Teoría general de engranajes
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Universidad Carlos III de MadridDepartamento de Ingeniera Mecnica
TEORA DE MECANISMOS
5.- TEORA GENERAL DE ENGRANAJES
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Universidad Carlos III de MadridDepartamento de Ingeniera Mecnica
Objetivo: Comunicar el movimiento de un rgano a otro
Se emplean cuando es necesario un cambio en la velocidad o en el par de un dispositivo giratorio
Tipos de transmisiones mecnicas:
a) Transmisiones flexibles correas cadenas cables ejes flexibles
b) Transmisiones rgidas ruedas de friccin engranajes sistemas articulados
compuestos por:
- cigeales- bielas- manivelas- embragues- frenos, etc.
Transmisiones Mecnicas
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Transmisiones mecnicas
cadenas correas engranajes
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Transmisin por correas
Transmisin por correas
Transmisin por correa con velocidad ajustable
Ventajas: Permiten gran
distancia entre centros
Funcionamiento suave y silencioso
Bajo coste de mantenimiento
Inconvenientes: Potencias moderadas
Gran volumen
Peligro de DESLIZAMIENTO (asincrona)
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Transmisin por cadenas y cables
Transmisin por cadenas
TRANSMISIN POR CADENAS
Ventajase inconvenientes: Permiten gran distancia entre centros
Coste y mantenimiento intermedio entre cadenas y engranajes
NO existe peligro de DESLIZAMIENTO.
TRANSMISIN POR CABLES Ventajase inconvenientes:
Permiten mayores distancias entre centros Coste y mantenimiento bajos Pequea capacidad de transmisin de potencia Existe peligro de DESLIZAMIENTO.
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Con conexin externa
Caractersticas: Es el modo ms sencillo de transmisin de potencia de un eje
rotatorio a otro
Movimiento transmitido por friccin
Inconvenientes Mxima fuerza de friccin: F = N
Ruedas de friccin (I)
Transmisin de par limitada
Con conexin interna
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Si el par demandado requiere una fuerza
tangencial superior a la mxima disponible:
DESLIZAMIENTO ENTRE AMBOS CILINDROS
Desgaste
Asincrona
SOLUCIN:
Incorporar medios de trabamiento trasmisin por fuerza y
forma ENGRANAJES
Ruedas de friccin (II)
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Rodadura pura + relacin de transmisin constante los perfiles slo pueden ser dos circunferencias
(a) Transmisin entre ejes paralelos: Cilindros de friccin:
Externos
Internos
Si no hay deslizamiento
Ruedas de friccin (III)
22 2
111
vri vr
= =
11 2
2
rv v ir
= =
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(b) Transmisin entre ejes que se cortan: CONOS de friccin
(c) Transmisin entre ejes que se cruzan: HIPERBOLOIDES de friccin
NO hay rodadura, pero las superficies son siempre tangentes entre s
Ruedas de friccin (IV)
1
2
rir
=
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Ventajas: Es el mtodo ms sencillo de transmisin de potencia de un eje a otro
Inconvenientes:
Mxima fuerza de friccin: F = N
Si el par demandado requiere una fuerza tangencial superior a lamxima disponible: DESLIZAMIENTO ENTRE AMBOS CILINDROS
Desgaste
Asincrona
SOLUCIN:
Incorporar medios de trabamiento trasmisin por fuerza y forma
ENGRANAJES
Ruedas de friccin (V)
Transmisin de par limitada
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Tipos de engranajes
Rectos externo
interno
Cnicos rectos
Cnicos helicoidales
Zerol
De corona y pin cilndrico
Helicoidales cruzados
De Sinfn Cavex
De sinfn envolvente
Hipoidales
Espiroide
Helicon Beveloid
Simples
Dobles
De esqueleto de pescado (herringbone)
Helicoidales
Ejes paralelos (engranajes cilndricos)
Ejes que se cortan (engranajes cnicos)
Ejes que se cruzan en el espacio (engranajes hiperblicos)
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Engranajes cilndricos de dentado recto
Transmiten movimiento entre ejes paralelos
(a) externos: sentidos de giro opuestos
(b) internos: sentidos de giro iguales
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Dientes inclinados soportan carga axial engrane
progresivo: Menos VIBRACIONES
Menos RUIDO
En (b) y (c) estn compensadas las componentes axiales
de los esfuerzos
Engranajes cilndricos de dentado oblicuo
(a) simple(b) doble
(c) Herringbone
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Engranajes cnicos
Transmiten par y velocidad entre ejes que se cortan
(a) Cnico rectos
(c) zerol
(b) Cnico helicoidal
(d) De corona y pin recto
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Engranajes hiperblicos
Transmiten par y velocidad entre ejes que se cruzan en el espacio.
