CAPTULO 0 ANLISIS VECTORIAL EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES En la descripcin matemtica de los diversos fenmenos fsicos, y en particular, de aquellos relacionados con la interaccin electromagntica, es necesario recurrir al concepto decampo,entendiendocomotalunamagnitudfsicaasociadaalaexistenciadeuna porcindemateriacuyovalorenunpuntodelespacioesunamedidadelefectodeesta porcindemateriasobreuncuerpodepruebasituadoendichopunto.Deestamanera,el campoesunamagnitudfsicaquedependedelascoordenadascartesianasdelpunto considerado.Enmuchasocasiones,lasimetradelproblemaqueseestconsiderandoindicala necesidad del uso de coordenadas diferentes a las cartesianas. Supngase, por ejemplo, que se examina un campo que posee simetra esfrica, es decir, en cada punto del espacio dicho campo depende nicamente de la distancia de este punto al origen de coordenadas. Es claro que todas las frmulas relacionadas con este campo deben simplificarse considerablemente si se escriben en coordenadas esfricas, en lugar de hacerlo en coordenadas cartesianas. En otros casos puede resultar ms cmodo el uso de otros sistemas de coordenadas.Unodelosobjetivosdeestecaptuloespresentar,sinrecurriralascoordenadas cartesianas,lasherramientasnecesariasparaladescripcindeloscamposydesus caractersticas diferenciales. Se discutir una categora especial de sistemas de coordenadas, a saber, los llamados sistemas de coordenadas curvilneas ortogonales. Se busca, as mismo, suministrar nuevas herramientas matemticas para agilizar el tratamiento de las operaciones del anlisis vectorial en coordenadas cartesianas. 0.0.COORDENADAS CARTESIANAS, CILNDRICAS Y ESFRICAS. Lossistemasdecoordenadasqueseconsiderarnenestecursosonlos sistemas de coordenadas cartesianas, cilndricasy esfricas. Coordenadas cartesianas. En este sistema (Figura (0.0.1)) la posicin de un punto M se determina mediante sus tres coordenadas (a,b,c); este punto se encuentra en la interseccindetresplanosmutuamenteperpendicularesx=a,y=b,z=c,loscualesson paralelosalosplanosdecoordenadasx=0,y=0,z=0.Deestaforma,elespaciosellena mediante tres familias de planos mutuamente perpendiculares x=C1, y=C2 , z=C3,

(0.0.1) donde C1 , C2y C3 son constantesy cada punto del espacio es el punto de interseccin de tres planos de diferentes familias. Los planos y=b, z=c definen una recta, paralela al eje Ox ; enelpuntoconcoordenadas(a,b,c) sepuededefinirunvectorunitarioextangenteala recta y=b, z=c. As mismo, los planos x=a, z=c definen una recta, paralela al eje Oy ; en el punto con coordenadas (a,b,c)se define un vector unitario ey tangente a la recta x=a, z=c. De manera anloga se define el vector unitario ez. Ntese que en el sistema de coordenadas cartesianas la familia de vectores ex, ey, ez es independiente de las coordenadas del punto, lo CAPTULO0. ANLISIS VECTORIAL EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES 2 que no ocurre en otros sistemas de coordenadas, como se tendr la oportunidad de ilustrar al examinar los sistemas de coordenadas cilndricas y esfricas. Figura (0.0.1) Coordenadascilndricas.Considrenseahoralascoordenadascilndricas(,,z) de un punto M cuyas coordenadas cartesianas son (x,y,z) (Figura (0.0.2)). La coordenada es la distancia del punto M al eje Oz y es el ngulo que forma el planoque pasa a travs del punto M y el eje Oz, con el plano xOz. El ngulo cambia de 0 hasta 2 y la variable vara entre 0 e . A los puntos del eje Oz les corresponde =0y la coordenada de estos puntos est indeterminada. Figura (0.0.2) Enelsistemadecoordenadascilndricassetienenlassiguientestresfamiliasde superficies: CAPTULO0. ANLISIS VECTORIAL EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES 3 =C1 , = C2 , z= C3. (0.0.2) La primera familia (=C1) es una familia de cilindros circulares, cuyo eje de rotacin es el eje Oz. La segunda familia (=C2) es una familia de semiplanos, que tienen como eje comn a Oz; finalmente, la familia z=C3 es un conjunto de planos, paralelos al plano xy. La interseccin de las superficies =C2, z=C3 define una lnea recta en la cual cambia nicamente lacoordenada ;en el puntoMcon coordenadas (C1, C2, C3) se puede definir un vector unitario e tangente a la recta =C2, z=C3. La interseccin de las superficies =C1, z=C3 define una circunferencia en la cual cambia nicamente la coordenada ; por lo tanto, en el punto M con coordenadas (C1,C2,C3)es posible definir un vector unitario e tangente a la circunferencia mencionada. Finalmente, la interseccin de las superficies =C1, = C2 define una recta paralela al eje Oz en la cual cambia nicamente la coordenada z; por lo tanto, en el punto M con coordenadas (C1, C2,C3)sedefineunvectorunitarioeztangenteadicharecta.Nteseque,adiferenciadelos vectoresunitariosdefinidosparaelcasodelascoordenadascartesianasdeunpunto,la terna de vectores e, e y ez depende de la posicin del punto M. De la Figura (0.0.3) se ve claramente que la relacin entre estas ternas es la siguiente: e =cos ex +sen ey,e = -sen ex + cos ey,(0.0.3) ez = ez. Figura (0.0.3) Coordenadas esfricas. Se examinan ahora las coordenadas esfricas (r,,) de un puntoMcuyascoordenadascartesianasson(x,y,z)(Figura(0.0.4)).Lacoordenadar correspondealalongituddelsegmentoOM,dondeOeselorigendelsistemade coordenadas. El ngulo es aquel que forma el segmento OM con el eje Oz y el ngulo se define de la misma manera como en el sistema de coordenadas cilndricas. De la Figura CAPTULO0. ANLISIS VECTORIAL EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES 4 (0.0.4)sededucequelascoordenadasesfricasestnrelacionadasconlascoordenadas cartesianas mediante las relaciones x=rsencos,y= rsensen, z=rcos.(0.0.4)

Lacoordenadaradialrcambiaenelintervalo(0,),elngulosetomacon referenciaalapartepositivadelejeOzycambiaentre0y;finalmente,elngulose mide en la direccin contraria a las manecillas del reloj a partir de la parte positiva del eje Ox y cambia entre 0 y 2. Considrese la familia de superficies r=C1 , = C2 , = C3. (0.0.5) Figura (0.0.4) Laprimerafamilia(r=C1)es,evidentemente,unafamiliadeesferasconcentroenel origen de coordenadas; la segunda familia ( = C2) es un conjunto de conos circulares cuyo eje de rotacin es Oz. Por ltimo, la familia = C3 representa un sistema de semiplanos que pasanporelejeOz.NtesequealorigendecoordenadasOlecorresponder=0,ylos valores de las coordenadas y estn indeterminados.La interseccin entre las superficies = C2 , = C3 define una lnea recta, a lo largo de la cualvaralacoordenadaradialr ;enelpuntoMsepuededefinirelvectorunitarioer tangenteadicharecta.Lainterseccinentrelassuperficiesr=C1,=C3defineuna semicircunferencia(meridiano),alolargodelacualvaralacoordenadaangular ;enel puntoMsepuededefinirelvectorunitarioetangenteaestemeridiano.Asmismo,la interseccin entre las superficies r=C1, = C2 define una circunferencia (paralelo) de radio C1senC2, a lo largo de la cual vara la coordenada angular ; en el punto M se puede definir elvectorunitarioetangenteaestemeridiano.Ascomoseanotparaelcasodelas CAPTULO0. ANLISIS VECTORIAL EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES 5 coordenadas cilndricas, en coordenadas esfricas la terna de vectores er, e, e depende de la posicin del puntoMysu relacin con la terna ex, ey,ez se puede establecer fcilmente observando que er =sen e+cos ez, e =cos e-sen ez. Teniendo en cuenta las relaciones (0.0.4), se obtienen las siguientes frmulas: er = sen cos ex + sen sen ey + cos ez, e = cos cos ex + cos sen ey - sen ez,(0.0.6) e = -sen ex +cos ey. Aunqueenadelanteseutilizarnpreferencialmentelossistemasdecoordenadas mencionados,elaparatomatemticoquesedesarrollarsepuedeaplicaraotrossistemas quetambinencuentranaplicacinenproblemasdelafsica,talescomolossistemasde coordenadas elpticos, parablicos, bipolares, esferoidales, parablicosy elipsoidales. Para mayor informacin, vasela seccin 1.18 de Stratton(1941). 0.1.COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES. Seproponeahoraextenderladiscusindelnumeralanterioralcasodeunsistema decoordenadasarbitrario.SupngasequeenunareginVdelespaciotridimensional eucldeo la posicin de un punto M se puede determinar mediante tres variables q1, q2 y q3, lascualesestnrelacionadasconlascoordenadascartesianasdedichopuntomediantelas relaciones funcionales ) , , ( z y x qi i = , (i=1,2,3)(0.1.1) donde las funciones i(x,y,z) son nicas, con derivadas continuas; adems, se supondr que el jacobiano de la transformacin ) , , () , , (3 2 1z y x es diferente de cero. Por lo tanto, existe la transformacin inversa a (0.1.1) y las coordenadas cartesianas (x,y,z) se pueden expresar de maneranica a travs de las variables q1, q2 y q3. Si a las variables q1, q2, q3se les asignan los valores constantes A1, A2, A3, entonces las tres ecuaciones (0.1.1) definen tres familias de superficies cuyas ecuaciones son

i iA z y x = ) , , ( , (i=1,2,3). (0.1.2) Tmenseahoradossuperficiesdeestasfamilias;porejemplo,considreselassuperficies 2(x,y,z)=A2 y 3(x,y,z)=A3. Estas superficies se interceptan en una curva (denominada lnea coordenada q1) a lo largo de la cual cambia nicamente la coordenada q1; en elpuntoMsepuedeintroducirunvectorunitarioe1tangentealalneacoordenadaq1.Demanera anloga se obtienen las lneas coordenadas q2 y q3 y los respectivosvectores unitarios e2 y e3,talcomoseilustraenlaFigura(0.1.1).Lascoordenadasq1,q2 yq3definidasdeesta forma reciben el nombre de coordenadas curvilneas del punto M. CAPTULO0. ANLISIS VECTORIAL EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES 6 Figura (0.1.1) Bajoqucondicioneslosvectoresunitariose1,e2ye3sonortogonalesentres? Pararesponderaestapregunta,examnensedospuntosMyM,cuyascoordenadas cartesianas son (x,y,z)y(x+dx,x+dy,z+dz),respectivamente.Estosmismospuntostienen las coordenadas curvilneas (q1,q2,q3) y (q1+dq1, q2+dq2, q3+dq3). El vector desplazamiento entre estos dos puntos es dr=dxex+dyey+dzez. Perocomosehasupuestoquelascoordenadascartesianassonfuncionesnicasdelas coordenadas curvilneas, entonces 332211dqqxdqqxdqqxdx++= ,332211dqqydqqydqqydy++= , 332211dqqzdqqzdqqzdz++= . Porlotantoelvectordr=dxex+dyey+dzeztomalasiguienteforma(despusdereagrupar trminos): +|||

\|++=11 1 1dqqzqyqxdz y xe e e r33 3 322 2 2dqqzqyqxdqqzqyqxz y x z y x|||

\|+++|||

\|+++ e e e e e e . (0.1.3) Ntesequesiq2yq3 novaran(loquesignificaquedq2=0,dq3=0),entonceselvector z y xqzqyqxe e e1 1 1++, que multiplica al diferencial dq1, indica la direccin a lo largo de la cualcambianicamenteq1.Demaneraanlogaseinterpretanlosfactoresvectorialesque CAPTULO0. ANLISIS VECTORIAL EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES 7 acompaan los diferenciales de las otras coordenadas curvilneas. De esa forma, se pueden definir los vectores unitarios |||

