Tese Mestrado Otavio Rosa
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS
Curso de Ps Graduao em Engenharia Metalrgica e de Minas
Dissertao de Mestrado
Aplicao de algoritmos genticos na determinao
de cava final e sequenciamento de lavra
em minas a cu aberto
Autor: Octvio Rosa de Almeida Guimares
Orientadora: Professora Maria de Ftima Gripp
Fevereiro/2007
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS
Curso de Ps Graduao em Engenharia Metalrgica e de Minas
Octvio Rosa de Almeida Guimares
APLICAO DE ALGORITMOS GENTICOS
NA DETERMINAO DE CAVA FINAL E
SEQENCIAMENTO DE LAVRA EM MINAS A CU ABERTO
Dissertao de Mestrado apresentada ao Curso de Ps-
Graduao em Engenharia Metalrgica e de Minas daUniversidade Federal de Minas Gerais
rea de concentrao: Tecnologia Mineral
Orientadora: Professora Maria de Ftima Gripp
Belo Horizonte
Escola de Engenharia da UFMGFevereiro/2007
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Folha de aprovao
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A meus pais,
pela educao e oportunidade.
A minha esposa Lu,
pelo apoio e pacincia.
A meus filhos Ana Cristina e Vinicius,pelas alegrias e inspiraes.
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AGRADECIMENTOS:
O autor agradece a todos aqueles que, direta ou indiretamente, colaboraram na
preparao deste trabalho e, em particular:
Professora Maria de Ftima Gripp pela competncia, clareza e objetividade
na orientao deste estudo.
Aos professores da UFMG Ricardo Takahashi e Joo Vasconcelos pelos
esclarecimentos durante as aulas de otimizao multiobjetivo e pelas opinies naelaborao dos algoritmos implementados.
Aos professores do Departamento de Engenharia de Minas da UFMG Antonio
Carlos Girodo, George Eduardo Sales Valado e ao amigo Beck Nader pela indicao
junto ao Centro de Ps Graduao em Engenharia Metalrgica e de Minas - CPGEM.
Aos demais professores e colaboradores do Departamento de Engenharia de
Minas e Metalrgica da UFMG, bem como aos colaboradores do CPGEM, pela
ateno, apoio e contribuio a minha formao profissional.
Companhia Vale do Rio Doce e Gemcom do Brasil, nas pessoas dos
Gelogos Marcelo Rossi e Hildegundes Silva, e dos Engenheiros Fabiano Arajo,
Maurlio Botelho, Paulo Sachs e Marcos Rittner, pela oportunidade e apoio.
Aos colegas de profisso Charles Henrique Sales Valado, Josimar Souza
Pires, Joaquim Pedro de Toledo e Antonio Carlos Girodo pela motivao e inspirao.
Ao Matemtico Computacional Alexandre Marinho pelas sugestes de
programao e auxlio na codificao dos programas.
amiga Solange Nobre pelo interesse, disponibilidade, ateno e ajuda na
reviso final.
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SUMRIO
Lista de figuras .............................................................................................................. xi
Lista de tabelas ............................................................................................................. xiv
Resumo ......................................................................................................................... xv
Abstract......................................................................................................................... xvi
1 Introduo e objetivos ................................................................................................ 1
2 Reviso Bibliogrfica .................................................................................................. 5
2.1 Descrio sumria de mtodos de otimizao de cava final ......................... 5
2.1.1 O algoritmo de Lerchs-Grossmann ......................................................... 5
2.1.2 Mtodo dos cones flutuantes ................................................................... 7
2.1.3 Parametrizao tcnica de reservas ....................................................... 7
2.2 Aplicao de algoritmos genticos no planejamento de mina ....................... 8
2.3 Otimizao Multiobjetivo ................................................................................ 9
2.4 Elementos de um algoritmo gentico ............................................................ 10
2.4.1 Codificao .............................................................................................. 11
2.4.2 Populao inicial ...................................................................................... 12
2.4.3 Avaliao e aptido ................................................................................. 12
2.4.4 Seleo .................................................................................................... 15
2.4.5 Recombinao ......................................................................................... 20
2.4.6 Mutao ................................................................................................... 22
2.4.7 Penalidades e restries.......................................................................... 24
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2.4.8 Definio dos parmetros ........................................................................ 25
2.4.9 Critrios de Parada .................................................................................. 26
2.5 Otimizao multiobjetivo utilizando algoritmos genticos ........................... 27
2.5.1 Descrio do Algoritmo NSGA ................................................................. 28
3 Metodologia ................................................................................................................ 34
3.1 Processo de Modelagem .................................................................................. 34
3.2 Definio dos problemas .................................................................................. 35
3.3 Construo dos modelos de blocos tericos .................................................... 35
3.4 Codificao das rotinas computacionais para os problemas propostos ........... 36
3.5 Validao dos algoritmos .................................................................................. 37
4 Descrio dos algoritmos e programas de computador codificados ......................... 38
4.1 Cdigos implementados .................................................................................... 38
4.2 Descrio do algoritmo gentico simples (AGS) com elitismo em VBA ........... 39
4.2.1 Caractersticas Gerais ................................................................................ 39
4.2.2 Interface de parmetros .............................................................................. 40
4.2.2.1 Modelo de Blocos ................................................................................. 41
4.2.2.2 Parmetros de controle de loop ........................................................... 41
4.2.3 Resultados .................................................................................................. 42
4.2.3.1 Modelo Lido .......................................................................................... 42
4.2.3.2 Visualizao sees verticais ................................................................ 42
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4.2.3.3 Planilhas auxiliares ............................................................................... 43
4.2.3.4 Planilha de Resultados ......................................................................... 43
4.2.3.5 Sees verticais cava final ................................................................... 43
4.3 Descrio programa NSGA VBA .................................................................. 44
4.3.1 Caractersticas Gerais ................................................................................ 44
4.3.2 Descrio das funes de teste utilizadas .................................................. 44
4.3.3 Parmetros de entrada ............................................................................... 46
4.3.4 Resultados .................................................................................................. 47
4.4 Descrio do programa EvolPit Delphi.......................................................... 47
4.4.1 Caractersticas gerais ................................................................................. 47
4.4.2 Parmetros de entrada ............................................................................... 49
4.4.2.1 Interface dos parmetros de entrada ................................................... 49
4.4.2.2 Modelo de Blocos ................................................................................. 50
4.4.2.3 Opes de Otimizao ......................................................................... 50
4.4.2.4 Gerao da populao inicial ............................................................... 51
4.4.2.5 Parmetros de controle de loop ........................................................... 53
4.4.2.6 Parmetros de nicho ............................................................................ 53
4.4.2.7 Opes de cruzamento e adaptao dinmica .................................... 53
4.4.2.8 Opes de mutao e seleo ............................................................. 53
4.4.2.9 Opes de restries ............................................................................ 60
4.4.3 Resultados .................................................................................................. 61
4.4.3.1 Visualizao das informaes do modelo de blocos processado ........ 61
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4.4.3.2 Histogramas dos blocos de minrio ..................................................... 62
4.4.3.3 Resultados de todos os indivduos da populao por gerao ............ 63
4.4.3.4 Visualizao dos blocos lavrados atravs de sees verticais ............ 64
4.4.3.5 Grficos de evoluo do AG ................................................................. 65
4.4.3.6 Resumo dos resultados para mais de um cenrio de lavra ................. 67
4.4.3.7 Grfico dos resultados da otimizao multiobjetivo (Ob.1 x Ob.2) ....... 68
5 Resultados dos algoritmos genticos implementados .............................................. 69
5.1 Testes e resultados encontrados AGS VBA .................................................. 69
5.1.1 Concluses dos resultados do AGS com elitismo VBA .............................. 74
5.2 Testes e resultados encontrados problema mono-objetivo - Evolpit Delphi... 74
5.2.1 Concluses dos resultados do problema mono-objetivo - Evolpit Delphi.. 84
5.3 Testes e resultados para problema mono-objetivo com restries- Evolpit...... 85
5.3.1 Concluses para problema mono-objetivo com restries- Evolpit............ 88
5.4 Resultados do algoritmo gentico multiobjetivo NSGA VBA ......................... 88
5.4.1 Testes e resultados encontrados das funes de teste .............................. 88
5.4.1.1 Concluses dos resultados encontrados das funes de teste ............ 90
5.4.2 Resultados do algoritmo NSGA problema multiobjetivo VBA .................. 91
5.4.2.1 Concluses do algoritmo NSGA problema multiobjetivo VBA .............. 96
5.4.3 Resultados do algoritmo NSGA problema multiobjetivo Evolpit Delphi.... 98
5.4.3.1 Concluses do algoritmo NSGA problema mult. Evolpit Delphi........ 100
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6 Concluses e trabalhos futuros .................................................................................. 101
