Tesal kobandaha

7/21/2019 Tesal kobandaha

1/26

BAB 7

DINAMIKA SISTEM PARTIKEL

7.1 Pendahuluan:

Pusat Massa dan Momentum linear dari Sistem

Sekarang kita perluas pembelajaran kita tentang mekanika sistem dari banyak partikel (dua

atau lebih). Partikel ini mungkin atau mungkin tidak bergerak secara bebas satu sama lain.

Sistem khusus, yang disebut rigid bodies, di mana posisi relatif dari semua partikel tetap

diambil di depan dua bab. Untuk saat ini, kita kembangkan beberapa teorema umum yang

berlaku untuk semua sistem. Kemudian kita terapkan beberapa sistem sederhana partikel

bebas. Sistem umum kita terdiri dari partikel n massa m1, m,. . . , !ang posisinya

"ektor masing#masing adalah, r1, r,. . . , Kita definisikan pusat massa dari sistem sebagai

titik yang posisinya "ektor ($ambar %.1.1) diberikan oleh

(7.1.1)

&imana adalah total dari massa. &efinisi dari persamaan %.1.1 setara untuk tiga

persamaan.

(%.1.)

Kita

definisikan momentum p linear dari sistem sebagai jumlah "ektor linear momentum partikel

indi"idu, yaitu,

(%.1.')

Pada perhitungan dari persamaa %.1.1 dan dibandingkan dengan persamaan %.1.'

berikut baha

1


2/26

(%.1.)

yaitu, momentum linear dari sistem partikel adalah sama dengan kecepatan pusat massa

dikalikan dengan total massa dari sistem. *isalkan baha sekarang ada dorongan keluar +1,

+,....+i ...., +n bekerja pada masing#masing partikel. Selain itu, mungkin ada dorongankedalam yang berinteraksi antara setiap dua partikel dari sistem. Kita nyatakan dorongan

kedalam sebagai +ij, dorongan kedalam dengan gaya yg diberikan pada partikel i oleh

partikel j, dengan +ii -. *aka persamaan gerak partikel i menjadi,

(%.1.)

dimana +i berarti dorongan keluar keseluruhan yang bekerja pada partikel i. /stilah keduaPersamaan %.1. merupakan penjumlahan "ektor semua dorongan kedalam yang bekerja pada

partikel i oleh semua partikel lain dari sistem. *enambahkan Persamaan %.1. untuk partikel

n, kita dapatkan

(%.1.0)

&alam penjumlahan ganda dalam Persamaan %.1.0, untuk setiap gaya ada juga

dorongantarikan dan dua dorongantarikan ini adalah sama dan berlaanan

(%.1.%)

dari hukum aksi dan reaksi, hukum ketiga 2eton. 3kibatnya, dorongantarikan kedalam

membatalkan berpasangan, dan jumlah ganda lenyap. Kita bisa menulis Persamaan %.1.%

dengan cara sebagai berikut4

(%.1.5)

Pendahuluan: Pusat Massa dan Linear Momentum Sistem

&alam kata4 Percepatan pusat massa sistem partikel adalah sama

seperti yang dilakukan oleh satu partikel memiliki massa sama dengan massa total sistem dan

bertindak dengan jumlah dari kekuatan eksternal.

2


3/26

Perhatikan, misalnya, segerombolan partikel yang bergerak dalam medan gra"itasi seragam.

Kemudian, karena m1g untuk setiap partikel,

(%.1.6)

7angkah terakhir mengikuti dari fakta baha g adalah konstan. 8leh karena itu,

(%.1.1-)

/ni adalah sama dengan persamaan untuk sebuah partikel tunggal atau proyektil. &engan

demikian, pusat

massa pecahan peluru dari shell artileri yang telah meledak di udara mengikuti parabola yang

sama

jalan yang shell akan mengambil itu belum meledak (sampai salah satu potongan

pemogokan sesuatu).

