Contoh 5.Finco mempunyai $6000, dan ada tiga jenis investasi yang tersedia. Jika dj dolar (dalam ribu) di investasikan kedalam j investasi. Kemudian net present value (NPV/pendapatan bersih) (dalam ribu) atau rj(dj) di peroleh, dimana rj(dj) dinyatakan sebagai berikut: r1(d1) = 7 d1 + 2 (d1 > 0)r2(d2) = 3 d2 + 7 (d2 > 0)r3(d3) = 4 d3 + 5 (d3 > 0)r1(0) = r2(0)= r3(0) =0 Penempatan jumlah disetiap investasi harus merupakan sebuah nilai kelipatan dari $ 1,0. Untuk memaksimalkan perolehan pendapatan bersih dari investasi, bagaimana seharusnya Finco mengalokasikan $ 6.000, solusi:Pengembalian pada setiap investasi tidak proposional terhadap jumlah investasinya. sebagai contoh 16= r1(2) 2r1(1) = 18], dengan demikian linear programming tidak dapat digunakan untuk menemukan solusi optimal untuk problem ini. Secara matematis, masalah Finco dpt ditunjukkan sebagai berikut: Max {r1(d1)+ r2(d2) + r3(d3) }s.t d1+ d2 + d3 = 6dj nonnegative integer (j=1,2,3)Tentu jika rj(dj) adalah linear, kemudian kita akan mempunyai sebuah problem knapsack seperti pada pelajaran kita bagian 9.5. Untuk merumuskan masalah Finco sebagai masalah dinamik programing, kita memulai dari mengidentifikasi langkahnya . sepertidalam contoh penyimpanan dan rute terpendek, Tahap seharusnya dipilih sehingga ketika satu tahap dilewati masalah akan mudah untuk diselesaikan. Kemudian , mengingat bahwa masalah tahap satu telah diselesaikan, tahap ke dua akan mudah untuk diselesaikan , dan seterusnya. Secara Jelas , itu akan mudah untuk diselesaikan ketika hanya ada satu investasi yang tersedia , sehingga kita mendefinisikan tahap t untuk menunjukkan kasus di mana dana harus dialokasikan untuk investasi t , t+1 , ... , 3 .Untuk tahap tertentu , apa yang harus kita ketahui untuk menentukan jumlah investasi yang optimal ? secara sederhana kita menentukan berapa banyak uang yang tersedia untuk investasi t , t+1 , ... , 3 . Dengan demikian , kita mendefinisikan keadaan pada setiap tahap untuk jumlah uang ( dalam ribuan ) yang tersedia untuk investasi t , t+1 , ... , 3 . Kita tidak mungkin memiliki investasi lebih dari $ 6.000. sehingga kemungkinan keadaan pada setiap tahap adalah 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , dan 6. Kita mendefinisikan ft(dt) menjadi nilai NPV maksimum yang dapat diperoleh dengan berinvestasi dt t ribu dolar dalam investasi t , t+1 , ... , 3. Juga mendefinisikan xt (dt) menjadi jumlah yang harus diinvestasikan dalam t investasi untuk mencapai ft (dt) . Kita mulai dengan komputasi Backward f3 ( 0 ) , f 3 ( 1 ) , ... , f 3 ( 6 ) dan kemudian menentukan f2 (0) ,f 2 ( 1 ) , ... , f 2 ( 6 ) . Karena $ 6.000 yang tersedia untuk investasi untuk semua jenis investasi 1 , 2 , dan 3 , kita menghentikan perhitungan hingga menghitung fj ( 6 ).Kemudian kita menelusuri kembali langkah-langkah dan menentukan jumlah yang harus dialokasikan untuk setiap investasi ( seperti kita mengulang langkah untuk menentukan tingkat produksi yang optimal untuk setiap bulan dalam Contoh 4 ) .