(a) Helicoidal cruzado
(b) De sinfn-corona
(c) De sinfn cavex
(d) De sinfn evolvente
(e) hipoidal
(f) helicon
(g) Beveloid
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Generacin efectiva de los flancos de de los dientes
Procesos de mecanizado: Fresado Cepillado
Cortador en forma de cremallera Cortador en forma de pin
Formado con sinfn
Procesos de acabado: Cepillado
Bruido
Esmerilado
Pulido
Otros mtodos: Fundicin
Extrusin
Estampacin
Sinterizado, etc
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Fresado (I)
La herramienta (fresa) tiene la forma del hueco entre dientes
Inconvenientes: la herramienta slo sirve para ruedas del mismo dimetro y mdulo
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Fresado (II)
Cinemtica y dinmica de Mquinas A. de Lamadrid, A. de Corral, UPM, Madrid 1992
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Cepillado (I)
til en forma de cremallera: La herramienta es una cremallera del mismo mdulo que la
rueda a tallar. El corte se debe al movimiento de vaivn de la herramienta en
la direccin del eje de la rueda Se enfrenta la herramienta a un disco de radio ra.
La herramienta penetra hasta que su lnea media es tangente a la circunferencia primitiva de referencia
Se gira ligeramente el disco y se desplaza la cremallera como si estuvieran engranando
Cuando se ha cortado un diente se reposiciona la cremallera
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Cepillado (II)
Cinemtica y dinmica de Mquinas A. de Lamadrid, A. de Corral, UPM, Madrid 1992
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Cepillado (III)
til en forma de pin: La herramienta es una contrarrueda El procedimiento es semejante al
anterior Ventajas:
Permite generar ruedas internas
No hay problemasde imprecisin por reposicionamientode la herramienta.
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Cepillado (IV)
Cinemtica y dinmica de Mquinas A. de Lamadrid, A. de Corral, UPM, Madrid 1992
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Cepillado (V)
Cinemtica y dinmica de Mquinas A. de Lamadrid, A. de Corral, UPM, Madrid 1992
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Conformado sin fin
El cortador tiene forma de tornillo sinfn Los dientes son rectos como los de una cremallera,
pero el sinfn no tiene que girar para cortar dientes rectos.
Ventajas: Gran precisin,
por no tener que reposicionar la herramienta
Es el mtodo ms usado.
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P
VA3VA2
Tangente de contacto
Palancas rodantes (I)
(a) Condicin de contacto permanente Los perfiles NO deben
penetrar ni separarse
Las componentes normales de VA1 y VA2 han de ser iguales
n nA1 A2v v=JJJG JJJG
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2 1A A2
1 2 1
V Vi
O A O A= =
1 2
'1 1
nA nA 1 2 '2 2
O NV V AN AN iO N
= = =
1
1
2
2
A' 11 1 A 1 '
1 1 1 2 1' '
A' 2 2 2 122 2 A 2 '
2 2 2
V ANO A N semejante a V N AO A O N AN ANiV O N O NANO A N semejante a V N AO A O N
= = =
Palancas rodantes (II)
(b) relacin de transmisin constante
Por la condicin de contacto permanente
' ' 11 1 2 2
2
O PO N P semejante a O N P i cteO P
= =
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Palancas rodantes (III)
La normal comn y la lnea de centros se cortan en un punto fijo P. Los perfiles que cumplen esta condicin se llaman PERFILES
CONJUGADOS
(c) Condicin de rodadura pura: Deslizamiento: diferencia de velocidades
tangenciales Habr RODADURA PURA si las componentes
tangenciales de VA1 y VA2 son iguales.
