TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA ... OLIVEIRA, VINICIUS MAIA BARRETO DE Análise e projeto de...
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ANÁLISE E PROJETO DE TENSO-ESTRUTURAS TÊXTEIS PARA COBERTURAS
Vinicius Maia Barreto de Oliveira
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS
PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE
FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS
NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM CIÊNCIAS EM
ENGENHARIA CIVIL.
Aprovada por:
________________________________________________
Prof. Ronaldo Carvalho Battista, Ph.D.
________________________________________________
Prof. Fernando Luiz Bastos Ribeiro, D.Sc.
________________________________________________
Prof. Michèle Schubert Pfeil, D.Sc.
________________________________________________
Prof. Djenane Cordeiro Pamplona, Ph.D.
________________________________________________
Prof. Raul Rosas e Silva, Ph.D.
________________________________________________
Prof. Ruy Marcelo de Oliveira Pauletti, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
NOVEMBRO DE 2003
ii
OLIVEIRA, VINICIUS MAIA BARRETO DE
Análise e projeto de tenso-estruturas têxteis
para coberturas [Rio de Janeiro] 2003
XX, 139 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, D.Sc.,
Engenharia Civil, 2003)
Tese - Universidade Federal do Rio de
Janeiro, COPPE
1. Tenso-estruturas
2. Membranas têxteis
3. Elementos Finitos
I. COPPE/UFRJ II. Título ( série )
iii
Aos meus pais, Luiz e Lízia, meus irmãos, Vicente e Viviane
e à Lu.
iv
Agradecimentos Ao professor Ronaldo pelos mais diversos conhecimentos transmitidos durante todo o período de desenvolvimento da pesquisa. Ao Fernando pelo auxílio de grande importância na parte numérica da tese. Aos amigos Bension e Efrain Akerman, que me facilitaram as condições de moradia aqui no Rio de Janeiro. Ao Abimael Fernando Dourado Loula pelo apoio na minha chegada ao Rio. Aos amigos Silvoso, Jaime, Roberto, Wendell, Jardel, Guilherme, Sidclei, Cláudio Márcio, pelo companherismo. Aos amigos da Pengec, Rodrigo, Augusto e Igor, pelo apoio e compreensão dos adiamentos da conclusão desse trabalho. Ao CNPq, pelo apoio financeiro. E a todos que de alguma forma, em algum momento, me ajudaram a atingir esta meta.
v
Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para
a obtenção do grau de Doutor em Ciências (D.Sc.)
ANÁLISE E PROJETO DE TENSO-ESTRUTURAS TÊXTEIS PARA COBERTURAS
Vinicius Maia Barreto de Oliveira
Novembro/2003
Orientadores: Ronaldo Carvalho Battista
Fernando Luiz Bastos Ribeiro
Programa: Engenharia Civil
No presente trabalho apresentam-se todas as etapas do desenvolvimento de uma
ferramenta computacional especialmente feita para auxiliar a análise e o projeto de tenso-
estruturas têxteis. O programa resultante, denominado TENSOTEX, foi desenvolvido com
base numa formulação não-linear utilizando-se o método dos elementos finitos, sendo
capaz de realizar de maneira integrada todas as etapas da análise estrutural e de projeto.
Apresenta-se, passo a passo, o desenvolvimento completo de um projeto de uma
tenso-estrutura têxtil típica, de maneira a exemplificar a utilização do TENSOTEX e
analisar e discutir todas as etapas realizadas. A primeira etapa consiste em determinar a
geometria espacial da superfície que o tecido deve ter para que fique todo tracionado, além
de atender aos requisitos arquitetônicos. A segunda etapa consiste na definição da
geometria planificada dos moldes para o corte do tecido. Na terceira etapa, as peças de
tecido cortadas num plano são montadas para formar a tenso-estrutura e, finalmente, são
analisadas as tensões no tecido e os esforços nos cabos e estais de ancoragem.
Como não foram encontrados na literatura técnica dados geométricos e resultados
numéricos ou experimentais completos de uma tenso-estrutura têxtil para a validação do
programa, são feitas comparações com os resultados numéricos obtidos com outros
métodos de cálculo, os quais, para isto, também tiveram que ser implementados
computacionalmente.
vi
Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements
for the degree of Doctor of Science (D.Sc.)
ANALYSIS AND DESIGN OF ROOF TEXTILE TENSILE STRUCTURES
Vinicius Maia Barreto de Oliveira
November/2003
Advisors: : Ronaldo Carvalho Battista
Fernando Luiz Bastos Ribeiro
Department: Civil Engineering
This work presents all the development stages of a computational tool, especially
tailored to aid the textile tensostructures design. This program, called TENSOTEX, was
developed on the basis of a nonlinear formulation for the finite element method, and
makes it possible to do in an integrated manner all the stages of the structural analysis and
design.
The complete development of a typical tensile structure design is presented step by
step, in order to make an application example of TENSOTEX, as well as to analyze and
discuss all design stages. The first stage consists in determining the spatial geometry of the
fabric surface, reaching a state of overall stretching, and moreover fulfilling the
architectural requirements. The second stage consists in the definition of the fabric cutting
pattern. In the third stage, the pieces of fabric are assembled to form the tensostructure
and finally, the stresses in the fabric and the forces in the cables and anchorage stays are
analyzed.
Because complete geometric data and numerical or experimental results for a
typical textile tensile structure has not been found in the technical literature, other methods
of calculations were also implemented to compare results and validate the developed tool.
vii
Sumário
Índice de figuras x
Índice de tabelas xvii
Capítulo - 11 Introdução
1.1 Motivação/Objetivos 1
1.2 Escopo do trabalho 2
Capítulo - 22 Tensoestruturas
2.1 Classificação e ilustrações 4
2.1.1 Tensoestruturas de cabos 4
2.1.2 Tensoestruturas de tecido 6
2.2 Tenso-estruturas têxteis 8
2.2.1 Histórico 8
2.2.2 Características principais das atuais tenso-estruturas têxteis 13
Capítulo - 33 Projeto e Fabricação de uma Tenso-estrutura têxtil
3.1 Projeto 17
3.2 Detalhamento para Fabricação 20
3.3 Características dos tecidos 22
3.3.1 Resistência ao rasgamento 25
3.3.2 Resistência ao dobramento 26
3.3.3 Variação dimensional 27
3.3.4 Fluência/relaxação 27
3.3.5 Resistência ao Fogo 28
3.3.6 Resistência à tração 28
3.3.7 Durabilidade 32
3.3.8 Absorção de energia solar 33
3.4 Métodos de cálculo 34
viii
Capítulo - 44 Formulação do método dos elementos finitos para membranas e cabos
4.1 Formulação Lagrangeana Total 38
4.1.1 Obtenção forças internas e da matriz tangente K BTB 41
4.1.2 Matrizes para o elemento de membranas espaciais 45
4.1.3 Comparações com outras formulações 49
4.1.4 Matrizes para o elemento cabo-treliça 54
Capítulo - 55 Definição da Forma
5.1 Introdução 57
5.1.1 Modelos Físicos 58
5.1.2 Superfície mínima 60
5.1.3 Densidade de forças 60
5.1.4 Densidade de tensões 66
5.2 Determinação da forma via MEF 67
5.2.1 Metodologia 67
5.2.2 Exemplos simples de aplicação 69
5.2.3 Comparação com o método de Densidade de forças 75
Capítulo - 66 Determinação dos moldes para corte
6.1 Introdução 77
6.2 Definição das linhas de corte 79
6.3 Planificação utilizando modelos físicos 80
6.4 Planificação elemento a elemento 80
6.4.1 Exemplos 83
6.4.2 Método modificado 85
6.5 Planificação via MEF 87
6.5.1 Introdução / Metodologia 87
6.5.2 Exemplos simples de aplicação 93
ix
Capítulo - 77 Análise e projeto estrutural
7.1 Definições arquitetônicas 98
7.2 Características dos materiais 100
7.3 Definição da forma 102
7.4 Definição das linhas de corte 106
7.5 Definição dos moldes para corte 108
7.6 Análise de tensões 114
7.7 Cabos das bordas e intermediários e reações nos apoios 119
7.8 Comentários finais sobre a análise de tensões no tecido e nas estruturas de suporte 121
Capítulo - 88 Conclusões
8.1 Conclusões 124
8.2 Comentários finais e proposta para desenvolvimento de trabalhos futuros 125
Bibliografia 127
Anexo A – Descrição sumária do programa TENSOTEX 134
x
Índice de figuras
Figura 2-1– Estádio olímpico, Munique, Alemanha, 1972[71]. ...................................... 5
Figura 2-2– Pavilhão de São Cristóvão, Rio de Janeiro 1960. ........................................ 6
Figura 2-3 -Pneumatic Hall ‘Airtecture’. (a)Vista global[72]; (b)Vista lateral[53].............. 6
Figura 2-4 – Centro Cultural Tjapukai [66]. ....................................................................... 7
Figura 2-5 – Exemplo de utilização do tecido sem função estrutural. .......................... 7
Figura 2-6–Radome [64], 1946. .............................................................................................. 8
Figura 2-7 - Pavilhão americano na feira de Osaka, 1970[59]......................................... 8
Figura 2-8 - Tenda de índios norte americanos[65]. ......................................................... 9
Figura 2-9 – Tendas negras[67]. ........................................................................................... 9
Figura 2-10 - Tendas de Circos[16]. .................................................................................... 9
Figura 2-11 - Vierpunktsegel, Kassel, 1955[68]. .................................................................10
Figura 2-12 - Tanzbrunnen, Cologne, 1957[68]. ................................................................10
Figura 2-13 - La Verne College Student Activities Center, EUA, 1973[61]. ..............11
Figura 2-14 - Aeroporto de Jeddah, Arábia Saudita, 1985[62]......................................11
Figura 2-15– Estádio Rei Fahd, Arábia Saudita, 1985[62].............................................11
Figura 2-16 Columbus Center, Baltimore, EUA[73]-.....................................................12
Figura 2-17 - Stadio delle Alpi, Turin, Itália, 1990..........................................................12
Figura 2-18 - Estádio em Honk Kong, China, 1994, [60]. ............................................12
Figura 2-19 - Millenium Dome, Londres, Inglaterra, 2000. ..........................................13
Figura 2-20– Auditório Araújo Viana, Porto Alegre [63]. .............................................13
Figura 2-21 - Aeroporto de Denver, EUA[73]................................................................15
Figura 3-1 – Processo projetivo de uma tenso-estrutura têxtil. ....................................19
xi
Figura 3-2– Detalhe para re-tensionamento[53]. ............................................................20
Figura 3-3 – Detalhe para vedação[53]. ............................................................................21
Figura 3-4– União colada[75]. ............................................................................................21
Figura 3-5– União costurada[75]........................................................................................21
Figura 3-6– Ligação cabo-tecido[75]. ................................................................................22
Figura 3-7– Ligação estrutura-tecido-cabos[75]. .............................................................22
Figura 3-8 – Arranjo dos fios no tecido. (a) fios tecidos (b) fios sobrepostos .........23
Figura 3-9 – Tecido simples com aplicação da matriz. ..................................................25
Figura 3-10 – Ensaio de resistência ao rasgamento[55]. (a) Tongue tear test (b) Teste
trapezoidal (c) Teste axial com rasgo central ..........................................................26
Figura 3-11 – Ensaio de resistência ao dobramento [55]...............................................27
Figura 3-12 – Corpo de prova para teste axial e bi-axial [55]........................................29
Figura 3-13 – Arranjo para teste bi-axial [57]. .................................................................29
Figura 3-14 – Curva tensão-deformação para tecido de fibra de vidro com
PTFE[55]. .....................................................................................................................30
Figura 3-15 – Projeção da resistência a tração (tempo em anos)[64]...........................32
Figura 3-16 – Degradação da resistência por ataque ultravioleta [55]. ........................32
Figura 3-17 – Esquema de transmissão, absorção, reflexão e irradiação da energia
[64]. ................................................................................................................................34
Figura 4-1 – Graus de liberdade locais do elemento de membrana.............................46
Figura 4-2 – Geometria indeformada................................................................................49
Figura 4-3 – Geometria deformada. ..................................................................................50
Figura 4-4 – Condições de contorno ................................................................................50
Figura 4-5 – Malha de elementos triangulares. ................................................................51
Figura 4-6 – Malha de elementos quadriláteros...............................................................51
xii
Figura 4-7 - Elemento proposto. .......................................................................................51
Figura 4-8 - Elemento de casca quadrilátero. ..................................................................51
Figura 4-9 - Elemento do ANSYS de membrana. ..........................................................52
Figura 4-10 - Elemento do ANSYS de casca...................................................................52
Figura 4-11 – Comparação das curvas Deslocamento x Reação.........................................53
Figura 4-12 – Graus de liberdade locais do elemento de cabo-treliça.........................54
Figura 5-1 -Modelos físicos com membrana de sabão[49]. ...........................................59
Figura 5-2– Modelo físico com membrana de tecido[55]..............................................59
Figura 5-3 – Configuração inicial. ......................................................................................61
Figura 5-4 – Configuração final. ........................................................................................62
Figura 5-5 – Características geométricas do parabolóide hiperbólico. ........................64
Figura 5-6 – Malha do hiperbolóide parabólico. .............................................................65
Figura 5-7 – Forma encontrada para densidades iguais para cabos passivos e ativos.
........................................................................................................................................65
Figura 5-8 – Desvios geométricos ∆ obtidos com o método da densidade de forças.
........................................................................................................................................66
Figura 5-9 - Modelagem inicial. ..........................................................................................67
Figura 5-10 – Projeção horizontal. ....................................................................................68
Figura 5-11 – Vista em perspectiva. ..................................................................................68
Figura 5-12 – Graus de liberdade do elemento de membrana......................................69
Figura 5-13 – Malha inicial..................................................................................................69
Figura 5-14 – Deslocamentos impostos. ..........................................................................70
Figura 5-15 – Projeção horizontal. ....................................................................................71
Figura 5-16 – Vista em Perspectiva. ..................................................................................71
Figura 5-17 – Tensões no tecido........................................................................................71
xiii
Figura 5-18 – Tesões no tecido após redução do módulo de elasticidade..................72
Figura 5-19 – Tesões no tecido após imposição de tensões iniciais. ...........................72
Figura 5-20 – Resposta do programa demonstrativo CADISI.....................................73
Figura 5-21 – Malha inicial plana. ......................................................................................73
Figura 5-22 – Deslocamentos impostos. ..........................................................................74
Figura 5-23 – Projeção horizontal. ....................................................................................74
Figura 5-24 – Perspectiva. ...................................................................................................74
Figura 5-25 – Perspectiva de forma com deslocamento horizontal. ...........................74
Figura 5-26 – Malha inicial..................................................................................................75
Figura 5-27 – Deslocamentos prescritos. .........................................................................75
Figura 5-28 – Desvios geométricos ∆ obtidos com o MEF. ........................................76
Figura 6-1 – Superfície cônica. ...........................................................................................78
Figura 6-2 – Planificação da superfície cônica.................................................................78
Figura 6-3 – Superfície esférica. .........................................................................................78
Figura 6-4– Aproximação da superfície toróide[74]. ......................................................79
Figura 6-5 – Identificação dos padrões de corte tridimensionais, 64 tiras..................80
Figura 6-6 – Tira tridimensional destacada. .....................................................................81
Figura 6-7 – Planificação do primeiro elemento. ............................................................82
Figura 6-8 - Pontos de interseção. ....................................................................................82
Figura 6-9 - Escolha do ponto de interseção..................................................................83
Figura 6-10 – Continuação do processo...........................................................................83
Figura 6-11 – Tira antes da planificação. ..........................................................................84
Figura 6-12 – Dimensões principais da tira planificada. ................................................84
Figura 6-13 - Restrição do movimento planar de corpo rígido de um elemento
triangular. ......................................................................................................................85
xiv
Figura 6-14 - Dimensões principais da tira planificada considerando as deformações
iniciais. ...........................................................................................................................86
Figura 6-15 – Malha para superfície cilíndrica circular. (a) Projeção horizontal; (b)
raio; (c) perspectiva .....................................................................................................88
Figura 6-16 – Rotação da superfície discretizada. (a) Perspectiva; (b) vista lateral....89
Figura 6-17 – Malha da superfície cilíndrica planificada. ...............................................89
Figura 6-18 – Tensões residuais principais máximas (Smax) e mínimas (Smax) na
superfície cilíndrica planificada. ................................................................................90
Figura 6-19 - Malha da superfície esférica. (a) Vista lateral da superfície esférica;
(b)Perspectiva...............................................................................................................90
Figura 6-20 - Malha da superfície esférica planificada....................................................91
Figura 6-21 – Tensões residuais principais máximas (Smax) e mínimas (Smax) na
superfície esférica planificada. ...................................................................................91
Figura 6-22 – Malha da superfície esférica recortada. (a)Planta; (b) Perspectiva......92
Figura 6-23 – Malha da superfície esférica recortada planificada.................................92
Figura 6-24 – Tensões residuais principais máximas (Smax) e mínimas (Smax) na
superfície esférica recortada planificada. .................................................................93
Figura 6-25 – Dimensões principais da tira planificada sem tensões iniciais. ............93
Figura 6-26 – Tensões residuais máximas da tira planificada sem tensões iniciais....93
Figura 6-27 – Tensões residuais mínimas da tira planificada sem tensões iniciais. ...94
Figura 6-28 – Dimensões principais da tira planificada com tensões iniciais.............94
Figura 6-29 – Tensões residuais máximas da tira planificada com tensões iniciais. ..94
Figura 6-30 – Tensões residuais mínimas da tira planificada com tensões iniciais. ..95
Figura 6-31 – Tira tridimensional de tecido destacada...................................................95
Figura 6-32 – Dimensões principais da tira planificada com tensões iniciais e maior
refinamento. .................................................................................................................95
xv
Figura 6-33 – Tensões residuais máximas da tira planificada com tensões iniciais. ..96
Figura 6-34 – Tensões residuais mínimas da tira planificada com tensões iniciais. ..96
Figura 6-35 – Identificação dos padrões de corte tridimensionais, 32 tiras. ..............96
Figura 6-36 – Dimensões principais da tira planificada com tensões iniciais.............97
Figura 6-37 – Identificação dos padrões de corte tridimensionais, 16 tiras. ..............97
Figura 6-38 – Dimensões principais da tira planificada com tensões iniciais.............97
Figura 7-1 – Corte conceitual da cobertura principal [36]. ............................................99
Figura 7-2 – Planta conceitual da cobertura[36]............................................................100
Figura 7-3 – Malha inicial e numeração dos nós do contorno....................................102
Figura 7-4 – Vista lateral....................................................................................................103
Figura 7-5 – Vista Frontal. ................................................................................................103
Figura 7-6 – Vista em perspectiva da cobertura. ...........................................................104
Figura 7-7 – Vista superior................................................................................................104
Figura 7-8 – Vista em perspectiva da cobertura. ...........................................................105
Figura 7-9 – Vista lateral....................................................................................................105
Figura 7-10 – Vista Frontal. ..............................................................................................106
Figura 7-11 – Vista superior. ............................................................................................106
Figura 7-12 – Linhas de corte...........................................................................................107
Figura 7-13 – Malha gerada após a definição das linhas de corte. .............................108
Figura 7-14 – Pedaços planificados de tecido da tenda principal, arranjados lado a
lado. .............................................................................................................................109
Figura 7-15 – Pedaços planificados de tecido da tenda principal, arranjados lado a
lado. .............................................................................................................................110
Figura 7-16 – Pedaços planificados de tecido do caminho, arranjados lado a lado.111
Figura 7-17 – Pedaços planificados de tecido do caminho, arranjados lado a lado.112
xvi
Figura 7-18 – Detalhe do molde 01.................................................................................112
Figura 7-19 – Tensões residuais principais máximas (Smax) e mínimas(Smax) no
pedaço 01 planificado . .............................................................................................113
Figura 7-20 – Tensões residuais principais máximas (Smax) e mínimas(Smax) no
pedaço 02 planificado. ..............................................................................................114
Figura 7-21 – Tensões residuais principais máximas (Smax) e mínimas(Smax) no
pedaço 34 planificado. ..............................................................................................114
Figura 7-22 – Tensões residuais principais máximas (Smax) e mínimas(Smax) no
pedaço 57 planificado. ..............................................................................................114
Figura 7-23 – Tensões principais máximas no tecido após a montagem com
protensão dos cabos. ................................................................................................115
Figura 7-24 – Tensões principais mínimas no tecido após a montagem com
protensão dos cabos. ................................................................................................115
Figura 7-25 – Modificações nas linhas de corte. ...........................................................116
Figura 7-26 – Tensões residuais principais máximas (Smax) e mínimas (Smin) no
pedaço n° 57...............................................................................................................117
Figura 7-27 – Tensões residuais principais máximas (Smax) e mínimas (Smin) no
pedaço n° 72...............................................................................................................117
Figura 7-28 – Tensões principais máximas no tecido após a montagem com
protensão dos cabos. ................................................................................................118
Figura 7-29 – Tensões principais mínimas no tecido após a montagem com
protensão dos cabos. ................................................................................................118
Figura 7-30 – Tensões (Sx) e forças (Fx) nos cabos após a montagem. ...................119
Figura 7-31 – Localização dos nós de apoio..................................................................120
Figura 7-32 [39]...................................................................................................................122
xvii
Índice de tabelas
Tabela 3-1 - Resistência ao Fogo [69]. 28
Tabela 3-2 - Características mecânicas típicas[69]. 31
Tabela 3-3 – Efeito da luz do sol [55], [69]. 34
Tabela 7-1 – Coordenadas do molde 01 113
Tabela 7-2 – Reações de apoio 120
xviii
Lista de Símbolos
A - Área transversal do elemento cabo-treliça
B - Matriz das relações deformação-deslocamento
B B0 B - Parcela constante da matriz B
B B1 B - Parcela linear da matriz B
DBABB - Densidade de força do elemento AB
D BFB - Matriz das densidades de força
D - Matriz constitutiva
FBABxB - Componente em x da força no elemento AB
F - Vetor de forças externas
FBxB - Vetor de forças na direção x
K BTB - Matriz de rigidez tangente
K B0 B - Matriz de rigidez linear
K B1 B - Matriz linearmente dependente de u
K B2 B - Matriz quadraticamente dependente de u
K Bσ B - Matriz das tensões iniciais ou geométrica
L - Comprimento do elemento cabo-treliça
LBABB - Comprimento do elemento AB
NBi B - Matriz das funções de interpolação do nó i
xix
NBi B - Função de interpolação do nó i
P - Vetor de forças internas
R - Matriz de rotação
t - Espessura do elemento de membrana
u - Campo de deslocamentos
P
nPu - Configuração de equilíbrio n
δu - Incremento de deslocamentos
u Bi B - Vetor de incógnitas do nó i
u P
eP - Campo de deslocamentos no elemento e
AUeE EA - Vetor de deslocamentos nodais do elemento e
u, v, w - Componentes do campo de deslocamentos
u Bi B, v Bi B, wBi B - Incógnitas nodais
xBAB - Coordenada x do nó A
X - Vetor de coordenadas x
ε - Tensor de Green
δε - Incremento de deformações
ε B0 B - Parcela linear das deformações
ε B1 B - Parcela não-linear das deformações
εBxB, εByB, εBz B - Componentes do tensor de Green
xx
γByz B, γBzx B, γBxy B- Componentes do tensor de Green
σ - Vetor de tensões
δσ - Vetor de incrementos de tensões
Ψ - Vetor de resíduo
Ω - Domínio da estrutura
AΩeE EA - Domínio do elemento e
ζ, η, Θ - Matrizes auxiliares
τ - Matriz de tensões iniciais
∆ - Área do elemento de membrana
λ Bij B - Co-seno do ângulo entre os eixo i e j
1 ⋅ Introdução
1
CCaappííttuulloo 11
1Introdução
1.1 Motivação/Objetivos
A beleza estética e a plasticidade das tensoestruturas têxteis constituem motivação
suficiente para que pesquisadores e engenheiros se empenhem no estudo, na
melhoria do entendimento do comportamento e no domínio de todas as etapas da
análise, do projeto e da fabricação desse tipo de estrutura.
