `�#kýD Pùäý��iþ���Dú�ü|k�þ�ûü|Ftýj��ýPý����#��ý���{þcý%��ý`k���ÿBücÿ"�#�s=¨ ýyûC�e�!üC���iüc�éûcú��DûcýPüyL¨°ê8 � ÿBû%Z�Ç[n\)\�^!_'^�lO�[���V���yÿBù�����@ûcú��DûcýPücû��H��ÿ����E�{þ`ý!�{ýPþC�(L � q�Lj�*üC��ýPþcýý`q�ÿBûücû½p ��� ûcú� ��ÉüC���iü&Lµ��¤UL ± p|=Rfg��ý�9qøGP>l�mEoV^!ª�Z>m)a�ªp����g����ý����{üý��M�[��9qø�u�$��B;>��ÿEûtüC��ýh��2q�ÿ��ú�ûcÿ"�Pýj����jûcú��DûýPü�LI° 8 � üC���iüqÿEû»ûC���iüüýPþ�ý����[���g= f ��ý�9qørP���ÿ�yý���ûcÿ"�#������V�<�jÿBù"����xûcú��DûcýPücû»ÿBûH��ý��� 0ý�� 0ýPþcüC�{ÿ¢�yký��{ûcú�þ�ýc���þ.ÿ� �����ý�ûcû%$<�{þH��ÿ��{ýPþ�ûcÿäüx��;r���üC��ý%���yÿBù"�=f ��ýB�E�RùBù��eF»ÿ����oüC��ý!�{þcý� ÿBû��2û'�:ý� Pÿ��{ù� !�{ûýH��4�2üC��ý!�{þcý� üC���iü�FG�{û���þC�:�{ý����[� B �{ú�ûcûcùBýPþ����� ¨ ý�ù"��ù6+-/.5`9���{ûý��y�#� üC��ý%FG�{þC�M��19�������ÿ"�S����;ø|��ýPþC��#��ý����4ÿEû%+-3�29{=+ .t»<H�¹2»<Âìè���� � Ã���� Åt^�\�� ~>^in�ª��V(!n�o�m<W �ÀaA(�Z>X�~`Z!^!\<Z�aA(%8 � ØDW�^!\�� ~>^pn�ª��¥È�ª�m<\�^yZ]X�~`Z!^�\DaA(¥8 � n�ª0lW�^!\g��Î ��Î 5#*¨­@a�ª�Z>m)l�^`_�nTZ`nogÂ0W"^NBÈaA(�Z>mnÕe^ � �! �"$#&% �('zý þ ù"��� �"$#&% �('zý Z!^!W"^�&�\�^�lbX.ª�m (!a�_>o�W���n�ª0lm<ª�l�^xÂ�^`ª�l�^!ª�\�W��h(]_'a�o¨��* ¯ Ç.^!ªïÒ@m<\5ÇDÂ�_'a�~Cnz~`m<W§m�\��yn\�W�^Cn�Z]\@/#³�3-Ø�B£mEZjn�ªy��¬ ª0^!\�(`a�_�� Ò@m�\5Ç�_'^`Z{Â�^�&�\|\{a)�h*

5�,

Page 18: Testing of clustering, Proc. 41 IEEE FOCS, IEEE (2000), 240-250. Also

f ��ýS��þ��z�� ��hf ��ý!�{þcý� *�� 0ücú��{ùEù"�T�Rÿ"�{ý�û��p�4�Rú����w�#� üC��ý ûC���DùBý ûcÿ"�PýÇ� ÿ�� üýPþ�yû���g��û�ùBÿ"�#�,ücù"���ÿÀ¿:ýPþcý��,ücký��{ûcú�þcýküC����ï9qø�u�$��|;>�ÉFH��ÿ� ��iFeýkþcý!�#ýPþlü'�y�{ûlüC��ý�Z�Ç[n\)\�^`_�^]�]Â�a�ª0^`ª�\�$<Fg��ýPþcý\9qø�u�$��B;oÿBûc��ú����:ýPþ �4�Rú������#�1üC��ÿEû ký��{ûcú�þ�ý:;>=B? ���Rú�þH !�{ûýDFeýj !����{ýPüh� ûcùBÿ"�#�,ücù"�M��ýPüüýPþh�4�Rú������#�N� ÿ"�6Feý�ú�ûý�üC��ýûC���iüüýPþqý`q[�4�#��ý��,ü ��ÿäþ�ý� 0ücù"�= ¨ ýj��ý`q�ü ��ý`k���ý2ÿäü ����!ûüC�iüýj�� `�{þcþcý�û'�4�#���Dÿ����D�2�iþ�ÿ¢���ü ��Rf ��ý!�{þ�ý�r*z=���{þG�lûcú��DûcýPü©LÔ°�8 � ��ùäýPü�* ' $.Lc;1d�fNg¤YS]L ± p¦��p ����T ��ý6üC��ýGÂ0_AaLÝ�^C&e\�m�aª���+�w�#�wL�=@���{þr����kÿ��,üý!�{ýPþ� ùäýPü-, ' $���;h¤ V�2q/.�0 à . à m$1 ¥�* ' $.LI;!¥s�:ýküC��ý���2q�ÿ��ú��ûcÿ"�Pý���6üC��ý��DþC�2µuý� 0ücÿ��#�O��2���#�T�!ûcýPü%���ûcÿ"�Pý�O=c?A�����iþcücÿ� Pú�ù��iþe���[����ý`k��Dÿäücÿ"�#�y��tüC��ý�9qørP���ÿ�ký��Dûcÿ"�#�s�0�E�{þ`ý!�{ýPþC�(�È� 9qø�u�$��B;>��, ' $���; ¤Ë/ 1 �sFg��ÿBùäý�<�{þo� ª 9qø�u�$��|;>��, ' $���;IÎ�/ 1 = � ýPü`üC��ýMZ�Ç[n\)\�^`_S^��]Â.aª0^`ª�\]�É��ý����{üý��O¶�QH$��|;g�:ýKüC��ý'û���{ùBùäý�ûü`ÿ��,üý!�{ýPþûcú� >��üC���iüI�E�{þ`ý!�{ýPþC�(�È��/[��, ' $���;h���4365 �7'â =c?aüh !��i�:ý'ûC���:Fg�1üC���iüh�<�{þlý!�{ýPþC���<�yÿEù"����@ûcú���ûýPücû8�g�¶.Qg$��B;G� 9qø�u�$��B;>���Dú�ü �{ûg���{üý������4�e�{ý��Ftýj !��!û'�#kýPücÿ�yý�û �{ýPüg�yû�ùBÿ"�#�,ücù"�V�:ýPüüýPþ �4�Rú����M�#�i¶.Qg$��|;>=+ .t»<H�¹2»<Âêè+9 Å�^!\&� ~�^gn�ª��@(!n�o�mEW��jaA(GZ]X�~`Z!^�\<ZBaA(_8 � ØsW�^!\�� ~�^ nª��_È�ª�m�\�^GZ]X�~]Z!^�\taA(_8 � n�ª0l%W�^!\���Ρ�BÎ�5#*­@a�ª�Z]m�lz^`_�nSZ`n�oHÂ�W�^CB�a'(%Z>mnÕe^�� � 3:5 �7'âý þ ù"�� 3:5 �7'âý Z�^`W�^C&�\�^�l�X.ª�m (`a�_]o�W �yn�ª0l�mEª0l�^xÂ�^!ª�l�^!ª�\�W �I(]_Aao ��*¯ Ç.^!ª Ò@m�\5ÇDÂ�_'a�~Cn�~!mEWYm�\���n#\rW�^Cn�Z]\R/#³�3-Ø�B�mEZ%nª���¬xª4^!\�(!a�_`� Ò@m�\5Ç�_C^]Z�Â�^C&e\|\{a)�h*: ¹ÏHHSßyHRß + .�»-H�¹:»z åà ?x�hJ ÿBûy$)U0}�d!;�P� PùBú�ûüýPþ>���Dùäý��üC��ý�� üC��ý��{ù"��{þ�ÿäüC��È Pùäý��iþ�ù"�À�{ù"F|����ûV� ! 0ý!��ücû�=B ý��� 0ý�É�{ûcûcú�yýj�#þC�# ���eF��#��üC���iühJ ÿBûc�'P{�<�iþI�#þC�#���ý�ÿ¢���p$)U0}�d!;�P� PùBú�ûcüýPþ����Dùäý= ¨ ýkûC���{ùEùsûC���eF üC���iü`üC��ý�{ù"��{þ�ÿBüC�� þcý µý� 0ücûgF»ÿBüC����þC������DÿEùBÿäü����iüoùäý��{ûüg/#³�3[=� ýPü<; û 0 = ��ý�üC��ý��<�jÿBù"����tû�ú��DûýPücûH��#8 � üC���iü%�iþcý���ý`k���ý����[�1ú��Dÿ"�#��û ��|U����{ùBùBû»ý�� ��O��tþ����ÿBú�ûH�iü��Rûü�d:�6���� ùäýPü ; û 0 = �:ýyüC��ýV���yÿBù"�p��B `�#��Dùäý�ký��,ücûj���ûcú��DûýPücûKÿ��>; û 0 = =%ãG�O�Rú�þD�{ûcûcú���Dücÿ"�#�O�#�TJw�Feý������{ýküC���iüI�<�{þlý!�{ýPþC�p `�RùEùäý� 0ücÿ"�#�p��GU����{ùBùEû»ý�� >�T������ÿ����Éþ����ÿEú�ûH�iüc��Rûcücd:�*üC��ýPþ�ý��iþ�ý���{þcý'üC����T�'L�4�Rÿ��,ücûlÿ��OJ üC���iü����y���{ü���ý�ù��#��� ü'����z�p��6üC��ýV���{ùBùBû!=�?A�O�{üC��ýPþjFr�{þ��Dû!�É�<�{þKý!�{ýPþC� pê� ; û 0 = �tFeýV���e�{ý¥æp ± JÀ¥�ª��:¥ JÀ¥§=�fg��ÿBûlÿ����ùBÿäý�ûqüC���iü�� ûcú���ûýPü"ø °�J ÿBû%��T�'P���ýPü%�<�{þ%J FqÿäüC��þcý�û'�:ý� 0ülü'� ; û 0 = ÿ"�G�����#��ù"�Éÿ"�Tÿäü `�#��üC�{ÿ¢��û �iü»ùäý��{ûcü �#��ý%�4�Rÿ��,ü|�GþC�# ý!�{ýPþC�Ðp � ; û 0 = =�H�eF��{ûcûcú�yýlüC���iü»üC��ý�ûC���Dùäý7B ûý�ùäý� 0üý����z��Áoù"��{þ�ÿäüC���8kÿBû ��p�AP���ýPü �<�{þgJw=rf ��ý��s���[�M��ý`k0��ÿäücÿ"�#�����AP���ýPücûH����y�Rú�þh�{û�ûcú����ücÿ��#���#�yJw�DüC��ýPþcý�ÿBû%ª0aMUzP{F|�������iþcücÿäücÿ"�#�Ð����&B ûcú� >�!üC���iü`��$��j;B� d:=Bf ��ÿBû