Como El contacto se produce sobre la lnea de centros
( )t tA1 A2v v
t tA1 A2
A1 A2n nA1 A2
v vcontacto permanente v v
v v= ==
JJJG JJJG
A1 1 A2 2 1 2v OA y v O A O ,O yAestan alineados JJJG JJJG
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Perfiles conjugados (I)
Transmisin del movimiento con relacin constante de velocidades angulares OBJETIVO: Evitar deslizamientos entre elementos
rodantes SOLUCIN: Incorporar dientes de cualquier forma.
Engranajes primitivos (200 a.c.): Ruedas giratorias de madera a las que se fijaban elementos de formas rudimentarias (molinos de viento, ruedas hidrulicas, relojera, etc.)
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Aparicin del motor de vapor ( 1750 ): Se transmiten mayores pares y velocidades Las transmisiones NO uniformes provocaban
fuertes choques entre dientes y los destruan Surge la necesidad de obtencin de dientes que
proporcionen transmisin con relacin constante de las velocidades angulares de entrada y salida
PERFILES CONJUGADOS
Perfiles conjugados (II)
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Perfiles conjugados empleados en engranajes
En teora pueden emplearse cualquier pareja de perfiles conjugados.
Por consideraciones prcticas, slo se emplean dos tipos de perfiles conjugados: Perfil cicloide:
Fue el ms empleado en la Revolucin industrial hasta principiosde siglo XX, pero hoy da slo se utiliza en mecanismos de relojera.
Perfil de Evolvente de Crculo: En la actualidad es el perfil de uso universal, salvo en relojera y
bombas de paletas. Presenta las siguientes ventajas: Versatilidad a la hora de disear Otras caractersticas inherentes a su geometra que se vern
ms adelante
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Generacin de perfiles conjugados
Para cualquier perfil que se de a los dientes de una rueda, siempre existe un perfil para los de la otra que es conjugado del primero.
Mtodo de generacin: Se hace rodar una circunferencia sobre la otra
La evolvente de las posiciones de un diente es el perfil del diente conjugado.
Este mtodo es la base de la talla de perfiles por generacin
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Mtodo de generacin
Cinemtica y dinmica de Mquinas A. de Lamadrid, A. de Corral, UPM, Madrid 1992
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Mtodo de generacin
Cinemtica y dinmica de Mquinas A. de Lamadrid, A. de Corral, UPM, Madrid 1992
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Perfil de evolvente (I)
Definicin: curva generada por un punto fijo de una recta que
rueda sin deslizar sobre una circunferencia llamada circunferencia bsica.
Es la curva que trazara una cuerda tensa al desenrollarse de un cilindro.
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Perfil de evolvente (II)
Propiedades: El cordel es tangente
a la circunferencia El centro de curvatura
es el punto de tangencia del cordel y la circunferencia base
La evolvente es siempre normal al cordel.
Normal al perfil de evolvente y tangente a la
circunferencia base
Perfil de evolvente
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Transmisin uniforme con dientes de evolvente
Al hacer girar los carretes en sentidos opuestos, el punto P del hilo traza una evolvente en cada cilindro
C
Propiedades de la transmisin: El contacto se produce sobre la
tangente comn a las circunferencia base, , llamada lnea de engrane.
es la normal comn en el punto de engrane P
es nica corta a la lnea de centros en un punto fijo relacin de transmisin constante
1 2TT
1 2TT
1 2TT
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Dientes de evolvente
Cinemtica y dinmica de Mquinas A. de Lamadrid, A. de Corral, UPM, Madrid 1992
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Ley fundamental del engrane
La relacin de transmisin debe ser constante
La normal comn a los perfiles de los dientes, en
todos los puntos de contacto dentro del segmento
de engrane, debe pasar por un punto fijo de la
lnea de centros, llamado punto primitivo.