Komputasi Langkah 3Pertama-tama kita menentukan f3 ( 0 ) , f3 ( 1 ) , ... , f3 ( 6 ) . kita melihat bahwa f3 ( d3 ) dicapai dengan menginvestasikan semua uang yang ada ( d3 ) kedalam jenis investasi 3. Dengan demikian ,

TABEL 6Komputasi untuk F2(0),F2(1)..F2(6)

Langkah 2 KomputasiUntuk menentukan f2 (0), f2 (1),. . . , f2 (6), kita melihat semua kemungkinan jumlah yang dapat ditempatkan dalam investasi 2. Untuk menemukan f2 (d2), biarkan x2 menjadi jumlah yang diinvestasikan dalam investasi 2. Kemudian NPV dari r2 (x2) akan diperoleh dari investasi 2, dan NPV dari f3 (d2 - x2) akan diperoleh dari investasi 3 (ingat prinsip optimalitas). Sejak x2 harus dipilih untuk memaksimalkan nilai sekarang bersih yang diperoleh dari investasi 2 dan 3, kita menulis

Dimana x2 harus menjadi anggota dari {0, 1,. . . , d2}. Perhitungan untuk f2 (0), f2 (1),. . . , f2 (6) dan x2 (0), x2 (1),. . . , x2 (6) diberikan dalam Tabel 6.Langkah 1 KomputasiMengikuti (5), kita menulis

Dimana x1 harus menjadi anggota dari {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Perhitungan untuk f1 (6) diberikan pada Tabel 7.Penentuan Alokasi Sumber Daya yang OptimalUntuk x1 (6) = 4, Finco berinvestasi $ 4.000 pada investasi 1. Daun ini 6.000 - 4.000 = 2.000 untuk investasi 2 dan 3. Oleh karena itu, Finco harus berinvestasi x2 (2) = $ 1.000 dalam investasi 2. Kemudian $ 1.000 yang tersisa untuk investasi 3 , sehingga Finco memilih untuk berinvestasi x3 (1) = $ 1.000 dalam investasi 3. Oleh karena itu, Finco dapat mencapai NPV maksimal pada f1 (6) = $ 49.000 dengan menginvestasikan $ 4.000 investasi 1, $ 1.000 dalam investasi 2, dan $ 1.000 dalam investasi 3 .

Representasi Jaringan dari Contoh Sumber DayaSeperti contoh inventarisasi Bagian 18.3, masalah Finco memiliki representasi jaringan, setara dengan menemukan rute terpanjang dari (1, 6) untuk (4, 0) pada Gambar 6. Dalam gambar, node (t, d) merupakan situasi di mana d ribu dolar yang tersedia untuk investasi t, t + 1,. . . , 3. busur bergabung dengan node (t, d) dan (t + 1, d - x) memiliki panjang rt (x) yang sesuai dengan nilai sekarang bersih yang diperoleh dengan menginvestasikan x ribu dolar di t investasi. Misalnya, busur bergabung node (2, 4) dan (3, 1) r2 memiliki panjang (3) = $ 16.000, yang sesuai dengan nilai $ 16.000 net present yang bisa didapatkan dengan melakukan investasi $ 3.000 dalam investasi 2. Perhatikan bahwa tidak semua pasang node dalam tahap yang berdekatan bergabung dengan busur. Misalnya, tidak ada busur bergabung node (2, 4) dan (3, 5); setelah semua, jika Anda hanya memiliki $ 4.000 tersedia untuk investasi 2 dan 3, bagaimana Anda bisa memiliki $ 5.000 yang tersedia untuk investasi 3? Dari perhitungan kami, kami melihat bahwa jalan terpanjang dari (1, 6) untuk (4,0) adalah (1, 6) - (2, 2) - (3, 1) - (4, 0).