\|++=z y xqzqyqxHe e e e1 1 1 111,|||

\|++=z y xqzqyqxHe e e e2 2 2 221, (0.1.4) |||

\|++=z y xqzqyqxHe e e e3 3 3 331, donde 2 2 2|||

\|+|||

\|+|||

\|=i i iiqzqyqxH, (i=1,2,3) (0.1.5) son funciones de las variables q1, q2y q3, denominadas factores de escala o parmetros de Lam. Con base en las definiciones de los vectores unitarios (0.1.4), se pueden formular las condicionesdeperpendicularidadentreellos(e1e2=0,e1e3=0,e2e3=0)delasiguiente forma: 02 1 2 1 2 1=++qzqzqyqyqxqx,03 1 3 1 3 1=++qzqzqyqyqxqx (0.1.6) 03 2 3 2 3 2=++qzqzqyqyqxqx. Losresultadosanteriorespermitenescribirentoncesparaelvectordesplazamiento la expresin dr=H1dq1e1+H2dq2e2+H3dq3e3, (0.1.7) la cual, al ser comparada con la relacin dr=dxex+dyey+dzez permite entender el papel que desempeanloscoeficientesdeLamcomofactoresquedeterminanelcambiodeescalaalpasardeunsistemadecoordenadascartesianoaunodecoordenadascurvilneas ortogonales. CAPTULO0. ANLISIS VECTORIAL EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES 8 Figura (0.1.2) Examnese el elemento de volumen en las coordenadas curvilneas q1, q2, q3, el cualestrepresentadoenlaFigura(0.1.2).Dichoelementodevolumenestlimitadopor tresparesdesuperficiescoordenadas.DesuvrticeprincipalMsalentresaristas:MM1, MM2 y MM3. A lo largo de la arista MM1 cambia slo la coordenada q1, a lo largo de MM2 cambia slo q2 y a lo largo de MM3 cambia nicamente q3. Teniendo en cuenta la expresin (0.1.7), se ve que las longitudes de estas aristas son dli=Hidqi, (i=1,2,3)(0.1.8) y el elemento de volumen en estas nuevas coordenadas se expresar mediante la frmula dV= dl1dl2dl3 =H1H2H3 dq1dq2dq3. (0.1.9) Antesdediscutirlasprincipalesrelacionesdelclculovectorialencoordenadas curvilneas ortogonales, se ilustrarn los anteriores resultados con algunos ejemplos. Coordenadascartesianas.Aqux=q1,y=q2,z=q3.Esfcilverificar,conbaseenla relacin (0.1.5), que H1= H2= H3=1 y dV=dx dy dz, tal y como era de esperar. Coordenadascilndricas.Enestecasoq1=,q2=,q3=zytienenlugarlassiguientes relaciones: ( ) cos cos1==qx,( ) sen sen1==qy,( ) 01==zqz, ( ) sen cos2 ==qx,( ) cos sen2==qy,02=qz, 03==zxqx,03==zyqy,13==zzqz. De las frmulas (0.1.5) se tieneCAPTULO0. ANLISIS VECTORIAL EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES 9 ( ) ( ) ( ) 1 0 sen cos2 2 22 2 2= + + =|||

\|+|||

\|+|||

\|= z y xH , H2=, H3=1. Los correspondientes vectores unitarios son |||

\|++=z y xz y xHe e e e 1=cosex+seney,e=-senex+cosey, ez= ez. (Comprense estas expresiones con las frmulas (0.0.3), las cuales fueron obtenidas deotra forma).Estaesunaternadevectoresmutuamenteperpendiculares,yaque ee=(cosex+seney)(-senex+cosey)=0, eez=0, eez=0. El cuadrado del elemento de longitud toma la forma dl2=d2+2d2+dz2 y el elemento de volumen es dV=d d dz. Coordenadas esfricas. Siguiendo el esquema anterior, se tiene que q1=r, q2=, q3= y as H1=1, H2=r, H3=rsen. Elcuadrado del elemento de longitud es entonces dl2=dr2+r2d2+ r2sen2 d2 y el elemento de volumen toma la forma dV= r2 sen dr d d. 0.2.CAMPO ESCALAR Y SU GRADIENTE. Considrese una magnitud escalar fsica(q1,q2,q3) que toma un valor determinado encadapuntoMdelespacioconcoordenadas(q1,q2,q3).Estamagnitudsedenomina campo escalar. En calidad de ejemplos de campos escalares se puede mencionar el campo detemperaturaenelinteriordeuncuerpocaliente,elcampodeluminiscenciacreadopor unafuentedeluz,etc.Enelpresentecursosetendrlaoportunidaddediscutiralgunos campos escalares propios de la teora electromagntica. Figura (0.2.1) CAPTULO0. ANLISIS VECTORIAL EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES 10 TmeseundeterminadopuntoMenelespacioyhgasepasaratravsdedicho puntounarectaconunadireccinl(vaseFigura(0.2.1)).Seexaminarelvalordela funcinenel punto Myen un punto vecino M1 perteneciente a larecta (l). Si existe el lmite de la razn _________11) ( ) (M MM M , cuandoM1seacercaalpuntoM,dicholmitesedenominaderivadadireccionaldela funcin en la direccin (l) y se designa de la siguiente forma _________11) ( ) (lim) (1M MM MlMM M =.(0.2.1) Estaderivadacaracterizalavelocidadconlaquecambialafuncinenladireccin especificada.Esevidentequealcalcularladerivadadireccional(0.2.1)sepuedehacer pasar por el punto M una curva orientada (L) tal como lo muestra la Figura (0.2.1). En lugar de la frmula(0.2.1) se tendr que tomar el lmiteM MM MM M11) ( ) (lim1 , el cual noes otra cosaqueladerivadadelafuncin(M)conrespectoalalongitudldelarcoM1Mdela curvaconsiderada(L).Estaderivadasedesignacomo(M)/l.Utilizandolareglapara derivar funciones de varias variables, se puede escribir: lqqMlqqMlqqMlM++=332211) ( ) ( ) ( ) ( . (0.2.2) Sisetieneencuentaqueenunsistemaortogonaldecoordenadascurvilneasse tiene dli=Hidqi, entonces la anterior relacin puede ser re-escrita as: llqMH llqMH llqMH lM++=33 322 211 1) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( . (0.2.3) Recurdeseahoraque llllll3 2 1, , sonloscosenosdirectoresdelarectatangenteala curva (L) en el punto M. Si se designa mediante||

\|=llllll3 2 1, , nel vector unitario en la direccinconsiderada,entoncesladerivadadireccionaldelafuncinconsideradaenel punto M se puede representar como el siguiente producto escalar: n =) ( grad) (MlM , (0.2.4) dondeCAPTULO0. ANLISIS VECTORIAL EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES 11 |||

\|=3 3 2 2 1 1) ( 1,) ( 1,) ( 1) ( gradqMH qMH qMHM (0.2.5) es un vector, denominado gradiente de la funcin escalar en el punto M. Paraentenderelsignificadodeestevector,seintroduceelconceptodesuperficies de nivel o superficies equipotenciales. Estas superficies se caracterizan porque en cada uno delospuntosdeellaslafuncinescalar(M)tomaunvalorconstante,elcualsedesigna comoC.Aldaraestaconstantediferentesvalores,seobtienetodaunafamiliade superficies(M)=C.Enelcasodeuncuerpocaliente,lassuperficiesequipotenciales equivalen al conjunto de puntos que estn a una misma temperatura. Supngase quea travsdel punto Mconsiderado pasa una superficie equipotencial S, tal como se muestra en la Figura (0.2.2). Introdzcanse en dicho punto M tres direcciones mutuamenteperpendiculares:ladireccinn,normalalasuperficieS,ylasdirecciones tangenciales 1y 2,lascualessontangentesaciertascurvasL1yL2quedescansanenla superficieequipotencial.Alolargodeestascurvaslafuncin(M)conservasuvalor constante, por lo cual 0) ( ) (2 1== M M.(0.2.6) Figura (0.2.2) Porlotanto,laderivadadireccionaldelcampoescalar(M)alolargodeladireccin(l) toma la siguiente forma cos) ( ) ( ) (nMlnnMlM=, (0.2.7) CAPTULO0. ANLISIS VECTORIAL EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES 12 donde es el ngulo entre la direccin normal n y la recta tangente a l en el punto M. Si la direccin l coincide con la normal, entonces esta derivada direccional coincide con la magnituddelvectorgradiente.Enotraspalabras,elgradientedeuncampoescalaresun vectorqueencadapuntoestdirigidoalolargodelarespectivanormalalasuperficie equipotencial que pasa por dicho punto, y cuya magnitud es igual a la derivada direccional de la funcin (M) a lo largo de la mencionada normalEl vector gradiente est orientado hacia la direccin de crecimiento de la funcin (M). La relacin (0.2.5) permite, por otro lado, obtener las expresiones para el gradiente de una funcin escalar en los diferentes sistemas de coordenadas. Para ello, lo nico que se precisa conocer es el conjunto de magnitudes Hi, las cuales fueron calculadas en la seccin anterior.Coordenadascartesianas.Recordandoquex=q1,y=q2,z=q3yH1=H2=H3=1,(0.2.5) toma la forma z y xz y xz y x e e e++= ) , , ( grad . (0.2.8) El operador diferencial vectorial z y xz y xe e e++= (0.2.9) queapareceen(0.2.8)sedenominaoperadordeHamiltononabla.Conlaayudadeeste operadorlaoperacingradienteencoordenadascartesianassepuederepresentarcomola accin del operador nabla sobre dicha funcin escalar: grad = . Coordenadas cilndricas. En este caso q1=, q2=, q3=z y H1=1, H2=, H3=1. Entonces zzz e e e++= 1) , , ( grad . (0.2.10) Coordenadas esfricas. Aqu q1=r, q2=, q3= y H1=1, H2=r, H3=rsen y por lo tanto e e e++=sen1 1gradr r r) , , r (r.(0.2.11) Ejemplo:Considreselafuncinescalar(r)=1/r.Dadoquenodependeexplcitamentedelas variables angulares y , el gradiente de esta funcin slo tiene componente en la direccin radial: 3 21) ( gradr r r drdrrrr ee =((

||

\|= . Ejemplo:Considreselafuncinescalar(r,)=(cos)/r2.Elgradientedeestafuncintiene componentes tanto en la direccin radial er como en la direccin polar e. Se tiene: 3 2 2sen cos 2 cos 1 cos) , ( gradr r r r rrrr e ee e+ =((

||

\|+((

||

\|=. CAPTULO0. ANLISIS VECTORIAL EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES 13 0.3.CAMPO VECTORIAL Y SU DIVERGENCIA. Se denomina campo vectorial a todo vector A(r) que est definido en cada punto del espaciooenunaregindel.Parailustrarloanterior,enlaFigura(0.3.1)sehan representado los campos vectoriales A1=r, A2=ez, A3=zez. Figura (0.3.1) Al concepto de campo vectorial se llega, por ejemplo, al examinar el flujo estacionariode un lquido, ya que en cada punto M de la regin considerada es preciso definir la velocidad v(M). Otro ejemplo importante de campo vectorial es el campo gravitacional generado por cierta distribucin de masas en el espacio. En el presente curso se tendr la oportunidad de describir los campos vectoriales relacionados con distribuciones de cargas y corrientes. Considrese un campo vectorial A(r). En cada punto de la regin del espacio donde est definido este campo, el vector A(r) tiene una direcciny una magnitud determinadas. Paradescribirestecampovectorialesprecisointroducirdoscaractersticasintegrales fundamentales:elflujodedichocampoatravsdeunasuperficiedeterminadaysu circulacin a lo largo de una curva. Se examinar inicialmente la primera caracterstica. SeaSunasuperficie,cuyospuntospertenecenalaregindondeestdefinidoel campo vectorial A. El flujo del campo vectorial A a travs de S sedefine como Sds A ,(0.3.1) donde ds es un elemento infinitesimal de rea orientado a lo largo de la normal a ds. Si la superficie S es cerrada, la normal se entiende que est dirigida hacia afuera. Si la superficie Snoescerradayesfinita,estoquieredecirquedichasuperficieestlimitadaporun contornocerrado;enestecasoseadoptalasiguienteconvencinparalaeleccindela direccin de la normal: el sentido positivo de la normal es la direccin hacia la cual girara un tornillo de mano derecha si la curva que limita la superficie es recorrida en la direccin positiva, tal como lo ilustra la Figura (0.3.2). CAPTULO0. ANLISIS VECTORIAL EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES 14 Figura (0.3.2) Supngase ahora que lasuperficieS en la integral (0.3.1) es cerraday que contiene en su interior un volumen V. Para recalcar que la integracin se realiza sobre una superficiecerrada,seacostumbraescribirelflujorespectivoenlaforma Sds A .La magnitud SdVs A1nosrepresentaelflujoporunidaddevolumendelcampovectorial A. Si el volumen encerrado por la superficie S tiende a cero, evidentemente se obtiene una caractersticalocal(odiferencial)delcampovectorial.Dichacaractersticarecibeel nombre de divergencia y se designa como div A. De acuerdo con lo dicho, = SVdVs A A1lim div0.(0.3.2) Deestaforma,atodocampovectorialAsepuedeasociarunacaractersticadiferencial escalar: divA. El significado fsico de esta caracterstica se puede establecer examinando el flujoestacionariodeunlquidoidealincompresiblecaracterizadoporuncampode velocidades v. Del curso de fsica elemental se sabe que la cantidad de lquido de densidad que sale en unidad de tiempo a travs de un volumen V encerrado por una superficie S est representada por el flujo Sds v . Por lo tanto, la razn entre este flujo de lquido y el volumen V representa la cantidad promedio de lquido por unidad de volumen que aparece (o desaparece)en unidad de tiempo de la regin con volumen V. Si se hace tender a cero elvolumenconsiderado,lareginencerradaporVsereduceaunpuntoMylarazn Sds v /VsetransformaenelvalordeladivergenciadelcampoA=venelpuntoM. Porlotanto,divArepresentaladensidaddelasfuentes(osumideros)quegeneranel campo vectorial A. Con base en el concepto de divergencia, se puede demostrar el siguiente teorema: CAPTULO0. ANLISIS VECTORIAL EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES 15 Teorema de Gauss. El flujo de un campo vectorial sobre una superficie cerrada S es igual alaintegraldevolumendeladivergenciadedichocampovectorialsobreelvolumenV limitado por S, es decir, = V SdV d A s A div .(0.3.3) Demostracin.SedivideelvolumenVenunagrancantidaddepequeasceldas. Sea Vi el volumen de la i-sima celda y sea Si el rea de la superficie que encierra a estevolumen.Deacuerdoconladefinicindeintegral, =iV VidV dV A A div div . Si el volumen de las celdas es suficientemente pequeo,el teorema del valor medio paralasintegralespermiteescribir iMVV dVii =A A div div ,dondeMiesunpunto pertenecientealai-simaceldaenelcualsecalculaelvalordeladivergenciadel campoA.Setieneentonces =iiMVV dViA A div div .Perodeacuerdoconla definicindedivergencia, = iiiS iVMdVlim s A A1div0yporlotanto, =iS Vid dV s A A div .Evidentemente,lasumasobretodaslasintegralesde superficiesereducealaintegralsobrelasuperficieS.Seobtieneentoncesel resultado (0.3.3). Ladefinicin(0.3.2)sepuedeutilizarparaencontrarunaexpresingeneraldela divergenciadeuncampovectorialenunsistemaarbitrariodecoordenadascurvilneas ortogonales q1, q2, q3. Supngase queal tender el volumen V a cero, laregin en lacual estdefinidoelcampovectorialquedareducidaalpuntoM.Entoncesladefinicinde divergenciatomalaforma = SM VdVs A A1lim div .EncalidaddeVsetomarel volumen elemental en las coordenadas curvilneas q1, q2, q3 considerado en el numeral 0.1. y cuya figura se reproduce aqu por comodidad (Figura (0.3.3)).Se busca determinar el flujo del campo A=A1e1+A2e2+A3e3a travs de la superficie que encierra a este volumen elemental, lo que implica calcular los flujos a travs de las seis carasdelcuboelementalrepresentadoenlaFigura(0.3.3);considrense,porejemplo,los flujos a travs de las caras inferior (NN1M3N2)ysuperior (MM2N3M1). En el vrtice M las coordenadastienenlosvaloresq1,q2,q3yenlacarasuperioresprecisocambiarq3por (q3+q3).Adems,enlacarasuperiorladireccindelanormalexternacoincideconla direccindee3,mientrasqueenlacarainferiorlanormales-e3.DadoqueA3esla proyeccindelvectorAsobreelvectorunitarioe3,entoncessetienenparalosflujosa travs de las caras consideradas las siguientes expresiones ( ) +3 3 2 1, ,3 3q q q qds Ay( )3 2 1, ,3 3q q qds A . CAPTULO0. ANLISIS VECTORIAL EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES 16 Teniendoencuentaqueelelementodereads3esH1H2dq1dq2,estasexpresionesse transforman en( )2 1, ,3 2 13 3 2 1dq dq A H Hq q q q + y( )2 1, ,3 2 13 2 1dq dq A H Hq q q . El flujo neto en la direccin e3 ser entonces ( ) ( ) [ ]2 1, ,3 2 1, ,3 2 13 2 1 3 3 2 1dq dq A H H A H Hq q q q q q q +. Figura (0.3.3) Pero ( ) ( ) [ ]( )333 2 1, ,3 2 1, ,3 2 13 2 1 3 3 2 1qqA H HA H H A H Hq q q q q q q +, por lo que se tiene ( ) ( ) [ ]( ) +2 133 2 13 2 1, ,3 2 1, ,3 2 13 2 1 3 3 2 1dq dqqA H Hq dq dq A H H A H Hq q q q q q q; dadoquelasaristasdelvolumenelementalsonpequeas, ( ) ( )2 133 2 12 133 2 1q qqA H Hdq dqqA H H ,dedondeseobtienefinalmentelasiguiente expresin aproximada para el flujo neto a travs de las caras consideradas: ( )2 2 133 2 1q q qqA H H . CAPTULO0. ANLISIS VECTORIAL EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES 17 De manera anloga se tendr las expresin ( )3 2 111 3 2q q qqA H H para el flujo a travs de lascarasanterioryposterior.Asmismo, ( )3 2 122 3 1q q qqA H H serelflujoatravsde las caras izquierda y derecha. Sumando estas tres expresiones, se obtiene para el flujo neto a travs de la superficie cerrada ( ) ( ) ( )3 2 133 2 122 3 111 3 2q q qqA H HqA H HqA H HdS |||