7 Referncias bibliogrficas ........................................................................................... 102
8 Anexos ........................................................................................................................ 108
8.1 Anexo I - Listagem do programa algoritmo gentico simples com elitismo ....... 108
8.2 Anexo II - Listagem do programa multiobjetivo NSGA com elitismo ................. 127
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Lista de Figuras
Figura 1.1 Representao de um modelo de blocos ................................................. 2
Figura 2.1.1.1 Modelo de blocos inicial valorizado economicamente ........................ 5
Figura 2.1.1.2 Modelo de blocos econmico final ............................................. ........ 6
Figura 2.1.1.3 Limite otimizado superposto ao modelo de blocos ............................. 6
Figura 2.4.4.1 Representao do esquema de seleo da roleta ..................... ........ 18
Figura 2.4.5.1 Cruzamento de um ponto ........................................................... ........ 21
Figura 2.4.6.1 Mutao na codificao binria .................................................. ........ 23
Figura 2.5.1.1 Fluxograma NSGA (Dias, 2000) ................................................. ........ 31
Figura 3.1.1 Fluxograma do processo de modelagem ............................................... 34
Figura 4.2.2.1 Interface AGS (VBA) ........................................................................... 40
Figura 4.2.3.2.1 Modelo de blocos lido AGS (VBA) ................................................... 42
Figura 4.2.3.5.1 Seo vertical AGS (VBA) ............................................................... 43
Figura 4.3.2.1 Grfico da funo Schafferf2 no espao das variveis ...................... 44
Figura 4.3.2.2 Grfico da funo Schafferf3 no espao das variveis ...................... 45
Figura 4.3.2.3 Grfico da funo Schafferf2 no espao dos objetivos ...................... 45
Figura 4.3.2.4 Funo Schafferf3 no espao dos objetivos ............................... ....... 46
Figura 4.3.3.1 Interface NSGA (VBA) ................................................................ ....... 46
Figura 4.3.4.1 Resultados grficos NSGA (VBA) .............................................. ....... 47
Figura 4.4.2.1 Interface parmetros de entrada (Evolpit) .................................. ....... 49
Figura 4.4.3.1.1 Modelo de blocos processado (Evolpit) ................................... ....... 61
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Figura 4.4.3.2 1 Histogramas dos blocos de valores monetrios positivos ....... ....... 62
Figura 4.4.3.3.1 Resultados de todos os indivduos da populao por gerao ....... 63
Figura 4.4.3.4.1 Visualizao dos blocos lavrados (Evolpit) ............................. ........ 64
Figura 4.4.3.5.1 Grfico de evoluo (Evolpit) ........................................................... 65
Figura 4.4.3.5.2 Grfico de evoluo AG com diferentes resolues (Evolpit) .......... 66
Figura 4.4.3.6.1 Resumo dos resultados para mais de um cenrio de lavra ............. 67
Figura 4.4.3.7.1 Grfico dos resultados da otimizao mult. (Recurso X Valor) ....... 68
Figura 5.1.1 Grfico de % timo do tamanho da populao (AGS 1 Seo) ......... 70
Figura 5.1.2 Grfico de % acerto do nmero de geraes (AGS 1 Seo) ........... 70
Figura 5.1.3 Grfico de % timo da probabilidade cruzamento (AGS 1 Seo) .... 71
Figura 5.1.4 Grfico de % timo da probabilidade de mutao (AGS 1 Seo) .... 72
Figura 5.1.5 Grfico de % timo da probabilidade de elitismo (AGS 1 Seo) ..... 72
Figura 5.1.6 Grfico de % timo do tamanho da populao (AGS 2 Sees) ...... 73
Figura 5.2.1 Grfico de % acerto dos mtodos de seleo (Evolpit 1 Seo) ...... 75
Figura 5.2.2 Variao do % timo pela populao e seleo (Evolpit 1 seo) ... 76
Figura 5.2.3 Variao do % timo pelo cruzamento e seleo (Evolpit 1 seo) 77
Figura 5.2.4 Variao do % timo pela mutao e seleo (Evolpit 1 seo) ...... 78
Figura 5.2.5 Variao do % timo pelo elitismo e seleo (Evolpit 1 seo) ........ 78
Figura 5.2.6 Variao do % timo pela populao e nmero de sees (Evolpit) ... 79
Figura 5.2.7 Variao do % timo pelo cruzamento e nmero de sees .............. 80
Figura 5.2.8 Variao do % timo pela mutao e nmero de sees (Evolpit) ...... 80
Figura 5.2.9 Variao do % timo pelo elitismo e nmero de sees (Evolpit) ....... 81
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Figura 5.2.10 Parmetros de entrada 100 sees (Evolpit) ..................................... 82
Figura 5.2.11 Grfico de evoluo 100 sees (Evolpit) .......................................... 83
Figura 5.2.12 Grfico de evoluo por indivduo 100 sees (Evolpit) .................... 83
Figura 5.2.13 Parmetros e evoluo para 100 sees com agrup.(Evolpit) ........... 84
Figura 5.3.1 Parmetros Evolpit com restries de massa (fator R) ........................ 85
Figura 5.3.2 Resultados com restries (fator R) ............................................. ...... 86
Figura 5.3.3 Resultados Evolpit com restries de teor (1.2) .................................. 87
Figura 5.3.4 Resultados Evolpit com restries de teor (0.9) .................................. 87
Figura 5.4.1.1 Grfico dos resultados funo Schafferf2 ......................................... 89
Figura 5.4.1.2 Grfico dos resultados funo Schafferf3 ......................................... 90
Figura 5.4.2.1 Grfico espao dos objetivos NSGA (250 Geraes 1 seo) ..... 91
Figura 5.4.2.2 Grfico espao dos objetivos NSGA (250 Geraes 2 sees) .... 92
Figura 5.4.2.3 Grfico espao dos objetivos NSGA (250 Geraes 3 sees) .... 93
Figura 5.4.2.4 Grfico espao dos objetivos NSGA (250 Geraes 4 sees) .... 94
Figura 5.4.2.5 Grfico espao dos objetivos NSGA (250 Geraes 6 sees) ... 95
Figura 5.4.2.6 Grfico espao dos objetivos NSGA (250 Geraes 22 sees) .. 96
Figura 5.4.2.1.1 Grfico espao dos objetivos NSGA (250 Geraes 2 sees) . 97
Figura 5.4.3.1 Parmetros e resultados NSGA Recursos/Valor 1 seo (Evolpit) . 98
Figura 5.4.3.2 Parmetros e resultados NSGA Rec./Valor 50 sees (Evolpit) ..... 99
Figura 5.4.3.3 Parmetros e resultados NSGA Valor/Teor 1 seo (Evolpit) .... .... 99
Figura 5.4.3.4 Parmetros e resultados NSGA Recursos/Teor 1 seo (Evolpit) . 100
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Lista de tabelas
Tabela 2.5.1 Algoritmos genticos multiobjetivos .................................... 28
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RESUMO
Os tpicos descritos baseiam-se em desenvolvimentos e tcnicas divulgadas e
tm por objetivo avaliar a aplicabilidade dos algoritmos genticos no problema de
definio de cava final e seqenciamento de lavra para minas a cu aberto.
O objetivo desenvolver um conjunto de rotinas computacionais baseado nos
algoritmos genticos que, a partir de um modelo de blocos tecnolgicos conhecido
representando uma jazida, seja capaz de gerar um conjunto de solues timas, tendoem vista os objetivos de maximizao de valor, respeitando as condicionantes de
qualidade (teores) e distribuio das massas no tempo (seqenciamento de lavra).
Foram desenvolvidos trs programas que abordam a teoria dos algoritmos
genticos. O primeiro calcula os limites de cava final, a partir de um modelo de blocos
visando a otimizao do lucro no descontado, por meio de programa de computador
baseado no algoritmo gentico simples com elitismo. O segundo um programa
baseado no algoritmo gentico multiobjetivo NSGA (Non-dominated Sorting GeneticAlgorithm), que foi inicialmente aplicado a dois problemas multiobjetivos disponveis na
literatura e, em seguida, na otimizao do lucro no descontado e para o problema
multiobjetivo de maximizao de reservas e do lucro. O terceiro, alm de conter os
algoritmos implementados anteriormente, comporta outros mtodos de seleo,
mutao, heursticas de agrupamento e gerao da populao inicial.
Todos os programas implementados resolveram os problemas at ento
simulados de maneira eficaz para um nmero reduzido de blocos.
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ABSTRACT
Genetic Algorithms are stochastic search techniques based on natural selection
and genetic principles.
This work illustrates how genetic algorithms can be applied to optimize the final
pit and scheduling of open pit mines.
Three computer programs were developed. The first one calculates the final pit
based on a simple genetic algorithm with elitism maximizing the undiscounted pit value.The second was based on the multi-objective method NSGA (Non-dominated Sorting
Genetic Algorithm), which was applied to two multi-objective classical problems, the
final pit problem maximizing the pit value and the multi-objective problem of maximizing
the pit value and the resources. The third one have more selection and mutation
methods and was added some cluster and initial population heuristics
All computer programs solved the formulated problems for small block models.
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1 Introduo e Objetivos
Os limites finais da cava definem o tamanho e a forma de uma mina a cu
aberto no final de sua vida til e, geralmente, buscam a maximizao do lucro. Eles
definem a extenso das reservas lavrveis e a quantidade de material estril a ser
retirado e depositado. Normalmente marcam a fronteira-limite alm da qual a
explotao de um dado depsito no ser mais econmica. Os limites da cava na
superfcie delimitam uma fronteira dentro da qual as estruturas de superfcie da mina,
tais como plantas de beneficiamento e escritrios da mina, no devem ser locados.
Um dos problemas freqentemente enfrentados por gelogos e engenheiros deminas o da definio dos limites do corpo mineral assim como a avaliao da
quantidade e da qualidade dos parmetros de interesse. Existe uma srie de mtodos
disponveis para definir os limites de um dado corpo mineral. O mtodo mais utilizado
atualmente a representao por um modelo de blocos (Kim, 1978), dividindo-se o
corpo mineral em um conjunto de blocos. Saydam e Yalcin (2002) comentam que o
planejamento de lavra baseado em um modelo de blocos envolve a deciso se um
bloco do modelo deve ser lavrado ou no. Em caso afirmativo, quando o mesmo ser
lavrado e, uma vez extrado, quando dever ser enviado ao processo. As respostas
para cada um desses itens abordados, quando combinadas no contexto global do
modelo de blocos, definem a progresso anual da cava e o fluxo de caixa advindo das
operaes mineiras (Dagdalen, 2001).
A figura a seguir apresenta um modelo conceitual de blocos. Segundo
Halatchev (2002), a produo de uma seqncia otimizada de uma cava um
procedimento que reflete as condies de explotao ao longo da vida til da mina.
Essas condies so determinadas pelas caractersticas geolgicas do depsito,
condies de lavra e tecnologias de processamento mineral, alm dos parmetros
econmicos. Do ponto de vista tecnolgico, a seqncia tima de lavra est
diretamente relacionada com dois aspectos espao e tempo.
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Figura 1.1 Representao de um modelo de blocos.
Outro aspecto importante que a seqncia tima de produo da mina, em
princpio, usada como base para implementao de uma estratgia de teor de corte
no contexto dos desenvolvimentos recentes. Dessa maneira, a otimalidade do teor de
corte pode ser alcanada somente de maneira interativa considerando a otimalidade
da seqncia de produo (Lane, 1988).
