Teoría electromagnetica y luz

15
Resumen capítulo 3: Electromagnetic Theory, Photons and Light. El trabajo de J. Clerk Maxwell hizo evidente que la luz tenía naturaleza electromagnética. La teoría clásica de la electrodinámica nos lleva a la imagen de una continua transferencia de energía por medio de ondas, mientras que la teoría moderna de electrodinámica cuántica describe las interacciones electromagnéticas y el intercambio de energía en términos de partículas sin masa elementale s conocidos como “fotones”. El modelo de la mecánica cuántica asocia una ecuación de onda con una partícula. En el caso de partículas materiales los aspectos de onda son introducidos por medio de la ecuación de Schrödinger. Para la luz tenemos la representación de onda por medio de las ecuaciones electromagnéticas de Maxwell. La dualidad onda-partícula de la luz se hace evidente por el hecho de que se propaga en forma de onda a través del espacio y aun así tiene comportamiento de partículas en los procesos de emisión y absorción. LEYES BÁSICAS DE LA TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA. Observaremos que campos eléctricos son generados por cargas eléctricas y además por medio de campos magnéticos variantes en el tiempo. De manera similar los campos magnéticos son generados por corrientes y por campos eléctricos variantes en el t iempo. Ley de Inducción de Faraday. Faraday realizó un experimento en el que construyó dos bobinas en un anillo de hierro. Una conocida como la bobina primaria fue conectada a una batería con un interruptor, y la segunda, conocida como bobina secundaria, se conectó a un galvanómetro. Faraday observó que un campo magnético variante generaba una corriente. Activando el interruptor Faraday demostró que existía un voltaje (conocido de otra manera como fuerza electromotriz inducida o emf ) en las terminales de la otra bobina. El emf  inducido dependía de la tasa de cambio del campo magnético B. Cuando un campo B variante pasa a través de dos aros de alambre diferentes, la emf es mayor en las terminales del aro más grande. De ahí podemos deducir que en presencia de un campo B variante en el tiempo la emf  inducida es proporcional al área A del aro penetrada de manera perpendicular por el campo B. Si el aro es inclinado, el área perpendicular del aro que atraviesa el campo se reduciría, reduciéndose también el emf  inducido. Ahora, en el caso de B constante, el emf  es proporcional a la tasa de cambio del área perpendicular penetrada.

description

Teoría electromagnetíca, Ecuaciones de Maxwell. Vector de poynting.

Transcript of Teoría electromagnetica y luz

Resumen captulo 3: Electromagnetic Theory, Photons and Light.

El trabajo de J. Clerk Maxwell hizo evidente que la luz tena naturaleza electromagntica. La teora clsica de la electrodinmica nos lleva a la imagen de una continua transferencia de energa por medio de ondas, mientras que la teora moderna de electrodinmica cuntica describe las interacciones electromagnticas y el intercambio de energa en trminos de partculas sin masa elementales conocidos como fotones.El modelo de la mecnica cuntica asocia una ecuacin de onda con una partcula. En el caso de partculas materiales los aspectos de onda son introducidos por medio de la ecuacin de Schrdinger. Para la luz tenemos la representacin de onda por medio de las ecuaciones electromagnticas de Maxwell. La dualidad onda-partcula de la luz se hace evidente por el hecho de que se propaga en forma de onda a travs del espacio y aun as tiene comportamiento de partculas en los procesos de emisin y absorcin.

Leyes Bsicas de la Teora Electromagntica.Observaremos que campos elctricos son generados por cargas elctricas y adems por medio de campos magnticos variantes en el tiempo. De manera similar los campos magnticos son generados por corrientes y por campos elctricos variantes en el tiempo.

Ley de Induccin de Faraday.Faraday realiz un experimento en el que construy dos bobinas en un anillo de hierro. Una conocida como la bobina primaria fue conectada a una batera con un interruptor, y la segunda, conocida como bobina secundaria, se conect a un galvanmetro.Faraday observ que un campo magntico variante generaba una corriente. Activando el interruptor Faraday demostr que exista un voltaje (conocido de otra manera como fuerza electromotriz inducida o emf) en las terminales de la otra bobina. El emf inducido dependa de la tasa de cambio del campo magntico B.Cuando un campo B variante pasa a travs de dos aros de alambre diferentes, la emf es mayor en las terminales del aro ms grande. De ah podemos deducir que en presencia de un campo B variante en el tiempo la emf inducida es proporcional al rea A del aro penetrada de manera perpendicular por el campo B. Si el aro es inclinado, el rea perpendicular del aro que atraviesa el campo se reducira, reducindose tambin el emf inducido.Ahora, en el caso de B constante, el emf es proporcional a la tasa de cambio del rea perpendicular penetrada.