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Ley fundamental de engrane
Evolvente Longitud recorrida por el punto de contacto sobre la lnea de engrane es igual al arco girado por las circunferencias bsicas.
Como
As pues
q q1 1 2 2PP' QQ ' Q Q '= =
qbQQ' r=
1 2b1 b2
b111 2b1 b2
2 b2
r rrt r t rr
= = =
b11
2 b2
ri cter
= = =
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Nomenclatura. Pareja de ruedas (I)
a) Pareja de ruedas
Pin: rueda dentada de menor dimetro
Rueda: rueda dentada de mayor dimetro
Circunferencia base (rb): circunferencias a partir de las cuales se generan los perfiles de evolventes
Lnea de centros: lnea que une los centros, O1 y O2 de las dos circunferencias bsicas
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Lnea de engrane, : tangente comn a las circunferencias bsicas. Sobre ella se produce el contacto entre los dientes.
Punto primitivo C : punto de interseccin de la lnea de
engrane con la lnea de centros
Circunferencias primitivas de funcionamiento (r):
circunferencias de las tericas ruedas de friccin a las que se
han incorporado dientes. Su radio es tal que el movimiento de
rodadura entre ambas tendra lugar en el punto primitivo C.
ngulo de presin de funcionamiento (): ngulo que forma la lnea de presin con la tangente comn a las
circunferencias primitivas por el punto C.
Nomenclatura. Pareja de ruedas (II)
1 2TT
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Nomenclatura. Rueda aislada (I)
b) Rueda aislada: Circunferencia primitiva de referencia (r) y
ngulo de presin de referencia : estos parmetros se emplean para referir a ellos las magnitudes geomtricas de una rueda aislada. La circunferencia primitiva de referencia sera aquella a la que le correspondera un ngulo de presin de referencia que est normalizado a 14.5, 20 y 25, siendo el de 20 el valor ms habitual.
b1 1b
2b2
r rr r cos ir r
= = =
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Nmero de dientes de la rueda z Paso p: distancia entre puntos homlogos de dos perfiles
consecutivos de una misma rueda, medida sobre la circunferencia primitiva de referencia.
Para que dos ruedas engranen deben tener el mismo paso. Mdulo m: cociente entre el dimetro primitivo de referencia y el
nmero de dientes.
Dos ruedas engranan si tienen el mismo mdulo.
Paso diametral (diametral pitch), dp: cociente entre el nmero de dientes y el dimetro primitivo de referencia expresado en pulgadas.
2 rpz=
p2rmz
= = 11 1
2 2 2
mz 2r zir mz 2 z
= = =
zdp2 r(pulgadas)
=
Nomenclatura. Rueda aislada (II)
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Nomenclatura. Dentadura (I)
c) Dentadura:
Circunferencia de cabeza (ra):circunferencia que limita los dientes por su parte superior
Circunferencia de pie (rf): circunferencia que limita el hueco entre dientes por su parte inferior. El hueco debe ser suficientementeprofundo para dejar pasar la cabeza de los dientes de la otra rueda.
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Altura de cabeza o adendo, ha : distancia radial entre la circunferencia primitiva y la cabeza del diente.