\|++ s A . Si se divide por el volumen V=H1H2H3q1q2q3 y se hace tender dicho volumen a cero, se llega a la expresin final para la divergencia en coordenadas curvilneas ortogonales: ( ) ( ) ( )|||

\|++=33 2 122 3 111 3 23 2 11divqA H HqA H HqA H HH H HA .(0.3.4) Conociendo los parmetros de Lam H1, H2, H3 en los diferentes sistemas de coordenadas, se obtienen las siguientes expresiones para la divergencia: Coordenadascartesianas.Aqux=q1,y=q2,z=q3yH1=H2=H3=1.Porlotanto(0.3.4) toma la forma zAyAxAzyx++= A div .(0.3.5) Estaexpresinparaladivergenciadeuncampovectorialencoordenadascartesianasse puederepresentarcomoelproductoescalardeloperadorvectorialnablayelcampo vectorial A: div A=(A).(0.3.6) Coordenadascilndricas.Enestecaso=q1,=q2,z=q3yH1=1,H2=,H3=1.Porlo tanto ( )zAA Az++= 1 1divA . (0.3.7) Coordenadas esfricas. Se tiene r=q1, =q2, =q3 y H1=1, H2=r, H3=r seny as ( ) ( ) ++=ArAr rA rrrsen1 sensen1 1div22A . (0.3.8) CAPTULO0. ANLISIS VECTORIAL EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES 18 Ejemplo. Considrese el campo vectorial A(r)=r3er dentro del volumen de una esfera de radio R con centro en el origen de coordenadas. La divergencia de este campo vectorial es ( )25251div rdrr dr= = A. Laintegraldeestaexpresinsobreelvolumenconsideradoes ( )5020 04 24 sen 5 5 div R d d dr r dV r dVRV V = = A.DeacuerdoconelteoremadeGauss,este resultado debe coincidir con el flujo del campo A a travs de la superficie que encierra al volumen de la esfera considerada; en efecto, sobre la superficie de la esfera r=R el campo vectorial tiene la forma A(R)=R3er y por lo tanto( ) = SrSd R d s e s A3, donde (erds)=R2sendd es un elemento de rea en la superficie de la esfera de radio R; as,520 054 sen R d d R dS = = s A, que era el resultado esperado. 0.4.CAMPO VECTORIAL Y SU ROTACIONAL. EnelnumeralanteriorseindicqueparadescribiruncampovectorialAes necesario introducir dos caractersticas integrales fundamentales: el flujo de dicho campo a travsdeunasuperficiedeterminadaysucirculacinalolargodeunacurva.Laprimera caractersticaintegralyafueexaminadayconbaseenellasedefinielconceptode divergencia, el cual permite tener una medida de la intensidad de las fuentes que generan el campo A.Cabeanotarqueenausenciadefuentes(esdecir,cuandodivA=0)elcampo vectorial A puede existir. Para entender esto, basta considerar un lquido en un estanque sin fuentesnisumideros:estelquidopuedemoversesiendichosistemaestnpresentes remolinos o regiones en las cuales se realiza un movimiento rotatorio alrededor de cierto eje.EnlaFigura(0.4.1)seilustraelcampovectorialA(x,y)=-yex+xeycuyadivergenciaes nula; ntese que en coordenadas polares este campo toma la forma simple A()=e. Figura (0.4.1) ParacaracterizarlapresenciadeestavorticidaddelcampovectorialAse examinarlasegundacaractersticaintegraldedichocampo,esdecir,seintroducirel concepto de circulacin.CAPTULO0. ANLISIS VECTORIAL EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES 19 ConsidreseunacurvaCalolargodelacualestdefinidoelcampovectorialA ;sean a y b los puntos inicial y final de esta curva y desgnese mediante dl el desplazamiento vectorial infinitesimal a lo largo de la curva C. La circulacin del campo A a lo largo de la curva C se define como la integral de lnea bC adl A .(0.4.1) SupngaseahoraquelacurvaCenlaanteriorintegralescerradayquelimitauna superficie S. Se considera que cada elemento de esta superficie est orientado de acuerdo conlaconvencinestablecidaenelnumeralanterior,esdecir,elsentidopositivodela normalesladireccinhacialacualgirarauntornillodemanoderechasilacurvaque limita la superficie es recorrida en la direccin positiva.Para recalcar que la integracin se realizasobreuncontornocerrado,seacostumbraescribirlarespectivacirculacinenla formaCdl A .Lamagnitud CdSl A1representalacirculacinporunidaddereadelcampo vectorialA.SielreadelasuperficieencerradaporelcontornoCtiendeacero, evidentemente se obtiene otra caracterstica local (o diferencial) del campo vectorial. Dicha caractersticarecibeelnombrederotacionalysedesignacomorotA.Esevidentequeel rotacionaldeuncampovectorialesdecarctervectorial,dadoquedependedela orientacindelasuperficieencerradaporelcontorno.Deestaforma,siaesunvector unitario normal a la superficie S, entonces la componente del rotacional de A a lo largo de la direccin a se define como ( )= CSdSl A a A1lim rot0.(0.4.2) SeveasqueatodocampovectorialAsepuedeasociar,ademsdelacaracterstica diferencial escalar divA, la caracterstica diferencial vectorial rotA.Elsignificadofsicodeestacaractersticasepuedeestablecer siencalidaddecampo vectorialAsetomaelcampodevelocidadesdeunlquidoenmovimiento.Secolocaen dicho lquido una ruedita de radio R con aspas distribuidas a lo largo de la circunferencia C de dicha ruedita, tal como lo muestra la Figura (0.4.2). Bajo la accin del flujo del lquido, esta ruedita rotar con cierta velocidad lineal que depender de la orientacin del eje de la ruedita. La magnitud de la velocidad lineal de cada punto de la circunferenciaCsepuede estimarcomolacirculacindelavelocidad Cdl v divididaporlalongituddela circunferencia, es decir, =CdRv l v 21. En trminos del reaS=R2 de la ruedita, esta frmula toma la forma =CdS Rvl v121. Pasando al lmite S0 y recordando que v/R es CAPTULO0. ANLISIS VECTORIAL EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES 20 la magnitud de la velocidad angular de la ruedita, se obtiene =(rotv)a/2, donde a es el vectornormalalasuperficieS.Seveasquerotvcaracterizalacomponenterotacional delcampodevelocidadesyesigualaldobledelavelocidadangulardeunapartcula infinitesimal del lquido. Figura (0.4.2) Con base en el concepto de rotacional, se puede demostrar el siguiente teorema: Teorema de Stokes. La circulacin de un campo vectorial sobre un contorno cerrado C es igual a la integral de superficie del rotacional de dicho campo vectorial sobre la superficie S limitada por C, es decir, = S Cd d s A l A rot. (0.4.3) Demostracin.SedividelasuperficieSenunagrancantidaddepequeasredes (retculos). Sea Si el rea del i-simo retculo y sea Ci el contorno que lo limita. De acuerdoconlaspropiedadesdelasintegralesdesuperficie,setiene = iS Sid d s A s A rot rot .Sielreadelosretculosessuficientementepequea,sepuedeescribir( )iMiSS dii = ) (rot rot a A s A ,dondeMiesunpunto pertenecienteali-simoretculoenelcualsecalculaelvalordelrotacionaldel campoAya(i)eselvectornormalalasuperficieSi.Setieneentonces ( ) = iiMiSS di) (rot rot a A s A .Perodeacuerdoconladefinicinderotacional, ( )= iiC iS) i (dSlim l A a A1rot0yporlotanto, = iCSSiid lim d l A s A0rot . Evidentemente, la suma sobre todas las integrales de contorno se reduce a la integral de lnea sobre el contorno cerrado C. Se llega as al resultado (0.4.3). CAPTULO0. ANLISIS VECTORIAL EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES 21 Figura (0.4.3) Conbaseenladefinicin(0.4.2)sepuedeobtenerahoraunaexpresingeneralparael rotacional de un campo vectorial en un sistema de coordenadas curvilneas ortogonales. En particular, se determinar la proyeccin de rotA en la direccin del vector unitario e1. Para elloessuficientecalcularlacirculacindeAalolargodelcontornoMM2N1M3Mdela Figura(0.1.2)ydividirelresultadoporelreaencerradapordichocontorno.El correspondientecontornosemuestra,paramayorcomodidad,enlaFigura(0.4.3).La circulacin de A consta de cuatro sumandos, correspondientes a los segmentos MM2, M2N1, N1M3 y M3M . A lo largo de MM2 la circulacin es ( ) ( ) [ ]2, ,2 2, ,2 23 2 123 2 1q H A dl Aq q qMMq q q , donde se ha tenido en cuenta que la longitud del segmento MM2 es pequea y por lo tanto la expresinsubintegralsepuedesacardelsignodeintegracinconbaseenelteoremadel valor medio. La circulacin a lo largo del segmento N1M3 se diferencia de la expresin que se acaba de obtener en que a lo largo de N1M3 la tercera coordenada es igual a q3+ q3, y no aq3 ;adems,ladireccinderecorridodelsegmentoN1M3escontrariaaladireccindel segmento MM2. Por lo tanto, la circulacin a lo largo de N1M3 es ( ) ( ) [ ] ( )( )2 3, ,32 2, ,2 2 2, ,2 2, ,2 23 2 13 2 1 3 3 2 13 13 3 2 1 q qqH AH A q H A dl Aq q qq q q q q q qM Nq q q q(((

+ = + + . DemaneraanlogaparalascirculacionesalolargodeM2N1yN3Mseobtienenlas expresiones aproximadas ( )( )3 2, ,23 3, ,3 33 2 13 3 2 1q qqH AH Aq q qq q q(((

+ y ( ) [ ]3, ,3 33 2 1q H Aq q q . Alsumarestascuatrocirculaciones,sevequelacirculacindelvectorAalolargodel contorno MM1N3M2M es aproximadamente igual a CAPTULO0. ANLISIS VECTORIAL EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES 22 ( ) ( )3 232 223 3q qqH AqH A ((

