TEORIJA KONSTRUKCIJA 1 - grf.bg.ac.rs · PDF fileStatika konstrukcija 2. Zbirka zadataka sa...

Teorija konstrukcija 1 1

TEORIJAKONSTRUKCIJA 1-Informacije o predmetu-

školska godina 2014/2015

Prof. Mira Petronijević


TEORIJA KONSTRUKCIJA 12014/2015

FOND ČASOVA: 3+2 (42+28)

PROFESOR dr Mira Petronijević, prof, KABINET 145

dr Marija Nefovska Danilović,doc, KABINET 145

PREDAVANJA ponedeljak 12:15-14h SALA 122 (14 nedelja)

utorak 14:15-16h SALA 122 (7 nedelja)

KONSULTACIJE ponedeljak 14-15h KABINET 145


TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

ASISTENT Marko Radišić KABINET 333

Miroslav Marjanović KABINET 333

Miloš Jočković KABINET 333

VEŽBE ČETVRTAK 8:15-10h SALA 316


USLOV ZA POHAĐANJE NASTAVE

Studenti mogu pohađati nastavu iz TK1 ako su ostvarili potpis iz

predmeta

OTPORNOSTI MATERIJALA 1


TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

Obaveze studenata - prisustvovanje predavanjima

- prisustvovanje vežbama

- overen elaborat

Uslov za potpis– prisustvo na 38/42 časova predavana– prisustvo na 24/28 časova vežbanja– ocena veća od 6 na elaboratu i testovima


Elaborat

Studenti rade ukupno 4 GRAFIČKA RADA i 4 TESTA. Svaki od radova se u zakazanom terminu predaje asistentu na pregled i ocenu. Stečeno znanje se proverava na testu. Ocena na jednom grafičkom radu je jednaka prosečnoj oceni iz zadatka i testa. Ocena na elaboratu je jednaka prosečnoj oceni za sva 4 rada.Ocena na elaboratu se dodaje broju bodova kojestudent ostvari na pismenom ispitu. Ova olakšica važi jednu školsku godinu, tj. do oktobra 2016.


Student se može osloboditi usmenog dela ispita ako položi 2 kolokvijuma (više od 50%poena na svakom). Kolokvijumi se rade prema sledećem rasporedu:

I kolokvijum – IX nedelja nastaveII kolokvijum – kolokvijumska nedelja

Kolokvijum je u vidu testa, koji se sastoji od 25 kombinovanih pitanja (izvođenje, zaokruživanje, dopunjavanje..). Radi se 2 časa. Pogrešni odgovori donose negativne poene.

Oslobađanje od usmenog dela ispita važi jednugodinu (od januara tekuće godine do oktobra naredne godine). Nakon tog roka polaže se ceo ispit.

Oslobađanje usmenogdela ispita


Literatura

• M.Petronijević : Teorija konstrukacija 1, GF, 2013.

• M.Petronijević, M. Nefovska-Danilović,

Statika konstrukcija 2. Zbirka zadataka sa izvodima iz teorije, GF, 2007.

• Web site fakulteta/predmet www.grf.bg.ac.yu


1. UVOD

Teorija konstrukcija

Statika konstrukcija Dinamika konstrukcija


Teorija konstrukcija 1

Statika konstrukcijaOdređivanje sila u presecima i pomeranja

ravnih linijskih nosača


Podela linijskih nosača

Linijski nosači

Ravni Prostorni

RešetkastiPuni


Linijski nosači

Statički određeni Statički neodređeni


prema pristupu

Metode analize linijskih nosača

Metode klasične statike konstrukcija

Matrična analiza konstrukcija


3D nosač - 2D analiza

L

l

l

l

x

yz

vetar uy -pravcu

spreg zaukrućenjeu podužnompravcu

rožnjače

stubovi

rigle

l/2

l/2

l/2

L/2

vetar ux -pravcu


vetar ux - pravcu

z

x

y

z

Gravitaciono opterećenjei vetar u z - pravcu

vetar uy - pravcu

a) Poprečni okvir

b) Podužni okvir

Gravitaciono opterećenjei vetar u z - pravcu


• Definicija štapa

γ

F

n

k

i1

2

Γ

Slika .2.1

2. Linearna teorija štapa

Neka su u ravnima n normalno na liniju ik opisane zatvorene krive γ, koje ograničavaju površi F.Težišta površi F, čije su dimenzije male u odnosu na duž ik, leže na liniji ik. Geometrijsko mesto tačaka svih krivih γ je zatvorena površ Γ.