Altura de pie o dedendo, hf: distancia radial entre la raz del diente y la circunferencia primitiva
Altura total, h: suma de la altura de cabeza y la de pie
Holgura o juego circunferencial: hueco que dejan al acoplar una pareja de dientes. Necesaria para permitir la deflexin de los dientes, el paso del lubricante y la expansin trmica
Huelgo o juego en cabeza, c: hueco que dejan una pareja de dientes al engranar, entre la cabeza del diente y el fondo del espacio interdental de la rueda conectada. Suele valer:
Altura de trabajo hw: diferencia entre la altura total del diente y el juego.
a fh h h= +
c 0.25 m=
Nomenclatura. Dentadura (II)
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Espesor s : Espesor del diente, medido sobre la circunferencia primitiva
Hueco e: hueco entre dientes, medido sobre la circunferencia primitiva.
Se cumple que
cara: parte de la superficie del diente que queda entre la circunferencia primitiva y la de cabeza
Flanco: parte de la superficie de un diente que queda entre la circunferencia primitiva y la de pie
Altura de flanco b: anchura del diente medida en direccin paralela al eje.
2 r mzs2 2
= =
me s2= =
p e s= +
Nomenclatura. Dentadura (III)
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b 00
b
r r cosr r cos= = =
Perfil de referencia normalizado
Las dimensiones del perfil de referencia y de la herramienta asociada a l estn normalizadas
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Perfil de referencia (I)
Cremallera de referencia: til de corte ficticio que se empleara para generar los dientes
de un engranaje con dimensiones normalizadas. Perfil de referencia:
Seccin normal de la cremallera de referencia. Se emplea para definir las dimensiones normalizadas del
dentado.
Perfil de referencia del dentadoPerfil de referencia de la herramienta
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Penetracin e interferencia (I)
La evolvente NO puede extenderse por debajo de su circunferenciabase.
Si la herramienta penetra en el crculo bsico PENETRACIN del diente menor resistencia mecnica
La porcin de diente que queda por debajo NO tiene perfil de evolvente e interfiere con la cabeza del otro diente INTERFERENCIA entre dientes.
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Penetracin e interferencia (II)
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Nmero lmite de dientes (I)
OBJETIVO: evitar la penetracin Situacin lmite de penetracin:
La cabeza de la herramienta sale tangencialmente al flanco que acaba de generar, y no lo daa.
El extremo del flanco de la herramienta NO debe sobrepasar el punto T, pues all la velocidad relativa de la herramienta y el diente es tangente a ambos.
Si el extremo de la cremallera se extiende ms all de T, su velocidad no es tangente al flanco del diente, y penetra en l.
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Nmero lmite de dientes (II)
Como y :
Para , el nmero lmite de dientes es:
2rmz
= br r cos=
20 =
2 2
2 22
2r 2r r cos 1 cosz z
2 2 21 cos sen zz z sen
No obstante, si z>14, la penetracin es muy poco importante, y en la prctica se admite:
lim2
2z 17 z 17sen 20
=
limz 14=
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Procedimientos de talla para evitar la penetracin
Objetivo: Evitar la penetracin en ruedas con menos de 14 dientes.
(a) variacin del ngulo de inclinacin del flanco de la cremallera:
Sigue siendo vlida la expresin anterior:
0 20 > =
1 12 2 20 0
1 1
2 2 2z ' z ' zsen sen sen
z ' z
= < =
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(b) Dentado rebajado: Se emplea cremallera con alturas de pie y de cabeza inferiores a las
normalizadas.
Como y :
El nmero lmite de dientes es:
Como en el caso anterior, la cremallera no est normalizada.
Procedimientos de talla para evitar la penetracin
ao2
b
h my (y 1)r my r cos
= <
2rmz
= br r cos= 2 2
2 22
2r 2yr y r cos 1 cosz ' z '
2y 2y 2y1 cos sen z 'z ' z ' sen
1 1 1 12 20
2y 2z ' z z ' zsen sen
= < =
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(c) desplazamiento en la talla: La lnea media de la herramienta se desplaza una cantidad +xm
hacia el exterior de la circunferencia primitiva.
