Termodinamica problemas resueltos 0607
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1
PROBLEMAS DE TERMODINÁMICA PROCESOS POLITRÓPICOS DE UN GAS IDEAL
FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA
2
UCLMUn gas ideal de coeficiente adiabático = 1.4 con un volumen específico inicial de 0.008 m3/mol se somete a un calentamiento isocórico que hace variar su presión entre 2.65 bar y 4.20 bar. Seguidamente el gas se expande adiabáticamente hasta un volumen adecuado, y por último se somete a una compresión isoterma hasta que recupera su volumen específico inicial. Se pide:
PROBLEMA 1
C) Determine el rendimiento del ciclo termodinámico que ha descrito el gas.
B) Determine presión, volumen y temperatura del punto común del proceso adiabático y del proceso isotermo sufrido por el gas.
A) Dibuje esquemáticamente en forma cualitativa los procesos sufridos por este gas en un diagrama p – v.
P
v
ADIABÁTICA
ISOTERMA
v0
P1
P2
v3
P3
/molm 008.0 3210 vvv
bar 65.21 P
bar 20.42 P
Apartado A)
1
2
3
El gas describe un ciclo de potencia (sentido horario) cuyos puntos notables son 1, 2 y 3.
Apartado B) (Determinación coordenadas punto 3)
Las temperaturas de los puntos notables se determinan inmediatamente a partir de la ecuación de estado del gas:
nRTpV RTn
Vp
K 255111
R
vpT
K 404222
R
vpT
RTpv
Las temperaturas T3 y T1 son iguales, están sobre la misma isoterma K 25513 TT
Dato: R = 8,314 kJ/(Kkmol)
Para obtener el volumen del punto 3:
Ecuación de la isoterma: 3311 vpvp
Ecuación de la adiabática:
3322 VpVp
3311 VpVp
En términos de volúmenes molares:
3322 vnpvnp
1/1
11
223
vp
vpv1
311
22
vnvp
vnpDividiendo miembro a miembro:
/molm 025.0 3
Presión del punto 3: bar 838.0 Pa 837993
33
v
RTp
3
UCLMUn gas ideal de coeficiente adiabático = 1.4 con un volumen específico inicial de 0.008 m3/mol se somete a un calentamiento isocórico que hace variar su presión entre 2.65 bar y 4.20 bar. Seguidamente el gas se expande adiabáticamente hasta un volumen adecuado, y por último se somete a una compresión isoterma hasta que recupera su volumen específico inicial. Se pide:
PROBLEMA 1 (Continuación)
C) Determine el rendimiento del ciclo termodinámico que ha descrito el gas.
B) Determine presión, volumen y temperatura del punto común del proceso adiabático y del proceso isotermo sufrido por el gas.
A) Dibuje esquemáticamente en forma cualitativa los procesos sufridos por este gas en un diagrama p – v.
Dato: R = 8,314 kJ/(Kkmol)
Apartado C)
ISOTERMA
P
v
ADIABÁTICA
1
2
3
Veamos cualitativamente trabajo y calor en cada etapa del ciclo
0Vw0Vq
0adq
0adw
0isotw
0 isotisot wq
Rendimiento:V
isotad
V
neto
q
ww
q
w
13322
VpVpWad 1
3322
vpvpwad
p (Pa) v (m3/mol) T (K)
1 265000 0,008 255
2 420000 0,008 404
3 83799 0,025 255
J/mol 3100
3
11 ln
1
3
1
3
V
VnRTdV
V
nRTpdVW
V
V
V
V
isot 3
11 ln
v
vRT J/mol 2441
12 TTncTncQ VVV 12 TTcn
Qq V
VV
Rcc VP V
P
c
c 1
R
cV
121TT
RqV
J/mol 3100
Pregunta: ¿Es casual que el resultado numérico para qV coincida con wad?
(21%) 21.03100
24413100 V
isotad
V
neto
q
ww
q
w
4
PROBLEMA 2
Un ciclo de Carnot reversible empleado como ciclo de potencia, que usa un gas ideal de coeficiente adiabático 1.4 como fluido de trabajo, opera entre las temperaturas 300 K y 500 K. La presión máxima del ciclo es 2.50 bar, y en la etapa de expansión isoterma el gas aumenta su volumen específico hasta alcanzar 0.040 m3/mol. Dato: R = 8,314 kJ/(Kkmol).