ÿBû»üþ�ú�ýKûcÿ¢�� 0ýKûcú� >���V���iþcücÿäücÿ"�#�� `�{þcþcý�û'�4�#����û�ü'�MU����{ùBùBûB���e�4ÿ����yþ����ÿBúDûgd:�DüC���iüh `�#��üC�{ÿ��p�{ùBùs�4�Rÿ��,ücû»ÿ¢� üC��ýûC����ùäý=vã6ú�ü`üC��ÿBûHFr�RúDù��i `�#��üþ���Dÿ� 0ülüC��ý��{ûcûcú����ücÿ"�#�;üC���iü7Bà `�#�,üC�{ÿ���ûc�iülùäý��{ûüc�#��ý��4�Rÿ��,üH�#þC�# ý!�{ýPþC�p � ; û 0 = =?A���{þ���ýPþtü'�j�0�Rú����küC��ýoûcÿ"�Pý ��É��ûC���DùBý�üC���iütÿEû@ûcú.ÊM Pÿäý���ü@ü'��ý���û�ú�þcý�üC���iüeÿäü� `�#��ûcücÿäücú�üý�ûG��M�'P���ýPü��<�{þJÈF»ÿBüC�1þcý�ûC��ý� 0ü`ü'� ; û 0 = �sFeýD�4�Rú����p¶.Qh$ ; û 0 = ;>=%?zü`ÿBûoý��{û'�;ü'���{ýPþ�ÿ"�<�!üC���iü�¶.Qg$ ; û 0 = ;g¤�¶.Qg$?; û 0 = ;>�É�����û'�ÿäü�þ�ý���{ÿ���û6ü'�S�0�Rú�����¶.Qg$?; û 0 = ;>=B�lÿ"�{ý�����z� ûýPüyL ��©� �4�Rÿ��,ücû�ÿ��Ð8 � �DüC��ý��4ú���:ýPþ ��@��ÿÖ¿�ýPþcý��,ü»ûcú��DûýPücûL��4¤¨L ± �£Fg��ýPþcýn� �@; u 0 = $¾ÿ{= ý="��ûýPücûI��ý`k0��ý��y�[�!ûcÿ����RùBýc���{ùBùBû>;>��ÿBûg�iüI��Rûüy� ��� u�=gf �DÿBûB�<�RùBù"�eFqû �#þC�#üC��ýj�E�RùBù��eF»ÿ������<� 0ü!=g���{þoý�� >�;û�ú��DûýPüoL � ûcú� ��!üC���iüqüC��ýPþ�ýKý`q�ÿBûücû ���{ùBùBû<� �A; u 0 = �<�{þgFg�Dÿ� ��(L � ¤lL ± �M�ùäýPüC� .+B ��ý ûcú� ��w�y���{ùEù����e�4ÿ�����yÿ���ÿ¢�ú� þ>���ÿBú�û!=M?aü�ÿBû�Ftý�ùBù��[���:F üC���iüj�<�{þj��z��ûcú� >�b�4�Rú����Dÿ��������{ùBùüC��ýPþcý�ý`q�ÿEûücûH�Éûcú���ûýPü�L � � qcL � ���e�4ÿ¢��� ûcÿ��Pýj�iüI��RûüHN%� 5�ûcú� ��!üC���iüo� . B ¤l� . B B = B ý��� 0ý�üC��ýD�,ú���:ýPþ������{ùBùBûoý��� Pù"�Rûcÿ¢���M�DÿÀ¿�ýPþ�ý���ülûcú���ûýPücûh��KL ÿBûc�iü%��Rûü�� 1��� u � Ψ� �`� u`=�¶�ÿ��� 0ý); û 0 = ÿ¢�� PùBú���ý�ûoú���ÿ��#��ûg��BU���{ùBùEû!�.Ftý������{ý2üC���iüI¶.QH$?; û 0 = ;G�¡Us$�Nc��5e;]= B ý��� 0ý��f ��ý!�{þcý�K,D�<�RùBù"�eFqûB�z�������Dù��4ÿ����Df ��ý!�{þcý� *-á"=è 2�03E12�03QtDS0¤D�;1;�¹ÏH<ë�25ÂìD�¾e».½ íìQRHHEó,�½�¸�¼!¾e»[¹Ï2�03QÉ¿ ¶�ú����0�RûcýgJ ÿBûI$)U0}�d!;�P� PùBú�ûüýPþ>���Dùäýc����éû'�'üC��ýI�{ù"���Pþ�ÿäüC�� k�����ûB�MUzP{FG�e�y���iþcücÿBücÿ"�#�x����¢üC��ý�ûC����ùäý2ûcú� >�!üC���iü`��$��j;B��d:=|fg���iü»ÿBû!�DüC��ýj�{ù"��{þ.ÿäüC�� k�����ûgU 0ý��,üýPþ�ûnt.u!}�b�b�b:}ut û ��G���{ùBùEûg��eþ����ÿBúDûIdKüC���iü� `�#�,üC�{ÿ��T�{ùEù�û����Dùäý��4�Rÿ��,ücû!=jÁh�O�iþC�Rú�ký��,ü2ûcÿ�jÿBù��iþoü'�!üC��ý��þC�[�����|f ��ý!�{þ�ý� ,[��ûC���:F»û`üC���iü%F»ÿBüC���DþC������DÿBùEÿäü��y�iü2ùäý��{ûcü�/#³�3éüC��ý� 0ý��,üýPþ�ûc�<�Rú����i�[�1üC��ý��{ù"��{þ.ÿäüC��� 0ücú��{ùBù��y��ý`k���ýD��i�'P{��z�.�¦$)U0}�d!;�P� PùBú�ûüýPþ�ÿ¢���V���Jw=c¶.��ý� Pÿ"k� !�{ùBù"��0�{ûoû����eFg��ÿ��1üC��ýj�DþC�z��@��rf ��ý!�{þcý� ,[�F»ÿäüC����þC�������ÿBùBÿäüx�M�iü`ùäý��{ûüc/#³�3[�:üC��ý�û����DùäýKûcý�ùäý� 0üý��p�z� üC��ý��{ù"��{þ�ÿBüC�� ÿBûh��i�AP���ýPüh�E�{þhJ F»ÿäüC�1þcý�û'�:ý� 0üü'� ; û 0 = =�fg���iü@ÿBû!�z�E�{þtý!�{ýPþC�%p � ; û 0 = ûcú� >�yüC���iüc¥ J ± p ¥-ª¡�2¥ JÀ¥§�4üC��ýqûC���Dùäýg `�#�,üC�{ÿ���ûG�iütùäý��{ûcü��#��ýH�0�Rÿ¢��üÿ��ìp|=i$��H�{üý üC���iü���ýPþcýjÿBüKÿBû%���{ü�üþ�ú�ýyüC���iü%�E�{þ�ý!�{ýPþC�ìpG� ¥ J ± p ¥3ª��2¥ JÀ¥§�¢ûcÿ��� 0ý�J ÿEû%�{ûcûcú�yý���ü'���:ý

5)*

Page 19: Testing of clustering, Proc. 41 IEEE FOCS, IEEE (2000), 240-250. Also

$)U0}�d!;�P� PùBú�ûüýPþ>���Dùäý= B �:Ftý!�{ýPþ���üC��ÿBû»ÿBû�ÿ��V�iüýPþ�ÿ��{ù*ü'�yüC��ý� Pù��{ÿ��=§;�Áqû�ûcú�ký2üC���iü»ÿ������ 0ü»üC��ý�ûC���Dùäý2ÿEû ���AP���ýPü��<�{þrJw=�f ��ý����[����ý`k��Dÿäücÿ"�#���� ; û 0 = �4üC��ÿBûrký����ûtüC���iür�<�{þeý!�{ýPþC�VU����{ùBùBû@��*þ���DÿBú�û�d�û�ú� �� üC���iü|��{þcýüC����O�:¥ J¦¥��4�Rÿ��,ücûH���JÈ���{ùBùra�X�\<Z]m�l�^yüC��ý�ûýD���{ùBùEû!��üC��ý�ûC���Dùäýj `�#�,üC�{ÿ���û`ûcú� ��i�V�4�Rÿ��,üg�Rú�ücûcÿ���ý�üC��ýj���{ùBùBû!=f ��ÿEû�ÿ�� ücú�þ�� ÿ¢��DùBÿäý�ûeüC���iüH�E�{þ»üC��ýjU����{ùEùBûB��ý`k���ý��y�z�éüC��ý� 0ý��,üýPþ�ûH�E�Rú������z�éüC��ýj�{ù"��{þ�ÿäüC��y�Qt.u�}�b�b�b�}ut û �üC��ýPþcý��iþcý��iüh��RûüI�2¥ JÀ¥��4�Rÿ���ücûqÿ���J üC���iüI���S���{üh�:ý�ù"�#���yü'�ÉüC��ý�ûýD���{ùBùBû��������û'�ÉüC��ýDU� 0ý���üýPþ.ûoÿ¢����ú� 0ý����'P{��z�.�w$)U0}�d!;�P� PùBú�ûcüýPþ�ÿ�������RJb=+ »z¼�¾=2�0�Q DS03E�¾=.t»DCyúFE�Ee2�Âb»z0�¼)25HR0�¿ f ��ý����4�e�{ýD����{ù"��ûcÿBû !����:ý2ý`q�üý�����ý��;ü'�V���üC�{ÿ��1üC��ý%�<�RùBù"�:F»ÿ����þcý�ù��iücÿ��#�%�:ýPü�FeýPý��KüC��ýA9qørP���ÿ¢ký���ûcÿ"�#�������fsý�ûücÿ������2�{ýPþC�2ûcÿ¢yÿBù��iþ�ù��»ü'�»üC��ý�F|���Kûcú� ����»þcý�ù��iücÿ"�#��ÿBûÉ��DüC�{ÿ���ý���:ýPü�FeýPý��!üC��ýv9qørP���ÿ�ký��Dûcÿ"�#������y�4Á»ø � ý��iþ���ÿ�����=

