Teorie her a ekonomické rozhodováníjana.kalcev.cz/vyuka/kestazeni/4EK421-pr07.pdf ·...

Teorie her a ekonomické

rozhodování

7. Hry s neúplnou informací

7.1 Informace

• Dosud

– hráči měli úplnou informaci o hře, např.

znali svou výplatní funkci, ale i výplatní

funkce ostatních hráčů

– často to tak není• neznáme užitky protihráčů při aukcích, nákladové

funkce konkurenčních firem apod.

• většinou úplnou informaci nemáme

2Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

7.1 Informace

• Hry s úplnou informací

– známe výplatní matice (i soupeřovy), prostory

strategií, pravidla hry

– postupy lze využít, pokud neúplnost informace

dramaticky neovlivní výsledky

• Hry s neúplnou informací (Bayesovské hry)

– nemáme úplnou informaci o hře

– pokud je neúplnost zásadní vlastností

Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 3

7.2 Statická Bayesovská hra• Příklad: Šachy, NIM, mariáš, prší, …

– všechna pravidla znám před hrou,

– vím, jaké tahy hráč může hrát,

– vím, kolik dostane vítěz a jak vítěze poznám

– Hry s úplnou informací („otevřená hra“)

• Šachy, NIM

– Hry s neúplnou informací („utajená hra“)

• karetní hry, např. mariáš, prší, poker apod.

• neznám soupeřovy karty


7.1 Informace• Nezaměňovat neúplnou a nedokonalou info!

– Hry s (ne)úplnou informací (info před hrou)

– Hry s (ne)dokonalou informací (info během

hry)

• Hry s dokonalou informací

– každý hráč zná všechny předchozí tahy

– zná tedy i aktuální pozici (uzel) ve stromě hry

– šachy, NIM … hry s dokonalou informací

– mariáš, poker … hry s nedokonalou informací


7.1 Informace

• Soukromá informace

– informace, která není k dispozici ostatním

hráčům (např. karty, které držím v ruce při

pokeru, mariáši apod.)

– počáteční soukromá informace se označuje jako

typ hráče

• Všeobecně známá informace

– informace dostupné všem hráčům


7.2 Statická Bayesovská hra

• John C. Harsanyi

(Maďarsko, Austrálie, USA)

• 1994 – Nobelova cena

• 1967 – 1968 články v Management Science

– konfliktní situace s neúplnou informací

– navrhl doplnění neúplné informace

– apriorní tah fiktivního hráče „Příroda“, který

určí typ každého hráče

7Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.


• Pouze hráč sám zná svůj skutečný typ

• Všichni hráči ale znají ex ante

– všechny možné typy ostatních hráčů a

– pravděpodobnostní rozdělení, ze kterého jsou

vybrány typy ostatních hráčů



• Původní hra se v tu chvíli stává

– hrou s úplnou informací, neboť všichni hráči

znají všechny možné výplatní hodnoty všech

typů všech hráčů (informace před začátkem

hry)

– hrou s nedokonalou informací, neboť ne všichni

zjistí apriorní tah fiktivního hráče „Příroda“

(informace v průběhu hry)


7.2 Statická Bayesovská hra• Příklad

– karetní hra, např. mariáš, prší, poker apod.

– jsou rozdány karty a já znám ty své, ne však

soupeřovy – hra s neúplnou informací (na

začátku neznají všichni všechno)

– „Příroda“ doplní neúplnou informaci:

• vím, jaké karty mohou dostat soupeři, a

• vím, s jakou pravděpodobností je dostanou

• navíc vím, jaké jsou hodnoty výplatních funkcí


7.2 Statická Bayesovská hra• Příklad

– stejné informace mají také ostatní hráči – jedná

se tedy o hru s úplnou informací

– zároveň se jedná o hru s nedokonalou

informací, protože ne všichni hráči se dozví, jak

byly karty rozdány

• znám ty své – vím, jaké karty mi dala „Příroda“,

• ale nevím, jaké karty dala příroda soupeřům



• Předpoklad: všichni hráči mají stejné

apriorní názory na pravděpodobnostní

rozdělení tahu „Přírody“

• Což ale v praxi nemusí platit


7.2 Statická Bayesovská hra• Příklad:

– hraje se mariáš, každý dostává 8 karet, jedna

barva jsou trumfy

– všichni se shodnou na tom, že

pravděpodobnost, že trumfové eso má jeden

konkrétní soupeř je

𝑝 =1131−87

32−88



• Pokud uvedený předpoklad platí, dostáváme

hru

– s úplnou informací (všichni před hrou vědí vše)

– ale s nedokonalou informací (neznám karty)