A) Determine las coordenadas volumen específico, presión y temperatura de todos los puntos notables del ciclo.B) Si el ciclo se repite dos veces por segundo, determine la potencia desarrollada.C) Demuestre que para cualquier ciclo de Carnot el trabajo asociado con la etapa de compresión adiabática es el mismo en
valor absoluto y de signo opuesto al trabajo desarrollado en la expansión adiabática, y que el trabajo neto producido es la suma algebraica del trabajo de la expansión isoterma y de la compresión isoterma.
Apartado A)
1
2
34
Ta = 500 KTb = 300 K
p1 = 2.5 bar v2 = 0.040 m3/mol
12 Expansión isoterma T1 = T2 = 500 K
34 Compresión isoterma T3 = T4 = 300 K
23 Expansíón adiabática.
41 Compresión adiabática.
Coordenadas de los puntos 1 y 2:
P (bar) P (Pa) v (m3/mol) T (K)1 2,50 250000 0,0166 5002 1,04 103925 0,0400 500
1
11 p
RTv
2
22 v
RTp
Para calcular el volumen específico del gas en el punto 3 usamos la relación adiabática entre los puntos 2 y 3 en función de volumen específico y temperatura.
3322 vpvp
33
32
2
2 vv
RTv
v
RT
133
122
vTvT
1/1
3
223
T
Tvv
UCLM
5
PROBLEMA 2 (Continuación)
Apartado A) Una vez calculado el volumen específico del punto 3, se obtiene su presión usando la ecuación de estado3
33 v
RTp
1144 vpvp
3344 vpvp 33
1114 vp
vpv
1/1
33
114
vp
vpv
4
44 v
RTp
El punto 4 es donde concurren la isoterma 34 y la adiabática 41, por lo que debe cumplirse
Usando otra vez la ecuación de estado
P (bar) P (Pa) v (m3/mol) T (K)1 2,50 250000 0,0166 5002 1,04 103925 0,0400 5003 0,17 17388 0,1434 3004 0,42 41828 0,0596 300
1
2
34
Ta = 500 KTb = 300 K
v (m3/mol)
P (bar)
UCLM
6
Apartado B)
PROBLEMA 2 (Continuación)
Hay que calcular el trabajo producido por el ciclo. Esto puede hacerse de dos formas.
B1. Cálculo directo del trabajo de cada etapa isoterma (en el apartado C demostraremos que las adiabáticas no intervienen en el neto)
1
21
112 ln
2
1
2
1
v
vRTdv
v
RTpdvw
v
v
v
v
isot 3
43
334 ln
4
3
4
3
v
vRTdv
v
RTpdvw
v
v
v
v
isot J/mol 3649 J/mol 2189
J/mol 1460218936493412 isotisotneto www
El tiempo que tarda esta máquina térmica en describir un ciclo es t = 0.5 s, por tanto la potencia específica es
watt/mol29205.0
1460
t
ww neto
B2. Cálculo del trabajo a partir del rendimiento del ciclo reversible. Para este ciclo el rendimiento es: 40.0500
30011
1
3 T
T
La energía que debe suministrarse para el funcionamiento del mismo es el calor de la etapa isoterma de alta temperatura, que es igual al trabajo de la expansión isoterma 12, ya que la energía interna del gas ideal sólo depende de su temperatura y por lo tanto no sufre variación en dicha etapa:
wqΔu isotisot 0121212 wq isotisot J/mol 36491212
El trabajo específico neto es: q
w
isot
neto
12
qw isotneto J/mol 1460364940.012 watt/mol29205.0
1460
t
ww neto
Apartado C) Trabajo de un proceso adiabático entre las condiciones (vi,pi) y (vf,pf).
f
i
v
v
pdvwf
f
i
v
vi
v
v
vCdv
v
C
1
1
2
1
1
1
v
v
vpv
11
ffiiiiff vpvpvpvp
p
v
ADIABÁTICA
pv ii ,
pv ff ,w
fi TTR
1
Aplicando la ecuación de estado del gas ideal:
En el ciclo de Carnot hay dos adiabáticas: el proceso 23 y el proceso 41 (véase apartado A).
Puesto que en el proceso 23 Ti = T2 y Tf = T3, mientras que en el proceso 41 las temperaturas son Ti = T3 (= T4) y Tf = T2 (= T1), se deduce que 4123 adiabadiab ww
Por lo tanto, el trabajo neto del ciclo corresponde a la suma (algebraica) de los trabajos de las etapas isotermas 12 y 34.
