Teoria Granulometria

GRANULOMETRIA - TEORIA

Contenido

1. PRESENTACION DE DATOS GRANULOMETRICOS 1 1.1. Los datos crudos 1

1.2. Clasificación por tamizaje 2 1.3. Selección de los intervalos / tamices 4 1.4. Otras técnicas de clasificación 5

1.5. Histogramas 7 2. DISTRIBUCION EN NUMERO 10 2.1. Función de frecuencia 10 2.2. Distribución continua y distribución discreta 12 2.3. Valores centrales 13 2.5. Medias ponderadas y tamaño equivalente 14 3. OTRAS DISTRIBUCIONES 17 3.1. Distribución en volumen o masa 17 3.2. Distribución en superficie 18 3.3. Relaciones generales 19 4. DISTRIBUCIONES CLASICAS 22

4.1. Distribución normal o gausiana 22 4.2. Distribución log-normal 25 4.3. Modificaciones de la distribución log-normal 27 4.4. Distribución de Weibull 27 Anexo 27 Densidades de distribución 28 Referencias 29

Cuaderno FIRP S554A 1 Granulometría — Teoría

GRANULOMETRIA: TEORIA

La granulometría, de "gránulo" (pequeño grano), trata de los métodos de medición del tamaño de un grano y por extensión de una población de granos.

Se entiende por "grano" en sentido general a un trozo de materia sólida o líquida, esférica o no, que se encuentre en un fluido inmiscible. Un "grano" puede ser no solamente un grano de arena o de polvo, sino también una gota en una emulsión o un aerosol, una partícula sólida de ceniza en un humo, una burbuja de gas en una espuma, etc.

Se entiende por tamaño, una dimensión característica del grano, en general una longitud. Si se trata de un grano esférico, se tomará evidentemente como dimensión de su tamaño su radio o su diámetro. Para una partícula fuertemente irregular, es a veces difícil definir un tamaño equivalente que sea satisfactorio desde el punto de vista físico. 1. PRESENTACION DE DATOS GRANULOMETRICOS 1.1. LOS DATOS CRUDOS En las aplicaciones se determina en general la granulometría de un conjunto de granos, el cual es a menudo una muestra aleatoria de una población mayor. Se requieren en general por lo menos 500-1000 granos para que la muestra pueda representar la población en forma satisfactoria desde el punto de vista estadístico. Se refiere el lector a los textos sobre muestreo para este tipo de consideraciones. Aquí se supondrá que el problema es determinar la granulometría de la muestra, la cual puede contener a menudo varios miles de granos. El método primario de análisis es a la vez simple y fastidioso. Se trata de la observación bien sea directa mediante un aparato óptico, bien sea indirecta a partir de una fotografía o de otro tipo de sistema de almacenamiento de la información pictográfica. En todos los casos, el análisis visual se realiza grano a grano, lo que hace que este proceso sea extremadamente lento y tedioso para un operador humano. Actualmente no se usa más este método, sino como base para un tratamiento computarizado de imágenes. El propósito del análisis grano a grano es atribuir un tamaño a cada grano, lo cual es en general un diámetro o un diámetro equivalente. Si se trata de una partícula no esférica, se toma a menudo como diámetro equivalente, el diámetro de la esfera del mismo volumen que la partícula. Otra escogencia es el diámetro del círculo de la misma área, que la proyección de la imagen de la partícula sobre el medio registrador (foto, pantalla). Estas son las escogencias clásicas de los métodos que usan aparatos basados sobre fenómenos físicos, ópticos o eléctricos. Dan resultados satisfactorios en casos de granos casi esféricos. Sin embargo, no es siempre el caso como se puede ver en la Fig. 1.

En caso extremo como por ejemplo en el análisis de pulpa de papel, se debe atribuir un tamaño a las fibras de celulosa, las cuales se presentan en general como una figura geométrica alargada y a veces torcida. En tal caso la lógica implica medir no uno sino dos tamaños, correspondiendo por ejemplo a las dimensiones axial y transversal, o a una dimensión de longitud acompañada de un parámetro de alargamiento o de elipsicidad.


Buena aproximación No tan buena

No satisfactoria

Fig. 1: El concepto de diámetro equivalente es una aproximación, no siempre satisfactoria

En lo que sigue se supondrá que la escogencia del diámetro equivalente ya está realizada, y por lo tanto se supondrá que los granos son esféricos, o por lo menos que estén perfectamente representados por granos esféricos.

Esto es el caso del estudio granulométrico de emulsiones, lo cual es el campo principal de aplicación de estos conocimientos en el lab. FIRP. 1.2. CLASIFICACION POR TAMIZAJE

Una vez terminado el estudio visual de cada grano, y notado el tamaño "t" de cada uno, se tiene una lista de datos crudos, la cual no es mas que un listado de tamaños, en el cual algunos pueden eventualmente repetirse, y otros ser muy vecinos o muy diferentes.

El primer trabajo consiste en poner en orden estos datos, o mejor dicho en clasificarlos con el fin de proceder ulteriormente a un estudio estadístico. Con este propósito se busca primero el tamaño mas grande tmax y el mas pequeño tmin , reportados en el análisis.

Como estos valores no son necesariamente valores redondeados, se tienen interés en tomar dos límites con valores numéricos redondeados, escogidos de acuerdo al recorte ulterior del intervalo, y que incluyen todos los valores reportados. Por ejemplo si tmax = 9,3 µm y tmin = 1,3 µm se puede tener interés en escoger como límites bien sea 1 - 10 µm, bien sea 0 - 10 µm.

