termodinamica termica y transmission de calor de la universidad de valladolid

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Ingeniera Trmica

Fco. Javier Rey Martnez. Julio Fco. San Jos Alonso Eloy Velasco Gmez. Ana Tejero Gonzlez Manuel Andrs Chicote

Grupo de Termotecnia Departamento de Ingeniera Energtica y Fluidomecnica Universidad de Valladolid

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Edita Grupo de Termotecnia de la Universidad de Valladolid

Diseo: Ana Tejero Gonzlez

ISBN: 84-617-1729-5

Imprime: Mata Digital S.L.

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NDICE

PRESENTACIN ............................................................................................. 11 Nomenclatura ................................................................................................. 15 TEMA I TRANSFERENCIA DE CALOR CAPITULO I TRANSFERENCIA DE CALOR .................................................. 17

25.1 Introduccin ..................................................................................... 17 25.2 Mecanismos de la transferencia de calor ......................................... 17 25.3 Propiedades termofsicas de los materiales ..................................... 21

Densidad ................................................................................................... 21 Conductividad trmica ............................................................................... 22 Calor especfico ........................................................................................ 22 Calor latente .............................................................................................. 23 Coeficiente de dilatacin trmica .............................................................. 24 Difusividad trmica .................................................................................... 24 Viscosidad ................................................................................................. 25 Nmero de Prandtl .................................................................................... 26

Problemas ..................................................................................................... 26 CAPITULO II ECUACIN GENERAL DE LA CONDUCCIN DE CALOR ..... 29

2.1 Componentes del flujo de calor ........................................................... 29 2.2 Ecuacin general de la conduccin de calor ....................................... 30

Tasa neta de calor que entra por conduccin (I) ....................................... 30 Tasa de energa generada en el elemento (II) .......................................... 31 Tasa de incremento de energa interna (III) .............................................. 32

2.3 Ecuacin general de la conduccin de calor en otros sistemas de coordenadas ................................................................................................. 33

Coordenadas cilndricas ............................................................................ 33 Coordenadas esfricas ............................................................................. 34

2.4 Condiciones de Frontera ..................................................................... 34 Condiciones de frontera de primera clase ................................................. 35 Condiciones de frontera de segunda clase ............................................... 35 Condicin de frontera de tercera clase ..................................................... 36

CAPITULO III CONDUCCIN ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL ............. 37 3.1 Conduccin en rgimen estacionario unidimensional ......................... 37 3.2 Pared plana, condiciones de frontera de primera especie .................. 37

Caso de conductividad trmica variable con la temperatura ..................... 39 3.3 Pared plana, condiciones de frontera de primera especie y segunda especie ......................................................................................................... 39 3.4 Pared plana, condiciones de frontera de primera especie y tercera especie ......................................................................................................... 40 3.5 Conceptos de resistencia y conductividad trmica .............................. 41 3.6 Paredes planas compuestas por varias capas .................................... 42 3.7 Concepto de coeficiente global de transmisin ................................... 43 3.8 Cilindros .............................................................................................. 44 3.9 Cilindro hueco con condiciones de frontera de primera especie ......... 45 3.10 Cilindro slido con condiciones de frontera de primera especie en el exterior 46

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3.11 Paredes cilndricas compuestas baadas por fluidos a temperatura fija 46 3.12 Esferas ............................................................................................. 47 3.13 Esfera hueca sometida a condiciones de frontera de primera especie ......................................................................................................... 48 Problemas ..................................................................................................... 49

CAPITULO IV SUPERFICIES ADICIONALES, ALETAS ................................ 55 4.1 Introduccin ......................................................................................... 55 4.2 Ecuacin general de las superficies adicionales ................................. 56 4.3 Superficies adicionales de seccin transversal uniforme .................... 58

Superficie adicional de seccin transversal uniforme, con flujo de calor despreciable en el extremo ....................................................................... 60 Superficies adicionales de seccin uniforme, muy largas ......................... 61

4.4 Efectividad de las superficies adicionales de espesor uniforme .......... 61 4.5 Coeficiente de disipacin de aletas ..................................................... 62 4.6 Superficies adicionales longitudinales de espesor uniforme, dimensiones ptimas .................................................................................... 63 4.7 Aleta longitudinal de perfil triangular ................................................... 64

Dimensiones ptimas aleta triangular ....................................................... 68 4.8 Aleta anular de espesor uniforme ....................................................... 68 4.9 Coeficiente global de transmisin en tubos aleteados ........................ 72 Problemas ..................................................................................................... 74

CAPITULO V REGIMEN TRANSITORIO ........................................................ 79 5.1 Introduccin ......................................................................................... 79 5.2 Cambio brusco en la temperatura del fluido que baa una placa. ...... 79 5.3 Cambio bruco en la temperatura superficial de una placa plan ........... 84 5.4 Cambio brusco en la temperatura del fluido que baa un cilindro. ...... 85 5.5 Cambio en la temperatura del fluido que baa una esfera .................. 88 5.6 Cambio brusco en la temperatura superficial de un slido casi ilimitado ............................................................................................................ 91 5.7 Cambio brusco en la temperatura del fluido que baa un slido casi-ilimitado......................................................................................................... 93 Problema ...................................................................................................... 95

CAPITULO VI CONDUCCIN TRANSITORIA MULTIDIMENSIONAL ........... 99 6.1 Introduccin ......................................................................................... 99 6.2 Barra prismtica independiente ........................................................... 99 6.3 Factor de forma ................................................................................. 101 6.4 Mtodos numricos ........................................................................... 104

Planteamiento ......................................................................................... 104 6.5 Mtodo de las diferencias finitas ....................................................... 105 6.6 Mtodo del balance de energa ......................................................... 107 6.7 Expresiones algebraicas en puntos conflictivos, superficies y bordes de malla prximos. ........................................................................................... 108

Nodo m,n situado en un borde adiabtico (aislado) ................................ 108 Nodo m,n prximo a un borde curvo ....................................................... 109 Nodo m,n prximo a un cambio de material ............................................ 110

Problemas ................................................................................................... 111 CAPITULO VII: FUNDAMENTOS DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIN ............................................................................................... 113

7.1 Introduccin ....................................................................................... 113 7.2 Mecanismo de transmisin de calor por conveccin. Capa lmite. .... 114

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CAPITULO VIII: PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE CONVECCIN . 119 8.1 Coeficiente de transmisin por conveccin. ...................................... 119 8.2 Ecuaciones bsicas de la conveccin. Simplificacin. ...................... 122 8.3 Ecuaciones bsicas para flujo turbulento. Capa lmite turbulenta. .... 125 8.4 Parmetros de semejanza en la transmisin de calor. Nmeros adimensionales. .......................................................................................... 129 8.5 Nmero de Reynolds ......................................................................... 131 8.6 Nmero de Grashof ........................................................................... 132 8.7 Nmero de Prandtl ............................................................................ 133 8.8 Nmero de Eckert ............................................................................. 134 8.9 Nmero de Nusselt ............................................................................ 134 8.10 Resolucin de casos prcticos de conveccin ............................... 137

CAPITULO IX: CONVECCIN FORZADA .................................................... 139 9.1 Introduccin ....................................................................................... 139 9.2 Flujo externo sobre una placa plana ................................................. 139 9.3 Flujo normal a cilindros, esferas, y secciones no circulares .............. 147

Flujo normal sobre cilindro de seccin circular ........................................ 147 Flujo normal sobre prismas no circulares ................................................ 150 Flujo normal sobre una esfera ................................................................. 151 Haces de tubos ....................................................................................... 152

9.4 Flujo interno ...................................................................................... 156 CAPITULO X: CONVECCIN NATURAL ..................................................... 167

10.1 Conveccin natural sobre superficies inmersas en un fluido en reposo 167

Placas verticales isotermas ..................................................................... 167 Cilindros verticales isotermos .................................................................. 168 Placas inclinadas .................................................................................... 168 Placas horizontales ................................................................................. 169 Cilindros largos horizontales ................................................................... 172

10.2 Conveccin libre en espacios cerrados ......................................... 173 CAPITULO XI CONVECCIN MIXTA ........................................................... 175 CAPITULO XII: CONVECCIN CON CAMBIO DE FASE ............................ 177

12.1. Parmetros adimensionales en los cambios de fase ..................... 177 12.2. Ebullicin ........................................................................................ 178

Ebullicin en bao ................................................................................... 179 Ebullicin de conveccin libre ................................................................. 179 Ebullicin nucleada ................................................................................. 180 Ebullicin de transicin............................................................................ 182 Ebullicin de pelcula .............................................................................. 182 Ebullicin en conveccin forzada ............................................................ 184

12.3. Condensacin ................................................................................ 185 Condensacin en pelcula ....................................................................... 185 Condensacin en pelcula sobre superficies verticales ........................... 186 Condensacin en pelcula sobre sistemas radiales horizontales ............ 188

CAPITULO XIII: INTRODUCCIN A LA RADIACIN TRMICA ................. 195 13.1. Introduccin ................................................................................... 195

Mecanismos de transporte ...................................................................... 195 13.2. Espectro de la radiacin electromagntica: ................................... 196 13.3. Propiedades de la radiacin: Absorcin, Reflexin y Transmisin. 197

