Introduccin a la Relatividad GeneralJuan Antonio Hijano Lpez Oliver Hijano CubelosEliot Hijano Cubelos4-Agosto-2011Contents1 NOTACIN 32 Introduccin 43 Tensores , derivada covariante y simbolos de Christoel 54 Propiedades de la mtrica 85 Ecuaciones de estructura de Cartan 86 Transporte paralelo , tensor de Riemann y ecuacion de las geo-dsicas 97 Tensor de Ricci y escalar de Ricci 118 Tensor de Einstein 119 Demostracion de las ecuaciones de campo de Einstein 1110 Vectores de Killing 1211 Primer ejemplo 1312 La esfera S21713 Segundo ejemplo 1913.1 Primer ejemplo de mtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1913.2 Segundo ejemplo de mtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1913.3 Tercer ejemplo de mtrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20114 Conceptos en geometra diferencial 2014.1 Sistema de coordenadas normal Gaussiano . . . . . . . . . . . . . 2014.2 Ecuaciones de Gauss-Weingarten. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2114.3 Ejemplo de clculo de curvatura extrnseca y direcciones principales 2214.4 Ecuaciones de Gauss-Codazzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2314.5 Tensores de Ricci y Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2415 Soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein 2516 Problemas 2616.1 Clculo de smbolos de Christoel y geodsicas de tiempo . . . . 2616.2 Clculo de geodsicas nulas y regulares . . . . . . . . . . . . . . 2616.3 Derivacion covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2716.4 Teora algebraica de tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2916.5 Demostraciones relacionadas con los smbolos de Christoel . . . 3016.6 Transporte paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3116.7 Primer ejemplo de transporte paralelo . . . . . . . . . . . . . . . 3316.8 Segundo ejemplo de transporte paralelo . . . . . . . . . . . . . . 3416.9 La identidad de Bianchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3416.10 Conservacin de la energa y el momento local . . . . . . . . . . 3517 Pullback-Pushforward 3618 Sistema de unidades de Planck 3919 Mtrica de Schwarschild 3919.1 Smbolos de Christoel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4019.2 Tensor de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4019.3 Tensor de Ricci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4219.4 Escalar de Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4219.5 Obtencin de la mtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4219.6 Velocidad radial en el interior y tiempo de vida en la frontera . . 4319.7 Ecuaciones de Einstein con constante cosmolgica . . . . . . . . . 4619.8 Experimento sobre un agujero de negro de Schwarzschild . . . . . 5020 Una mtrica de Schwarzschild algo mas general 5620.1 Clculo de c(r) y , (r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5621 Mtrica en T25721.1 Derivacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5721.2 Smbolos de Christoel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5821.3 Tensor de Riemann , Tensor de Ricci , Escalar de Ricci y Tensorde Einstein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5822 Mtrica en K (botella de Klein) 5922.1 Derivacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62223 Mtrica de Friedman-Lamaitre-Robertson-Walker (FLRW) . 6323.1 Mtrica, ecuaciones de Friedman y ecuaciones de estado . . . . . 6324 Mtrica de Tolman-Bondi-de Sitter en 2+1 dimensiones 6524.1 Clculo de las 1-formas curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6524.2 Clculo de las 2-forma curvatura y el tensor de curvatura . . . . 6524.3 Clculo del tensor de Ricci y el escalar de Ricci. . . . . . . . . . 6624.4 Tensor de Einstein y ecuaciones de campo . . . . . . . . . . . . . 6625 La Metrica de Kasner 6726 El desao a Newton 6826.1 Observando la cara (no)oculta de una estrella . . . . . . . . . . . 6827 Bibliograa y referencias 731 NOTACINSe pretende que este documento sea compatible con muy distintos libros detexto y publicaciones , cada uno con su propia notacin . Luego no usamos unanica notacin , pero el signicado de cada simbolo queda claro por el contexto. Esta es una lista de simbolos frecuentes en este documento .M es una variedadr, j , c, j son sistemas de coordenadas de una variedadbidimensionalro es un sistema de coordenadas genricod es la derivada total0 es la derivada parcial, implica derivacion parcial . Por ejemploq,es la derivada de g respecto a r; \ implica derivacion covariante . Por ejem-plo Too,X= \XT es la derivada covariante de Toorespecto a rX\oson componentes de un vector

dcoson componentes de una 1-formaco = 0o =JJrces un vector basico nes una 1-forma basicaqoo, 1oo, Tooison componentes de tensoresIoo~son los smbolos de Christoelqooes la mtrica de la variedad y g es sudeterminante3do2es el elemento de lineaIobson las 1-formas curvatura\obson las 2-formas curvatura1obcJes el tensor de curvatura de RiemannA es el producto exteriorAooes la matriz de transformacion de coor-denadasc representa un incremento innitesimal1obes el tensor de Ricci1 es el escalar de RicciGobes el tensor de EinsteinTobes el tensor momento-energao es la accin1Ies la tension de curvatura extrinsecajies la mtrica de Minkowski2 IntroduccinLa teoria de la relatividad es uno de los mayores logros de la ciencia.La rel-atividad especial , que no incluye la gravedad, fue desarrollada por Einsteinen 1905, y sus resultados son asombrosos como por ejemplo que la velocidadde la luz en el vacio es la misma para todos los observadores, lo que oblig aabandonar la idea de un tiempo absoluto. Unos 10 aos mas tarde Einsteindesarrolla la relatividad general que ya incluye la gravedad como la distorsiondel tejido espacio-temporal por la presencia de materia, algo que se resume enla famosa frase la materia dice al espacio como curvarse y el espacio dice a lamateria como moverse .Ademas de su belleza matemtica y sus sorprendentes resultados, tiene famade dura , algo completamente justicado por el nivel matematico que requierey los largos y tediosos calculos que son necesarios hasta llegar a resolver lasecuaciones de campo, este es el motivo por el que se hace inprescindible ,apartir de un cierto punto, el uso de algun paquete matemtico como por ejemploMathematica .La gravedad es extremadamente pequea comparada con el resto de fuerzasde la naturaleza, pero hay hechos que explican porqu es importante y dondees importante. En primer lugar , la gravedad es una fuerza universal que afectaa todos los estados de materia y energia. En segundo lugar la gravedad es unafuerza de largo alcance en contraste con la fuerza debil y la fuerza fuerte quese caracterizan por actuar a distancias cortas como el tamao del nucleo. Latercera y la mas importante, la gravedad no se puede apantallar ya que no existeuna carga gravitacional negativa , la masa siempre es positiva.Estas tres caracteristicas explican porque la gravedad es la fuerza dominantea gran escala y es la responsable de la estructura del Universo, la escala de la4astrosica y la cosmologia.La fuerza electromagnetica es mucho mas fuerte quela gravitatoria y es la responsable de que el Universo sea neutro.La relatividad general es importante para objetos com masa ' y tamao1 tal que =c11c2 ~ 1 , para estrellas de neutrones ~ 0.1 y para agujerosnegros ~ 0. luego estos son objetos relativistas.En nuestro Universo ~ 1si tomamos 1 como el radio de Hubble y ' la masa estimada en su interior.Para valores pequeos de q tambien puede ser importante , por ejemplopara nuestro Sol ~ 106y para la Tierra ~ 109, pero los efectos sonimportantes para el correcto funcionamiento del Global Positioning System(GPS).El la sica actual tambien es importante a escalas mas pequeas, las de lagravedad cuantica, que se caracteriza por la longitud de Planck |1l = _c~c3 ~1033cm , que es muy inferior a la escala en la que es importante la interacionfuerte ~ 10l3cm .Esta es la escala en la que actualmente se cree que es posibleencontrar una teoria nal que unique las cuatro fuerzas fundamentales, es laescala de la teoria de cuerdas, y caracterizara la union de las dos grandes teoriasde la Fisica, la relatividad general y la mecanica cuantica3 Tensores , derivada covariante y simbolos deChristoelTenemos un sistema de coordenadasr, j , y -, j es otro sistema decoordenadas relacionado con el primero segun- = -(r, j)j = j(r, j),en una variedadbidimensinal M.Las matrices de transformacin son :Ao0o= Jrc0Jr{=_J:JrJ:JJqJrJqJ_Aoo0 =JrcJr{0 =_JrJ:JrJqJJ:JJq_donde prima se reere a las coordenadas-, j , y cumplen la relacinAo0o Aoo0 = 1 (ver el primer ejemplo).Tambien , llamamos a Aoo0 =JrcJr{0 = J el jacobiano , con determinanteno nulo para ser una transformacion valida de coordenadas.Las leyes de transformacion de un sistema a otro para vectores , 1-formas ,vectores basicos y 1-formas basicas son :\o0 = Ao0o \opara vectores . d1o0 = Aoo0