UCLM
7
PROBLEMA 3
Un ciclo de Stirling de refrigeración que consta de dos isotermas y dos isocóricas utiliza como fluido de trabajo 0.50 moles de un gas ideal y opera entre las temperaturas 253 K y 300 K. Los volúmenes máximo y mínimo del ciclo son 40 litros y 20 litros respectivamente. Suponga que todas las etapas de este ciclo son reversibles. Dato: R = 8,314 kJ/(Kkmol).
A) Determine las coordenadas volumen específico, presión y temperatura de todos los puntos notables del ciclo.B) Sabiendo que el coeficiente adiabático del gas es 1.4, calcule el calor y el trabajo asociado a cada etapa del ciclo y determine
su eficiencia.C) Calcule el índice politrópico de un proceso termodinámico que una directamente el punto de mayor presión con el punto de
menor presión de este ciclo.
Apartado A)
300 K
253 K
Volúmenes específicos máximo y mínimo
/molm 08.0mol 50.0
m 1040 333
maxmax
n
Vv /molm 04.0
mol 50.0
m 1020 333
minmin
n
Vv
/mol)(m 3v
(bar) P
T (K)
253
300
300
253
v (m3/mol)
1 0,08
2 0,08
3 0,04
4 0,04
P (Pa) P (bar)
26293 0,26
31178 0,31
62355 0,62
52586 0,53
maxv
1
2
3
4
minv Isocórica 12 /molm 08.0 3max21 vvv K 300K 253 21 TT
Isocórica 34 /molm 04.0 3min43 vvv K 253K 300 43 TT
Las presiones se calculan aplicando a cada punto la ecuación de estado
i
ii v
RTp
UCLM
8
B) Sabiendo que el coeficiente adiabático del gas es 1.4, calcule el calor y el trabajo asociado a cada etapa del ciclo y determine su eficiencia.
PROBLEMA 3 (Continuación)
/mol)(m 3v
(bar) P
1
2
3
4
Ciclo de refrigeración (sentido antihorario)
023 isotw
041 isotw012 Vq
034 Vq
041 isotq
023 isotq
Rcc VP
V
P
c
c
1
R
cVDeterminación de calores específicos:
Proceso isocórico 12
2
322323 ln
v
vRTqw isotisot
121212 1TT
RTTcq VV
Proceso isotermo 23
Proceso isocórico 34 343434 1TT
RTTcq VV
Proceso isotermo 414
144141 ln
v
vRTqw isotisot
253
300
300
253
T (K)
0,044
0,043
0,082
0,081
v (m3/mol)
0,5352586
0,6262355
0,3131178
0,2626293
P (bar)P (Pa)
J/mol 977
J/mol 1729
J/mol 977
J/mol 1458
La eficiencia del ciclo es igual al calor extraído del foco dividido por el valor absoluto del trabajo necesario para hacerlo. En nuestro caso:
4123
41
isotisot
isot
q
38.512
1
TT
T
El trabajo de las etapas isocóricas es nulo, al no haber variación de v.
38.514581729
1458
Forma alternativa: como se trata de un ciclo reversible,
Comentario: la eficiencia representa el calor extraído del foco frío por cada unidad de trabajo invertido en el funcionamiento del ciclo.
UCLM
9
PROBLEMA 3 (Continuación)
C) Calcule el índice politrópico de un proceso termodinámico que una directamente el punto de mayor presión con el punto de menor presión de este ciclo.
/mol)(m 3v
(bar) P
1
2
3
4
Se pide calcular el exponente k de la ecuación del proceso politrópico kk vpvp 1133
1133 lnlnlnln vkpvkp
3113 lnlnlnln ppvvk
13
31
/ln
/ln
vv
ppk 246.1
Teniendo en cuenta los valores numéricos
bar 63255 /molm 04.0 33
3 pv
la ecuación de esta politrópica es
5.113004.063255 246.1 kpv
5.1130246.1 pv
UCLM
31
10
PROBLEMA 4
Un gas perfecto de volumen específico 0.008 m3/mol a una presión de 4.00 bar se calienta isocóricamente hasta que su presión alcanza 8.00 bar. Después se expande adiabáticamente hasta alcanzar 0.014 m3/mol, luego se enfría isocóricamente y finalmente se comprime adiabáticamente hasa restituir las condiciones iniciales. Todas las transformaciones son reversibles (ciclo ideal de Otto). Dato: R = 8,314 kJ/(Kkmol).
A) Determine las coordenadas volumen específico, presión y temperatura de todos los puntos notables del ciclo.B) Si se sabe que el coeficiente adiabático del gas es 1.4, calcule el calor y el trabajo asociado a cada etapa del ciclo y determine
su rendimiento.