CAPITULO XIV: LEYES DE LA RADIACIN ............................................... 201

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14.1. Introduccin ................................................................................... 201 14.2. Ley de Prevost: .............................................................................. 201 14.3. Ley de Planck: ............................................................................... 201 14.4. Ley de Desplazamiento de Wien: .................................................. 202 14.5. Ley de Stefan-Boltzman: ................................................................ 203 14.6. Ley de Lambert (o ley de la radiacin difusa): ............................... 205 14.7. Generalizacin de la ley de Stefan-Boltzman ................................ 207 14.8. Ley de Kirchhoff ............................................................................. 209

CAPITULO XV: INTERCAMBIO DE RADIACIN ......................................... 213 15.1. Introduccin ................................................................................... 213 15.2. Intercambio de radiacin entre planos infinitos y paralelos. ........... 213

Caso de planos negros ........................................................................... 213 Caso de planos grises ............................................................................. 214

Pantallas planas radiantes .......................................................................... 217 15.3. Factor de intercambio de radiacin. ............................................... 219

Clculo del factor de intercambio en configuraciones simples: ............... 221 Relaciones del factor de forma ................................................................ 225

15.4. Intercambio de radiacin entre superficies..................................... 231 Intercambio de radiacin de cuerpo negro: ............................................. 231 Intercambio de radiacin entre superficies grises, difusas, en un recinto 231 Recinto de dos superficies ...................................................................... 234 Cubierta de radiacin .............................................................................. 235 Superficie rerradiante .............................................................................. 236

CAPITULO XVI: CONSIDERACIONES ADICIONALES SOBRE LA TRANSFERENCIA DE CALOR POR RADIACIN ....................................... 243

16.1. Transferencia de calor combinada ................................................. 243 Radiacin y conveccin combinadas ...................................................... 243 Intercambio de radiacin en medios participativos .................................. 245

CAPITULO XVII: RADIACIN SOLAR Y RADIACIN AMBIENTAL ........... 247 17.1. Radiacin Solar .............................................................................. 247 17.2. Captacin de la irradiacin incidente: parmetros de inters......... 251 17.3. Radiacin ambiental ...................................................................... 252

CAPITULO XVIII: APROVECHAMIENTO DE LA ENERGA SOLAR EN INSTALACIONES TRMICAS ...................................................................... 255

18.1. Inters de las instalaciones solares trmicas. ................................ 255 Parmetros de clculo............................................................................. 255

18.2. Parmetros de clculo: Demanda energtica ................................ 256 Demanda energtica de Agua Caliente Sanitaria (ACS) ......................... 256 Demanda energtica de calefaccin ....................................................... 257 Demanda energtica para calentamiento de piscinas ............................. 258

18.3. Parmetros de clculo: Aporte energtico ..................................... 258 18.4. Ecuacin de Bliss. Recta de rendimiento. ...................................... 261 18.5. Mtodo f-Chart. .............................................................................. 263

Parmetro D1: ......................................................................................... 263 Parmetro D2: ......................................................................................... 265 Clculo de la cobertura solar mensual y anual ........................................ 267

TEMA II INTERCAMBIADORES DE CALOR CAPITULO XIXINTERCAMBIADORES DE CALOR.271

19.1. Definicin ....................................................................................... 271 19.2. Tipos de intercambiadores ............................................................. 271

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Intercambiadores de contacto directo ..................................................... 271 b.a) Regenerativos .................................................................................. 273 b.b) Recuperativos .................................................................................. 275

19.3. Estudio trmico .............................................................................. 279 Hiptesis ................................................................................................. 279 Coeficiente global de transmisin ........................................................... 280 Coeficiente de transferencia de calor superficial ..................................... 281 Ensuciamiento ......................................................................................... 283

19.4. Variacin de la temperatura ........................................................... 285 19.5. Diferencia media logartmica LDMT ............................................... 288

Intercambiadores de calor de pasos mltiples ........................................ 290 19.6. Mtodo del Nmero de Unidades de Transmisin NUT ................. 294 19.7. Cada de presin en un intercambiador ......................................... 297 19.8. Elementos de diseo de intercambiadores de calor ...................... 300 19.9. Ventajas e inconvenientes de la utilizacin de cambiadores de placas. ....................................................................................................... 301 19.10. Consideraciones generales sobre intercambiadores tipo carcasa tubos .................................................................................................... 302 Problemas ................................................................................................... 303

TEMA III RECURSO ENERGTICO CAPITULO XX RECURSOS ENERGTICOS ............................................... 309

20.1 Introduccin ................................................................................... 309 20.2 Las fuentes de energa y conversin de energa ........................... 309 20.3 Consumos de energa .................................................................... 314 20.3.1. La energa en el contexto histrico ............................................. 315 20.3.2. Consumo de energa en la Espaa actual .................................. 317 20.4 Sistema energtico ........................................................................ 319 20.5 Indicadores energticos ................................................................. 321 20.6 Problemtica energtica ................................................................ 323 13.6.1. Agotamiento de las reservas ...................................................... 324 13.6.2. La distribucin desigual de los recursos ..................................... 325 13.6.3. Desarrollo social. ........................................................................ 326 13.6.4. Problemas medioambientales..................................................... 326 20.7 Tendencias actuales ...................................................................... 328 Bibliografa .................................................................................................. 329

TEMA IV GENERADORES DE CALOR CAPITULO XXI COMBUSTIBLES Y COMBUSTIN .................................... 333

21.1 Introduccin ................................................................................... 333 21.2 Combustibles slidos ..................................................................... 334

Propiedades a determinar ....................................................................... 335 21.3 Combustibles lquidos .................................................................... 336

Propiedades a determinar ....................................................................... 338 21.4 Combustibles gaseosos ................................................................. 338

Propiedades a determinar ....................................................................... 339 21.5 Combustin .................................................................................... 340

Estequiometria ........................................................................................ 341 Tablas ..................................................................................................... 345 Diagramas de combustin ....................................................................... 346

21.6 Rendimiento de la combustin .......................................................... 348 21.7 Emisiones de gases de combustin ............................................... 349

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Problemas ................................................................................................... 351 CAPITULO XXII CALDERAS Y QUEMADORES .......................................... 353

23.1 Introduccin ................................................................................... 353 23.2 Las Calderas .................................................................................. 353

Caractersticas y datos fundamentales para definir una caldera ............. 353 Clasificacin de las calderas ................................................................... 354

23.3 Calderas de vapor .......................................................................... 361 23.4 Quemadores .................................................................................. 362

Parmetros y caracterizan los quemadores ............................................ 363 Quemadores para slidos ....................................................................... 363 Quemadores para lquidos ...................................................................... 364 Quemadores de gases ............................................................................ 367

CAPITULO XXIII EFICIENCIA DE COMBUSTIN ........................................ 375 23.1 Introduccin ................................................................................... 375 23.2 Anlisis de los gases de combustin ............................................. 375 23.3 Prdidas de calor sensible por humos ........................................... 378 23.4 Prdidas por inquemados .............................................................. 381 23.5 Perdidas por radiacin y conveccin del cuerpo de caldera .......... 382 23.6 Perdidas por purgas, calderas de vapor. ....................................... 383 23.7 Recuperacin del calor de gases de combustin ........................... 385 23.8 Diagramas energticos de sistemas de combustin. ..................... 385 Problemas ................................................................................................... 387

CAPITULO XXIV HORNOS Y SECADEROS ................................................ 393 24.1 Introduccin ................................................................................... 393 24.2 Hornos ........................................................................................... 393

Clasificacin de los hornos ...................................................................... 394 Balance de un horno ............................................................................... 397

24.3. Secaderos ...................................................................................... 399 Caractersticas del proceso de secado ................................................... 400 Clasificacin de los secaderos ................................................................ 401 Balance de materia y energa de un secadero ........................................ 402

Problemas ................................................................................................... 403 TEMA V PRODUCCIN DEL FRO CAPITULO XXV PRODUCCIN DEL FRO .................................................. 407

25.1 Introduccin ................................................................................... 407 25.2 Sistemas de produccin de fro ...................................................... 409

Mtodo qumico ....................................................................................... 409 Fusin ..................................................................................................... 410 Sublimacin ............................................................................................. 410 Vaporizacin en ciclo abierto .................................................................. 410 Vaporizacin en ciclo cerrado ................................................................. 411 Criognicas (La solucin de 3He en 4He) ................................................ 411 Expansin de fluidos gaseosos no condensables ................................... 412 Efectos especiales .................................................................................. 413

25.3 Sistema de compresin.................................................................. 418 Refrigerante ............................................................................................ 418 Ciclos de compresin .............................................................................. 422

25.4 Sistemas de absorcin ................................................................... 428 CEE de una mquina de absorcin ......................................................... 429 Diagrama de Old-Ham ............................................................................ 431

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25.5 Termoelectricidad .......................................................................... 433 Ventajas y desventajas de la termoelectricidad y aplicaciones ............... 434 Balance de un modulo termoelctrico ..................................................... 435

Problemas ................................................................................................... 437 TEMA VI PSICROMETRIA CAPTULO XXVI EL AIRE HMEDO Y SUS PROPIEDADES .................... 445

26.1 Introduccin ................................................................................... 445 26.2 Mezcla de gases y vapor ............................................................... 445

El aire seco ............................................................................................. 446 El vapor de agua ..................................................................................... 447

