Teoria Matematica Del Rischio Per La Valutazione e La Gestione

2005

TEORIA MATEMATICA DEL

RISCHIO PER LA

VALUTAZIONE E GESTIONE

DEI PROBLEMI DI SICUREZZA

AZIENDALE Processi di rischio e probabilità di fallimento

G. Fabiola Safonte

F I R E N Z E U N I V E R S I T Y P R E S S C O P Y R I G H T © 2 0 0 5

Introduzione

Originariamente destinato a risolvere problemi relativi ai giochi di azzardo, il

calcolo delle probabilità è oggi applicabile ad una più estesa classe di fenomeni

come quelli che si presentano in fisica e chimica (processi di diffusione, di

disintegrazione dei nuclei atomici), nelle telecomunicazioni, in biologia (processi

di procreazione), nelle assicurazioni (processi di rischio), e più in generale a

fenomeni complessi che si sviluppano nel tempo.

La teoria matematica del rischio costituisce un esempio di come un problema

economico possa ricondursi ad un modello matematico e di quali risultati possano

trarsene ai fini pratici. Essa valuta e risolve il problema della sicurezza di una

impresa assicuratrice e i risultati cui conduce riguardano la probabilità di fallimento

di un’impresa per effetto delle oscillazioni che possono manifestarsi nella

frequenza dell’evento assicurato.

Potrebbe obiettarsi che tale fatto non è il solo che può determinare il tracollo

dell’impresa: ad esempio anche le spese di gestione in determinate circostanze,

tutt’altro che teoriche, possono essere fonte di “gravi dispiaceri”.

Nell’immediato dopoguerra, infatti, molte imprese si trovarono in serio

imbarazzo quando, per effetto dell’imponente inflazione, si determinò un

improvviso adeguamento dei costi di gestione al mutato potere d’acquisto della

Introduzione ii

moneta; i portafogli risultarono polverizzati e la massa dei caricamenti esistenti sui

vecchi premi e disponibili per la copertura di siffatti oneri risultò assolutamente

insufficiente.

Ma il fallimento di un’impresa può derivare anche da un fatto disonesto o dalla

follia degli amministratori, dall’improvvisa sfiducia della clientela, da vicissitudini

sociali, politiche, che possono verificarsi nell’ambiente in cui opera.

La risoluzione integrale del problema del rischio, dovrebbe, quindi, tenere conto

di tutti questi elementi.

Si può dire che l’applicazione della teoria matematica del rischio è possibile con

riferimento a tutti quegli elementi il cui comportamento è assimilabile a quello

delle variabili aleatorie studiate nel calcolo della probabilità; con questo limite è

offerta la soluzione del problema non solo per le imprese assicuratrici, ma altresì

per ogni altra impresa economica.

Si consideri, ad esempio, il rischio di insolvenza nelle operazioni bancarie, il

rischio derivante dall’andamento delle vendite nelle imprese commerciali, il rischio

derivante dalle quotazioni di borsa, etc., per comprendere come vasto si presenti il

campo di applicazione di questa teoria, che qualcuno ha proposto di denominare

<<teoria dei fondi di sicurezza>> e quali gli sviluppi che essa può conseguire.

Si deve constatare che oggi vi è un rinnovato interesse nei confronti della teoria

del rischio, la quale ha avuto, in Italia, uno dei più illustri fautori in Bruno de

Finetti; non è esagerato infatti affermare che, sia per il peso specifico

nell’elaborazione teorica, che per i suoi riflessi nelle applicazioni concrete, il

contributo apportato da de Finetti occupa un posto di grande rilievo, anche a livello

Introduzione iii

internazionale, nello sviluppo di tutta la teoria. Ma gli studiosi italiani dopo de

Finetti le hanno dedicato, nell’ultimo ventennio, pochissima attenzione; la

produzione sull’argomento, in lingua italiana, è infatti scarsissima, per contro è

vastissima quella straniera soprattutto della scuola svedese e di quella

angloamericana.

La tesi è rivolta a presentare quelle applicazioni attuariali del Calcolo delle

probabilità e della Statistica forse sottovalutate e oggi invece di enorme interesse

dato il forte incremento del ramo assicurativo-pensionistico.

Riuscire nell’intento non è certo stato privo di difficoltà: è stato necessario un

lungo periodo di studio preliminare sugli aspetti teorici e tecnici che regolano

l’andamento di un’impresa assicuratrice e un altrettanto lungo periodo di tempo,

non solo per la ricerca di tutti i testi e gli articoli più recenti, ma soprattutto per il

loro coordinamento e per l’analisi dei loro contributi.

Sento dunque di dover ringraziare per l’interesse mostrato e per i preziosi

consigli la prof.ssa Caliri.

Si cercherà nel presente lavoro di descrivere la teoria del rischio nella maniera

più unitaria possibile e in modo chiaro ed esauriente, proprio per la mancanza di un

testo in lingua italiana che ne descriva quanto meno le linee essenziali.

Dopo aver introdotto, nel Capitolo I, dei richiami di calcolo delle probabilità,

descrivendo le distribuzioni di probabilità e i processi stocastici che mi sono

proposta di utilizzare, l’attenzione si è concentrata, nel Capitolo II, su quegli eventi

aleatori che verificandosi possono produrre perdite o danni, cioè i cosiddetti

sinistri, che grazie alla possibilità di trasferimento ad un assicuratore possono

Introduzione iv

venire consolidati e tradotti in un elemento certo di costi; viene esaminata la

distinzione tra rischi assicurabili e non dal punto di vista dell’assicuratore e quella

tra rischio e incertezza per chi vi è esposto; viene esaminato anche un particolare

tipo di decisione in condizione di incertezza rappresentato dal problema di

accettazione o non accettazione di una scommessa; il problema viene affrontato

sotto due ottiche differenti: una oggettiva e l’altra soggettiva, entrambe

ampiamente sviluppate.

Da un punto di vista oggettivo, questi ordini di problemi rientrano nella Teoria

della Rovina; viene definito l’indice di sicurezza della scommessa, collegato alla

probabilità asintotica di fallimento di un giocatore che esegua una successione di

scommesse.

Dal punto di vista soggettivo si parla di Teoria dell’Utilità; viene definito il

coefficiente di avversione al rischio, che, secondo diversi autori, consente di

collegare i due punti di vista citati, in quanto il livello di rischiosità cui conduce la

teoria asintotica risulta coincidente con il comportamento probabilistico del

decisore.

Nel Capitolo III viene descritta l’impresa di assicurazione sia dal punto di vista

finanziario, per ciò che concerne premi, caricamenti, riserve e sia come operazione

finanziaria vantaggiosa e per l’assicurato e per l’assicuratore.

Nel Capitolo IV si esamina il problema della determinazione del rischio relativo

al complesso di affari di una impresa; si ha il duplice scopo di studiare il valore

della probabilità che l’impresa subisca nel futuro delle perdite superiori a

determinati livelli e di fornire delle indicazioni riguardo al valore della somma

Introduzione v

massima che l’impresa può assicurare, relativamente ad una data forma di

assicurazione, senza compromettere la propria stabilità.

Tale problema viene studiato secondo due punti di vista differenti, quello

classico o individuale che ha condotto alla teoria classica del rischio e quello

collettivo o asintotico dovuto al Lundberg grazie al quale la teoria si è sviluppata;

nonostante in effetti oggi le due teorie non siano più mutuamente esclusive, è il

modello collettivo quello che viene riconosciuto come il più soddisfacente in

pratica e il più comunemente applicato.

Nel Capitolo V si trova che il modello che descrive l’andamento degli

indennizzi globali, cioè gli arrivi di richieste di indennizzo ad una compagnia entro

un determinato periodo di tempo, si distribuisce secondo un processo stocastico di

Poisson composto; viene considerato il numero delle richieste di indennizzo e si

assume che la distribuzione di probabilità della grandezza del singolo indennizzo

sia indipendente dal numero di indennizzi che si presentano alla compagnia.

Nel Capitolo VI viene studiata l’approssimazione del modello di rischio

individuale con quello collettivo di Poisson in cui la distribuzione degli indennizzi

può essere più facilmente calcolata nonostante questo tipo di approssimazione

generi inevitabilmente degli errori; viene trovato un limite superiore ed inferiore

per l’errore causato da tale approssimazione.

Nel Capitolo VII ci si occupa del modello che descrive il processo di rischio

della compagnia e della relativa probabilità di fallimento entro un determinato

periodo di tempo che può essere più o meno lungo o addirittura esteso

indefinitamente. Si dimostra, tra l’altro, che nel caso in cui la riserva iniziale della

Introduzione vi

compagnia sia nulla la probabilità di non fallire dipende solo dal relativo

caricamento di sicurezza, e non dalla forma specifica della distribuzione del totale

degli indennizzi.

Nel Capitolo VIII viene dapprima esaminata la ripartizione dei rischi tra diverse

compagnie; ripartizione che potrà essere effettuata mediante coassicurazione o

mediante riassicurazione.

Successivamente si affronta la trattazione dei problemi della ritenzione ottimale

dei rischi di un portafoglio ispirandosi al criterio della probabilità di rovina, anche

in senso asintotico, ampiamente trattato da de Finetti nella celebre nota “Il

problema dei pieni”, qui rivisitato anche alla luce dei criteri basati sull’utilità.

Si prende poi in considerazione la possibilità per l’impresa assicuratrice di

pagare i dividendi, cioè gli interessi azionari agli azionisti della riserva di rischio

scegliendo una strategia che o rende massimo il valore attuale atteso dei dividendi

futuri o rende massima la durata attesa di vita della gestione.

Viene anche studiato il caso di due compagnie che negoziano per concludere un

reciproco trattato di riassicurazione, dimostrando che sotto determinate condizioni

esiste un unico trattato ottimale per entrambe le compagnie.

Infine, nel Capitolo IX si traggono delle considerazioni operative sulle

applicazioni della teoria del rischio alla finanza matematica. Si definisce il valore

attuale netto dell’impresa assicuratrice e si dimostra che detenere fondi di garanzia

allo scopo di esercitare attività assicurativa è svantaggioso; per contro si ha una

vantaggiosità media della componente tecnica di gestione per la quale converrebbe

prolungare al massimo la durata dell’attività dell’impresa.

Introduzione vii

Viene determinata anche la politica ottima dei dividendi, nella classe delle

politiche a barriera orizzontale, con l’ipotesi che gli incrementi del fondo di

garanzia dipendano da un processo di alternativa markoviano.

Capitolo I

Richiami di Calcolo delle probabilità e processi stocastici

1.1-Leggi di probabilità: distribuzioni di Poisson e

dei tempi di attesa .......................................................................... 1

1.2-Processi stocastici applicabili alla teoria matematica

del rischio ....................................................................................... 4

1.2.1-Processi stocastici discreti: passeggiata aleatoria ........................... 4

1.2.2-Processi Markoviani .......................................................................... 6

1.2.3-Processi stocastici continui: processi di Poisson .............................. 6

1.2.4-Processi di diffusione e processi gamma ........................................... 9

1.3-Processo dei rinnovi ....................................................................... 10

1.4-Martingale ...................................................................................... 12

1.4.1- Submartingale ................................................................................ 14

1.5-Trasformata di Laplace................................................................... 14

Capitolo I

Richiami di calcolo delle probabilità e processi

stocastici

1.1-Distribuzioni di probabilità: distribuzioni di Poisson e dei tempi di

attesa

Si dice che una variabile aleatoria (v.a.), o casuale (v.c.), X, le cui

determinazioni sono gli interi positivi e lo zero, segue la distribuzione di Poisson

quando si assume

Px=P{X=x}= − =λλ

e x!, x 0,1,...

x

(1.1)

essendo λ una costante positiva.

Per determinare la distribuzione di Poisson composta è necessario far

riferimento ai concetti di somma di v.c. indipendenti e di somma casuale o

aleatoria.

Si considerino pertanto due v.c., X e Y indipendenti; si consideri la v.c. Z intesa

come somma delle variabili suddette, Z=X+Y. Per determinare la funzione di

ripartizione (f.r.) di Z dalle f.r. di X e Y, si può utilizzare il metodo iterativo

secondo cui

( ) [ ] [ ][ ] [ ][ ]zF z P Z z E P Z z X E P Y z X X= ≤ = ≤ = ≤ − . (1.2)

Se X e Y sono indipendenti, [ ] ( )P Y z X X F z XY≤ − = − . Pertanto

( ) ( )[ ] ( )z Y YF z E F z X F (z X) xF x= − =∫ − d (1.3)

dove Fz è chiamata convoluzione, simbolicamente Fz=Fx*FY, essendo

Richiami di Calcolo delle probabilità e processi stocastici 2

Fx(x)= P[X≤ x];

in generale l’integrale è esteso da − ∞ a + ∞ ; se X≥ 0 e Y≥ 0 l’integrale può

essere ristretto a 0≤ x≤ +∞ .

Nel caso in cui X e Y hanno distribuzione assolutamente continua, anche la loro

somma sarà assolutamente continua; differenziando rispetto a z si ottiene la

formula di convoluzione in termini di funzione di densità

z Y xf (z) f (z x)f (x) x= ∫ −−∞

+∞

d . (1.4)

Se X1, ...,Xn sono v.c. con f.r. Fi, la f.r. della loro somma sarà denotata con

F1*...*Fn e potrà essere calcolata recursivamente. Se le v.c. Xi hanno una identica

distribuzione, F, la distribuzione della loro somma sarà denotata con F*n.

Questo risultato può essere generalizzato al caso in cui il numero dei termini

nella somma è anch’esso una variabile casuale.

Si consideri la v.c. N, con distribuzione di probabilità Pn=P[N=n], i cui valori

possibili sono gli interi non negativi; si assuma che le v.c. indipendenti ed

identicamente distribuite Xi siano indipendenti anche da N e che quando N=n sia

S=X1+ +Xn con la convenzione che S=0 se N=0.

Ad esempio, per un portafoglio di polizze assicurative durante un determinato

periodo di tempo, N denoterà il numero di indennizzi, Xi l’ammontare dell’imo

indennizzo, S gli indennizzi globali.

Per determinare la f.r. di S si può applicare ancora il metodo iterativo

[ ] [ ]sF (s) P S s E P S s N= ≤ = ≤⎡⎣⎢

⎤⎦⎥=

[ ]= ≤ =∑ = ∑=

∞∗

=

∞P S s N n P F (s)Pn

n 0

nn

n 0 (1.5)

che rappresenta appunto una somma casuale dove sia il numero di indennizzi che

l’ammontare del singolo indennizzo sono variabili casuali.

Un caso particolare di somme casuali è quello in cui N segue una distribuzione

di Poisson con parametro λ. Allora la (1.5) diventa


( ) ( )sn

n 0

n

F s F s e n!= ∑ ∗

=

∞−λ

λ (1.6)

che è la distribuzione di Poisson composta.

Diverse grandezze aleatorie che si incontrano nelle applicazioni, anche in

ambito assicurativo, hanno invece distribuzione esponenziale.

Si pensi di contare il numero di arrivi di un certo fenomeno; interessa esaminare

la successione di v.a., identicamente distribuite ed indipendenti, T1,T2, ... che

misurano gli intervalli di tempo tra i successivi arrivi, o rinnovi.

Si dirà allora che la v.a. T (tempo di attesa del primo evento) obbedisce alla

legge di probabilità esponenziale quando la distribuzione di T sarà dotata di

densità, f(t), data dalla

f(t)e per t 0

0 per t 0

t

== >

= ≤

⎧

⎨⎪

⎩⎪

−λ λ

(1.7)

e avrà f.r.

F(t)1 e per t 0

0 per t 0

t

== − >

= ≤

⎧

⎨⎪

⎩⎪

−λ

(1.8)

Il tempo di attesa dell’imo evento in una serie di eventi che ricorrono in accordo

con la legge di probabilità di Poisson in ragione di λ eventi per unità di tempo,

obbedisce ad una legge di probabilità gamma con parametri λ e α, avente funzione

di densità

f(x) ( ) e x per x 0, con 0, 0

=0 per x 0 .

x 1

== > > >

≤

− −⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

αλ αλ

αα λ

Γ (1.9)

1.2-Processi stocastici applicabili alla teoria matematica del rischio

Dicesi processo stocastico una famiglia di v.a., { }tX :t T∈ , dove t è un indice e

T l’insieme dei suoi possibili valori. Il processo si dirà a parametro discreto se


l’insieme T sarà discreto, a parametro continuo se T sarà continuo.

La generica v.a. Xt del processo è per definizione una funzione P-misurabile

definita sui punti ω di uno spazio Ω; pertanto il processo si potrà indicare con la

{ }tX ( ):t Tω ∈ , cioè fissato t in T, Xt(ω) sarà una v.a., mentre fissato ω in Ω, Xt(ω)

sarà una funzione reale della variabile reale t, alla quale è attribuito il nome di

traiettoria o realizzazione o storia del processo. I processi stocastici sono altresì

classificati a seconda della natura del codominio, distinguendo i processi discreti se

tale sarà il codominio, e continui se continuo sarà il codominio.

1.2.1-Processi stocastici discreti: passeggiata aleatoria

Se X1,X2, ... sono v.c. bernoulliane indipendenti ed identicamente distribuite,

aventi comune f.r., F, e x è un numero reale, sia S0=x; per n=1,2, ... si avrà

Sn=x+X1+ ... +Xn (2.1)

Il processo stocastico {Sn} sarà chiamato passeggiata aleatoria

unidimensionale. In questo contesto, quando cioè le v.c. Xi sono bernoulliane (o

indicatrici di eventi), le v.c. X1=S1-S0, X2=S2-S1, ... sono chiamate incrementi del

processo {Sn}. Pertanto, la successione S0=x,S1,S2, ... sarà una passeggiata aleatoria

se e solo se gli incrementi saranno v.a. bernoulliane indipendenti ed identicamente

distribuiti.

Considerando una applicazione in ambito assicurativo Sn potrà denotare la

riserva di una compagnia di assicurazione all’istante n; naturalmente sarà nota la

riserva iniziale, S0=x, ma non saranno conosciute le riserve che si avranno nei

periodi futuri, S1,S2, ... che saranno pertanto considerate v.a. Allora gli incrementi

Xn potranno essere interpretati come i guadagni, indipendenti ed identicamente

distribuiti (anche negativi), che l’impresa assicuratrice percepirà tra il periodo n-1 e

n. Pertanto, spesso, in letteratura si assume che il processo della riserva sia una

passeggiata aleatoria, anche se in realtà ci si potrebbe aspettare un qualche genere

di dipendenza tra i guadagni di successivi periodi, ed inflazione e spese, o in altri

termini ci si dovrebbe aspettare che la distribuzione dei guadagni cambi nel tempo.


La passeggiata aleatoria è il genere di processi stocastici più facilmente

trattabile, in quanto il teorema del limite centrale e le leggi dei grandi numeri

possono essere applicate per ottenere informazioni circa Sn quando n è grande: per

esempio, se gli incrementi attesi sono positivi, la legge forte dei grandi numeri

implica la tendenza certa: per n→∞ , Sn→∞ , quindi matematicamente per ogni

dato n0 e per ogni determinata traiettoria, esiste un n0 tale che Sn≥ c per tutti gli

n≥ n0 su questa traiettoria.

1.2.2-Processi Markoviani

Si dicono markoviani i processi in cui il futuro, dato il presente, è indipendente

dal passato, ovvero, secondo de Finetti (1970), il futuro non dipende dal passato

che tramite il presente; ciò avviene, ad esempio, evidentemente nel caso precedente

di incrementi indipendenti che non dipendono neppure dal presente e il processo ne

dipende quindi soltanto in quanto l’incremento futuro va sommato al valore

presente.

La denominazione è dovuta al fatto che Markov considerò tale condizione nel

caso discreto (catene di Markov).

Si consideri una funzione Yn suscettibile di un numero finito di valori, 1,2,...,r;

si potrà pertanto parlare di un sistema che potrà trovarsi in r stati, S1,S2, ... ,Sr e

passare dall’uno all’altro ad ogni passo, senza escludere che un passo consista nel

restare nel medesimo stato.

1.2.3-Processi stocastici continui: processi di Poisson

L’aspetto peculiare di questi processi sta nel fatto che certi eventi mediante i

quali si effettua la descrizione stocastica del fenomeno possono verificarsi in

qualunque istante t di un insieme continuo di valori, e non più, come avviene nei

processi stocastici a parametro discreto, solamente in corrispondenza ad una

successione prefissata di istanti.

Sia data una successione di eventi indipendenti che si succedono nel tempo. Il

numero n di eventi che si verificano in un intervallo di tempo τ sarà una v.a. che


verrà indicata con N; la probabilità che N=n sarà indicata con pn(τ). Si fanno le

seguenti ipotesi:

1) pn(τ) dipenderà soltanto da τ e non dall’istante iniziale to a partire dal quale è

misurato τ; così la variabile N(t) sarà stazionaria;

2) N(t) sarà indipendente dal numero di volte in cui si è verificato l’evento in

ogni intervallo anteriore a τ;

3)Ipotesi di regolarità.- La probabilità che l’evento si verifichi più di una volta

nell’intervallo dt sarà infinitesima rispetto a dt; la probabilità che l’evento si

verifichi una volta nell’intervallo dt sarà un infinitesimo dell’ordine di dt e

proporzionale a dt, cioè λdt. Per l’ipotesi precedente tutte queste probabilità sono

indipendenti da ciò che è avvenuto prima dell’intervallo dt.

In questa ipotesi le probabilità pn(τ) soddisfa alle seguenti equazioni

( ) ( )ddt

p p0 0τ λ τ=−

( ) ( ) ( )[ ]ddt

p t p t p t n 0n n n 1=− − >−λ , (2.3.1)

che definiscono un processo stocastico detto processo di Poisson semplice, e la cui

soluzione è data dalla

( )( )

n

n

p e n! n 0,1,2,3,..τ

λτλτ= =− .. (2.3.2)

in cui si riconosce una distribuzione di Poisson di media λτ e varianza λτ.

Di conseguenza λ è il numero medio di realizzazioni di eventi per unità di

tempo, nel senso che il numero di eventi che si verificano in un intervallo di tempo

di lunghezza 1 obbedisce ad una legge di probabilità di Poisson con media λ.

Tale v.a. descrive il numero aleatorio di manifestazioni di un fenomeno, quindi

il numero di arrivi, entro un fissato intervallo temporale I quando si valuta uguale a

λ il numero medio di arrivi, o di ripetizioni del fenomeno.

La traiettoria presenterà delle discontiuità, dette salti, unitari; ciò significa che

N(t) darà pertanto il numero di ripetizioni di un certo fenomeno nel tempo. Le


discontinuità della traiettoria indicheranno allora esattamente le volte in cui si

verificherà l’evento, ed essendo tali salti tutti di ampiezza unitaria, saranno esclusi

dal verificarsi eventi simultanei; ossia N(t) conterà i salti, come un contatore che

scatterà di uno ogni volta che dovrà registrare un fenomeno, così, ad esempio,

conterà il numero degli arrivi o richieste di indennizzo in un intervallo di tempo

considerato.

In generale, si potrà indicare la storia del processo fino al tempo t, con

t

1 n

HN(s), 0 s t

N(t), T ,...,T=

≤ ≤⎧

⎨⎪

⎩⎪

(2.3.3)

Si osservi che la distribuzione degli incrementi su un certo intervallo temporale

dipenderà solo dalla misura dell’intervallo e non dalla sua locazione; l’intensità di

frequenza λ è costante e gli incrementi di intervalli di tempo disgiunti sono pure

costanti, pertanto gli incrementi saranno indipendenti e stazionari.

Anziché la somma di termini in numero finito si può considerare la somma di

una serie; se l’intensità totale λ rimane finita si avrà un processo di Poisson

composto; si ha così il più generale processo a incrementi indipendenti e omogenei

a salti discreti, cioè in numero finito in ogni intervallo limitato.

Sia {Nt} un processo di Poisson e X1,X2,...una successione di v.c. indipendenti

ed identicamente distribuite, con comune f.r. F(x) che siano a loro volta

indipendenti dal processo {Nt}. Si definirà un nuovo processo {St}

St=X1+...+XN(t) , t≥ 0 (2.3.4)

dove St=0 se N(t)=0, chiamato processo di Poisson composto, specificato dal

parametro λ e da F(x).

Dalle corrispondenti proprietà del processo di Poisson segue che anche il

processo di Poisson composto avrà incrementi stazionari ed indipendenti.

1.2.4-Processi di diffusione e processi gamma

Un processo {St} con incrementi stazionari ed indipendenti, tali che gli


incrementi su ogni intervallo di tempo di lunghezza h sono normalmente distribuiti,

con media μh e varianza σ2h è chiamato processo di diffusione o processo di

Wiener.

Altro caso notevole di processo di tipo Poissoniano è il processo gamma, che è

un processo {St}, anch’esso con incrementi stazionari ed indipendenti, tale che gli

incrementi in ogni intervallo di tempo di lunghezza h hanno una distribuzione

gamma con parametri λ e αh. Questo processo ha la traiettoria di campionamento

con un’infinità di salti multipli in un intervallo di lunghezza positiva. Allora per

ogni t>0, St sarà una serie infinita di somme di salti, convergente; il numero atteso

di salti nell’intervallo positivo è infinito; invece se si considera il numero atteso di

salti in un intervallo di ampiezza maggiore di x, per il processo di Poisson

composto sarebbe λh[1-F(x)], mentre per il processo gamma

α λh y e y, x 01

x

y−∞

−∫ >d

coerente con l’affermazione che il numero atteso di salti è infinito; questa

espressione diverge per x→0

1.3-Processo dei rinnovi

Una equazione integrale della forma

Z(x) g(x) Z(x y)h(y) y, x 00

x

= + − >∫ d

è chiamata equazione del rinnovo, dove Z, g e h sono funzioni di un argomento

positivo e si assume che h(y)≥ 0 e h(y) y0

d <∞∫∞

.

Sia H(x)= h(y) y0

x

d∫ , l’equazione del rinnovo è chiamata, adeguata, imperfetta o

eccessiva secondo che H ( )∞ sia uguale a uno, minore di uno o maggiore di uno

rispettivamente.

É interessante seguire la successione dei tempi in cui un evento viene sostituito

da un altro simile, cioè la successione dei rinnovi.


Si consideri una successione di v.a che rappresentano eventi che si suppone si

verifichino agli istanti To,T1,T2, ...(Ti+1>Ti); si assuma che due o più eventi non

possano verificarsi simultaneamente e che il processo stocastico descritto sia

stazionario. La lunghezza dell’intervallo tra il verificarsi di due eventi sarà

Xi=Ti+1-Ti, i=0,1,2,... (3.1)

Se gli intervalli tra gli eventi sono indipendenti ed identicamente distribuiti, la

successione di v.a. Xi costituirà il processo aleatorio dei rinnovi.

É ovvio che la formula per la distribuzione del numero di eventi che si

verificano in un prefissato intervallo che comincia con l’attuale verificarsi di un

evento, differirà da quella per un intervallo della stessa ampiezza, che inizia ad un

dato istante τ0. Si comincerà col considerare la lunghezza dell’intervallo tra τ0 e il

verificarsi dell’nmo evento successivo. Sn sarà la v.a. che rappresenterà tale

lunghezza e si avrà

Sn=L1+X2+X3+ ...+Xn (3.2)

dove L1=T1-τ0 sarà la v.a. che rappresenterà la lunghezza dell’intervallo, da un

arbitrario istante τ0 al verificarsi del primo evento. Indicata con F(.) la f.r. di

ciascuna delle v.c. Xi e F1(.) la f.r. di L1, Fn(.) la f.r. di Sn, sarà

Fn(.)=F1(.)*F(n-1)* (.) (3.3)

dove * è una convoluzione e

0F (x)0 per x 0

1 per x 0

∗ == <

= ≥

⎧

⎨⎪

⎩⎪

(3.4)

Invece di Sn si potrebbe considerare il numero di eventi che si verificano entro un

determinato intervallo t, che segue ad un arbitrario istante τ0; denotata con N(t) la

v.a. che rappresenta questo numero, cioè il numero di valori di Sn che non ecceda t,

si avrà

{ }N(t) max n S tn= ≤ (3.5)

É necessario a questo punto introdurre la nozione di intensità di una

distribuzione. Si consideri a tal scopo una v.a. X dotata di densità e si valuti la


probabilità condizionata Prob{ }x X x x X x< ≤ + >Δ che, per definizione, è uguale a

{ }{ }

Prob x X x x

Prob X x

< ≤ +

>

Δ. Risulta dunque, a meno di infinetisimi di ordine superiore

al primo rispetto a Δx,

Prob { }x X x x X x< ≤ + >Δ =f(x)

1 F(x)x

−Δ .

La funzione, non negativa sul suo campo di definizione, f(x)

1 F(x)−, è detta

intensità della distribuzione.

Nel nostro caso l’intensità della distribuzione dipenderà solo dal tempo

trascorso dall’ultimo rinnovo e sarà uguale

λ(t,H )f(t S )

1 F(t S )tN(t)

N(t)=

−− −

(3.6)

dove t-SN(t) sintetizzerà la storia passata. Nel caso in cui le v.a. Ti siano distribuite

esponenzialmente, con parametro λ>0, la (3.6) darà

λ(t,Ht)=λ (3.7)

che significa che il processo dei rinnovi è ancora un processo di Poisson.

1.4-Martingale

L’uso dei modelli a martingala appare particolarmente appropriato nell’analisi

di molti processi di rischio, in quanto dà ragione del fatto che una compagnia di

assicurazione sia disposta a giocare contro il pubblico una successione di

scommesse ad essa favorevoli, come compenso per il rischio che assume.

L’idea è stata suggerita da de Finetti (1939,1940) e rappresenta un appropriato

allargamento dell’ipotesi di indipendenza stocastica tra le scommesse successive,

considerata troppo restrittiva in molti casi reali.

Si consideri una sequenza di v.c. S0,S1,S2, ... e una sequenza di vettori casuali

Z0,Z1,Z2, .... ;{Sk} sarà una martingala rispetto a {Zk} se, per tutti i k


i) [ ]E Sk <∞ (4.1)

ii) Sk è funzione di Z0,Z1,...Zk (4.2)

iii) [ ]E S Z ,Z ,...Z Sk 1 0 1 k k+ = (4.3)

Zk è interpretato come uno stato del mondo al tempo k. Allora

Hk=(Z0,Z1, ...,Zk) (4.4)

sarà la storia del processo (ossia tutta l’informazione disponibile) prima del tempo

k. Se Sk è interpretato come il patrimonio del giocatore prima del periodo k, la

condizione (4.3) significa che il gioco cui partecipa è onesto in ogni periodo.

Usando il metodo iterativo per calcolare i valori attesi

[ ]E S H Sk h k k+ = per k,h=0,1,2,.... (4.5)

Posto k=0 si ottiene

E[Sh]=E[S0] (4.6)

Introducendo gli incrementi del processo {Sk}, sia X0=S0 e Xk=Sk-Sk-1, per

k=1,2,..., e assumendo l’esistenza dei momenti di secondo ordine, l’equazione

[ ]E X H 0k h k+ =

e il fatto che Xk è funzione di Hk sono utilizzati per vedere che

Cov(Xk,Xk+h)=E[XkXk+h]=E[E[XkXk+h kH ]]=

=E[XkE[Xk+h kH ]]=0 (4.7)

e pertanto gli incrementi di una martingala non sono correlati.

1.4.1- Submartingale

Sia {Sk} una sequenza di v.c. e {Zk} una sequenza di vettori casuali; {Sk} è una

submartingala rispetto a {Zk} se sono soddisfatte le condizioni (4.1) e (4.2) e se

[ ]E S H Sk 1 k k+ ≥ (4.1.2)

dove Sk, ad esempio, è interpretato come il patrimonio del giocatore al tempo k, e

la condizione (4.1.2) significa che il gioco gli è favorevole in ogni periodo. La

condizione (4.1.2) è equivalente alla condizione più generale secondo cui


[ ]E S H Sk h k k+ ≥ (4.1.3)

considerando i valori attesi {E[Sk]} è una successione non decrescente.

Si supponga adesso che {Sk} sia una submartingala positiva, allora, per tutti gli

m>0 e k, si avrà

[ ]P(max(S S , ... ,S ) m)

E Sm0 1 k

k, ≥ ≤ (4.1.4)

che è la disuguaglianza di Kolmogoroff per submartingale positive.

1.5-Trasformata di Laplace

Sia t una variabile reale; F(t) una funzione definita per t≥ 0; s una variabile

complessa. Si chiama trasformata di Laplace della F(t) la funzione f(s) definita

formalmente da

f(s) e F(t)dtst

0=∫ −

∞

(5.1)

F(t) è una funzione a valori reali o complessi, definita quasi ovunque nell’intervallo

[ )0,∞ dell’asse t e ivi misurabile, localmente sommabile, cioè

[ )F(t) L 0,loc∈ +∞ ;

questa ipotesi non implica la sommabilità di F(t) in [ )0,∞ e non si esclude pertanto

che possa essere

F(t) t0

d =+∞∫∞

(5.2)

Introdotta la variabile complessa s è chiaro che, per ogni valore di essa, si ha

ancora e-st [ )F(t) L 0,loc∈ +∞ . Si può pertanto asserire che, per ogni T>0 e per ogni

valore di s, ha valore finito il seguente integrale di Lebesgue

−∫ st

0

T

e F(t) td . (5.3)

Le funzioni F(t) , per le quali esiste l’integrale di Laplace, si dicono

trasformabili secondo Laplace, o, più brevemente, L –trasformabili.


