TEORIJA IZ -...
Transcript of TEORIJA IZ -...
Nastavna cjelina: 6. Sukladnost i sličnost Nastavne jedinice:
-SUKLADNOST DUŽIN I KUTOVA -SUKLADNOST TROKUTA
-SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKUTA - ČETIRI KARAKTERISTIČNE TOČKE TROKUTA
- PROPORCIONALNOST DUŽINA. TALESOV TEOREM -SLIČNOST TROKUTA
Razred:I sukladnost_i_slicnost doc.
TEORIJA
IZ
SUKLADNOST DUŽINA I KUTOVA
SUKLADNOST TROKUTA
SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA
TROKUTA
ČETIRI KARAKTERISTIČNE TOČKE TROKUTA PROPORCIONALNOST DUŽINA
SLIČNOST TROKUTA
Nastavna cjelina: 6. Sukladnost i sličnost Nastavne jedinice:
-SUKLADNOST DUŽIN I KUTOVA -SUKLADNOST TROKUTA
-SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKUTA - ČETIRI KARAKTERISTIČNE TOČKE TROKUTA
- PROPORCIONALNOST DUŽINA. TALESOV TEOREM -SLIČNOST TROKUTA
Razred:I sukladnost_i_slicnost doc.
6.1. SUKLADNOST DUŽINA I KUTOVA
6.1.1 Sukladnost dužina
6.1.2 Sukladnost kutova
6.2. SUKLADNOST TROKUTA
6.2.1 Općenito o sukladnosti trokuta
6.2.2 Prva konstrukcija S-S-S
6.2.3 Druga konstrukcija S-K-S
6.2.4 Treća konstrukcija K-S-K
6.2.5 Četvrta konstrukcija S-S-K
6.3. SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKUTA
6.3.1 Simetrala dužine
6.3.1.1 Konstrukcija simetrale dužine 6.3.1.2 Okomica na zadani pravac iz zadane točke
6.3.2 Simetrala kuta
6.3.2.1 Konstrukcija simetrale kuta
6.3.3 Svojstva srednjice trokuta
6.4. ČETIRI KARAKTERISTIČNE TOČKE TROKUTA
6.4.1 Središte opisane kružnice
6.4.2 Središte upisane kružnice
6.4.3 Ortocentar
6.4.4 Težište trokuta
6.4.5 Heronova formula za površinu trokuta
Nastavna cjelina: 6. Sukladnost i sličnost Nastavne jedinice:
-SUKLADNOST DUŽIN I KUTOVA -SUKLADNOST TROKUTA
-SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKUTA - ČETIRI KARAKTERISTIČNE TOČKE TROKUTA
- PROPORCIONALNOST DUŽINA. TALESOV TEOREM -SLIČNOST TROKUTA
Razred:I sukladnost_i_slicnost doc.
6.5. PROPORCIONALNOST DUŽINA. TALESOV TEOREM
6.5.1 Omjeri i razmjeri
6.5.2 Dijeljenje dužine u zadanom omjeru
6.5.3 Talesov teorem
6.6. SLIČNOST TROKUTA
6.6.1 Općenito o sličnosti trokuta
6.6.2 Kriterij za sličnost trokuta
6.6.3 Opsezi i površine sličnih trokuta
6.6.4 Euklidov poučak
Nastavna cjelina: 6. Sukladnost i sličnost Nastavne jedinice:
-SUKLADNOST DUŽIN I KUTOVA -SUKLADNOST TROKUTA
-SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKUTA - ČETIRI KARAKTERISTIČNE TOČKE TROKUTA
- PROPORCIONALNOST DUŽINA. TALESOV TEOREM -SLIČNOST TROKUTA
Razred:I sukladnost_i_slicnost doc.
6.1. SUKLADNOST DUŽINA I KUTOVA
6.1.1 Sukladnost dužina
Dvije dužine i su sukladne ako su jednake
duljine
jednakostraničan trokut - sukladne sve stranice
a a
a
sukladne - suprotne stranice paralelograma
b b
a
a
Nastavna cjelina: 6. Sukladnost i sličnost Nastavne jedinice:
-SUKLADNOST DUŽIN I KUTOVA -SUKLADNOST TROKUTA
-SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKUTA - ČETIRI KARAKTERISTIČNE TOČKE TROKUTA
- PROPORCIONALNOST DUŽINA. TALESOV TEOREM -SLIČNOST TROKUTA
Razred:I sukladnost_i_slicnost doc.
jednakokračan trapez - sukladni kraci
c
bb
a
6.1.2 Sukladnost kutova
Dva su kuta sukladna ako imaju istu mjeru.