Apartado A) Coordenadas de los puntos extremos de la isocórica 1 (4 bar) 2 (8 bar)bar 00.4 /molm 008.0 1
31 pv
bar 00.8 /molm 008.0 23
2 pvK 38511
1 R
vpT K 77022
2 R
vpT
Ecuación de la adiabática que pasa por 1: 86.46311 vp 86.463pv
Ecuación de la adiabática que pasa por 2: 72.92722 vp 72.927pv
0,007 0,008 0,009 0,010 0,011 0,012 0,013 0,014 0,0150
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
1
P (
bar)
v (m3/mol)
0,007 0,008 0,009 0,010 0,011 0,012 0,013 0,014 0,0150
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
1
P (
bar)
v (m3/mol)
86.463pv
0,007 0,008 0,009 0,010 0,011 0,012 0,013 0,014 0,0150
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
1
P (
bar)
v (m3/mol)
72.927pv3
4
/molm 014.0 343 vv Pa 365457
3
223
v
vpp Pa 182729
4
114
v
vpp
K 615333
R
vpT K 30844
4 R
vpT
v (m3/mol) P (Pa)
P (bar) T (K)
1 0,008 400000 4,00 385
2 0,008 800000 8,00 770
3 0,014 365457 3,65 615
4 0,014 182729 1,83 308
UCLM
11
Apartado B) Si se sabe que el coeficiente adiabático del gas es 1.4, calcule el calor y el trabajo asociado a cada etapa del ciclo y determine su rendimiento
Rcc VP V
P
c
c 1
R
cV molJ/K 875.20
13322
23
vpvpwadiab 1
114441
vpvp
wadiab 1212 TTcq VV 3434 TTcq VV
w (J/mol) q (J/mol)1 2 80002 32093 4 -63964 1 -1604
12
4123
q
ww 201.0
PROBLEMA 4 (Continuación)
v (m3/mol) P (Pa)
P (bar) T (K)
1 0,008 400000 4,00 385
2 0,008 800000 8,00 770
3 0,014 365457 3,65 615
4 0,014 182729 1,83 308
UCLM
12
UCLMUn gas ideal a 273 K tiene una densidad de 50 moles/m3. Su coeficiente adiabático es = 1.4. Este gas se somete a una compresión adiabática reversible hasta que su presión se duplica y luego a una expansión isoterma reversible hasta restituir el volumen original.
a) Determine la temperatura final
b) Determine el trabajo neto de los dos procesos.
c) Calcule la variación de entropía sufrida por el gas.
Tomamos como base de cálculo 50 moles de gas, que en las condiciones iniciales ocupan V1 = 1 m3.
Dato: R = 8,314 kJ/(Kkmol)
RTV
nP
Pa 113486K 273molK
J314.8
m
mol50 31
PLa presión inicial se obtiene aplicando la
ecuación del gas ideal
Proceso adiabático: 1134861113486 4.111 VP 1134862211 VPVP
2
1
2
113486113486
122
PPV
m 0.60952
1 31/1.4
2
V
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0100000
120000
140000
160000
180000
200000
220000
240000
P (
Pa
)
V (m3)
1
2
3
T2 = T3 = 332.8 K
P2 = 2P1
Proceso isotermo: 322
2 K 8.332314,850
6095.01134862T
nR
VPT
T2 = T3 = 332.8 K
PROBLEMA 5
12211
VpVp
Wadiabático
2
32 ln
V
VnRTWisotermo
1
21
TTnR
Trabajo asociado con los procesos:
J 62147
14.1
8.332273314.850
J 684976095.0
1ln8.332314.850
J 63506849762147 isotermoadiabáticoneto WWW
J 6350netoW
Cambios de entropía.
En la etapa adiabática reversible no hay intercambio de calor, por tanto la variación de entropía es nula.
0 isotermoisotermoisotermo WQU
Etapa isoterma.
isotermoisotermo WQ
J/K 8.2058.332
68497
2
T
QS isotermo
La energía interna de un gas ideal es sólo función de la temperatura
J/K 8.205S
ADIABÁTICA
ISOTERMA
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0100000
120000
140000
160000
180000
200000
220000
240000
P (
Pa
)
V (m3)
13
Un gas ideal de coeficiente adiabático sufre una transformación politrópica de índice k entre las condiciones (V1, P1) y (V2, P2). Determine el calor cedido o ganado por el gas en dicho proceso.