Si applica il Teorema di convergenza secondo cui: Se l’integrale di Laplace

converge in un certo punto s0 , allora esso converge per tutti i valori del semipiano

s > s0 .Da ciò è possibile dedurre che

(5.4)

Vale a dire

(5.5)

il che costituisce un’utile connessione tra le trasformate di Laplace di F(t) e

della corrispondente funzione integrale Φ (t).

Dal teorema risulta inoltre che, posto con α l’estremo inferiore di s per cui

l’integrale converge, si ha convergenza se s >α e non convergenza

se s <α , permanendo solo il dubbio per s = α . Di conseguenza, la semiretta s >α si

dice semiretta di convergenza della corrispondente trasformata di Laplace ed α la

sua ascissa di convergenza. Nel caso in cui α non è finita, l’integrale converge

sempre se è α = − ∞ , o mai se è α = + ∞ .

I valori di F(t) per t < 0 non intervengono nell’integrale, quindi l’integrale (5.3)

stesso è indipendente da tali valori. Sono, in particolare, richieste le seguenti

condizioni:

1. La funzione F(t) deve essere definita per t ≥ 0.

2. La funzione F(t) deve essere generalmente continua.

Dove, si intende che una funzione è generalmente continua in un intervallo

α≤t≤β se è possibile dividere l’intervallo in un numero finito di intervalli in ognuno

dei quali la funzione sia continua e abbia limiti destro e sinistro finiti.

3. La funzione F(t) deve essere esponenziale di ordine γ .

Cioè, se esistono due costanti reali M > 0 e γ tali che per ogni t >N sia

⎢F(t)⎢<Meγt si dice che F(t) è una funzione esponenziale di ordine γ per t → ∞ o,

più semplicemente, che è una funzione di ordine esponenziale.

E’ opportuno notare che le condizioni poste dal teorema precedente sono


condizioni sufficienti a garantire l’esistenza della trasformata di Laplace, in altre

parole questo significa che se tali condizioni non dovessero essere soddisfatte, la

trasformata di Laplace può esistere o non esistere.

Il calcolo operazionale gode di numerose proprietà, nelle quali, salvo avviso

esplicito contrario, si suppone che tutte le funzioni soddisfino le condizioni di

esistenza della trasformata di Laplace.

Proprietà della linearità

Date due costanti qualsiasi c1 e c2 mentre F1(t) e F2(t) sono funzioni L–

trasformabili, cioè, con trasformate di Laplace pari rispettivamente a f1(s) e f2(s),

risulta che:

L{c1F1(t) + c2F2(t)} = c1L{F1(t)}+ c2L{F2(t)}= c1f1(s) + c2f2(s) (5.5)

Da questo teorema si ricava che il simbolo L, detto operatore trasformata di

Laplace, è un operatore lineare.

Il risultato conseguito può essere generalizzato nel seguente modo:

Se le funzioni F1(t), F2(t), …, Fn(t) hanno come trasformate di Laplace f1(s),

f2(s), …, fn(s) e c1, c2 , …, cn sono costanti qualsiasi, risulta L{c1F1(t) + c2F2(t) + L

+ cnFn(t)} = c1f1(s) + c2f2(s) + L + cnfn (s) (5.6)

Prima proprietà della traslazione

Se L{F(t)} = f (s) ed a una costante, allora: L{eat F(t)} = f (s − a) (5.7)

Ciò significa che se si moltiplica F(t) per una funzione esponenziale e at , la

corrispondente trasformata di Laplace risulta funzione della variabile ( s − a ).

Seconda proprietà della traslazione

Data la trasformata di Laplace L{F(t)} = f (s) e una funzione

, (5.8)

risulta che:

L{G(t)} = e−as f(s) (5.9)

Questa proprietà dimostra che se si ritarda una funzione F(t) di una durata a , la

trasformata di Laplace resta moltiplicata per il fattore e− as .


Proprietà del cambio di scala

Se

(5.10)

allora è verificata la seguente uguaglianza:

(5.5)

Capitolo II

Sicurezza e rischio: la rovina del giocatore

2.1-I rischi ............................................................................................ 16

2.2-Teoria dell’utilità ............................................................................ 19

2.2.1-Utilità logaritmica ........................................................................... 25

2.2.2-Utilità esponenziale ......................................................................... 25

2.2.3-Utilità quadratica ............................................................................ 26

2.3-Cenni sull’impostazione assiomatica ............................................. 27

2.3.1-Dominanza stocastica ...................................................................... 28

2.3.2-Il criterio della speranza matematica .............................................. 30

2.4-Teoria della rovina: Teorema della rovina del giocatore ............... 33

2.4.1-Problemi di assorbimento ............................................................... 40

2.4.2-Previsione di durata ................................................................. 41

Capitolo II

Sicurezza e rischio: la rovina del giocatore

Tutte le operazioni che si svolgono da una qualsiasi attività economica

comportano dei rischi, nel senso che i risultati non sono a priori assolutamente

certi. Un risultato, un fatto, un avvenimento qualsiasi, che non è a priori certo si

definisce aleatorio; pertanto, vi è un rischio ogni qualvolta sono possibili eventi

aleatori che, verificandosi possono produrre perdite o danni, cioè, i cosiddetti

sinistri.

2.1-I rischi

Una questione molto dibattuta è se si possa distinguere un campo ben delimitato

cui riservare la denominazione di rischio. E’ soprattutto nei lavori di Knight, citati

da diversi autori, che questa distinzione viene sottolineata come fondamentale agli

effetti dell’analisi di tale argomento. Tale tesi consiste nel dire che certi fattori di

incertezza non siano propriamente tali, in quanto grazie alla possibilità di

trasferimento ad un assicuratore possono venire consolidati e tradotti in un

elemento certo di costi; questi elementi di incertezza sono appunto i rischi.

Appartengono, invece, all’incertezza tutti quegli altri elementi che non sono

assicurabili o compensabili, che ogni imprenditore e in genere ogni individuo deve

Sicurezza e rischio: la rovina del giocatore 17

affrontare in proprio e secondo il proprio giudizio; è ad essi soltanto che si può far

risalire il profitto.

Un aspetto da esaminare è la distinzione tra rischi assicurabili e no, dal punto di

vista di un assicuratore e quello di una distinzione tra rischio e incertezza per chi

vi è esposto; è questo, comunque un problema di teoria delle decisioni. Per le

decisioni in condizioni di incertezza tale teoria considera un criterio di decisione

fondato su concetti probabilistici e, secondo le concezioni più avanzate, tale

criterio non può che avere validità generale essendo dedotto non da semplici

ipotesi empiriche ma da generali e semplici condizioni logiche di coerenza che

permettono di distinguere modi di scelta ammissibili o no, esprimenti cioè

preferenze esenti da controindicazioni; risulterà che tali preferenze sono

ammissibili se e solo se coincidono con l’applicazione dei metodi derivanti dalla

teoria delle probabilità, restando, tuttavia, a ciascuno la libertà e la responsabilità

di valutare per proprio conto le probabilità che intende attribuire ai diversi eventi e

di esprimere, come vedremo, attraverso l’utilità l’importanza che egli attribuisce a

guadagni o perdite più o meno grandi.

Si può dunque affermare che una qualunque operazione o azione ha un effetto

assicurativo se elimina o attutisce dei rischi.

Bisogna anche distinguere se le condizioni sono vantaggiose per tutti i

contraenti o per alcuni soltanto. Il giudizio sulla vantaggiosità o meno di una

operazione aleatoria dipende, oltre che dal fatto oggettivo dei guadagni, positivi o

negativi, di ciascuno in ciascuno dei casi possibili, dalla funzione di utilità di

ciascuno, nonché dalle probabilità attribuite da ciascuno a tutti i casi possibili; tale


valutazione potrà a volte essere unanime oppure, invece, risultare più o meno

difforme a seconda dei casi.

Nel campo delle operazioni in cui tutti i partecipanti sono avvantaggiati ha

molta importanza la distinzione fra il caso di trasferimento del rischio e quello di

eliminazione o protezione.

Il caso di trasferimento del rischio, in forma libera, a un assicuratore, è

certamente quello rispondente alla più semplice ed essenziale schematizzazione: si

riduce alla corresponsione, da parte dell’assicuratore, di un importo aleatorio a fine

assicurativo per far fronte cioè, ad una conseguenza del rischio cui è sottoposto

l’assicurato, che si tutela versando al primo un prezzo fisso, il cosiddetto premio.

Si tratta del caso avente la massima importanza, non solo agli effetti attinenti il

benessere individuale ma anche per l’essenziale funzione di agevolazione delle

attività produttive e imprenditoriali in genere.

Un particolare tipo di decisione in condizioni di incertezza è rappresentato dal

problema di accettazione o non accettazione di una scommessa. Tale genere di

problemi si presentano all’individuo incerto se ingaggiare o meno una partita

d’azzardo, o indeciso se stipulare o meno un contratto di assicurazione, o,

simmetricamente, all’impresa assicuratrice che debba deliberare sull’opportunità di

assumere un determinato rischio, o sulla convenienza di riassicurare una qualche

parte del proprio portafoglio.

Il problema può venire affrontato basandosi su due maniere sostanzialmente

differenti di valutare le scommesse. Da un punto di vista oggettivo, è definito

l’indice di sicurezza della scommessa, collegato alla probabilità asintotica di


fallimento per un giocatore che accetti di ingaggiare scommesse di quel

determinato tipo. Tale parametro permette di classificare le scommesse in più o

meno sicure e poi, introdotto arbitrariamente un livello di soglia, di accettarle o

meno a seconda che il loro indice di sicurezza superi o meno tale livello.

Questi ordini di problemi rientrano nella ben nota Teoria della Rovina.

Da un altro punto di vista, l’individuo in questione può valutare le singole

scommesse alla luce della propria personale curva di utilità e classificare allora le

scommesse in vantaggiose, eque e svantaggiose. Per le curve di utilità è d’altra

parte definito un parametro detto coefficiente di avversione al rischio. Secondo de

Finetti (1952) le relazioni che collegano questo coefficiente all’indice di sicurezza

di una scommessa, consentono di collegare i due punti di vista citati, in quanto il

livello di rischiosità cui conduce la teoria asintotica sviluppata da Lundberg e

Cramer risulta coincidente con il “comportamento probabilistico” del decisore.

Il seguito è dedicato ad una breve presentazione di alcune nozioni generali sulle

funzioni di utilità, ed alla discussione su alcune ipotesi qualitative che vengono

generalmente formulate su di esse.

2.2-Teoria dell’utilità

Secondo Gambarelli & Pederzoli (1992) le conseguenze risultanti da atti diversi

possono avere vantaggi o svantaggi di diversa natura ed entità e, al fine di

consentire un facile confronto fra le conseguenze di azioni alternative, si può

definire l’utilità come una misura conveniente che si presta a quantificare la

desiderabilità di una conseguenza e, il valore dell’utilità associato ad una


conseguenza è semplicemente un numero reale che ne sta a rappresentare la relativa

desiderabilità. Pertanto, osservando la preferibilità fra situazioni economiche

manifestata dall’individuo sulla base delle sue scelte, si considera l’utilità come un

indice numerico della preferibilità stessa. Una importante conseguenza di questa

impostazione è, secondo de Finetti (1952), che “non esiste l’utilità di un bene come

grandezza fisica ad esso inerente all’infuori di un rapporto con un individuo che lo

desidera”, sicché non si avrà una definizione oggettiva dell’utilità, ma in questo

caso soggettiva.

Analizzando problemi di decisione in condizioni di rischio, per i quali le

conseguenze sono di carattere monetario, l’utilità si può pensare derivata

dall’importo monetario tramite una funzione u(x) detta funzione di utilità della

moneta.

In generale per funzione di utilità si intende, dunque, qualunque funzione

u=u(x) definita per ogni x≥0 che goda delle proprietà:

-è monotona crescente in tutto il suo dominio di definizione; tale funzione

quantifica in modo più o meno convenzionale l’apprezzamento che un individuo fa

del possesso di beni per un valore pari a x e svolge un ruolo essenziale nel

permettere di misurare la desiderabilità di risultati aleatori;

-esistono ed assumono valori finiti le prime due derivate, u’(x)>0 e u’’(x);

-è superiormente ed inferiormente limitata;

-esiste ed assume valore finito il ( )xlim u x→∞

.

La definizione di utilità secondo von Neumann & Morgenstern (1953) si basa


su una teorizzazione del comportamento di fronte a decisioni aleatorie, quindi, nel

nostro caso, di fronte al rischio; richiede la combinazione di scelte non solo fra le

diversi situazioni economiche ma anche fra le loro valutazioni probabilistiche;

secondo tale formulazione si dà una definizione di “coerenza” di fronte al rischio

estendendo la proprietà transitiva in senso probabilistico: infatti, una combinazione

probabilistica pA+qB di due (o più) situazioni economiche A e B è la situazione

consistente nell’avere una certa probabilità p di ottenere A e la probabilità q=1-p di

ottenere B e pA+qB ha utilità intermedia fra quelle di A e B.

In generale si dice che una funzione di utilità è di von Neumann & Morgenstern

se è determinata a meno di una trasformazione lineare, è non decrescente e

consente all’individuo di massimizzare la propria utilità attesa.

La definizione di von Neumann & Morgenstern, secondo De Ferra & Pressacco

(1987), richiede la considerazione di scelte nell’ambito ampliato delle situazioni

aleatorie, sicché la scala delle utilità esprime e misura in concreto la propensione o

l’avversione del decisore ad assumere dei rischi.

de Finetti (1952) propose di chiamare comportamento probabilistico quello

conforme a questa concezione, sottolineando che ciò che conta nella preferibilità è

proprio la valutazione soggettiva del decisore; l’introduzione della funzione di

utilità serve a ricondurre il più generale comportamento coerente in senso

probabilistico a quello basato sulla speranza morale di Bernoulli, applicando

quest’ultima rispetto alla funzione u, anziché all’originaria variabile x.

La trattazione si riconduce pertanto a quella delle medie associative e delle loro

proprietà, dove per media associativa si intende quella che rimane inalterata se


alcuni dei termini, di cui si considera la media, vengono sostituiti con il rispettivo

valore medio. Sono associative tutte e solo le medie costruite considerando una

funzione continua e monotona dei termini, prendendone la media e facendo la

trasformata inversa di detta media; in altri termini si tratta di “trasformate della

speranza matematica”, ovvero, in questo caso, di trasformate della media

aritmetica.

Premesso ciò, se fra le condizioni di coerenza di un giudizio di preferibilità si

richiede che l’equivalente certo di una situazione aleatoria non vari se si sostituisce

parte della distribuzione con il rispettivo equivalente certo, allora esso si deve

ottenere mediante una media associativa indotta da una trasformata che è proprio la

funzione di utilità.

Ottaviani M. (1975) mostra che due funzioni danno luogo alle stesse preferenze

se e solo se una è trasformazione lineare crescente dell’altra; giustificando così

perchè von Neumann & Morgenstern asseriscono che l’utilità di un individuo è

definita a meno di una tale trasformazione .

Secondo Friedman e Savage (1948), in generale la funzione di utilità del

decisore è di “tipo inflessionale”: è concava verso il basso per livelli di ricchezza

inferiori ad x qualunque sia tale ammontare e presenta un flesso ascendente in

corrispondenza di un livello di ricchezza immediatamente superiore ad x.

L’ipotesi fondamentale su u(x) è che ad incrementi uguali di capitale

corrispondono incrementi di utilità tanto più piccoli quanto più grande è il capitale

posseduto dall’individuo. Si ha, cioè:


u(x’)>u(x), x’>x (2.1)

u(x+x0)-u(x)>u(x’+x0)-u(x’), x’>x, x0>0 (2.2)

u(x) è una funzione continua su tutto il suo insieme di definizione; allora l’ipotesi

formalizzata nella (2.2) implica che la funzione è concava in tutto il suo dominio.

Essendo la funzione di utilità u(x) dotata di derivata prima u’(x), le proprietà

(2.1) e (2.2) richiedono che questa sia una funzione positiva decrescente di x. Se si

definisce u’(x) come l’utilità marginale del capitale x, allora l’ipotesi di monotonia

su u(x) richiede che l’utilità marginale sia non negativa, e la proprietà di concavità

si esprime usualmente dicendo che l’utilità marginale diminuisce all’aumentare del

capitale. Naturalmente se esiste anche la derivata seconda, la proprietà di concavità

corrisponde alla u’’(x)<0, x R∈ .

Individui contraddistinti da una funzione di utilità con derivata seconda

negativa

u’’(x)<0 (2.3)

si dicono avversi al rischio, se invece

u’’(x)>0 (2.4)

si parlerà di individui propensi o rispettivamente se

u’’(x)=0 (2.5)

si avranno individui indifferenti al rischio.

Discutendo le determinanti del comportamento probabilistico de Finetti (1952)

introduce il concetto di funzione di avversione al rischio locale, che nell’intorno di

un certo valore x dipende dal grado di convessità relativa della funzione in quel

punto, dove per convessità relativa, de Finetti intende il rapporto -λ(x)=u’’/2u’ fra


la derivata seconda e prima.

La paternità di questa misura di avversione al rischio è invece spesso attribuita

dalla letteratura straniera ad Arrow (1971) e Pratt (1964), mediante

( )( )( )r x

u'' x

u' x=− . (2.6)

Essendo definito in termini di rapporto tra derivata seconda e derivata prima

rispetto ad x, con x un importo monetario, il coefficiente di avversione al rischio

r(x) avrà le dimensioni del reciproco di un importo e si misurerà quindi in “lire-1”.

A sua volta il reciproco di r(x), B(x)=1/r(x) ha dimensioni “lire” e rappresenta un

importo tanto più grande quanto meno l’individuo è avverso al rischio. B(x)

fornisce quindi una misura di tolleranza al rischio dell’individuo.

In molte applicazioni della teoria dell’utilità è importante supporre che r(x) sia

una funzione non crescente di x. Ciò è suggerito dal comportamento degli agenti

economici in base al quale si paga tanto meno per assicurazioni contro un dato

rischio quanto maggiore è il capitale posseduto; questa ipotesi gioca un ruolo

significativo qualora si voglia spiegare l’esistenza di contratti assicurativi in un

mondo formato da agenti economici razionali e avversi al rischio che siano

caratterizzati dalla stessa funzione di utilità; una compagnia di assicurazioni può

infatti trovare vantaggioso assumere posizioni rischiose, pur essendo avversa al

rischio, fatta forte dell’entità del capitale posseduto.

Si ricordi, tuttavia, che molti contratti assicurativi possono essere giustificati

anche in base al principio della compensazione dei rischi, secondo il quale per la

legge dei grandi numeri, l’incertezza di un portafoglio di polizze relative a v.a.


stocasticamente indipendenti diminuisce con l’aumentare della numerosità del

portafoglio.

Illustreremo adesso le caratteristiche di alcune forme specifiche di utilità

utilizzate più spesso nelle applicazioni.

2.2.1-Utilità logaritmica

Si tratta del modello proposto originariamente da Bernoulli, il quale assunse

l’incremento di utilità come direttamente proporzionale, a meno di infinitesimi di

ordine superiore, all’incremento di capitale e inversamente proporzionale al

capitale posseduto, cioè:

dudxx

, >0=a a , x >0

da cui u(x)=a log x+b, dove a e b sono costanti arbitrarie. L’avversione al rischio è

data da

r(x)=1/x

e soddisfa perciò anche l’ipotesi di decrescenza. Il fatto che u(x) possa assumere

valori negativi per ( )x 0,1∈ non ha rilevanza ai fini della rappresentazione delle

preferenze.

Ottaviani M. (1975) dimostra che la stessa funzione dà luogo alle stesse

preferenze per ogni valore del patrominio se e solo se è lineare o esponenziale.

2.2.2-Utilità esponenziale

É una funzione superiormente limitata, la cui forma più semplice

( )u x 1 >0x1a= −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

−a e a,


ha come estremo superiore il parametro a, cosiddetto parametro di potenzialità

massima. Questa funzione ha avversione al rischio costante data da r(x)=1/a.

Altra caratteristica interessante delle funzioni di utilità esponenziali è costituita

da una specie di additività relativa alla proprietà di indifferenza. Si consideri un

individuo, dotato di un patrimonio certo c, che debba valutare due diverse

operazioni finanziarie aleatorie, la prima con guadagno G, la seconda con

guadagno G’, stocasticamente indipendente da G, e si supponga che la prima sia

indifferente per l’individuo; si supponga cioè:

E [ u (c + G)]=u (c) .

Si può allora dimostrare che, se l’individuo ha funzione di utilità esponenziale,

sarà:

E [u (c+ G + G’)]=E [u (c + G’)].

Se, in particolare, anche la seconda operazione è indifferente, cioè se:

E [u (c + G’)]= u (c)

allora si avrà:

E [u (c + G + G’)]= u (c).

Quindi, sotto l’ipotesi di utilità esponenziale, un’operazione somma di più

operazioni indipendenti e indifferenti è indifferente..

2.2.3-Utilità quadratica

É espressa nella forma

( )u x x x >02= −a

a2

,

La concavità è assicurata dalla non-negatività del parametro a. Tuttavia per

garantire la proprietà di monotonia è necessario limitarsi al ramo ascendete della


parabola u=u(x), riducendo il dominio della funzione all’intervallo di valori x

compresi tra 0 e 1/a, che è appunto l’ascissa di vertice della parabola. L’utilità

marginale è u’(x)=1-ax ed il coefficiente di avversione al rischio

( )r xx

=−

aa1

.

L’avversione al rischio ha quindi un andamento iperbolico nel dominio di

definizione D=(0,1/a), è una funzione crescente di x, come risulta anche dal segno

positivo della derivata di r(x) che ha espressione

( )( )

r' xx

=−

2

21

a

a .

2.3-Cenni sull’impostazione assiomatica

Lo scopo della teoria delle decisioni è quello di descrivere il comportamento di

un individuo razionale in condizione di incertezza, in modo da permettere al

decisore di individuare eventuali incoerenze o contraddizioni con il criterio di

scelta adottato. Quindi l’obiettivo non è quello di individuare un ordinamento di

preferenza nelle scelte unico ed oggettivo, che sia valido per tutti gli agenti

economici, bensì quello di individuare una classe di criteri decisionali che raccolga

al suo interno i singoli criteri individuali e che sia caratterizzata da pochi principi

generali economicamente significativi, che avranno un valore normativo, nel senso

di imporre la coerenza con i criteri individuali da cui sono indotti. Gli ordinamenti

che soddisfano a tale proprietà dovranno essere completi, nel senso che non dovrà

restare indefinita la relazione di preferenza o di indifferenza tra qualcuna delle

possibili posizioni che compongono l’insieme delle possibili alternative di scelta.


Le v.a. X appartenenti all’insieme delle alternative saranno completamente

descritte dalla distribuzione di probabilità ad esse attribuite dall’individuo.

Ogni operazione di scambio in condizioni di incertezza corrisponderà quindi ad

un cambiamento della distribuzione di probabilità della situazione rischiosa in cui

l’individuo si troverà. Il problema decisionale potrà allora essere inteso come un

problema di ordinamento tra tutte le distribuzioni di probabilità disponibili al

momento della scelta. Formalmente se si indica con

Fk(x)=P(X k≤ x)

la f.r. della v.a. Xk, e se si indica con F l’insieme di tutte le f.r. delle v.a. X

appartenenti all’insieme delle opportunità, affinché l’individuo possa effettuare

scelte razionali tra elementi di X egli dovrà avere introdotto un ordinamento

mediante una relazione di preferenza in F, tale che, comunque scelte due

distribuzioni F! ed F2 appartenenti ad F, si possa decidere se una di esse è preferita

all’altra o se le due distribuzioni sono indifferenti.

2.3.1-Dominanza stocastica

Si possono introdurre ordinamenti parziali nell’insieme F secondo dei criteri

basati su ipotesi molto generali. Seguendo l’impostazione di Gambarelli &

Pederzoli (1992), indicando con U1 l’insieme di tutte le funzioni di utilità che sono

finite e non decrescenti in un intervallo I di numeri reali, date due funzioni X1 e X2

con funzioni di ripartizione F1 e F2 ciascuna definita in I, si dirà che X1 è almeno

tanto preferita quanto X2 rispetto a tutte le u∈U1 se e solo se F1(x)≤F2(x) per ogni

x∈I. Si supponga adesso che la distribuzione X2 domini quella di X1 nel senso che


F2(x)≤F1(x), x∈R ⇔ − ≥ −1 F (x) 1 F (x)2 1

ossia se e solo se

{ } { }Prob X x Prob X x2 1> ≥ >

e che la disuguaglianza valga in senso stretto per almeno un valore di x.

Questa proprietà detta dominanza stocastica del primo ordine stabilisce che

comunque fissato il numero reale x, la probabilità che la situazione patrimoniale X1

risulti maggiore di x non è mai maggiore (ed in almeno un caso è minore) della

probabilità che X2 risulti maggiore di x.

Sotto opportune ipotesi di continuità si dimostra che se F2 domina F1 allora ogni

individuo che sia massimizzatore di profitto, cioè che preferisca importi monetari

certi maggiori ad importi monetari certi minori, preferirà X2 ad X1. Una trattazione

più dettagliata sulla dominanza stocastica si trova, secondo Gambarelli &

Pederzoli, in Fishburn, Cardin (1987).

Secondo Moriconi (1994) si può dimostrare che la condizione di dominanza

stocastica di primo ordine è anche necessaria, infatti la relazione di dominanza non

garantisce che X2 risulterà certamente maggiore di X1, ma impone solo una

condizione sulle probabilità. L’ipotesi che gli agenti economici effettuino le

proprie scelte per aumentare il proprio patrimonio è molto debole, in quanto

l’ordinamento indotto nell’insieme delle preferenze porta a classificare come non

confrontabili situazioni che possono essere considerate molto diverse dal punto di

vista della rischiosità. Inoltre tale ordinamento è incompleto dato che potranno

esistere f.r. per le quali non risulti verificata tale disuguaglianza. Secondo detto

autore la dominanza stocastica del primo ordine va quindi intesa come un requisito


necessario ma non sufficiente per la costruzione di un criterio generale di scelta.

Teorema di rappresentazioneErrore. Il segnalibro non è definito.: se

l’ordinamento di preferenza è completo, consistente e coerente con la relazione di

dominanza stocastica, allora:

-Esiste una funzione υ(x) tale che X2>X1 se e solo se

E[υ(X2)]>E[υ(X1)] (3.1)

-La funzione υ(x) è unica a meno di una trasformazione positiva lineare

crescente.

Questo teorema è stato dimostrato su una base rigorosamente assiomatica da

von Neumann & Morgenstern (1953); la sua importanza sta nel fatto che in seguito

ad esso un operatore lineare del tipo E[υ(x)] si qualifica come l’unica funzione di

valutazione accettabile per descrivere le preferenze di un individuo dotato di

razionalità e coerenza. Se si specifica υ(x) come funzione lineare di x si definisce il

criterio della speranza matematica, che caratterizza le scelte di un individuo

indifferente al rischio. Se invece si sceglie una generale funzione crescente si

ottiene il principio dell’utilità attesa, che fornisce il criterio di scelta caratteristico

di qualsiasi individuo avverso al rischio.

2.3.2-Il criterio della speranza matematicaErrore. Il segnalibro non è

definito.

L’approccio più diretto al problema del comportamento di un individuo di

fronte ad una scommessa con guadagno aleatorio G, consiste nell’introdurre come

metro di valutazione la speranza matematica del guadagno (o guadagno sperato


E(G)). Se si assegna alla funzione υ(x) la forma di una qualsiasi funzione lineare

crescente, se è ad es., X2>X1 con la scelta υ(x)=ax+b , a∈ ∈+R , b R la (3.1)

diventa: aE(X2)+b>aE(X1)+b cioè E(X2)-E(X1)>0 ed essendo il guadagno

algebrico G=X2-X1, la (3.1) equivale alla E(G)>0 e si ha un’operazione favorevole.

Se è al contrario X1>X2 si avrà E(G)<0 e l’operazione sarà sfavorevole, mentre

l’annullarsi del guadagno atteso si avrà solo nel caso in cui X1 è indifferente a X2 e

in tal caso l’operazione è detta equa. Se la probabilità del guadagno x è f(x), il

prezzo equo sarà:

[ ] ( )E x x xf xx 0

= = ∑=

∞

che applicato nelle assicurazioni significa che il premio equo per un rischio

descritto dalla distribuzione di probabilità f(x) sarà: P x= .

Nel 1738 Bernoulli fornì un controesempio, famoso con il nome di Paradosso

di San Pietroburgo. Si consideri un individuo partecipante a un gioco infinito che

consiste nel lancio di una moneta perfetta e indeformabile; vince se esce testa e

guadagna due lire. Il gioco consiste, dunque, nella ripetizione del lancio della

moneta finché non si ottiene testa per la prima volta, se ciò accade all’nmo lancio

incasserà 2n lire. Il valore atteso del gioco, che è potenzialmente infinito, risulterà

quindi:

[ ]E x12 2

n

n 1

n=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟∑ =∞

=

∞

dato che tutti i termini della serie sono uguale a 1. Il costo del biglietto è quindi

infinito, cioè è maggiore di qualunque cifra l’individuo proponga di pagare, pur


elevata che essa sia. Per ovviare a questa difficoltà Bernoulli propose che ai fini del

calcolo del valore del gioco la vincita non venisse presa solo rispetto al suo valore

monetario, ma piuttosto secondo una frazione di questo importo adatta ad

esprimere il valore morale che l’individuo attribuisce alla vincita. Scegliendo di

misurare gli importi secondo una scala logaritmica si ottiene il nuovo valore del

gioco che Bernoulli chiamò speranza morale di x:

[ ]E logx12

log2 log2 n12

2log2n

n 1

n

n 1

n

=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟∑ = ∑

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

=

∞

=

∞

.

Bernoulli diede una giustificazione alla sostituzione del guadagno x con logx, ma

da questa corrispondenza è chiaro che si potrebbe sostituire logx con qualsiasi altra

funzione concava. Ciò significa che l’utilità assegnata a un gioco descritto da una

distribuzione di probabilità f(x) potrebbe essere:

( )[ ] ( ) ( )E u x u x f xx 0

= ∑=

∞

dove u(x) è un’arbitraria funzione concava e crescente. Dalla disuguaglianza di

Jensen risulta: E[u(x)]>E[x], che significa che l’assicuratore chiederà un premio di

rischio in aggiunta alla perdita attesa per la copertura del rischio.

In questo contesto il criterio seguito nella teoria delle decisioni in condizioni di

incertezza sarà quello della massimizzazione del guadagno atteso.

Il criterio decisionale derivante da questa impostazione consisterà nella

massimizzazione dell’utilità attesa. In base a questo criterio si dirà che, se un

individuo dotato di funzione di utilità u(x), si trova nella situazione X1, egli

reputerà l’operazione consistente nello scambiare X2 con X1 vantaggiosa se


E[u(X2)]-E[u(X1)]>0, indifferente se se E[u(X2)]-E[u(X1)]=0, svantaggiosa se se

E[u(X2)]-E[u(X1)]<0.

2.4-Teoria della rovina: Teorema della rovina del giocatore

Una delle attività in cui la valutazione numerica di probabilità è frequentemente

praticata è quella delle scommesse. Il concetto di probabilità di fallimento per un

giocatore che esegua una successione di scommesse, è fondamentale, nella teoria

del rischio, per lo studio delle condizioni di stabilità di una compagnia di

assicurazioni.

Quando si definisce la probabilità in termini di scommessa si può dire, secondo

de Finetti e i soggettivisti, che la probabilità di un evento è la cifra p, speranza del

guadagno aleatorio, che si sarà disposti a pagare per ottenere il diritto di incassare

S se si verificherà l’evento. Si consideri allora la v.a. G, che denoterà il guadagno,

così definita

GS p

0 q=

⎧

⎨⎪

⎩⎪

La speranza matematica del guadagno sarà:

E(G)=0q+pS=pS

Se invece la funzione G sarà così definita

1

1

2

GS p

S q=

−

+

⎧

⎨⎪

⎩⎪

si avrà

E(G1)=pS2+q(-S1)=pS2-S1q.


Il gioco relativo a questa situazione di guadagno si dirà equo quando pS2=S1q ,

cioè quando pS2-S1q=0.

Si dimostra che: in un gioco equo un giocatore che disponga di un capitale

iniziale finito e giochi senza possibilità di credito contro un avversario

infinitamente ricco, prima o poi certamente si rovinerà; in altri termini, con

probabilità 1 il suo patrimonio, costituito dal capitale iniziale più il guadagno,

scenderà a zero in un numero finito di colpi. Il risultato sussiste a posteriori se il

gioco è favorevole per il giocatore infinitamente ricco. É questo il teorema della

rovina dei giocatori per giochi equi.

de Finetti (1939) si occupò della ricerca della probabilità limite di fallimento

entro un tempo lunghissimo; tale limite P=limPh, che sarà la “probabilità di

rovina”, esiste, poiché le probabilità non sono mai decrescenti e mai superiori

all’unità. Per far ciò, si appoggiò alla generalizzazione di un procedimento classico

relativo al problema della rovina dei giocatori, dovuto al de Moivre, il quale

considera un giocatore che dispone di una somma iniziale G e si accinge a giocare

una successione di partite o scommesse i cui guadagni saranno le v.a. X1,X2, ... ,Xh,

indipendenti e somiglianti che assumono con probabilità ½ i valori -1 e 1.