. DividiendoestaexpresinporelreadelcontornoMM1N3M2M,lacualesiguala H2H3q2q3,ypasandoallmitecuandoestareatiendeacero,seobtienequela componente (rotA)1 del rotA a lo largo del vector base e1 es igual a ( )( ) ( )((

=32 223 32 311rotqH AqH AH HA .(0.4.4) De manera anloga se obtienen las dos componentes restantes y por lo tanto, ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ).11 1rot321 112 22 1213 331 13 1132 223 33 2ee e A((

++((

+((

=qA HqA HH HqA HqA HH H qA HqA HH H (0.4.5) Esteresultadosepuederepresentardemaneramscompactaenlaformadelsiguiente determinante: .1rot3 3 2 2 1 13 2 13 3 2 2 1 13 2 1A H A H A Hq q qH H HH H H =e e eA(0.4.5a) Con el conocimiento de los parmetros de Lam en los diferentes sistemas de coordenadas, sepuedenobtenerfcilmentelasexpresionesparaelrotacionaldeuncampovectorialen coordenadas cartesianas, cilndricas y esfricas. Coordenadas cartesianas. Se tiene: zxyyz xxyzyAxAxAzAzAyAe e e A((

+((

+((

= rot . (0.4.6) Estaexpresinparaelrotacionaldeuncampovectorialencoordenadascartesianasse puederepresentarcomoelproductovectorialdeloperadorvectorialnablayelcampo vectorial A: rot A=(A) . Coordenadas cilndricas. En este caso ( )zz zA AAzAzAAe e e A((

+((

+((

= 1 1 1rot . (0.4.7) CAPTULO0. ANLISIS VECTORIAL EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES 23 Ejemplo.ConsidreseelcampovectorialA()=2e.definidodentrodeuncrculoderadioRque descansa en el plano xy. Debido a que A no depende explcitamente de la variable angular y de la coordenadaz,setiene ( ) ( )z z zdddA de e e A 31 1rot3=((

= =.Laintegraldesuperficiedeeste rotacional con respecto al crculo especificado es ( )( ) = = 20 0233 3 rot d d d dSRSs e s A,donde( ) d d d = s e3esunelementodereadel crculo considerado; as, 320 022 3 rot R d d dRS = = s A. De acuerdo con el teorema de Stokes, este resultado debe ser igual a la circulacin del campo A() a lo largo de la circunferencia C de radio R; en efecto, a lo largo deC el campo vectorial esA(R)=R2e, de donde( ) = C Cd R d l e l A2 donde (edl)=Rdeselelementodelongituddeunarcodelacircunferencia=R.As, 32022 R Rd R dC = = l A, tal y como era de esperarse. Coordenadas esfricas. Aqu

( )+((

=rAAre A sensen1rot+( )( ) e e((

+((

r rArrAr rrAAr1sen1 1. (0.4.8) 0.5. OPERADOR LAPLACIANO EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES. OPERACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN. Considrese un campo escalar. Con la ayuda de este campo se puede construir el campo vectorialgrad .En muchos problemas de la fsica la divergencia del gradiente de unafuncinescalarjuegaunpapelprimordial.Porestemotivoseintroduceelllamado operador de Laplace, el cual se designa como 2 y se define mediante la relacin 2=div(grad).(0.5.1) Laexpresingeneralparaellaplacianoenunsistemadecoordenadascurvilneas ortogonales se puede encontrar fcilmente si en la expresin para la divergencia ( ) ( ) ( )|||

\|++=33 2 122 3 111 3 23 2 11divqA H HqA H HqA H HH H HA CAPTULO0. ANLISIS VECTORIAL EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES 24 se toma( )i ii iq HA= =1grad , (i=1,2,3). Se obtiene entonces ((

|||

\|+|||

\|+|||

\|= 3 32 13 2 23 12 1 13 21 3 2 121q HH Hq q HH Hq q HH Hq H H H . (0.5.2) Enestafrmulaesfcilreconocerelorigendecadaunodelostrminos.Enefecto,los operadoresdiferenciales i iq H 1procedendelaexpresingeneraldelgradiente.Los factores H1H2, H1H3, H3H2 en los numeradores son aportes de las reas de las superficies a travsdelascualessecalculaelflujodelgradiente.Finalmente,elfactor 3 2 11H H H aparecedebidoaqueelflujodelgradienteatravsdelascarasdelparaleleppedose divide por el volumen de dicho paraleleppedo. De la relacin general (0.5.2) se pueden encontrar las expresiones para el laplaciano en los diferentes sistemas de coordenadas. Coordenadas cartesianas. Como todos los parmetros de Lam son iguales a 1, se tiene: 2222222z y x ++= . (0.5.3) Coordenadas cilndricas. En este caso 2222221 1z ++|||

\|= . (0.5.4) Coordenadas esfricas. Se tiene: 222 2 2222sen1sensen1 1 + ||

\|+ ||

\|= r r rrr r. (0.5.5) EloperadordeLaplacepuedeactuartambinsobrefuncionesvectoriales.Una expresinsimplesepuedeobtenerencoordenadascartesianas.Enestecasosi A=Axex+Ayey+ Azez entonces por 2A se entiende el vector 2A= (2Ax )ex+ (2Ay )ey+ (2Az )ez. Sinembargo,ensistemasdecoordenadascurvilneasortogonalesnotienelugaruna expresin tan simple para el laplaciano de la funcin vectorial A. En estos casos 2A debe expresarse a travs de operaciones ms complejas, como se puede ver de lafrmula (0.5.9) que se demostrar ms adelante. CAPTULO0. ANLISIS VECTORIAL EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES 25 Enlasaplicacionesdelanlisisvectorialenocasionesesnecesarioexaminarotras combinacionesdelasoperacionesgradiente,divergenciayrotacionalquellevana operacionesdiferencialesdesegundoorden.Combinandolossmbolosgrad,divyrotse puedenformardiversosoperadoresdesegundoorden.Sinembargo,notodaslas combinaciones estn permitidas. Por ejemplo, la operacin rot divA no tiene sentido, ya que implica tomar el rotacional del campo escalar divA, lo cual contradice la propia definicin delrotacional.Todaslasposibilidadesdeoperacionesdiferencialesdesegundoordense resumen en la siguiente tabla: gradDiv Arot A gradgrad div A divdiv graddiv rot A rotrot gradrot rot A enlacualsehandejadovacasaquellasceldascorrespondientesaoperacionesqueno tienen sentido.Se ve que en relacin con el campo escalar tienen sentido las operaciones div(grad) yrot(grad)..La primera expresin corresponde al laplaciano del campo escalar,el cual ya se discuti anteriormente.La segunda expresin es idnticamente igual a cero, es decir, para todo campo escalar rot grad =0.(0.5.6). Paracomprobarestarelacin,considreselacomponentederotAenladireccine1 ( )( ) ( )((

=32 223 32 311rotqH AqH AH HAy hgase en ella A=grad. Entonces 2 221q HA= y 3 331q HA=y por lo tanto( ) 01grad rot2 323 222 31=((

=q q q q H H . El mismo resultado se obtiene para las dems componentes de rot grad. As,rot grad=0.TodocampovectorialAquesepuederepresentarcomoelgradientedeuncampo escalar se denomina campo potencial y el propio campo escalar se denomina potencial delcampovectorialA.EnestecasoelcampopotencialAsatisfacelaecuacinrotA=0. Como se tendr la oportunidad de ver ms adelante, el concepto de campo potencial juega un papel fundamental en la electrosttica. Examnenseahoralasoperacionesdesegundoordenparaelcampovectorial.En este caso tienen sentido las siguientes tres operaciones: grad divA, div rotAy rot rotA. La segunda expresin es idnticamente igual a cero, es decir, para todo campo vectorial A la divergencia de su rotacional es igual a cero: div rotA=0.(0.5.7) Para demostrarlo, prtase de la expresin CAPTULO0. ANLISIS VECTORIAL EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES 26 ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ])`++=3 2 132 3 121 3 21 3 2 1rot rot rot1rot div A A A A H HqH HqH Hq H H H, donde( )( ) ( )((

=32 223 32 311rotqH AqH AH HA ,( )( ) ( )((

=13 331 11 321rotqH AqH AH HAy( )( ) ( )((

=21 112 22 131rotqH AqH AH HA . Al reemplazar en la expresin anterior, se obtiene: ( ) ( ) ( ) ( )+((

+((

=13 331 12 32 223 31 3 2 11rot divqH AqH Aq qH AqH Aq H H HA( ) ( ))`((

+21 112 23qH AqH Aq.(0.5.8) Ntese que los trminos de esta relacin se cancelan por pares y por lo tanto div rotA=0.TodocampovectorialBquepuedeserrepresentadocomoelrotacionaldeotro campovectorialAsedenominacamposolenoidalyalafuncinAselellamapotencial vectorialdelcampovectorialB.EnestecasoelcampovectorialBsatisfacelaecuacin divB=0.En el estudio de los campos magnticos se tendr la oportunidad de examinar con detalleeste concepto. Considrenseahoralasotrasoperacionesdesegundoordensobrecampos vectoriales. Las expresiones rot rotA y grad divA estn relacionadas entre s de la siguiente forma: rot rotA= grad divA-2A . (0.5.9) Esta relacin se puede demostrar a partir de las frmulas generales obtenidas anteriormente, aunquelamanipulacinalgebraicaqueesnecesariorealizaresengorrosa.Unaformams simpledeobteneresteresultadoesusandolascoordenadascartesianas.Setiene: rot(rotA)=(A).Utilizandolafrmuladeldobleproductovectorial(A)= (A)-()A,y recordando que A=divA y=2, se obtiene rotrotA=grad(divA)-2A, que es la frmula (0.5.9).Operacionesconelvectornabla.Esnecesariotenerencuentaquelaanaloga entre el vector simblico y los vectores convencionales no es completa dada la naturaleza diferencialdedichooperador.Sialgunaexpresincontieneelproductodedosoms funciones y sobre dicho producto acta el operador nabla, es necesario en primera instancia tomar en cuenta las reglas que rigen la derivacin de un producto de funciones. Para ilustrar CAPTULO0. ANLISIS VECTORIAL EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES 27 estasituacin,examneselaexpresindiv(A),donde(x,y,z)esuncampoescalary A(x,y,z) es un campo vectorial. En coordenadas cartesianas se tiene div(A)= (A). Pero como nabla es un operador diferencial, la regla de derivacin de un producto de funciones exigequesederiveelprimerfactor,dejandoelotrofactorintactoydespussederiveel segundo factor, dejando el primero intacto. Finalmente se toma la suma de las expresiones obtenidas. De acuerdo con esto, se tiene ( ) ||

\| + ||

\| = A A A ,(0.5.10) donde el smbolo indica el factor sobre el cual acta el operador diferencial . De esta forma,setiene( ) A A = ||