A pesquisa sobre as tenso-estruturas têxteis no mundo começou já na segunda
metade do século XX e se encontra atualmente num estágio avançado, com
ferramentas computacionais desenvolvidas para automatização do projeto.
No Brasil, os estudos sobre essas estruturas são recentes e há a necessidade de se
avançar em sua pesquisa, para que haja um conhecimento mais amplo sobre o
assunto. É necessário o desenvolvimento no país de ferramentas computacionais
para automatizar, controlar todas as etapas de cálculo e análise de tensões
necessárias para o projeto dessas estruturas.
1 ⋅ Introdução
2
Em função dessa demanda, o presente trabalho teve como objetivo desenvolver
uma ferramenta computacional capaz de executar as principais etapas do projeto de
uma tenso-estrutura têxtil: a determinação da forma, definição dos moldes de corte
e análise de tensões após a montagem dos pedaços costurados de tecido. As duas
primeiras etapas são ainda hoje realizadas com o auxílio de modelos físicos em
escala geométrica reduzida, ou através de moldes definidos de forma empírica, assim
como fazem os artesãos, alfaiates e mestres baloeiros para a confecção de roupas e
balões, de complexas geometrias espaciais
O programa desenvolvido, denominado TENSOTEX, foi implementado em
linguagem FORTAN, baseado no método dos elementos finitos (MEF). Foi
desenvolvido a partir de um programa básico elaborado por RIBEIRO [50] para a
resolução de problemas não lineares de casca. No TENSOTEX foram
implementadas as rotinas relativas ao elemento de membrana com grandes
deformações e deslocamentos, além das demais rotinas necessárias para projetos de
tenso-estruturas têxteis.
Além das rotinas implementadas no programa TENSOTEX, foram criados outros
programas que aplicam métodos de análise comumente utilizados para permitir a
comparação de seus resultados com os do programa TENSOTEX.
1.2 Escopo do trabalho
No Capítulo 2 as tenso-estruturas são classificadas, apresentando algumas
ilustrações e um breve histórico da utilização de tenso-estruturas têxteis.
As principais diferenças entre o projeto de uma estrutura convencional e o de uma
tenso-estrutura têxtil são apresentadas no Capítulo 3, além das características dos
tecidos empregados, e de uma descrição sucinta dos detalhes especiais, tais como
costuras e ancoragens.
No Capítulo 4 é apresentada a formulação do MEF para cabos e membranas,
utilizados no desenvolvimento do programa TENSOTEX.
1 ⋅ Introdução
3
O Capítulo 5 apresenta a primeira etapa do projeto: a definição da forma. Os
principais métodos utilizados são apresentados de forma resumida e o procedimento
a ser implementado na ferramenta desenvolvida é aplicado e comparado a resultados
de outro método.
A segunda etapa do projeto está descrita no Capítulo 6: a determinação dos moldes
de corte. Nesta etapa é definida a geometria dos pedaços do tecido necessários para
a montagem da estrutura.
As várias fases de análise e do projeto são expostas no Capítulo 7, enfatizando a
análise de tensões após montagem das peças de tecido costuradas que compõem a
tenso-estrutura têxtil.
No Capítulo 8 são apresentadas as conclusões e sugestões para trabalhos futuros.
2 ⋅ Tensoestruturas
4
CCaappííttuulloo 22
2Tensoestruturas
2.1 Classificação e ilustrações
As tensoestruturas podem ser classificadas em dois grandes grupos:
(i) tensoestruturas formadas por malhas de cabos ou fios de aço ou material
novo e resistente (por exemplo aramida ou Kevlar), cobertas com telhas
poliméricas translúcidas ou tecido
(ii) tensoestruturas formadas por membranas, que podem ser constituídas
pedaços de tecido costurados, também chamadas de tensoestruturas
têxteis, ou por outros materiais, como folhas de aço.
2.1.1 Tensoestruturas de cabos
Com o advento de fios e cordoalhas de aço duro, ou aço de protensão, com baixa
relaxação, houve uma impulsão na criação de tensoestruturas formadas por malhas
de cabos para coberturas de grandes vãos. A superfície formada por essa malha de
2 ⋅ Tensoestruturas
5
cabos pode ser coberta por folhas ou telhas de material plástico translúcido, ou
pedaços costurados de tecido.
Frei Otto projetou, entre outras, as tenso-estruturas de cabos para a cobertura do
pavilhão da Alemanha na Expo 1967, em Montreal, Canadá e a cobertura das
arquibancadas do estádio olímpico de Munique, de 1972 (figura 2-1).
Figura 2-1– Estádio olímpico, Munique, Alemanha, 1972[71].
A utilização de tenso-estruturas de cabos no Brasil tem como marcos importantes as
coberturas do Pavilhão de Exposições do Rio Grande do Sul, em São Paulo, de
1954, e a cobertura do Pavilhão de São Cristóvão, de 1960, no Rio de Janeiro (figura
2-2), projetada pelo arquiteto Sergio W. Bernardes e pelo engenheiro Paulo R.
Fragoso. Na época essas estruturas de cobertura se destacavam entre as maiores
tenso-estruturas formadas por malhas de cabos do mundo. A malha de cabos da
cobertura de São Cristóvão na forma de um hiperbolóide parabólico e se ancora
numa estrutura auto-equilibrada de concreto armado, cuja projeção horizontal é
uma falsa elipse com eixos, maior e menor, com dimensões externas de 250 metros
e 165 metros respectivamente.
2 ⋅ Tensoestruturas
6
Figura 2-2– Pavilhão de São Cristóvão, Rio de Janeiro 1960.
Essas malhas formam superfícies espaciais de dupla curvatura e os cabos seguem as
linhas das curvaturas principais. Numa das direções principais os cabos são passivos
(os de curvatura positiva, ou para cima, no Pavilhão de São Cristóvão) e na outra
direção os cabos são ativos, isto é, os cabos que são protendidos ou tensionados.
2.1.2 Tensoestruturas de tecido
As estruturas de tecido podem ser classificadas em dois grupos diferentes: em um
ficam as estruturas pneumáticas, como a da figura 2-3; no outro, ficam as tenso-
estruturas têxteis (figura 2-4), que é o objeto de estudo do presente trabalho.
(a)
(b)
Figura 2-3 -Pneumatic Hall ‘Airtecture’. (a)Vista global[72]; (b)Vista lateral[53]
2 ⋅ Tensoestruturas
7
Figura 2-4 – Centro Cultural Tjapukai [66].
O tecido também pode ser usado sem função estrutural (figura 2-5), substituindo as
telhas e tapamentos laterais. Neste caso, pode ser feito um cálculo observando-se a
falta de rigidez ao cisalhamento do tecido, além de levar em consideração que os
carregamentos transversais ao plano do tecido serão transferidos para a estrutura de
suporte por tensões de membrana, gerando esforços numa direção diferente da
direção dos carregamentos.
Figura 2-5 – Exemplo de utilização do tecido sem função estrutural.
Numa tenso-estrutura têxtil, como os cabos e o tecido não têm capacidade de
resistir a esforços de compressão, estes devem estar sempre tracionados para a
estrutura ser estável e não sofrer enrugamento. No caso das estruturas pneumáticas,
a tração é feita através da aplicação de uma pressão interna, enquanto nas tenso-
estruturas têxteis, aplica-se protensão tracionando os cabos.
Aproximadamente na mesma época em que Frei Otto criava na Alemanha as bases
para o desenvolvimento das tenso-estruturas têxteis, Walter Bird começava nos
EUA, nos anos 50, o seu trabalho com membranas tensionadas, relacionado com as
estruturas pneumáticas. Estruturas pneumáticas para radares, chamadas de
radomes (figura 2-6), estavam entre seus principais projetos.
2 ⋅ Tensoestruturas
8
Figura 2-6–Radome [64], 1946.
Horst Berger e David Geiger também foram importantes para o progresso das
estruturas de membrana, sendo Berger aquele que realmente estava ligado ao tipo de
tensoestrutura têxtil aqui estudado, enquanto Geiger trabalhava com coberturas
pneumáticas (air supported), como a que é apresentada na figura 2-7, a primeira
estrutura de membranas pneumática a ser analisada computacionalmente.
Figura 2-7 - Pavilhão americano na feira de Osaka, 1970[59].
Glockner também trabalhou com esse tipo de estrutura pesquisando principalmente
a estabilidade de estruturas infláveis axi-simétrica (Dacko e Glockner[13]).
2.2 Tenso-estruturas têxteis
2.2.1 Histórico
As tendas são certamente o tipo de moradia mais antigo do homem, excetuando-se
as cavernas. Foram encontradas, na Ucrânia, evidências de que o homem, há mais
de 40000 anos, usava ossos e presas de mamutes para sustentar peles de animais[55].
Os índios da América do Norte (figura 2-8) e asiáticos usavam tendas cônicas para
se proteger das intempéries.
2 ⋅ Tensoestruturas
9
Figura 2-8 - Tenda de índios norte
americanos[65].
Figura 2-9 – Tendas negras[67].
Os povos nômades faziam uso das estruturas de membranas constituídas de peles
de animais, que apresentam facilidade para serem desmontadas e transportadas,
como as tendas negras (figura 2-9). Nessa época as peles eram carregadas, enquanto
as partes mais pesadas, usadas como suporte, eram deixadas para trás. Com o passar
dos tempos as peles de animais passaram a ser substituídas por tecidos.
Com a popularização dos circos nos EUA, no século XIX, foram desenvolvidos
vários conhecimentos empíricos para a produção dessas tenso-estruturas têxteis
(figura 2-10), como a forma de cortar e costurar os tecidos, as ancoragens, técnicas
de montagem e desmontagem. Até hoje os circos ainda utilizam estruturas de
tecidos devido a sua facilidade de montagem, desmontagem e transporte,
permitindo freqüentes relocações.
Figura 2-10 - T Tendas de CircosT[16]T.T
Uma das empresas fabricantes de tendas é a Stromeyer, fundada em 1872 e que até
hoje está em funcionamento. Juntamente com Peter Stromeyer, Frei Otto começou
2 ⋅ Tensoestruturas
10
a trabalhar com tendas, chegando a publicar uma patente, em 1961, para a empresa
Stromeyer[48].
A cobertura de um palco (figura 2-11) projetada por Frei Otto, em 1955, pode ser
considerada como um marco da utilização das tenso-estruturas têxteis modernas.
Ele realizou outros projetos pioneiros tal como a cobertura para um salão de dança,
em 1958 (figura 2-12).
Figura 2-11 - T Vierpunktsegel, Kassel,
1955T[68]T.T
Figura 2-12 - T Tanzbrunnen, Cologne, 1957T[68]T.T
Inicialmente, as tenso-estruturas têxteis eram usadas apenas em estruturas
temporárias; isso porque os materiais empregados não tinham a durabilidade
necessária para serem utilizados em estruturas permanentes. Atualmente já existem
materiais que são fabricados com uma durabilidade garantida por pelo menos 20
anos.
Com o avanço dos métodos de cálculo automático, via modelagem numérica-
computacional, e com a melhoria da qualidade dos tecidos, essas coberturas tenso-
têxteis passaram a ser empregadas em edificações de grande porte, tais como
aeroportos, estádios esportivos e centros de convenções em várias partes do mundo.
Exemplos dessas coberturas são apresentados nas figuras a seguir.
2 ⋅ Tensoestruturas
11
Figura 2-13 - T TLa Verne College Student Activities Center, EUA, 1973[61].
Figura 2-14 - Aeroporto de Jeddah, Arábia Saudita, 1985[62].
Figura 2-15– Estádio Rei Fahd, Arábia Saudita, 1985[62].
2 ⋅ Tensoestruturas
12
Figura 2-16 Columbus Center, Baltimore, EUA[73]-.
Figura 2-17 - Stadio delle Alpi, Turin, Itália, 1990.
Figura 2-18 - Estádio em Honk Kong, China, 1994, [60].
2 ⋅ Tensoestruturas
13
Figura 2-19 - Millenium Dome, Londres, Inglaterra, 2000.
No Brasil os exemplos desse tipo de estruturas estão limitados à estrutura de
pequeno e médio porte. A figura 2-20 mostra a cobertura do Auditório Araújo
Viana, em Porto Alegre, RS, com dimensões de porte médio (D=67 m), que é um
exemplo de tenso-estrutura têxtil projetada e fabricada no Brasil.
Figura 2-20– Auditório Araújo Viana, Porto Alegre [63].
2.2.2 Características principais das atuais tenso-estruturas têxteis
As tenso-estruturas têxteis têm tido uma crescente utilização, sendo empregadas
como coberturas permanentes de grandes espaços públicos, como estádios
esportivos e aeroportos, além dos inúmeros exemplos de utilização de coberturas de
pequeno e médio porte.
Dentre os vários fatores que colocaram as tenso-estruturas têxteis em evidência no
mercado e têm contribuído para o crescimento do seu emprego em grandes
coberturas, podem ser destacados os seguintes: a forma arquitetônica marcante e
translúcida, a leveza estrutural, a facilidade de montagem e a evolução tecnológica na
indústria têxtil, produzindo tecidos resistentes e duráveis.
2 ⋅ Tensoestruturas
14
Essas características que tornam atrativa a escolha das tenso-estruturas têxteis como
uma vantajosa solução estrutural para coberturas, podem ser melhor especificadas
como se segue:
• Beleza estética da forma arquitetônica;
• Leveza da estrutura espacial;
• Facilidade de transporte das peças e montagem no local;
• Boa resistência ao fogo dos tecidos mais modernos;
• Boa iluminação natural com a utilização de tecidos translúcidos;
• Isolamento acústico produzido por coberturas de membrana dupla;
• Durabilidade dos tecidos;
• Custo competitivo para coberturas grande porte;
A escolha de uma solução tenso-têxtil, para grandes estruturas de coberturas,
geralmente leva em consideração o grande impacto visual que a forma estrutural
provoca, como é o caso do aeroporto de Denver (figura 2-21). Durante a noite, a
estrutura translúcida marca a paisagem a quilômetros de distância. Devido a este
efeito de luminosidade essas estruturas passam a ser referências turísticas de uma
cidade.
2 ⋅ Tensoestruturas
15
Figura 2-21 - Aeroporto de Denver, EUA[73].
Além da aparência, pode ser contabilizada uma outra vantagem dos tecidos, a leveza.
Esta característica se torna mais importante à medida que se aumenta o vão livre da
estrutura, já que a relação entre o peso da estrutura e a carga que ela suporta
aumenta consideravelmente para o caso de grandes vãos, tornando proibitivo o uso
de certos sistemas estruturais mais pesados, proporcionando uma grande vantagem
para estruturas leves. Com a redução do peso da estrutura, são reduzidos os
esforços nas estruturas de suporte e cargas nas fundações, principalmente quando
estes esforços são devidos a efeitos sísmicos, proporcionando uma grande vantagem
para cobertura de estruturas pré-existentes.
Os gastos com energia elétrica também podem ser reduzidos. Com o uso de tecidos
translúcidos, pode ser aproveitada a luz natural, reduzindo o uso de iluminação
artificial. Em climas quentes pode se economizar na refrigeração do ambiente, já que
o índice de reflexão do calor do sol é bastante alto.