V
P Politrópica
1
2
I. Trabajo asociado con el proceso politrópico:
2
1
V
V
pdVW2
1
2
1
1
1
V
V
kV
V
k k
VCdV
V
C
2
1
1
1
V
V
kk
k
VpV
1122111122
k
VpVp
k
VpVp
12211
k
VpVpW opolitrópic
II. Consideremos el proceso politrópico como parte de un ciclo:
12 Politrópica 23 Isobara 31 Isocora
332 PP
31 VV
CpV k
III. Cálculo de trabajo y calor en la etapa isobara 23
3
2
V
V
pdVW 232 VVp
Sea n el número de moles de gas y cp y cV los calores específicos molares a presión y volumen constante.
23 TTncQ p 2233 VpVpR
cp
IV. Cálculo de calor en la etapa isocora 31 (el trabajo es nulo)
31 TTncQ V 3311 VpVpR
cV
V. La variación de energía interna WQU para cualquier ciclo completo ha de ser nula. 0312312 UUUU
01 33112322233
2211
VpVpR
cVVpVpVp
R
c
k
VpVpQ Vp
opolitrópic
31U23U12U
331123222332211
1VpVp
R
cVVpVpVp
R
c
k
VpVpQ Vp
opolitrópic
nR
pVT
Gas ideal:
UCLM
PROBLEMA 6
14
Un gas ideal de coeficiente adiabático sufre una transformación politrópica de índice k entre las condiciones (V1, P1) y (V2, P2). Determine el calor cedido o ganado por el gas en dicho proceso.
331123222332211
1VpVp
R
cVVpVpVp
R
c
k
VpVpQ Vp
opolitrópic
VI. Tengamos en cuenta las siguientes consideraciones:
32 PP 31 VV
Relación de Mayer: Rcc VP
Coeficiente adiabático:V
P
c
c
RcV 1
1
R
cP
1
1
R
cV
331123222332211
1
1
11VpVpVVpVpVp
k
VpVpQ opolitrópic
121121222122211
1
1
11VpVpVVpVpVp
k
VpVpQ opolitrópic
111
1
11211
221222122211
VpVpVpVp
VpVp
k
VpVpQ opolitrópic
12121211
22222211
1
111
1Vp
VpVpVpVp
Vp
k
VpVpQ opolitrópic
12
1122222211 111
1
11
1
1
1Vp
VpVpVp
k
VpVpQ opolitrópic
12112222222211
1
1
11
1
111
1
1Vp
VpVpVpVp
k
VpVpQ opolitrópic
0
1111222211
VpVp
k
VpVpQ opolitrópic
Caso especial: cuando el proceso es adiabático k = y entonces 0adiabáticoQ
(Sustituyendo calores específicos en función de )
(Sustituyendo V3, P3 por V1 y P2 respectivamente)
(Reordenando términos)
(Sacando factor común)
UCLM
PROBLEMA 6 (Continuación)
1112
k
kTTnRQ opolitrópic
Cuestión adicional: Compruebe que en función de las temperaturas el calor absorbido o cedido por el gas ideal en el proceso politrópico es
Esta deducción es válida para ≠ 1 (cuando = 1 la transformación es isoterma).
15
Considere un transformación politrópica reversible de un gas ideal entre las condiciones iniciales (v1, p1) y finales (v2, p2), donde v está dado en m3/mol y p en Pa. El gas ideal tiene un coeficiente adiabático y el proceso politrópico un índice de politropía k. Sabiendo que el calor intercambiado por el gas en dicho proceso está dado por
1111222211
vpvp
k
vpvpq opolitrópic
deduzca el calor intercambiado por dicho gas cuando:
A) Sufre una transformación isobárica reversible.
B) Sufre una transformación isocórica reversible.
PROBLEMA 7
A) Transformación isobárica reversible.
Escribimos el calor intercambiado en función de la temperatura empleando la ecuación del gas ideal RTpv
1111122111222211
RTRT
k
RTRTvpvp
k
vpvpq opolitrópic
1
1
1
112 k
TTR
11
1112
k
kTTR
1112
k
kTTR
En una transformación isobárica k = 0, por lo tanto
112
TTRqisobárico 121TTR
RcV 1 1
R
cV
Según la relación de Mayer y la definición de coeficiente adiabático como función de los calores específicos
12 TTcq Pisobárico
Rcc VP
V
P
c
c
B) Transformación isocórica reversible.
11lim12
k
kTTRq
kisocórico
1/11
/1lim12
k
kTTR
k 12 TTcq Visocórico
121
1TTR
1
R
cP
En una transformación isocórica k , por lo tanto
UCLM
16
0312312 ssssciclo
Politrópica índice k
1
2
Cálculo de la variación de entropía en el proceso 12 a lo largo de una politrópica reversible
Trazamos una adiabática reversible que pase por 2.
