TEORIA SISTEMELOR DEREGLARE AUTOMATA

dr.ing. CONSTANTIN JLA~Universrtatea "Politehnica" Buc ure~ti

Facultatea de Electrotehnica

MATRIX ROMBucure~ti 2001

©MATRIXROMc.P. 16 - 162

77500 - BUCURESTItel. 01.4113617, fax 01.41 14280

e-mail: matrLx@fx.ro 1.1 Sisteme de reglare automata: structura. exemple. scurta istorie

1.2 Definirea nOliunii de sistem dinamic

1.3 Clasificarea sistemelor dinamica

1.4 Structuri particulare de sisteme dinamice

1.5 Modelarea proceselor - consideralii generale

Referenti ~tiintifici: prof.univ.dr.ing. RAzv AN M.AGUREAi\TlJprof.univ.dr.ing. LIVID KREINDLER

2. I Descrierea in spaliul stiirilor. Evolulia starii

2.1.1 Cazul sistemelor netede

2.1.2 Cazul sistemelor discrete

2.1.3 Calculul analitic al eYolutiei starii sistemelor lineare

2.1.3.1 Evaluarea matricei fundamentale a sistemelor netede

2.1.3.2 Evaluarea matricei fundamentale a sislemelor discrete

2.2 Comportarea intrare-ie~ire

2.3 Descrierea prin funetii (matrici) de transfer

2.4 Realizari. Echivalen(a sistemelor. Fonne canonice

2.4. I Realizari

2.4.2 Echivalenta sistemelor

2.4.3 Forme canonice

2.5 Descrierea in frecven!a a sistemelor lineare

2.5.1 Diagrame Bode

2.5.1.1 Coord onate logaritmice

2.5.2 Diagrame Nyquist (polare)

3.1 Discretizarea semnaleJor netede. Fenomenul de aliasing

3.1.1 Opera!ia de discretizare ideaHi

3.1.2 Opera(ia de discretizare reala

3.2 Formularea problemei discretizarii sistemelor

3.2.1 Discretizarea sistemelor reprezentate in spa(iul starilor

3.2.2 Discrelizarea sistemelor reprezenlate prin funqii de transfer 80 10 Problema regliirii 130

4 Stabilitatea sisteme10r lineare 85 10.1 FomlUlarea problemei reglarii 13010.2 Solutia generala a problemei reglarii 131

4.1 Stabililatea intema - definiTe, interpTetare 85 J OJ Solutia probJemei regHlrii pentru marimi exogene de tip treaplii 1354.1.1 Definirea stabiliHi!ii interne 85 IOJ. I Solulia generala utilizand reguJatoare analogice 135

4.1.2 Interpretarea slabilitatii interne 89 10.3.2 Solutia generala folosind regulatoare discrete 1404.2 SlabiJilatea extema - definire, interpretare 91 10.4 Impunerea performantelor dinamice penlru SRA 1424.2.1 Definirea stabil italii externe 91

4.2.2 Interpretarea stabilitalii externe 93 11 Regulatoare cu structura fixii 145

5 Raspunsul sisteme.lor la intrari standard 97 I I. I Tipuri de regulatoare cu strucrura fixa pentru sisteme continue 145

I 1.2 Tipuri de reguJatoare cu strucrura fixii pentru sisteme discrete 1485. I RaspunsuJ sistemelor Ja intrare treapta 97

5.2 Raspunsul sistemelor la intrare ranlpa unilara 101

6 Conexiunea sistemelor 102

6.1 Conexiunea serie 102 Anexa I Transformata Fourier 149

6.2 Conexiunea paraleJ 104

6.3 Conexiunea in reaclie 106 J.J Serii Fourier 149

1.2 Transformata Fourie_ 151

7 Proprietalile structurale all' sistemelor 109

109Anexa II Transformata Laplace 157

7.1 ControJabilitate

7.2 ObservabiJitate I J 1Anexa III Transformata Fourier a semnalelor Discrete 162

7J Descompunere structuraIa. MinimaJitate 113

7.4 Lege de comanda dupa stare 114 3.1 Descompunerea in serie Fourier a semnalelor discrete 162

7.5 AlocabiJitate 115 3.2 Transformata Fourier a semnalelor discrete 162

7.6 StabilizabiJitate 118 3.3 Transformata Fourier discreta 165

7.7 Detectabilitate 118

Anexa IV Transformata Z 1678 Estimarea stiirii sistemelor 122

9 Compensarea sistemelor 126Bibliografie 171

9.1 Compensarea sistemelor prin lege de reaqie dupa slare 126

9.2 Compensarea prin reactie dupa ie~ire 127

1.1 Sisteme de reg/are automata: structura, exemp/e, scurta istoriet

Sistemele de reglare automata sunt sistemele care realizeaza in mod

automat (deci lara intervenlia omului) controlul wleia sau a mai mullor marimi

electrice. mecanice, temlice, etc. Exemple de astfel de sisteme se gasesc

pretutindeni. de la aparatele de uz casnic, pana la cele mai sofistic~te sisteme de

na\'igarie folosite de na\'etele spaliale .

.-\stfel. in cazul unui mixer este reg lata \'iteza paletelor, in funqie de

materialul prelucrat ~i de ceea ce se dore~te a se obline. in cazul unui frigider

temperatura este menlinuta constanta, la 0 valoare care poate fi aleasa de

utilizalOr. De fapt in ambele exemple valoarea pe care dorim sa 0 aiba miirimea

controlata se poate \'aria doar in trepte (de obicei 5-6), ~i desigur, lara sa se poata

depa~i 0 valoare maxima ~i una minima.

Tot viteza de rotalie este cea care este controlata ~i in cazul unui dispozitiv

pentru testarea discurilor fixe (hard-disc-uri) sau CD-urilor folosite in

calculalOarele personale. intr-un astfel ~e dispozitiv discul este rotit cu 0 viteza

constanta. Spre deosebire de cazul mixerului, precizia cu care trebuie controlata

\'iteza este de data aceasta extrem de ridicata, ajungandu-se pan a la cerinla ca

eroarea intre viteza impusa ~i cea oblinuta sa nu fie mai mare de I p.p.m. (10.6),

fala de sa zicem 10%, adica 10.1, in cazul mixerului. 0 aplica(ie intermediara in

ceea ce prive~te precizia regliirii este controlul automat al vitezei unui

autovehicol, caz in care eroarea este de ordinul 1%, deci 10". Astfel de sisteme

sunt in fabricalie curentii ~i sunt destinate condusului pe autostrada, cand se pot

parcurge distal1le mari cu viteza constanta ~i, cu ajutorul unui astfel de dispozitiv,

tara sa se lina piciorul pe pedal a de acceleralie.

Daca presupunem ca autovehicolul este echipat cu un motor electric, atunci

aull in cazul mixerului, cat ~i al autovehicolului ~i al dispoziti\'ului pentru

testarea discurilor avem de a face cu reglarea \'itezei unui motor electric, sa

spune~ pentru simplitate, de curent continuu.1

I ) Se va demonstra la cursul de Ac[ionari Elcctrice, ca practic orice motor poate fi filcut sa secom pone ca unul de curent continuu, in ceca ce prive~te reglarea vitezei ~i cuplului.

leona sistemelor de regtare automata

Dupa cum se ~tie viteza unui astfe! de motor poate

J. I dupa 0 ecuatie de fonna:depinzand de lensiunea de a lmen are .

diV == Ri +L_a +k(:J,

a • dt

. . te curentul care Ireee prin motor, (U,in care Va este tensiunea de ahmenlare, 'a es .'

. . t Hi A~adar. dad vanem tenSlUnea dete \;leZa rotorulUl. lar k 0 cons an .. .. . '

es. b . ovariatie aproape proportionaHi a vitezei (neghJand cadereaahmenlare 0 tmem . _.

. " . . d '\;atea rotorica L). Putem aruoude tensiune pe rezistenta rotonca R ~I pe In uct!

MOiOr electric

~ EXCllafie

~)Wr-'- .\f,m~i"il

Y Reg(Amp/if)

!v J (Volimi.,a,.)

f. 1 1 Schema elecJrica de principiu ~ischema bloc a IInlii sisJem auJOInaIIg. . . . prill" I • bz/cla deschisa a lura{iei unui mOIOr de curen! COllflllllU

ae reg are III

\'arierea lensiunii la bomele rolorl/lui

imalrina 0 modalitate foarte simpla de reglare a turatiei, in c.are s,a vfi

ariem'li1n

- . 'I b I motorulUi ca ill 19ora . .funetie de viteza dorita, tensiW1ea aphcata a ome e· 0

. . t I' (V ) aceasta est_, I' a' se aplice 0 tenslUne cons an a ol[m,nio,,'In loe ea motoru UI s I

vaDala prin intennediul unui potentiometru. _. 1 . tr-O,\ a cum se vede in aceea~i figura pUlcm sa reprezentam montaJu In. ~ . " ., a bloeului .Hot (reprezentand motorul) este

fonna schematlca. 111care le~lrea y .. .' fu . d' 'aloarea darita y' cu ajutorul bloeului Reg. Acesta d1l1urma

vanata 111 nC\le e \ . .es.te desigur montajul potentiomentric, care aplica 1..1~om.el~ moto~I~1 0 tensl~~

. . " 'In funetie de valoarea lui y, adlca de pOZllla eursoru U1mal mare sau mat mICa, .

potenliometrului.

A~adar, daell dorim de exemplu sa redueem viteza motorului yom mi~ca

pOlentiometrul in sensul miqorllrii lmghiului a, tensiunea 1..1bomele motorului

va seadea ~i in conseeinta ~i turaria aeestllia. Unghiul a a fost notat in schema

bloc eu y", nota~e folosita pentru marimea de referill(a, adidi marimea care este

proportionala ell vaJoarea pe care dorim sa 0 aiba marimea reglatll. Tutatia

rotorullli a fost notata cu y, notatie rezervata pentru marimea reglata. Tensiunea

1..1bomele motoruilli joaca rollll unei marimi de comandii (adica cea care este

vwata de sistemul de reglare automata pentru a se obtine variatia marimii

rcglate). Potentiometrul joaca in acest m011laj rolul unui regulator, pentru ca el

este eel care aplica 1..1bomele sistemului reglat 0 marime de comanda, obrinuta in

func~e de cea de referinta. In acest caz particular dependenra intre cele doua

mllrimi este evidenl una proportionaHL De fapt acest element nu este altceva

decat un simplu amplificator, care amplifica valoarea mlirimii de referinta pana 1..1

un nivel ce po ate fi aplicat 1..1bomele motorului.

Sa remarcarn di tura\ia motorului nu este influenrata doar de marimea de

referin\ii, ci ~i de valoarea tensiunii de alimentare pre cum ~i de cea a cuplului de

sarcina. Astfel, daca tensiunea de alimentare cre~te tensiunea aplicata 1..1bomele

. motorului ~i deci ~i tura!ia acestuia vor cre~te, atunci cand marimea de referinta

este constanta. 0 cre~tere a cuplului de sarcina aplicat 1..1axul rotorului va duce la.scaderea vitezei, cand mllrimea de referinta este constanta. A~adar marimea

reglata nu depinde doar de comanda u, ci ~i de alte mlirimi exteme. Aceste

manmi care acrioneaza din exterior asupra sistemului de reglare ~i influenteaza

valoarea manmii reglate ~i care sunt independente (nu pot fi modificate de

sistem) se numesc perturbafii.In cazul schemei din figura 1.1 este c1ar ca turatia motorului nu este

controlata cu 0 precizie prea buna, deoarece efectul perturbatiilor nu poate fi

compensat de catre regulator, acesta men(inand permanent pentru 0 referinta

data, 0 tensiune constanta, independent de viteza reala a motorului. Astfel de

sisteme in care reglarea se face independent de valoarea reala a marimii reglate,

deoarece regulatorul nu are nici 0 informatie referitoare 1..1aceasta se numesc

sisteme de reglare automata In bue/a descllisii. De exemplu, un astfel de sistem

este eel folosit in cazul mixerului, deoarece eroarea admisibila este mai mare

decal cea datorata valorilor uzuale ale perturbatiilor.

Evident 0 astfel de schema nu se poate aplica in -cazul tegilirii vitezei

autovehicolului electric, deoarece precizia ceruta este mult mai mare. Schema de

reglare va trebui sA rinA cont de viteza realA a m~inii. struclura ei fiind de lipuleelei din figura 1.2.!

fig.I.2. Sc!:,mo bloc a IIl1l1isisrem alll01l10r de reglare ill bllclii il1chisii a

wrariei willi m,;:,)r de clirenr cominlill prill l'<Jrierea lel/silillii 10 borllele

n;arorllilli.

De data aceast3 turaria motorului este masurata ~i este comparata cumarimea de referima. Daca miirimea reglata eSle mai mica decat cea impusa (deci

eroarea f: este poziti\'a) regulatorul face sa creasca tensiunea aplicata la borne Ie

m010rului, turalia crescand ~i ea. Similar, cand f: devine negativ marimea decamanda 1I scade ~i 13 fel si Va' ducand la scaderea vilezei. in acest fel hlra!iareala este permanent adusa la valoarea de referinra. chiar alunci cand existaperturbarii. Sistemul se nume~le in bue/a II/ch/sa, sau Cli reac(/e, datorila acesteiinformatii care vine de Ia proces spre regulator. Se observa ca in acest caz apareun bloc nou, un regulator propriu-zis. Acesta este cel care in funqie de eroarea f:

variazj comanda !I. care e amplificata de potenriometru ~i aplicata apoimotorului. Funqionarea schemei din figura 1.2 este similara cu felul in careaqioneaza ~oferul care conduce tara un astfel de sislem. Astfel, el comparaindicalia ·vitezometrului (viteza reala) cu viteza pe care 0 dorqle (referin!a) ~idaca este mai mica apasa mai puternic pedala de accelera!ie (care, in cazul unuiaU10mobil electric. modifica pozi!ia cursorului potenliomelrului, marindtensiunea aplicata la bomele mOlOrului). Cu alte cuvinte omul "calculeaza"diferen!a dintre refeTin!,l ~i marimea reg lata ~i modifica in consecima marimea decomanda, indeplinind exact rolul regulatorului.

Aile cate\'a exemple de sisteme de reglare automata sunt:

• sisteme de reglare a pozi!ici:- lifturile;

L~:t! ": "'t' ~ .·.·if t.;;~.,..,...,.:. '" Introducere

- ma~ini de gaurit pilici pentru circuite imprimatc <i de mOlltat' . 1Ix' y ~~~epep aCI;

- ma~ini de impachetat sau elichetat;- ma~ini pentru sortarea scrisorilor;

- ma~ini pentru decupat circuitele integrate de pe suport;- roboli industriali:

sisteme de reglare a vitezei:- pompe, compresoare, ventilatoare;- ma~ini de spalat automate.

sisteme de reglare a temperaturii ~i umiditalii: incubatoare, incinte locuite'sisteme de reglare a traiectoriei ~i vitezei de zbor a avioanelor (p'" t'

.) 101automa!l; .

sisteme de dirijare a navelor spaliale.

Si~temele de reglare automata sunt mult mai vechi decat s-ar putea crede:acum CIrca 2000 de ani Hero utiliza un sistem ingenios bazat pe diferenta d

. pres JUne.da1a ~e dilalarea aerului incalzit pentru deschiderea u~ilor unui tel~Plu~Era un slstem 111 bucla deschisa a ciirui schenla- d '"_ ' e pnnclplU este prezentatii Intzgura 1.3. Da~oril~ cre~terii presiunii aerului incalzit de foeul din altar apa dinrezen or era Im~)lnsa m caldare. Caldarea devenea astfel mai grea decatcon~ra.greutatea ~I apiirea 0 mi~care pe verticala, care era convert ita cu ajutorulunul slstem de franghii in mi~carea axelor u~ilor, care se deschideau astfe!.

Aer

fig.l.3. Schema sisiemullii automat al lui Hel:o de deschidere a lI$ilartemplului

_ Pentru, inchidere se stingea focul, aeruJ se racea ~i afJa reveriea In rezervor,caldarea avand acum mi~carea inversa. de urcare. Efectul era probabil foarte

spectaculos, mai ales ea focul folosit era chiar cel din altar iar sistemul era

destinat deschiderii u~ilor la sosirea mai-marilor zitei.Primul sistem de reglare automata in bucla inchisa utilizat pe scara larga

pare sa II fost regulatorul centrifugal al lui James Watt (1788). Schema sa

principiala este cea din figura 1A. Acest regulator a fost intens folosit la m~inile

cu abur. EI consta in 0 pereche de bile suspend ate pe un ;lX eMe se rote~te eu

Yiteza ma~inii. Datorita fOlfei centrifuge bilele au tendinla sa se ridice (a seade)

atunci cand yiteza cre~te. :\ceasta llli~eare duce la ridicarea unci tije eare

aqioneaza asupra unui \·entil. miqorand \'iteza ma~inii. Consider:ind Yarialii

mici ale unghiului a se pot serie u~or ecua!iile ce deseriu funejionarea acestui

regulator, dM analiza lor nu e toemai u~oara. Printre cei care s-au ocupat de acest

subiect de-a lungul tilllpului s·a aflat ~i Ma\:well.inca inainte de al doilea razboi mondial ineep sa apara primele studii

impom.nte pentru teoria modema a reglarii. cum ar fi [78J, care inaugureaza

cercetiirile in domeniul se[\'omecanislllelor ~i impune acest tennen proyenit din

sermllr ~i mechanism. De asemenea Nyquist inaugureaza in 1932 [82J domeniul

analizei in freC\'enla a sistemelor de reglare automata.

Dupa riizboi cercetarile in domeniu ~i aplicaliile sistemelor de reglare

automata cunosc 0 adeyaratii explozie, fayorizate de progresele generale ale

tehnicii (~i fayorizandu-le la randul lor). in special progresele electronicii ~i

apari!ia primelor calculatoare au fost determinante pentru dezvoltarea sistemelor

de control. Cateya scurte repere: in 1945 apare Jucrarea IUl Bode [6] referitoare la

domeniul analizei in frecvenJii, in 1948 Evans prezintii teoria locului radacinilor

[77]. Tn anii '60 Kalman ~i a1lii se ocupa de probJemele filtrarii ~i comenzii

optimale [79J, iar la inceputul anilor '70 Luenberger aduce noi contribulii la

rezolyarea problemei estimarii (81). Cam in aceea~i perioada savantul roman

Vasile Yl.ihai Popov, fost profesor la Politehnica din Bucure~ti, i~i publica

principale!e lucrari referitoare la sisteme nelineare, introducand notiu.nea de

hiperstabilitate [63).Schema din figura 1.2 este schema generala, de principiu, a oricarui sistem

de reglare automata in bucla inchisa. Astfel de sisteme sunt capabile de

performanle foarte bune ~i, datorita cerinlelor din ce in ce mai mari impus~ de

dezvoltarea telmologidi, sunt folosite in majoritatea aplicatiilor. '

Scopul principal al cursului este prezentarea principiilor care stau la baza

proiectarii unui astfel de sistem, pentm ca in pofida diversitatii foarte mari a

aplica!iilor, toate sistemele de reglare automata se bazeaza pe acelea~i principii.

Pentru a permite 0 abordare unitara a tuturor acestor aplicalii, In prima parte a

cursului vor fi prezentate diverse modalitati de descriere a sistemelor ~i vor fi

analizate principalele lor proprietati. Pomind de la aceste rezultate parte a a doua

va prezenta mai multe metode de sinteza a sistemelor de reglare automata ~i va

analiza perfonnanlele pe care Ie pot obline astfe! de sisteme.

De~i prezinta principiile generale ale teoriei sistemelor ~i controlului, cursul

de fala este gandit din prism a aplicatiilor bazate pe folosirea actionarilor

electrice. Aceste aplicatii sunt deosebit de numeroase la ora actuala. Ele domina

piala automatizarilor industriale ~i se estimeaza 0 cre~tere continua a numamlui

lor, rinzandu-se ca in viitor toate aceste sisteme sa fie cat mai inteligente ~i sa

indeplineasca funclii cat mai complexe.' Acest lucru este favorizat de adevarata

revolulie produsa de dezvoltarea microelectronicii ~i foarte probabil in curand va

fi influentat de explozia telecomunicaliilor care vor duce la comanda de la

distanla a proceselor industriale ~i Ia crearea de relele cuprinzand toate sistemele

automate dintr-o fabrica ~i chiar din mai multe fabrici.

Actualmente se apreciaza ca un bun specialist in sisteme de reglare

automata bazate pe actionari electrice trebuie sa aiba cuno~tinle solide i'n

urmatoarele domenii: matematica, limbaje de programare (C, asembler) pentru

PC ~i procesoare de semnal, folosirea programelor de proiectare asistata. de

calculator (Matlab, Mathcad), ma~inj ~i aCJionari electrice ~i, fire~te in teoria

sistemelor ~i controlului.

De aceea cursul de rata folose~te cuno~tintele de matematica dobandite in

anii I si II, in special cele de algebra liniara, funetii complexe ~i transformari

integrale. In acel~i timp, cursul se leaga direct cu discipline ce vor fi studiate in

anii urmatori, cum ar fi ma~inile ~i aclionarile, electr.ice, sisteme cu

microprocesoare. De asemenea la ~edinlele de laborator se urmare~te

familiarizarea studenlilor cu folosirea principalelor programe de proiectare

asistata de calculator.

in acest paragraf vom introduce nOliunea de sistcm dinamic. Pentru inceput

sa precizam ce se in!elege prin no!iunea de semnal.

Defini(ie: Se nume~te senmal continllu 0 ap1icalie x: R -+ M. unde

MeR este mu1limea yalorilor pe care Ie poate lua semnalul.

Se nume~te selllnal discret 0 aplieajie x: Z -+ M, ell MeR.

Se nwnqte senmal numeric (digital) 0 apliea!ie x: Z -+ ill ,cu

McZ.

A~dar un semnal continuu este definit pe un supon continuu ~i ia valori de

asemenea intr-o mullime continua. in aeeasta clasa intra ma.ioritatea semnalelor

lnliilnite. reprezentate ca funC\ii de timp, cum ar fi tensiunea de la re!eaua de

alimentare casniea. sau viteza unui automobil anat in mi~care pe 0 ~osea. De

exemplu., in primul caz semnalul poate Ii aproximat ca fiind:

V 4°Of"oo~ _ ..-=..- ""r-_~~ -

[V) - I . f \ '200r\-----,---r"r- .-.1~lt.~=~-_-1...\ ..

.100~-; .i-I

.200f ~I

·3001· -!

-400'o 0(2 004

- ·"1 --, I

"V

Fig.I.5. Exemplu de semnal cominuu: lellSiunea de /a re/ealia de alimentare

casnica

Semnalele discrete nu mai sunt definite pe un suport continuu, ci pe unul discret,

cu alte cuvinte, daca sunt reprezentate ca funclii de timp acesta nu poate lua dedit

valori discrete, In muljimea numerelor intregi cu semn. Astfel de semnale apar In

special In cazul sistemelor numerice de control, in care diverse semnale continue

sunt citite ~i prelucrate la un internl de timp fix. de exemplu la fiecare

milisecunda. Daca realizam 0 astfel de citire In cazul tensiunii de la relea oblirkm

un semnal discret, care se poate scrie in funqie de nUll/ami citirii astfel:

unde: n = ... -2,-1, 0,1,::...Graficul acestui senmal este redat In figura 1.6., pentru n>O. Evident, ca ~i

in cazul senmalelor continue momenml zero are un caracter arbitrar, put find fi

asociat oricami moment. in acest caz am asociat 1l=0 inceputului citirii.

Fig.l.6. Exemplu de semna/ discr!!l: semllal ob/inut prill cilirea la inlen;alede Ims a semnalului continuu din figura 1.5. Repre:::enlarea esle jacula InjimCfie de numarul ciririi .

Valorile pe care Ie ia senmalul apartin unui interval din R, deci sunt

continue. De altfeI ele sunt exact valorile semnalului neted in momentele citirii:

Asupra acestor aspecte ce apar la citirea unui semnal continuu de catre un

sistem numeric de calcul, prin intermediul unui convertor specia1 vom reveni in

capitoluI 3. Sa remarcam deocamdata doar faptul ca operalia prezentata mai sus

este un caz ideal, in realitate convertorul ~i sistemul numeric neputfuld sa

rcprezinte ~i s1lopcrcze cu valori continue.

in realitate reprezentarea se face Cll numere intrcgi, legatura intre aceste

numere ~i yalorile din gama de reprezcntare a semnalului continuu fiind data de 0

eonstallta de sea/are, proprie sistemului. Apare in acest fel, prin trunchiere sau

prin rotunjire. un senmal numeric, acesta fiind eel Cll care opereaza sistemlll

numeric.

rr rI I

Fig. I. 7. en semnal discret ~i semnalul numeric ob/inut din acesta prinrotw:.fire.

De exemplu. pentru semnalul de mai sus sa consideram ca aceasta constanta

de scalare ar a\"ea \'aloarea:

Daca impfu1im semnalul discret de mai sus la aceasta constanta ob\inem

semnalul discret din figura 1.7.a. Daca rotunjim valorile acestui semnalla cel mai

apropiat intreg, se ob\ine semnalul numeric din figura 1.7.b. A~adar un semnal

numeric poate lua doar valori discrete (numere intregi) la momente de timp

discrete.

Putem acum defini no\iunea de sistem cu timp continuu ~i respectiv discret.

Defini(ie: Se nume~te sistem (dinamie) ell timp eontinllll (sau sistem neted)perechea de func\ii (f, g) cu semnifica\ia:

ji = ~ =; f(/,X,II, v)

y=g(t,x,lI)

in care t E R jar x, II, V, Y sunt semnale continue, numite astfel:

x E Rn- starea sistemului

liE Rm- intrarea sistemului

v E Rr- perturba~a asupra sistemului

y E RP - ie~irea sistemului

A~adar un sistem dinamic neted este alcatuit dintr-un sistem de II eeuatii

diferentiale ~i unul algebrie, cu p ecuatii. Se atrage atentia asupra di ferentei dintre

notiunea de sistem definita mai sus Cadica sistem de ecuatii) ~i eea traditionala, de

grupare de obiecteo Riguros vorbind in sensul teoriei sistemelor, in loeul notiunii

traditionale de sistem se folose~te cea de proees, sistemul fiind descrierea

matematica a proeesuluio in multe lucriiri insii notiunea de sistem se folose~te cu

dublu sens, atat ca sistem fizic cat ~i ca descrierea sa prin ecuatii matematice.

Definifie: Se nume~te sistem (dillamic; ell timp discret (sau sistem discret)perechea de functii if, g) cu semnificatia:

(

XCt + 1) = f(t,X,II, v)

Y = g(/,X,II)

in care t E Z iar x, II, v,y sunt semnale discrete, cu aceea~i semnificarie:

x E Rn- starea sistemului

II E Rm- intrarea sistemului

v E Rr- perturbatia asupra sistemului

y E RP - ie~irea sistemului

In cazul sistemelor discrete, in locul ecualiilor diferentiale apar a~a numitele

eCllafii ell diferellfeo Aeest lucru apare firesc daca ne amintim definitia derivatei

unui semnal continuu:

.r = dx = fim x( t + 8 f) - X( 1)dt " ...•0 8 f

SI tmem Cun! .:t'l pentru semnalele discrete 8 t = 1. Cu aceastii Inloeuire se

~bs~rva ea e,:u:llia diferen!iala se transforma Intr-o ecua!ic eu difCren\e.

Se pO:l1e ~edea imediat ca in defini!ia de l1l3.i sus semnalele pot fi atat

discrete, ceil ~i digitale. singura diferen!i\ fiind, a~a cum an~ vaZUI. eroarea de

trunchiere C:ITe3.pare la reprezentarea semnalelor numerice. In cele ce unneaza

\'0111 considera doar cazul semnalelor discrete.

Pentru l' ,criere compacta a ecua\iilor. munci cand nu conteaza daca

sistemul este neted sau discret introducem notalia:

xojxo ~;lxrt T 1)

t' = /(t,x, u, v)

ly=g(t,x,u)

Un sistem dinamic se poate reprezenta grafic ca In figura I.S.a, In care se

eviden!iaza !egamrile sale cu exteriorul, rara sa se precizeze ~i descrierea sa.

Aceasta poale r1 lacuta de exemplu ca In figura 1.8.b.

1 v rII

~ ~- x

a) b)

Clasificarea sistemelor se poate face. desigur dupa mai multe criterii. incontinuare Ie yom considera pe cele mai importante.

I• in primul rand. a~a cum am vazut in paragraful anterior, In funqie de tipulsemnale care com pun ecua!iile sistemuIui, acesta este:

- ne(ed, sau

- discre(

• dupa cum funqiile (f g) depind sau nu e.\plicif de timp, sistemele sunt:

- l'ariabile ;11timp, cand 1== I( (,X,II,l') ~il sau g == g(t,x,II), respectiv

- i/llwianre. cand .r == l(x,lI, l') ~i g == g(x, II).

Sistemele invariante au proprietatea ca daca pleaca din acele~i condi!ii

inipale ~i Ii se aplica acelea~i marimi externe II ~i I', evolu;ia starii este aceea~i,

indiferent de momentul de timp la care sc produce experimentul. Acest lucru esteilustrat in figura 1.9.

Fig. 1.9. EI'o/uria STarii unui sistem invariant este aceea~i cdnd condi{ii/einiria/e ~i marimile eXferne sunf ace/ea~i.

• dupa cum funqiile Cf. g) sunt sau nu liniare In x, II, l', y, sistemele sunt:

- /iniare, cand ambele funqii sunt liniare, sau

- ne/iniare. cand eel pu!in una este neliniara.

Un sistem invariant liniar va avea a~adar ambele funqii liniare In x, II, V, y,deci va fi de forma:

{

X' = Ax + Bli + Ev

y= Cx+ Dli

in care A, B, C, D, E sunt matrice de dimensiuni corespunzatoare (astfel incat sase poata realiza opera!iile de inmultire ~i adunare):

• dupa cum parametrii care apar in funqiile (f. g) sunt sau nu variabili in timp,sistemele sunt:

- ell parametrii eOllstati, sau- ell parametrii variabili.

In ultimul caz parametrii pot depinde fie explicit de timp, fie intr-un modindirect. ExempleJe ce vor fi discutate in paragraful 1.5 "or elarifica mult maibine aceste notiuni.

Pornind de la fonna generala a unui sistem dinamic liniar, data de ecuatiile1.11, se pot eviden!ia careva structuri particulare, care se vor dovedi folositoareatat pentro analiza proprietatilor sistemelor, cat ~i in proiectarea sistemelor dereglare automata.

In primul rand sa observam ca atiit intrarea cat ~i perturbatia sunt marimicare actioneaza din exterior asupra sistemului, diferenla intre ele fiind aceea cai.ntrarea poate fi u~or controlata intr-un sistem de reglare automata, in limp ceperrurbatia este complet independenta. De exemplu, in cazul unui automobil carese deplaseaza pe 0 ~osea, atat forta dezvoltata de motor, cat ~i forte Ie date defrecarea cu solul, de inclinarea ~oseJei, sau de vant aClioneaza simultan ~imodific1i viteza automobilului. Desigur, doar prima este eea care poate ficontrolata intr-un sistem de reglare a vitezei (fie el automat sau prin aqiuneumana), celelalte fiind perturbatii, asupra carora nu avem nici 0 influenta.Similar, in cazul unui motor de c.e., starea este determinata atat de tensiuneaaplicata la bornele motorului cat ~i de cuplul dat de sarcina. ~i In acest caz putemface aceea~i distinclie intre aeeste doua marimi.

Daca tnsa am imagina un sistem de reglare a vitezei motorului In care saavem aeees alat asupra tensiunii cat ~i asupra cuplului care actionem dine:>..'teriorasupra axului ma~inii, aceasta deosebire ar dispare. Acela~i Iueru seintampla de asemenea daea pur ~i simplu ne intereseaza felul in care se compona

sistemul ea urmare a ae!iunii mlirimilor externe, tara a face nici 0 distinetie intrefelul acestora. In aeeste cazuri vom grupa vectorii II ~i v in unul singur, primaecuarie din 1.11 devenind:

[II] nol

x' = Ax + Bli + Ev = Ax + [B E] v = Ax + Oil

{

X' = Ax+DuJ' = Cx+ Dil

Un alt caz particular interesant este acela in care asupra sistemului aqioneaza 0

si.ngura marime extern a, iar ie~irea este de asemenea una singura. In acest eaz,atat II cat ~iy sunt sealari, iar matricele D, C ~i D sunt veetori, ecuatiile devenind:

{

X' = Ax+buy =eT x+du

Astfel de sisteme se numesc sisteme ell 0 ill/rare $i 0 ie$ire ~i se abreviazaSISO (din Iimba engleza). Similar, toate sistemele care nu sunt de acest tip suntcu intrari ,:;iJsau ie~iri multiple, ~i se abreviaza MIMO.