A facilidade de montagem e de transporte, que possibilitam a utilização em
estruturas móveis, também agilizam o processo construtivo da estrutura. Desde a
fabricação, que pode ser feita em locais distantes e transportada com baixo custo,
até a montagem, que não exige equipamentos de grande porte, devido a leveza da
estrutura.
2 ⋅ Tensoestruturas
16
O custo do tecido certamente é muito maior do que o de telhas convencionais, mas
quando são consideradas todas as reduções de custo proporcionadas pelas tenso-
estruturas têxteis, estas se tornam competitivas.
Observando a série de vantagens apresentadas, a tenso-estrutura têxtil parece ser a
solução ideal para coberturas de grandes vãos, mas isso não reflete a realidade da
indústria da construção civil já que a principal desvantagem está associada às
incertezas em relação ao envelhecimento de materiais compósitos poliméricos
expostos aos raios ultravioletas, portanto em relação ao custo/durabilidade.
Contudo, dois fatores realmente dificultam a utilização do tenso-têxtil no Brasil: o
custo elevado dos tecidos importados de alta qualidade, duráveis e resistentes ao
fogo e o reduzido número de engenheiros com experiência no projeto, na fabricação
e na montagem desse tipo de estruturas, além da falta de ferramentas
computacionais abertas desenvolvidas no país, para que os projetistas brasileiros
possam conceber uma tenso-estrutura têxtil e analisar o desempenho final pós-
montagem e tensionamento.
3 ⋅ Projeto e Fabricação de uma Tenso-estrutura têxtil
17
CCaappííttuulloo 33
3Projeto e Fabricação de uma Tenso-estrutura têxtil
3.1 Projeto
Num empreendimento moderno, é aconselhável que todos os profissionais ligados a
um projeto sejam reunidos em uma grande equipe. Com esta organização,
engenheiros e arquitetos podem analisar previamente características estruturais
importantes, como a locação das fundações, dimensões adequadas dos
componentes, criando projetos mais funcionais e de menor custo total.
No caso das tenso-estruturas têxteis esta interação é imprescindível, já que
praticamente todas as decisões do engenheiro estrutural afetam a forma final da
estrutura espacial. Mastros são deixados aparentes, cabos cruzam o ambiente, até a
posição das costuras marcam a membrana, principalmente se esta for translúcida.
Mesmo a forma geométrica, normalmente pré-definida pelos arquitetos, deve ser re-
definida de maneira precisa pelos engenheiros.
3 ⋅ Projeto e Fabricação de uma Tenso-estrutura têxtil
18
O projeto de uma tenso-estrutura têxtil engloba três fases inexistentes no projeto
estrutural convencional. Uma é a definição da forma espacial final, que deixa de ser
de responsabilidade exclusiva do arquiteto e passa a ter a colaboração do
engenheiro. A segunda é a definição dos padrões ou moldes de corte, que talvez
pudesse ser considerada uma tarefa exclusiva do fabricante, mas tem grande
influência no comportamento estrutural e depende de resultados de cálculos que
não são conhecidos pelo fabricante, tal como o campo de tensões. A terceira fase do
projeto é a remontagem dos pedaços de tecido planos na estrutura espacial
tensionada. Por fim a estrutura deve ser verificada como uma estrutura
convencional, analisando tensões nos tecidos e os esforços nos cabos de bordo, nos
cabos estais, nas estruturas de apoio e nas fundações. A figura 3-1 ilustra esse
processo.
Apesar desta definição de cada etapa separadamente, tanto a análise estrutural pode
indicar a necessidade de se refazer o primeiro passo, como a definição de padrões de
corte também pode indicar a necessidade de se refazer as duas análises anteriores.
A definição dos padrões de corte determina as direções das fibras do tecido, o que
pode tornar necessária uma reanálise da estrutura, considerando as características
ortotrópicas do material.
Esta recorrência de etapas projetivas pode tornar o processo muito trabalhoso, por
isso há a necessidade de criação de uma ferramenta computacional capaz de efetuar
cada uma das etapas e de interagir com os resultados das outras etapas.
3 ⋅ Projeto e Fabricação de uma Tenso-estrutura têxtil
19
Figura 3-1 – Processo projetivo de uma tenso-estrutura têxtil.
3 ⋅ Projeto e Fabricação de uma Tenso-estrutura têxtil
20
3.2 Detalhamento para Fabricação
O detalhamento da estrutura de suporte e do próprio tecido, se comparados com
estruturas correntes, são complexos. Numa estrutura convencional os ângulos de
ligação entre os diversos elementos da estrutura são bem definidos, muitas vezes são
ângulos retos, possibilitando a utilização de detalhes padronizados, de fácil
execução.
No detalhamento da tenso-estrutura deve ser dada uma atenção especial às ligações
da estrutura, sejam entre pedaços de tecido (costuras), entre tecido e cabos, entre
outras. Se não for tomado o devido cuidado, nestes pontos de concentração de
tensões podem ser criados pontos frágeis. Em alguns casos o detalhe ainda
possibilita a aplicação da protensão necessária no tecido e nos cabos, e até um
posterior re-tensionamento por perda de protensão, como o caso mostrado nas
figuras 3-2.
Figura 3-2– Detalhe para re-tensionamento[53].
A vedação da estrutura também pode gerar um problema de detalhamento quando
há um encontro da estrutura têxtil flexível com uma parede, neste ponto há uma
grande diferença de deslocamento da membrana e da parede, que é praticamente
nulo. Para solucionar este problema são usados elementos flexíveis, que vedam este
espaço entre a fachada e a membrana, figura 3-3.
3 ⋅ Projeto e Fabricação de uma Tenso-estrutura têxtil
21
Figura 3-3 – Detalhe para vedação[53].
Os pedaços de tecido cortados têm que ser unidos para formar a superfície da
cobertura. Essa união pode ser soldada, colada ou costurada. É importante que a
emenda transmita os esforços de membrana no tecido, afetando o mínimo possível
o comportamento global da estrutura. A resistência desta ligação é influenciada por
fatores como a adesão da matriz e a largura da emenda, que varia de 25 a 50 mm
para materiais com PVC e de 50 a 75 mm para silicone e PTFE[55].
Figura 3-4– União colada[75].
Figura 3-5– União costurada[75].
3 ⋅ Projeto e Fabricação de uma Tenso-estrutura têxtil
22
As figuras 3-6 e 3-7 apresentam outros detalhes típicos de ligação entre a estrutura
de apoio e o tecido, entre cabos e o tecido e entre cabo e estrutura. A primeira
apresenta, em amarelo, um detalhe interessante de um elemento de proteção para
canalizar a água, já a segunda apresenta um recorte feito usualmente nos cantos do
tecido para evitar a concentração de tensões nesses pontos, além de ilustrar as
ligações entre os cabos, estrutura de apoio e o tecido.
Figura 3-6– Ligação cabo-tecido[75].
Figura 3-7– Ligação estrutura-tecido-cabos[75].
3.3 Características dos tecidos
Nesta seção é feita uma breve descrição dos tecidos empregados em tenso-
estruturas, apresentando-se os tipos mais utilizados, suas principais características
físicas e algumas técnicas experimentais para determiná-las.
3 ⋅ Projeto e Fabricação de uma Tenso-estrutura têxtil
23
Os tecidos comumente utilizados são compostos por fibras e uma matriz. Apesar de
existirem tecidos sem a matriz, é mais comum utilizar os dois materiais. Existe ainda
a possibilidade de utilizar membranas poliméricas sem a presença de fibras.
As fibras normalmente não são nem longas, nem espessas o suficiente para que
possa ser usada diretamente no tecido, por tanto as fibras têm que ser unidas em
fios. Existem várias formas de unir as fibras, podendo ser dispostas paralelamente
ou torcidas juntas. O fio produzido pelas fibras torcidas tem uma rigidez axial
menor do que o outro, mas tem uma menor rigidez à flexão.
Os fios por sua vez devem ser combinados para produzir uma malha. Os fios
podem ser tecidos (figura 3-8 a) ou dispostos em camadas de fios paralelos
sobrepostas (figura 3-8 b).
(a) (b)
Figura 3-8 – Arranjo dos fios no tecido. (a) fios tecidos (b) fios sobrepostos
No primeiro caso, percebe-se a presença de fios retilíneos, que formam a urdidura e
são inicialmente esticados. Os outros fios, que formam a trama, são então
entrelaçados nos fios da urdidura como mostrado na figura 3-8 a. No segundo caso
os fios são apenas sobrepostos antes da aplicação da matriz.
Para o caso dos fios tecidos tem-se uma espessura maior, aproximadamente três
vezes o diâmetro de fio, enquanto no outro apenas duas vezes, assim o primeiro
apresenta um maior consumo da matriz. Além disso, as ondulações criadas nos fios
3 ⋅ Projeto e Fabricação de uma Tenso-estrutura têxtil
24
alteram as características mecânicas, criando um comportamento ortotrópico
acentuado.
Outros fatores ainda podem variar como o diâmetro dos fios, a quantidade de fios
por metro, o afastamento entre eles, o ângulo entre os fios da trama e da urdidura.
As variações desses parâmetros alteram as seguintes características:
• Adesão mecânica à matriz;
• Resistência ao rasgamento;
• Resistência à tração unidirecional e bi-direcional;
• Rigidez extensional;
Dentre os tipos de fibra, destacam-se quatro mais utilizadas: nylon, poliéster,
aramida, fibra de vidro. Esta última tem como vantagens a grande resistência à
tração, módulo de elasticidade elevado e resistência aos raios ultravioleta. Como
desvantagem a sua fragilidade que exige cuidados no transporte e montagem para
evitar dobramentos no tecido.
A malha criada com as fibras e não revestida com a matriz pode ser utilizada mais
convenientemente em estruturas temporárias em que não se exija a resistência às
intempéries. Para estruturas permanentes são empregados tecidos revestidos com
matriz polimérica (figura 3-9). A aplicação pode ser feita pelo derramamento da
matriz líquida sobre a malha e esperar a cura ou polimerização. A matriz pode ser
espalhada com uma espátula e pressionada contra o tecido, ou ainda pode ser
laminada.
3 ⋅ Projeto e Fabricação de uma Tenso-estrutura têxtil
25
Figura 3-9 – Tecido simples com aplicação da matriz.
As principais opções de material para a matriz são as seguintes:
• Policloreto de Vinila (Policloroetileno ou PVC ) – Resistente à luz
ultravioleta, usado com nylon e polyester;
• Politetrafluoretileno (PTFE ou Teflon) – Usado com fibras de vidro.
Quimicamente inerte, resistente à umidade, microorganismos e a chamas.
O têxtil resultante tem alta resistência à tração e alto módulo de
elasticidade, sendo mais caro que o tecido com matriz de PVC;
• Silicone – Também usado com fibras de vidro e tem características muito
próximas as do PTFE com fibra de vidro;
3.3.1 Resistência ao rasgamento
Essa característica dos tecidos mede a sua capacidade de resistir à propagação de um
rasgamento, que pode ter sido iniciado por acidente ou vandalismo. Existem vários
testes para determinar a resistência e cada uma das formas de rasgamento, que
podem ser vistos na figura 3-10.
3 ⋅ Projeto e Fabricação de uma Tenso-estrutura têxtil
26
Figura 3-10 – Ensaio de resistência ao rasgamento[55].
(a) Tongue tear test (b) Teste trapezoidal (c) Teste axial com rasgo central
Como a maioria dos colapsos de tenso-estruturas têxteis ocorre por rasgamento,
deve se dar uma atenção especial a esse modo de falha que reduz drasticamente a
resistência do tecido. Há uma relação importante entre a resistência à tração e ao
rasgamento dos tecidos, sendo que o aumento da resistência à tração pode levar a
uma redução da resistência ao rasgamento.
3.3.2 Resistência ao dobramento
Desde a fabricação do tecido até fase final de montagem da cobertura tenso-têxtil o
tecido passa por várias etapas de manuseio, tais como embalagem, desembalagem,
transporte, montagem, entre outras. Todo esse manuseio pode danificar o tecido,
principalmente os que têm fibras frágeis, como as de vidro. Uma das formas de
testar a resistência ao dobramento é repetir várias vezes o dobramento utilizando o
equipamento mostrado na figura 3-11.
3 ⋅ Projeto e Fabricação de uma Tenso-estrutura têxtil
27
Corpo de prova
Eixo
Equipamentode teste
Figura 3-11 – Ensaio de resistência ao dobramento [55].
3.3.3 Variação dimensional
A variação dimensional dos tecidos tem grande importância porque a mudança nas
dimensões do tecido altera a distribuição de tensões, podendo provocar
enrugamentos na superfície. Vários fatores podem influenciar a variação
dimensional, o processo de fabricação, a presença de água, além da temperatura.
A absorção de água por capilaridade nos fios altera as dimensões do tecido. A
intensidade desse efeito varia de um material para outro, sendo que o nylon é mais
susceptível a esse fenômeno do que o poliéster.
As deformações permanentes que ocorrem no tecido, principalmente após o
primeiro carregamento, têm efeito parecido com as outras formas de alteração das
dimensões. Algumas técnicas são usadas para minimizar esse efeito, como deformar
o tecido antes da montagem, ou tracionar a trama durante o processo de tecelagem.
3.3.4 Fluência/relaxação
Os tecidos apresentam uma relaxação acentuada. Ensaios feitos por SAITOH e
KUROKI [52], apud [25], com tecidos de PTFE com fibra de vidro, mostraram que
em 48 h as tensões reduziram 50%, para testes de relaxação biaxial. SAITOH[51]
também fez medidas de relaxação de longo prazo numa estrutura do Tsukuba
EXPO '85, identificando uma perda de 48% da tensão inicial após um ano.
3 ⋅ Projeto e Fabricação de uma Tenso-estrutura têxtil
28
A relaxação altera a distribuição das tensões no tecido e pode levar ao
destensionamento e enrugamento do tecido.
3.3.5 Resistência ao Fogo
A resistência ao fogo é também muito questionada, mas os resultados apresentados
pelos fabricantes para os testes de resistência ao fogo especificadas pela ASTM (E-
84, E-108 e E-136 [2, 3, 4] ), qualificam o material para serem usados em
construções do Tipo IITP
1PT, segundo a classificação de resistência a fogo do UBC
(Uniform Building Code).
Tabela 3-1 - Resistência ao Fogo [69].
Propriedades SHEERFILL IVA SHEERFILL V
Propagação de Chama (ASTM E-84) 5 max 0 max
Substratos incombustíveis (ASTM E-136) Aprovado Aprovado
Classificação quanto à resistência a fogo
de coberturas (ASTM E-108)
Classe A Classe A
3.3.6 Resistência à tração
Os testes de resistência aos esforços extensionais têm grande importância para a
caracterização dos tecidos, determinando resistência à tração, módulo de
elasticidade, coeficiente de Poisson, além de ductilidade, tenacidade, entre outros.
Os ensaios podem ser uniaxiais ou biaxiais (figura 3-12). O primeiro é bastante
usado para caracterizar o material, definindo tensão de ruptura, módulo de
elasticidade, entre outros. O bi-axial se aproxima mais dos carregamentos reais, com
tensões nas duas direções.
TP
1PT Para obter esta classificação os materiais que compõem o tecido têm que ser classificados como
incombustíveis pela ASTM E-136 e terem o valor de propagação de chama menor que 50, ASTM E-84.
3 ⋅ Projeto e Fabricação de uma Tenso-estrutura têxtil
29
Corteslongitudinais
Figura 3-12 – Corpo de prova para teste axial e bi-axial [55].
Figura 3-13 – Arranjo para teste bi-axial [57].
Exemplos de resultados obtidos em ensaios cruciformes, ou biaxiais, são
apresentado na figura 3-14, onde as relações entre as tensões nas duas direções são
indicadas (por exemplo 1:1), sendo que o primeiro valor representa o fator de
tensão na urdidura e o segundo na trama.
3 ⋅ Projeto e Fabricação de uma Tenso-estrutura têxtil
30
Trama1:2 Trama
0:1
Trama2:1
Trama1:1
Urdume1:0
Urdume2:1
Urdume1:1
Tensão (kN/m)
Deformação
30
20
10
0
1° Carregamento2° Carregamento3° Carregamento
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08
Figura 3-14 – Curva tensão-deformação para tecido de fibra de vidro com
PTFE[55].
Em função da própria constituição do tecido, formado por fios dispostos de modo
diferente nas duas direções, da urdidura e da trama, o seu comportamento tem
ortotrópia acentuada, respondendo de modo diferente à aplicação de cargas em cada
uma das direções.
A não linearidade dos tecidos também fica bastante evidenciada, sendo que a curva
tensão x deformação não apresenta nenhum intervalo linear. Além de ser não linear, o
comportamento também não é elástico, a não ser após vários ciclos de
carregamento [55]. Apesar dessas características, no presente trabalho será feita uma
modelagem elástica linear, já que as tensões de serviço são bastante pequenas, cerca
de 10% da tensão de ruptura do tecido.
Os ensaios biaxiais também mostram grandes diferenças nas curvas
tensão x deformação para as diferentes relações entre as tensões na trama e na urdidura.
Essa resistência à tração também pode não ser determinante para o desempenho do
tecido, uma vez que a resistência ao rasgamento pode limitar o valor das cargas.
Como o aumento da resistência à tração diminui a resistência ao rasgamento, chega-
3 ⋅ Projeto e Fabricação de uma Tenso-estrutura têxtil
31
se a um certo ponto em que o aumento da resistência à tração piora o desempenho
do tecido.
Outros fatores podem alterar a resistência à tração do tecido. Umidade e ataques
ultravioleta podem degradar o material, diminuindo sua resistência à tração. A
intensidade que ocorre essa degradação varia em função dos materiais das fibras e da
matriz.
A tabela 3-2 apresenta características determinadas pelo fabricante para dois tipos
diferentes de tecido.
Tabela 3-2 - Características mecânicas típicas[69].
Propriedades SHEERFILL I SHEERFILL II
Peso do tecido, kgf/m P
2P.
(ASTM 4851-88)
1,54 1,31
Espessura, mm.
(ASTM 4851-88)
0,914 nominal 0,762 nominal
Tração da tira, kN/m
(Velocidade do ensaio:
50.8 mm/min.)
(ASTM 4851-88)
A seco, Urdidura
A seco, Trama
171 média min.
158 média min.
137 média min.
98 média min..
Rasgamento Trapezoidal,
kN/m. (ASTM 4851-88)
Urdidura
Trama
17 média min.
21 média min.
12 média min.
11 média min.
3 ⋅ Projeto e Fabricação de uma Tenso-estrutura têxtil
32
3.3.7 Durabilidade
Os primeiros materiais utilizados em coberturas têxteis se deterioravam com
facilidade, isso reforçava o conceito que as estruturas feitas com tecido são
destinadas a construções temporárias e pouco resistentes aos efeitos do tempo. Mas,
atualmente, existem tecidos próprios para estruturas permanentes, de alta
durabilidade, que são garantidos por 20 anos ou mais [69]. A avaliação da resistência
de estruturas reais com até 20 anos tem mostrado que esses novos tecidos mantêm
níveis de resistência acima de 70% da resistência original (figura 3-15).
Figura 3-15 – Projeção da resistência a tração (tempo em anos)[64].
A figura 3-16 mostra que para diferentes tipos de material a durabilidade pode variar
bastante.
Figura 3-16 – Degradação da resistência por ataque ultravioleta [55].
3 ⋅ Projeto e Fabricação de uma Tenso-estrutura têxtil
33
Além da qualidade do tecido, outros fatores influenciam na durabilidade do tecido.