26.3 Propiedades del aire ...................................................................... 447 Propiedades relacionadas con la Presin ............................................... 447 Propiedades relacionadas con la Temperatura: ...................................... 449 Propiedades relacionadas con la Humedad ............................................ 451

26.4 Equivalencia entre Temperatura de Bulbo Hmedo y Temperatura de Saturacin Adiabtica. ................................................................................ 454 26.5 Cartas psicromtricas o diagramas psicromtricos ........................ 456

Diagrama de Carrier ................................................................................ 457 Diagrama de ASHRAE ............................................................................ 460 Diagrama de Mollier ................................................................................ 462

CAPTULO XXVII PROCESOS EN AIRE ACONDICONADO ....................... 465 27.1 Procesos de mezclado adiabtico de corrientes ............................ 466 27.2 Procesos de calentamiento y enfriamiento sensibles .................... 468 27.3 Procesos de humidificacin y deshumidificacin. .......................... 472

Humidificacin por vapor. ........................................................................ 472 Deshumidificacin por enfriamiento ........................................................ 474

27.4 Procesos de contacto del aire con una cortina de agua ................ 477 27.5 Ejemplos de transformaciones psicromtricas ............................... 480

Ejemplo 1: Mezcla adiabtica de dos corrientes de aire. ........................ 480 Ejemplo 2: Contacto con superficie fra a temperatura menor que la de roco del aire. .......................................................................................... 481 Ejemplo 3: Flujo de aire sobre cortina de agua a mayor T. ..................... 483 Ejemplo 4: Contacto con superficie a mayor temperatura. ...................... 484 Ejemplo 5: Humectacin con vapor saturado. ......................................... 486 Ejemplo 6: Flujo de aire sobre cortina de agua a TR < T < Tsat ad. ....... 487

27.6 Acondicionamiento de recintos ...................................................... 488 Recta de Maniobra y Factor de Calor Sensible. ...................................... 490 Ejemplo resuelto de psicrometra. ........................................................... 493

Problemas: .................................................................................................. 497

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PRESENTACIN

El presente texto sobre Ingeniera Trmica se ha desarrolla en base a las presentaciones y apuntes desarrollados para los alumnos de 3er curso del Grado de Ingeniera Mecnica, Grado de Ingeniera en Tecnologas Industriales y Gado de Diseo Industrial de la Escuela de Ingenieras Industriales de la Universidad de Valladolid. Este libro tiene una caracterstica especfica frente a los libros de texto clsico, al considerar que el usuario del libro ya dispone de conocimiento de Termodinmica y Transferencia de Calor al haber cursado dichas materias en el 2 curso del grado, por lo que en el libros trata principalmente aplicaciones de la ingeniera trmica. Esto supone admitir que el lector tiene unos conocimiento que de necesitar debe buscar en otros textos.

La amplitud del temario de la asignatura hace dividir al texto en seis apartados: Transmisin de calor: donde se desarrollan principalmente aplicaciones como superficies adicionales, rgimen transitorio, mtodos numricos, correlaciones para determinar el coeficiente de conveccin e intercambio radiante haciendo especial incidencia en la radiacin solar y sus aplicacin de paneles solares. Intercambiadores de calor donde se describe los tipos de intercambiadores, los parmetros que caracterizan trmicamente a los intercambiadores de calor y se desarrollan los mtodos DMLT y NUTRecurso energtico: donde se desarrolla los conceptos que permiten entender el sector energtico desde un punto de vista estratgico. Generacin de calor. Donde se estudia la caracterizacin de los combustibles, quemadores, calderas y balance de generadores trmicos de calderas, hornos y secaderos. Refrigeracin: donde se trata de las diferentes tecnologas frigorficas, los ciclos de refrigeracin asociados a las tecnologas y de forma ms profunda la refrigeracin por compresin. Por ltimo se estudia los procesos Psicromtricos tan importantes en procesos de climatizacin y secado.

Los autores forman el Grupo de Termotcnia de la Escuela de Ingenieras Industriales de la Universidad de Valladolid, formado por:

Fco. Javier Rey Martnez Julio Fco. San Jos Alonso Eloy Velasco Gmez Ana Tejero Gonzlez Manuel Andrs Chicote

Valladolid, Septiembre de 2014

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TEMA I Transferencia de calor

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Nomenclatura Simbolo Denominacin Unidades Q Flujo de calor kW kcal/h q Densidad de flujo de calor kW/m2 kcal/hm2k Conductividad trmica kW/mK kcal/hm K T Temperatura K C Ts Temperatura superficial K C T Temperatura del fluido sin perturbar K C Tm Temperatura media capa lmite K C A rea o superficie m2x Espesor M h Coeficiente de conveccin o

coeficiente de pelcula kW/m2 Kcal/hm2

Constante de Stefan-Boltzmann kW/m2K4

r Coeficiente de absorcin r Coeficiente de reflexin r Coeficiente de transmisin Densidad kg/m3 v Volumen especfico m3/kg Cp Calor especfico kJ/kg K kcal/kg K Calor latente kJ/kg Coeficiente de dilatacin Trmica 1/K V Volumen m3P Presin Pa bar Rg Constante universal de los gases J/kg K c Difusividad trmica m2/s Esfuerzo cortante N/m2 Coef. de viscosidad dinmica N s/m2 Coef. de viscosidad cinemtica m2/s Pr Nmero de Prantdl qx Flujo de calor en la direccin x kW/m2 kcal/hm2T Tiempo s g Tasa neta de calor generada por

unidad de volumen W/m3 kcal/hm3

U Coef. global de transmisin kW/m2 K kcal/hmC

R Resistencia trmica K/W C h/kcal C Conductancia trmica W/K kcal/ C h W Espesor de la aleta m A rea transversal de la aleta m2L Longitud de la aleta m P Permetro m Variable de temperatura

adimensional

X Variable especial adimensional R Variable radial adimensional Coeficiente de disipacin de aletas Efectividad de aletas Bi Nmero de Biot

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Fo Nmero de Fourier S Factor de forma m2Tm,n Temperatura en el nodo (m,n) K C u Velocidad del fluido m/s Espesor de la capa lmite dinmica y

espesor de la pelcula de condensado

T Espesor de la capa lmite trmica D Dimetro longitud caracterstica m L Longitud longitud caracterstica m Longitud de la mezcla m T Longitud de la mezcla trmica m g Aceleracin de la gravedad m/s2 Ar Relacin de aspecto en una cmara

Tensin superficial N/m2

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CAPITULO I TRANSFERENCIA DE CALOR

25.1 Introduccin

El trabajo y el calor son forma transitorias de energa (un sistema con energa es capaz de transferir energa a otro sistema), para evaluar la transferencia de calor se utiliza el flujo de calor y la densidad de flujo de calor, Tabla 1.1.

Tabla 1.1: Medidas de la transferencia de calor.

Denominacin Representacin Unidades Flujo de calor Q kW kcal/h

Densidad de flujo de calor q kW/m2 Kcal/hm2

La transferencia de calor estudia la energa en trnsito debido a una diferencia de temperatura, siempre que exista una diferencia de temperaturas en un cuerpo o entre cuerpos y no estn aislados adiabticamente, existir transferencia de calor.

La transferencia de calor cumple: el primer principio de la termodinmica, el calor desprendido por un sistema siempre es igual al calor absorbido por otro sistema, y el segundo principio, el calor siempre va de los sistemas de mayor temperatura a los sistemas de menor temperatura.

Cuando el sistema desprende calor y no cambia de temperatura se le denomina foco caliente y si el sistema absorbe calor y no cambia de temperatura se le denomina foco fro.

La transferencia de calor es un fenmeno muy importante en la industria y en la vida diaria, que tiene como fin: a) variar la energa calorfica que se intercambia, a1) para aportar calor a un sistema, como el caso de las calderas, hornos, etc. a2) para extraer calor a un sistema, como el caso de la refrigeracin, disipacin de calores parsitos, etc. y b) conservar la energa calorfica, como es el aislamiento de cmaras frigorficas, casa, etc.

25.2 Mecanismos de la transferencia de calor

La transferencia de calor tiene lugar mediante tres mecanismos, que se denominan: conduccin, conveccin y radiacin. Aunque los mecanismos se estudian de forma separada, la transferencia de calor puede tener lugar segn cualquier combinacin de los tres mecanismos.

Conduccin: Es un intercambio de energa entre dos cuerpos o entre partes diferentes de un cuerpo, a diferente temperatura, la energa que se transmite es energa cintica interna.

Para que se d la conduccin debe haber:

a) Contacto directo entre los sistemas que intercambian calor por conduccin.

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b) Tiene lugar slo entre las superficies en contacto. c) No hay desplazamientos de masa. d) El flujo de calor es fcilmente expresable matemticamente.

La Ley Fourier permite relacionar el flujo de calor con la distribucin de temperatura y el material, mediante la ecuacin 1.1.

q k grad T (1. 1)

Donde: q es la densidad de flujo de calor en kW/m2, k es la conductividad del material en kW/m2 K y T es la temperatura en K.

Ejemplo 1: La ley de Fourier en el caso de un cerramiento de una casa equivale a la siguiente expresin.

Q A k T T

x

Donde: Q es el flujo de calor en kW, A es el rea del cerramiento en m2, k es la conductividad del cerramiento en kW/m2K, T1 y T2 son las temperaturas superficiales del cerramiento en K, en el que se cumple T1>T2 y x es el espesor del cerramiento en m.