&alam kasus khusus di mana tidak ada kekuatan eksternal yang bekerja pada sistem (atau jika

+ -),

maka - dan konstan9 dengan demikian, momentum linear dari sistem tetap

konstan4

(%.1.11)

/ni adalah prinsip kekekalan momentum linear. &alam mekanika 2etonian yang

keajegan momentum linear dari suatu sistem yang terisolasi secara langsung berhubungan

dengan, dan di kenyataan konsekuensi dari, hukum ketiga. :etapi bahkan dalam kasus#kasus

di mana kekuatan antara partikel tidak langsung mematuhi hukum aksi dan reaksi, seperti

kekuatan magnet

antara muatan bergerak, prinsip kekekalan momentum linear masih berlaku ketika

perhitungan karena diambil dari total momentum linear dari partikel dan elektromagnetik

bidang.1

7. Momentum sudut dan Kineti! Ener"i Sistem

Kami sebelumnya menyatakan baha momentum sudut dari partikel tunggal didefinisikan

sebagai kali r ; m". *omentum sudut 7 dari sistem partikel didefinisikan sesuai, sebagai

jumlah "ektor dari sudut momentum indi"idu, yaitu,

(%..1)

3


4/26

*ari kita jumlahkan aktu turunan dari momentum sudut. *enggunakan aturan untuk

membedakan silang produk, kita temukan

(%..)

Sekarang istilah pertama di sebelah kanan hilang, karena, dan, karena sama

dengan total gaya yang bekerja pada partikel i, kita dapat menulis

(%..')

di mana, seperti di


5/26

Produk lintas r, = +1 adalah momen gaya +1 eksternal. >umlah ?@1 ; +, adalah, oleh karena

itu,

total saat semua kekuatan eksternal yang bekerja pada sistem. >ika kita menyatakan

:otal torsi eksternal, atau saat kekuatan, oleh 2, Persamaan %..' mengambil bentuk

(%..%)

3rtinya, tingkat aktu perubahan momentum sudut sistem adalah sama dengan total

saat semua kekuatan eksternal yang bekerja pada sistem.

>ika sistem terisolasi, maka 2 -, dan momentum sudut tetap konstan di

baik besar dan arah4

(%..5)

/ni adalah pernyataan dari prinsip kekekalan momentum sudut. /ni adalah generalisasi

untuk partikel tunggal dalam bidang pusat. Seperti keteguhan momentum linear dibahas

dalam bagian sebelumnya, momentum sudut dari suatu sistem yang terisolasi juga konstan

dalam kasus sistem biaya yang bergerak ketika momentum sudut dari medan elektromagnetik

adalah considered.

Kadang#kadang mudah untuk mengekspresikan momentum sudut dalam hal gerak dari pusatmassa. Seperti ditunjukkan dalam $ambar %.., kita dapat mengekspresikan setiap "ektor

posisi bentuk.

(%..6)

(%..1-)

5


6/26


7/26

mengekspresikan momentum sudut sistem dalam hal suatu BorbitalB bagian (gerak pusat

massa) dan BspinB bagian (motion tentang pusat massa).

Sistem Ener"i Kineti!

:otal energi kinetik : dari sistem partikel diberikan oleh jumlah indi"idu

energi, yaitu,

(%..1)

Seperti sebelumnya, kita dapat mengekspresikan kecepatan relatif terhadap pusat massa

diberikan

(%..10)

Karena penjumlahan kedua hilang, kita dapat mengekspresikan energi kinetik sebagai

berikut4

(%..1%)

/stilah pertama adalah energi kinetik translasi dari seluruh sistem, dan yang kedua adalah

energi kinetik dari gerak relatif terhadap pusat massa. Pemisahan momentum sudut dan

energi kinetik menjadi pusat#dari#massa bagian dan relatif#ke#pusat#dari#massa bagian

menemukan aplikasi penting dalam atom dan molekular +isika dan dalam astrofisika. Kami

menemukan sebelumnya dua teorema yang berguna dalam penelitian rigid bodies(tubuh

kaku) dalam bab#bab berikut.

7.# $era! Dua Benda %an" Berintera!si: Pen"um&ul Massa

*ari kita perhatikan gerak sebuah sistem yang terdiri dari dua benda, diperlakukan di sini

sebagai partikel, yang berinteraksi satu sama lain dengan kekuatan pusat. Kita asumsikan

sistem terisolasi, dan, sehingga, pusat massa bergerak dengan kecepatan konstan. Untuk

mempermudah, kita mengambil pusat massa sebagai asal. Kita miliki maka

(%.'.1)

7


8/26

di mana, seperti yang ditunjukkan pada $ambar %.'.1, "ektor r1 dan r meakili posisi

partikel m1 dan m, masing#masing, relatif terhadap pusat massa. Sekarang, jika n adalah

"ektor posisi partikel 1 relatif terhadap partikel , maka

(%.'.)