Distingue la probabilità di rovina nel caso di condizioni eque, in cui gli Xh sono

stocasticamente indipendenti ed hanno speranza matematica nulla, dalla probabilità

di rovina in caso di condizioni non eque, dove la speranza matematica dei guadagni

non è nulla. Nel primo caso, sia

Y1=X1, Y2=Y1+X2, ... ,Yh=Yh-1+Xh=X1+X2+ ... +Xh, ...

il guadagno complessivo nelle prime h partite cosicché l’importo posseduto dopo


le successive partite, sarà G+Y1,G+Y2,...,G+Yh, ... .

Il problema della rovina del giocatore consisterà nella ricerca della probabilità

Ph che almeno uno degli importi

Y1,Y2, ...,Yh

risulti ≤−G oppure della probabilità limite P per h→∞.

Seguendo l’impostazione di de Finetti, si considerino allora due competitori che

partecipano ad un gioco equo. Si indicherà con Yt il guadagno del primo dei

competitori dopo il tempo t; se i capitali iniziali dei due competitori sono G’ e G’’,

si avrà la rovina del primo o del secondo quando Yt uscirà per la prima volta

dall’intervallo -G’<Yt<G’’, rispettivamente divenendo minore di -G’ o maggiore di

G’’.

A un istante t qualsiasi può darsi che la partita prosegua o che sia terminata con

la rovina del primo o del secondo competitore. Siano P*t,P’

t,P’’t le probabilità delle

tre eventualità, si avrà P*+P’t+P’’

t=1 dove P’t e P’’

t sono funzioni mai decrescenti di t

che tenderanno ai due limiti P’ e P’’ che saranno le probabilità di rovina dei due

giocatori; affinché sia P’+P’’=1 sarà necessario e sufficiente che tP 0∗→ al crescere

di t, condizione che sussiste a maggior ragione se vale la condizione più restrittiva

che tenda a zero la probabilità che sia -G’<Yt<G’’, il che avviene quando la

dispersione di Yt cresce indefinitamente. Si avrà anche

P’=G’’/(G’+G’’), P’’=G’/(G’+G’’) (4.1)

cioè P’+P’’=1 (4.2)

P’’G’’-P’G’=0 (4.3)

cioè la probabilità di rovina sarà inversamente proporzionale ai capitali iniziali.


L’ultima relazione esprime l’equità del gioco consistente nella perdita

dell’intero capitale iniziale G’ o G’’ con le probabilità P’ e P’’; essa presuppone

pertanto che il gioco sia equo anche qualora si stabilisca di proseguirlo fino alla

rovina di uno dei due giocatori e che all’istante della rovina di uno di essi non

possa rimanere un margine di perdita insoluto.

Quest’ultima condizione è soddisfatta quando Yt assume valori interi rispetto a

un certo importo assunto come unitario e decresce solo di un’unità per volta, con

G’ pure intero, e anche quando Yt è un processo aleatorio continuo.

Però se tale condizione non venisse soddisfatta basterebbe introdurre un termine

correttivo: dette Δ’ e Δ’’ le speranze matematiche del margine di perdita insoluto,

del primo e del secondo competitore, le probabilità di rovina diverranno

PG

G G' , P''=

G' + 'G' + ' +G'' + ''

''' ''

' ' ' ''=

+

+ + +

Δ

Δ Δ

Δ

Δ Δ (4.4)

con i termini correttivi praticamente trascurabili di fronte a G’ e G’’.

Si è già detto che il gioco deve essere equo anche quando si stabilisca di

proseguirlo fino alla rovina di uno dei giocatori; la condizione necessaria e

sufficiente perché il gioco ad oltranza sia equo è data dall’annullarsi della relativa

speranza matematica ΣhP*hE*(Xh), dove E*(Xh) indica la speranza matematica

dell’hmo colpo subordinatamente all’ipotesi che esso abbia luogo senza che

precedentemente sia avvenuta la rovina di uno dei due giocatori.

Una condizione ancora più restrittiva si ha supponendo che ogni colpo debba

essere equo anche subordinatamente a ciascuna delle ipotesi possibili sul risultato

delle partite precedenti; questa è condizione necessaria e sufficiente se si vuole che


il gioco sia equo anche stabilendo che la facoltà di interromperlo sia lasciata in un

modo qualunque alla decisione unilaterale dei due competitori.

Quando si fa tendere ad infinito G’’, P’ tenderà ad uno; si ha così la classica

conclusione che la rovina di chi gioca contro un avversario infinitamente ricco è

alla lunga praticamente certa.

Per gioco equo, a questi effetti, si potrebbe intendere anche un processo non

omogeneo o anche ad incrementi non indipendenti purché a previsione nulla

subordinatamente a qualsiasi andamento passato; si ricordi che tali processi sono

chiamati martingale; si pensi, ad esempio, al gioco di Testa o Croce con puntate

fatte dipendere in modo qualunque dai risultati precedenti. In tali ipotesi sarà

sempre equo il modo di partecipazione al gioco decidendo di sospenderlo in

qualsiasi istante al verificarsi di una qualsiasi circostanza quale anche la rovina.

Si consideri adesso un gioco non equo, qual appunto è il caso di un’impresa ove

sia riservato un vantaggio al banco; in altri termini si consideri una compagnia di

assicurazioni che disponga di un margine di caricamento per fronteggiare il rischio

degli scarti sfavorevoli.

Il caso dei giochi non equi si riconduce al precedente, con un artificio che risale

a de Moivre, osservando che la probabilità di rovina di due competitori che

dispongono di un certo numero di lire ciascuno, e partecipano a un gioco in cui ad

ogni colpo uno di essi perde o guadagna una lira, non varia se le lire si

sostituiscono con dei gettoni cui si attribuisce un valore arbitrario anche variabile, e

che è possibile fissare la scala di tali valori variabili in progressione geometrica in

modo che il gioco appaia equo; in tal modo si ritrova la formula (4.1) purché G’ e


G’’ rappresentino il valore dei “gettoni” in tal senso fittizio.

Nel nostro caso si tratta di eseguire una trasformazione esponenziale attribuendo

al guadagno Yt il valore eαYt-1, ciò che corrisponde ad attribuire ad un ulteriore

guadagno dy, dopo che il guadagno precedente è y, il valore eαydy. Fissando

opportunamente il coefficiente α, la trasformazione si riconduce ad un gioco equo

e permette di ricondursi alla trattazione precedente.

L’equazione che dà α deve esprimere che E(eαYt-1)=0 ossia ϕt(α)=1 dove, con

una leggera modifica rispetto alla terminologia usuale ϕt(α)=E(eαYt) è la f.c. del

guadagno Yt; il valore di α è così univocamente determinato poiché ϕt(α)-1 è una

funzione concava ed ha un’unica radice, oltre quella ovvia per α =0; α ha segno

opposto rispetto alla speranza matematica, ossia è negativo o positivo a seconda

che le condizioni sono a favore o a sfavore del primo competitore: infatti E(X) è la

derivata di E(eαX-1) per α=0, e l’altra radice si troverà necessariamente a sinistra di

α=0 se E(X)>0 o a destra se E(X)<0. È necessario anche che α non dipenda da t,

perché il gioco deve risultare equo adottando un’unica trasformazione, ossia un

unico α, in quanto α caratterizzerà, nel caso assicurativo, il grado di rischiosità di

un’operazione, e se le singole polizze sono stocasticamente indipendenti ed hanno

lo stesso grado di rischiosità corrispondente ad un dato valore di α, lo stesso

avverrà per il loro complesso.

Se X e Y sono v.a. stocasticamente indipendenti ed è, per un medesimo valore

di α, E(eαX)=E(eαY)=1 si avrà anche :


( )( )E e X Yα + = E(eαX eαY)=E(eαX)E(eαY)=1

e lo stesso vale analogamente per la somma di un numero qualunque di variabili

aleatorie.

Si può sostituire alla troppo restrittiva condizione di indipendenza stocastica

quella che eαY abbia speranza matematica uguale ad 1 anche subordinatamente a

qualsiasi ipotesi circa il valore di X; in altri termini ogni singola operazione avrà

sempre il medesimo grado di rischiosità indipendentemente dall’esito delle altre.

Indicando infatti con Ex(eαY) la speranza matematica di eαY subordinatamente che

X assuma un dato valore x, e supposto che sia Ex(eαY)=1 per ogni x, si ha:

E(eα(X+Y))=E(eαX eαY)=E(eαXEx(eαY))=E(eαX)=1 (4.5)

Alla (4.3) dovremo sostituire, sostituendo rispettivamente alle variabili G’ e G’’ le

loro trasformate e -αG’-1 ed e -αG’’-1, l’equazione:

P’(e-αG’-1)+P’’(eαG’’-1)=0

che insieme alla (4.2) ci darà

( ) ( )P' e

e 11e

, P''='e 1

1eG'

G''

G' G''

G

G' G''=

−

−

−

−+ +

α

α

α

α

α (4.6)

Nel caso in cui uno dei due capitali iniziali sia enormemente più grande dell’altro,

si avrà P' 1≅ se a>0, se invece a<0 sarà P'≅eαG’.

de Finetti (1939) pervenne pertanto alla seguente conclusione: “la rovina di chi

gioca indefinitamente contro un avversario infinitamente ricco è praticamente

certa se egli gioca a condizioni eque o sfavorevoli, mentre invece se le condizioni

sono non eque a suo favore egli ha una probabilità non nulla di sfuggire alla

rovina purché disponga di un capitale iniziale, ed anzi la probabilità di rovina


tende a zero, decrescendo in progressione geometrica, al crescere di tale capitale

iniziale”.

Posto B=-1/α, si avrà P’=eG’/B, dove B, che verrà detto “livello di rischiosità”,

sarà il valore del capitale iniziale G’ cui corrisponde per la probabilità di rovina P’

il valore 1/e.

2.4.1-Problemi di assorbimento

Il modello precedente si presta anche ad un’altra interpretazione: si pensi ad un

punto mobile sugli interi di una retta, che può spostarsi casualmente di una unità

avanti o indietro, successivamente e indipendentemente; il moto si fermerà quando

il punto mobile arriverà alla posizione 0 o n; si parlerà allora di passeggiata

aleatoria con barriere assorbenti.

A titolo di semplificazione si consideri un giocatore A che disponga

inizialmente di un capitale a intero che ingaggi una partita contro B che invece

dispone di un capitale b=n-a, vincendo o perdendo ad ogni colpo una somma

unitaria a seconda che nel colpo si verifichi successo o insuccesso; si assuma che la

probabilità di successo ad ogni colpo sia p. Si tratta di valutare la probabilità che

verrà indicata con p(a), che il patrimonio di A scenda a zero, e salga quindi ad a+b

quello di B, ovvero che B rovini A.

Seguendo l’impostazione di Daboni (1970), con q(a) verrà invece indicata la

probabilità che A rovini B, cioè che il patrimonio di A salga ad a+b e che scenda a

zero quello di B.

In termini di passeggiata aleatoria si tratterà di valutare la probabilità, che una


particella posta inizialmente in un punto x=a raggiunga nel suo moto il punto x=0

prima di raggiungere il punto x=a+b. Quando questa perverrà in uno dei due punti

la passeggiata si arresterà e la particella sarà assorbita in x=0 o in x=a+b.

L’analogia con la condizione che nel gioco un competitore sia infinitamente

ricco è tradotta nell’esigenza di un unica barriera assorbente; nell’interpretazione in

termini di gioco, a e b sono interi positivi mentre in quella del moto aleatorio lungo

le ascisse intere di un asse esse sono interi relativi e di segno concorde.

Si hanno i seguenti risultati: la particella è posta inizialmente in x=a e il moto

avviene verso a+1 con probabilità p, o verso a-1 con probabilità q; se x=0 sarà

l’unica barriera assorbente il moto certamente si arresterà prima o poi se a>0 e p≤q

(0 a<0 e q≤p).

2.4.2-Previsione di durata

Si può valutare la speranza matematica della durata del gioco, ossia della durata

della passeggiata in presenza di barriere assorbenti. La particella sarà posta

inizialmente in x e la barriere assorbenti saranno poste in x=0 e x=a+b

(0<x<(a+b)). Uscendo da x un primo passo potrà portare in x+1, evento E con

probabilità p, o in x-1; sia Tx la v.a. durata della passeggiata uscente da x. Si ha

E(Tx)=E(T E) p+E(T E) q=pE(1+Tx+1)+qE(1+Tx-1) (4.7)

ovvero indicando con Mx la speranza matematica della v.a. Tx, sarà

Mx=1+pMx+1+qMx-1 . (4.8)

Quest’ultima è una equazione alle differenze finite, del secondo ordine,

completa, la cui soluzione generale si ottiene sommando alla soluzione generale


dell’equazione alle differenze finite omogenea associata una soluzione particolare

della completa. Si distinguono due casi: p=q=1/2 e p≠q.

Sia p=q=1/2; la speranza matematica della durata della passeggiata uscente da x

diventa

x x 1 x 1M 11

2M

1

2M= + ++ − (4.9)

la cui soluzione particolare è la successione -x2 e le soluzioni indipendenti

dell’omogenea associata sono: 1, x. Pertanto la soluzione generale è data dalla

Mx= -x2+C1+C2x. (4.10)

Nel secondo caso, cioè p≠q, una soluzione particolare è la successione x

p q−,

mentre le soluzioni particolari dell’omogenea associata sono: 1, (q/p)x, sicchè la

soluzione generale (dell’equazione alle differenze finite completa) è

x 1 2

x

Mx

q pC C

q

p=

−+ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ . (4.11)

Dalle (4.10) e (4.11), tenendo conto anche delle condizioni ai limiti M0=0 e

Ma+b=0, si perviene al sistema

( )( )

xx

a b

M

x(a b x) se p q

x

q p

a b

q p

1 q / p

1 q / p se p q

=

+ − =

−−

+

−⋅

−

−≠+

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

(4.12)

cioè, in termini di gioco, se i capitali iniziali sono rispettivamente a e b e il gioco è

equo, la speranza matematica della durata è a b⋅ . In altri termini, secondo Daboni,

sono necessari, ad esempio, 1000 colpi in media affinchè il giocatore che dispone

di un capitale di 1000 lire vinca la partita contro un avversario che possiede una


unica lira.

Si è dimostrato come in un gioco equo il giocatore che disponga di un capitale

iniziale finito e giochi senza possibilità di credito contro un avversario

infinitamente ricco, si rovina certamente prima o poi.

Capitolo III

L’impresa di assicurazione

3.1-Assicurazioni sulla vita ............................................................................ 32

3.2-Riserva matematica .................................................................................. 37

3.3-L’assicurazione come operazione finanziaria vantaggiosa ....................... 40

3.4-Caricamenti e premi di tariffa .................................................................. 43

3.5-Principi di calcolo del premio................................................................... 44

3.5.1-Proprietà ................................................................................................ 48

3.6-Classificazione dei rischi, credibilità e valutazioni in base

all’esperienza ....................................................................................................... 49

3.6.1-Approccio Bayesiano ...................................................................... 50

Capitolo III

L’impresa di assicurazione

Secondo de Finetti (1967), <<l’assicurazione, intesa in senso di operazione

liberamente accettata in quanto ritenuta vantaggiosa per tutti i contraenti, è in effetti un

rimedio contro fatti e situazioni incerti, reso possibile proprio grazie alla loro incertezza.

E’ possibile provvedere ai “bisogni eventuali” proprio perché ed in quanto sono

“eventuali”, ossia “imprevedibili”>>. È, pertanto, solo grazie all’assicurazione che

l’esercizio di molte attività diviene possibile in quanto è proprio l’assicuratore che

consente lo spezzettamento della proprietà di un complesso di beni senza spezzarne

l’unitarietà di trattamento e di gestione nei riguardi dell’elemento rischio.

3.1-Assicurazioni sulla vitaErrore. Il segnalibro non è definito.

Si può definire l’assicurazione sulla vita come uno speciale contratto, che prevede la

copertura di un determinato rischio, mediante il quale l’assicuratore, si obbliga dietro

pagamento di un premio -commisurato all’entità del risarcimento e alla probabilità del

verificarsi dell’evento- a risarcire l’assicurato, nei modi e nei limiti stabiliti pagando una

somma al verificarsi di un evento che ha attinenza con la vita umana.

Si possono avere assicurazioni in caso di vita, e in particolare rendite vitalizie, ed

assicurazioni per il caso di morte; nella fattispecie, con la stipulazione di un contratto

sulla vita umana, l’assicuratore si obbliga a pagare un capitale o una rendita all’assicurato

L’impresa di assicurazione 33

o ai suoi eredi, in caso di morte o di sopravvivenza dell’assicurato stesso.

All’impresa assicuratrice per accettare la copertura di un rischio, necessitano due

elementi:

1)La conoscenza della probabilità dell’evento da assicurare o perlomeno una sua stima

attendibile;

2)L’esistenza di un portafoglio, ossia l’esistenza di un numero sufficientemente

grande di assicurazioni indipendenti; cioè l’impresa non può assicurare un solo rischio,

ma deve acquisire un numero di rischi indipendenti tale per cui, in base alla legge dei

grandi numeri, sia resa possibile una frequenza relativa di sinistri all’incirca uguale a

quella della probabilità stimata.

La prima condizione permette all’impresa di calcolare in modo equo il premio di

assicurazione. Essa è verificata quando le frequenze dell’evento dannoso considerato si

comportano come le frequenze di un evento aleatorio. Formalmente il rischio allora può

essere assimilato ad un evento aleatorio la cui probabilità di verificarsi in una prova è

espressa dalla frequenza ricavata statisticamente, ossia dall’esperienza su un grande

numero di casi omogenei.

L’entità dell’impegno dell’impresa assicuratrice è pertanto esprimibile da una v.a. che

può assumere il valore uguale al capitale assicurato. Nel gioco equo deve valere il

principio di equivalenza, secondo cui la speranza matematica delle prestazioni

dell‘assicurato, E(X), deve essere uguale alla speranza matematica delle prestazioni

dell'assicuratore, E(Y). Tale valore medio, come è noto, è dato dalla somma dei valori che

essa può assumere ciascuno moltiplicato per la corrispondente probabilità.

Volendo generalizzare i concetti su esposti, si considerino un gruppo di individui tutti

esposti al rischio che si verifichi l’evento E, evento che determina un bisogno per il


soddisfacimento del quale necessita al singolo una somma, il cui valore espresso in

termini monetari, V, sarà la somma assicurata; si supponga nota la probabilità ϕ(E) che

l’evento si verifichi, probabilità detta tasso di premio puro

Il costo P che ciascun individuo dovrà sopportare sarà dato da:

P=Vϕ(E)>1 (1.Errore. L'argomento

parametro è sconosciuto.)

che è chiamato premio puro di assicurazione. Infatti, la probabilità ϕ(E) verrà

determinata come valore della frequenza relativa υ/n, ricavata da esperienze precedenti

su un numero n di individui abbastanza grande affinché sia valida la legge empirica del

caso. E se si avesse avuto la possibilità di sottoporre l’evento E anzichè ad una serie di n

prove ad una infinita serie di prove, la prima delle quali formata da n1 prove, la seconda

da n2 prove e così via, avremo trovato le frequenze relative

1

1

2

2

r

rn,n

, ... ,n

,υ υ υ ...

tutte uguali approssimativamente a ϕ(E) e quindi approssimativamente uguali fra di loro

purchè i numeri n1,n2, ..., nr,... fossero stati abbastanza grandi. La (1.1) pertanto può

scriversi

P Cn

r

r

=υ

( 1.Errore.

L'argomento parametro è sconosciuto. )

ove il generico numero nr sta a rappresentare il numero degli individui, qualunque esso

sia purchè abbastanza grande, esposti al rischio che si verifichi l’evento E e per i quali si

intende determinare il costo di assicurazione. La (1.2) scritta nella forma

P Cr rn u= ( 1.Errore.

L'argomento parametro è sconosciuto.)


significa che il premio P pagato da ciascuno degli nr assicurati è necessario e

sufficiente per corrispondere a ciascuno dei υr sinistrati la somma C. Se ϕ(E)=0 l’evento

sarà impossibile, non vi sarà la necessità di assicurarsi e quindi il costo sarà uguale a

zero; se ϕ(E)=1 l’evento sarà certo, colpirà indistintamente tutti gli assicurati, ciascuno

dei quali dovrà sopportare l’intero danno V del proprio sinistro ed anche in questo caso

non esisterà la necessità di assicurarsi; pertanto, il costo puro dell’assicurazione

dipenderà dalla probabilità di verificarsi dell’evento coperto e mai dal numero degli

assicurati.

La (1.1) è valida se non vengono considerati i fattori di carattere finanziario, cioè gli

interessi, in relazione al tempo intercorrente tra il momento in cui si paga il premio e

quello in cui si riscuote l’assicurazione. Tenendo conto di tale periodo di tempo, che si

considera fisso e uguale a t anni, se si adotta il regime di capitalizzazione composta,

sostituendo nella (1.1) a V il suo valore attuale vtV con v=1/(1+i), dove i è il tasso

effettivo annuo d’interesse, si avrà:

( )0tP E V= ϕ v (1.Errore.

L'argomento parametro è sconosciuto.)

e sarà ovviamente, Po<P.

L’esistenza del portafoglio è necessaria all’impresa per realizzare una frequenza di

sinistri all’incirca uguale alla probabilità assunta per il calcolo del premio. I singoli rischi,

inoltre, dovranno essere tra loro indipendenti nel senso che il verificarsi di un evento

coperto da assicurazione non dovrà determinare o comunque non dovrà influenzare la

determinazione di un sinistro in altra forma assicurativa o in altro rischio. Altra

condizione indispensabile è che le somme assicurate con i singoli contratti non presentino

una varianza troppo elevata affinchè si possa realizzare quella compensazione dei rischi


che è il fondamento del procedimento assicurativo.

Naturalmente nella realtà il problema non si presenta così semplice; le varie forme di

assicurazione normalmente adottate presentano impostazioni più o meno complicate.

Le assicurazioni vita vengono abitualmente abbinate ad operazioni di risparmio. Di

per sè la componente assicurativa, o componete rischio, non presenta differenze con gli

altri casi: la differenza essenziale è la presenza della componente risparmio e di

conseguenza il fatto che l’operazione abbia una lunga durata.

Tecnicamente, ciascun premio annuo viene scomposto in due parti: una detta premio

di risparmio, destinato alla costituzione di un fondo detto riserva matematica della

polizza, il cui valore, tenuto anche conto degli interessi prodotti dall’investimento delle

somme, cresce da zero, alla stipulazione del contratto, fino al valore del capitale

assicurato, alla scadenza del contratto stesso. Il premio di risparmio si può immaginare

impiegato in un conto bancario, dove con gli interessi (al tasso convenuto per

l’operazione, che si dice interesse tecnico), costituiscono, come montante ad ogni anno, la

riserva; in altre parole la riserva è data dai “premi di risparmio capitalizzati”.

L’altra parte, detta premio di rischio ha la medesima funzione del premio di

assicurazione per la durata di un anno già considerata e, cioè, serve ad assicurare in caso

di sinistro, il cosiddetto capitale sotto rischio, ossia quella somma che, aggiunta alla

riserva matematica già accumulata, forma il “capitale assicurato” da corrispondere al

beneficiario. É in breve come se uno facesse dei versamenti in banca, e, a parte, anno per

anno, un’assicurazione a premio di rischio per integrare nella misura desiderata ciò che

gli eredi riceverebbero complessivamente in caso di sua morte. In caso di vita alla

scadenza (se esiste) egli ritirerebbe il montante del conto bancario, che avrebbe raggiunto

il prefissato capitale assicurato per il caso di vita.


L’introduzione degli interessi nello svolgimento del contratto impone, nel computo del

premio, di tenere conto, oltre che della previsione sulla mortalità futura, ipotesi

demografica, anche di quella sul reddito futuro degli investimenti, ipotesi finanziaria; il

premio così determinato costituisce il premio puro, quel premio, cioè, in base al quale,

ove la mortalità degli assicurati risultasse identica a quella prevista ed il saggio di reddito

degli investimenti pari al saggio dell’ipotesi finanziaria, i conti dovrebbero perfettamente

pareggiare.

Tale impostazione non tiene ancora conto delle spese che l’impresa deve sostenere per

l’acquisizione e la gestione dei contratti, e pertanto per pervenire ai premi di tariffa

effettivamente corrisposti all’assicurato, i premi puri devono essere opportunamente

caricati.

3.2-Riserva matematica

Si sono finora esaminati i problemi probabilistici e finanziari che si pongono all’atto

della stipulazione di un’assicurazione sulla vita. La valutazione all’origine delle

prestazioni dell’assicuratore consente di calcolare, secondo il criterio della speranza

matematica, la contropartita, premio unico puro, atta a rendere equa l’operazione.

Si pone un’altro insieme di problemi se si vogliono esaminare gli aspetti dinamici

dell’assicurazione, connessi cioè al suo esistere nel tempo; problemi che possono

scaturire dal verificarsi di fatti che potrebbero interrompere il normale decorso del

contratto -ad esempio la cessazione della corresponsione dei premi annui o la modifica

della forma assicurativa -o che possono semplicemente riguardare una valutazione del

contratto assicurativo in un generico istante della sua esistenza.

La riserva matematica è quella frazione di premi di competenza degli esercizi


precedenti che dovrà essere accantonata per mantenere l’equivalenza finanziaria tra gli

impegni attivi dell’impresa e quelli passivi, essendo il premio annuo costante maggiore

del premio naturale nei primi anni di contratto ed inferiore negli ultimi.

Il calcolo della riserva matematica può essere effettuato con due diversi procedimenti:

-Metodo prospettivo, mediante il quale la determinazione viene fatta per differenza fra

il valore attuale medio degli impegni futuri dell’assicuratore e il valore attuale medio

degli impegni futuri dell’assicurato;

-Metodo retrospettivo, secondo cui, invece, la determinazione viene fatta per

differenza tra il valore degli impegni già soddisfatti da entrambe le parti, riferiti al

momento della determinazione della riserva.

Entrambi i metodi condurranno allo stesso risultato.Occorrerebbe riferirsi sempre alla

“riserva prospettiva effettiva”, mentre la riserva, nell’accezione consueta, ne costituisce

una versione semplicistica. La differenza sta nel fatto che la riserva si riferisce a una

valutazione fatta in base allo stato di informazione esistente all’inizio dell’assicurazione,

al momento della sua stipulazione, con l’aggiunta della sola ipotesi di sapere che

all’istante della valutazione l’assicurato è ancora in vita; per valutare la riserva

prospettiva effettiva si dovrà invece tenere conto di tutte le successive informazioni

eventualmente possedute e magari cercando di ottenere nuove informazioni al riguardo.

Infatti, ciascuna delle due operazioni -quella di puro risparmio e quella di puro rischio-

risulta equa in base alla valutazione all’inizio; per la prima si tratta di corrispondere ogni

anno sul montante l’interesse tecnico; per la seconda si tratta di assicurare anno per anno

il capitale sotto rischio al tasso di premio giudicato equo per quell’anno nella valutazione

fatta all’inizio.

Si può pertanto concludere che quando le valutazioni di probabilità divergono da


quella iniziale la riserva prospettiva effettiva della componente rischio non è nulla. È

nulla la riserva nel senso consueto, calcolata in base alle probabilità valutate inizialmente,

perchè per costruzione il premio di ogni anno serve a coprire il rischio dello stesso anno.

La riserva prospettiva è negativa se si tratta di assicurazione caso morte e le

probabilità di morte sono migliorate, o viceversa, se si tratta di assicurazione caso vita e

le probabilità di morte sono peggiorate.

Si consideri una polizza assicurativa che consiste di una successione di vettori casuali

Z0,Z1,Z2,... e di una successione di v.c C0,C1,C2 ... tali che Ck è funzione di Hk=(Z0, ...

,Zk); Hk rappresenteranno tutte le rilevanti informazioni disponibili fino al periodo k e Ck

saranno i costi che la compagnia sosterrà nel periodo k a causa della polizza; pertanto, Ck

rappresenterà gli indennizzi pagabili ai proprietari delle polizze, più le spese meno i

premi ricevuti; sia i il tasso di interesse e v il corrispondente fattore di sconto. Nel seguito

tutte le v.c. indicate con k saranno funzioni di Hk.

La riserva iniziale al tempo k sarà

[ ]kt

t 1k t kV E C H k 0,1,2,....=∑ =

=

∞

+v , (2.1)

pertanto, secondo il metodo prospettivo, Vk sarà definito come l’attuale valore atteso dei

costi futuri. Sia

L Ctt 0

t=∑=

∞

v (2.2)

il valore attuale delle perdite globali che risultano dalla polizza. Sia Lk il valore futuro di

L nel periodo k

[ ] [ ]k kt

t 0

k

tt

t k 1t k

t

t 0

k

tk

k

L E L H C E C H

C V

= =∑ + ∑ =

=∑ +

= = +

∞

=

v v

v v .

(2.3)


{Lk} è una martingala rispetto a {Zk}. Si considerino ora gli incrementi del processo {Lk}

X0=L0=C0+V0

Xk=Lk-Lk-1=vk {Ck+Vk - (1+i)Vk-1} per k≥1.

Xk è interpretato come l’attuale valore atteso delle perdite che si verificano nel periodo k.

Pertanto si avrà

[ ] [ ]Var L Var Xk tt 0

k

=∑=

(2.4)

che è la celebre formula di Hattendorf, dalla quale viene sviluppato il modello di rischio

classico. Seguirà che

[ ] [ ]kt

t 1

h

k t kh

k h kV E C H E V H , per k 0 e h 1=∑ + ≥ ≥=

+ +v v (2.5)

e nel caso in cui h=1 si avrà

(1+i)Vk=E[Ck+1 kH ]+E[Vk+1 kH ] (2.6)

che può essere utilizzata per calcolare le riserve. Per t=1,2,..., sia

[ ]t t t t 1 t t

t 1 t t

K E C V H C V

(1 i)V C V

= + − − =

= + − −

−

−

(2.7)

che è il costo di assicurazione basato sull’ammontare netto di rischio nel periodo

compreso tra t-1 e t. Riscrivendo la (2.7) nel modo seguente

Vt - (1+i)Vt-1= - Ct-Kt (2.8)

moltiplicando per (1+i)k-t e sommando per t da 1 a k si ottiene la formula retrospettiva

( ) ( )

( ) ( ) ( )

k

k t

t 1

k

tt 1

k k t

tk

0

t 0

k k t

tt 1

k k t

tk

0

V (1 i) C 1 i K 1 i V

1 i C 1 i K 1 i L

=− +∑ − +∑ + + =

=− +∑ − +∑ + +

−

= =

−

=

−

=

− (2.9)

e si avranno i premi puri se sarà L0=0.


3.3-L’assicurazione come operazione finanziaria vantaggiosa

La teoria dell’utilità attesa trova una immediata applicazione nel campo delle

assicurazioni. Un’assicurazione è fondamentalmente un’operazione finanziaria

consistente nel ridurre, o possibilmente annullare l’aleatorietà del valore monetario di un

certo bene a rischio. Una operazione finanziaria equa, consistente nello scambiare un

importo aleatorio con un importo certo uguale al suo valore atteso, è vantaggiosa per

l’individuo che la effettua, in quanto preferirà scambiare una operazione aleatoria con

un’operazione certa, e continuerà ad essere tale anche se l’individuo sarà chiamato a

pagare un sovrapprezzo, o caricamento, “non troppo elevato”. Per essere più precisi ci si

riferirà ad un esempio concreto.

Si consideri un individuo avverso al rischio, che possiede un capitale certo c e un bene

positivo a rischio X e si supponga che il valore massimo di X, cioè il valore se fosse

esente da rischio, sia finito e uguale a xm; in altri termini l’individuo avrà un capitale

X1=c+X e sarà esposto ad un danno aleatorio D=xm-X con 0<D<xm. Se stipula una

polizza assicurativa che gli garantisce il rimborso integrale del danno dietro il pagamento

di un premio pari alla speranza matematica di tale rimborso, cioè pari a E(D), egli effettua

una operazione equa consistente nel garantirsi un capitale X2 uguale alla speranza

matematica del capitale X1. Infatti

X2=c+X+D-E(D)=c+X+(xm-X)-[xm-E(X)]=c+E(X) (3.1)

ed è ovviamente c+E(X)=E(X2)=E(X1); il premio puro, poichè l’operazione assicurativa

risulterà equa, sarà

P=E(D)=xm-E(X). (3.2)

Ovviamente per l’individuo in questione tale operazione sarà oltre che equa anche

vantaggiosa, in quanto preferirà certamente scambiare una operazione aleatoria con una


certa; infatti per la disuguaglianza di Jensen si avrà

E[u(X1)]≤u[E(X1)] (3.3)

ed essendo X2=c+E(X) una v.a. degenere sarà anche

E[u(X2)]=E{u[c+E(X)]}=u[c+E(X)]=u[E(X1)] (3.4)

per cui

E[u(X1)]≤E[u(X2)]. (3.5)

Ovviamente l’operazione rimarrà vantaggiosa anche se l’individuo pagherà un

sovrappremio, il caricamento da rischio, espresso come una percentuale ρ del premio

puro s=ρp inferiore ad un valore s* che rappresenta la soglia di indifferenza ovvero il

livello per cui la disuguaglianza diventa un’uguaglianza; ρ sarà il tasso di caricamento e

il premio globale, premio caricato, sarà

π=p+s=(1+ρ)p.