Telo ograničeno površi Γ i površima F u tačkama i i k nazivamo štapom.


• Prema obliku ose razlikujemo prave i kriveštapove, a prema obliku poprečnog preseka štapovi mogu biti konstantnog i promenljivog poprečnog preseka.

ki

Slika. 2.2

a)

b)


NEPOZNATE:

1. sile u presecima:M, N i T

2. pomeranja i obrtanja: u, v i φ

3. deformacije:ε, κ i φt

Teorija štapa- nepoznate veličine


1. uslovi ravnoteže elementa štapa,

2. veze između pomeranja i deformacije elementa štapa ,

3. veze između sila u presecima i deformacije (Hooke-ov zakon)

Jednačine štapa iz kojih se određuju nepoznate veličine


P1. Pretpostavka o malim pomeranjima(pretpostavka o statičkoj linearnosti)

P2. Pretpostavka o malim deformacijama

(pretpostavka o geometrijskoj linearnosti )

P3. Hookov zakon

(pretpostavka o fizičkoj linearnost )

Osnovne pretpostavke linearne teorije štapa:


2.1 Spoljašnje sile i sile u presecima

2.1.1.Spoljašnje sile


Specifično raspodeljeno opterećenje

Veza između p i


Komponente raspodeljenog opterećenja

_


2.1.2 Unutrašnje sile

- totalni napon = x – normalni napon = xy_ – smičući napon



Konvencija znaka za sile u presecima N, T i M, tj. H, V i M


Umesto komponenata N i T redukciona rezultanta se može razložiti i na komponente H i V paralelne sa osama X- i Y- globalnog koordinatnog sitema. Veza između komponenta N, T i H, V definisana je uglom koji osa štapa zaklapa sa X-osom:

Konvencija znaka za H i V je ista kao i za N i T:


Pretpostavka o malim pomeranjima : Pomeranja su mala u odnosu na dimenzije štapa tako da se u uslovima ravnoteže mogu zanemariti.

Uslove ravnoteže posmatramo na nedeformisanom štapu.

Posledica: Uslovi ravnoteže štapa su linearne jednačine, pa se ta pretpostavka naziva i pretpostavka o statičkoj linearnosti.

0

0

0

t

n

dN p ds

dT p ds

dM Tds

2.1. Uslovi ravnoteže štapa

dsC'

C

pndsptds

X

Y

MN

TM+dM

N+dN

T+dT

(I)


Kada se jednačine (I) podele sa ds dobija se alternativni oblik:

iz koga slede važni zaključci : • prvi izvod normalne sile po koordinati s duž ose štapa

jednak je negativnoj vrednosti opterećenja u pravcu ose štapa, • prvi izvod transverzalne sile jednak je negativnoj vrednosti opterećenja

upravno na osu štapa, • prvi izvod momenta jednak je transverzalnoj sili.


2.2. Veze između pomeranja i deformacije

• Pretpostavlja se da opterećenje štapa leži u ravnima koje su paralelne ravni štapa.

• Pomeranja tačaka štapa odvijaju u ravnima koje su paralelne toj ravni.

• Takva deformacija se naziva ravna deformacija štapa.

• Pomeranja i deformacija u ravni štapa mogu se jednoznačno izraziti preko

pomeranja i deformacije ose štapa.


ik – tetiva štapa pre deformacije, i'k' – tetiva posle deformacije ψik - ugao obrtanja tetive štapa, Δlik – promena dužine tetive

- vektor pomeranja tačke, φ – ugao obrtanja tangente na osu štapa( , )u v

Deformacija ose štapa


Veze između komponenata pomeranja u,v i

Vektor pomeranja tačke na osi

Vektor pomeranja i ugao obrtanja tangente postoje i kada se štap ne deformiše tj. i kada se štap pomera kao kruto telo.