7angkah terakhir berikut dari Persamaan %.'.1. Persamaan diferensial gerak partikel 1 relatif

terhadap pusat massa adalah

(%.'.')

di mana >ika (@) / adalah besarnya gaya timbal balik antara kedua partikel. &enganmenggunakan Persamaan %.'., dapat kita tuliskan

(%.'.)

&imana,

(%.'.)

>umlah p disebut massa berkurang. Persamaan baru gerak (Persamaan %.'.)

memberikan gerak partikel 1 relatif terhadap partikel , dan persamaan persis sama

memberikan gerak partikel relatif terhadap partikel 1. Persamaan ini justru sama dengan

Persamaan biasa gerak dari partikel tunggal p massa bergerak dalam bidang pusat kekuatan

diberikan ika

benda adalah massa yang sama m, maka C m . &i sisi lain, jika m sangat jauh lebih

besar dari m1, sehingga m1m sangat kecil, maka C hampir sama dengan m1.Selama dua tubuh menarik satu sama lain dengan gra"itasi

8


9/26

(%.'.0)

&alam hal ini persamaan gerak adalah

(%.'.%)

atau, sama,

(%.'.5)

7.' Di(atasi Ti"a)Benda Masalah *

&alam


10/26

penyimpangan dari coplanarity seringkali cukup kecil. Sistem gra"itasi dengan dominan

massa pusat menunjukkan kecenderungan yang luar biasa untuk coplanarity. Sekali lagi,

mengabaikan komet, sisa anggota tata surya menunjukkan tingkat tinggi coplanarity, seperti

halnya sistem indi"idu dari planet >o"ian besar dan kumpulan mereka bulan.

Pembatasan masalah tiga benda berfungsi sebagai model yang sangat baik untuk menghitung

gerakan orbital tersier kecil di medan gra"itasi dari dua lainnya. Dal ini cukup

mudah untuk melihat dua solusi yang mungkin menggambarkan dua situasi yang ekstrim.

Satu terjadi ketika orbit tersier lebih atau kurang pusat massa dari dua lainnya pada jarak jauh

sehingga dua primary tampak kabur bersama sebagai sumber gra"itasi tunggal. Sebuah kedua

terjadi ketika tersier terikat begitu erat dengan salah satu primary yang mengorbit dalam

mode Keplerian, tampaknya tak menyadari kehadiran primer kedua. Kedua kemungkinan ini

direalisasikandialam

Persamaan $era! untu! Di(atasi Ti"a (enda Masalah

*asalahnya dibatasi adalah dua dimensi, yaitu4 Seluruh orbit terletak dalam satu, pesaat

tetap di ruang angkasa. 8rbit masing#masing dua primary adalah sebuah lingkaran dengan

kecepatan yang sama co sudut sekitar pusat massa. Kami berasumsi baha pusat massa dari

dua primary tetap tetap dalam ruang dan baha rasa rotasi gerak orbit dilihat dari atas adalah

berlaanan seperti yang ditunjukkan pada $ambar %..1 Kami menunjuk *1 massa utama

yang paling besar, * massa dari besar satu paling, dan m massa kecil dari tersier yang orbit

kita ingin menghitung. Kami memilih sistem koordinat ;E#y Eyang berputar dengan duapemilihan pendahuluan dan yang asal pusat massa. Kami membiarkan kebohongan F;#sumbu

sepanjang arah menuju *1 utama yang paling besar. >ari#jari orbit melingkar *1 dan *

ditetapkan a dan b, masing#masing. >arak ini tetap sepanjang ;E#sumbu dalam koordinat

berputar sistem.

10


11/26

*embiarkan koordinat tersier menjadi (; E, yE). jarak antara itu dan setiap

dua primary adalah

(%..1)

$aya gra"itasi bersih diberikan pada m (lihat Persamaan 0.1.1) dengan demikian

(%..)

dimana r1 Edan rE adalah posisi "ektor m sehubungan dari *1 dan *. $aya ini adalah satu#

satunya yang nyata yang bekerja pada m, tapi karena kita memiliki efektif ditiadakan gerakan

dua pemilihan pendahuluan dengan memilih untuk menghitung gerakan dalam kerangka

acuan yang berputar

dengan mereka, kita harus menyertakan pengaruh kekuatan noninertial yang diperkenalkan

sebagai

Dasil pilihan ini. Persamaan umum gerak untuk sebuah partikel dalam bingkai acuan yang

berputar diberikan oleh Persamaan .'.. Karena asal sistem koordinat berputar tetap tetap

dalam ruang, , dan karena laju rotasi adalah konstan, untuk dan Persamaan

.'. mengambil bentuk

(%..')