L’individuo assicurerà pertanto l’importo

X’2=c+X+D-(1+ρ)E(D)=c+E(X)-ρE(D)

ed essendo

E(X’2)=c+E(X)-ρE(D)=E(X1)-ρE(D)

l’operazione non sarà più equa ma sfavorevole, pertanto l’individuo accetterà di passare

in un posizione finanziaria con valore atteso E(X’2)<E(X1) e sarà disposto a pagare il

caricamento.

s=ρE(D)=E(X1)-E(X2). (3.6)

Il tasso massimo di caricamento accettabile sarà tale che

E[u(X’2)]=E[u(X1)] (3.7)

cioè

u[c+E(X)-ρ*E(D)]=E[u(X1)]. (3.8)


de Finetti (1957) dimostra che il contratto di assicurazione può essere vantaggioso per

entrambi i contraenti purchè l’avversione al rischio della compagnia sia minore di quella

dell’assicurato; in ogni caso, la differenza tra le avversioni al rischio comporterà che

l’operazione di assicurazione sarà vantaggiosa per il contraente nonostante il caricamento

e sarà vantaggiosa per la compagnia grazie al caricamento.

3.4-Caricamenti e premi di tariffa

Si è già sottolineato come una compagnia che pratichi condizioni pure subirebbe, a

fronte della stipulazione di un contratto, una diminuzione della propria utilità, cioè il

gioco equo in termini di speranza matematica, sarebbe svantaggioso in termini di utilità

attesa, in quanto significherebbe per la compagnia “giocare”, appunto in condizioni di

equità, contro un “avversario” infinitamente ricco, essendo il pubblico di assicurati

potenzialmente infinito.

Inoltre, la compagnia nell’esercizio della propria attività và incontro a spese di vario

tipo che da sole porterebbero ad un risultato economico mediamente negativo. Si profila

dunque la necessità di operare non più a condizioni pure bensì provvedendo ad adeguati

caricamenti dei premi che consentano sia di far fronte alla rischiosità delle operazioni

assicurative sia di coprire mediamente le spese.

Al momento della stipulazione del contratto, a priori il valore medio della variabile

aleatoria utile sarà nullo, essendo proprio in base a tale condizione che, per l'equità del

contratto, viene determinato il premio.

Per soddisfare la prima esigenza, al premio puro si aggiungerà un caricamento di

sicurezza per il rischio; si distingue pertanto un caricamento implicito che, per quanto

concerne l’aspetto finanziario, si determina mediante fissazione di tassi contrattuali


inferiori a quelli di rendimento mediamente conseguibili dagli investimenti realizzati a

copertura delle riserve matematiche; è fissato in sede di determinazione dei premi puri,

che risultano così non più equi ma favorevoli alla compagnia; non si esclude comunque,

la possibilità di operare, in alternativa o in aggiunta al caricamento implicito, un

caricamento esplicito, che, per una fissata forma assicurativa, è allora assegnato

d’ordinario in funzione dell’età iniziale dell’assicurato e della durata dell’assicurazione.

Allora se nella valutazione degli impegni si tiene conto del suddetto caricamento,

esplicito o implicito, il valore medio, a priori, dell'utile non sarà più nullo, ma esprimerà il

valore attuale medio del margine derivante dai caricamenti di sicurezza e da considerare

disponibile per la copertura di eventuali scarti sfavorevoli.

Alla seconda esigenza si fa fronte mediante i caricamenti per spese. Che possono

essere grossolanamente fissati in via forfettaria, ponendoli uguali a una certa percentuale

del premio puro, oppure in base a precisi criteri di ordine tecnico-attuariale.

L’importo ottenuto sommando al premio puro già comprensivo del caricamento

implicito di sicurezza, o al premio puro già incrementato dell’eventuale caricamento

esplicito, è chiamato premio di tariffa o premio caricato che è, a meno di eventuali spese,

il premio effettivamente pagato dal contraente.

3.5-Principi di calcolo del premio

Il premio è un ammontare fissato di denaro richiesto dall’assicuratore per la copertura

di un determinato rischio. Matematicamente, definendo il rischio sopportato

dall’assicuratore con una v.a. S, è una funzione, indicata con H, che assegna un numero

reale, il premio, a un dato rischio, simbolicamente P=H(S;θ); dipende dalla distribuzione

di S e dal parametro θ, che riflette le condizioni economiche, come la ricchezza iniziale e


l’attitudine al rischio dell’assicuratore; l’interpretazione pratica di questa definizione

astratta, secondo Gerber (1979), è che per ogni rischio S, tale principio induce

l’assicuratore a stabilire un premio P=H(S), in modo tale che egli stabilirà di ricevere P e

in cambio effettuerà un pagamento, nel caso in cui si verificherà il sinistro assicurato; in

tal caso il suo guadagno da un tale tipo di contratto sarà una v.c. G=P-S.

Generalmente P(S)>E(S), e la differenza tra i due è il caricamento del premio puro. Se

le spese amministrative non vengono prese in considerazione nel calcolo, la differenza

P(x)-E(x) è il premio di rischio, determinato dalle forze di mercato. Le spese

amministrative non possono essere ignorate, ma sono spesso di natura casuale, e la loro

previsione può essere aggiunta al premio netto; ciò significa che la v.c. S rappresenterà il

costo totale dell’assicuratore.

L’obiettivo essenziale della teoria delle assicurazioni è quello di determinare la

relazione esistente tra i due elementi, cioè come il premio dipende dalle proprietà della

distribuzione di probabilità F(x), associata alla v.c. x=S.

Nella letteratura attuariale contributi essenziali a questo genere di problemi sono stati

dati, tra gli altri, da Gerber (1979), Heilmann (1988), Van Heerwaarden e Kaas (1992).

Buhlmann (1970) e Goovaert (1984) presentano alcuni differenti principi per il calcolo

del premio di assicurazione, molti dei quali vengono comunemente utilizzati in pratica:

-Principio di equivalenza o principio del premio netto: P=E[S]

-Principio del valore atteso, nel quale è previsto un caricamento di sicurezza

proporzionale a E[S]; P=(1+λ)E[S], dove λ>0 è un parametro.

-Principio della varianza, nel quale il caricamento di sicurezza è proporzionale alla

varianza: P=E[S]+αVar[S], con α>0.

-Principio della deviazione standard, dove il caricamento di sicurezza è proporzionale


alla deviazione standard, P=E[S]+β [ ]Var S , con β>0.

-Principio del valore medio. Si consideri una funzione v(x) con derivata prima v’(x)>0

e derivata seconda ( )v'' x 0≥ allora P=H(S) viene definito come soluzione dell’equazione

v(P)=E[v(S)]

oppure

P=v-1(E[v(S)]).

-Principio della perdita massima, dove P=rs è la possibile richiesta di indennizzo

massima.

-Principio dei percentili, secondo il quale P è determinato in modo tale che la

probabilità di una perdita sia uguale a ε, con 0<ε<1 e quindi P sarà la soluzione di

F(P)=1-ε. Ciò significa che P sarà il corrispondente percentile della distribuzione di S. A

meno che F(x) sia una funzione continua e strettamente crescente nell’intervallo di S,

l’equazione per il calcolo di P potrebbe non avere soluzioni; allora P sarà determinato

dalla più generale condizione secondo la quale

( ){ }P min p F p 1= ≥ −ε

dove P sarà il premio più piccolo praticabile affinché la perdita sia al più ε.

-Principio dell’utilità zero, per il quale il concetto di base è sempre quello di praticare

un premio equo, ma l’equità non viene più formulata in unità monetarie, bensì in termini

di utilità di unità monetarie. Si supponga perciò che l’assicuratore assegni la funzione di

utilità u(x) all’eccedenza di x, con −∞< <+∞x allora il premio P per un rischio S sarà

ottenuto dalla soluzione dell’equazione

u(x)=E[u(x+P-S)] (5.1)

che significa che l’utilità del surplus iniziale x dovrebbe essere uguale all’utilità attesa del


surplus che risulta quando S viene assicurato; chiaramente P dipenderà da x, dalla

funzione di utilità e dalla distribuzione di S.

Per calcolare il premio che verrà corrisposto in un determinato istante temporale e per

un particolare valore di x può essere introdotta una nuova funzione u (y)=u(x+y) che

rappresenta l’utilità del guadagno y; la (5.1) diverrà

u (0)=E[u (P-S)]. (5.2)

Nel caso in cui la funzione di utilità sia di tipo esponenziale

u(x)=(1-e-ax)/a, con a>0 (5.3)

la (5.1) avrà la soluzione esplicita

[ ]( )P1a

log E eaS= (5.4)

dove il valore del surplus iniziale non entra nella soluzione. Quest’ultima equazione viene

chiamata Principio esponenziale. Se si considera la f.g.m. di S si ha

P=log(M(a))/a (5.5)

cioè più il premio è grande più grande sarà il parametro a. Per dimostrare ciò si

consideri la funzione P=P(a) per un dato rischio S. Differenziando la (5.5) si ottiene

( )( )( ) ( )P' a

M' a

M aP a / a= −

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪ ; (5.6)

può essere utilizzato lo sviluppo in serie di Taylor intorno all’origine per vedere che

P’(0)=Var[S]/2 (5.7)

moltiplicando la (5.6) per a2 e derivando ambo i membri

( )( ) ( )( )

( )( )

2

2

a P' a aM'' a

M a

M' a

M a′= −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪. (5.8)


Per a=0 questa funzione si annulla. É interessante vedere cosa succede al principio

esponenziale per a 0 e a→ →∞. Nel primo caso lo sviluppo di log(M(a)) intorno ad a=0

insieme con la (2.5) dice che il principio esponenziale si approssima al principio di

equivalenza. Per a→∞ si consideri un arbitrario numero δ>0 e sia Δ=1-F(rs-δ) allora

M(a)≥ Δ exp(a(rs-δ)) (5.9)

che significa che

P(a) ≥ rs-δ+log(Δ)/a. (5.10)

Allora ( )P r 0s∞ ≥ − ∀ ≥δ δ, , ma verrà dimostrato che in generale P≤ sr quindi P ( )∞ =rs e

quindi si può concludere dicendo che per a tendente ad infinito il principio esponenziale

si riduce al principio della perdita massima.

3.5.1-Proprietà

I principi di calcolo del premio devono soddisfare delle proprietà:

-Non negatività del caricamento di sicurezza: per ogni rischio S, deve essere P≥E[S].

-Non eccedenza: il premio non dovrebbe eccedere il profitto massimo possibile,

∀ ≤S, P rs .

-Consistenza: per ogni rischio S e per ogni costante c, deve essere H[S+c]=H[S]+c,

cioè se il profitto cresce con una costante additiva questa costante deve essere aggiunta al

premio.

-Iteratività, se S e X sono rischi arbitrari si ha H[S]=H[H[S X]] che significa che il

premio per il rischio S può essere calcolato in due stadi; prima si calcola il premio per S

condizionato a X applicando H alla distribuzione condizionata di S. Questo premio

condizionato è una funzione di X ed è esso stesso una v.c.

Si applica poi H alla distribuzione di H[S X] ottenendo H[H[S X]].


-Additività: se S1 e S2 sono rischi indipendenti H[S1+S2]=H[S1]+H[S2], cioè il premio

della somma di rischi sarà uguale alla somma dei premi dei singoli rischi.

Di notevole interesse sono anche altre proprietà come la convessità (Deprez &

Gerber, 1985), la robustezza (Kremer, 1986).

Borch (1962) si occupò della proprietà di additività; sviluppando il secondo membro

della (5.4) pervenne ad un’espressione in termini di cumulanti di S.

Solo il principio esponenziale (dell’utilità zero), il principio del premio netto (di

equivalenza) e il principio della perdita massima soddisfano tutte le proprietà anzidette; le

ultime due sono però di uso limitato in quanto la prima non produce un caricamento di

sicurezza, mentre la seconda ne produce uno di dimensioni eccessive. Pertanto, secondo

Gerber (1979), Goovaerts & Taylor (1987), appare più adatto l’utilizzo del principio

esponenziale o dell’utilità zero, nel quale il coefficiente a, nella teoria della rovina, viene

interpretato come un coefficiente di aggiustamento.. Secondo Goovaerts, De Vylder e

Haezendonck (1984) il principio dell’utilità zero soddisfa sempre la proprietà

dell’invarianza per traslazione lineare, ma è additivo e iterativo se e solo se associato ad

una funzione di utilità esponenziale; Goovaerts & Taylor (1987) dimostrano invece che

condizione necessaria e sufficiente affinchè il principio dell’utilità zero sia indipendente

dalla ricchezza iniziale dell’assicuratore è che la funzione di utilità associata ad esso sia

esponenziale.

3.6-Classificazione dei rischi, credibilità e valutazioni in base all’esperienza

Nella pratica assicurativa i rischi vengono categorizzati e classificati rispetto a

differenti fattori, quali, nel caso di una assicurazione sulla vita, l’età, lo stato di salute,

etc...


Si consideri una particolare classificazione e con S si denotino le richieste di

indennizzo di questa classificazione osservate in un dato periodo. Si pone il problema se

il premio per il periodo seguente può essere interamente basato sulle richieste di

indennizzo osservate, ignorando in tal modo l’esperienza delle altre classificazioni. Si

dice che tale categoria di rischi ha credibilità se il premio relativo ad essa può essere

basato solamente sulla sua esperienza.

Per esaminare la credibilità del premio si possono applicare diversi procedimenti

statistico-matematici: si considerino, ad es. una costante k e un livello di probabilità p con

0<k<1 e 0<p<1; una classificazione, secondo Gerber (1979) è detta essere pienamente

credibile se

P{(1-k)E[S]≤S≤ (1+k)E[S]}≥p (6.1)

cioè l’intervallo di S, al livello di probabilità p, ha un’ampiezza più piccola di 2kE[S];

allora, se si utilizzano le richieste di indennizzo osservate per la stima di E[S] e per

calcolare il tasso di premio da applicare, l’errore relativo sarà minore di k100% con una

probabilità di almeno p.

Per implementare tale criterio si assume che la distribuzione di S appartenga ad una

famiglia di distribuzioni note, per cui E[S]=μ e possibilmente non saranno noti gli altri

parametri di questa famiglia. Se la classificazione data non sarà pienamente credibile, si

può utilizzare una media ponderata di S dove i pesi, denotati con z, sono chiamati fattori

di credibilità.

Per il calcolo di z sono state proposti diversi modelli statistici di credibilità parziale

quali l’approccio Bayesiano.

3.6.1-Approccio Bayesiano


Si denotino con S1,S2, ... le richieste di indennizzo che pervengono alla compagnia di

assicurazione in anni successivi; per determinare il premio appropriato che copra le

richieste di indennizzo dell’anno n+1, Sn+1, si assuma che le v.c. Si siano indipendenti e

identicamente distribuite con distribuzione normale di parametri (θ,σ1); si assuma anche

che la distribuzione a priori di θ sia normale con parametri (μ,σ2). Si dimostra allora che

anche la distribuzione a posteriori di θ sarà normale con media e varianza rispettivamente

( ) ( )μμσ σσ σ

σσ σ

σ σS n

nSn

nn

, 12

22

12

22

2 12

22

12

22, ,=

+

+=

+

dove S è la media di S1, ... ,Sn. Quest’ultima può essere scritta anche nella forma

zS +(1-z)μ

dove

zn

1/ n222=+σ σ

è il fattore di credibilità. A questa distribuzione condizionata può essere applicato

qualsiasi principio di calcolo del premio. Se ad es., si usa il principio esponenziale con

parametro a si avrà

[ ]H Sa2n 1 1

2+ = +θ θ σ

e il premio, applicando le proprietà di iteratività e consistenza, diverrà

[ ] [ ] [ ]H S H H S Ha2

n 1 n 1 12

+ += ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= + =θ θ σ

( ) ( )= + +μ σ σS,na2

na2

212

Si considerino adesso il numero di richieste che pervengono alla compagnia in anni


successivi, N1,N2, ... ; si assuma anche che le v.c Ni siano condizionatamente

identicamente distribuite con comune distribuzione di Poisson di parametro θ; si assuma

anche che la distribuzione a priori di θ sia una distribuzione Gamma con parametri α e λ.

Si dimostra che la distribuzione a posteriori di θ sarà nuovamente una distribuzione

gamma con parametri

~α =α+(N1+ ... +Nn), ~λ =λ+n

allora [ ]E N N ,...,N /n 1 1 n+ = ~ ~α λ che può essere scritta nella forma

zN+(1-z)α/λ

dove z=n/(λ+n).

Purtroppo questo approccio ha delle limitazioni notevoli in quanto si riesce a

determinare μ solo in casi particolari, viene a mancare una specificazione più dettagliata

del modello soprattutto per ciò che concerne lo stato di informazione iniziale e la

distribuzione a priori.

Capitolo IV

Teoria classica o asintotica?

4.1-Impostazione classica o asintotica? ................................................ 69

4.2-Teoria classica ................................................................................ 73

4.3-Teoria collettiva ............................................................................. 76

Capitolo IV

Teoria classica o asintotica?

Il problema della determinazione del rischio relativo al complesso di affari di

un’impresa di assicurazioni ha il duplice scopo di studiare il valore della

probabilità che l’impresa subisca nel futuro delle perdite superiori a determinati

livelli e di fornire delle indicazioni riguardo il valore del pieno di conservazione,

cioè della somma massima che l’impresa può assicurare, relativamente ad una data

forma di assicurazione senza compromettere la propria stabilità. Questo problema è

stato studiato secondo due punti di vista differenti, quello classico detto anche

individuale e che ha condotto alla teoria classica del rischio, e quello collettivo o

asintotico dovuto al Lundberg.

4.1-Impostazione classicaErrore. Il segnalibro non è definito. o asintotica?

Il punto di vista classico, nella sua impostazione iniziale, tiene conto del

portafoglio esistente ad un dato istante e delle corrispondenti riserve matematiche

accumulate e, ricerca la probabilità che detto portafoglio alla sua estinzione abbia

dato luogo ad una perdita superiore ad un determinato livello, che viene di solito

commisurato ad un multiplo dello s.q.m. della v.c. sintetizzante la perdita

complessiva. Invece di seguire il portafoglio fino alla sua estinzione, lo si può

considerare solo per un determinato periodo di tempo, per es. un anno, e ricercare

Teoria classica o asintotica 70

la probabilità che alla fine dell’anno la perdita subita non superi un valore

prefissato.

Lundberg, invece, nella sua impostazione collettiva, considera il complesso

degli affari della Compagnia anche nel futuro, facendo quindi una particolare

ipotesi sul suo andamento, e ricerca la probabilità che la perdita non superi, durante

un periodo di tempo infinito, un certo valore prestabilito, costituito da un fondo di

garanzia iniziale; inoltre, le polizze non sono più considerate singolarmente ma

collettivamente, cioè si pongono a base della teoria le v.c. sintetizzanti la perdita

complessiva della compagnia nei successivi periodi di tempo, che nel caso

continuo saranno infinitesimi; tali v.c. sono supposte indipendenti e con una certa

d.d.p. soddisfacente a certe condizioni e inoltre il tasso di interesse è supposto

nullo.

In ogni caso, neanche la teoria collettiva ha trovato applicazione pratica.

Si assuma infatti che la compagnia debba prendere una decisione riguardo al

caricamento di sicurezza e alla riassicurazione; avrà bisogno di un criterio per

confrontare i risultati delle possibili decisioni.

La teoria collettiva suggerisce che si dovrebbe calcolare la probabilità che la

compagnia non arrivi mai al fallimento, posto che la decisione, una volta presa, non

possa essere cambiata. Si dovrebbe allora prendere la decisione che dia il più alto

valore di questa probabilità di arrivo; ma effettivamente non sembra ragionevole

che la compagnia vorrà prendere le sue decisioni seguendo questo criterio, infatti i

presupposti su cui si basa tale impostazione definiscono uno schema che mal si

adatta alla concreta realtà del fenomeno assicurativo.


de Finetti (1939, 1940, 1957), in una importante generalizzazione di tale teoria,

eliminò l’ipotesi del portafoglio costante.

Richiamando il noto problema di de Moivre sulla rovina di un giocatore

d’azzardo in una successione di partite, pervenne allo stesso risultato fondamentale

del Lundberg, dimostrando come tale teoria potesse essere impostata su ipotesi più

generali; inoltre egli dimostrò come la formula del Lundberg rimanga valida anche

considerando le singole polizze purché queste abbiano il medesimo grado di

sicurezza, ciò che può realizzarsi stabilendo per ciascuna polizza un opportuno

caricamento per il rischio. Tale caricamento in prima approssimazione sarà

proporzionale, secondo un dato fattore, al valore medio della v.a. che esprime

l’utile dell’impresa sulla polizza stessa.

La probabilità di fallimento risulterà tanto più piccola quanto più grande

risulterà tale fattore e pertanto quest’ultimo può considerarsi un indice di sicurezza.

La generalizzazione ha tolto così l’impostazione collettiva alla teoria,

conservando ad essa l’aspetto asintotico e ne ha stabilito un legame con la teoria

classica.

Ma la definitiva affermazione della teoria classica si deve all’Ottaviani (1940) il

quale ha dimostrato come l’impostazione asintotica del de Finetti, e quindi anche

quella collettiva del Lundberg, si possano considerare come un caso particolare

della teoria classica, quando alle ipotesi che questa presuppone si aggiungano o si

sostituiscano le ipotesi restrittive considerate nella teoria asintotica.

Dopo aver dedotto lo schema del Lundberg, sotto la forma generale del de

Finetti, dalle considerazioni classiche, mediante l’aggiunta di opportune ipotesi,


l’Ottaviani espone le conclusioni, relativamente all’importanza dello schema del

Lundberg, nei riguardi delle applicazioni della teoria del rischio alla pratica.

Ricordando che le ipotesi del de Finetti riguardano:

1) Un tasso di interesse nullo, ossia gli interessi prodotti dal fondo nel quale

vengono accantonati gli utili o le perdite, vengono per ipotesi destinati ad altri

scopi, e non possono successivamente essere destinati nuovamente per coprire

eventuali ammanchi del fondo. Nel “Il problema dei pieni”, de Finetti (1940)

considera pure il caso in cui gli interessi si aggiungono al fondo, limitandosi però

ad un’analisi di natura qualitativa più che quantitativa; la conclusione cui perviene,

secondo l’Ottaviani è incompleta in quanto tale valore verrebbe a dipendere dalla

composizione del portafoglio e dallo stesso valore del fondo e non potrebbe quindi

essere costante;

2) Un periodo di tempo lungo oltre ogni limite;

3) Polizze presentanti lo stesso indice di rischiosità;

4) Dispersione del guadagno complessivo dei primi n anni crescente oltre ogni

limite al divergere di n.

L’Ottaviani osserva che la probabilità di fallimento non dipende praticamente

dal numero degli affari purché questi siano somma di contratti aventi lo stesso

livello di rischiosità, condizione che pone in evidenza la differenza sostanziale tra

la realtà e lo schema di Lundberg, dovuta all’aver supposto il tasso di interesse

uguale a zero, ipotesi questa che toglie importanza alla considerazione del tempo e

del volume di affari.

Nella valutazione della probabilità asintotica richiesta dalla teoria del Lundberg


sembra fondamentale la considerazione del fattore finanziario, naturalmente

supponendo che gli interessi prodotti dal fondo vadano ad incrementare il fondo

stesso.

Secondo Ottaviani, un’altra importante critica alla teoria asintotica è che essa

considera la probabilità di fallimento entro un tempo lungo oltre ogni limite,

quando invece nella pratica non si può prescindere dall’osservazione del continuo

cambiamento delle condizioni, sia economiche che demografico-finanziario, nelle

quali viene a trovarsi l’impresa.

4.2-Teoria classica

Si consideri un portafoglio di n contratti assicurativi indipendenti, con premi

P1,P2, ... ,Pn e rischi S1,S2, ... ,Sn. Si può definire il rischio dell’intero portafoglio, S,

dall’equazione 212

22

n2S S S ... S= + + + ; il guadagno della compagnia sarà espresso dalla

v.a. G. Se i premi sono determinati con il principio di equivalenza, il valore atteso

del guadagno sarà evidentemente uguale a zero, E[G]=0. Se n è grande, la v.a G,

sotto certe condizioni, sarà, approssimativamente, distribuita normalmente, con

deviazione standard σ. Se la compagnia possiede un fondo di garanzia F, in

aggiunta ai premi raccolti per i contratti, l’espressione

{ }ασ π σ σ

= <− = −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

∫ = −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟−∞

Pr G F1

2exp

12

xx

F2-F

d Φ

darà la probabilità, detta probabilità di rovina, che la compagnia non sia capace di

adempiere ai propri impegni.

Se il fondo F è così grande da rendere la probabilità di rovina più bassa del


livello minimo, la compagnia potrà pagare parte della riserva, come dividendi. Se

invece la riserva è così piccola che la probabilità di rovina eccede il livello

accettabile, la compagnia dovrà ottenere nuovi capitali di garanzia, o dovrà cercare

accordi riassicurativi per ridurre il rischio e tale probabilità di fallimento.

In pratica, i nuovi capitali vengono ottenuti aggiungendo un caricamento ai

premi; se si assume che tale caricamento sia proporzionale al premio puro,

attualmente pagato al premio ε, sarà (1+λ)Pε. Il guadagno atteso sul portafoglio

della compagnia sarà allora E[z]=λp dove P=P1+P2+ .. +Pn. La probabilità di rovina

sarà allora

α= { }Pr G FF P

<− = −+⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟Φ

λσ

.

Nella letteratura attuariale si assume generalmente che il massimo livello

accettabile della probabilità di rovina sia imposto alla compagnia dall’esterno, ad

esempio dalle autorità governative, che lo impongono come condizione di

solvibilità che la compagnia deve rispettare.

La compagnia considererà α come fissato; si assumerà che sia fissato anche il

fondo di garanzia, almeno nel breve periodo. Il problema sarà allora quello di

determinare il caricamento di sicurezza ottimo, λ. Per raggiungere questo scopo,

secondo Borch (1967), si dovranno specificare gli obiettivi della compagnia e le

condizioni a cui si otterranno gli accordi riassicurativi. Il caricamento di sicurezza

λ, potrebbe pure essere considerato come fissato, oppure potrebbe essere

determinato dalla competizione nel mercato o dal controllo governativo. La sola

decisione che la compagnia dovrebbe prendere sarebbe quella di scegliere il


miglior accordo riassicurativo; ciò significherebbe però ridurre la teoria del rischio

a una teoria della riassicurazione, come è stato sottolineato da Borch (1962), che si

occupò di riformulare la teoria classica alla luce dei più moderni modelli

economico-finanziari, dei quali ci si occuperà in seguito.

Il fondamento dell’attività assicurativa sta nella legge dei grandi numeri, ma

comunque il numero di contratti nel portafoglio di una compagnia non è

generalmente grande abbastanza e non si può applicare la legge e ignorare le

deviazioni dai valori attesi.

La teoria del rischio fu sviluppata per analizzare queste deviazioni; la teoria

classica si basa sull’applicazione del teorema del limite centrale, e assume che tali

deviazioni siano distribuite normalmente. Sembra comunque, secondo Borch

(1967), che il numero di contratti sia generalmente troppo piccolo per giustificare

tale assunzione, come è stato sottolineato anche da un gran numero di attuari tra i

quali Cramer nel 1930, secondo cui questa è la principale ragione dei limiti di

applicazione di questa teoria in pratica. Secondo Borch, la critica di Cramer

certamente contiene una buona dose di verità ma vi sono anche altre spiegazioni;

sembra, infatti, che l’ammontare di calcoli richiesti per applicare tale teoria sia

eccessivo e limitativo; oggi con l’avvento dei computer, e l’utilizzo di determinati

metodi di approssimazione, è invece possibile applicare tale teoria anche in pratica.

Alle compagnie di assicurazione viene richiesto di calcolare le loro riserve, e i

valori attesi degli indennizzi da pagare per i contratti posseduti alla fine del periodo

in considerazione. Non sarebbe possibile aggiungere ulteriori calcoli e prevedere

una stima della probabilità che i pagamenti globali degli indennizzi modifichino


l’equilibrio della compagnia; l’utilità pratica di una stima di questo genere sembra

all’autore inutile, e, sebbene ottenuta con larga approssimazione, non può dare una

descrizione completa della situazione della compagnia.

La probabilità di rovina ci dà la probabilità che la compagnia non sia capace di

mantenere fede ai propri impegni sui contratti che possiede in un determinato

periodo di tempo, ma è pur sempre una misura statica; prima che questi contratti si

siano estinti è chiaro che la compagnia ne avrà sottoscritto di nuovi, e questo

potrebbe sostanzialmente cambiare la capacità della compagnia di liquidare gli

indennizzi dei contratti nel portafoglio originale.

Queste considerazioni portano alla conclusione che è necessaria l’introduzione

di una teoria del rischio dinamica, quale quella collettiva sviluppata dal Lundberg.

4.3-Teoria collettiva

Lundberg considera un modello consistente di tre elementi:

-un flusso di premi, P(t) uguale al valore totale dei premi ricevuti nel periodo

(0,t);

-q(n,t), che è la probabilità che arrivino n richieste di indennizzo in tale periodo;

-la distribuzione di probabilità dei singoli indennizzi, G(x), che è la probabilità

che se si presenta una richiesta di indennizzo, l’ammontare da pagare non ecceda x.

Lundberg lavorò con l’assunzione di stazionarietà e indipendenza dal tempo che

porta al processo di Poisson.

( )q(n,t) e

tn!

t

n

= −αα

.

La distribuzione degli indennizzi diventa allora un processo di Poisson composto


( ) ( ) ( )F(x,t) tetn! G x

n

n 0

n= − ∑=

∞α α

.

Il valore atteso del pagamento degli indennizzi, xt, nel periodo (0,t) sarà allora

[ ]E x x F(x,t) txt0

= =∫∞

d α

dove

x x G(x)0

=∫∞

d .

È conveniente scegliere un unità di tempo tale che

E{xt}=t

Sarà chiaramente sempre possibile fare delle trasformazioni della scala temporale,

cosicché i pagamenti attesi di indennizzi in ogni periodo saranno uguali alla

lunghezza del periodo. Ciò significa che l’assunzione di stazionarietà che porta al

processo di Poisson, non sarà necessaria se si lavora con questo “tempo operativo”

trasformato, che è il più ingegnoso concetto esposto dal Lundberg, ma che sembra

anche essere stato il principale ostacolo all’applicazione pratica di questa teoria.

Il principio di equivalenza implica che il premio puro ricevuto dalla compagnia

durante il periodo di lunghezza t deve essere uguale a t, il valore atteso del

pagamento degli indennizzi durante tale periodo. Se c’è un caricamento λ,

l’ammontare del premio ricevuto dalla compagnia durante il periodo dovrà essere

P(t)=(1+λ)t. Si assuma adesso che la compagnia abbia un capitale iniziale S0. Al

tempo t il capitale sarà allora St=S0+(1+λ)t-xt. Ciò significa che l’andamento del

flusso di capitale della compagnia, cioè un incremento o un decremento, è descritto

da un processo stocastico con incrementi indipendenti.

Se il capitale St sarà negativo al tempo t, la compagnia sarà insolvente o

rovinata. Si potrà allora considerare


{ }Pr min S 0t≥

per t appartenete ad un opportuno sottoinsieme della retta reale positiva. Se si

sceglierà un sottoinsieme consistente di un singolo punto si ritornerà alla teoria

classica. L’assicuratore potrebbe suggerire la scelta di un sottoinsieme consistente

di una successione t1,t2, ... ,tn corrispondente agli n prossimi periodi e sarà

interessato alla probabilità che la compagnia sia solvibile in tutti questi periodi,

presumibilmente prendendo provvedimenti se questa probabilità scendesse al di

sotto del livello minimo accettabile.

Capitolo V

La distribuzione degli indennizzi

5.1-Il numero di indennizzi .................................................................. 80

5.2-Totale complessivo di indennizzi ................................................... 86

Capitolo V

La distribuzione degli indennizzi

Nell’esame del nostro problema è fondamentale trovare un modello che

descriva l’andamento degli indennizzi globali, cioè gli arrivi di richieste di

indennizzo ad una compagnia di assicurazioni entro un determinato periodo di

tempo. Se x è una v.c. esprimente gli indennizzi in uscita in un dato periodo di

tempo, si può scrivere

{ } ( )P X x F x , 0<x<≤ = ∞ e il problema è quello di determinare F(x).

Si può considerare il numero delle richieste di indennizzo e assumere, che la

distribuzione di probabilità della grandezza del singolo indennizzo sia indipendente

dal numero di indennizzi che si presentano alla compagnia.

L’arrivo di un indennizzo globale è costituito da due eventi indipendenti: il

numero di indennizzi singoli, e il suo ammontare.

5.1-Il numero di indennizzi

Il comportamento della v.a. numero di indennizzi N può essere descritto in

termini della sua distribuzione di probabilità, che è determinata dalle probabilità

pn=Prob{N=n} (N=0,1,2,...)

che esattamente n indennizzi si presentino in un dato periodo di tempo.

Nel seguito, si svilupperà un modello per la v.a. numero di indennizzi e per

La distribuzione degli indennizzi 81

l’ammontare degli indennizzi globali per il modello di rischio collettivo.

Se si assume che ogni indennizzo si presenti indipendentemente da ciascun altro

allora il numero di indennizzi in un dato periodo si distribuirà secondo un processo

stocastico di Poisson.

Si consideri il numero cumulato di indennizzi N(t), che si presentano

nell’intervallo di tempo (0,t), come funzione del tempo t; N(t) sarà pertanto un

processo stocastico, che soddisferà le seguenti condizioni:

-Il numero di indennizzi che si presentano in due intervalli di tempo disgiunti

sono indipendenti.