Conveccin:Es el intercambio de calor en los fluidos y se caracteriza por el movimiento del fluido, bien de forma espontneamente o de forma forzada, aunque el intercambio de energa entre las partculas se debe a transmitir energa cintica interna.

a) Siempre se estudia la transferencia de calor entre una superficie de un slido y un fluido que lo baa.

b) Es difcil establecer los principios matemticos. c) La conveccin puede venir acompaada de cambios de fase.

La ley de enfriamiento de Newton relaciona la densidad de flujo con la diferencia de temperatura entre la temperatura de la superficie y la temperatura del fluido y el coeficiente de conveccin, ecuacin 1.2.

q h T T (1. 2)

Donde: q es la densidad de flujo intercambiado entre la superficie y el fluido en kW/m2, h es el coeficiente de transmisin de calor por conveccin coeficiente de pelcula trmico en kW/m2K y T-Ts es la diferencia de temperatura entre el fluido y la superficie.

19

El coeficiente de transmisin de calor por conveccin depende de la distribucin de temperatura en una zona prxima a la superficie que se llama capa lmite figura 1.1.

Figura 1.1: Representacin de la capa lmite de un fluido sobre una superficie horizontal.

La distribucin de temperatura y por lo tanto el coeficiente de transmisin de calor por conveccin se caracteriza por: i) el movimiento del fluido respecto a la superficie, si el movimiento se debe a la diferencia de densidad de partes del propio fluido se habla de conveccin natural, si el movimiento se debe a una velocidad relativa existente entre la superficie y el fluido se habla de conveccin forzada; ii)El movimiento del fluido puede dar lugar a un flujo que fluya de forma laminar o turbulento; iii) segn la geometra de la superficie y el movimiento relativo del fluido respecto a la superficie, iv) el intercambio de calor puede variar el estado del fluido y/o variar su temperatura, v) Propiedades de fluido. El coeficiente de transferencia por conveccin se clasifica segn la tabla 1.2.

Radiacin:el intercambio de calor se realiza por radiaciones electromagnticas, que emite todo cuerpo que est por encima del cero absoluto de temperatura. La radiacin que emite un cuerpo se caracteriza por emitirse en todas las direcciones, por lo que se llama difusa y en todas las longitudes de onda, por lo que se dice que emite en un espectro continuo. La radiacin se caracteriza por:

a) No necesita contacto entre los sistemas que intercambian ni medio intermedio, se puede intercambiar energa por radiacin a travs del vaco.

b) Requiere amplios conocimientos de geometra para caracterizar la radiacin

c) El intercambio de calor entre los sistemas (por encima del cero absoluto ambos) es un balance entre las prdidas y ganancias en cada uno de los sistemas.

20

Tabl

Fenconv

Movsupe

Form

Tipo

Efec

Cara

La lcuerecua

Dondcons Cuarefle

la 1.2: Tipo

menos veccin

vimiento derficie

ma de flui

o de geom

cto sobre

acterstica

ley de Sterpo negro acin 1.3.

de: Q es stante de S

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r el fluido

metra

el fluido

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a la N Fo La Tu Fl

Fl

S C G L M

mite determea del cue

n kW, A W/m2K y T

bre una suorbida A,

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lujo exterioPlacas Tubos Bateras tlujo interio

.

Sin cambio Con cambio

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Metales y sa

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alor puedea figura 1.2

te un erpo,

(1. 3)

m2,

e ser: 2.

21

Figura 1.2: radiacin incidente sobre una superficie.

Se cumple que la radiacin incidente es suma de la radiacin reflejada, transmitida y absorbida por la superficie ecuacin 1.4.

Si a la ecuacin 1.4 la dividimos por la radiacin incidente, resulta que se obtiene el tanto por uno de la radiacin absorbida r, reflejada r y transmitida r, ecuacin 1.5. Estos valores son propiedades de la superficie y reciben el nombre de coeficiente de absorcin, coeficiente de reflexin y coeficiente de transmisin.

1

(1. 4)

25.3 Propiedades termofsicas de los materiales

Una vez realizada la introduccin, parece conveniente realizar un recordatorio, en algunos casos, y dar a conocer, en otros, de las propiedades termofsicas ms importante de los materiales, propiedades que van a ser utilizadas de forma constante a lo largo del de los siguientes temas.

Densidad

La densidad media de un sistema material se define como el cociente entre la masa y el volumen que ocupa dicho sistema.

Denominacin Representacin Unidades S.I

Determinacin

Densidad

kg/m3

En sistemas continuos la densidad puede vara de unos puntos a otros del sistema y se cumple:

(1. 5)

La densidad de los sistemas vara con la temperatura y la presin:

Gases de forma importante, por lo que la densidad de los gases se debe especificar las condiciones de presin y temperatura.

Slidos y lquidos,la presin influye poco, al ser el mdulo de compresibilidad isoterma muy bajo, sin embargo la temperatura si tiene incidencia, por lo que se debe especificar la temperatura.

La inversa de la densidad es el volumen especfico.

22

Denominacin Representacin Unidades S.I.

Determinacin

Volumen especfico v m3/kg

Conductividad trmica

La conductividad trmica expresa la mayor o menor facilidad de stos para transmitir el calor por conduccin.


Determinacin

Conductividad trmica k W/mK

El transporte de energa por conduccin se realiza mediante el intercambio de energa cintica de las partculas que constituyen el medio al chocar y producir el contacto directo entre ellas, la distancia intermolecular influye directamente en la conductividad trmica. Los slidos son mejores conductores del calor que los lquidos y estos conducen mejor que los gases. Los slidos cristalinos conducen mejor que los amorfos y los metlicos mejor que los no metlicos.

En la industria, los materiales slidos que se utilizan en procesos con transferencia de calor por conduccin se les suele denominar: buenos conductores, aislantes y refractarios.

Buenos conductores: se caracterizan por tener una alta conductividad trmica sin sufrir cambio de fase ni deformaciones.

Aislantes (adiabticos): se caracterizan por tener una baja conductividad trmica, que se debe mantener a alta y baja temperatura, por lo que se habla de aislantes de baja y alta temperatura. Estos materiales suelen consistir en un gas incluido en pequeos orificios, que pueden ser abiertos o estancos.

Refractarios: se caracterizan por mantener sus propiedades fsicas a altas temperatura, son paredes de hornos y calderas, aunque pueden ser aislante su finalidad as soportar altas temperaturas sin sufrir deterioro alguno.

Calor especfico

La variacin de la temperatura de un material de acuerdo con la cantidad de calor almacenada en l se expresa en funcin del calor especfico de dicho material. La mayor parte de los procesos de transferencia de calor se producen a presin prcticamente constante, por lo que se emplea normalmente el calor especfico a presin constante.

23


Determinacin

Calor especfico Cp kJ/kg C

El calor especfico de una sustancia es funcin de su estado termodinmico (presin y temperatura). El calor especfico de los slidos y de los lquidos depende muy poco de la presin, por lo que no se considera en ingeniera la variacin del calor especfico para slidos y lquidos con la presin, sin embargo si se considerar la variacin del calor especifico de los slidos y lquidos con la temperatura.

El calor especfico de los gases tiene una dependencia muy acentuada con la temperatura. Existe una dependencia con la presin, pero en el caso de los gases muy alejados del punto crtico o de saturacin, dicha dependencia puede despreciarse.

Calor latente

Se define como la cantidad de calor que necesita la unidad de masa de una sustancia para cambiar de fase, del estado slido a lquido o de lquido a gas sin alterar su temperatura.


Determinacin

Calor latente kJ/kg h (entalpa)

Los cambios de estado se cara

cterizan por lo siguiente:

No cambian la naturaleza de la sustancia. Se producen a temperatura constante para cada presin. La sustancia absorbe o cede calor. El calor invertido en el proceso para

la unidad de masa recibe el nombre de calor latente de cambio de estado.

El valor de la temperatura a la que se producen y el valor del calor latente correspondiente son caractersticos de cada cambio de estado y de la naturaleza de la sustancia.

El calentamiento de una sustancia puede ser:

Calentamiento sensible, si slo incrementa su temperatura y se determina mediante el calor especfico, como Q=Cp*m*T.

Calentamiento latente, si slo cambia de fase y se determina mediante el calor latente, como Q=*m.

24

Coeficiente de dilatacin trmica

El coeficiente de dilatacin trmica es la variacin que sufre el volumen especfico de un sistema al aumentar su temperatura y se define como

pT/vv1=

(1. 6)


Determinacin

Coeficiente de dilatacin trmica 1/K

pT/vv1

Los slidos en general su variacin del volumen con la temperatura es dbil, del orden de 10-5 y 10-6 K-1, se suele determinar el volumen mediante la siguiente ecuacin:

T+1v=v 0 (1. 7) Donde, v0 es el volumen especfico a 0 C.

Los lquidos tienen un valor del coeficiente de dilatacin 100 veces superior a los de los slidos. Los valores se encuentran tabulados. El agua presenta un comportamiento anmalo al tener su menor densidad a 3,98 C.

Los Gases permiten calcular analticamente el coeficiente de dilatacin trmica, si se conoce la ecuacin trmica de estado que representa el comportamiento del gas.

Si se considera un gas ideal se determina el coeficiente de dilatacin trmica como:

T1=

(1. 8)

Dado que: PTR=v

y PR=T/v p sustituyendo en pT/vv

1=.