• Na takovou hru lze použít koncepci

Nashovy rovnováhy


7.2 Statická Bayesovská hra• Bayesovská hra (hra s neúplnou informací)

je určena

– Množinou hráčů {1, 2, …, N}

– Množinou prostorů strategií {X1, X2, …, XN}

• Xi označuje prostor strategií i-tého hráče

• konkrétní strategie pak označíme (x1, x2, …, xN)

– Množinou prostorů typů hráčů {T1, T2, …, TN}

• i-tý hráč zná svůj typ 𝑡𝑖 ∈ 𝑇𝑖, ale nezná typy

ostatních hráčů

• typ 𝑡𝑖 ∈ 𝑇𝑖 odpovídá určité výplatní funkci hráče iMgr. Jana Sekničková, Ph.D. 15

7.2 Statická Bayesovská hra• Bayesovská hra (hra s neúplnou informací)

je určena

– Množinou hráčů, Množinou prostorů strategií,

Množinou prostorů typů hráčů

– Množinou názorů hráčů {p1, p2, …, pN}

• pi je názor hráče i, který má o typech ostatních hráčů

• subjektivní pravděpodobnostní funkce

– Množinou výplatních funkcí

{f1(x1, x2, …, xN, t1, t2, …, tN), …, fN(x1, x2, …, xN, t1, t2, …, tN)}


7.2 Statická Bayesovská hra• V Bayesovské hře budeme považovat každý

typ každého hráče za samostatného hráče

• Příklad: každá možná kombinace rozdaných

8 karet představuje jednoho hráče

• „Příroda“ náhodně vybere ty hráče, kteří

budou hru skutečně hrát

– na základě pravděpodobnostního rozdělení, které

znají všichni hráči


7.2 Statická Bayesovská hra• Každý typ každého hráče vybere svoji

strategii dříve, než „Příroda“ rozhodne, kdo

bude hrát

• Tím k původní hře H s neúplnou informací

dostáváme hru H* s nedokonalou informací


7.2 Statická Bayesovská hra• Původní hra H (s neúplnou informací)

– N hráčů, i = 1, 2, …, N

– hráč i má mi typů

– množina prostorů strategií {X1, X2, …, XN}

– množina výplatních funkcí

{f1(x1, x2, …, xN, t1, t2, …, tN), …, fN(x1, x2, …, xN, t1, t2, …, tN)}

• Odvozená hra H* (s nedokonalou informací)

– M hráčů, j = 1, 2, …, M


Kolik je M?𝑀 =

𝑖=1

𝑁

𝑚𝑖

7.2 Statická Bayesovská hra• Odvozená hra H* (s nedokonalou informací)

– M hráčů, j = 1, 2, …, M, kde𝑀 = 𝑖=1𝑁 𝑚𝑖

• j = (i, ti) … každý typ každého hráče

– množina prostorů akcí {Y1, Y2, …, YM}

• akce = volba hráče, který už zná svůj typ

• strategie = akce hráče, který ještě svůj typ nezná a

musí tak naplánovat optimální akci pro každý svůj

možný typ

– množina výplatních funkcí

{g1(y1, y2, …, yM), …, gN(y1, y2, …, yM)}Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 20


• Hodnoty výplatních funkcí jsou počítány

jako očekávané hodnoty

𝑔𝑖 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑀 =

𝑡𝑖

𝑝 𝑡𝑖 𝑓𝑖(𝑥, 𝑡)

(chybný index ve skriptech)



• Bayesova-Nashova rovnováha ve hře s

neúplnou informací H (Bayesovská hra)

=

• Nashova rovnováha ve hře s nedokonalou

informací H*

V každé konečné hře s neúplnou informací

existuje alespoň jedna Bayesova-Nashova

rovnováha



Příklad 2 – Manželský spor (BoS)

• Manželé jdou večer na koncert – rozhodují

se mezi Bachem a Stravinským

• Muž preferuje Bacha, žena Stravinského

• Každý chce jít na koncert a nejraději půjdou

spolu

• Pokud spolu nepůjdou, nebudou mít žádný

užitek

23



24

muž/žena 𝐵𝑎𝑐ℎ 𝑆𝑡𝑟.𝐵𝑎𝑐ℎ𝑆𝑡𝑟𝑎𝑣𝑖𝑛𝑠𝑘𝑖

2,1 0,00,0 1,2



• Předpokládejme nyní, že

– ráno došlo k hádce

– muž, který je nyní v práci, si není jistý, jestli je

žena naštvaná či už ji to přešlo

– pokud je žena stále naštvaná, nechce manžela

večer vidět

– pokud žena naštvaná není, manžela vidět chce

25



• Muž odhaduje pravděpodobnost, že je žena

naštvaná na 50 %

• Pokud žena naštvaná není: původní matice

• Pokud žena naštvaná je: jiné preference

26

muž/žena 𝐵𝑎𝑐ℎ 𝑆𝑡𝑟.𝐵𝑎𝑐ℎ𝑆𝑡𝑟𝑎𝑣𝑖𝑛𝑠𝑘𝑖

2,0 0,20,1 1,0



• Jedná se o hru s neúplnou informací

– muž totiž neví, zda ho manželka chce či nechce

vidět

– žena tuto soukromou informaci samozřejmě má

(ví, zda muže chce nebo nechce vidět)