Karena m yang umum bagi semua istilah dalam Persamaan %..', kita dapat menulis ulang

dalam hal percepatan sebagai

(%..)

Kita sekarang dalam posisi untuk menghitung dua percepatan non inersia kemudian

Persamaan %..# Goriolis dan percepatan sentrifugal

(%..)

(%..0)

11


12/26

Kita sekarang masukkan Persamaan %.. 1a dan b, %.., %.., dan %..0 ke %.. untuk

mendapatkan persamaan gerak massa m ; Edan yE koordinat

(%..%a)

(%..%b)

Potensi E+e!ti+: The lima &oin La"ran"ian

Sebelum memecahkan Persamaan %..%a dan b, kami ingin berspekulasi tentang

kemungkinan

solusi yang kami bisa mendapatkan. Untuk itu, kami mencatat baha pertama tiga istilah di

setiap

dari mereka persamaan dapat dinyatakan sebagai gradien dari potensial fungsi yang efektif, H

(r E) dalam koordinat polar

(%..5a)

atau H (; E, yE) dalam koordinat Gartesian

(%..5b)

/stilah terakhir dalam persamaan %..%a dan b adalah#kecepatan tergantung dan tidak dapat

dinyatakan sebagai gradien dari potensial yang efektif. &engan demikian, kita harus

menyertakan istilah Goriolis sebagai /stilah tambahan dalam persamaan yang berasal

kekuatan dari potensi efektif. Untuk *isalnya, Persamaan %..' menjadi

(%..6)

Sebuah penyederhanaan dalam semua perhitungan lebih lanjut dapat dicapai denganmengungkapkan massa, panjang, dan aktu dalam satuan yang mengubah H (; E, yE) ke dalam

12


13/26

bentuk in"arian yang membuatnya berlaku untuk semua situasi tiga benda dibatasi terlepas

dari nilai#nilai massa mereka. Pertama, kita skalakan semua jarak total pemisahan dua

primary9 yaitu, kita membiarkan a F b sama dengan satu satuan panjang. Dal ini analog

dengan kon"ensi di mana

satuan astronomi, atau 3U, jarak rata#rata antara


14/26

1.66 ; kg. astronomi yang

unit 1 3U 1,60 ; m.

Solusi

&alam hal ini unit baru, fungsi potensial efektif Persamaan %..5b menjadi

(%..1')

Sebidang potensi H efektif (; E, yE) ditunjukkan pada $ambar %.. untuk


15/26

dalam salah satu potensi Blubang,B mungkin mengorbit utama yang seolah#olah lainnya

primer bahkan tidak ada. Sebagai contoh, mempertimbangkan sistem Sun#>upiter4 Setiap

primer adalah sumber dari accouterment dari BsatelitB9 >upiter memiliki bulan dan*atahari

memiliki empat bagian, planet terestrial nya. Primer tidak mengganggulampiran yang lain

(setidaknya tidak terlalu banyak). Gatatan, meskipun, baha sudutkecepatan semua ini

BsatelitB tentang primer masing#masing jauh lebih besar dari kecepatan sudut dari dua

primary tentang pusat massa. Selain itu, tertiaries di orbit tersebut diseret oleh utama dalam

orbitnya sendiri.

7.* Tum(u!an

Setiap kali dua tubuh mengalami tabrakan, kekuatan yang baik diberikan pada yang lain

selama kontak merupakan kekuatan internal, jika tubuh dianggap sama sebagai sebuah sistem

tunggal. /tu

momentum linear total tidak berubah. Kita bisa, karena itu, menulis

(%..1a)

atau, sama,

(%..1b)

ika kehilangan energi tidak

terjadi, maka Q adalah positif. /ni disebut tabrakan e;oergic. /ni mungkin terjadi bahakeuntungan energi terjadi. Dal ini akan terjadi, misalnya, jika bahan peledak hadir pada salah

15


16/26

satu mayat di titik kontak. &alam hal ini Q adalah negatif, dan tumbukan disebut endergonik.

Studi tentang tabrakan sangat penting terutama dalam atom, nuklir, dan fisika energi tinggi.

16


17/26

&i sini mayat yang terlibat mungkin atom, inti, atau berbagai partikel dasar, seperti elektron

dan Ruark.