Dentro da concepo de otimizao, que pode visar mxima lucratividade,
maior valor presente lquido e aproveitamento dos recursos minerais, existe uma sriede algoritmos desenvolvidos que se propem a atingir tais objetivos porm os mtodos
que alcanaram a maior popularidade e conseqente implementao computacional
foram a tcnica dos cones flutuantes (Pana & Carlson, 1966; David et al., 1974;
Lemieux, 1979) e o algoritmo de Lerchs-Grossmann. (Lerchs e Grossmann, 1965).
Desde sua introduo, em 1965, o algoritmo de Lerchs-Grossmann (LG)
reconhecido por fornecer a soluo tima para o problema de projeto de cava a cu
aberto. Recentemente, vrios pesquisadores tm desenvolvido algoritmos e mtodos
alternativos para solucionar principalmente o problema de desempenho computacional
do algoritmo original de LG, particularmente para problemas de grande nmero de
blocos. Entre esses, autores como Zhao e Kim (1992), introduziram um novo algoritmo
de projeto, baseado tambm na teoria dos grafos, reduzindo significativamente o
nmero de arcos comparado com o algoritmo de LG. Huttagosol e Cameron (1992)
apresentaram uma formulao para o problema de modelo de transporte, comparando
os resultados obtidos com as abordagens de Ford e Fulkerson (1956) e os mtodos de
LG e cones flutuantes.
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A gerao de um projeto de cava final tem sido o primeiro passo de um
planejamento de produo. Como resultado, muitos algoritmos de projeto de cava so
desenvolvidos, tanto na categoria dos mtodos heursticos, mtodo dos conesflutuantes (Lemieux, 1979), na categoria dos mtodos matemticos, tal como o mtodo
de Lerchs-Grossmann (Lerchs e Grossmann, 1965; Zhao e Kim, 1991).
Invariavelmente esses algoritmos contam com modelos de blocos e, para cada bloco,
atribudo um valor monetrio lquido (de ganho ou de perda). Desde que o valor do
bloco seja uma funo do preo do minrio e dos custos de processo, a cava
projetada com esse conjunto de valores fixos tornar-se- obsoleta com o passar do
tempo, quando os preos ou os custos sofrerem mudanas. Para acomodar as
mudanas nos valores dos blocos, a anlise dos limites da cava praticada. Nessaanlise, os parmetros econmicos so sistematicamente modificados, um de cada
vez, e uma cava projetada aps cada mudana.
A sada da anlise de projeto uma srie de cavas onde cada uma possui seu
prprio potencial de ser minerada, sob condies econmicas especficas. De fato, a
anlise de projetos de cava nada mais do que uma parametrizao respeitando os
parmetros econmicos (Wang & Sevim, 1995).
Diferentes mtodos so usados para o projeto de limites finais de cava. A
simulao e a programao dinmica so as tcnicas mais utilizadas. As tcnicas de
simulao incluem a tcnica dos cones mveis. Os Mtodos de programao dinmica
incluem algoritmos bidimensionais e tridimensionais (Carmo, 2001).
De acordo com Takahashi (2004), os algoritmos genticos so caracterizados
pela evoluo de um conjunto de solues-tentativas (populao), segundo regras
estocsticas de busca e combinao que leva de uma populao seguinte, numa
seqncia de geraes. A existncia de trs regras bsicas ou operadores genticos
bsicos, de um Algoritmo Gentico:
i. Um operador de cruzamento, que combina a informao contida em
dois ou mais indivduos (ou seja, duas ou mais solues-tentativas),
assim gerando outros indivduos;
ii. Um operador de mutao que, utilizando a informao contida em um
indivduo, estocasticamente gera outro indivduo; e
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iii. Um operador de seleo que, utilizando a avaliao da funo
objetivo sobre todos os indivduos da populao, produz rplicas de
alguns desses indivduos e elimina outros indivduos, assim gerando apopulao seguinte.
Um algoritmo gentico pode ser construdo a partir dessas trs regras ou pode
conter outros tipos de regras, tais como: nicho, busca local, etc.
Por meio dos algoritmos a serem desenvolvidos, pretende-se resolver os
problemas propostos:
a) Determinao da cava final maximizando o lucro no descontado;b) Determinao da cava final maximizando o lucro no descontado com
restries de qualidade (teores);
c) Determinao da cava final maximizando o lucro com restries de qualidade e
massas no tempo (seqenciamento);
d) Gerao das famlias de cavas timas visando maximizar recursos e lucro no
descontado;
e) Gerao das famlias de cavas timas visando maximizar recursos e teor
mdio;
f) Gerao das famlias de cavas timas visando maximizar o lucro no
descontado e teor mdio.
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2 Reviso Bibliogrfica
2.1 Descrio sumria de mtodos de otimizao de cava final
2.1.1 O algoritmo de Lerchs-Grossmann
Lerchs, H. e Grossmann, I. (1965), utilizando a tcnica de programao
dinmica, desenvolveram, juntamente com um algoritmo de otimizao bidimensional
de cavas, um tratamento algbrico para a discretizao da jazida em blocos
tecnolgicos. Um algoritmo derivado da teoria dos Grafos, trata o problema por meio
da procura do fecho mximo em um grafo associado. A partir do benefcio associadode lavra de um bloco i, representado por Bi, o benefcio global pode ser otimizado
como a busca da combinatria de blocos que maximizem a somatria de Bi
respeitando as restries pertinentes ao estudo.
A maneira mais simples de apresentar o mtodo de Lerchs-Grossmann 2D
pelo uso de um exemplo (Peroni, 2002). Supondo um corpo mineral, onde os blocos
estreis tenham um valor (custo) de 4.000 unidades monetrias/bloco, e os blocos de
minrio apresentem um valor de 12.000 unidades/bloco, e ainda um ngulo de taludede 45 graus. Para cada bloco so atribudos valores baseados em parmetros
econmicos conforme a figura abaixo:
Figura 2.1.1.1 Modelo de blocos inicial valorizado economicamente.
Como pode se observa, os blocos do limite do corpo mineral pertencem, tanto
ao domnio do minrio, quanto ao domnio do estril. Um valor mdio foi utilizado
conforme a configurao apresentada a seguir:
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Figura 2.1.1.2 Modelo de blocos econmico final.
A posio dos blocos ser denotada utilizando-se a notao ( i,j) para posicionar
espacialmente os blocos, onde i representa a linha e j a coluna em que um
determinado bloco est localizado.
Por meio de operaes de soma nas colunas existentes no modelo de blocos e
rotinas de procura de valores mximos, pode-se calcular o limite da cava final
conforme figura a seguir:
Figura 2.1.1.3 Limite otimizado superposto ao modelo de blocos.
Uma evoluo do algoritmo bidimensional de Lerchs-Grossmann foi proposta
por Johnson & Sharp (1971). Essa modificao referida em Barnes (1982) como o
algoritmo 2 D, pois considera um modelo tridimensional de blocos e analisa seo a
seo em 2D at encontrar o contorno da cava final.
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2.1.2 Mtodo dos cones flutuantes
O mtodo baseado na pesquisa do contorno timo da cava final por
tentativas. O princpio de funcionamento do algoritmo considera as restries fsicas e
geomecnicas locais (ngulos de talude). O pex do cone movido de um bloco para
outro e a avaliao do cone feita em cada posio explorada. Quando a avaliao
positiva (cones fortes) o cone selecionado e todos os blocos nele contido so
extrados. O processo repete-se at que no existam mais cones economicamente
lavrveis. Esse mtodo tem a vantagem de ser rpido e possui apelo bastante intuitivo
(Underwood & Tolwinski, 1998). Yamatomi et al. (1995) apresentaram variantes dessa
tcnica.
Noronha (2001) afirma que esse mtodo tem boa aplicao em corpos
porfirticos em que se tem um corpo central de minrio e as encaixantes de estril.
2.1.3 Parametrizao tcnica de reservas
Baseados em estudos de Matheron, G. (1975), Bongaron, F. e Marechal, A.
(1976) utilizaram a tcnica de Anlise Convexa de Vallet, R. (1976) para tratarem o
problema de otimizao de cava final por meio de uma aproximao funcional.
Conforme descrito por Noronha (2001), a idia baseada em voltar o problema
para a determinao de uma funo de parametrizao tcnica (funo do teor mdio
dos blocos), a partir da qual torna-se possvel a obteno imediata de uma famlia de
cavas timas, independente da conjuntura econmica subjacente ao problema. Em
outras palavras, o conhecimento de todos os projetos potencialmente timos do ponto
de vista de maximizao da quantidade de metal com a minimizao da remoo de
material, ou seja, projetos timos do ponto de vista tcnico, permitindo a comparao
dos mesmos, com antecedncia, s flutuaes de parmetros econmicos, por
exemplo. A parametrizao tcnica de reservas, em resumo, a procura dos projetos
que pertenam superfcie convexa que se sobrepe ao conjunto de todas as cavas
possveis.
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2.2 Aplicao de algoritmos genticos no planejamento de mina
A primeira utilizao especfica no planejamento de mina do Algoritmo Gentico
foi proposto por Tolwinski e Underwood (1992) e combina conceitos de otimizao
estocstica com conceitos de redes neurais para estabelecer um teor de corte timo
no sentido de maximizar o valor econmico da jazida. Da mesma forma e adaptando a
idia do Algoritmo Gentico, G. S. Thomas (1996) descreveu, em artigo especfico, o
conceito e a aplicao de um programa visando estabelecer uma seqncia tima de
lavra para uma mina a cu aberto (Toledo, 2003).
No Brasil, Toledo (2003) estudou duas aplicaes de algoritmos genticos. A
primeira mostra a tcnica da krigagem adaptativa cujo objetivo selecionar um modelo
variogrfico (tipo, patamar, alcance e anisotropias) que minimize o erro da validao
cruzada entre as amostras. Os resultados comprovaram a aderncia do mtodo em
populaes de comportamento conhecido. A segunda aplicao foi na seleo de
projetos mineiros concorrentes, buscando, em sistemas de muitas minas e vrias
opes de investimentos, a combinao mais atrativa. A utilizao do Algoritmo
Gentico solucionou o problema com preciso e agilidade e apresentou resultados
melhores do que as abordagens tradicionais de otimizao por programao linear.
Portanto o Algoritmo Gentico uma ferramenta que poder solucionar os problemas
de combinaes para seqenciamento de lavra.