Después trazamos una isoterma reversible que pase por 1.
3
La adiabática y la isoterma se cortan en 3. Al tratarse de un ciclo tenemos:
Adiabática
Isoterma
Proceso 23: Se trata de una adiabática reversible, por tanto qad =0 en todos los puntos de la trayectoria y en consecuencia 023 s
T
qds
La variación de entropía específica molar en una etapa
infinitesimal de un proceso termodinámico está dada por
Proceso 31: Es una isoterma, por lo tanto1T
qds isot
3
1
3
11
11131 lnln
11
v
vR
v
vRT
Tq
TT
qs isot
isot
donde cada s representa le entropía específica molar (kJ/Kmol) de la etapa.
3112 ss
(El calor asociado a un proceso isotermo es igual al trabajo del mismo)
3
1lnv
vRVariación de entropía en el proceso politrópico 12:
Por tanto, el cálculo de la variación de entropía del proceso politrópico reversible se reduce en realidad a calcular las coordenadas del punto 3, donde se cortan la adiabática y la isoterma.
Calcule la variación de entropía de un gas ideal de índice adiabático = 1.4 asociada a un proceso politrópico reversible de índice k = 3 entre las condiciones iniciales v1 = 0.023 m3/mol, p1 = 1.80 bar y un volumen específico final v2 = 0.025 m3/mol.
P
v
PROBLEMA 8
UCLM
Dato: R = 8,314 kJ/(Kkmol)
17Datos iniciales coloreados
2233 vpvp
1133 vpvp
3
33 v
RTp
1/1
11
223
vp
vpv
Calcule la variación de entropía de un gas ideal de índice adiabático = 1.4 asociada a un proceso politrópico reversible de índice k = 3 entre las condiciones iniciales v1 = 0.023 m3/mol, p1 = 1.80 bar y un volumen específico final v2 = 0.025 m3/mol.
PROBLEMA 8 (Continuación)
111 RTvp
Punto inicial (1). Conocemos volumen específico y presión, calculamos temperatura
Además del volumen especifico necesario, calcularemos todas las coordenadas desconocidas del ciclo de tres etapas.
Punto final (2). Ecuación politrópica
kk vpvp 2211 k
v
vpp
2
112
R
vpT 11
1
v (m3/mol) P (bar) T (K)1 0,0230 1,80 498,02 0,0250 1,40 421,53 0,0165 2,51 498,0
Ecuación de estado:R
vpT 22
2
Punto (3)
Adiabática
Isoterma 11
2213 vp
vpv
T3 = T1 (isoterma)
3
112 ln
v
vRs
Entropía específica del proceso politrópico 12
0165.0
0230.0ln314.8 molJ/K 77.2
Politrópica índice k
1
2
3
Adiabática
Isoterma
P
v
UCLM
Dato: R = 8,314 kJ/(Kkmol)
18
P
v
1 2
3Isoterma 300 K
PROBLEMA 9
Un gas ideal de coeficiente adiabático =1.4 describe un ciclo termodinámico formado por las siguientes etapas reversibles:
1. Etapa isobara a 1.8 bar, desde una temperatura de 300 K hasta que su volumen específico molar es 0.08 m3/mol.
2. Expansión politrópica de índice k = 3.5, hasta que su temperatura es 300 K.
3. Compresión isotérmica hasta restablecer las condiciones iniciales.
Determine:
A) Las coordenadas p, v, T de cada punto notable del ciclo.
B) Trabajo y calor en cada etapa y rendimiento del ciclo.
C) La variación de entropía del gas en cada etapa del ciclo.