-Lo stesso evento assicurato non può generare più di un indennizzo.

-La probabilità che si presenti un indennizzo in un determinato istante di tempo

è uguale a zero o, equivalentemente, il numero atteso di indennizzi n(t)=E[N(t)] è

una funzione continua di t.

Se N(t) è una variabile di Poisson, allora le probabilità corrispondenti ai diversi

valori di N saranno ottenute dalla

n

n

p e n!= −λ

λ con Prob {N=n}=pn.

La seconda condizione riguardante l’esclusione di indennizzi multipli non

sempre è soddisfatta in quanto, è possibile, in alcuni rami assicurativi, il presentarsi

di più di un indennizzo generato dallo stesso evento assicurato; un conveniente

modo di risolvere il problema è quello di considerare tutti gli indennizzi generati

dallo stesso evento come facenti parte di un indennizzo singolo.

Per quanto riguarda la condizione di indipendenza, è solo approssimativamente

soddisfatta in pratica, in quanto esistono fattori, in genere condizioni atmosferiche


ed economiche, che potrebbero causare la correlazione degli indennizzi in

differenti sottoperiodi. Ma la presenza di tali fattori non implica la non applicabilità

del modello, in quanto la loro influenza può essere quantificata introducendo una

v.a. ausiliaria, o un processo ausiliario, che controlli i cambiamenti della

propensione al rischio, pervenendo in questo modo alle cosiddette distribuzioni di

Poisson miste.

Un modello alternativo è stato proposta da Seal (1949), dove λ è funzione del

tempo t, piuttosto che essere una costante: la legge di Poisson è ancora applicabile

e assume la forma

( ) ( )( )

n 0

r 0

r n

p t exp dd

n! n =0,1,2, ....= −∫

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

∫⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

λ σ σλ σ σ

(5.2.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.) Se si effettua una trasformazione del tempo tale che

( )t d0

r=∫ λ σ σ

la (5.2.1) diviene

( )nt

n

p t etn!

n =0,1,2, ....= −

che dipende dal solo parametro t, numero atteso di indennizzi durante l’intervallo

di tempo considerato.

Questa trasformazione introdotta dal Lundberg nel 1903, secondo Seal (1969), è

un metodo potente nella previsione della distribuzione di X e sostituisce a una

conoscenza dettagliata della struttura e della previsione di un portafoglio di

contratti di rischi una stima del numero atteso di indennizzi durante il periodo

futuro considerato. Infatti si possono sostituire le affermazioni probabilistiche


relativamente ad un determinato periodo di tempo futuro con asserzioni circa gli

indennizzi globali nel periodo durante il quale si prevede che il numero atteso di

indennizzi sarà t.

In ogni caso, secondo Seal (1969), le assunzioni del processo di Poisson

impongono certe costrizioni al modello; per esempio la stazionarietà implica che

l’ampiezza del portafoglio non possa aumentare o diminuire e pochi manager

potrebbero credere in un modello che non permette loro di far aumentare i propri

affari. Ci si può pertanto riferire a questa situazione come fluttuazioni della

ampiezza del portafoglio, e questo fenomeno verrà chiamato fluttuazione di rischio.

Quando la variazione dell’intensità dell’indennizzo è casuale può essere

interpretata come una modifica del parametro di Poisson λ; tale variazione potrà

essere descritta da un fattore moltiplicativo Θ tale che E[Θ]=1.

La variabile Θ (Θ>0) è chiamata variabile mista e la corrispondente v.a. numero

di indennizzi N è una variabile di Poisson mista. La f.r. della variabile mista, f.r.

mista, sarà denotata con

U(θ)=Prob{Θ≤θ}.

Sia N una v.a. di Poisson mista e θ la corrispondente variabile mista. Allora, per

definizione, la distribuzione condizionata F(⋅ Θ =θ) è distribuita secondo una

Poisson(λθ) per ogni valore θ della variabile mista Θ.

Le probabilità pn del numero N di indennizzi, secondo Haight (Seal,1969)

saranno date da

( )( )

n

n

p e n!U= ∫ −

∞λθ

λθθd

0


che è pertanto un processo di Poisson misto, che viene considerato quando si

prendono in considerazione le fluttuazioni di rischio a breve termine, e dove, in

Ammeter, Buhlmann (Daykin, Pentikainen e Pesones, 1994) Embrechts &

Kluppelberg (1993), θ è detta struttura variabile e la sua f.r. struttura della

distribuzione. Secondo Daykin, Pentikainen e Pesones (1994) non vi è la necessità

di specificare le cause dei fenomeni misti. I fattori di influenza potrebbero essere

ciclici, o variazioni di breve termine o una combinazione di entrambi.

Lundberg nel 1940 (Seal, 1969) dimostrò che condizione necessaria e

sufficiente affinchè pn abbia una distribuzione di Poisson mista è che la probabilità

condizionata che m eventi si presentino durante il periodo (o,τ), dato che n≥m

eventi si presentano nell’intervallo di tempo (o,t), dove t>τ, è

n

m

m n m

t1

t⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−τ τ.

La scelta della f.r. mista deve essere basata sull’esperienza, o sulla previsione,

relativa all’ambiente in considerazione. Esistono tre tecniche comunemente

utilizzate per introdurre gli effetti misti:

-La f.r. U viene epressa in forma analitica, per mezzo di una distribuzione

gamma o di una distribuzione binomiale negativa; questo metodo viene utilizzato

quando le informazioni riguardanti i fenomeni misti sono scarse o quando ne viene

data una stima mediante l’intervallo di variazione e risulta appropriato se si ha

esperienza di situazioni simili a quelle che si stanno analizzando per valutare gli

effetti misti.

-La f.r. U viene data in forma tabulare dividendo in intervalli l’intervallo di


variazione di θ; è un metodo preferibile quando si ha a disposizione una gran

quantità di dati statistici.

-Non viene specificata la formula esatta della f.r. U, ma solo le sue principali

caratteristiche, quali la deviazione standard e l’asimmetra, mediante il metodo dei

momenti.

La distribuzione Gamma(r,a) è spesso usata come distribuzione della variabile

mista θ. La sua f.d.è

f(x)(r) e x (x 0)

rx r 1= ≥− −

aa

Γ

dove r e a sono costanti positive e

Γ(r) e u uu r 1

0=∫ − −

∞

d

è la funzione gamma di Eulero; il suo valor medio è r/a, e quando viene utilizzato

per variabili miste dovrebbe essere uguale a 1, i parametri r e a dovrebbero essere

uguali. Allora, se r=a=h, la f.r. della variabile mista θ sarà una distribuzione

Gamma(h,h)

U( )1(h) e z zz

0

hh 1θ

θ

= ∫ − −

Γd .

Per h tendente ad infinito la distribuzione di Poisson mista si approssima alla

distribuzione di Poisson semplice.

Uno svantaggio della distribuzione di Poisson per pn è che la varianza del

numero di indennizzi nell’intervallo (0,t] è uguale al numero atteso di indennizzi.

In pratica la varianza ha frequentemente valori più elevati rispetto alla media e per

eliminare questo inconveniente Ammeter (Seal, 1969) ha suggerito l’utilizzo di

una distribuzione a due parametri, come ad es. la binomiale negativa. Si dimostra


adesso che una distribuzione di Poisson mista con la variabile mista distribuita

secondo una Gamma(h,h) dà una distribuzione di Polya, derivata da Polya e

Eggenberger, nel 1923, dai modelli di contaminazione (Daykin, Pentikainen e

Pesones, 1994):

n0

n n h( h)

0

h n 1p e n!U( )

h(h)n! e q=∫ = ∫ =−

∞− +

∞+ −λθ λ θ

λθθ

λθd d

Γ

( )

= ∫+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

+=−

∞+ −n h

z

0

h n 1h

(h) ez

hzh

λλ λΓ

d

=+

+=

++

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =+

n h

h n

h nh

(h)n!(h n)

( h)

(h n)(h)n!

hh

1h

hλ

λ λΓΓ Γ

Γl

( )=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

+ −h n 1

n

h np 1 p dove p=h/(λ+h).

Cresswell & Froggatt, Coppini & Ciang (Seal, 1969) dimostrano che le

distribuzioni di Poisson miste possono essere applicate anche nella situazione in

cui si verifichi un cambiamento della propensione al rischio di unità singole di

rischio nel portafoglio assicurato (cap.II, pg.23); ad esempio per trovare la f.r. del

numero di indennizzi generato dalla stessa polizza. Si assume che ciascuna unità di

rischio ε abbia intensità di frequenza λε=λθε, che è il numero atteso di indennizzi

per questa unità, dove λ è un valore medio e il coefficiente θi indica la deviazione

standard tra le unità e il valor medio λ; in questo caso la f.r. U descriverà la

variazione dei valori θi e caratterizzerà la distribuzione del rischio all’interno del

portafoglio stesso.

5.2-Totale complessivo di indennizzi

Si consideri la situazione in cui il totale complessivo degli indennizzi può


variare. Il totale degli indennizzi è la somma che l’assicuratore dovrà pagare al

verificarsi dell’evento assicurato. La somma dei singoli indennizzi costituisce

l’indennizzo globale. Si costruirà un modello dove verranno prese in

considerazione sia il numero di indennizzi che la grandezza di ciascun singolo

indennizzo.

Si consideri per adesso solo l’indennizzo totale; sia N la v.a. numero di

indennizzi per un portafoglio in un certo periodo di tempo, ad esempio un anno.

L’indennizzo totale durante questo periodo di tempo sarà

X Zii 1

N

=∑=

dove Zi è la grandezza dell’imo indennizzo che si presenta durante tale periodo di

tempo; se non si presenta nessun indennizzo allora sarà N=0 e X=0. Assumendo

che la grandezza del singolo indennizzo Zi sia indipendente dalla v.a. N, la f.r. di X

sarà

F(x)=Prob{X≤x}= nn 0

ii 1

N

p Prob Z x=

∞

=∑ ⋅ ∑ ≤

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

dove pn=Prob{N=n} è la probabilità che si presentino esattamente n indennizzi.

Se invece si assume che, oltre ad essere indipendenti dal numero di indennizzi

N, le v.a Xi siano anche mutualmente indipendenti ed identicamente distribuite,

ciascuna avente la stessa f.r. S,

S(X)=Prob{Zi≤z}

la variabile X soddisfacente a queste condizioni, sarà chiamata variabile composta,

e la sua distribuzione distribuzione composta. Quando la v.a. numero di indennizzi

N sarà una variabile di Poisson (mista), la distribuzione di X sarà una Poisson

composta (mista), se invece N avrà una distribuzione di Polya la distribuzione di X


sarà una Polya composta.

L’indipendenza reciproca della v.a. grandezza dell’indennizzo Zi e la v.a.

numero di indennizzi N significa che la probabilità che un singolo indennizzo

abbia una particolare grandezza non è influenzata dal numero di indennizzi che si

sono presentati e neanche dalla grandezza degli altri indennizzi. Di coseguenza la

f.r. F della variabile composta X sarà completamente determinata dalla

distribuzione del numero di indennizzi e dalla f.r. S della grandezza

dell’indennizzo.

Riepilogando, sia Z1,Z2,... una successione di v.c. indipendenti ed identicamente

distribuite aventi comune f.r. F(x) con F(0)=0, valore medio μ e varianza σ2 ed

indipendenti dal processo Nt; quest’ultimo denota il numero degli indennizzi che

pervengono nell’intervallo di tempo (o,t] mentre Zi denota l’ammontare o

grandezza dell’imo indennizzo. Allora si può definire il processo di rischio

individuale ( ){ }S tt 0>

dato da Xt=Z1+Z2+ ...+ZN(t) ,t>0 dove Xt=0 se N(t)=0, che

denota la somma degli indennizzi globali nell’intervallo (0,t], ed è chiamato anche

processo degli indennizzi globali; N(t) è un processo di Poisson con parametro

λ>0; X(t) è un processo di Poisson composto, specificato dal parametro λ, numero

atteso di indennizzi per unità di tempo, e dalla f.r. del loro ammontare. Più

precisamente, per la variabile composta X, sarà

F(x) p S (x)nn 0

n= ∑=

∞∗

dove

( )ni

i 1

n

S x Prob Z x∗

== ≤∑

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭


è l’nma convoluzione della f.r. S valutata nel punto x. In particolare

0S (x)0 se x 0

1 se x 0

∗ =

<

≥

⎧

⎨⎪

⎩⎪

e pn è la probabilità di avere un numero n richieste di indennizzo nell’intervallo di

tempo (0,t], data da

( ) ( )n

r

n

p t etn!

n=0,1,2, ....= −λλ

(5.2.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.) che è una distribuzione di Poisson con media e varianza λt.

L’assunzione che gli indennizzi globali seguono un processo di Poisson

composto significa, secondo Gerber (1979), che in ogni intervallo di tempo (t,t+dt]

si avrà o nessun indennizzo, con probabilità di verificarsi 1-λdt, o esattamente un

indennizzo, con probabilità λdt. In quest’ultimo caso il totale degli indennizzi è

una v.c. indipendente da ogni altra e si distribuisce come F(x).

Nella pratica assicurativa, secondo Daykin, Pentikainen e Pesones (1994)

quando viene applicato il modello composto, il portafoglio di polizze dovrebbe

essere suddiviso in sezioni, a seconda del tipo di rischi assicurati, in modo tale da

trattare ciascuna sezione separatamente. Allora l’assunzione di esistenza della f.r.

della grandezza dell’indennizzo S per ciascuna sezione, che rappresenta

soddisfacentemente la distribuzione della grandezza attuale dell’indennizzo

all’interno del portafoglio, è correntemente applicata in pratica, almeno per periodi

medi di tempo, non tenendo in considerazione comunque gli effetti di svalutazioni

monetarie.

Seguendo l’impostazione di Dufresne & Gerber (1993), si considererà una


famiglia di processi dove le richieste totali di indennizzo sono infinite in ciascun

intervallo di tempo, il quale dopo una standardizzazione, dipenderà dal solo

parametro 0<b<1; se, invece, sarà b>1 si ritroverà un processo di Poisson

composto.

Il nostro processo di rischio ( ){ }S tt 0>

deve essere tale che il numero di arrivi di

richieste di indennizzo più grandi di x costituirà un processo di Poisson con

parametro ( )q y dyx

∞

∫ dove q(x)=axα-1e-bx con x>0 e a>0 b>0 α>1. I primi due

momenti saranno:

( )[ ] ( ) ( )E S t t xq x dx t

1

b

01

= ∫ =+∞

+a

Γ αα

(5.3.1)

( )[ ] ( )( )

Var S t t x q x dx t2

b 2

02

= ∫ =+∞

+a

Γ αα

(5.3.2)

introducendo un’appropriata unità di tempo, si otterrà il processo standardizzato,

per cui

E[S(t)]=t e Var[S(t)]=t (5.3.3)

dalla (5.3.1) e (5.3.2) segue che

( )α = −b 1 , =

b

b

b

aΓ

(5.3.4)

e si ottiene una famiglia di processi a un parametro data da

( ) ( )q x

b

bx e

bb 2 bx= − −

Γ . (5.3.5)

Il terzo momento centrale di ( ){ }S tt 0>

sarà

( )t x q x dx tb 1b

3

0

∞

∫ =+

(5.3.6)

una funzione decrescente di b. La f.g.c. di ( ){ }S tt 0>

è

( )[ ] ( ) ( )lnE e t e 1 q x dxrS t rx

0= −∫

∞

(5.3.7)

che esiste per r<b; si trova anche che


tb

b 1

bb r 1 se b>1

b 1

− −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

−

(5.3.8)

( )− −t ln 1 r se b=1 (5.3.9)

tb

b 11

b rb se 0< b<1

1 b

−−

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

−

. (5.3.10)

Allora per b>1 il processo degli indennizzi globali sarà un processo di Poisson

composto con parametro di Poisson b/(b-1) e distribuzione dell’ammontare degli

indennizzi gamma, con parametro b-1 e parametro di scala b; per b tendente ad

infinito la prima espressione tenderà a t(er-1) ed ( ){ }S tt 0>

diventerà un processo

con parametro 1. Per b=1 ( ){ }S tt 0>

sarà un processo gamma standardizzato. Per

0<b<1 si avrà un processo gaussiano inverso, con b=1/2:

ln E[e rS(t)]=t(1-(1-2r)1/2) (5.3.11)

con f.d.

( )( )

f x,tt

2x exp

x t2x

3/2

2

= −−⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

−

π . (5.3.12)

Dufresne (1991) ha dimostrato che ( ){ }S tt 0>

può essere espresso in termini di una

distribuzione stabile con indice 1-b.

Secondo Daykin, Pantikainen e Pesones (1994), è necessario trovare una

esplicita espressione analitica della f.r. S della v.a. grandezza dell’indennizzo.

Press, Hogg & Klugman (Daykin, Pantikainen e Pesones, 1994) illustrano

diversi modelli per tale f.r.:

-Distribuzione gamma-shifted (trasformata), definita come S(Z)=G(Z-d), Z>d,


dove G è una f.r. Gamma(r,a). La f..r. S ha tre parametri, a, r, d ed è per questo

chiamata anche distribuzione gaamma a tre parametri.

-Distribuzione lognormale: per definizione la v.a. grandezza dell’indennizzo Z è

log-normalmente distribuita se e solo se è della forma

Z=d+eY

dove Y=Yμ,σ è una v.a. distribuita normalmente con valor medio μ e deviazione

standard σ, e d è il punto iniziale della v.a. Z. Risolvendo

Y=ln(Z-d)

allora

S(Z)=N((ln(Z-d)-μ/σ)

e la rispettiva f.d. sarà

f(Z)1

s(Z d) 2exp

12

(ln(Z d) ) , Z d2

2=

−− − −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ >

π σμ .

-Distribuzione di Pareto: è un modello particolarmente appropriato quando una

gran quantità di indennizzi pervengono alla compagnia esponenzialmente. É

definita dalla formula

( )S(Z) 1DZ

, Z D= −++

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ≥

ββ

α

con α>0 e β>-D.

-Distribuzione troncata: particolarmente utilizzata quando gli indennizzi

eccedono il limite di ritenzione e vengono ceduti in riassicurazione.

Capitolo VI

Approssimazione della distribuzione degli indennizzi globali

6.1-La scelta della distribuzione: il modello individuale

contro il modello collettivo ........................................................... 95

6.2-Limiti per la distribuzione degli indennizzi globali ....................... 98

6.3-Approssimazione numerica della distribuzione

degli indennizzi globali............................................................... 100

Capitolo VI

Approssimazione della distribuzione degli

indennizzi globali

Si è già messo in evidenza come storicamente la teoria del rischio nasca con il

modello individuale, o classico, per poi svilupparsi con quello collettivo e

nonostante in effetti le due teorie oggi non siano più mutuamente esclusive il

modello collettivo viene riconosciuto come il più soddisfacente in pratica e il più

comunemente applicato. L’approssimazione del modello di rischio individuale con

il modello (collettivo) di Poisson composto gioca un ruolo importante nella teoria

del rischio, in quanto gli attuari, data l’enorme quantità di calcoli necessari per

applicare il modello individuale, spesso utilizzano o metodi di calcolo approssimati

o sostituiscono il modello individuale con quello collettivo in cui la distribuzione

degli indennizzi globali può essere più facilmente calcolata, ad esempio con la

formula recursiva di Panjer.

Ovviamente questo tipo di approssimazione genera inevitabilmente degli errori;

esiste una vasta letteratura che si occupa della ricerca del limite superiore ed

inferiore per l’errore causato da tale approssimazione: tra gli altri, Gerber (1984),

Hipp (1985, 1986), De Pril & Dhaene (1992), Kuon, Radke e Reich (1993).

Approssimazione della distribuzione degli indennizzi globali 95

6.1-La scelta della distribuzione: il modello individuale contro il modello

collettivo

Il rischio collettivo è costituito da unità di rischio individuali: il modello

individuale del processo di rischio è basato sulla considerazione di queste unità

come entità separate; la probabilità che si presentino in un periodo di tempo uno o

più indennizzi è determinata per ciascuna unità, così come lo è la grandezza

dell’indennizzo. La v.a. numero di indennizzi del rischio collettivo è allora ottenuta

come somma delle v.a. numero di indennizzi delle unità di rischio individuale e,

corrispondentemente, il totale degli indennizzi globali è la somma dei totali di

indennizzi globali delle singole unità di rischio.

Nel modello collettivo, invece, viene preso in considerazione solo il numero

totale di indennizzi senza nessuna considerazione verso i singoli rischi, pervenendo

comunque agli stessi risultati.

Bowers (Kuon, Radke e Reich, 1993) definisce il modello individuale di rischio

con la v.a. Sind= ii 1

n

X=∑ , dove la v.a. Xi, con 1≤ i≤n, n∈N , denota il totale dell’imo

singolo indennizzo; il modello collettivo viene definito con la v.a. Scoll= ii 1

nZ

=∑ ,

i∈N , Scoll=0 se N=0, che denota invece l’indennizzo globale.

Seguendo l’impostazione di Gerber (1979), nel modello individuale sono

considerate n polizze numerate da 1 a n; pi è la probabilità che la polizza i produca

nessuna richiesta di indennizzo entro un anno, e qi, invece, la probabilità che tale

polizza produca esattamente un indennizzo; la possibilità che la stessa polizza

produca due o più richieste è esclusa, essendo pi+qi=1. Questa assunzione è

particolarmente realistica in un’assicurazione-vita, dove qi può essere visto anche


come il tasso di mortalità in un anno del possessore della polizza i.

Si introduce una successione di v.a. indicatrici di evento. D1, ... Dn, dove Di =1

se la polizza i produce un indennizzo, altrimenti è uguale a zero.

Sia Ci l’indennizzo totale della polizza i e sia P(.) la f.r. di Ci. Allora Pi(.) sarà la

f.r. condizionata dell’indennizzo della polizza i, dato che questa produce almeno un

indennizzo. Allora

Sind=D1C1+ ... +DnCn (1.1)

è la somma globale degli indennizzi di un portafoglio di n polizze. Per stimare F,

f.r. di Sind, si assume che le n polizze siano mutuamente indipendenti;

matematicamente ciò significa che saranno indipendenti le 2n v.c.

D1,...,Dn,C1,...,Cn. Allora

Fi(x)=piI(x)+qiPi(x) (1.2)

è la f.r. di DiCi, indennizzo della polizza i (dove I(x)=0 per x<0 e I(x)=1 per x>0), e

F=F1* ...*Fn. È possibile ottenere i momenti di Sind senza calcolare F prima, per

esempio,

[ ] [ ]E S q E Cindi

i 1

n

i=∑=

(1.3)

e

Var[DiCi]=E[Var{DiCi|Di]]+Var[E[DiCi|Di]]=

=qiVar[Ci]+piqi(E[Ci])2. (1.4)

É da notare che nel caso in cui i è una polizza di assicurazione-vita con un totale di

rischio zi la v.c. Ci è degenere ed è uguale alla costante zi; allora E[Ci]=zi e

Var[Ci]=0.

Il modello collettivo non prende in considerazione singole polizze, il portafoglio

è considerato come una massa di polizze anonime. Si assume che gli indennizzi


globali in un anno, Scoll, costituiscano una somma di v.c. Il modello collettivo ha

una distribuzione di Poisson composta con parametro di Poisson λ, che denota il

numero atteso di richieste per anno, e f.r. del totale dei singoli indennizzi P(x). Sia

kx P(x)∫ d il kmo momento del totale del singolo indennizzo. Sarà

E[Scoll]=λp1 , Var[Scoll]=λp2. (1.5)

De Pril & Dhaene (1992) esaminano l’errore causato dall’approssimazione del

modello individuale con quello collettivo, ne derivano un limite superiore ed

inferiore, applicando tale analisi ad approssimazioni con diversi parametri di

Poisson, si occupano del livello qualitativo di tali limiti che confrontano con i

risultati ottenuti da Hipp.

Nel modello individuale la f.r. Find degli indennizzi totali del portafoglio è

ottenuta per convoluzione delle n distribuzioni (1.2) Find=i 1

n

iF=∗ .

Si supponga di voler approssimare il modello individuale con il modello di

Poisson composto; ciò può essere fatto sostituendo ciascuna distribuzione Fi(x) con

la distribuzione di Poisson composta Pi, avente parametro di Poisson λi>0 e

distribuzione totale Qi

i in 0

in

inP e n! Q= −∑

=

∞∗λ λ

(1.6)

dove per convenzione i0Q I∗ = . La qualità della risultante approssimazione

dipenderà dalla scelta di λi e Qi..

Considerando le convoluzioni della distribuzione di Poisson composta si ottiene

una approssimazione Fcoll per la distribuzione Find degli indennizzi globali nel

portafoglio


coll

i 1

n

in 0

nnF P e n! G=∗ =∑

=

−

=

∞∗λ

λ (1.7)

che è di nuovo una distribuzione di Poisson composta con parametro di Poisson

λ λ=∑=

ii 1

n

e distribuzione totale

G1

Gii 1

n

i= ∑=λ λ .

Nel seguito, seguendo l’impostazione di De Pril & Dhaene (1992), il modello

individuale verrà confrontato con l’approssimazione del modello di Poisson

composto specificando diversi valori del parametro λi; questo permetterà di trovare

l’errore, limitato superiormente ed inferiormente, che emerge calcolando la

funzione di distribuzione degli indennizzi globali.

6.2-Limiti per la distribuzione degli indennizzi globali

Lemma 1: Siano F, G, H funzioni di distribuzione e si assuma che esistano due

costanti a e b tali che ∀s a≤F(s)-G(s)≤ b, allora ∀s si ha

a≤F*H(s)-G*H(s)≤ b. (2.1) Lemma 2: Siano F1,F2,...,Fn e G1,G2,...Gn funzioni di distribuzione che

soddisfano ∀s alla ai≤Fi(S)-Gi(s) ≤ bi, con i=1,2,...,n. Allora ∀s sarà

i

n

i 1

n

ii 1

n

i ii 1

n

F (s) G (s)a bi= = = =∑ ≤ ∗ − ∗ ≤∑

1. (2.2)

Teorema 1

( ) ( )∀ −∑ ≤ − ≤ − + −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

∑−

=

−− − +

=s si ha p e F (s) F (s) p e q ei

ii 1

nind coll

ii

i ii

i 1

nλ λ λλ (2.3)

Dim: In base al lemma 2, è sufficiente dimostrare il teorema per n=1, in modo

da omettere l’indice i. Se s<0, allora Find=Fcoll=0 e la (2.3) è soddisfatta, infatti

p-e−λ+(q-λe−λ)+≥1-e−λ-λe−λ≥0 (2.4) se s≥0, si ha


Find(s)-Fcoll(s)=p-e−λ+(q-λe−λ)G(s)- −

=

∞∗∑ λ

λe n! G (s)

n 2

nn ≥p-e−λ+(q-λe-l)+ (2.5)

essendo G*n(s)≤G(s), si ha anche

Find(s)-Fcoll(s)≥p-e−λ+(q-1+e−λ)G(s)≥p-e−λ+(e−λ-p)-=(p-e−λ)- (2.6)

che dimostra il teorema.

Si noti che Fcoll≤Find se λi≥ -ln pi per i=1,2,..n; inoltre se qi≥λie-λi il limite

inferiore può essere semplificato usando la disuguaglianza

pi-e-λi+(qi-λie-λi)+<λi2/2. (2.7)

Pertanto il limite dell’errore sarà specificato dalla scelta dei valori di λi.

L’assunzione più comune, secondo Gerber (1979), è λi=qi, cioè il parametro di

Poisson deve essere scelto in modo tale che il numero atteso di indennizzi sia

identico in entrambi i modelli. Essendo e-λi>1-λi=pi e qi>λie-λi si ha dalla (2.3) che

∀s ( ) ( ) ( )[ ]− ∑ < −∑ ≤ − ≤ − +∑ < ∑=

−

=

−

= =

12

q p e F (s) F s 1 1 q e12

qi2

i 1

n

iq

i 1

nind coll

iq

i 1

n

i2

i 1

ni i .

In alternativa, Hipp (1985) pone λi=-ln pi. Sotto questa assunzione, è uguale in

entrambi i modelli la probabilità di avere nessun indennizzo. Essendo

qi=1-e-λi>λie-λi

si avrà

( ) ( ) ( )0 F (s) F s q p ln p12

ln pind colli i i

i 1

n

i

2≤ − ≤ +∑ <

=.

Il λi scelto sarà preferibile se la differenza tra il limite superiore e il limite

inferiore è minimizzata. A questo fine si consideri la grandezza di

finf(λ)=(p-e−λ)- Fsup(λ)=p-e−λ+(q-λe-l)+

e

f(λ)=Fsup(λ)-finf(λ)=(p-e−λ)++(q-λe−λ)+

per differenti valori di λ>0. Essendo fsup(λ) una funzione sempre crescente di λ e


finf(λ)=0 per λ≥ -ln p, la funzione f(λ) raggiunge il suo minimo al valore λ*≤ -ln p.

Nel caso in cui λ≤ -ln p, la funzione f(λ) assume la forma q-λe−λ che è una

funzione decrescente di λ se λ<1 ed è una funzione crescente se λ>1. Allora, f(λ)

sarà minimizzata per

∗=− − <

− ≥

⎧

⎨⎪

⎩⎪

λ

ln se ln 1

1 se ln 1

p p

p

La condizione -ln p<1 corrisponde a q<1-e−1=0,632121. De Pril & Dhaene

(1992) osservano che comunque la più comunemente utilizzata approssimazione

λi=qi non dà origine alle differenze minime tra limite superiore ed inferiore.

6.3-Approssimazione numerica della distribuzione degli indennizzi globali

Uno svantaggio del modello di Poisson composto è che, anche se è

relativamente semplice la forma matematica di pn, è estremamente complicato

calcolare direttamente Sn*(x).

Oggi i computer hanno reso possibile calcolare esattamente la distribuzione

delle richieste globali di indennizzo, valutando le convoluzioni, o invertendo la

funzione caratteristica con metodi sofisticati come le trasformate fast Fourier.

Quindi oggi i metodi di approssimazione numerica diventano meno importanti.

Capitolo VII Probabilità di fallimento

7.1-Probabilità di fallimento: introduzione e definizioni 104

7.2-Fallimento con nessuna riserva iniziale 107

7.3-Fallimento data la riserva iniziale 108

7.3.1-La riserva immediatamente prima e durante il fallimento 110

7.3.2-Funzione di distribuzione e funzione di densità

della riserva prima del fallimento 112

7.4-Coefficiente di aggiustamento e disuguaglianza di Lundberg 115

7.5-Relazione tra il coefficiente di aggiustamento

e il principio dell’utilità zero 116

7.6-Applicazione dell’equazione del rinnovo

e formula asintotica della probabilità di fallimento 117

7.7-Probabilità di non fallimento e perdite massime globali 119

7.8-Probabilità di fallimento per distribuzioni

dell’ammontare degli indennizzi infinitamente divisibili 121

Capitolo VII

Probabilità di fallimento

Si è già stabilito che quando la riserva di rischio di una compagnia scende a

zero o addirittura diventa negativa, la compagnia sarà in una situazione di

fallimento. Mentre si continua negli affari si suppone che tale riserva venga

incrementata dal caricamento di rischio dei premi ricevuti meno gli indennizzi; è

chiaro che se la riserva in un determinato momento è abbastanza elevata da

consentire tutti i pagamenti non si verificherà il fallimento a meno che non

vengano accettati rischi molto cospicui.

Nel seguito ci si occuperà del modello che descrive il processo di rischio della

compagnia e della relativa probabilità di fallimento entro un determinato periodo di

tempo che può essere più o meno lungo o addirittura esteso infinitamente. Esiste

una vasta letteratura sul problema in questione; tra gli altri, Borch (1967), Seal

(1969), Moriconi (1983,1986), Defresne & Gerber (1988,1990), Shiu (1986,1987,

1989), Dickson (1992), Gerber (1979,1987,1992), Kluppelberg (1993), Embrechts

& Klupperlberg (1993), Daykin, Pentikainen & Pesones (1994).

Si consideri, seguendo l’impostazione di Seal (1969), una compagnia che riceve

un continuo flusso di premi dai proprietari dei contratti delle polizze che sono

coperti da rischi che possono verificarsi casualmente. Il numero di questi

Probabilità di fallimento 103

proprietari può essere considerato come una funzione di Nτ del tempo τ trascorso

da una arbitraria origine temporale. Sebbene le entrate e le uscite di nuove polizze

possano essere considerate come cambiamenti delle frequenze, si potrà considerare

Nτ come una data funzione di τ soggetta a improvvisi cambiamenti verso l’alto o il

basso che si verificano in modo noto e deterministico.

Se la probabilità di un indennizzo al tempo t è uguale a Nτλτdτ+o(dτ), la

probabilità del verificarsi di n indennizzi nell’intervallo (0,t) sarà

n0

t 0

t n

p (t) exp NN

n!, n 0,1,2,....= −∫

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

∫⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=τ

τ

τλ ττλ τ

dd

(1.1)

Se si esegue una trasformazione della scala temporale la (1.1) può essere scritta

nt

n

p (t) etn!

, n 0,1,2,...,= =− (1.2)

che significa che il tempo t è l’intervallo durante il quale sono attesi t indennizzi e

la probabilità di un indennizzo al tempo τ che era uguale a Nτλτdτ è ora

semplicemente dt. Si osservi, anche, che se una grande compagnia aspetta 100

indennizzi in un anno del tempo reale la sua probabilità di fallimento entro questo

periodo, cioè entro 100 unità di tempo, sarà difficilmente distinguibile dalla sua

probabilità di fallimento in un periodo di tempo infinitamente lungo; ciò dimostra

che il problema di fallimento finale per una grande compagnia sarà essenzialmente

lo stesso della ricerca della sua probabilità di fallimento entro un numero

relativamente breve di anni.