Luego se divide el intervalo entre los límites en un cierto número de intervalos de clasificación, en general un mínimo de 10 y un máximo de 50. Este proceso se llama a menudo tamizaje ya que corresponde a una operación de clasificación de polvo que lleva el mismo nombre, en la cual se coloca una serie de tamices uno encima del otro (Véase fig. 2).


d > 1 mm

1000 µm > d > 316 µm

316 µm > d > 100 µm

100 µm > d > 32 µm

32 µm > d > 10 µm

d < 10 µm

TAMIZ

POLVO A TAMIZAR

Fig. 2: Principio del tamizaje y clases de diámetro de los granos recogidos

En el tamizaje, se recoge en cada tamiz los granos de tamaño superior al tamaño de la malla

de este tamiz pero de tamaño inferior al tamaño de la malla del tamiz inmediatamente superior. Un intervalo de clasificación de índice "i" se define por los dos límites: Tamaño mínimo

!

timin

Tamaño máximo

!

timax

Este intervalo cubre el rango

!

"ti= t

imax# t

imin y posee un tamaño medio representativo de

todos los granos del intervalo. Este tamaño medio del intervalo se escoge según los casos como la media aritmética o la media geométrica de los límites del intervalo (Fig. 3):

!

ti

=timax

+ timin

2

!

ti= t

imaxtimin

El intervalo "i" contiene todos los granos cuyo tamaño t es tal que timin < t < timax


Para proceder a la clasificación, se rastrea la lista de datos crudos y cada vez que se encuentre un tamaño perteneciendo al intervalo "i", se aumente en una unidad, el número contador ni de granos del intervalo i. Se realiza este conteo con todos los intervalos, obteniéndose entonces el número total de granos de la muestra como la sumatoria Σ n .

La relación ni / Σ ni indica la fracción (en número) de los granos que poseen un tamaño correspondiente al intervalo "i".

Escala de

tamaño

t ti min i máx

<>

t i

INTERVALO i

valor "medio" representativo del intervalo (según fórmula)

en general media aritmética

o media geométrica

Fig. 3: Valores que definen un intervalo o clase de tamaño

En los datos clasificados la lista de los tamaños de los granos que corresponden al intervalo "i" se reemplaza por dos datos: uno que define el intervalo i (ti max o ti) y otro que dé cuenta del conteo de granos perteneciendo a este intervalo (ni o ni / Σ ni).

El conjunto de estos dos datos para todos los intervalos "i” se llama distribución de tamaños. 1.3. SELECCION de los INTERVALOS / TAMICES

En lo que antecede no se ha discutido, ni la dimensión o rango de los intervalos, ni la forma de escogerlos.

Se discute en detalle las consecuencias de esta escogencia en el cuaderno FIRP # S555A dedicado a cuestiones prácticas. Aquí basta con decir que no es necesario que los intervalos sean todos iguales, particularmente si hay una gran variación de tamaño entre tmin y tmax.

Como regla, se puede decir que si tmax / tmin < 20, es conveniente usar intervalos iguales, y que si tmçx / tmin > 20, es mejor hacer un recorte en intervalos desiguales de amplitud en progresión geométrica lo que resulta en intervalos iguales en escala logarítmica (veáse Fig. 4 y cuaderno FIRP S555A).


Intervales iguales corresponden

a una progresión geométricaen escala logarítmicat = r t

a un progresión aritméticaen escala linealt = t + d

109876543210

1 10 100ESCALA LOGARITMICA

ESCALA LINEAL i+1 i

i+1 i

Fig. 4: Los dos principales métodos de recorte de la escala en intervalos

En lo que concierne el número de intervalo del recorte, conviene también encontrar un compromiso entre la precisión dada por un recorte "fino" con muchos intervalos, y la pérdida de significación estadística al tener un número demasiado pequeño de granos en ciertos intervalos. La experiencia muestra que un recorte en 10 a 30 intervalos es adecuado.

Los aparatos modernos usan a menudo 16 ó 32 clases de tamaño en progresión geométrica, repartidas sobre un rango tmax/tmin que varía de 64 a 256, de los cuales se usa en general solo unas 10 clases para una muestra dada.

1.4. OTRAS TECNICAS DE CLASIFICACION

Si se vuelve al caso del tamizaje físico, se recuerda que en cada tamiz se recoge los granos del intervalo de tamaños limitado por los tamaños de malla del tamiz en cuestión y del tamiz inmediatamente superior.

En tal caso se recogen los granos que están contenidos en el tamiz "i" y más bien que contar su número, lo que puede ser muy tedioso, se pesa la masa mi de granos del intervalo "i".

Se repite tal operación para todos los intervalos obteniéndose las fracciones en masa (o volumen) mi / Σ mi para cada intervalo.

El conjunto de estas fracciones define la distribución en masa-volumen, la cual es obviamente diferente a la distribución en número.

Para fijar las ideas, se puede considerar el ejemplo siguiente de una canasta de frutos que contiene una naranja y ocho mandarinas. Para simplificar el cálculo se supone que todos los frutos son esféricos con diámetros respectivos 5 cm (mandarina) y 10 cm (naranja) y densidad unitaria. En tales condiciones se obtienen los datos siguientes:

"i" ti ni ni / Σ ni masa mi mi / Σ mi __________________________________________________________________ Mandarinas 1 5 8 8/9 65.45 523.6 1/2 Naranja 2 10 1 1/9 523.6 523.6 1/2


La fracción de naranja en número es 1/9 (11%), mientras que la fracción de naranja en peso es 1/2 (50%), lo que es obviamente muy diferente. Se verá mas adelante que si se conoce una distribución , se puede calcular a las demás.

Se define el orden de una distribución según el papel que juega el tamaño en esta distribución, o mejor dicho según el exponente de la potencia del tamaño que juega un papel en el concepto correspondiente.