Mjera kuta izražava se:
stupnjevima
radijanima (mjera kuta u radijanima je
duljina pripadajućeg luka jedinične
kružnice sa središtem u vrhu kuta).
uni kut se dijeli na 36 jednakih dijelova a svaki od tih dijelova
iznosi 1 jedan stupanj . Stupanj se dijeli na minute 1 6 i sekunde
1 6 .
uni kut ima mjeru 36 , ispruženi kut 18 pravi kut .
Puni kut ima mjeru u radijanima 2π, ispruženi kut π, a pravi kut .
Nastavna cjelina: 6. Sukladnost i sličnost Nastavne jedinice:
-SUKLADNOST DUŽIN I KUTOVA -SUKLADNOST TROKUTA
-SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKUTA - ČETIRI KARAKTERISTIČNE TOČKE TROKUTA
- PROPORCIONALNOST DUŽINA. TALESOV TEOREM -SLIČNOST TROKUTA
Razred:I sukladnost_i_slicnost doc.
jednakostraničan trokut - sukladna dva kuta uz
osnovicu
a a
a
sukladni - suprotni kutovi u paralelogramu
b b
a
a
Nastavna cjelina: 6. Sukladnost i sličnost Nastavne jedinice:
-SUKLADNOST DUŽIN I KUTOVA -SUKLADNOST TROKUTA
-SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKUTA - ČETIRI KARAKTERISTIČNE TOČKE TROKUTA
- PROPORCIONALNOST DUŽINA. TALESOV TEOREM -SLIČNOST TROKUTA
Razred:I sukladnost_i_slicnost doc.
jednakokračan trapez - sukladni kutovi uz osnovicu
c
bb
a
6.1.2.1 Kutovi s paralelnim kracima
Kada su kraci kutova paralelni kutovi su:
sukladni
ili
suplementarni (zbroj mjera kutova jednak je 1 )
sukladni kutovi
Nastavna cjelina: 6. Sukladnost i sličnost Nastavne jedinice:
-SUKLADNOST DUŽIN I KUTOVA -SUKLADNOST TROKUTA
-SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKUTA - ČETIRI KARAKTERISTIČNE TOČKE TROKUTA
- PROPORCIONALNOST DUŽINA. TALESOV TEOREM -SLIČNOST TROKUTA
Razred:I sukladnost_i_slicnost doc.
suplementarni kutovi
6.1.2.2 Poučak o vršnim kutovima
Dva pravca se sijeku i određuju dva para međusobno sukladnih
kutova.
a1
sukladni kutovi
AVB i CVD
BVC i DVA
V
C B
D A
Nastavna cjelina: 6. Sukladnost i sličnost Nastavne jedinice:
-SUKLADNOST DUŽIN I KUTOVA -SUKLADNOST TROKUTA
-SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKUTA - ČETIRI KARAKTERISTIČNE TOČKE TROKUTA
- PROPORCIONALNOST DUŽINA. TALESOV TEOREM -SLIČNOST TROKUTA
Razred:I sukladnost_i_slicnost doc.
6.1.2.3 Poučak o kutovima uz presječnicu (transverzalu)
p i q su paralelni pravci, a pravac t presječnica ili
transverzala) ih siječe. Pravac t (transverzala) s paralelnim
pravcima p i q određuje sukladne kutove.
Možemo li sukladne kutove označiti CAB i DBE ?
EAC EBD
presječnica ili transverzala
q
p
t
C
D
E
B
A
6.1.2.3 Kutovi s okomitim kracima
Kutovi s okomitim kracima su:
sukladni ili
sumplementarni1
1 z roj mjera kutova jednak je 18
Nastavna cjelina: 6. Sukladnost i sličnost Nastavne jedinice:
-SUKLADNOST DUŽIN I KUTOVA -SUKLADNOST TROKUTA
-SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKUTA - ČETIRI KARAKTERISTIČNE TOČKE TROKUTA
- PROPORCIONALNOST DUŽINA. TALESOV TEOREM -SLIČNOST TROKUTA
Razred:I sukladnost_i_slicnost doc.
sukladni kutovi
suplementarni kutovi
6.2. SUKLADNOST TROKUTA
6.2.1 Izometrija ravnine
Izometrija ravnine je preslikavanje koje čuva udaljenost točaka.