Difusividad trmica

La difusividad trmica de un material es una medida de su inercia trmica. Cuando mayor es el valor de la difusividad trmica de un material, tanto ms rpido es el cambio temporal de su distribucin de temperatura.

La difusividad trmica es la relacin entre la conductividad trmica y el producto del calor especfico y la densidad (este producto representa la cantidad de energa que puede almacenar un material por unidad de volumen, cuando se eleva su temperatura un grado).

25

Cpk=c (1. 9)


Determinacin

Difusividad trmica c m2/s Cpk=

Viscosidad

Cuando un fluido se mueve sobre una superficie, figura 1.3, existe un gradiente transversal de la componente de velocidad en la direccin del flujo, que vara entre cero en dicha superficie hasta un cierto valor a una distancia de sta. Eligiendo un plano cualquiera, S, paralelo a la superficie, existe una fuerza de cortadura o retraso viscoso que se debe al movimiento relativo. En los fluidos, sean lquidos o gases, se observa una resistencia a la deformacin que es proporcional a la velocidad de la misma.

Figura 1.3: Movimiento de un fluido sobre una superficie.

Newton postul que el esfuerzo cortante, , producido por este movimiento relativo es directamente proporcional al gradiente de la velocidad tomada en una direccin normal al plano S. La constante de proporcionalidad, , se designa con el nombre de Coeficiente de viscosidad dinmica cumplindose:

dydv=

(1. 10)

s s

ux

u y

x

26


Determinacin

Cof. Viscosidad dinmica N s/m

2 dydv=

Dado que las fuerzas de viscosidad actan directamente sobre un fluido y que la inercia de ste se opone a dicha fuerza, la relacin de las fuerzas viscosas y los de inercia ser un parmetro importante a tener en cuenta en el anlisis del movimiento del fluido. El Coeficiente de viscosidad cinemtica es la relacin entre la viscosidad dinmica y al densidad del fluido, se representa por, .

= (1. 11)


Determinacin

Cof. Viscosidad cinemtica m

2/s =

La viscosidad de los lquidos vara poco con la presin, por lo que slo se tendr en cuenta los efectos de la temperatura en la mayora de los casos. Los gases los efectos de la presin son mayores que en los lquidos, pero son bastante pequeos, siempre y cuando no se alcance los estados de saturacin o crtico. Siendo la temperatura el factor que ms influencia sobre la viscosidad.

Nmero de Prandtl

La conveccin que se estudia en este texto es un intercambio simultaneo entre un fluido en movimiento, cuyo movimiento viene caracterizado por su viscosidad, y la conduccin de calor de un slido, superficie de intercambio. Este fenmeno viene caracterizado por la relacin entre la viscosidad cinemtica del fluido y la difusividad trmica del slido:

kCp=k

Cp==Pr

(1. 12)


Determinacin

N. Prandtl Pr Sin dimensiones=Pr

Problemas

1) Un muro de ladrillo de 15 cm de espesor tiene una conductividad trmica de 1,2 W/m C, se mantienen sus caras a una temperatura de 30 y 230 C.

27

Determinar el flujo de calor a travs de 4 m2 de pared.

Sol. 6,4 kW.

2) La densidad de flujo de calor entre dos caras de una pared de 4 cm de espesor es de 75 W/m2 . La diferencia de temperatura entre las dos caras es de 25 C. Determinar la conductividad trmica de la pared.

Sol. 0,12 W/m C

3) A travs de una seccin de 0,5 m2 se transmite un flujo de calor de 2.000 W la pared tiene un espesor de 4 cm y la conductividad trmica de 0,2 W/m C. Determinar la diferencia de temperatura entre las dos caras de la pared.

Sol. 1.800 C

4) Las temperaturas de las dos caras de una ventana son 20 y -12 C, s las dimensiones de la ventana son: 80x40x1,6 cm y su conductividad trmica es de 0,78 W/m C. Determinar el calor que pierde la ventana en 3 horas.

Sol. 5391 kJ.

5) Para sujetar una capa de aislamiento a una chapa metlica se emplea unos remaches de aluminio, cuya forma geomtrica puede asimilarse a un tranco de cono de 5 cm de altura, siendo 6 y 4 mm respectivamente, los dimetros de las bases entre las cuales se mantiene una diferencia de temperatura de 18 C. Suponiendo que la superficie lateral est perfectamente aislada y que el campo de temperatura es unidireccional, determnese el flujo de calor transmitido por conduccin a travs de cada remache. Se tomar como conductividad trmica del aluminio, el valor de 197 kcal/h m C.

Sol. 5,35 kcal/h

6) Un flujo de agua a 20 C pasa sobre una superficie a 80 C. S el coeficiente de pelcula entre el agua y la superficie es de 200 W/m2 C. Determina el calor transmitido por metro cuadrado en 5 horas.

Sol. 216 MJ

7) Una esfera de 25 cm de dimetro a 120 C est suspendida en aire a 20 C, s el coeficiente de conveccin natural entre la esfera y el aire es de 15 W/m2 C. Determinar el flujo de calor de la esfera al aire.

Sol. 294,5 W

8) Una placa de 2 cm. De espesor est expuesta a los rayos solares por una de sus caras y absorbe 900 W/m2. Esta energa se disipa por conveccin en aire a 25C por la otra cara de la placa. Si el coeficiente de conveccin entre la placa y el aire es de 15 W/ m2 C. Determinar la temperatura de la superficie no

28

expuesta al sol, s la conductividad trmica de la placa es de 40 W/m C. Determina la temperatura de la otra cara.

Sol 85 y 85,45 C

9) Por el interior de un tubo de 5 cm. De dimetro y 1 m de longitud, fluye agua presurizada con una temperatura constante de 50 C, s la superficie interior se mantiene a 130 C y el coeficiente de conveccin entre el agua y el tubo es de 2.000 w/m2 C. Determinar el flujo de calor del tubo al agua.

Sol. 25,13 kW

10) Una placa delgada de metal de 0,1x0,1 m colocada en el interior de un horno se mantiene a 500 K. La superficie del horno se mantiene a 300 K. S la emisividad de la superficie es de 0,8 e igual al coeficiente de absorcin. Determnese la transferencia de calor por radiacin entre la placa y las paredes del horno, se supone que las paredes del horno son cuerpos negros.

Sol. 24,7 W

11) Dos superficies se disponen una enfrente de la otra de manera que intercambian radiacin, sus temperaturas son 1.200 K y 600 K. Determinar el intercambio de energa que se produce en una hora suponiendo que son cuerpos negros.

Sol. 396.8 MJ/m2

12) Una delgada placa de metal se coloca entre dos superficies radiantes a temperatura de 1.000 y 400 K. Se supone todas las superficies como cuerpos negros. Calcular la temperatura de la placa intermedia.

Sol. 846,2 K

13) Una superficie de metal delgada, que se considera cuerpo negro, recibe radiacin de otra superficie que est a 700 C, el calor es disipado por conveccin por la otra cara de la superficie de metal a un fluido cuya temperatura es 20 C. Si el coeficiente de conveccin entre la placa y el fluido es de 120 W/m2 C. Determinar la temperatura de la placa.

Sol. 638 W

14) Un cilindro de 2 m de longitud y 5 cm de dimetro est a una temperatura de 125 C y se enfra por conveccin y radiacin. El aire exterior est a 0 C y el coeficiente de conveccin es de 20 W/m2 C. Suponiendo que el cilindro es un cuerpo negro, determinar el calor disipado por unidad de tiempo.

Sol. 1.140,05 W

29

CAPITULO II ECUACIN GENERAL DE LA CONDUCCIN DE CALOR

2.1 Componentes del flujo de calor

La generalizacin de la ley de Fourier en un slido donde la temperatura vara en las direcciones x, y y z, supone que existe un flujo de calor en cada direccin, para determinar las relaciones de las componentes del flujo de calor qx, qy y qz en las direcciones x, y y z respectivamente, se considera un medio isotrpico, es decir, un medio en el que la conductividad trmica k en un punto dado no vara con la direccin en ese punto cuando la temperatura es uniforme. Esto se cumple en la mayora de las aplicaciones de la ingeniera.

Entonces las tres componentes del flujo de calor qx, qy y qz, en funcin de las direcciones x, y y z por la ley de Fourier son las siguientes:

xT-k=qx (2. 1)

yT-k=qy (2. 2)

zT-k=qz (2. 3)

En la figura 2.1 se ilustran las tres componentes del flujo de calor:

Figura 2.1: Componentes del flujo de calor qx, qy y qz.

yT-k=qy

xT-k=qx

zT-k=qz

y

x

z

30

2.2 Ecuacin general de la conduccin de calor

Consideremos un elemento de volumen infinitesimal x, y y z, cuyas superficies son paralelas a los ejes de coordenadas como se ilustra en la figura 2.2. La ecuacin del balance de energa de este elemento de volumen puede establecerse as:

Figura 2.2: Volumen infinitesimal x, y y z a estudio.