d1opara 1-formas . no0 = Ao0o nopara 1-formas basicas . co0 = Aoo0 co para vectores basicos .Para transformaciones de1-formas basicas y vectores basicos , ver el primerejemplo .Con las 1-formas basicas obtenemos la mtrica ; ver el primer ejemplo .5Escribimos un tensor p veces contravariante y q veces covariante , un tensor_ j_como : TI1I2...I12...q.\ = \ocoes un vector, un tensor _ 10_con componentes \ = \o(r)donde r es un sistema de coordenadas.Podemos derivar V respecto a ro:J\Jr{ = J\cJr{ co \o JtcJr{peroJtcJr{esuna combinacion lineal de c :AsiJtcJr{ = Ioocdond j es la componente , c es el vector basico quederivamos y , es la coordenada respecto a la cual derivamos ,y ahora podemos cambiar indices y escribir \oIooc = \Ioocoasi :J\Jr{ = J\cJr{ co \Iooco = (J\cJr{ \Ioo)co = (\o,o \Ioo)coY denimos la derivada covariante de un vector , un tensor _ 10_como \o,o = \o,o \IooAhora denimos la divergencia de un vector como \o,o =l_(_q\o),o, ver el primer ejemplo.Y la Laplaciana es \= \) = qr0r) , ver el primer ejemploClculos similares dan para la derivada covariante(ver el tercer problema dela seccin problemas):para una 1-forma , un tensor _ 01_: 1o,o = 1o,o1Ioopara un tensor _ 11_: 1oo,~ = 1oo,~ 1oIo~ 1oIo~para un tensor _ 20_: Too,~= Too,~ToIo~ ToIo~para un tensor _ 02_: qoo,~ = qoo,~ qoIo~ qoIo~Para un tensor _ j_la derivada covariante es un tensor _j 1_,Sir y r son dos sistemas de coordenadas , la ley de cambio deun sistema a otro es(ver el cuarto problema de la seccion de problemas) :para un vectorTI= T: Jr1Jrr,y para una 1-forma TI = T: JrrJr1,y en generalTI1I2...I12...q = T:1:2...:s1s2...sqJr11Jrr1 Jr12Jrr2...Jr1Jrr Jrs1Jr1 Jrs2Jr2 ...JrsqJrq.Llamamos a Ioolos simbolos de Christoel y no es un tensor . Tiene lasimmetra Ioo = Iooy se calculan con la mtrica(ver la seccion propiedadesde la mtrica) segn :Ioo = l2qi(qio,o qio,oqoo,i)6Tambien denimos Ioo = qiIooiy Iooi = Iooi = l2(qoi,o qio,oqoo,i)Sobre smbolos de Christoel ver problema 5 de la seccin de problemas.Vamos a calcular los smbolos de Christoel ,para una mtrica diagonal(yaque es de uso frecuente), usando la formula :Icu = 12qc(0uq0qi 0qi)Sabiendo que qu = 0 si ,= j podemos escribir :IXu=12qX(0uq0qi 0qi) ==12_qX0uqqX0qi qX0qi_==12_qX0uq qX0qi_= 12_cqX0uq cuqX0qi_==12_qX0uq quX0qii_= 0Tambien :IX=12qX(0q0q 0q) ==12_qX0qqX0q qX0q_==12_cqX0qqX0q cqX0q_==12_qX0qqX0q qX0q_== 12qX0q = 12qXX0Xq = 12 (qXX)l0XqY tambien :IXX=12qX(0Xq0qX 0qX) ==12_qX0XqqX0qX qX0qX_==12_qX0Xq qXX0qXX_= 12 (qXX)l(0qXX) = 0 ln_[qXX[Y nalmente :IXXX=12qX(0XqX0qXX 0XqX) ==12qXX0XqXX = 0X ln_[qXX[74 Propiedades de la mtricaUn espacio n-dimensional que localmente es isomorfo a 1n, el espacio Euclideon-dimensional , con coordenadas (ro) , en el que se ha denido una formafundamental o mtrica qIdrIdrtal que q = (qI) es un espacio de Rie-mann.La mtrica g es de clase C2, al menos.Tiene la simetra qoo = qoo,luego es una matriz simtrica .El determinante g es no nulo .Permite medir distancias d:2= qIdrIdr, y la nocin de distancia gen-erada por g es invariante bajo cambios de coordenadas .En general es indenida .La norma de un vector se calcula segn [\ [ =_cqIdrIdrdonde c esla funcion indicatriz que vale +1 si qIdrIdr~ 0 y -1 si qIdrIdr- 0 , asi[\ [ _ 0 para todo V , y en caso de igualdad decimos que V es un vector nulo.Si rI= rI(t) es una curva , con t el parmetro que dene cada punto de ella, la longitud de la curva en a _ t _ / es1 =_bo_cqI Jr1J|JrJ| dt =_bo [\ [ dt.El ngulo entre vectores escos 0 =I\]I]]\ ] =1I1\_t1qI\q_t2rsIr\s, y clara-mente el ngulo puede ser real complejo .La mtrica sube y baja ndices , por ejemplo hay una relacin uno a unoentre vectores y 1-formas :\I = qI\\= qI\|.El elemento de volumen es _qd1r donde D es el nmero de dimensionesdel espacio-tiempo .La derivada del determinante es q, = qqooqoo,.Y su derivada covariante siempre es nula qoo, = 0 .Para un MCRF(momentarily comoving reference frame) qoo = joo = diaq(1, 1, 1, 1), luego el espacio es plano.Y la transformacin de Lorentz Ao0ose cambia por 1o0oen un espacio-tiempo curvo.En el segundo ejemplo se hacen clculos relaccionados con la mtrica.5 Ecuaciones de estructura de CartanSiro , es un sistema de coordenadas , entonces co = 0o =JJroes unabase coordenada , pero normalmente no son unitarios ni ortogonales y no tienenlas mismas dimensiones .Las 1-formas basicas son no= dro, y dno= 0 es decir son exactas .La primera ecuacin de estructura de Cartan es :8dnbo= IbobbAnbb= l2CbobbbcnbcAnbbIbobb = l2Cbobbbcnbcdonde Ibobbson las 1-formas de curvatura con las simetrias :Ib0bI = IbIb0IbIb = IbbIIbIbI = 0.Tambien Ibobb = Ibobbbcnbcdonde Ibobbbcson los coecientes de rotacin deRicci .Podemos calcular los smbolos de Christoel segn Iobc = (Al)obJIbJb tb}Ab tbAb}c.La segunda ecuacin de estructura de Cartan es :\bobb = dIbobb IbobcAIbcbb = l21bobbbcbJnbcAnbJdonde \bobbson las 2-formas de curvatura y el tensor de curvatura de Rie-mann(ver la seccion sobre el tensor de Riemann) es 1obcJ = (Al)ob t1b tb}b b|Ab}bAb cAb|J.6 Transporte paralelo , tensor de Riemann yecuacion de las geodsicasUn vector V se transporta paralelamente desde A hasta B , luego a C , luego aD y vuelta a A .El cambio en \oes c\o= crcri1ooi\o(problema 6 de la seccionde problemas)donde91ooi = Iooi,Ioo,i Ioc,Icoi IociIcoEl tensor de Riemann es _ 18_con 1dcomponentes y si todos sonnulos el espacio es plano. Tiene las simetras :1I|l = 1Il|1I|l = 1I|l1I|l = 1|lISi hacemos transporte paralelo de un vector \oa lo largo de la curvaro(`) , entonces en un sistema inercial localJ\cJX= 0 y :J\cJX= J\cJr{Jr{JX= (J\cJr{ \Ioo)lo= 0Y como debe ser cierto en cualquier base la denicin de transporteparalelo es (problemas 7 y 8 de la seccion de problemas) :(J\cJr{ \Ioo)lo= 0 =lo\o,o = 0Y la curva que transporta paralelamente su tangente es una geodsica :lolo,o = 0lolo,o = lolo,o Ioollo= 0Jr{JXJIcJr{ Ioo Jr,JXJr{JX= 0JJX(JrcJX ) Ioo Jr,JXJr{JX= 0La ultima ecuacin es para geodsicas ro(`) . Las condiciones inicialesson ` = `0o ro0 = ro(`o) para la posicin inicial , y lo0 = (JrcJX )Xcparala direccion inicial .Un ejemplo simple de geodsicas son las geodsicas nulas d:2= 0 de larelatividad especial , donde la mtrica es qoo = diaq(1, 1, 1, 1) .Como qoo = co::t =Ioo = 0JJX(JrcJX ) Ioo Jr,JXJr{JX= 0 = J2rcJs2= 0 =ro= ro0 to:y como d:2= 0 :qoo JrcJsJr{Js= 0 =qoototo= 0qoo rcrc0sr{r{0s= 0qoo(roro0)(roro0) = 0Asi las geodsicas nulas son (r0r00)2 (rlrl0)2 (r2r20)2 (r3r30)2= 0y si tomamos como punto de partida el origen de coordenadas ro0 = 0y tomando solo dos dimensiones :(rl)2 (r2)2= (r0)2y obtenemos el cono de luz.107 Tensor de Ricci y escalar de RicciEl tensor de Ricci es 1ob = 1cocbEl escalar de Ricci es 1 = qob1obPara deniciones ver el apartado 10 de la seccin de problemas .8 Tensor de EinsteinEl tensor de Einstein es Gob = 1ob l2qob1Para deniciones ver el apartado 10 de la seccin de problemas .9 Demostracion de las ecuaciones de campo deEinsteinVamos a demostrar las ecuaciones de campo de Einstein usando un metodovariacional .La accin de Einstein-Hilbert es :o =l2|2_ ddr_q(1 2A) o1donde c = 1 , /2= 8Gy o1es la contribucin de la materia .Comenzamos con el tensor de Riemann1ci = 0Iic0iIc IXIXicIiXIXcla variaciin esc1ci = 0cIic0icIc cIXIXic IXcIXiccIiXIXcIiXcIXc.La derivada covariante para cIies:\X(cIi) = 0X(cIi) IcXcIciIciXcIcIcXcIic.Cambiando ` j , j o y o c queda :\(cIic) = 0(cIic) IocIoicIoicIocIoccIioY cambiando ` i , i j , j o j o c queda :\i(cIc) = 0i(cIc) IoicIocIoicIocIocicIo11Asi , restando , obtenemos la identidad de Palatinic1ci = \(cIic) \i(cIc) .La variacin del tensor de Ricci se obtiene contrayendo ndices (hemos cam-biado o j y j j ) :c1i = c1i = \(cIi) \i(cI) .Y el escalar de Ricci es 1 = qi1ientonces usando la ecuacin de com-patibilidad de la mtrica \cqi= 0 :c1 = 1icqiqic1i = 1icqi\c(qicIciqccI) donde elultimo termino es una divergencia .Ahora necesitamos la variacin del determinante de la mtrica c(_q) = l2_qqoocqoo.Y la variacin de la accin es :co =l2|2_ ddr_q(1i l2qi1 Aqi)cqi l2_ dJr_qTicqitcr mino: dc co:tor:odonde hemos denido el tensor de momento-energa como : Ti = 2_ oSfo,:.Como la variacin cqies arbitraria ,obtenemos las ecuacionesdecampo de Einstein :1i l2qi1 Aqi = 8GTiDenimos el tensor de Einstein Gi = 1i l2qi1, y las ecuacionesde campo quedan : Gi Aqi = 8GTi.Estas ecuaciones junto con las ecuaciones de las geodsicas son elnucleo de la formulacin matemtica de la Relatividad General .Usando la identidad de Bianchi \Gi= 0 (problema 9 de la seccinde problemas) encontramos una consecuencia importante de las ecuaciones decampo , que el tensor de momento-energaes una corriente conservada\Ti= 0 (problema 10 de la seccion deproblemas).10 Vectores de KillingUna mtrica tiene componentes qirelativa a un sistema de coordenadasro y suponemos que todas son independientes de la coordenada r|,luegoJ,:Jr!= 0 .12La longitud de una curva es 1 =X2_X1qi(r(`))Jr,JXJr:JX 12d` .Ahora trasladamosla curva ro= ro(`) en la direccion c = ^r|,entonces tenemos una curva congruentero= ro(`), c ,= /r|= r|(`) c,la nueva longitud es 1(c) =X2_X1qi(r(`)) cJ,:Jr! Jr,JXJr:JX 12d` ,peroJ,:Jr!= 0luego la longitud es la misma yJJJt = 0 .El vector c =JJ: =JJr!produce una traslacin que conserva distancias ,y lo llamamos vector de Killing .Si c= c|son las componentes de un vector de Killing , entonces c = qocoy la derivada covariante esc,i = qoco,i = qo(co,i Ioiccc) = qoIoi| = Ii| = l2(q|,i qi,|qi|,) = l2(q|,i qi|,)Luego c,ies antisimtrico y por lo tanto la ecuacin de Killing es :c,i ci, = 0 = c(,i)y c(,i) = l2(c,i ci,) .Dado un vector de Killing X , algunas propiedades son :* relacin con el tensor de Riemann \c\bAo= 1obcJAJ* relacin con el tensor de Ricci \b\oAb= 1ocAc* relacin con el escalar de Ricci Ao\o1 = 0* denimos una corriente como Jo= TobAbdonde T es el tensor demomento-energa.La derivada covariante es :\oJo= \o(TobAb) = (\oTob)Ab Tob(\oAb) pero \oTob= 0 y Tobes simtrico,as\oJo= l2(Tob(\oAb) Tbo(\bAo)) = l2Tob(\oAb \bAo) = 0 y Jes una cantidad conservada.Ver el apartado de la esfera S2para un ejemplo de aplicacin.11 Primer ejemploDadas las coordenadas :r = n cos c j = n sinc . = 12_n22_Calculamos el Jacobiano :130ro0rot = Aoo0 =__ cos c ncos c n sinc sinc nsinc n cos cn 0__Cuyo determinante es :J = n ncos c n sincnsinc n cos c cos c n sinc sinc n cos c== n_n22_Asi la transformacin de coordenadas no es invertible si n = 0 o = 0. Lamatriz inversa es :0rot0ro=1JrcJr{0(d,(J))T=1n (n2 2)__ n2cos c n2 cos c _n22_sincn2sinc n2 sinc _n22_cos cn2 2n 0__T==__u cos u2u2ucos u2u2sIn uuu sIn u2u2usIn u2u2cos uuuu2u2uu2u20__T=___u cos u2u2u sIn u2u2uu2u2ucos u2u2usIn u2u2uu2u2sIn uucos uu0___Las 1-formas basicas son :dru= cos cn2 2drr sincn2 2drnn2 2dr:dru=ncos cn2 2drr nsincn2 2drn2 2dr:dr= sincndrr cos cndrY los vectores bsicos :0u= cos c0r ncos c0n sinc0:0u= sinc0r nsinc0 n cos c0:0= n0r0Usando la matriz jacobiana obtenemos :0ro0rot =__ cos c ncos c n sinc sinc nsinc n cos cn 0____ drdjd.__=__ cos c ncos c n sinc sinc nsinc n cos cn 0____ dnddc__==__ cos cdn ncos cd n sincdc sincdn nsincd n cos cdcndn d__14Luego la mtrica es :d:2= d:t2= dr2dj2d.2== ( cos cdn ncos cd n sincdc)2 ( sincdn nsincd n cos cdc)2 (ndn d)2== 2cos2cdn2n2cos2cd2n22sin2cdc2 2nsin2cddn 2n2sinccos cdcdn 2n2 cos csincdcd 2sin2cdn2n2sin2cd2n22cos2cdc2 2ncos2cddn2n2cos csincdcdn 2n2 cos csincdcd n2dn22d22ndnd == _n22_dn2_n22_d2n22dc2q0i0 =___n22_0 00_n22_00 0 n22__q0i0=__l(u2u2)0 00l(u2u2)00 0lu2u2__Los smbolos de Christoel son :IXu= 0IX= 12 (qXX)l0XqIXX= 0 ln_[qXX[IXXX= 0X ln_[qXX[Resumiendo, los valores no nulos son :15q0i0 =___n22_0 00_n22_00 0 n22__Iuuu= 12 (quu)l0uquu = nn2 2Iu= 12 (quu)l0uq = n2n2 2Iuuu= 12 (quu)l0uquu = n2 2Iu= 12 (quu)l0uq = n2n2 2Iu= 0u lnn = 1Iu= 0u lnn = 1nIuuu= 0u ln_(n2 2) =n2 2Iuuu= 0u ln_(n2 2) =nn2 2Iuuu= 0u ln_(n2 2) =nn2 2Iuuu= 0u ln_(n2 2) =n2 2Divergencia :\\= 0\ IX\X== 0u\u0u\u0\ IuuX\X IuuX\X IX\X== 0u\u0u\u0\ Iuuu\u Iuuu\u Iuu\Iuuu\u Iuuu\u Iuu\Iu\u Iu\u I\= 0u\u0u\u0\nn2 2\un2 2\unn2 2\un2 2\u1n\u 1\u= 0u\u0u\u0\2nn2 2\u 1n\u2n2 2\u 1\u== 0u\u0u\u0\_8n22n(n2 2)_\u_82n2 (n2 2)_\uLaplaciana, \= \): :16\= \) = qr0r)__l(u2u2)0 00l(u2u2)00 0lu2u2__\\) = 0u (qur0r)) 0u (qur0r)) 0_qr0r)_8n22n(n2 2)qur0r) 82n2 (n2 2)qur0r) == 0u_1n2 20u)_0u_1n2 20u)_0_1n220)_8n22n(n2 2)20u) 82n2 (n2 2)20u) == 2n(n2 2)20u) 1n2 202u) 2(n2 2)20u) 1n2 202u) 1n2202)8n22n(n2 2)20u) 82n2 (n2 2)20u)=1n2 202u) 1n2 202u) 1n2202) 1n(n2 2)0u) 1 (n2 2)0u)12 La esfera S2La metrica es :d:2= d02 sin20dc2qi= _ 1 00 sin20_Y los simbolos de Christoel son :I0= sin0 cos 0I00= 0I0=1lan0I00= 0I000= 0I= 0Las ecuaciones para las geodsicas son :0 =