Durante o APCOM de 2005, Wageningen, Dunn & Muldowney analisaram a
utilizao de algoritmos genticos combinados com Busca Tabu e simulao discreta
de eventos no planejamento de mina de longo prazo. Segundo os autores a
abordagem utilizada mostrou-se eficaz na resoluo de problemas multiobjetivos e na
gerao de seqenciamentos de lavra.
No mesmo evento, Samanta e Bhattacherjee (2005) avaliaram a aplicao de
algoritmos genticos no problema de otimizao e controle de teores (Al2O3 e SiO2),
em um depsito de bauxita, gerando vrias seqncias de extrao de minrio no
tempo. Segundo os autores, a utilizao de tal abordagem possibilitou a gerao de
vrios cenrios de lavra, permitindo, ao tomador de deciso, escolher, em funo de
suas necessidades, a operacionalizao dos mesmos.
Outro exemplo de aplicao de algoritmos genticos foi realizado por Thomas(1966) que ilustra sua aplicao e a utilizao de tcnicas de recozimento simulado
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(Simulated Annealing) na determinao dos limites da cava final. O autor ressalta,
como principal vantagem na utilizao de algoritmos genticos, a grande quantidade
de solues quase timas geradas, o que no acontece nas abordagens tradicionais.E, como principal desvantagem, o maior custo computacional exigido para atingir as
solues desejadas.
2.3 Otimizao Multiobjetivo
Otimizao Multiobjetivo, tambm chamada de otimizao multicritrio,
multiperformance ou otimizao vetorial pode ser definida como o problema deencontrar (Osyczka, 1985):
um vetor de variveis de deciso que satisfaa um conjunto de restries e
otimize um vetor de funes cujos elementos representem a funo objetivo.
Estas funes formam a descrio matemtica do chamado critrio de
desempenho, as quais usualmente so conflitantes. Assim, pode-se dizer que o
termo otimizar significa descobrir uma soluo para a qual os valores de todas
as funes objetivo so considerados aceitveis pelo projetista.
Formalmente, pode-se descrever o problema como se segue:
Encontrar um vetor x* = [x1*, x2*, ... xn*] que satisfaa as m restries de
desigualdade:
gi(x) 0 i = 1, 2, ..., m (2.3.1)
e as p restries de igualdade
hi(x) = 0 i = 1, 2, ..., p (2.3.2)
de modo a otimizar o seguinte vetor de funes:
f(x) = [f1(x), f2(x), ..., fn(x)]T (2.3.3)
onde o vetor x = [x1, x2, ... xn]T corresponde ao vetor de variveis de deciso ou de
otimizao.
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Ou seja, deseja-se determinar, sobre o conjunto Fde todos os nmeros que
satisfaam as restries de igualdade e desigualdade, um conjunto particular de
variveis x1*, x2*, ..., xn* que permitam atingir os valores eficientes de todas as funesobjetivos baseados em algum fator de deciso.
O conjunto Pareto-timo foi formulado por Pareto no sculo XIX e constitui a
origem das pesquisas envolvendo otimizao multiobjetivo (Pareto, 1896).
Um ponto x* pertencente ao conjunto vivel F Pareto-timo se x* F
pode-se afirmar que:
i [1, 2, ...,n] / fi(x*) fi(x) e pelo menos uma dimenso j tal que fj(x*) < fj(x).
Em outras palavras, a definio diz que x* Pareto timo se no existe
nenhum vetor possvel x que possa decrescer algum objetivo sem causar um
acrscimo simultneo em pelo menos outro objetivo.
O Pareto-timo sempre gerar no apenas uma nica soluo, mas um
conjunto de solues chamadas no-inferiores, no-dominadas ou eficientes. O ponto
f* = [f1*, f2*, ... fn*] usualmente conhecido como utopia, ponto ideal ou ponto utpico.Esse ponto impossvel de ser alcanado, na maioria dos problemas multiobjetivos
com objetivos conflitantes. Quando o ponto utpico pertence ao espao vivel de
solues, obviamente a melhor soluo e nenhuma pesquisa futura ser necessria
(Horn, 1997).
2.4 Elementos de um algoritmo gentico
O Algoritmo Gentico Simples - AGS, desenvolvido por Holland em seus
trabalhos iniciais (Holland, 1975), foi o primeiro algoritmo gentico inventado e o
prottipo no qual os outros se baseiam. Os algoritmos genticos simples so
importantes para o desenvolvimento terico e tm grande valor didtico, pois sua
estrutura a base sobre a qual as variaes que definem os algoritmos mais
avanados e recentes so desenvolvidas. Por isso, far-se- uma descrio geral dos
algoritmos genticos simples e de seu funcionamento, baseada principalmente no livro
de Goldberg (Goldberg, 1989) e no artigo de Tanomaru (Tanomaru, 1995).
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As principais etapas de um algoritmo gentico so:
1) Codificao;
2) Gerao da populao inicial;
3) Clculo da avaliao e aptido;
4) Seleo dos indivduos;
5) Cruzamento dos indivduos;
6) Mutao;
8) Definio dos critrios de parada.
2.4.1 Codificao:
A definio de como codificar as solues nos cromossomos o primeiro
passo para a construo de um algoritmo gentico.
A representao por meio de cromossomos binrios a escolha tradicional
para codificao das variveis do algoritmo gentico. Segundo Srinivas e Patnaik
(1994), isso se deve a dois fatores: a) A simplificao da implementao,
especialmente no tocante s operaes genticas, que devem ser redefinidas se a
representao binria no for utilizada; b) Um resultado terico derivado da teoria dos
esquemas que diz que, quanto menor a cardinalidade do alfabeto utilizado na
codificao, i.e., quanto menor o nmero de smbolos possveis, maior ser o nmero
de esquemas processados simultaneamente e portanto mais eficiente ser o algoritmo
gentico.
Na grande maioria das aplicaes, as solues so codificadas em um nico
cromossomo e, por isso, s vezes, refere-se indistintamente a indivduos e
cromossomos como se fossem a mesma entidade. Em grande parte dos algoritmos
genticos, os cromossomos so binrios, i.e., constitudos por uma seqncia de 0s e
1s e portanto o esquema de codificao deve mapear o espao de busca original em
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seqncias binrias. Para variveis binrias, a codificao trivial: os valores de cada
varivel so simplesmente copiados nos cromossomos.
Para o problema em pauta, cada cromossomo ser representado pelo conjunto
de blocos de valores positivos contidos no modelo de blocos que sero lavrados
considerando as restries geotcnicas. Nesse caso, o cromossomo ser do tamanho
do nmero de blocos de minrio que existe no modelo de blocos e corresponde a um
indivduo que um candidato soluo do problema.
2.4.2 Populao inicial
Em geral, a populao inicializada com pontos escolhidos aleatoriamentemas, dependendo da aplicao, podem existir formas heursticas de selecionar uma
populao inicial mais favorvel.
importante que a populao inicial esteja bem distribuda pelo espao de
busca. Primeiro, para que todas as partes da populao sejam representadas e,
segundo, porque o algoritmo gentico necessita de uma boa diversidade inicial de
combinaes para funcionar bem, da mesma forma que populaes de organismos
vivos precisam de uma boa diversidade gentica para se adaptar eficientemente a seumeio ambiente.
A eliminao de duplicatas (Davis, 1991) uma adaptao bvia e interessante
uma vez que a presena de indivduos idnticos numa populao implica em uma
menor diversidade gentica. Para se fazer isso, deve-se, primeiro, testar se existem
indivduos idnticos na populao. De cada grupo de indivduos idnticos encontrados,
eliminam-se todos menos um e substituem-se os eliminados por novos indivduos que
podem ser gerados aleatoriamente. Esse mtodo tambm demanda custocomputacional extra, devido necessidade de se comparar todos os indivduos e de
gerar substitutos.
2.4.3 Avaliao e aptido
Cada indivduo da populao avaliado no incio de cada gerao. Essa
avaliao feita externamente ao algoritmo gentico. O resultado dela deve ser um
valor numrico que expresse a qualidade relativa da soluo codificada em cada
indivduo. A avaliao correlaciona-se portanto com a funo objetivo do problema,
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embora no seja necessrio que exista uma funo objetivo explicitamente formulada.
Os valores provenientes da avaliao de cada indivduo devem ento se transformar
em outro valor, necessariamente positivo, denominado aptido, que ser utilizado paradefinir as probabilidades de reproduo de cada um, na fase de seleo (Srinivas e
Patnaik, 1994).
No problema em pauta, para cada cromossomo gerado, que ser um indivduo
caracterizado por um conjunto de blocos de minrio, a avaliao ser o valor da cava
(benefcio do minrio + despesas do estril) considerando-se as restries
geotcnicas. A avaliao ser realizada por uma funo especfica externa ao
algoritmo gentico que, em funo dos blocos de minrio do indivduo, extrair
tambm os blocos de estril considerando-se os ngulos dos taludes.
O valor de aptido dos indivduos tambm pode ser calculado de muitas
maneiras. A forma mais simples e bvia utilizar-se o prprio valor da avaliao
(funo objetivo) para cada indivduo o que , s vezes, chamado de aptido bruta.
Entretanto, como a aptido tem que ser necessariamente um valor positivo, para se
estabelecerem as probabilidades de seleo dos indivduos, pode ser impossvel usar
diretamente o valor da funo objetivo, dependendo do problema. Mesmo quando
possvel utilizar a aptido bruta, a prtica tem indicado que essa no , normalmente,
a melhor opo (Tanomaru, 1995), e diversas abordagens so propostas para
transformar os valores da funo objetivo de forma a melhorar o desempenho dos
algoritmos genticos.