Se observa ca toate sistemele liniare sunt preeizate complet daea se cunosematricele A, D, C si D, astfel incat un sistem liniar dat se poate serie preseurtat:

De asemenea, deoarece de multe on matricea D este nula, sau pur ~i simplueand nu intereseaza efectul direct al intrarilor asupra ie~irilor, se va scrie:

in ace:>! ;:.:ua~f yom diS':-Ul3 cateva aspecte genera Ie legate de fclul in care

se pot obrine e-::u:l!iile unui sistcm dinamic. unnand ca pe parcursul carpi sa

n~\"enim cu 0 ::.naliza mai amanun!it3..

A~ad~ crei'uie ca penuu un anwnit proces (lizic. tehnologic, etc.) sa

ob!inem 0 de-s.:-riere matematic3. de tipul general dat in CC1l3!ia.1.6. deci de tipul

unui sislem '::':1amic. Opera!ia de 0b!inere a ecuaJiilor sistellllllui ce descrie un

proces dal se :.:.mle~te modelarea procesllilli.Exist3. d~)ujl11odalita!i de a realiza acest lucru:

• ecua!iile s!stemului se obtin din ecuatiile tizice ce se pot scrie pentru procesul

respecti\-:

• ecua!iile st;:remului se obtin in urma unor experimente. din analiza ie~irii y ~i

a intriirii II care a provocal-o .. -\ceasta operatie se nume~te idelltificare.

OricJ.re din aceste doua rosibilitati este folosita. scapul este acela~i:

obtinerea unci model care sa fie folasit in proiectarea unui sistem de reglare

automata :l r:.xe;:ului respecti\-. De aceea modelul trebuie sa satisfacii doua

cerin!e, de c:.Jlte ori contradictorii: pe de 0 parte sa descrie cat mai precis

procesul re;:;:'Ccti\". pentru a ohtine 0 reglare cat mai perfonnanta, iar pe de alta

parte sa tie cit mai simplu, pcnuu a face mai u~oara proiectarea ~i realizarea

sistemului ce control.

Exemplu: S2 se gaseasca un model pentru circuitul RLC serie prezentat in figura

I.:·J, pc baza caruia sa se poata proiecta un sistem de reglare automata

a curentului prin circuit (sau a tensiunii de incarcare a

cc=dcnsatorului).

Considerilm un circuit RLC la borneJe cilruia se aplica 0 tensiune v

curentul care rezulta fiind notat i .Deoarece pentru un astfel d '. Q'Q e clrclllt se pot

scrie foarte u~or ecualiile date de legile lui Kirchhoff, yom folosi primul

procedeu de modelare. Evident, fonlla finala sub care trebuie aduse aceste ecua!ii

este cea. data de ecua!ia .1.6., deci ne intereseaza sa separam in partea stangatoate denvatele care apar. Putem scrie: !

Se observa ca prima derivata cautata este cea a cllrentului. Expresiatensiunii pe condensator nu este folositoare in accasta- "orllla- I .

II scopu UI nostru,deoarece conIine 0 integraJa. Daca 0 derivilm insa, ob!inem:

i = C dvcn dt

Se observa ca starea sistemului are doua

condensator ~i curentul prin circuit, deoarece

derivate. Ecua!iile se pot u~or aranja in fonna:•

componente: tensiunea pe

ele sunt singurele care apar

/

R· Ldiva = [ + _a +va dr '

dv, J.-=-[dt C a

/

dia =!!..i +~v -~vdt L a L' L a

dvc = ~idt C a

Mai mult, se \'ede ca funetia f este chiar liniar1'lin raport cu aceste variabile,

deci am objinut chiar un sistem limar:

[_!i _1-1 [1]

A= f OL, B = ~ '

iar E este nedefinita, deoarece nu exista nici 0 perturbalie v.In ceea ce pri\'e~te ecuatiile algebrice ce descriu ie~irea sistemului, ele

• depind evident de cine sunt componentele vectomlui y, cu alte cuvinte ce anume

se masoara. De exemplu, daca se masoara curenrul ia, yom scrie:

cu alte cuvinte: C = [1 0] iar D = O.Daca insa se masoara atat curentul ia, cat ~i tensiunea pe condensator:

adica: C = r 1 °1 iar D =[0].LO lJ °

.De asemenea am putea masura caderea de tensiune pe rezistor ~i cea pe

bobina, adica VR

~i VL. Aceasta din urma se poate exprima in func(ie de

componenteJe veclOrului de stare astfel:

\' =[VR]= C .x+ D'II =[ R 0 l.x+l-O],"

• VL

- R -1_ 1

adica: C = [ R ° ] iar D = [0] .-R -1 1

Se observa ca dimensiunile matricelor C ~i D difera in funcrie de mmlMul

de ie~iri considerate. In st~it, trebuie spus ca numarul ie~irilor poate fi mai myre

decat numlirul starilor sistemului, chiar daca aceasta siruajie este mai rar rntalnita

in practica. De exemplu, pentru sistemul de mai sus se puteau masura simultan

curenrul ie' rensiunea pe condensator Vc ~i fluxul bobinei.

Duca in bucla formata de circuit se induce (datorita unui camp

electromagnetic exterior, variabil in timp) 0 tensiune vex1' ea reprezinta 0

perturbajie asupra sistemului, deoarece in sistemul de reglare automata a

curentului (sau tensiumi de incarcare a condensatorului), vex1 nu poate fi (eel mai

probabil) conrrolata. In acest caz este u~or de observat ca ea apare in ecuatiile de

mai sus ca insumandu-se cu \"a' ~i deci:

Desigur, daca ~i aeeasta tensiune este controlata (de sistemul de reglare

automata), sau daca pur ~i simplu nu i~tereseazli distinclia intre comanda ~i

perturba].ie, ambele fiind privite ca intrari in sistem, putem serie:

Alta observatie este ca pomind de la acelea~i eeualii fizice, matricele A, B,

e ~i D pot u\'ea expresii diferite, depinzand de ordinea in care se eonsidera

componente1e vectorilor de stare ~i de ie~ire. In exemplul de mai sus puteam scrie

intai ecualia tensiunu pe condensator, adica puteam alege:

~i am fi oblinut matricelc A ~i B cu !iniilc pcm1Utatc. Cu alte cuvinte, am fioblinut acel~i sistem, dar scris in alt sistem de coordonarc. Vom reveni asupra

,lcestui lucn! in capitolul2.

Ecua!iile 1.19 ... 1.23 sunt acelea ale unui sistcm Iiniar ~i invariant.

Parametrii sistemului pot fi constan!i. sau variabili. Fire~te ca In rcalitate

rezistel1!a cre~te 0data cu Incalzirea datorata pierderilor Joule. a~adar R este un

parametru variabil. Pentru a simplifica ecua!iile sistemului. aceasta varialie va fi

insa ignorata, atlita timp cat precizia nu \'3 avea de suferil. Valoarea R va trebui

insa sa lie considerata ca variabila daca se dore~te contf0lul curentului cu 0

precizie faarte ridicata ~i daca ponderea rezistentei este mare comparativ cu

reactan!ele XL ~i Xc'De asemenea, in realitate bobina se poate satura atunci rand curentul care 0

parcurge cre~te peste 0 anum ita valoare. In acest caz cMerea de tensiune pe

bobina nu mai arc expresia de mai sus, ci devine:

cu alte cuvinte sistemul este nelinear. Din nou se va incerca sa se ignore acest

lucru, pentru a pastra sistemulliniar. Chiar daca acest lucru nu e direct posibil, se

poate Incerca, in funetie de cerinlele impuse sistemului de reglare automata,

limitarea curentului ia' astfe! incat saturalia sa fie evitata. :\ceste eforturi de a

pastra sistemul liniar sunt justificate, a~a cum se va vedea. de faptui ca este mull

mai u~or de lucrat cu un model liniar pentru construirea unui sistem de reglare

automata. Sa consideram in continuare un alt exemplu.

Exemplu: sa se gaseasca un model pentru motorul de c.c. cu excita!ie separata, in

scopul proiectarii unui sistem de reglare automata a vitezei.

A~a cum se cunoa~te de Ia cursu] de Ma~ini Electrice. ~i cum spus deja in

,reacat ~i in primul paragraf. ecualiile unui astfel de motor sunt:

dio kv =Ri +L-+ OJ,

a 0 dt

d(uJ--' =11I-11I =kio-lIIsdt 5"

"unde V.este tensiunea de alimentare, ia este curentul care trecc prin rotor, OJr este

viteza rotOrullli, iar k 0 constanta, depinziind de construc!ia ma~inii ~i de curentul

statoric. Cuplul ma~inii estc notat 1/1, iar cel pe care 11opune sarcina 111,. R ~i L

sunt rezistenta ~i respectiv inductivitatea rotorului, iar J cste momentlll total de

iner!ie al motorului ~i sarcinii. Schema unui astfel de motor este cea din figura

1.11, unde ea reprezinta tensiunea contra-electromotoare, sau caderea de tensiu6e

pe rotoml ideal, datorata rotirii acestuia, respectiv termenul k(u,. In ec. 1.25.

". (~( "-J~ £Exxdci"tatie

tJJr.1Il

Procedand intocmai ca ~i in exemplul precedent oblinem urmatoarele

ecualii ale sistemului:

Similar sistemul este liniar, cu parametrii constanli, atata timp cat se poate

neg!ija varialia rezistentei rotorice ~i saturalia circuitului magnetic rotoric. De

asemenea; trebuie remarcat ca pentm oblinerea acestui model simplu, ~i de altfe!

foarte eficient pentru proiectarea sistemelor de control, s-au folosit 0 serie

lntreaga de ipoteze simplificatoare1. Acestea permit simplificarea considerabila a

ecuatiilor, lara a se pierde Insa mull in ceea ce pri\'e~te acuratetea modelului,

toate fenomeneJe importante fiind bine descrise.

Uzual, In cazul sistemelor de ac(ionari cu motoare de c.c. se masoara atat

viteza, cat ~i curentul2, astfel incat ecuatiile de ie~ire sunt:

I) V. cursul de Ma!iini electrice2) Acest lucru va fi explicat in cadml cursului de Aqionari Elcctrice

rR kl 1-

-- _-I .!-. I 0 ! ]

A = f L j' B = [L]' E = i _ .!-.], c =! ~)_ 0 0 L J L-

J

01 ro ....i iar D=i !] , LO j

$i in acest caz am considerat ca inducQ\'itatea ~otorica nu se satureaza,

astfel incat sistemul sa rezulte Iiniar. Din nou. parametrii vor fi considera~i

constanti ori de cate ori acest lucru este posibil (in majoritatea aplica~iilor uzuale

adica, a~nci cand varia1ia lor este mica). 0 exceprie este de exemplu cazul unui

ascensor de mare capacitate, in care momentul de inerlie total variaza in limite

largi in functie de numarul de persoane din cabina (adica de masa cabinei). 0

pr:blema in;eresanta care apare estc a~ad.ar pana la ce limita a \'ariariei

parametrilor putem lucra cu un model im'ariant. ~i respecti\' cand trebuie

considera1i paramelrii variabili (~i in conse-:-inra se va proiecta un regulator

special, de exemplu unul care sa se schimbe in funqie de varia!ia parametrilor). ,

In primul caz regulatorul are 0 structunl fixa ~i trebuie sj atenueze efectele

varialiilor parametrilar asupra performan1elor sistemului de reglare, lara a

"banui" aceasta varia1ie, in timp ce in al doilea regu!atorul \'a trebui sa se

schimbe in funqie de varialia (masurata sau dedusa) a parametrilor. Raspunsul

nu este foarte simplu, deocamdatIi trebuie rerinuta doar ideea ca in cazurile in

care parametrii variazii pu1in este preferabil din toate punctele de vedere sa se

lucreze cu modele invariante.<:> observarie interesanta este aceea ca sistemele ce descriu circuitul RLe

serie ~i respectiv motoml de c.c. cu cxcita;ie independenta au exact aceea~i

fonna. diferind doar valarile parametrilor (adica ale coeficienrilor matricelor).

A~adar, toate concluziile pc care Ie \,om trage referitoare la proprietarile unuia

din aceste sisteme, ~i la felul in care se poate proiecta un sistem de reglare

automata. vor fi valabile pentru ambele cazuri. ~1ai mult, putem inlelege cum de

este posibila gasirea unar metode generale de proiectare a unor sisteme de reglare

automatIi pentm procese atat de diverse, cum sunt cele prezentate in paragraful

1.1: proceseJe sunt diverse, dar modelele lor sunt, in foarte mu1te cazuri,

asemanatoarc. Chiar daca aceastIi ascmanare nu este perfecta, ca in cazurile

~J,..-analizate mai sus, totu~i simplul fapt cli sunt liniare, este suficient pentm a

pennite tratarea lor generalli, indiferent de vaJorile parametrilor ~i de semnificalia

lor fizica.

In exemplele de mill sus componentele vectorului de stare x nu sunt

intamplatoare, ci au 0 semnificalie fizica foarte precisa: in toate cazurilc ecua1iye

provin din ecua1iile unui bilanl energetic de forma:

adica \'ariaria energiei unui element care inmagazineaza energie se regase~te in

suma puterilor care intra, ies, sau se consuma. Acest Iucru poate fi inreles foarte

simplu penrru un circuit RL serie, din a carui ecualie:

. diV =Rl +L_a

a a dt

d' d'2V i = Ri + Ii 2 = Ri + L2

a a a a dt a dt•

. _ dWLadlca: Pa = PR +--, dt

A~adar, puterea prim ita din exterior este egala cu suma puterii disipata pe

rezistenla ~i a varialiei energiei inmagazinata in bobina. A~adar, in acest caz

curentul este variabila de stare pentm ca in circuit exista 0 bobina, care este un

element ce inmagazineaza energie, iar aceasta energie depinde de curent. Similar,

daca exista un condensator inseamna ca tensiunea la bomele lui va fi una din

componentele starii, iar daca exista un corp in mi~care de rotalie (corpul avand

desigur un moment de iner)ie) viteza sa de rotalie va fi de asemenea componenta

a stiirii. AceastIi legatura intre energia inmagazinata de diverse elemente ~i

variabilelc de stare care apar datoritii lor este data in tabelul 1.1.

A~adar, simpla examinare a clementelor existente in procesul ce trebuie

modelat ne indica ce variabile de stare vor fi in sistemul rezultant in urma

modelarii.

Teoria sislemelor de reglare automata

! Element Energia inmagazinata Variabila de stareI

tensiunea v cj eondensalor, ell capacilalea C v!C--'-

J

bobina. eu induelan!a L .' emcnlul iLL Ii.2

i solid, cu masa 111, in mi~care de ,,1 \'ileza liniara v/11-

translalie 2

! solid.. eu l110menrul de inel1ie J,in cu· I \"ileza de rota!ie (:)J-

mi~care de rota!ie 2 I

resort, eu eonst:lnta (rigiditatea) k , deplasamentul xk~i

2

T b I I E'f oia inma\?o:inalii de diferile elelllente eleclri,e ,all lIIecal/icea . .. /, rO" <.;

~i mriabii<?l" de slore care opal' in sislemele ce cOIl!in Gceste elelllel1le

Trebuic insa remarcat ca aceste elemente nu sunt neapi'lrat singurele, ~i de

. - putea ca tonna eea mai simpla a sistemului sa nu Ie eon!ina pcasemeaea. ca ~-ar

toate. Doua scurte exemple \"or clarifiea aeeste afinna(ii.

Exemplu: sa consideram un motor de c.c. folosit intr-un sistem de re~lar~

automata a poziliei. in aeest caz una din marimile masurate trebUle sa

fie poziria unghiulara a rotorului, ceea ce impJica. pentru serierea

. .. ... a pozl'tia sa fie aleasa ea variabila suplimentara deecu2pel le~lrJ1, c ,

stare. Ecualiile devin:

r RL

kJo

l

fi'] 11 0 0] fi']y=l;' =e-x=l~ ~ ~ 'l;'Se obser\"a a~adar ca in acest eaz una din variabilele de stare este pozilia e,

miirime a carei prezenta nu poate fi explieata pe baze energetiee, ca apara.nd

dintr-o ecualie introdusA suplimentar la setul de ecua!ii diferentiale ce deseriuprocesuI din punet de \"edere energetic.

in acest caz circuirul are trei bobine ~i conform interpretiirii energetice vor

. fi rrei \"ariabile de stare, curen!ii i" i;, i3. Acest lucru se confirmA u~or scriind cele

trei e-;:uapi diferenliale penrru cele trei ramuri ale circuitului:

.di

l'k = Rik + Lk _k , k = 1,2,3.dt

A.ceasta ar conduce la un sistem cu trei ecuarii, respecti" cu trei variabile de

stare. insa. deoarece cele rrei variabile nu sunt Iiniar indepe1ldellfe, j'ntre eleexistfuJd desigur relaria:

inseamnii ca putem renun!a la una din ecuarii, respectiva variabilii de stare putand

fi determinata in orice moment din celelalte douA, conform rela(iei de mai sus. in

concluzie, penrru a piistra dimensiunea sistemului minima, nu se vor alege ca

variabile de stare deCal cele care sunt liniar independente.

Eeua!iile din ddini!ia no!iunii de sistem, a~a cum a fost datil in paragraful

1.2 (v. ee. 1.6. 1.7. 1.10 ~i ee. 1.1 ) reprezintil 0 deseriere In spa(ill/ starilor a

sistemului:

x' = Ax+ BII{

,y=C\:+DII

deoareee prin rezolyarea eeuariilo:' ~.:erenliale se obrine ehiar yectorul de stare xal sistemului. A~ cum s-a pr~iz21 in paragraful 1.5 start~a unui sistem eare

modeleaza un anumit proces are. in ~eneral, 0 justitkare flZiea precisil, rezultata

din considerente energetiee.

Dejinirie: Se nume~te spa(ill/ stiIriJor spaliul n-dimensional 'care are ca baza

\'Celom 1 de stare x (x E R').

Se nume~te evo/lI(ia (traiectoria) starU eurba definita In spariul

stmlor de variaria lui x :r: :imp.

Faptul ea yeetoml de stare x e.,-:e 0 bazilin spariul starilor (adica un sistem

de eoordonate penrru acest spaliu) c<:re, a~a cum am yazut deja in paragraful 1.5,

ea starile sil fie liniar independer.;e.

Daea se eunose condifiile ir.:;'oLl!eale starilor Xo ~i imrarea lI(t} se poate

determina, prin rezoh'area eeualiilo~ 2.1 valoarea ie~irilor ~i a starilor (evoluria

starii) la oriee moment.

",! .. -.;r?O

(t "'1~- t~ r5e;crier~a's'is~rr;~I~rn~~~~

( )AI (' A(/-')

xl =e xo+ Joe Bu(r)dr

Demonstrarie:

Sa eonsiderarn pentru inceput ecualia omogena (/1=0):

t(2.4)

pe care sa 0 rezolviiI11 prin metoda aproximaliilor suceesive. Aceasta Insemnil saseriem ul111utoarele aproximalii ale soluliei x(t}:

I 0 fl 0X (I) = X (0)+ Jo Ax (r)dr =xo+ Axuf = (I + AI)Xo

* 0 r' * 1 A*-I *-1X (I)=x (0)+ JAx - (r)dr=xo+ r'A(/+AI+ ... +--1-)xdr=

o ~o (k -1)1 0

A*I*=(1 +AI+ ... +--)xok!

{f

Prin definilie, matricea ciltre care converge seria de l11al' sus se nume~teexponen{ia/a nU1tricei At:

At Akt*e =/ +At+ ... +--+ ...

k!

Rezulta atunci ca solulia ecualiei vectoriale omogene data de eCllalia 2.4 se poatescrie:

In continllare se poate rezolva eCllalia neomogena (ee. 2.2), cu condilii initiale

Dule. Pentru aceasta, pomind de la 2.6 se CaUla0 solutie de.forma·". .

.• A' de(l)Ae"e(I)+e '--=AeA'e(t)+Bu(I}

dt .

de( t} = (e<: rBu( I) = e-AI Bu( I)dl .

ill care s-a folosit 0 proprietate a exponen!ialei matriceale ce va Ii discutata in

ceJe ce urnleaza.

Prin integrare. !iniind cont de faptul ca am considerat condilii ini!iale nule ~i

apoi prin inlocuirea In ec. 2.7 rezuha:

A~adar eyolu!ia starii unui sistem liniar este data de suprapunerea evalu(iei

lib ere, datoratii exclusiv condi!iilor ini!iaJe xltJ, ~i a evalu(iei [ar(ate, dalOrata

exclusiv intrarilor xltj. 0 denumire echivalentii este aceea de regim liber ~i

respectiv [arrat. Aceasta suprapunere a efectelor este desigur 0 proprietate ce

deriva direct din liniaritatea sistemului. In cazul sistemelor neliniare lucrurile

sunt mai complicate, de exemplu, pentru ecua!ia (considerata pentru

simplificarea expunerii scalara):

dx-=lIdtx

dar nu se poate yorbi de un regim liber ~i unul forlat. Daca am fi incercat sa

apJicam metoda de mai sus, ceea ce desiour este incorect Uln fi obl' t \"1o , .mu ecua 11 e:,

Sa enun!am acum ciiteva din proprieta!ile cefe mai importante ~i mai utile

ale exponenlialei matricei eAt, definita de rela!ia 2.5:

.'1 Ct7./ j, I -Iie =...z.- p" -A) f

3. eA'1 = I(=0 n

4. daca AlA, =A,AI

=:> eA"eA! =/AI-A:}I

cu consecin!a directa: (eAI t' = e-AI

d5. _eAI = AeA1 = eAIAdt

6 daca A este nesingulara-.· f' AI I A, -I -I. Joe Gr=e A -A

7. pentru (\;f) T nesinguJara: eTAT'l1= TeA'rl

Majoritatea proprietiililor de mai sus reies imediat din reJatia de definitie a

exponen!ialei matrieeale (2.5) ~i demonstratia lor este Jiis£tii ea 'exerciliu pe'ntru

eititor (Y reprezinta simbolul pentru transformata Laplace (v. Anexa II)).

Se observa ca atat prin relalia de definilie (2.5) cat ~i prin toate proprietalile

sale, exponen!iala matriceala este 0 generalizare a exponenliaki scalare. 0

difercn!a notabila este restriclia din proprietatea 4.Acest lucru ne permite sa atirmam ca solu\ia unui sistem liniar de ecuatii

diferenliale (datii de rela!ia 2.9) este 0 generalizare directa a soluliei unei singure

ecualii diferen!iak.Fapml cii exponenliala unei matrice oarecare este inversabila (consecinta

propriet3!ii 4) ne conduce la 0 concluzie importanta referitoare la posibilitatea

detemlinani condiliei ini!iale a sistemului. Astfel. din 2.9 rcmlla imediat:

-" -." J' ,;:-n -A' 1· -A'B dx =e· x-e e BlIdr=e x- e II ro u c

~i deci star-ea iniliala se poate detennina In orice moment al eYolu!iei daea se

cunoa~te starea sistemului (x) In acel moment ~i varialia intrarii II pe intervalul de

limp [0 []. Se spune atunci ca orice sistem neted este reversibil.

I-Jx(r} = A1xO+ ~A,-r-[BII(r)

r=O

DemonstrareRelalia 2.12 se poate Yerifica imediat, prin induclie. Se scrie succesiv:

x( J) = Ax(o).:.. Bu(o) = Axo + Bu{o)

x( 2) = Ax( J).:..BII( J) = A! Xo + ABII( 0) + BII( J)

k-;

x( k - J) = Ak-J xo + ~ Ak-'-: BUI r)

:=0

I-I

x(k}=Ax(k-J)+Bu(k-J}= Akxo+ IAl-r-'Bu(r): •. J

Din nou se evidentiaza un regim liber, ce depinde doar de conditiile initiale

~i un regim fortat, datoTat exclusiv intrarii:

I-J

xl(t} = IA,-r-JBu(r)r=O

Pentru a determina starea inilialii a unui sistem discrer daca se cunoa~te starea xintr-un moment oarecare t ~i varialia intrarii II pe intervalul [0 t] se scrie:

:-1 I-I

A'xO{t} = x(t} - IA,-r-J Bu(r) => xo(t) = A"IX(t) - IA-r-J Bu(r),:{} roO

Aceasra matrice exista Insa doar daca exista A-I, deoarece: A-I = (A-')' ~1 1Il

concluzie starea iniliala a unui sistem discret se poate detennina din starea x intr-

un moment oarecare t ~i varialia intrarii u pana In acel moment, nWllai claca

. matricea A este nesingulara. Acest lucru constituie 0 diferenla Intre sistemele

netede ~i cele discrete, deoarece, a~a cum am vazut primele permit neconditionat

aees! lucru.

Matricea A' , cu IE Z are unnatoarele proprietiili:

2. dacaA,Az=AzA, => A;A;={AJA;)'

cu consecinta directa: (A't = (A-1)'3. pentru (V) T nesingulara: (TAT-l

)' = rA'r-'

(cu .z am simbolizat transfonnata Z a unei funclii - v. Anexa IV).

Relaliile care descriu evolu!iile starii unui sistem liniar neted ~i respectiv

discret se pot scrie sub 0 fonna care sa scoatli In evidenlii asemanlirile dintre ele,

daca se noteaza:

tP(l) = {eAI. Ie RA', leZ

\1atricea l/J(r) se numc~te matrice fill/damenta/a a sistemuilli. Cu aceasUi notatie

ecua!iile 2.3 ~i respectiv 2.12 devin:

X(I) = 4>(r)x, + i'tP(t - r)Bll(r)dr,, 0

H

X(I) = 4>(t)xo + L:tP(l- r -l)BII(r),~"'O

~i se observa cii ele sunt foane asemaniitoare. deoarece Sllllla din a doua rela!ie

poale fi privitii ca 0 aproximare in cazul discrel a inlegraki din prima.

Similar, pUlem scrie:

. Xo = tP(-I)x(r)- f~tP(-r)Bll(r)dr r E R

I-I

Xo = tP(-r)x(t) - L:tP(-r -I)Bll(r) r E Zi"'O

eu deosebirea ca a dOlla relatie este valabilii numai daca A cste nesingulara. in

tine, se observa ~i faptul ca unele din proprietii!ile matricei fundamentale in cele

doua forme sunt [oane asemanalOare.

Determinarea evolu!iei starii unui sislcm !iniar neted sau discret se poate

face analitic, Cll ajutorul rela!iilor 2.3 sau 2.12, sau numeric, cu ajutoruJ unor

programe de caleu!' Calculul numeric are a\'antaje cene, in special in ceea ce

pri\'e~le rapiditatea ~i posibilitalea de a opera cu sistcme de dimcnsiune foarte

mare ~i eSle srudiat in dctaliu in cadrul ~cdin!elor de laborator. Calculul ana!itic,

facut de obicei doar pcntru sislemelc dc dimensiune mica pennite in!elegerea mai

buna a procesului respcctiv, ~i a modului in care di\'er~i parametri fizici

influcnreazii e\'olu!ia starii.

Penlru calcularea analilica a evoluriei starii este necesara in primlll rand

evaJuarea matricei fundamentale a sistemului respectiv.

2.1.3.1 Eva/uareo matricei fundamenta/e 0 sisteme/orlletede

Pentru sistcmele nctede evaluarea malricei fundamentale inseamna,

confom1 relariei 2. J6, calculul unei exponenliale matriceale. Exista doua

modalila!i principalc pentru efecluarca accstui calcul: utiliz<'mdproprietaiile 2 sau

7 din reJaliile 2.10.

Pa$ii algoritmlllui ce folose~te proprietatea 2 sunt:

• detemlinarea matricei: (sl. - A) E R",n.

• determinarea inYersei acestei matrice: (sf" - A;-' ;

FOn1ntla folosita uzual este: (sI, - AT! = 1 (sf n - A)' ,. del(sf,,-A)

detem1inantul $i adjuncla oblimindu-se prin apJicarea regulilor cunoscute.

• calculul transfom1alei Laplace inn:rse a matricei gasite la pasul anterior.

Acesta se facc prin unul din cele doua procedee (ealculul reziduurilor sau

descompunerea in fraqii simple) prezentate in Anexa II, aplicate fieciirui element

al matricei .

Pa~ii algoritmului ce folose~le proprietatea 7 sum:

• aducerea matricei A la 0 forma diagonal a (daca e posibil), sau la 0 fonna

canonica Jordan, printr-o lransformare de cOO/'donate A = TAT-!;

• calculuL mult mai simplu, al exponentialei acestei malrice:

- daca A e diagonala:

fA, 1 f) ]..-,"ell Ai = 'A= I'I 1

AI J Ai

reA,' I fltfl, -J l

(11-1)' I.il I .'1,1 I , . I

=l,

tmde :e I . L=e I' =1I'leAtr I

1·,;

j

1.1.3.2 £"aluarea matriceiftllldamelltalc a sisremclor lliscrete

Similar, matricea fundamentala, care acum este, confonn relaliei 2.15

matricea A ridicata Ia 0 putere intreaga se calculeaza folosind proprietalile I sau

3din2.15.Pa~ii algoritmului ce folose~te proprietatea 1 sunt identici cu cei prezentati

In cazul sistemelor netede, eu deosebirea ca aeum matrieea inwrsata depinde de

variabila z, iar transformata % im'ersa se ealculeaza din: z(:/ n - AT'·La fel, al doilea algoritrn este similar eu cel din eazul sistemelor netede, dar

acum se calculeaza:r .(iA}IAt -;-,II

,jL /'n

[A: 1 i ' * * * 1IAi* IJ

,*"

ell 'A1 =1sau: A = ., l *j'.'Aj

celelalte elemente de deasupra diagonalei fiind coefieienlii binomului ( ), i + 1) (,

In ~rdinea descrescatoare a puterilor. Daca e cazul linia respectiva se

completeaza cu zerouri, respectiv, In eaz de dep~ire, se renun!a la ultimii

coeficienli.

£xelllplu: Sa calcuHim evolutia starii sistemului ee descrie un circuit RL sene.

Ecuatia acestui circuit (1.29) poate fi u~or pusa sub forma unei ecuatii de stare:

diQ R. 1-=--( +-1'dt L n L n

Evolufia ei este fire~te descrisa de relatia 2.3. Deoarece A este In acest caz

un scalar evaluarea acestei relatii este foarte simpla:

R R--I ( --('-r) 1

x(t)=i.(t)=e L io + r e L -1' (r)d;Jo L Co

R-/

ial1}=eLio

In figura 2.1 sunt prezentate evolutiile celor doua componente, precum ~i

suma lor (adica evolu!ia sti'irii) pentru cazulln care U=10 V, R=1 .Q, L=0.01 Hiar io= 5 A.

5/'y,1J\

} ".

'.

Fig.2.1. Evolufia starii (linie continua) precum ~i a componentelor libera(linie punctata) ~ijor{ata (linie fntrerupta) pentru un circuit RL serie, laintrare treapta de temiune.

Se observa ca In acest caz componenta de regim liber devine practic zero

dupa un timp de circa 40 ms, adica dupa patru constante de timp ( T = !::= 10 ms)R

iar cea de regim fottat atinge, dupa acel~i interval, 0 valoare constanta. Acest

)ucru este desigur bine ~Iiut, dar trebuie sa observllm c1l nu intotdeauna lucrurile

slall a~a. Astle!. daca in ccuatia sistcl11ullli ar ti fost. in loe de temlcnul _!!... care. L

csle [e'l lil11pul ncgali\·. un temlen POZlll\·. :llat component a libera cat ~i cea

foqat:i af Ii lins catre intinit. Yom reyeni asupra accsrui lllcru cand vom discuta

despre stabilitatea sistemelor.

Ewmplu: Sa calculam acum eyolu!ia starii sistel11ului ce descrie un motor de c.c.

Cll excitalie independenta. Ecua!ia acesrui sistem este data de relalia 1.26.

Desigur. daca :in aceast1l relalie am separat lensiunea de alimentare (considerata

ca purand ti marime de comandii) de cllplul de sarcina (necolllrolabil. deci

perturbJlie). acum este tiresc sa Ie considerarn pe ambele drept intrari. arnbele

influenpind fire~te eyoluria starii. De aceea este conyenabil sa scriem, folosind

Ilotariile din 1.26:

- ]I'U = I n

~/l1s

rs "- !!..(sIn -..1)=1 /

I ,.