Ciclo de potencia
Isobara
Politrópica k = 3.5
A) Coordenadas P, v, T
p (Pa) v (m3/mol) T (K)1 180000 3002 180000 0,0403 300
kk VpVp 3322
3311 VpVp
1/1
11
223
kk
vp
vpv
kkkk vnpvnp 3322
3311 nvpnvp 1
31
11
21
2
kkkk
vnvp
vnp
1
11 p
RTv
R
vpT 22
2
Ecuación de estado:
Cálculo del punto 3
/molm 014.0 3
K 866
Politrópica:
Isoterma:
/molm 061.0 3
3
33 v
RTp Pa 40805
p (Pa) v (m3/mol) T (K)1 180000 0,014 3002 180000 0,040 8663 40805 0,061 300
Dato: R = 8,314 kJ/(Kkmol)
UCLM
19
q (J/mol) w (J/mol)
12 16470 4706 isobarico
23 -9882 1882 politropico
31 -3702 -3702 isoterma
B) Trabajo y calor en cada etapa y rendimiento del ciclo.P (bar)
v (m3/mol)
1 2
3
0isobaroq
0isotermoq
0opolitropicq
p (Pa) v (m3/mol) T (K)1 180000 0,014 3002 180000 0,040 8663 40805 0,061 300
11
aabbbbaaopolitrópic
vpvp
k
vpvpq
11
k
kTTR if
0isobarow
0opolitrópicw
0isotermow
1
k
vpvpw bbaa
opolitrópic
a
b
v
v
v
v
isotermo v
vRTdv
v
RTpdvw
b
a
b
a
ln
Etapa 12, isobárica k = 0 1122 vpvpwisobárico
121TTRqisobárico
Etapa 23, politrópica k = 3.5
13322
k
vpvpw opolitrópic
a inicial, b final
1123
k
kTTRq opolitrópic
isotermo
v
v
v
v
isotermo qv
vRTdv
v
RTpdvw 3
11
1
3
ln
1
3
1
Etapa 31, isoterma 300 K
Cálculos (calor y trabajo)
Rendimiento:Trabajo neto
Calor aportado
isobarico
isotermoopolitrópicisobarico
q
www 175.0
16470
370218824706
PROBLEMA 9 (Continuación)
UCLM
20
a
b
c
v
p
C) Variación de entropía del gas en cada etapa del ciclo.
1/1
aa
bbc vp
vpv
c
aab v
vRs ln
1/1ln
aa
bb
a
vpvp
vR
1/1/1
1/11/1
ln
bb
aaa
vp
vvpR
1/1/1
ln
b
a
b
a
v
v
p
pR
1/1/1
/
/ln
b
a
bb
aaab v
v
vRT
vRTRs
1/1/11/1
ln
b
a
a
b
b
a
v
v
v
v
T
TR
b
a
b
a
v
v
T
TR
1/1
ln
a
b
a
bab v
v
T
TRs
1/1
ln
dTk
kRq opolitrópic
11
a
b
T
T
opolitrópicab T
T
k
kR
T
dT
k
kR
T
qs
b
a
ln1111
aa
bb
vp
vp
k
kR ln
11
a
b
k
b
aab v
v
v
v
k
kRs ln
11
1
ln11
k
b
a
v
v
k
kR
b
a
v
vkR ln
1
1/1/
ln
b
a
k
b
a
v
v
v
vR
1/1/1
ln
b
a
b
a
a
bab v
v
v
v
T
TRs
a
b
a
bab v
v
T
TRs
1/1
ln
Calculamos para una politrópica en función de temperaturas y volúmenes.
Punto inicial a Punto final b
Método 1. Usando el resultado del problema 8 (Recuerde que c es un punto que no está en la politrópica)
vRTp /Ecuación de estado:
Método 2. Integrando el intercambio de energía en forma de calor en un proceso politrópico elemental.
k
b
a
a
b
v
v
p
p
Expresamos este cociente en una forma más adecuada
kaa
kbb vpvp k
aa
akb
b
b vv
RTv
v
RT 11 k
aakbb vTvT
1
k
b
a
a
b
v
v
T
T 1
b
a
k
b
a
a
b
v
v
v
v
T
T
b
a
a
b
k
b
a
v
v
T
T
v
v
11/1
lnb
a
a
b
v
v
T
TR
PROBLEMA 9 (Continuación)
UCLM
21
C) Variación de entropía del gas en cada etapa del ciclo (continuación).
a
b
a
bab v
v
T
TRs
1/1
ln
P (bar)
v (m3/mol)
1 2
3
Isobara
1
2
1/1
1
212 ln
v
v
T
TRs
p (Pa) v (m3/mol) T (K)1 180000 0,014 3002 180000 0,040 8663 40805 0,061 300
R = 8,314 J/(Kmol)
2
3
1/1
2
323 ln
v
v
T
TRs
3
1
1/1
3
131 ln
v
v
T
TRs
J/K 8.30
014.0
040.0
300
866ln314.8
14.1/1
J/K 5.18
040.0
061.0
866
300ln314.8
14.1/1
J/K 3.12
061.0
014.0
300
300ln314.8
14.1/1
Politrópica
Isoterma
PROBLEMA 9 (Continuación)
UCLM
22
Un ciclo frigorífico reversible de Carnot se emplea para mantener a -18º C el congelador de un frigorífico instalado en un local donde la temperatura es 20º C. Como fluido de trabajo de este ciclo termodinámico se emplean 0.2 moles de un gas ideal de coeficiente adiabático = 1.40. Los vólúmenes máximo y mínimo del gas durante el ciclo son 2 litros y 5 litros. Se pide:
A) Calcule la presión al comienzo e la expansión isoterma y el volumen al final de la compresión adiabática.