A principal preocupao no clculo da aptido, a presso seletiva. A presso
seletiva pode entender-se como a intensidade com a qual o algoritmo gentico
favorece os indivduos mais aptos em detrimento dos menos aptos, o que est
basicamente relacionado s probabilidades de reproduo dos indivduos. A presso
seletiva influencia diretamente a diversidade da populao: uma alta presso seletiva
faz com que a diversidade diminua muito rapidamente, podendo ocasionar uma
convergncia prematura, enquanto uma baixa presso seletiva preserva a diversidade
mas dificulta a convergncia para o timo. Ao se analisar a execuo de um algoritmo
gentico que use a aptido bruta, percebe-se que a presso seletiva usualmente
mais alta no incio, porque os indivduos so bastante diferentes e, por isso, tendem a
apresentar valores muito dspares para a funo objetivo. No final da execuo, ao
contrrio, a presso seletiva normalmente baixa, porque os indivduos so mais
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parecidos e tendem a apresentar valores bem semelhantes para a funo objetivo. O
que se deseja entretanto justamente o oposto: uma presso seletiva baixa, no incio
para que os indivduos menos aptos tenham alguma chance de reproduo e, assimse possa explorar melhor o espao de busca; e uma presso seletiva mais alta, no
final, porque como os indivduos esto agora muito parecidos, fica mais difcil, para os
mtodos de seleo, privilegiar os mais aptos, podendo prejudicar a convergncia do
algoritmo gentico.
O escalamento de aptido uma adaptao que visa regular a presso
seletiva, durante o andamento do algoritmo, tentando obter os efeitos desejados
citados anteriormente. No escalamento, os valores da funo objetivo, para cada
indivduo, so transformados de modo que as aptides resultantes induzam um nvel
de presso seletiva desejado durante a evoluo do algoritmo gentico. O tipo de
escalamento mais utilizado o escalamento linear, proposto por Goldberg (Goldberg,
1989).
A janela de aptido outra adaptao usada para converter uma funo
objetivo em uma funo aptido vlida. Nela, a aptido calculada subtraindo-se do
valor da funo objetivo de cada indivduo, o valor mnimo desta para toda a
populao, em cada gerao. Esse mtodo muito simples de se implementar e
garante que valores de aptido negativos no sejam gerados. Mas no to eficaz na
regulao da presso seletiva, como o escalamento linear.
No mtodo de ordenao (Baker, 1985), no se usam os valores da funo
objetivo diretamente para o clculo das aptides. Ao invs disso, esses valores so
utilizados para ordenar os indivduos da populao, a cada gerao, e a aptido
ento atribuda a cada indivduo, em funo de sua posio nessa ordenao
(ranking). A forma mais simples de se atribuir um valor de aptido utilizando um
procedimento de ranking ordenar os indivduos do pior para o melhor e dar-lhes um
valor de aptido igual posio de cada um no ordenamento. Se houver, por exemplo,
uma populao de 100 indivduos, o pior receber aptido 1, o segundo pior aptido 2
e assim por diante at o melhor, que ter aptido 100. fcil perceber que, dessa
forma, a presso seletiva mantem-se constante durante a execuo do algoritmo e
muitas implementaes prticas utilizam esse mtodo.
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A ltima adaptao referente ao clculo da aptido o chamado
compartilhamento que foi inspirado no conceito de nicho ecolgico. Duas espcies
diferentes ocupam o mesmo nicho. Quando os recursos de que precisam parasobreviver (comida, abrigo, locais de reproduo, etc.) so muito parecidos, h
intensa competio entre as espcies. Se, ao contrrio, os nichos que as espcies
ocupam so distintos, i.e. se os recursos dos quais as espcies necessitam so
suficientemente diferentes, a competio entre elas ser pequena ou inexistente. A
extenso da idia de nicho para o algoritmo gentico simples considera que indivduos
que esto mais prximos no espao de busca estariam ocupando nichos muito
parecidos, enquanto os indivduos mais afastados estariam em nichos bastante
diferentes. Por isso, no compartilhamento, os valores de aptido so modificados deforma que aqueles indivduos que esto mais distantes dos outros tenham a aptido
aumentada, enquanto os indivduos mais prximos no espao de busca tenham seus
valores de aptido diminudos.
O uso do compartilhamento diminui a presso seletiva sobre os indivduos mais
distantes e aumenta a presso sobre os mais prximos. Dessa forma, ele incentiva o
distanciamento entre os indivduos da populao, o que aumenta a diversidade e
provoca uma explorao mais global no espao de busca. Embora ocompartilhamento seja aparentemente vantajoso, ele acrescenta algum esforo
computacional, por causa do clculo das distncias e tem mostrado, na prtica, uma
tendncia a dificultar a convergncia para o timo (Tanomaru, 1995). Experimentos
com o uso do compartilhamento (Goldberg, 1989) mostram que, para funes objetivo
multimodais, os algoritmos genticos que no utilizam compartilhamento exibem um
padro onde os indivduos se concentram ao redor de algum dos mximos enquanto
que, nos algoritmos genticos que utilizam o compartilhamento, os indivduos
concentram-se ao redor de alguns dos mximos presentes, sendo o nmero deindivduos, ao redor de cada mximo, proporcional altura relativa deles.
2.4.4 Seleo
Os algoritmos genticos utilizam o modelo populacional geracional onde todos
os indivduos da populao anterior so eliminados e substitudos a cada gerao.
Porm existem maneiras alternativas de compor as novas populaes a cada gerao.
Na denominada reproduo de estado estvel (Syswerda, 1991), produz-se, a cada
gerao, um nmero de descendentes, correspondente a apenas uma frao N/rda
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populao, que ir substituir um nmero equivalente de indivduos da populao
anterior, em geral os N/r piores indivduos. Esse mtodo implica em algum trabalho
computacional adicional, visto que os indivduos da populao devem ser ordenadospara que se escolham os N/r piores. Mas tem a grande vantagem de permitir que se
trabalhe com populaes maiores, diminuindo-se a perda de variabilidade.
A adaptao de modelo populacional mais utilizada o chamado elitismo. Nele,
toda a populao , em primeira instncia, substituda por seus descendentes, como
nos algoritmos genticos geracionais. Porm, se os melhores indivduos da populao
anterior no estiverem presentes na nova populao devido seleo ou s
operaes genticas, eles so acrescentados no lugar dos piores indivduos novos.
Em princpio, esse mtodo tambm requereria a ordenao dos indivduos para a
escolha dos melhores mas isso, na verdade, no necessrio para o tipo mais comum
de elitismo onde apenas o melhor indivduo preservado. Sua principal vantagem
garantir que a(s) melhores(s) solues no sejam perdidas durante a execuo do
algoritmo gentico, mitigando possveis efeitos deletrios da seleo, recombinao e
mutao.
Nos chamados algoritmos genticos de gerao contnua (Michalewicz, 1992),
faz-se uma inverso na seqncia normal de operaes do algoritmo gentico e
ocorre uma competio direta entre os indivduos da populao anterior e seus
descendentes. Primeiro, todos os indivduos so copiados. Essas cpias sofrem a
recombinao e a mutao da forma usual, so avaliadas e recebem valores de
aptido. Depois se juntam os indivduos originais da populao e as cpias feitas no
passo anterior, formando uma populao temporria de 2n indivduos. Sobre essa
populao temporria faz-se uma seleo baseada na aptido dos 2n indivduos,
utilizando-se algum dos mtodos de seleo j estabelecidos, de forma a se ternovamente uma populao de n indivduos, Todo esse processo completa uma
gerao do algoritmo gentico e repetido na execuo das prximas geraes.
Outra adaptao de modelo populacional o chamado genocdio peridico.
Assim como a reproduo de estado estvel, o genocdio peridico visa combater a
perda de variabilidade que pode ser crtica quando se trabalha com populaes
pequenas. A idia bsica executar um algoritmo gentico geracional que, em
intervalos de um certo nmero de geraes, sofra uma interveno. Nessa
interveno, a populao aumentada drasticamente, para 10n por exemplo e,
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depois, passa por uma seleo que reduz o nmero a n novamente, de forma
semelhante ao que se faz nos algoritmos genticos de gerao contnua. Os
indivduos adicionais podem vir de um processo reprodutivo alterado onde se fazemmuito mais cpias, ou podem ser gerados aleatoriamente. Esse mtodo apresenta um
custo computacional significativamente maior, devido necessidade de se avaliar em
muitos indivduos em certas geraes e, alm disso, ainda introduz novos parmetros
que devem ser definidos, como a freqncia do genocdio e o quanto a populao
deve aumentar antes dele.
No modelo populacional conhecido como superseleo, divide-se a populao
em castas, de acordo com os valores de aptido e realiza-se uma reproduo
estratificada, com os indivduos das castas com maior aptido reproduzindo-se mais,
em mdia, do que os das castas de menor aptido. Por exemplo, pode-se dividir uma
populao de 200 indivduos em 3 castas: os melhores 10 indivduos, os prximos 40
e os outros 150. Pode-se, ento, estipular, por exemplo, que os 10 melhores
indivduos deixem 50 descendentes, que os 40 indivduos da segunda casta tenham
80 descendentes e os 150 da casta mais baixa produzam apenas 70 descendentes
para a prxima gerao. Esse mtodo visa contornar os problemas da seleo via
mtodo da roleta, diminuindo a chance de que indivduos com alta aptido no deixemdescendentes. Esse procedimento acarreta pequeno custo computacional adicional
por causa da necessidade de se ordenarem os indivduos e de se fazer seleo em
separado para cada casta.
Nesse modelo, deve-se primeiro verificar se existem indivduos idnticos na
populao aps a seleo, a reproduo e as operaes genticas. De cada grupo de
indivduos idnticos encontrados, eliminam-se todos menos um e substituem-se os
eliminados por novos indivduos, que podem ser gerados aleatoriamente ou obtidospor seleo e operaes genticas. Esse mtodo tambm apresenta um custo
computacional extra, devido necessidade de se compararem todos os indivduos e
de se gerarem substitutos, caso indivduos idnticos sejam encontrados.
No processo de seleo, decidem-se quais os indivduos da populao se
reproduziro e quantos descendentes cada um deixar para a prxima gerao.
Nesse estgio do algoritmo gentico, os descendentes so apenas cpias dos
gentipos dos indivduos que foram selecionados mas sero posteriormente alterados
pelas operaes genticas. No algoritmo gentico, a definio de quais indivduos
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sero copiados e de quantas cpias cada um deixar feita, a partir do valor de
aptido de cada indivduo, que usado para definir as probabilidades de reproduo
deles.
