TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace...
Transcript of TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace...
![Page 1: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/1.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Теорија електричних кола
Дејан Тошић
∫∞
−
−
=0
de)()( ttusU ts
∫∞+
∞−π
=j
j
de)(2j
1)(
c
c
ts ssUtu
Користите само
материјале које
вам достави и
препоручи
предметни
наставник у
текућој школској
години.
![Page 2: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/2.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Лапласова трансформација
као алат за одређивање одзива
временски непроменљивих
линеарних електричних кола
∫∞
−
−
=0
de)()( ttusU ts
![Page 3: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/3.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Циљ, покретач (мотив), замисао (идеја)
• Одредити одзив на почетну енергију ипобуду – одредити потпун одзив
• Решавање диференцијалних једначиназаменити решавањем алгебарских
• Пронаћи једнозначно и линеарнопреобликовање (трансформацију) којеизвод пресликава у множење константом
![Page 4: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/4.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Примена
• Теорија интегро-диференцијалних једначина• Теорија линеарних оператора• Решавање практичних проблема у физици итехници (инжењерству)
• Решавање обичних диференцијалнихједначина, парцијалних диференцијалнихједначина, интегралних једначина
• Решавање система алгебарско-диференцијалних једначина
Initial value problems
![Page 5: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/5.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Операторски метод
Проблем:одређивање одзива
електричног кола
Систем једначина
(математички модел) проблема
Решење
једначина
Резултат
(одзив)
Трансформисане
једначине
Решење
трансформисаних
једначина
Трансформација Инверзна трансформација
![Page 6: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/6.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Лапласова трансформација
∫∞
−
−
=0
de)()( ttusU ts
)()()( ttwtu ϑ=
))((LT)(
))(LT()(1 sUtu
tusU−=
=
w(t) је елементарна функцијакао што су полиноми, експоненцијална функција, синусна функција, иликосинусна функције
∫∞+
∞−π
=j
j
de)(2j
1)(
c
c
ts ssUtu
c је најмања вредност за којутрансформација постоји
)R,(,j ∈ωσω+σ=s
![Page 7: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/7.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Лапласов трансформат, оригинал
• Функција времена u(t) је тренутна вредност(оригинал, напон/струја)
• Комплексна функција U(s) је Лапласовтрансформат (слика, комплексан напон/струја, комплексан представник, трансформат)
• LT(u(t)) је директна Лапласова трансформација• LT-1(U(s)) је инверзна Лапласоватрансформација
• s је Лапласова променљива (компл. фреквенц.)• u(t) и U(s) су Лапласов трансформациони пар
Трансформација коју смо дефинисали је унилатерална Лапласова трансформација.
![Page 8: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/8.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Кључна cвојства Лапласове транс.
• Једнозначност. Ако су два оригинала једнака, једнаке су и њихове слике, и обрнуто
• Линеарност. Трансформација збира сепресликава у збир трансформација и константасе може изнети пред оператор трансформације
• Претварање извода. Извод у времену сепресликава у множење константом
• Доња граница је нула-минус да би сеобухватили дисконтинуитети оригинала у нули
Диракови делта-импулси су примеридисконтинуитета оригинала u(t)
![Page 9: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/9.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Кључна својства LT
)()()()( 2121 sUsUtutu =⇔=
)()())()(LT( 2121 sUbsUatubtua +=+
)0()()d
)(dLT( −−= usUs
t
tu
))(LT()(
))(LT()(
))(LT()(
22
11
tusU
tusU
tusU
==
=
const, =ba
![Page 10: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/10.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Постојање (егзистенција) LTНесвојствени интеграл постоји ако је реална функција реалног аргумента, u(t), део по део глатка функција у области интеграције и ако је ctKtu e)( ≤Лапласов интеграл конвергира у комплексној полуравни Re(s) > cкоја се назива област конвергенције (ROC, region of convergence).
Лапласов трансформат је аналитичка функција са својствима:
0)(lim)Re(
=∞→
sUs
потребан услов да U(s) буде трансформат
ksUs
ss
=∞→
→)(lim
)(0
ако оригинал u(t) има коначну границу ktu
tt
=→
∞→)(lim
)0(
R
0
∈>
c
K
![Page 11: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/11.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
t-домен, s-домен
• t-домен је област дефинисаности оригиналаu(t) (тренутне вредности)
• s-домен је област дефинисаности слике U(s)(Лапласовог трансформата)
• Тумачењем Лапласове променљиве, s, каокомплексне фреквенције, каже се даЛапласовом трансформацијом, LT, функцијуu(t) из временског домена пресликавамо удомен комплексне фреквенције, у функц. U(s)
![Page 12: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/12.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Основни парови LT
Елементарне функције времена у табели треба помножити са Хевисајдовом функцијом υ(t).