c 1lan0

0

c0 =

0 sin0 cos 0

c

c17

c = 0 y 0 = a /` satisfacen las ecuaciones para las geodsicas.Si 0 = 0entonces :0 =

c0 = sin0 cos 0

c

cQue slo se cumple para 0 = t2, si c = a/`. Podemos preguntarnos porque0 = 0 o 0 = no es una geodsica.Si dibujamos la esfera vemos que estas geodsicas son solo puntos y notrayectorias.Ahora vamos a calcular los vectores de Killing .Comenzamos con la ecuacin de Killingco,o co,o = 0 = c(o,o) = co,o co,o2Iooc = 0para c = , = c c, = c0 sin0 cos 0 (1)para c = , = 0 c0,0 = 0 =c0 = )(c) (2)para c = 0, , = c c0, c,0 = 2c col 0 (3)primero , sustituimos (2) en (1) e integramos :c, = )(c) sin0 cos 0 c =_ )(c) sin0 cos 0dc = 1(c) sin0 cos 0 q(0)con 1(c) =_ )(c)dcahora usamos (3) :J}()J 1(c)(cos20 sin20) J(0)J0= 2 col 0(1(c) sin0 cos 0 q(0))y deJ}()J1(c) = J(0)J0 2 col 0q(0)obtenemos dos ecuaciones :J}()J_ )(c)dc = / (4) , yJ(0)J0 2 col 0q(0) = /(5).ahora resolvemos (4) :J2}()J2)(c) = 0 )(c) = cos c 1sinc 1(c) = sinc 1cos c yJ}()J1(c) = 0 / = 0de (5) :J(0)J0= 2 col 0q(0) q(0) = c sin20asi c0 = cos c 1sinc y q00c0 = -0= c0c = (sinc 1cos c) sin0 cos 0 c sin20 y qc = c=lsIn2 0cy concluimos que :c = -0 JJ0 c JJ = (cos c 1sinc) JJ0 (c col 0(sinc 1cos c)) JJ18es el vector de Killing mas general .Sabemos de la teora del momento angular que : 1r = cos c JJ0 col 0 sinc JJ1 = sinc JJ0 col 0 cos c JJ1: =JJy as quedac = 1r 11 C1:13 Segundo ejemplo13.1 Primer ejemplo de mtricaConsideramos la mtrica de la Relatividad Especial cd:2= (drl)2 (dr2)2 (dr3)2(drd)2con rd= ct , es decir qoo = diaq(1, 1, 1, 1)y las curvasCl u (t, 0, 0, t2)C2 u (j, 0, 0, 2 j2).Se trata de calcular el ngulo entre las curvas el los puntos de interseccin .Es facil calcular los puntos de interseccion ,que son 1 = (1, 0, 0, 1) yQ = (1, 0, 0, 1) .El vector tangente a la curva Cles l = (1, 0, 0, 2t) .Y el vector tangente a la curva C2es \ = (1, 0, 0, 2j) .En el punto P los vectores tangentes son l1 = (1, 0, 0, 2) y \1 = (1, 0, 0, 2).Luego el ngulo que forman las dos curvas en el punto de interseccin P escos 01 =I\]I]]\ ] =1I1\_t1qI\q_t2rsIr\s = 53 ~ 1luego 01 = i log(53 _(53)21) = i log 8.Clculos similares para el punto Q danlQ = (1, 0, 0, 2)\Q = (1, 0, 0, 2)cos 0Q = 53con lo que 0Q = 01.El siguiente clculo es la longitud de la curva C u (rl= 8 cos t, r2= 8 sint, r3= 4t, rd= t)para el intervalo 0 _ t _ 1 .El vector tangente a la curva es \ = (8 sint, 8 cos t, 4, ) cuyo mdulo es[\ [ = 0 , luego la longitud de la curva es nula , algo que puede ocurrir si lamtrica no es denida positiva.El conjunto de valores de t en los cuales la curva es nula se llama conjuntonulo .13.2 Segundo ejemplo de mtricaTomamos la mtrica Riemanniana q = ( (rl)211 0) y la curvaC u (rl= t, r2= ]|]36 ), y vamos a calcular el subarco nulo .El vector tangente es \ = (1, c|22 ) con c = 1 si t ~ 0 y c = 1 sit - 0 .19Asi la norma de V es [\ [ = (1, c|22 )( (rl)211 0)(1c|22) = t2(1 c) luegopara t ~ 0 [\ [ = 0 y tenemos el subespacio nulo .Una curva se llama regular si no tiene puntos nulos .13.3 Tercer ejemplo de mtricaEn este ultimo ejemplo tomamos la mtrica q = ( (rl)21 1 01 (r2)200 06d9) yla curvaC u (rl= 2t 1, r2= 2t2, r3= t3) y vamos a calcular la longitud de lacurva en el intervalo 0 _ t _ t .El vector tangente es \ = (2, 4t, 8t2) , y su modulo es[\ [ = (2, 4t, 8t2)( (rl)21 1 01 (r2)200 06d9)(24t8t2 ) = 16t2(2t2 1)2.Asi la longitud de la curva es :(t) =_|0_16t2(2t2 1)2dt = 2t2(t2 1) .14 Conceptos en geometra diferencialEste apartado tiene como objetivo el denir el sistema de coordenadas nor-mal Gaussiano y aplicarlo para calcular las ecuaciones de Gauss-Codazzi y laecuacin de Gauss-Weingarten.Despues calcularemos el tensor y el escalar de Ricci y el tensor de Einstein.Con ello tendremos una nueva forma (la tercera) de calcular los tensoresnecesarios en Relatividad General.14.1 Sistema de coordenadas normal GaussianoEn una variedad espacio-tiempo arbitraria , no necesariamente homogenea eistropa , tomamos una supercie inicial de tipo espacio 1en la que elegimosun sistema arbitrariode coordenadas(rl, r2, r3) y cogemos las geodsicas ortogonales a ella .Elegida una geo-dsica , esta corta a 1en un punto P el cual tendra como coordenadas(r0, rl, r2, r3)en la variedad espacio-tiempo M en la cual esta sumergida 1, siendor0= t = t1 t y t es el tiempo propio a lo largo de la geodesica , con t = 0en P .El sistema de coordenadas asi denido se llama sistema de coordenadasnormal Gaussiano.20Ahora demostraremos que en este sistema la mtrica toma la forma do2= dt2qIdrIdr.Los valores de (rl, r2, r3) son constantes a lo largo de la geodsica , luegodo2= q00dt2a lo largo de ella , y como para esta geodsica do2= dt2resulta que q00 = 1 en cualquier punto de M.En M la base coordenada de vectores es co = (c0, cl, c2, c3) y c0 =JJres tangente a la geodsica , luego ortogonal a 1y por lo tantoen t = 0 c0 cI = q0I = 0 para i=1,2,3.Por otra parteJJr (c0 cI) = \t0(c0 cI) = \t0c0 cI c0 \t0cI, y parala geodsica \t0c0 = 0 ya que la geodsica hace transporte paralelo de sutangente.Como c0y cIcon i=1,2,3 forman base coordenada , tenemos que [cI, c0[ = \t1c0\t0cI = 0, es decir todos los coecientes de conmutacin son nulos.AsiJJr (c0 cI) = \t0(c0 cI) = c0 \t0cI = c0 \t1c0, pero c0 \t1c0 = l2\t1(c0 c0) = l2\t1(1) = 0lo que signica quec0 cI = 0 = q0Ien todos los puntos de la variedad y por lo tanto en estascoordenadas la mtrica es :do2= dt2qIdrIdr14.2 Ecuaciones de Gauss-WeingartenIgual que antes M es la variedad espacio-tiempo , y ahora la hipersupercie tiene vector normal unitario n con :: = c y c = 1 segn seade tiempo o de espacio.21Tenemos como base para M (:, cI) con (cI) la base coordenada de lahipersupercie y por tanto :cI = 0 .Nuestro objetivo es encontrar \Ic[1es decirJtJr1para la variedad M.Esta derivada sera combinacin lineal de los vectores de la base \Ic[1 = aI: ,|Ic|, luego tenemos que calcular los coecientes aIy los ,|I.Primero multiplicamos escalarmente ambos lados de la igualdad por n ::\Ic[1 = caI.Por otra parte sabemos que el tensor de curvatura extrin-seca de es 1I = c\I:(ver ejemplo de calculo de curvatura extrinseca).Tenemos para la derivada del producto escalar :\I(:c) = \I:c :\Iccon lo que resulta caI = :\Ic[1 = \I(:c)[1 \I:c[1 = 0 1I.Asi tenemos aI = c1I.Ahora multiplicamos escalarmente por c|y quedac| \Ic[1 = ,|Ic| c| = ,|Iq|| = ,|I = I|I[1 = I|I[`el ltimo paso debido a que los smbolos de Christoel se calculan con qI[.Asi la ecuacion de partida queda\Ic[1 = c1I: I|I[`c|que es la ecuacin de Gauss-Weingarten.14.3 Ejemplo de clculo de curvatura extrnseca y direc-ciones principalesDenimos el tensor de curvatura extrnseca como 1I = c\I: = :,Idonde :n es un vector unitario y saliente a la hipersupercie(cI, c, ...) es una base de vectores de la hipersuperciei es la coordenada respecto a la cual derivamos nj es el ndice del vector basico con el que hacemos el producto escalarel tensor es simtrico 1I = 1IComo aplicacin prctica tomamos la supercie cuadrtica . = l2(ar2 2/rj cj2)y vamos a calcular la curvatura extrnsecay las direcciones principales en el origen de coordenadas O.Primero necesitamos el vector normal n como cociente del gradiente de fentre su mdulo ,siendo = ) = . l2(ar2 2/rj cj2) .Calculamos el gradiente \) = (l2(2ar 2/j)cr l2(2/r 2cj)c c:)cuyo mdulo es [\)[ =_(ar /j)2 (/r cj)2 1luego n es: =l_(orb)2(brc)2l((ar /j)cr(/r cj)c c:)En 0=(0,0,0) : = c:luego cr, c es base de en O.22El tensor de curvatura extrnseca es 1I = c\I:Comenzamos calculando1rr = cr \r: = cr

l]\}]2(a[\)[ (ar /j)[\)[,r, /[\)[ (/r cj)[\)[,r, 0)luego necesitamos calcular [\)[,ry [\)[,que son [\)[,r =l2]\}][2(ar /j)a 2(/r cj)/[ y [\)[, =l2]\}][2(ar /j)/ 2(/r cj)c[y en el origen de coordenadas [\)[,r = 0 [\)[, = 0 [\)[ = 1luego 1rr[O = cr (a, /, 0) = aLos siguientes calculos son1r[O = c \r:[O = c (a, /, 0) = / = 1r[O1[O = c \:[O = c

l]\}]2(/[\)[ (ar /j)[\)[,, c[\)[ (/r cj)[\)[,, 0)[O1[O = c (/, c, 0) = cAsi el tensor de curvatura extrnseca es 1I[O =_ a // c_.Las curvaturas principales k se calculan con el determinante secular [1I /qI[ = 0.La mtrica del espacio es d:2= dr2dj2d.2y tenemos que calcularlapara nuestra supercie. = l2(ar2 2/rj cj2)Calculamos dz y la sustituimos en la mtrica :d. = (ar /j)dr (/r cj)djd:2[` = dr2dj2 (ar /j)2dr2 (/r cj)2dj2 2(ar /j)(/r cj)drdjy en Od:2[` = dr2dj2luego qI =_ 1 00 1_por lo que el determinante secular es [ a / // c / [ = 0 y / = co2 co2_1 db2(co)2y las direcciones principales estan dadas por los vectores propios :_ a /// c /__ \r\_=_ 00_cuya solucin es\ =lo