No algoritmo gentico simples, usa-se um esquema de reproduo geracional
onde se gera um nmero de descendentes igual ao nmero de indivduos da
populao e substitui-se toda a populao por esses descendentes, a cada gerao,
mantendo-se o tamanho da populao constante. Se forem produzidas n cpias a
cada gerao e Pi a probabilidade de que uma determinada cpia seja descendente
do i-simo indivduo, ento se pode concluir que o nmero esperado de descendentes
para esse indivduo, nPi. Assim, indivduos com valores de aptido acima da mdia
tendero a deixar mais de uma cpia, enquanto aqueles com aptido abaixo da mdia
tendero a deixar menos de uma cpia. O nmero esperado de cpias, para cada
indivduo, nPi, quase sempre fracionrio, mas o nmero de cpias efetivamente
deixadas, por cada indivduo, tem que ser forosamente um inteiro. Esse problema
solucionado no algoritmo gentico utilizando-se o esquema de seleo da roleta.
Nesse esquema, pensa-se em uma roleta onde cada casa refere-se a um dos
indivduos. Ao contrrio de uma roleta de cassino onde todas as casas tm o mesmo
tamanho, nessa roleta fictcia, os tamanhos das casas so diferentes e proporcionais probabilidade de seleo de cada indivduo. A seleo dos indivduos para reproduo
feita ento girando a roleta n vezes e copiando o indivduo que foi sorteado em
cada rodada.
Figura 2.4.4.1 Representao do esquema de seleo da roleta.
Na figura anterior, cada um dos indivduos (A, B, C, D e E) tem uma casa na
roleta cujo tamanho proporcional a sua aptido. Cada vez que a roleta girada, um
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dos indivduos selecionado para ser copiado e, posteriormente, sofrer as operaes
genticas.
importante notar que esse processo aleatrio e os indivduos com valores
de aptido mais alta no necessariamente sero copiados, embora tenham chance
proporcionalmente maior de serem escolhidos. Da mesma forma, esse processo
tampouco impede que os indivduos com aptides mais baixas sejam selecionados,
embora tenham menos chances. Assim, o mtodo da roleta introduz um certo grau de
aleatoriedade no processo, permitindo que o nmero efetivo de cpias deixadas para
cada indivduo varie consideravelmente em relao ao nmero esperado.
O mtodo da roleta um bom exemplo para o processo de seleo que ocorre
nos organismos vivos pois os indivduos mais aptos tm mais chance mas no tm a
garantia de deixar descendentes. Entretanto essa aleatoriedade introduzida pelo
mtodo da roleta faz com que muitos indivduos no se reproduzam com taxas
semelhantes a seu nmero esperado de cpias, o que dificulta a convergncia do
algoritmo gentico a longo prazo. Por isso, foram desenvolvidas algumas adaptaes
para o processo de seleo, que substituem o mtodo da roleta na tentativa de se
contornar esse problema. A seguir, faz-se uma descrio de algumas dessas
adaptaes.
O mtodo do valor esperado ou amostragem estocstica sem reposio, usa o
mesmo princpio da roleta mas limita o nmero de cpias que cada indivduo pode
deixar em funo de sua probabilidade de seleo. A diferena bsica com relao ao
mtodo da roleta, que, da seleo, calcula-se o nmero esperado de cpias para
todos os indivduos e, para cada vez que um indivduo selecionado, subtrai-se 1 de
seu nmero esperado de cpias. Quando o nmero esperado de cpias de qualquer
indivduo ficar nulo ou negativo, ele fica impedido de ser sorteado novamente. Assim,
o nmero de cpias de qualquer indivduo nunca ultrapassa o nmero esperado de
cpias, arredondado para o prximo inteiro.
O mtodo de amostragem determinstica tambm se baseia no nmero
esperado de cpias para cada indivduo. S que aqui se aloca imediatamente um
nmero de cpias para cada indivduo, correspondente parte inteira de seu nmero
esperado de cpias. Isso define o primeiro grupo de m cpias onde mn (o tamanho
da populao). Depois, os indivduos so ordenados, de acordo com a parte
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fracionria de seu nmero esperado de cpias, de forma decrescente. As n m cpias
que ainda faltam para completar a populao so atribudas aos n-m primeiros
indivduos dessa lista ordenada.
Assim como na amostragem determinstica, no mtodo do resto estocstico,
tambm se aloca um nmero de cpias de indivduos correspondente parte inteira
dos nmeros esperados de cpias de cada um. A diferena entre os dois mtodos
que, no resto estocstico, as partes fracionrias so usadas para estabelecer novas
probabilidades de seleo, a partir das quais as n-m cpias restantes so alocadas por
sorteio, de forma idntica ao mtodo da roleta.
Dentre os mtodos alternativos de seleo, o torneio estocstico o mais
singular. Nele se utiliza o mtodo da roleta para sortear n grupos com um pequeno
nmero de indivduos em cada. De cada grupo, copia-se aquele indivduo com o valor
mais alto de aptido, obtendo-se n cpias no final do processo.
Todos esses mtodos resultam em um processo de seleo menos exposto a
flutuaes aleatrias do que o mtodo da roleta mas no existe consenso sobre se
eles so melhores e em quais situaes (Tanomaru, 1995).
2.4.5 Recombinao
As n cpias geradas no processo de seleo formam o chamado mating pool,
sobre o qual sero efetuadas as operaes de recombinao e mutao. Para a
recombinao, primeiro os cromossomos do mating pool so agrupados em duplas.
Depois, para cada dupla, escolhe-se aleatoriamente um nmero, com distribuio
uniforme entre 0 e 1. Nas duplas onde o nmero sorteado for menor ou igual a um
dado valor, chamado probabilidade de recombinao (Prec), a recombinao serefetuada. No algoritmo gentico, a recombinao feita pelo chamado cruzamento
(crossover) de um ponto onde se escolhe, para cada dupla de cromossomos que
sero efetivamente recombinados, um ponto de corte a partir do qual permutam-se,
entre dois cromossomos da dupla, todos os valores correspondentes s disposies
posteriores, como ilustrado na figura 2.11. Para se escolher o ponto de corte
simplesmente sorteia-se, para cada dupla de cromossomos que sofrer recombinao,
um nmero com distribuio uniforme entre 1 e c-1, onde c o comprimento do
cromossomo. Sero permutadas ento, as posies cujos ndices nos cromossomossejam maiores que o nmero sorteado.
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Ponto de Corte
110001010000111 11011 110001010000111 10100
Cruzamento
001101100010001 10100 001101100010001 11011
Figura 2.4.5.1 Cruzamento com um ponto.
Devido ao importante papel que a recombinao desempenha nos algoritmos
genticos, h vrios estudos sobre seu funcionamento e suas caractersticas. Muitas
adaptaes e operadores alternativos so propostos e analisados. A maioria foi feita
para adaptar os operadores a representaes cromossmicas diferentes, usadas em
problemas especficos. Essas adaptaes tm o mrito de ilustrar como possvel
melhorar o desempenho de um algoritmo gentico desenvolvendo operadores sob
medida. Alguns operadores de recombinao alternativos tm um carter genrico,
podendo ser aplicados a algoritmos genticos em geral.
No cruzamento com dois pontos, escolhem-se dois pontos de corte, e trocam-
se, entre os cromossomos que formam pares, as seqncias que se encontrarem
entre esses dois pontos de corte. Esses pontos de corte devem ser escolhidos
sorteando-se dois nmeros entre 0 e c(onde c o comprimento do cromossomo), e
no entre 1 e c-1 como no crossoverde um ponto, para permitir tambm a troca dos
bits das extremidades. Eventualmente ambos os pontos de corte podem cair na
mesma posio. Nesse caso, pode-se fazer outro sorteio ou simplesmente no se
trocar posio nenhuma. Tambm possvel generalizar a idia do crossoverde dois
pontos estabelecendo operadores de crossover de trs ou mais pontos, dependendo
do tamanho dos cromossomos. Tais adaptaes entretanto no so relevantes do
ponto de vista terico e so muito utilizadas.
Outra adaptao importante do operador de recombinao o chamado
cruzamento uniforme, proposto por Syswerda (1989). Nesse mtodo, gera-se, para
cada par de recombinaes formado, uma seqncia binria aleatria com o mesmo
comprimento dos cromossomos, que se denomina padro de recombinao. Para
cada par de cromossomos, percorre-se o padro de recombinao correspondente e,
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toda a vez que se encontra um 1 nele, trocam-se os bits que estejam na posio
equivalente. Obviamente, sempre que se encontra um 0 no padro, no se trocam os
smbolos equivalentes.
Analisando-se o funcionamento dos operadores de recombinao j descritos,
conclui-se que os cruzamentos de um e dois pontos tendem a preservar mais os
esquemas, enquanto o cruzamento uniforme mais disruptivo. Em compensao, o
cruzamento uniforme tende a promover uma explorao mais global do espao de
busca do que os outros dois. Srinivas e Patnaik (1994) sugerem que o crossover
uniforme mais adequado para populaes pequenas, porque mantm a diversidade
e aumenta a explorao do espao de busca. Por outro lado, para populaes grandes
onde a diversidade fatalmente maior, pode ser mais vantajoso utilizar-se o
cruzamento de um ou dois pontos pois preservam mais os blocos construtores, o que
pode acelerar a convergncia.
Alm dos prprios operadores de recombinao, pode-se tambm modificar a
forma pela qual os pares so escolhidos. Normalmente os pares para a recombinao
so formados sorteando-se, sem reposio, dois indivduos no mating pool de cada
vez. Ao invs disso, pode-se usar algum critrio para escolher os pares diretamente,
ou influenciar em seu sorteio. Uma idia j testada formar duplas de indivduos de
alta aptido com outros tambm de alta aptido e, correspondentemente, os de baixa
aptido com outros de baixa aptido. Essa abordagem pode aumentar a velocidade de
convergncia mas tambm pode prejudicar a explorao global do espao de busca.
2.4.6 Mutao
Para se realizar a mutao, sorteia-se para cada posio de cada cromossomo,
um nmero com distribuio uniforme entre 0 e 1, e compara-se com a Pmut
(probabilidade de mutao). Onde o nmero sorteado for menor ou igual a Pmuttroca-
se o smbolo (alelo) que ocupa a posio correspondente. Como o algoritmo gentico
usa sempre cromossomos binrios, as nicas trocas possveis so de 1 para 0 e de 0
para 1.