Por ejemplo la distribución en volumen/masa involucra el concepto de volumen, lo cual

depende de la potencia 3 del tamaño. Se tiene así:

Orden 0 fracción en número ni / Σ ni Orden 1 fracción en longitud Orden 2 fracción en superficie Orden 3 fracción en volumen-masa mi / Σ mi

La fracción que corresponde al intervalo "i" se llama fracción diferencial del intervalo "i" y

se notará con el símbolo

!

"Fi, completado por un exponente entre ( ) que indica el orden de la

distribución, es decir si se trata de una fracción en número, en longitud, en superficie o en volumen:

!

"Fi

(n) . Para evitar sobrecargar la notación no se colocará el exponente entre ( ) si es igual a cero, es

decir si se trata de la distribución en número. Por lo tanto en lo que sigue se supone que la ausencia de notación concerniente al orden de la distribución indica que se trata de una distribución en número.

!

"Fi (0) o

!

"Fi= ni / Σ ni

!

"Fi

(3) = mi / Σ mi

Se llama fracción acumulada Fi la suma de las fracciones correspondientes al intervalo i y a los intervalos correspondientes a un tamaño inferior. Para cualquier valor del orden n:

Fi(n) =

!

"Fk

n( )

k=1

i

# Fi(n) = Fi-1

(n) +

!

"Fi (n)

El conjunto de los datos [[ti , ΔFi

(n)] produce la distribución diferencial, mientras que los datos [ti , Fi] producen la distribución acumulada o integral.

La figura 5 indica el caso de una población de partículas esféricas de misma densidad.


POBLACION

CLA

SE

S d

eT

AM

AÑ

O

1.0 4

1.4 6

2.0 6

2.8 2

4.0 1

t n i i

Fig. 5: Ejemplo de población de partículas esféricas

Como ejercicio se calculará las distribuciones en número, en superficie y en volumen.

“i” ti ni

!

"Fi

(0) = ni / Σ ni Fi(0)

!

"Fi (2) = si / Σ si

!

"Fi (3) = mi / Σ mi

1 1.0 4 2 1.4 6 3 2.0 6 4 2.8 2 5 4.0 1

1.5. HISTOGRAMAS

Un histograma no es mas que la traducción gráfica de los datos correspondientes a una distribución diferencial o acumulada, cualquier sea su orden n.

Se representa un histograma diferencial mediante un diagrama de barra, es decir, como una serie de rectángulos adjuntos (Véase Fig. 6).


Fig. 6. Histograma diferencial

Para cada rectángulo, correspondiente al intervalo i: La anchura corresponde a aquella del intervalo ti = ti max - ti min El área del rectángulo es proporcional a la fracción diferencial ΔFi

(n) = hi(n) Δti

La altura hi

(n) es entonces una medida de la fracción por intervalo unitario (es decir si Δti = 1). Esta representación posee la ventaja de ser insensible al tipo de recorte efectuado. En efecto, si se divide cada intervalo, la división de Δti se repercuta sobre ΔFi

(n), y hi(n) mantiene el mismo

significado. De la misma forma se traza un histograma acumulado como una sucesión de peldaños de

altura ΔFi para producir la escalera Fi. Fi

(n) = Fi-1(n) + ΔFi

(n)

En el gráfico (Fig. 7) se coloca el valor Fi(n) a partir del tamaño tmin, puesto que se define Fi

(n) como el cúmulo de las fracciones ΔFi hasta incluso la que corresponde al intervalo "i".

En ciertos casos se prefiere usar, no una escalera, sino una línea compuesta de segmentos de recta, que unen los puntos [ti, Fi

(n)].

∆F

{

t ti min i máx

∆ t i

h (n) i

tamaño

= areaO

curr

enci

a

(n) i ∆F (n)

i


{

t ti min i máx ∆t i

F (n) i

∆F(n) i {{ F (n)

i-1

t i

Tamaño representativo del intervalo "i"

F(n) i

0

1

.

Fig. 7. Histograma Cumulado

Se obtiene entonces la gráfica representada en la Fig. 8:

F(n) i

0

1

t i

F(n) i

Fig. 8. Histograma Cumulado

La anterior tenía el inconveniente de tener que fijar, a veces arbitrariamente, el valor t1min para el primer intervalo.

Este debe además fijar el valor tm max límite superior del último intervalo, de manera de poder ubicar los puntos t1, . . . tm.

Estas escogencias pueden ser críticas e introducir errores considerables en caso de truncación de la distribución (Véase cuaderno FIRP S555A).

Si los intervalos son iguales, la altura de las barras del histograma diferencial es proporcional a la fracción correspondiente ΔFi lo que es una ventaja. Sin embargo, en caso de sistemas polidispersados como lo son las emulsiones, es mas practico escoger una progresión geométrica para timax y como consecuencia para Δt (Véase cuaderno FIRP S555A).


2. DISTRIBUCION en NUMERO

Se ilustrarán los conceptos de frecuencia, momento y media con la distribución en número. Estos conceptos se pueden desarrollar de forma idéntica para las demás distribuciones. 2.1. FUNCION de FRECUENCIA

dt

dF

f{

f∆F (n) i∆F (n)

i

∆t i ∆t i

Fig 9: Pasaje al límite

Si se aumenta el número de intervalos en el recorte, el histograma parece cada vez más

continuo (véase fig. 9 al lado). En la práctica no se puede aumentar este número de intervalos en forma infinita, pero en

teoría se puede pasar al límite cuando el intervalo ∆ t se torna diferencial dt.

hi =

!

"Fi

"t

al límite cuando ∆ t 0 entonces = f (t) =

!

dF

dt y F(t) =

!

f x( )dx0

t

"

En esta relación dF es la fracción de granos de tamaño comprendido entre t y t + dt. La función de frecuencia f(t) define la distribución diferencial.