Tasa neta de calor que entra por conduccin (I)

La tasa neta de calor que entra por conduccin al elemento de volumen infinitesimal se determina sumando las entradas netas de calor por conduccin en las direcciones x, y y z. En la posicin x la densidad de flujo de calor en la direccin x es qx y el flujo que calor resulta:

zxq=Q yy (2. 4)

En la posicin x+x el flujo de calor en la direccin x es: yy

Q+Q yy (2. 5)

Tasa neta de calor que entra por conduccin al

elemento xy z

(I)

+

Tasa de energa generada en el

elemento xy z

(II)

=

Tasa de incremento de energa interna

del elemento xy z

(III)

xz

yx

y z y

x

z

31

La tasa neta de calor que entra por conduccin al elemento de volumen infinitesimal en direccin x es la diferencia entre las tasas de flujo de calor que entra y sale, se obtiene:

zyxyq-=yy

Q-=yy Q+- QQ yyyyy (2. 6)

Figura 2.3: Flujos de calor en el volumen infinitesimal en la direccin x.

De igual forma, la tasa neta de calor en el volumen infinitesimal en la direccin x y z resultan:

zyxxq- x

(2. 7)

zyxzq- z

(2. 8)

Entonces la tasa neta de calor por conduccin en el volumen infinitesimal total resulta:

zyxzq+y

q+xq

- zyx (2. 9)

Tasa de energa generada en el elemento (II)

Si en el medio hay fuentes distribuidas de energa que generan calor a una tasa g(x,y,z,t) por unidad de tiempo y por unidad de volumen (W/m3). La tasa

y

x

z

yQ yyQ+Q yy

xz

y

32

neta de calor generada en el volumen infinitesimal total resulta. zyxg (2. 10)

Tasa de incremento de energa interna (III)

La tasa de incremento de la energa interna se refleja en la tasa de almacenamiento de energa en el elemento de volumen infinitesimal. La tasa neta de calor de incremento de la energa interna resulta.

zyxtTCp

(2. 11)

Las ecuaciones (2.9), (2.10) y (2.11) permiten obtener el balance energa del volumen infinitesimal, se simplifica xyz, resultando:

tTCp=g+z

q+yq+x

q

- zyx (2. 12)

En la ecuacin (2.12) se introducen las relaciones de qx, qy y qz de las ecuaciones (2.1), (2.2) y (2.3), resultando:

tTCp=g+z

Tkz+y

Tky+x

Tkx

(2. 13)

Donde: T=T(x,y,z,t) y g=g(x,y,z,t).

La ecuacin (2.13) recibe el nombre de ecuacin general de la conduccin de calor.

a) Ecuacin general de la conduccin de calor cuando la conductividad trmica es uniforme.

tT

1=k

g+T2 (2. 14)

b) Ecuacin general de la conduccin de calor cuando la conductividad trmica es uniforme y no hay fuentes de calor.

tT

1=T2

(2. 15)

c) Ecuacin general de la conduccin de calor cuando la conductividad trmica es uniforme y rgimen estacionario. (esta ecuacin se llama ecuacin de Poisson)

33

0=kg+T2

(2. 16)

d) Ecuacin general de la conduccin de calor cuando la conductividad trmica es uniforme, no hay fuentes de calor y rgimen estacionario. (esta ecuacin se llama ecuacin de Laplace)

0=T2 (2. 17)

Si adems se supone que la temperatura solo vara en una direccin resulta:

0=dxTd2

2

(2. 18)

2.3 Ecuacin general de la conduccin de calor en otros sistemas de coordenadas

Hasta ahora la ecuacin general de la conduccin del calor se ha obtenido para un sistema de coordenadas rectangulares, esta expresin se utiliza para la conduccin del calor en placas, paraleppedos, para otras geometras como cilindros o esferas se utilizar coordenadas cilndricas o esfricas.

Coordenadas cilndricas

Las coordenadas cilndricas de un punto en el espacio se determinan mediante las variables r, y z, como se muestra en la figura 2.4.

Figura 2.4: Sistema de coordenadas cilndricas (r, , z). La ecuacin general de la conduccin de calor en coordenadas cilndricas se

y

x

z

r

z

P (r, , z)

34

expresa como:

tT

1=k

g+zT+

Tr1+r

T

rr

r1

222

2 (2. 19)

Coordenadas esfricas

Las coordenadas esfricas de un punto en el espacio se determinan mediante las variables r, y ), como se muestra en la figura 2.5.

Figura 2.5: Sistema de coordenadas esfricas (r, , ). La ecuacin general de la conduccin de calor en coordenadas esfricas se expresa como:

tT

1=k

g+T

senr1+

Tsen

senr1+r

T

rr

r1

22

222 (2. 20)

Para rgimen unidireccional, en coordenadas cilndricas y esfricas dependiendo de r y conductividad de calor uniforme se cumple:

tT

1=k

g+rT

rr

r1

nn (2. 21)

2.4 Condiciones de Frontera

La distribucin de temperatura de un slido es una funcin T(x,y,z,t), que se obtiene de la resolucin de la ecuacin de la conduccin de calor, que requieren de condiciones de frontera para obtener las constantes de integracin de la ecuacin diferencial.

Las condiciones de frontera especifican la temperatura, el flujo de calor o el

y

x

z

r

P (r, ,)

n = 0 Coordenadas rectangulares n = 1 Coordenadas cilndricas n = 2 Coordenadas esfricas

35

intercambio de calor por conveccin en los lmites de la regin. Considerando lo anterior, se usa la terminologa de condicin de frontera de primera clase, segunda clase y tercera clase, para caracterizar respectivamente estas tres situaciones.

Condiciones de frontera de primera clase

Cuando se especifica la distribucin o el vapor de la temperatura de una superficie lmite se dice que la condicin de frontera en esa superficie es de primera clase.

En la figura 2.6 se muestra un ejemplo de una placa con condiciones de frontera de primera clase.

00=xT=t,xT y LL=x T=t,xT (2. 22)

00=xT=t,xT LL=x T=t,xT

Figura 2.6: Condiciones de frontera de primera especie en una placa.

Condiciones de frontera de segunda clase

Cuando se especifica el flujo de calor, se habla de la condicin de frontera de segunda clase, puesto que por definicin el flujo de calor es igual al producto de la conductividad del material por el gradiente de la temperatura normal a la superficie lmite, si se supone la coordenada x perpendicular a la superficie resulta:

00=x

q=x

t,z,y,xTk- k

q=x

t,z,y,xT- 00=x (2. 23)

Un caso muy utilizado en ingeniera es la superficie adiabtica (superficie aislada trmicamente), que se corresponde tambin con ejes de simetra, como se muestra en la figura 2.7.

y

x

L0

36

0=x

t,z,y,xTL=x

Figura 2.7: Condicin de frontera de segunda clase.

Condicin de frontera de tercera clase

La condicin de frontera de tercera clase tiene lugar cuando a la superficie lmite se la somete a una transferencia de calor por conveccin con un medio de temperatura conocido, cumplindose que el calor intercambiado por conveccin entre la superficie y el fluido sea igual al flujo de calor por conduccin en la superficie del slido, pudiendo escribir para la unidad de rea de la superficie lmite:

L=xL=x x

Tk-=T-h T (2. 24)

a=ra=r r

Tk-=T-h T

Figura 2.8: Condicin de frontera de tercera clase para un cilindro slido.

r

= 2a

x =L Superficie adiabtica

x =L

37

CAPITULO III CONDUCCIN ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL

3.1 Conduccin en rgimen estacionario unidimensional

En este tema se supone que el sistema es homogneo, istropo y de conductividad trmica constante, por lo que la ecuacin general de la conduccin del calor se escribir:

tT

1=k

g+T2 (3. 1)

Cuando el campo de temperatura no depende del tiempo, cuando la temperatura en cada punto del sistema es constante independiente del tiempo, se dice que el flujo de calor se produce en rgimen permanente o estacionario, cumpliendo:

0=tT

(3. 2)

La ecuacin general de la conduccin resulta la ecuacin de Poisson:

kg-=T2

(3. 3)

Cuando no hay fuentes de calor resulta la ecuacin de Laplace:

0=T2 (3. 4)

Finalmente este captulo est dedicado al estudio de aquellos problemas de conduccin en rgimen permanente sin fuentes de calor, en los que la distribucin de temperatura es unidimensional.

0=xT2

2

(3. 5)

Los problemas multidimensionales de conduccin de calor en rgimen estacionario se estudiaran en otro tema.

3.2 Pared plana, condiciones de frontera de primera especie

El problema ms sencillo que se presenta en la transmisin de calor por conduccin, es una pared plana indefinida de espesor finito L y cuyas caras se mantienen a temperaturas constantes T0 y TL respectivamente.

Adoptando un sistema de coordenadas rectangulares, con origen en un punto de una superficie de las dos caras y otro eje perpendicular a la superficie y dirigido hacia la otra superficie y suponiendo un material homogneo e istropo, Figura 3.1.

38

Ecuacin diferencial:

0=dxTd2

2

Condiciones de contorno:

X=0 T=T0

X=L T=TL

Figura 3.1: Conduccin de calor en una placa plana, conociendo las temperaturas superficiales.

La distribucin de temperaturas de una placa, de material homogneo e istropo, sin generacin de calor, en rgimen estacionario, en el que se conocen las temperaturas superficiales resulta:

00L T+xL

T-T=T (3. 6)

La distribucin de temperaturas es lineal entre las dos superficies, siendo el gradiente de la temperatura un vector constante, como se puede ver en la figura 3.2.

Figura 3.2: Distribucin de temperaturas placa plana.