øG�#�Dûcÿ���ýPþ ��z����þC��:ýPþcü��%����6�4�z�Rùäý���y�#ú��� 0ücÿ"�#��û|�e�{ýPþ`û'�#kýj���#��{ÿ��4G�������!ùBýPü�H�I���ýlüC��ý� Pù��{ûcûB���¾ú��� 0ücÿ"�#��û@������ÿ����c��þC��:ýPþcüx����=RÁËüý�ûücÿ¢�����{ù"��{þ�ÿBüC��Ë�<�{þ���þC��:ýPþcüx���¶ÿBûR�Rÿ"�{ý��V�4ú�ýPþC��� ! 0ý�ûcûtü'�2üC��ý�üý�ûcüý���¾ú��� 0ücÿ"�#�4�¦$�����!ÿ������iþ�ücÿ� Pú�ù��iþ ��e���{û'���E�{þqüC��ý%���{ùBú�ýc��J�p�#���yú���ÿ"�<�{þ�yù"�jûcý�ùäý� 0üý��1ûC���Dùäý:;>=�? �K�i���{û��þC��:ýPþcüx�y��$#üC���iü`ÿBû!�$�O�:ý�ù"�#���Rû�ü'�LH I ;6üC��ý��;üC��ýD�{ù"��{þ�ÿäüC��êûC���Rú�ù¢�y� ! 0ý!��ü!=g? �J��ÿBûh�AP{���iþH�#þC�#K������ÿ������þC��:ýPþcüx�x��$#üC���iüoÿBû����<�{þoý!�{ýPþ��y�#ú��� 0ücÿ"�#��Mx�NH�IG�4�xþ:+ M0$.t[;�b¤O�@$.tz;�9�ª ����FH��ýPþcýKüC��ý���þC������DÿBùBÿäüx�ÉÿEûg�:�{ýPþ�yú��Dÿ"�E�{þ>yù"�yûý�ùäý� 0üý��(tz;>��üC��ýKüC��ý%�{ù"��{þ�ÿäüC�� ûC���Rú�ù¢� þ�ý µuý� 0ü FqÿäüC����þC�������ÿBùBÿäüx�V�iü»ùäý��{ûüh/#³�3[=?A��FH���iüV�<�RùBù"�:F»û�Feý;ûC���{ùBù»û'�#yýPücÿ�ký�ûS�4ÿäý!F �4�z�Rùäý���¡�¾ú��� 0ücÿ"�#��ûV�{ûÉûcýPücû!= ?A�����iþcücÿ¢ Pú�ù��iþ��6üC��ýa9qørP��ÿ�yý���ûcÿ"�#����KH�I�ÿEûH��ý`k0��ý����{û`üC��ý�9qøGP���ÿ�ký���û�ÿ"�#�y��tüC��ýj���yÿBù�����tûcú���ûýPücû!�1SÏp � T � |�P+Q Fg��ýPþ�ýºp � d'fhg¤S]ty�$�@$.tz; ¤ 53T#=D¶�ú����4�Rûý2üC��ýPþ�ý'ÿEûh��i�{ù"��{þ.ÿäüC��SR üC���iüI�Rÿ"�{ý��i�éûC���DùBýj��@ù¢����ý�ùBý��1ý`q����Dùäý�û�S]t l }�d l TFg��ýPþ�ýCt l �TG�����Od l �zSe�.}�53T#����ýPüýPþ�yÿ���ý�ûHFg��ýPüC��ýPþqüC��ýPþ�ý�ý`q�ÿBûücûh�M�#ú��� 0ücÿ"�#��ÿ���H�I üC���iü`ÿBûI `�#��ûcÿBûüý��,üF»ÿäüC�éüC��ýKûC���DùBý=�f ���iü»ÿEû!��ÿ"�JUVM���H�IG�Dû�ú� ��1üC���iü�M0$.t l ;�¤ d l �E�{þ�ý!�{ýPþ��yÌC��üC��ý��4RÃ�Rú�ü'��ú�ücû � ! 0ý!��ü!�4�����{üC��ýPþCFqÿBûý2ÿäüB�Rú�ü'��ú�ücû�þcý µý� 0ü!= ¨ ý�û����{ùBù�þcý!�#ýPþ�ü'�WR �{ûg��&>a�ª�Z>mEZ]\�^!ª�&���&�Ç.^�&�Ó#^`_��E�{þXH I =+ .t»<H�¹2»<Â�õµH a�_ n�ª��rÂ�_'a>Â�^!_]\��`�\Øtn%&�a�ª�Z>mEZ]\�^`ª0&���&�Ç�^C&�Ó#^`_0(`a_YH I &>n�ªM~�^BX[Z!^Cl@(`a�_B\�^`Z]\�m<ªz«½�Ã~��In]Â#Â�W��2m<ªz«m�\r\{a�nSX.ª�m (!a�_]o�W �VZ!^`W�^C&e\�^ClSZ!n�oHÂ�W"^�aA(cZ>mnÕe^y� � �"Z#&% � P Q ý þ ù"�� �"$#&% � P Q ý *: ¹ÏHHSß�à f ��ýc�DþC�z��R��@f ��ý!�{þ�ý� 7yÿEû ���{ý���ýPþ>�{ùBÿ"���iücÿ"�#�����üC��ý���þC�[��6���f ��ý!�{þcý��,[=�ãG����ý`k��Dÿäücÿ"�#������ `�#��ûcÿEûüý��� `�c ���ý� ��{ýPþ��Rÿ"�/� ��H�IT$#üC���iü�ÿBû��[�����{ût��þC��:ýPþcü����j;>�)üC��ý��KÿBüÉ� ! 0ý!��ücû!= � ýPü H�I d�fNg¤YS[\YMS�FM���H�I T$¾û'� üC���iüÉÿ¢�¦���iþcücÿ� PúDù��iþ�9qø�u�$ H�I�;�¤j9qø�u�$]H�I�;';>=�f ��ý����[�Àfg��ý!�{þcý� *z�B�E�{þ�����¦�¾ú��� 0ücÿ��#�^�6�|F»ÿäüC���þC������DÿBùBÿäüx�D�iü6ùäý��{ûü|/#³�3[����û����Dùäý ��sûcÿ"�Pý����{ûtûcüC�iüý�� ÿ��yüC��ýqüC��ý!�{þcý� ÿBûr����'P���ýPü��<�{þ��b$¾ÿ)= ý="�Sp � ;@F»ÿäüC�þcý�û'�:ý� 0ü�ü'� H�I $¾ÿ)= ý=ySÏp Õ T Õ | P+Q ;>=GÁoûg�iþC�Rú�ý��1ÿ�� üC��ý%��þC�[�����@f ��ý!�{þcý� 7[��üC��ÿBû�ÿ���DùBÿäý�ûeüC���iüoÿ"�_��ÿEûg�AP{���iþ�#þC�#����e�4ÿ�������þC��:ýPþcü��c����üC��ý��1ÿäü�ÿBû6þcý µý� 0üý���FqÿäüC����þC�������ÿBùBÿäüx�V�iü»ùäý��{ûüg/#³�3[=¨ ý%���{üý`üC���iü�ÿ������z�S !�{ûcý�û%$#ý=-��=@üC��ýh��þC��:ýPþcüx�������#���{ü'�#��ÿ� Pÿäüx��;>��üC��ý�9qørP��Dÿ�ký���ûcÿ��#�V��NüC��ýI Pù¢�{ûcû��G�#ú��� 0ücÿ"�#��ûI��ý`k���ý��i�[��üC��ý���þC��:ýPþcüx�;ÿBûI��þ��#��ÿ"�Dÿäücÿ��{ý�ù"�!ù��iþC�{ý�t����iFtýyûýPý!�i�{üC��ýPþKüý� �����ÿ¢�,ú�ý�û�$#üC���iüKÿ�����iþcücÿ¢ Pú�ù��iþ ��e�éúDûý%� 0ücÿ"�{ý��4ú�ýPþC��ÿ����z;>=`©� »��¼»��iÂÃ�Q�F���²Âf¸ba@�9»������iÄ��>¸�Çò�¾W�Ac)�_¹ ¸È �xÆ �È ��Â>����¸��ºB ýPþcý Feý ��þcý�ûý��,ü���V�{ùBüýPþ����iücÿ"�{ýg����{ù"�4û�ÿBûR���üC��ý�þ����ÿBúDû@ PùBú�ûüýPþ�ÿ¢���c�{ù"��{þ�ÿäüC��y=16»ý� !�{ùBù�üC���iü�Áoù"��{þ�ÿBüC���8[�Fg��ÿ¢ ��OFG�{þC�{ý��w�E�{þj�©¤ �.�¢ûý�ùäý� 0üý����!ûC���DùBý����ûcÿ"�PýyþC�Rú��#��ù"��ùBÿ���ý��iþ2ÿ��bN�=yãeý�ù"�eF Ftý ûC���eF üC���iü�ÿBüKÿBû�4�Rûcûcÿ"��ùäýlü'�éüþ����ý�üC��ýD��ý!��ý�����ý��� 0ý��#�iNT$¾ÿ��;üýPþ�yûH��xüC��ý'ûC����ùäýj `�#���ùäý`q�ÿBü���;BF»ÿBüC���M��ý!�:ý�����ý��� 0ýj�#�5e³:��=¨ ý�ûüC�iþcü �:ýc����{ù"�[��ÿ����küC��ýj�{ù"��{þ�ÿäüC�� �<�{þHU�¤�5Á�½5QSH�¹/2E¾=.1Â�å $�Ä�ÅckýPüþ�ÿ¢ ���þ����ÿBú�ûB `�Rûcü!�0U�¤�5���NS� 5�����Î��b��5e;Ä *ÐÓ6ª�m (`a_>o�W��pn�ª�l�m<ª�l�^xÂ�^`ª�l�^!ª�\�W���Z�^`W�^C&�\�� ¤ � ÿ ä��/���Eu�� � ý � � � Â.amEª�\<Z�m<ªpJ�*�«�^!ª�a\�^S\5Ç.^�Z!^�\gaA(hÂ.a�m<ª�\<ZZ�^`W�^C&e\�^Cly~��wB�*

5�7

Page 20: Testing of clustering, Proc. 41 IEEE FOCS, IEEE (2000), 240-250. Also

Ë *�×E(µw�$OB%;r�¡d�\5Ç�^`ªTn#&�&]^xÂ0\5ØBa\5Ç.^!_�Ò@mEZ!^D_C^�Ý�^C&e\{*+ .t»<H�¹2»<ÂedÔÞ W «za�_>m�\5Ç�ogf�mEZjnS_An�l�mEX[Z'¬A&�W§X[Z]\�^!_>m<ªz«�\�^`Z]\�^`_�(`a�_IU�¤�5SX[ª0l�^`_�\5Ç�^hÄ�Å�oV^�\�_>m)&e*