Mora biti ispunjen uvjet da su i ilo koje dvije točke u ravnini a i
su slike tih točaka, tada je
Nastavna cjelina: 6. Sukladnost i sličnost Nastavne jedinice:
-SUKLADNOST DUŽIN I KUTOVA -SUKLADNOST TROKUTA
-SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKUTA - ČETIRI KARAKTERISTIČNE TOČKE TROKUTA
- PROPORCIONALNOST DUŽINA. TALESOV TEOREM -SLIČNOST TROKUTA
Razred:I sukladnost_i_slicnost doc.
Sukladnost likova
Kada izometrija preslikava lik na lik tada je lik L sukladan .
Svaka dva kruga jednakog polumjera su sukladna.
Svaka dva kvadrata su sukladna
Sukladnost složenih likova nije uvijek lako utvrditi.
6.2.1.1 Općenito o sukladnosti trokuta
Trokuti su sukladni ako su im odgovarajuće stranice sukladne i odgovarajući kutovi. Oznaka za sukladnost .
oučci ili teoremi o sukladnosti trokuta su minimalno dovoljni za sukladnost trokuta.
6.2.2 Prva konstrukcija S-S-S
S-S-S teorem o sukladnosti: Dva trokuta su sukladna ako su im
sukladne sve tri stranice.
Kako konstruirati trokut kojemu su zadane duljine stranica a, b i c ? Da i konstrukcija ila moguća duljina najdulje stranice mora iti manja od zbroja duljina preostalih dviju (nejednakost trokuta).
Nastavna cjelina: 6. Sukladnost i sličnost Nastavne jedinice:
-SUKLADNOST DUŽIN I KUTOVA -SUKLADNOST TROKUTA
-SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKUTA - ČETIRI KARAKTERISTIČNE TOČKE TROKUTA
- PROPORCIONALNOST DUŽINA. TALESOV TEOREM -SLIČNOST TROKUTA
Razred:I sukladnost_i_slicnost doc.
1. Prenesimo šestarom duljinu odabrane stranice na pravac (proizvoljno nacrtan). 2. Iz ru nih točaka konstruirane stranice zasijecimo kružni luk duljine a i kružni luk duljine . 3. Sjecište kružnih lukova je vrh C.
6.2.3 Druga konstrukcija S-K-S
S-K-S teorem o sukladnosti: Dva trokuta su sukladna ako su im
sukladne dvije stranice i kut među njima.
Kako konstruirati trokut kojemu su zadane duljine dviju stranica b, c i kut α među njima?
1. Prenesimo šestarom duljinu oda rane stranice na pravac
(proizvoljno nacrtan).
2. Uz vrh A konstruirajmo kut α.
3. Na drugom kraku konstruiranog kuta nanosimo stranicu duljine b s
i tako je određen vrh C.
Nastavna cjelina: 6. Sukladnost i sličnost Nastavne jedinice:
-SUKLADNOST DUŽIN I KUTOVA -SUKLADNOST TROKUTA
-SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKUTA - ČETIRI KARAKTERISTIČNE TOČKE TROKUTA
- PROPORCIONALNOST DUŽINA. TALESOV TEOREM -SLIČNOST TROKUTA
Razred:I sukladnost_i_slicnost doc.
6.2.4 Treća konstrukcija K-S-K
K-S-K teorem o sukladnosti: Dva trokuta su sukladna ako su im
sukladne jedna stranica i dva kuta uz tu stranicu.
Kako konstruirati trokut kojemu su zadana duljina stranice c i kutovi α i β uz tu stranicu?
1. Prenesimo šestarom duljinu stranice
2. Uz vrh A konstruirajmo kut α. 3. Uz vrh B konstruirajmo kut β. 4. U točki gdje se sijeku krakovi kutova α i β je vrh C.
Nastavna cjelina: 6. Sukladnost i sličnost Nastavne jedinice:
-SUKLADNOST DUŽIN I KUTOVA -SUKLADNOST TROKUTA
-SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKUTA - ČETIRI KARAKTERISTIČNE TOČKE TROKUTA
- PROPORCIONALNOST DUŽINA. TALESOV TEOREM -SLIČNOST TROKUTA
Razred:I sukladnost_i_slicnost doc.