![Page 13: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/13.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Изабрани парови LT (1)
Елементарне функције времена у табели треба помножити са Хевисајдовом функцијом υ(t).
![Page 14: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/14.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Изабрани парови LT (2)
Елементарне функције времена у табели треба помножити са Хевисајдовом функцијом υ(t).
![Page 15: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/15.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Лапласова трансформација
функција задатих по интервалима
sUsU
Ts−−= e1)(g
Ts
TsUsU
Ts
2g)1(e1
)(+−=
−
![Page 16: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/16.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Инверзна Л. трансформација
• Радићемо само са функцијама временачији су Лапласови трансформатирационалне функције по s
• Инверзну Лапласову трансформацијућемо тражити растављањем рационалнефункције на делимичне разломке
• Користићемо својства и таблицу пароваЛапласове трансформације
![Page 17: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/17.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Почетни тренутак у LT
• Почетни тренутак електричног кола, којерешавамо Лапласовом трансформацијом, је нула
• Природне почетне услове (почетненапоне кондензатора и почетне струје
калемова) електричног кола, којерешавамо Лапласовом трансформацијом, задајемо у тренутку нула-минус
00 =t
−0t
![Page 18: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/18.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Одређивање одзива
• Обележе се чворови, приступи, напони и струјеприступа: усвоје се упоредни смерови и постави сесистем једначина кола
• Почетни тренутак је нула, а природни почетни условисе задају у тренутку нула-минус
• Трансформација (директна унилатерална Лапласоватрансформација) се примени на леву и десну странусваке једначине
• Одреди се комплексан одзив (Лапласов трансформат)• Одреди се одзив (тренутна вредност) из комплексногодзива инверзном унилатералном Лапласовомтрансформацијом
![Page 19: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/19.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Пример решавања кола LT
L C
����
����
p1 p2
0I 0U
00 =t021 =+ ii
021 =− uu
t
iLu
d
d 11 =
t
uCi
d
d 22 =
001 )( Iti =−
002 )( Utu =−
![Page 20: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/20.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Примена једнозначности LT
021 =+ ii
021 =− uu
t
iLu
d
d 11 =
t
uCi
d
d 22 =
0)LT( 21 =+ ii
0)LT( 21 =− uu
)d
dLT()LT( 1
1 t
iLu =
)d
dLT()LT( 2
2 t
uCi =
LT
![Page 21: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/21.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Примена линеарности LT
0)LT( 21 =+ ii
0)LT( 21 =− uu
)d
dLT()LT( 1
1 t
iLu =
)d
dLT()LT( 2
2 t
uCi =
0)LT()LT( 21 =+ ii
0)LT()LT( 21 =− uu
)d
dLT()LT( 1
1 t
iLu =
)d
dLT()LT( 2
2 t
uCi =
![Page 22: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/22.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Примена својства извода LT
0)()( 21 =+ sIsI
0)()( 21 =− sUsU
))(()( 011 IsIsLsU −=
))(()( 022 UsUsCsI −=
0)LT()LT( 21 =+ ii
0)LT()LT( 21 =− uu
)d
dLT()LT( 1
1 t
iLu =
)d
dLT()LT( 2
2 t
uCi =
![Page 23: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/23.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Комплексан одзив LT
![Page 24: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/24.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Одзив: струја калема
))((LT)( 11
1 sIti −=
L C
����
����
p1 p2
0I 0U
![Page 25: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/25.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Појединости одређивања одзива
)1
)((LT))((LT)(
2001
11
1+
+== −−
sCL
UIsLCsIti
)1
(LT)1
(LT)11
(LT)(2
012
012
02
011
++
+=
++
+= −−−
sCL
CU
sCL
IsCL
sCL
CU
sCL
IsCLti
)1
1
(LT)1
(LT)(2
2
102
2
101
+
+
+
= −−
CLs
CLL
CU
CLs
sIti
)1
sin()1
cos()( 001 tCLL
CUt
CLIti += 0>t
![Page 26: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/26.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Корист и добит у примени
• Не решава се систем алгебарско-диференцијалних једначина већсистем алгебарских једначина
• Довољни су природни почетни услови и нема прерачунавањапочетних услова у нула-плус и одређивања изведених почетнихуслова
• Неконзистентност почетних услова (нерегуларна комутација) сеузима у обзир аутоматски
• Подесно за одређивање импулсног одзива, на пимер, кодпримене конволуционог интеграла