• Tensões localizadas elevadas, não observadas na análise podem levar ao
rasgamento do tecido;
• Deve-se dar uma atenção especial aos detalhes de todas as
descontinuidades do tecido, como costuras, ligações com cabos e
estruturas de apoio. Nesses pontos há a tendência de haver concentração
de tensões e abrasão do tecido. Deve-se detalhar a estrutura de apoio para
evitar que haja contato entre o tecido e partes pontiagudas da estrutura;
• Devido a pouca resistência dos tecidos a objetos cortantes ou
perfurantes, este tipo de estrutura é muito susceptível a atos de
vandalismo.
3.3.8 Absorção de energia solar
Pode parecer paradoxal que o material permeável à energia luminosa também seja
eficiente para evitar que o Sol aqueça o ambiente, mas isso pode ser explicado pela
baixa absorção de energia do tecido, como pode ser visto na tabela 3-3 e está
ilustrado na figura 3-17.
3 ⋅ Projeto e Fabricação de uma Tenso-estrutura têxtil
34
Tabela 3-3 – Efeito da luz do sol [55], [69].
Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Tipo 4
Reflexão 10-50% 30-75% 65-75% 60-65%
Absorção 50-90% 13-68% 13-19% 12-20%
Transmissão 0 2-12% 6-22% 15-28%
Tipo 1 – Cobertura convencional
Tipo 2 – Tecido de Policloreto de Vinila (PVC)
Tipo 3 – Tecido de Politetrafluoretileno (PTFE ou Teflon) com fibra de vidro
Tipo 4 – Tecido de Silicone com fibra de vidro
LuzSolarEnergia refletida
InteriorCoberturaExterior
Energia transmitida
Energia absorvida
Energia irradiada
Energia irradiada
Figura 3-17 – Esquema de transmissão, absorção, reflexão e irradiação da energia
[64].
3.4 Métodos de cálculo
Numa tenso-estrutura têxtil, não só a protensão, mas também a forma é
extremamente importante para evitar o aparecimento de esforços compressivos. A
definição da forma não depende apenas do arquiteto, mas de uma interação entre
este e o engenheiro projetista, para que a geometria espacial seja estruturalmente
eficiente e atenda às necessidades estéticas e de espaço interno.
Uma vez definida a forma, tem que ser resolvido um novo problema: como
produzir esta superfície espacial a partir de pedaços planos de tecido? E como
3 ⋅ Projeto e Fabricação de uma Tenso-estrutura têxtil
35
determinar a correta geometria dos moldes para corte desses pedaços planos de
tecido? Para tanto, têm que ser definidas as linhas de corte e tem que ser feito um
mapeamento da estrutura espacial em duas dimensões, levando em conta o campo
de tensões que se deseja alcançar após a montagem global da estrutura espacial, por
meio das costuras de todos os pedaços planos de tecido.
O projeto segue com a análise estrutural propriamente dita, avaliando, para todas as
condições de carga, os resultados obtidos para deslocamentos, tensões no tecido, e
para os esforços nos cabos e nas estruturas de suporte. Uma observação deve ser
feita em relação ao comportamento não linear das estruturas, que pode aumentar a
complexidade e o tempo de análise, principalmente nos casos com carregamentos
dinâmicos.
O avanço na utilização dos tecidos como elementos estruturais de alto desempenho
foi seguido de uma evolução na análise e no projeto dessas estruturas. Apesar de
existirem outros nomes associados a utilização de tecidos de forma estrutural, Frei
Otto é tido como o precursor da análise de estruturas de membrana tensionadas.
Além de ser pioneiro, ele conseguiu criar bases para o desenvolvimento das tenso-
estruturas têxteis por ter documentado em seus livros[40] os resultados de sua
pesquisa.
No início da década de 70 começaram a aparecer as primeiras publicações de
métodos computacionais para a determinação da forma de tensoestruturas. Os
trabalhos de Barnes [08], apud[05] em 1971, Linkwitz e Schek, em 1971 [32], apud
[54] e de Argyris et al, em 1974 [01] foram as primeiras publicações sobre o
determinação da forma inicial; muitas outras se seguiram e algumas serão melhor
discutidas no capítulo específico.
Assim como no caso da definição da forma inicial, a definição dos moldes para
corte também começou com o uso de modelos físicos, passando depois para
métodos computacionais capazes de produzir resultados mais precisos. Alguns
trabalhos nesta área podem ser citados, tais como o do GRÜNDIG[21] e
MONCRIEFF[37], já no final dos anos 80 e início do anos 90 do século XX.
3 ⋅ Projeto e Fabricação de uma Tenso-estrutura têxtil
36
O programa TENSOTEX foi desenvolvido utilizando alguns conceitos já aplicados
por outros autores para estruturas de cabos e de tecidos. Todas as etapas do projeto
podem ser tratadas pelo programa que analisa tenso-estruturas de membranas,
baseado numa formulação não-linear pelo o método dos elementos finitos, que será
descrita no capítulo a seguir.
4 ⋅ Formulação do método dos elementos finitos para membranas e cabos
37
CCaappííttuulloo 44
4Formulação do método dos elementos finitos para membranas e cabos
Apresenta-se neste capítulo a formulação do método dos elementos finitos utilizada
para a análise de membranas e cabos. Estruturas planas de membranas são
estruturas essencialmente não-lineares geometricamente, uma vez que só
apresentam rigidez aos carregamentos perpendiculares ao seu plano quando são
considerados efeitos geométricos de segunda ordem na presença de tensões de
tração na superfície média da estrutura. Na fase de determinação da forma espacial
da estrutura, os deslocamentos prescritos aplicados dão origem a grandes
deslocamentos e deformações elevadas. Sendo assim, é importante considerar na
formulação não-linear geométrica o tensor de deformações completo de Green.
Para este fim desenvolveu-se uma formulação Lagrangeana Total para o elemento
isoparamétrico triangular e para o elemento cabo-treliça, ambos com interpolação
linear. Descreve-se a seguir a formulação Lagrangeana Total, particularizada em
seguida para elementos de membrana e cabo-treliça.
4 ⋅ Formulação do método dos elementos finitos para membranas e cabos
38
4.1 Formulação Lagrangeana Total
Seja uma aproximação característica do método dos elementos finitos para o campo
de deslocamentos:
u = ⎝⎜⎜⎛
⎠⎟⎟⎞
uvw
= ∑i=1
nNi⋅ui (4-1)
sendo N Bi B a matriz contendo as funções de interpolação NBi B do nó i e uBi B as incógnitas nodais:
Ni = ⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤Ni 0 0
0 Ni 00 0 Ni
; ui = ⎝⎜⎜⎛
⎠⎟⎟⎞ui
viwi
(4-2)
As deformações, representadas pelo tensor de Green, são iguais a:
ε =
⎝⎜⎜⎜⎛
⎠⎟⎟⎟⎞
εx
εy
εz
γyz
γzx
γxy
= ε0 + ε1 (4-3)
onde ε B0 B e ε B1 B são as parcelas lineares e não lineares das deformações:
ε0 =
⎩⎪⎨⎪⎧
⎭⎪⎬⎪⎫
u,xv,yw,z
v,z + w,yw,x + u,zu,y + v,x
(4-4)
Aε1 =
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧
⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫
12( )u2
,x + v2,x + w2
,x
12( )u2
,y + v2,y + w2
,y
12( )u2
,z + v2,z + w2
,z
u,z⋅u,y + v,z⋅v,y + w,z⋅w,y
u,x⋅u,z + v,x⋅v,z + w,x⋅w,z
u,x⋅u,y + v,x⋅v,y + w,x⋅w,y
E EA (4-5)
4 ⋅ Formulação do método dos elementos finitos para membranas e cabos
39
As deformações podem ser escritas na forma matricial
ε=⎣⎢⎡
⎦⎥⎤B0+
12⋅B1(u) ⋅u (4-6)
Variando a expressão acima obtém-se os incrementos de deformação:
δε = [ ]B0 + B1(u) = B(u)⋅δu (4-7)
As tensões de Piola-Kirchoff são iguais a:
σ =
⎝⎜⎜⎜⎛
⎠⎟⎟⎟⎞
σx
σy
σz
τyz
τzx
τxy
= D⋅ε (4-8)
sendo D a matriz constitutiva do material.
Como são desprezados os efeitos de não-linearidade física, da primeira variação de
(4-8) resulta:
δσ = D⋅δε (4-9)
As equações de equilíbrio da estrutura são representadas por
Ψ(u) = P(u) - F = 0 (4-10)
onde F é o vetor de forças externas, P(u) são as forças internas, definida pela
integral no domínio Ω
AP(u) = ⌠⌡Ω
BT⋅σdEΩ EA (4-11)
e Ψ(u) é o resíduo, que deve ser nulo quando a estrutura se encontra em equilíbrio.
Expandindo o resíduo Ψ(u) em série de Taylor na vizinhança de uma configuração
P
nPu obtém-se:
4 ⋅ Formulação do método dos elementos finitos para membranas e cabos
40
Ψ(n+1u) = Ψ(nu+n∆u) = Ψ(nu) + ∂Ψ(nu)
∂u⋅ n∆u + … = 0 (4-12)
Desprezando-se os termos de ordem maior que um, a expressão acima se reduz a
Ψ(nu) + KT⋅ n∆u = 0 (4-13)
onde K BTB é a matriz de rigidez tangente
KT = ∂Ψ(nu)
∂u (4-14)
A matriz K BTB pode ser obtida através da variação:
AδΨ(u) = ⌠⌡Ω
δBT⋅σdΩ + ⌠⌡Ω
BT⋅δσdΩ = KT⋅δuE EA (4-15)
Considerando que
A
⌠⌡Ω
BT⋅δσdΩ = ⌠⌡Ω
BT⋅D⋅BdΩ⋅δu =E EA (4-16)
e ainda
B(u)= B0 + B1(u) (4-17)
a segunda parcela de (4-15) pode ser escrita na forma
A
⌠⌡Ω
BT⋅δσdΩ = ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞⌠
⌡Ω
B0T⋅D⋅B0dΩ + ⌠⌡
Ω
(B0T⋅D⋅B1+B1
T⋅D⋅B0)dΩ + ⌠⌡Ω
B1T⋅D⋅B1dΩ δuE EA (4-18)
ou ainda, de forma compacta:
A
⌠⌡Ω
BT⋅δσdΩ = ( )K0+K1+K2 δEu EA (4-19)
onde
AK0=⌠⌡Ω
B0T⋅D⋅B0dΩ E EA (4-20)
AK1= ⌠⌡Ω
(B0T⋅D⋅B1+B1
T⋅D⋅B0)dEΩ EA (4-21)
4 ⋅ Formulação do método dos elementos finitos para membranas e cabos
41
AK2 = ⌠⌡Ω
B1T⋅D⋅B1dΩ E EA (4-22)
A primeira parcela de (4-15) contém a matriz geométrica, ou matriz de tensões
iniciais K Bσ B:
A
⌠⌡Ω
δBT⋅σdΩ = Kσ δEuEA (4-23)
Finalmente, chega-se a expressão:
δΨ = ( )K0+K1+K2+Kσ δu = KTδu (4-24)
Portanto, uma vez conhecidas as matrizes B e K Bσ B, podem-se obter a matriz tangente
K BTB e o vetor de forças internas. Os procedimentos para a obtenção de B e K BTB são
descritos a seguir
4.1.1 Obtenção forças internas e da matriz tangente K BT B
Devido à característica das funções de interpolação utilizadas no MEF, as integrais
definidas em todo o domínio Ω são, na prática, efetuadas a nível de elemento
(domínio AΩeE
EA). Isto significa que as matrizes são calculadas elemento por elemento e
posteriormente são montadas globalmente ou não, dependendo da estrutura de
dados utilizadas para armazenamento das matrizes. Portanto, para obter as matrizes
B e K BTB a nível de elemento, é necessário definir o campo de deslocamentos para um
elemento genérico e
Aue = Ne⋅UeE EA (4-25)
sendo ANeE
EA as funções de interpolação do elemento e AUeE
EA o vetor dos deslocamentos
dos n nós do elemento.
ANe = [ ]N1 … Ni … Nn E EA (4-26)()
AUe = ( ) u1, v1, w1, …, un, vn, wnTE
EA (4-27)
4 ⋅ Formulação do método dos elementos finitos para membranas e cabos
42
No que se segue, todas as matrizes, vetores e integrais referem-se a um elemento
genérico. Por simplicidade e clareza do texto omite-se o índice e, com exceção do
símbolo AΩeE
EA que se refere ao domínio do elemento.
A matriz B, definida em (4-17), é separada em duas parcelas B B0 B e B B1 B. A matriz B B0 B
não depende dos deslocamentos e é composta pelas derivadas das funções de
interpolação,
B0 = [ ]B01 … B0i … B0n (4-28)
B0i =
⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤∂Ni
∂x 0 0
0 ∂Ni∂y 0
0 0 ∂Ni∂z
0 ∂Ni∂z
∂Ni∂y
∂Ni∂z 0
∂Ni∂x
∂Ni∂y
∂Ni∂x 0
(4-29)
A matriz B B0 B fornece a relação entre os deslocamentos e a parcela linear ε B0 Bdas
deformações.
ε0 =B0⋅U (4-30)
Similarmente, a parcela não linear das deformações pode ser escrita na forma:
ε1 =12B1⋅U (4-31)
ou equivalentemente,
ε1 = 12⋅ζ⋅η (4-32)
4 ⋅ Formulação do método dos elementos finitos para membranas e cabos
43
sendo,
Aζ = ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤ξx 0 0 0 ξz ξy
0 ξy 0 ξz 0 ξx
0 0 ξz ξy ξx 0
T
E EA (4-33)
η = ⎩⎨⎧
⎭⎬⎫ξx
ξy
ξz
(4-34)
ξx =⎩⎪⎨⎪⎧
⎭⎪⎬⎪⎫
u,x v,x w,x
; ξx = ∂∂xN⋅U; ξx = Θx⋅U; (4-35)
ξy =⎩⎪⎨⎪⎧
⎭⎪⎬⎪⎫
u,y v,y w,y
; ξy = ∂∂yN⋅U; ξy = Θy⋅U; (4-36)
ξ,z =⎩⎪⎨⎪⎧
⎭⎪⎬⎪⎫
u,z v,z w,z
; ξz = ∂∂zN⋅U; ξz = Θz⋅U; (4-37 )
Empregando as notações
Θx = ∂∂xN (4-38)
Θy = ∂∂yN (4-39)
Θz = ∂∂zN (4-40)
Θ = ⎩⎨⎧
⎭⎬⎫Θx
Θy
Θz
(4-41)
Pode-se escrever
η = Θ⋅U (4-42)
ε1 = 12 ζ⋅Θ⋅U (4-43)
4 ⋅ Formulação do método dos elementos finitos para membranas e cabos
44
Comparando a expressão anterior com (4-31) conclui-se que:
B1 = ζ⋅Θ (4-44)
Deste modo, são obtidas as forças internas no elemento:
AP(U) = ⌠⌡Ω
eBT⋅σdΩ eE
EA (4-45)
com
B(U)= B0 + B1(U) (4-46)
A matriz geométrica K Bσ B é obtida a partir da equação (4-23), escrita para um
elemento genérico:
AKσ δu = ⌠⌡Ω
e
δBT⋅σdΩeE EA (4-47)
como B B0 B não depende de u, a primeira variação de B é dada por
δB= δB1 (4-48)
Utilizando a relação (4-44) e substituindo o resultado acima em (4-47) obtém-se
AKσ δu = ⌠⌡Ω
e
ΘT⋅δζT⋅σdΩeE
EA (4-49)
definindo a matriz de tensões iniciais, τ:
Aτ = ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤σx⋅I3 τxy⋅I3 τxz⋅I3
τyx⋅I3 σy⋅I3 τyz⋅I3
τzx⋅I3 τzy⋅I3 σz⋅I3
E EA (4-50)
pode-se fazer a seguinte transformação
δζT⋅σ = τ Θδu (4-51)
onde I B3 B representa a matriz identidade de ordem 3.
4 ⋅ Formulação do método dos elementos finitos para membranas e cabos
45
Substituindo (4-51) obtém-se a matriz geométrica
AKnσ = ⌠⌡
Ωe
( )ΘT⋅τ⋅Θ dΩeE
EA (4-52)
4.1.2 Matrizes para o elemento de membranas espaciais
O elemento utilizado para a modelagem de membranas espaciais é o elemento
triangular de interpolação linear para os deslocamentos u, v e w, referidos à um
sistema de eixos locais x, y e z,
Aue = ⎩⎪⎨⎪⎧
⎭⎪⎬⎪⎫u
vw
E EA (4-53)
Aue = N⋅UE EA (4-54)
sendo N a matriz de funções de interpolação e U os deslocamentos nodais do
elemento:
N = ⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤N1 0 0 N2 0 0 N3 0 0
0 N1 0 0 N2 0 0 N3 00 0 N1 0 0 N2 0 0 N3
(4-55)
U =
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧
⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫
u1v1w1 u2v2w2 u3v3w3
(4-56)
4 ⋅ Formulação do método dos elementos finitos para membranas e cabos
46
X
Z
y
z
x
u1
u3
u2
v1
v3
v2
w1
w3
w2
Y
Figura 4-1 – Graus de liberdade locais do elemento de membrana.
As funções de interpolação são obtidas a partir de:
N1 = x2⋅y3 - x3⋅y2 + ( )y2-y3 ⋅x+( )x3-x2 ⋅y
2∆ (4-57)
N2 = x3⋅y1 - x1⋅y3 + ( )y3-y1 ⋅x+( )x1-x3 ⋅y
2∆ (4-58)
N3 = x1⋅y2 - x2⋅y1 + ( )y1-y2 ⋅x+( )x2-x1 ⋅y
2∆ (4-59)
sendo xBi B e yBi B as coordenadas nodais e ∆ a área do elemento:
∆ = 12
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪1 x1 y1
1 x2 y21 x3 y3
(4-60)
O campo de deformações é dado por.
Aε = ⎩⎨⎧
⎭⎬⎫εx
εy
γxy
=
⎩⎪⎨⎪⎧
⎭⎪⎬⎪⎫
∂u∂x
∂v∂y
∂u∂y +
∂v∂x
+
⎩⎪⎨⎪⎧
⎭⎪⎬⎪⎫
12⎣⎢⎡
⎦⎥⎤
⎝⎜⎛
⎠⎟⎞∂u
∂x
2
+ ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞∂v
∂x
2
+ ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞∂w
∂x
2
12⎣⎢⎡
⎦⎥⎤
⎝⎜⎛
⎠⎟⎞∂u
∂y
2
+ ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞∂v
∂y
2
+ ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞∂w
∂y
2
∂u∂x
∂u∂y +
∂v∂x
∂v∂y +
∂w∂x
∂w∂y
E EA (4-61)
4 ⋅ Formulação do método dos elementos finitos para membranas e cabos
47
e o campo de tensões:
σ = D⋅ε = ⎩⎨⎧
⎭⎬⎫σx
σy
τxy
(4-62)
A matriz B B0 B se reduz a
B0 = [ ]B01 B02 B03 (4-63)
B0i =
⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤∂Ni
∂x 0
0 ∂Ni∂y
∂Ni∂x
∂Ni∂y
(4-64)
e a parcela não-linear, B B1 B fica igual a:
B1 = ζ⋅Θ (4-65)
onde
Aζ = ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤ξx 0 ξy
0 ξy ξx
T
E EA (4-66)
Θ = ⎩⎨⎧
⎭⎬⎫Θx
Θy (4-67)
Θx =∂N∂x =
⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤∂N1
∂x 0 0 ∂N2 ∂x 0 0
∂N3 ∂x 0 0
0 ∂N1 ∂x 0 0
∂N2 ∂x 0 0
∂N3 ∂x 0
0 0 ∂N1 ∂x 0 0
∂N2 ∂x 0 0
∂N3 ∂x
(4-68)
A matriz de tensões iniciais é
Aτ = ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤σx⋅I3 τxy⋅I3
τyx⋅I3 σy⋅I3E EA (4-69)
Com as equações (4-67) e (4-69) obtém-se a matriz geométrica do elemento:
AKσ = ( )ΘT⋅τ ⋅Θ ⌠⌡Ω
e
dΩ e = ΘT⋅τ⋅Θ⋅∆⋅tE EA (4-70)
Onde t é a espessura do elemento.