¨ ý�ûC���{ùBù0��þC�:�{ýKüC��ýlüC��ý!�{þcý���[�M������ý��{ùEÿ����'ü'�yüC��ýc�<�RùBù"�:F»ÿ����kùäý��V�{û!=ðG»<  D@d Åt^!\Apó° 8 � ØBn�ª�l�W�^!\1$x� 8 � n�ª�lw, ª��b~�^jZ]X�&�Ç�\5Ç[n\ew�$hpxR(S�$�T2;H�éw�$hp�; þ $A5G��,@;`* ¯ Ç.^!ª\5Ç.^jl�mEZ]\{n�ª�&]^�~�^!\�Òr^>^`ª�$Onª�lV\5Ç�^�&]^`ª�\�^!_ca'(I\5Ç�^co�m<ª�mEo�X.o Z{ÂRÇ.^`_C^�~Ca�X.ª�l�m<ªz«ºp©mEZcn#\@o�a2Z]\�w�$hp�; þ $A5R��,��÷ , Å �¦/>,�;`*: ¹ÏHHSß�à � ýPü½wj¤Úw�$hp�;>= ¨ ÿäüC���Rú�üqù"�RûcûB��R�{ý���ýPþ��{ùEÿäü���Feýj��e���{û�ûcú�ký2üC���iü�üC��ýj 0ý��,üýPþh���üC��ý�yÿ���ÿ¢�ú�û'����ýPþcýS�4�Rú�����ÿ���� p ÿEûD�iüküC��ýM�{þ.ÿ"�Rÿ�����g�Rú�þ� `�[�{þ���ÿ¢���iüýÉûC�4ûüý� ����7üC���iüküC��ý� 0ý���üýPþV��H��û'����ýPþcýS��þ����ÿEú�û½w�$A5G�I,@; �4�Rú�����ÿ�����pxRxS�$ÀTyÿBûH�iü�$$'�}C�.}�b�b�be}C��;>�_'\ª �.=I? ���{þ���ýPþoü'�����üC�{ÿ���üC��ý'ûüC�iüý��i Pù��{ÿ���:ÿäüûcú.ÊM 0ý�û!���z�éüC��ýlüþ.ÿ�����Rùäý2ÿ���ý��,ú��{ùEÿäü��yü'�ÉûC���:F�üC���iü-'I� w þ ÷ , Å �¦/>,G=Áoûcûcú�yý»ü'�'üC��ýI `�#��üþ��iþ��yüC���iüK'`ªów þ ÷ , Å �¦/>,G=����{þ ��z���4�Rÿ��,üih�¤�$?h u }�b�b�b�}jh � ;xÿ��cpG��ùäýPü2h=����ý����{üýüC��ýV$�N o 5e;�P���ÿ�ký��Dûcÿ"�#���{ù4�{ý� 0ü'�{þ�$?h�Å�}�b�b�b�}jh � ;>=|¶�ÿ��� 0ývp ÿBû|�4�Rú�����ý��M�z���yû'����ýPþcýI��sþ���DÿBú�û#w� 0ý���üýPþcý����iüüC��ý%�{þ.ÿ"�Rÿ��s�.Feý%�����{ý�üC���iü

h Å u �lk:h � k ÅÅ � w Å $<1z;$<Fg��ýPþ�ý�k:h � k ÅÅ ¤ k �lnm Å $?h l ; Å ��ý����{üý�û»üC��ýDÄ�Å%���{þ� ûC�4ú��iþcý�����¢üC��ýj�{ý� 0ü'�{þ<h � ;>=H¶�ÿ��� 0ý�p ÿEûg�{ùBû'�S�4�Rú�����ý���[�M�yûC����ýPþcýc���þ����ÿBúDû�w�$A5���,R;| 0ý��,üýPþcý��p�iüj$$'�}C�.}�b�b�be}C��;>��Feý����e�{ýKüC���iü$?h u o 'e; Å �lk:h � k ÅÅ �ów Å $A5r��,R; Å b $)8#;

� ýPüyé�¤nm ü �po ü �(q ü �4Å q?Å m �Dû'�küC���iüg�z�M�Rú�þg `�Rú��,üýPþH�{û�ûcú����ücÿ��#��饪��.= ¨ ý� `�#��ûcÿ¢��ýPþ�ü�FG�S !�{ûý�û�=r ¬�sC®utwvih u �Ié�=@? � üC�DÿBûB !�{ûý$?h u o é.; Å �xk:h � k ÅÅ ¤ h Å u �lk:h � k ÅÅ o /yh u þ éc�zé Å� w Å o / þ é Å �zé Å $),#;¤ w Å o é Å $h*;Fg��ýPþ�ý�Qr�,ú��iücÿ"�#� $),#;j�E�RùEù"�eF»ûD�#þC�# Q��4ú��iücÿ"�#� $<1z;>�G�Rú�þ� !�{ûýy�{û�ûcú����ücÿ��#� üC���iüzh u �°é��G����À�#þC�# �Rú�þ `�Rú��,üýPþH�z�z�4�{üC��ý�û�ÿBû|�z�MFg��ÿ¢ ���é%ª��.=r ¬�sC®F{/vih u �Ié�=@? � üC�DÿBûB !�{ûý$?h u o é�; Å �lk:h � k ÅÅ ¤ h Åu �|k:h � k ÅÅ o /yh u þ éI�zé Ť h Åu �9' Å o /yh u ' o ' Å �¦/yh u '��lk:h � k ÅÅ o /yh u þ éI��é Ť $?h u o 'e; Å �lk:h � k ÅÅ ��/yh u $$' o é.;s�zé Å o ' Å� w Å $A5G�z,R; Å ��/ þ é þ $$' o é.;s�zé Å o ' Å $)7#;¤ w Å $A5G�z,R; Å ��/>éf' o ' Å o é Ť w Å $A5G�z,R; Å � $$' Å o w Å $., Å �À/>,R;'; o ' Å o é Å $)�#;¤ w Å o é Å $A5!��;Fg��ýPþ�ý�Q��4ú��iücÿ"�#��$)7#;4�<�RùBù"�:F»û4�#þC�# Q��4ú��iücÿ"�#�S$)8#;4����lüC��ýr !�{ûý��{ûcûcú����ücÿ"�#�`üC���iüYh u �Ié��2����%Qr�,ú��iücÿ��#�V$)�#;�<�RùBù"�eFqû|�GþC�# üC��ý���ý`k��Dÿäücÿ"�#�M��mé�=B ý��� 0ý�6ÿ��7ý�ÿäüC��ýPþ� !�{ûý�Feý��{ýPüyüC���iü�p ÿBû� `�#�,üC�{ÿ���ý�� ÿ��À��û'����ýPþcý� 0ý��,üýPþcý����iü�$.é�}C�.}�b�b�b:}C��;D������ÿ����

þ����ÿEú�û6ûüþ�ÿ� 0ücù"�éûC��{ùEùäýPþ�üC����yw.�� `�#�,üþ����ÿ� 0ücÿ����küC��ý�yÿ��Dÿ���{ùBÿäüx����ew[=Áoû �� `�{þC�RùEù��iþC�Éü'� � ý��V�V�DFtý��{ýPü!�

5��

Page 21: Testing of clustering, Proc. 41 IEEE FOCS, IEEE (2000), 240-250. Also

ðG»<  D¤Ã~} Å�^!\�p¤°�8 � Ø�n�ª�ljW�^!\Àtº�a8 � ~�^g\5Ç.^h&>^`ª�\�^`_gaA( \5Ç.^go�m<ª�mEo�X.oËZ�ÂSÇ.^`_C^c~CaX[ª0l�mEª[«�p *s­@a�ª�Z>m)l�^`_n�ª��%Â.a�m<ª�\1$�� 8 � Z]X�&�Çy\5Ç[n\6��ÿBûü�$5$0}utz;�ªó�@(`a�_%Z`a�oV^`�G� w�$hp�;`* ¯ Ç.^!ªw�$hpPR(S�$ÀT2;#ª w�$hp�; þ 5/ þ ú �w�$hp�; � w�$hp�;� �

: ¹ÏHHSß�à Áoûcûcú�yý�É `�#��üþ��iþ��1ü'� üC��ý� Pù��{ÿ� üC���iü"w�$hp)R�S�$�T2;c� w�$hp�; þ uÅ þ ÿn�o'� � � o�� � �� = � ýPü1,¡��ý'ûcú� >�

üC���iü w�$hpNR(S�$�T2;r¤éw�$hp�; þ $A5r�z,@;#bãG� � ý������[�DüC��ÿBû�ÿ����ùBÿäý�ûeüC���iü��ÿEûü�$5$�}utz;B� w�$hp�; þ $A5r��,�� Ð , Å �¦/>,�;Fg��ýPþ�ýot���ý����{üý�û6üC��ýc 0ý���üýPþ ��süC��ýcyÿ���ÿ¢�ú� û'����ýPþ�ýH�4�Rú����Dÿ�����pG= � ýPü-öj�:ý`ûcú� >� üC���iü%56��,T¤� `�Rû���ö�=¶�ÿ��� 0ý'û�ÿ����&öM¤ Ð `�Rû�� Å ö o 5��ÉFeý����e�{ýyüC���iü ÷ , Å �¦/>,¡¤ ûcÿ����&ö�=�¶�ÿ��� 0ýD `�RûC�yöI��ûcÿ¢���&ö�¤�� ú �ÉFeý��{ýPü

üC���iü �DÿBûü�$5$�}ut[;G� w�$hp�; þ � ú b $A55e;CI� üC��ýc�{üC��ýPþH������s��ûcÿ��� 0ý% `�RûC��ö o ûcÿ����Kö�¤�� � ú ��Feý������{ý�üC���iü

5��z,T¤ 5/ ÿ � ú ��� � ú � b $A5�/#;ã6ú�ü �[�M��ý`k���ÿäücÿ"�#�M��©,À������Rú�þg�{û�ûcú����ücÿ��#���#� üC��ýlþcý�ù��iücÿ��#���:ýPü�FeýPý��xw�$hpPR(S�$ÀT2;|����yw�$hp�;>�

5��z,�� 5/ þ ú �w�$hp�; � w�$hp�;� � $A5�3#;�����û'��� ú ���/� ú � �o'� � � o'� �

�=�¶�ÿ��� 0ýKüC��ýD�#ú��� 0ücÿ"�#�A�@$5�4;B¤ $5�S� 5e³=�s;oÿ��� 0þcý��{ûcý�ûgF»ÿBüC�Ð�O�<�{þ��b��5��*ÿäü�<�RùBù"�eFqû6üC���iü

� ú � �w�$hp�; b $A5`1z;øG�#j�Dÿ���ÿ¢���DQr�,ú��iücÿ"�#�b$A5`1z;|FqÿäüC��Q��4ú��iücÿ"�#�T$A55e;BFtý%�{ýPü