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Figura 2.4.6.1 Mutao na codificao binria.
Note-se que as mutaes no algoritmo gentico so independentes, i.e., o fato
de ocorrer ou no uma mutao, em uma dada posio, no altera a probabilidade de
ocorrerem mutaes nas outras posies.
Existem ainda mtodos que alteram as probabilidades de cruzamento e
mutao para cada indivduo, de acordo com seu desempenho e com o desempenho
mdio e mximo encontrados na populao. O objetivo manter um nvel adequado
de diversidade gentica no mbito da populao e evitar a convergncia prematura.
Se o nmero de indivduos da populao pequeno e/ou o algoritmo j executou
inmeras iteraes, provavelmente h pouca diversidade gentica dentro da
populao. Se no houver um mecanismo que restaure essa diversidade, pode-se
comprometer a convergncia para o timo global (Vasconcelos, 2004). Para aaplicao desse mtodo, utilizam-se as equaes a seguir:
( )( )med
cff
ffkP
=
max
max1
'se medff' (2.4.6.1)
3kPc = se medff
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:'f representa o maior valor da funo desempenho entre os dois membros
participantes do cruzamento;
:f valor da funo avaliada para o indivduo sujeito mutao;
:maxf valor de desempenho mximo;
:medf valor de desempenho mdio;
321 ,, kkk e 4k : usualmente k1=k3=1 e k2=k4=0,05.
2.4.7 Penalidades e restries
A questo da limitao do espao de busca a um determinado intervalo um
ponto-chave quando existem restries sobre as variveis de deciso da funo
objetivo. Para que uma determinada combinao dessas variveis tenha validade,
devero atender a todos os critrios de busca do domnio da funo.
Uma maneira de se contornar esse tipo de problema seria executar a avaliao
de cada indivduo da populao corrente: caso um determinado integrante no atenda
as restries, procura-se outro para satisfaz-las. Esse tipo de anlise, usualmente,
no eficaz. Outra opo seria acoplar as restries sobre as variveis funo
objetivo, mtodo conhecido na literatura como mtodo das penalidades.
Nos mtodos que lidam com penalidades, um problema com restries pode
ser transformado em um problema irrestrito associando uma funo de penalidade funo objetivo. Dessa forma, um problema de maximizao com restrio pode ser
escrito matematicamente como sendo:
Max f(x) (2.4.7.1)
Sujeito a m restries de igualdade e l restries de desigualdade:
gj(x) 0 com j = 1,2,3,...,m (2.4.7.2)
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hk(x) = 0 com k = 1,2,3,...,l (2.4.7.3)
onde as funes f(x), gj(x) e hk(x) so respectivamente a funo objetivo, j-sima
restrio de desigualdade e k-sima restrio de igualdade.
Assim, o problema pode ser reescrito na forma de:
Max (x,r,s) = f(x) + [ ]{ } [ ]2
1
2
1
)()(,0max ==
+l
k
k
m
j
j xhsxgr (2.4.7.4)
onde as constantes re s correspondem aos pesos de cada um dos tipos de restries
violadas.
Existem, ainda, mtodos que penalizam dinamicamente, ou seja, na funo a
ser otimizada, pode-se incluir um parmetro de acordo com um contador de gerao t
(Joines e Houck, 1994):
Max (x,r,s) = f(x) + ( ) [ ]{ } [ ]
+
==
l
k
k
m
j
j xhsxgrtC11
)()(,0max. (2.4.7.5)
onde Ce so constantes definidas pelo usurio e geralmente possui valor igual a
2.
2.4.8 Definio dos parmetros
A probabilidade de recombinao, a probabilidade de mutao e o tamanho da
populao so definidos antes da execuo de um algoritmo gentico. Infelizmente,
no existe uma metodologia que possa definir os melhores valores para esses
parmetros em relao a um problema especfico. Por isso, necessrio testar
diversas possibilidades e investigar qual delas apresenta os melhores resultados.
Normalmente se empregam em algoritmos genticos, valores nas seguintes faixas: n:
10 a 200, Prec: 0,5 a 1,0 e Pmut: 0,001 a 0,10.
Nos algoritmos genticos em sua forma tradicional, os parmetros de controle,
como Pmut e Prec, so definidos pelo usurio no incio do algoritmo e permanecem
com os mesmos valores at o final. Entretanto, como a populao muda de acordo
com a evoluo do algoritmo gentico, razovel pensar-se que parmetros
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adequados no incio do algoritmo gentico possam no ser muito eficientes mais
frente, em sua evoluo. Nos chamados algoritmos genticos adaptativos, alteraram-
se os valores dos parmetros de forma a aumentar a sua eficincia. O tipo maiscomum de algoritmo gentico adaptativo aquele no qual varia-se Pmut de forma a
regular o balano explorao/explotao. medida que o algoritmo gentico vai
evoluindo, os indivduos tendem a ficar mais parecidos e, assim, a recombinao vai
perdendo a capacidade de explorar o espao de busca. Porm, se se aumenta a taxa
de mutao, pode-se criar mais diversidade na populao, explorando-se uma rea
maior do espao de busca. Para se definir quando se deve aumentar Pmut,
monitoram-se as distncias entre os indivduos da populao, que refletem a
homogeneidade desta. Caso seja necessrio, aumenta-se a taxa de mutao de formaa recuperar a diversidade e manter o poder de busca global.
Curiosamente em outra abordagem de algoritmo gentico adaptativo, adota-se
um procedimento de certa forma contrrio ao anterior. Sabe-se que altas taxas de
mutao tornam a busca do algoritmo gentico mais global, mas tambm dificultam a
sua convergncia. Assim, um procedimento razovel para variar a taxa de mutao
comear com um Pmutalto, de forma a explorar amplas regies do espao de busca
no incio e diminu-lo paulatinamente, medida que o algoritmo gentico evolua e oefeito disruptivo da mutao se torne um empecilho para sua convergncia. Ambas as
abordagens fazem sentido em relao teoria dos algoritmos genticos e no est
claro ainda qual delas seria melhor. Provavelmente a eficcia de cada uma est
relacionada a outros fatores, como o tamanho da populao, a natureza da funo
objetivo e a prpria evoluo que o algoritmo gentico est apresentando (Srinivas e
Patnaik, 1994).
2.4.9 Critrios de Parada
O ciclo de geraes deve ser repetido at que um certo critrio de parada seja
alcanado. O ideal seria prosseguir com o algoritmo at se encontrar o mximo ou
mnimo da funo. Mas isso s possvel em problema-exemplo onde j se conhece a
soluo e se quer apenas provar que tal mtodo permite de encontr-la. Em
problemas prticos, no se consegue conhecer todo o espao de busca. Portanto no
se capaz de reconhecer o timo global, mesmo que pudesse encontr-lo.
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Alternativamente se pode parar o algoritmo gentico quando uma soluo satisfatria
for encontrada. Isso pode funcionar bem para alguns tipos de problemas mas, em
muitos casos, pode ser difcil determinar o que uma soluo satisfatria ou ento oprprio conceito de soluo satisfatria pode no ter sentido pois se deseja encontrar
a melhor soluo possvel.
Os dois critrios de parada mais simples e mais freqentemente utilizados so:
fixar um nmero de geraes ou fixar um tempo mximo de processamento. Outro
critrio, teoricamente melhor, seria parar o algoritmo quando ele chegasse
estagnao. Para isso, seria necessrio definir, de forma objetiva, como se poderia
reconhecer que o algoritmo gentico chegou estagnao. Mas isso pode ser muito
complicado porque freqentemente a evoluo de um algoritmo gentico ocorre de
forma errtica, com a aptido mdia da populao podendo oscilar fortemente ou
apresentar longos perodos de aparente estagnao antes de conseguir alcanar
melhorias significativas.
2.5 Otimizao multiobjetivo utilizando algoritmos genticos
Das diferenas entre os algoritmos genticos e os mtodos de otimizao
tradicionais, citam-se (Goldberg, 1989):
i) Os algoritmos genticos trabalham com uma populao de solues
em cada iterao ao invs de uma nica soluo. Em cada iterao, os
algoritmos genticos processam um conjunto de solues. Essa
caracterstica denominada paralelismo implcito;
ii) Os algoritmos genticos no precisam de informao adicional a no
ser o valor de aptido das solues. Isso faz com que os algoritmos
genticos sejam aplicveis a uma grande variedade de problemas, para
alguns dos quais no tm informaes a priori;
iii) Os algoritmos genticos empregam regras probabilsticas para guiar
a busca. Por exemplo, o processo de seleo baseado na
aleatoriedade de duas solues (seleo por torneio), ou na
probabilidade de escolha (seleo proporcional) dessas solues. O
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operador de mutao permite que os algoritmos genticos no recaiam
nos timos locais, mudando a busca para outra regio no espao. Alm
de que, as solues da populao inicial podem ser escolhidasarbitrariamente. Em contrapartida, uma tcnica de regras fixas no ter
como escapar de timos locais, em caso de m deciso sobre a direo
de busca.
A tabela a seguir exibe uma lista dos principais modelos de algoritmos
genticos aplicados a problemas multiobjetivos, com seus autores conforme (Deb,
2001).
Tabela 2.5.1 Algoritmos genticos multiobjetivos.
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2.5.1 Descrio do Algoritmo NSGA
Tendo em vista que os melhores resultados obtidos por Dias (2000), em sua
dissertao de mestrado Algoritmos Genticos Aplicados a Problemas com Mltiplos
Objetivos deveram-se utilizao do algoritmo baseado em ordenao no-dominada
(Nondominated Sorting Genetic Algorithm - NSGA), a seguir tem-se uma breve
descrio do mesmo, que ser utilizado na resoluo dos problemas propostos neste
trabalho.
A partir de uma idia de Goldberg (989), Deb e Srinivas (1993) propuseram um
esquema de ordenao de solues candidatas a serem solues eficientes. Oprincpio bsico consiste de um mtodo de seleo por classificao buscando bons
pontos candidatos. A tcnica de partilha empregada como ferramenta auxiliar para
manter a diversidade da populao sobre a fronteira Pareto-timo.
Uma vez que o algoritmo baseado em um procedimento de ordenao dos
pontos candidatos a serem pontos eficientes da populao, esse mtodo conhecido
na literatura tcnica como Nondominated Sorting Genetic Algorithm (NSGA).