4 ⋅ Formulação do método dos elementos finitos para membranas e cabos
48
Com as expressões acima, as matrizes do elemento ficam completamente definidas:
KT = K0+K1+K2+Kσ (4-71)
AP(U) = ⌠⌡Ω
eBT⋅σdΩ eE
EA (4-72)
Para rotacionar a matriz definida no referencial local para o global efetua-se a
seguinte operação:
AKTG =RT⋅KT⋅EREA (4-73)
PG =R⋅P (4-74)
Para a calcular da matriz de rotação R é necessário definir o sistema de eixos locais a
ser adotado.
Primeiro será definido o eixo local x como sendo na direção e sentido do primeiro
nó(i) para o segundo (j).
Ax =( λxX λxY λxZ) = ij→
⎪⎪ ⎪⎪ij→ E EA (4-75)
O vetor z é definido perpendicular ao plano do elemento, portanto pode ser
calculado pelo produto vetorial entre dois vetores não paralelos pertencentes ao
plano:
Az =( λzX λzY λzZ) = ij→× ik→
⎪⎪ ⎪⎪ij→× ik→E EA (4-76)
O vetor y é definido pelo seguinte produto vetorial:
y =( λyX λyY λyZ) = z × x)) (4-77)
Assim pode ser definida a matriz de rotação como:
R = ⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤
L 0 00 L 00 0 L
(4-78)
4 ⋅ Formulação do método dos elementos finitos para membranas e cabos
49
L = ⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤λ 0 0
0 λ 00 0 λ
(4-79)
λ = ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤λx'x λx'y λx'z
λy'x λy'y λy'z
λz'x λz'y λz'z
(4-80)
4.1.3 Comparações com outras formulações
No processo de deformação de forma a relação tensão/deformação do material se
mantém linear, mesmo quando a estrutura é submetida a grandes deformações. Esta
situação é fictícia, portanto os resultados numéricos não podem ser comparados
com experimentais.
Existe um tipo de ensaio, feito para materiais elásticos especiaisTP
*PT, que será usado
para comparar a formulação proposta com outras e é apresentado a seguir.
Seja a placa fina retangular, mostrada na Figura 4-2, com dois bordos restritos e dois
bordos livres,
a
by
x
Figura 4-2 – Geometria indeformada.
Impondo-se deslocamentos a um dos bordos restritos chega-se à seguinte
configuração:
TP
*PT Materiais que podem experimentar deformações elásticas finitas sem apresentar deformações permanentes.
4 ⋅ Formulação do método dos elementos finitos para membranas e cabos
50
a
bε
y
x
Figura 4-3 – Geometria deformada.
Como os resultados que existem são para materiais hiper-elásticos, foi feita uma
comparação entre quatro modelagens numéricas:
• Elemento de membrana desenvolvido;
• Elemento de membrana do ANSYS(SHELL41);
• Elemento de casca de oito nós[50];
• Elemento de casca do ANSYS(SHEL181);
Para a criação do modelo numérico tirou-se partido da dupla simetria, modelando
apenas um quarto da membrana resultando o seguinte modelo:
a/2
b/2y
x Figura 4-4 – Condições de contorno
E os deslocamentos prescritos serão aplicados no bordo totalmente restrito. Tanto
para os modelos do ANSYS como para o elemento de membrana proposto a
4 ⋅ Formulação do método dos elementos finitos para membranas e cabos
51
discretização foi a mesma, apenas para o elemento de casca quadrangular de 8 nós a
discretização teve que ser diferente.
Figura 4-5 – Malha de elementos
triangulares.
Figura 4-6 – Malha de elementos
quadriláteros.
As figuras a seguir mostram as deformadas obtidas para cada um dos casos,
plotando-se ainda o campo escalar de deslocamentos transversais, na direção y.
Figura 4-7 - Elemento proposto.
Figura 4-8 - Elemento de casca quadrilátero.
4 ⋅ Formulação do método dos elementos finitos para membranas e cabos
52
Figura 4-9 - Elemento do ANSYS de membrana.
Figura 4-10 - Elemento do ANSYS de casca.
Pode-se perceber que os valores de deslocamentos na dir. y estão bastante próximos
para os três primeiros casos, só havendo uma certa diferença no último caso do
ANSYS.
Pode ser mostrada ainda uma outra comparação, superpondo num gráfico
(Figura 4-11) as curvas de reações resultantes, no bordo x=b/2, em função dos
deslocamentos impostos neste mesmo bordo. Com este gráfico pode ser visto com
clareza o comportamento não-linear da estrutura.
4 ⋅ Formulação do método dos elementos finitos para membranas e cabos
53
Curva Deslocamentos x Reações
0
100
200
300
400
500
600
700
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Deslocamento imposto
Rea
ções
Membranda proposta Casca - Ribeiro ANSYS - membrana ANSYS - casca Figura 4-11 – Comparação das curvas Deslocamento x Reação.
Notam-se nos gráficos da figura 4-11 total correlação entre os resultados obtidos
com o elemento aqui proposto e o de RIBEIRO [50]. Para o elemento de
membrana aqui desenvolvido, que não considera a variação de espessura há uma
variação volumétrica que tem como conseqüência o evidente ganho de rigidez. As
grandes discrepâncias observadas entre os resultados obtidos com o elemento de
membrana aqui proposto e os elementos do ANSYS podem ser explicadas como se
segue. A discrepância notada para o elemento de membrana do ANSYS pode ser
explicada pelo fato deste elemento ser formulado dentro da elasticidade linear, como
evidencia a resposta força x deslocamento. Já para o elemento de casca do ANSYS a
discrepância se deve ao efeito da redução da espessura do material considerado na
sua formulação, gerando assim uma perda de rigidez para grandes deformações.
A modelagem, talvez mais refinada, usada para o elemento de casca do ANSYS não
é de importância fundamental no presente trabalho, uma vez que o processo de
grandes deformações modelado é fictício, não tendo estas deformações influência
na forma final da superfície desejada. No entanto, o elemento de membrana linear
não pode ser usado por não levar em conta grandes deformações e deslocamentos,
efeitos esses necessários para a etapa de definição da forma da superfície do tecido.
4 ⋅ Formulação do método dos elementos finitos para membranas e cabos
54
4.1.4 Matrizes para o elemento cabo-treliça
O elemento utilizado para a modelagem de membranas espaciais é o elemento
triangular de interpolação linear para os deslocamentos u, v e w, referidos à um
sistema de eixos locais x, y e z,
Aue = ⎩⎪⎨⎪⎧
⎭⎪⎬⎪⎫u
vw
E EA (4-81)
Aue = N⋅UE EA (4-82)
sendo N a matriz de funções de interpolação e U os deslocamentos nodais do
elemento:
N = ⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤N1 0 0 N2 0 0
0 N1 0 0 N2 00 0 N1 0 0 N2
(4-83)
u =
⎩⎪⎨⎪⎧
⎭⎪⎬⎪⎫
u1v1w1 u2v2w2
(4-84)
X
Z
y
z
x
u1
u2
v1
v2
w1
w2
Y
Figura 4-12 – Graus de liberdade locais do elemento de cabo-treliça
As funções de interpolação são obtidas a partir de:
N1 = 1 - 1 L⋅x ; N2 =
1 L⋅x (4-85)
4 ⋅ Formulação do método dos elementos finitos para membranas e cabos
55
sendo L o comprimento do elemento:
O campo de deformações é dado por.
Aε = εx = ∂u∂x +
12⎣⎢⎡
⎦⎥⎤
⎝⎜⎛
⎠⎟⎞∂u
∂x
2
+ ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞∂v
∂x
2
+ ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞∂w
∂x
2
E EA (4-86)
e o campo de tensões:
σ = σx = E⋅εx (4-87)
A matriz B B0 B se reduz a
B0 = ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤∂N1
∂x ∂N2
∂x (4-88)
e a parcela não-linear, B B1 B fica igual a:
B1 = ζ⋅Θ (4-89)
onde
ζ = ξx (4-90)
Θ = Θx =∂N∂x =
⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤∂N1
∂x 0 0 ∂N2 ∂x 0 0
0 ∂N1 ∂x 0 0
∂N2 ∂x 0
0 0 ∂N1 ∂x 0 0
∂N2 ∂x
(4-91)
A matriz de tensões iniciais é
Aτ = [ ]σx⋅I3 E EA (4-92)
Com as equações (4-91) e (4-92) obtém-se a matriz geométrica do elemento:
AKσ = ( )ΘT⋅τ ⋅Θ ⌠⌡Ω
e
dΩ e = ΘT⋅τ⋅Θ⋅A⋅LE EA (4-93)
Onde A é a área de seção transversal do elemento.
Com as expressões acima, as matrizes do elemento ficam completamente definidas:
4 ⋅ Formulação do método dos elementos finitos para membranas e cabos
56
KT = K0+K1+K2+Kσ (4-94)
AP(U) = ⌠⌡Ω
eBT⋅σdΩ eE
EA (4-95)
Para rotacionar a matriz definida no referencial local para o global efetua-se a
seguinte operação:
AKTG =RT⋅KT⋅EREA (4-96)
PG =R⋅P (4-97)
Para a calcular da matriz de rotação R é necessário definir o sistema de eixos locais a
ser adotado.
Primeiro será definido o eixo local x como axial, no sentido do primeiro nó(i) para o
segundo (j).
Ax =( λxX λxY λxZ) = ij→
⎪⎪ ⎪⎪ij→ E EA (4-98)
O vetor z é definido perpendicular ao plano formado entre o eixo do elemento e a
direção Y global e a direção x:
z =( λzX λzY λzZ) = x × Y (4-99)
Se a direção x for paralela a Y
z =( λzX λzY λzZ) = x × X (4-100)
O vetor y é definido pelo seguinte produto vetorial:
y =( λyX λyY λyZ) = z × x)) (4-101)
Assim pode ser definida a matriz de rotação como:
R = ⎣⎡
⎦⎤L 0
0 L (4-102)
L = ⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤λ 0 0
0 λ 00 0 λ
; λ = ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤λx'x λx'y λx'z
λy'x λy'y λy'z
λz'x λz'y λz'z
(4-103)
5 ⋅ Definição da Forma
57
CCaappííttuulloo 55
5Definição da Forma
5.1 Introdução
A definição da forma de uma cobertura convencional é feita levando em
consideração, principalmente, a estética e o espaço interno delimitado pela estrutura.
Poucos parâmetros estruturais são considerados, como vão livre e esbeltez
(i.e. razão altura da seção transversal dos componentes / vão principal).
Para as tenso-estruturas têxteis esta ordem de importância se inverte. As
características arquitetônicas apenas determinam as linhas gerais da forma, enquanto
as exigências para a eficiência estrutural definem a forma final.
A escolha de uma forma adequada pode trazer várias vantagens: melhor distribuição
dos esforços de membrana, diminuição no esforço de protensão e até redução no
gasto com tecido. Por outro lado, a escolha de uma forma inadequada pode resultar
no aparecimento de enrugamentos no tecido, que alteram a distribuição de esforços
e podem diminuir a vida útil da estrutura.
5 ⋅ Definição da Forma
58
Enquanto as estruturas convencionais suportam os carregamentos principalmente
através da rigidez a flexão de seus elementos, as tenso-têxteis dependem de sua
forma e esforços internos para se tornarem estáveis. Isso acontece porque os
elementos que constituem as tenso-estruturas têxteis, cabos e tecido, não têm
capacidade de resistir à compressão, portanto, é necessária a definição de uma forma
em que os elementos da estrutura estejam sempre sob esforços trativos.
Ainda hoje existem vários métodos utilizados para resolver este problema, como os
listados a seguir:
Modelos físicos;
Densidade de forças;
Densidade de tensões;
Superfície mínima;
Método dos elementos finitos;
A existência de tantos métodos concorrentes mostra que não há ainda um método
consolidado como a melhor solução para o problema. A seguir será feita uma
descrição sucinta de cada um desses métodos, para depois apresentar o método a ser
usado no presente trabalho. Segundo HABER [22] o melhor é ter vários métodos
disponíveis para poder escolher o método mais adequado para o problema que se
deseja resolver.
5.1.1 Modelos Físicos
Os modelos físicos ainda têm grande importância, pois com eles é possível
experimentar várias possibilidades das estruturas tensionadas, além de facilitarem a
visualização tridimensional da cobertura.
Frei Otto definia a forma da superfície de estruturas de cabos, posteriormente de
tecidos, através de modelos feitos com arames e películas de sabão. Nestes, as
5 ⋅ Definição da Forma
59
condições de contorno são determinadas pelos arames, que posteriormente são
embebidos numa solução de sabão, criando uma película que determinará a forma
da superfície (figura 5-1).
Figura 5-1 -Modelos físicos com membrana de sabão[49].
A membrana de sabão tem rigidez apenas à tração e nenhuma resistência ao
cisalhamento, portanto as superfícies geradas por esse tipo de modelo têm tensões
uniformes. Mesmo com esta grande vantagem estes modelos têm uma flexibilidade
muito maior que as membranas reais e não representam as características
ortotrópicas dos tecidos.
Outros tipos de modelos físicos também são usados, só que modelam a cobertura
com membranas de materiais como filme de PVC, “Lycra” entre outros. Estes
modelos podem ser usados ainda para fazer uma simulação do procedimento de
montagem.
Figura 5-2– Modelo físico com membrana de tecido[55].
5 ⋅ Definição da Forma
60
5.1.2 Superfície mínima
Este método está baseado na minimização da área da superfície do tecido para um
contorno determinado. A superfície determinada é também encontrada com a
modelagem física com sabão. Nessa superfície as tensões são constantes, sendo o
cortante nulo.
A minimização pode ser feita através de métodos comuns de otimização, sejam
matemáticos ou não. A superfície mínima não é única para qualquer contorno
definido, mas para os casos práticos pode ser considerada uma solução única [20].
Para a simples minimização não é possível levar em consideração o efeito dos cabos
do contorno, mas GRÜNDIG [20] apresenta a possibilidade de levar em conta as
forças desse cabos, gerando uma superfície que não é mais mínima.
5.1.3 Densidade de forças
O método da densidade da força foi desenvolvido por Schek [54] para aplicação em
coberturas de cabos, mas pode também ser usado para membranas, considerando
um cabo equivalente a uma faixa do tecido.
O método da densidade de forças (MDF) considera que a superfície do tecido pode
ser discretizada através de uma malha de cabos equivalente. São definidas as
equações de equilíbrio desta malha, sobre determinado carregamento e condições de
contorno. O sistema gerado por essas equações é não linear, para torná-lo linear, é
utilizado o seguinte artifício matemático: a relação entre a força e o comprimento de
uma barra é considerada constante. Esta relação (F Bi B/LBi B) é chamada de “densidade de
força”.
Para deixar mais claro este processo de determinação de forma será mostrado um
pequeno exemplo bidimensional.
5 ⋅ Definição da Forma
61
A B C
F
Figura 5-3 – Configuração inicial.
As equações de equilíbrio para o ponto B podem ser escritas da seguinte forma:
FAB x + FBC x = Fx (5-1)
FAB y + FBC y = Fy (5-2)
Sendo:
FAB x = ( )xB- xA ⋅FABLAB
(5-3)
FBC x = ( )xB- xC ⋅FBCLBC
(5-4)
FAB y = ( )yB- yA ⋅FABLAB
(5-5)
FBC y = ( )yB- yC ⋅FBCLBC
(5-6)
Mesmo se as forças forem consideradas constantes, o sistema é não linear e as duas
direções estão acopladas, já que o comprimento varia de forma não-linear com as
coordenadas x e y. Neste ponto define-se que a relação entre a força e o
comprimento de uma barra é constante (densidade de força DBi B=FBi B/LBi B), este artifício
matemático lineariza as equações e desacopla as duas direções.
( )xB- xA ⋅DAB + ( )xB- xC ⋅DBC = Fx (5-7)
( )yB- yA ⋅DAB + ( )yB- yC ⋅DBC = Fy (5-8)
5 ⋅ Definição da Forma
62
Como as densidades de força (D BABB e DBBCB) e a força (F) são conhecidas, precisam ser
definidas as condições de contorno para transformação em um sistema
determinado.
Determinando um conjunto de valores:
DBABB=10 N/m
DBBCB=20 N/m
F=(0 ;-15) N;
A=(0,0; 0,0)m
C=(4,0; 0,0)m
Encontra-se a seguinte configuração de equilíbrio:
A
F
B
C
(2,6667;-0,5)
(0;0) (4;0)
Figura 5-4 – Configuração final.
Nota-se que as coordenadas iniciais dos pontos livres não alteram o resultado final
no MDF, mas teriam influência se fosse usado o sistema não linear descrito pelas
equações (5-1) e (5-2).
Para um problema tridimensional e com mais de um nó livre, haverá um sistema
linear para cada uma das direções, equivalente às equações (5-7) e (5-8) , que é
escrito matricialmente em (5-9), (5-10) e (5-11).
DF ⋅X = Fx (5-9)
DF ⋅Y = Fy (5-10)
DF ⋅Z = Fz (5-11)
5 ⋅ Definição da Forma
63
DF =
⎣⎢⎡
⎦⎥⎤d11 … d1j … d1n
di1 … dij … din dn1 … dnj … dnn
(5-12)
X =
⎣⎢⎡
⎦⎥⎤
x1
xi
xn
(5-13)
Fx =
⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤fx1
fxi
fxn
(5-14)
A matriz D BFB é formada pelas densidades de força. Cada item d Bij B representa a
densidade de força do elemento que liga o nó i ao j, se esse elemento não existir a dBij B
é nulo.
Os vetores X, Y e Z são as coordenadas e incógnitas do problema e os vetores FBxB,
FBy B e FBz B determinam as forças aplicadas nos nós.
Este método foi implementado e usado para determinar a forma de um
hiperbolóide parabólico a seguir.
UExemplo
Como segundo exemplo é usada uma superfície descrita pela equação um
parabolóide hiperbólico (ver figura 5-5)
Az = - d1a2 ·x2 + d2
b2·y2E EA (5-15)
A projeção horizontal do contorno é elíptica e pode ser definida pela equação (5-16:
A
( ) x - x0 2
a2 + ( ) y - y0
2
b2 = E1 EA (5-16)
5 ⋅ Definição da Forma
64
Sendo,
xB0 B e yB0 B – coordenadas do centro da elipse
a e b – os semi-eixos paralelos a x e a y respectivamente
Figura 5-5 – Características geométricas do parabolóide hiperbólico.
Considerando a geometria apresentada na figura 5-5 (com xB0 B=yB0 B=0, a = 100 m e
b = 75 m), define-se a seguinte equação para a projeção do contorno:
A
x2
1002 + y2
752 = E1EA (5-17)
Para a definição da malha só precisam ser definidas as conectividades e as
coordenadas do contorno. Foram criadas 21 linhas de cabos ativos e 21 de passivos,
afastadas entre si de 6,8m e 9,1m respectivamente. Para cada linha com x ou y
constante são definidas as coordenadas de dois pontos do contorno com a
equação (5-17). Por exemplo para y=6,8m x=±99.588m (equação (5-17)) e z=-
12,636m (equação (5-15)).