Aplicando la ley de Fourier se determina la densidad de flujo de calor como un vector constante, perpendicular a la superficie de la placa:

x

y

z

L

x=0

T=T0

x=L

T=TL

x T0

T

TL

00L T+xL

T-T=T

LT-T=T grad 0L

39

(3. 7)

El calor que atraviesa una placa homognea e istropa, en la que se conoce la temperatura superficial de ambas caras, por unidad de tiempo y de superficie es directamente proporcional a la conductividad trmica y a la diferencia de temperaturas entre ambas superficies e inversamente proporcional al espesor de la placa, el sentido del flujo de calor coincide con la disminucin de la temperatura.

Caso de conductividad trmica variable con la temperatura

La conductividad trmica como se indico en el tema I vara con la temperatura, en la mayora de los materiales la variacin es lineal con la temperatura y suele tener una funcin lineal de la forma:

aT+1k=k 0

(3. 8)

Aplicando la ley de Fourier se determina la densidad de flujo de calor, perpendicular a la superficie de la placa:

TgadaT+1- k=q 0 (3. 9)

La densidad de flujo de calor a travs de cualquier plano paralelo a las caras es constante, al no existir fuentes de calor, obtenindose:

T-T2T+Ta+1k=dTaT+1-k=L q 0L

T

T0L

00L

0

(3. 10)

Resultando:

LTk-=q m

(3. 11)

3.3 Pared plana, condiciones de frontera de primera especie y segunda especie

Otro problema sencillo se presenta en la transmisin de calor por conduccin, es una pared plana indefinida de espesor finito L y cuyas caras se mantienen a temperaturas constantes T0 y la densidad de flujo de calor en x=L es un valor constante qL.

LT-T- K=T gad-k =q 0L

40


0=dxTd2

2


X=0 T=T0

X=L q = qL

Figura 3.3: Conduccin de calor en una placa plana, conociendo la temperatura superficial en x=0 y el flujo de calor en x=L.

La distribucin de temperaturas de una placa, de material homogneo e istropo, sin generacin de calor, en rgimen estacionario, en el que se conocen las temperaturas superficiales en x=0 y la densidad de flujo de calor en x=L resulta:

0L T-xk

q- =T (3. 12)


Lq=Tgad-k=q (3. 13) Si la superficie L estuviera aislada, (superficie adiabtica) la densidad del flujo de calor sera q0=0 y por lo tanto, toda la placa estara a la temperatura T0 y la densidad de flujo se calor sera 0.

3.4 Pared plana, condiciones de frontera de primera especie y tercera especie

Otro problema sencillo se presenta en la transmisin de calor por conduccin, es una pared plana indefinida de espesor finito L y cuyas caras se mantienen a temperaturas constantes T0 y la otra superficie hay conveccin hacia un fluido que tiene una temperatura T densidad de flujo de calor en x=L es un valor constante qL.

x y

z

L

x=0

T=T0

x=L

q = qL

41


0=dxTd2

2


X=0 T=T0

X=L L=xL x

Tk -=T-h T

Figura 3.4: Conduccin de calor en una placa plana, conociendo la temperatura superficial en x=0 y transmisin de calor por conveccin en x=L.

La distribucin de temperaturas de una placa, de material homogneo e istropo, sin generacin de calor, en rgimen estacionario, en el que se conocen las temperaturas superficiales en x=0 y hay conveccin a un fluido de temperatura T y conveccin de transferencia de calor h resulta:

00 T+xk-hL

T-h T=T (3. 14)


k-Lh

T- Thk =q 0 (3. 15)

3.5 Conceptos de resistencia y conductividad trmica

El flujo de calor en una placa plana con condiciones de frontera de primera especie, puede escribirse bajo la forma:

RT-

kALT=

kL

T-A= A q =Q

(3. 16)

Expresin similar a la ley de Ohm, motivo por el cual, se introduce el concento de resistencia trmica.

x

y

z

L

x=0

T=T0

x=L

L=xL x

Tk -=T-h T

42


Determinacin

Resistencia trmica R K/W W/ mK k A mL m

2

A la inversa de la resistencia trmica se la denomina conductancia trmica y se expresa como:

LkA=R

1=C

(3. 17)


Determinacin

conductancia trmica C W/K

L m W/ mK k A m2

La densidad del flujo de calor, que atraviesa una placa plana, viene dada por: TC -=Q

(3. 18)

3.6 Paredes planas compuestas por varias capas

Se considera una pared compuesta, formada por tres capas paralelas en contacto trmico perfecto, como se muestra en la figura 3.5. La densidad de flujo de calor a travs de la estructura compuesta, desde el fluido caliente a temperatura media Ta hasta el fluido fro de temperatura media Tb, la densidad de flujo de calor q a travs de la estructura compuesta es la misma a travs de cada capa y est dada por.

Figura 3.5: Placas planas paralelas en contacto trmico perfecto sometidas a conveccin a ambos lados.

T-A Th=LT-TAk=L

T-TAk=LT-TAk=T-A Th=Q b3b

332

32

212

110

10aa (3. 19)

Donde los trminos hAT representa la transferencia de calor por conveccin y

Ta T0 T1

T2 T3 Tb

K1 K2 K3

L1 L2 L3

Q Q

43

los trminos kA(T/L) representan la transferencia de calor por conduccin a travs de diferentes capas.

La ecuacin 3.19 se puede expresar en funcin de resistencias trmicas de las capas como:

bb3

332

221

110

a0a R

T- T=RT-T=R

T-T=RT-T=R

T- T=Q (3. 20)

Donde las diferentes resistencias se definen como:

bb

33

32

22

11

1a

a Ah1=R Ak

L=R AkL=R Ak

L=R Ah1=R

(3. 21)

El flujo de calor a travs de la estructura compuesta, cuando se eliminan las temperaturas de las superficies de separacin T0, T1, T2 y T3 resulta:

t ot albaR

T-T=Q (3. 22)

En donde: b321aiTotal R+R+R+R+R=R=R (3. 23)

Se puede observar que la ecuacin 3.22, tiene la misma forma que la ecuacin 2.16, pero en este caso la resistencia es la resistencia trmica total como se muestra en la figura 3.5.

Figura 3.6: Resistencia trmica al flujo de calor en una dimensin, a travs de placas paralelas en contacto perfecto.

3.7 Concepto de coeficiente global de transmisin

El flujo de calor en los casos de paredes planas y cilindros (sencillos o de

Q Q Ta

Tb

K1 K2 K3

L1 L2 L3

Ra R1 R2 R3 Rb

44

capas mltiples con conveccin en las superficies suele expresarse en funcin de un coeficiente global de transmisin, este coeficiente se representa por U, se define simplemente como aquella cantidad que al multiplicar por la superficie y por la diferencia total de temperatura da el flujo de calor a travs de la configuracin.

TotalTUA=Q (3. 24) Las unidades de U son las de una conductancia. El coeficiente global de transmisin est relacionado con la resistencia total entre los puntos en los que se aplica la diferencia de temperatura:

(3. 25)

En el caso de paredes planas se deduce fcilmente el Coeficiente global de transmisin resulta.

.

(3. 26)

En el caso de la configuracin cilndrica y esferas, el coeficiente global de transmisin depende de la superficie (interior o exterior) que se ha empleado en la ecuacin 3.25.

(3. 27)

3.8 Cilindros

Se considera ahora la conduccin en estado estable en una dimensin, en un cilindro. Cuando la distribucin de temperaturas T(r) es slo funcin de la variable r, la ecuacin de la ecuacin general de la conduccin de calor resulta:

0=k

rg+dr

rdTrdrd

r1

(3. 28)

Donde T y g representan la distribucin de temperaturas y la generacin de energa en funcin del radio. La solucin de la ecuacin 3.24, sometida a las condiciones de frontera permiten calcular la distribucin de temperatura del cilindro, una vez que se ha establecido la distribucin de temperaturas T(r), aplicando la ley de Fourier se puede obtener la densidad de flujo d calor mediante la ecuacin:

drdT r-k=q r (3. 29)

45

3.9 Cilindro hueco con condiciones de frontera de primera especie

La solucin de la ecuacin general de la conduccin de calor de un cilindro, sin generacin interna de calor, en la regin ra r rb como se puede ver en la figura 3.7 con ambas condiciones de frontera de primera especie T = Ta en r = ra y T = Tb en r = rb


0=dr

rdTrdrd


T = Ta en r = ra

T = Tb en r = rb

Figura 3.7. Coordenadas de la conduccin del calor en una dimensin en un cilindro hueco, sin generacin interna de calor con condiciones de frontera de primera especie.

La distribucin de temperaturas de un cilindro, de material homogneo e istropo, sin generacin de calor, en rgimen estacionario, en el que se conocen las temperaturas superficiales en r=ra y en r= rb resulta:

aa

ba

ba T+rrl n

rrl nT-T=T

(3. 30)

Aplicando la ley de Fourier se determina la densidad de flujo de calor como un vector funcin del radio, perpendicular a la superficie del cilindro de radio r:

r

ba

ab ur1

krrl nT-T=q

(3. 31)

El flujo de calor resulta constante:

kL2rrl nT-T=r

1

krrl nT-T*rL2=A*q=Q

ba

ab

ba

ab (3. 32)

r

rb

ra

46

La resistencia trmica de un cilindro resulta:

kL2rrl n

=R ba

(3. 33)

3.10 Cilindro slido con condiciones de frontera de primera especie en el exterior

Consideremos un cilindro macizo, se supone que hay simetra alrededor del punto central r = 0, en consecuencia se admite dT/dr=0 en r=0, si el cilindro no tiene generacin de calor interno y la superficie tiene una condicin de frontera de primera o tercera especie, no se puede alcanzar la condicin de estado estable.