6.2.5 Četvrta konstrukcija S-S-K
S-S-K teorem o sukladnosti: Dva trokuta su sukladna ako su im
sukladne dvije stranice i kut nasuprot većoj stranici.
Kako konstruirati trokut kojemu su zadane duljine
stranica a i c te kut ?
1. renesimo šestarom duljinu krače stranice
2. Uz vrh C konstruirajmo kut .
3. Iz vrha B nanosimo dulju stranicu.
4. U sjecištu kraka kuta i dulje stranice (nanijeli u vrh B) je vrh A.
Nastavna cjelina: 6. Sukladnost i sličnost Nastavne jedinice:
-SUKLADNOST DUŽIN I KUTOVA -SUKLADNOST TROKUTA
-SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKUTA - ČETIRI KARAKTERISTIČNE TOČKE TROKUTA
- PROPORCIONALNOST DUŽINA. TALESOV TEOREM -SLIČNOST TROKUTA
Razred:I sukladnost_i_slicnost doc.
Nastavna cjelina: 6. Sukladnost i sličnost Nastavne jedinice:
-SUKLADNOST DUŽIN I KUTOVA -SUKLADNOST TROKUTA
-SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKUTA - ČETIRI KARAKTERISTIČNE TOČKE TROKUTA
- PROPORCIONALNOST DUŽINA. TALESOV TEOREM -SLIČNOST TROKUTA
Razred:I sukladnost_i_slicnost doc.
6.3. SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKUTA
6.3.1 Simetrala dužine
Simetrala dužine je pravac okomit na dužinu i prolazi polovištem.
Napomena: U softveru Sketchpad ne može se simetrala nacrtati kao
točka-crta.
B AP = BPmožemo pisati
AP = PB
polovištePA
simetrala dužine
Nastavna cjelina: 6. Sukladnost i sličnost Nastavne jedinice:
-SUKLADNOST DUŽIN I KUTOVA -SUKLADNOST TROKUTA
-SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKUTA - ČETIRI KARAKTERISTIČNE TOČKE TROKUTA
- PROPORCIONALNOST DUŽINA. TALESOV TEOREM -SLIČNOST TROKUTA
Razred:I sukladnost_i_slicnost doc.
Poučak ili teorem o simetrali dužine
Svaka točka simetrale dužine jednako je udaljena od krajnjih točaka
dužine.
Na simetrali dužine uzeli smo ilo koju točku označili je s C i spojili
točku C s krajevima dužine .
Nastavna cjelina: 6. Sukladnost i sličnost Nastavne jedinice:
-SUKLADNOST DUŽIN I KUTOVA -SUKLADNOST TROKUTA
-SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKUTA - ČETIRI KARAKTERISTIČNE TOČKE TROKUTA
- PROPORCIONALNOST DUŽINA. TALESOV TEOREM -SLIČNOST TROKUTA
Razred:I sukladnost_i_slicnost doc.
Grafički dokaz da je točka C jednako udaljena od krajnjih točaka
dužine .
simetrala dužine
proizvoljno odabrana točka na simetrali-bilokoja točka ravnine
AP = BP
APC = BPC = 90
AC = BC
C
A P B
Ta dva kuta su sukuti. Svaki od njih iznosi 90°.
Obrat poučka o simetrali dužine
Neka točka ravnine jednako je udaljena od krajnjih točaka zadane
dužine, onda ta točka uvijek pripada simetrali dužine.
Nastavna cjelina: 6. Sukladnost i sličnost Nastavne jedinice:
-SUKLADNOST DUŽIN I KUTOVA -SUKLADNOST TROKUTA
-SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKUTA - ČETIRI KARAKTERISTIČNE TOČKE TROKUTA
- PROPORCIONALNOST DUŽINA. TALESOV TEOREM -SLIČNOST TROKUTA
Razred:I sukladnost_i_slicnost doc.
6.3.1.1 Konstrukcija simetrale dužine
je zadana dužina.
Opisujemo kružnicu istog polumjera većeg od oko zadanih točaka
i . C i D su sjecišta tih kružnica.
C i D leže na simetrali dužine , pravac CD je simetrala dužine
6.3.1.2 Okomica na zadani pravac iz zadane točke
slika 1 slika 2
Nastavna cjelina: 6. Sukladnost i sličnost Nastavne jedinice:
-SUKLADNOST DUŽIN I KUTOVA -SUKLADNOST TROKUTA
-SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKUTA - ČETIRI KARAKTERISTIČNE TOČKE TROKUTA
- PROPORCIONALNOST DUŽINA. TALESOV TEOREM -SLIČNOST TROKUTA
Razred:I sukladnost_i_slicnost doc.