Como y :
Como para poder cortar debe ser x
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Clculo del factor de desplazamiento en ruedas talladas a V
Segn se ha visto
Se sabe, sin embargo, que en la prctica se puede trabajar con un nmero lmite de dientes inferior al calculado, por lo que se toma:
2
1 12
1 1 1 1
1 12
2(1 x) senz ' (1 x) z 'sen 2
z ' z ' z z 'x 1 12 z zsen
= = = = =
14 z 'x17=
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Ruedas talladas a cero y ruedas talladas a V
Atendiendo a la forma en que se realiza la talla, las ruedas se clasifican en:
RUEDAS A CERO (rueda normal): la lnea media de la herramienta de talla es tangente a la circunferencia primitiva de referencia
RUEDAS A V (con desplazamiento): la lnea media del perfil de referencia se desplaza respecto a la circunferencia primitiva una cantidad V=mx, contada positivamente hacia el exterior (rueda V+) y negativamente hacia el interior (rueda V-)
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Montaje de engranajes
Segn el tipo de montaje, los engranajes se clasifican en:
Engranajes montados a cero: las circunferencias primitivas y de funcionamiento coinciden con las de referencia.
Engranajes montados en V: las circunferencias primitivas de referencia NO coinciden con las de funcionamiento.
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(a) engranajes montados a cero con ruedas talladas a cero: Las dos ruedas tienen ms de 14 dientes
(b) engranajes montados a cero con ruedas talladas en V: Una rueda tiene ms de 14 dientes y la otra menos, y su
suma es mayor de 28 Se tallan las ruedas con x1=x2
(c) engranajes montados en V con ruedas talladas en V: Los dientes de ambas ruedas suman menos de 28 Las ruedas se tallan con desplazamientos diferentes
Montaje de engranajes
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La funcin evolvente
Por las propiedades de la evolvente de crculo
La funcin recibe el nombre de funcin evolvente
p p p p*
b b b b
EB AB AE AP AE tgr r r r
= = = =
tg *Ev( ) tg Ev( ) = =
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Clculo de espesor del diente
Espesor de una circunferencia de radio rx Por semejanza
Por las propiedades de la evolvente
Anlogamente
Sustituyendo en (1)
Necesitamos conocer el valor de
p p p p( )x x xxx b b b
s 2 EC r rs 2 EC 2 CB EB (1)r r r r
= = =
( )p
p ( )*x x b x*b x
EvEB r Ev
Como : EB r
= = = p ( )bCB r Ev=
( )( )
xx b b x
b
x x x
rs 2 r Ev( ) r Ev( )r
s 2 r Ev( ) Ev( ) (2)
= =
( )Ev
-
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Clculo del espesor del diente
El espesor en la circunferencia primitiva de referencia, s, se mide en la cremallera y vale:
Aplicando la ec. (2) a la circunferencia primitiva de referencia:
Sustituyendo en la ec. (2) queda:
s' s 2 sm ms s' 2 x m tg
2 2s tg s x m tg
xm
= + = = + = =
( ) ( )m m2 x m tg 2 r Ev Ev 2 x m tg m z Ev Ev2 2
2r mz 2xComo : m r Ev tg Evz 2 2z z
+ = + = = = = + +
x x x2xs 2 r tg Ev Ev
2z z = + +
-
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Distancia entre ejes de funcionamiento
Distancia entre ejes de funcionamiento a:
Suma de los radios primitivos de funcionamiento.
Como:
Sustituyendo
0 1 2a r ' r '= +
b
b
r r ' cos ' cosr ' cos ' r cos r ' rr r cos cos '= = = =
( )0 1 2 cosa r r cos '= +
-
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Distancia entre ejes de funcionamiento
(a) engranajes a cero: Como:
(b) engranajes en V sin holgura circunferencial: Sobre las circunferencias primitivas de funcionamiento:
Suma del espesor de los dientes = paso Paso circunferencial sobre circunferencia primitiva de
funcionamiento:
0 1 2' a r r = = +
2 r 'p ' 2 cosz p' rcos z cos 'r ' rcos '
2 mz coscomo r mz 2 : p'z 2 cos '
= = = = =
-
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Espesor de los dientes sobre la circunferencia primitiva de funcionamiento.