�DÿBûü!$5$�}utz;B� w�$hp�; þ � ú �ów�$hp�; þ �w�$hp�; ¤é� $A5�8#; `�#�,üþ����ÿ� 0ücÿ����küC��ý%��þcý�jÿBûýI��süC��ýKùäý����'üC���iüg��ÿBûü�$5$0}utz;#ª �]=: ¹ÏHHSßyHRß + .�»-H�¹:»z dà ? �IJ ÿBû�$A5�}�d`;�P� PùEú�ûüýPþ����DùBý��üC��ý�� üC��ý��{ù"��{þ�ÿäüC�� Pùäý��iþ�ù"�¦�{ù"F|����ûV� ! 0ý!��ücû�=B ý��� 0ý�s�{ûcûcú�kýj�Gþ��# ���:F��#�;üC���iühJ ÿBûH�'P{�<�iþh�#þC�# $A5�}e$A5 �¦�6;Ad!;�P� PùBú�ûüýPþ�����ùäý�0�����Feý�û����{ùBùNûC���eF üC���iüüC��ý��{ù���{þ�ÿäüC�� þcý µý� 0ücû FqÿäüC����þC�������ÿBùBÿäüx�V�iü»ùäý��{ûüh/#³�3[=¨ ý���ÿäý!F üC��ýÉûC���DùäýV��qûcÿ"�Pý � �{ûD�:ý�ÿ����1ûý�ùBý� 0üý�� ÿ���;�¤­��$A5e³:�6;cÂSÇ[n2Z�^]Z��FH��ýPþcý ÿ¢��ý�� ��À�����{ûý��$¾ù"��0$?;4;'³��>;r�4�Rÿ��,ücû|�iþcýlûý�ùäý� 0üý��T$¾ú���ÿ��E�{þ�jù"������éÿ�����ý!�:ý�����ý��,ücù"��;>= � ýPüoB l �:ýoüC��ý`ú���ÿ"�#�S���üC��ýlûC���Dùäý�ûûý�ùäý� 0üý��;ÿ��éüC��ýck�þ�ûü�Ì������{ûý�û!������!ùBýPü�w l ¤£w�$OB l ;>=¨ ý ûC���:F üC���iüjF»ÿBüC�O��þC�������ÿBùBÿäüx�p�iü'ùäý��{ûü�/#³�3y�:�{ýPþküC��ýS >���Rÿ� 0ýM���üC��ýÉûC���Dùäý�R�<�{þ�ý!�{ýPþ��T�����{ûý¥ÌC�w l �Ôw l �su $A5 �4, l ;H�<�{þKû'�#ký ûcú.ÊS Pÿäý��,ücù"��ù��iþC�{ýw, l =�?aücF»ÿBùEù��<�RùBù"�:F üC���iü%���#üýPþ�ÍV$A5e³:�6;I�����{ûý�û!�ÉFeýV�ú�ûü���üC�{ÿ��!üC���iü½w l ª¡d:�� !�{ú�ûcÿ¢���küC��ý%�{ù"��{þ�ÿBüC�� ü'�jþcý µý� 0ü!=���{þ�ý�� >�y��ý!F������{ûcý�ÌC��ùäýPü&t l �su �a8 � �:ýoüC��ýh 0ý��,üýPþ ��NüC��ýIjÿ���ÿ��ú� û'����ýPþcýh�0�Rú�����ÿ����wB l �su =r¶�ÿ��� 0ýJ�ÿBûG�AP{���iþr�#þC�# $A5�}e$A5s���R;Ad`;�P� PùEú�ûüýPþ����DùBý��üC��ýPþcýI�iþcýh�iü6ùäý��{ûü|�'L��0�Rÿ¢��ücûA$��yJ�û�ú� �� üC���iü|��ÿBûü!$5$�}ut l �su ;7ª

/��

Page 22: Testing of clustering, Proc. 41 IEEE FOCS, IEEE (2000), 240-250. Also

$A5B�¦�6;Ad:= � ýPülú�ûoþcý!�#ýPþoü'� üC��ý�ûý��0�Rÿ¢��ücûI�{û�m<ªsrrX�^!ª�\�m�nWh$<F»ÿäüC�;þcý�û'�:ý� 0ü`ü'�)B l �su ;>=D¶�ú����4�RûýKüC���iülÿ���ý�� >������{ûcý�üC��ý�ûC���DùBýeüC���{ý��jÿBûR���û�ÿ"�Pý �iü@ùäý��{ûüxù¢�É$)3`;4;'³��!=�f ��ý��j�<�{þ���z��È1�z^Cl������{ûý�RüC��ýB��þC������DÿEùBÿäü��KüC���iü���ÿ���g�ú�ý���ücÿ¢�{ù��4�Rÿ��,üeÿEûB���{ü�ûý�ùäý� 0üý��!ÿBû|�iüg��Rûü%$A5 o �]; äæå=�Àçih)¢� ý Î ý`q.��$ o ù¢�É$)3`;4;';�¤�5e³.$)3`;4;>=|f ��ýh��þC������DÿBùBÿäüx�üC���iü �<�{þ%Z!a�oV^j�����{ûý%���yÿ���g�ú�ý��,ücÿ��{ù0�4�Rÿ��,ü�ÿBû�ûý�ùäý� 0üý��;ÿBû6üC��ýPþcý!�<�{þcýKùBý�ûcû�üC����w5e³�3[= B ý��� 0ý���{ûcû�ú�kýc�#þC�#���:F¡�#�jüC���iü��<�{þ@ý!�{ýPþC�V�����{ûý½Ì���üC��ýoûC���Dùäýqûý�ùäý� 0üý��Éÿ��küC��ÿBû������{ûýh `�#��üC�{ÿ��Dû���Éÿ���g�ú�ý��,ücÿ��{ù[�4�Rÿ��,ü_$�F»ÿäüC�þcý�û'�:ý� 0ü�ü'��B l �su =¨ ýc���:FËûC���eFÐüC���iü Í�$A5e³:�6;������{ûcý�ûtûcú�ÊS 0ýqú��,ücÿBùSw l ª©de= � ýPü7$��:ýh�� ÿ���g�ú�ý��,ücÿ��{ù��4�Rÿ��,ü�F»ÿäüC�jþcý�û'�:ý� 0üü'�PB l �su =#ãG� � ý����y5!�.�Rw�$OB l �su RxS�$ÀT2;|� w�$OB l �su ; þ uÅ ÿ �Eu � � =o�� M[Ñ � o�� M[Ñ�Eu � � = � =rf ��ýPþcý!�E�{þ�ý���{ûcûcú�jÿ����kûcú� >����4�Rÿ��,ü6ÿEû�ûý�ùäý� 0üý��;ÿ��éüC��ý"Ì]á üC�;ûC���Dùäý�

w l � w l �su þ 5/ ú $A5r�w�6;Adw l �su � w l �su$A5r�À�6;Ad � ¤ 5/ �s$A5G���6;Ad�� w Ål �su$A5r�À�6;Ad� b $A5�,#;

¨ ý�k�þ�ûüI��DûýPþC�{ýjüC���iü��<�{þ2ý!�{ýPþC�ïÌ"ª�5���w l � =Å =Vf �4ú�û!�ÉFeýV��e�O�{ûcûcú�kýjüC���iü�weÅS� =Å =%CI��üC��ýV�{üC��ýPþ������É��ûcÿ��� 0ý �¢u � � =o�� M[Ñ � o�� MzÑ�¢u � � = ��ý� 0þcý��{ûý�ûH�{û½w l �su ÿ��� 0þ�ý��{ûý�û!��üC��ý��y�{ûqù"�#�����{û½w l �su �©de�w l � w l �su þ 5/ ú 5r�w��� 55��À� � ¤éw l �su þ �s5�� � Å/�$A5G�w�6;

� b $A5)*;ãG��������ù"�4ÿ¢���jüC��ÿEûoù��eFeýPþ%�4�Rú������#��üC��ý'þ��iüý���tÿ��� 0þcý��{ûý���Aw l $<�<�{þ"Ì�ª�/#;>�ÉFtý��{ýPü2üC���iüI���#üýPþDÍV$A5e³:� Å ;�����{ûcý�û!�w l ªËd:= B �eFeý!�{ýPþ��6Ftý� !��T����� û�ùBÿ"�#�,ücù"����{þcýkþ�ý`k���ý��i����{ù"��ûcÿBûI�����ý`q.�Dù"�Rÿäü`üC��ý���� 0ülüC���iüc�<�{þûC��{ùEùäýPþxþ����ÿEÿ)�{üC��ý»þ>�iüýg��*ÿ��� 0þcý��{ûcý»ÿBû��{þ�ý��iüýPþ�=@? �V���iþcücÿ� PúDù��iþ���ùäýPüJ�M�:ý»ûcú� ��yüC���iüAw l �su �¡d�$A5 o �s;>=r�lÿ"�{ý��Q��4ú��iücÿ"�#�w$A5�,#;>��ÿäü !����:ý2ûC���eFg�b$¾úDûcÿ����kûcÿ���DùäýI����ÿ"�DúDù��iücÿ"�#��û>;>��üC���iüB�<�{þ»ý!�{ýPþ��L�p�����

w l �·w l �su þ 5/ ú $A5r�À�6;$A5 o �s; � $A5 o �s;$A5r�À�6; � � w l �su þ �45G� � Å/ � $A5�7#;���{þký�� >� ÿ���üý!�{ýPþ�5��qé�Î ù"��4$A5e³:�6;>�@ùäýPüº�[$.é.;%�:ýjüC��ýSkDþ�ûüj�����{ûýéûcú� >�vüC���iü�d þ $A5 o / � ë ;��¨w §]� ë Îd þ $A5 o /-�� ë�� u`;I$¾ÿ"�süC��ýPþcý`ý`q�ÿEûücû�ûcú� >���������{ûý:;>= ¨ ý�Fr�Rú�ù¢�ÉùEÿ"�{ý`ü'�jú����:ýPþG�0�Rú����ÉüC��ýc�,ú�j�:ýPþB��t�����{ûý�û�xþcý��4ú�ÿäþ�ý��jû'�'üC���iü�w §]� ë � � �¡d þ $A5 o / �� ë`� u� ;>=AãG�VQ��4ú��iücÿ"�#�O$A5�7#;>���{û�ù"�#�����{û#w l ��$A5 o / � ë`� u ;�Ftýc���e�{ýw l � u � w l þ $A5��À/ �� Å � ë�� u� � u� ;>=�fg��ýPþcý!�<�{þcý�.Ftý���ýPý��c�tü'���:ýlûcú� >�éüC���iüj$A5 o / � ë ; þ $A5��À/ �� Å � ë�� u� � u� ; � �$A5 o /-�� ë�� u�';>=@¶�ÿ¢�� 0ý@�E�{þsý!�{ýPþC� ù ��5e³�/[�Feýr���e�{ý@üC��ýr�0�Rú�����û�$A5 o"ù ;|� ý`q.��$ o / ù ;É����V$A52� ù ;B� ý`q.��$ ù ³�/#;>�ÿäüKû�ú.ÊS 0ý�û�üC���iüv�%¤�/ ë�� �=�?zü%�<�RùBù"�:F»û2üC���iü�üC��ýS�,ú�j�:ýPþ���B�����{ûý�û2þcý��4ú�ÿäþ�ý���ü'���{ýPüD�Gþ��# w Å � d`³�/!ü'�w l �¡d�$A5 o �6;@ÿBûr�iür��RûüI5�, þ k ä��/���¢u�� � ë m u / ë ¤ ÍV$A5e³:�6;>=r�Tÿ����{ùEù"��Rü'���{ýPüG�#þC�#îw l �¡d�$A5 o �6;¢ü'�sw l � � ª¡d:��Feýú�ûýlüC��ý%�4�Rú����M�Gþ��#�Q��4ú��iücÿ"�#�b$A5)*;>�0����� `�#�� PùBú���ýlüC���iü»ÿäü�üC���{ý�ûh��y����Dÿäücÿ"�#���{ùÉÍ�$A5e³:�R;|�����{ûcý�û!=`©�$� �x�Îf ��ý��{ùäüýPþ����iücÿ"�{ý�þ>���ÿBú�ûAP� PùEú�ûüýPþ�ÿ����yüý�ûüýPþc�<�{þcU ªÃ5�ÿBûI�S�{ý���ýPþ��{ùBÿ����iücÿ"�#�p��@üC��ý��{ù"��{þ�ÿäüC��K�<�{þ`üC��ý� !�{ûýU�¤�5��Á�½5QSH�¹/2E¾=.1 è $�Ä�ÅckýPüþ�ÿ¢ ���þ����ÿBú�ûB `�Rûcü!�0U%ª�5���NS� 5�����Î��b��5e;Ä *ÐÓ6ª�m (`a_>o�W���n�ª0lVm<ª�l�^ Â�^`ª0l�^`ª�\�W��MZ!^!W"^�&�\|n�Z!n�oHÂ�W�^�aA(<� ¤�� ÿ û!ü ä��/� ûý � � ü � Â.a�m<ª�\<ZDmEªMJ�*Å�^!\rX[Zjl�^`ª�a#\�^D\5Ç.^ Â.a�m<ª�\<Z%Z�^`W�^C&�\�^�ly~��pB�*Ë *�×E(c\5Ç.^!_'^»ý`q�ÿBûücûDnhÂ.n�_`\�m�\�m�a�ªx� ¤Ë$OB�u�}�b�b�b�}�B û ;�aA(oBÃZ]X�&�ÇM\5Ç.n\3��$��D;r�¡d�\5Ç.^`ªOn#&>&>^xÂ4\{*7�B\5Ç.^`_'Ò@m¢Z�^'Ø_C^�Ý�^C&e\{*

