Teoria Probabilidad 3 SyS UPC
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TEMA
Procesos Aleatorios
Densidad Espectral de Potencia
CURSO
Señales y Sistemas
Facultad de Ingeniería
Carrera de Ingeniería Electrónica Carrera de Telecomunicaciones y Redes
PROFESOR
Ing. Christian del Carpio Damián
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PROCESOS
ALEATORIOS
2
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CONCEPTO DEL PROCESO ALEATORIO
3
Una variable aleatoria “X” es, por definición, una función de
los resultados posibles “s de un experimento, ahora será
función tanto de s como del tiempo.
Se asigna a cada resultado s, de acuerdo con algún tipo de
regla, una función del tiempo.
),( stx
El conjunto de todas las funciones, designada por X(t,s), se
denomina proceso aleatorio.
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4
• Un proceso aleatorio X(t,s) representa un conjunto de
funciones temporales cuando t y s son variables.
• Cada función temporal se denomina función muestra.
• Un proceso aleatorio también representa una sola función
temporal cuando t es una variable y s se fija en un valor
específico.
• Un proceso aleatorio también representa una variable
aleatoria cuando se fija t y s se considera una variable.
CONCEPTO DEL PROCESO ALEATORIO
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5
Un proceso aleatorio se dice que es estacionario si todas sus
propiedades estadísticas no cambian con el tiempo.
Estacionaridad de primer orden
Un proceso aleatorio estacionario de primer orden implica
que:
1 1 1 1( ; ) ( ; )X Xf x t f x t
ESTACIONARIEDAD
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6
Estacionariedad de segundo orden y en sentido amplio
Un proceso aleatorio estacionario de segundo orden implica
que:
1 2 1 2 1 2 1 2( , ; , ) ( , ; , )X Xf x x t t f x x t t
Por lo tanto las medidas estadísticas de segundo orden
permanecen invariantes en el tiempo si el intervalo de
separación entre las variables permanecen constantes.
ESTACIONARIEDAD
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7
Para estacionaridad de segundo orden se tiene
1 2 1 2 1 21 2 1 1( , ) ( , ) ( )X X X X X XR t t R t t R
En forma general
ESTACIONARIEDAD
( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )XXR E X t X t X t X t
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8
En un proceso aleatorio estacionario en el sentido amplio
(WS) se cumple que:
[ ( )] constante
[ ( ) ( )] ( )XX
E X t X
E X t X t R
ESTACIONARIEDAD
Un proceso aleatorio estacionario de segundo orden es un
proceso estacionario en el sentido amplio.
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9
Ejemplo 1
Demostrar que el proceso aleatorio
es estacionario en sentido amplio si suponemos que A y ωo
son constantes y Θ es variable aleatoriamente
uniformemente distribuida en el intervalo (0, 2π).
0( ) cos( )X t A t
ESTACIONARIEDAD
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10
La función de autocorrelación de un proceso aleatorio X(t) es
la correlación E[X1X2] de dos variables aleatorias X1=X(t1) y
X2=X(t2) definidas para el proceso en los instantes t1 y t2
LA FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN
1 2 1 2( , ) [ ( ) ( )]XXR t t E X t X t
( , ) [ ( ) ( )]XXR t t E X t X t
( ) [ ( ) ( )]XXR E X t X t
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11
Propiedades de la autocorrelación
Para procesos WS, se tiene que:
2
(1) | ( ) | (0)
(2) ( ) ( )
(3) (0) [ ( )]
XX XX
XX XX
XX
R R
R R
R E X t
LA FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN
2
| |
(4) Si E[X(t)]=X 0 ( ) es ergódico
con componentes no periódicos entonces
( ) [ ]XX
y X t
lim R E x
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12
Propiedades de la autocorrelación
Para procesos WS, se tiene que:
XX(5) Si X(t) tiene una componente periódica entonces R ( )
tendrá una componente periódica con el mismo periodo
| |
(6) Si X(t) es un proceso ergódico con valor medio igual a cero y
no tiene componentes periódicas entonces
lim ( ) 0
(7) ( ) no puede tener
XX
XX
R
R
forma arbitraria
LA FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN
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13
Se define el coeficiente de autocorrelación como:
( ) ( ) , 1 ( ) 1
(0)
XXXX XX
XX
R
R
LA FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN
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14
Ejemplo 2
Un proceso estacionario WS X(t) presente una función de
autocorrelación de la siguiente figura. Si la varianza del
proceso es igual a 0.25. Se pide graficar la media E[X(t)] en
el tiempo.