Según esta definición, se ve que la función de frecuencia f es la derivada de la función acumulada F. Si se hace variar t sobre todo el intervalo posible (0, +∞):

!

dF

0

1

" = f x( )dx =0

+#

" F #( ) $F 0( ) =1$ 0 =1


La función acumulada F(x) y la función de frecuencia f(x) son por lo tanto conceptualmente y formalmente semejantes a una probabilidad y a una densidad de probabilidad. Por eso, se pueden emplear todas las técnicas de análisis estadísticas. 2.2. DISTRIBUCION CONTINUA Y DISTRIBUCION DISCRETA

El recorte en intervalos es una necesidad experimental, que esté hecho por el operador o que se deba a una discretización del sistema de detección del aparato medidor de tamaño. Conviene un poco las consecuencias del proceso de discretización sobre la precisión de la representación de una información continua.

Sea f la función de frecuencia de una población y ∆Fi el área del rectángulo asignado experimentalmente como la fracción correspondiente al intervalo i limitado por los tamaños ti min y ti máx.

t ti min i máx

área !F

área f (t) dt"i

f (t)

h i

m i

Fig. 10 : Discretización Según el teorema del valor medio, existe un tamaño mi tal que:

!

"F = f x( )dx = timax

# timin( )

ti max

ti min

$ f mi( )

Si se trata de una distribución discreta, entonces:

∆Fi = ∆ti f(mi)

El valor f(mi) no es más que la altura del rectángulo, llamado anteriormente hi. Sin embargo, se debe notar que mi no es necesariamente el valor promedio (aritmético o geométrico) ti que se usó anteriormente. mi corresponde a un tamaño medio tal que las áreas entre ∆Fi y ∫ f(x) x se compensen.


Es obvio que si los intervalos son pequeños, y que f es aproximadamente lineal en cada intervalo, entonces la diferencia entre ti y mi es pequeña.

La precisión de la representación discreta depende de la diferencia entre ti y mi en cada intervalo. Depende por lo tanto de la escogencia del recorte y de la forma en que se tome ti.

Se trata en la medida de lo posible de representar los datos discretos mediante una función analítica continua adecuada. Tal procedimiento tiende a "lijar" las irregularidades producidas por la discretización, en particular en los extremos.

En lo que trata de la equivalencia de las manipulaciones analíticas, se tomará de una parte la sumación de los datos discretos y de otra parte la integración de las funciones analíticas.

Para más comodidad de notación se llamará fi el valor discretizado de f, es decir, lo que se llamó hi hasta ahora.

Expresión discretizada EQUIVALENCIA Expresión continua

!

fi" h

i

!

" f(t) Frecuencia

!

"Fi= F

i#F

i#1 = fi"t

i

!

"

!

f d( )dx = df = "FFi#1

Fi

$ti max

timim

$

!

"i#F

i= "

ifi#t

i

i

$i

$

!

"

!

" x( )0

#

$ f x( )dx

Donde

!

" es una función cualquiera del tamaño, en la forma

!

"(t), con valor fi =

!

"(ti) en el intervalo "i" para la sumatoria discreta.

Esta última relación es la que se usa en el cálculo de los momentos, en particular de las medias.

Finalmente se debe recordar que todas estas relaciones se aplican cualquier sea el orden de las distribuciones. Se puede entonces reemplazar fi , ∆Fi, f ó F por fi

(n), ∆Fi(n), f(n) ó F(n).

2.3. VALORES CENTRALES

Cuando se estudia una muestra de granos, es a menudo necesario dar cuenta de toda la muestra con un sólo número: un tamaño característico, un tamaño medio o equivalente.

No es fácil escoger tal tamaño porque hay muchas formas de calcular tal tamaño, especialmente si se quiere adaptarlo al tipo de fenómeno involucrado

A continuación se definen los valores que indican la noción de "centro" o de "medio" de una distribución. Los símbolos corresponden a una distribución en número; para obtener los equivalentes para las otras distribuciones bastaría añadir el símbolo (n) a los símbolos f y ∆F.

El modo es el tamaño que corresponde a la mayor frecuencia, es decir, al máximo de fi ó f.

En una distribución diferencial, corresponde al punto más alto en una distribución cumulada corresponde al punto de mayor pendiente (en general el punto de inflexión).


La mediana es el tamaño que corresponde al 50% de la distribución acumulada Fi ó F = 0,5.

En otros términos 50% de los granos poseen un tamaño inferior a la mediana y 50% un tamaño superior. A veces se usa la notación D(n, 0.5) o D(v, 0.5) según se trata de distribución en número o volumen.

La media aritmética

!

t

"

, llamada simplemente tamaño medio, es el momento de orden 1 de la distribución. Se nota con una barra horizontal encima del símbolo de tamaño.

!

t

"

=

!

"Fiti= f

iti"t

i

i

#i

# o en expresión integral

!

t

"

=

!

f t( ) t dt0

+"

#

La media Geométrica

!

t g

"

es muy utilizado en las distribuciones logaritmizadas.

!

t g

"

=

!

"i

ti

#Fi ó log

!

t g

"

=

!

"Fi logt ii

# ó la integral: log

!

t g

"

=

!

f t( )0

+"

# logt dt

Se notará que la expresión de la media geométrica es la de la media aritmética en la cual se

sustituye t por log t.

2.4. MOMENTOS

Se llama momento de orden "p", de una distribución de orden (n) alrededor de un valor to, a la cantidad definida por:

!