– muž má tedy jeden typ, zatímco žena má 2

možné typy (nenaštvaná a naštvaná)

27



• Převedeme tedy na hru s 3 hráči – muž,

nenaštvaná žena a naštvaná žena

• Pravděpodobnostní rozdělení typů ženy je

(0.5, 0.5)

– oba ho znají před tahem „Přírody“

– na začátku hry se pouze žena dozví výsledek

tahu „Přírody“, který určí její skutečný typ

28



• Manžel nezná dnešní náladu manželky (typ

ženy)

• Musí tedy odhadnout optimální akce pro

oba typy

• Abychom mohli zapsat výsledky do jedné

matice, vytvoříme pro ženu všechny možné

kombinace

29



• Uspořádaná dvojice (a,b) označuje

– nenaštvaná manželka volí akci a a zároveň

– naštvaná manželka volí akci b

• Pro ženu mohou tedy nastat 4 možnosti:

– (B, B), (B, S), (S, B) a (S, S)

– B … Bach, S … Stravinski

30



• Výplatní matice pak uvádí tři hodnoty

– výplatu muže

– výplatu nenaštvané ženy

– výplatu naštvané ženy

31



32

m/ž1 𝐵 𝑆𝐵𝑆

2,1 0,00,0 1,2

m/ž2 𝐵 𝑆𝐵𝑆

2,0 0,20,1 1,0

m/(ž1, ž2) (𝐵, 𝐵) (𝐵, 𝑆) (𝑆, 𝐵) (𝑆, 𝑆)

𝐵𝑆

2,1,0 𝟏, 𝟏, 𝟐 1,0,0 0,0,20,0,1 0.5,0,0 0.5,2,1 1,2,0

= 𝟎, 𝟓 ∙ 𝟐 + 𝟎, 𝟓 ∙ 𝟎 = 𝟏



• V této hře hledáme Nashovu rovnováhu

– Muž – sloupcová maxima z prvních hodnot

– Nenaštvaná žena 1 – řádková z druhých hodnot

– Naštvaná žena 2 – řádková z třetích hodnot

33

m/(ž1, ž2) (𝐵, 𝐵) (𝐵, 𝑆) (𝑆, 𝐵) (𝑆, 𝑆)

𝐵𝑆

2,1,0 1,1,2 1,0,0 0,0,20,0,1 0.5,0,0 0.5,2,1 1,2,0

Bayesova-Nashova rovnováha

v ryzích strategiích (akcích)

7.2 Statická Bayesovská hraPříklad 2 – Manželský spor (BoS)

• Rovnováha v ryzích strategiích

– {B, (B,S)}

– Muž volí Bacha, nenaštvaná žena také Bacha a

naštvaná žena Stravinského

– Muž tedy jde na Bacha a čeká, zda přijde i žena34

m/(ž1, ž2) (𝐵, 𝐵) (𝐵, 𝑆) (𝑆, 𝐵) (𝑆, 𝑆)

𝐵𝑆

2,1,0 1,1,2 1,0,0 0,0,20,0,1 0.5,0,0 0.5,2,1 1,2,0

7.2 Statická Bayesovská hra• Statická Bayesovská hra – hra s neúplnou

informací v normálním tvaru

– pro úplnou info Nashova rovnováha

– pro neúplnou info Bayesova-Nashova rovnováha

• Dynamická Bayesovská hra – hra s neúplnou

informací v rozvinutém tvaru

– pro úplnou info dokonalá rovnováha podhry

– pro neúplnou info dokonalá Bayesova rovnováha

(kombinace B-N rovnováhy a dokonalé rovnováhy

podhry) 35


Typ hry Normální tvar Rozvinutý tvar

Úplná informace Nashova rovnováhaDokonalá rovnováha

podhry

Neúplná informaceBayesova-Nashova

rovnováha

Dokonalá Bayesova

rovnováha

36

KONEC37Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

Teorie her a ekonomické rozhodováníjana.kalcev.cz/vyuka/kestazeni/4EK421-pr07.pdf ·...

Documents

Transcript of Teorie her a ekonomické rozhodováníjana.kalcev.cz/vyuka/kestazeni/4EK421-pr07.pdf ·...