\| y( ) A A = ||

\| yporlotantoseobtienela relacin div(A)=(grad)A+divA.Con base en este procedimiento, se pueden obtener las siguientes relaciones: div(A)=(grad)A+divA (0.5.11) grad()=(grad) +(grad)(0.5.12) rot(A)=(rotA)+(grad)A(0.5.13) div(AB)=B(rotA)- A(rotB) (0.5.14) rot(AB)=(B)A- (A)B +AdivB- BdivA (0.5.15) grad(AB)=(B)A+ (A)B +BrotA+ ArotB, (0.5.16) donde (x,y,z) y (x,y,z) son campos escalares, A(x,y,z) y B(x,y,z)son campos vectoriales. 0.6.DETERMINACIN DE UN CAMPO VECTORIAL CON BASE EN SUSCARACTERSTICAS DIFERENCIALES. EnladiscusinanteriorsehaestablecidoquetodocampovectorialA(r)sepuede describirmediantedoscaractersticasdiferencialessuyas:ladivergenciayelrotacional. Surgedeinmediatolasiguientepregunta:Determinanestascaractersticasdemanera nica el campo vectorial A?. Para dar respuesta a esta pregunta se divide el campo A en dos componentes A= A1+ A2,(0.6.1) donde se escogen los vectores A1 y A2de tal manera, que rotA1= 0, div A1=f(r)(0.6.2) ydivA2=0, rot A2= F(r).(0.6.3) CAPTULO0. ANLISIS VECTORIAL EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES 28 En las anteriores expresiones se han introducido las funciones f(r) =divA,F(r)=rotA; (0.6.4) se considera que stas son funciones conocidas, a partir de las cuales se quiere determinar el propio campo vectorial A. De la expresin rotA1= 0 se ve que el vector A1 es potencial, mientras que la relacin divA2=0 indica que el vector A2 es solenoidal.Nuestro problema se reduce entonces a encontrar estos campos con las propiedades ya mencionadas. SedeterminainicialmenteA1.Comoestevectorespotencial,sepuederepresentar comoelgradientedeuncampoescalar(r).PorlotantoA1=gradyalreemplazarenla ecuacin div A1=f(r) se encuentra que el potencial satisface la ecuacin de Poisson 2=f(r). (0.6.5) En el apartado 1.2 (frmula (1.2.8)) se demuestra que la solucin de esta ecuacin en una regin ilimitada del espacio es de la forma ( )( )rrr r= 14fdV(0.6.6) y por lo tanto ( )( )A rrr r114= gradfdV .(0.6.7) SedeterminaahoraelcampovectorialA2(r).Dadoelcarctersolenoidaldeeste campo,sepuederepresentarcomoelrotacionaldeotrocampovectoriala(r).Conellose satisfaceautomticamentelaecuacindivA2=div(rota)=0.Sireemplazamosesta representacindelcampoA2enlaecuacinrotA2=F(r)seobtienerotrota=F(r). Recordandoquerotrota=graddiva-2ayasumiendodiva=0(locualsejustificarms adelante), se obtiene 2a=-F(r), (0.6.8) esdecir,cadaunadelascomponentescartesianasdelpotencialvectorialasatisfaceuna ecuacin de Poisson de la forma 2ai =-Fi(r), (i=x,y,z) y por lo tanto las soluciones tienen la forma ( )( ) = dVFaiir rrr 41.(0.6.9) De esta manera, se tiene la siguiente expresin para el vector solenoidal A2: CAPTULO0. ANLISIS VECTORIAL EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES 29 ( )( ) = dVr rr Fr A rot412.(0.6.10) SehamostradoasqueelcampovectorialAsepuededeterminarcompletamente conbaseensuscaractersticasdiferencialesdivA=f(r)yrotA=F(r).Esteresultadose conocecomoelTeoremadeHelmholtz.Delasrelaciones(0.6.1),(0.6.7)y(0.6.10)se obtiene definitivamente la siguiente expresin para el campo vectorial A(r): ( )( )A rrr r= 14gradfdV +( ) dVr rr Frot41.(0.6.11) Dado que la divergencia y el rotacional de un campo vectorial A estn relacionados con el flujoylacirculacindedichocampo,sepuedeafirmartambinqueelcampoAse determina completamente conociendo su flujo y su circulacin. Enladiscusinanteriorsesupusoquediva=0;considreseconmsdetalleesta cuestin.LadefinicinA2=rotanodeterminaunarelacinbiunvocaentreelcampo solenoidal A2 y el potencial vectorial a: en efecto, si al vector a se le agrega el gradiente de uncampoescalararbitrario,esdecir,sisedefineunnuevopotencialvectorial a=a+gradsetendrentoncesrota=rot(a+grad)ycomorotgradesidnticamente igualacero,entoncesrota=rota,esdecir,lospotencialesvectorialesayadefinenel mismocampovectorialsolenoidalA2.Porlotanto,setendrdiva= diva-2.Comoel campoescalarescompletamentearbitrario,stesiempresepuedeelegirdetalmanera que 2=diva y por lo tanto, existe un potencial vectorial a tal que diva=0. 0.7. ASPECTOS COMPLEMENTARIOS SOBRE LAS COORDENADASCARTESIANAS. Aunquelascoordenadascartesianasslosonuncasoparticulardelossistemas ortogonales de coordenadas, constituyen una herramienta valiosa para el estudio de muchos problemasdelafsicaterica.Porestemotivo,enestaseccinseexaminarconmayor detalle algunos aspectos relacionados con dicho sistema de coordenadas, prestando especial atencinalosllamadossmbolosdeKrneckeryLeviCivita.Conbaseenestosnuevos objetos,semuestracmosepuedentratar,demaneraalternativa,lasoperacionesdel anlisis vectorial en coordenadas cartesianas. SmbolodeKrnecker.Considreseunvectoracuyascoordenadascartesianasson (ax,ay,az).Esevidentequelacoordenadaaxsepuedeexpresarcomounacombinacin linealdeax,ay,azas:ax=1ax+0ay+0az.Demaneraanloga,ay=0ax+1ay+0az.y az=0ax+0ay+1az, es decir, se obtiene el sistemaCAPTULO0. ANLISIS VECTORIAL EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES 30 ax= xxax+xyay+xzaz, ay=yxax+yyay+yzaz, az=zxax+zyay+zzaz, (0.7.1) dondesehandesignadoloscoeficientesdelarespectivatransformacinmedianteel smboloij(i,j=1,2,3).Elprimersubndiceindicalafiladelsistema(0.7.1),yelsegundo ndice enumera las columnas. El conjunto de estos coeficientes forma la matriz ||||

\|=||||

\|1 0 00 1 00 0 1zz zy zxyz yy yxxz xy xx (0.7.2) yrecibeelnombredesmboloodeltadeKrnecker.Loselementosdeestamatriztienen las siguientes propiedades:ij=1,sii=j(esdecir,loselementosdiagonalesdelsmbolodeKrneckerson diferentes de cero)ij=0,siij(esdecir,loselementosno-diagonalesdelsmbolodeKrneckerson igualesa cero) ij=ji(esdecir,loselementosdelsmbolodeKrneckerconstituyenunamatriz simtrica).Conlaayudadelsmboloijsepuederepresentardeunamaneramscompactala trasformacin(0.7.1).Enefecto,teniendoencuentaqueelprimerndicerepresentalas filas, en lugar de las tres ecuaciones (0.7.1) es posible escribir ai= ixax+iyay+izaz, (i= x,y,z). Ntese que con respecto al segundo ndice del smbolo de Krnecker se realiza sumatoria, es decir, la anterior expresin se puede hacer ms compacta de la siguiente forma: ==31 jj ij ia a , (i = x,y,z). (0.7.3) En lugar de llamar j al ndice con respecto al cual se efecta la sumatoria, se podra haber utilizadootraletra(diferente,evidentementedei)paradesignarelsegundondice.Por esta razn dicho ndice se denomina ndice mudo. Este ndice, a diferencia del ndice i, con respectoalcualnohaysumatoria,aparecerepetidoenlapartederechadelaexpresin (0.7.3). Por lo tanto se puede prescindir del signo de sumatoria en (0.7.3), entendiendo que sobrelosndicesqueserepitenhaysumatoria(conveniodeEinstein),esdecir,elsistema (0.7.1) queda expresado en forma compacta de la siguiente forma: j ij ia a = .(0.7.4) CAPTULO0. ANLISIS VECTORIAL EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES 31 SmbolodeLevi-Civita.Considrensedosvectoresaybcuyascoordenadas cartesianasson,respectivamente,(ax,ay,az)y(bx,by,bz).Paraelproductovectorialentre estos vectores se tiene z y xz y xz y xb b ba a ae e eb a = . De aqu se ve que (ab)x=aybz - azby, (ab)y=azbx - axbz, (ab)z=axby - aybx, (0.7.5) esdecir,cadacomponentecartesianadelproductovectorialdedosvectoressepuede representar como la combinacin lineal de productos de componentes de los vectores a y b as: (ab)x=0axbx+0axby+0axbz+0aybx+0ayby+(1)aybz+0azbx+(-1)azby+0azbz, (ab)y=0axbx+0axby+(-1)axbz+0aybx+0ayby+0aybz+(1)azbx+0azby+0azbz, (ab)z=0axbx+(1)axby+0axbz+(-1)aybx+0ayby+0aybz+0azbx+0azby+0azbz. (0.7.6) Este sistema se re-escribe de la siguiente manera (ab)x=xxxaxbx+xxyaxby+xxzaxbz+xyxaybx+xyyayby+xyzaybz+xzxazbx+xzyazby+xzzazbz, (ab)y=yxxaxbx+yxyaxby+yxzaxbz+yyxaybx+yyyayby+yyzaybz+yzxazbx+yzyazby+yzzazbz, (ab)z=zxxaxbx+zxyaxby+zxzaxbz+zyxaybx+zyyayby+zyzaybz+zzxazbx+zzyazby+zzzazbz, donde xyz=yzx=zxy=1, xzy=yxz=zyx=-1, (0.7.7) ijk=0 en los dems casos. Ntese lo siguiente: ijk es igual a cero si al menos dos de los ndices i, j k son iguales. ijkesiguala1silosndicesijkcorrespondenalaordenacinxyzoauna permutacin cclica de esta ordenacin (la cual es una permutacin par). ijkesiguala-1silosndicesijkcorrespondenaunapermutacinimpardela ordenacin xyz. El smbolo ijk definido de esta forma se denomina smbolo de Levi-Civita. Con la ayuda de ste, se puede escribir CAPTULO0. ANLISIS VECTORIAL EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES 32 (ab)i=ixxaxbx+ixyaxby+ixzaxbz+iyxaybx+iyyayby+iyzaybz+izxazbx+izyazby+izzazbz, o bien, (ab)i=ijxajbx+ijyajby+ijzajbz. Teniendo en cuenta que con respecto al tercer ndice hay sumatoria, se puede re-escribir la ltima relacin como (ab)i=ijlajbl. (0.7.8) Estaesunaformamuchomsgilparaescribirelproductovectorialencoordenadas cartesianas. ElsmbolodeLevi-Civitatienealgunaspropiedades,entrelascualesdestacanlas siguientes: iklmnl=imkn-inkm=kn kmin im .(0.7.9) iklmkl=imkk-ikkm=3im-im =2im.(0.7.10) Lapropiedad(0.7.9)sepuededemostrarfcilmenteconsiderandolaigualdad a(bc)=(ac)b-(ab)c.Lai-simacomponentedeestaexpresinsepuederepresentarde la siguiente forma: iklak(bc)l=akckbi-akbkci, obien,expresandolalsimacomponentedelproductovectorial(bc)como (bc)l=lmnbmcn, se obtiene ikllmnakbmcn=akckbi-akbkci. Lapartederechadeestaigualdadsepuedetransformardetalforma,queelproductode componentes akbmcn quede como factor comn. Se obtiene: ikllmnakbmcn=(imkn-inkm) akbmcn. De la igualdad de los coeficientes que acompaan a akbmcn se obtiene la relacin buscada. La propiedad (0.7.10) es consecuencia inmediata de (0.7.9), cuando se toma en esta ltima k=n. Tratamientoalternativodelasoperacionesdelanlisisvectorialengb coordenadas cartesianas.Gradiente.Encoordenadascartesianaselgradientedeuncampoescalartienelaforma (0.2.8) z y xz y xz y x e e e++= ) , , ( grad . CAPTULO0. ANLISIS VECTORIAL EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES 33 La i-sima componente de esta expresin se puede escribir en forma abreviada como ( )iix = grad . Divergencia. En el apartado 0.4 se indic que la expresin para la divergencia de un campo vectorialencoordenadascartesianassepuederepresentarcomoelproductoescalardel operador vectorial nabla y el campo vectorial A: div A=(A). En forma compacta se puede escribir esta expresin de la siguiente manera: iixA= A div . Rotacional.Enelapartado0.4seindicquelaexpresinparaelrotacionaldeuncampo vectorialencoordenadascartesianassepuederepresentarcomoelproductovectorialdel operadorvectorialnablayelcampovectorialA:rotA=(A).Porlotanto,lai-sima componente del rotacional en coordenadas cartesianas puede escribirse como ( )jkijk ixA= A rot . Operacionesdesegundoorden.Conlaayudadelasanterioresexpresionessepueden demostrardemaneracompactaalgunasdelasidentidadespresentadasenlaseccin0.5. Por ejemplo, la identidad div rotA=0 resulta evidente, ya que se tiene ( )j ikijkjkijki iix xAxAx x =|||

\|=2rotrot div AA . Pero, dado que j y k son ndices mudos, se puede escribir = i jkjikx xA2rot div Aj ikijkx xA 2 =-div rot A. As, div rotA=0. Otrosejemplosenloscualessepuedenaplicarlosconceptosaqudesarrolladosse proponen en calidad de ejercicios. CAPTULO0. ANLISIS VECTORIAL EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES 34 0.8. COORDENADAS CURVILNEAS Y GEOMETRA DIFERENCIAL. Las expresiones obtenidas en este captulo para las principales frmulas del anlisis vectorialencoordenadascurvilneasortogonalespuedenserre-formuladasenunlenguaje ms acorde con el formalismo de la geometra diferencial. Para mostrar sto, retmese la discusin de la seccin 0.1: se tiene un punto M en elespaciotridimensionalconcoordenadascartesianasx,y,z;estemismopuntosepuede determinarmediantelascoordenadascurvilneasortogonalesq1,q2yq3.Considreseun puntoMcercanoaM,concoordenadascartesianas(x+dx,x+dy,z+dz);lascoordenadas curvilneas de M son(q1+dq1, q2+dq2, q3+dq3). Examneseelcuadradodeladistanciadsentreestosdospuntos.Encoordenadas cartesianas se tiene ds2=dx2+ dy2+dz2. Recordandoque 332211dqqxdqqxdqqxdx++= ,etc,sepuedere-escribirlaanterior expresin de la siguiente forma 212121212dqqzqyqxds(((

|||

\|+|||

\|+|||

\|= +22222222dqqzqyqx(((

|||

\|+|||

\|+|||

\|+ +23232323dqqzqyqx(((

|||

\|+|||

\|+|||

\|+22 12 1 2 1 2 1dq dqqzqzqyqyqxqx((

+++ +23 13 1 3 1 3 1dq dqqzqzqyqyqxqx((

+++23 23 2 3 2 3 2dq dqqzqzqyqyqxqx((

++ .(0.8.1) . Estaesunaformacuadrticaconrespectoalosdiferencialesdq1,dq2,dq3.Para examinar la estructura general de los trminos de esta forma cuadrtica, desgnese mediante gikalcoeficientedelproductodelosdiferencialesdqidqk(i,k=1,2,3).Ntesequeeste coeficienteest dado por la expresin general ((