Gambar 6. Representasi FincoGeneralisasi Sumber AlokasiKami sekarang mempertimbangkan versi umum dari Contoh 5. Misalkan kita memiliki unit w dari sumber daya yang tersedia dan kegiatan T yang sumber daya dapat dialokasikan. Jika aktivitas t diimplementasikan pada xt tingkat (kita asumsikan xt harus bilangan bulat positif), maka gt (xt) unit sumber daya yang digunakan oleh aktivitas t, dan rt manfaat (xt) diperoleh. Masalah penentuan alokasi sumber daya yang memaksimalkan jumlah subjek manfaat bagi ketersediaan sumber daya yang terbatas dapat ditulis sebagai

Dimana xt harus menjadi anggota dari {0, 1, 2,. . . }. Beberapa kemungkinan interpretasi rt (xt), gt (xt), dan w diberikan dalam Tabel 8.Untuk mengatasi (6) dengan pemrograman dinamis, menentukan ft (d) menjadi manfaat maksimal yang bisa diperoleh dari kegiatan t, t? 1,. . . , T jika d unit sumber daya dapat dialokasikan untuk kegiatan t, t? 1,. . . , T. Kita mungkin menggeneralisasi recursions dari Contoh 5 sampai situasi ini dengan menulis

Dimana xt harus bilangan bulat positif memuaskan gt (xt) d. Biarkan xt (d) menjadi nilai setiap x yang mencapai ft (d). Untuk menggunakan (7) untuk menentukan alokasi sumber daya yang optimal untuk kegiatan 1, 2,. . . , T, kita mulai dengan menentukan semua ft () Dan xT (). Kemudian kita menggunakan (7) untuk menentukan semua ft-1 () Dan xT-1 (), Terus bekerja mundur dengan cara ini sampai semua f2 () dan x2 ()

TABEL 8Contoh menyamaratakan masalah alokasi sumber dayaInterpertasi rt (xt)Interpertasi gt (xt)Interpertasi w

Manfaat dari menempatkan xt item tipe t dalam ranselBerat dari xt item tipe tBerat maksimum yang dapat ditampung ransel

Kelas yang diperoleh dalam kursus t, jika kita belajar kursus t untuk xt jam per mingguWaktu (jam) per minggu xt yang dihabiskan untuk belajar kursus tTotal waktu belajar (jam) setiap minggu

Penjualan produk di wilayah t jika xt tenaga penjualan wilayahBiaya untuk menugaskan tenaga penjualan wilayahTotal anggaran tenaga penjualan

Jumlah alarm kebakaran per minggu yang terespon dalam waktu satu menit jika seksi t menugaskan xt mesinBiaya mingguan perawatan xt pemadam kebakaran pada seksi tTotal anggaran mingguan untuk perawatan mesin pemadam kebakaran

telah ditentukan. Untuk mengangkat hal ini , kita sekarang menghitung f1 ( w ) dan x1 ( w ). Kemudian kita menerapkan kegiatan 1 pada level x1 (w). Pada titik ini , kita memiliki w g1 [ x1(w)] unit sumber daya yang tersedia untuk kegiatan 2 , 3 , ... , T . Kemudian aktivitas 2 harus dilaksanakan pada level x2 {wg1 [x1(w)]} . Kami terus melanjutkan model ini sampai kita telah menentukan level di mana semua kegiatan harus dilaksanakan.

Solusi Masalah Knapsack oleh Dynamic Programming

Kami menggambarkan penggunaan (7) dengan memecahkan masalah ransel sederhana (lihat Bagian 9.5). Kemudian kami mengembangkan rekursi alternatif yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah knapsackContoh 6 KnapsackMisalkan ransel 10 - lb yang akan diisi dengan item yang tercantum dalam Tabel 9. Untuk memaksimalkan jumlah keuntungan , bagaimana seharusnya ransel diisi ? Solusi Kami memiliki r1 ( x1 ) 11x1 , r2 ( x2 ) 7x2 , r3 ( x3 ) 12x3 , g1 ( x1 ) 4x1 , g2 ( x2 ) 3x2 , dan g3 ( x3 ) 5x3 . Tentukan ft ( d ) menjadi manfaat maksimum yang dapat diperoleh dari ransel d - pon yang penuh dengan barang-barang dari Jenis t , t 1 , . . . , 3 .