MP

n( )t o( ) = "Fi n( )

i

# t i $ t o( )p

= fin( )

i

# t i $ t o( )p"t

o la integral =

!

fn( )

0

+"

# t( ) t i $ t o( )pdt

En el caso presente de la distribución en número, es decir la de orden (0), se ha convenido

eliminar el símbolo (n). Se escriben las fórmulas para la distribución de orden (0), pero se entiende que son también válidas para las demás distribuciones, siempre y cuando se usan los símbolos f y F apropiados.

El momento de orden "p" da cuenta del valor medio de la desviación de la variable "tamaño" respecto a un valor de referencia to, y eso a la potencia "p"; se escribe a menudo en forma compacta, simbolizando la promediación ponderada con la barra superior.

!

MP to( ) = t i " t o( )p

______


El momento de orden 1 respecto al origen to = 0, no es otro que la media aritmética de la distribución.

!

M10( ) = t

"

El momento de orden 2 respecto a la media

!

t

"

se llama varianza y se escribe σ2, cuadrado de la desviación estándard σ.

!

M2t_"

# $ %

& ' = (2 = )F

iti* t_+

, - .

/ 0 1

2

ó la integral

!

f t( )0

+"

# ti$ t_%

& ' (

) *

2

dt

La desviación estándard σ es una medida de la dispersión de los datos alrededor del valor medio; por lo tanto, da cuenta de la "anchura" de la distribución. Se puede demostrar fácilmente que:

!

M2t_"

# $ %

& ' = (2 =M

20( ) ) t

_2

=M20( ) ) M1

0( )[ ]2

En cuanto al momento de orden 3 da cuenta de la asimetría de la distribución. Para simplificar la notación no se menciona to si es igual a cero. Junto a la notación

anteriormente mencionada de no escribir el orden de la distribución si es igual (0) eso dá:

Mp(n)((0)

!

" Mp(n) y Mp

(0)(0)

!

" Mp

2.5. MEDIAS PONDERADAS y TAMAÑO EQUIVALENTE

Cuando se conoce una población, se desea a menudo calcular el "tamaño medio" representativo del conjunto de granos que forma esta población. La pregunta es ¿ como se calcula este tamaño medio a partir de la distribución de tamaño ?

La respuesta a esta pregunta requiere que se defina cual es el uso del tamaño medio en cuestión.

Para fijar las ideas nos vamos a limitar ahora al uso de la distribución en número, pero vamos a calcular varios tamaños medios para una población de granos esféricos, cuya dimensión esté definido por su diámetro d.


Sea di el diámetro representativo del intervalo de tamaño que corresponde a la clase "i" de la población. Sea ni el número de granos en la clase "i".

El volumen de 1 grano de la clase "i" es: . . . . . . . . . . .

!

"

6di

3

El volumen de todos los granos de la clase "i" es: . . . .

!

"

6nidi

3

El volumen total de los granos es: . . . . . . . . . . . . . . . . .

!

"

6i

# ni di3

El número total de granos es: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

!

ni

i

"

El volumen total de los granos dividido por el número total de granos es el volumen medio por grano, el cual se escribe:

!

"

6nidi

3#

ni#

="

6$F

idi

3#

El grano medio equivalente tiene un diámetro

!

____

dv tal que Σ nigranos de este diámetro tuvieran un volumen igual al volumen total:

!

"

6nidi

3="

6#

____

dv

3

ni

i

#

de donde este diámetro

!

_dv llamado diámetro medio en volumen de la distribución en número,

que se puede calcular por:

!

____

dv

3

= "Fidi

3=M

3# o sea

!

_dv

= M3[ ]13

En forma idéntica se podría calcular

!

_ds , el diámetro medio en superficie de la distribución

en número, como el diámetro de la esfera tal que Σ ni esferas semejantes tuvieran la misma superficie que la muestra:

!

_ds= M

2[ ]12


Este diámetro equivalente es particularmente importante en los estudios de los fenómenos de superficie, ya que es el diámetro de la esfera que posee el mismo área específico que la población.

El área específico es la relación de la superficie al volumen del grano o del sistema. Permite

hallar la superficie disponible para la adsorción por unidad de volumen de una sustancia. Área específica de ni granos esféricos de diámetro δ:

!

Superficie

Volumen=ni " #

2

ni " #3

6

=6

#

Área específica de la población:

!

Superficie Total

Volumen Total=

ni"di2#

ni"di3#

6

=$Fi di

2#$Fi di

3#6

= 6M2

M3

al igualar los valores: δ =

!

M3

M2

="F

idi

3#"F

idi

2#

Este diámetro se llama diámetro medio de Sauter (SMD), y se nota

!

__

dvs , y puede calcularse

como la relación entre el momento de orden 3 y el momento de orden 2 de la distribución en número. Por tal razón se simboliza a veces como D(3,2). Veremos más adelante que se puede también calcular a partir de las distribuciones en superficie (orden 2) y en volumen (orden 3).


3. OTRAS DISTRIBUCIONES 3.1. DISTRIBUCION en VOLUMEN o MASA

En los análisis por tamizaje, elutriación, sedimentación, difracción de luz, etc, los datos de ocurrencia son fracciones en peso, es decir equivalentes a fracciones en volumen, si se supone que todos los granos poseen la misma densidad.

A continuación se analiza la conversión entre los datos en volumen y los datos en número para una muestra de granos esféricos cuyo tamaño está definido por el diámetro di. Ahora sí se van a usar los símbolos de las fracciones que corresponden a las distribuciones en número (orden 0) y en volumen (orden 3): ∆Fi

(0) = ni / ∑ni ∆Fi

(3) = vi / ∑vi ó mi / ∑mi

El volumen de 1 grano de la clase i es :

!

"di

3

6

El volumen de todos los granos de la clase i es:

!

Vi= n

i"di

3

6

por lo tanto:

!