Čisto deformacijske veličine štapa

Čisto deformacijske veličine štapa postoje samo ako se štap deformiše. To su:

• dilatacija

• promena krivine ose štapa

• klizanje poprečnog preseka t

Dilatacija predstavlja promenu dužine ose štapa po jedinici dužine:

Klizanje poprečnog preseka φt predstavlja promenu prvobitno pravog ugla između poprečnog preseka i ose štapa posle deformacije.

Promena krivine jednaka je negativnoj vrednosti promene ugla obrtanja između dva bliska poprečna preseka po jedinici dužine štapa:


Veze između pomeranja i deformacije štapa se izvode geometrijskim razmatranjem. Posmatra se element štapa CC1 pre i posle deformacije.

u+duds

CC1

X

Y

φ

(1+ε)ds

α

φ

v v+dv

uC'

C1

'

dx+du

dy+dv

dx

α dy

Veze između pomeranja i dilatacije ose štapa

(1 ) [cos( )]

(1 ) [sin( )]

dx du ds

dy dv ds

Jednačine su nelinearne jer se u njima javljaju proizvodi pomeranja deforma-cijskih veličina. One se mogu lineari-zovati uvođenjem pretpostavke o malim deformacijama: pomeranja, obrtanja i deformacijske veličine štapa su male veličine, tako da se njihovi kvadrati i viši stepeni, kao i viši stepeni njihovih izvoda mogu zanemariti.


(II1)

(II2)


• Klizanje poprečnog

preseka t

X

Y

φ

O

O'

Tehnička teorija savijanja štapa

Timošenkov štap

φt

osa štapa

v

v(y)

u

u(y)

C'(y)

C'

φ-φt

φ

yC

C(y)

Klizanje poprečnog preseka t


Promena krivine

X

Y

φ

C1

ds

C1yCy

Cy

φ( )1 td

ds

(1+ε)ds

O'

O''

ρ''dφ

d(φ-φt)

φt

φt+dφt

y

φ-φt

ρ'

(1+εy )ds

(II3)

C'1

C'

C‘1y

C1y


Iz sličnosti trouglova: O'C'C'1 i O''C'yC'1y primenom sinusne teoreme dobija

se veza između dilatacije ekvidistantnog elementa (y) (elementa na rastojanju y

od ose štapa) i dilatacije ose štapa :


Jednačine veze između pomeranja u,v, i deformacije , i t su linearne zahvaljujući pretpostavci o malim pomeranjima. Kako su one dobijene geometrijskim razmatranjem, pretpostavka se zbog toga zove i pretpostavka o geometrijskoj linearnosti.

t

du dx dy

dv dy dx

d

ds

(II)

Drugu grupu jednačina, čine tri jednačine veze između pomeranja u, v, i deformacije , i t :


2.3 Veze sila i deformacije

Veze između sila u preseku, temperature i deformacijskih veličina štapa izvodimo pretpostavljajući da važi Hukov (Hooke) zakon i da je raspodela temperaturne promene po visini preseka linearna.

Hukov (Hooke) zakon: Napon je proporcionalan deformaciji.

Na rastojanju y od ose štapa dilatacija ε(y) i smicanje (y) su proporcionalni odgovarajućim naponima


Raspodela temperaturne promene po visini preseka je linearna:

y

O x

to

tu

to

ht(y)

t

Kada se u prethodnu jednačinu unese izraz za dilataciju (y) ekvidistantnog elementa i izraz za temperaturnu promenu t(y) dobija se da je da je normalni napon σ(y) jednak:

ot t

ty E t E y

h


F F

N dF M ydF

Kada u izraze za veze između napona i presečnih sila

unesemo dobijeni iraz za napon, i kada uzmemo u obzir da je:

2 , 0 , , F F F

dF = F ydF = y dF = I dobija se da je:

gde je F površina, a I momenat inercije poprečnog preseka.

tj.