Perhitungan tingkat 3Hasil (7)Table 9Berat dan keuntungan untuk KnapsackNomer Berat (lb)Keuntungan

1411

237

3512

di mana 5x3 d dan x3 adalah bilangan bulat positif. HasilnyaPerhitungan tingkat 2Hasil (7)Dimana x2 harus memenuhi bilangan bulat positive 3x2 d. maka didapatkanSehingga, f2(10) = 24 dan x2(10) = 0.Sehingga, f2(9) = 21 dan x2(9) = 3.Sehingga, f2(8) = 19 dan x2(8) = 1.Sehingga, f2(7) = 14 dan x2(7) = 2.Sehingga, f2(6) = 14 dan x2(6) = 2.Sehingga, f2(5) = 12 dan x2(5) = 0.Sehingga, f2(4) = 7 dan x2(4) = 1.Sehingga, f2(3) = 7 dan x2(3) = 1.Sehingga, f2(2) = 0 dan x2(2) = 0.Sehingga, f2(1) = 0 dan x2(1) = 0.Sehingga, f2(1) = 0 dan x2(1) = 0.

Perhitungan tingkat 1Akhirnya, kita menentukan f1 (10) dari

Penentuan Solusi Optimal untuk Masalah knapsackKami telah f1 (10)= 25 dan x1 (10)= 1. Oleh karena itu, kita harus menyertakan satu tipe 1 item dalam ransel. Lalu kami memiliki 10- 4 = 6 tersisa untuk Tipe 2 dan Tipe 3 item, jadi kami harus mencakup x2 (6)= 2 Tipe 2 item. Akhirnya, kami memiliki 6- 2 (3)= 0 berangkat Tipe 3 item, dan kami menyertakan x3 (0)= 0 Jenis 3 item. Singkatnya, manfaat maksimum yang dapat diperoleh dari ransel 10-lb adalah f3 (10)= 25. Untuk mendapatkan manfaat dari 25, satu tipe 1 dan tipe 2 dua item harus dimasukkan.

NETWORK REPRESENTATION OF KNAPSACK PROBLEMMenemukan solusi optimal untuk contoh 6 setara dengan menemukan jalan terpanjang dalam gambar 7 dari node (10, 1) ke beberapa tahap 4 node. Dalam gambar 7, untuk t 3, node (d, t) mewakili situasi di mana d pounds ruang mungkin dialokasikan ke jenis item t, t +1,..., 3. Node (d, 4) mewakili d pounds ruang yang tidak terpakai. Setiap busur dari tahap node t ke node t + 1 mewakili keputusan berapa banyak jenis t diletakkan di kapsnack. Sebagai contoh, busur dari (10, 1) ke (6, 2) mewakili menempatkan satu tipe 1 item di ransel. Hal ini membuat 10 4 6 lb untuk item dari jenis 2 dan 3. Busur ini memiliki panjang 11, mewakili manfaat yang diperoleh dengan menempatkan satu tipe 1 item di kapsnack. Solusi kami untuk contoh 6 menunjukkan bahwa jalan terpanjang dalam gambar 7 dari node (10, 1) ke sebuah node tahap 4 (10, 1)-(6, 2)-(0, 3)-(0, 4). Kita perhatikan bahwa solusi optimal untuk masalah kapsnack tidak selalu menggunakan semua berat tersedia. Sebagai contoh, pembaca harus memverifikasi bahwa jika item tipe 1 yang diperoleh 16 unit manfaat, solusi optimal akan mencakup dua tipe 1 item sesuai dengan jalan (10, 1) (2, 2)-(2, 3) (2, 4). Solusi ini 2 lb ruang yang tidak terpakai.