/.5

Page 23: Testing of clustering, Proc. 41 IEEE FOCS, IEEE (2000), 240-250. Also

f ��ý%��þC�[�����TüC��ý��E�RùBù��eF»ÿ����küC��ý!�{þcý� ÿEû ����{ù"���Rú�ûqü'�yüC��ý���þC�[��6��@f ��ý!�{þcý� 3[��FH��ýPþcý���ýPþ�ý%Ftý�ú�ûýüC��ý��iþ��Rú�ký��,ücûB�Gþ��# üC��ý%��þ��z�����Rfg��ý!�{þcý�K���{ûg�����{ûcÿBû�=+ .t»<H�¹2»< ÃV} Þ W-«�a�_]m<\5Çzo��Dm¢ZjnS_'n#l�m<X[Z�¬'&!WYXzZ`\�^`_]mEª[«�\�^]Z`\�^`_%X.ª�l�^!_�\5Ç.^hÄrÅ�oV^!\�_]m�&:*� ¶ÚY�õ\^Dñ�XxòN÷.ð\³ ÷.ðe� ð\X ÿ ÷�Z X@ð\^�÷�óqð?A���#��ýB��ÿ¢ký���ûcÿ"�#�KüC��ýeþ����ÿBú�û��������ÿ��kýPüýPþR��þ���Dùäý�yû��iþcý6üC��ýeû��ký�#����'ÿäüsÿEû��4�Rûcû�ÿ"�Dùäý¢ü'�`üý�ûü@ PùBú�ûcüýPþ�ÿ����ÿ����� ý`ÊM Pÿäý���ügFG�e����<�{þ �i¤��.������y��z�MÄ h kýPüþ�ÿ� �=Á�½5QSH�¹/2E¾=.1Â�õ $�Ä h kýPüþ�ÿ¢ ���þ����ÿBúDûG����y��ÿ��kýPüýPþH `�Rûü!�0UM��5���N�¤�5����p¤���;Ä *ÐÓ6ª�m (`a_>o�W���n�ª0lVm<ª�l�^ Â�^`ª0l�^`ª�\�W��MZ!^!W"^�&�\�� ¤�� ÿ û ýhþ ù"��jû ý � Â.amEª�\<ZDmEªMJ�*Ë *�×E(j\5Ç.^�Z`n�oHÂ�W�^DmEZ�$)U0}�d`;�¬'&!WYX[Z]\�^!_An�~!W"^�\5Ç.^`ªTn#&>&>^ Â0\5Ø|a\5Ç�^`_'Ò@m¢Z�^'Ør_C^�Ý�^C&e\{*f ��ýc��þC��Dùäý� ��R PùBú�ûcüýPþ�ÿ����kÿ����#��ýj��ÿ�ký���û�ÿ"�#�� !����:ý2û'�Rù"�{ý����[�����[���yÿ� h��þC��{þ��Vyÿ�����=

+ .t»<H�¹2»< ÃSÃÚÞ W-«�a�_]m<\5Çzo���mEZhn�_'n#l�m<X[Z�¬'&!WYX[Z]\�^`_]m<ªz«�\�^`Z]\�^`_�(`a_GN�¤�5ÏØ4�p¤��<Ø�n�ª�l�X.ª�l�^!_Inª��hÄ h o�^�\�_>m)&e*f ��ýV��þC�[��|���üC��ý�f ��ý!�{þcý� �E�RùBù��eF»ûD��ÿäþcý� 0ücù����#þC�# üC��ýV�<�RùBù"�:F»ÿ���� � ý����.�@����w�;ûüC������iþ�� !A���{ùBùBû�������ÿ���û](�����{ù"��ûcÿBû�=

ðG»<  D¤ÃRà Å�^!\@J ~�^j��¬Y(`n_r(]_Aao ~�^!mEª[«�$)U0}�d!;�¬A&�W§X[Z`\�^`_'n�~`W�^�* ¯ Ç�^`ªw\5Ç�^`_C^M^��mEZ]\�U¦ª�a�ª�¬ mEª�\�^`_>Z!^C&e\�mEª[«�Z�^{«�¬oV^`ª�\<Z + �b����� l }�w/ÌbM�vâ� l 9@^Cn#&�Ç�aA(|W�^`ªz«�\5ÇI/d)ØsZ>X�&�ÇD\5Ç[n\�\5Ç.^`_C^hn�_C^gn\tW"^�n2Z]\�$)�'L�;'³.$)UÉ��5e;RÂ.a�m<ª�\<Zs(>_'a�o JÈ~�^�\�Òr^�^!ª^�¦^`_'�V\�Ò�aSZ!^�«oV^`ª�\<Z�Ør\{aM\5Ç.^jW�^�(`\Ga'(�\5Ç.^jW�^�(`\�o�a�Z]\rZ!^�«oV^`ª�\|n�ª�l�\{aM\5Ç.^j_]m"«/Çz\|aA(�\5Ç.^j_]m"«/Çz\�o�a2Z`\�Z�^{«#o�^!ª�\{*: ¹ÏHHSß�à � ýPüTú�ût�{û�ûcú�kýr�E�{þTûcÿ����ùBÿ� Pÿäüx�»üC���iü6J� `�#��üC�{ÿ¢��û��DÿBûücÿ��� 0üt�0�Rÿ¢��ücû!=6f ��ý@k�þ�ûü�����Kùäý!�#üC��RûüTûý!�#ký��,üÿBû@��ù�� 0ý��yûcú� >�küC���iüxüC��ýPþcýg�iþcýj$)�CL�;'³.$)U��O5e;@�4�Rÿ���ücûR�#þC�#ËJ ü'�KüC��ý»ùäý!�#ü@��:ÿBü!=@¶�ÿ¢�� 0ýBJ ÿEû��AP{���iþ��#þC�#Ë�:ý�ÿ����$)U0}�d!;�P� PùBú�ûüýPþ>���Dùäý�*üC��ýPþcý��ú�ûü`ý`q�ÿBûüI�iü`ùBý��{ûü�$)�'LtU�;'³.$)U�� 5e;g�4�Rÿ��,ücûoü'�ÉüC��ý�þ.ÿ"�#��üh��@üC�DÿBûHkDþ�ûü`ûý!�#ký��,ü!=¨ ýoüC�,ú�û��Dù�� 0ýqüC��ýqûý� `�#��� ûý!�#yý���üeü'��üC��ý»þ�ÿ"�#�,ü���*üC��ýgkDþ�ûütûý!�#ký��,ü!��û�ú� ��jüC���iütüC��ýPþcýH�iþcý�$)�'L�;'³.$)UB�w5e;�4�Rÿ��,ücû%�#þC�# J �:ýPü�FeýPý�� üC��ýjüxFr��ûý!�#ký��,ücû!=�fg��ýyþcý���{ÿ¢��ÿ����!ûý!�#yý���ücû��iþcýM�Dù�� 0ý�� ÿ��b�;ûcÿ�yÿBù¢�iþcFG�e�=Á%,=J 03H<ñS½<»-E1QRÂw»z00¾e¼¨ ýcFG�Rú�ù��éùBÿ"�{ýoü'�küC������ � ý!�#���iþ���¶. >�,úDù�����������;ÿ¢ �����¶.���iþ.ÿäþr�<�{þ ��ý�ù"���#ú�ù�ÿ����<�{þ���iücÿ"�#�S�#�� PùBú�ûcüýPþ�ÿ�����=�IX_´�X@òX@ð'ö�X_^+v5]9D�6=i��=�Ág�{þ��eFG�{ùh���� øh=��b=��@þC�. `��DÿBú� �=¦Q@q�� 0üS�����������þcþ���q�ÿ���iücÿ"�#�¦�{ù"��{þ.ÿäüC��yû��<�{þV PùBú�ûcüýPþ�ÿ�����=?A�^|_'a�&]^�^ClmEªz«Z�aA(�\5Ç.^ ¯ ^!ª�\5Ç Þ ª�ª�X�n�W Þ ­��ï¬ ¤ × Þ � ¤ ��oHÂ.a2Z]mEX.o aª¤«�m¢Z!&!_C^!\�^ Þ W-«�a�_]m<\5ÇzojZ]�r�����{ý�û,87��[,,?*z�@5���7[=+-/:9D�6=$��=�ÁH�{þ���F|�{ùR����4�w=ɶ.���iþ�ÿäþe=GÁoù"��{þ�ÿäüC��yûB�<�{þH�{ý!�#kýPüþ.ÿ� ���Dücÿ�yÿ"���iücÿ"�#�É= Þ ­�� ­@a�oHÂ�X�\�mEªz« ¤ X._�¬¦^��2Z>�������{ý�û 1�5�3���1�87[�@5���7[=