Zadan je pravac p i točka . Kako konstruirati pravac koji prolazi točkom P i okomit je na zadani?
Iz točke P zasiječemo pravac p u točkama i (slika 1).
Na slici 2 točka je polovište dužine odnosno jedna od točka
simetrale dužine koja leži na pravcu p.
Iz g rnj h a za jučuje da konstrukcija okomice na zadani pravac ne ovisi tome da li je točka na pravcu ili izvan njega.
Kada točka ne leži na pravcu (slika 1) onda smo spustili okomicu iz zadane točke . Kada je točka na pravcu (slika 2) onda smo podigli okomicu u točki .
6.3.2 Simetrala kuta
Pravac koji prolazi vrhom kuta i dijeli kut u dva dijela naziva se simetrala kuta.
Poučak ili teorem o simetrali kuta
Svaka točka leži na simetrali kuta ako i samo ako je jednako udaljena od njegovih krakova.
Točka T leži na simetrali kuta s vrhom u V. N1 i N2 su nožišta okomica koje su spuštene iz točke T.
Nastavna cjelina: 6. Sukladnost i sličnost Nastavne jedinice:
-SUKLADNOST DUŽIN I KUTOVA -SUKLADNOST TROKUTA
-SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKUTA - ČETIRI KARAKTERISTIČNE TOČKE TROKUTA
- PROPORCIONALNOST DUŽINA. TALESOV TEOREM -SLIČNOST TROKUTA
Razred:I sukladnost_i_slicnost doc.
Trokuti ∆ VN1C i ∆ VN2C su sukladni. je zajednička stranica tih
dvaju pravokutnih trokuta.
CVN1 CVN2
to znači da je točka C na simetrali kuta
CVN1 CVN2= 90
CN1 = CN2
oznaka za sukladnost
C
N2
N1V
Obrat poučka o simetrali dužine
Neka točka ravnine jednako je udaljena od krakova danog kuta,
onda ta točka pripada simetrali kuta.
Nastavna cjelina: 6. Sukladnost i sličnost Nastavne jedinice:
-SUKLADNOST DUŽIN I KUTOVA -SUKLADNOST TROKUTA
-SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKUTA - ČETIRI KARAKTERISTIČNE TOČKE TROKUTA
- PROPORCIONALNOST DUŽINA. TALESOV TEOREM -SLIČNOST TROKUTA
Razred:I sukladnost_i_slicnost doc.
6.3.2.1 Konstrukcija simetrale kuta
PVK QVK VPK VQK VK simetrala kuta
V je vrh danog kuta. Oko vrha V opišemo ilo koju kružnicu koja sječe krakove danog kuta u točkama i Q. Oko točaka i Q opišemo
kružnicu istog polumjera većeg od . Točka K je jedno od sjecišta.
Nastavna cjelina: 6. Sukladnost i sličnost Nastavne jedinice:
-SUKLADNOST DUŽIN I KUTOVA -SUKLADNOST TROKUTA
-SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKUTA - ČETIRI KARAKTERISTIČNE TOČKE TROKUTA
- PROPORCIONALNOST DUŽINA. TALESOV TEOREM -SLIČNOST TROKUTA
Razred:I sukladnost_i_slicnost doc.
6.3.3 Svojstva srednjice trokuta
Srednjica je simetrala koja spaja polovišta dviju stranica trokuta.
Poučak ili teorem o simetrali kuta
Srednjica trokuta je dužina koja prolazi polovištem jedne stranice i paralelna je s drugom stranicom. Dvostruko je kraća od stranice s kojom je paralelna odnosno njena duljina je jednaka polovini duljini te stranice.
MN = BP = 1
2BC
N je polovište stranice AC ,
MN srednjica trokuta
P je polovište stranice BC,
MP je srednjica trokuta
MNP = CPN SUKLADNI TROKUTI -podudaraju se u svim trima kutovima
MN = BP = PC
AMN = MBP SUKLADNI TROKUTI -podudaraju se u svim trima kutovima i jednojstranici
AM MB
presječna točka M N
P
oznaka za paralelnoCB
A