(cr cc)conc = (1 _1 2), =_1 c2 = oc2b14.4 Ecuaciones de Gauss-CodazziEn este apartado buscamos el tensor de Riemann , para lo cual usaremos lafrmula 1oo~o = co 1(c~, co)codonde 1(c~, co) = [\~, \o[ \|t,to|.Como c~, co forman parte de la base coordenada , resulta que [c~, co[ = 0luego \|t,to| = 0 .Ahora aplicamos el operador \[1en la ecuacion de Gauss-Weingarten :\[1\|cI[1 = \[1(c1I|: InI|[`cn) =c1I|,: c1I|\: InI|,[`cn InI|[`(\[1cn =c1n: Inn[`cn)23Por otra parte el tensor de curvatura extrnseca es 1I = c\I: asi1l = cl \: =\: = 1n cncon lo que obtenemos\[1\|cI[1 = c1I|,: c1I|\: InI|,[`cn InI|[`(c1n: Inn[`cn)e intercambiamos j y k en esta ultima expresin :\|[1\cI[1 = c1I,|: c1I\|: InI,|[`cn InI[`(c1|n: Inn|[`cn)y restndolas queda :1(c, c|)cI = c(1I|, 1I,|): c(1I|\: 1I\|:)(InI|, InI,|)[`cn c:(InI|1nInI1|n) cn(InI|Inn InIInn|)1(c, c|)cI = c(1I|, 1I,|): cn(c(1I1n| 1I|1n ) InI|, InI,| InI|Inn InIInn|) == c(1I|, 1I,|): cn(c(1I1n| 1I|1n ) 1nI|con1nI| = InI|, InI,| InI|Inn InIInn|multiplicando escalarmente la expresin obtenida por cnqueda :1nI|[1 = 1nI|[` c(1I1n| 1I|1n )y de la misma forma multiplicando escalarmente por : queda :1nI|[1 = c(1I|, 1I,|)estas dos ltimas expresiones son las ecuaciones de Gauss-Codazzi .Ahora nos queda encontrar las componentes del tensor de Riemann con dosn , 1(c|, :): .Como 1(c~, co) = [\~, \o[ \|t,to| = [\~, \o[ porque c~, co son vec-tores de la base coordenada , resulta que 1(c|, :): = \|[1\n[1: \n[1\|[1:pero \n[1: = 0 porque n es tangente a una geodsica (coordenadas Gaus-sianas normales) , luego cI 1(c|, :): = cI \n[1(1n| cn) = 1|I,n1n| cn \ncI[c, :[ = 0 implica \n[1cI = \I[1: = 1Icy nalmente 1In|n = c1nIn| = 1|I,n 1I1|.14.5 Tensores de Ricci y EinsteinObtenemos el tensor de Ricci por contraccin :1I[1 = qI|(1n|n 1n|n)1 = 1I[` c(qI|1|,n 21In1n 1I1) donde1 = 1IIpor otra parte qI|,n = qInq|sqns,ny en coordenadas Gaussianas normales qns,n = 21nsAs qI|,n = 2qInq|s1ns = 21I|y241I[1 = 1I[` c(qI|1|,n qI|,n1| 1I1) = 1I[` c(1I,n1I1)El resto de componentes del tensor de Ricci son :1n[1 = c1ono[1 = 1nI[1 = c(1, 1I,I)1nn[1 = c1InIn[1 = cqI(1I,n 1In1n ) = c(1,n1In1nI)Obtenemos el escalar de Ricci por contraccin :1[1 = 1nn[1 1II[1 = 1[` c(21,n1In1In12)Para el tensor de Einstein , tenemos :Gnn = 1nn[1 l21[1 = l21[` l2c(121In1In)Gn[1 = 1n[1 = c(1, 1I,I))GI[1 = 1I[1 l2cI1[1 = GI[` c(1I,n1I1 l2cI(21,n1In1In12))15 Solucionesde lasecuacionesde campo deEinsteinCualquier mtrica de Lorentz es solucin de la ecuacin de campo de Einstein.Una solucin exacta es una mtrica que corresponde con un tensor de momento-energa sicamente aceptable,y por lo tanto llamamos a estas soluciones exactas mtricas .Algunas de ellas son :*mtrica de Schwarzschild : describe la geometra alrededor de una masaesfrica . incluye agujeros negros .*mtrica de Kerr : describe la geometra alrededor de una masa esfricaen rotacin. incluye agujeros negros.*mtrica de Reissner-Nordstrom :describe la geometra alrededor deuna masa esfrica cargada . incluye agujeros negros .*mtrica de Kerr-Newman : describe la geometra alrededor de una masaesfrica cargada en rotacin. incluye agujeros negros .*mtrica de Friedman-Robertson-Walker (FRW) : es un modelo encosmologa paraun Universo en expansin .*mtrica de ondas pp : modelo usado para describir ondas de gravedad .*mtrica de Wormholes : usado en modelos tericos para viajes de tipotiempo .*mtrica de Alcubierre : usado en modelos tericos para viajes de tipoespacio .2516 Problemas16.1 Clculo de smbolos de Christoel y geodsicas detiempoCalcular los smbolos de Christoel y las geodsicas de tiempo para la mtricado2=l|2(dr2dt2) .Solucin : La mtrica es qI = diaq(l|2 ,l|2) y como es diagonal los nicossmbolos de Christoel no nulos sonIII =JJr(l2 log [qII[)II(i ,= ,) =l11(l2q,I).As :I||| =JJ|(l2 log [q||[) = l|Irr| =JJ|(l2 log [qrr[) = l|I|rr =ltt(l2qrr,|) = l|I||r =JJr(l2 log [q||[) = 0 Irrr =JJr(l2 log [qrr[) = 0 Ir|| =loo(l2q||,r) = 0Una geodsica es una curva de longitud minima , luego 0_ (do2)12 = 0 ydo2=l|2(dr2dt2) =l|2((JrJ|)21)dt2as 0_l|( ` r21)12dt = 0 .Sabemos que 0_ 1dt = 0 donde L es la Lagrangiana , implica las ecua-ciones de Euler-LagrangeJJ|(JJJ ` r) = JJJry en nuestro caso :JJ|(` r|_` r2l) = 0 rt( ` r21) ` r( ` r21 r ` rt) = 0La ultima ecuacin parece muy complicada de resolver , pero si hacemos en laprimera el cambio ` r = lanh0 entonces` r_` r2l = sinh0 ysInL 0|= co::t = .Ahora tenemos que resolver la ecuacion diferencial :` r|_` r2l = 1` r2= t2( ` r21) ` r2(1 t2) = t2 ` r =|_|21 _ dr =_ t(t21)12 dty la solucin es (r /)2= t21 ,que son los conos de luz.16.2 Clculo de geodsicas nulas y regularesPara el espacio de dos dimensionesdo2= (drl)2lr22(dr2)2calcular las geo-desicas nulas y regulares.Solucion : La mtrica esqI = diaq(1, lr22)y los nicos simbolos deChristoel no nulos sonI222 =JJr2[l2 loglr22[ = lr2226Para calcular las geodsicas tenemosJJX(JrcJX ) Ioo Jr,JXJr{JX= 0 J2r2Js2 lr2(Jr2Js )2= 0J2r1Js2= 0y tenemos dos ecuaciones diferenciales , una por cada variable.En la primera hacemos el cambioJr2Js= j entoncesJ2r2Js2= JJs =JJr2 Jr2Js= j JJr2y despues de sustitucin e integracin tenemos r2= r20 oxp(1:) ,con B unaconstante de integracin .De la segunda es fcil ver que rl= : rl0donde A es una constante deintegracin.Las condiciones iniciales son (rl, r2)s=0 = (rl0, r20) .Ahora buscamos r2como funcin de rl:rl= : rl0 : =l.