• Подесно за одређивање одскочног одзива
• Подесно за одређивање одзива на почетну енергију (одзива напочетне услове, одзива на акумулисану енергију, одзива насакупљену енергију, одзива на нагомилану енергију)
• Добија се потпун одзив (комплетан одзив)
![Page 27: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/27.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Тешкоће и препреке у примени
• Непостојање трансформата побуде
• Непостојање инверзне трансформације
• Сложеност налажења инверзнетрансформације
• Смањена делотворност и учинковитост услучају побуда ограниченог трајања и побуда
које су дефинисане са више аналитичких
израза по интервалима времена
![Page 28: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/28.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Важна својства
Лапласове трансформације
)()()d)()(LT(
0
sGsUtgut
=ττ−τ∫
TssUTtu −=− e)())(LT(
![Page 29: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/29.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Крајње вредности
))((lim)0( sUsus ∞→
+ =
))((lim)(0
sUsus→
=∞
Користити ово својство када је познат трансформат, траже се крајње вредности, а не тражи се одзив или његов график у времену.
![Page 30: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/30.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Померај аргумента (транслација)
TssUTtu −=− e)())(LT(
attuasU −− =+ e)())((LT 1
Користити ово својство за делотворније и учинковитије налажење
директне или инверзне Лапласове трансформације, на пример, када супобуде оиисане са више аналитичких израза по интервалима времена.
![Page 31: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/31.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Конволуција
)()()d)()(LT(
0
sGsUtgut
=ττ−τ∫
Лапласова трансформација пресликава
конволуцију функција времена у
производ Лапласових трансформата
![Page 32: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/32.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Сличност (скалирање)
)(1
))(LT(a
sU
aatu =
)(1
))((LT 1
a
tu
asaU =−
0
R
>∈
a
a
![Page 33: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/33.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Диференцирање у t-домену
)0()())(LT( −−=′ usUstu
)0()0()())(LT( 2 −− ′−−=′′ ususUstu
)0()0(
)0()0()())(LT()1()2(
21)(
−−−−
−−−−
−−
−′−−=nn
nnnn
usu
sususUstu L
![Page 34: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/34.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Диференцирање у s-домену
s
sUtut
d
)(d)1())(LT( −=
n
nnn
s
sUtut
d
)(d)1())(LT( −=
![Page 35: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/35.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Уопштена комплексна
функција
временски непроменљивоглинеарног електричног кола
без почетне енергијеса једним извором
![Page 36: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/36.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Уопштена компл. функц. ел. кола
• Посматрајмо линеарно временски непроменљиво електрично колобез почетне енергије у коме делује само један извор (једаннезависан генератор)
• Сви природни почетни услови у тренутку нула-минус су једнакинули
• Уопштена комплексна функција електричног кола (функцијаел. мреже у Лапласовој трансформацији, функција система) јеоднос трансформата одзива и трансформата побуде
• Ако су побуда и одзив на истом приступу, комплексна функцијасе назива улазна комплексна функција (улазна имитанса)
• Ако су побуда и одзив на различитим приступима, комплекснафункција се назива преносна комплексна функција (трансферфункција, функција преноса у Лапласовој трансформцији)
• У анализи комплексних функција ел. кола Лапласова променљива(комплексна учестаност, s) се посматра у целој комплексној равни
![Page 37: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/37.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Импеданса, адмитанса, трансмитанса, појачање, слабљење• Улазна импеданса
• Улазна адмитанса
• Преносна импеданса (трансимпеданса)• Преносна адмитанса (трансадмитанса)• Трансмитанса напона (напонско појачање, voltage gain,
voltage amplification)• Трансмитанса струје (струјно појачање, current gain,
current amplification)• Функција слабљења (attenuation)• У литератури се дефинише и уопштена комплекснафункција електричног кола као количник дватрансформата одзива
Потпуни назив би био са фразом у области Лапласове трансформације,на пример, Улазна импеданса у области Лапласове трансформације.