//

Page 24: Testing of clustering, Proc. 41 IEEE FOCS, IEEE (2000), 240-250. Also

+-3:9D�j=�Áoù"�#�s�GQ =��TÿBûC >��ýPþ��2�b=��lþ�ÿ"�{ý�ùäý!��ÿ� >�s�r����^� ¶[�Pý!�{ý����=¡Q@ÊM Pÿäý���üjüý�ûücÿ����O��lù��iþC�{ý��{þ�������û!=¦?A�B_Aae&>^�^�l�m<ªz«�Z�aA(�\5Ç.^ H a�_`\�m)^�\5Ç Þ ª�ª�X�n�W ¤ ��oHÂ.a2Z]mEX.o´aª H aX[ª0l#n\�m)a�ª�Z�aA(t­@a�oHÂ�X�\�^`_ ¤ &!m{^`ª0&>^`�@�����{ý�û,21�8��[,88[�@5����[=

+ 1�9D�j=�Áoù"�#��������w=��lþ.ÿ"�{ý�ùäý!��ÿ� ��s=@fsý�ûücÿ����VUzP� `�Rù��{þ����DÿBùBÿBü��=i�p��,úDûC 0þ�ÿ"��ü!�s5����[=+-8:9D�j=sÁqù��#�s���b=��lþ�ÿ��{ý�ùäý!�4ÿ¢ ��s�0?>=s�qý!Fg���s�s����A� ¶[�Pý!�{ý����=v6»ý!�Rú�ù��iþlù�����Rú����{ý�ûc�iþ�ý�üý�ûcüC���Dùäý�F»ÿäüC�i� `�#�DûüC���ü|�4ú���:ýPþ���É�4ú�ýPþ�ÿBý�û!=4? �LB_Aae&>^�^�l�m<ªz«�Z�aA(h\5Ç.^ H a�_]\�m{^!\5Ç Þ ª�ª�X�n�W ¤ ��oHÂ.a2Z>m<X.oKa�ª H a�X.ª�l#n\�m)a�ª�Za'(�­@a�oHÂ�X�\�^`_ ¤ &!m{^`ª�&]^`�������{ý�ûh,8,��[,,,[�@5����[=+-,:9)�w=S6�=�ÁH����ýPþC�:ýPþC��=�­6W§X[Z]\�^!_ Þ ª0n�W �2Z]m¢Z�(!a�_ Þ Â#Â�WYm�&>n\�m)a�ª�Z>=GÁH !���ý�yÿ� %�@þcý�ûcû!�É5��?*�3[=+ *e9)�w=zãtý�����ýPþG�����uD=â6 �#�s=�f�ý�ûücÿ¢���j� `�. PùBÿ� Pÿäüx����t��ÿBþcý� 0üý��V�{þ>������ûeÿ��jûcú��DùBÿ���ý��iþ@ücÿ�ký=É?A��B_Aae&>^�^�l�m<ªz«�Za'(`×/­ Þ ÅY�������/����.=+-7:9)�w=ã6ùBú���$�b= � ú��z��s���� 6%=6»ú��Dÿ����#ý�ù��s=H¶4ý�ù��¢PÆüý�ûücÿ¢���V�2 `�{þcþcý� 0ücÿ����SF»ÿBüC��������ùBÿ� !�iücÿ"�#��ûqü'���,ú�yýPþ�ÿ� !�{ù�DþC��Dùäý�yû�=���a�X._]ª�n�W�aA(j\5Ç.^ Þ Z>Z`a�&�m�n#\�m�a�ª�(!a�_c­@a�oHÂ�X�\�mEªz«z�bn#&�ÇzmEª0^!_�����1-*z�ë821����[8�8[��5���3[=+-�:9���=uh�[��ÿEû!��CD=s�I�Rù���þcý�ÿ� >�s�sQ = � ý������s�t¶0=@6g�{û'�.���.����ÿ"��:�2�.� uD=6 �#�s�É����pÁj=t¶.���{þC�.����ÿBücû'�z�=I?A�P�DþC�e�{ý��1üý�ûücÿ������{ù"��{þ.ÿäüC��yû|�<�{þg��#���{ü'�#���[ Pÿäüx�=�?A�D|_'a�&]^�^ClmEªz«Z�aA(�® Þ d`«+�i�>����45����[=+v5!�29�uD= B �[ >�������{ú� $�Qr�s=§;>= Þ Â#Â�_'a��#mEo�n\�m)a�ª Þ W-«�a�_]m�\5Ç�oDZI(!a�_ d8�¬���n�_'lDB_Aaz~`W�^`oDZ>=À� ¨ ¶��@ú���ùBÿBûC��ÿ¢���

ø|�#�����z��t5���?*z=+v55]9u�R=�uqþ�ý!����ýPþD$�Qr�s=§;>= H n�&!m<W§m�\��\Åta�&�n\�m)a�ª�= ¶[��þ.ÿ����{ýPþ�9¢ýPþ�ù������65���8[=+v5�/:9D�G=6QxþC�Rú��É�R¶0=��%�������s�@¶0=�6�=Y�2ú�V�iþ��36�=36»ú��Dÿ����#ý�ù��s�É����T�b=39oÿEû'FG����iüC����s=�¶[�4�{üAP� ���ý� ��{ýPþ�û!=y?A�

B_Aae&>^�^�l�m<ªz«�Zha'(g\5Ç.^ ¯ Ç�m<_]\��/¬ ¤ ^C&>a�ª�l Þ ª�ª�X�n�W Þ ­�� ¤ ��oHÂ.a2Z>m<X.o aª�\5Ç�^ ¯ Ç.^Ca�_'��aA(v­@a�oHÂ�X�\�mEª[«�������{ý�û/8���[/,7[�@5���7[=+v5�3:9Df%=[��ý���ýPþg����cuD= B =��oþcýPý���ý=ACh�Dücÿ���{ù��{ù���{þ�ÿäüC��yûG�<�{þB������þC�eq�ÿ�V�iüýI PùEú�ûüýPþ�ÿ�����=t?A��B_Aae&>^�^�l�m<ªz«�ZjaA(\5Ç�^ ¯ Òr^`ª�\�m{^!\5Ç Þ ª�ª�X�nW Þ ­�� ¤ ��ogÂ�a2Z>m<X.o aª ¯ Ç�^Ca�_'��a'(�­@a�oHÂ�X�\�mEª[«�������{ý�û 1�321[��111��R5��77[=+v5`1�9�6�=p��=����eFqùäýPþ��p�w=�¶0=��6�iüýPþ.û'�#�s������y¶0= � =.f6���ÿ���{ü'��=_CI��ücÿ���{ù0��� ��4ÿ���������M `�:�{ýPþ�ÿ���� ÿ��jüC��ýc�Dù����ý�iþ�ý��H��P� `�#��DùäýPüý=�× AÅR�������{ý�û�5�33���5�3?*z�@5��7.5�=+v5�8:9DÁj=4��þ�ÿäý!�Pý�����ï6%=Z�%�������s=�¡`ú�ÿ� ��y������þC�eq�ÿ�V�iücÿ"�#��ûH��r��iüþ�ÿ¢ 0ý�û!=cÁH��ý`q�üý�����ý��i���Dûüþ�� 0üI��eû'�#ký���üC��ÿBû|FG�{þC�������:ý��iþcý�� ÿ����3CKø ¶��,kú�����ýPþ6üC��ýlücÿäücùäý��f ��ý�6�ý!�Rú�ù��iþ.ÿäü�� � ý����V�����������þC�eq�ÿ¢��iücÿ"�#�

û� ���ý�ký�ûg�E�{þH��ý���ûýc��þ���Dùäý�yû!�s5���?*z=+v5�,:9ºC�=��h�Rù¢��þcý�ÿ� >�s��¶4=��h�Rù¢��FG�{û�ûýPþ���Q = � ý���V��s�<uD=â6 �#�É�.����SÁj=�¶.���{þ���ÿ¢��û'�[�=Éf�ý�ûücÿ¢���D��#���{ü'�#��ÿ� Pÿäüx�=f��T�����:ý��iþkÿ��I­@a�oV~`m<ª�n\{a�_]m)&�n�=rÁ ��þcý�ùBÿ�jÿ����iþC��$�����ÀFeý����{ýPþ];D�{ýPþ�û�ÿ"�#�À��»üC��ÿEûjFG�{þC�À�����:ý��iþcý�� ÿ���1C2ø ¶��7[�t5����[=+v5)*e9ºC�=.�h�Rù���þcý�ÿ� ��É��¶0=��h�Rù���FG�{ûcûcýPþ��[�����uD=z6 �#�s=t�@þC��:ýPþcü��jüý�ûücÿ���������Éÿäücûr `�#����ý� 0ücÿ"�#�Éü'��ùBý��iþ���ÿ����D����������þC��q�ÿ���iücÿ��#�s=��.aX[_]ª�n�W aA(�\5Ç.^ Þ Z>Z`a�&�m�n#\�m�a�ªp(!a�_ ­@a�oHÂ�X�\�mEªz«@�bn#&�Ç�m<ª0^!_�����1�8�$<1z;>�ë,83��z*�8��.�D5���7[=Áh� ý`q�üý�����ý��y����ûüþ�� 0üH������ý��iþ�ý�� ÿ����3C2ø ¶��,[=+v5�7:9ºC�=s�h�Rù¢��þcý�ÿ� >������ïuD=@6 �#�s=c�xþ����ýPþ�ü��!üý�ûücÿ¢���Éÿ¢���4�Rú�����ý�����ý!�{þcýPý��{þ�������û!=h? �@|_'a�&>^>^Cl�m<ªz«Z�a'(�\5Ç�^¯ ÇzmE_`\��/¬ H m<_�Z`\ Þ ª�ª�X�n�W Þ ­�� ¤ ��oHÂ.a2Z]mEX.o a�ªO\5Ç.^ ¯ Ç.^Ca_��yaA(¥­@a�oHÂ�X�\�m<ªz«�������{ý�û 1#�#,���1�5�8[�@5���?*z=+v5��:9ºC�=0�h�Rù���þ�ý�ÿ� �������ÐuD=R6g�#�s=BÁÍûcú��DùEÿ���ý��iþB�Dÿ"���iþcücÿäüýlüý�ûüýPþI�<�{þg�4�Rú�����ý�����ý!�{þcýPýj�{þ>������û!=º­@a�oV~`m<ª�n/¬\{a_>m)&�n��������{ý�û�56�[3�[�65����[=

/3

Page 25: Testing of clustering, Proc. 41 IEEE FOCS, IEEE (2000), 240-250. Also

+-/��29Df%=�h�#�����{ùäý!�=�ø6ùBú�ûcüýPþ�ÿ�����ü'�cyÿ¢��ÿ�yÿ"�Pý¢üC��ý|V�2q�ÿ��ú� ÿ��,üýPþ� PùBú�ûüýPþR��ÿBûcüC��� 0ý= ¯ Ç�^Ca�_C^!\�m)&�n�We­@a�oHÂ�X�\�^`_¤ &!m{^`ª�&]^`�������{ý�ûj5!��5�7���5!�#38[��5��78[=+-/.5]9�uD= B �{ú�ûcû�ùäýPþ������Qg= ¨ ý�ù"��ù)=¡�'P���ýPücû����� û�ÿ���Dùäý`q þ�����{ý��4ú�ýPþ�ÿäý�û�= «�^`Z`&!_C^!\�^pn�ª0lé­@aogÂ0X.\{n#\�m�a�ª0n�W