(rlrl0) r2= r20 oxp(1.(rlrl0))s es la longitud de arco , luego 1 = (Jr1JS )2lr22(Jr2JS )2= 212y parauna geodsica regular 2,= 12y las geodsicas son r2= r20 oxp(1.(rlrl0))para una geodsica nula 2= 12y las geodsicas sonr2= r20 oxp(rlrl0)r2= r20 oxp((rlrl0)).16.3 Derivacion covarianteDemostrar las derivadas covariantes para 1-formas , es decir tensores _ 01_ ,Tensores_ 11_ , Tensores _ 20_ y Tensores_ 02_ .Solucin : Si P es una 1-forma y V es un vector 1, \ = 1o\o= 1 esun escalar , y como un escalar no depende de los vectores bsicos , su derivadaes la derivada covariante .As \o1 = 1,o = J1cJr{ \o1oJ\cJr{y como \o,o = \o,o \Iooy comoJ\cJr{ = \o,o, sustituyendo queda :\o1 = 1,o = J1cJr{ \o1o(\o,o \Ioo) e intercambiando en el ltimotrmino c jqueda \o1 = 1,o = J1cJr{ \o1o\o,o 1\oIoo = (J1cJr{ 1Ioo)\o1o\o,oy como la derivada covariante del producto sigue la misma ley que la derivadanormal\o(1o\o) = 1o,o\o1o\o,o, comparando las dos ultimas expre-siones obtenemos para la derivada covariante de una 1-forma :1o,o = J1cJr{ 1IooLas componentes de un tensor _ 11_ son )oo = )(no, co) donde noesuna 1-forma bsica , y coes un vector bsico .As )(1, \ ) = )(1ono, \oco) = 1o\o)(no, co) = 1o\o)oo = 1 , es de-cir un escalar, luego la derivada covariante y la derivada normal coinciden :27\~1 = 1,~ = J1cJr \o)oo 1oJ\{Jr )oo 1o\o J}c{Jry en esta ltima expresin sustituimos 1o,~de 1o,~ = J1cJr 1Io~y\o,~de \o,~ = \o,~ \Io~, con lo que obtenemos :\~1 = 1,~ = (1o,~ 1Io~)\o)oo 1o(\o,~ \Io~))oo 1o\o)oo,~ == 1o,~\o)oo 1o\o,~)oo 1oIo~\o)o 1o\oIo~)o 1o\o)oo,~ == 1o,~\o)oo 1o\o,~)oo 1o\o(Io~)o Io~)o )oo,~)Y comparando con la ley de derivacin del producto :\~)oo = )oo,~ = Io~)o Io~)o )oo,~Las componentes de un tensor_ 02_son )oo = )(co, co) con coy covectores bsicos .Asi si = ocoy 1 = 1ocoson dos vectores , tenemos :)(, 1) = )(oco, 1oco) = o1o)(co, co) = o1o)oo = 1 , es decir ,igual que antes , un escalar.Y la derivada covariante y la derivada normal coin-ciden :\~1 = 1,~ = J.cJr 1o)oo o J1{Jr )oo o1o J}c{Jren la cual sustituimos o,~y 1o,~de las ya conocidas expresiones :o,~ = o,~ Io~1o,~ = 1o,~ 1Io~con lo que obtenemos :\~1 = 1,~ = (o,~ Io~)1o)oo o(1o,~ 1Io~))oo o1o J}c{Jr== o,~1o)oo o1o,~)ooo1oIo~)oo1oIo~)o o1o)oo,~ == o,~1o)oo o1o,~)oo o1o()oo,~ Io~)oIo~)o)y comparando con la derivada del producto , obtenemos para la derivadacovariante de un tensor _ 02_ :\~Too = Too,~ = Too,~ Io~ToIo~ToLas componentes de un tensor _ 20_ son )oo= )(no, no) donde noy noson 1-formas bsicas .Dadas las 1-formas 1 = 1onoy Q = Qonotenemos que )(1, Q) = )(1ono, Qono) = 1oQo)oo= 1es un escalar , y como antes , la derivada covariante coincide con la derivadanormal .La derivada es :28\~1 = 1,~ = J1cJr Qo)oo1oJQ{Jr )oo1oQo J}c{Jren la que sustituimos 1o,~y Qo,~de las expresiones :1o,~ = 1o,~ 1Io~Qo,~ = Qo,~ QIo~con lo que obtenemos :\~1 = (1o,~ 1Io~)Qo)oo1o(Qo,~ QIo~))oo1oQo)oo,~== 1o,~Qo)oo1oQo,~)oo1oIo~Qo)o1oIo~Qo)o1oQo)oo,~== 1o,~Qo)oo1oQo,~)oo1oQo(Io~)o Io~)o)oo,~ )y comparando con la derivada normal , obtenemos :\~oo= oo,~ Io~o Io~o16.4 Teora algebraica de tensoresEn un espacio tridimensional para conocer la posicin de un punto necesitamosconocer el valor de tres funciones numricas a las que llamamos coordenadas delpunto (rl, r2, r3) .El estado de un sistema es un punto del espacio de estados del sistema ,por ejemplo para un punto material en movimiento , en mecnica clsica , senecesitan seis nmeros : tres para las coordenadas y tres para las componentesde la velocidad.Si cojemos otro sistema de coordenadas , (.l, .2, .3) resulta que el primerosera funcin del segundo segn rI= rI(.l, .2, .3) i = 1, 2, 8 .Vamos a ver como se transforman las coordenadas del vector velocidad deuna curva .= .(t) , = 1, 2, 8 tras un cambio de coordenadas rI(t) = rI(.l(t), .2(t), .3(t)).En coordenadas (.l, .2, .3) las componentes del vector velocidad son (J:1J| , J:2J| , J:3J| ) = (jl, j2, j3)y para esta misma curva , en coordenadas (rl, r2, r3) tenemos para el mismovector que las componentes son : (Jr1J| , Jr2J| , Jr3J| ) = (-l, -2, -3) las cuales sedeterminan segnJr1J|=