"Fi(3)

=Vi

Vi#=ni di

3

ni di3#

=

ni

$nidi3

ni

$nidi3#

="Fi

0( )di3

"Fi0( )di3#

de donde:

!

"Fi

0( )

"Fi

0( )di

3#="F

i

3( )

di

3

sumando respecto a "i" todos los términos de la igualdad anterior:

!

"Fi

0( )#"F

i

0( )di

3#=

1

"Fi

0( )di

3#=

"Fi

3( )

di

3#

tomando el cociente entre las dos últimas relaciones:

!

"Fi

0( )="F

i

3( )

di

3 /

!

"Fi

3( )

di

3#


Si es relativamente fácil entender lo que representa la distribución en masa-volumen, y como

se pasa de esta a la distribución en número, es mucho más sutil visualizar la diferencia entre:

el diámetro medio (en volumen) de la distribución en número:

!

_

dv

el diámetro medio (en longitud) de la distribución en volumen:

!

__

Dv

!

"

dv

= #fi

0( )di

3( )$[ ]13

= M3[ ]13

!

_

Dv

= "Fi

3( )# di=

"Fi

0( )di

4#"F

i

3( )di

3#=M

4

M3

=M1

3( )

!

La diferencia es particularmente sutil en inglés, en cuyo idioma

!

_

dv se llama: "mean mass

diameter" y

!

__

Dv "mass mean diameter".

Ciertos autores emplean el símbolo D(4,3) para

!

__

Dv . 3.2. DISTRIBUCION en SUPERFICIE

Si se procesan las imágenes de los granos mediante un sistema computarizado o si se usa un sistema de detección basado sobre la superficie (adsorción, etc), entonces el dato de ocurrencia puede ser la fracción en superficie, simbolizada por: ∆Fi

(2) = si / ∑si

Si como anteriormente se suponen los granos esféricos, con tamaño determinado por su diámetro di.

La superficie de un grano de la clase i es:

!

"di

2

4

La superficie de todos los granos de la clase i es:

!

si="

4nidi

2

La superficie de todos los granos es:

!

"

4nidi

2

#

Por lo cual:

!

"Fi

2( )=si

si#

=nidi

2

nidi

2#=

"Fi

0( )di

2

"Fi

0( )di

2( )#


de donde:

!

"Fi

0( )

"Fi

0( )di

2#="F

i

2( )

di

2

Sumando respecto a "i" todos los términos:

!

"Fi

0( )#"F

i

0( )di

2#=

1

"Fi

0( )di

2#=

"Fi

2( )

di

2#

Tomando el cociente de las dos últimas ecuaciones:

!

"Fi

0( )="F

i

2( )

di

2 /

!

"Fi

2

di

2#

Estas relaciones permiten pasar de la distribución de orden 0 a la distribución de orden 2 y

viceversa.

Nótese que el momento de orden 1 de la distribución en superficie, es decir el diámetro medio (en longitud) de esta distribución es el diámetro medio de Sauter visto anteriormente y simbolizado por ciertos autores como D(3,2), puesto que es la relación entre los momentos de orden 3 y 2 de la distribución en número :

!

M1

2( )= "F

i

2( )di=#

"Fi

0( )di

3#"F

i

0( )di

2#=

_

dsv

=M

3

M2

3.3. RELACIONES GENERALES

Se pueden generalizar estos resultados, escribiendo las relaciones entre las fracciones de las distribuciones de orden n y 0.

!

"Fi

n( )=nidi

n

nidi

n#=

"Fi

0( )di

n

"Fi

0( )di

n#


e inversamente, por un cálculo ya hecho dos veces:

!

"Fi

0( )="F

i

n( )

di

n/

"Fi

n( )

di

n#

El momento de orden 1 de la distribución de orden n está dado por:

!

_

Dn

=M1

n( )= "F

i

n( )# di=

"Fi

0( )di

n+1#"F

i

0( )di

n#=Mn+1

Mn

El momento de orden p de la distribución de orden 0 está dado por:

!

MP

0( )=MP = "Fi

0( )# dip

= d_$

% & '

( ) p

… diámetro equivalente a la potencia p.

El momento de orden p de la distribución de orden n está dado por:

!

MP

n( ) = "Fin( )# di

p=

"Fi0( )di

n+p#"Fi

0( )di

n#=Mn+p

Mn

El diámetro equivalente de orden p de la distribución de orden n está dado por:

!

"

d = Mp

n( )[ ]1/ p

=Mn+p

Mn

#

$ %

&

' (

1/ p

Se puede usar esta igualdad con el fin de hallar varias expresiones para calcular el diámetro

medio de Sauter, aún con un valor negativo de p.

!

d_

vs =M

3

M2

=M

2+1

M2

"

# $

%

& '

1/1

= M1

2( )[ ]1

!

M2

M1

"

# $

%

& '

(1

=M

3(1

M3

"

# $

%

& '

1/1

= M(1

3( )[ ](1


El diámetro medio de Sauter es por lo tanto también el momento de orden -1 de la distribución de orden 3 a la potencia -1. En efecto, se verifica que:

!

M"1

3( )[ ]"1

=#F

i

3( )

di

$%

& '

(

) *

"1

=#F

i

0( )di

2$#F

i

0( )di

3$

%

&

' '

(

)

* *

"1

= d_

vs

El diámetro medio de Sauter puede por lo tanto calcularse a partir de la distribución de orden

(3) es decir la distribución en volumen dada por los aparatos de difracción/difusión de luz. Es lo que se hace a menudo en los programas de explotación computarizada de los datos granulométricos.