L -Jk

LRI

s+-IL·

kL

R k-5 +-S+-

L UR

5+-L

R k'5 +-5+-

L U J

Descrierea sistemalor Iineare

{ } {k }.,?-' 5 2-' -i.-

2 R k2 2 R k25 +-5+- 5 +-5+--

{

l Lk U} { L R U}y' J 2-1 5+1.-

2 22 R k 2 R k5 +L5+ U 5 +LS+ U

in calculul aces lOr transformate inverse ne vom folosi de ulll1atoarele relalii(Y. Anexa II):

.?{sin(M)}=~5- +0-

2 {cose (,x) } = --,--!--,5 + W

R! e--<-4L' LJ

Daca rela!ia 2.17 nu este indeplinita radacinile determinanlului vor fi reale

~i nu complex conjugate. iar transformata Laplace inversa va avea cu totul altaforma. Acest caz este lasat ca exerci!iu penlm cititor.

Daca in5a relalia este satisIacuta, matricea fundamenlala a sislemului va fi:

- f. f-:Z'j R. Je i COSM- --SIn WI

'\ 2Lwk .!..,

-e 'L sinOJll(a

~i, prin calcule mai laborioase se poale obpne ~i raspunsul fOrJat. cu ajutorul

expresiei:

In care am considerat cazul in care ambele intrari sunt constante ~i am folosit

rela(ia:

(' A('-,) r' .'"Jue dr=.Jne drl' T, =t-T

Se observa ca fiecare componenta depinde atat de tensiunea aplicata la

borne ca.t ~i de cuplul de sarcina. Pentru sinlplificarea calculelor vom considera

Insa separat etectele datorate celor doua intrari. Deoarece sistemul este liniar

plltem aplica principiul superpozi(iei, iar ulterior yom ob(ine raspunsul fortat

total ca fiind suma raspunsurilor fOr(ate datorate tensiunii ~i respectiv cuplului de

sarcina. in evaluarea termenilor integralei matricei fundamentale sunt utile

formtilele:

eqrJeqr cas UJldt= -1 --z (q cas UJl+ UIsill Ult)q +UI

qr

Jeg, sillOJtdl =--!!----z(qsiIlUit-UicosUlt)q' +0)

fonnule care sc oblin u~or calculfuld Jeg, cas Mdt + j Jeq, sin OJtdt ~i separand

apoi panea reala ~i cea imaginara.

"

r . r DeSCrierea 'sislemelOr lirieare

Rq=--

2L

se gasesc unnatoa.rek fonnule ce arata dependen(a raspunsului fortat d~

tensiunea de alimentare:

.() Vel.,'af,. t = --e" sillUit

LUJ

k 1 (eq, eq, )

Ulif..(t) = Ve U -:--11 1+-q SiIlUlt--UJCOSUlI =q +UI \. OJ UI

. k [1 eq

' J= i'e - -:--z - , sill(UIt+rp)Uq+(O UJ~q'+Ul1

. (0Sill rp = -;=, =,===

;Jq- + 0/

eu .aceste fonnule putem reprezenta grafic raspunsul liber ~i respectiv

for(at, datorat tensiunii Ve. in figura 2.2 sunt prezentate aceste raspunsuri pentru

urmiitorul set de parametri: R=lQ, L=O.OI H, J=0.02 kgll/ k=2 Vs·, condi(iile

iniJiale fiind: iao =10 A. ~i respectiv UJr{) =50 rad s·/ iar treapta de tensiune aplicatli

avand valoarea Va=50 i~

Similar se pc-ate calcula ~i raspunsul fortat datorat cuplului de sarcina Ms.Se ob(in urmatoarele relapi:

M (2q eqr'\

UJ,frJt)=_J -z--z +-sin(Ult+ 2rp) IJ q +UJ UJ , )

o 0.02 0.04 0.08 0.08 0.1t[l}

0.02 0.04 0.08 0.08 0.1

t[l}

Fig.].]. El'ohl{ia compollelltelor stariillinie continlla) prCC1l11l$i rclSP1I1lS1I1

liher (linie punctata) $i jorlat (linie inrrerupta) pentru IIn 1I1010rde c.c.. la

inlrare treapla de lensiune.

in figura 2.3 sunt prezentate raspunsul fonat datorat unui cuplu de sarcina de 20

NIII, impreunii cu acela~i raspuns liber.

\ I\ , I\,

y,\\ l·---

'.1' ~ -/J -.- ~'-. -'-1 \,.jI'r l~

5

[rads-}] A

3

I0.05 0.08 0.1

I[S]

o 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

I[S

Fig.2.3. Emlulio eompolleflfelor starii Jlinie cOlltinlla) precul1l $i raspunslIl

liber (lillie PllllCfalfi) $i jorlal (lillie in/rempla) pel/In/ !III molar de e.e., la

in/rare Ireapra de cuplll de sarcina

Analiza acestor formule ne permite sa tragem cate\,a eoncluzii importante.

in primul nind, sa obsef\'am ca toate raspunsurile au 0 forma oscilant-amortizalii.

Oscilaliile au pulsalia r.u data de reialia 2.18 ~i ele se datoreaza faplului ca am

presupus indeplinitIi condilia 2.17. Amortizarea oseilaliilor depinde de faclorul q(reialia 2.20): cu cat acest factor este mai mare. eu atcitamortizarea csle mai

rapida

Analiza acestor formule ne permite de asemenea sA .regasim cateva

concluzii referitoare la fimc(ionarea motorului de c.c. cu excitatie indepcndenta.

Astfe!. se vede ca aplicarea brusca a unei tensiuni continue la borne duce la

pormrea motorului, valoarea la care se stabilizeaza tmalia fiind direct

propoqionala cu tensiunea aplicata, daca nu exista cuplu de sarcina (v. 2.21).FaclOrul de propoI1ionalitate se gase~te, dupa ciiteva calcule simple, ca fiind 11 k,lucru care se vede cu u~urinlii ~i in ecualiile motorului (1.26). Cand se aplica ~i

un cuplu de sarcina, tliralia va scade (pulin) falii de aceasta valoare proporlionala.

De asemenea se observa ca, la aplicarea unei tensiuni apare un curent prill

circ.uirul rotoric, curent care exista doar cand motoml accelereaza ~i dispare in

. momentul in care \'iteza se stabilizeazii. Acest curent produce cuplul care face ca

ma.;;ina sa accelereze.

Cand insa cuplul de sarcina este diferit de zero, curentul prin ma~ina este

diferit de zero, chiar dupa ce turaJia s-a stabilizat. Valoarea finala a acestui curent

se. gIise~te, pomind de la relalia 2.23, ca fiind M/ k, ceea ce se observa ~i in

. ecuap,ile motorului (1.26), pumind condilia de anulare a derivatei vitezei.

In fine, se obseTva ca regimul liber al ambelor componente ale stIirii tinde

.catre zero. Stingerea componentelor Iibere se produce dupa acela~i timp ca ~i

. . Ie' 4 2Lstabllizarea componente or ,ortate, anume circa: - = 4 -, ceea ce penr.ru, - q R

dalele considerate corespunde la 0.08 s. Aceasta inseamna printre altele ca timpul

in care porne~te un motor de c.c. prin conectare directa la relea nu depinde directde momentul de ineI1ie, deci de dimensiunea (~i puterea) motorului, ci doar de

constanta de timp electricii (a circuitului rotoric).

eu toate acestea, motoarele mari au un timp de pomire mare, deoarece au 0

inducti\'itate mare (datorita numarului de spire mai mare, pentru a da un cuplu

mai mare) ~i 0 rezisten!Ii mai mica (datorita seqiunii mai mari a conductoarelor,

cenna de curentul mai mare) decat cele mici.

.~a cum s-a vazu! In capitolul 1, un sistem liniar, ca orice sistem dinamic

se poate reprezenta grafic in modul urmator, evidenliindu-se legiiturile sale cu

exteriorul:

~- 1 (A, B, C.D)

o problema f1reasea rezultand din aceasta reprezemare este aceea a

detenninarii unei legaturi directe intre ie~irea J' a sistemului ~i intrarea II care 0

produce. Desigur ci in aeest caz nu yom face distinc!ie intre comanda ~i

perturba!ie, ci yom folosi termenul general de intrare (1.12). C oncluziile pe care

Ie yom obline vor fi va labile a~adar. in egala masurii., pentro amandoua.

Sa consideram cii Ia momentul t=0 se aplicii la intr:lrea sistemului un

semnal rt. In eapitolul 2.1 am vazut ea evolulia starii unui sistem liniar are doua

eomponente, una libera ~i alta foI1ata. Deoarece mtre starea ~i ie~irea unui astfel

de sistem exista 0 legatura liniara (data de 1.12) rezulta cii., atunci dnd intrarea

nu aqioneaza direct asupra i~irii (adiea atunci cand D = 0). ~i ie~irea va ayea 0

component a libera Yl ~i aHa forlata J'/

prima depinzand exclusiv de stare a iniliala. Rezulta ea influenla intrarii asupra

ie~irii este data de urmatoarele relalii:

t -t(l-C)Yj(t)=CJ/ Bud,

I-I

Yj(I)=CLtJ)(I-r-l)Bu(r} pentrJeele discrete.r=O

{0 1<0I (t) pentru sistemele netede

I, = CeA'B 1'?0

{0 1<.:;,0

hJt}= CA,-IB 1>0

y,(i} = th,(/-r}u(r}dr= I>,(t-r}u(r}dr = I>,(r)rt(/-r}dr

1-1 :IC oX:

J'j (t) = L",(t-r)rt(r)= Lh,(I-r}lI(r)= L",(r}II(/-r),=0

(2.27)

f

In oblinerea relaliilor de mai sus s-a folosit faptul ca ItJT) este nula pentro r

negatiY ~i la fel este ~i intrarea u, care se aplica ineepand ell momentul zero, de

aceea se poate eonsidera ea rvariaza mtre plus ~i minus infinit.

A~adar, pentru ambele tipuri de sisteme rezulta ea ie~irea forlata este

produsul de convolulie intre intrare ~i funetia It,:

Desigur, r trebuie sa fie pozitiv pentru ea, intrarea aplicandu-se la momentul zero,

ie~irea fortata se define~te numai ineepand din acel moment.

Se constata cii daca pe toate componentele intriirii sistemului se apliea un

impuls, ie~irea foI1ata va fi, conform proprietalii eunoseute a produsului de

convolulie:

Din aceasta cauza funetia he se nume~te riispunsut cauzatta imputs al sistemului

(vezi Figura 2.5, in care pentru simplificare s-a reprezentat cazul unui sistem in

care intrarea ~i ie~irea au 0 singura componenta - SISO).

Fig.2.S. Raspunsul eauzal la impufs h.:(t) al unui sislem finial' neled aj,

respee(iv diserer bj, esle ie~irea jorlala a sislemufui ~and la, intrare seapliea un impuls (eominuu, respeaiv diserel).

Faptul ca acest semnal este cauzal se verificli imediat, deoarece din relalia

de detinirie el este nul pentru orice moment de timp premergiHor apliearii intrlirii

tadic:i pentru t < 0). Daell nu ar fi a~a, ie~irea sistemului la un moment oarecare t

ar depinde de \'alorik intrlirii II la r> t.

in concluzie, componenta fortatll a ie~irii unui sistem liniar depinde de

intrare3 aplicuta ~i de funetia heft). fimclie detemlinata de matricele A, B ~i C.

lomponentu libera a ie~irii depinde de e\'olulia libera a starii sistemullli (deci de

condij.ia ini!iala a stlirii ~i de marricea A ~i de matricea C. Deoarece intrarea nu

inHuenreaza aceastl! componenta. este normal ca matricea B sa nu aparil in

expTcsia ei. In cazul in care exista 0 dependenlil directa intrare-ie~ire (adica

D = 0 la componenta fOlfata a ie~irii se adauga termenul Du.

A.•-;adar, daca pentru un sistem Iiniar se cunoa$te raspunsul eauzal la impuls

!I/O. se poate calcula ie$irea lorjata pentru oriee intrare u aplicata sistemului.

Aceasla se face prin evaluarea produsului de convolulie lntre cele doua marimi

(cf. ec. 2.18,2.27). Pentm simplificarea acestei operalii se poate folosi una din

proprietiijiIe importante ale transformalelor Laplace ~i respectiv Z, anume aceea

ca tran510mlata unui produs de convolulie a doua semnale este egala Cll produsul

algebric al translormatelor celor doua semnale. A~a cum se poate vedea, in

ambele cuuli he este nula pentru t < 0, ~i satisface ~i celelalte condi!ii cerute

pentru e:astenta rransformatei respective.

Sa ealcuHim transformata Laplace a raspunslllui cauza! la impuls al unui

sistem neled, considerat pentru inceput ea fiind de tip SISO:

Se obserya ca. datorita faptului ca sistemul esle SISO (~i deci Care 0 singura

linie. iar B 0 singura coloanli), dupa efectuarea produsului matrieeal se obline 0

funqie sca!ara de \'ariabilli complexa s, lucru firesc daea avem in vedere ca in

acest caz ~ihe este scalar.

Similar, pentru un sistem discret SISO putem ca1cula transformata Z a lui

heft) astfeJ:

%{h«t)}= %{cAt-IBl= C %~l-'lB =:: -IC %~1}B ==:: -'C::(zl-A/' B = C(zl-A/' B

in evaluarea eelor doua transformate s-a linut eont de propriet[l!ile matric}'i

fundamentale a unui sistem neted ~i respeetiv diseret (relaliile 2. I0 ~i 2.14).

Dejini(ie: Se nllme~tefllnc{ie de tral/sfer asoeiata sistemului SISO Jiniar

(A, D. C. D) funqia de variabila complexu:

H(s) = ..?{h«r)} pentru t E R

respecti\':

H(::) = %{h«t)} pentru t E Z

In cazul sisteme!or de tip MIMO raspunslll cauzal la impuls nu \'a mai fi un

scalar, ci 0 matrice cu numarul de linii egal cu numarul de ie~iri ~i numarul de

cDloane egal cu numarul de intrari. Acest lucru se poate \'edea imediat daca se

PIle cont de dirnensiunile matricelor C ~i D ~i de relaliile 2.26 ~i 2.29. Fiecare

element al acestei rnatrice este 0 funqie de timp. Se obi~nuie~te ca pentru aeeste

5isteme sa se noreze raspunsu! la impuls ,eu Te{t). Similar eu cazul sistemelor51S0 se introduce urrnatoarca definilie:

Dejini{ie: Se nume~te matrice de transfer asoeiata sistemului MIMO liniar

(A, D, C, D) matricea formata din funejii de \'ariabilli complexa:

T(s) = ..?{T«t)} pentru t E R

respectiv:

T(z) = %fT«t)} pentru t E Z

Dupa cum am anticipat, cu ajutorul funqiei (matricei de transfer) se poate

ob!me imediat transformata Laplace (Z) a eomponentei for!ate a iqiriiS=stemului, penrru orice intrare:

Fonllula de calcul a funqiei (matricei) de transfer a unui sistem liniar. in

functie de matricele care if descriu in spa!iul starilor este data de rela!ia 2.29,

pen~u sisteme netede ~i respectiY 2.30 pentnl cele discrete. ~upa cum se poat~

wdea singura diferen!a intre rela!ia de calcul pentru cazul slsteme!or netede ~l

respecti\' ~iscrete este notalia pentnl yariabila complexii. Se poate scrie atunci

compact:

sau

T( ;.) = C()J - A;-! B

unde ;. == s pentru sisteme netede ~i respectiv /. == :: pentru cele discrete. Desigur

ca intruciit funqia de transfer este un caz particular al unei matrice de transfer

(care are dimensiunea 1 x 1) am putea folosi 0 singura notalie, anume T(;J, dar

tn:dilional acest lucru nu se obj~nuie~te, deoarece de cele mai multe ori sistemele

SISO sunt tratate separat de cele ~nMO.

Aceea~i formula se poate obline prin aplicarea transformatei Laplace

(respectiv Z) sistemului de ecualii de stare dat de ec. 1.6, 1.7, 1.10, 1.13 (reluat :n

2.1), in care, ca peste tot in paragrafele 2.2 ~i 2.3 consideram ca D = O. Astfel, ill

cazul sistemelor netede putem scrie:

J sX( s) - Xo = AX( s) -'-BU( s)

lY(s)= CX(S)

unde U-I (s) denota a~a-numita inversa la dreapta a acestui vector. Pentnl

sistemele discrete se aplica transformata Z:

{zX(Z)-ZXo = AX(z)+BU(z)Y(z) = CX(z)

in fine. pentru cazul general, in care exista ~i 0 dependenla directa a ie~irii

de inrrare (deci D;e 0) formula de calcul a funqiei (matricei) de transfer se

ob!ine prin acela~i procedeu ca mai sus. Dupa calculc simple se gase~te:

T()..)=CX().)+DU(A) C()J-Ar'B+DU(A)

in continuare ne propunem sa gasim fom1a genera Hi a dependenlei de }. a

funqiei (matricei) de transfer. Astfe!, pentru sistemele SISO in care D = 0 ~ifire~te A E R",n se obline:

C()J -At Bde/(}J -A)

fJll.1),n-1+ ... + fJ1A + fJo),n +an_1An-, + ... +aIA+ao

in care s-a !inut cont de faptuJ ca cea mai mare putere care poate apare la

numariitor este, datorita felului in care se calculeaza adjuncta unei matrice, n-1.

A~adar, cand D = 0, alat pentru sisteme netede cat ~i discrete, funetia de transfer

este 0 fraetie ayand Ja numarator un polinom de ordin maximum n-1 (se poate ca

fJn.f, ~i nu numai, sa fie 0), iar la numitor un polinom de ordin n, ~i intotdeauna cu

an =1. Coeficien!ii ai ~i Ih depind fire~te de elementele matricelor A, B ~i C.

Pentru si stemele SISO in care D;e 0 (deci D == d, cf. ec. 1.11) rezulta imediat:

H( ;.) = C()J -Ar' B+d =

fJ '0-1)."-' - ... + fJ1)...+ fJo + dX -'-an_I)·n-f + ... +alA.+ao

d)...n+ Yn_1A.n-1+ + riA. + YoAn + an_1X-1 + +aIA+ao

~i deci in acest caz ordinul numaratorului este egal cu a! numitorului, iar

coeficientul lui ),n este chiar d. in ambeJe cazun ordinul numitorului este chiar. .'

Pentru :1 intelege structura matricei de transfer a unui sistcm liniar M1MOtrebuie sa ,)bSe~'[ll: mai intiii ca pentru till astfel de sistem daca partitionam

matricea C pc Iillii ~i rcspecti,· B pc coloalle:

r

Ix" .<,.B •• "'hlb, b

I !.1', 1 r c, lIiI'. , ! c:

'lY=":'I=CX=\c JIX:...YpJ L ~.•

fi ,- b a lui B inmulte"le scmnalul care se aplica pe intrarea j alccare C0:0~na j • Y •

sistemulu:. iar fiecare linie C: a lui C da (prin inmultirea eu x) componenta 1 a

ie~irii sis1emului.Calcul3.Dc ;:Jatricea de transfer a sistemului:

_: C(/J-A)'BTe;.) = C(/J - A) B = det(/J _ A)

: (/1-A)' b! C. . 1i 'del(/J - A)

(/J-Aj" b 1c, det(iJ _ A) no

, (iJ-.1j' bIe . ) 1; , det{.IJ - A

(iJ - .-0' bc,_ det(lJ _ A) m

se obser"a ca fiecare element Hij al ei este chiar funclia de transfer calculata

pentru intrarea j ~i ic~irea i. A~adar matricea de transfer este 0 matrice fomlata

din funqiile de transfer calculate pentru fiecare combina\ie posibila de intrari -

ie~iri. Acest lucru sc poate veri fica u~or ~i pentru cazul general, in care D", 0 . In

consecin!a este evident ca fiecare element al sau va fi 0 fraC\ie avand exact

fomla 2.34. respectiv 2.35. Se vede de asemenea ca matricea de transfer tare

numiirul de coloane egal cu numarul de intrari in sistcm iar numarul de linii egal

eu numarul ie~irilor sistemului.

In fine. sa observam ca daca in relaliile 2.34 ~i 2.35 numitorul ~i

numariitorul au riidacini comune func\ia de transfer se poate reduce la 0 forma in

care evident ordinul fiecaruia din cele doua polinoame va fi mai mic dedit cel

menlionat in respectivele relalii. Yom vorbi in consecin!a de fonna iniliala ~i

respectiv de fonna ireductibila a funcliei de transfer. Aceasta din urma este exact

ca cea data de rela!iile 2.34 ~i 2.35, in care insa se inlocuie~te 11 CU 11m < 11.

Exemp/l/: Sa se ob\ina funqia de transfer a motorului de c.c. cu excitalie

independenta.

Descrierea in spaliul starilor a acestui sistem este data de ec. 1.26. Yom

considera pentru inceput cazul in care irftrarea este tensiunea aplicata rotorului,

iar ie~irea "iteza sa. Aplieand fommla 2.30 ob!inem:

n (s) rs~3...H(s)=_f -=C(sI-Aj"'B=[O I) lU0) __

L J

[0 1)[: -~][±1- s+- 01J L - =

R k'S +-s+---

L U

kU

, R k'S +-s+-

L U

Se observa, a~a cum era de a~teplat, ea ordinul numitorului este 2. In acest

caz funetia de transfer nu este reduetibila.

Considerimd alte eombinalii posibile de intrari - ie~iri (v. paragraful 1.5)

funC\iile respective de transfer se oblin praclic cu acelca~i calcule (difera doar

matricclc C ~i B, deci il1TI1ul\irilematriceale. adica ultimele din calculele de mai

sus). Astfe!. pentru cazul in care intrarea este aceea~i, dar consideram ca ie~ire

curenlUl rotoric. se ob1ine imediat:

[

5 + I!-Its) -I [ ] LH(s)=-.-=C(5]-A) B= 10kl0) --

J

r5 -~1rll[I °l5 s+~J~J

, R k'5'+-5+-

L U

LR k'

5 +-5+--L U

Daca pentru acela~i sistem consideram ca intrari atat tensiunea rotorica, cat

~i cuplul de sarcina, iar ca ie~iri turaria ~i curentul rotoric, ecuatii1e sistemului

sunt date de rdaria 1.27. Deoarece in acest moment nu nc intereseaza sa facem

distinqie mtre caracterul celor doua intrari, matricelc B ~i Ese vor uni in:

B= Lo

L

[R k]-J[l ]rl 01 s+- - - 0

-: 'L L L -T(s)=C(s]-A) B=lo d -5 5 0 -] -

01r sk lfl

o 1 r 5 k-

II -- 1- L U

1JI kL

RI L k'

,io -'!-I , R , R k'

s+LJlO 5 +-S+- s +--5+-lJ JL L u L U

R k' k-(5+fH-5 ---S+- UL U e k', R R

5 +-S+- 5 +-5+-L U L U

Se observa ca elementele ei sunt, din nou previzibil, chiar functii1e de transfer

corespunzatoare, in ordine, fiecarei combinatii de intrari-ie~iri.

Dupa cum am aralat in paragrafele anterioare (2.1 $i 2.3), un sistem liniar

poate fi descris atiit prin ecuatiile de stare, cat ~i prin funetia (matricea) de

transfer. Daca se cunosc ecuariile de stare, funclia (respectiv mutricea) de transfer

se obtine din acestea cu ujutorul rela(iilor 2.35 ~i respectiv 2.33. Problema

inversa este obtinerea ecualiilor de stare din functia de transfer.

Dejini(ie: Se nume~te realizare a functiei de transfer H(),) orice sistem liniar-

evident SISO - (A, B, C, D) pentru care:

C()J -AT] B+D= H(A)

Sa consideram pentru inceput cazu) in care H( J...) este 0 rationala strict

proprie, adica ordinul numaratorului este mai mic strict decM al numitorului.

Conform celor aratate in subcapitolul anterior (rela(ia 2.35) rezulta ca in acest caz

D = O. Yfatricele A, B ~i C sunt date de urmatoarele teoreme:

H ().) = /1._,X-' + ... + /1JA + /10}." +a._J;.n-J + ... +aJ'?.+ao

0 1 0 0 00 0 1 0 0

A= B=0 0 0 1 0

-aD -aJ -a] -a._J 1

r ~ 1l I. j.-1

(/J -...1)-' B=~X(A)

p, ... p,j- ;'11)'-1 J .'

CI/J-Af'B=---------'-= 1(/.) =H().)xU) x()

Este interesai1t de obser •.at ca realizarea de mai sus nu este unica. Un all

'i5t::.':11care are exact aceea~i funqie de transfer este oblinut ca unnare a aplicarii

Ur:T!2.toarei teoreme:

Teoremii: Daca sistemul (A, E, C, D) csle 0 rcalizare a funqiei de transfer H(l.),

atunci ~i (AT, CT, BT, DJ este 0 realizare a acelei~i funqii.

rf, T }-I T T 1= B ~;J - A) C + D = B ()J - ArC + D

r"0 0 -aD r 130 l

A= ;0 0 -a, ; 1311 0 B},j0 - an_]

ILa 0 1 -an_, Pn.'

Demollstrarie: Se observa cii realizarile standard observabila (2.41) ~i standard

controlabila (2.39) respecta relalia (2.40) din teorema precedenlii, deci ambele

sunt realizari ale acelei~i funqii de transfer.

d ,n ,n-/ " + YH A _ 1', +Yn-I'" + ... .,.y,'" n( ) - •• ,n-I + ' + a

1'. +an_I'" + ... alA 0

~i deei realizarile controlabila ~i observabila se ob\in en mal sus, la rela\iile

(2.39). respecti\' (2AI) adaugiindu·se D = d.

/7 -1Exemplll: Fie funqiadetransfer: H(z)= : '-'"'. 08z .,.1.).- .

A - [ ° 1] B = [°1 C = [.1 2]0.8 -1.5 I.

A=[OI 0.8] BJ·1l C=[O 1]-1.5 L2-J

~i fire~te In ambe!e cazuri D =d = 0.

Daca insa am fi avut:

3z1 + 2z-1H(z)=----

Z1 +1.5z-0.8

-2.5z + l.4H(z)=3+, •

z'+I.)2-0.8

A -I 0 I B = [~] C = [1.4 .2.5] D = 3.0.8 -1.5 J

Pentm 0 funclie de transfer H(l.), ne pun em problema daca realizarile

controlabila ~i observabila sunt singurele posibile.

Dejillirie: Doua sisteme (A, B, C, D) ~i respectiv (,4, iJ, C, iJ) se nunlesc:

• eclzil'alente pe stare daca exista 0 matrice T nesingulara, ast[el inciit:

• echil"alellte intrare-ie~ire daca pentru aceea~i intrare u aplicata ie~irile

lor fortate sunt egale.

Obsen'a{ii:

1) Pentru doua sisteme echiYalente pe stare, conform defini\iei rezulta imediat ca

de fapt este yorba despre acela~i sistem, yazut Insa in doua sisteme de coordonate

diferite, legate intre ele prin T, care nu este altceya de cat matricea de

trans form are. Astfel, daca pentru sistemul:

{x. = Ax,+ BII

y=Cx+Du

introducem 0 schimbare de coordonate care sa modifice starea In x = Tx, putem

scrie:

{TX' = TAx + TBu

y=Cx+Du

{x. = TArl x + TBII

y= C~+ Du = CT-1.\-+ DII

Am oblinut ~adar ecualiile sistemului scrise in noul sistem de coordonate, in

care starea este x = Tx. Matricele sistemului in noile coordonate sunt chiar cele

date de (2.42). Se observa de asemenea ca intrarea ~i ie~irea sunt acelea~i, in

ambele sisteme de coordonate. eu alte cuvinte, rezulta ca doua sisteme

echiYalente pe stare sunt in mod necesar ~i echivalente din punct de vedere

intrare/i e~ire.

2) Douii sisteme sunt ~chi\"alente intrarele~ire daeA~inllmai daea au aceea~i

fUIIClielmatrice) de transfer. Aeest lucru se poate veri fica u~or, avand In vedere

rela!ia (2.31). Tiniind com de faplul ea 0 funqie de transfer poale sa fie exprimata

il1lr-o fOmla reduelihilii sau ireduetibila. trebuie preeizal C3 rcspeelivele sisteme

sunt echi\'alente intrare-ie~ire daca ~i numui daca au accea~i /orl11ii iredllclibilii a

func!iei (matricei) de tr3..!lsfer.

Avand in wdere aceSle observalii este firesc sa fonnulam unl1atoarca:

Demollstratie: in afm de dell1onstra!i3 care se poate deduce ill1ediat din

observaliile anterioare. putem verifica acest lucru ~i ca!culand funqiile de

transfer ale celor doua sisteme:

Concluzia imediata este ca exista 0 infinitate de sisteme eare au aeeea~i

funetie de transfer (in lonna primara), respectiv toate sistemele echivalente pc

stare. in aeela~i timp funqia de transfer este uniea penlru un sistem dat (eel mult

se poatc reduce la 0 forma mai simpHi). L"rmatoareJe exCll1ple vor c1arifiea aeestc

obsCT\·alii.

Exemplll: Sa se construiasea realizarea standard controlabila a PJnqiei de

transfer (2.3 -) a motoruJui de c.c. cu excita!ie incependenlii ~i sa sc

compare eu rela!ia (1.26).

'°1B='1 c=[~ 0:

I·,:'")-'.,"

~ieste diferita de fonl1a obtinutA in capitolul I (ec I ?6) C ~. '" . .- . on,orrn eelOT spusemal sus, lIltrucat anlbele slsteme au aceea<i functie de trans~e I "

• 1 . II r. rezu ta e11 eleI trebuie sa tie ~hivall'nte pe stare. Pentru a ne eonvinge de aeeasta " _.I ~ . , Sa gasunI matricl'a T de trans!onnarl' care face legatura intre cell' doua sisten~e deI coordonate. \'om nota cu ",~" sistl'mul dat de (1.26).

Pomind de!J rdalia B=TB oaSI'nl' i-L']_[III 1121[°] .d' , !, "" - ,~l eCI: t = - I - °o I" I" J I 12 L' 2' - •k

Descrierea sisteme/or Iineare

r 1in conlinuare: t = crt => CT = C ~i deci: [0 It:: t I= [.z: 0], de unde

1 - krezu la r, ,=:- ... U

rrCu aeeSle informa!ii pUlem seric: T =: I ~'

LU

~j-" .o . lar m\'ersa sa va fj:

In fine, inJoeuind aeeSle matrice in A=: TAT-J oblinl'm', .

[-z k~][ Q -~l-- I I"

I 1 IrQL~ -~

k = k R -- L

J-

° --I k kJ :...LJ LJ--,- -- I"L"J- LJ

-Ii I kR-i =_1_1 L'Jk I k2I"J --I'L'J _- L'J2

-oz] ~lll =0

Am veriticat a~adar ca cele doua expresii reprezinta ecuatiile aceluia~i

sislem. in doua sisteme diferite de coordonale, legatura inlre aceslea fiind dala de

matricca:

-2-1 r 0L =1

o J LL r]11 r 0-L I -. 1 l. a carci inversa eSle: T = _ k _.!.--.

OJ L:J U

. I . (1.26) esle .;. =\- ir.l .. starea sislemului inDaca slan~a Slstcmu U1-LlVr_ '

In acesl caz se poale gasi 0 semnificaJie fizica ~i penml noua stare

(componenla a doua esle t1uxul prin induclivilalca rOlorica iar prima este

raportul intre tensiunea contra-electromotoare ~i un factor care" dupa cum se Ya

vedea ulterior esle patratul pulsaliei nalurale a sistemului) dar aceasta

semnificalie nu este interesanta. In general, pomind sa zicem de la (1.26). prin

schimbar~a coordonatelor se po ate ajunge la sliiri care nu au nici 0 semnifica!ie

tizicli, dar care VOl' fi toale de forma:

\

' r;lia + r;/v, 1_t;liQ + t;2CU' J

2 Sa'1 d . de ~uncll'a de transfer: H ( 5) = -- . seExemplu: Fie sistemu escns II 5';- 3

gaseasca sislemele care au ca funqie de transfer aceastli expresie.

Realizarea standard conlrolabilli este: A = -3, B = I, C = 2 ~i fire~le toate

. 1 d fi a' A - -3 B = I C =?~ t ~ 0 VOl'avea exact acee~i funqieSlsteme e e onn. -, , - I '

de transfer. Sunt oare aceste sisteme unicele cu aceasta proprielate? Daca scriem:

2 2( 5 + J) 25 + 2H(5)= 5+3 = (5+3)(5+1) - 5} +45+3

A = [0 - 3] B = [- 2] C = [0 1]1 -4 ,2

gasim, pomind de la ea, 0 noua mullime de sisteme, de data aceasta de ordinul 2,

care au aceea;;i funqie de transfer (dupa reducere). Tot astfel, prin acel~~i

procedeu se pot construi ~i sisteme de ordinul 3, 4, etc. cu aceea~i func1ie de

transfer (redusli).