ALTERNATIF RECURSION UNTUK MASALAH KNAPSACK Pendekatan-pendekatan lain yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah Kapsnack adalah dynamic programing. Pendekatan yang sekarang kita bahas untuk membangun optimal Kapsnack adalah dengan terlebih dahulu menentukan bagaimana untuk mengisi Kapsnack kecil secara optimal dan kemudian, dengan menggunakan informasi ini, bagaimana untuk mengisi kapsnack besar secara optimal. Kita mendefinisikan g(w) menjadi benefit maksimal yang dapat diperoleh dari kapsnack w-lb. Sehingga, bj adalah manfaat yang diperoleh dari satu jenis j item, dan wj adalah berat j item jenis tunggal. Jelas, g(0) = 0, dan untuk w > 0,

dimana j harus menjadi anggota {1, 2, 3}, dan j harus memenuhi wj w. Alasan di balik (8) adalah sebagai berikut: untuk mengisi w-lb kapsnack secara optimal, kita harus mulai dengan meletakkan beberapa jenis item ke dalam kapsnack.. Jika kita mulai dengan meletakkan sebuah tipe j item ke dalam ransel w-lb, hal terbaik yang dapat kita lakukan adalah mendapatkan bj + [terbaik yang dapat kita lakukan dari (wj-w)-lb kapsnack]. Setelah mencatat bahwa item j tipe yang dapat ditempatkan dalam w-lb kapsnack hanya jika wj w, kita memperoleh (8). Kita mendefinisikan x(w) untuk setiap jenis item yang mencapai maksimum (8) dan x(w) = 0 berarti bahwa item tersebut tidak bisa masuk ke dalam kapsnack w-lb.Untuk menggambarkan penggunaan (8), kita kembali memecahkan contoh 6. Karena item tersebut tidak dapat disimpan dalam 0-, 1-, atau 2-lb kapsnack, kami memiliki g(0)= g(1)= g(2)= 0 dan x(0)= x(1)= x(2)= 0. Hanya 2 jenis item yang cocok dalam 3-lb kapsnack, jadi kita memiliki yang g(3)=7 dan x(3)= 2. Selanjutnya, kita menemukan bahwa :

Dengan demikian, g(10)=25 dan x(10)=1 atau x(10)=2. Untuk mengisi secara optimal, kita mulai dengan meletakkan x(10) item di kapsnack. Secara acak kita pilih item tipe 1. Hal ini membuat kita dengan 10-4=6 lb untuk mengisi, sehingga kita sekarang mengisi x(10 - 4) = 2 (tipe 2) item dalam kapsnack. Hal ini membuat kita dengan 6-3 = 3 lb untuk mengisi, yang kita lakukan dengan x(6-3) 2 (tipe 2). Sehingga, kita bisa mencapai benefit maksimal dari g(10) = 25 dengan mengisi kapsnack dengan dua 2 item tipe dan satu 1 item tipe.

Sebuah Turnpike TeoremaUntuk masalah ransel, biarkan Cj = manfaat yang diperoleh dari setiap jenis item j Wj = Berat masing-masing jenis jenis item jDalam hal manfaat per satuan berat, item terbaik adalah item dengan nilai terbesar dari Asumsikan ada n jenis barang yang telah dipesan, sehingga Dengan demikian, tipe 1 item adalah yang terbaik, Tipe 2 item yang terbaik kedua, dan seterusnya. ingat dariBagian 9.5 bahwa adalah mungkin untuk solusi optimal untuk masalah ransel untuk menggunakan nonedari item yang terbaik. Sebagai contoh, solusi optimal untuk masalah ransel

adalah z = 44, x2 = 2, x1 = x3 = x4 = 0, dan solusi ini tidak menggunakan salah satu yang terbaik (Type1) item. asumsikan bahwa

Dengan demikian, ada jenis item unik yang terbaik. Hal ini dapat menunjukkan bahwa untuk beberapa nomor w *, itu adalah optimal menggunakan setidaknya satu tipe 1 item jika ransel diperbolehkan untuk memegang w pound, di mana w w *. Pada Soal 6 pada akhir bagian ini, Anda akan menunjukkan bahwa hasil ini berlaku untuk