Sin embargo, tal método puede conducir a errores considerables en caso de que el límite inferior de la distribución esté ubicado al límite de detección del aparato utilizado. En efecto, en tal caso se comete un error notable sobre el valor de frecuencia ∆F1 al atribuirlo a la clase de diámetro más pequeño (d1), ya que es justamente esta clase que posee el mayor término ponderado 1⁄d1 de la sumatoria:

!

"Fi(3)

di# +

"F1(3)

d1+"F2

(3)

d2+"F3

(3)

d3+"F4

(3)

d4+"F5

(3)

d5+ .....

Ejemplos de casos prácticos indican que el primer término puede llegar a "pesar" un 40 ó

50% del total de la sumatoria. Es por lo tanto obvio que no se puede tolerar técnicas como la de acumular en la clase de menor diámetro todo el "peso" de los granos de diámetro inferior al límite de detección del aparato.

Para evitar este tipo de error se ha diseñado un método apropiado (véase cuaderno FIRP S556A).


4. DISTRIBUCIONES CLASICAS 4.1. DISTRIBUCION NORMAL o GAUSIANA Posee una función de frecuencia

!

f(x) dx = k e"x

2/ 2dx

donde x puede variar de -∞ a +∞. Para que la función integral sea unitaria en + ∞ se debe cumplir:

!

1= k e"x 2 / 2

"#

+#

$ dx

Nótese que por razones de simetría f(x) = - f(-x).

Se define la integral:

!

I =1

2ke"x 2 / 2

0

+#

$ dx

Y se calcula I2 como una integral doble:

!

I2 =0

+"

# e$ x 2 +y 2( ) / 2

dx dy0

+"

#

Pasando en coordenadas polares e integrando sobre el primer cuadrante de plano: x = ρ cosθ x > 0 , y > 0 y = ρ senθ ρ > 0 dx dy = ρ d ρ dθ 0 < θ < π/2 se obtiene:

!

I2

= d"0

# / 2

$ e%&2 / 2 & d& =

#

20

+'

$

I

y

x

!

"


432100.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x

σσ

σ2F (x)

f (x)

432100.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.2

0.1

0.0

x

F (x)

punto de inflexión

σ

DISTRIBUCION NORMAL (diferencial e integral )

punto de inflexión

Fig. 11: Distribución normal o gausiana


Por lo tanto

!

k =1

2" y f(x) dx =

!

1

2"e#x 2

2 dx

La densidad normal reducida es simétrica respecto a x = 0, y posee una desviación estándar

unitaria. La función integral F(x) se llama función de error y está tabulada como erf(x).

En la práctica se usa la densidad gausiana con un cambio de variable que contiene dos parámetros característicos: el valor medio m y la desviación standar σ :

!

x =t "m

#

!

dx =dt

"

de donde:

!

f t( ) dt =1

" 2#e$ t$m( ) /"[ ] 2

2 dt

Las propiedades más resaltantes de esta distribución son los siguientes: M1 = m M2(m) = σ2 M3 = 0 F(m - σ) = 0.16 F(m + σ) = 0.84 F(m) = 0.50 F(m - 2.41 σ) = 0.01 F(m + 2.41 σ) = 0.99

La distribución normal no se aplica en general a las distribuciones de grano producidos por una molienda o una emulsionación. Hay dos razones a eso:

- La primera es de carácter teórico. En efecto, cualquier sea m, existe siempre una fracción acumulada F(0) no nula, ya que el dominio de la variable de una distribución normal es abierto: ]-∞ / +∞[. De otra parte es obvio que no puede haber un sentido físico para una fracción de granos con diámetro negativo. - La segunda razón es que los procesos de molienda y emulsionación producen distribuciones que son en general fuertemente asimétricas, mientras que la ley normal es simétrica respecto a su media.

Estas dos razones nos llevarán a considerar una ley derivada de la ley normal, pero sin

ninguno de estos inconvenientes: la ley log-normal.


4.2. DISTRIBUCION LOG-NORMAL

La función de frecuencia log-normal se deduce de aquella de la ley normal mediante un simple cambio de variable.

x = ln t dx = d ln t = dt/t

La media se escribe ln m y la desviación standard ln σ.

!

f 1nt( ) dlnt =1

1n" 2#exp $

1

2

lnt $1nm

1n"

%

& '

(

) * 2+

, -

.

/ 0 d1nt

Como consecuencia la distribución log-normal posee el aspecto de una distribución normal, si se utiliza como variable el logaritmo del tamaño de grano.

Se notará que cuando el tamaño varía de 0 a +∞, entonces su logaritmo varía de -∞ a + ∞, eliminándose el problema mencionado en el parágrafo anterior.

En un gráfico en el cual la escala de las abcisas es logarítmica, entonces la ley log-normal tiene una representación gráfica de ley normal. (Ver fig. 12).

!

1nm = f 1nt( )0

"

# 1nt d1nt

En términos de distribución discreta, se ve que m es la media geométrica de los ti:

!

1nm = "Filnt

i= lnt

i

"Fi=1n

i

#$$ ti

"Fi .

Los puntos de ordenada 0.84 y 0.16 están situados ± lnσ del valor ln m, por lo tanto:

ln σ2

G = F-1(0.84) - F-1(0.16) σG no es una longitud, sino un factor multiplicativo llamado factor de desviación estándar o desviación estándard geométrica. El punto 0.84 corresponde a la graduación mxσG mientras que el punto 0.16 corresponde a la graduación m/σG .


1086420

0

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

fF

tamaño

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

Escala Lineal

101

Escala Log

0.20

0.40

0.60

0.80

0

1.00

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

tamaño

Ff

Fig.12: Distribución Log normal en escala lineal y en escala semi-logarítmica

La distribución log-normal posee ciertas propiedades extremadamente útiles para el análisis estadístico de un conjunto de granos.