A~adar, informapa data de 0 funqie de transfer este incompleta, spre

deosebire de cea data de ecualiile de slare. Acest lucm este tirese, aviind in

"edere ca funqia de transfer nu conIine nici 0 infonnalie despre stare, ci doar

despre intrare ~i ie~ire. Pentru evitarea confuziilor esle important ca atunci cand

se lucreaza Cll funqii de transfer sa se fixeze ciaI' ordinul lor, respectiv

dirnensiunea modelelor in spaliul slarilor echivalente. in acest caz funqia de

transfer va descrie sisteme care sunt echivalente pe stare.

A~adar, ecualiile de stare ale unui sistem !inial' neted sau discret se pot

. reprezenta' intr-o infinitate de forme, fiecare corespunziind unui alt sistem de

coordonate, adica unei alte reprezentari ale vectomlui de stare. in general, atunci

cand ecualiile sistemului se oblin direct din ecualiile fizi~e ale procesului

respectiv; componentele vectorului de stare au 0 semnificalie tizica precisll (v.

sistemele descrise de 1.19, 1.26). Aceastli semnificalie se pierde in general prin

schimbarea sistemului de coordonate. eu toate aeestea, exista anumite sisteme de

coordonate care sunt deosebit de utile in diverse aplicalii, deoarece due la forme

particulare relevante ale rnatricelor sistemului. Acestea se numesc forme

canon ice ~i cele mai des intiilnite sunt:

a) forma canonica controlabitli - (2.39);

b) fonna canonica observabitli - (2.40);

c) forma canonica diagonalli - numai daca matricea A este diagonalizabilii:

A.1 0 0 01 I 130 1

0 ;'} 0 !j Be

131 IA= 0 0 0 : I c = [Yo YI Yn-} Yn-I]

J.n_J 13n02 j0 0 0 A.n 13nol

59

unde }.jsunt "alorile proprii ale matricei A (valorile proprii sunt indcpcndente de

sistemul de cwrdonate), iar Pi ~i Yi sunt C'3recarc. Daca sistemul estc scris sub

aceasta forma func!ia de tr3IlSler se obline direct descompusa in fraqii simple:

r II-i s - /.,

H( s} = CI sl- ,4 r! B = ci .!

Sa cO!1sideram din nou circuitul RLC serie. al carui model in spalilli sUirilor

este descris de relaliiJe 1.19 ~i 1.20. Pentru acest model intrarea este tensiunea

aplicata la bomele circuitu!ui. iar ie~irea este curentul rezullanl. DlIpa cum se

cun(\&~te. arunci cand lensiunea este 0 sinusoida de 0 anumita frecvenla, dupa un

anumit rimp de !a aplicarea acesteia, curenrul prin circuit devine de asemenea 0

sinusoid a pura. anind acee~i frecven!a cu a tensiunii. Amplitudinea curentului

depinde de cea a tensiunii. dar ~i de \'alorile elementelor circuitului. Dc

asemenea, inrre curent ~i tensiune exista un defazaj care depinde ~i el de cei trei

parametrii (R, L ~i C).

Daca exact acela~i model, avand exact acelea~i \'alori ale coeficienlilor

matricelor A, B ~i C corespu.'lde unui cu IOtul alt sistem fizic (a~a cum am vazut

tot i~ capitolul 1. un astfel de sistem este de exemplu un motor de c.c.), este

firesc ca acest nou sistem sa aiba exact aceea~i comportare intrare-ie~ire ca

circuitul RLC ipentru ca are acee~i funqie de transfer). A~adar. daca intrarea

cste sinusoidala. ie~irea \"2 ~Jde asemenea (\ sinusoida, de aceea~i frecven!a ~i

defazata faJa de intrare.

in fine acee~i concluzie se poate eX'1inde asupra tuturor sistemelor !iniare,

indiferent de dimensiune ~i de semnifica!ia fizica.

Sa presupunem atunci ca unui sistem oarecare Ii ap!icam Ia intrare sinusoide

avand amplitudine constanta ~i frec"enla yariabila. Daca masuram ~i notam,

pentru fiecare frecyen!a a intrarii, amplirudinea ~i defazajul ie~irii yom obline 0

tabela care caracterizeaza respcctivul sistem. Pentru a realiza 0 descriere in

frecyenla a sistemului, aceste date pot Ii reprezentate in diverse moduri. Cele mai

folosite sunt diagramele Bode, in care, amplitudinea ~i respectiv defazajul se

reprezinta in ti.mqie de frecvenla, ~i cele Nyquist, in care raportul ie~ire/intrare se

reprezinta in coordonate polare, cu frecven!a ca parametru.

A~adar, este ''Ofba despre reprezentarea amplitudinii ~i defazajului ie~irii in

func!ie de frecyen!a (mai precis in funqie de pulsalie de obicei). In cele ce

urmeaza yom presupune Cll sistcmul este SISO. Intrarea sistemului se considera a

fi (' sinusoida de amplitudine unitara. In caz contrar (general) se reprezinta direct

raportul intre amplitudinea ie~irii ~i a intrarii ~i respectiv defazajul. Daca se

cu.noa~te funqia de transfer a sistemului, cele doua curbe se pot detennina

analitic, inlocuind in funclia de transfer: s=j(j).

Intr-adevar, daca consideram intrarea:

u( () = sil/( OJ( }

'.'£.-Ae(U

in care am !inut cont de expresia transfonnatei Laplace a sinusului ~i de teoremaintfu"zierii. A~adar:

)(05!- .H(j(j)}=Ae '" = AeJI'

~i deci rapol1ul amplitudinilor esle modulul lui H(j(j)) iar defazajul este chiarargumentul acesteia.

Exemplu: Sa consideram un sistem de ordinul I, a~a cum ar fi 'de exemplu un

circuit RL serie. Ecualiile in spaliul starilor sunt:

{i = ax+bu

, in cazul general. sau:y=Ct"

J: R 1 R I.1= -7.x+III pentnl circuirul RL (adica a = -7.' b = I SI e = 1).

ly = i

cb, . d .Func!ia de transfer a unui astfel de sistem este: H (s ) = ~. Inlocull1 s=j(1J se

acose=---~J" ,-va- '"-m-

m"ine=--~==- .,Ja2 +(1J2

A~adar in acest caz expresia raportului intre amplirudinea ie~irii ~i a intrarii, in

funqie de pulsalia m este:

.\({ jm) =,'a1 +(j)l

(m\

rp( OJ) = e( m) = -aretg - ia,

Reprezentarea grafica a aceSlOr dependenle este indicata in Fig. 2.6, in care am

'd t - 100 cb - 20 iar pentnl m ne-am limitat la valori mai mici deeonsl era a - , -

" \: \,, 1\

0'\

"-"r-... -----

0

"0

\\

\.••..... ---,

,o 1(X1 200 300 400 $00 600 700 800 S)JO 1000 .'i 0 100 200 300 400 ~oo eoo 100 800 wo 1000

ro roFig.2.6. Reprezenlarea graficii l/ ampliludinii ~i respecliv!azei ie$irii unuisislem de ordinul 1, pentnl intrare sinusoidalii. Ambele miirimi suntreprezentate fnjilllc{ie de pulsa{ia intriirii, iar coordonatele sunt liniare.

A~adar amplitudinea ie~irii seade odata eu ere~terea frecvenlei intrarii

tinzand catre zero, iar defazajul tinde catre _900 (intarzierea cre~te de la 0 la 90°).

Sistemul de ordinul I se comporta a~adar ca un filtru trece jos (FTJ). Acest lucru

corespunde intocmai cu ceea ce se cuno~tea deja pentru circuitul RL serie .

. 2.5.1.1 Coordo1late logaritmice

Uzual reprezentarea caracteristicilor Bode nu se face in unitati naturale, ci. '

in unitali logaritmice, pentru raportul amplitudinilor ~i pentru pulsalie (defazajul

rarnane in continuare in grade). Aceasta reprezentare simplifica, dupa cum vom

\'edea, operaliile de trasare a graficului ~i de calculare a funcliei de transfer.

Mai mult, raportul amplitudinilor se prefera sa se masoare in decibeli (dB), deci

in ordonata primului grafic vom avea:

20logly( ~m)1 (dB)u(}m)

iar in abscisa ambelor grafice: log m. De remarcat ca in acest fel apare 0 singura

unitate pentru raportu! amplitudinilor ie~irii ~i intrarii, de~i acestea pot fi in

general marimi cu totul diferite, fiecare masuratii in alte unitali (de ex. pentru

motorul de c.c intrarea este tensiunea aplicata rotorului, masurata in V, iar ie~irea

este turalia, masurata in rad/s). In noile coordonate graficele din Fig. 2.6 au

forma aratata in Fig. 2.7. Se observa ca alura curbelor este diferita, datorita

faptului ca noiJe coordonate nu sunt liniare. Zona pulsafiilor "~1ici" este acum

mult mai clara (marita) decat in cazul anterior, chiar daca, deoarece nu se poate

calcula log 0 reprezentarea lncepe la 0 valoare mai mare (10 pentru aceastii

fie.ur:D. Prin pulsalii ''mici'' in!elegem acele PUIS3!ii inferioare pulsariei naturale

a - sistemului. Pentru sistemele de ordinul I pliisalia naturalii este invers

pror\.1riionalii cu constanta de timp a acestllia.

\1 .[dB] J--

,; '""'~ " ,='ji~:

'\; I,

"- L.) r--.

J

fi2.1.7. Revre=e/;tarea graficii a all/plill/dinii ~i respecri!'fa=ei iqirii /IIllIi

sis~e/ll de ~rdinlll 1. pelllrll inrrare sinllsoidalo (diagramele Bode). Ambelen;Jrimi S/Illt repre=enlare in fllnerie de pulsaria introrii, iar coordonaleles;m[ logarirll/iee (ell exeepriafa=ei).

0;;: muIte ori in abscisa nu se noteaza valoarea logaritmului - de~i aceasta

este cea reprezentata -. ci chiar pulsa!ia. in acest caz reprezentarea echivalenta a

graficelor din Fig. 2.7 este cea din Fig. 2.8.

\1 .-----.-----,[dB]

(,)

-]:'

"--....<.

\, I ~I\J ~:! tI

.;:1~~ ,~ .,. >1OJw

fig.l.B. Aeelea;i diagrame Bode ea in Fig. 2.7, nOIa/iade pe abscisii fiind

inso in radiani. de;i seara pentrll Ul este in continllare logarirmicii.

Diagramele Bode sunt foarte utile in aprecierea comportarii sistemelor la

intra,-; si~usoidale (de diferite frecvente) dar ~i, In general la orice intrari

periodice. deoarece. dupa cum se ~tie orice semnal periodic se poate descompune

intT-o serie Fourier, ce conIine semnale sinusoidale de diverse pulsa!ii. De

exemplu, penlru sistemul ale cami diagrame Bode sunt date In Fig. 2.8 se

observa ca se comport a ca un filtru trece jos. Deci, daca la intrare sc aplica un

semnal cu pulsalia de 1000 radls, amplitudinea sa va fi redusa eu circa 20 dB,

adica de 10 ori. De asemenea in acesl caz ie~irea va fi intarziata eu aproape 90'.

Diagramele Bode. ca ~i cele pe care Ie vom prezenta in continuare au jUrat

un 1'01 toarte important in analiza ~i proiectarea sistemelor de reglarc automata.

Fimd folosite deosebit de intens, cel put in inainte de aparilia calclllatoarelor, s-a

dezvoltat 0 intreaga terminologie specifica, ca ~i un Intreg set de reguli pentru

trJ.5area manuala simplificata a lor. Yom prezenta in continllare. foarte pe scurt. 0

parte din ace~ti termeni ~i reguli.

J. Octavli ~idecadli - tenneni folosi!i pentru desemnarea unei benzi de pulsa!iecu proprietatea ca limitele acestcia satisfac:

OJ} = 2 ~i respectiv: (u} = 10OJ} OJ}

5e observa ca lalimea acestor benzi nu este fixa cand exprimam pulsatiile in

rad's, dar este fixa pe scara logaritmica a diagramelor Bode. Astfel, de la 10 la

100 Hz, de exemplu este 0 decada, la fel ca ~i de la IDOla 1000 Hz. Pe graficele.din Fig. 2. 7 ~i 2.8 aceste decade sunt chiar cele doua jumata!i ale abscisei.

2. Decibeli - a~a cum am aratat deja aceasta este unitatea in care se expnma

arnplitudinea (relativa la intrare) a ie~irii, indiferent de unitalile ~i semnificaliile

fizice ale intrarii ~i ie~irii. in tabelul 2.1. esle ariitata legatura intre cateva din

valoriJe raportu!ui amplitudinilor ie~irii ~i intrarii exprimat in lInitali fizice ~i

respectiv in dB. Valorile in dB au fost rotunjite, a~a cum se procedeaza uzual inJucrul cu diagramele Bode.

Se observa cii doua numere care au produsul 1 au aceea~i valoare exprimata

in dB, dar cu semn contrar. Evident aceasta se datoreaza proprietii!ilor

logaritmului. Pe baza acelora~i proprietali se pot deduce urmatoareJe reguli:

• cand valoarea unei marimi, exprimata in unitiili fizice se dubleaza, valoarea saexprimata in dB cre~te cu 6 dB;

• cand aceea~i valoare creste de lO ori, numarul de decibeli cre~~e cu 20.

Unitiip fuice dB

0.01 -40

0.1 -]0

0.5 I -6I0.707 (1/..{J) I -3

I1 I a

Unitiiti fizice dB

I 1.4142 (.[j) 3

2 6

10 20

100 40

200 46

Tab.2.1. Legiifllra inrre diverse mlori all' raporflilui Ql1Ipliflldiniloriq-irii $i

inrriirii lIJwisiSTem, expri}7lQtein unitii{ifbce $i respe/:til' ill decibeli.

Pe baza unor astfel de reguli se pot trasa, lara ajutorul calculatorului,

diagrame Bode simplificate pennu orice sistem liniar. Diagramele trasate analitic

au cunoscut 0 foarte mare raspandire in analiza ~i proiectarea sistemelor de

reglare automata, inainte de aparilia calculatoarelor. Spre deosebire de cele

exacte, aceste diagrame simplificate nu sunt fom1ate din curbe, ci din linii frante.

Pentru exemplificare. in Fig. 2.9 sunt trasate, pentru acela~i sistem de ordinul I

atat caracteristicile exacte, cat ~i cele aproximati\'e. Se observa ca ~i

caracteristicile aproximati\'e dau 0 imagine clara a comportiirii in fTecven\a a

sistemului. Pentru diagrarnele amplitudinii eroarea maxima apare la imbinarea

liniilor ~i este de 3 dB. Frecyenla la care apare aceasta imbinare se nume~te

frecl'el1!ii (pulsa(ie) de colr. Se obser\'a ca ea este 100 rad/s, valoarea fiind data

de constanta de timp considerata. Diagramele de fazii se intersecteazii in punctul

corespunziitor acestei \·alori.

J,( .':

;:B'] I.G '

Fig.2.9. Diagram I'll' Eode exacte $i aproximative (lillie illgro$alii) pelllrusistemul de ordinul I considerat ill exemplul precedent (v. Fig. 2. 8)

Exp1icatia pentru aceastil alura este datil de modul in care se face trasarea

aproximativa a diagramelor Bode. Diagrama simplificatii a modulului se obtinedacil in expresia sa, data de ecuatia (2.43) facem aproximatia:

!Cb

jH(jIil)/ = --;;'cb-,iii

Ambele expresii au earacteristieile liniare, punetul lor de interseetie (eoltul)

apiirand fire~te pentru OJ =: a. Caraeteristica fazei, data de relalia (2.44) se poate

aproxima eu 0 dreapta care treee prin urmatoarele punete:

-arc/g(~):::O~=:O.l -arCTg(~)=:-45·: =:

=: 1 - arclg( ~ ) :::-90· ~ =: 10

In fine, in figura 2.1 a ~i 2.11 sunt prezentate diagramele Bode aleelementului de ordinul 2 cu funclia de transfer:

M"[dB].:

Fig.2.10. Diagramele Bode pentru elemen/ul de ordinur 2 cu (fJ~ = 100 $i

diverse valori subunilare all' lui S.

M,[dBJ"

F. 1 10 Diaoramele Bode pelltm elelllell1l1l de ordinlll 2 ClI C)n = I00 ~iIg.-.. .,

diverse mlori SlIprallllirare "Ie Illi 1;.

Acee~i infonnalie Glre este conlin uta in diagramele B.ode poate ~

reprezentatii in coordonate polare, In care pentru fiecare pulsape se traseaza

drful YeclOnilui avand modulul ~i faza date de cele doua diagrame ~o~e. De. _ 'ta-tl'le din ambele axe sunt liniare. Uzual se traseaza ~l curba

data aceasta msa Ulll " . .'a-'oare pulsatiilor neaative, aceasta fiind oblinuta pnn oglll1dlre

corespunz l , e ...• p • ••

(simetrie) fJ!a de abscisa. Explicalia acestei Slmetm este lasatii ca ~xercl~l~. . De eX'elnplu In figura 2.12 este reprezentata diagrama polara

pentru cItltor. ' , - . ., d' 1 2 " d {= 0 I ~i respectlv 1, lar

(?\yquist) pentru elementul ae or mu a,an,.· . ..,OJ = 100. Peniru 0 mai u~oara comparalie cu diagramele Bode dm figura ",.9

ac:stea au fost retrasate in coordonate liniare, pentru cazul t; = 0.1 (figura 2.13).

'Ii.~j-,.'

\

,

j. ../ - .. -, I

I,\ -0

, /wl 17: \, M= !no /I

/""- I, .---... I , ," "

Fig.2.12. Diagramele Nyquist pelltru elemelltlll de ordinul 2 awilld C)n = 100

.}i 1;= 0.1, respeetiv I. Linia intrerllplii core.ljJlInde pulsafii!or negal/ve.

In figura au fost evidentiate punctele ob!inute pentnl 0) = 100 ~i (0 = (precum ~i 0 pozitie particularii a vectorului care da aceasta diagram!\. In figur.

2.10 se vede cll de exelllplu pentru OJ = 100 [aza este de -9(1' jar Illodulul este 5

ceea ce coresplmde lntocmai fazei ~i rnodulului vectorului din diagrama polara

Pentruw = a faza este zero, iar modulul este unital', ceea ce din nou se verifi,ii p(

diagrama Nyquist.

In cazul in care t; = 1 se poate face (I comparalie similara cu diagrama Bode

din figura 2.9, eu deosebirea ca aClilll trebuie facutii conyersia lntre unitiilile

nJturale ale diagramei polare ~i cele logaritmice ale diagramei Bode. De

exemplu, pentru OJ = 100 modulul este circa -6 dB, adicii 0.5.

,I I-I I,I.I

.i-,~·1/ I! \,,

Fig.2.l3. Diagramele Bode pentru elemenrul de ordinlll 2 ul"ClIId C)n = 100 ~i

~ = 0.1, retrasate in coordonale liniare. A se compara ell cell' in cOO/'donate

logarifmice (jigllra 2.1 0) ~i ell diagrama _\)'qllist, din figllra 2.12.

in ambele grafice din Fig. 2.12 au fast tTasate ~i curbele corespunziitoare

pulsaliilor negative, oblinute prin simeU"ie fa~a de abscisa. At,it In diagramele

l'yquist cat ~i In cele Bode se obsen'a ca pentru acest sistem le~Jrea este

lnlotdeauna lntarziatii [alii de ie~ire, variind intre a ~i -18Cf. in cazul in care

pu'salii1e semnalelor sunt negative ie~irea este intotdeauna in ayans, lucru care se

peate veri fica matematic scriind expresiile intriirii ~i ie~irii pentru 0 pulsalie

oarecare (tJ ~ipentru -(]J:

Nu inlOtdeauna ie~irea este intarziata fala de intrare. Mai mult, existii ~i sistemein cazul cfu"ora pentru 0 anum ita gama a frecvenle!or de intrare ie~irea este

int:U-ziata. iar pentru restul este in avans. Un astfel de caz cste circuitul prezentat

in figura 2.14:

}-o

Fig.2.I4. Exemplll de eircliit atat cu fntarziere dar ~i Cli ovans 01 selllnallilui

de ie~ire illfllllc{ie defreCl'en{ele semnalului aplicalla intrare.

Pentru cazul particular in care Tl = J ~i T2=O.2 diagrama Nyquist este, a~a dupa

cum se vede in figura 2.15 0 curb1i inch isa (0 elipsa) ~i, datorita simetriei se

suprapune complet peste cea corespunzatoare frecvenlelor negative.

Fig.2.IS. Diagrama Nyquist a sistelllllilli dat de ecualia (2.45) ~i eircllitul

din figura 2.14.

Discretizarea unui semnal neted u(t) este operalia prin care se obline un

semnal discret lld(k) cu proprietatea:

in care hER este 0 constanta numita pas de discretizare (de e~a1ttionare).Aceasta operatie consta a~adar in citirea semnalului u la intervale constante de

timp, h. Frecvenla cu care se realizeaza aceste citiri este Jlh ~i se nume~te

frecvenfii de discretizare (de e~al/tiol/are).Un exemplu de reprezentare grafica a

unui semnal discret ~i a celui neted din care provine este dat in figura 1.6 ~i

respectiv 1.5. Daca suprapunem cele doua grafice, se observa ca sernnaluJ

discretizat coincide cu eel neted in toate pllllctele in care este deflllit. Operalia de

discretizare astfel definita este una ideala.

A~a cum am menlionat in paragraful 1.2 in practica aceasta operalie este

realizata de un convertor analog - numeric (numit deseori analog - digital ~i notat

CAN, AiD sau AIN). Acesta este un circuit integrat care prime~te la intrare

semnalul analogic, ie~irea sa fiind semnalul numeric, reprezentat pe 11 bili.

Desigur ca, ~a cum am menlionat deja (v. 1.2) semnalul numeric obtinut la

ie~irea acestui circuit este afectat de 0 eroure de CllUl/tizare,datoritii numiirului

fmit n de bili pe care se face reprezentarea sa. Pentm ca circuitul sa nu se

distruga semnalul de intrare trebuie sa nu depa~easca 0 anum ita valoare maxima,

care este un parametru important al respectivului circuit. Daca semnalul real nu

respectii aceastii cerinla, el trebuie divizat corespunzator inainte de aplicarea la

intrarea circuitului. Eroarea de cuantizare a unui convertor este a~adar:

Llll UmaxE:=-=--2" 2"-1

in care :un {inut cont de faptul ca gama de yariarie a intrarii cste de fonna:

LIu = [-11•."" IIma, ] .

o aha caracteristica a unui convertor analog - numeric este aceea ca

reaJizenza Joua operarii distincte: e~antionarea proprill-zisa ~i menlinerea yalorii

e;;antiollate pana la llnnatorul moment de e~antionare (adica pe durata lui h). De

llccea de 5e mai numesc ~i clemente de e~allfiollare $i //Ielltil/ere. Dupa cum

yom yedea in continuare operalia de menrinere l'Onstanta a \"<llorii ie~irii pemru

un anumit interval de timp are, in general. consecin!e deosebit de imponante

penu'u functionarea sistemelor discrete de comanda. 0 aha caracteristica a

conycrIorului AI D real este faptul ca operalia de discretizare nu este inslantanee.

ci nec,esit<1un anumit limp, numit (imp de cOIll·ersie. Acesta este de ordinul

ciltorv3 .us. ~iuzual este mull mai mic decilt pasu! de qantionare.

In figura 3.I.a) este reprezentat un semnal neted variind intre ± 1 V care

este discretizat cu ajulorul unui con\'Crtor analog digital (figura 3.l.b) ~i e)) ~i

respecri\' printr-o opera!ie de discretizare ideal a (figura 3.I.d), cu un pas de

e~anlionare de 0.5 illS. Atat pentru discretizarea reala, cat ~i pentru cea ideala se

obserya ca a..'illlimpului continuu, masurat in s se illiocuie~te eu 0 axa discreta, a

momentelor in care se face discretizarea. Legatura intre cele doua axe este dalii

de pasul de e~antionare, de exemplu valorii t = 0.002 s corespunzandu-i yaloarea

k = 4 (0.00_ = 0.0005*4).in figura 3.l.b) este aratata ie~irea propriu-zisa a cOl1\utorului (care este ~i

element de re.{inere), in timp ce in figura 3.l.c) este prezentat semnalul discre!.

a~a cum Q'le el citit de sistemul digital, cate 0 singura data pe fiecare parier. in

ambele cazuri valorile semnalului \'ariaza in trepte, intre ± 25 llllita!i (bili). La

aceste cifre s-a ajuns pentru ca am considerat cazul in care convertorul A Dare .5bili iar gama de variatie a intrarii care poate fi aplicata este de ± 5 V. Cum pe 8

biri se pot reprezenta numere intregi intre -128 ~i 127, rezulli'! ca pentru I V la

intrare \'om avea la ie~ire partc intreaga din 127/5, adica 25 unita!i. (Se aasen'a

ca pentru \'a!oarea maxima a semnalului apare 0 eroare de cuantizare de 0.4

unilii~i, respectiv de 15,8 III V). Timpul de canversie nu se distinge in figura, fiind

de cateva .ill, deci de ciiteva sute de on mai mic decat pasul de discretizare.

Desigur. in lucrul cu un astfel de semnal trebuie !inut cont de constanta de

scalare pc care 0 introduce convertarul analog numeric, respectiv 5/127 in acest

exemplu, in fine, in Figura 3.I.d) este aratat semnalul discret oblinut printr-o

e~antionare ideala, care nu este scalat ~i nici afectat de erori de cuantizare.

,!/ ~

• / 1\· I \: '\, ,· I, I I \

I i '\•, I ,

"

6" tDJ ~

,f t'\

~~ I--<

c ~ 2 3 •

000\ 0.002 0 C\.';J C x'" : 005 ('006 0007 O~ 0 ~"i 00\

t[s]

" i"

Jf ~

I " I,

I I I ~

I II..

,,.1 ~

\1~

o ~Fig:3.!. Exemplu de semnal neted (a), sernnalul corespunzator oblinut prindiscretizare rcala cu CAN (b, c) ~i prin discretizare ideala (d).

Pentru simplifieare vom presupune deocamdata ca nu exista nici 0 eroare de

CT-ZIltizare. Aceasta presupunere esle foarte aproape de adevar cand numarul de

bi;i ai convertorului analog. numeric este suficient de mare (de exempJu, pentru

n= 6, cand gama de varialie a semnalului de intrare este de ± 5V, eroare de

a:zntizare esle de 0.15 m V) ~i in plus proprieta!ile fundamentale ale semnalului

m:::::Jeric (dat de eonvertorul real) sunt acelea~i eu cele ale semnalului discret (datde opera!ia ideal a de discretizare).

Te.oremii: Un sernnal continuu avand componente de frecventa maxl'ma- r• J 1 poate

fi reprezentat prin e~antionare regulata, cu 0 freeventa de e~antionare

de cel pu!in 2~. ( Acest rezultat este intiilnit in Iiteratura de

specialitate cu numele de teorema lui Shanl/on).

Pentru a intelege mult mai bine acest aspect este necesar sa ape lam la analiza

semnalului discret cu ajutorul Transfomlatei Fourier.

Exemplll: Fie un semnal continuu avand componente de frecven!a maxima fl'. 'fi ~2Modulul transformatei Fourier poate fi reprezentat schemattc ca In 19ura •.

d - 2...r Se <tie ca acesta este 0 funclie para In raport cu originea. Fie Tun e liJ, - /!f ,. v .

lungimea (perioada) sernnalului ~i fie 0 e~antionare a sa cu 0 frecventlifes>2f,·Numarul de puncte pe perioada ya fi N ~i eYident:

N1. =-.es T

Se poate defini 0 transformata Fourier (v. Anexa I) a sernnalului e~antionat,

functie continua de liJ. Ea nu este altceva decat inTa~uratoarea punctelor date de

tran~fonnata Fourier discreta, care este proportional a cu spectrul semnalului

continuu. Aceasta din urma se repeta periodic pentru k >N. Aceasta Inseamna ca

~i InTa~uratoarea ei se repeta Intocmai, cu 0 perioada data de liJes = 2 ifes a~a

dupa cum se poate remarca In figura 3.3.

,X(

Wllo 0 0 )-(iJ-(iJ (iJ-W -0)) (iJj -wj+(iJes WtWes

! es _q,s ) es 0 (iJes

Fig.3.3 Modulul transformatei Fourier a semnalului din figura 3.2 pentru 0

ji-ecven{a de e~al1tionaremai mare de doua oriji-ecvel1{afl·

Se observA cafe?2fl inseamna cll speetrele nu se intersecteazii.

o alta regula de care trebuie sa se tina seam a este evitareafenomellltllli dealiasing. Daca pentru semnalul anterior nu este respect at a conditia cerulli de

teorema lui Shannon, se observa cll pentru fes = 2f, spectrele se repeta If a

pauza Intre ele, iar pentru fes < 2j, ele se suprapun. in acest caz, ceea ce se

obtine In urma calcularii transformatei Fourier discrete pentru semnalul astfel

e~antionat, sunt coeficientii corespunziitori sullie; celor doua spectre, deci un alt

spectru, care nu mai este proportional cu eel al semnalului continuu. Acest

fenomen este redat in figura 3.4.

- (iJrC1les -(iJ!

- C!),S 0WI

Wes

Fig.3.4. Modulul transfomlatei Fourier a semllalu!ui din figura 3.2 pentru 0

frecvenfii de e~antionare mai mica de dlJuaori frec\'en{a j,.

in situatia particulara reprezentata in figura 3.4, aceasta suma (linia

lotrerupta) este ehiar constanta. in general, de acest fenomen vor fi afectate

frecvente1e care intra In zona de suprapunere a spectre lor.

Pentru a evita aceasta situatie rezulta ca trebuie respectatii teorema lui

Shannon, deci aleasa freeventa fes suficient de mare. Acest lucru nu este insll

totdeauna posibiJ. Astfel, daca sernnalul are ~i componente de frecventa foarte

mare, sau daca exista ~i zgomot (care este de frecventii mare) nu vom putea, sau

nu yom dori cre~erea excesiva a frecventei de e~antionare.

Rezolvarea problemei se face prin filtrarea semnalului inainte de a-I

e~antiona, eliminandu-i toate frecventele mai mari decMfes / 2. Aceasta operatie

se nume~te filtrare anti-aliasing ~i se face cu ajutorul unor fJJtre analogice trece

jos (FTJ). Multe din convertoarele AID modeme au incluse pe cip filtre

analogice anti-aliasing, utilizatorul fixand, In funclie de aplicatie, frecventa de

taiere dorita.

Structura generaia a unui sistem de reglare automata (S.R.A.) estc

prczentata in figura 3.5. Senmiticaria marimilor care intervin este unnatoarea:

_/ _ marimea de referin!a numitli ;;i marime impusa;

-.r - marimea de ie~ire;_ e - eroarea intre mar-imea de referin!a ~i marimea de ie;;ire din proces;

_ u _ marimea de intrare in proces aici anind ;;i semllifica\ia de comanda

aplicata procesului fizic pe care darim sa-I reglam:

v· I: I I~~I·REGL1..-\TOR :

'1 I

i

in cadrul unui sistem de reglare automata se dore;;te ca 0 anumita marirne,

caracteristica procesului fizic reglat. sa \'arieze dupa un anum it profil impus de

utilizator. Marimea care se dore~te a fi reglata se masoara, sau in unele cazuri

daca acest lucru nu e posibil se estirneaza. ~i se compara cu marimea de referin!a.

Se oOline astfel 0 eroare de reglare care este aplicata unui bloc special numil

regulator. Acesta are rolul de a fumiza 0 comanda catre proces in sensul

minimizarii erorii astfel incat, in cazul ideal. aceasta sa devina chiar egala cu

zero. :\cest lucru se poate exprima matematic:

sau cu alte cuvinte ma-rimea de ie~ire J' unnare~te marimea de referin!ay'.

Structura de reglare din figura 3.5 este in bucla inchisa ;;i cu reaqie

negativa. Vom reveni mult mai pc larg asupra acestor no!iuni in capitolul 10.

Sa consideram acum un exemplu de SRA ~i anume zborul unui avion.

Marimea y poate fi consideratii in acest caz direqia de zbor (in plan orizontal),

marimea de referinJA y' va fi atunci direqia impusa. Comanda u este data de

pozi!ia man~ei care se poate traduce intr-o anum ita tensiune electrica. Valoarea

aceasta este apoi convertitii in grade unghiulare dupa 0 anum ita regula. De

exemplu put em considera ell + IV reprezinta 0 comanda de 1D· dreapta iar -I V

ar fi 10" stanga.