3=l Jr1J: J:J|para i = 1, 2, 8 .As la frmula de transformacin de las componentes de un vector al efectuarun cambio de coordenadas es -I=

3=lj Jr1J:.El ejemplo mas simple de tensor es el escalar , el cual no se transformabajo un cambio de coordenadas , por ejemplo la temperatura de un punto esindependiente de las coordenadas usadas para describir el punto.El siguiente ejemplo mas simple de tensor es el vector.Otro concepto familiar es el de gradiente de una funcin ) = )(rl, r2, r3)en coordenadas cartesianas : giao) = ( J}Jr1,J}Jr2,J}Jr3) = (-l, -2, -3) .Vamos a ver que forma toma el gradiente en otras coordenadas (.l, .2, .3) :giao) = ( J}J:1,J}J:2,J}J:3) = (jl, j2, j3) conJ}J:1 =

3=lJ}Jr JrJ:1luego jI =

3=l JrJ:1-.Luego las formulas de transformacin son :29para el vector velocidad : -I=

3=lj Jr1J:para el gradiente : jI =

3=l JrJ:1-.Claramente las dos ultimas formulas son diferentes.Si denimos la matriz de Jacobi como = (aI) con aI = Jr1J:y la matriztraspuesta T= (/|) con /| = a|y volvemos a escribir las frmulas detransformacin :para el vector velocidad : - = jpara el gradiente : j = T- .Como A representa una transformacin de coordenadas , ha de tener inversay claramente las dos ltimas frmulas indican que T = 1 y por lo tanto Aes ortonormal .Es en este momento donde damos la siguiente denicin :Denicin : Se denomina Tensor de tipo _ j_de rango p+q a un objetodenido en un sistema de coordenadas arbitrario , mediante un conjunto denumeros TI1I2...I12...qcuya representacion numrica depende del sistema de co-ordenadas segun la ley : TI1I2...I12...q = T:1:2...:s1s2...sqJr11Jrr1 Jr12Jrr2...Jr1Jrr Jrs1Jr1 Jrs2Jr2 ...JrsqJrq.Ver el apartado Tensores .16.5 Demostracionesrelacionadascon lossmbolosdeChristoel .Primero demostraremos la simetra Ioo = Ioo.Partimos de que 1 es un escalar y por lo tanto su derivada ,que esla misma que su derivada covariante\o1 = 1,o = 1,o, es una 1-forma .Su segunda derivada covariante \o\o1 tiene componentes 1,o,oy es untensor _ 02_, cuyas componentes en cartesianas son 1,o,o =JJrcJJr{1 yesta expresin es claramente simtrica en c y , , y si un tensor es simtricoen una base , lo es en todas , luego 1,o,o = 1,o,o.Sabemos que para una 1-forma 1o,o = 1o,o1Ioo, luego 1,o,o1,Ioo = 1,o,o1,Iooy 1,Ioo = 1,Ioocon lo que concluimos que :Ioo = Ioo.En segundo lugar vamos a demostrar la frmula para calcular los smbolosde Christoel conocida la mtrica .Partimos de qoo, = qoo,IioqioIioqoi(1)e intercambiando j , tenemos qo,o = qo,oIiooqiIioqoi(2)30y si en (1) cambiamos c por , , , por j y j por c : qo,o = qo,oIiooqiIioqoi(3)Haciendo (1)+(2)-(3) :qoo, qo,oqo,o = (Iio Iio)qoidonde se ha hecho uso de las sime-triasIioo = Iiooqoo = qooasi qoo, qo,oqo,o = 2qoiIioy multiplicamos ambos lados por qo~y sumamos respecto a c , y sabiendo que qo~qoi = c~i:I~o = l2qo~(qoo, qo,oqo,o)Esta ltima frmula es la manera habitual de calcular los nsimbolos deChristoel , conociendo la mtrica .16.6 Transporte paraleloComenzamos con el vector V en el punto A y hacemos transporte paralelo hastaB : \t1\ = 0 luegoJ\cJr1= Iol\.As las componentes de V en el punto B son \o(1) = \o() 1_.J\cJr1 drl= \o() _r2=bIol\drl.Ahora hacemos transporte paralelo de B a C , y las componentes de V en Cseran :\o(C) = \o(1) 1_.J\cJr2 dr2= \o(1) _r1=oooIo2\dr231De la misma forma , de C a D :\o(1) = \o(C) _r2=bobIol\drldonde el signo + es debido a que nos movemos en la direccin - de rl.Y por ltimo de D a A :\o()i:a|) = \o(1) _r1=oIo2\dr2donde elsigno + es debido a que nos movemos en la direccin - de r2.As el cambio total en las componentes del vector son :c\o= \o()i:a|) \o(i:icia|) = _r1=oIo2\dr2 _r2=bobIol\drl _r1=oooIo2\dr2 _r2=bIol\drlYc\o-ooo_oc/JJr2(Iol\)drlbob_bcaJJr1(Io2\)dr2- cac/[JJr1(Io2\) JJr2(Iol\)[donde haciendo uso de queJ\cJr1= Iol\J\cJr2= Io2\queda que :c\o= cac/[Iol,2Io2,l Ioi2IilIoilIi2[\tras un reetiquetado dendices mudos.Denimos el tensor de Riemann como :1ooi = Iooi,Ioo,i IocIcoi IociIco.Es antisimtrico en los dos ltimos ndices 1ooi = 1ooiya que invir-tiendo la ruta , c\otendra el signo opuesto .Si el tensor tiene todas las componentes nulas , el espacio es plano .Es un tensor _ 18_.El cambio en la componente \odel vector V cuando ste se transportaparalelamente por el lazo formado por cacy c/cies :c\o= 1ooi(no, \, cac, c/ci)Haciendo uso de la relacin entre los smbolos de Christoel y la mtrica ,obtenemos para el tensor de Riemann :1ooi = l2qoc(qci,oqc,oi qo,ci qoi,c)que no es una ecuacin tensorial , ya que contiene derivadas normales , nocovariantes .El tensor de curvatura de Riemann es til cuando se toman derivadas co-variantes en un campo vectorial :\o\o\= \o(\,o) = (\,o),o Ico\c,oIcoo\,c32En un sistema inercial local , en un punto P , I = 0 pero sus derivadasparciales no , luego en este sistema \o\o\= \,oo Iio,o\ie intercam-biando c y , :\o\o\= \,oo Iio,o\iy restando ambas expresiones :\o\o\\o\o\= Iio,o\iIio,o\icon lo que obtenemos para el conmutador de la derivada covariante : [\o, \o[\= (Iio,oIio,o)\iy por lo tanto :[\o, \o[\= 1ioo\i16.7 Primer ejemplo de transporte paraleloDada la mtrica del plano en coordenadas polares qI =_ 1 00 r2_se tratade transportar paralelamente el vector \ = (\:, \0) a lo largo de la curvar(`) = (r(`), 0(`)) = (r0, 00 `(0l00)) con ` [0, 1[ , que es un sectorcircular de radio r0desde 0 = 00hasta 0 = 0l.Las condiciones iniciales para el vector son \ (` = 0) = (\:0 , \00 ) y r(` = 0) = (r0, 00).Solucin : Para ello utilizamos la ecuacinJ\,JX IcJroJX \= 0 .Los simbolos de Christoel para sta mtrica son :I:00 = rI0:0 = I00: = l:As , para j = r tenemosJ\rJX I:cJroJX \= 0 , lo que implicaJ\rJX rJ0JX\0= 0(1)y para j = 0 tenemosJ\0JX I0cJroJX \= 0 , lo que implicaJ\0JX l:(J:JX\0 J0JX\:) = 0(2)Como r = r0tenemos queJ:JX = 0Y como 0 = 00 `(0l00) tenemos queJ0JX = 0l00.Haciendo sustituciones en (1) y en (2) queda :J\rJX r0(0l00)\0= 0J\0JXl:0(0l00)\:= 0La solucin de este sistema de ecuaciones diferenciales es :\:= sin(`(0l00)) 1cos(`(0l00))\0=l:0(cos(`(0l00)) 1sin(`(0l00)))con = r0\001 = \:03316.8 Segundo ejemplo de transporte paraleloEste problema es similar al anterior . Ahora cogemos la mtrica de la esferaunitaria d:2= d02 sin20dc2es decir qI =_ 1 00 sin20_en la que lossmbolos de Christoel no nulos son :I0 = l2 sin(20)I0 = I0 = col 0Se trata de hecer tansporte paralelo a lo largo de la trayectoria en o2,0 = 00y c(`) = c0 `(clc0) con ` [0, 1[ .Solucin :Las ecuaciones diferenciales son :para j = 0 :J\0JX l2 sin(20)JJX\= 0 (1)y para j = c :J\JX col 0(JJX\0 J0JX\) = 0 (2)Haciendo uso de las ecuaciones de la trayectoria , las ecuacines diferenciales(1) y (2) quedan :J\0JX l2 sin(20)(clc0)\= 0J\JX col 0(clc0)\0= 0Y llamando c = cos 00 (clc0) la solucin es :\0= sin(c`) 1cos(c`)\=lsIn 00(cos(c`) 1sin(c`))Y como en ` = 0 ,\0= \00\= \0las constantes de integracin son : = \0 sin001 = \0016.9 La identidad de BianchiPartimos de la frmula para el tensor de Riemann:1ooi = Iooi,Ioo,i IocIcoi IociIcoY haciendo uso de la relacin entre los smbolos de Christoel con la mtrica, y haciendo la derivada parcial respecto a rX:1ooi,X = l2(qoi,oXqo,oiX qo,oiXqoi,oX)lo que es cierto en un sistema inercial local . Ademas qoo = qooy lasderivadas parciales conmutan , luego :341ooi,X 1ooX,i 1ooiX, = 0y como Ioo = 0 en ese sistema , podemos cambiar la derivada por laderivada covariante :1ooi,X 1ooX,i 1ooiX, = 0Esta ultima ecuacin es una ecuacion tensorial ,por lo tanto valida encualquier sistema de referencia , y se la conoce como la identidad de Bianchi.16.10 Conservacin de la energa y el momento local .La nica contraccin posible del tensor de Riemann es en el primer y tercerndice , obteniendo el tensor de Ricci :1oo = 1ooA su vez denimos el escalar de Ricci como :1 = qi1iAhora aplicamos la contraccin de Ricci a las identidades de Bianchi :qo[1ooi,X 1ooX,i 1ooiX,[ = 01oi,X1oX,i 1oiX, = 0De nuevo contraemos en , y i :qoi[1oi,X1oX,i 1oiX,[ = 01,X1X,1X, = 0donde en la ltima expresin hemos hecho uso de que 1,X = 1,Xya que Res un escalar .As obtenemos la ecuacin de Bianchi doblemente contraida :(21XcX1), = 0Denimos el tensor de Einstein como :Goo= 1oo l2qoo1 = GooPor lo tanto Goo,o= 0 y usando las ecuaciones de campo de EinsteinGoo= 8Tooresulta que :Too,o= 0que son las ecuaciones de conservacin de la energa y el momentolocal .3517 Pullback-PushforwardSuponemos que xIson las coordenadas de un espacio M ,m-dimensional conmtrica gI y que en el tenemos un espacio sumergido N ,n-dimensional (n- :)y que yoa=1..n son coordenadas en N, entonces la inmersin de N en M quedadenida por las funciones xI(yo) .La mtrica inducida en N por esta inmersinesd:2= qI Jr1Jo Jr1J|djodjbUna 1-forma vI en M puede transformarse a una 1-forma vo en N por laecuacion vo =Jr1Jo vI ,a vo se la conoce como el "pullback" de vI ,se trata dedemostrar que vo se transforma como una 1-forma en N:El pullback es:o = 0rI0joIUna 1-forma en ' se transforma como : I0 =Jr1Jr10 I. As:o0 = 0rI0jo0I= 0rI00jo00rI0rI0I = 0rI00rI0jo0jo00rI0jo0rI0rI0I = 0jo0jo0oLuego se transforma como una 1-forma en N.Tambin un vector voen N puede transformarse a un vector vIen M porla ley I=Jr1Joo, vIse conoce como el "pushforward" de vo, se trata dedemostrar que vIse transforma como un vector en M :Un vector en se transforma como o0 = Jo0Jo o. As :I0 = 0rI00jo0o0 = 0rI00jo00jo00jo o= 0jo0jo00rI00rI0rI0jo0jo00jo o= 0rI00rI ILuego Ies un vector en '.Ahora consideramos el espacio plano tridimensional con metrica cI en co-ordenadas cartesianas xI.La esfera unidad se dene por la ecuacin cIrIr= 1.Bajo la inmersin usual(xl; x2; x3) = (sin0 cosc ; sin0 sinc ; cos 0) se trata de comprobar queobtenemos la metrica de la esfera :La nueva mtrica es :ob= qI 0rI0jo0r0jb =