LA FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN
RXX
()
2
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15
Ejemplo 3
Dada la siguiente función de autocorrelación para un proceso
ergódico estacionario con componentes no periódicas
Halle la varianza del proceso.
2
4( ) 25
1 6XXR
ESTACIONARIEDAD
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16
CORRELACIÓN CRUZADA
( , ) [ ( ) ( )]XYR t t E X t Y t
( ) [ ( ) ( )] XYR E X t Y t
Si X(t) e Y(t) son al menos conjuntamente estacionarios en
sentido amplio, entonces
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17
CORRELACIÓN CRUZADA
Propiedades de la correlacion cruzada:
(1) Si ( , ) 0
entonces X(t) e Y(t) se dice que son procesos ortogonales
XYR t t
(2) Si dos procesos son estadísticamente independientes, entonces
( , ) [ ( )] [ ( )]
Si, además de ser independientes X(t) e Y(t) son al menos
estac
XYR t t E X t E Y t
ionarios en sentido amplio, entonces ( ) XY
XYR
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18
PROCESOS ERGÓDICOS
Media Temporal
• Sea X(t) un proceso aleatorio
• Se define la media temporal como
1lim ( )
2
T
TT
x x t dtT
1
0
1( )
N: número de muestras
N
n
x x nN
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19
PROCESOS ERGÓDICOS
Valor cuadrático medio Temporal
• Sea X(t) un proceso aleatorio
• Se define el valor cuadrático medio temporal como
2 21lim ( )
2
T
TT
x x t dtT
12 2
0
1( )
N: número de muestras
N
n
x x nN
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20
PROCESOS ERGÓDICOS
Autocorrelación temporal
• Sea X(t) un proceso aleatorio
• Se define la función temporal de autocorrelación como
1( ) lim ( ) ( )
2
T
TT
x t x t dtT
1
0
1( ) ( ) ( )
N
n
m x n x n mN
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21
PROCESOS ERGÓDICOS
Todos los promedios temporales son iguales a los
correspondientes promedios estadísticos
[ ]
[ ( )] ( )XX
E x X
E R
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22
PROCESOS ERGÓDICOS
Ejemplo 4
Si se tiene la siguiente figura, hallar la autocorrelación
temporal RXX(m)
( )x n
n1
1
0 2
3
2
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23
PROCESOS ERGÓDICOS
Ejemplo 5
Una señal X(t) es modelada como un proceso aleatorio
ergódico de distribución uniforme en el rango [-5 15]. De
acuerdo a ello se pide determinar la potencia media del
proceso.
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24
EL PROCESO ALEATORIO GAUSSIANO
11[ ] [ ] [ ]
2
1 2 1 2( , ,...., ; , ,...., )(2 ) | [ ] |
TXx x C x x
X N NN
X
ef x x x t t t
C
1 1 2 1
2 1 2
1 2
2
2
2
N
N N N
X X X X X
X X X
X
X X X X X
C C
CC
C C
11
22X.
Nn
x X
x Xx
x X
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25
EL PROCESO ALEATORIO GAUSSIANO
Varianza: si es alta, el proceso se despega mucho de la
media.
Covarianza: alta correlación entre muestras representa alta
covarianza
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26
PROCESOS DETERMINÍSTICOS
Un proceso es determinístico si valores futuros de una
función muestra pueden ser predecidos por valores
pasados.