Pilotul cite;;te aparalele de bord ;;i 'calculeazii' abatcrea de la direc!ia

ill1pusa (care constiluie de fapt eroarea de reglare). Conform acestei infonnalii el

mi~eii man~a astfel incat aviolllll sa revina din nou la direc!ia de zbor dorita.• I

Dupa corectarea abalerii man~a este readusa in pozi!ia de zero. In acest fel putem

spune ea pilotul are rolul regulatorului din cazul general.

Bineinleles ca procesul este mull mai complex ~i oricum pilolul nu gande;;te

comenzile a;;a cum Ie-am prezental noi. In esenla insii se poate considera ca avem

de-a face cu un sistem de reglare automata a direqiei de zbor, care se poate

reprezenta schematic ca in figura 3.5. Sistemul se complica daca vom dori sa

indeplinim ;;i alte cerinte, adicii revenirea sa se faca Intr-un anum it mod (lin lara

~ocuri dar cat mai rapid de exemplu). Intr-un mod asemanator stau lucrurile ;;i

cand zborul avionului este In 'grija' pilotului automat.

Observa!ii:• Deoarece este foarte u;;or de lucrat cu marimi electrice, in practica se

unnare;;te ca majoritatea marirnilor neelectrice sa fie convertite In marimi

electrice (de regula tensiuni) utilizand traductoare corespunzatoare. In acest

mod putem considera ca atat y' cat ~i)~ sunt tensiuni electrice. Deci ;;i eroarea

dintre ele va fi tot 0 tensiune, la fel ~i comanda data de regulator.

• Exista situalii in care sistemul de reglare automata folose;;te un calculator care

cite;;te infonna!iile din sistem, Ie prelucreaza, efectueaza anumite caleule ;;i

apoi genereaza comanda (ex.: calculatorul de bord din exemplul de mai sus).

In acest caz spunem ca regulatorul este realizat numeric ;;i ca sistemul este

comandat digital.

Vom prezenta in continuare elementele necesare unei mai bune inlelegeri a

unor astfel de situalii. Pentru sistemele cu comanda digitala (nllmerica) in schema

prezentata in figura 3.5, care corespunde unor sisteme analogice, trebuie sa mai

adaugam elemente noi confonn figurii 3.6. Acestea sunt convertorul digital

analogic (CDA sau se mai noteaza cu CAN sau cu CD/A) ;;i convertorul analog

digital (CAD, CAN sau CND).

Problema care apare acum in mod firesc este cum giisim un echi\'alent

discret al sistemului, care aplicandu-i la intrare un semnal constant pe poqiuni,

obrinut din convertorul numeric-analogic, sa aiM la ie~ire exact discretizarea

ie~irii sistemului continuu,

Aceasta este 0 problema de discretizarea a unui sistem continuu ~i poate fi

prezentata grafic conform figurii 3.7.

Jill- lcs b Jill-lid ~IG\A H SISTS\1 f41 Cfu~ ~CONTDHoJ1J

~I,_SI_S_TEM__ D_IS_C_R_E_T__ Ecmv ALThT

Fig.3.70 Discretizarea sistemelor continue considerand WI cOlll'ertornumeric analugic cu element de men!inere de ordin zero (Cll ie~irea ill

trepte).

Solutia problemei discretizarii sistemelor continue reprezentate in spatiul

starilor se obtine pornind de la relatia (2.3), demonstrata in paragraful 2.1, ~i care

exprima e\'oIutia unut sistem, considenlnd insa acum, ca moment initial, urmoment de timp oarecare to:

)A(/-I,) () f' A(H)

x(t = e x to + Jr, e Bu(r)dr (3.1)

tin c~le .mai multe situatii ie~irea coU\'crtoru]ui numeric analogic este constanta pe

por\IUl11 a~a cum se prezinta in figura 3.8. Se spune ca are un element de

mentinere de ordin zero (sunt ~i cazuri, mai rar inlalnite, In care semnalul de

ie~ire, intre doi pa~i de e~alltiollare. este 0 funetie de ordinul UIlUsau chiar doi).

Ii(t) = tit constant ~ntru ('V)I E [kh, (k + 1)111to = kh; •

t=(k+l)h;

('_I)h

x((k + I)h) = eO" x(l-,h) + feA((I+')h':J Butdr =tJo

Ah_( ) '," ."= e x kh + "e Bdr utc

Relalia (3.2) da valoarea stiirii continue ;(t) in momentul t = (k + 1)h.

Un sistem discret considerat intre acel~i momente are expresia:

ll(k) = ".;xd(k)=x(khtx.{k + 1)= i{(k + l)h},

Ai =e"':

•Bd = .ie" BdT;

~

Obsen'arie:Reamintim ca echivalentul discret al unui sistem continuu (A, B, C, D) a fost

oblinut pentru cazul in care intrarea in sistem este constanta pe poqiuni (este

calul ulual al convertoarelor N/A cand nu ~tim unde va wni urmatoarea valoare

a cornenzii). Convenoarele de acest tip se numesc cu element de menrinere de

ordin unu sau prescunat lOH.

Daca dorim sa consideram alte tipuri de convenoare formulele (3.4) VOl'fievident altele pentru ca atunci U(I) *- ". peotru 1 E [kh, (k - 1)11].

3.2.2 Diseretizarea sistemelor reprezentate prin funetii de

transfer

Sii vedem in continuare cum se relolvi'i problema discretizarii sisteme)or

daca acestea sunt reprezentate prin funqii de transfer. A\'em de gasit 0 funC\ie de

transfer H Az) pentru sistcmul discret echivalent sistemului continuu H(s) a~a

cum se poate vedea in figura 3.9.

~/I ~IH(s)

Sunt dOlla posibiliti'iri de rezolvare a problcmei:

• Se serie 0 realizare pentru sistemul continuu. Apoi se gasesc rnatricele

sistemului discret echivalent conform re1aliilor (3.4) ~i (3.5) ~i in final din

aceste matrice se deduce funqia de transfer a sistemului discret. Aceastamodalitate poate ti reprezentata schematic astfel:

H(s) ,,'aloM,' )(".1 BCD) Ji",,,i,",, (A BCD) H ( ), , , ) II' II' el' d ~ J Z

• Existii ~i 0 modalitate directa pentru a evita calculele destuI de laborioase care

ar fi necesare in cazul abordarii anterioare. Vom prezenta in continuare modulde deducere a fonnulei de caleu!.

Fie 0 funqie I: R -+ R, transformata Laplace a sa F(s) = 5? {j(I)} ,

I.discretizata ei ~i transfom1ata Z: Fd(z) = Z{jd(k)}. Vom putea scrie:

Fd(z)= Z{jd (I)} = f/Ak)z-'*-'=0

Fi(z)= f/(kh)z-'••0

Funqia 1(1) poate fi calculatii prin transfonnata Laplace inversa din F(s) ~i:

. Discretiz6reasemn~lelornel~de

Deo~ece ie~irea sistemului discret trebuie sa fie identica ell ie~irea sistemului

conllnuu (eele doua sisteme SIIDteehivalenle): (

Aplicand transfonnala Z pentru semnalul II,At) \'om obline funqia de transfer

earaeteristica sistemului diseret Hd(z):

unde St sunt reziduurile funqiei Fl-<).Relalia (3.6) reprezinta fonnula de diseretizare pentm semnale. Pentm

sisteme se ~tie ca funqia de trans'er reprezinta raspunsul sislcmului la intrare

impuls Dirac. Deei putem scrie ea H J (z) = % {hJ< (t)} ~i rcprczentarea grafiea a

aeestei situatii eSlCprezentata In figura 3.10.

H J (=) = %{II,,, (t)} = %'{.V1d (t)- rid (t - h)} = (I - = -1~{Yld (t)} =

==-1 cr'(H{S)}_Z-1 10""f;"H{s) =..z;, ~ ----- ----cisZ l S Z 2irjO",_j~ S =-e"

L. tw-. ~; Ha(z) I ~

(j. !Ide

L-c5--....•~•.a Rela!ia (3.7) reprezinta modalitatea directa de diseretizare a unui sistem continuu

reprezentat prin funqie de transfer. Valorile Sk sunt reziduurile functiei H{s).S

Exemplu: Fie un sistem eontinuu deseris de funcria de transfer H{s) =.!.s

(eunoseut ~i sub numele de element integrator). l\e propunem sa

gasim un eehi\"a1ent diserel al sau.

Sislemu] diseret reprezentat in figura 3.10 trcbuie sa fie eehi\'aJcnt intrare-ie~ire

eu un sistem continuu H(s) eamia i se aplica intrarea uo(t) ~iarc ie~irea Yo (t) :

r~'=1l"~.. ,ly= x;

Aplidim apoi fonnulele de discretizare a sistcmclor reprezentjte in spaliul

starilor (3.4) ~i (3.5) ~i detenl1iniun un sistem discrct cchivalcnt, reprezcnlat tot in

spaliul stanl,)r ~i caracterizat de matricele:

,B

d= je"'Bdr = [II}

o

{'.\'(1 + I) = .\'(1) + II ' I/(I}.J(I) = X(I},

hH(z)=-;z-I

{H(S) I } r 1 I _ }_H(=)=(=-I)"Rez ---" =(z-I)Re=)'~h,SL: -0 -

, L S z - e ,S " e

Obseryarn ca s-a gasit, a~a cum era de a~teptat, acela~i rezultat ~i metoda cstc

mult rnai rapida.

Stabilitatea este 0 proprictate caJitativa a sistemelor ~i se refera la comportarea

lor dinamica. Se poate vorbi despre stabilitate il1temii ~i despre stabil~atee:l:ternii.

Teoremii: en 5istem este intern asimptotic stabil daca ~i numai daca orice regim

libe~ tinde catre zero pentru 1 ~ OC):

Acest lucru este evident daca ayem in vedere c11regimul liber al unui sistem se

peate exprima prin relatia:

~i considerand condirii iniliale oarecare, deci ~i diferite de cele nule, rezulta ca

singura posibiJitate de indeplinire a condiliei (4.2) rela~a (4.1) adica defmiria

stabilitlitii interne asimptotice. Putem spune astfd (Ii teorema de mai sus este 0

detini!ie echi\'alenta pentru stabilitatea internil asimptotica.

Obserl'fl(ii:

• Se poate constata ca stabititatea intern:'! eSle 0 proprielme caracteristica

matricei A. :-'latricele B, C, D, care sunt legate direct de intrarelie~ire nu

inter\'in (de aceea se spline ca este 0 stabilitate i,;icma sistemului),

• Interprctarea stabilitli!ii: daca un sistem este IUIr-Ostare de echilibru oarecare,

data, ~i este scos din aceasta datorita unei aqiuni exterioare d va rcveni in

starea il,i\iala de echilibru la Incetarea aqiunii penurbatoare.

Teoremii: Un sistem linear este intern asimptotic slabil daca ~i numai daca:

a) pentn! sisteme continue (r E R): \'aloriIe proprii ale matricei A au partea

reala strict negutiva:

b) pentru sisteme discrete (r E Z): valorile proprii ale matricei A au modulul

strict subuniiar:

o demonstrarie completa a acestei teoreme eSle prezentata in [28J, noi vom

prezenta aici doar cateva elemente sintetice necesare intelegerii acesteia. Daca

valorile proprii ;'i sunt distincte atunci matricea A se poate aduce la 0 forma

diagonala utilzand a transformare S adica:

.4 = S-IAS, unde S este matrice modaliL

Aceasta ultima conclitie este indeplinita doar daea toate valorile proprii alematricei A sunt cu partea reala strict mai mica decat zcro:

Pentru sistemele dl'screte se calcul • A' . t, eaza ~l se pune similar cazuJui continuu

limA' = 0 Q limA' = 0 Q limA' = 0 (V);.,- E 0-(1'1)',"....,.2: I_r ,...•:0 I J

conditie indeplinitil in mod evident daca toate valorile proprii ale matrieei A aumoduluI strict mai mie decat unu:

Interpretarea grafica a stabilita!ii este prezentata pentru sisteme continue infigura 4.1 iar pentru sisteme discrete 111 figura 4.2.

Astfel se splUle ell daell Yalorile proprii ale matricei caraeteristice sistemului SlUltin domenillJ de stabiJitare (zona h~urat1! din cde doua figuri de mai sus) atuncisistemul eSle intern asimptoric stabiI. Domeniul de stabilitatc este deci:a) semipl:uml stang not;}l ~i cu C- pentru sisleme netcde;b) diseul de l.lz.'iunu centrat in origine pentru sisteme discrete notat ~i cu [.'1(0).

Obserm{ii:

I. Teorema de mai sus ne r'umizeaza lm criteriu praetie roane simplu de testare astabilit~!ii interne. Astle!:- se eakuleaza mai inlai valorile proprii all' malricei .4, mul!ime numita ~i

spee:rul malricei. ~o;atii eu 0(.4). R;:oamimim aici ea Yalorile proprii SUnts0lu!iile ecua[iei:

- se resreaza apoi daea aceasta muIlim;:oeste inelusa in domeniu de stabilitatespe.:inc sistemului cC:1siderat (continuu sau discrer):

Daca "ceasta incluziuIle este indeplinira atunci purem spune ca sistemul esteint;:ornasimptotie sta!:i!. Atragem atentia ca relalia de incluziune este srricta.adica pentru stabiliterea asimpt01ica nu se admit \'alori proprii pe frontieradomeniului de stabilil~:e (axa imaginara respecti\' cercul unirate). Se poate\-orbi si de ° stabilitare simpla (corespunzatoare stabilita!ii indiferente din,mecanica) in care se edmir ~i yalori proprii pe frontiera dar doar de ordinunu de multiplicitare. Insa din punclUI de yedere aI teoriei sistemelor dereglare automata acea5ta stabilitate simpla IlU prezil1lii un interes practic.:"oi 0 \"om considera ;r; cOl11inuareca instabilitate iar termenul de stabilitateasimplOtica intern a \"a ;:lurea fi inlocuit cu termenul de stabilitate interna.

2. Sa \·edem acum ce se petrece cu stabilitarea in cazul unei opera!ii dediscrerizare. Considera.-:1 un sisrem con:inuu stabi!. Prin discretizare mauicezcaracteristica sistemului discret echi\'aient este Ad = eAf. • Printr-o operalie de

diagonalizare aceasta marrice poate fi adusa sub forma:

\·aIOlile proprii sunt exprcsii de forma e;··· ~i deoarece Re{;',} < 0 aryl!1ci

oh!inem evident ca leA.hl < 1. Deci valorile proprii ale sistemului discret

echi\"alent sunt in domeniuJ de stabilitate (cercul unitate). Put em sa cnunlam decio consecinli'l a celor prezentate mai sus:

CO/1SeCill(ll: Daca sistemu! continuu (A,B,C) este intern asimptotic stabil atunci

~isistemul obrinut prin discretizare (Ad,Bd,C,,) este intern asimptotic

stabi] (binein!cles pentru pas de discretizare h 7' 0 i). Se spune caproprietatea de stabilitate se pastreaza prin discretizare.

Daca un sistem este intern stabil ~i se afla in starea Xo ~i nu i se apJica niei 0

ir.trare. sistemul va tinde asimptotic spre zero. Exemple:

- Daca unui motor de curent continuu eu excitalie independentii aflat in starea

~~Jnu i se mai aplica nici 0 tensiune de alimentare atat viteza cat ~i

curentu] vor tinde treptat spre zero.

- La fel se prezinta Jucrurile ~i cu un circuit RLC serie la care intrarea estescureircuitat1!, energia inmagazinata in eondensator ~i in bobina estedisipata pe rezisten!a ~i sistemul ajunge In starea zero.

Ace]a~i fenomen se petrece ~i eu un sistem aflat intr-o stare Xo ~i asupra

caruia ac!ioneaza 0 perturbalie datorita car-eia sistemul ajunge in starea XI'

La disparilia perturba\iei sistemul revine in starea iniliala xc' binein!elesdaca este intern stabi!.

di1/ = Ri+L-

dt

di R. 1-=--1+-1/dt L L

r RA=l--

L LJ

~i are C3 yaloare proprie: ;. = - Ii < 0 deci sim~mul este intern stabil daca R = o.L

Daca insa yaloarea rezisten!ei este zero arunci sistemul deyine instabiL Acest

lucru este e\·ident daca ne reamintim ca 0 bobina este practic un integrator. Astfel

daca la intrare tensiunea este constanta curentul cre~te linear putand ajunge la

yalori toane mari, te0retic Ia intlnit. ;\u acela~i lucru se petrece daca II

alimemam de la 0 SUI"$ade tensiune sinusoidala de exemplu. Atunci valoarea

curentului este marginita.

Deci putem spune. pe bua acestui exemplu simplu, ca ie~irea unui sistem

care nu este intem stabil poate fi marginita sau nemarginitii. In practica ne

deranjeaza cel mai mult aceastA posibilitate ca 0 anum ita marime sa devina foane

mare, pentru ca putem deteriora sistemuL

en circuit RL serie poate fi priyit ca un sistem cu reaqie negativa contorm

Fig, ·to3. Repre::enlGrea scJ:ematicii a Ulllii eircuit RL serie ill care tellsilillea

de pe re=istell!ii este 0 reac;ie l1egatil'a.

Obsef\·a.-n ca rezisten!a introduce 0 reaqie negatiya. Deci tensiune de pe bobina

scade pe masura ce cre~te curentul din circuit. Daca tensiunea de alimentare este

constanta valoarea stabilizata se ob\ine ciind tensiune de pe bobina este zero.

~u intotdeauna 0 reaqie negativa implica ob!inerea stabilita\ii, De exemplu

pentru circuitul RLC serie matricea caracteristica este:

[R I)-- --L L

A = , ~ivalorile proprii sunt soluliile ecualiei: AI + Ii A + _1_ = o.~ 0 L LCC

D' r t1Iligura 4.4 ne dam seanla ca chiar daca yom considera cazul in care rezistenla

R este zero, ~i atunci sistell1ul devine instabil, ll1ai rall1ane 0 reactie negativa. ~ .....l!r········EJ' -'-'-'-'.-.,I •• II •

~

~<

Fig. 4.4. ReprezeJltarea schematicii a 1IJ1l1icircuit RiC serie. Daca R=OcOl1exil/nea punctata dispare.

Putem sa spunem insa ca daca sistemul are reaclie negativa dupa toate starileatunci este intem stabiL

4.2.1 Definirea stabilitatii externe

Dejini(ie: Un sistem (A.B,C,D) este strict stabil in sensul intrare

marginitiiJje~ire ~arginita (BlBO) daca:

~f!h< (tJ,dt < co, t eR0

(4.3)~

Ilh«t~<co, leZ0

a) Un sistem neted (A, D, C. D) este strict stabil (BlBO) daca ~i numai

daca tOli polii lui H(s) au partea rea/ii stricl negatii'ii,

bJ Un sistem discret (Ad,Bd,Cd,DJ estc strict slabil (81B0) daca ~i

numai dacJi tali polii lui H(z) au IIIOdlilul slIbmlitar.

),"U yom prezenta nici in acest caz 0 demonstralie riguroasa. Ideea ei este insa

l"3ptul ca daca a\'em un pol a al unei funqii de transfer atwlci ie~irea pe care a

determina acesta este:

() c-':>-l { I} M.\'.: t =-Z -- =e ,

s-a

()0'-1 { Z 1, . ..'·c 1 = -£ -.- r = a, pentm slsteme dlscre.le

. •. -a)

.-\ceasta ie;;ire este marginita doar daca este indeplinita condilia din enuntul

teoremei. Putem sa generalizam acest ra!ionament pentru tali polii funcliei de

transfer.

Obserl'a{ii:

I. Stabilitatea in sensul intrare marginitii/ie~ire miirginita se mai nurne~te ~i

stabilitate e..y/emii deoarece marimile care intervin sunt doar cele ce se 'vad'

din exterior, rnarimile de stare nu apar in relalii.

Teorema de mai sus este eriteriu! praetic de testare a stabilitalii e:derne.

Observam similitudinea cu stabilitatea interna in ceea ee prive~te domeniile

de stabilitate (at<it pentru sisteme continue cat ~i pentru sisteme discrete). De

fapt acestea sunt identice cu cele din figurile 4.1 ~i respeetiv 4.2. Deosebirea

este ca acum nu mai vorbim de mu1limea valorilor proprii ei de rnu1limea

polilor (valorile in care se anuleaza nurnitorul funetiei de transfer).

_. Si in acest eaz remaream ca prezenla unoI' poli pe frontiera domeniului de

slabilitate delermina instabilitatea extern a a sistemului. La fel putem vorbi de

o stabilitate e:o.'crna simpla, in care se admit ~i poli de ordin de multiplicitate

unu pe frontiera. dar care nu prezinta un interes practic. Astfe! in continuare

prin tennenul de 'stabilitate externa' yom inlelege strict stabilitatea in sens

intrare miirginita:ie~ire marginita (8180).

4.2.2 Interpretarea stabi/lrapi externe

Teoremii: en sistem (A,B,C,D)- este strl'ct stabl'l extern daea ~i numai daea

(\7') 11(1) = {O1"(1~ < N

Deei daea sislemului ii aplicam 0 intrare marginita atunci ie~irea sa fortata estemarginita. Despre cea libera nu se poate spune nimie. .

Daea un sistem este intern asimptotic stabil atunei este ~i strict stabil

extern. Reeiproca este valabila"numai daca prin eventual a simplificarea funqiei de transfer nu se pierd poli instabili:

deoarece nu are toate vaJorile proprii in semiplanul stang nu este intern

asimptotie stabi!. Sii vedern ee putern spune despre stabilitatea extema. Pentruaceasta avem nevoie de funclia de transfer: "

H(s)= C(sl- At' B = (I

(I )(- 2(5 + I))05_1 -2(s-IL..:=2-

5'-1 = 5'-1 -5+1

C0l1st3t50111ca sistemul este strict stabil extern pentru ca are polul-l (care este In

semipbnul stang).

Conclu:.ii:a) Daca avem Indeplinita condilia:

pent.'1I continuu

pentnJ discret

atunci sistemul este intern asimptotic stabil (sau mai sCUl1intern stabil). In acest

caz putem spune cli:_ Orice regim liber se stinge spre zero;_ Pentru orice intrare margil1ita sistemul are toate sHirile ~i ie~irile marginite ..

_ Sistemul este ~i strict stabil extern (mai scurt extem stabil).

b) Dad (A,B,C) este intem stabil atunci ~i sistemul discret echivalent

(A". BJ ,Cd) este intern stabil, daca h ~ O.

Aces! rezultat poate fi mai u~or de Inteles dacft linem cont de faptul cft

U(I _ r) = Ud

(t -I) ~i cft imaginile lor prin tansformatele Laplace respectiv Z

%{l/.(t -I)}=; -;U(1)

deci operatorul de intarziere are imaginile e-'r. respectiv Z-I. Putem a~adar sa

defmim 0 transformare omografica Z-i = e-lr. sau:

15=-ln(z)

h

~i acum putem deduce foarte u~or ca dacli Re{s} < 0 atunci ~i Izi < 1, adica

proprietatea de stabilitate se pastreaza prin discretizare.

Reamintim aici modul de caleul direct al func!iei de transfer pentru sistemul

discret echivalent:

Polii sistemului discret sunt de forma z, = e"h unde 5, sunt polii sistemului

continuu.

c) Dacii (A,B,C) este strict stabil extern (BlBO) atunci:

- Daca prin calculullui H(s) nu s-au simplificat poli cu partea realli pozitivli

atunci sistemul este ~i intern stabil;

- Daca Insa s-au flicut astfel de simplificari sistemul nu mai este intern stabil.

Oricum ar fi putem spune ca ie~irea fortata Y f (t) este marginita, daca intrarea

aplicati'i este ~i ea marginitli. Nu se ~tie Insii nimic despre raspunsul global al

sistemului pentru cii ie~irea libera y, (t) poate fi fie marginitii fie nemarginitii

In funclie de sistemul considerat.

d) Stabilitatea intern a depinde exclusiv de matricea A iar cea extern a depinde de

toate matricele sistemului A, B, C.

Testarea stabilita!ii sistemelor poate fi flicutli In doua moduri ~i anume:

• Prin caleulul mullimii valorilor proprii sau a polilor ~i compararea ell

domeniul de stabilitate. Aceastli metoda a fost prezentata pilna In prezent.

• Criteriul Hurwitz pentru sisteme netede:

Unpolinom:

are toate radacinile cu partea realli negativa daca ~i numai daca tOli minorii

principali ai matricei:

n'a

ll_3 a,._5

°11_2 alt_4

all_1 al'l_3

I 0 al:_2

L ---sunt strict poziri,-i_

Acest test poate fi Iacut analitie rara a eunoa~te neaparat valorilc numerieeale eoefieienrilor ei doar unele condi(ii ale lor_ Este e3Zul sistemelor adaptiveunde vom gasi astfel un domeniu de varialie a unor parametrii nu ncaparat 0

,-aloare fixa.Pcnlru sisteme discrete eriteriul se apliea dupa ca se face mai intfti 0

transfonnarc omografiea:

s+1==;=l

Yom analiza in eontinuare raspunsu! sistemelor lineare la anumite tipuri deintrari numite illfriiri standard.Acestea fie au relcvanta praetica fie sunt ulilepentru inlclegerea funqionarii unor sisteme ~i pot fi:

- treapla;- ranlpA;- sinusoidala.

A () I .d .In aeest eaz avem eA Ii s = - ~l eel:s

Raspunsul sistemului are 0 componenta permanentA y r (t) de forma intrarii ~i una

tranzitorie .v,(t). Daea sistemul este extern stabil atunci:

limy,(t)= O.r-••

La fel pcntru orice tip de intrare ~i pcntru orice sistem stabil extcrn raspunsul aredoua componente:

- permanenta, de forma intrarii;- temporara, care se anuleaza in timp;

Deei raspunsul ia forma intrarii dupa un anumit regim tranzitoriu.

Exemp/u:Fie un sistem de seris de funclia de transfer:

H(s)=_a_l+sT

numit ~i element de intiirziere de ordin unu.

Vom considera intrare treaplii adica //(s) = .!., component a lor!uta va fi:s

1

y/{s} = s(l;sT}

Yf (I) = n - ae-i = a( 1 - e-i)Component a pennanenta este yp = a ~i cea tnrnzitorie y/ = -ae r a~a dupa cum

se poate vedea ~i din figura 5.1.

Fig. 5.1. RtispllnslIl Ul1ui element de intiirziere de ordil1 UI1// la imraretreaptti ell el'iden!ierea eompol1elllelor permanel1Tti ~i trmlZitorie.

Exemplu: Sa studiem raspunsul unui element de intiirzierc de ordinul doi la

intrare de tip treapta unitara. Funetia de transfer a sistemului este:

in care t; este factorul de amortizare Jar W, se nume~te pulsa!ia naturaHi c

sistemlllui. Yom considera doar cazul in care w, > 0 ~i 0 ~ t; ~ I. Polii

sistemllilli sunt solu!iile numitorului ~i depind de YUlorile lui t; ~i (}),:

Se \'ede ca daca isl> 1 radacinile sunt reale iar daca 1t;1< 1 sunt complex

conjugate. in continuare analizam aceasta ultima sitlla!ie.

Rilspunsul sislemelo; ia inlrilrl$t~ndard

----:: ~ 1

"1+ r;,"2J{-~';~f;jr;;;dPentru simplificare vom nota: -t;+j~l-s' =cosB+jsinB. Raspunsul

sistemului devine:

~unde: a = aretg ~ t;Ne propunem acum sa detenninam ma'Ximul raspunsului sistemului. Detem1inamradacinile derivatei:

d)' ( liJ. _'••,. ( ~)-'-=---e" SIU\(<J lVi-C'dl \II _(2 • -,

k,-:I, =--_-_-_-_-

liJ.~I-;2

e- \I~~' ( ,~. ) - ,;Z.:\', -1---- -\/1-:' =1+e \-.. .•. r:-:::2 .\.1 -(

1'l li\" I

1'~l 1_10\. ~ +~__JII \7' j:;0.,

0·21/'~ It 1 !lr

00 500 100 150 200

Fig. 5.2, RaspzmslIl IIllui elemelll de inrar:iere de ordin do! la in/rareirecpla IIni/ara,

Daca punem condi!ia ca raspunsul sistemului sa se Incadreze intr-o anum ita

gama de "alon in jurul semnalului de intrare. considenlnd deci 0 anum ita eroare,

se oblme 0 "aloare de timp numit limp de ineadrare (tJ . .-\legand de exemplu 0

croare de 2% se ob!ine:

Transfonnata Laplace a unlli semnal rampa lInitarii este lI(s) = ~. Co~sideranS

tot un element de Intarziere de ordin unu. Componenta [oqata a raspunsului eSJe:

yAs)=_a_~I+sT S'

{a}-I a 1 a e sl :- 51

-"j(I)=Sf {-I T'}= IRez{-' -2"; Sl}= 'Rez -L-!!.-. s =+ s s 1 +sT 5 L. 1 2' *

s+- ST

a e T d ( a / T J/ . .:. (a / T)e " I=----2 +- esr =aTe T +1---T (liT) ds s+l/T ,.0 s+l/T ,=0

(a/T)esr I(s+l/TY,>f)

,Yj(t)=a(t-T)+aTe-r =Y

p+ Y,;

Componenta pennanenta este tot 0 rampa dar de alta pant a decat cea de la intrare

~iin plus este ~i Intarziata; a~a dupa cum se "ede In figura 5.3.

Fig. 5.3, Riispllnsul unui element de intarziere de ordin unu .la intrarerampa ell eviden/ierea componentelor permanentii ~i lran~itorie. .

in sch~mele de reglare automata apar mai multe sistcmc conectate intre ele

in diYer~~ moduri. Apar~ ea tlreasea necesitatea simpliliearii schemei utiliuind

eonexiuni elementare standard. Aeestea sunt:

- sene;- pamlel:

- re3qie eare poate tl: negati\'a sau pozitivii;

Problema eare se pune in fiecare eaz in parte este gasirea unui sistem

echi\'alent conexiunii formate din doua sisteme. Yom analiza in eontinuare, pe

rand, tlccare conexiune in parte.

in acest eaz ie~irea primului sistem este eonectata la intrarea celui de-a]

doilea a~a cum se poate vedea in figura 6.1.

~~,'. :~I Sist 1,I

I

U=U} j

I

~IY J 1/; ~IS ist. 2

Sist. eehi\'.serie

I

I

: }'=y;

II, = J'}

u= II}

Considenind ca sistemele ] ~i 2 sunt descrise in spaliul starilor de rnatricele

(A}. B l' C,. D I hi respectiv (A:, B:. C,. D2 )"om putea scrie:

{:i:1 = A}x} + B}u1

y, = C}x, + DIU, {:i:' = A,.':, + B,u,y,=C,.':,+D,II,

{.i:~:A,x, + B,C}x, + B,D}II}J - C,x, + D1C,x} + D,D,1I

tSistemul echivalent conexiunii in serie va avea ea miirimi de stare reuniunea

marirnilor de stare ale eelor doua sisterne initiale astfel ineat putem spune ea:

x = [X}] ~i vom serie sub fonnii generalii:Xl

ReJaliile (6.3) deseriu in spatiul stiirilor sistemul eehivaJent rezultant. Putem

ealcula deci foarte u~or matrieele sale pomind de la cele ale sistemelor initiale:

. B=[;]

Proprietiiti ale conexiunii serie:

• Speetrul sistemului eehivalent este reuniunea spectrelor initiale:

a consecinla directii a acestei Proprietiili este ea daca sist~rnele c,omponente sunt

intern asirnptotic stabile atunci ~i sistemul serie rezultant este. Similar dacii

sistemul rezultant este asimptotic stabil atunci putem afirma ca cele doua sisteme

componcnte sunt asimptotie stabile.

• Daca utilizam reprezentarea cu funclii de transfer se poate arata foarte u~or ca

unde H si H, sunt functiile de transfer pentru sistemele initiale iar H cste funetia/ \: - .de transfer rezultanta.

in acest caz exista posibilitatea ca sistemul rezultant sa fie extern stabil ~i

totu~i sistemele componente sa fie instabile, Acest lucru se poate deduce u~or

analiziind exemplul lIrnlator.

1H,(s)=-

S -1

S -1H.(s)=-

. s + 1

Sistemu! echi\'alent serie este descris de funetia:

H(s) = _1_ ~i este stabil extern. Observam insa ca primul sistem nll este stabils + 1

ceea ce demonstreaza cele afirnlate mai sus.

in cazul acestei conexiuni, prezentatil in figura 6.2, celc doua sisteme au

aceea~i intrare iar ie~irile lor sunt adunate intre ele,

Umland acelea~i elape ca Ia conexiunea serie gasim matricele sistemului

echivalent:

-lA1 0 ]A = 0 AJ

Daca D I ~i Dz sunt uule atuuci ~i matricea D a sistemului echivalent va fi nula.