Tum(u!an Lan"sun"

*ari kita mempertimbangkan kasus khusus dari tabrakan dari dua badan, atau partikel, di

mana gerakan berlangsung sepenuhnya pada satu garis lurus, sumbu ;, seperti yang

ditunjukkan pada $ambar %..1. &alam hal ini persamaan keseimbangan momentum

(Persamaan %..1b) dapat ditulis

-7.*.

3rah sepanjang garis gerak diberikan oleh tanda#tanda ; Es. Untuk menghitung nilai#nilai dari

kecepatan setelah tumbukan, mengingat nilai#nilai sebelum tumbukan, kita dapat

menggunakan persamaan momentum sebelumnya bersama#sama dengan energi persamaan

keseimbangan (Persamaan %..b), jika kita tahu nilai Q. Dal ini sering nyaman di masalah

seperti ini untuk memperkenalkan parameter lain disebut koefisien restitusi.

Kuantitas ini didefinisikan sebagai rasio kecepatan pemisahan " Edengan kecepatan

pendekatan ". &alam notasi dapat kita tulis sebagai

(%..)

2ilai numerik dari terutama tergantung pada komposisi dan fisik susunan dua benda. Sangat

mudah untuk mem"erifikasi baha dalam tumbukan elastis nilai dari 1. Untuk

melakukannya, kami menetapkan Q - pada Persamaan %..b dan menyelesaikannya

bersama#sama dengan Persamaan %..' untuk kecepatan akhir. 7angkah#langkah yang tersisa

sebagai latihan. &alam kasus tabrakan benar#benar inelastis, dua badan tetap bersatu setelah

bertabrakan, sehingga -. Untuk sebagian besar tubuh nyata memiliki nilai di suatu tempat

antara dua ekstrem - dan 1. Untuk bola bilyar gading itu adalah sekitar -,6. 2ilai koefisienrestitusi mungkin juga tergantung pada kecepatan pendekatan. Dal ini terutama jelas dalam


18/26

kasus senyaa silikon yang dikenal sebagai Silly Putty. Sebuah bola bahan ini memantul

ketika menyerang permukaan yang keras dengan kecepatan tinggi, tapi pada kecepatan

rendah itu bertindak seperti dempul biasa. Kita dapat menghitung nilai#nilai dari kecepatan

akhir dari Persamaan %..' bersama dengan definisi koefisien restitusi (Persamaan %..).

Dasilnya adalah

(%..)

*engambil kasus benar#benar tidak elastis dengan menetapkan -, kita menemukan,

sebagaimana seharusnya, baha ;1 E ;E9 baha adalah, tidak ada rebound. &i sisi lain,dalam kasus khusus baha tubuh adalah massa sama m1 m dan elastis sempurna 1,

kita peroleh

(%..0)

Kedua badan, oleh karena itu, hanya bertukar kecepatan mereka sebagai akibat dari tabrakan.

&alam kasus umum dari tabrakan tidak elastis langsung, mudah di"erifikasi baha energi

hilangnya Q berkaitan dengan koefisien restitusi dengan persamaan

(%..%)

Im&uls dalam tum(u!an

Pasukan durasi yang sangat singkat dalam aktu, seperti yang diberikan oleh badan#badan

mengalami tabrakan, disebut pasukan impulsif. >ika kita membatasi perhatian kita pada satu

tubuh, atau partikel, persamaan diferensial gerak adalah d (m") dt +, atau dalam bentuk

diferensial d (m") + dt. *ari kita meluangkan aktu yang tidak terpisahkan selama inter"alt t1 sampai t t. /ni adalah aktu di mana gaya dianggap untuk bertindak. *aka kita

harus

(%..5a)

Taktu yang tidak terpisahkan dari gaya adalah impuls. Dal ini laim dilambangkan dengan

simbol P.

Persamaan %..5a adalah, sesuai, dinyatakan sebagai

(%..5b)


19/26

Kita bisa memikirkan dorongan yang ideal seperti yang dihasilkan oleh kekuatan yang

cenderung tak terbatas tetapi berlangsung untuk inter"al aktu yang mendekati nol

sedemikian rupa sehingga integral dt tetap terbatas./mpuls yang ideal tersebut akan

menghasilkan perubahan seketika dalam momentum dan kecepatan tubuh tanpa

menghasilkan perpindahan apapun.