La primera propiedad es que si un conjunto de granos posee una distribución en número de tipo log-normal, todas las otras distribuciones de orden (n), cualquiera sea n, son también log-normales y con igual desviación típica geométrica σG.

Las medias geométricas de orden (n) y los momentos de orden p se calculan con las relaciones de Hatch-Choate: m(n) = m(0) exp [n (lnσ)2]

!

Mp

n( )[ ]1p

=m0( ) exp n +

p

2

"

# $

%

& ' 1n(( )

2)

* +

,

- .

Nótese también que:

!

Mp

n( )[ ]1p

=m0( ) exp n +

p

2

"

# $

%

& ' 1n(( )

2)

* +

,

- .

Si los datos obedecen a una distribución log-normal, se puede por lo tanto transformar muy

fácilmente los datos de una distribución de cierto orden en los datos de cualquier otra, y calcular los momentos deseados.

Se analizan las aplicaciones de estas propiedades en el cuaderno FIRP S555A, donde se discute que tal distribución permite muy a menudo dar cuenta de los datos granulométricos de las emulsiones.


4.3. MODIFICACIONES de la DISTRIBUCION LOG-NORMAL

Se propusieron algunas modificaciones de la ley log-normal con el propósito de mejorar la descripción de datos experimentales.

Se ha notado que cuando una distribución log-normal representa correctamente los datos en

el centro del dominio de tamaño, pero muestra ciertas desviaciones en las zonas de pequeños y grandes tamaños, puede ser útil sustituir la variable tamaño t por:

!

x =t

tmáx

" t ó

!

x =t " t

min

tmáx

" t

donde tmin y tmáx son valores mínimo y máximo que deben optimizarse para que la variable x tenga una distribución log-normal.

Otra modificación de la distribución log-normal se basa sobre la mediana tm y la desviación δ

!

f t( ) dt =1

" /2 # exp #2 /2( )exp $

1

2

1n t /2( ) $1n tm /2( )#

%

& '

(

) *

2+

, - -

.

/ 0 0

dt

tm

4.4. DISTRIBUCION de WEIBULL

Se usa en ciertos procesos de ruptura. Su distribución acumulada posee tres parámetros ajustables a, b, g:

!

F t( ) =1" exp "t " g( )

b

a

#

$ % %

&

' ( (


ANEXO

DENSIDADES de DISTRIBUCION

Normal

!

f x( ) =1

" 2#exp $

x $m( )2

2"2

%

& ' '

(

) * *

+

, - -

.

/ 0 0

Poisson

!

f x( ) = e"aak

k!k= 0

#

$ % x " k( )

!

" x # k( ) : función delta de Kronecker*

Binomial

!

f x( ) =k

n"

# $ %

& '

k= 0

n

( pkqn)k* x ) k( ) con p + q = 1

donde

!

k

n"

# $ %

& ' =n n (1( ).... n ( k +1( )

12....k=

n!

k! n ( k( )! es el número de combinaciones de n elementos k a

k. La densidad binomial se acerca a la densidad normal si n es suficientemente grande.

Gamma

!

f x( ) = A xb e"cx U(x) con

!

A =cb+1

" b +1( ) y U(x) es el escalón de Heavyside

donde la función Γ es:

!

" b +1( ) = yb e#y dy0

$

% Si n es un entero Γ(n+1) = n! Beta

!

f(x) = A xb(1" x)

c 0 ≤ x ≤ 1

con

!

A =" b + c + 2( )

" b +1( )" c +1( ) función

!

" b,c( ) =# b( )# c( )# b + c( )

Laplace

!

f(x) ="

2exp(#" x) Cauchy

!

f x( )" /#

"2 + x2

Rayleigh

!

f x( ) =x

"2exp #

x2

2"2

$

% &

'

( ) U x( ) Maxwell

!

f x( ) =2

"3 #x2 exp $

x2

2"2

%

& '

(

) * U x( )

*Función delta de Kronecker δ(x) = 0 si x ≠ 0 δ (x) = 1 si x = 0 *Función escalón de Heavyside U(x) = 0 si x < 0 U(x) = 1 si x > 0


FUNCION CARACTERISTICA GENERADORA DE MOMENTO

!

" #( ) = ei#x

$%.

+%.

& f x( )dx Transformada de Fourier ó valor medio de

!

ei"x

!

= ei"k

k

# $F xk( ) si es una función discreta

Esta función tiene la propiedad siguiente a la cual debe su nombre de función generadora de momento:

!

dn" 0( )d#n

= in Mn

REFERENCIAS ALLEN T., Particle size measurement, 3rd Ed., Chapman & Hall BARTH H. Editor, Modern methods of particle size analysis, Vol. 73 Chemical Analysis KAYE B., Direct measurement of fine particles, Wiley y cualquier libro de estadistica


Título: Granulometría – Teoría Autor: Prof. Jean Louis Salager Referencia: Cuaderno FIRP N° S554A Versión # 2 (2007) Editado y publicado por: Laboratorio FIRP Escuela de INGENIERIA QUIMICA, UNIVERSIDAD de Los ANDES Mérida 5101 VENEZUELA

Condiciones de Reproducción

Los cuadernos FIRP están destinados a docentes y estudiantes. Pueden descargarse y reproducirse solo para uso individual. Su venta o su reproducción como material de apoyo de cursos con pago de matrícula requiere una autorización escrita del editor ([email protected])

Laboratorio FIRP, telef: ++ [58] (0) 274 2402954 Fax: ++[58] (0) 274 2402947

e-mail : [email protected] Escuela de INGENIERIA QUIMICA,

UNIVERSIDAD de Los ANDES Mérida 5101 VENEZUELA http://www.firp.ula.ve

Teoria Granulometria

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