Dengan demikian, untuk masalah ransel

setidaknya satu tipe 1 item akan digunakan jika

Hasil ini dapat sangat mengurangi perhitungan yang diperlukan untuk memecahkan masalah ransel. Untuk Misalnya, anggaplah bahwa w = 4.000. Kita tahu bahwa untuk w 280, solusi optimal akanmenggunakan setidaknya satu tipe 1 item, sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa cara optimal untuk mengisi 4.000-lb ransel akan terdiri dari satu tipe 1 item ditambah cara optimal untuk mengisi ransel dari 4.000 5 = 3.995 Mengulangi alasan ini menunjukkan bahwa cara optimal untuk mengisi4.000-lb ransel akan terdiri dari Jenis 1 item ditambah cara optimal untuk mengisi ransel dari 280 lb penalaran ini secara substansial mengurangi perhitungan yang diperlukan untukmenentukan bagaimana untuk mengisi ransel 4.000-lb. (Sebenarnya, ransel 280-lb akan menggunakan setidaknya salah satu tipe 1 item, jadi kami tahu bahwa untuk mengisi ransel 4.000-lb optimal, kita dapat menggunakan 745 dan kemudian item 1 secara optimal mengisi ransel 275-lb.) Mengapa hasil ini disebut sebagai teorema jalan tol? Pikirkan tentang mengambil mobil Perjalanan di mana tujuan kami adalah untuk meminimalkan waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan perjalanan. Untuk panjang cukup perjalanan, mungkin menguntungkan untuk pergi sedikit keluar dari cara kami sehingga sebagian besar perjalanan akan dihabiskan pada jalan tol, di mana kita dapat melakukan perjalanan dengan kecepatan terbesar. Untuk perjalanan singkat,hal itu mungkin tidak bernilai saat kami pergi keluar dari cara kami untuk mendapatkan di jalan tol.Demikian pula, dalam (besar-berat) masalah ransel panjang, selalu optimal untuk menggunakan beberapa barang-barang terbaik, tapi ini tidak mungkin terjadi dalam masalah ransel singkat. hasil Turnpike berlimpah dalam literatur pemrograman dinamis [lihat Morton (1979)].

P R O B L E M S

Grup A1 JR Carrington memiliki $ 4 juta untuk berinvestasi di tiga lokasi sumur minyak. Jumlah pendapatan yang diperoleh dari situs i (i? 1, 2, 3) tergantung pada jumlah uang yang diinvestasikan di situs saya (lihat Tabel 10). Dengan asumsi bahwa jumlah yang diinvestasikan dalam sebuah situs harus tepat beberapa $ 1 juta, menggunakan pemrograman dinamis untuk menentukan kebijakan investasi yang akan memaksimalkan pendapatan JR akan peroleh dari tiga sumur minyak itu.

2 Gunakan salah satu pendekatan yang diuraikan dalam bagian ini untuk mengatasi masalah ransel berikut:max z = 5x1+ 4x2+ 2x3s.t. 4x1+ 3x2+ 2x3 8x1, x2, x3 0; x1, x2, x3 bilangan bulat

3 Masalah ransel Soal 2 dapat dilihat sebagai menemukan rute terpanjang di jaringan tertentu.a Menggambar jaringan sesuai dengan rekursi berasal dari (7).b Menggambar jaringan sesuai dengan rekursi berasal dari (8).

4 Jumlah kejahatan di masing-masing tiga polisi daerah sekitar kota tergantung pada jumlah mobil patroli ditugaskan untuk setiap polisi (lihat Tabel 11). Lima mobil patroli yang tersedia. Gunakan pemrograman dinamis untuk menentukan berapa banyak mobil patroli harus ditugaskan untuk setiap kantor polisi.

5 Gunakan pemrograman dinamis untuk memecahkan masalah knapsack di mana knapsack dapat menyimpan hingga 13 (lihat Tabel 12).grup B6 Pertimbangkan masalah knapsack dimana

Menunjukkan bahwa jika knapsack dapat terus w pound, dan w w *, di manaW* = maka solusi optimal untuk masalah ransel harus menggunakan setidaknya satu tipe 1 item.