![Page 38: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/38.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Примена уопшт. компл. функц.
• Пројектовање електричних филтара• Синтеза електричних мрежа: одређивањеелектричне мреже или кола за задатекомплексне функције
• Анализа осетљивости електричних кола: испитивање промена комплексне функције, фреквенцијских карактеристика и одзива сапроменама параметара електричног кола
• Анализа стабилности електричних кола
![Page 39: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/39.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Импулсни и одскочни одзив
))((LT)( 1 sHtg −=
))(1
(LT)( 1 sHs
tf −=
Импулсни одзив (Гринова функција) је инверзна Лапласоватрансформација одговарајуће трансфер функције*
Одскочни одзив (индициона функција) је инверзна Лапласоватрансформација одговарајуће трансфер функције* подељене са s
Импулсни
одзив се често
обележава са
h(t)
Unit-impulse response
Unit-step response
*прецизније, уопштене комплексне функције електричног кола у области Лапласове трансформације
![Page 40: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/40.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Ред електричног кола и LT
• Ред електричног кола је бројдиференцијалних једначина у системуједначина стања
• То је истовремено и ред диференцијалнеједначине одзива
• Ред електричног кола је ред уопштенекомплексне функције електричног кола уобласти Лапласове трансформације
Ред рационалне функције по Лапласовој променљивој s је степен именитеља.
![Page 41: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/41.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Који је ред ел. кола са слике?Проверити да ли се добија исправан
резултат ако се посматра неки други одзив, осим напона напонског извора када је H = 1.
![Page 42: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/42.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Одзив на побудуm : 1
ug
C
L u
i
)()1
sin()( mg ttCL
Utu ϑ=
![Page 43: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/43.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Који је ред овог ел. кола?
![Page 44: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/44.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Испитајте ред овог ел. кола LT
На пример, одредите Лапласов трансформат струјенапонског извора (комплексну струју извора) ииспитајте његов ред. На колико начина можете да решите овај задатак?
![Page 45: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/45.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Питања (1)
• Шта је Лапласова трансформација и зашто се онакористи?
• Који је мотив увођења Лапласове трансформације?• Која су кључна својства Лапласове трансформације?• Које основне парове Лапласове трансформације знате?• Како се одређује инверзна Лапласова трансформацијарационалне функције?
• Који почетни тренутак кола подразумева Лапласоватрансформација?
• У ком тренутку времена задајемо природне почетнеуслове када коло решавамо Лапласовомтрансформацијом?
![Page 46: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/46.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Питања (2)
• Који је поступак одређивања одзива Лапласовомтрансформацијом?
• Како гласи својство крајње вредности?• Шта је својство помераја аргумента?• У шта се пресликава конволуција Лапласовомтрансформацијом?
• Шта је уопштена комплексна функција електричногкола у области Лапласове трансформације?
• Како гласи веза импулсног одзива (Гринове функције) и трансфер функције?
• Како гласи веза одскочног одзива (индиционефункције) и трансфер функције?
![Page 47: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/47.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Питања (3)
![Page 48: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/48.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Питања (4)
![Page 49: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/49.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Питања (5)
![Page 50: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/50.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Питања (6)
![Page 51: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/51.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Задаци (1)
![Page 52: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/52.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Задаци (2)
![Page 53: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/53.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Задаци (3)
![Page 54: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/54.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Задаци (4)
![Page 55: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/55.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Задаци (5)
![Page 56: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/56.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Задаци (6)
![Page 57: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/57.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Задаци (7)
![Page 58: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/58.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Задаци (8)
![Page 59: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/59.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Задаци (9)
![Page 60: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/60.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Задаци (10)
![Page 61: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/61.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Задаци (11)
![Page 62: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/62.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Pierre-Simon Laplace 1749–1827
Математичар и астроном. Докторирао код Jean d'Alembert. Биоментор за докторат Siméon Denis Poisson. Предавао у ÉcoleMilitaire. Члан Académie des sciences. Титулу маркиза добија
после Рестаурације. Рођен у Beaumont-en-Auge, Француска.
1785 ради наТрансформацији
“Je n'avais pas besoin de cette hypothèse-là.”
![Page 63: TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071116/5ffefb83da5ae4423a12193b/html5/thumbnails/63.jpg)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.
Pierre Simon (Marquis de) Laplace 1749–1827http://www.tour-eiffel.fr/