¢g^�a�oV^!\�_'���������{ý�ûj5�/?*£��5�8.5��R5��7?*z=+-//:9�uD= B �[ >�����{ú������ºuD=z¶.����e��û!=�Á¡��ý�ûcü6�4�Rûcû�ÿ"�DùäýG��ý�ú�þ�ÿBûcücÿ� ��<�{þ¢üC��ýgUzP� 0ý��,üýPþ���þ���Dùäý��=+�bn\5Ç.^`o�n\�m)&`Za'( ��Â�^`_'n\�m)a�ª�Z�® ^]Z�^Cn�_'&�Ç��������{ý�û�5�7��¤��5�721��@5��78[=+-/3:9�uD= B �[ >�����{ú�Ë����\uD=z¶.����:�4û!=�Á�ú���ÿvk�ý��j�����DþcþC�#� ��'ü'�%������þC��q�ÿ���iücÿ��#�D�{ù���{þ�ÿäüC��yû6�<�{þR�0�{üücùBý���ý� C��DþC��Dùäý�yû�=���a�X._]ª�n�W�aA(j\5Ç.^ Þ Z>Z`a�&�m�n#\�m�a�ª�(!a�_c­@a�oHÂ�X�\�mEªz«z�bn#&�ÇzmEª0^!_����������{ý�ûH833��[88��.�@5��7,[=+-/21�9DÁj=���=����{ÿ�������x6�=�øh=Su`ú��:ý�û!= Þ W-«�a�_]m�\5Ç�oDZ�(`a_�­6W§X[Z`\�^`_]mEªz«#=��xþ�ý���ücÿ� 0ý`P B �{ùBù)�É5��77[=+-/8:9¥��=$�#�RùBÿ"�#�s���6=$�1ýPýPþ��s����i¶0=Rã|�iüC�{ú� >��ý=�6g��Dú�ûüh PùBú�ûüýPþ.ÿ�����F»ÿäüC�������DùBÿ¢ !�iücÿ"�#��û�ÿ��� `�#��Dú�üýPþH�4ÿEûcÿ"�#�s=×�Û7ÛAÛ7Û ¯ _Anª�Z`*� n\)\�^!_>ª Þ ª�nW �2Z>mEZ8�Tn�&�Ç[*�×>ª�\�^`W<Wv*¢�������{ý�û�*��.56�[7��#/[�65���.5�=+-/,:9 � =&�%�{ú�������������6=&��=â6 �Rú�ûcûcýPý�ú�F%= H m<ª�l�m<ªz«N¢|_Aa�X:Â�Z%m<ªx«jn#\{n ¡ Þ ª%×>ª�\�_'a�l�X�&e\�m�a�ªT\{a ­6WYXzZ`\�^`_ Þ ª0n�W ¬�2Z]m¢Z]=���#��� ¨ ÿBùäý!��¦�¶[�#�Dû!�É5�����.=+-/?*e9)�w=§�lý��iþ>��û�����¥uj=<6 �#�s=4fsý�ûücÿ����%�DþC��Dùäý�yûRFqÿäüC�yûcú���P�ùäý��iþ���ÿ����oûC���Dùäý `�#��DùBý`q�ÿäüx�=4? �LB_Aae&>^�^�l�m<ªz«�Za'(�\5Ç.^"Û|W�^�¦^`ª�\5Ç Þ ª�ª�X�n�W Þ ­�� ­@a�ª�(�^`_C^`ª�&]^�a�ª ­@a�oHÂ�X�\{n\�m)a�ª�n�W�Å�^Cn�_]ª�m<ªz« ¯ Ç.^�a�_����������{ý�ûh/,7��[/?*�*z�5���7[=+-/7:9�6�= � ú���ü'�#�s�B�G=��w=��p�{ùäý!��g����¡��=i���Rú�����= uI�iüC�� `�RùBùäý� 0ücÿ"�#�¡�E�{þ üC��ý;û�ù"�#�����ÿ��RÿäüC�{ù�û'�[� ûcú�þC�{ý!�0�ÁK��ýPü�FG�{þC�zPig��eFK������þC�#� ��É=O? �¨|_'a�&]^�^ClmEªz«Z�aA(�\5Ç.^¥ÛBmv«�Çz\5Ç Þ ª�ª�X�n�W Þ ­��ï¬ ¤ × Þ � ¤ ��oHÂ.a2Z]mEX.o´aª«�mEZ`&�_'^�\�^ Þ W «za�_>m�\5Ç�oDZ>�������{ý�ûH/�,��[3��#3[�@5���,[=+-/�:9D�j=2�1ý!�Rÿ�����������¡Qg=2��ý�ký�ù{=�Á þ�������#yÿ"�Pý��é��$<L2ù"���L�;V�{ù"��{þ�ÿäüC��´�<�{þ üC��ýpFeý�ÿ"�#��üý��Ëý�ú� PùEÿ���ý���5]P� 0ý��,üýPþh��þC��Dùäý�y=���a�X._]ª�n�W6a'( Þ W-«�a�_]m<\5ÇzojZ]�������{ý�ûh387��[3,7[�R5��7,[=+-3��29�6�=p���{üxFG��Dÿ�������6=S6H���#��������s=�®Bn�ª�l#aoDmnÕe^�l Þ W-«�a_>m�\5Ç�oDZ>=eøB����þ.ÿ����{ý%�h��ÿ"�{ýPþ�ûcÿBü��S�@þcý�ûcû!��5���8[=+-3.5]9)�w=s�R�iþ����{ûI����ïuD=@6g�#�s=cf�ý�ûcücÿ����ÉüC��ý���ÿ��kýPüýPþI����{þ�������û!=I? �>B_Aa�&]^�^�l�mEª[«�ZVaA(v®Bn�ª�l�a�oz�����t�����{ý�û78��[�,[�R5����[=+-3/:9køI=p�b=0�xþC�. `��DÿBú� �=rÁ¶ûcú�þC�{ý!���#�� PùBú�ûcüýPþ�ÿ�����=�ÁH�2�{ÿEù����DùäýI�#þC�#�©&ªVª§«X¬®­~­y¯~¯~¯2°:±~²_°�³w´/µ&¶�°®¶§³�´�­p·¹¸$ºV»§³/º��/����.=+-33:9D�6=�6H���#��������s=�?A���<�{þ���iücÿ"�#�éþcýPüþ.ÿäý!�2�{ùs�{ù���{þ�ÿäüC��yû��RÁ ûcú�þ��{ý!�=@? �DB_Aae&>^�^�l�m<ªz«�ZDa'(%\5Ç.^1dcm<ª�\5Ç Þ ª�ª�X�n�WÞ ­��ï¬ ¤ × Þ � ¤ ��oHÂ.a2Z>m<X.o a�ªÐ«%mEZ`&�_'^�\�^ Þ W «za�_]m<\5Ç�oDZ]�������{ý�ûj556��5�7[�65���?*z=+-321�9DQg=#Á�=-6g���Rû!=@uoýPüýPþ�yÿ��DÿBûücÿ� |�{ù"��{þ�ÿBüC��yû@�<�{þr3:P��V�Dÿ��kýPüýPþ�����jû'�#kýH/:P��yù��eFeýPþ@ý��z�{ý�ù"��:ý�û!=�?A� Ä f�\5Ǥ �2oHÂ4*�a�ª ­@a�oHÂ�X�\{n\�m�aª�n�W�¢g^Ca�oV^�\�_����0/����.=|f��V�����:ý��iþ�=+-38:9�6�=#6qú��Dÿ����Gý�ù��É=ê6 ���ú�ûüM�#ú��� 0ücÿ"�#���{ùqý��,ú��iücÿ��#��û�����ËüC��ý�ÿäþ������DùBÿ¢ !�iücÿ"�#��ûyü'�À��þ���{þ�� üý�ûücÿ�����=Ë?A�

B_Aae&>^�^�l�m<ªz«�ZHaA( \5Ç�^ ¯ Ç�m<_`\��Ϭ H m (`\5Ç Þ ª�ª�X�n�W ¤ ��oHÂ.a2Z]mEX.o a�ª H a�X.ª�l#n\�m)a�ª�ZHa'(v­@a�oHÂ�X�\�^`_ ¤ &�m)^!ª�&>^!��5���21�=+-3,:9�6�=#6qú��Dÿ����Gý�ù��¦������w=g¶�ú�����s=ê6 ��Dú�ûcüS ����iþ�� 0üýPþ�ÿ"���iücÿ"�#� ��%�4�Rù"�[���#yÿ��{ùBû�FqÿäüC��������ùBÿ� !�iücÿ"�#��ûjü'��DþC��{þ�� üý�ûücÿ¢����= ¤ × Þ �¼�.a�X._]ª�n�W�aª·­@aogÂ0X.\�m<ªz«#�0/8�$)/#;>�ë/8/��[/?*[5���5���,[=+-3?*e9 � =�¶. ��4ú�ù�V��s=��xþ�ÿ��2�iüý% `�#��ú���ÿ¢ !�iücÿ"�#�s��/����.=

/21

Page 26: Testing of clustering, Proc. 41 IEEE FOCS, IEEE (2000), 240-250. Also

+-37:9¥��=�¶������GýPþe�<6�=[ÁH�{þ���F|�{ù)��������w=~�;ý���üC�.=�¶[��þ.ÿ���ü!�RÁ�ûC !�{ù¢���Dùäýg���iþ��{ùBùäý�ù� Pù��{ûcûcÿvk�ýPþr�<�{þB���iüC�jjÿ���ÿ�����=s?A�B_Aae&>^�^�l�m<ªz«�Z�aA(%\5Ç.^"×>ª�\�^!_>ª�n#\�m�a�ª0n�W�­@aª�(!^!_'^!ª�&>^�a�ª�Ñ�^`_'��ÅÉn_�«[^�«Dn\{n�~Cn�Z!^]Z]��5���,[=

+-3�:9s9D=��j=S9������Dÿ"������yÁj=p��=�ø|��ýPþC��#��ý����4ÿEû!=�CI�1üC��ýKú��Dÿ"�E�{þ>£ `�#���{ýPþC�{ý��� 0ýD��Tþcý�ù¢�iücÿ"�{ý%�#þcý��,ú�ý��� Pÿäý�û ��ý!�{ý��,ücûqü'�yüC��ý�ÿäþB��þ�������DÿBùBÿBücÿäý�û!= ¯ Ç�^Ca�_'�yaA(�|_'a�~Cnz~`m<W§m�\��yn�ª�lSm<\<Zjn]Â#Â�WYm�&>n\�m�aª�Z>�R5)*.$)/#;>�ë/,21[�[/7��.��5��?*[5�=

/8