++=k i k i k iikqzqzqyqyqxqxg . (0.8.2) Elconjuntodeloscoeficientesgik(x,y,z)formaunamatrizsimtricadenominadatensor mtrico o simplemente mtrica. El primer ndice numera las filas, mientras que el segundo numera las columnas de dicha matriz.Con base en el concepto de mtrica, la forma cuadrtica que determina el cuadrado de la distancia entre dos puntos separados infinitesimalmente se puede escribir como CAPTULO0. ANLISIS VECTORIAL EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES 35 =k ik i ikdq dq g ds,2. (0.8.3) Teniendo en cuenta que en la anterior expresin los ndices i,k son mudos, se puede utilizar la convencin de Einstein referenciada en la seccin 0.7 y obviar el signo de sumatoria, es decir, la expresin (0.8.3) tiene la forma compacta ds2=gikdqidqk . (0.8.3a) Esnecesariorecalcarqueenladiscusinanteriorenningnmomentoseha utilizadolaortogonalidaddelsistemadecoordenadas(q1,q2,q3),porloquelaexpresin (0.8.3)esvlidaparacualquiersistemadecoordenadascurvilneas.Enlaseccin0.1 (frmula(0.1.6))semostrqueparaqueelsistemadecoordenadascurvilneas(q1,q2,q3) sea ortogonal es necesario que 0 =++k i k i k iqzqzqyqyqxqx,(i k). (0.8.4) Se ve entonces que en un sistema de coordenadas curvilneas ortogonales las componentes no-diagonalesdeltensormtricosonnulas.Porlotanto,enestecasoelcuadradodela distancia entre dos puntos tiene la forma 23 3322 2221 112dq g dq g dq g ds + + = .(0.8.5) Pero por otro lado, el radio-vector dr entre los puntos M y M es, de acuerdo con (0.1.7) dr=H1dq1e1+H2dq2e2+H3dq3e3. Teniendo en cuenta que el cuadrado ds2 de la distancia entre los puntos considerados es el producto escalar (dr dr), se obtiene 2323222221212dq H dq H dq H ds + + = . (0.8.5a) Alcompararestaexpresincon(0.8.5),seobtienelasiguienterelacinentrelas componentesdelamtricaylosparmetrosdeLam,vlidanicamenteencoordenadas curvilneas ortogonales: 1121g H = , 2222g H = , 3323g H = . (0.8.6) RecordandoqueelproductodelosparmetrosdeLameseljacobianoJdela transformacin de las coordenadas (x,y,z) a (q1,q2,q3), se obtiene entonces J2=(H1H2H3)2=g11g22g33. CAPTULO0. ANLISIS VECTORIAL EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES 36 Teniendo en cuenta que en el sistema de coordenadas curvilneas ortogonales la mtrica es diagonal, el producto g11g22g33 es el determinante de la mtrica, el cual se designa como g. As, J= H1H2H3=g1/2. (0.8.7) Conlaayudadeestasrelaciones,sepuedenre-escribirlasprincipalesoperaciones diferenciales del clculo vectorial en trminos de las componentes de la mtrica: Sean (P) y A(P) funciones de naturaleza escalar y vectorial, respectivamente. Teniendo en cuenta las frmulas(0.2.5),(0.3.4)(0.4.5a)paraelgradientedelcampoescalar,ladivergenciayel rotacional del campo vectorial, se obtiene |||

\|=3 33 2 22 1 111,1,1gradq g q g q g . (0.8.8) |||

\||||

\|+|||

\|+|||

\|=333 3222 2111 11div AggqAggqAggq gA , (0.8.9) 3 33 2 22 1 113 2 13 33 2 22 1 111rotA g A g A gq q qg g gg =e e eA .(0.8.10) Para el operador laplaciano se obtiene fcilmente |||

\||||

\|+|||

\|+|||

\|= 3 33 3 2 22 2 1 11 121q ggq q ggq q ggq g .(0.8.11) Es de recalcar que en esta notacin es ms evidente la simetra de las frmulas. Referencias captulo 0 Unapresentacinmssimplificadadelmaterialaquexpuestoseencuentraenlosprimeroscaptulosdelos textosCorson y Lorrain (1972)Griffiths (1999)Plonsey and Collin (1961) Reitz, Milford y Christy (1996) yLos principales resultados se resumen en los Apndices deHeald and Marion (1995) Jackson (1998) CAPTULO0. ANLISIS VECTORIAL EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES 37 Landau and Lifshitz (1984) Stratton (1941) Vase tambinBecker (1981), secciones 8-13 Una exposicin ms detallada se puede hallar enMorse and Feshbach (1953), captulo 1, Stratton (1941),secciones 1.14-1.18Enestaltimareferencia,adicionalmente,seincluyeladescripcindelosotros8sistemasde coordenadas en los cuales se permite la separacin de variables para la ecuacin de Laplace.El teorema de Helmholtz est demostrado en el 2 de la primera parte del texto Levich, Vdovin y Miamlin. (1974) Diversos problemas ilustrativos se pueden hallar enHayt (1991) Spiegel (1991) Problemas Captulo 0 1.Demuestre que el campo vectorial A(x,y)=-yex+xey en coordenadas polares toma la forma A()=e. 2.Demuestre que lossistemas de coordenadas cilndricas (,,z)y esfricas (r,,) en efecto sonsistemas curvilneosortogonales.Obtengalasexpresionesparaelgradiente,ladivergencia,elrotacionalyel laplaciano en estos sistemas de coordenadas. 3.Demuestrequelascoordenadas(q1,q2,q3)definidasmediantelatransformacinq1=(x2-y2)/2, q2=xy,q3=z (denominadascoordenadasparablicas)correspondenaunsistemadecoordenadascurvilneas ortogonales. Qu superficies son descritas por las ecuaciones q1=C1, q2=C2, q3=C3, donde C1, C2, C3 son constantes?.Aqucurvascorrespondenlaslneascoordenadas?.Escribalasexpresionesparael gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano en este sistema de coordenadas. 4.Demuestre que las coordenadas (q1,q2,q3) definidas mediante la transformacin q1=xy,q2=(x2+y2)/2,q3=z no corresponden a un sistema de coordenadas curvilneas ortogonales. 5.Enalgunosproblemasdemecnicacunticaresultaconvenienteintroducirelsistemadecoordenadas parablicas (, , ), relacionado con el sistema de coordenadas cartesianas mediante la transformacin =r+z, =r-z, =arctan(y/x), donde r=(x2+y2+z2)1/2. Qu rango de valores pueden tomar las coordenadas y?.Demuestrequelassuperficies=C1y=C1,dondeC1,C2sonconstantes,sonparabolicesde revolucin con eje en z y focos en origen de coordenadas. Demuestre que este sistema de coordenadas es ortogonal.Escribalasexpresionesparaelgradiente,ladivergencia,elrotacionalyellaplacianoeneste sistema de coordenadas. 6.Considere un vector constanteA. Demuestre que (a) grad(Ar)=A, (b) rot(Ar)=2A. 7.Usando coordenadas esfricas, determine gradr, grad(1/r), divr y rotr. Cunto vale el flujo de r a travs de una superficie esfrica de radio r ? 8.Considere el vector R=r-r, el cual se dirige desde el punto M(x,y,z) al punto M(x,y,z). (a) Si el punto M permanece fijo y el punto M es variable, demostrar que en estas condiciones grad(1/R)=eR/R2, donde eR es un vector unitario a lo largo de R y grad indica que el operador diferencial acta sobre las variables primadas.Demuestrequegrad(1/R)dalamximavariacinde1/R.(b)Enanalogaconelpunto anterior, demostrar que si M permanece fijo y el punto M es variable, entonces grad(1/R)=-eR/R2 9.UncampovectorialtienelaformaA=f(r)r.(a)Demostrarquef(r)esinversamenteproporcionalar3si divA=0. (b) Demostrar que rotA=0. 10.Considere el campo vectorial v=[v0/(2R)]e, donde v0 y R son constantes con dimensiones de velocidad y longitud, respectivamente. Determinar la divergencia y el rotacional de dicho campo. 11.Considere el campo vectorial v=xey. Determinar la divergencia y el rotacional de dicho campo. 12.Considere un campo escalar que satisface la ecuacin = 2t, donde es una constante. Esta ecuacin se conoce como ecuacin de Fourier y describe el proceso de conduccin de calor, siendo la cantidaddecalorquefluyeenunidaddetiempoatravsdeunmedioconconductividadtrmica.Expresar esta ecuacin en coordenadas cilndricas si es independiente de (a) ; (b) y z; (c) y t; (d) , z y t.CAPTULO0. ANLISIS VECTORIAL EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES 38 13.Expresar la ecuacin del problema anterior en coordenadas esfricas sabiendo que es independiente de (a) ; (b) y ; (c) r y t; (d) , y t.14.Calcule la divergencia de los campos vectoriales ilustrados en la Figura (0.3.1). Interprete los resultados en trminos del flujo total a travs de una superficie cerrada. 15.Calcule la divergencia de los siguientes campos vectoriales:(a)A1=x2ex+3xz2ey-2xz2ez, (b) A2=xyex+2yzey+3xzez, (c) A3=y2ex+(3xy+z2)ey+2yzez. 16.Verifique el teorema de Gauss usando:(a)la funcin A= y2ex+(3xy+z2)ey+2yzez y un cubo unitario situado en el origen;(b)la funcin A= xyex+2yzey+3xzez y un cubo de lado 2 situado en el origen;(c)la funcin A=r2coser+ r2cose-r2cossene y un octante de esfera de radio R;(d)la funcin A=r2sener+4r2cose-r2tane y un cono con vrtice en el origen, eje a lo largo de z y limitado por las superficies =/6, r=R. 17.Verifique el teorema de Stokes usando : (a) la funcin A=ayex+bxey y un contorno circular de radio R, centrado en el origen en el plano xy; (b) la funcin A=(2xz+3y2)ey+4yzez y un contorno cuadrado unitario, situado en el origen en el plano yz;(c) la funcin A=2xy2ex+2yz2ey+3x3zez y un contorno triangular como el de la Figura; (d) la funcin A=y2ez y un contorno triangular como el de la Figura. 18.El teorema de Gauss se puede escribir de manera simblica de la siguiente forma: ( ) = s Vd dV s a a. Demostrarqueparauncampoescalararbitrarioyuncampovectorialarbitrarioatienenlugarlas siguientes relaciones, anlogas al teorema de Gauss: ( ) = s Vd dV s , ( ) = s Vd dV s a a.19.Calculeellaplacianodelassiguientesfunciones:(a)1=x2+2xy+3z+4,(b)2=sen(x)sen(y)sen(z),(c) 3=exp(-2x)sen(3y)sen(4z), (d) A= x2ex+3xz2ey-2xz2ez. 20.Demuestre que xi/xj=ij. 21.Considere unvector constanteA . Usando los smbolos de KrneckeryLevi-Civita, demuestre que(a) grad(Ar)=A, (b) rot(Ar)=2A. 22.Usando los smbolos de Krnecker y Levi-Civita, determine gradr, grad(1/r), divr y rotr. 23.Usando los smbolos de Krnecker y Levi-Civita demuestre las relaciones (a) ( )c y xz y xz y xa c cb b ba a adet = c b a,(b) a(bc)=(ac)b-(ab)c, (c) (ab)2 =a2b2-(ab)2 24.Usando los smbolos de Krnecker y Levi-Civita, demostrar las relaciones (0.5.11)-(0.5.16). CAPTULO 1 CAMPOS ELECTROSTTICOS EN EL VACO Losconceptosdecargaelctricaycampoelctricosonfundamentalesparala descripcin de la interaccin entre partculas cargadas en reposo. En el presente captulo se discutenlasleyesfundamentalesquegobiernanlainteraccinelctricaentrecargas estacionariassituadasenelvaco,prestandoespecialintersalascaractersticas diferencialesdelcampoelctrico(divergenciayrotacional),lascualessedeterminarna partir de la leyexperimental que establece la interaccinentre distribuciones estacionarias decarga(leydeCoulomb).Seanalizaelcomportamientodelcampoelctricoagrandes distancias de un sistema de cargas estacionarias (expansin multipolar) y se demuestra que laexistenciadeuncampoelctricoenunaregindelespaciollevaalaaparicindeuna densidad de energa elctrica. 1.1. LA CARGA ELCTRICA. LEY DE COULOMB. La evidencia experimental muestra la existencia de un atributofundamentalde las partculaselementalesdenominadocarga.Sesabequeexistendosclasesdecargas: positivas y negativas1. Dos objetos que tienen exceso de uno de estos tipos de carga ejercen entreellos una fuerza repulsiva cuando seacercan entre s. Dos objetos que tienen exceso decargasopuestas,unocargadopositivamenteyelotronegativamente,seatraen mutuamente cuando estn cercanos. Sehaestablecidoexperimentalmentequelacargaelctricatienelassiguientes propiedades: Conservacin: En todo sistema cerrado la carga elctrica neta es constante. Por lo tanto, la suma algebraica de las cargas fundamentales es la misma en todo proceso fsico. Cuantizacin: La carga de todo sistema se puede representar como un nmero entero de ciertaunidaddecargafundamental.Experimentalmentesehadeterminadoquelamenor partculaestable que posee dicha carga fundamental negativa es el electrn. As mismo, la menor partcula estable con carga positiva fundamental es el protn2. Para ambas partculas, el valor absoluto de la carga (en el sistema de unidades SI) es 1,610-19 C, donde la unidad de carga C (denominada coulombio) se definir ms adelante. Nosepuededarunadefinicincuantitativadelconceptodecargahastaquese establezca la ley de interaccin entre partculas con dicha caracterstica. Para simplificar la 1Porrazoneshistricas,sedenominancargaspositivasalascargascuyosignocoincideconlascargasque surgenenelvidriofrotadoporseda.Asmismo,sedenominancargasnegativasalascargascuyosigno coincide con las cargas que aparecen en la ebonita, frotada por cuero. 2 El protn no es una partcula elemental, ya que est constituido por entidades ms elementales denominadas quarks,loscualestienenunacargaqueesfraccindelacargafundamental.Sinembargo,losquarksnose han observado en estado libre, por lo que la carga elemental positiva se asigna al protn. CAPTULO1. CAMPOS ELECTROSTTICOS EN EL VACO 2 discusin de la interaccin entre cargas, se considerarn inicialmente las propiedadesy las interaccionesquetienenlugarentrecargaselctricasinmvilesconrespectoaunsistema inercial comn de referencia.Supngasequesetienendoscuerposconcargasq1 yq2ycaracterizadosporlos radios vectores r1 y r2, tal como se ilustra en laFigura (1.1.1). Si las dimensiones lineales de los cuerpos son mucho menores que las dems distancias caractersticas involucradas en elproblema,sepuedeconsiderarquelascargassonpuntuales.Experimentalmenteseha establecidoqueentrecargaspuntualesenreposorespectoaunsistemainercialde referencia acta una fuerza de interaccin central, proporcional al producto de las cargas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia relativa entre ellas3, es decir, Figura (1.1.1) 12122122 101241r rq q rF= , (1.1.1) donde r12=r1-r2 es el radio vector dirigido desde la partcula 2 hacia la partcula 1, tal como semuestraenlaFigura(1.1.1).NtesequelaeleccindelorigendecoordenadasOno afecta la relacin (1.1.1) ya que el radio vector r12 no depende de la posicin del punto O.La expresin (1.1.1) constituye el enunciado matemtico de la ley de Coulomb. El valor de la constante de proporcionalidad en esta frmulaes igual a 2290Cm N10 941 =.(1.1.2) La cantidad 0se denomina permitividad dielctrica del espacio vaco. 3Desdeelpuntodevistadelateoracunticadecampos,enlainteraccincoulombianaseintercambian fotones.Un anlisis elemental basado en la relacin de indeterminacin para la energamuestra que el largo alcancedelainteraccincoulombianareflejadoenladependencia1/r2enlamagnituddelafuerzade interaccin est ntimamente ligado aque la masa de los fotones es nula (Greiner, 1998). CAPTULO1. CAMPOS ELECTROSTTICOS EN EL VACO 3 Si se tienen ms de dos cargas, la fuerza que acta sobre la carga i-sima es igual a la suma vectorial de las fuerzas que ejercen las dems cargas sobre ella, es decir, =Ni j ijijijji ir rqqrF2041, rij= ri- rj. (1.1.3) En la anterior frmula est implcita una hiptesis no trivial: la fuerza que ejerce la j-sima partculasobrelai-simaesindependientedelapresenciadelasotrascargasqueestn presentesenelsistema.Estaaseveracinconstituyelaesenciadelllamadoprincipiode superposicin, el cual juega un papel fundamental en la electrodinmica. Elanterioranlisissepuedeextenderfcilmentealcasocuandoladistribucinde cargassepuedeconsiderarcontinua.Laposibilidaddeprescindirdelcarcterdiscreto(o discontinuo)delacargadeunsistemaesfactiblecuandoseconsideraunnmeroenorme de cargas elementales. En este caso, se pueden definir tres tipos de distribucin continua de cargas: Distribucinvolumtrica:Silascargasse distribuyenenunvolumenVdeterminadodel espacio(Figura(1.1.2)),dichadistribucinsepuede caracterizarintroduciendoladensidadvolumtrica de carga (x,y,z) , la cual se define como la razn entrelacargadqcontenidaenunvolumen infinitesimal dV y dicho volumen, es decir, dVdq= .(1.1.4) SeentiendequeelvolumendVdebeserlo suficientementepequeocomoparaconsiderarque la densidad dentro de sus lmites es homognea, pero losuficientementegrandecomoparapermitir despreciarelcarcterdiscretoqueintroducela estructuraatmica.Lafuncin(x,y,z)esun campoescalarconlaayudadelcualsepuedehallar lacargatotalcontenidaenelsistemamediantela relacin Figura (1.1.2) ( )=VdV z y x q , , . CAPTULO1. CAMPOS ELECTROSTTICOS EN EL VACO 4 Distribucinsuperficial:Encompletaanalogacon lasconsideracionesanteriores,silascargasse distribuyensobreunadeterminadasuperficieS (Figura(1.1.3)),dichadistribucinsepuede caracterizarintroduciendoladensidadsuperficialde carga (x,y), la cual se define como la razn