I0rI0jo0rI0jb00= cos20 cos2c cos20 sin2c sin20 = 1= sin20 sin2c sin20 cos2c 0 = sin200= cos 0 cos csin0 sinc cos 0 sincsin0 cos c 0 = 0ob= _ 1 00 sin20_36Que es la mtrica de la 2esfera.Ahora consideramos el espacio tridimensional de Minkowski con mtrica ji, j, i = 0, 1, 2 .Podemos denir el espacio dS2 como los puntos que satisfacenla ecuacion jirri= 1 ,este espacio es el espacio bidimensional de deSitter yse trata de demostrar que _r0, rl, r2_ = (sinht, cosht cos c, cosht sinc) es unabuena parametrizacin de los puntos de dS2 y calcular la mtrica y su signatura:jirri= sinh2t cosh2t cos2c cosh2t sin2c = sinh2t cosh2t = 1La mtrica en do2 es:ob= qI 0rI0jo0r0jb = ji0r0jo0ri0jb||= cosh2t sinh2t cos2c sinh2t sin2c = 1= cosh2t sin2c cosh2t cos2c = cosh2t|= 0 sinht cos ccosht sinc sinht sinccosht cos c = 0ob= _ 1 00 cosh2t_La signatura es(1, 1).El inters de esta parte reside en que parece que el Universo actual es unespacio de deSitter 4-dimensional y que as seguir unos cientos de billones deaos mas.Lo ltimo es calcular los smbolos de Christoel, los tensores de Riemann yRicci y el escalar de Ricci :Como la mtrica es diagonal y no depende de c ,los smbolos de Christoelse calculan usando los resultados de 3.2:I|= sinht coshtI|= I| = lanhtComo el nmero de dimensiones es : = 2, solo hay :2_:21_,12 = 1elementos independientes. Podemos calcular 1|| y luego calcular el resto deelementos por relaciones de simetra:1||= 0|I|0I|| I||XIXI|XIX| = 0| (sinht cosht) sinht cosht lanht == sinh2t cosh2t sinh2t = cosh2t371||= cosh2t =1|| = 11||= cosh2t =1|| = cosh2t1||= cosh2t =1|| = 11||= cosh2t =1|| = cosh2t1||= 0 =1|| = 01||= 0 =1|| = 01|||= 0 =1||| = 01|||= 0 =1||| = 01|||= 0 =1||| = 01|||= 0 =1||| = 01|= 0 =1| = 01|= 0 =1| = 01|= 0 =1| = 01|= 0 =1| = 01= 0 =1 = 01||||= 0 =1|||| = 01 = 2El tensor de Riemann se puede escribir como: 1ic =22(2l)_cuuc_,luego es un espacio simetrico.Ahora se trata de demostrar que la metrica de S2y la del espacio de deSitterdS2 estan relacionadas por la transformacion compleja 0=it +t2 ,que se conocecon el nombre de rotacion de Wick y cambia la signatura de la metrica.Cabedestacar que es una transformacion matematica y no sica ya que S2y dS2 sonespacios muy diferentes :ob= _ 1 00 cosh2t_d:2JS2= dt2 cosh2tdc2d:2S2 = d02 sin20dc2= (idt)2_cI(I|2)cI(I|2)2i_2dc2== dt2_c|i ic|2i_2dc2= dt2 cosh2tdc2= d:2JS23818 Sistema de unidades de PlanckEl sistema de unidades habitual en mecnica clasica es el MKS , iniciales cor-respondientes a Metro , Kilogramo y Segundo . En este sistema las constantesfundamentales son :la constante de gravitacion universal G = 6, 67410ll n31s2la velocidad de la luz en el vaco c = 2, 00810S nsla constante de Planck~ =|2t = 1, 0103d 1n2sEl sistema de unidades de Plank es aquel en el que G = c = ~ = 1 .De estaforma llamamos |a la longitud de Plank , tel tiempo de Plank , y :la masa de Planck .As :G = 1l3n|2c = 1l|~ = 1nl2|con lo que los valores de Planck son :| =_c~c3= 1, 6161033c:t = lc = , 80110dd:: =_~cc = 2, 176105qrA esta escala cabe destacar las siguientes caracteristicas :* Esta es la escala donde la gravedad cuntica relativista es importante.* El tiempo de Planck es el tiempo que la luz tarda en atravesar la longitudde Planck.* La masa de Planck es gigante comparada con la masa de un protn , locual es un problema hoy todava sin resolver , conocido como el problema dela jerarqua.* Si calculamos cual debera ser la masa de un protn para cancelar laatraccin gravitatoria con la repulsin elctrica , encontramos :G12:2= 1t2:2 c12~c= 1t2~c -ll37 12n2 -ll37que coincide con la constante de estructura na.19 Mtrica de SchwarschildEn este apartado suponemos un espacio-tiempo esttico con simetra esfrica,es decir con mtrica d:2= c2o(:)dt2 c2o(:)dr2 r2d\2siendo d\2= d02sin20d,2la mtrica de la esfera S2.De esta forma la coordenada radial r mideel tamao de la esfera S2. Se trata de calcular los smbolos de Christoel, eltensor de curvatura de Riemann, el tensor de Ricci y el escalar de Ricci paraeste espacio-tiempo.3919.1 Smbolos de ChristoelLa mtrica esqi =____c2o(:)0 0 00 c2o(:)0 00 0 r200 0 0 r2sin20____Y como la mtrica es diagonal, los nicos smbolos no nulos de ChristoelsonIXu= 0IX= 12 (qXX)l0XqIXX= 0 ln_[qXX[IXXX= 0X ln_[qXX[As haciendo clculosI:||=12_c2o(:)_l0:c2o(:)= ctc2(oo)I:00= 12_c2o(:)_l0:r2= rc2oI:,,= 12_c2o(:)_l0:r2sin20 = c2or sin20I0,,= 12_r2_l00r2sin20 = sin0 cos 0I|:|= 0: lnco(:)= ctI0:0= 0: lnr = 1rI,:,= 0: lnr sin0 = 1rI,0,= 00 lnr sin0 = cos 0sin0I:::= 0: ln_[q::[ = 0: lnco= ,t19.2 Tensor de RiemannEstamos en 4 dimensiones, luego el tensor de Riemann tiene :2(:21),12 = 20componentes independientes , el resto de componentes , 4d= 26 componentes,estan ligadas por las simetras propias del tensor.40La forma de calcular el tensor de Riemann es 1ci = 0Iuc 0uIc IXIXucIuXIXc , con lo que obtenemos1ci = 0Iuc0uIc IXIXucIuXIXc1|:|:= 0|I|::0:I||: I||XIX::I|:XIX|: = ctt ct,t(ct)21|0|0= 0|I|0000I||0 I||XIX00I|0XIX|0 = rctc2o1|,|,= 0|I|,,0,I||, I||XIX,,I|,XIX|, = c2octr sin201:0:0= 0:I:0000I::0 I::XIX00I:0XIX:0 = c2o 2r,tc2o,trc2oc2o== r,tc2o1:,:,= 0:I:,,0,I::, I::XIX,,I:,XIX:, = c2o,tr sin2010,0,= 00I0,,0,I00, I00XIX,,I0,XIX0, = cos20 sin20 c2osin20 cos20 == _1 c2o_sin201|:|0= 0|I|0:00I||: I||XIX0:I|0XIX|: = 01|:|,= 0|I|,:0,I||: I||XIX,:I|,XIX|: = 01|0|,= 0|I|,00,I||0 I||XIX,0I|,XIX|0 = 01:0:|= 0:I:|00|I::0 I::XIX|0I:|XIX:0 = 01:0:,= 0:I:,00,I::0 I::XIX,0I:,XIX:0 = 01:,:|= 0:I:|,0|I::, I::XIX|,I:|XIX:, = 010:0|= 00I0|:0|I00: I00XIX|:I0|XIX0: = 010:0,= 00I0,:0,I00: I00XIX,:I0,XIX0: = 010|0,= 00I0,|0,I00| I00XIX,|I0,XIX0| = 01,:,|= 0,I,|:0|I,,: I,,XIX|:I,|XIX,: = 01,:,0= 0,I,0:00I,,: I,,XIX0:I,0XIX,: = 01,|,0= 0,I,0|00I,,| I,,XIX0|I,0XIX,| = 010:,| = 0,I0|:0|I0,: I0,XIX|:I0|XIX,: = 04119.3 Tensor de RicciPara calcular el tensor de Ricci hacemos la contraccin del tensor de RiemannRoo = 1ioio con lo que obtenemos1||= 1|| = 1:|:| 10|0| 1,|,| = q::1:|:| q0010|0| q,,1,|,| == q::1|:|: q001|0|0 q,,1|,|, = q||q::1|:|: q||q001|0|0 q||q,,1|,|, == c2(oo)_cttct,t (ct)2 2rct_1::= 1:: = 1|:|: 10:0: 1,:,: = 1|:|: q0010:0: q,,1,:,: == 1|:|: q001:0:0 q,,1:,:, = 1|:|: q::q001:0:0 q::q,,1:,:, == ctt ct,t(ct)2 2r,t100= 100 = 1|0|0 1:0:0 1,0,0 = 1|0|0 1:0:0 q,,1,0,0 == 1|0|0 1:0:0 q,,10,0, = 1|0|0 1:0:0 q,,q0010,0, == 1 c2o_r,trct11,,= 1,, = 1|,|, 1:,:, 10,0, == _1 c2o_,tr ctr 1_sin20El resto son nulos debido a que la mtrica es diagonal.19.4 Escalar de RicciEl ltimo de los clculos es el escalar de Ricci ,que es la contraccin del tensorde Ricci1 = q||1|| q::1:: q00100 q,,1,, ==1c2oc2(oo)_cttct,t (ct)2 2rct_1c2o:_ctt ct,t(ct)2 2r,t_ 1r2_1 c2o_r,trct11r2 sin20__1 c2o_,tr ctr 1_sin20=2c2o_ctt ct,t(ct)2 1rct 1r,t_ 2r2_1 c2o_,tr ctr 1_== 2c2o_cttct,t (ct)2 2r_,tct_ 1r2_c2o1__19.5 Obtencin de la mtricaPara ello igualamos a cero el tensor de Ricci, y como 1|| y 1:: se anulan deforma independiente, tenemos :420 = c2(oo)1|| 1:: = 2:_,t ct_lo que implica que c = , c con c una constante que podemos hacer nulatras un reescalado de tiempo tt oxp(c).Ahora hacemos 100 = 0 con lo que oxp(2c)(2rc+1)=1 que equivale a(roxp(2c))t = 1 y resolviendo tenemos oxp(2c) = 1 1s:con 1s una constanteindeterminada.Con todo esto la mtrica queda d:2= (1 1s: )dt2 (1 1s: )ldr2r2d\2Rs recibe el nombre de radio de Schwarzschild y sabemos que en el lmite decampo debil la componente g|| de la mtrica es g|| = (1 2c1:) luegoidenticando terminos queda que 1s = 2G' y para valores de r talquer2G' la metrica se reduce al caso de campo dbil.Luego concluimos para la mtrica qued:2= (1 2c1:)dt2 (1 2c1:)ldr2r2d\219.6 Velocidad radial en el interior y tiempo de vida enla fronteraAhora consideramos una partcula que ha caido dentro del horizonte de sucesosr