Distancia entre ejes de funcionamiento
( )1 2
2xs' 2 r ' tg Ev Ev '2z z
como :cos mz cos mz cos 2xr ' r s ' 2 tg Ev Ev 'cos ' 2 cos ' 2 cos ' 2z z
cosm 2x tg z Ev Ev 'cos ' 2
igualando p' con s' s ' queda :cos cosm mcos ' c
= + +
= = = + + = = + +
+ = ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
2 x x tg z z Ev Ev 'os ' 2
2 x x tg ' z z Ev Ev ' 0x xEv ' 2 tg Ev ' a 'z z
+ + + + + + + =
+ = + +
-
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Distancia entre ejes de funcionamiento
(c) engranajes en V sin holgura radial: La lnea media de la cremallera
de referencia de la rueda 1 coincide con la de la 2
Multiplicando y dividiendo por
como
( ) ( )( )
0 1 1 2 2
1 2 1 2
a r mx r mx
r r x x m
= + + + == + + +
( )1 22 z z+( )1 20 1 2 1 2
1 2
x x ma r r 2 z zz z 2+= + + ++
( ) ( ) ( )( )
1 21 2 1 2 0 1 2 1 2
1 2
1 20 1 2
1 2
mz m x xr z z r r a r r 2 r r2 2 z z
x xa r r 1 2z z
+= + = + = + + + + + = + + +
m 2r z=
-
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Longitud de engrane
El segmento de engrane se puede considerar como la suma de dos segmentos, unidos por el punto primitivo.
= +acercamiento alejamientog g g
1E P 2PE
-
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Coeficiente de engrane (grado de recubrimiento)
En un par de engranajes el ratio entre: El arco de conduccin (evolvente) y El paso (circunferencia base) p 2 r/ z= b bp 2 r / z m cos( )= =
q2 1E E
q2 1
b
E Ep
-
Universidad Carlos III de MadridDepartamento de Ingeniera Mecnica
Arco de conduccin(circunf. Base y Circunf. Primitiva)
Es el arco girado desde el engrane y el desengrane de un diente.
Por las propiedades de la evolvente el arco de conduccin es igual a la longitud de engrane.
Si el arco es medido en la circunferencia primitiva de funcionamiento r, entonces
q2 1E E
q2 1E E g=
q2 1E E g / cos( )=
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Clculo de la longitud de acercamiento
2 2 2f 2 2 2 c2 2 2g E T PT R R sen( )= =
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Clculo de la longitud de alejamiento
2 2 2a 1 1 1 c1 1 1g E T PT R R sen( )= =
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Longitud de engrane. Arco de conduccin
Longitud de engrane, g: suma de las longitudes de acercamiento y alejamiento
Arco de conduccin, : es el arco correspondiente al ngulo girado al pasar de E2 a E1 Por las propiedades de la evolvente, el arco de
conduccin medido sobre la circunferencia bsica es igual a la longitud de engrane.
Si se mide en circunferencia primitiva de funcionamiento vale: Por semejanza de arcos: Como y queda:
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Grado de recubrimiento o coeficiente de engrane
Por las propiedades de la evolvente, es el paso medido en circunferencia bsica.
Del mismo modo, tambin es el paso medido en circunferencia bsica.
Grado de recubrimiento, : es el cociente entre el arco de conduccin y el paso. Tomando ambos sobre la circunferencia bsica: La porcin debida a la rueda 1 es: Y la debida a la rueda 2 es:
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( )2 2 2 2a1 b1 a2 b2 p1 p2C
r r r r r r senR
m cos + + =
2 2 2 2a1 b1 p1 a2 b2 p2
C
r r r sen r r r senR 2 r cos
Z
+ =
1 2 1 1 2 2C
bb
g g TB TP T A T PR 2 rpZ
+ + = = =
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