dSdq= , (1.1.5) dondedqeslacargacontenidaenlasuperficie fsicamente infinitesimal dS. La carga total contenida en el sistema asociada a esta distribucin es( )=SdS y x q , Figura (1.1.3) Distribucin lineal: Si las cargas se distribuyen a lo largodeunalneaL(Figura(1.1.4)),larespectiva distribucin se caracteriza introduciendo la densidad lineal de carga, la cual se define como dldq= ,(1.1.6) dondedqeslacargacontenidaenelelementode longitudfsicamenteinfinitesimaldl.Lacargatotal contenidaenelsistemaasociadaaestadistribucin es ( )=Ldl l q . Figura (1.1.4) LaexpresindelaLeydeCoulombenelcasodedistribucincontinuadecargasesmuy sencilladeestablecer.Sedivideelsistemaenelementosinfinitesimalesdecargadq;en virtud del principio de superposicin, la fuerza que dicho sistema ejerce sobre una carga q es =''2' 0'4qqqqqqqr rdq qrF, donde rqq es el radio vector dirigido desde la partcula con carga dq hacia la partcula con carga q. Si en el sistema hay cargas distribuidas volumtricamente entonces dq=dV y por lo tanto se tiene: CAPTULO1. CAMPOS ELECTROSTTICOS EN EL VACO 5 ( )=VqdVq' ) ' (''430rr rr rF .(1.1.7a) Asmismo,sienelsistemalascargasestndistribuidassuperficialmente,entonces dq=ds y por lo tanto la fuerza que ejerce esta distribucin de cargas sobre la carga q es ( )=Sqdsq' ) ' (''430rr rr rF .(1.1.7b) Finalmente, si la distribucin de cargas es lineal con densidad , entonces ( )=lqdlq' ) ' (''430rr rr rF .(1.1.7c) Estasexpresionesgeneralizanparaunadistribucincontinuadecargaslos resultados experimentales establecidos por Coulomb para la interaccin electrosttica entre cargas puntuales. 1.2.CONCEPTO DE FUNCIN DE DIRAC. Enelpuntoanteriorseindiclaformageneraldecalcularlainteraccinentre distribucionescontinuasdecargasyparaelloseintrodujoelconceptodedensidadde carga.Unapreguntaquesepuedeplantearescmodefinirladensidad(yasealineal, superficialovolumtrica)deunacargapuntual.Ladificultadqueplanteaestapregunta radica en el hecho que una carga puntual (por definicin) ocupa una regin del espacio de medidacero,yporlotantonosepuedeutilizarningunadelasdefiniciones(1.1.4-1.1.6). Sinembargo,sepuedellegaralasolucindelproblemaplanteadoexaminandouna distribucin continua en una cierta regin y despus hacer tender la medida de dicha regin a cero. Considreseunacargade1Cdistribuidauniformementealolargodeunintervalo de longitud 2. La densidad lineal de esta carga es entonces =1/(2). Se propone examinar elcomportamientodeestamagnitudcuandolalongituddelintervalotiendeacero(esto correspondealpasoallmiteparaunacargapuntual).DelaFigura(1.2.1)sevequea medida que disminuye la longitud del intervalo, la densidad lineal de carga se va haciendo cada vez ms grande, pero de tal manera que el rea bajo la curva (x,) (que corresponde a lacargatotaldelsistema)permanececonstante.Porlotanto,enellmite0,la respectiva densidadlineal de carga (x) cumple las siguientes propiedades: = =0 si ,0 si , 0) (xxx .(1.2.1) CAPTULO1. CAMPOS ELECTROSTTICOS EN EL VACO 6 Figura (1.2.1) Pero como la carga total es invariante, debe cumplirse la relacin 1 ) ( =dx x .(1.2.2) Toda funcin que satisfaga relaciones del tipo (1.2.1-1.2.2) se denomina funcin - de Dirac. En una dimensin, la definicin formal es entonces: = =0 si ,0 si , 0) (xxx , pero tal que 1 ) ( =dx x .(1.2.3) Los lmites de integracin en la expresin1 ) ( =dx x son arbitrarios, siempre y cuando el punto x=0 est dentro de dicho intervalo de integracin. Con base en la anterior definicin, se puede entonces escribir para la densidad lineal de una carga puntual q que se encuentra en el origen de coordenadas la siguiente relacin: ) ( ) ( x q x = . La generalizacin de esta expresin al caso cuando la carga se encuentra en una posicin x0 diferente del origen de coordenadas, es obvia: ) ( ) (0x x q x = . Otras representaciones de la funcin de Dirac. Cabe anotar que al concepto de funcin de Dirac se puede llegar examinando otro tipo de densidades lineales, diferentes a (1.2.1).EnlasFiguras(1.2.2-1.2.5)seindicanalgunasfuncionesqueseaproximanala funcin de Dirac cuando el parmetro tiende a cero. CAPTULO1. CAMPOS ELECTROSTTICOS EN EL VACO 7 Figura (1.2.2) Figura (1.2.3) Figura (1.2.4) Figura (1.2.5) Otros ejemplos de representaciones de la funcin de Dirac son los siguientes: ||

\|= xxx sin1lim1) (0,20exp 1exp1lim ) (((

||

\|+||

\| =xxx . Esfcilcomprobarquecualquieradeestasrepresentacionesposeelaspropiedades especificadas en (1.2.3).CAPTULO1. CAMPOS ELECTROSTTICOS EN EL VACO 8 Ejemplo (1.2.1). Verifquese que ( ) xxx =)`((

220sin1lim (Figura (1.2.5)).Six=0,(x,)=1/()ydivergecuando0;porlotanto,elcomportamientodelafuncin considerada en x=0 essemejante al de (0).Asmismo,six0, la funcin (x,) oscilafuertemente alrededordeceroconamplituddecrecienteycuando0,seobtiene(x,0)=0,queesel comportamiento de (x) cuando x0. Finalmente, hay que verificar que 1 ) , ( lim0=+ dx x ; se tiene: ( ) = ||

\|((

||

\|=((

dy yyxdxxdxxx22220220sin1 1sin lim1sin1lim . Laltimaintegralsepuedeconsultarenunatabladeintegralesosepuededeterminarmediante programascomoMATHEMATICA:elrespectivovalordedichaintegralesiguala.Porlotanto, queda verificado que 1 ) , ( lim0=+ dx x , lo que corresponde a la ltima propiedad de la funcin de Dirac. Un procedimiento similar al expuesto en el anterior ejemplo se puede aplicar para verificar que las dems funciones (x,) aqu introducidas efectivamente son representaciones de la funcin de Dirac. Otraspropiedadesdelafuncin deDirac.Seexaminanahoraalgunas propiedades de la funcin de Dirac, las cuales se pueden demostrar fcilmente a partir de la definicin (1.2.3): ) ( ) ( x x = , (1.2.3a) ) (1) ( xaax =(1.2.3b) [ ][ ]= 2 12 1, si 0, si ) () ( ) (21x x ax x a a fdx a x x fxx ,(1.2.3c) ( ) ( ) ( ) { } a x a xaa x + + = 212 2,(1.2.3d) ( ) ( ) xdxdxdxd = ,(1.2.3e) ( ) ( ) x xdxdx = .(1.2.3f) donde a es una constante arbitraria y f(x) es una funcin arbitraria definida en el punto x=a. La primera de estas relaciones es obvia, y refleja simplemente el hechoque la funcin es par.CAPTULO1. CAMPOS ELECTROSTTICOS EN EL VACO 9 Parademostrarlasegundarelacin,seescribe:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1x d xaax d axadx ax = = , donde se ha hecho x=ax. En la ltima integral se puede quitar la prima sobre la variable x. Se obtiene por lo tanto( ) ( )dx xadx ax = 1, de donde se deduce de inmediato (1.2.3b).Lapropiedad (1.2.3c) se demuestra fcilmente si se tiene en cuenta que la funcin (x-a)esdiferentedecerosloenx=a,yenelentornodeestepuntof(x)essuavey aproximadamenteigualaf(a),porloquesetienedx a x x f ) ( ) ( = dx a x a f ) ( ) ( =f(a). Es necesario enfatizar que los lmites de integracin en la expresin (1.2.3b)sonarbitrarios,siempreycuandoelpuntox=aestdentrodedichointervalode integracin. De lo contrario, la integralrespectiva se anula. Para demostrar la relacin (1.2.3d) se considera la integraldx a x x f ) ( ) (2 2y se haceenellaelcambiodevariabley=x2-a2.Setieneentonces dx a x x f ) ( ) (2 2 = ( ) ( )dy ydydxx f .Teniendoencuentaquedx/dy=1/(2x),yque 2a y x + = , se obtiene dx a x x f ) ( ) (2 2 = ( )( )( )dy y a y fa ydy y a y fa y (((