O NSGA difere do Algoritmo Gentico Simples (AGS) apenas na maneira como
o mtodo de seleo trabalha, uma vez que os operadores de cruzamento e mutao
permanecem idnticos. Antes de o mtodo de seleo atuar, a populao
classificada com base na definio de pontos eficientes (conceito de Pareto-timo).
Os indivduos eficientes presentes na populao corrente so primeiramente
identificados. Assim, esses indivduos definiro a primeira fronteira eficiente e tero
como valor, na funo aptido, um nmero no nulo. O mesmo valor da funo de
aptido assumido para todos da primeira fronteira para se ter uma nicaprobabilidade de reproduo. Para se manter a diversidade da populao, os
indivduos so submetidos atuao da tcnica de formao de nichos com funo de
partilha triangular sobre os seus valores de aptido.
Com a funo de partilha, obtem-se a funo de aptido degradada, a qual
definida como sendo a funo de aptido original do indivduo dividida pela quantidade
proporcional de indivduos ao redor do mesmo (dado pelo tamanho do nicho). Aps a
partilha, os indivduos eficientes so ignorados temporariamente para se processar oresto da populao de modo a identificar indivduos para a segunda fronteira eficiente.
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Esses pontos eficientes assumiro um novo valor da funo de aptido que dever ser
menor que o valor mnimo da funo de aptido da fronteira anterior. O processo
continua at que toda a populao seja classificada em fronteiras eficientes ou no-dominadas.
A populao ento reproduzida de acordo com a sua funo de aptido.
Inicialmente foi proposto um operador de seleo do tipo SRS (Stochastic Reminder
Sampling), mas qualquer tipo de seleo pode ser aplicado. Uma vez que os
indivduos da primeira fronteira apresentam o maior valor de aptido, tero sempre
mais cpias que o resto da populao corrente. Dessa forma, leva-se a pesquisa para
regies do espao vivel nas proximidades da fronteira Pareto-timo. Esse mtodo
apresenta uma convergncia acelerada e o processo de partilha auxilia a distribuio
dos indivduos sob a fronteira eficiente.
Conforme pode ser observado no fluxograma do NSGA (figura 2.5.1.1), o
algoritmo similar ao algoritmo gentico simples, com exceo da classificao das
fronteiras eficientes e da operao de partilha. A partilha, em cada fronteira,
determinada pelo clculo do valor da funo de partilha Sh(d ij) entre dois indivduos da
mesma fronteira como abaixo:
Sh(dij) = 1 (dij/shared) se dij < shared (2.5.1.1)
0 se dij shared
Nessa equao, o parmetro dij corresponde distncia no espao em estudo
entre dois indivduos ie jda fronteira atual. A varivel shared corresponde distncia
mxima, nesse espao, permitida entre dois indivduos quaisquer para se tornarem
membros do nicho. O parmetro (geralmente com valor 2) tem por objetivo penalizaros indivduos mais prximos. Algumas idias sobre como definir esses parmetros
podem ser encontradas em Goldberg (991), Deb (1999) e Srinivas e Deb (1994). O
parmetro tamanho de nicho, Ncount, calculado somando-se os valores da funo de
partilha de todos os indivduos presentes na fronteira eficiente. Finalmente, a funo
de partilha de cada indivduo calculada dividindo-se a funo de aptido definida na
classificao pelo tamanho do nicho.
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Incio
Inicializa PopulaoGerao = 0
Avalia PopulaoFronteira = 1
Populao foiclassificada
Identifica indivduoseficientes
Incrementa gerao Seleo AGCalcula a funo de
aptido
Cruzamento AGExecuta tcnica deformao de nichos
Mutao AG Incrementa fronteira
Gerao < Gmax.
Finalilzao
Figura 2.5.1.1 Fluxograma NSGA (Dias, 2000).
Usualmente esse tipo de funo de partilha conhecida como partilha
fenotpica ( phenotypic sharing) (Deb, 1999). Em Goldberg (1987), Goldberg e
Richardson sugeriram, mas no simularam, o uso da partilha baseada na proximidade
gentica. A proximidade gentica de dois indivduos pode ser tomada como o nmero
de genes diferentes em seus cromossomos, ou seja, a distncia Hamming entre asstrings que os representam.
A distncia dij considerada na funo de partilha, baseada no espao de
variveis de otimizao, a distncia das seqncias de caracteres (strings) que
identificam o indivduo (considerando-se o caso de codificao binria) segundo Deb
(1999) e Srinivas e Deb (1993). Para funes de apenas uma varivel, essa distncia
pode ser calculada como a diferena absoluta da varivel decodificada. No caso mais
geral, para funes de p-variveis, a distncia pode ser calculada usando-se algum
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critrio de norma para espaos de dimenso p. Como critrio de simplificao, a
distncia euclidiana adotada na formulao da distncia.
Dessa forma, dados os indivduos comp-variveis:
Xi = [X1,i X2,i X3,i ... Xp,i] (2.5.1.2)
Xj = [X1,j X2,j X3,j ... Xp,j]
Onde X a k-sima varivel decodificada do i-simo indivduo.
A distncia dij pode ser calculada como:
dij = ( )=
p
k
jkik XX1
2
,, (2.5.1.3)
Onde as variveis X1,i, X2,i, ..., Xp,i so parmetros de otimizao decodificados do
problema em estudo.
Deb (1998), props outra frmula de anlise que considera a distncia
euclidiana parap-dimenses normalizada:
dij =
2
1
,,
minmax=
p
k kk
jkik
XX
XX(2.5.1.4)
onde so citadas duas estimativas de parmetro shared:
[1] shared =
p q
p
2
1
(2.5.1.5)
[2] shared =p
1.02
1(2.5.1.6)
Outra maneira de se implementar a funo de partilha utilizar o espao de
funes objetivo ao invs do espao de otimizao. sabido que diferentes escalas,
nas dimenses do espao de funes objetivo em um problema multiobjetivo, podem
afetar a distribuio dos indivduos na populao corrente.
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3 Metodologia
3.1 Processo de Modelagem
Conforme descrito por Goldbarg e Luna (2005), possvel, de forma bastante
geral, resumir o processo de modelagem ou de construo de modelos na tica
operacional, pelos passos sugeridos no fluxograma a seguir, que foi utilizado neste
trabalho:
Definio do Problema
Formulao e Construo
do Modelo Inicial
Simulao do Modelo Validao do Modelo
Reformulao do Modelo
Aplicao do Modelo
Figura 3.1.1 Fluxograma do processo de modelagem (Goldbarg e Luna, 2005).
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3.2 Definio dos problemas
O objetivo principal deste trabalho avaliar a aplicabilidade dos algoritmos
genticos na definio de cava final e seqenciamento de lavra para minas a cu
aberto.
Para se atingir tal objetivo pretende-se desenvolver um conjunto de rotinas
computacionais que, a partir de um modelo de blocos tecnolgicos conhecido que
represente uma jazida, seja capaz de gerar um conjunto de solues timas, tendo em
vista os objetivos de maximizao de reservas (massa), maximizao de valor no
descontado (lucro), respeitando as condicionantes de qualidade e distribuio dasmassas no tempo (seqenciamento de lavra).
Pode-se dividir nos seis problemas citados a seguir:
a) Otimizao mono-objetivo
I. Determinao da cava final maximizando o lucro no descontado;
II. Determinao da cava final maximizando o lucro no descontado com
restries de qualidade;III. Determinao da cava final maximizando o lucro no descontado com
restries de qualidade e/ou massas no tempo.
b) Otimizao multiobjetivo
I. Gerao da famlia de cavas timas visando maximizar recursos e o lucro
no descontado;
II. Gerao da famlia de cavas timas visando maximizar recursos e teor
mdio;
III. Gerao da famlia de cavas timas visando maximizar o lucro nodescontado e teor mdio.
3.3 Construo dos modelos de blocos tericos
O modelo de blocos utilizado neste trabalho baseado no exemplo
originalmente apresentado em Lerchs e Grossmann (1965), elaborado por Sainsbury
(1970) e reapresentado por Hustrulid & Kuchta (1995), que descreve o algoritmo de
Lerchs-Grossmann em 2D, conforme item 2.1.1.
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Alm dos valores econmicos dos blocos, so atribudos valores de massa
visando a gerao de cavas multiobjetivo, ou seja, gerao das cavas pertencentes
fronteira do Pareto-timo. Visando simplificar a estrutura da base de dados relativosao modelo de blocos, para o clculo das massas dos blocos, admitiu-se que todos os
blocos possuem a mesma densidade e, portanto, possuem a mesma massa cujo valor
considerado foi o de uma unidade de peso.
Com relao aos teores, tambm com o objetivo de simplificar a gerao dos
modelos de blocos a serem trabalhados, os valores de teor mdio foram calculados a
partir dos valores econmicos na razo de 10/1, ou seja, para os blocos com valores
econmicos positivos, os valores de teor mdio tero dez vezes menos o valor
econmico. Por exemplo: um bloco de 12 unidades monetrias ter um teor mdio de
1,2%.
Abaixo algoritmo utilizado para gerao do arquivo ASCII referente ao modelo
de blocos.
Para i = 1 at NLinhasPara j = 1 at NColunas
Para k = 1 at NNiveisValorBloco = CalculaValorBloco(k, j)se ValorBloco >= 0 entoTeorBloco = ValorBloco / 10
senoTeorBloco = -1
fim-seEscreve arquivo (i, j, K, ValorBloco, TeorBloco)
fim-parafim-para
fim-para
3.4 Codificao das rotinas computacionais para os problemas propostos
Os algoritmos foram desenvolvidos em Microsoft Visual Basic (VBA 6.3)
disponvel no aplicativo Microsoft Excel, possibilitando uma maior divulgao dos
conceitos envolvidos neste trabalho. claro que tal opo desfavorece uma aplicao
prtica real, uma vez que geralmente tem-se modelos de blocos de grandes
dimenses que, por sua vez, demandam altos custos computacionais. Tambm foram
codificados algoritmos em Delphi (V3.0 - Borland International) uma vez que esse
compilador tem desempenho superior ao do VBA.
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