7./ 0(li! tum(u!an dan am(uran: Per(andin"an La(oratorium dan Pusat Massa

Koordinat

Kita sekarang beralih perhatian kita pada kasus yang lebih umum dari tumbukan di mana

gerakan tersebut tidak terbatas pada satu garis lurus.


20/26

di mana m m1 m. Sekarang jika kita mengambil dot product dari setiap sisi persamaan

momentum (Persamaan %.0.la) dengan dirinya sendiri, kita mendapatkan

(%.0.)

*embandingkan Persamaan %.0.' dan %.0., kita melihat baha

(%.0.)

Untuk tumbukan elastis (Q -) kita miliki, oleh karena itu,

(%.0.0)

sehingga dua partikel muncul dari tabrakan di sudut kanan satu sama lain.

Pusat Massa Koordinat

Perhitungan teoritis dalam fisika nuklir sering dilakukan dalam hal jumlah dimaksud

untuk sistem koordinat di mana pusat massa partikel bertabrakan beristirahat. pada

sisi lain, pengamatan eksperimental pada hamburan partikel dilakukan

dalam hal koordinat laboratorium. Karena itu, kami pertimbangkan secara singkat masalah

kon"ersi dari satu sistem koordinat yang lain. Hektor kecepatan dalam sistem laboratorium

dan di pusat sistem massa diilustrasikan diagram pada $ambar %.0.1. &alam gambar

adalah sudut defleksi partikel datang setelah menyerang partikel sasaran, dan adalah sudut

baha garis gerak partikel sasaran membuat dengan garis gerak partikel insiden. Kedua 1

dan diukur dalam sistem laboratorium. &i tengah sistem massa, karena pusat massa harus

berbaring di garis bergabung dengan dua partikel setiap saat, baik partikel mendekati pusat

massa, berbenturan, dan surut dari pusat massa dalam arah yang berlaanan. Sudut

menunjukkan defleksi sudut partikel insiden di pusat sistem massa seperti yang ditunjukkan.

&ari definisi pusat massa, momentum linear di pusat massa sistem adalah nol baik sebelumdan setelah tumbukan. 8leh karena itu, kita dapat menulis


21/26

(%.0.%a)

(%.0.%b)


22/26

8leh karena itu, dengan membagi, kita menemukan persamaan yang menghubungkan sudut

hamburan menjadi dinyatakan dalam bentuk

(%.0.1)

di mana y adalah parameter numerik yang nilainya diberikan oleh

(%.0.1)

7angkah terakhir berikut dari Persamaan %.0.11.

Sekarang kita dapat dengan mudah menghitung nilai "1 Edalam hal energi aal partikel

insiden dari persamaan energi (Persamaan %.0.6). /ni memberi kita diperlukan informasi

untuk menemukan y dan, dengan demikian, menentukan hubungan antara hamburan sudut.

*isalnya dalam kasus elastis tabrakan Q -, kita menemukan dari energi persamaan yang p1

p1 Eatau "1 "1E. Dasil ini, bersama#sama dengan Persamaan %.0.1, menghasilkan nilai

(%.0.10)

7.7 $era! (enda den"an 2aria(le Massa: $era! Ro!et

Sejauh ini, kita telah membahas hanya situasi di mana massa benda yang dipertimbangkan

tetap konstan selama gerakan. &alam banyak situasi ini tidak benar. 3ir hujan yang jatuh

meskipun atmosfer mengumpulkan tetesan kecil sebagai mereka jatuh, yang meningkatkan

massa mereka. @ockets mendorong diri mereka sendiri dengan membakar bahan bakar

eksplosif dan mendepak gas yang dihasilkan pada kecepatan knalpot tinggi. &engan

demikian, mereka kehilangan massa saat mereka mempercepat. &alam setiap kasus, massa

terus#menerus ditambahkan atau dikeluarkan dari tubuh yang bersangkutan, dan perubahan

dalam massa mempengaruhi gerakannya. &i sini kita menurunkan persamaan diferensial

umum yang menggambarkan gerak benda tersebut. 3gar tak terlalu bingung dengan tanda#

tanda, kita memperoleh persamaan dengan mempertimbangkan kasus di mana massa

ditambahkan ke tubuh ketika bergerak. Persamaan gerak juga berlaku untuk roket, tetapi

dalam kasus baha laju perubahan massa adalah kuantitas negatif. Periksa $ambar %.%.1.Sebuah massa besar bergerak melalui beberapa media yang penuh dengan partikel kecil yang