+ + +(((

++ ) (21) (212222. Usandoahoralapropiedad(1.2.3c)enlasintegralesdelaizquierdaenlaexpresin anterior,seobtienedx a x x f ) ( ) (2 2 = [ ] ) ( ) (21a f a fa .Seag(x0)=f(x0),donde x0=a. De acuerdo con (1.2.3c) g(x0)=g(x)(x-x0)dx, es decir, dx a x x f ) ( ) (2 2 = ( ) ( ) + + dx a x x fadx a x x fa ) (21) (21. Dado que la funcin f(x) es arbitraria, de aqu se obtiene de inmediato la relacin (1.2.3d). Lasfrmulas(1.2.3e-f)involucranladerivadadelafuncin(x)conrespectoasu argumento.Laprimeradeestasfrmulasesconsecuenciadirectadelaparidaddela funcin . Para entender la forma como acta la derivada de , considrese la integral [ ]dx xdxdx f) ( ) ( y efectese en ella una integracin por partes. Se obtiene [ ]dx xdxdx f) ( ) ( =[ ]0) ( ) (= xx x f - dx xdxx df) () ( ((

=-0) (=((

xdxx df. CAPTULO1. CAMPOS ELECTROSTTICOS EN EL VACO 10 Tomando en particular f(x)=x, se ve que [ ]dx xdxdx) ( =1 dx x) ( , de donde se obtiene de inmediato (1.2.3f). Elprocedimientoseguidoparademostrarlarelacin(1.2.3d)sepuedeaplicarpara demostrar la siguiente frmula: ( ) ( )( )( )=i iia ga xx g ,(1.2.3g) donde g(x)es una funcin univaluada dex;a1, a2,... , an son los ceros de la funcin g(x). Ntesequelasrelaciones(1.2.3b)y(1.2.3d)soncasosparticularesde(1.2.3g), correspondiente a las elecciones particulares g(x)=ax y g(x)=x2-a2. Ejemplo (1.2.2). Los siguientes ejemplos ilustran las propiedades enunciadas: (i)(x/5)=5(x)- (propiedades(1.2.3a,b)) (ii) (x2-25)=[(x-5)+(x+5)]/10 - (propiedad(1.2.3d)) (iii) ( ) 0 1202= +dx x x. La integral es nulaya que el punto x=-1 no pertenece al intervalo [0,2]. (iv) ( ) 1 112202= = =xx dx x x. La integral es diferente de cero, ya que el punto x=1 s pertenece al intervalo [0,2]. Extensinalcasotridimensional.Alconceptodefuncin deDiracselleg considerandounadistribucinunidimensionaldecarga.Paraladensidadvolumtricade unacargaqsepuedeescribir,encompletaanalogaconlasituacinlineal,lasiguiente expresin (r)=q(r-r0), donde se entiende que (r-r0) es el producto de funciones (r-r0) (x-x0)(y-y0)(z-z0). Las propiedades (1.2.3a-f) se extienden fcilmente al caso tridimensional considerado. Por ejemplo, la propiedad (1.2.3c) toma la forma) ( ) ( ) ( a a r r f dV fV= , donde el punto con coordenadas (ax, az, az) est dentro del volumen de integracin V. CAPTULO1. CAMPOS ELECTROSTTICOS EN EL VACO 11 Ejemplo(1.2.3).Unsistemaconsisteendoscargaspuntualesde cargasqy+qseparadasentresunadistancial,talcomoloindica la Figura-ej(1.2.1). La densidad volumtrica de carga en el punto M con coordenadas (x,y,z) es(x,y,z)=q (x) (y) (z-l/2)-q (x) (y) (z+l/2), dondeelprimertrminodeladerechacorrespondealadensidad volumtricadelacargapuntualpositiva,yelsegundo-ala respectivadensidadvolumtricadelacarganegativa.Laexpresin obtenida se puede re-escribir como(x,y,z)=q (x) (y)[ (z-l/2)- (z+l/2)]. Figura-ej(1.2.1) Ejemplo(1.2.4).Alevaluar ( )VdV r a r 2,dondeVseextiendeatodoelespacioyaesunvector constante, se tiene: ( ) ( ) ( ) ( )2 2a dV dV rV V = a a a r r r a r . Divergenciadelcampovectorialr/r3.Enlasdiscusionessucesivasyenmuchos problemasdelafsicaesprecisoconocerladivergenciadelcampovectorial A=r/r3(1/r2)er. Si se usa la expresin para la divergencia en coordenadas esfricasy si se tieneencuentaqueestecampovectorialesnetamenteradial,setendradiv(r/r3)= 01 1222=((

||

\|rrdrdr;sinembargoesteresultadonoescorrecto,yaqueestecampoes singular en el origen de coordenadas. Ntese que este campo vectorial surge en los problemas analizados en el pargrafo anterior,yaquedeacuerdocon(1.1.1)lafuerzadeinteraccinentredoscargasq1yq2 situadas a una distancia r es302 14 rq q rF= .Considreseelflujodeestecampovectorialatravsdeunasuperficiecerrada arbitraria S. Se tiene 4 sin0203= = d d drSr. Por otro lado al aplicar el teorema de Gauss a la parte izquierda de la anterior relacinse obtiene = '3 3' divVdVrdrrSr. Por lo tanto, si se igualan estos dos resultados se llega a la siguiente relacin: 4 ' div'3=dVrVr. CAPTULO1. CAMPOS ELECTROSTTICOS EN EL VACO 12 SisetieneencuentaquelaintegralsobreelvolumenVdelafuncindeltadeDiraces igual a 1, se puede re-escribir esta ltima expresin de la siguiente forma: ( ) ' 4 ' div' '3dV dVrV V = rr . Igualando las expresiones sub-integrales, se obtiene ) ( 4 div3rr = ||

\|r.(1.2.4) Esteresultadosepuededesarrollarunpocoms,sise tieneencuentaquegrad(1/r)=-r/r3. Por lo tanto, tiene lugar la siguiente relacin para el laplaciano del inverso de r: = ||

\|r124(r).(1.2.5) Estosresultadossernutilizadosmsadelantecuandoseanalicenlascaractersticas diferenciales de los campos elctrico y magntico. Ejemplo(1.2.5).Evaluar( ) r f2 ,donde ( ) ||

\| =rrr f exp1yesunaconstante.Elclculo mediante la expresin del laplaciano en coordenadas esfricas dara =((

|||

\|||

\| ||

\| =((

|||

\|||

\| r r rdrdrrr drdrdrdrexp exp1exp1 1222||

\| rrexp12. Si el parmetro se hace tender a infinito, la parte derecha de la ltima igualdad tendera a cero. No obstante, ( ) rrrr41exp1lim2 2 = ||

\| =)`|||

\|||

\| ,loquemuestraqueenelclculorealizadode ( ) r f2 sehaperdidountrminoproporcionalalafuncindeltadeDirac.Estoimplicaquedela funcin f(r) es preciso aislar la parte singular 1/r; para ello, se escribe ( )rrrr f11 exp1+((

||

\| = y por lo tanto ( ) ( ) rrr rrr drdrdrdrr f 4 exp1 11 exp1 122 222 ||

\| = +)`|||

\|((

||

\| = . Solucin particular de la ecuacin de Poisson mediante el uso de la funcin de Dirac.Enel0.6,aldiscutirladeterminacindeuncampovectorialconbaseensus caractersticasdiferenciales,semostrqueenlasolucindeesteproblemaespreciso resolver la ecuacin de Poisson (0.6.5) 2=f(r).( 1.2.6) CAPTULO1. CAMPOS ELECTROSTTICOS EN EL VACO 13 Sepuedeencontrarunasolucinparticulardeestaecuacinmediantelosconceptosaqu desarrollados. En primer lugar, de las propiedades de la funcin de Dirac se deduce que la funcinf(r)sepuederepresentarenlaformaf(r)=f(r)(r-r)dV,dondelaintegralse extiendeatodoelvolumendelaregindondeestdefinidalafuncinf.Porlotanto,la ecuacin de Poisson se puede escribir como 2= f(r)(r-r)dV.( 1.2.7) De acuerdo con los resultados obtenidos anteriormente (frmula (1.2.5)), ( ) r rr r = |\

||1412, donde el operador diferencial acta sobre las variables no primadas. Por esta razn, se tiene ( ) ( )(((

|||

\| = VdV fr rr r1412 2 , Dadoquef(r)secomportacomoconstanterespectoalaactuacindeloperadorde Laplace, se puede escribir la anterior expresin de la siguiente forma: ( ) ( ) 01412=(((

|||

\| + VdV fr rr r . As,conexactituddeunaconstanteaditiva,lasolucindelaecuacindePoissontiene entonces la forma ( )( ) = dVfr rrr41, (1.2.8) lacualsereporten(0.6.6)alestudiarladeterminacindeuncampovectorialmediante sus caractersticas diferenciales (divergencia y rotacional). CAPTULO1. CAMPOS ELECTROSTTICOS EN EL VACO 14 1.3. CAMPO ELCTRICO Y SUS CARACTERSTICAS DIFERENCIALES. Lainteraccinentrepartculascargadasinmvilesserealizamedianteelllamado campo electrosttico, el cual es un caso particular de una entidad fsica ms fundamental, el campoelectromagntico,quecaracterizalainteraccinentrepartculascargadasquese mueven arbitrariamente. El campo elctrico E(r) creado en un punto arbitrario r por un sistema estacionario decargas(alcualsedenominacampoelctricoestacionarioocampoelectrosttico)se definecomoellmitedelaraznentrelafuerzaFqqueactasobreunacargaq(llamada carga de prueba) y la magnitud de dicha carga, cuando sta tiendea cero: qqq) (lim ) (0r Fr E= .(1.3.1) Elpasoallmitegarantizaquelaintroduccindelacargadepruebanoalterala distribucin de las cargas que generan el campo. En el caso de una distribucin volumtrica de cargas en un volumen V, de la definicin (1.3.1) y de la expresin (1.1.7a) se ve que el campo elctrico tiene la forma ( )( )=VdV' ) ' (''4130rr rr rr E . (1.3.2a) EnlaFigura(1.3.1)seespecificaelsentidodecadaunodelostrminosqueaparecenen esta expresin: el elemento de carga dq=dV, situado a una distancia' r r = Rdel punto M , genera en dicho punto un campo dE de magnitud 2041RdqdE=y orientado a lo largo del vector unitario R/R. Figura (1.3.1) CAPTULO1. CAMPOS ELECTROSTTICOS EN EL VACO 15 Si la distribucin de cargas es superficial en una superficie S, de (1.3.1) y (1.1.7b) se puede escribir: ( )( )=SdS' ) ' (''4130rr rr rr E . (1.3.2b) La expresin para una distribucin lineal se escribe de manera inmediata: ( )( )=Ldl' ) ' (''4130rr rr rr E . (1.3.2c) Ejemplo(1.3.1).Unacargaqestdistribuida uniformementealolargodeunsegmentode longitud 2L. Hallar el campo elctrico en un punto arbitrario M. Solucin. La densidad linealde carga es =q/(2L).Dadalasimetradelsistema,sepuedeelegirel sistemadecoordenadasconelejezalolargodel segmentocargadoyorigenensupuntomedio,tal comolomuestralaFigura(1.3.1ej).Setomaun elemento de longitud dl=dz y radio vector r=zez. SetratadedeterminarelcampodEgeneradopor esteelemntoenelpuntoMdefinidoporelradio vector r=xex+yey+zez. Figura (1.3.1ej). As,r-r=xex+yey+(z-z)ez, ( ) ( )2 2 2 2 2 ' z z z z y x + + + = r rdonde2=x2+y2.Porlo tanto ( )( )( )( ) [ ]( )( ) [ ]2 412 41' ) ' (''412 / 32 202 / 32 2030dzz zz zLqdzz zz z y xLqdl dz z y x(((

+ +(((

+ + +==e e e e err rr rr E El campo total se obtiene integrando con respecto a z entre L y +L. Se obtiene: ( ) ( ) ( ) [ ]zz I z ILqe e r E , ,2 412 10 + =, donde4

( )( ) [ ]( )( )= += +=LLLL z zz zz zdzz I2 222 /2 /2 / 32 21 1,( )( )( )( ) (((

+ ++ +2 2 2 221L zL zL zL z ( )( )( ) [ ] ( )= + = +=LLLL z z z zdz z zz I2 22 /2 /2 / 32 221 , ( ) ( )2 2 2 21 1L z L z ++ + 4Lasintegralessecalculanapartirdelasfrmulasdw/(w2+a2)3/2=(1/a2)[w/(w2+a2)1/2]ywdw/(w2+a2)3/2= -1/(w2+a2)1/2 con w=(z-z) y a=. CAPTULO1. CAMPOS ELECTROSTTICOS EN EL VACO 16 Si el punto M se sita en el plano xy, entonces z=0, I2(x,y,z)=0, ( )( )2 2 2 2 212, ,L y x y xLz y x I+ + += y por lo tanto ( )(((

+=2 204Lq er E. SielpuntoMestsuficientementealejado delsistema(x,y>>L)setiene ( )((

=204 er Eq,loque corresponde al campo de una carga puntual q concentrada en el origen de coordenadas. Habiendo definido el campo elctrico mediante la relacin general (1.2.3a), se trata ahoradedeterminarlascaractersticasdiferencialesdeestecampo,esdecirsepropone investigar el comportamiento de su rotacional y su divergencia. Rotacionalycirculacindelcampoelectrosttico.Sedemostrarinicialmente queelrotacionaldelcampoelctricoasociadoaunadistribucinestacionariadecargas es igual a cero. Para simplificar, considrese una distribucin volumtrica de cargas. Si se tieneencuentaqueeloperadordiferencialactaslosobrelascoordenadasdelvectorr, entonces )`(((

|||

\|=' ) ' (''rot41) ( rot30dVVrr rr rr E . Elrotacionaldentrodelsignode