Proprietati ale conexiunii paralel:

• Spectrul sistemului echivalent este reuniunea spectrelor initiale:

Deci daca sistemele componente sunt intern stabile atunci ~i sistemul rezultant

, este stabi!. Similar dadi sistemul rezullant este asimptotic stabil atunci putem

afirma ca cele doua sisteme componente sunt asimptolic slabile.

• Utiliziind reprezentarea cu funclii de tr~nsfer obtinem di:

unde HI ~i Hz sunt funcliile de transfer pentru sistemele initiale iar H este funclia

de transfer rezullanLi.

$i aici exisLi posibilitatea ca sistemul rezultant sa fie extern stabil ~i

sistemele componente sa fie instabile a~a cum se poate vedea analiziind exemplul

urmator.

1 1 -2H,(s)=---=----

s+1 s-l (s+I)(s-l)

1Sistemul echivaJent paralel este descris de funclia H($) = ----+ ~i este stabil

s+l

in cawl acestei conexiuni ("ezi figura 6.3) ie~irea primului sistem este

aplicatii la intrarea celui de-al doilea ~i ie~irea sistemului doi este adusa la

intrarea sistemului unu, justificiind astfe! denumirea de 'conexiune in reaerie·.

Daca semnul este '+' atunci se spune ca reacria e pozitil'a iar daca este .-' atunci

reaCfia este lIegativa.

Yom considera aici doar cazul in care matricele D1 ~i Dz sunt nule, astfel ea eele

doua sisteme vor fi descrise de eeualiile:

.l:J = AJxJ + BJIIJ

YJ =CJxJ

x] = Az-\:: +B:II]

y]=C]x]

XJ = A,xJ + BJII±B/C]x]

x) = A]x] + B)CJxJ

y=CJxJ

Pulem acum sa seriem matrieele sistemului rezultant in cazul conexiunii in

reaclie:

~.,v

[ A, ±B,C1 ]A-B,CJ A)

B=[~'] C=[CJ 0]

Proprietali ale eonexiunii in reaClie:

• Utilizand reprezentarea I/O oblinem fune!ia de transfer echivalenta:

• Valorile proprii ale matrieei sistemului eehivalent sunt soluliile polinomului

de la numitorul funqiei de transfer data de relalia (6.10), eu observalia ca nu

trebuie sa faeem niei 0 simplifieare. Considenind cele doua funelii de transfer

ea un raport de polinoame:

Obser\'am ea prin aceasta conexiune putem sa stabilizam sistemele intern

instabile deoareee putem sa modificiim speetrul matrieei echivalente. Acest

rezultat este foarte important ~i in teoria sistemelor de reglare automata sc

utilizeaza mult aeeasta conexiune.

Teoremii: Fiind dat un sistem (AJ, RIo CJn cu H1(J...) = vl(J...) ireductibih'i (in,(A, (J...)

acest eaz se spune ea sistemul este minimal) ~i un polinom arbitrar. .X(i.) de grad 2n, atunei exista un sistem (Az, Hz, CJJn care conectat in

reaqie pozitiY3 (eventual negativa) eu primul va rezulta un sistem

echivalcnt eu polinomul caraeteristie:

Cu aile euvinte speetrul sistemului rezullant estt: identic cu radaeinile unui

polinom dorit de noi (putem deci sa impunem spectrul). Sistemul pus In reaqie

depinde de tipul acesteia. pozitiva sau negativa, ~i are ordillu/ /I adiea egal eu al

sistcmului inilial. Detenninarea acestui sistem va fi prezentata in detaliu In

capirolul 9.

in cadrul aeestui capitol se vor prezenta eiiteva proprietiili caraeteristice

sistemelor precum ~i modalitari de test are a lor.

..LU'~

Defillifie: en sistem este contr%bi/ dac3 pentru ariee stare data X, exista <l' [,-~ comanda u care face ea X(I) = X , pomind din starea iniliala X 0 = 0 .

;fl x'/)aFd l ,;.f;./.(jt t.:.{ WI Q .u -;; '<0 = 0 " \ltl, 1= y~ Cu aile cuvinte sistemul poate fi adus, printr-o comanda adeevata, din~

inilialii nulii intr-o stare oarecare dorita de noi. Acest lucru este foarte important

'- de ~tiut mai ales pentru schemele de reglare automata unde se dore~te oblinerea

unui anumit raspuns din partea unui sistem fizic dat. Sa vedem in continuare cum

se poate testa aceasta propriet3te. Pentru aceasta mai trebuie sa definim tcrmenii:

r: Matrice de controlabilitate(~ se oblme din matrieele sistemului astfel:

1- Indieele de eontrolabilitate~' este definit ea rangul matricei de

eontrolabilitate:

I Teoremii: Un sistem este eontrolabil dacii ~i numai daca indicele de- eontrolabilitate este egal eu ordinul sistemului:

('.Demonstrapa acestei teoreme 0 vom prezenta doar pentru cazul discret. Evolutia'_ _ _ J

in timp a unui astfel de sistem este data de relalia:.tlUJ

If. l:-i l-.-I ,,-,,7 tJ: t-l

x(k)=A xo+LA Bu(r)=:4 xo+A Bu(O)+ ...+ABu(k-2)+Bu(k-l)='r~ / ~ r \ .. /' Ie·,·, M ~ 7

=A'xo+R.u ::: (; l1i,6 ... .4 ( . c'...J

[

11(0) ]In care: ~ = : iar R

lI(k -1)

"Sistemul este eontrolabil daea pomind de la 0 stare initiala nula Xo = 0 exista 0

c0Inanda II care sa duca sistemulln starea x(k).

In sistemul de mai sus cuno~tem starea la care vrem sa ajungem ~idorim saallam comanda /I pe care trebuie sa 0 aplicam sistemului pentru a ajunge aiei.Deoareee dimensiunea veetorului de stare x(k) este n ~i este format din elementelinear independente, rezulta ca dimensiunea vectorului II de comanda trebuie sa .fie ~i ea eel pUlin egala eu n, adiea trebuie Indeplinita condi!i~k ~-;) Acest lueru "). ,este echiyalent eu a spune ca un sistem nu poate fi controlat printr-o comanda euun numar de pa~i mai mie decat ordinul sau. Sa vedem Insa cat trebuie sa fie de)mare numarul de pa~i din eomanda aplicata sistemului. Pentru aeeasta yom folosi \)teorema Cayley-Hamilton [70J: "0 matriee patratica A, de ordin II, satisfaCe! '

ceualia 0-(.4)=0, unde O'(i.)=det(;J-A)=.Ic'+a, ..C'+ "+a. reprezinj

polmomul caraetenstic aJ matricei A" sau mai explicit·

Din reIalia 7.3 deducem ea A' este 0 eombinalie lineara a unor matriei de forma

..1'-', A"", ... ,I.- Similar ..1'.' =..1"..1 este ~i ea tot 0 combinalie lineara a

acelora~i matrici ~iprin induCJie matematica putem afinna ca ariee putere a lui Amai mare sau egala cu n poate fi exprimata ca 0 combinatie lineara cu elemente

. If-I 11-2 t"matncele A ,A , ... ,I, .

Reyenim aeum la rei alia 7.2. Daea alegem un numar de pa~i k>l1, In matricea de

controlabilitate se oblin coloane de forma ..1'0, A"'O .... Acestea nu sunt Insalinear independente deoareee pot fi exprimate In funqie de primele eoloane 0,

A 0, ... ,..1"'0. Deei nu are sens sa Inceream eontrolarea unui sistem printr-o.eomandil eu un numar mai mare de pa~i decat este ordinul sau.Deducem eel singura posibilitate este ca numarul de pa~i In care yom Incerca s;:contro!iim un sistem este k=n. in aeest eaz relatia 7.2 devine:

Proprieta~ Structurale ale sist~melor. :C'

dar pentru ca solulia 7.4 sa existe trebuie ca matrieea de controlabilitate R sa J

admita inversa adiea e necesar ca rOl1g(R)= n.

Pentru demonstralia In cazul continuu se poate eonsulta [28].

ObserVllrii:• Controlabilitatea este 0 proprietate ce depinde exclusiv de matricele A ~i Bale

sistemului, deci nu depinde de matIlcea C.

• Daca ~ -= I atunci sistemul este eontrolabil indiferent de valoarea lui A.

Teoremii: Un sistem este controlabil daca ~i numai daca:~ /IIO'~(WA

rong[ ..AJ. - A B] = 11 (\i)')' E 0'(..1)

Acesta este eunoseut sub numele de ~l!!i Hautu!:'Popov ~i reprezinta 0 ahamodalitate cie a testa5ontrolabilita~a [28].

. -::n ".Vlatricea de controlabilitate este: R = [~ ~; indicele de controlabilitate v-=:2,)deci sistemul nu este coutrolabil deoarece ordinul sistemului este n=2. Acest- -lucru este evident daca observam ca la starea X2 nu se poate ajunge cu nici 0

eamanda, nici direct (caci B(2,1)=0), niei indirect prin XJ (dici A(2,1)=0). A~adare\'olulia aeestei stan este data de ecualia: '-

[s -2 0 ][3]

H(l)=C(sI-A -'!J.J= 0 s-I 0(s-1)(s-2)

.. 3

s-1

Teoremii: (De descompunere controlabila) Orice sistem (A,B,C) este echivalent

pe stare eu un sistem ayand structu.ra:

>'-

.-I, 1A.,J

"c.

( . [AA= ', 0. [B-B= 'o

In care (A" Be>Cd este un sisterr. eontrolabil echinlent intrare/ie~ire

cu sistemul initial.o demonstratie completa a aceste teoreme p03.te fi gasita in (28],

Ob5en'o[ii: "1');- Di;;siunea sistemului controlabil, deci a matricei ~12este c!!.ala cu indicele~ - '

de controlabilitate al sistemului (A,B,C,DI.

'IDefini(ie: Cn sistem (A,B,C,D) este observabil daca exista t astfelincat starea

-- initiala x(O) sa poala ti determin::.ta din cunoa~terea intrarii I/(r) ~i a

ie~irii y(t) pentru tot intervalul (0 r).Similar controlabilitiitii vom introduce urma,Qarele no\iuni:------- -

_ \1atrice de observabilitate este matrice::.:

l C "CA

0=

CA'-: )

_ Indicele de observabilitate este egal cu ;-angul matricei de observabilitate:

Teoremii: Cn sistem (A,B,C,D), este obser\abil daca ~i numai daca indicele de

obscrvabilitate este egal cu ordinul sistemului adica: rang(Q) = 11.

Acest rezultat reprezinta un criteriu practic. foarte simplu, de testare a

obsenbiliHi.tii unui sistem.

Obserl'o(ie: 0 definitie echivalenta a observabilitatii este unnXto .. " area.Un sistem este observabil dacl! exista un moment de timp t astfelincat

starea ini!iala x(o) sa poata fi determinata cunosciind ie~irea libera pe

care 0 provoaca pe intervalul (0 t).

P.rezentam in continuare 0 demonstratie a teoremei de mai sus pentru cazul

slstem.elor discrete. Considerarn un interval de timp (0 f) pentru care cunoa~tem

y(1') ~t eventual 1/(7') oricare I' E (0 t). Ecuatiile caractcristicc sistemului sunt:f

)

{X(k + I) = Ax(k) + Bu(k)

. y(k)= Cx(k)

y(o) = Cxoy(l) = Cx, = CAxo + Bu(o)

H

y(k-I) = CAHxO

+ IAt-HBu(r)r=O

r y(o) ] r C 1 [" 'jI : _ _ CA "., . -)\ - x +

ly(k -I) C~k-I J 0 .:,

Necunoscuta din aceasta ecuatie este starea iniliala xo ~i poate fi gas ita doar daeli

rangul matricei de observabilitate este egal cu dimensiunea acestui vector adica

chiar cu dimensiunea n a sistemului.

$i aici daca sistemul nu este observabil exista 0 descompunere intr-un

sistem observabil ~i unul neobservabil confonn teoremei urmatoare:

Teoremii: (De descompunere observabila) Orice sistetn (.:4 B C'! t h' I, , / es e ec !Va ent

pe stare cu un sistem avand stl1lctura [28]:

in care (Ao.Bo.CoJ este un sistem observabil echivalent intrare/ie~ire eu

sistemul inilial (A,B,C).

$i in accst caz dimensiunea sistemului obser\'abil (Ao.Bo.Cq) cste data de indicele

de observahilitate adiea de rang(Q).

Se poate observa 0 similitudine intre cele doua proprietiili, controlabilitate ~i

obsernbilitate. care va fi mull mai e1ar definita de prineipiul dualitalii.

Teorelllii: (Principiul dualitalii [28])

• Pereehea (A,B) este eontrolabilii daea ~i numai daea (BT,AT) este obser\'abiH\.

• Sistemul (A,B,C,D) este controlabil (observabil) daea ~i numai daca

(AT,BT,CT,DT) este observabiI (eontrolabil). ;.,~ to"rvO/.'- ~'2< 'Y:J/ foJV;a2

7.3 Descompunere structurala. Minima/itate

Am vazut ca un sistem reprezentat intrare/ie~ire are 0 multitudine de

realizari posibile. Se pune problema gasirii uneia de dimensiune cat mai mica

numita ~i rea/hare minima/ii.

Teorelllii: 0 realizare a unei funclii de rransfer este minimala (de dimensiune

minima) daca ~i numai daca este aUlt controlabila cat ~i observabiIii.

H(s) = -'-s -1

A=-J B=J C=J

[-I 0-'B = [~]A= -IJ C=l;

°[-I _°1] C=[l 0]A= B = I]

°

Toate aceste realizl'iri au aceia~i funclie de transfer dar doar prima este minimala

pentru ca este ~i eontrolabila ~i observabila (realizarea a doua nu este controlabiHi

iar a treia nu estc observabila). Se pune astfel problema gasirii unei realizari

minimale.

,Teoremii: (De descompunere structurala) Pentru arice sistem (A,B,C) exist~ un

sistem eehivalent pe stare cu el de forma [28]:

[

A,.. Ax A,. A, ] [B''']. A.. 0 A, • B'"A= B=

A,.,,,•• A", O·

o A,,,, 0

in care putem sii identificam:

• un sistem controIabil dar neobservabil (A"o' B, •• ,O);- un sistem controIabiI ~i observabil (A",B""C,.);

- un sistem necontroIabiI ~i neobservabil (A,,,o ,0 ,0);

- un sistem necontroIabil dar observabil (A.,. ,0, C",o);

in care F E R~' este numitii matrice de reac{ie dupii stare, II este

com and a (intrarea) aplicata sistemului iar x este vectorul de stare.

Observa{ie: 0 dependenlii de tipuI u = F . x + G '1', in care v este perturbalia ce

aqioneazii asupra sistemului, se nume~te lege de comanda dupa stare

~iperturbalie. In general insa perturbalia nu este cunoscuta ~i 0 astfeI

de lege nu prezinta interes practic.

Pentru inceput yom considera ca asupra sistemului se aplica doar comanda data

de relalia (7.8). 0 astfel de structura este prezentata in figura 7.1. ;

I

IIII J )II (A.B,C

I j

~

rx'= (A + BFjx

h=CxObservfun deci ca sistemul din figura 7.1. cu lege de comanda dupa stare, este

echivalent cu un sistem care are matricele (A+BF, B, C). Evolulia starii libere a

sistemului este:

Observarie: 0 schimbare de coordanate de fonna .\' = Tx implica ~i modificarea

matricei de reaqie astfel:

Teoremii: Daca perechea (A, B) este contralabila atunci ~i perechea (A+BF, B)

este cantrolabila pentru arice F" Rm" •

II 0-'[iJ - A - BF B] = [/1- A B]l :

-F IJ

deci daca perechea (A, B) este cantrolabila atunci ~i perechea (A+BF, B) este.

Proprietlit; structurale'ale sistemelor

Defilli(ie: 0 pereche (A, B) se nume~te alocahilii daca pentru orice mu1lime

simetrica A de numere complexe exista 0 matrice de reaclie dupa stare

F e Rm

" astfellncat :

Sau altfd spus: un sistem este alocabil daca exista 0 lege de camanda dupa stare

astfel incat mu1limea valorilor proprii pentru sistemul echivalent oblinut sa fieidentica cu 0 mu11ime data, dorita de noi.

Se spune ca a mu11ime e simetrica daca pentru orice numar complex al sau

mu11imea coniine ~i valoarea conjugata a acestuia. Acest lucru e necesar daca

avem in "edere ca valorile proprii se oblin ca solu1iile polinamului caracteristic al

sistemului ~i deci ele formeaza mereu a mu1rime simetrica de valori.

Vom prezenta, pentru sistemele cu 0 intrare, deci m = I ~i B == b, demonstralia

acestei teareme din care va rezulta ~i un.algoritrn de determinare a matricei de

reaclie dupa stare F (care in acest caz va fi de fapt/). Folosind valorile mu1limiiA construim polinomul:

Deoarece perechea (A, B) este contralabila atunci matrice R este nesingulara ~i

deci exisTa q eRn astfellncat:

decipentru (\7') ie[O n-2]putemafinnaca qTA'b=O iar qTA"·lb=1 ~ivom

scri e succes iv:

inmul!ind rela!iile de mai sus eu coeficien!ii ai dati de re13!ia (7 .9) ~i apoi

adunandu-Ie ob!inem:

Aplicand teorema Cayley-Hamilton, relafia 7.3. pentru AF = A - BfT rezulta ca

7.(,1 + BfT)= 0 deci:

Aces! algoritm de determinare a matricei de reaqie dupa stare este cunoscut

sub numele de algoritmlll Ackermann ~i are foarre multe aplicarii in sistemele de

reglare automata. Se poate arata ea fT caleulatii cu rela!ia (7.10) este unica.

Pentru cazul In care a\'em mai multe intrari, deci m> I yom face In

conti~uare cate\'a consideralii. Fie F. E Rw-·, ~i g E R'" arbitrar alese. Se arata in

contil1uare ca deoarece (A, B) este controlabila atunci ~i (.-I.+BF"., Bg) este

controlabila. Similar cazului anterior se poate demonstra ca existaf a..<1felIncat:

.•., ; +." N')IfI:' t}tl " 1~~i~ ~u3t ..·... ,',PropnetilV structurale ale sistemelor .

Dejini(ie: 0 pereche (A, B) este stabilizabiia daea exisla 0 matrice FER""·

astfeI ineat:

Spunem ca un sistem eSle stabilizabil daea put em gasi 0 lege de comanda dupa

slare care sa aduea \'alorile proprii ale sislemului eehivalent In domeniul de

stabilitate. Daea sistemul este eontrolabil atul1ci este ~ialocabiI ~i deci, alegand

convenabil mul!imea A, este ~i stabilizabil. Daca sistemul nu este controlabil

arunci se enunla teorema:

t E R

t E Z

un de An~ este partea necontrolabila din teorema de descompunere controlabila.

Acest lucru este echivalent eu a spune ca:

rang[l.l - A B) = n pentru oricare ), E { 0'(,1) net E RO'(,1)nU, (0) t E Z

Dejini(ie: Perechea (A, C) este detectabila daea ~inumai daca perechea (AT, CT)

este stabilizabila.

adica exisla LT astfel Incat O'(,1T + CT LT)= 0'(,1 + LC) c {C- dupa cum. U·JO)

Obsen'orii:• ;\c propunem ca pomind de la un sistem (A, B, C) dat sa ob!inem un altul cu

yalorilc proprii impuse de noi (sau putem impune polii sistell1ului). Acesl

lucru esle dorit din doua mOli"e:

Stabilizarea sistemului ini!ial daca era cumya instabil;

- Ob!inerea unor perforrnan!e dinamice ll1ai bune dedt cele ale initiate;

• S.:opul de mai sus poale fi atins prin deua met ode:

- Utilizarea unei conexiuni in reactie, de obicei negaliva, a~a cum a fosl

prezenlat ~i in capitolul 7. De remarcat aici ca putem gasi un sistem de

reaqie doar daca sislemul initial esle minimal (atunci el este ~i observabil

~i controlabil);

- Prin lege de comanda dupa stare. In acest caz sistemul trebuie sa fie

controlabil;

• Impunerea valorilor proprii (sau a poIilor) esle echivalenta cu impunerea unui

polin om X(A) dorit de noi deoarece: X(?) = n().-i,,);

• Daca sislemu! nu eSle controlabiI yom putea sa-l stabilizam tOlu~i doar daca

panea necontrolabila a sa este stabila (stabilizand deci doar partea

controlabila printr-o procedura de alocare);

• Daca panea necontrolabila eSle instabila asupra acestui sistem nu putem

aqiona in sensul stabilizarii Iui deciit daca ii marim numarul de intrari astfel

ca eI sa poata fi controlabil.

Exemplu: Yom prezenta in continuare un exemplu de determinarea a unei

matrice de reaqie dupa stare utilizand aIgoritmuI Ackermann.

Consideram un sistem descris de matricele:

A=[~ ~ ~j b=r~]2 1 - 2 Ll

~i deoarecc det(R) = -1 rezulta ca rang(R) = 3. Deci sistemul este controlfbil(ordinuI sistemului eSle n=3). In consecin!a sistemul eSle ~i alocabiI. Acest

rezultat ne asigura de existen!a unei matrice de reactie dupa stare.

2. Determinam acum polinoll1ul dorit utiliZllnd elementele mu1timii A :

3. Rezolvam ecuat.ia matriceala qT R = [0 0 I] sau dupa 0 operaTie de

"'"'P""~'R' q =m'""""""'"', q =[U

o 'J I .3 3.2

- =.1. + A + 3A + 1? + 31

Am \'azut ca 0 lege de reglare dupa stare implica cunt1a~terea tllturormarimilor de stare. in mulle situalii practice Insa nu Ie plltem masma pe toate sauputem masura doar 0 parte din ele. Aheori 0 astfcl de opera!ie ar fi foanescumpa. mai ales daca sistemul are multe stari. in consecin!ii nu putem saconstruim 0 lege de reglare dupa starea reala a sistcmului. Rezol\'area problemeise face estinuind fie toate starile, cazul estimatoarelor complete, t"ie0 parte dinele cazul estimatoarelor de ordin redus.

Un estimator de stare va fi un sistem care va folosi ca intrari ie~irea ~iintrarea din sistemul inilial a~a cum se poate remarca In figura 8.1.

Dejini(ie: Se nume~te estimator de stare al sistemului (A, B, C) un sistem(A", E", Cd a cami ie~ire, notata Cll .\: satisface relalia:

Acest lucru este aratat sugestiv In figura 8.2. Desigur ca dorim ca relalia de maisus sA fie indeplinita dupa un timp cat mai scurt.

De asemenea 0 alta cerinta impllsa estimatoarelor este ca starea estimatli saurmlireasca tot timplll, foarte aproape, starea reala a sistemului a~a dupa cum sepoate remarca In figura 8.3.

In caz multidimensional se va defini cate 0 eroare pentru fiecare eomponentA sauin loeul modulului se poate folosi norma vectorului.

Despre estimatorul din figura 8. I se spune ca este in bueHl inehisa. 0 allaposibilitate, mult mai simpla, de construqie a unui estimator de stare esteprezentata in figura 8.4 in eare nu se mai.folose~te marimea de ie~ire. Acesta semai nume~te ~i estimator In buela desehisa.

{

X' = Ax+Bu

y=Cx {~'=~X+BUy=x

Analizind ecuafia 8.2 eonstatam ea pot aparea doua situafii:

1. Siste.mnl (A, H, C) estc instabil ~i atunei, daea ~i Co"# 0 (situatia eea mai

genera.lii) eroarea de estimare va tinde eatre infinit.

2. Daca sistemul este stabil atunei eroarea de estimare sc \'a miqora In timp

astlel incat putem spune ea:

in praetica primul eaz nu este acceptabil iar In a doua situatie raspunsul

estimalOrului poate sa fie prea lent. Deci daca folosim doar un estimator in buda

deschisa nu putem rezolva In mod convenabil problema estimarii starilor.

Solufia este de a utiliza un estimator in buda inehisa, deci eu reaqie dupa

marimea de ie~ire din sistem, situafie prezentata dealtfel ~i in figura 8.1. In acest

eaz ecualia cstimatorului se schimba:

{-~'=:t~+ BII + L(G: - y)JI=X

L eSle maIricea de c~tig a estimatorului ~i ya fi determinata pe baza unui

algoritrn de impunere a polilor estimatorului, asemanator abordarii Tacute Ia

detenninarea Iegii de eomanda dupa stare. De exemplu, se poate recurge la

aIgoritmuI Ackermann ~tiindu-se multimea valorilor proprii (din dinamica dorita

pentru estimator ~i din condilia ca acesta sa fie stabil).

Yom aduce relaliile 8.3 la scrierea standard a sistemelor:

A, =A+LC

B, =[B -L]

ldeea este de a construi un sistem care sa se autoeorecteze in funetie de eroarea

dintre maThllea de iqire reala (aceasta fiind accesibila) ~i marimea de iqire

estimara. Schema struclurala a estimatorului este prezentata in figura 8.5.

Deoarece o-(A,) = o-(A + LC) = O-(AT + CT LT) matrieea L se determina prin

a!goritmuI A.ckermann de pJasare a polilor aplieat de data aceasta pereehiiI T T) . I .IA,C ~I pentru mu IImea A de valori proprii dorite. De remarcat ca din

aigoritm va rezulta matrieea LT.

Sa calculam eroarea de estimare in' cazul estimatorului in bud a Inchisa:

dr)= x'(t)-x'(t)== Ac(r)+ Ly - Lex = A8(r)+ LCx - LCx = (A + LC)c(r)

ReJalia de mai sus arata ea daca alegem in mod corespunzator spectrul matricei

A, arunei dinarnica estimatorului este contro]ata, impusa de noi ~i in nici un caz

D:l \'a tinde spre infinit ea in cazul structurii in bucla deschisa.

Pentru ea sa existe matrieea L e necesar ea perechea (A T , C T ) sa fie eontrolabila.

C{)nform teoremei de dualitate acest lueru este Indeplinit daca pereehea (A,C)e5te observabila. Deci pentru a putea avea 0 estimare eoreera a starii, sistemultrebuie sa fie observabil.

In rcalitate multc sisteme sunt instabilc. Insa 0 condilie cscnliala pentru

proiectarea sistemelor de reglare automata. ~a dupa cum se va \'edea In

capitolcIe urmutoare, este ca acestea sa fie stabile. De aceea apare necesitatea

stabiliziirii sistemelor instabile. Operalia se nume~te eompensarea sistemelor ~i

poate fi facuta In principal prin doua mClOde: prin reaqie dupa stare ~i prin

reaqie dupa ie~ire.

In acest caz sistemul este reprezentat in spaliul starilor ~i implicit \,om vorbi

de stabilitate intema. Stabilizarea implica modificarea mUl!imii \'alorilor proprii,

astfel incat aceasta sa fie inclusa in domeniul de stabilitate (semiplanul stang sau

eereul unitate in funelic de tipul sistemului eontinuu sau discrct). Se spune ea

trebuie sa faeem 0 realocarc a \'alorilor proprii ~i am \'anlt in capitolul 8 ea un

sistem este alocabil daca ~i numai daea este controiabii.

A~adar pentru un sistem controlabil, oricare ar fi mullimea /1 de valori

proprii dorite va exista 0 marrice FER'"" astfeli"ncat spectrul matricei A+BF sa

fie A (a(A + BF) = A), adica \'om putea construi 0 lege de comanda dupa starea

sistemullli. Prin alegerea corespunzatoare a mul!imii de \'alori proprii impuse se

poate nu numai stabiliza sistemul dar se poate obline ~i 0 aIta dinamica a sa.

Schema bloc a unei astfel de compensator este prezentata in figura 9.1.

~(A,B,C) I .

Deci peste comanda (imrarea) sistemului se suprapune ~i legea de comanda

dupa stare. Principalele deza\'antaje al acestei scheme sunt:

• Sensibilitate mare la zgomote exterioare.;

• Necesitatea masuriirii tuturor starilor sistemului;

Daca starile nu sunt toate accesibile, sau masurarea lor e sClUnpa, atunci se

poate construi un estimator de stare. evident daca sistemlll este observabil. Apoi

se poate construi 0 lege de comanda dar dupa starea estimata a~a cum reiese ~idin figura 9.2. ,

•de unde vom deduce ca matricele caracteristice compensatorului astfel construitsum:

A, =A+LC+BFB, =-LC, =F

Fig. 9.3. Compensarea sislemelor ell reae{ie dllpa·ie~i,.e

{

X· = Ax+Bu

)' = c\:{.< = (A ~ BF + LC)x, - Ly

.1', = Fx,

dar a~a dupa CWll reiese din tigura 1/ = .1'" \',)m gTupa eClla\iile princip:lle din

cele doua sisteme:

{

X· = .4x+ BFxx; = (.4 + BF +'Lck - LCx

i A BF]A =1

R L- LC A.+ BF ~ LC

VaJorik proprii ale acestei matrici sunt radacinile polinomului:

. ;iJ - A - BF I' iJ - A - BF - BFliJ-ARj=i LC iJ-A-BF-LC =iJ-A.-BF i.!-A-BF-LCj

iJ-A-BFo

-BF .= ,iJ - A - BFIW - A - LCii./ - A. - LCi '

Se obserya ca mul!imea yalorilor proprii este reuniunea multimilor valorilor

proprii pentru lege de reglare dupa stare ~i pentru estimator:

Pentru a putea construi un astfel de compensatOr sistemul trebuie sa fie:

• COIl1Tolabil astfel incat sa putem gasi 0 lege de comanda dupa stare

caracterizata de matricea F:• Ob5en'abil astfel incat sa putem determina un estimator de stare caracterizat

de matricea L;

Dar un sistem controlabil ~i observabil este minimal. A~adar putem construi un

compensator cu reaqie dupa ie~ire daca sistemul este minimal. Etapele pe care Ie

a\'em de parcurs in rezolvarea acestei probleme sunt:

a) Se impune multimea A de dimensiune 211 formata din doua submullimi

(AF' A.} fiecare de dimcnsiune 11;

b) Se determina F astfel incat a(A + BF) = AF prin algoritmul Ackermann;

c) Se deter~ina L ~stfel ~nclit a(AT + CT LT)= A. tot prin algoritmul Ackermapn;

d) ConstrUlm matncele slstemul rezultant cu relatiile', .

A, = A+LC+BFB, =-LC, =F

Se constata ca am construit astfel sistemul dat de teorema de la conexiunea in

reaetie (6.3). Aceasta afirma ca:

"pentru orice sistem minimal (A, B, C) de ordin 11 ~i pentru orice multime de

valori proprii A de dimensiune 211 exista un sistem (A"B"C.) care con~ctat in

reaclie cu primul va permite obtinerea unei structuri echivalente cu a(AR) = A".

Daca din exterior se mai aplica si 0 alta comanda, schema de compensare se

modi fica conform figurii 9.4.

Observam ca in acest capitol au fost abordate deja primele structuri de

reglare automata. Scopul lor este In principal de a stabiliza sistemele (de a Ie

compensa) dar nu trebuie sa omitem ~i posibilitatea de a ImbunatiHi Inca din, ,aceasta faza, performanlele sistemului rezultant oblinut.

A~a dup1i cum am ,"azut inc1i din Illfroducere in aplicaliile practice apare

frecH~nt necesitatea controlarii unei m1irimi din sistem (sau, uncori, chiar mai

multe). Spunem cii respeetiva m1irime trebuie 'reglatii'. Aceastii reglare trebuie

s1i se faca insa respectiind anumite eerinle. Problematica care apare in acest eaz

este subiectul teoriei reglajului automat. Vor Ii prezentate in continuare

elementele de baza ale acestei teorii.

Fiind dat un sistem linear (A, B, C) se cere sa se determine un sistem (A" B, ,CJ

numit compensator (sau regulator), eomandat de croarea 0(1) = y, (1)- Y(I), astfel

ineat sistemul rezultant in circuit inehis sa aiba urmatoarele proprieta!i:

a) Sii fie intern asimptotie stabil;

b) Sa indeplineasca conditia de reg/are adiea:

Iimo(t) = lim(y, (1)- y(t)) = 0t~<1:) 1-1:1)

~i in plus mai dorim:

c) Un anumit regim dinamie;

d) Conditia de reglare b) sa fie indeplinita ~i in cazul aparitiei unor

perturbatii cxterioare.

Schema sistemului oblinut cste prezentata in ligura 10.1 ~i poarta numele de

sistem de reg/are automatii, prescurtat SRA.

lvCompensalor u Sislem Y(Ac,Bc,Cc) (A,B,C)

Aceasta este formularea problemei regl1irii. 511facem cateva observ!ltii:

• in primul rand trebuie sa remarcam ca sistemul rezultant trebuie s1l fie intern

stabil indiferent cum este sistemul initial din acest punct de vedere ~i

indiferent de stabilitatea extern a a sa;

• Condi!ia de reglare ne asigura ea ie~irea )I a sistemului rezultant, in bU~IA

inchisa, va tinde sa urm1ireasca m1irimea de intrare)l, numit1i ~i 111lirimedereferill((i. Aceast1l eondilie este esen!iala pentru un sistem de reglare

automata.