5 ⋅ Definição da Forma
65
y
x6,8m
9,1m Figura 5-6 – Malha do hiperbolóide parabólico.
Para o caso de considerar densidades iguais para os cabos, a forma da figura 5-7.
xy
Figura 5-7 – Forma encontrada para densidades iguais para cabos passivos e ativos.
Aparentemente a forma se aproxima do parabolóide hiperbólico, mas é muito difícil
fazer essa avaliação visualmente. Para verificar a proximidade entre a geometria
encontrada e a definida pela equação (5-15) serão calculadas as diferenças entres as
coordenadas verticais(z) em cada nó, adimensionalizando com a eq. (5-18).
∆ = zeq(xn, yn) - zn
d1 + d2 (5-18)
5 ⋅ Definição da Forma
66
Sendo
z BeqB a coordenada vertical definida com a (5-15), para as coordenadas de
um nó
x BnB;y BnB;z BnB são as coordenadas obtidas com os deslocamentos calculados
através do MDF,
Na figura 5-8 é mostrada numa escala de cores a distribuição de ∆ na superfície da
malha, atingindo um máximo de 14%.
Figura 5-8 – Desvios geométricos ∆ obtidos com o método da densidade de forças.
Se a relação de densidade de força for considerada igual a relação de tensões
apresentada por FERREIRA[14] como
A
Hx0 Hy0
= a2
b2 E EA (5-19)
Que resulta uma relação Dx
Dy = 1,778 , para esse caso, o desvio máximo passa a ser
de 0,4%.
5.1.4 Densidade de tensões
O método de densidade de tensões (MDT) proposto por MAURIN e MOTRO [35]
é uma adaptação do MDF, que usa elementos planos triangulares em vez de usar
elementos unidimensionais equivalentes para descrever a superfície de tecido.
5 ⋅ Definição da Forma
67
Assim como o método em que se baseia, tem como principal objetivo linearizar as
equações de equilíbrio e diminuir o esforço computacional. A vantagem do MDT é
não transformar a superfície do tecido em uma malha de cabos equivalente.
Esse método pode também ser combinado ao MDF, considerando a presença dos
cabos de bordo.
5.2 Determinação da forma via MEF
Este é o método que tem a maior relação física com o problema. Foi usado pela
primeira vez por ARGYRIS [01], em 1974, aplicado à estruturas de cabos, enquanto
aqui o foco são as tenso-estruturas têxteis. A idéia básica consiste em fazer uma
análise não-linear das estruturas como será descrito a seguir.
5.2.1 Metodologia
O primeiro passo é definir uma malha inicial, correspondente à projeção horizontal
aproximada da forma desejada. Na figura 5-9 é mostrada a malha, sendo que em
vermelho estão representados os cabos de bordo.
y
x Figura 5-9 - Modelagem inicial.
5 ⋅ Definição da Forma
68
Em seguida são aplicados deslocamentos prescritos aos nós do contorno, de modo
que estes alcancem as coordenadas desejadas. As posições dos nós livres serão
encontradas através da solução do sistema não linear da estrutura, produzindo a
seguinte forma final.
y
x
Figura 5-10 – Projeção horizontal. Figura 5-11 – Vista em perspectiva.
Este método tem a grande vantagem de poder integrar facilmente a definição de
forma com as análises posteriores. Como o interesse desta pesquisa é de
desenvolver uma ferramenta totalmente integrada para o projeto e análise de tenso-
estruturas têxteis, este foi o método escolhido.
A modelagem de uma tenso-estrutura têxtil com elementos de casca não linear
formulados para um referencial Lagrangeano Total, combinada com o método de
Newton-Raphson, apenas com controle de carga para solução das equações não
lineares resultantes apresentou dificuldades para a convergência numérica, devido às
pequenas espessuras modeladas. Mesmo utilizando programas comerciais, como o
ANSYS, a modelagem de tecidos com elementos de cascas de espessura reduzida
leva a problemas de convergência, pois perturbam a solução numérica das equações.
Para resolver problemas de convergência e ainda diminuir o número de graus de
liberdade foi formulado um elemento de membranas, triangular, plano, com apenas
três graus de liberdade em cada um dos três nós, apresentado no Capítulo 4.
5 ⋅ Definição da Forma
69
u1
v1
w1u3
v3w3
u2
v2
w2
Figura 5-12 – Graus de liberdade do elemento de membrana.
Com este elemento foi atingida a convergência para os exemplos que serão
mostrados a seguir. Para estes exemplos não foi necessário introduzir nenhuma
técnica de controle de solução, como controle de deslocamentos. Também foi
mantido o referencial Lagrangeano total.
5.2.2 Exemplos simples de aplicação
O primeiro exemplo a ser mostrado já foi usado para ilustrar o início desta seção,
uma estrutura bastante simples, em forma de sela, com quatro pontos de apoio.
A estrutura plana inicial pode ser vista na Figura 5-13, onde só são identificados os
nós das extremidades, que têm graus de liberdade restritos.
0.50
0.50
1 11
111 121
Figura 5-13 – Malha inicial.
A estes nós são aplicados deslocamentos prescritos para que estes atinjam as
posições desejadas:
5 ⋅ Definição da Forma
70
U B1 B=(0;0; -0,2)
U B11 B=(0;0;0,2)
U B111 B=(0;0;0,2)
U B121 B=(0;0;-0,2)
Figura 5-14 – Deslocamentos impostos.
As características do tecido utilizadas nesse exemplo foram as seguintes:
• Espessura – 0,9 mm
• Módulo de elasticidade – 1200 kN / m
• Tensão inicial – 6,6 MPa
• Coeficiente de Poison – 0,3
A característica dos cabos de bordo:
• Área – 15 mm²
• Módulo de elasticidade – 110000 MPa
• Tensão inicial – 100 MPa
5 ⋅ Definição da Forma
71
Utilizando estes dados, chega-se à configuração de equilíbrio mostrada nas figuras
5-15 e 5-16.
Figura 5-15 – Projeção horizontal.
Figura 5-16 – Vista em Perspectiva.
As tensões obtidas ao final do processo são apresentadas na figura 5-17.
933E6 Pa
723E6
513E6
303E6
93E6 Figura 5-17 – Tensões no tecido.
Os valores das tensões apresentados têm valores exagerados em função das grandes
deformações a que o tecido foi submetido no processo. Um meio de resolver esse
problema é reduzir o módulo de elasticidade do tecido algumas ordens de grandeza.
Dessa forma a tensão final no tecido é mais próxima da tensão que se deseja que o
tecido apresente após protensão, como pode ser visto na figura 5-18
5 ⋅ Definição da Forma
72
20,8E6 Pa
17,2E6
13,7E6
10,2E6
6,7E6 Figura 5-18 – Tesões no tecido após redução do módulo de elasticidade.
Mesmo apresentando tensões próximas às desejadas ainda pode ser feita uma nova
etapa em que a geometria obtida anteriormente é utilizada como a inicial, mas o
campo de tensão é constante e isotrópico e o módulo de elasticidade é o real, as
tensões resultantes desse processo são apresentadas na figura 5-19.
6,37E6 Pa
6,14E6
5,90E6
5,67E6
5,43E6 Figura 5-19 – Tesões no tecido após imposição de tensões iniciais.
Apesar de não ter dados numéricos para comparação, pode ser feita uma
comparação qualitativa entre este exemplo e a figura 2-11, ou usando o programa
CADISI e obtendo a resposta da figura 5-20.
5 ⋅ Definição da Forma
73
Figura 5-20 – Resposta do programa demonstrativo CADISI.
O outro exemplo é o de uma tenda troco-cônica, que será discretizada inicialmente
como o anel de membrana ilustrado na Figura 5-21.
24.00
4.00
Figura 5-21 – Malha inicial plana.
Os nós do contorno externo (diâmetro de 24m), são fixos. Os nós do círculo
interno têm os deslocamentos x e y nulos, enquanto que os deslocamentos em z,
perpendicular ao plano, são de 9 metros (figura 5-22). Definindo a forma
apresentada nas figuras 5-23 e 5-24.
5 ⋅ Definição da Forma
74
Figura 5-22 – Deslocamentos impostos.
Figura 5-23 – Projeção horizontal. Figura 5-24 – Perspectiva.
Aplicando deslocamentos horizontais ao exemplo anterior pode se obter outras
opções de forma, figura 5-25.
Figura 5-25 – Perspectiva de forma com deslocamento horizontal.
5 ⋅ Definição da Forma
75
5.2.3 Comparação com o método de Densidade de forças
Para validar o método apresentado e comprar com o método das densidades de
força, o exemplo do hiperbolóide parabólico apresentado na figura 5-7 para o MDF
será resolvido utilizando o MEF. A malha de elementos finitos inicial utilizada é
apresentada na figura 5-26.
Figura 5-26 – Malha inicial.
Seguindo o procedimento, são determinados os deslocamentos prescritos no
contorno para que assumam as posições desejadas, definidas pela equação (5-17) e
está ilustrado na figura 5-27.
Figura 5-27 – Deslocamentos prescritos.
5 ⋅ Definição da Forma
76
A solução utilizando o MEF dá uma solução mais precisa que o da densidade de
forças, apresentando um desvio ∆ (equação. (5-18)) de aproximadamente 0,03%,
que é praticamente desprezível. A distribuição geométrica desses desvios pode ser
vista na figura 5-28.
Figura 5-28 – Desvios geométricos ∆ obtidos com o MEF.
6 ⋅ Determinação dos moldes para corte
77
CCaappííttuulloo 66
6Determinação dos moldes para corte
6.1 Introdução
No capítulo anterior foram geradas superfícies tridimensionais de dupla curvatura,
para dar seguimento ao projeto devem ser determinadas as dimensões dos diversos
pedaços de tecido que devem ser cortados e unidos entre si, com cabos e
ancoragem, para formar a superfície desejada.
Superfícies tridimensionais, de uma forma geral, podem ser planificáveis ou não. Por
exemplo, um cone pode ser perfeitamente montado a partir de um pedaço plano de
papel ou qualquer material, tal como pode ser visto nas figuras 6-1 e 6-2. Isto
porque o cone é definido por uma superfície de curvatura simples. Contrariamente,
uma semi-esfera não pode ser planificada de forma exata (figura 6-3).
6 ⋅ Determinação dos moldes para corte
78
Figura 6-1 – Superfície cônica.
Figura 6-2 – Planificação da superfície
cônica.
Figura 6-3 – Superfície esférica.
Se a forma desejada pode ser definida através de uma superfície regrada e de
curvatura simples, a planificação se torna uma tarefa relativamente fácil, que pode
ser estendida a formas resultantes da combinação de várias superfícies de curvatura
simples, mas em geral as coberturas tenso-têxteis não atendem a nenhum desses
requisitos.
Para o caso de superfícies de dupla curvatura, como é o caso da esfera, a
planificação exata é impossível. É necessária a adoção de uma aproximação, que é
feita considerando que a esfera é formada por várias superfícies planificáveis. Essa
aproximação fica bem clara quando uma curva de tubulação é feita da união de
vários pedaços cilíndricos, quando na verdade deveria ser uma superfície toróide
(figura 6-4).
6 ⋅ Determinação dos moldes para corte
79
Figura 6-4– Aproximação da superfície toróide[74].
6.2 Definição das linhas de corte
Este processo de planejar linhas de corte da superfície tridimensional planificada se
assemelha muito com o processo usado pelos alfaiates para definir os cortes que
devem ser feitos no tecido plano para formar um paletó, ou ainda o artesão de
balões infláveis, tomando o cuidado para que todas as peças de tecidos previamente
cortadas se ajustem perfeitamente, sem formar rugas e resultando na superfície
planejada.
A definição das peças de corte pode ser abordada como um problema de otimização
multi-objetivo. Deve ser minimizada a diferença entre a estrutura aproximada e a
real, o gasto de tecido e o gasto na costura, considerando como restrições à largura
máxima da tira do tecido, em função das dimensões dos rolos de tecido, a tolerância
na aproximação, etc. Como variáveis deste processo podem ser identificadas, entre
outras, o número de linhas de corte e as posições em que elas se encontram.
A definição da forma das tiras de tecido a serem cortadas ainda influencia na
estética, por isso algumas orientações básicas para as linhas de costuras podem ser
dadas, harmonizando o traçado das costuras com a forma da estrutura.
Só após a definição das peças de corte é que pode ser definida a direção das fibras
do tecido no modelo para análise. Então a etapa de análise é refeita, para levar em
conta os efeitos ortotrópicos da membrana. Esta reanálise vai gerar um novo campo
de tensões e alguns ajustes podem ser feitos nos moldes de corte para melhorar a
qualidade da superfície.
6 ⋅ Determinação dos moldes para corte
80
Após a definição das linhas de corte, tem que ser executada a planificação. A seguir
apresenta-se um método bastante simples, tomando como exemplo de definição de
forma e planificação a tenda tronco-cônica apresentada na 6-6 (a).
6.3 Planificação utilizando modelos físicos
A utilização de modelos físicos é um procedimento antigo, mas ainda usado. A
superfície é modelada fisicamente em escala, sobre essa superfície são posicionadas
tiras de papel, representado as tiras de tecido a serem cortadas, a partir dessas tiras
são determinadas as geometrias dos pedaços de tecido em escala reduzida.
6.4 Planificação elemento a elemento
Para empregar essa técnica é necessário que a tira de tecido seja discretizada com
apenas uma fileira de triângulos como na figura 6-6. Para obter tiras de tecidos mais
largas, usando esse processo, a discretização deve ser menos refinada.
Figura 6-5 – Identificação dos padrões de corte tridimensionais, 64 tiras.
6 ⋅ Determinação dos moldes para corte
81
(a)
1 2 3 4 5 (b)
Figura 6-6 – Tira tridimensional destacada.
O processo de planificação é simples, mas pode ser descrito de formas diferentes.
A primeira forma, que pode ser encontrada na literatura [55]: Mantendo o lado 1,
indicado na figura 6-6 (b), como eixo de rotação gira-se toda a tira até que o lado 2
alcance o plano horizontal, o processo é repetido, tomando o lado 2 como eixo,
rotacionando até que o lado 3 fique co-planar com os dois primeiros, seguindo com
este processo até que toda a tira de tecido esteja em um único plano.
Foi desenvolvida uma outra forma de obter o mesmo resultado que tem maior
facilidade de implementação computacional. O conceito básico é que a forma de
cada triângulo individualmente precisa ser mantida. Sabendo que um triângulo pode
ser definido pelo comprimento dos seus três lados fica simples desenvolver um
algoritmo para planificar a estrutura.
O processo começa com a escolha do primeiro triângulo a ser planificado, que deve
ser adjacente a apenas um triângulo da fileira. Definem-se os comprimentos dos seu
lados, posicionando-o arbitrariamente no plano ( figura 6-7).
6 ⋅ Determinação dos moldes para corte
82
L1
L2 L3
Figura 6-7 – Planificação do primeiro elemento.
Para a definição do elemento adjacente falta apenas definir a posição de um dos nós,
que não pertence ao primeiro. Fazendo a interseção dos círculos definidos na
figura 6-8, que tem centro nos dois nós do lado comum aos triângulos e raios iguais
ao comprimento dos lados do segundo elemento. Os dois pontos são determinados
pela solução do sistema de equações definido pela equação dos dois círculos.
A
⎩⎨⎧(x-x1)
2 + (y-y1)2 = 4⋅L32
(x-x2)2 + (y-y2)
2 = 4⋅L22 E EA (6-1)
L2
L3
Figura 6-8 - Pontos de interseção.
Escolhe-se a solução que estiver do lado oposto ao terceiro nó do primeiro
triângulo. Para determinar matematicamente qual dos nós está na posição desejada
(P4 ou P5, figura 6-9) são calculados os seguintes produtos vetoriais:
• Prod B1 B = A
⎯→P1P2 ×
⎯→P1P3E EA;
• Prod B2 B = A
⎯→P1P2 ×
⎯→P1P4E EA;
• Prod B3 B = A
⎯→P1P2 ×
⎯→P1P5E EA;
6 ⋅ Determinação dos moldes para corte
83
P5
P4
P1P3
P2
Figura 6-9 - Escolha do ponto de interseção.
O produto vetorial que tiver o sinal oposto ao ProdB1 B indicará o terceiro nó do
segundo triângulo, que para o caso da figura 6-9 é o P4.
O processo é continuado até que todos os elementos tenham sido planificados.
Figura 6-10 – Continuação do processo
6.4.1 Exemplos
Neste exemplo foi feita a planificação da tira do tecido mostrada na figura 6-11.
6 ⋅ Determinação dos moldes para corte
84
(a) Vista lateral
(b) Projeção Horizontal
Figura 6-11 – Tira antes da planificação.
Encontrando o resultado mostrado na figura 6-12, onde estão definidas apenas as
dimensões principais, para o corte é necessária a definição geométrica de toda a tira.
1.2155
13.8509
Figura 6-12 – Dimensões principais da tira planificada.
Esse método tem duas limitações, a primeira é que para poder fazer esse tipo de
planificação é necessário que a discretização seja pouco refinada, formado por uma
seqüência de elementos adjacentes. A outra limitação é que esse processo não leva
em conta as deformações/tensões na estrutura 3d.
Para suprir essa última deficiência foi desenvolvida uma forma de levar em conta o
efeito das tensões para o encolhimento do tecido.
6 ⋅ Determinação dos moldes para corte
85
6.4.2 Método modificado
Para poder contabilizar o efeito das tensões atuantes na superfície tridimensional foi
feita uma implementação um pouco diferente do procedimento anteriormente
exposto.
Para desenvolver um método da foma mais direta possível foram feitas algumas
simplificações A primeira delas é considerar linear a relação entre deslocamentos e
deformações. Esta suposição é aceitável já que a parte não linear pode ser
desprezada para o nível de tensões de trabalho. As deformações podem então ser
escritas da seguinte forma:
ε = ⎩⎨⎧
⎭⎬⎫εx
εy
γxy
=
⎩⎪⎨⎪⎧
⎭⎪⎬⎪⎫
∂u∂x
∂v∂y
∂u∂y +
∂v∂x
(6-2)
Mas ainda assim existem nove incógnitas (os deslocamentos nodais) para apenas três
equações, definidas pelas deformações.
A
TUn = u1 v1 w1 u2 v2 w2 u3 v3 w3 E EA (6-3)
Como os deslocamentos de corpo rígido não produzem deformações nos
elementos, alguns graus de liberdade serão considerados restritos, diminuindo o
número de incógnitas para apenas três (uB2 B, uB3 B, v B3 B). Isto é ilustrado na figura 6-13,
onde são aplicadas restrições para impedir o movimento de corpo rígido no plano
que contém o elemento.
u2
u3
v3
Figura 6-13 - Restrição do movimento planar de corpo rígido de um elemento
triangular.
6 ⋅ Determinação dos moldes para corte
86
Definem-se então as deformações em função destes três deslocamentos, e também a
relação inversa.
ε = ⎩⎨⎧
⎭⎬⎫εx
εy
γxy
=
⎩⎪⎨⎪⎧
⎭⎪⎬⎪⎫
u2 x2
v3 y3
u3 x3
- u2⋅ x3
x2⋅ y3
(6-4)
u2 = εx⋅ x2 (6-5)
v3 = εy⋅ y3 (6-6)
v3 = γxy⋅ y3 + εx⋅ x3 (6-7)
Podem-se definir então os novos comprimentos dos lados dos elementos
triangulares e realizar o processo como definido no item anterior.