(III1)

(III2)


Veza između klizanja φt i transverzalne sile T dobija se iz jednačine veze između smičućeg napona i deformacije (y)=τ(y)/G, u kojoj je smičući napon τ(y) zamenjen izrazom za napon koji važi u Tehničkoj teoriji savijanja grede, a sledi direktno iz hipoteze Žuravskog:

U jednačini T je transverzalna sila, S(y) je statički moment dela preseka ispod ili iznad prave y=const u odnosu na težište preseka, I je moment inercije poprečnog preseka, a b(y) je širina poprečnog preseka na mestu y=const.

Na taj način se dobija:


Raspodela -napona, smicanja i klizanja poprečnog preseka t.Ako stvarnu raspodelu smicanja zamenimo konstantnom raspodelom, onda je element štapa izložen deformaciji prikazanoj na slici d. Pri toj deformaciji poprečni preseci ostaju ravni i relativno smaknuti na kraju elementa dužine ds za veličinu φtds. Veličina φt je promena ugla između poprečnog preseka i ose štapa.

a) b) c) d)


Ugao φt određujemo iz uslova da je rad napona smicanja (y) na posmatranom elementu štapa dužine ds pri pretpostavljenoj raspodeli smicanja jednak radu tih napona pri stvarnoj raspodeli smicanja (y).Rad napona smicanja pri stvarnoj raspodeli deformacije smicanja na elementu štapa dužine ds je jednak:


(III3)


Jednačine veze između sila u preseku, temperature i deformacijskih veličina štapa (III) su linearne zahvaljujući pretpostavci da važi Hukov zakon. Zato se ta pretpostavka naziva i pretpostavka o fizičkoj linearnosti.

ot

Nt

EF

t

M t

EI h

t

Tk

GF

(III)


Jednačine štapa:

Jednačine: 6 diferencijalnih (I i II) i 3 algebarske (III)

0

0

0

t

n

dN p ds

dT p ds

dM Tds

(I)

t

du dx dy

dv dy dx

d

ds

(II) t

M t

EI h

ot

Nt

EF

t

Tk

GF

(III)


Nepoznate veličine štapa:

Nepoznate:• sile u presecima: M, N i T• pomeranja i obrtanja ose: u, v i φ• deformacije: ε, κ i φt

Ukupan broj nepoznatih je 9

.

Ako iz jednačina (III) ε, κ i φt iskažemo u funkciji od M,N i T i zamenimo u jednačine (II) dobija se sistem od 6 dif. jednačina sa 6 nepoznatih.


– 6 nepoznatih veličina: M, N, T, u, v i φ

– 6 diferencijalnih jednačina I i II

Sistem je moguće rešiti ako znamo još i 6 integracionih konstanti – 6 graničnih uslova štapa.

Nepoznate i jednačine štapa:


Ni

Mi

Ti

Mk

Tk

Nk

granični uslovi po silama granični uslovi po pomeranjima

Granični uslovi štapa

Mogući granični uslovi: max3 po silama, min 3 po pomeranjima

i k

φi

vi vk

uiuk

φk


• Ako su 3 granična uslova štapa zadata po silama i 3 po pomeranjima, sistem od 6 jednačina se raspada na dva nezavisna sistema jednačina: 3 jednačine po silama i 3 jednačine po pomeranjima. Po silama problem postaje statički određen.



• U linearnoj teoriji štapa, zahvaljujući uvedenim pretpostavkama, rešenje diferencijalnih jednačina štapa je jednoznačno. Praktično, to znači da istorija opterećenja i deformacije nema značaja za određivanje uticaja. Zbog toga u linearnoj teoriji važi princip superpozicije uticaja, koji glasi:

Ako na štap deluje više različitih opterećenja P1, P2,… Pn, uticaj Z u štapu usled istovremenog dejstva svih opterećenja P=P1+P2+…+ Pn može se dobiti superpozicijom uticaja Z1, Z2,… Zn, nastalih usled pojedinačnog delovanja svakog od navedenih opterećenja:

TEORIJA KONSTRUKCIJA 1 - grf.bg.ac.rs · PDF fileStatika konstrukcija 2. Zbirka zadataka sa...

Documents

Transcript of TEORIJA KONSTRUKCIJA 1 - grf.bg.ac.rs · PDF fileStatika konstrukcija 2. Zbirka zadataka sa...