7.1-Probabilità di fallimento: introduzione e definizioni

Si consideri, come in Seal (1969), Gerber (1979), un modello collettivo dove


tutto il portafoglio di una certa impresa rappresenta il tipo di rischio. Nel modello

di rischio classico a tempo continuo, la riserva dell’assicuratore al tempo t è dato

dal processo stocastico a tempo continuo, detto processo di rischio.

Siano S(t) gli indennizzi del periodo di tempo (0,t); η1dτ il caricamento di

rischio aggiunto al premio p1dτ ricevuto nell’intervallo di tempo trasformato

(τ,τ+dτ); il guadagno della compagnia prima del tempo t sarà (p1+η1)t-S(t); la

riserva di rischio al tempo t sarà allora data dalla riserva iniziale più i premi meno

gli indennizzi; formalmente

U(t)=U(0)+ (p1+η1)t-S(t) (1.3)

dove U(0) è la riserva iniziale, (p1+η1) è un costante positiva interpretata come i

premi ricevuti dalla compagnia continuamente per unità di tempo; si assume che

S(t) sia un processo di Poisson composto, con parametro di Poisson λ>0, numero

atteso indennizzi per unità di tempo, e f.r. del totale degli indennizzi, P(.).

La rappresentazione grafica, in figura I, di U(t) consiste di una linea retta

inclinata verso l’alto dal punto (0, U(0)) con inclinazione p1+η1 e soggetta a salti

verticali verso il basso di lunghezza aleatoria S. Il fallimento si verificherà quando

uno di questi salti causerà l’intersezione della curva sull’asse delle ascisse e si

considererà la probabilità di tale intersezione o prima della fine del tempo t o

quando t tende ad infinito.


Figura Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.

Sia p1+η1=c, tasso di premio per indennizzo atteso. Si deve trovare la

probabilità che si verifichi il primo indennizzo al tempo t che sarà uguale, per il

principio delle probabilità totali, al prodotto delle probabilità degli eventi

indipendenti

a) che nessun indennizzo si presenti nell’intervallo (0,τ-dτ), con probabilità e−τ

b) che si presenti esattamente un indennizzo in (τ-dτ,τ), con probabilità dτ

Pertanto la probabilità richiesta sarà e−τdτ, cioè i tempi tra gli arrivi degli

indennizzi saranno indipendenti ed identicamente distribuiti esponenzialmente.

Sia R(0)=u, ψ(u) la probabilità di definitivo fallimento dato che u è la riserva

iniziale, φ(u)=1-ψ(u) la probabilità di non fallire. Se ci muoviamo lungo l’asse

delle ascisse fino al presentarsi del primo indennizzo, la riserva di rischio sarà

incrementata a u+ct e l’indennizzo la ridurrà a u+ct-S(t)

Si consideri la grandezza dell’indennizzo totale (Yk)k∈N, successione di v.c.

indipendenti ed identicamente distribuite aventi comune f.r. F con F(0)=0, valore


medio μ e varianza σ2. Il punto del processo N=(N(t)t ≥ 0, numero di indennizzi

nell’intervallo di tempo (0,t) è assunto essere un processo di Poisson omogeneo

con intensità k. N e (Yk)k∈N sono indipendenti. Allora S(t)= ii 1N(t) Y=∑ rappresenta

gli indennizzi cumulati prima del tempo t ed ha f.r.

( )t

kt

n 0

n

nG (x) P(S(t) x) ektn! F (x), x 0= ≤ = ∑ ≥−

=

∞∗ . (1.4)

N è un punto del processo su R+ e a ciascun punto di N la compagnia dovrà pagare

un ammontare aleatorio di denaro. L’assunzione che N sia un processo di Poisson è

equivalente all’assunzione secondo cui i tempi tra gli arrivi degli indennizzi sono

indipendenti ed identicamente distribuiti esponenzialmente.

Per N con intensità k si avrà che EN(t)=kt, il profitto della compagnia

nell’intervallo (0,t) sarà Q(t)=ct-S(t) con EQ(t)=ct-E(N(t)EY1=t(c-kμ). Il relativo

caricamento di sicurezza sarà definito da ρ=(c-kμ)/kμ= -1+c/kμ

Si assume che c>kμ dove μ denota la grandezza media degli indennizzi; ciò

significa che il premio ricevuto per unità di tempo eccede il pagamento atteso

dell’indennizzo per unità di tempo;

Se il processo di rischio U ha un caricamento di sicurezza positivo, ρ>0, allora

U(t) q.c. tenderà ad infinito; tale condizione riafferma la condizione del profitto

netto c>kμ.

7.2-Fallimento con nessuna riserva iniziale

Si consideri adesso la probabilità dell’evento contrario, ossia la probabilità di


non fallimento, ϕ(u)=1-ψ(u) con ϕ(u)=0 per u<0 Si vedrà adesso come la

probabilità di non fallire in un intervallo temporale finito può essere espressa in

termini di una distribuzione di Poisson composta. Pertanto, posto φ(u)=ϕ(u)

ϕ (u) P(U(t) 0, t 0) P(S(t) ct u, t 0)= ≥ ∀ ≥ = − ≤ ∀ ≥ (2.1)

tale probabilità deve soddisfare l’equazione dei rinnovi

ϕ ϕκ

ϕ(u) (0)c

(u z)F(z) z0

u= + −∫ d (2.2)

dove F 1 F= − e se si denota

I1

0

x

F (x) F(z) z= ∫−μ d (2.3)

la (2.2) è equivalente alla

ϕ ϕρ

ϕ(u) (0)1

1 F (u)I= ++

∗ (2.4)

dove * è la convoluzione. Dalla convergenza monotona segue dalla (2.2) che

ϕ ϕρ

ϕ( ) ( ) ( )∞ = ++

∞01

1 (2.5)

che dà

ϕρρ( )0 1= + (2.6)

che mostra che nel caso in cui la riserva iniziale è nulla la probabilità di non

fallire dipende solo dal relativo caricamento di sicurezza, e non dalla forma

specifica della distribuzione del totale degli indennizzi.

Utilizzando le trasformate di Laplace e la (2.6), una soluzione analitica della

(2.4) può essere ottenuta nella forma

ϕρρ ρ(u) 1

11 F (u)

n 0

n

In= + +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟∑

=

∞∗ (2.7)

della quale è possibile dare una espressione esplicita solo con una speciale scelta

dell’ampiezza della distribuzione degli indennizzi. Per una distribuzione degli

indennizzi esponenziale, (Gerber, 1979), differenziando la (2.1), e sostituendo la


(2.5) e la (2.6) si ha

ψ ϕρ

ρμ ρ

(u) 1 (u)1

1exp

(1 )u= − =

+−

+

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪ (2.8)

cioè nel caso di indennizzi esponenziale, la probabilità di fallimento è una funzione

esponenziale della riserva iniziale misurata in termini del totale degli indennizzi.

7.3-Fallimento data la riserva iniziale

Viene considerata, (Seal 1969, Gerber 1979, Embrechts & Kluppelberg 1993),

come misura di stabilità di lungo periodo, la probabilità di fallimento come

funzione della riserva iniziale u

ψ(u)=P(U(t)<0 per qualche t>0).

Sia T il tempo di rovina e più in generale, la probabilità di fallimento

nell’intervallo di tempo [0,T] sarà allora

ψ(u,t)=P(U(t)<0 per qualche t≤T).

La stabilità sarà raggiunta dall’esigenza che ψ(u,T) non scenda al di sotto di un

certo livello ε (ad esempio al di sotto dello 0.1%) per un dato valore di T.

Si consideri adesso il caso in cui la riserva iniziale u sia positiva, cioè u→∞

Allora la (2.1) diverrà

ψ ψ(u)kc

F(z) zkc

(u z)F(z) zu u

= +∫ −∫∞ ∞

d d (3.1)

dove kc

F(z) zkc

10

d =∫ <∞ μ

che è una equazione dei rinnovi imperfetta; se esistono appropriati momenti

esponenziali, tale imperfezione può essere eliminata con le trasformate di Esscher.

Se esiste una costante R, detta coefficiente di Lundberg o coefficiente di


aggiustamento, tale che

λc e F(z) z 1Rz

0

∞

∫ =d (3.2)

allora λc e F(z)Rz

è la funzione di densità propria e moltiplicando la (3.1) per eRu si ottiene

Ru Ru

u

R(u z) Rz

0

u

e (u)c e F(z)dz

ce (u z)e F(z)dzψ

κ κψ= ∫ + −∫

∞−

che è una equazione dei rinnovi propria e dal teorema dei rinnovi di Smith, in

Feller (1971), Embrechts & Kluppelberg (1993) si perviene al

Teorema di Cramer-Lundberg:

Supposto che esiste una costante R tale che Rz

0e F(z) z

ck

∞

∫ =d se

∗∞

= ∫ <∞μkc

ze F(z) zRz

0d allora

( )ψ

ρ

ρ μ(u)

1 Re , uRu≈

+→∞

∗− (3.3)

e se ∗=∞u , allora

ψ (u) (e ), uRu= →∞−o . (3.4)

R, coefficiente di Lundberg o coefficiente di aggiustamento, è più facilmente

calcolabile nel caso in cui gli indennizzi sono distribuiti esponenzialmente.

La distribuzione della riserva immediatamente prima del fallimento nel classico

modello di rischio di Poisson composto è studiata in un lavoro di Dufresne &

Gerber (1988).

7.3.1-La riserva immediatamente prima e durante il fallimento

Dufresne & Gerber (1988) sono interessati a X, la riserva immediatamente

prima del fallimento e ad Y= ( )U T , Fig.II, il deficit al momento del fallimento.


Figura Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.

Considerano la funzione di densità congiunta di X e Y, f(u;x,y), che sarà una

funzione di densità imperfetta in quanto la probabilità di fallimento sarà minore di

1. Per una arbitraria distribuzione del totale degli indennizzi si trova che

f(0;x,y)=ap(x+y)

dove p(x+y) è la funzione di densità dell’ammontare degli indennizzi ed a è il

rapporto tra il parametro di Poisson, che in questo caso chiameremo λ, e il tasso di

premio, a=λ/c.

In un caso più realistico, dove u>0, f(u;x,y) può essere calcolata esplicitamente

se la distribuzione del totale degli indennizzi è esponenziale, p(x)=βe-βx per x>0, e

si trova


f(u,x)R e (b e ) se x u

R(e e )e se x u

x Ru

2x x Ru

=

− >

− <

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

− −

− − −

aa

a

β

α β

dove R=β−a.

Seguendo tale impostazione si trova il totale di indennizzi, X+Y, che causano il

fallimento, ottenendo la funzione di densità h(u,z) da F(u;x,y). Infatti la funzione di

densità (imperfetta) è

h(u,z) f(u;x,z x) x, z 00

z

= − >∫ d

Sia f(u,x) la densità marginale di X; la sua funzione di densità è nota, e la funzione

di densità bivariata di X e Y può essere ottenuta direttamente dalla formula

f(u;x,y) f(u,x)p(x y)1 P(x)

=+

−

che sostituita nella precedente dà

h(u,z) p(z)f(u,x)

1 P(x)x, z 0

0

z

=−

∫ >d

da cui si evince che per ogni riserva iniziale u la funzione h(u,z) è il prodotto di

p(z), la funzione di densità arbitraria del totale di indennizzi, e l’integrale, che è

una funzione crescente di z; ciò significa che l’indennizzo che provoca il fallimento

è certamente più grande dell’indennizzo medio.

Dickson (1992) presenta un semplice modello che consente di trovare la

funzione di distribuzione e la funzione di densità della riserva che provoca il

fallimento.


7.3.2-Funzione di distribuzione e funzione di densità della riserva prima del

fallimento

Seguendo l’impostazione di Dickson (1992) la probabilità di ultimo fallimento

dalla riserva iniziale u sarà

ψ (u) P(T U u)0= <∞ = e, la probabilità che si abbia il fallimento dal surplus iniziale u e che il deficit nel

momento in cui l’impresa fallisce sia minore di y sarà

G(u,y) P(T e U(t) y U u)0= <∞ >− = ; questa probabilità è introdotta da Gerber (1987); sia g(u,y) la densità di G(u,y),

cosicché g(u,y)dy può essere interpretata come la probabilità che si verifichi il

fallimento e che il deficit al momento del fallimento sia compreso tra y e y+dy.

Bowers (1987) dimostra che

( )g(0,y)c

1 P(y)= −λ

e

G(0,y)c

(1 P(x)) x0

y

= −∫λ

d

Sia U(T) la riserva immediatamente prima del fallimento posto che il fallimento si

verifichi; si definisce

F(U,x) P(T e U(T) x 0U u)= <∞ < = che rappresenta la probabilità che si verifichi il fallimento dall’iniziale riserva u e

che questa immediatamente prima del fallimento sia minore di x. Si noti che

xlim F(u,x) (u)

→∞=ψ .

La probabilità che si verifichi il fallimento dalla riserva iniziale u e essa non

raggiunga il livello x>u prima del fallimento sarà

ξψ ψ

ψ(u,x)

(u) (x)1 (x)

=−

−


e la probabilità complementare, χ(u,x), cioè la probabilità che la riserva arrivi al

livello x senza essere scesa a livelli negativi, sarà

χψψ

(u,x)1 (u)1 (x)

=−−

.

Per determinare una generale equazione per F(u,x) si considerino separatamente i

casi: u<x e u≥ x. Si dimostra che

F(u,x)c (x)y(u) c (x) per u x

G(u x,x) c (x)( (u-x)- (u)) per u x

1 2

1

=

− ≤

− − ≥

⎧

⎨⎪

⎩⎪ ψ ψ

dove

1 1 2c (x)1 G(0,x)1 (0) e c (x) c (x) 1=−− − =ψ

e ψ(u-x) è la probabilità che si verifichi il fallimento dalla riserva iniziale u-x con

il deficit nel periodo di fallimento minore di x, (cosicché il fallimento non può

verificarsi prima di u), senza nessuna restrizione sul livello della riserva prima della

rovina.

Dickson (1992) utilizza questi risultati per trovare l’espressione di f(u,x),

funzione di densità associata a F(u,x); considera, ancora, separatamente i casi in cui

x<u e x>u di modo che la forma di F(u,x) dipenda dalla relazione tra u e x. Nel

primo caso, quando x>u, si trova che

f(u,x)c

(1 P(x))1 (u)1 (0)

= −−−

λ ψψ

quando, invece, x<u si avrà

f(u,x)c

(1 P(x))(u x) (u)

1 (0)= −

− −−

λ ψ ψψ

.

Dickson non dà una spiegazione di questa ultima espressione; comunque nota che,

dividendo entrambi i membri per 1-ψ(u) e riordinando si ottiene


χ(0.u)f(u,x)=g(0,x)ξ(u-x,u)

Questa identità è spiegata da Feller (1971), considerando i due eventi:

-Evento 1: Si verifica il fallimento dalla riserva iniziale 0 e

a)la riserva immediatamente prima della rovina è minore di x

b)c’è un intersezione del processo di surplus tramite u, con u>x, prima del

fallimento

-Evento 2:-la riserva scende sotto il suo livello iniziale, con u>x, e

1) la riserva scende sotto il suo livello 0 iniziale per il primo periodo di un

ammontare y, con 0<y<x, e

2) il fallimento si verifica dal livello di riserva u-y senza raggiungere il livello u

prima del fallimento.

Il processo duale U*(t) è costruito considerando il tempo, τ, della prima

intersezione tra i livelli iniziali di surplus. Tale processo viene definito da

U*(t)=u-U(τ-t) per o≤ t≤τ

U*(t)=u+U(t) per t>τ.

Allora per ogni realizzazione del processo della riserva U(t) con livello iniziale

u soddisfacente le condizioni dell’evento 1, ci sarà un unica realizzazione duale del

processo U*(t), che ha la stessa funzione di densità e che soddisfa le condizioni

dell’evento 2. La probabilità dell’evento 1 sarà

χ(0,u)F(u,x)

e la probabilità dell’evento 2

g(0,y) (u y,u) y0

x

ξ −∫ d

allora


F(u,x)1

(o,u)g(0,y) (u y,u) y

0

x

= −∫χ

ξ d

e differenziando

f(u,x)1

(0,u)g(0,x) (u x,u)

c(1 P(x))

(u x) (u)1 (0)

= − = −− −−χ

ξλ ψ ψ

ψ

che dimostra che se si calcola ψ(u), è facile calcolare la funzione di densità f(u,x).

7.4-Coefficiente di aggiustamento e disuguaglianza di Lundberg

Un limite superiore della probabilità di fallimento è dato dalla disuguaglianza di

Lundberg che stabilisce che

[ )ψ (u) e , u 0,Ru≤ ∀ ∈ ∞− (4.1)

Per dimostrarlo, seguendo l’impostazione di Gerber (1979) si introduce la

probabilità di rovina prima dell’nmo indennizzo, ψn(u). Questa probabilità è

funzione della riserva iniziale u,−∞< <∞u , per n=0,1,2,.....; si dimostra per

induzione rispetto ad n che

nRu(u) e , uψ ≤ −∞< <∞− .

per tutti gli n. La validità di questa disuguaglianza implica che dell’equazione

ψ(x) è il limite di ψn(x) per n tendente ad infinito dove, per il principio delle

probabilità totali, essendo t il tempo e y il totale del primo indennizzo,

ψ κ ψκ(u) e (u ct y) P(y) tt0 0=∫ + −∫−∞ ∞ d d , e

0ψ ( )u= <

= ≥

⎧

⎨⎪

⎩⎪

1 per x 0

0 perx 0

allora ψ0(x)≤e-Ru, −∞< <∞u .Si dimostra, utilizzando il principio delle probabilità

totali che


[ ]nt

0n 1

t

0(u) e (u ct y) P(y) t e exp R(u ct y) P(y) tψ κ ψ κκ κ= ∫ ∫ + − ≤∫ − + −∫ =−

∞

−−∞

∞−

∞

−∞

∞t d d d d

=+

∫−∞

∞−

κκ Rc

e P(y)eRy Rud .

7.5-Relazione tra il coefficiente di aggiustamento e il principio dell’utilità

zero

Gerber (1979) dimostra che esiste un collegamento tra il coefficiente di

aggiustamento e il principio dell’utilità zero con funzione di utilità esponenziale.

Sia B(t) il premio totale pagabile per coprire S(t), gli indennizzi globali che si

presentano tra 0 e t. Supposto che B(t) sia determinato con la funzione di utilità

esponenziale, con parametro a>0, si avrà

[ ]B(t)1

log E et

e P(y) 1S(t) y= = −∫⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−∞

∞

a ada aκ

allora B(t)/t, il premio per unità di tempo, sarà indipendente da t e uguale a c, dove

c e P(y) 1y= −∫⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−∞

∞κa

da

e il relativo coefficiente di aggiustamento sarà R=a.


7.6-Applicazione dell’equazione del rinnovo e formula asintotica della

probabilità di fallimento.

Seal (1969), Gerber (1979), dimostrano che l’equazione

[ ] [ ]ψλ

ψλ

(t)c

(t y) 1 P(y) yc

1 P(u) u0

t

t= − −∫ + −∫

∞

d d

detta equazione del rinnovo imperfetta e che mostra che ψ(u), u>0, soddisfa un

equazione del rinnovo,

Z(u) g(u) Z(u y)h(y) y, u 00u= − >∫ d (6.1)

con

[ ]g(u)c

1 P(y) yu

= −∫∞λ

d (6.1’)

e

[ ]h(u) c 1 P(u)= −λ

(6.1’’)

Z(u) e g(u) si annullano in (−∞,0). Gerber (1979) dà prima la soluzione per

l’equazione del rinnovo di tipo proprio. La (6.1) può essere scritta nella forma

Z=g+Z*h (6.2) sia

u(t) h (t)k

k 1= ∑ ∗

=

∞

(6.3)

pertanto

u(t) 1/ , per t→ →∞μ (6.4)

e dove uh(u) u0

μ = ∫ ∞ d Si osservi che u=u*h+h. Si dimostra che

Z(t) g(t) g(y)u(t y) y0t= + −∫ d (6.5)

è la soluzione della (6.1). Se t tende ad infinito, per la (6.4) si ha

Z(t)1

g(y) y0→ ∫ ∞

μ d . (6.6)

Quando l’equazione del rinnovo è in difetto, imperfetta, o in eccesso, sia R la

soluzione dell’equazione

Ry

0e h(y) y 1

∞

∫ =d (6.7)


se R>0 si avrà l’equazione in difetto, se invece sarà R<0 sarà in eccesso. Si noti che

~h(y) e h(y), y 0Ry= > (6.8)

è una funzione di densità. Moltiplicando la (6.1) per eRu, si ottiene l’equazione del

rinnovo propria

~ ~ ~Z(u) g(u) Z(u y)h(y) y, u 0

0

u

= + − >∫ d (6.9)

dove ~ ~Z(u) e Z(u), g(u) e g(u)Ru Ru= = (6.10)

allora se g è sufficientemente regolare ~Z(u) C, per u→ →∞ (6.11)

dove

Ce g(y) y

ye h(y) y

Ry

0

Ry

0

=∫

∫

∞

∞

d

d (6.12)

che significa che Z(u) è asintoticamente esponenziale, Z(u) Ce Ru≈ −

Sostituendo la (6.2’’) nella (6.8) si ottiene l’equazione che definisce il

coefficiente di aggiustamento R

[ ]λc e 1 P(y) y 1Ry

0

∞

∫ − =d (6.13)

che significa che ψ (u) C e per uRu≈ ⋅ →∞− (6.14)

che è la formula asintotica della probabilità di fallimento che è stata ottenuta dal

Lundberg nel 1926. Per ottenere C sostituendo la (6.1’) e la (6.1’’) nella (6.10) si

ha

[ ]

[ ]C

e 1 P(u) u y

ye 1 P(y) y

Ry

0 y

Ry

0

=∫ −∫

−∫

∞ ∞

∞

d d

d (6.15)


nella quale può essere semplificato il numeratore, cambiando l’ordine di

integrazione e utilizzando la

[ ]C

1R

c

ye 1 P(y) yRy

0

=−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

∫ −∞

λ μ

d (6.16)

una espressione equivalente per il numeratore potrebbe essere ρμ/R.

7.7-Probabilità di non fallimento e perdite massime globali

Nei recenti lavori che presentano vari metodi classici per calcolare la probabilità

di fallimento nel modello collettivo, vi è il metodo, dovuto a Beekman, basato su

serie di convoluzioni, nel quale si assume che il numero di indennizzi sia un

processo di Poisson. Seguendo l’impostazione di Shiu (1987,1989), nel seguito

sarà presentato il risultato di Beekman.

Sia {Xi} una sequenza di v.c. mutuamente indipendenti non negative, ciascuna

con distribuzione P(x) e valore atteso E[Xi]=p1<∞ .Sia {N(t), t≤0} un processo di

Poisson, indipendente da {Xi} con

Pr[N(t)=n]=e-λt(λt)n/n!, λ>0, n=0,1,2, ...

Per un dato numero positivo θ, sia L la v.c. che denota la massima perdita globale

L sup X (1 )p ti 1 t 0i 1

N(t)

= − −∑⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

≥=

θ λ

allora

( ) ( )Pr[L u]1

1 H un 0

nn≤ =

++∑

=

∞ −∗

θθ

θ

dove


∗ =

= ≥

= <

⎧

⎨⎪

⎩⎪

0H (u)1 per u 0

0 per u 0

e, per n=1,2,3, ...,

( )( )[ ]∗

∗ −

== ∫ − − ≥

= <

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

n 1

n 1

0

u

H (u)

1p H u x 1 P(x) x per u 0

0 per u 0

d

La probabilità di fallimento, ψ(u), è data da Pr[L>u]. Bowers dimostra che la

v.c. L della perdita massima globale può essere decomposta in

L=L1+L2+ ... +Ln

dove la v.c. N ha una distribuzione geometrica

Pr[N=j]=θ(1+θ)-j-1, j=0,1,2,...,

e {Li} sono v.c. non negative mutuamente indipendenti, ciascuna con funzione di

densità

h(x)=[1-P(x)]/p1, x≥0

pertanto la funzione H*n sarà la funzione di distribuzione della somma

L1+L2+...+Ln.

La maggiore difficoltà sta nel calcolo della convoluzione {H*n}.

Sfortunatamente l’equazione mostra che la v.c.{Li} non può essere discreta.

Uno dei possibili approcci, dovuto a Taylor e Panjer, consiste nell’approssimare

{Li} con una v.c. discreta, oppure secondo Beekman e Meyers si potrebbe invertire

la funzione caratteristica con una integrazione approssimata.

Beekman & Bowers suggeriscono una approssimazione per determinare la

probabilità di rovina


[ ]ψθ

(u)1

11 G(x) , x 0≈

+− ≥

in cui G(x) è una distribuzione gamma, e dove l’errore relativo di questa

approssimazione potrebbe diventare considerevole per x molto grande.

7.8-Probabilità di fallimento per distribuzioni dell’ammontare degli

indennizzi infinitamente divisibili

Gerber (1992) assume che la distribuzione dell’ammontare degli indennizzi

faccia parte di una famiglia di distribuzioni infinitamente divisibili, per esempio la

famiglia delle distribuzioni gamma o quella gaussiana inversa. Per un determinato

caricamento di sicurezza la probabilità di rovina sarà funzione della riserva iniziale

e dei due parametri della distribuzione dell’ammontare degli indennizzi. Sia P(x) la

f.r. dell’ammontare di un singolo indennizzo, con P(0)=0 (nessun indennizzo

negativo), e sia p(x) la relativa f.d che sarà infinitamente divisibile e avrà funzione

generatrice dei momenti

( )[ ]M(r) e p(x) x exp e 1 q(x) xrx0

rx0=∫ = −∫∞ −∞d d . (8.1)

Se la distribuzione dell’ammontare degli indennizzi sarà esponenziale si avrà

p(x)=e-x, M(r)=(1-r)-1 e q(x)=x-1e-x. Se invece la distribuzione sarà una gaussiana

inversa

( )p(x)

12 x exp

x 12x

3/ 2

2

= −−⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−

π

M(r) exp 1 1 2r= − −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

e

q(x)1

2x e3/ 2 x/ 2= − −

π.


Si consideri una famiglia di distribuzioni dell’ammontare di indennizzi a due

parametri, P(x;α,β) con funzione generatrice dei momenti

M(r;α,β)=M(r/β)α (8.2)

dalla (8.1) si avrà

q(x;α,β)=αβq(βx). (8.3)

Nel primo caso si avrà una distribuzione gamma con parametri α e β; nel secondo

caso si una distribuzione gaussiana inversa con f.d.

( )p(x; , )

2x exp

x2 x

3/ 2

2

α βα

πβ

β αβ

= −−⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− .

Si assume che la media e la varianza di P(x) siano rispettivamente

xq(x) x 1 x q(x)dx 102

0d =∫ ∫ =∞ ∞ ciò significa che la media di P(x;α,β) sarà α/β e la varianza α/β2.

Si assuma che il processo degli indennizzi totali S(t) sia un processo di Poisson

composto con parametro di Poisson λ e distribuzione dell’ammontare dei singoli

indennizzi P(X;α,β); sia c=(1+θ)/λα/β il tasso con il quale vengono ricevuti i

premi dove, θ>0 è il relativo caricamento di sicurezza; la risultante probabilità di

fallimento sarà denotata con ψ(u;α,β) che dipenderà solo da θ e sarà indipendente

da λ. La funzione 1-ψ(u;α,β) sarà la f.r. della v.c. della massima perdita totale, che

avrà una distribuzione geometrica composta

1 (u; , )1

11 H (u; , )

n 0

n− =+ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟∑

=

∞∗ψ α β

θθ θ

α β

che è la formula di convoluzione di Beekman, con H(u;α,β)=1-

π(u;α,β)/π(o;α,β), nella quale


[ ]π α β α β α β(x; , ) (y x)p(y; , ) y 1 P(y; , ) yxx= − = −∫∫ ∞∞ d d H(u;α,β) è una funzione decrescente di α>0, e H(U;zα,zβ) è una funzione

crescente di z, e ciò implica la corrispondente monotonicità per le convoluzioni di

H. Da queste e dalla formula di convoluzione di Beekman si peeviene al seguente

teorema:

ψ(u;α,β) è una funzione crescnte di α>0;

ψ(u;zα,zβ) è una funzione decrescente di z>0.

Dal teorema si derivano due limiti inferiori per la probabilità di fallimento, il primo

dei quali è ψ(u;0,β), probabilità di fallimento se il processo degli indennizzi totali

S(t) è un proccesso con incrementi stazionari ed indipendenti, per il quale la f.r.

marginale di S(t) è P(x;t,β), che nel primo caso è un processo gamma e nel secondo

un processo gaussiano inverso. Si consideri infatti la funzione generatrice dei

momenti di S(t):

E[erS(t)]=e λt[M(r;α,β)-1]

e se ne determini il limite per α e λ=1/α tendenti ad infinito. Dalle (8.1) e (8.2)

tale limite sarà

( )exp t e 1 q(x) xrx/

0

β −∫⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

∞

d

che dimostra che la f.r. di S(t) è effettivamente P(x;t,β).

Il secondo limite inferiore è dato dalla probabilità di fallimento nel caso in cui

tutti gli indennizzi sono di grandezza costante α/β.

Gerber conclude osservando che se la distribuzione gamma del totale di

indennizzi viene sostituita dalla distribuzione esponenziale con la stessa media, la


probabilità di fallimento aumenta.

Capitolo VIII

Riassicurazione, teoria del rischio e utilità

8.1-La Ripartizione dei rischi: coassicurazione e riassicurazione ...... 125

8.1.1-Riassicurazione proporzionale ..................................................... 126

8.1.2-Riassicurazione non proporzionale .............................................. 128

8.2-Il problema dei pieni di de Finetti ................................................ 129

8.3-Il concetto di utilità nella riassicurazione ..................................... 138

8.4-Il problema dei pieni di de Finetti rivisitato con il

criterio dell’utilità attesa ............................................................. 139

8.5-Dividendi ottimi ........................................................................... 143

8.6-Trattati di riassicurazione reciproci .............................................. 148

8.7-Prezzo di mercato: domanda e offerta di riassicurazione ............. 151

Capitolo VIII

Riassicurazione, teoria del rischio e utilità

8.1-La Ripartizione dei rischi: coassicurazione e riassicurazione

Di fronte all’ingresso nel portafoglio di una nuova polizza la compagnia che

desideri limitare il proprio rischio nell’acquisizione del contratto, considerandolo

troppo oneroso, potrà procedere sostanzialmente in due modi: potrà partecipare

all'assunzione del rischio assieme ad altre imprese, determinando così la

coassicurazione, che consiste nello stipulare la polizza congiuntamente, assumendo

le varie compagnie coassicuratrici ognuna una sua quota percentuale di impegno e

ricavandone ciascuna la relativa quota di premio

Non esiste in questo caso una responsabilità solidale fra i vari partner, i quali

risponderanno singolarmente della propria parte di rischio: in genere, sarà proprio

l'assicurato che di fatto ripartirà l'ammontare del rischio tra le varie compagnie che

risponderanno a lui direttamente per la quota assunta; ma pur rispondendo al

principio generale di limitazione del rischio per le imprese, la coassicurazione, non

ne favorisce lo sviluppo, poiché frena l'accrescimento dei premi, essendo il volume

di questi a condizionare le capacità di assunzione delle compagnie;

Un’altra modalità è la riassicurazione che è pure una cessione di rischio ad altra

o ad altre compagnie ma, avviene con strumenti totalmente diversi. Infatti a

Riassicurazione, teoria del rischio e utilità 126

differenza della coassicurazione, nella riassicurazione l’assicuratore è unico,

risponde perciò in toto dei rischi assunti ma, a sua volta avendo ceduto in

riassicurazione una certa parte del rischio, verrà rifuso, secondo determinate regole,

di una parte del danno che potrà verificarsi..

L'operazione, mediante la quale l'impresa, dietro cessione di una quota del

premio, e quindi con una diminuzione del guadagno, accolla una quota del rischio

ad altra impresa, costituisce l'operazione di riassicurazione passiva. Invece per

l'impresa che riceve il rischio, il riassicuratore, l'operazione costituisce una

operazione di riassicurazione attiva.

In questo meccanismo di ripartizione l'assicurato rimane completamente

estraneo: il contratto impegna esclusivamente la prima impresa e questa sola che,

quindi, sarà responsabile verso di lui del risarcimento del sinistro; se, per ipotesi,

questa fallisse, l'assicurato non avrebbe alcun titolo per esercitare una azione diretta

verso le riassicuratrici. Essa viene normalmente praticata, sia sotto la forma attiva

che sotto quella passiva, da tutte le imprese che così realizzano un frazionamento,

una redistribuzione e un livellamento dei rischi. Vi sono anche delle imprese che si

dedicano esclusivamente a questa attività detta perciò riassicurazione professionale

Le tecniche di riassicurazione sono molto varie. Si distinguono due grandi

classi, quella della riassicurazione proporzionale e quella non proporzionale.