De manera ms general podemos representar que el flujo magntico que atraviesa un rea est determinado por:

La emf inducida en una espira de alambre est dada por:

De manera general podemos representar la emf que existe entre las dos terminales de un conductor como:

Igualando las ecuaciones anteriores llagamos a

Que puede ser reescrita como:

Ley de Gauss Elctrica.Esta ley de Gauss es sobre el flujo de campo elctrico y sobre la fuente de ste, la carga. La idea se deriva de la mecnica de fluidos, donde el flujo volumtrico de un fluido es igual al volumen del fluido atravesando un punto del tubo por unidad de tiempo. Para aplicar esta idea al campo elctrico imaginemos un rea cerrada colocada en algn campo elctrico, como se muestra en la siguiente figura

Tendramos que el flujo elctrico es

La doble integral encerrada se refiere a la integral sobre un rea cerrada. El vector es una direccin normal a la superficie. Cuando no hay fuentes ni sumideros para el campo elctrico encerrada en la superficie, tenemos que el flujo neto es igual a cero. Para poder encontrar lo que ocurre en la presencia de fuentes y sumideros dentro de la regin dentro de la superficie, consideramos el caso del campo elctrico encerrado por una carga puntual de radio r. Dado que todas las distribuciones de carga, incluso a nivel macroscpico, estn formadas por cargas puntuales, esta consideracin es vlida. Tendramos que dicha carga puntual tendra un flujo elctrico

representa el campo el campo normal a la superficie de la carga puntual. La carga puntual tiene una forma esfrica, por lo que todo el campo que atraviesa la superficie de dicha carga es normal al rea encerrada por la esfera, por lo que .En una carga puntual E es constante en toda su superficie, por lo que puede ser retirado de la ecuacin.

Si consideramos que el portador de carga, que es el electrn, como una esfera, tenemos:

Segn la ley de coulomb, tenemos que el campo elctrico de una carga puntual viene dado por:

Por lo tanto:

Siendo este el flujo elctrico asociado a una sola carga. Si deseramos encontrar el flujo elctrico a lo largo de cualquier superficie encerrada, tendramos que calcular el flujo elctrico de las cargas encerradas representado por:

Igualando las ecuaciones obtenemos que

Asumiendo una distribucin de carga es continua, que el volumen encerrado est dado por V y que la densidad de carga es :

Ley de Gauss Magntica.Realizando una analoga con la ley de Gauss elctrica, tenemos que:

Dado que en un campo magntico las lneas de campo siempre siguen una trayectoria cerrada. El campo magntico no existe en forma de monopolos. Lo que nos deja:

Ley Circuital de Ampere.Partiendo de la ley de Ampere cuando la corriente no tiene una seccin transversal regular en trminos de la densidad de corriente, integrada sobre el rea, tenemos:

Maxwell observ que dicha relacin no estaba completa, puesto que no consideraba el caso en que no exista una densidad de corriente pero si un campo elctrico variante en el tiempo:

Maxwell llam a dicho mecanismo corriente de desplazamiento, definida por

Reescribiendo la ley de Ampere como:

Ecuaciones de Maxwell.El conjunto de leyes anteriores son generalizaciones de resultados experimentales y son conocidas como ecuaciones de Maxwell. El caso ms simple de dichas ecuaciones es el comportamiento de los campos elctrico y magntico en el vaco, donde , y donde ambos y son igual a cero. En cuyo caso obtenemos las siguientes ecuaciones:

De estas ecuaciones podemos extraer su forma diferencial, obteniendo:

Ondas Electromagnticas.Al estudiar fenmenos elctricos y magnticos podemos observar que existe una relacin perpendicular entre dichos fenmenos descrita por medio de productos cruz. Podemos observar tambin que una variacin en el campo elctrico genera una variacin en el campo magntico perpendicular a la direccin en la que E cambia. De igual manera un campo B variante en el tiempo genera un campo E en un direccin perpendicular. Entonces podemos considerar al campo elctrico y al campo magntico como dos aspectos del mismo fenmeno: el campo electromagntico.De la manipulacin de las ecuaciones de Maxwell podemos llegar a dos expresiones vectoriales concisas:

Si comparamos estas ecuaciones con la ecuacin de onda tridimensional podemos observar que existe una intricada similitud.