Como as deformações são descontínuas, o cálculo do comprimento do lado comum
de triângulos adjacentes produzirá valores diferentes para cada um dos elementos
adjacentes. Para resolver esse problema foi considerado que o valor deste lado
comum será definido pela média entre os valores calculados. Com este
procedimento chega-se à forma da tira planificada mostrada na figura 6-14.
1.2113
13.7852
Figura 6-14 - Dimensões principais da tira planificada considerando as deformações iniciais.
A diferença percentual entre os resultados obtidos (fig. 6-12 e 6-14) é pequena
(≈0.5%), mas os efeitos desses desvios provocam grandes mudanças nos níveis de
tensões na estrutura após a montegem, justificando assim a adoção desse
procedimento para melhorar a aproximação obtida.
6 ⋅ Determinação dos moldes para corte
87
6.5 Planificação via MEF
6.5.1 Introdução / Metodologia
Apresenta-se a seguir o processo de planificação via MEF, que possibilita a sua
integração com o processo de definição de forma, com a vantagem de poder levar
em conta os efeitos das tensões na contração das peças de tecido e usar o
refinamento necessário da malha para análise estrutural.
O processo parte da discretização tridimensional do pedaço de tecido a ser
planificado, tal como este se encontra na estrutura completa; i.e. com mesmas
coordenadas nodais e com o mesmo campo de tensões. Para ilustrar esse processo e
comparar a resultados teóricos é utilizada uma malha para uma superfície cilíndrica
circular mostrada nas figuras 6-15 a-c.
O primeiro passo é separar da estrutura completa após a definição da forma cada
um dos pedaços de tecidos com seus dados geométrico e as tensões atuantes.
O modelo agora representa apenas uma das tiras, mas ainda está em três dimensões,
para fazer a planificação é aplicado a cada um dos nós um deslocamento vertical
igual ao valor da sua coordenada em Z. Deve se restringir, além dos graus de
liberdade na vertical, mais três para impedir deslocamentos de corpo rígido.
Para a robustez do processo de planificação, pode ser feita uma rotação da tira a ser
planificada, diminuindo assim os deslocamentos a serem aplicados na estrutura e
evitado problemas, como o que pode acontecer quando se tem mais de um ponto
com mesma projeção horizontal. Se isso acontecer, o resultado da planificação pode
ser o tecido dobrado.
Para o caso de estruturas perfeitamente planificáveis, as tensões resultantes do
processo de planificação são praticamente nulas. Quando se aplica esse processo a
superfícies de dupla curvatura, que não podem ser planificadas, as aproximações são
maiores e conseqüentemente as tensões geradas no tecido planificado.
6 ⋅ Determinação dos moldes para corte
88
Para se verificar esse fato, será mostrada a planificação de parte de um cilindro e de
uma calota esférica.
Começando pela modelagem do cilindro, que é formado por uma superfície de
curvatura simples planificável. Será usado um modelo que representa um quarto de
um cilindro de 5m de raio e 5m de comprimento como pode ser visto nas figuras
6-15 (a), (b) e (c).
R = 5m
L =
5mz
x
(a)
R =5m
z
x
C
(b)
5m 5m
z
x
y
C
(c)
Figura 6-15 – Malha para superfície cilíndrica circular. (a) Projeção horizontal; (b) raio; (c) perspectiva
6 ⋅ Determinação dos moldes para corte
89
Para facilitar a convergência do processo de solução dá-se um movimento de corpo
rígido para que os nós do modelo fiquem mais próximos do plano z=0, levando à
configuração apresentada nas figuras 6-16(a,b).
z
xy
(a)
x
z
C/2
(b)
Figura 6-16 – Rotação da superfície discretizada. (a) Perspectiva; (b) vista lateral
A partir desta nova posição (figura 6-16), são prescritos todos deslocamentos
verticais de modo que todos os nós fiquem com coordenada z nula. Devem ser
restritos três graus de liberdade horizontais para impedir apenas os movimentos de
corpo rígido, deixando a estrutura livre para se deformar, planificando-se sobre o
plano xy. O resultado desse processo pode ser visto na figura 6-17.
5 m
7,848 m
Figura 6-17 – Malha da superfície cilíndrica planificada.
O valor do comprimento desenvolvido do cilindro (7,848m), é muito próximo do
valor teórico (7,8539m), com um desvio de 0,076 %.
6 ⋅ Determinação dos moldes para corte
90
Pode ser observado ainda que os valores das tensões residuais (figura 6-18) são
muito pequenos, mostrando que a estrutura é de fato planificável. Assim como
comentado anteriormente, um maior refinamento reduz ainda mais os valores dos
desvios geométricos e das tensões residuais.
Figura 6-18 – Tensões residuais principais máximas (Smax) e mínimas (Smax) na superfície cilíndrica planificada.
Para a verificação da planificação de uma superfície de dupla curvatura será usada
uma parte de uma esfera de raio 5 m, delimitada por um ângulo sólido de 90°.
R = 5m (a)
(b)
Figura 6-19 - Malha da superfície esférica. (a) Vista lateral da superfície esférica; (b)Perspectiva
6 ⋅ Determinação dos moldes para corte
91
Resultando a seguinte superfície planificada.
8,255
2 m
8,2117 m
8,2338 m
Figura 6-20 - Malha da superfície esférica planificada.
Os valores dos comprimentos antes da planificação são de 7,854 m, o que resulta
numa diferença que varia de 4,55 a 4,84 %. Pode se ver ainda o efeito da
aproximação feita na planificação desta superfície através dos valores de tensão
resultante.
Figura 6-21 – Tensões residuais principais máximas (Smax) e mínimas (Smax) na superfície esférica planificada.
Para melhorar esta aproximação não adianta refinar a malha como no exemplo
anterior, a superfície que se deseja planificar é dividida em pedaços menores, como
na figura 6-22.
6 ⋅ Determinação dos moldes para corte
92
(a)
R = 5m
(b)
Figura 6-22 – Malha da superfície esférica recortada. (a)Planta; (b) Perspectiva
Tem como resultado:
7,970 m
7,987 m
3,98
5 m
Figura 6-23 – Malha da superfície esférica recortada planificada.
Reduzindo a diferença para 1,69 %, os valores de tensão também reduziram a
aproximadamente 40% do que apresentava anteriormente.
6 ⋅ Determinação dos moldes para corte
93
Figura 6-24 – Tensões residuais principais máximas (Smax) e mínimas (Smax) na superfície esférica recortada planificada.
6.5.2 Exemplos simples de aplicação
Para permitir a comparação do mesmo exemplo será feita a planificação da tira
apresentada na figura 6-6, sem considerar as tensões atuantes.
13.8509
1.2155
Figura 6-25 – Dimensões principais da tira planificada sem tensões iniciais.
A resposta obtida (figura 6-25) é exatamente igual à que se obtém pelo método
elemento a elemento original, não só nas dimensões mostradas, mas na posição de
todos os nós da malha. As tensões residuais principais, apresentadas nas figuras 6-26
e 6-27, têm valores aproximadamente nulos, demonstrando a perfeita planificação
deste exemplo.
Figura 6-26 – Tensões residuais máximas da tira planificada sem tensões iniciais.
6 ⋅ Determinação dos moldes para corte
94
Figura 6-27 – Tensões residuais mínimas da tira planificada sem tensões iniciais.
Utilizando o mesmo exemplo, mas considerando o campo de tensões presente nas
estrutura completa é obtido o resultado da figura 6-28. É notada uma diferença
mínima entre esse resultado e o do método elemento a elemento modificado, que
pode ser explicada pela aproximação para o comportamento linear.
1.2113
13.7850
Figura 6-28 – Dimensões principais da tira planificada com tensões iniciais.
Nesse caso, as tensões principais já não são nulas (figuras 6-29 e 6-30), mas os
valores são mínimos.
Figura 6-29 – Tensões residuais máximas da tira planificada com tensões iniciais.
6 ⋅ Determinação dos moldes para corte
95
Figura 6-30 – Tensões residuais mínimas da tira planificada com tensões iniciais.
Se for feita uma discretização mais refinada, retirando um pedaço da superfície
equivalente ao mostrado na figura 6-6, mas com maior número de elementos, tal
como é mostrado na figura 6-31.
Figura 6-31 – Tira tridimensional de tecido destacada.
Efetuando processo de planificação via elementos finitos, considerando o campo de
tensões atuantes, determina-se a planificação da tira destacada. Comparando as
dimensões básicas da figura 6-28 e 6-32, percebem-se pequenas diferenças
provocadas pela menor discretização da superfície no primeiro caso.
1.2113
13.8006
Figura 6-32 – Dimensões principais da tira planificada com tensões iniciais e maior refinamento.
As tensões residuais também mostram diferenças consideráveis. Isso se deve ao fato
de a tira discretizada com apenas uma fileira de triângulos, na ausência de tensões
6 ⋅ Determinação dos moldes para corte
96
iniciais, ser perfeitamente planificável. Quando a malha é refinada, esta passa a
representar a superfície com dupla curvatura, portanto, não planificável, gerando
tensões residuais.
Figura 6-33 – Tensões residuais máximas da tira planificada com tensões iniciais.
Figura 6-34 – Tensões residuais mínimas da tira planificada com tensões iniciais.
Mudando a definição das linhas de corte para a configuração apresentada na figura
6-35 em que o número de tiras de tecido passa de 64, para 32, diminuindo assim os
custos de costura.
Figura 6-35 – Identificação dos padrões de corte tridimensionais, 32 tiras.
6 ⋅ Determinação dos moldes para corte
97
Definindo tiras maiores
13.7778
2,3877
Figura 6-36 – Dimensões principais da tira planificada com tensões iniciais.
Figura 6-37 – Identificação dos padrões de corte tridimensionais, 16 tiras.
13.7511
4,6677
Figura 6-38 – Dimensões principais da tira planificada com tensões iniciais.
A precisão do processo se torna mais importante à medida que cresce o módulo de
elasticidade, uma vez que pequenos erros na definição dimensional acarretam em
diferença maior no valor das tensões atuantes no tecido.
7 ⋅ Análise e projeto estrutural
98
CCaappííttuulloo 77
7Análise e projeto estrutural
Nesse capítulo são aplicados os conhecimentos anteriormente descritos e reunidos
no programa TENSOTEX, ferramenta criada utilizando o MEF para realizar a
análise de tensões e auxiliar o engenheiro nas etapas básicas do projeto de uma
estrutura tensotêxtil. Utiliza-se, para exemplificar esta aplicação, uma tenso-estrutura
têxtil típica, para a qual são desenvolvidas as etapas de um projeto completo da
forma mais próxima possível de um projeto real, sem contudo se estender aos
detalhes específicos das estruturas de apoio e ancoragem dos estais à terra.
7.1 Definições arquitetônicas
Nessa primeira etapa de concepção geométrica da estrutura já aparece a primeira
particularidade do projeto de uma estrutura tensotêxtil: O projeto arquitetônico não
pode definir rigidamente a forma estrutural. Na figuras 7-1 e 7-2 são apresentados
os croquis da cobertura a ser projetada.
7 ⋅ Análise e projeto estrutural
99
Nota-se que a geometria da estrutura é definida apenas por algumas características
básicas, tais como a projeção horizontal aproximada, e alturas máximas e mínimas
para os trechos da cobertura.
Para a tenda principal, é definida uma altura de 7,0 m para o círculo central,
marcados na figura 7-2 com triângulos, e as posições dos nós do contorno inferior,
marcados com círculos.
Há também a cobertura tensotêxtil de um caminho, onde são definidos pontos altos
e baixos para garantir a curvatura e dar estabilidade à estrutura. Os pontos altos,
marcados por triângulos, têm altura de 5,0 m e os pontos baixos, marcados com
círculos, tem altura de 2 m.
Figura 7-1 – Corte conceitual da cobertura principal [36].
7 ⋅ Análise e projeto estrutural
100
Figura 7-2 – Planta conceitual da cobertura[36].
7.2 Características dos materiais
A seguir serão apresentadas as características básicas do tecido a ser utilizado na
confecção da estrutura. Os valores foram retirados de informações fornecidas pelo
fabricante em seu sítio na internet [69]. Como não está disponível o módulo de
elasticidade do tecido, esse valor foi retirado de SHAEFFER[55].
7 ⋅ Análise e projeto estrutural
101
Tecido utilizado: Sheerfill I
o Espessura – 0,914 mm
o Resistência a tração – 171 kN/m
o Protensão do tecido – 6 kN/m
o Módulo de elasticidade – 1200 kN / m
As características do tecido poderiam ser mais completas se fosse especificada sua
característica ortotrópica, descrita por dois módulos de elasticidade e dois
coeficientes de Poisson. Essas propriedades e outras não lineares do tecido
poderiam também ser determinadas através de ensaios.
As características dos cabos são mais fáceis de ser encontradas, já que existem
tabelas de diversos fabricantes que fornecem dimensões, resistência, rigidez e cargas
de ruptura.
Cabos: Cordoalha 6x7 Fios
o Diâmetro da cordoalha – 22,0 mm
o Área total –191,18 mmP
2P (0,395 d P
2P)
o Carga de ruptura – 293,3 kN
o Tensão de ruptura – 1534 MPa
o Protensão dos cabos (≈4% da tensão de ruptura) - 600 MPa
o Módulo de elasticidade 1,1 x 10 P
11P Pa
7 ⋅ Análise e projeto estrutural
102
7.3 Definição da forma
O primeiro passo é definir a malha plana horizontal a ser utilizada na definição da
forma. Não é necessário que a geometria da malha seja exatamente a projeção
horizontal definida arquitetonicamente, principalmente porque estas definições são
conceituais e aproximadas.
8
1
2
33
27
4
6
910 1112
141618
202224
13151719
2123
5
7
3
37
32
30
31 39
38
36
35
26 34
25
2928
Detalhe do topo
x
y
Figura 7-3 – Malha inicial e numeração dos nós do contorno.
7 ⋅ Análise e projeto estrutural
103
Para alcançar as alturas definidas pela arquitetura são aplicados deslocamentos
prescritos aos nós de contorno. Para o anel central da tenda principal (nós 9 a 24;
ver detalhe na figura 7-3) o deslocamento vertical imposto é de 5,0m. Para o
restante da estrutura, apenas os nós 33 a 39 são deslocados 3,0m em z. Os outros
nós do contorno, tanto da tenda principal quanto no restante da tenso-estrutura
têxlil têm todos os deslocamentos fixados.
Para a elaboração das figuras que serão mostradas a seguir foi utilizado um software
de visualização, no qual foi importado o arquivo de saída do programa
TENSOTEX, além de serem introduzidos alguns elementos ilustrativos, tais como
os pisos e as divisórias de fechamento do auditório da tenda principal.
As figuras 7-6 a 7-5 mostram vistas da forma da tenso-estrutura têxtil encontrada
com as condições de contorno indicadas pela arquitetura.
Figura 7-4 – Vista lateral.
Figura 7-5 – Vista Frontal.
7 ⋅ Análise e projeto estrutural
104
Figura 7-6 – Vista em perspectiva da cobertura.
Figura 7-7 – Vista superior.
Definida a forma de equilíbrio para as dadas condições de contorno, é preciso
verificar se esta forma atende aos requisitos arquitetônicos. No presente caso,
percebe-se que ao redor da tenda principal a área de circulação não é totalmente
coberta. Para mudar a forma e cobrir completamente esta área há duas possíveis
7 ⋅ Análise e projeto estrutural
105
soluções: definir uma nova projeção horizontal ou aplicar deslocamentos
horizontais aos nós do contorno.
A primeira solução é um pouco mais trabalhosa porque torna-se necessário refazer a
discretização; mas essa pode ser a única solução em casos de mudanças complexas.
Para o exemplo apresentado, foram aplicadas as duas formas de solução. Primeiro
foi alterada a projeção horizontal de toda a cobertura; mas com essa solução ficou
resolvido apenas o problema da cobertura do caminho fora da tenda principal.
Como a circulação da tenda principal permaneceu descoberta, foi colocada em
prática a segunda solução, deslocando horizontalmente os nós do contorno inferior
da tenda principal.
Figura 7-8 – Vista em perspectiva da cobertura.
Figura 7-9 – Vista lateral.
7 ⋅ Análise e projeto estrutural
106
Figura 7-10 – Vista Frontal.
Figura 7-11 – Vista superior.
O resultado desta solução combinada é evidenciado apenas (comparar figuras 7-7 e
7-11) por meio da vista superior, na qual a cobertura completa da área de circulação
é facilmente notada.
7.4 Definição das linhas de corte
As linhas de corte neste exemplo foram definidas na criação da malha plana, para
tecidos fabricados com uma largura máxima de 2,00 m. As linhas forma definidas
sem relação direta com as linhas geodésicas, tal como usualmente utilizadas[21].
7 ⋅ Análise e projeto estrutural
107
A figura 7-12 mostra todas estas linhas de corte definidas. Na tenda principal as
linhas foram definidas nas direções aproximadamente radiais, comumente utilizada
para esse tipo de forma geométrica. Para as outras linhas de corte foi utilizada uma
maneira simples e empirica (intuitiva) de definição geométrica.
Figura 7-12 – Linhas de corte.
7 ⋅ Análise e projeto estrutural
108
Uma nova malha (figura 7-13) foi gerada para separar os elementos pertencentes a
cada um dos pedaços do tecido a serem planificados para definir os moldes de corte.
Figura 7-13 – Malha gerada após a definição das linhas de corte.
7.5 Definição dos moldes para corte
Com as linhas de corte definidas, dá-se prosseguimento ao processo de planificação
via MEF definido na seção 6.5. As figuras 7-14 a 7-16 apresentam a geometria dos
pedaços de tecido já planificados.
7 ⋅ Análise e projeto estrutural
109
30
3
4
1 m
28
29
31 32
2
1
5
27
25
26
6
7
8
Figura 7-14 – Pedaços planificados de tecido da tenda principal, arranjados lado a
lado.
7 ⋅ Análise e projeto estrutural
110
1 m
11
23
24
21
22 20
19
18
15
14
17
16
10
13
12 9
Figura 7-15 – Pedaços planificados de tecido da tenda principal, arranjados lado a
lado.
7 ⋅ Análise e projeto estrutural
111
1 m
44
52
51 45
46
53
47
48
54
55
49
56 50
39
42 41 40 43
33
37 36 35 34
38
Figura 7-16 – Pedaços planificados de tecido do caminho, arranjados lado a lado.
7 ⋅ Análise e projeto estrutural
112
1 m
57 67
68
69
63
62
64
58
59
61
71
70 65
66
60
Figura 7-17 – Pedaços planificados de tecido do caminho, arranjados lado a lado.
Uma melhor definição geométrica para corte e posterior montagem (costura) será
feita, como exemplo, para o molde número 1, identificando os números dos nós na
figura 7-18 e as coordenadas no plano na tabela 7-1. Observando-se nesta tabela que
a primeira coluna se refere à numeração local dos nós do pedaço
2969
4
2961
2885 2887 2883
2928
2890 2882 2886 2884 2892 2893 2891 2888
3063
2981
3104 3124
2934
3024
3083
3004
3044
2889
3014
3067
1
x
y
Figura 7-18 – Detalhe do molde 01.