8.1.1-Riassicurazione proporzionale

Consiste semplicemente nella cessione di una percentuale del rischio, in base

alla quale verrà ripartito il premio e verrà poi ripartita la liquidazione della


prestazione. L’aspetto più importante di questo tipo di contratto è che la

partecipazione del riassicuratore è nota e stabilita senza riguardo all’entità del

danno; il riassicuratore partecipa, in egual misura, agli effetti positivi del rapporto

riassicurativo (premi, sovrappremi, recuperi...) ed a quelli negativi (sinistri, costi,

riscatti...)

Tecnicamente vi sono diversi procedimenti di riassicurazione proporzionale:

quella individuale, considerata polizza per polizza, e quella globale per l'intero

portafoglio. Si distingue anche una riassicurazione facoltativa da quella

obbligatoria La prima si ha quando l'operazione dipende dall'iniziativa della

cedente e cioè senza che sussista un precedente impegno con la riassicuratrice; in

sostanza, l'assicuratore dopo aver assunto un rischio che comprometta la stabilità

della sua impresa ne cede la quota eccessiva ad altro assicuratore. La

riassicurazione obbligatoria scaturisce invece da un impegno contrattuale

chiamato trattato di riassicurazione, in cui la cessione avviene per tutti i rischi di

un portafoglio con una delle seguenti modalità:

-in “quota parte” (Quota Share Reinsurance), cioè in misura percentuale uguale

per ogni rischio;

-per “eccedente di rischio” (Surplus Reinsurance), cioè per la sola parte che

eccede un certo pieno di conservazione.

La riassicurazione proporzionale è l’unico procedimento possibile nelle forme

di assicurazione in cui, come nel ramo vita e in quelli incendio e trasporti, in caso

di sinistro deve essere liquidata una somma determinata a priori; trova applicazione

soprattutto nelle società facenti parte dello stesso gruppo finanziario in quanto i


riassicuratori vedono in questa forma la possibilità di estendere il proprio interesse

a tutti gli affari della compagnia cedente, evitando così di essere chiamato a

partecipare solo ai rischi più onerosi.

Tuttavia, tale procedimento nonostante risponda ad altre esigenze di carattere

economico delle imprese non risponde però ai requisiti tecnici che sono alla base

del procedimento riassicurativo, in quanto eliminando una stessa percentuale di

tutti i rischi si realizza un abbassamento proporzionale di tutte le esposizioni al

rischio stesso, mentre rimane immutata la relativa variabilità delle somme

assicurate.

8.1.2-Riassicurazione non proporzionale

Si differenzia profondamente dalla precedente, basandosi sulla misura del

danno, quando esso si sia verificato. Le modalità sono principalmente due:

-Riassicurazione per eccesso di sinistro singolo (Excess of loss): il sinistro

rimane a totale carico della cedente se l'importo del danno non supera un certo

valore precedentemente stabilito, detto priorità; se, invece, l'ammontare del sinistro

supera detto valore, il riassicuratore risarcisce l'impresa cedente dell'eccedenza (o

surplus). La quota del premio che, in corrispettivo, viene ceduta all'impresa

assicuratrice, sarà ovviamente in funzione del limite che stabilisce l'eccedenza del

sinistro, per esempio una somma non superiore al pieno della cedente o a un suo

multiplo o sottomultiplo.

-Riassicurazione per eccesso sinistri globale (Stop loss): riguarda tutti i sinistri

che avvengono durante un dato periodo, per esempio un anno, in un determinato


gruppo di assicurazioni. Tali sinistri restano a carico dell'assicuratore se non

superano, nel loro insieme, un importo concordato, generalmente espresso con una

percentuale dei premi incassati. Se invece i sinistri superano l'importo stabilito, il

riassicuratore rimborsa all’assicuratore l'intera eccedenza, o una parte di essa a

seconda degli accordi. Questa forma è generalmente preferita per quelle forme di

assicurazione dove la somma da liquidare in caso di sinistro non è valutabile a

priori, soprattutto per quei rami in cui le distribuzioni delle frequenze relative

presentano andamenti non ancora accertati e variabilità amplissime, come ad es.

responsabilità civile, furti, grandine, etc..

8.2-Il problema dei pieni di de Finetti

de Finetti (1939) nel suo celebre lavoro, “Il problema dei pieni” ha affrontato la

trattazione dei problemi della ritenzione ottimale dei rischi di un portafoglio

ispirandosi al criterio della probabilità di rovina in un esercizio, e altresì a quello

della probabilità asintotica di rovina. Prendendo in considerazione contratti di

assicurazione sulla vita, incentra il discorso sulla particolare forma di assicurazione

in quota individuale, e individua la soluzione ottimale con un procedimento a due

stadi introducendo la nozione di “pieno relativo” e “pieno assoluto”.

Seguendo tale impostazione, si consideri un’impresa che disponga di un dato

fondo di garanzia G ed abbia assunto un certo insieme n di assicurazioni, i cui

guadagni aleatori relativi ad un dato esercizio saranno X ,X , ... ,X1 2 n e il cui

guadagno totale sarà X Xi 1

ni= ∑

= che potrà essere negativo e costituire quindi una


perdita, ma interessa che in tal caso essa non superi G, altrimenti si avrebbe il

fallimento della compagnia. Interessa conoscere la probabilità della disuguaglianza

X G 0+ < e se essa non è talmente piccola da giudicarsi compatibile col grado di

prudenza prefissato bisogna cercare di diminuirla ricorrendo alla riassicurazione,

nonostante ciò porti a rinunciare ad una parte del guadagno.

Sorge così il problema dei pieni che consiste nel determinare il modo e i limiti

più vantaggiosi nella riassicurazione e cioè tali da rendere massima la diminuzione

del rischio di fallimento. Si dovrà ricercare la più vantaggiosa tra le forme di

riassicurazione ottenibili riassicurando in opportuna misura ciascun contratto

individuale indipendentemente dal risultato degli altri.

Il problema potrà essere impostato nei seguenti termini: si dovrà coprire una

generica assicurazione o integralmente, per la quota α=1, o parzialmente per una

quota α<1, cedendo in riassicurazione la quota residua 1-α; bisognerà determinare

se e quale parte si vuole riassicurare per ogni polizza, ossia fissare α1, α2, ... ,αn in

modo che la diminuzione della probabilità di fallimento risulti massima possibile a

parità della parte di guadagno cui si rinuncia per effetto di riassicurazione; e che la

suddetta probabilità di fallimento si riduca in modo da ottenere il grado di

sicurezza desiderato. Il primo problema si dice di pieno relativo in quanto

determina in quale relazione fra loro debbano fissarsi i pieni per le diverse forme di

assicurazione se si vuol ottenere il miglior risultato a parità di sacrificio: è dunque

un problema di optimum; il secondo costituisce invece un problema di pieno

assoluto.


Riferendosi al caso dell’indipendenza stocastica fra le diverse assicurazioni, è

noto che se le v.c. X1,X2, ... ,Xn sono stocasticamente indipendenti la loro somma

X, se n è abbastanza grande ha una distribuzione di probabilità gaussiana, purché

nessuna delle Xh abbia un’influenza troppo sensibile sulla somma X, cioè nessuna

singola assicurazione deve essere tanto elevata che il guadagno dell’assicuratore

nel complesso dell’esercizio dipenda dal risultato di essa sola.

La conoscenza della forma della d.d.p. è necessaria solamente nel caso si

consideri il problema del pieno assoluto; in questo caso è sufficiente che tale d.d.p.

si conservi praticamente dello stesso tipo al variare delle quote α1,α2,...,αn, perché

così soltanto si dà fondamento a tutte le considerazioni basate sugli “indici di

rischio”, e in particolare al “rischio medio quadratico”, che altro non è che lo

s.q.m.; infatti per rendere quanto più piccola possibile la probabilità di fallimento

basta rendere quanto più piccolo possibile lo s.q.m. in rapporto al fondo G

disponibile. Se σ σ σ1 2 n, , ... , sono i “rischi medi”, ossia gli s.q.m. di

X ,X , ... ,X1 2 n lo s.q.m. del guadagno totale Xsarà dato da σ σ2

h=∑ 2 e per le

v.c. Xh=αhX h e X=Σ αhX h si avrà:

h h h2

h2

h2

h2

, σ σ σ σ σ= =∑ =∑a a .

Il fondo disponibile G dipenderà pure da α1,α2, ... ,αn, in quanto esso sarà

normalmente costituito da un importo G0 già accantonato e dalla parte disponibile

dei caricamenti in corso. Dette c ,c , ... ,c1 2 n tali parti di caricamento relativamente

alle assicurazioni supposte non riassicurate, esse si ridurranno per effetto della

riassicurazione a ch=ch(αh) e sarà G=G0+Σch(αh).


Il caricamento disponibile perduto, è anche l’importo che si deve rendere

minimo, cioè la parte di guadagno cui si rinuncia per effetto della riassicurazione,

costituita dalla parte di guadagno cui si rinuncia a favore del riassicuratore più la

maggior spesa di gestione che la polizza richiede in quanto riassicurata.

Il margine effettivo di guadagno dell’assicuratore si riduce da

( )c c a c= ch h h=∑ ∑ α e, quindi la massima perdita sopportabile si riduce da

G G c a G G +c0 0= + = , lo s.q.m. si riduce da σ σ σ σ α= ∑ = ∑h

2

h

2

h

2 a ; il

massimo “scarto ridotto sfavorevole” sopportabile dato dal rapporto t=G/σ, da

( )t G a t= G G c

h2

h2

0 h h

h2

h2

=∑ ∑

=+∑

∑σ σ

α

σ α.

La probabilità di fallimento, dipenderà da t e sarà una funzione decrescente di t,

e, ammettendo che la distribuzione sia gaussiana, sarà

( )P t1

2e x

12

2x

t

= −

∞

∫π

d

Il problema del pieno relativo consiste nel determinare α1,α2, ...,αn in modo che

a parità del fondo di garanzia G si renda massimo t che equivale a cercare il

minimo di σ, ossia il minimo della forma quadratica 2h2

h2

σ α σ=∑ .

I pieni relativi saranno pertanto soluzione del problema di minimo vincolato

(Daboni, 1986),

{ }hah2

h2min sa∑

Σch(ah)=g

0≤ah≤1

dove g è il fissato valore di guadagno ritenuto.

Il problema dei pieni relativi non ha una soluzione sostanzialmente differente


considerando il rischio relativo a tutta la durata dell’assicurazione anziché per un

solo esercizio, e si ritrova precisamente la soluzione precedente.

I pieni assoluti si individuano fissando il livello p della probabilità di rovina e

determinando il valore t’ di t per il quale risulta P(t’)=1-p dove P è la f.r. del

guadano ridotto; pertanto i pieni assoluti sono quelli relativi che competono al

particolare valore g’ del guadagno ritenuto in corrispondenza al quale il rapporto t

assume il valore t’.

de Finetti, secondo Daboni, Sigalotti e Zecchin (1987), affronta il problema

della ricerca della politica ottimale di riassicurazione tenendo conto dello sviluppo

futuro del portafoglio per trattare il problema in una visione dinamica e impiegando

conseguentemente il criterio della probabilità asintotica di rovina.

Gli era nota l’impostazione della teoria collettiva presentata nel 1909 al VI

Congresso Internazionale degli Attuari a Vienna da Ph. Lundberg e alla quale

aveva apportato vari miglioramenti Cramer nel 1930.

Nell’originaria impostazione del Lundberg é il problema posto con riferimento

ad una successione di esercizi, o anche, teoricamente, per una successione infinita

ed in tal caso occorre includere nell'impostazione l’indicazione delle norme che si

intendono adottare per accantonare i fondi di garanzia ed attingere ad essi; si

ipotizza che il complesso degli affari che verranno per il futuro acquisiti

dall’impresa si manterrà costante nei futuri esercizi; in questa ipotesi l'ammontare

dei premi che l'impresa percepirà in relazione ad un determinato periodo, sarà

proporzionale al periodo stesso.

I premi comprensivi di un caricamento costante per il rischio, affluiranno in un


fondo che presenterà una determinata consistenza iniziale e dal quale verranno

prelevate le somme da corrispondere per la liquidazione dei sinistri.

Le disponibilità del fondo non saranno investite o, meglio, il reddito prodotto

dagli investimenti non verrà accreditato al fondo. Si suppone pure che la legge di

distribuzione delle somme da corrispondere in caso di sinistro sia la medesima nei

successivi esercizi, e cioè che l'importo medio di ciascun sinistro sia costante, per

cui anche il valore medio delle somme liquidate in un determinato periodo risulterà

proporzionale al periodo stesso.

Ovviamente, le somme effettive potranno tuttavia risultare maggiori o minori

del loro valore medio e potrebbero anche superare la consistenza determinatasi nel

fondo dal quale vengono prelevate le somme per effettuare i pagamenti.

Viene considerata la probabilità che il fondo si esaurisca in qualsiasi momento,

cioè che l'impresa fallisca in un periodo illimitato di tempo.

Sostanzialmente la probabilità asintotica, p(u), di rovina dell’assicuratore che

dispone di un fondo iniziale u è data dalla

p(u) C e u≈ ⋅ −α

dove α è un funzionale della distribuzione del danno e del caricamento del premio

operato dall’assicuratore. Si è già visto come nella trattazione di Lundberg-Cramer

viene introdotta una trasformazione esponenziale in cui figura la quantità positiva

R, coefficiente di aggiustamento, e in termini del quale risulta p(u)≤e-Ru.

de Finetti osserva che i risultati stabiliti da Lundberg e Cramer possono essere

giustificati in modo semplice e interpretati in modo significativamente operativo,

proponendo un originale schema descrittivo della gestione di un portafoglio


riassicurativo alla stregua di un processo a parametro discreto di submartingala.

Posto che in ogni esercizio il guadagno medio sia positivo, il processo del

guadagno cumulato del portafoglio è descritto in termini di submartingala, (vedi

1.4.1, pg.14), secondo cioè la

E(Z Z ,Z ,...,Z ) E(Z )n 1 1 2 n n+ ≥

con n ii 1

n

Z G=∑=

guadagno cumulato nei primi n esercizi, valendo la condizione

E(Gh)≥0.

I guadagni G non sono più equi, ma l’idea definettiana è quella di ricondurre

l’evoluzione del patrimonio della compagnia a quella della fortuna di un giocatore

che affronti una sequenza infinita di partite a condizioni stazionarie, cioè

formalmente caratterizzate da un livello di rischiosità costante, contro un

avversario infinitamente ricco. Ciò consente di appoggiarsi alla generalizzazione

del procedimento classico relativo al problema della rovina dei giocatori, dovuto al

de Moivre, e del quale si è già ampiamente discusso nel cap.I pg.36-38, eseguendo

una trasformazione esponenziale attribuendo al guadagno Gi il valore e-αGi-1.

Pertanto saranno equi i trasformati dei guadagni Gi*=e-a*G’i-1 in cui Gi’ sono i

guadagni aleatori dei portafogli riassicurati secondo la politica a* di caricamento di

sicurezza o di riassicurazione operata sulle singole polizze esercizio dopo esercizio

e 1/a* è il suddetto livello di rischiosità, cioè l’assicurazione della somma sotto

rischio verso il corrispondente premio di rischio.

Il processo {F+Z*n; n≥1} con n i

i 1

n

Z G∗ ∗

==∑ è una martingala, e, per Daboni

(1986), sotto ipotesi realisticamente verificabili sulla dispersione degli Z*n, la


probabilità che al crescere di n si verifichi per la prima volta l’evento {F+Z*n≤0} è

data da

po=e-a*F

che è dunque anche la probabilità di rovina dell’impresa che si prospetti per ogni

esercizio i guadagni aleatori G’i e, ciò avviene se le polizze sono tutte riassicurate

secondo il medesimo livello di rischiosità 1/a*, se cioè in condizioni di non

correlazione dei rischi, il guadagno aleatorio Gh della singola polizza

eventualmente riassicurata è tale da rendere equa la v.a. Gh*=e-a*Gh-1. Se la

distribuzione del guadagno non si discosta notevolmente dalla normale, posto

B il livello di rischiosità per una singola assicurazione vita; la parte di risparmio

sarà del tutto estranea;

C la somma assicurata;

p la probabilità o premio puro;

m il margine unitario di caricamento disponibile;

si ottiene

( ) ( )m

Cp 1 p2B

, BCp 1 p

2m=

−=

−.

Pertanto affinché tutte le singole assicurazioni corrispondano allo stesso ed unico

livello di rischiosità B, il margine unitario di caricamento dovrebbe crescere

proporzionalmente alla somma assicurata C; se invece m si lasciasse fisso, il livello

di rischiosità crescerebbe proporzionalmente alla somma assicurata C. Non

volendo superare un livello B stabilito si dovrà limitare la somma assicurata al

massimo espresso da


( )C

2mB

p 1 p=

−

che esprimerà il pieno al di là del quale i rischi dovrebbero venire coperti per

riassicurazione. I pieni, pertanto, dovranno essere proporzionali direttamente al

margine di caricamento disponibile e inversamente allo s.q.m.. Infatti supposto che

ad ogni dato istante il fondo G e le polizze abbiano tutte lo stesso livello di

rischiosità, e supposte verificate le altre ipotesi, la conclusione cui perviene de

Finetti afferma che assicurando in futuro solo polizze che abbiano un livello di

rischiosità B, o uno più piccolo, si resta garantiti con la probabilità 1-e-G/B di non

fallire. Col passare del tempo il valore del fondo cambia e sia G1 il valore che

assume dopo un certo periodo; se si continuano ad assicurare polizze aventi lo

stesso livello di rischiosità B, muta anche la probabilità di non fallire in futuro che

diviene 1-e-G1/B; se invece si vorrà lasciare immutata tale probabilità, sarà

necessario riassicurare diversamente le polizze, assumendo come nuovo livello di

rischiosità B1, per cui sarà GB

GB

1

1= .

L’Ottaviani (1940) osserva che se si vuol mantenere inalterata la definizione di

pieno, sarà necessario modificare ogni tanto le condizioni; essendo inutile

considerare la probabilità di non fallire per un periodo di tempo lunghissimo, a

causa del cambiamento delle condizioni del fondo, sarà più logico considerare tale

probabilità entro un più breve periodo di tempo, al più quattro o cinque anni, e su

tale periodo basare la definizione di pieno.

Daboni (1986) mette in evidenza invece come l’impostazione proposta dal de


Finetti fornisca una interpretazione del modello di Lundberg-Cramer in una verione

semplificata e operativa sul piano pratico.

De Ferra & Pressacco (1987) notano che, pur se originale ed interpretativamente

efficace, il discorso sviluppato da de Finetti nella seconda parte del lavoro rientra

nell’alveo della teoria classica del rischio.

In seguito lo stesso de Finetti maturò nei confronti di questa teoria una

posizione critica ritenendo che per mantenere contenuta la probabilità di fallimento

su un orizzonte asintotico dovessero apprestarsi strategie tendenti a far crescere

indefinitamente ed oltre ogni limite le riserve di garanzia, anche in condizioni di

stazionarietà del portafoglio.

Si rese pertanto necessario considerare schemi di comportamento più realistici.

8.3-Il concetto di utilità nella riassicurazione

I primi approcci ai problemi di riassicurazione, e conseguentemente alla

probabilità di rovina, erano basati essenzialmente sul trovare una relazione

matematica tra alcune misure di stabilità, come la probabilità di rovina, e alcuni

parametri, quali ad es. il massimo limite di ritenzione (il pieno) che la compagnia

dovrebbe sempre tenere in considerazione.

Gran parte della letteratura oggi esistente è orientata invece verso l’applicazione

della teoria dell’utilità, Borch (1960, 1961, 1962, 1966, 1986), Seal (1969), Gerber

(1979), Goovaerts, De Vylder e Haezendonck (1984), Heijnen & Gerber (1985),

Hurlimann (1986), Daboni (1986), Heerwaarden, Kaas. Goovaerts (1989), Daykin,

Pentikainen e Pesones (1994), notano come la varianza non sia uno strumento


ideale come indice di preferibilità nella scelta tra diverse alternative, per cui è

necessaria l’introduzione delle funzioni di utilità atte a descrivere meglio il

comportamento di un decisore, sia esso l’assicurato, l’assicuratore o il

riassicuratore.

Borh (1960, 1961, 1962, 1963, 1966, 1986) occupandosi anche dei problemi di

riassicurazione connessi a tale approccio, dimostra che se una compagnia persegue

ben definiti obiettivi sulle sue polizze da riassicurare, seguendo dei criteri

economici, anche di validità generale, quali i criteri di ottimo paretiano o

particolari applicazioni connesse alla teoria dei giochi, questi obiettivi possono

essere rappresentati da una funzione di utilità che la compagnia dovrà cercare di

massimizzare.

Questa formulazione del problema renderà possibile in generale determinare un

unico trattato di riassicurazione ottimo quando sono conosciuti gli obiettivi delle

compagnie ed anche le situazioni economiche esterne.

8.4-Il problema dei pieni di de Finetti rivisitato con il criterio dell’utilità

attesa

Daboni (1986) affronta il problema della ritenzione ottimale dei rischi di un

portafoglio, riassicurato in quota individuale, adottando il criterio dell’utilità attesa

e mettendo in evidenza l’analogia di conclusioni che si possono trarre con

l’adozione di tale criterio e di quello della probabilità di fallimento nell’esercizio;

interpreta in termini del criterio dell’utilità attesa le conclusioni ricavabili con il

criterio della probabilità asintotica di fallimento ricavata da de Finetti.


Seguendo tale impostazione si considerino le funzioni di utilità concave che

descrivono il comportamento del soggetto decisore avverso al rischio, in

particolare le funzioni esponenziali caratterizzate da avversione al rischio costante.

Tralasciando questioni di carattere gestionale, si prenda in considerazione un

portafoglio di rischi non correlati. Posto

Xh il risarcimento aleatorio dell’assicuratore,

Ph il premio al lordo del caricamento di sicurezza e al netto dei caricamenti per

spese dell’assicuratore,

mh=Ph-E(Xh) il guadagno medio dell’assicuratore in assenza di riassicurazione,

Prh il premio, al lordo del caricamento di sicurezza e al netto dei caricamenti per

spese, che il riassicuratore richiederebbe per la copertura totale del rischio,

μh=Prh-E(Xh) il corrispondente guadagno medio del riassicuratore,

Gh il guadagno aleatorio dell’assicuratore riguardo alla polizza eventualmente

riassicurata,

Γh=Prh-Xh il guadagno aleatorio del riassicuratore per la copertura totale,

ah la quota percentuale di ritenzione di rischio.

Nel caso di riassicurazione in quota individuale risulterà

Gh=Ph-(1-ah)Prh-ahXh=bh+ahΓh (4.1)

E(Gh)=bh+ahE(Gh)=bh+ahμh,

Var(Gh)=a2hVar(Xh)=a2

hσ2h

per l’intero portafoglio riassicurato risulta

E(G)=ΣhE(Gh)=Σ(bh+ahμh)=M(a*)

ed, essendo i rischi non correlati

Var(G)=ΣhVar(Gh)=Σha2hσ2

h=V(a*)


dove a* indica il vettore le cui componenti ah devono soddisfare la condizione

0≤ah≤1.

Adottando il modello di utilità quadratica si perviene, per la determinazione

della ritenzione ottimale, a un problema di massimo o minimo vincolato la cui

soluzione, che riproduce il problema di minima varianza, fornisce i pieni relativi

stabilendo cioè le quote ottimali di ritenzione a meno di un fattore di

proporzionalità.

Utilizzando il modello di utilità esponenziale si ritrovano le stesse conclusioni

del de Finetti.

Si esaminerà adesso l’andamento dell’utilità attesa del guadagno aleatorio

dell’assicuratore realizzabile con la singola polizza al variare della quota di

ritenzione; si consideri la funzione E[u{G(a)}], [ ]a∈ 0 1, il cui comportamento è

riconducibile a quello dello sviluppo, arrestato al terzo termine, della funzione

cumulante del guadagno G(a)/B=(b+aΓ)/B, [ ]a∈ 0 1, (vedi la 4.1), dove B è il

coefficiente di potenzialità massima il cui reciproco 1/B misura l’avversione al

rischio in condizioni di guadagno nullo, ovvero

ψ μ σ σ γ( ) ( )!

a a a a=− + + +bB B B3

1 12

1 13

12 2

23 3

dove γ è il coefficiente di asimmetria della distribuzione del guadagno della polizza

assicurata; il minimo di tale funzione, al variare di a in [0,1], è un minimo relativo

interno o cade nell’estremo a=1 a seconda che

mina = −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥B

μ

σ

μσ

γ2 112


sia minore o maggiore uguale a 1. In quest’ultimo caso ψ(a)<0 in tutto l’intervallo

0≤ah≤1; se amin<1, si distinguono due casi

1)1B

2m 2)

1B

2m2 2≥ <

σ σ

che riguardano il confronto coefficiente di avversione al rischio con il rapporto

guadagno medio/varianza della polizza non riassicurata.

Nel primo caso se l’avversione al rischio è non inferiore al doppio del rapporto

guadagno medio/varianza della polizza non riassicurata, la riassicurazione in quota

sarà vantaggiosa, indifferente o svantaggiosa a seconda rispettivamente che la

quota a sia minore, uguale o maggiore della radice positiva a0 dell’equazione

ψ(a)=0 ed è ao<1 se il coefficiente di asimmetria, γ, della distribuzione di X è

positivo o se, essendo negativo, è sufficientemente piccolo in valore assoluto.

Nel secondo caso sarà vantaggioso ritenere qualsivoglia quota del rischio e la

vantaggiosità sarà massima con la ritenzione piena se γ<0 e 0<γ<γ0, mentre se γ è

positivo e non inferiore a γ0 esiste una determinazione a<a0 per i quali la

riassicurazione è vantaggiosa rispetto a quelli a>a0, per i quali è svantaggiosa e

indifferente per a=a0; la massima vantaggiosità si realizzerà in corrispondenza ad

mina a≅12 0.

Riconsiderando il problema formulato da de Finetti, Daboni (1986) considera la

funzione generatrice del guadagno Gh(a*) della polizza riassicurata secondo il

criterio a* della probabilità di fallimento, vale a dire la funzione

ϕGh(a*)(λ) =E[e-λGh(a*)]

che è minore di 1 in 0≤λ≤ a* e maggiore di 1 in λ>a*, e dimostra che, ragionando


in termini di utilità attesa, la politica di riassicurazione che prospetta il guadagno

Gh(a*) sarà vantaggiosa, indifferente o svantaggiosa a seconda che la potenzialità

massima B sia maggiore, uguale o minore del livello di rischiosità 1/a*.

Individuata viceversa la politica ottimale di riassicurazione con il criterio

dell’utilità attesa, in corrispondenza ad un fissato valore di avversione al rischio,

con riferimento ad un portafoglio di rischi tutti riassicurabili con la medesima

politica, tanto più elevata sarà l’avversione al rischio del soggetto decisore tanto

minore sarà la probabilità che egli attribuirebbe all’esaurimento nell’esercizio del

fondo inizialmente a sua disposizione.

8.5-Dividendi ottimi

Non si è finora presa in considerazione la possibilità per l’impresa assicuratrice

di pagare i dividendi, cioè gli interessi azionari, agli azionisti della riserva di

rischio (fondo di garanzia). É comprensibile che l’interesse guadagnato sulla

riserve potrebbe accrescere il profitto frutto dei caricamenti sui premi,

specificatamente destinati per la distribuzione agli azionisti.

Se R(t), probabilità di rovina nel breve o nel lungo periodo, diventa troppo

elevata in qualche istante t si potrebbe ridurre il caricamento η o si potrebbe

aumentare il limite di ritenzione Z

In letteratura esistono diversi studi del problema in questione, tra gli altri Borch

(1960, 1961, 1962), Seal (1969), Gerber (1979).

Uno dei primi studi è dovuto al de Finetti (1957/b), il quale rendendosi conto di

come la teoria di Lundberg presenti un modello in cui la speranza matematica del


guadagno dell’assicuratore cresce linearmente nel tempo, suggerì una rettifica di

tale comportamento introducendo una politica di controllo che consiste nel fissare

un livello di soglia Z, superato il quale la parte eccedente del guadagno

manifestatosi viene istantaneamente investito; il fondo di garanzia è pertanto

vincolato a non superare Z.

Il modello è quello di un processo stocastico in presenza di una barriera

riflettente e di una assorbente e la probabilità che il processo si arresti prima o poi

in 0, cioè che intervenga la rovina, è uguale a 1.

Sarà necessario quindi scegliere una strategia con criteri del tipo:

-rendere massimo il valore attuale atteso dei futuri dividendi;

-rendere massima la durata attesa di vita della gestione;

Seguendo tale impostazione si consideri una compagnia di assicurazione che in

ciascuno degli esercizi successivi sottoscriva portafogli identici, e siano dati: il

fondo iniziale della compagnia, S; il premio, P=κ1+η1, con 1 0 x F(x)κ =∫ ∞ d ,

ricevuto dalla compagnia all’inizio di ciascun esercizio al lordo del caricamennto

di sicurezza e al netto del caricamento per spese; la f.r., F(x), degli indennizzi, che

costituiscono un processo di Poisson composto, pagati dalla compagnia in ciascun

esercizio.

Sia E(S) il numero atteso di anni prima del fallimento della compagnia, che ha

f.r. dell’uscita dell’indennizzo totale F(x). Allora, per 0≤S<Z si ha,

E(S) 1 E(S P x) F(x)0S P= + + −∫ + d (5.1)

con la condizione limite E(S)=E(Z), S≥Z. Questa è una equazione integrale che


può essere risolta numericamente per date f.r. F(.), (Seal, 1969). de Finetti (1957/b)

dopo aver presentato il problema nello schema concettuale utilizza un modello di

passeggiata aleatoria espressa da P=1 e

F(x)p 0 x 2

1 2 x=

≤ <

≤ <∞

⎧

⎨⎪

⎩⎪

(5.2)

e la (5.1) diventa

E(S)=1+pE(S+1)+qE(S-1) (5.3)

con le condizioni limite

E(0)=0 e E(Z)=1+pE(Z)+qE(Z-1).

Se Ct è il capitale iniziale della compagnia alla fine dell’esercizio t e xt+1 gli

indennizzi pagati dalla compagnia durante l’esercizio t+1, il capitale della

compagnia alla fine di tale esercizio sarà Ct+1=Ct+P-xt+1. Si assuma ora che la

compagnia operi sotto le seguenti condizioni:

-Se Ct<0 la compagnia sarà insolvente, o rovinata, e non potrà più operare in

ciascun esercizio seguente;

-Se Ct>Z, la compagnia pagherà un dividendo st=Ct-Z. Sarà naturale assumere

che Z sia scelto dal management, perché i profitti cumulati oltre Z avranno una

utilità più bassa dei dividendi pagati.

Il pagamento dei dividendi s1,s2, ...,sτ,...è una successione di v.c; V(S) sarà la

somma attesa scontata dei pagamenti dei dividendi che la compagnia farà prima

dell’inevitabile rovina; sarà:

[ ]V(S) E st

t 1t=∑

=

∞

v (5.4)

dove v sarà il fattore di sconto v=(1+i)-1, i deve essere interpretato come il


guadagno che compete agli investimenti.

Si supponga adesso che l’interesse guadagnato sulla riserva di rischio sia ad un

tasso tale che il valore di una unità pagabile alla fine dell’anno sia uguale a

1-k(1-v), 0≤k≤1;

l’interesse sarà sempre pagato agli azionisti qualunque sia la grandezza della

riserva; si supponga inoltre che l’utile netto di ogni anno, P-X, dove X è l’uscita

dell’indennizzo totale con f.r. F(.), non sia sottoposto ad interesse. Sotto queste

condizioni, il valore atteso dei futuri dividendi sarà

[ ]V(S) k(1 )S V(Z) S p Z x) F(x)0S P Z= − + + + − −∫ ++ −v v d

+ + −∫ + −+v dV(S P x) F(x)S P Z

S P (5.5)

dove il primo integrale, che rappresenta il pagamento dei dividendi eseguito

quando X è piccolo, si annulla per S≤Z-P, ed in tal caso il limite inferiore del

secondo integrale sarà zero.L’equazione potrà essere semplificata a

V(S)=k(1-v)S+vV(Z)F(S+P-z)+v d v dF(x) x V(x) F(S P x)x0Z

0S P Z + ∫∫ + −+ − (5.6)

con il secondo e il terzo termine uguale a zero quando S≤Z-P, ed in questo caso il

limite superiore del secondo integrale sarà uguale a zero.Se S>Z si avrà

V(S)=V(Z)+S-Z (5.7)

Nel casi precedente in cui P=1, e F(.) è data dalla (5.2), la (5.6) per 0<S≤Z, si

semplificherà a

V(S)=k(1-v)S+vpV(S+1)+vqV(S-1) (5.8)

posto che V(Z+1)=V(Z)+1 e V(0)=0. Borch, secondo Seal (1969), riconsiderò la

(5.8) per K=0 con la differente condizione limite V(-1)=0, che è il fallimento per

S=-1 invece di S=0. Dimostrò che non è possibile aumentare il valore atteso dei


dividendi futuri V(S) con la riassicurazione proporzionale per quota, poichè

provoca un incremento di E(S) nella (5.3), che conduce ad una infinita probabilità

di vita e nessun dividendo quando la quota riassicurata è del 100%; suggerì che il

management della compagnia dovrebbe cercare di massimizzare entrambi E(S) e

V(S) quando formula la polizza riassicurativa.