23/26

menempel massa karena menyerang mereka. &engan demikian, tubuh yang lebih besar terus

mengumpulkan hingga massa ketika bergerak melalui medium. Pada beberapa aktu t,

massanya adalah m (t) dan yang

kecepatan adalah " (t). Partikel#partikel kecil, secara umum, tidak pada saat istirahat tetapi

bergerak melalui media juga dengan kecepatan yang kita asumsikan sebagai u (t). Pada aktu

t F Vt, bergerak besar objek telah bertabrakan dengan beberapa partikel yang lebih kecil dan

akumulasi tambahan

sejumlah kecil 3m massa. &engan demikian, massa sekarang m (t F Vt) m (t) F Vm dan

kecepatannya telah berubah menjadi " (t F Vt). &alam inter"al aktu kecil &i, perubahan

(jika ada) dalam total linear momentum sistem adalah

(%.%.1)

Perubahan ini dapat dinyatakan dalam hal massa dan kecepatan sebelum dan sesudah

tumbukan

(%.%.)

Karena kecepatan Vm relatif tom adalah H u # ", Persamaan %.%. dapat dinyatakan sebagai

(%.%.')

dan membaginya dengan Vt kita memperoleh

(%.%.)

&alam limit sebagai , kita memiliki

(%.%.)


24/26

$aya meakili setiap kekuatan eksternal, seperti gra"itasi, hambatan udara, dan

sebagainya

yang bekerja pada sistem di samping kekuatan impulsif yang dihasilkan dari interaksi

antara massa m dan 3m. >ika -, maka momentum total P dari sistem adalah

konstan gerak dan perubahan bersih adalah nol. /ni adalah kasus untuk roket di luar angkasa,

di luar pengaruh gra"itasi dari setiap planet atau bintang, di mana pada dasarnya adalah

nol. Kita sekarang menerapkan persamaan ini gerak untuk dua kasus khusus di mana massa

ditambah atau hilang dari tubuh bergerak. Pertama, misalkan, seperti yang kita telah

dijelaskan, tubuh jatuh melalui kabut atau kabut sehingga mengumpulkan massa saat

berjalan, tetapi menganggap baha tetesan kecil materi tersuspensi di atmosfer sehingga

kecepatan aal mereka sebelum ekskresi adalah nol. Secara umum, ini akan menjadi

pendekatan yang baik. 8leh karena itu, H ", dan kita memperoleh

(%.%.0)

untuk persamaan gerak. /ni berlaku hanya jika kecepatan aal dari masalah ini yang sedang

menyapu kita adalah nol. >ika tidak, Persamaan yang lebih umum %.%., harus digunakan.

Untuk kasus kedua, pertimbangkan gerak roket. :anda m negatif karena roket kehilangan

massa dalam bentuk bahan bakar dikeluarkan. /stilah Hm dalam Persamaan %.%. disebut

dorong roket, dan arahnya berlaanan arah H, kecepatan relatif dari produk knalpot. &i sini,

kita memecahkan persamaan gerak untuk kasus yang paling sederhana dari gerakan roketdimana gaya luar terhadap itu adalah nol9 yaitu, roket tersebut tidak tunduk pada gaya

gra"itasi, hambatan udara, dan sebagainya. &engan demikian, pada persamaan %.%.,

-, dan kami memiliki

(%.%.%)

Kita sekarang dapat memisahkan "ariabel dan mengintegrasikan untuk menemukan " sebagai

berikut4

(%.%.5)

>ika kita mengasumsikan baha H adalah konstan, maka kita dapat mengintegrasikan antara

batas untuk menemukan kecepatan sebagai fungsi m4

(%.%.6)


25/26


26/26

6. >ika dua tubuh mengalami tabrakan langsung, menunjukkan baha hilangnya energi kinetik

sama dengan di mana J adalah massa berkurang, " adalah kecepatan relatif

sebelum dampak, dan koefisien restitusi.

1-. Sebuah partikel bergerak dari m1 massa bertabrakan elastis dengan partikel target m massa,

yang aalnya saat istirahat. >ika tabrakan adalah kepala#on, menunjukkan baha partikel

insiden kehilangan pecahan p m energi kinetik aslinya, di mana p adalah mengurangi

massa dan m m1 F m.

Tesal kobandaha

Documents

Transcript of Tesal kobandaha