7 ⋅ Análise e projeto estrutural
113
Tabela 7-1 – Coordenadas do molde 01
Nó do pedaço Nó global xplano yplano
N° Pedaço
Nó do pedaço Nó global xplano yplano
N° Pedaço
1 4 0 0 1 16 2934 3,99161 0,23116 1 2 2882 0,61036 0,00221 1 22 2961 0,39908 0,26789 1 3 2883 1,09516 0,00363 1 24 2969 3,68792 0,34368 1 4 2884 1,51721 0,00454 1 25 2981 3,38421 0,45464 1 5 2885 1,9044 0,00506 1 29 3004 3,08156 0,56314 1 6 2886 2,26969 0,00529 1 31 3014 0,74838 0,54622 1 7 2887 2,61928 0,00527 1 32 3024 2,77832 0,66893 1 8 2888 2,95882 0,00508 1 34 3044 2,47702 0,77128 1 9 2889 3,29158 0,00473 1 36 3063 2,17805 0,86954 1 10 2890 3,62046 0,00426 1 37 3067 1,05767 0,83453 1 11 2891 3,94751 0,00371 1 38 3083 1,88486 0,96293 1 12 2892 4,27416 0,00312 1 39 3104 1,60232 1,0505 1 13 2893 4,60188 0,00249 1 40 3124 1,33298 1,13248 1 14 2928 4,29607 0,11734 1
As figuras 7-19 a 7-22 mostram as tensões residuais em alguns pedaços de tecido
planificados. Nas figuras 7-19 e 7-20 as tensões residuais ficam restritas a valores
menores que 3 MPa, enquanto que nas figuras 7-21 e 7-22 esses valores são
superiores em uma ordem de grandeza. Esse é um indicativo de que a planificação
dos dois primeiros pedaços foi mais precisa.
Figura 7-19 – Tensões residuais principais máximas (Smax) e mínimas(Smax) no pedaço 01 planificado .
7 ⋅ Análise e projeto estrutural
114
Figura 7-20 – Tensões residuais principais máximas (Smax) e mínimas(Smax) no pedaço 02 planificado.
Figura 7-21 – Tensões residuais principais máximas (Smax) e mínimas(Smax) no pedaço 34 planificado.
Figura 7-22 – Tensões residuais principais máximas (Smax) e mínimas(Smax) no pedaço 57 planificado.
7.6 Análise de tensões
Após a planificação é feita a montagem da estrutura. As tensões residuais, calculadas
segundo o procedimento apresentado na Seção 7.5, são consideradas nulas e todos
os pedaços de tecido são reunidos. Esta reunião é que se chama de montagem da
tenso-estrutura têxtil.
7 ⋅ Análise e projeto estrutural
115
As tensões resultantes no tecido após a montagem são apresentadas nas figuras 7-23
e 7-24.
Figura 7-23 – Tensões principais máximas no tecido após a montagem com
protensão dos cabos.
Figura 7-24 – Tensões principais mínimas no tecido após a montagem com
protensão dos cabos.
7 ⋅ Análise e projeto estrutural
116
Como a superfície tem dupla curvatura, a planificação dos pedaços é aproximada e a
distribuição de tensões após a montagem marca claramente a posição das costuras.
Além disso, pode-se perceber, na figura 7-24, a presença de tensões de compressão,
o que enrugaria o tecido. Essas tensões compressivas aparecem na estrutura em
função das tensões residuais originadas pela forte curvatura de alguns pedaços de
tecido planificados (34, 57, 61, 62 e 66, conforme numeração na figura 7-12). Esses
pedaços foram subdivididos, tal como apresentado na figura 7-25 por meio de áreas
sombreadas.
Figura 7-25 – Modificações nas linhas de corte.
7 ⋅ Análise e projeto estrutural
117
Com a nova disposição das linhas de corte (figura 7-25) as tensões residuais nos
pedaços sombreados (72 a 76) foram reduzidas a cerca de 1/3 das originais. Como
pode ser observado nas figuras 7-26 e 7-27 ( que mostra como exemplo os pedaços
resultantes da subdivisão do pedaço 57) e nas figuras 7-28 e 7-29 não aparecem mais
as tensões de compressão após a montagem.
Figura 7-26 – Tensões residuais principais máximas (Smax) e mínimas (Smin) no
pedaço n° 57.
Figura 7-27 – Tensões residuais principais máximas (Smax) e mínimas (Smin) no
pedaço n° 72.
7 ⋅ Análise e projeto estrutural
118
Figura 7-28 – Tensões principais máximas no tecido após a montagem com
protensão dos cabos.
Figura 7-29 – Tensões principais mínimas no tecido após a montagem com
protensão dos cabos.
7 ⋅ Análise e projeto estrutural
119
7.7 Cabos das bordas e intermediários e reações nos apoios
A figura 7-30 mostra a distribuição de tensões nos cabos de aço de montagem da
tenso-estrutura têxtil e ao lado desta figura é apresentada uma legenda com a
correlação entre as tensões e forças nos cabos (todos com a mesma ára de seção
transversal) Observa-se que as forças resultantes nos cabos para a forma final da
tenso-estrutura estão na faxia de cerca de 9% da força de ruptura.
Figura 7-30 – Tensões (Sx) e forças (Fx) nos cabos após a montagem.
A figura 7-31 mostra na malha de elementos finitos os pontos do contorno onde se
dão as reações de apoio. A tabela 7-2 apresenta, segundo a numeração desses pontos
na malha, os valores das componentes das reações de apoio. Observa-se que os
valores das resultantes dessas reações deverão ser utilizados para o projeto das
estruturas de apoio (mastros, aneis, estroncas, etc) e de ancoragem (estais, blocos de
reação, etc).
7 ⋅ Análise e projeto estrutural
120
8
1
2
33
27
4
6
910 1112
141618
2022 24
13151719
2123
5
7
3
37
32
30
31 39
38
36
35
26 34
25
2928
Detalhe do topo
x
y
Figura 7-31 – Localização dos nós de apoio.
Tabela 7-2 – Reações de apoio
Nó Rx(kN) Ry(kN) Rz(kN) módulo Nó Rx(kN)Ry(kN)Rz(kN) módulo 1 4.927 22.238 33.544 40.546 21 0.370 -0.523 -3.635 3.691 2 30.645 28.716 7.041 42.583 22 0.124 0.596 -5.864 5.895 3 -33.930 -0.299 22.365 40.639 23 0.393 -0.159 -3.977 3.999 4 40.214 -0.289 6.455 40.730 24 0.221 -0.495 -2.590 2.646 5 -42.375 -1.361 7.082 42.984 25 -15.444 30.347 18.189 38.604 6 30.103 -29.050 6.708 42.368 26 3.798 33.460 50.474 60.676 7 -29.295 -30.488 6.857 42.834 27 15.178 7.949 48.339 51.286 8 -0.482 -42.235 6.788 42.780 28 -6.357 12.334 22.665 26.575 9 0.187 0.318 -2.923 2.946 29 -18.935 28.673 18.840 39.187 10 -0.217 -0.439 -5.414 5.436 30 -8.539 -10.282 30.053 32.891 11 0.455 -0.138 -4.631 4.655 31 3.834 -33.512 50.619 60.828 12 0.166 0.350 -2.953 2.978 32 -10.319-24.657 24.317 36.135 13 -0.349 0.332 -2.268 2.318 33 23.956 44.703 -39.620 64.358 14 0.205 -0.125 -3.277 3.286 34 -2.247 23.237 -54.342 59.144 15 0.107 0.335 -3.491 3.508 35 25.553 15.121 -26.018 39.478 16 0.577 0.252 -1.804 1.911 36 -52.132 0.476 -36.789 63.808 17 -1.021 0.190 -0.726 1.267 37 14.730 -33.523-71.261 80.118 18 -0.032 -0.138 -3.778 3.781 38 25.490 -15.189-25.967 39.430 19 -0.057 -0.850 -2.821 2.947 39 0.276 -25.587-53.301 59.125 20 0.223 -0.287 -2.886 2.909
7 ⋅ Análise e projeto estrutural
121
7.8 Comentários finais sobre a análise de tensões no tecido e
nas estruturas de suporte
A análise estrutural, de forma geral, engloba todo o processo de projeto, desde a
definição da forma, até os planos de corte. Aqui será feita apenas uma abordagem
do comportamento estrutural sob os carregamentos impostos. Para tanto, serão
consideradas as várias etapas necessárias para essa análise através do MEF:
modelagem, descrição dos carregamentos, determinação dos deslocamentos, dos
esforços atuantes e, finalmente, a análise dos resultados.
A modelagem consiste em transcrever a forma idealizada, seja por arquitetos ou por
um processo de determinação de forma, para uma linguagem que possa ser resolvida
por métodos numéricos, definindo características dos materiais, condições de
contorno, além da discretização espacial.
O tecido e os cabos podem ser modelados com os mesmo elementos utilizados para
a determinação da forma, mas é necessária a inclusão de novos tipos de elemento,
capazes de modelar o comportamento não linear e da estrutura de suporte, como
elementos de pórtico.
Em seguida, devem ser definidos os carregamentos que atuam na estrutura, desde o
peso próprio da estrutura, até carregamentos dinâmicos de vento. Estes últimos
podem ser mais trabalhosos para os tenso-têxteis que, por não se adequarem às
formas padronizadas de normas, necessitam de testes em túnel de vento.
Uma vez definidos os carregamentos, deve-se solucionar o sistema de equações
resultante para obter os deslocamentos da estrutura. Nesta etapa de determinação da
configuração de equilíbrio da estrutura sob carregamento já não há grandes
deformações, entretanto os deslocamentos continuam exigindo uma análise não-
linear.
A não linearidade é acentuada pela falta de rigidez a compressão das membranas.
Para modelar este comportamento pode se utilizar o artifício de desconsiderar a
7 ⋅ Análise e projeto estrutural
122
existência do elemento comprimido na modelagem, ou apenas considerar que o
módulo de elasticidade na direção comprimida seja nulo. Estes artifícios podem ser
fonte de instabilidades numéricas.
A instabilização, por compressão, dos elementos de membrana também pode ser
modelado detalhadamente como feito por Muttin [39], mas este tipo de estudo só
pode ser feito localmente devido ao refinamento (Figura 7-32) necessário para
descrever o enrugamento da membrana.
Figura 7-32 [39]
Em função destes problemas causados pela não linearidade, é necessária a utilização
de algoritmos bastante eficientes para que o tempo de processamento não se torne
excessivamente longo.
Uma vez conhecidos deslocamentos e tensões, devem ser feitas verificações que
comprovem a estabilidade estrutural.
Devem ser analisadas as tensões para evitar que excedam os limites determinados
por normas. Ainda tem que se evitar o aparecimento de tensões compressivas nos
tecidos. Para resolver possíveis problemas que apareçam nas tensões pode se
aumentar ou diminuir a protensão aplicada, ou até mudar a forma da estrutura.
Os deslocamentos também devem ser verificados para que se mantenham dentro
dos limites de utilização.
7 ⋅ Análise e projeto estrutural
123
Finalmente, devem ser analisados, segundo as normas pertinentes, os elementos de
sustentação da cobertura, para então partir para o detalhamento.
Estas últimas análises são, na verdade, uma etapa de dimensionamento estrutural,
onde serão determinados as dimensões dos elementos de suporte, dos cabos,
espessura e tipo do tecido a ser usado, além dos valores de protensão a serem
aplicados.
8 ⋅ Conclusões
124
CCaappííttuulloo 88
8Conclusões
8.1 Conclusões
A ferramenta desenvolvida no trabalho, o programa TENSOTEX, se mostrou
bastante eficiente para auxiliar o projeto de tenso-estruturas têxteis, realizando de
maneira integrada todas as etapas de análise e de projeto: definição da forma,
determinação dos moldes para corte, montagem e análise de tensões no tecido e
esforços nos cabos.
Como todas as etapas são feitas utilizando uma formulação Lagrangeana Total para
o MEF, a integração das diversas etapas foi feita de modo natural, sem ser
necessário, tal como no o método das densidades de forças, mudar a discretização
da malha de cabos equivalentes à membrana de tecido.
O MEF combinado com a formulação Lagrangeana e técnicas de solução
empregadas, também se mostrou bastante robusto, possibilitando a modelagem e
busca de forma de superfícies bastante complexas sem apresentar problemas de
8 ⋅ Conclusões
125
convergência. Também a técnica de planificação desenvolvida se mostrou bastante
eficiente, principalmente com a implementação do algoritmo para definir a rotação
a ser aplicada no pedaço do tecido antes da planificação.
A montagem e “costura” das peças planas de tecido da tenso-estrutura espacial e
análise de tensões se mostram de suma importância, determinando a necessidade de
mudança na malha das linhas de corte para evitar a presença de esforços de
compressão após a montagem.
Não foram encontrados na literatura exemplos completos, com dados físicos e
geométricos de uma tenso-estrutura têxtil, além de resultados experimentais e/ou
numéricos para a validação dos resultados obtidos com o programa TENSOTEX.
Assim, foram feitas comparações, para exemplos simples, com os resultados obtidos
com outros métodos implementados, tal como o da densidade de força, para a
determinação da forma. O método de planificação por tiras mostrou resultados
satisfatórios quando comparados aos resultados mais precisos obtidos com o
TENSOTEX.
8.2 Comentários finais e proposta para desenvolvimento de
trabalhos futuros
O assunto tratado é de grande relevância prática, principalmente se for levado em
conta o crescimento da demanda por tenso-estruturas têxteis no Brasil, as quais são
muitas vezes feitas sem as técnicas adequadas de análise e projeto.
É uma área relativamente nova no Brasil sob o ponto de vista de estudos e
pesquisas. Estudos apropriados envolvem desde o comportamento do material até
instabilidade dinâmica de membranas sob fluxo de ar.
8 ⋅ Conclusões
126
Alguns temas específicos para futuros trabalhos de pesquisa são indicados a seguir:
• Análise experimental de tecidos, para determinar tensões de ruptura,
resistência a fogo, durabilidade, características ortotrópicas, características
acústicas, etc;
• Otimização dos padrões de corte, minimizando o desperdício de tecido;
• Análise experimental de protótipos;
• Estudar o efeito das costuras na distribuição de tensões e rigidez;
• Estudar o enrugamento do tecido, provocado pela presença de tensões de
compressão no tecido;
• Análise dinâmica não linear – definição de algoritmos de melhor
desempenho, análise da instabilidade dinâmica das membranas, interação
aeroelástica entre fluido (ar) e a membrana;
• Otimização de forma – otimizar a forma em função das tensões, área de
tecidos e parâmetros dinâmicos;
Bibliografia
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Anexo A – Descrição sumária do programa TENSOTEX
134
Anexo A – Descrição sumária do programa TENSOTEX
O programa TENSOTEX, foi implementado em linguagem FORTAN, baseado
num programa desenvolvido por RIBEIRO [50] para a resolução de problemas não-
lineares de cascas. Este programa foi transformado em uma rotina do TENSOTEX,
chamada MEF, e foram incluídos os elementos de membrana espacial e cabo-treliça
apresentados no Capítulo 4, além de outras sub-rotinas necessárias para executar as
projeto de uma tenso-estrutura têxtil.
A rotina MEF tem como parâmetros de entrada o nome de um arquivo de entrada e
um valor inteiro (lproc) que indica qual etapa do projeto deve ser executada, segundo
a tabela a seguir.
Tabela A.1 – Funções da rotina MEF
lproc Função
1 Definição da forma
2 Equalização das tensões
3 Planificação dos moldes
4 Reversão da planificação dos moldes
5 Montagem da tenso-estrutura
Para as lproc 1, 2 e 5 a rotina é executada apenas uma vez, enquanto que os outros
casos são executados para cada um dos np pedaços que formam a estrutura. A seguir
são apresentados os fluxogramas resumidos do programa principal, da rotina MEF e
uma descrição sumária da função de cada uma das sub-rotinas da rotina MEF.
Anexo A – Descrição sumária do programa TENSOTEX
135
Programa TENSOTEX
Início
Fim
Nome do arquivode entrada (arq1)
MEF , arq1, 1
MEF , arq2, 2
MEF , arq3(i), 3
MEF , arq4(i), 4
MEF , arq5, 5
i=1, np
i=1, np
Figura A-1 – Fluxograma principal do programa TENSOTEX
Anexo A – Descrição sumária do programa TENSOTEX
136
MEF, arq1, 1 MEF, arq2, 2 MEF, arq3(i), 3
ENTRADA ENTRADA ENTRADA
TUNI ADJTRIA3
DEFORM
DEFORM
NOCONT
SOLVE
SOLVE
GIRAPEDACO
PFORM, 3
PFORM, 3
GERACONT
PRTENS
PRTENS
DEFORM
EQUAL
PEDACOS
SOLVE
PFORM, 3
SPRTENS
COSTURA
MOLDES
ROTINA MEFDEFINIÇÃO DA
FORMA
ROTINA MEFEQUALIZAÇÃODAS TENSÕES
ROTINA MEFPLANIFICAÇÃO
DO MOLDE i
Figura A-2 – Fluxograma das rotinas das etapas principais de Análise/Projeto
Anexo A – Descrição sumária do programa TENSOTEX
137
MEF, arq4(i),4 MEF, arq5, 5
ENTRADA ENTRADA
DEFORM DEFORM
SOLVE SOLVE
PFORM, 3 PFORM, 3
PRTENS PRTENS
JUNTATIRA
ROTINA MEFREVERSÃO DAPLANIFICAÇÃO
DO MOLDE i
ROTINA MEFMONTAGEM
DA ESTRUTURA
Figura A-3 – Fluxograma das rotinas das etapas principais de Análise/Projeto
A.1 Descrição sumária das sub-rotinas
UENTRADA: U Sub-rotina para ler os dados de entrada:
• Coordenadas nodais
• Incidências dos elementos e material
• Forças ou deslocamentos impostos
Anexo A – Descrição sumária do programa TENSOTEX
138
• Condições de contorno
• Características dos materiais
• Tensões iniciais
• Numeração dos nós na estrutura completa (presentes apenas em arq3 e arq4)
• Numeração dos elementos na estrutura completa (presentes apenas em arq3 e
arq4)
• Número de subdivisões do processo incremental
• Tolerância para convergência
• Número máximo de iteração para alcançar a convergência
• Título do problema a ser resolvido
UADJTRIA3:U Sub-rotina que determina as adjacências dos elementos triangulares,
identificando os lados do contorno
COSTURA: Gera arquivos para reverter o processo de planificação
DEFORM: Rotina para saída de dados. Gera arquivos com a geometria deformada e
indeformada para Autocad (DXF) e View3d(PLT, GEO, VEC, SCL)
EQUAL: Gera o arquivo de entrada para a etapa de equalização de tensões
GIRAPEDACO: Define o plano local para fazer a planificação e transforma as
coordenadas dos nós para o referencial local
GERACONT: Gera as condições de contorno e os deslocamentos prescritos para efetuar
o processo de planificação
JUNTATIRA: Gera arquivo para montagem da estrutura completa, incluído as tensões
obtidas no processo de reversão da planificação;
Anexo A – Descrição sumária do programa TENSOTEX
139
MOLDES: Gera arquivos de saída em DXF com a geometria dos moldes de corte,
identificação nos nós e do pedaço planificado
NOCONT: Utiliza os dados gerados na rotina ADJTRIA3 para identificar os nós do
contorno e guardar suas coordenadas para posterior montagem
PFORM,i: Rotina para formação da matriz de rigidez, vetor de forças internas e de
resíduo. Para i=3 calcula as tensões nos elementos
PRTENS: Gera arquivos de saída com tensões para GID (MSH, RES) e para VIEW3d
PEDACOS: Gera arquivos de entrada para a planificação dos pedaços do tecido
SOLVE: Loop incremental iterativo Newton Raphson. Além de solucionar o problema,
chama a DEFORM para gerar configurações deformadas intermediárias
TUNI: Aplica tensões uniformes nos cabos e no tecido, também reduz o módulo de
elasticidade