L’innovazione di de Finetti, secondo Borch (1961), De Ferra & Pressacco

(1987), consiste nel rimuovere la probabilità di rovina come parte dell’obiettivo

della compagnia, sostituendola con la speranza matematica del valore attuale dei

dividendi futuri di impresa distribuibili in accordo ad una strategia a barriera

riflettente, e definendo un limite superiore alle riserve che la compagnia vorrebbe

accumulare. Si dovrà anche considerare un limite inferiore dell’interesse sul

capitale che la compagnia dovrebbe possedere all’inizio di ciascun esercizio. Ciò

significa che dopo un esercizio sfavorevole si dovrebbe cercare di ottenere un

nuovo tasso di interesse sul capitale e ciò dovrebbe essere possibile se i mercati dei

capitali funzionassero efficientemente. Se la compagnia è proprietaria di una

società finanziaria, ci si dovrà aspettare che il proprietario provveda a che le società

collegate finanzino ciascun esercizio con un ottimo ammontare di capitale netto.

Borch dimostra che l’ammontare ottimo di capitale da mettere a rischio è uguale

all’attuale valore atteso dei guadagni.

Secondo De Ferra & Pressacco (1987) è il livello della barriera riflettente- che

consiste nel ripartire come dividendo l’intera eccedenza delle risorse libere

aziendali rispetto ad un livello prefissato del fondo di garanzia- a giocare nel

modello il ruolo di variabile decisionale, determinata dalla mediazione fra due


esigenze contrapposte: aumentando il livello del fondo si ottiene una migliore

prospettiva di durata degli affari e dunque di guadagni futuri, il cui inizio deve

però essere differito di una attesa tanto più lunga quanto più alto è, a parità di

capitale iniziale, il livello stesso.

7.6-Trattati di riassicurazione reciproci

Borch (1962) studiò il caso di due compagnie di assicurazione che negoziano

per concludere un reciproco trattato di riassicurazione. Dimostrò che sotto

determinate condizioni esiste un unico trattato ottimale per entrambe le compagnie.

Nel 1982 generalizza tali risultati ad n compagnie, ciascuna delle quali possiede un

portafoglio di contratti assicurativi.

La situazione di rischio per la ima compagnia è definita da due elementi:

-la distribuzione del rischio Fi(xi) che è la probabilità che l’ammontare totale di

indennizzi che si presentano nel portafoglio di contratti non ecceda xi, con

x1,...,xi,...,xn stocasticamente indipendenti;

-il fondo, Si, che la compagnia ha disponibile per il pagamento degli indennizzi.

A questa situazione di rischio la compagnia attribuirà una utilità Ui(Si,Fi(x)i).

Dall’assioma di Von Newmann & Morgerstern segue che

( ) ( ) ( )i i i i0

i i i iU S ,F x u S x d F x⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟= ∫ −

∞

dove ui(x) è l’utilità della moneta della ima compagnia, e u(x) è una funzione

continua non decrescente di x derivabile fino al secondo ordine. In questa

situazione la ima compagnia si impegnerà a pagare un ammontare xi se gli

indennizzi che si presentano nel suo portafoglio ammonteranno a xi.


Nel mercato riassicurativo le compagnie potrebbero portare a termine trattati per

scambiare i loro iniziali impegni. Per esempio un trattato reciproco tra la

compagnia i e la compagnia j potrebbe essere definito da due funzioni yi(xi,xj) e

yj(xi,xj) dove yi(xi,xj) è l’ammontare che la compagnia i dovrebbe pagare alla

compagnia j. Da quel momento dovranno essere pagati tutti gli indennizzi e seguirà

che yi(xi,xj)+yj(xi,xj)=xi+xj. Generalizzando si introduce un insieme di funzioni

yi(x1,x2, ... ,xn) i=1,2, ... ,n

che sarà l’ammontare che la ima compagnia dovrà pagare se gli indennizzi del

proprio portafoglio ammonteranno a x1,x2, ... ,xn.

Queste funzioni dovranno chiaramente soddisfare alla condizione

( )ii 1

n

1 2 n ii 1

n

y x ,x ,...,x x= =∑ =∑ =x

dove x è la somma di v.c. rappresentanti i portafogli iniziali.Questo insieme di

funzioni definirà un unico insieme di trattati conclusi dalle n compagnie nel

mercato riassicurativo che cambieranno l’utilità della ima compagnia da

( ) ( )i0

i i iu S x d F x∞

∫ −

a

( )( ) ( ) ( )... u S y .x x d F x ...d F xi00

i i i n 1 1 n n

∞∞

∫∫ − ,... .

Per semplicità si indicherà con x il vettore {x1,x2, ... ,xn}. Se le compagnie agiranno

razionalmente e se esisterà un altro insieme di trattati con un corrispondente vettore

y tale che Ui(y)≤Ui(y ), dove y dovrà essere chiaramente inferiore a y , non

concluderanno l’insieme di trattati rappresentati dal vettore y. Se invece non

esisterà nessun vettore y soddisfacente a quest’ultima condizione, l’insieme di

trattati rappresentati da y sarà un ottimo Paretiano.


Borch (1960) dimostra che condizione necessaria e sufficiente affinché y(x) sia

un ottimo paretiano è che esistano n-1 costanti positive scelte arbitrariamente

k2...kn tali che

( )( ) ( )( )

( )

i i i i i 1 1

ii 1

n

ii 1

ni

u' S y x k u' S y x

y x x

k 0, i 2,3,...,n

− = −

∑ =∑

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

> =

= =

.

In una versione semplificata dovuta a Seal (1969) si trova che la condizione di

ottimo sarà raggiunta quando e solo quando

u’2(S2-x1-x2+z)=ku’1(S1-z), k>0

dove S1 e S2 sono le rispettive riserve di rischio delle due compagnie, inclusi i

premi pagati per l’anno, x1 e x2 sono gli indennizzi totali pagati prima dell’accordo

riassicurativo, e z è il totale di uscite della prima compagnia dopo che lo scambio

di riassicurazione è stato effettuato. Seal (1969) nota che l’incremento di utilità

della prima compagnia necessariamente porta a un decremento di quella della

seconda; ciò rivela il conflitto di interesse che esiste tra compagnie che scambiano

parte del proprio portafoglio.

Se le compagnie condurranno le negoziazioni riassicurative in modo razionale

ci si aspetterà dunque che esse portino a termine un insieme di trattati Pareto

ottimali; ma in ogni caso l’assunzione di razionalità non è sufficiente, in quanto per

determinare k2...kn, sarà necessario specificare altre assunzioni circa il modo in cui

le compagnie negoziano.

Gerber (1979), Seal (1969), Borch (1962) assumono che l’utilità di tutte le

compagnie possa essere rappresentata dalla funzione di utilità quadratica ui(x)=-


aix2+x per i=1,2, ... ,n. e anche che il parametro ai sia positivo e così piccolo che la

funzione di utilità ui(x) sia una funzione crescente nel dominio di definizione che si

sta considerando, cioè per ai<1/2Si, dove nessun indennizzo è considerato così

grande da non poter essere sottoscritto dalla compagnia i. Il parametro ai può essere

evidentemente interpretato come una misura di avversione al rischio della

compagnia, il cui obiettivo sarà quello di massimizzare i profitti attesi ignorando

tutti i rischi di deviazione da questi. Si dimostra pertanto che

ii i

j j

k /k /

β =∑

aa

che altro non è, secondo Borch, che la quota fissa che la compagnia i dovrà cedere

alle altre compagnie in un trattato di riassicurazione per eccesso sinistro, ritenuto in

letteratura la miglior forma di riassicurazione non proporzionale; Borch (1960),

Kahn (1961), Heerwaarden, Kaas, Goovearts (1989), sono pervenuti, infatti, alla

conclusione secondo cui se il premio di riassicurazione è proporzionale al valore

atteso del rischio, allora per ogni prefissato premio di riassicurazione il contratto

dovrà essere necessariamente della forma per eccesso sinistro.

8.7-Prezzo di mercato: domanda e offerta di riassicurazione

In letteratura, generalmente, si considerano i rischi completamente staccati da

ogni altro contesto economico reale, che invece, per una visione completa del

problema, sarebbe bene prendere in considerazione, sebbene in maniera non troppo

formale; studi approfonditi sono stati effettuati da Borch (1962), Pesones (1984),

Daykin, Pentikainen e Pesones (1994). Seguendo l’impostazione di Borch (1962),

si assume che esista un ben definito prezzo di mercato, almeno per alcune


determinate forme di assicurazione. Se esiste questo prezzo di mercato significa

che sarà possibile associare un numero P(F(x)) a ogni distribuzione di probabilità

F(x) cosicché P(F(x)) è l’ammontare di moneta che una compagnia di assicurazione

può ottenere accettando di pagare un indennizzo che è una v.c. con distribuzione di

probabilità F(x), o, in altri termini, è l’ammontare che può ricevere dal mercato

degli assicuratori per pagare gli indennizzi che si verificano in un portafoglio con

distribuzione di rischio F(x). Sarà anche possibile per la compagnia essere sollevata

dalla responsabilità per il pagamento di tali indennizzi pagando l’ammontare

P(F(x)) al mercato.

Si assuma che la compagnia accetti tale responsabilità per due portafogli aventi

distribuzione di rischio rispettivamente F1(x1) e F2(x2) e che x1 e x2 siano v.c.

stocasticamente indipendenti e inoltre che x1+x2=x abbia distribuzione di

probabilità F(x).

Sarà naturale richiedere che la compagnia possa ricevere lo stesso ammontare

nonostante possa accettare i due portafogli o separatamente o in un unica

transazione; ciò significa che si dovrà avere

P(F(x))=P(F1(x1))+P(F2(x2))

tale condizione di additività è chiaramente parallela all’assunzione del modello

classico secondo cui il prezzo per unità è indipendente dal numero di unità incluse

in una transazione. Borch dimostra che il solo concetto di prezzo che soddisferà

tale condizione sarà

P(F) x F(x) 10

= =∫∞

d κ

che significa che la situazione di rischio è negoziata sul pagamento di un deposito


uguale all’ammontare atteso di richieste di indennizzo, o, con la terminologia

assicurativa, che tutte le riassicurazioni sono basate sul principio del premio puro.

Si consideri adesso una compagnia nella situazione di rischio (S,F(x)), la cui

utilità in questa situazione sarà data da

( )( ) ( ) ( )U S,F x u S x F x0

= −∫∞

d ;

se la compagnia assicura il pagamento dell’indennizzo y con distribuzione di

probabilità G(y) riceverà un ammontare P(G). Se x e y sono stocasticamente

indipendenti questa transazione cambierà l’utilità della compagnia a

( ) ( ) ( )U S P(G),H(x) u S P(G) x F x y dG(y)0 0

+ = + −∫ −∫⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

∞ ∞

d

( )= + −∫∞

u S P(G) x H(x)0

d

dove H(x) è la convoluzione di F(x) e G(y). Se la compagnia agirà razionalmente

sceglierà tra i portafogli disponibili quello con la distribuzione di rischio G0(y) che

massimizzerà la funzione U(S+P(G),H(x)).

Questa funzione G0(y) può essere considerata come il totale di copertura

riassicurativa che la compagnia dovrà fornire al prezzo dato.

Il problema della determinazione dell’ampiezza della domanda di copertura

riassicurativa è più complicato; si perviene comunque alla conclusione che il

trattato di riassicuraxzione che massimizzi l’utilità della compagnia dipenderà non

solo dal prezzo dato ma anche dal numero di riassicuratori che contribuiranno a

formare tale prezzo.

Capitolo IX

Applicazioni della teoria del rischio alla finanza

matematica: considerazioni operative

Si è già messo in evidenza che un approccio manageriale alla teoria del rischio è

dovuto a de Finetti (1957) che, contestando i tradizionali modelli di teoria

collettiva del rischio costretti, per contenere la probabilità asintotica di rovina, ad

ipotizzare una crescita media indefinita del fondo di garanzia dell’impresa,

affrontando il problema nella classe delle politiche a barriera orizzontale, già

definite problemi di assorbimento (vedi 2.4.1 del cap. II, pg 41), propone di

considerare come variabile obiettivo il valore attuale atteso dei dividendi di

impresa determinati, dato il fondo di garanzia iniziale, in funzione di una variabile

decisionale Z, livello di barriera riflettente, atta a definire in modo opportunamente

semplice una strategia di distribuzione dei dividendi stessi; suppone che gli utili dei

successivi esercizi siano v.a. indipendenti ed ugualmente distribuite, potendo

assumere soltanto i valori +1 e -1 con probabilità rispettive p e q, con p+q=1 e p>q.

Questo approccio, approfondito e divulgato da Borch (1968, 1974) venne

ripreso dallo stesso nel 1984, proponendo una versione del modello che prevede in

ogni caso, eccetto che al verificarsi della rovina, il ritorno, al termine di ogni

Applicazioni della teoria del rischio alla finanza matematica: considerazioni operative 157

esercizio, al livello di barriera giudicato ottimale; ciò implica ovviamente la

distribuzione dei dividendi negativi, cioè una reintegrazione del fondo di garanzia

dell’impresa al termine di esercizi sfavorevoli. Questo modello consente di ottenere

espressive condizioni di ottimo per il livello della barriera, cioè del fondo di

garanzia.

Successivamente diversi studiosi di modelli economici hanno approfondito

queste problematiche, evidenziandone soprattutto gli aspetti operativi.

Pressacco & Picech (1988) propongono un ulteriore avanzamento scegliendo

come funzione obiettivo quello che, con terminologia della finanza matematica,

definiscono il valore attuale netto dell’impresa assicuratrice, ossia la differenza fra

il valore attuale dei flussi di cassa futuri generati dall’impresa e il fondo di garanzia

iniziale necessario per avviare l’attività della compagnia.

Nel modello proposto si suppone un rendimento finanziario positivo delle

risorse della compagnia e che il valore attuale netto dell’impresa sia ottenuto

depurando il valore attuale lordo (attualizzazione dei flussi di cassa futuri) del

costo dell’investimento iniziale.

Dimostrano che detenere fondi di garanzia allo scopo di esercitare attività

assicurativa è, per così, dire finanziariamente svantaggioso. Per contro si ha una

vantaggiosità media della componente tecnica di gestione, per la quale converrebbe

prolungare al massimo la durata dell’attività dell’impresa.

Poiché la durata media dell’impresa prima della rovina è funzione crescente del

livello di surplus, un aumento di questa provoca un miglioramento delle prospettive

della gestione tecnica, ma un contemporaneo peggioramento di quelle finanziarie.


Allo scopo di potere valutare modelli di gestione del rischio finanziario più

aderenti ad applicazioni non assicurative, in cui è poco plausibile l’ipotesi di

correlazione nulla tra i successivi incrementi del fondo di garanzia, L. Vannucci

(1989) determina la politica ottima dei dividendi, nella classe delle politiche a

barriera orizzontale, con l’ipotesi che gli incrementi del fondo di garanzia

dipendano da un processo di alternativa markoffiano omogeneo.

Supponendo un orizzonte temporale illimitato, anche in questo caso si assume

che l’obiettivo del decisore sia quello di massimizzare il valore atteso del risultato

economico di gestione attualizzato, W(h,n), differenza tra il valore attuale dei

guadagni futuri (interessi anticipati e dividendi) e del valore iniziale del fondo di

garanzia.

Per determinare l’espressione analitica di W(h,n), si considerino i seguenti

valori attuali:

r(h,n)=rn(h) valore attuale dei guadagni futuri all’inizio di un qualsiasi

esercizio quando si disponga di un fondo di garanzia di importo h

e il precedente esercizio si sia concluso con utile +1, per

h=0,1,...,n;

s(h,n)=sn(h) valore attuale dei guadagni futuri all’inizio di un qualsiasi

esercizio quando si disponga di un fondo di importo h e il

precedente esercizio si sia concluso con utile -1, per h=0,1,...,n;

Se rn(0)=sn(0)=0 e se n≥2 si ha rn(1)=0, riferendosi ad eventi impossibili. Se si

assume che v sia il fattore di sconto con cui si calcolano i valori attuali e che a(1-v)

sia l’interesse anticipato su una unità del fondo rischi con 0 1≤ ≤a , allora si hanno


le seguenti equazioni ricorrenti e condizioni ai limiti

rn(h) = a(1-v) h + (1-a) v rn(h+1) + a v sn(h+1)

per h=2,3,...,n-1 (9.1)

rn(n)= a (1-v) n +(1-a) v (rn(n)+1) +a v sn(n-1)

sn(0)=0

sn(h)= a (1-v) h + b v rn(h+1) + (1-b) v sn(h-1) (9.2)

per h=1,2,...,n-1

W(h,n)= a (1-v) h +c v rn(h+1) + (1-c) v sn(h-1) - h

per h=1,2,...,n-1 (9.3)

W(n,n)= a (1-v) n +c v (rn(n)+1) + (1-c) v sn(n-1) -n

Nel caso in cui n=1 le (9.1), (9.2), (9.3) conducono al sistema lineare

r1(h)= a (1-v) + (1-a) v (r1(1)+1)

s1(0)=0 (9.4)

W(1,1)= a (1-v) +c v (r1(1)+1)-1

da cui si ottiene che

r (1) (1 v) (1 ) v

1 (1 ) v

W(1,1) (1 v) c v 1 c v (1 v) (1 ) v

1 (1 ) v

1 =− + −− −

= − + − +− + −− −

a aa

aa a

a;

(9.5)

per n≥2 si ottengono sistemi lineari del tipo (9.4) la cui dimensione è però a rapida


crescita e comporterebbe onerosi calcoli.

Per poter invece calcolare il valore delle successioni rn(h) e sn(h), al limite

esplicitarle in funzione dei parametri del modello e quindi determinare il valore di

W(h,n) tramite la (9.3), un conveniente metodo è quello che si basa sulle funzioni

generatrici

f(t) r (h)t t R

g(t) s (h)t t R

nh

h 2

n

nh

h 2

n

= ∑ ∈

= ∑ ∈

=

=

Moltiplicando la (9.1) e la (9.2) per th+1 e sommando membro a membro sui

rispettivi valori di h, si ottiene che le funzioni generatrici debbono verificare il

seguente sistema lineare nelle incognite f(t) e g(t)

[t - (1-a)v] f(t) -a v t2g(t)= a(1-v)[2t3+...+ntn+1]+(1-a) v[rn(n)+1]tn+1-rn(2) t2]

-bv f(t) - [t-(1-b)vt2] g(t)= a(1-v)[t2+...+(n-1)tn] - (1-b)v sn(n-1)tn+1

Vannucci ha redatto una procedura di calcolo dei valori delle suddette successioni

consistente nella determinazione dei due valori reali e distinti di t che annullano il

determinante della matrice dei coefficienti del suddetto sistema, risolto il quale,

ottenuti cioè i valori di rn(2) e di rn(n), è poi facile calcolare tutti gli altri valori di

rn(h) e di sn(h) utilizzando le (9.1) e (9.2) e infine tramite la (9.3) si potranno

determinare i valori di W(h,n).

Vannucci analizza l’effetto della variazione del valore dei parametri nella

individuazione della politica ottima, traendo le seguenti conclusioni: tra il livello di

sicurezza, quantizzato dal valore ottimo di n, e a sussiste correlazione positiva; tra


il suddetto livello di sicurezza e i, tasso di valutazione da cui segue v=1/(1+i),

sussiste correlazione negativa; un più elevato valore medio degli utili periodali

giustifica un più elevato livello di sicurezza.

Quest’ultima è una conclusione in netto contrasto con quella che si ottiene

impiegando il criterio della probabilità di rovina, secondo cui per garantirsi un dato

livello di sicurezza è necessario un fondo di garanzia tanto più elevato quanto

meno profittevole è il processo degli utili.

Vannucci dimostra che la misura dell’adeguamento ottimo, del livello di

sicurezza, al variare del valore medio degli utili è fortemente differenziata per i vari

tipi di correlazione tra gli utili di successivi esercizi; ci deve essere una reattività

all’adeguamento più forte quando la suddetta correlazione è positiva.

Dimostra infine che, a meno che il livello di sicurezza non si riduca al minimo,

anche gli aggiustamenti imposti nella politica ottima al variare di a e di v sono

maggiori quando la correlazione tra utili di diversi esercizi è positiva rispetto alle

altre ipotesi di correlazione nulla e negativa.

Conclusioni

Come già accennato nell’introduzione, la teoria matematica del rischio

costituisce un esempio di come un problema economico possa ricondursi ad un

modello matematico e di quali risultati possano trarsene ai fini pratici. Essa valuta e

risolve il problema della sicurezza di una impresa assicuratrice e i risultati cui

conduce riguardano la probabilità di fallimento di un’impresa per effetto delle

oscillazioni che possono manifestarsi nella frequenza dell’evento assicurato.

Per una compagnia di assicurazioni, come si è visto, si avrà una situazione di

fallimento quando la propria riserva di rischio diventa nulla o addirittura negativa,

mentre se, continuando nello svolgimento dell’attività assicurativa, tale riserva

verrà incrementata dal caricamento di rischio dei premi ricevuti meno gli

indennizzi e, se sarà tanto elevata da consentire tutti i pagamenti e se inoltre non

verrà accettata la copertura di rischi ingenti, allora, per la compagnia, le condizioni

di stabilità saranno assicurate.

Si è constatato che oggi vi è un rinnovato interesse nei confronti della teoria del

rischio, la quale ha avuto, in Italia, uno dei più illustri fautori in Bruno de Finetti;

non è esagerato infatti affermare che, sia per il peso specifico nell’elaborazione

teorica, che per i suoi riflessi nelle applicazioni concrete, il contributo apportato da

de Finetti occupa un posto di grande rilievo, anche a livello internazionale, nello

Conclusioni 164

sviluppo di tutta la teoria. Ma è con grande rammarico che si è constatato anche

come gli studiosi italiani del dopo de Finetti hanno dedicato, nell’ultimo ventennio,

nei confronti di essa pochissima attenzione; la produzione letteraria

sull’argomento, in lingua italiana, è infatti scarsissima, quasi irrisoria, per contro è

vastissima quella straniera soprattutto della scuola svedese e di quella

angloamericana.

La tesi è rivolta a presentare quelle applicazioni attuariali del Calcolo delle

probabilità e della Statistica forse sottovalutate e oggi invece di enorme interesse

dato il forte incremento del ramo assicurativo-pensionistico.

Riuscire nell’intento non è certo stato privo di difficoltà: è stato necessario un

lungo periodo di studio preliminare sugli aspetti teorici e tecnici che regolano

l’andamento di un’impresa assicuratrice e un altrettanto lungo periodo di tempo,

non solo per la ricerca di tutti i testi e gli articoli più recenti, ma soprattutto per il

loro coordinamento e per l’analisi dei loro contributi.

Si è cercato, nel presente lavoro, di descrivere la teoria del rischio nella maniera

più unitaria possibile e in modo chiaro ed esauriente, proprio per la mancanza di un

testo in lingua italiana che ne descriva quanto meno le linee essenziali.

Si è anche visto come l’interpretazione della teoria del rischio data sia da de

Finetti che da Lundberg possano entrambe essere ricondotte ad un unico modello

dovuto proprio al de Finetti che, generalizzando le ipotesi del Lundberg, tolse

l’impostazione collettiva alla teoria, conservando ad essa l’aspetto asintotico e

stabilendone un legame con la teoria classica.

Si è visto che l’obiettivo della teoria collettiva è quello di rendere piccola la

Conclusioni 165

probabilità di fallimento entro un tempo infinito, studiando la probabilità di

esaurimento del fondo di garanzia che, partendo da un dato valore iniziale viene

alimentato dai premi e diminuito da spese, sinistri, etc...

Interpretato schematicamente, tale processo si identifica con quello del

giocatore che partecipa indefinitamente a un gioco e che si rovina se, a un certo

momento, la sua perdita supera il capitale di cui disponeva inizialmente;

precisamente, si è dimostrato il “teorema della rovina dei giocatori” secondo cui,

comunque grande sia il capitale iniziale, la probabilità per un giocatore di poter

ripetere un gioco equo senza rovinarsi si avvicina a zero quando il numero delle

ripetizioni è sufficientemente grande. Invece, se le condizioni del gioco gli sono

favorevoli, la probabilità di non rovinarsi mai, per quanto a lungo egli giochi, non è

più nulla, ed anzi può essere grande ed avvicinarsi alla certezza se il margine di

vantaggio, o il capitale iniziale, o entrambi, sono sufficientemente elevati.

Nel caso dell’assicuratore ciò significa che, essendo le condizioni in suo favore

grazie al caricamento, ed avendo un certo fondo, avrà una probabilità non nulla di

non fallire mai, supponendo però che gli utili vadano sempre ad incrementare il

fondo o che comunque vi affluiscano in parte sufficiente affinché il fondo cresca

con sufficiente rapidità finendo per sorpassare ogni limite per quanto grande.

É chiaro infatti che, se si giungesse ad una situazione stazionaria, anche la

probabilità di fallimento entro un anno sarebbe stazionaria, e potrebbe essere

piccola ma non nulla; in tal caso la probabilità di fallire entro un numero

sufficientemente grande di anni tenderebbe alla certezza.

Si è evidenziato anche come le questioni basate sulla funzione di utilità

Conclusioni 166

dell’assicuratore e che conducono a determinarne il pieno e a consigliarne la

politica di riassicurazione appartengono ad tipo di considerazioni che già erano

presenti tradizionalmente nella teoria classica e oggi in un certo senso la includono

e la sostituiscono.

Si è analizzato il problema delle politiche riassicurative più convenienti,

nell’ambito delle riassicurazioni proporzionali per eccedente in quota individuali,

sia con riferimento ad un unico esercizio, che rispettivamente, ad un unico

orizzonte temporale asintotico, di una compagnia il cui fondo iniziale sia assegnato

e che abbia assunto durante l’esercizio in questione un certo numero di contratti.

Poiché ogni cessione riassicurativa diminuisce la rischiosità della posizione

della compagnia, ma contemporaneamente ne diminuisce anche la profittabilità,

ovvero la speranza matematica del guadagno, per raggiungere l’obiettivo di ridurre

convenientemente la probabilità di rovina, ossia la rischiosità della compagnia, con

il minimo sacrificio in termini di profitti, si è fissato un procedimento in due stadi

L’obiettivo del primo stadio è quello di rendere minima la probabilità di rovina

per ogni fissato valore della speranza matematica del guadagno globale trattenuto,

restando individuata una famiglia di problemi di ottimo vincolato le cui soluzioni

costituiscono l’insieme delle politiche riassicurative efficienti o di optimum.

Atteso che spostamenti lungo la frontiera efficiente possono aversi solo

pagando miglioramenti nella sicurezza con diminuzioni nella profittabilità, nel

secondo stadio si è individuata una soluzione particolare fra quelle di optimum e

precisamente quella cui corrisponde un valore soggettivamente accettabile della

probabilità di rovina.

Conclusioni 167

Attraverso queste considerazioni il problema di tenere bassa la probabilità di

fallimento si riconduce a quello di tenere basso lo scarto standard, che in un certo

senso dà una misura della entità del rischio globale sopportato dall’assicuratore.

Se poi si tiene conto che l’esigenza di ridurre il rischio è antagonista a quella di

accrescere il margine di guadagno sperato (caricamento, al netto delle spese),

questa impostazione suggerisce di massimizzare il guadagno, diminuito di un

importo, detto coefficiente di proporzionalità, proporzionale alla varianza; tale

coefficiente è tanto maggiore quanto maggiore è l’avversione al rischio, ossia

quanto maggior peso si dà alla sicurezza nei confronti del guadagno.

Si giunge, pertanto, a riallacciarsi al criterio della teoria delle decisioni che si

basa sull’utilità.

Si è dimostrato infatti che, ragionando in termini di utilità attesa, la politica di

riassicurazione che prospetta il guadagno della polizza riassicurata sarà

vantaggiosa, indifferente o svantaggiosa a seconda che la potenzialità massima sia

maggiore, uguale, o minore del livello di rischiosità.

Individuata viceversa la politica ottimale di riassicurazione con il criterio

dell’utilità attesa, in corrispondenza ad un fissato valore di avversione al rischio,

con riferimento ad un portafoglio di rischi tutti riassicurabili con la medesima

politica, tanto più elevata sarà l’avversione al rischio del soggetto decisore tanto

minore sarà la probabilità che egli attribuirebbe all’esaurimento nell’esercizio del

fondo inizialmente a sua disposizione.

Si è anche presa in considerazione la possibilità per l’impresa assicuratrice di

pagare gli interessi azionari, dividendi, agli azionisti del fondo di garanzia.

Conclusioni 168

É stata introdotta una politica di controllo che consiste nel fissare un livello di

soglia, superato il quale la parte eccedente del guadagno manifestatosi viene

istantaneamente reinvestito.

L’innovazione, rispetto alla teoria classica, consiste nel rimuovere la probabilità

di rovina come parte dell’obiettivo della compagnia sostituendola con la speranza

matematica del valore attuale dei dividendi futuri di impresa distribuibili in

accordo ad una strategia a barriera riflettente, e definendo un limite superiore alle

riserve che la compagnia vorrebbe accumulare e un limite inferiore dell’interesse

sul capitale che la compagnia dovrebbe possedere all’inizio di ciascun esercizio.

É il livello della barriera riflettente a giocare nel modello il ruolo di variabile

decisionale, determinata dalla mediazione fra due esigenze contrapposte:

incrementando il livello del fondo si ottiene una migliore prospettiva di durata

degli affari e dunque di guadagni futuri.

Il problema della sicurezza di una impresa investe, come si è visto, questioni

che travalicano le singole competenze della matematica, del calcolo delle

probabilità e della stessa scienza economica, ma la teoria matematica del rischio

fornisce uno strumento validissimo per determinare la soluzione di uno degli

aspetti forse più importanti di questo problema: quello del rischio derivante da

eventi aleatori.

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Indice

Introduzione v Capitolo I Richiami di calcolo delle probabilità e processi stocastici

1.1-Leggi di probabilità: distribuzioni di Poisson e dei tempi di attesa 1

1.2-Processi stocastici applicabili alla teoria matematica del rischio 3 1.2.1-Processi stocastici discreti:

passeggiata aleatoria 3 1.2.2-Processi Markoviani 6 1.2.3-Processi stocastici continui:

processi di Poisson 6 1.2.4-Processi di diffusione e processi gamma 9

1.3-Processo dei rinnovi 10 1.4-Martingale 12

1.4.1-Submartingale 141.5-Trasformata di Laplace 14

Capitolo II Sicurezza e rischio: la rovina del giocatore

2.1-I rischi 16 2.2-Teoria dell’utilità 19

2.2.1-Utilità logaritmica 25 2.2.2-Utilità esponenziale 25

Indice

2.2.3-Utilità quadratica 26 2.3-Cenni sull’impostazione assiomatica 27

2.3.1-Dominanza stocastica 28 2.3.2-Il criterio della speranza matematica 30

2.4-Teoria della rovina: teorema della rovina del giocatore 33

2.4.1-Problemi di assorbimanto 40 2.4.2-Previsione di durata 41

Capitolo III L’impresa di assicurazione

3.1-L’assicurazione sulla vita 45 3.2-Riserva matematica 50 3.3-L’assicurazione come operazione

finanziaria vantaggiosa 54 3.4-Caricamenti e premi di tariffa 56 3.5-Principi di calcolo del premio 57

3.5.1-Propietà 61 3.6-Classificazione dei rischi,

credibilità e tasso di esperienza 62 3.6.1-Approccio Bayesiano 63

Capitolo IV Teoria classica o asintotica?

4.1-Impostazione classica o asintotica? 69 4.2-Teoria classica 73 4.3-Teoria collettiva 76

Capitolo V La distribuzione degli indennizzi

5.1-Il numero degli indennizzi 80 5.2-Totale complessivo di indennizzi 86

Indice

Capitolo VI Approssimazione della distribuzione degli indennizzi globali

6.1-La scelta della distribuzione: il modello individuale contro il modello collettivo 95

6.2-Limiti per la distribuzione degli indennizzi globali 98 6.3-Approssimazione numerica della distribuzione

degli indennizzi globali 100 Capitolo VII Probabilità di fallimento

7.1-Probabilità di fallimento: introduzione e definizioni 103 7.2-Fallimento con nessuna riserva iniziale 106 7.3-Fallimento data la riserva iniziale 108

7.3.1-La riserva immediatamente prima e durante il fallimento 109

7.3.2-Funzione di distribuzione e funzione di densità della riserva prima del fallimento 112

7.4-Coefficiente di aggiustamento e disuguaglianza di Lundberg 115

7.5-Relazione tra il coefficiente di aggiustamento e il principio dell’utilità zero 116

7.6-Applicazione dell’equazione del rinnovo e formula asintotica della probabilità di fallimento 117

7.7-Probabilità di non fallimento e perdite massime globali 119

7.8-Probabilità di fallimento per distribuzioni dell’ammontare degli indennizzi infinitamente divisibili 121

Capitolo VIII Riassicurazione, teoria del rischio e utilità

8.1-La ripartizione dei rischi: coassicurazione e riassicurazione 125

8.1.1-Riassicurazione proporzionale 126 8.1.2-Riassicurazione non proporzionale 128

Indice

8.2-Il problema dei pieni di de Finetti 129 8.3-Il concetto di utilità nella assicurazione 138 8.4-Il problema dei pieni di de Finetti rivisitato con

il criterio dell’utilità attesa 139 8.5-Dividendi ottimi 143 8.6-Trattati di riassicurazione reciproci 148 8.7-Prezzo di mercato:

domanda e offerta di riassicurazione 151

Capitolo IX Applicazioni della teoria del rischio

alla finanza matematica: considerazioni operative 156

Conclusioni 163

Bibliografia 170

Teoria Matematica Del Rischio Per La Valutazione e La Gestione

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