• Condilia c) stabile~te ~i modul cum ie~irea va unnari referinla, adic1l stabilim

regimul dinamic al sistemului de reglare automata. In csenta dorim till raspuns

rapid, rara oscila!ii deranjante ~i lara un suprareglaj pre a mare. Aceste cerinle

sun! insa dependente de aplica!ia concreta pe care 0 avem de rezolvat;

• Aparitia unei perturbalii exterioare detennina, in general, modificarea valorii

ie~iri ~i astfel condilia de reglare IlU mai este indeplinita. Acest lucru nu este

de dorit ~i SRA trebuie sa refaca eehilibml, evident dupa un anumit regim

dinamic. Aceasta eerinta mai poarta ~i numele de rejectia perturba(iilor;• Conexiunea utilizata este in reactie negativa unitara (pe reactie nu avem

coneetat un sistem sau putem spune ca exista un sistem eu funclia de transfer

egaIa cu unu);

• Marimile)', (referinla) ~i v (perturbalia) sunt m1lrimi externe sistemului ~i se

numesc miirimi exogel/e;

E1ementul central al SRA estc reguIatoml (compensatoru\). El prime~te la

intrare eroarea dintre marimea de referinta ~i marimea reala din sistem ~i

furnizeazii 0 eomanda eatre sistem in sensul minimizarii erorii (in plus trebuie sa

indeplinim ~i cerin!ele men!ionate anterior (a-d)). in conseein!a ctapa esenliala in

proieetarea SRA cstc proicctarea regulatomlui astfel Incat sistcmul in ansamblu

sa indeplineasca eerin!ele impuse de utilizator.

Pentm a putca indeplini cerintele impuse SRA trebuie sa cunoasca aprioric

feluI m1irimilor exteme. Astfel sistemul va ingloba 0 eopie a modelullor. Aceasta

metoda de rezolvare a problemei regIarii poarta numelc de pril/cipiu/ mode/uluiiI/tern. Marimile exogene sunt referin!a ~i perturbatia. Aceasta din urma poatc

aqiona in orice punct al sistemului de reglare. Pentru simplitate vom analiza doar

cazul in care ea ac~oneaz~ asupra mMimii de j~ire, ca in figura 10.2.

considerand ~i 0 funqie de transfer a perturbaliei H, (s) ~i considerand sisteme

SISO.

FigJ 0.2. Sisrem de reglare auromata (SRA) ClI specijicarea .lime{Wor de

transfer pel1fnL fiecare element in parre

in acest eaz r~spunsul y al sistemului este 0 suma intre efeetele date de referinla

~i perturba(ie:

Cele doua componente se determina utililfuld prineipiul superpoziliei efectelor.

Aceasta inseamna eel efeclUl referinlei se calculeaza in absenla perturbaliei ~i

yom obline, utilizand proprietalile conexiunii in reaqie negativa, ca:

H,{s)·H{s).1'"f,ri"~ = 1+ H, (s)·H(s)y,

iar efectul perturbaliei este determinat considerand referin(a nula (Schema

sistemului pentru acest caz particular este prezentata in figura 10.3):

~ H(,) ry-_ )1~Y_H(_s)_H -Hc{s) ~

Fig.} 0.3. Sistem de reglare automata rSRA) eOl1siderand door e(eetli{

perturba{iei (referinla este l1ula)

• _ H •.{s)I~ - ----'-'-'--v• 1+ H,{s).H{s)

Hc·H HJ' = .1' + • v. l+lic·H' l+Hc·H

(In relalii, pentru simplitate, vom renun(a la scrierea argumentul s)

Suntem in miisura acum s~ calculam eroarea de reglare:

£:=)",-)'=.1',(1- H,.H)_ H, v=1+1i,·H I+H,·H

1-l+-H-.H-(Y' -Ii, .v),

Considemm toate funqiile de transfer ce intervin in rela(ia 10J ca raport de

polinoarne adica:

H=!-.0

Ii=~, Pc

~i (inand cont de faptul ca .0, '" P (deoareee ambele polinoame de la numitor

provin din expresia (I ) ), reJa(ia 10J se mai serie:del sf - A

p' p ( r 'I p'p p ·r£: =-.-(" Y, _2-.vj=_._C' y, __ c_.· vX p X X

in care: X = p' Pc +r·r,.

Exprimam ~imarimile exogene ca un raport de poJinoame:

G,v=-

P•.

T/!oremi'i: Daell sistemul rezultant ~,eintern asimptotic ~Iabil condipa de reglare

(relalia 10.1) este indeplinitA daca ~i numai daca:

,lJ, divide produsul p' p, ~i

,II,. divide produsul r" . P •.

Demollslrar;/!:

Mai intfii sa Yedem ca aceste condi!ii sunt sut"iciente. Expresia ewrii este:

p'p, P,'T. P'.o, a, .o,·r,Il,.E:=--r ---\'=-------

7. ., 7. 7.,LI, 7. ,II,.

- -c=~a -~a

7. ' /. '

deoareee polinomul /.(5) nu are soJu!ia S = 0 (sistemul fiind intern asimptotic

stabil).Daca vom considera acum ca avem indeplinita conditia de reglare rezulta ca:

/ ), . . I p' .0, a, .0,' r, a._hrnE:(r) = ImuE:(s) = he S'f --- - --- = 0I~ J~Q !-: \. ;: J.1, X 1-'\.

Condi!ia de mai sus trebuie sa fie indcplinitIi pentru orice semnale exogcne, deci

pentru OIice polinoame ,lJ, ~i fl,. Acest lucru estc posibil doar daca fl, divide

produsul .o' .0, ~ifl, divide produsul T•. .0"

Ca ~i proiectan\i nOl nu putem sa modificam decat structura

compensatorului ~i atunci, pentru ca teorema de mai sus sa poata fi respeetata,

trebuie ca fl, sa divida pe .0, ~i simultan .11, sa divida lOt pe .0" In acest fel

teorema de mai sus este indeplinitA indiferent de tipul procesului de reglat.

Acesta este principiul modelului intern.

Considemnd acum cazul particular in care cele doua marimi exogene sunt

de acel~i tip, adica ,lJ, == P. = f.l, atunci principiul intern se poate exprima

matematic astfel:

Din cele expuse pana aici rezu!ta ea proiectarea SRA depinde de tipul

marimilor exogene care aqioneaza asupra sistemului. Acest lucru este un

dezavantaj pentru ca daca dintr-un motiv sau altul se schimba tipul marimilor

exteme trebuie sa reproiectfun compensatorul.

Totu~i 0 cIasa larga de sisteme de reglare automata se proiecteaza

considenll1d ca marimile exogcl1e sunt de tip treapta. Motivele acestei abordari

sunt urmatoareJe:

• De obicei referinra se modi fica bruse, adica in trepte (de exemplu schimbam

brusc cursul de zbor dorit pentru un avion);

• Cele mai multe perturba!ii sunt marin>i treapta;

• Semnale mai complicate, atilt pentm referinla cat ~i pentru perturba\ie, pot fi

aproximate printr-o succesiune de trepte foarte fine. Astfel ca un sistem

proiectat pentru trepte va raspunde suficient de bine ~i pentm alte mi'irimi

exogene;

• Proiectarea compensatomlui este mult mai simpla in acest caz.

ModeJul intern este in acest caz 1/5 ~ischema de reglare automata se modifica

conform figurii 10.4.

Sislem(A,B,C)

Trebuie sa detern1inl'un sistemul H, astfel incat SRA:

• sa fie intern stabil;

• Sa aiba performanlele dinamice dorite.

Adieii trebuie sa indeplineasca condiliile a) ~i c) din rormularea generala a

problcmei reglarii (condiliile b) ~i d) sunt implicit indeplinite prin prezenla

modellilui intern in struetura eompensatorului). Daea sistel11l1lini!ial este intern

stabil ~i daca perfonnan!ele dinamice sunt suficient de bune atllnci sistemul H,

poate sa si Iipseasca insa nu este cazul general.

Configuralia sistemului, lara considerarea marimilor exogene, este

prezentata in figura 10.5.

Sistem(A,B,C)

Fig.lO.5. Sistem de reglare automalii eu model illtern lis $i flira

eonsiderarea marimilor exogene

H,

r'- - - - - - - - _._._._.-_._._.-_.--, I, ;

( : Sistem iu(A,B,C)

Fig.lO.6. Sistem de reglare automata ell model iII/ern lis ~'i el'idell!ierea

sistemului extills

s

de sistem extins.

Yom scrie in continuare ecuatiile caracteristice sistemului extins. Pentru

aceasta mai avem nevoie de 0 noua marime de stare ¢ corespunzi'itoarernodelului intern:

x' = Ax+Buy=C~

¢' =-ypentru rnodelul internq=;

Starea sistemului extins este x, = [; J, intrarea este u iar ie~irea este ~. Cu aceste

consideraJii serierea generala a sistemului extins devine:

[x]' _[ A OJ [xl [Bl- . 1+ ·u¢ -c 0 ¢j oj

;=[0 Il[;]de unde putem deduce cu u~urinta matriceie caracteristice sistemului extins:

A _[A 0],- -c 0rBl

B =l', OJ

Mai ramane sa det~rminam sistemul H,. Acesta trebuie sa stabilizeze

sistemul extins. Deei vom apliea metodele de compensare a sistemelor prezentate

in capitotut 9. Prin pozi!ia polilor alocali yom impune practic ~i regimul dinamic

donI. Astfel, 0 lege de eomanda dupa stare pentru sistemul extins descris derelalia 10.8 poate fi scrisa:

u=F,.x,=[F 97J{;]=F'X+97'¢

Pe baza relatiei de mai sus considerand F = [j; 12 In J ~i

X = [X, X, x.r YOm obtine schema de reglare prezet:ltata in ·figura 10.7.

Fig.l0.7. SiSler>:de reg/are alllomatii CII mode/ illlern fi lege de comanda

dupii starea sis!<·n1u/ui.

Daca marimile de SI.lTe ale sistemului nu pot Ii masurate atunci vom eonstrui tm

estimator de stare. Legea de eomanda va utiliza de data aeeasta starea estimata.

Schema de reglare ot"-!i.nutaeste prezentata in figura 10.8.

Sistem(A,B,C)

iI

I~

Estimator(A",B"C,)

Fig.lO.8. Sisterr. de reg/are automata cu mode/ illfern fi lege de comandadllpa starea est:n:ara a sis/emu/ui.

in acest eaz manrn:ie de intrare in estimator sunt intrarea 11 a sistemului ~i

eroarea E: dintre marimea de referinla ~i marimea de ie~ire (deei nu se mai

folose~te direct ie~irea sistemului a~a cum am prezentat In capitolul 8; oricum

eroarea E: este propoI1ionala eu ie~irea y deoareee referinla y, este constanta).

Ansamblul eonstituit din estimator ~i lege de reglare dupa stare formeaza

compensatorul eautat. Pentru determinarea modelului matematic al acestuia se va

considera 0 referinta null! adiea y, = 0 (se eonsidera el! referinta este 0

perturbalie ~i nu se ia In calcul la sinteza compensatorului). Obtinem deei ea

E: = y, - y = - y. Eeuatia 8.4, ce descrie funqionarea unui estimator de stare,

devine in acest caz particular:

Ecualia 10.11 Impreuna cu relalia ~ = E: fonneaz;.l sistemul de eeuatii ee

earaeterizeaza funelionarea eompensatorului. Acest sistem poate fi pus ~i sub

fonna matrieeala:

•A =[A+BF+LC Brp]

, 0 0

C, =F,

deoarece ie~irea eompensatorului este ehiar comanda 11 •

Obsen'u(ii:• Matrieele sistemului extins date de relalla 10.8 sunt valabile daar pentru

marimi exogene de tip treapta;

• in praeticii un regulator nu va luera, dedit foarte rar, direct eu manmea y de

ie~ire din sistem ei eu a marime proporlionala eu ea exprimata de abieei In

valli. Corespunzatar ~i ie~irea u eatre sistem va trebui resealata, uzual

amplifieata. In aeest fel se evita funclionarea regulatorului in dameniul

puterilor mari, fiind de fapt un element de eomanda. Gama semnalelar eu care

opereaza eompensatarul este euprinsa mtre -IOY ~i + I QY.

in silIJalia sistemelor continue regulatorul se realizeaza cu ajutorul unor

componente anaIogice: rezistoare, condensatoare, bobine. circuite integrate

analogice (amplificatoare opera!ionale).

De exe:mplu schema de principiu a unui integralor analogic csle prezentala in

figura 10.9.

Sislemele analogice au cale\'a dezavanlaje evidente: nria!ia paranletrilor In

funqie de condiliile de lucru. modificarea lor in limp ~i 0 flexibililate redusa

(dara de exemplu dorim modificarea unui parametru al regulatorului trebuie sa

modifidm componentele electronice sau sa Ie reajustam pe. cele existente).

Aceste dezavantaje sunt Inlaturate daca vom utiliza sisteme de comanda cu

regulatoare numerice (digitale).

S<.--hemaunui SRA discret, figura 10.10, conIine un convertor digital-

analoglc (CDA) ~i unul analog-digital (CAD).

Sisrem(A,B,C)

Compensator(Ae,BnCc)

Daca oblinem un sislem discret (Ad,Bd,Cd)echivalent sistemul (A,B,C),

printr-o operalie de discretizare, atunci schema de reglare automatl! va conTinedoar sisteme discrete (tigura 10.11).

Conform celor spuse anterior. solulia general a a problemci reglarii sebazeazl! ~i In cazul discret tot pe principiul modelului intern.

CompensalOr(A,.,B,.,Cc)

Sistem(Ad,Bd,Cd)

Evident insa ca acum modelul senmalelor de tip treapta este _z_ iar In timp:z-I

{x(t + I) = Adx(t)+ Bdu(r)y(t) = C.x&)

Sistemul extins, format din modelul intern ~i sistemul discret, va avea ecualiile:

0l.[x(t)l + rBd 1.u1J ~(tL _ 0 J

Observam ca relaliile 10.16 sunt asemanatoare cu cele oblinute pentru sistemul

extins continuu (relaliile 10.8). Matricele compensatorului discret se oblin similar

camlui continuu ~i sunt asemanatoare celor date de relalia'lO.13 ~u deosebirea citAd are ultimul element' I '.

10.4 Impunerea perlormantelor dinamice pentru SRA

Dupa cum am vazut respect area principiului llwdelului intem implica

croare stationarii nuh'i ~i rejeqia perturba\iilor tpenlru marimi exogene

corespunza~oare). deci respect area cerinlelor b) ~i d). Siabilitatca SR..•••se asigura

. - d . 011'1' -In C- «i construind corespunz31Or regulatoruI). R:lmane delmpunan U-I P ~ -.rezolyat problema rcgimului dinarnic. adica cum facem ea SRA S3 aiba anumlte

performal1{e dillamice. Cele mai importante marimi ee caraclerize:lZ3 regimul

dinanlic al unui SRA pentru referinla treapta sunl:suprareglajlli. adica valoarea maxima cu care ie~irea depa~e~le yaloarea

referintei. EI se exprima uzual in proccnte._ timplll ~e stabilizare, adica timpul dupa care eroarea este mai mica decat un

anumit prag impus (se mai nume~te ~i limp de /lIcadrare in banda de

eroare dori la)Pemru cazul in care marimile exogene sunt de tip treapta raspunsul tipie al

sistemului este prezentat in tigura 10.12 (au fost puse in evidcn!a ~i cele doua

earacteristici dinamiec definite mai sus).

Ie i------------.:..:.!.:.;..:.---------------t

0.5 I

i0'o 10

Is

. Fig.lO.12. Implinerea perjarmal1/elar dinamice pell1rll illlrare rreapIQ

u = y"", - y, x I00[y]y,

unde YO''' este valoarea maxima a raspunsului sistemului iar y, este marimea de

referinta (care in acest eaz este egala eu unu).

Timpul de slabilizare Is are proprietatea ea:

Pentru un astfel de sistem valorile suprareglajului ~itimpului de stabilizare se pot

exprima in funetie de factorul de amortizare S~i de pulsatia proprie UJ•• Astfel,

de exemplu, pentru I: = 0.02 am ob!inut anterior (vezi 5.1) ea:

4I =--, sUJ"

Rezulta ea in aeest caz se pot gasi t; ~i UJ., in funqie de perfonnantele impuse

(adica in funqie de suprareglajul cr ~i de timpul de stabilizare I,). Polii pe care

trebuie sa-i aiba sistemul pentru a respeeta aeeste performanle vor fi:

A~adar daea SRA ar fi un sistem de ,ordinul 2, performan!ele sale ar putea fi

fixate prin impunerea polilor conform rela!iei 10.20. Aeest lueru este eehivalent

cu impunerea polinomului de la numitorul fune!iei de transfer eehivalente SRA:

Deci sintetizand, pentru un sistem de ordinul doi impunerea performan!elor

dinamice impliea:

impunerea unui suprareglaj ~i a unul limp de stabilizare In funqie de

eerin!ele apliea;iei concrete avute in vedere:

calculul factorului de amortizare ~i a pulsa!iei proprii dorite conform

relaliilor 10.19;

- determinarea polinomului earacteristic dorit (relalia 10.21).

in eaz general insa dimensiunea 11 a SRA este mai mare de doi. Atunci ~i

ordinul polinomului caraeteristic dorit X As) trebuie sa fie mai mare ~i anume• i

egal chiar cu n. Acest lucru este eehivalent eu a mai impune ~i alIi poli in afara de

cei doi pe eare ~tim deja eum sa ii ealculam. Alegerea poJilor suplimentari se face

aSlfei ineal rasplUlsul sislemului sll nu fie mult diferil de raSpW1SU)standard al

lUlui sislem de ordin 2 (se splUle aSlfel ell SRA are doar doi poli dominanri de~i

ordinul sau eSle 101U~iin realilale n). SlUlt multe posibilitiiti de alcgere a polilor

suplimenlari. Pentru simpliticarea calcuh:lor se adoplii unnMoarea metoda: toli

polii suplimentari yor fi egali intre ei. \Of awa doar parte reala (bineinleles

negau\'a pemru a respecta slabilitatea SRA) ~i vor fi plasali cal mai departe, spre

- <xc. fala de rvlii dominanli. Acest lucru este ilustrat ~i grafic in figura 10.13.

...S, • I Jill

• °1~

5: ..4- . RI!

• Is.I

Pri..'1 aceasta alegere, regimurile tranzitorii date de respectivii n-2 poli

suplimentari se anuleaza mult mai repede decM cele ale polilor dominanli,

neintluen!and practic comportarea sislemului, care ya raspunde similar unui

sistem de ordinul2.

Pmctic, partea reala a poJilor suplimentari se considera aproximativ de 10 -

15 ori mai mica decat partea reala a polilor dominanli:

in acest fel putem deci sa impunem ~i polinoame caracteristice dorite de ordin

mai mare decal 2. De exemplu pentru un sistem de ordin 3 polinomul Xd(S) este:

A~a cum se cunoa~te deja din capitolul precedent, proiectarea unui SRA

(care respecta condiliile a),b),c),d)) este posibila in cazul general utilifand

prineipiul modelului intern. Singurele condilii sunt ca sistemul care se dore~te a

fi reglat sa fie controlabil ~i observabil. Dimensiunea regulatorului (A"B"CJ

oblinut este, in cazul sistemelor SISO, de /1+ J, unde /1 este dimensiunea

sistemului dat. Aceasta insearnna ea pentru sisteme mari regulatorul va fi foarte

complex ~i este dificil de implementat mai ales in cazul sistemelor analogice. De

aceea in practica se cauta sa se rezolve problema reglarii prin folosirea unui

regulator de dimensiune cat mai mica. Chiar ~i pentru sistemele discrete de

reglare se prefera utilizarea unui regulator cilt mai simplu daca se pot astfel

indeplini cerin!ele aplicaliei respective.

Regulatoarele eu struelUra fixa sunt sisteme la care elementele neClUloscute

sunt doar coeficienlii polinoamelor func!iei de transfer. In practica, pentru

sisteme continue, cele mai des intiilnite tipuri de regulatoare sunt:

1• H PlD (s) = kp + kJ - + kd • s regulator propor(ional- illtegral- derivativ (PID)

s

Problema care se pune este ca pentru un sistem dat oarecare, sa se gaseasca

valorile coeficien!ilor kp,kpko astfel incat sistemul rezultant sa satisfaca

cerin!ele impuse unui SRA, opera!ie numita acordarea regulatorului.

Observa{ii:

- Este clar ca regulatorul de tip P nu are in structura sa nici un tip de model

intern, deci nu va respecta condiliile b) ~i d).

- La fel, regulatoarele PI ~i PID au incluse modelul marimii exogene tip

treapta, deci dacii vor indeplini condi!ia a) Ie vor indeplini ~i pe b) ~i d).

Ele nu vor indeplini aceste douA conditii pentru aile mArimi exogene(rampa. sinus, etc.). Cu toate acestea in practica este In general suficient unSRA proiectat pentru marimi exogene tip treapta, dcoarece el unnarqterelativ bine chiar ~i 0 referintii oarecare (care poate Ii descompusa intr-osec\'enti'i de trepte) ~i de asemenea, perturba!iile sunt deseori de tip treapta.

\'om prezenta in continuare un exemplu de acordare a unui regulator PI pentruun sistem de intarziere de ordin unu.

Ewmp/l/: Fie sistemlll continuu: H(s)= _b_s+a

Se cere sa se gaseasca un regulator PI astfel incat-sislemul de reglare

automata sa aiba factorul de amortizare s ~i pulsalia proprie liJ•.

in foarte multe situa!ii se prefera ca perfonnanlele dinamice ale SRA sa fie datedirect prin perechea (s , liJ.). ESle ~i cawl acestui exemplu. Oricum aceste

yaIori se pot caJcula u~or din suprareglaj ~i din timpul de stabilizare «()' ~i t,)

confom1 re!atiei 10.19. Schema general a a structurii de reglare automata pe careo yom utiliza ~i in acest caz a fost descrisa in capitolu! 10 (in figura 10.1). Unprincipiu de bazil este acela ca pentru proiectarea regulatoarelor nu se iau inc2.Jcul penurbaliile. Acest lucru se bazeaza pe faptul ca regulatorul proiectattrcbuie sa asigure rejectia penurbatiilor (condilia d) din problema general a areglarii). Tinand cont de aceste elemente schema de reglare automata este cea dinfigllra ILL

bH(s) =-s+a

\' om urmliri sa gasim funclia de transfer a acestei structuri de reglare automata.\1ai intai observam ca regulatorul ~i sistemul sunt conectate in serie. Utilizandproprietatile acestei conexiuni schema se simplifica, ca in figura 11.2.

( k.) bH"As)= kp +-!.. -S s+a

H tAs) se nume~te funclie de transfer in buda deschisa a ansamblului regulator-

sistem ~i se mai poate scrie:

() b . (k p . 5 + k,)H •• s =-----

s· (5 + a)

Schcma din figura 11.2 este un sistem cu conexiune reaclie negativa. Yom apliea

formula 6.10 in care: H, '" If.. iar H 2 '" 1. Cu aceSle consideralii funClia de

transfer echivalenta sistemului de reglare initial este:

Pentru ca performanlele SRA sa fie cele eerute trebuie ca numitorul funcliei detransfer H••(s) sa fie identic cu polinomul dat de relatia 10.21. Construim astfel

sistemul de eeuatii:

{b'kp +a =~':·liJ.

b·k, =liJ;

cu solutiile evidente: jkp = _2_·2s_.:_._-_a-,. liJk. =....!!..

, b

Relalia de mai sus permite acordarea regulatorului, adica deterrninareaconstantelor kp ~i k" in funetie de parametrii sistemul de reglat a ~i b ~i de

perfom1anlele dinamice impuse s ~i liJ•.

Observa(ii:

• daea sistemul de reglat ar fi de ordin doi atunci nu YO)11mai putea utiliza unregulator PI ci va fi nevoie de un PID, algoritmul de acordare fiind similar.

• sistemul echivalent obtinut, H;, (5), difera de un sistem standard de intarziere

de ordin doi prin faptul ca are un numm-ator care nll este 0):. Se spline ca

sislemul are ~i un zerou. Insl'l prezen!a sa nu modificii foarte mull

perfonnan!ele dinamice ale SRA. Acest lucru se poatc verifica lI~or ulilizand

prograrnul Simulink ~i riimiine ca exerci!iu pentru cititor.

$i in cazul sistemelor de reglare discrete se lItilizeaza reglliatoare Cll

struclura fixa fomlate tot din tenneni propOI1ionali, integrali sau derivativi.

Astfel cele mai des intiilnite tipuri de regulatoare discrete sunt:

• Hr(=)=kp

• Hp/(=)=kp+k/_z_z-1

- - 1• HP!D(=)=kp+k/---+kd'~

z- I =

Acordarea regulatoarelor consta ~i aici in detenninarea coeficienti1or

kr,kl'kD astfe! incat sistemul rezultant sa indeplineasca pe cat posibil conditiile

cerute in fonnularea problemei generale a SRA. Ca ~i in cazul continuu aceste

cerin!e nu pot fi mereu ~i complet satisIacute. Cu toate acestea simplitatea

solutiei ~i rezullatele efectiv obtinute au Iacut ca aceasta metoda sa fie destul de

des utilizata in ap1icaliile practice.

{mpunerea perfonnan!elor sistemului de reglare se va face astfel incat

acesta sa se com porte similar unui SRA continuu, deci yom utiliza elementele

prezentate in IDA, transpuse insa in cazul discret. Pentru aceasta detenninam

polii sistemului rezultant dorit in continuu, cu rela!iile 10.20 ~i eventual 10.22.

Apoi polii sistemului dorit in discret se calculeaza cu relatia: Zk = e',h, un de h

este pasul de e~antionare utilizat. Celelalte etape, in acordarea regulatorului, sunt

similare cu cele prezentate in exemplul de mai sus, din paragraful I I. I. Pentru

sistemul fizic pe care dorim sa-l reglam se va utiliza bineinteles echivalentul sau

discret ( H(z) .

Un semnal analogic de durata infinita ~i periodic poate fi reprezentat printr-oserie Fourier:

f(l) = I>kejk •.",J=--co

d 2l[ . .'un e {J)o = 1: Jar To - penoada semnalului.

o

Coeficientii seriei sunt compleqi ~i se detenninl'l cu relatia:

Prin separarea pm-tii reale ~i a eelei imaginare se obtin doua serii, una de sinusuri~i alta de cosinusuri.

Modululeoeficientilor seriei Fourier se nume~te spectrul semnaluluif(t}.

~i rezulta irnediat ea pentru aceste doua semnale singurii coefieienti nenuli sunl a• I

~i a;, adica:

1a =-

I 2/I

al = 2'

1 .al = - - pentru pnmul semnal

2j

a.1 = -~ pentru al doilea semnal.

,,'''r. oT •. -1 0 k-

I, !rl< T,Exemplu]: Pentru semmlul descris de funClia: /(Ij = 0 T I I Tol' ,<,r < 2

~ireprezer.tat in figura 1.2 se obline um1alOarea descoI11punere in serie Fourier:

sinkClJ]" . 0' 2T., k 0---'- pentru " = 'I a. = - pentru . = .kg , J ~

Spectrul a-:cstui semnal are alura prezentata in figura 1.3 in care s-a considerat

cazul.particular To = 4T,.

Unui semnal analogic descris de 0 functie f(t) i se poate defini tra1lsformata

Fourier ca fiind funqia complexa de variabila reala:

~F(ClJ) = ff(t)e-jWf lit

!(1.3)

Pentru ca integrala din ecualia I.3 sa fie convergenta funetiaJ{t) trebuie sa

indeplineasca 0 serie de condilii, numite condiliile lui Dirichlet. Pe scurt, este

suficient sa tie absolut integrabila ~j continua (sau cu un numar finit de

discontinuitaTi),

Observa(ie:

in plus, pentru semnalele care sunt periodice dar nu respecta condiliile lui

Dirichlet pe un interval infinit, se poate defini transformata Fourier pe un interval

finit, respecti\' pe 0 perioada. In acest fel se poate calcula transfom1ata Fourier

ori de cate ori exista 0 descompunere in serie Fourier.•

Pentru Un semnal periodic se poate construi atat seria Fourier cat ~i transfom1ata

Fourier, (considerand un semnal finit, pe 0 perioada a semnalului inilial). Intre

cele doua existii 0 legatura directa, coeficienlii seriei fiind:

A~adar coeficienlii seriei se obtin prin e~antionarea transfom1atei Fourier, in

puncteJe in care ClJ = kClJo' eu alte cuvinte, exceptiind constanta ~, graficulTo

transformatei Fourier reprezinta infa~uriitoarea graficului coeficientilor seriei,

respectiv graficul modulului transformatei Fourier este inra~uratoarea spectrului

semnalului.

Exemplu 3: Pentru sernnalul din exemplul nr. 2 transformata Fourier a, .semnalului dreptunghiular (definit pe 0 singurii perioada) este:

2 sin «)T,OJ

GrafiClll transfonnatei Fourier este reprezentat in figura lA, suprapus peste

graficul coeficien!ilor seriei, in cazul particular in care 7;) = -IT, = 4. Graficul

transformatei a fost scalat cu factorul -.!... pe abscisa ~i ell faetorul ~ peTv «).

ordonata. Se obsen';l ea in aeeste eondi!ii graficul coefieien!ilor seriei Fourier se

suprapllile perfect peste eel al transfomlatei Fourier.

.Fig. 1.4. Graficlil coeficien{ilor seriei ~i ai trrrns!ormatei Fourier pentrusemnalul din exemplul 3

Prezentam in cominuare (tabelul I.I) cateya transform ate prceum ~i eoefieien!ii

seriei Fourier pentru semnalele eele mai des intalnite in praetiea:

Nr.1 Semnalul Transfonnata Fourier Coefieienlii

crt. I seriei FourierI

1. /5(t) - impulsul 1 -Dirac

2. h (t) - treapta 1 --:-+r.S{«))unitate Jf:)

3. e"' h(t) I ----j(:) + a

4. I th(t) II ---,I (:)-

5. I tne-ar h(r) nt -

I ( . )"+1Jf:) + a

6. I coswar tr[S(<) - 00} + 15(<)+ mol] Ial =a_1 ="2

II ak = O. k #- ±l

I

7. I sin (uar ~[S(m- (0) - S(m + wal]I

al =-a.1 =~

IJ -J

! ak = 0, k;O ±l.

Prineipalele proprietap ale transfonnatei Fourier sunt:

a) Iiniaritatea:

CT 1 (0)of {feat)} = - F! - uncle a>O

a \..a

GT { . ~(»)_ dF(w),7 -Jllll ---dw

In legatunl eu reialia lui Parseval, trebuie remareat ea termenul din partea stanga

reprezinta energia semnalului 1(1) ~i deci aceasta se poate calcula fie prin

integrarea pe domeniul timp a energiei pe unitatea de limp II(tl, fie prin

integrarea pe domeniul frecvenlei a energiei pe unitatea de frecvenfii 2~ !F(wl.

In cazul semnalelor periodice energia este infinita ~i deci rclalia lui Parseval nu

se poate aplica. Se poate demonstra insa 0 relalie asemaniitoare valabila pe 0

perioada:

Un subiect interesant il cooshtme aproximarea semnalelor periodice folosind

dezvoltarea in serie Fourier, pe baza proprietiililor de convergenla ale acestora.

Dacii folO$il11doar primele N armonice din dezvoltarea in serie Fourier a unui

semnal periodief(I), vom avea 0 eroare de aproxima!ie datil de:

N

eN = f(l)- Z>leJI""

4::-N

care evident este cu atat mai midi cu cat Neste mai mare. Evident di put em

obtine 0 aproximatie de acela~i tip, adica folosind tot N exponenliale complexe,

dar cu coefieientii oblinuli altfel decat eu formulele lui Fourier. Se poate

demonstra ea seria Fourier este, dintre toate aceste aproximilri, cea mai buna in

raport eu un criteriu patratic al erorii. Cu alte cuvinte, pentm un N dat, cantitatea:

Tc To

E", = ~eN(r)i' dl = feN(t)e~(I)dto 0

este minima pentm seria Fourier. Dad seria Fourier converge, ceea ce se

intiimpJa pentru majoritatea semnalelor periodice intiilnite in practica, vom avea:

limE",=ON-+~ ,

ObserVG{ie:Seria Fourier este divergenta fie daca apliciind formula data de ecuatia 1.3

unii coeficienl! sunt infinili, fie daca, de~i tOli coeficienlii sunt finiti seria nu

converge catre semnaluI initial. Condi!iile riguroase pe care trebuie sa Ie satisfaca

un semnal pentm a fi asiguratil eonvergenla seriei Fourier sunt in esenta acelea~i

ca in cazul transformatei Fourier, anume condiliile lui Dirichlet.