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27
PROCESOS DETERMINÍSTICOS
Ejemplo 6
El proceso aleatorio
Ejemplo 7
Sea x(t)=A donde A es una v.a. con fA(A) de finido como:
0( ) cos( )X t A t
( )Af A
-5 5
1/10
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DENSIDAD
ESPECTRAL DE
POTENCIA
28
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29
DENSISDAD ESPECTRAL DE POTENCIA
t
-T T
x(t)
( ) ( )
0 en otro caso T
x t T t Tx t
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30
DENSISDAD ESPECTRAL DE POTENCIA
( ) ( ) ( )T T
j t j t
T TT T
X x t e dt x t e dt
2 2( ) ( ) ( )T T
TT T
E T x t dt x t dt
La energía contenida en x(t) en el intervalo (-T, T)
2 21( ) ( ) | ( ) |
2
T
TT
E T x t dt X d
Por el teorema de Parseval se tiene:
La transformada de Fourier de xT(t) será
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31
DENSISDAD ESPECTRAL DE POTENCIA
22 | ( ) |1 1
( ) ( )2 2 2
TT
T
XP T x t dt d
T T
La potencia media P(T) de x(t) en el intervalo (-T, T) será
La función anterior no representa la potencia de una función
muestra completa
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32
DENSISDAD ESPECTRAL DE POTENCIA
Potencia media
22 | ( ) |1 1
lim ( ) lim2 2 2
T
TXX
T TT
XP x t dt d
T T
2| ( ) |1lim
2 2
TXX
T
XP d
T
2| ( ) |( ) lim
2
TXX
T
XS
T
![Page 33: Teoria Probabilidad 3 SyS UPC](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042502/544c47bab1af9f6e7d8b4a11/html5/thumbnails/33.jpg)
33
DENSISDAD ESPECTRAL DE POTENCIA
Para procesos aleatorios, se tiene que:
22 [| ( ) | ]1 1
lim [ ( )] lim2 2 2
T
TXX
T TT
E XP E x t dt dt
T T
Por tanto se tiene que:
2[| ( ) | ]( ) lim
2
TXX
T
E XS
T
![Page 34: Teoria Probabilidad 3 SyS UPC](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042502/544c47bab1af9f6e7d8b4a11/html5/thumbnails/34.jpg)
34
DENSISDAD ESPECTRAL DE POTENCIA
Propiedades de la DEP
2
2
(1) ( ) 0
(2) S ( ) ( ) X(t) real
(3) S ( )
1(4) ( ) [ ( )] (0)
2
1 1(5) ( ) lim [ ( )]
2 2
XX
XX XX
XX
XX XX XX
T
XX XXT
T
S
S
es real
S d E X t R P
P S d E x t dtT
![Page 35: Teoria Probabilidad 3 SyS UPC](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042502/544c47bab1af9f6e7d8b4a11/html5/thumbnails/35.jpg)
35
DENSISDAD ESPECTRAL DE POTENCIA
Para procesos WS, se tiene
( ) ( )
( ) ( )
1( ) ( )
2
F
XX XX
j
XX XX
j
XX
R S
S R e d
R S e d
2 21 ( ) ( ) (0)
2XX XX XXP S d E x t x R
![Page 36: Teoria Probabilidad 3 SyS UPC](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042502/544c47bab1af9f6e7d8b4a11/html5/thumbnails/36.jpg)
36
Ejemplo 8
Para
Donde Θ es variable aleatoriamente uniformemente
distribuida en el intervalo (0, 2π). Determinar la DEP del
proceso
0( ) cos( )X t A t
DENSISDAD ESPECTRAL DE POTENCIA
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37
PROCESO ALEATORIO BLANCO
Una función muestra n(t) de un proceso aleatorio de ruido
estacionario en sentido amplio N(t) se denomina ruido
blanco si la DEP de N(t) es una constante a todas las frecuencias. Por tanto se tiene
0 ( ) / 2NNS N
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38
PROCESO ALEATORIO BLANCO – pasa bajas
0
0
42 P
2nn
NB
N B
0
2 R ( )
2nn
sen BN B
B
B es el ancho de banda en Hz
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39
PROCESO ALEATORIO BLANCO – pasa banda
0 Pnn N B
0 R ( ) cos( )nn
sen BN B
B
B es el ancho de banda en Hz
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40
DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA
ENTRADA/SALIDA
( )H
Sistema Lineal
X( )t Y( )t
Proceso Aleatorio
entrada
Proceso Aleatorio
salida
( )YYS ( )XXS ( )H
Sistema Lineal
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41
DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA
ENTRADA/SALIDA
2 ( ) ( ) ( )YY XXS H S
![Page 42: Teoria Probabilidad 3 SyS UPC](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042502/544c47bab1af9f6e7d8b4a11/html5/thumbnails/42.jpg)
42
Additive White Gaussian Noise (AWGN)
y( ) ( ) ( )t x t n t
Se asume en la mayoría de los casos como siendo WS
+ y( ) ( ) ( )t x t n t ( )x t
( )n t
AWGN
SEÑAL
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43
Relación Señal / Ruido
SNR (Signal to Noise Ratio)
10log10 XXdB
nn
PSNR
P
:
:
XX
nn
P Potencia de la señal
P Potencia del Ruido
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44
Relación Señal / Ruido
SNR (Signal to Noise Ratio)
Receptor
FILTRO
H(w) z( )t+
y( )t( )x t
( )n tAWGN
z( ) '( ) '( )t x t n t
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45
FUENTE:
PEYTON Z. PEEBLES, Jr. “Principios de probabilidad,
variables aleatorias y señales aleatorias” McGraw-
Hill/INTERAMERICANA DE ESPAÑA, 4ª ed., 2006