0=k

rg+dr

rdTrdrd

r1


dT/dr = 0 en r = 0

Figura 3.8. Coordenadas de la conduccin del calor en una dimensin en un cilindro macizo, con generacin interna de calor con condiciones de frontera de primera y tercera especie.

3.11 Paredescilndricas compuestas baadas por fluidos a temperatura fija

Las superficies cilndricas que separan fluidos de distintas temperaturas tienen una enorme importancia prctica, porque representa la distribucin de muchos fluidos trmicos por conductos. Estos procesos aparecen constantemente en la industria en conducciones, intercambiadores de calor, etc.

En la figura 3.9 se presenta una tubera con aislamiento que separa dos fluidos a diferente temperatura en los que se conoce los coeficientes de conveccin de transferencia de calor.

r

rb

47

Figura 3.9: Tubera aislada, que separa a dos fluidos a diferente temperatura.

El flujo de calor a travs de las diferentes capas resulta:

T- TLh r 2=

Lk2rrl n

+Lk2rrl n

T- T=T- TLh r 2=Q 3333

2323

1212

211111 (3. 34)

Resultando:

Lhr21+Lk2

rrl n

+Lk2rrl n

+Lhr21

T- T=Q

33232 3

1212

11

21 (3. 35)

Donde las diferentes resistencias se definen como:

Lhr21=R

111 Lk2

rrl n

=R1212

12 Lk22r

rl n=R

23

3

23 Lhr21=R

333 (3. 36)

3.12 Esferas

Cuando la temperatura T(r) es slo funcin de r, la ecuacin de la conduccin de calor en el sistema de coordenadas esfricas se reduce a:

0=kg+dr

dTrdrd

r1

22 (3. 37)

Conocida la distribucin de temperatura T(r) , despus de resolver la ecuacin

r3

r2 r1

T3

h3 T1

h1

48

diferencial y aplicar las condiciones de frontera, se puede hallar la densidad de flujo de calor como:

drdT r-k=q r (3. 38)

3.13 Esfera hueca sometida a condiciones de frontera de primera especie

La solucin de la ecuacin general de la conduccin de calor de una esfera , sin generacin interna de calor, en la regin ra r rb como se puede ver en la figura 3.10 con ambas condiciones de frontera de primera especie T = Ta en r = ra y T = Tb en r = rb.


0=drdTrdr

d2


T = Ta en r = ra

T = Tb en r = rb

Figura 3.10: Coordenadas de la conduccin del calor en una dimensin en una esfera hueca, sin generacin interna de calor con condiciones de frontera de primera especie.

La distribucin de temperaturas de una esfera, de material homogneo e istropo, sin generacin de calor, en rgimen estacionario, en el que se conocen las temperaturas superficiales en r=ra y en r= rb resulta:

r1-r

1

r1-r

1T-T+T=T

aab

aba (3. 39)

Aplicando la ley de Fourier se determina la densidad de flujo de calor como un vector funcin del radio, perpendicular a la superficie de la esfera de radio r:

2

ab

ba r1

r1-r

1T-Tk=q

(3. 40)

El flujo de calor resulta constante:

rb ra

49

r1-r

1

k41

T-T=4*q=A*q=Qba

ba2 (3. 41)

La resistencia trmica de una esfera resulta:

r1-r

1

k41=R

ba (3. 42)

Problemas

1) Calcula la distribucin de temperatura de un muro de espesor L y conductividad trmica k sin generacin interna de calor, cuando la superficie interna y externa se mantienen a temperatura constante T1 y T2 respectivamente.

Sol.

2) La vasija de un reactor nuclear se puede asemejar a una pared de espesor L y conductividad trmica k la cual est aislada por su parte inferior y la superficie exterior se mantiene a una temperatura T2. Los rayos son absorbidos por la pared dando lugar a una generacin de calor en la pared en funcin de g(x)=g0e-x w/m3. Donde g0 y son constantes y x se mide desde la pared aislada.

a) Desarrolla una expresin para la distribucin de la temperatura en la placa.

b) Calcula la temperatura de la superficie aislada. c) Desarrolla una expresin que nos de la densidad del flujo de calor a

cualquier distancia de la cara aislada.

Sol. a)

1

b)

1

c)

1

3) Determinar la expresin del calor que atraviesa por unidad de tiempo una placa plana de una sola capa, cuya conductividad trmica vara cuadrticamente k=k0(1+bT+cT2). Suponer que no hay generacin de calor interna, rgimen estacionario, unidireccional y que sus caras se mantienen a temperatura T1 y T2 respectivamente.

Sol.

1

4) Un tubo cilndrico de radio interior r1 y exterior r2, se mantiene a temperatura

50

constante T1 y T2 respectivamente, el material del que est construido el tubo posee una conductividad k, suponiendo el tubo infinitamente largo, rgimen estacionario y sin generacin interna de calor. Calcular la distribucin de temperatura y la densidad de flujo de calor.

Sol. a)

b)

5) Determinar la distribucin de temperatura T(r) y la densidad de flujo de calor, de un cilindro macizo de radio r=b, con una generacin interna de calor de g0 (W/m3), rgimen estacionario y la conductividad trmica es constante k . La temperatura superficial se mantiene a 0 C.

Sol. a)

,

6) Determinar la distribucin de temperatura en rgimen estacionario de un cilindro hueco y largo en el que se genera calor mediante la ecuacin g = g0(1+Ar) Kcal/hm3. Suponiendo que la superficie interior ri est perfectamente aislada y la exterior se mantiene a una temperatura Te, el material tiene un coeficiente de conductividad constante k.

Sol.

7) Calcula la distribucin de temperatura y densidad de flujo que atraviesa una esfera de radio interior r1 y exterior r2 y cuya temperatura son respectivamente T1 y T2, suponer el coeficiente de conductividad constante k.

Sol.

1

8) determina la distribucin de temperatura en una esfera de radio r=b y conductividad trmica k que genera calor en su interior de una manera uniforme g0 W/m3 y disipa este calor por conveccin con el aire a Ta con un coeficiente de pelcula h. Determina tambin la densidad de flujo de calor en la superficie exterior de la esfera.

Sol.

3

9) Desarrollar una expresin para la distribucin de temperatura en una

51

carcasa esfrica de radio a

52

13) Una tubera de vapor de 4 cm de radio est cubierta por dos capas de aislamiento, la primera de ellas de un espesor de 1 cm. Y de conductividad trmica k1 =0,15 W/mC. La segunda capa es de 2 cm de espesor y conductividad trmica k2 = 0,035 W/mC. La temperatura exterior de la tubera es de 330C y la superficie exterior de 30C Calcula las prdidas de calor por metro de tubo y la temperatura superficial entre los dos aislantes.

Sol. 173,1 W/m y 289C.

14) Un cable de cobre de 5 cm de dimetro es calentado por el paso de la corriente elctrica la superficie exterior del cable se mantiene a 175C y disipa calor por conveccin al ambiente a 25C con un coeficiente de pelcula h=150 W/m2C si el cable es recubierto con una capa de aislante de 1 mm de espesor y coeficiente de conductividad k=0,6 W/mC, determina si las prdidas de calor aumentan o disminuyen y hasta que espesor se puede poner de aislante consiguiendo en el flujo de calor.

Sol. Las prdidas disminuyen hasta r=4mm.

15) Un tubo desnudo normalizado de 25 mm, con una temperatura superficial de 175C se coloca en aire a 30C, el coeficiente de pelcula entre superficie y el aire es de 4,9 kcal/hm2C. Se desea reducir las prdidas de calor al 50% mediante la colocacin de un aislante de conductividad k=0,15 kcal/hmC. Si la temperatura superficial de la tubera y el coeficiente de pelcula permanecen constantes al aadir aislante. Tiene este espesor un valor aceptable desde el punto de vista tcnico. Conductividad del tubo k=48 kcal/hmC.

Sol. (No es aceptable)

16) Un conducto de 0,8 cm de dimetro, que mantiene su temperatura superficial a 130C, se enfra al aire a 30C con un coeficiente de pelcula h=120 W/mC. La temperatura del conducto. Calcular las prdidas de calor por metro de conducto, calcula las prdidas del conducto cubierto con un aislante de conductividad trmica k= 12 W/mC con un espesor correspondiente al radio crtico de aislamiento.

Sol. q1=301,6 W/m y q2=393,5 W/m.

17) En una barra de cobre de radio 0,5 cm y conductividad trmica k=386 W/mC se genera calor uniforme de acuerdo a la siguiente ecuacin g0=4.108 W/m3. La barra se enfra por conveccin en aire a 30 C con un coeficiente de pelcula h=2.000 W/m2C. Determina la temperatura de la superficie de la barra.

Sol. 530 C.

18) Considrese un casquete esfrico de aluminio de radio r1=2 cm y r2=6 cm y conductividad trmica k=200 W/mC. La superficie interior se mantiene a 100C y la exterior disipa

termodinamica termica y transmission de calor de la universidad de valladolid

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