Pentm a ilustra felul in care converge 0 serie Fourier catre semnalul original

sa consideram semnalul din exemplul 1, impreuna eu seria sa. Sa fixam r; = 1 ~i

To = 4. in figura 1.5 sunt prezentate semnalul original ~i cel obtinut prin

aproximarepentruN=I, 3, 7,19.In acest caz numaml de termeni se poate observa pe grafic, din numaml de

oscilalii prezente in semnalul aproximat, pe 0 perioada a aeestuia. 0 proprietate

interesanta a semnalului considerat In acest exemplu este a~a-n~mitul fen omen

Gibbs, anume ca "suprareglajul" semnalului aproximat (diferenla intre maximul

sau ~i eel al semnalului initial) este constant, indiferent de N. cata vrerne Nestetinit.

Implicapa practica este ca pcntru un semnal cu discon(inuita~i aproximarea

in serie Fourier \-a avea tot timpul un suprareglaj in veciniilatea discontinuita~ilor

~ica, d~i aceSl suprareglaj \"a fi fix. N va trebui ales sllficient de mare pentru ca

durata pulsului ce da suprareglajul (energia sa) sa fie cat mai mica.

! 1 ---j----... J ... - --l.- ..

i :: :·....r·· --r-· ..._.. ~-_. ---4---. --

i !---r -~l~~'-

Fig.I.5. Cor.;ergen!a seriei Fourier a unui semnal dreplunghiular ~i

ilustrarea fenomenului Gibbs. Seria a fosl Irunchiala la primii :-:I = 1(a).3(b).7(c). 19(d) lermeni.

Unui semnal analogic descris de 0 funqie /(1) i se poate defini trafls/ormataLaplace ca fiind f'wlcria de variabila complexa:

'"F(s) = f/(/)e""dl

o

Obsen'a(ie:

Transformata Laplace nu se poate defini deciit daca func~ia fl.1) indepline~te

anumite condi~ii, adica daca apartine clasei func(iilor original. Aceste conditiisum:

/(1)=0, (v) r<O;

- /(1) continua cel pUlin pe porliuni pe intervalul [0 rx»;

- exista M > 0 ~i So ~ 0 astfel incat //(1 ~ ~ Me'o', (v} ~O.

Condiriile de mai sus sunt in general satisIacute de semnalele intalnite in

practica. Trebuie avut insa grijih:~ se respecte prima condilie. Aceasta este ceruta

de faptul ca integrala din ecualia II. I este evaluata pornind din zero, fiind deci

\"orba despre 0 transformata Laplace uni/ateralii. Transformata unilaterala este

deosebit de utila in analiza sistemelor cauzale.

Evident transformata Laplace are sens numai daca integral a din definilie

esle convergenta. Regiunea din planuJ complex in care se intampla acest lucru se

numqte regiuflea de converge1l(ii a transformatei Laplace.

jl ~.a a

Fig.II.I: Regiunea de convergen!a a lrans/ormalei Laplace a unei jimc!iioriginal; cazul a>O

Pentru orice semnal aparlinand clasei funqiilor' origimil, regiunea de

convergenla a transformatei sale Laplace este definita de 0 rela~ie de fonna:

~i \'a avea reprezentarea din figura 1.1.

Se observa ca:

~i deci transformal3 Laplace reprezinta 0 generalizan: a rra.l1sJonllatei Fourier a

semnalelor analog ice, daca cele doua imegrale sunt convergente. Se poate

intiimpla ca pentru un semnal dat transfonnata Laplace S3 existe. iar cea Fourier

sa nu existe. Existenta transfonnatei Fourier implica faprul ca s =jr.:J sa aparlina

regiunii de convergenta, deci limita aceslei regiuni sa tie a < O. ell alte cuvinte,

pentru un semnal a\'and regiunea de conwrgenta a tnmsformatei Laplace ca in

tigura ILl, transfom1ata Fourier nu exisla.

Exemplllll: Fie scmnalul descris de f(l) = e"/ + e" penml I ~ O. ~i nul in rest. Sa

se detem1ine transformata Laplace a sa.

unde h(t) reprezinta functia treapra unitarii.

Pentru simplificare, se poate renunta la scrierea lui h(I), subinlelegandu-se

existenta ei, adica faptul ca f(t) apartine clasei funqiilor original. Transfonnata

Laplace se poate calcula cu relalia n.l:

~ < x

F(s) = Jf(t)e""dl = !e"e-"dl-i- Je"e-"u"; =o ~

~i este convergent a in regiunea Re{s} = G> 2.

in figura 11.2 este reprezentatii zona de convergenla a acestei funqii, precum ~i

polii ~i zeroul ei. Se observa ca atar polii cat ~i zeroul sunt simpli (de ordinul

intai) ~i ca limita regiunii de con\'ergen!a este data chiar de catre unul din polL

Fig. 1[,2: Polii. zeroul ~'ircgilmea de convergen!G ({ lransformalei Laplac,din e.xcmplrd 1.

Pentru orice transfonnata Laplace ralionala (data de 0 fractie) se pot demonstra

unnatoarele proprietali:

• TOli polii sum in afara regiunii de convergenla.

• Regiunea de convergenla este fie Iimitata la stanga de unul din poli, fie se

intinde pana la - et:! •

Ambele afinnalii se pot verifica u~or pentru funqia din exemplul anterior.

1 (f+i~

f(l)=- JF(s)e"ds21i a- j<o

integrarea facandu-se de-a lungul un~i drepte paralele cu axa imaginara, dreapta

situata in' zona de convergen!a. Legatura dintre transformata Fourier ~i Laplace se

observa ~i in fonnula transfonnatei inverse. De fapt relalia II.2 se poate obtine

direct din transfonnata Fourier inversa, daca se inlocuie~te f{t) cu f{t )e-or.Pentru e\'a]uarea transfonnatei inverse se folose~te formula de calcul a unei

integrale de linie, aplicati'i relaliei II.2, rezultand:

"rezf(l) = LRez{F(s)e" ,s,}

hi

unde sk sunt polii funetiei F(s). Acest lucru este posibil deoarece toti polii lui

F(s) sunt in afara regiunii de cOIl\'ergenla, deci in stanga dreptei pe care se face

integrarea. Rearnintim, in acest context, fonnulele de calcul ale reziduurilor unei

funetii de \'ariabila complexa s:

• Pentru un pol simplu a:

1 {dm

-, }IRe'::{G(s~al l=-- --,[cs-a)mG(s)]~, (/II-I)! ds~- ,~,

De asemenea. calculul transfomlatei Laplace inverse se po ate face prin

descompunerea lui F(s) in fraqii simple ~i identificarea aeestora eu

transfomlatele unor func!ii standard. Cate\"a transfomlate ale unor astfel de

funqii sunt date in tabelul 1.

I );r.

ISemnalul Transformata Zona deI

i crt. Laplace convergen!aII. oCr) - impulsul Dirac 1 intregul plan

,2. h (r) - treapta unitate 1 Rc{s} > aI

I -I si

I ! a 1 Re{s} > a.'. e --I s+aI

~" r 1 Re{s} > aI I s

~

,II' Re{s} > aI

sn+l

sill WI OJ

IRe{s} > a

Iso' + OJ]

7. cas WI s

IRe{s} > a

5: + OJ}

Principalele proprietali ale transformatei Laplace sunt:

a) liniaritatea:

...? \eq, I(f}~ F (s - q)

..9' {_tf(t)} = dF(5)d5

I(O+} = fi/ll I(I} = fim F(s}1-.0 s~;X)

1>0

Aceste proprietati pot fi folosite in ealculul unor transfonnate Laplace mai

complicate. De exemplu, ~tiind:..9' {t"}= ~"!, ~iaplicand proprietatea d) putem5

07{" '"'}_ n!-Z t e ----(5 + a)'"'

ANEXA III: TRANSFORMATA FOURIER A SEMNALELORDISCRETE

Fie un semnal discret x(ll], eu perioada N. Acest semnal se ponte descompune

imr-o serie Fourier, descrisa de unnatoarele reialii:

.v-~ ;kl..!!..."X[Il] = La,e N

k=O

Sumele se calculeazli pe 0 perioada a semnalului, momentul initialn = 0 putfmdfi plasat arbitrar. De asemenea se poate arlita ea pentru oriee k este yalabiliirelatia a, =abN, adicli spectrul unui semnal discret este periodic, cu perioada

egala eu a semnalului.

Unui semnal discret deseris de 0 funetie x[n} i se poate defini trtlflsjormoto

Fourier ca fiind funclia complexa de variabiHi reala:

~X(Q) = Lx[n]e-i!ln

2.T

X[Il]= fX(Q)ei!lndQo

Seria din ecualia IIJ.2 este convergentli pentru semnale de durata finita, dar ~ipentru unele semnale infinite (de exemplu sernnale care sunt absolut sumabilesau care au energie finita).Principalele diferenle falii de transfonnata Fourier a semnalelor analogiee sunt:

• periodicitatea transfomlatei Fourier a semnalelor discrete;• integrarea pe un interval finit in calculul transfonnatei innrse.

Ambele diferente apar drept consecinte ale faptu!ui ca doua exponenpale discretecare diferll in frecvenla printr-un multiplu de 2lr sunt identice. intr-adevar:

ei(O-2h)" = cos(Q + 2klr)n + jsin(Q + 2k"l")n = cos(Dn + 2klltr) + jsin(OIl + 2klltr) == COSQIl + jsin nn = ei!ln, (V)Il,k E Z

Exempt,,]: Fie senmalul discret x{n]=a"h[ll]

unde lal < 1 ~i h[n] este treapta unitate.

e-jO/2 (ein(N1,q 2) _ e-;TI(N1+1I2))

e-iOI2(eiO 2 _e-i012)

. r. 1Sin •• (N, + -)

2.Qsm-

2

Teoria sistemelor de reglare automata/

Figura 111.2conIine reprezemarea graficll a a.::estei funetii. pentm diverse valori

ale lui .V,.

8 .••• _-. ...:..•••••• __ • • ••••..••• --f.: :

: -=:=•t==·j ~==-=t.1

,=11::: 1~~=~-f~:. r

Fig.III.2. Reprezel1tarea trans!omzalei Fourier a seml1alului discrel de la

exemplul 2, pel/1m N1

= 2, 4, 8. 16.

Principalele proprietllti ale transfonnatei Fourier a semnalelor discrete sunt:

a) Iiniaritatea:

Y {nx[n]}= j d.X(D)dD

Fie un semnal periodic discret, care este descompus In serie Fourier discreta ~iciiruia i se calculeaza ~i transfonnata Fourier pentm 0 perioada. Se poate verifica

prin calcul direct ca mtre coeficienrii seriei ~i transformata Fourier existaurmatoarea relatie:

Fie un semnal x[n} de durata finita Xf, adica nul pentm 11 < 0, n > N,. Alegand

un numar N> N, putem construi, pornind de la x[n} un semnal periodic, deperioada N, astfellncat:

Coeficien!ii seriei Fourier a semnalului periodic .r{II} swH. confonn ecualieiIlI.2:

1 ."-1 -'k:':'~ i '"-! -I~:~·:''''a =- I/rn]e' s' =- )X[II](, ,\ .

.t ;V 1I=J l .Y ;:

r\ce~ti coefieienti definese eeea ce se nwne~te tralls/ormata Fourier discrefiirDFT) a semnalului finit X{II]. :"0talia consaerata este:

- I .\-i -f~14

X(k)=v- )x[lI]e\ . k =0.1 ....,:\-1• _z-.

s-: _ jk:'::"r;x(r.]=)'Xlk)e .\',0=0.1, .... :\-1

t=:

A~adar. atat semnalul. cat ~i transfonnata sa DFT sunt de lungime finita ~ise pot ob!ine eu u~urin!a unul din celalalt. l'n semnal de durata fin ita poate fideci reprezentat fie de valorile sale. fie de eoefieien!ii transfonnalei sale Fourierdiscrete.

o alta caracteristica importanta a DFT este existen!a unui algoritm numericfoarte rapid pentru calculul sau, algoritm cunoscut sub numele de trans/ormufuFourier rupidii (FFT).

Fie un semnal X[II] discret, nul pentru n < O. Se nume~te transfonnata Z a acestui

semnal tlillqia de variabiHI complexa:

dtf :10

X(z)=.2'{x[nn= I>(n]·z·n,-0

Regiunea din planul complex in care seria de mai sus este convergenta senumqte regiulIe de cOllvergentii ~i evident ca transformata Z nu are sens deditpentru z atlat in interiorul acestei regiuni.

f' ,-, f' -I n 1 zX(z)=/.-a Z =.L.(az ) =--'1 =--o 0 l-az z-a

Nr. Semnalul Transfonnata Zcrt.1. 5[11] - impulsul unitar 1

2. h [11] - treapta unitara z--z-I3.

Ix(n]= n - rampa z---

(z -IY4. x[n]= 112 z(z + I)

(z _1)3

5. x[nl= a' z--z-a

6. x[n] = sin(nwT) zsin(rvT)Z2 - 2z s;os(wT}+ 1

PrincipaJele proprietari ale transfonna;;:i Z sunt:

a) liniaritatea:

r , 1X{)'Z{x[Jl +k r. = ::'1 X(z)- f ~!. k > 0 pentru cazul general ~i

L )=0 - .;

err f" -lTI = X(z)..b l-'1.~ z

. [] I- z-lX(_)hmxn = ,,;n-- ~n-+<rJ :-1 Z

Z{"x[,,] = -z dX(z)ilz

Sa \-edem cum se poate caIcula recursiv, folosind proprietatile transfonnatei Z,

ie~irea y[n] in funqie de valorile semnalului de intrare u[n1urn -11 u[n- 2J .. ~iin

funqie de valorile anterioare ale ie~irii y[n -11y[n - 2J ..

H(z)= y((z)) ~ y(z)=H~z)-u(z)= ,Oz+b u(z)11 z z' +cz+d

Y(Z)_(Z2 +cz+d)= (az+b).u(z)

)-[n] = a· u[n-l]+b. urn -2]-c- y[n-1]- d -y[I1-2]

rela!ie ce ne permite calculul recurent al ie~irii unui sistem discret. Acest

algoritm se poate generaliza ~i este uti I in comanda numericli a SRA., .

Determinarea transfonnatei Z inverse se face de obicei cu fonnula:

unde Zk sunt polii funcliei X(z). Penlru calculul aceslor reziduuri se aplica

fOnllUleJe date in anexa II (II.3 sau 11.4).

Dadi X(z) este polinomiala se recurge la 0 descompunere in fraqii simple ~i apoi

se pot utiliza proprietiilile transformatei Z precum ~i tabeleli.' de func!ii uzuale. in• fr .. . I . I' X(z) dgeneral se recomanda descompunerea 1I1 aC!1l Slll1pe a 1II -.- eoarece

()z)-:::-2z

X z =, 'z'-5::'+7z-3

' •• " fr '" I ' x(::)Yom descompune mal mtal 1I1 aclll sImp e expresla -~-:

X(z) z:-z-2-;-= ::3-5z'+7z-3

Z: -::-2 _~-'- c:z+c3

(z-3),(z-l)' z-3 (z-l)'

X(z) I I z::-=-+-- ~¥H=-+--

z z-3 (z-I)' . - z-3 (z-I)'

I. K.1. Astrom, B, Wittenrnark: "Adaptive confrol", Addison-Wesley, 1989.

2. K. 1. Astrom, B. Wittenmark: "Compllter-cotlTrolledsystems ", Prentice Hall

International, 1990.

3. PJ. Autsaklis, A.?-J.Michel: "Linear Systems ". ~1c. Graw Hill, 1997.

4. C. Belea: "AUTOII/aticaneliniara", Edirura Didactica ~i Pedagogica,

Bucure~ti, 1985.

5. W. L. Brogan: "Afodem control theOlY", Prentice Hall International, 1991.

6. H.W.Bode: "NeTworkanalysis andfeedback an:plifier design", Van Nostrand,

Princetown,I945.

7. Gh. Cartianu, M. Savescu, 1. Constantin, D. SIaIlomir: "Semnale, circuite ~i

sisteme.", Editura Didactica ~i Pedagogica, Bucure~ti, 1980.

8. A. Campeanu: "Ma~ini electrice - probleme fimdamentale. speciale ~i defimcfionare optimala ", SerisuI Rom~nesc, Craio\'a, 1988.

9. R. Chassaing: "Digital signal processing with C and the TMS320C30 ", John

Wiley & Sons, 1992.

10. C. K. Chui, G. Cheng: "Kalman filtering with real time applications ",Springer Verlag, 199 I.

I I. P. A. Cook: "Nonlinear dynamical systems ", Prentice Hall International,

1992.

12. J. 1. D' Azzo, C. H. Houpis: "Linear control system analysis and design -convetional and modern ", McGraw Hill Inc., 1995.

13. J. J. Di Stefano, A. R. Stubberud, 1. J. Williams: "Feedback and controlsystems ", McGraw Hill Inc., 1990.

14. I. Dumitrache, S. Dumitriu, 1. Mihu, F. Mumeanu, Gh. Musca., C. Caleev -

"Automatizarielectronice". Editura Didactica ~i Pedagogica Bucure~ti, 1993.

15. A. EI Jai, A. 1. Pritchard: "Sensors and controls in the analysis of distrubutedsystems ", Ellis Horwood Ltd., 1988.

I6.J. P. Elloy, J. M. Piasco: "Classical and modern- contrd with workedexamples ", Pergamon Press, 1981.

17. P. E\'khotI: "ldemificarea sistemelor ", Editura Tchnic1\, Bucure~ti, 1977.

18. P. ;t Frank: "Introduction to system sensitil'ity rheO/y", Academic Press,

:\ew York. 1978.19. G. F. Franklin. J. D. Powell, \1. L. Workman: "Digital control of dynamic

51'srems " .. -\ddison- Wesley Publishing Co., New York, 1992.20 ..~. Fr<msua. R. \1agureanu: "E1ecrricalmachilles and drive systems ", Oxford

Techruc:li Press, 1984.21. .-\. Fr<msuu, R. Magureanu: "Va$illi $i ac{ionori electrice: elemente de

c:xecurie". Editura Tehnica.. Bucure~ti. 1986.22.:-1. F~a.~o: "Acrualors for conrrol", Gordon and Breach Science Publishers,

1991.2]. \1. Green. D. J. N. Limebeer: "Linear robusr cOlllrol" Prelltice Hall

i!;;erna.ional, 1995.2~.C. C. Hallg. T. H. Lee. \\'. K. Ho: "Adaptive comrol",lnstrument Society of

.-\merica. 1993.25. C. ll~. D. Boghiu: ''Teoria sistemelor de reglare aulomalii", Culegere de

"'c'bleme. LitolITafia UPB, Bucure~ti 1997."6~' , I - u -.1. Sun: "Robust adaptive control", Prentice Hall Intemationa1,L ., .• "". oan.l10 . .

"Sinteza structurala a sistemelor liniare", Editura Academiei,27. \'. Ionescu:

Bucure~ti. 1979.28. Y. Ionescu, C. Be1ea: ''[eoria sislemelor", Editura Didactica ~i Pedagogica,

Bucure~ti. 1985.29. \'. lonescu, C. popeea: "Conducerea structurala a sistemelor liniare",

Edirnra Tehnica, Bucure~ti. 1986.30. Y-. lonescu, A. Varga: "Teoria sislemelor - Sinteza robusta; metode numerice

c',; caleu!". Editura ALL, Bucure~ti, 1994.31. G. W. I~win, K. Warwick, K. J. Hunt (editors): ;'Neural networks

:;pplicarions ill conlrol", lEE Press, London, 1995.32. ~_ Isennann: "Jdentifikarion dynamischer Systeme ", Springer Verlag, 1988.

33. R.. Isermann, K. H. Lackmann, D. Matko: "Adaptive control systems ",

Prentice Hall International, 1992.34. ~_ Isermann: "Digital conrrol systems ", Springer Verlag, 1981.35. \1. Jamshidi, \1. Tarokh, B. Shafai: "Computer aided analysis and design of

linear control sysrems ", Prentice Hall International, 1992.

36.E.W. Kamen, B.S. Heck: "Fundamentals or si I d'J gna s an systems usingMarlab ", Prentice Hall International, 1997.

37. A. Kandel, G. Langholz: "Fuzzy control systems ", CRC Press Inc. 1994.

38. P. P. Kanjilal: "Adaptive prediction and predictive control" P t' P ., e er eregmusLtd., London, 1995. t

39. H. Kaufman, 1. Bar-Kana, K. Sobel: "Direct adaptive control algorithms:

theO/)' and applications ", Springer Verlag, 1994.

40. A. Kelemen, M. Imecs: "Sisteme de reglare Cll orientare dupa camp ale

ma$illilor de curent alternariv ", Editura Academiei, Bucure~ti, 1989.

41. F. Kerestecioglu: "Change detection and inpllt design in dynamical systems ",

Research Studies Press Ltd., John Wiley & Sons Inc., 1993.

42. J. B. Knowles: "Direct digital control systems ", Research Studies Press Ltd

John Wiley & Sons Inc., 1994. .,

43. W. R. Kolk, R. A. Lerman: "Nonlinear system dynamics ", Van Nostrand

Reinhold, N. Y., 1992 .

44. M. Krstic, 1. Kanellahopoulos, P. Kokotovic: "Nonlinear and adaptive

control design ", John Wiley & Sons Inc., 1995.

. 45. V. Kucera: "Analysis and design of discrete linear control systems ", Prentice

Hall International, 1992.

46. B. C. Kuo: "Automatic control syst~ms ", Prentice Hall International, 1993.

47.1. R. Leigh: "Applied control theory", Peter Peregrinus Ltd., London, 1987.

48. J. R. Leigh: "Control theO/y: a guided tour", Peter Peregrinus Ltd., London,

1992.

49. \V.S. Levine (editor): "The Control Handbook", CRC and IEEE Press, 1997.

50. F. L. Lewis: "Optimal estimation with an introduction to stochastic control

theO/y", John Wiley & Sons, 1986.

5 I. D. A. Linkens (editor): "CAD for control systems ", Marcel Dekker Inc.,

1993.

52. O. Mayr: "The origins offeedback control", The M.1.T. Press, 1970.

53. R. H. Middleton, G. C. Goodwin: "Digital control and estimation - A unified.

approach", Prentice Hall, N. J., 1990.

54. S. K. Mitra, J. F. Kaiser (editors): "Handbook for digital signal processing",

John Wiley & Sons, 1993.

55. J. Moscinski, Z. Ogonowski: "Advanced control with .Matlab.·and Simulink",

Ellis Horwood Inc., 1995.

56. K. Narenda. A. M. Annaswamy: "Stable adaptive systems ", Prentice Hall, N.

J .. 1989.:\7. S. A. Nasar. 1. Boldea: "Electrical machines: dnIQmics and comrol", CRC

Press, 199:.'.5S. A. V. Oppenheim, A. S. Wi IIs]...-y,1. T. Young: "Signals ilnd s),stems ",

Prentice Hall International. 1983.

59. P. N. Paraske\'opoulos: "Digital control -'."Stems ", Prentice Hall

International. 1996.60. P. C. Parks, V. Hahn: "Stability theOl)''', Prentice Ha1l1niernational. 1994.

61. Petkov, Christo\'. Konstantino\': "Compurarional merhods for linear comrol

S)'srems ", Prentice Hall International, 1991.

62. Th. Popescu. S. Demeuiu: "Pracrica modelarii ~iprediC{iei seriilor de timp -

meTOdologia Box-Jenhns ", Editura Tehnica, Bucure~ti, 1991.

63. V. M. POFO\': "Hiperstabilitatea sistemelor alliomare ", Editura Academiei,

Bucure~ti, 1966. Dunod. Paris, 1973, Springer Verlag 1973.

64. H. Saadat: "Compurarionol aids in comrol sysrems wirh Marlab ". ~1c. Graw

Hill Inc., 1993.65. J. :\11. M. Sanchez, J. Rodellar: "Adaptil'e predictive control - from the

conceprs TOplant oprimizarion", Prentice Hall International, 1996.

66.1. Soran: "A.crionari elecrrice ", Litografia U. P. BooBucure~ti. 1989.

67. T. Soderstrom, P. Stoica: "System identification". Prentice Hall. 1989.

68. R. Soeterboek: "Predicri,'e conrrol - a unified approach ", Prentice Hall

International. 1992.

69. ~l. Terti~co. P. Stoica, Th. Popescu: "ldentificarea asisrata de calculator a

sisremelor". Editura Tehnica, Bucure~ti, 1987.

70. R.T Vaccc.ro: "Digital Conrrol - A State - Space Approach ",~1cGraw - Hill

International Editions, New York, 1995.

71. .-\. Vanecek.. S. Celikovsky: "Control systems: from line'll' analysis to the

S)'nthesis of chaos ", Prentice Hall International, 1996.

72. K. Watanabe: "Adapfive estimarion and comrol - parrifioning approach ",

Prentice Hall International. 1992.

73. P. E. Wellstead, M. B. Zarrop: "Se(f tuning system confrol and signal

proccesing ", John Wiley & Sons, 199 I.

74. D. Williamson: "Digital control and implementafion - jinire wordlegth

considerarions ", Prentice Hall International, 1991.

75. D. Berg, I. Cohen, G. Cohen: "Jntelligentmotion control concepr". PCIM'95

Procecdings, Nurnberg, 1995.

76. C.Bohn, D.P. Atherton: "An analysis package comparing PJD anti-windup

strategies", IEEE Control Systems, Vol. 15, Nr. 2, 1995. :'

77. W.R. Evans: "Graphical anafisys of control systems", Transactions AlEE,

vol. 67,pp.547-551, 1948.

78. N. Hazen: "Themy of servomechanism", Journal of the Franklin Institute,

1934.

79. C. lIas, A. Sarca, R. Giuclea, L. Kreindler: "Motion Control Using Fb.:ed and

Floating Point DSP System", Texas InstrUments European DSP Conference,

Palls, 1996.

80. C. lias, A. Bettini, L. Ferraris, G. Griva, F. Profumo: "Comparison of

Different Schemes without Shaft Sensors for Field Oriented Control Drives ",

in "Sensorfess Control of AC Motor Dlives", IEEE Press, pp.30-39, 1996.

. 8 I. R. E. Kalman: "A new approach to linearjiltering and prediction problems ",

ASME 1. Basic Eng., vol. 82, pp. 35-45, March 1960.

82.1. D. Landau, F. Rolland: "identification and control of electrical drives".

Motion Control for Inteligent Auto'mation. IFAC Workshop, Perugia, 1992.

83. D. G. Luenberger: "All introduction to observers", IEEE Transactions on

Automatic Control, vol. AC-16, no. 6, pp. 596-602, December 1971.

84. H. Nyquist: "Regeneration themy", Bell Systems Tech. Journal, 1932.

85. S. Sansuk-Iam, T. E. Bullock: "Analysis of discrete time Kalman filtering

under incorrect noise covaliances ", IEEE Transactions on Automatic

Control, vol. AC·35, no. 12, pp.1304-1309, december 1990.

86. P.Vas, W. Drury: "Future trends and development of electrical drives".

PCIM'95 Proceedings, Nurnberg, 1995.

MATRIX ROMCARTE TEHNlcA §I §TlIN1JFlCA

8 ANI DE ACTlVrTATE - PESTE 600 DE TlTLURI

.:. Gheorghe B-jlUlli- CIRCUITE l\'UMERICE. APUCA TII • rrel:68000 lei

.:. Gheorghe Balu!li • CIRCUITE LOGICE $1 STRUCTURI NUMERICE. PROIECTARE ~IAPUCATII. Prel:67000 lei

.:. Sorin Caluianu - INTEUGENTA ARTIFICIALA iN IN"STALATII. Prej:92000 lei

.:. Radu Dobrescu - AUTOVEIDCULE INTEUGENTE • Pre\: 100000 lei

.:. Ion Dumirrache.Nicolae Constantin, Monica Driigoicea - RETELE NEURALE.lDENTlFICAR£.A$1 CONDL=CEREAPROCESELOR • Pret: I04000 lei

.:. Adrian Filipescu, Sabin Stamatescu- CONDUCEREAPROCESELOR mIN TEHNlO ADAPTIVESICUSIRLGlJR.\ VARIABILA.ALGORITMI$I ROBL'SITlE. Pn1:32(0) lei

.:. C.!.alar,0. P:h1ravam ~.a-<n'IDl.JC'EREA ASlSfA'FADE C\LCULATORA PR()CR5EL()R'I'EHl'\lCLPRoIECfARfA $I IMPLEMDUAREA ALGORITMILOR DEREGLARE :'\'UMERIcA. Prt\:8roXllei

.:. V.Neagoe,O. Sra~iIa - RECUNO~EREA FORMELOR $1 RETELE l\EURALE. Prt\: ooleiסס10

.:. L.Ni(a,M ~ C.FO)3Iau,O.I'tJstOOcre·INfERFATAREA SI PROGRAMAREACALClJLATOARELORPEl'\'TRURL\LIIAREA SISTEMELORINFORMATICEDE l'tfAsURARE• Pre!:52(0) lei

.:. Doru Adrim Plinescu - SISTEME BAZATE PE CUNO$Tl1lrrE. REPREZENT AREACUNO~ • Prel: 88000 lei

.:. O. P!straIMU - SISTEME ClJ EVENlMENTE DISCRETE. TEHNICl CALIT ATIVE BAZA ITPE FORMALISMUL RETELELOR PETRI. Ptep9000 lei

.:. Daniel Popescu - TEORIA SISTEMELOR AUTOMA IT • Pret:60000 lei

.:. Daniela Popescu, Cornel Popescu - CIRCUITE DIGITAl-E ELEMENT.~ • Pre\: 58000 lei

.:. Gh.~ AI.Staocu- SISIEME INSIRUIBILE BAZAIT PE RETELE NEURALE • Ptet:10ססoo ki

.:. Valentin Sgirciu • PRELUCRAR! I?E DATE. PrC\:83000 lei ••:. FlorinStIlllUla - ANALIlAASISTATADE CALCULATOR A SISTEMELOR LINIARE • Pn1:1סס:::ooe.:. Sever ~erban, I.C. Cor-ki ~.a. - TEORIA SISTEMELOR. CULEGERE DE PROBIL\·IL

RAsPUNSlJ1, iN TIMP AL SISTEMELOR LTh'lARE. At'lALIZA STABILITATIISISTE.'ffLOR LINlARE. Pret:72000 lei

.:. Sever ~erban, I.C. Comci - TEORIA SISTEMELOR. CVLEGERE DE PROBLEM£. ANALILAiN FRECVL''1' A A SISTEMELOR LINlARE • PrC\:I00000 lei

.:. Sever ~ ~ANALIZA SISTEMELOR DE REGLARE AUfOMA TA • Prel:88000 lei

.:. Costin ~teta.'lescu- SISTEME TOLERANTE LA DEFECTE • Prer ooסס8 lei

.:. Nasta Ta!!Asescu- IDENTIFICAREA SISTEM:ELOR CU PARAMETRI DISTRIBUITI • Prer44000 lei

.:. Radu Vlirbanescu- SISTEME INFORMATIZATE DE r>t.\sURARE • Pte\: 69000 lei

.:. M.Voicu, O. PAstrlivanu- INTRODUCERE IN AUTO~t-\TICA. CULEGERE DE PROBLEMI

.:. Constantin Vol~encu - STANDARDIZARE ~I METODOLOGII DE PROIECTARE t-;AUTOMATILW INDUSTRIALE. Prel:47000 lei

0i:r1de rompldc ~ gnnuitepedomeniise (Xlt soIicitateIeiloic.AchizitioDal"{2cfu1iJorse poole fiIcedirectde IIIsediulcrlituri, prin roIet pn¢lI aJ plaia ramburs, pe Ima unei romellli scrise sau de Ia distribuitorii din~ (Iilriria RAMA, Iibriria l&t,ibriria Lucea&ruI), ~ ConsbuJfa,Oradea, ~ Pentru c3J1iIeacfliritiooatedinrl de Ia 00itwi sau prill roIet ~ !Ie aconi:l 0 rcrlllCU'e a pretufui de W-25"/o, jar dieulire;pedi\; priIIJI;!;cpemdic inbrmapi dl5pre DOiIeIucriri apArute sau in curs de ~

.~ Iia.-li 1i!Ii_ ••.•••• irxqliad01OIM2001