B) Calcule el trabajo necesario para extraer 1 kJ del foco frío.
C) Calcule el trabajo que debe aportarse por ciclo para mantener el frigorífico en funcionamiento.
D) La variación de entropía del gas en la etapa isoterma a baja temperatura.
Dato: R = 8,314 kJ/(Kkmol)
PROBLEMA 10
V (litros)
P (bar)
K 293altaT
K 255bajaT
ADIABÁTICA
AD
IAB
ÁTIC
A1
2
3
4Cálculo de las presiones (conocidos los volúmenes) V
nRTP
Ciclo de refrigeración
Expansión adiabática 3 4
Compresión isoterma 2 3
Expansión isoterma 4 1 El fluido de trabajo toma calor del foco frío
El fluido de trabajo cede calor al foco caliente
Compresión adiabática 1 2
333 m 102 V33
1 m 105 V
K 255182731 T
K 293202732 T
K 293202733 T
K 255182734 T
Datos: tenemos los siguientes datos de temperatura y volumen:
bbaa VPVP
b
b
ba
a
a VV
nRTV
V
nRT
11 bbaa VTVT
nRTPV
Cálculo de los volúmenes V2 y V4:
UCLM
23
V (litros)
P (bar)
K 293altaT
K 255bajaT
ADIABÁTICA
AD
IAB
ÁTIC
A
1
2
3
4
Ciclo de refrigeración
Expansión adiabática 3 4
Compresión isoterma 2 3
Expansión isoterma 4 1 El fluido de trabajo toma calor del foco frío
El fluido de trabajo cede calor al foco caliente
Compresión adiabática 1 2
V (litros)
P (bar)
ºC K V (m3) P (Pa) P (bar)1 -18 255 5,00E-03 1,06E+05 1,062 20 293 3,53E-03 1,72E+05 1,723 20 293 2,00E-03 3,05E+05 3,054 -18 255 2,83E-03 1,87E+05 1,87
La presión al comienzo de la expansión isoterma es: bar 87.14 PExpansión isoterma: 41
El volumen al final de la compresión adiabática es: Compresión adiabática: 12 litros 53.32 V
Apartado A)
PROBLEMA 10 (Continuación)
A) Calcule la presión al comienzo e la expansión isoterma y el volumen al final de la compresión adiabática.UCLM
24
1
2
3
4
K 293altaT
K 255bajaT
ADIABÁTICA
AD
IAB
ÁTIC
A
Ciclo de refrigeración
Volumen (litros)
Pres
ión
(bar
)
B) Calcule el trabajo necesario para extraer 1 kJ del foco frío.
C) Calcule el trabajo que debe aportarse por ciclo para mantener el frigorífico en funcionamiento.
D) La variación de entropía del gas en la etapa isoterma a baja temperatura.
PROBLEMA 10 (Continuación)
Balance de energía en un ciclo: 02341 WQQ
041 Q
023 Q
0WEficiencia
4123
4141
Q
W
Q
bajaalta
baja
TT
T
Eficiencia
reversible
7.6255293
255
kJ 15.07.6/1/1
Significado: representa la energía extraída del foco frío por cada unidad de trabajo aportada al ciclo. Por tanto el trabajo necesario para extraer 1 kJ del foco frío es:
J 5.346
J 6.301
Trabajo en las etapas isotermas
Trabajo neto (en un ciclo)
2323 /ln VVnRTW alta
4141 /ln VVnRTW baja
J 9.444123 WWW
Comentario: los trabajos asociados a las etapas adiabáticas no cuentan, por ser iguales y de signos opuestos
221112 1
1VPVPW
443334 1
1VPVPW
bajanRTVPVP 4411
altanRTVPVP 3322
Para calcular la variación de entropía de la etapa isoterma 41 es necesario determinar el calor intercambiado en ella.
Como en cualquier proceso a temperatura constante la variación de energía interna de un gas ideal es nula, se verifica que 0414141 WQU
J 6.3014141 WQ J/K 18.1K 255
J 6.3014141
bajaT
QS
UCLM