Ondas Transversales.Supongamos una onda plana que se propaga en la direccin de x positiva. Dado que la onda nicamente se propaga en direccin de x obtendramos que . Ahora refirindonos a la ecuacin de Maxwell obtendramos que:

De lo que podemos concluir que la componente del campo elctrico en la direccin de propagacin es 0. Ahora, analicemos cuando el campo elctrico es paralelo al eje y, aplicando la ecuacin . Considerando que el campo elctrico es funcin solamente de y de podemos reducir la ecuacin a:

Entonces podemos observar que una onda electromagntica es transversal en el espacio libre.Podemos definir el campo E como una funcin harmnica. La importancia del uso de dichas funciones para modelar fenmenos de propagacin ondulatorios radica en el hecho de que se puede representar cualquier forma de onda usando series de Fourier. Entonces podemos proponer la siguiente funcin como una solucin a la ecuacin de onda:

Dado que:

Entonces:

Sustituyendo :

Si observamos la relacin entre E y B obtenemos la siguiente ecuacin:

De lo que podemos concluir lo siguiente: E y B son mutuamente perpendiculares y su producto cruz indica la direccin de propagacin. E y B difieren solo por el escalar c. E y B estn en fase en todos los puntos del espacio

Energa y momentum.El vector Poynting.Dado que toda onda electromagntica existe en el espacio es natural considerar la energa irradiada por unidad de volumen, o densidad de energa, u. Debemos, entonces, suponer que el campo elctrico almacena energa de alguna manera. Si deseamos calcular la densidad de energa de un campo E obtenemos que

De manera similar si calculamos la densidad de energa de un campo B

Si suponemos el caso especfico de una onda plana tenemos la relacin y tomamos en cuenta que

La energa que fluye a travs del espacio en la forma de una onda electromagntica es la suma de la energa proporcionada por el campo elctrico y el campo magntico

Por lo tanto

Para representar el flujo de energa electromagntica asociada a una onda, usaremos S para simbolizar el transporte de energa por unidad de tiempo (la potencia) a travs de un rea.

Ahora haciendo la suposicin de que la energa fluye en la direccin de propagacin, el vector es

Ahora realizando la consideracin de que E y B son funciones armnicas

Entonces podemos definir que el flujo instantneo de energa por unidad de rea por unidad de tiempo es

Promediando Funciones Armnicas.En frecuencias pticas vara extremadamente rpido como para que el valor instantneo sea de utilidad para caracterizar una onda. Es por eso que sea realiza un promedio sobre un intervalo de tiempo para determinar un valor de La siguiente funcin es usada para obtener el promedio en un intervalo de tiempo de una funcin

Evaluando para obtenemos

La relacin entre parntesis de ha vuelto tan importante en ptica que se le dio su propio nombre: sinc u. Siendo . Separando la parte real y la parte imaginaria de la expresin de arriba obtenemos

Irradiancia.Denotada por la letra I, Se refiere a la cantidad de luz iluminando una superficie y se define como la energa promedio por unidad de rea por unidad de tiempo. Matemticamente la irradiancia se calcula por medio del vector de Poynting.

Fotones.La luz es absorbida y emitida en pequea rfagas discretas de sustancia electromagntica llamadas fotones. El modelo del fotn nos permite explicar los fenmenos de emisin y de absorcin de la luz pero an no se ha llegado a la conclusin irrefutable de que la luz es en realidad un flujo de fotones. Pero este modelo ha acertado en explicar algunos fenmenos en los que la teora clsica ha fallado.Max Planck en su experimento conocido como radiacin de cuerpo negro observ que la energa electromagntica estaba cuantizada en paquetes cuya energa era proporcional a la frecuencia de oscilacin v. Observ que la energa se presentaba en mltiplos de hv por nmeros enteros, donde h (constante de Planck) era igual a Js. Planck asumi en el experimento que nicamente los osciladores que utiliz estaban cuantizados y no el campo electromagntico en s.No fue hasta 1905 con el trabajo terico de Einstein del Efecto Foto-elctrico que el concepto de fotn fue introducido. La suposicin inicial de su trabajo era que el campo electromagntico en s estaba cuantizado. Cada fotn tena una energa dada por el producto de la constante de Planck por la frecuencia del campo de radiacin:

Los fotones partculas elementales estables, sin carga, ni masa que existen nicamente a la velocidad c.Para un rayo de luz monocromtico de frecuencia v, la cantidad es el nmero promedio de fotones incidiendo en una unidad de rea normal al rayo por unidad de tiempo, llamada densidad de flujo de fotones. Si el rayo es cuasi-monocromtico con una frecuencia promedio la densidad promedio de flujo de protones es . Dada el rea normal al rayo incidente cuasi-monocromtico, obtenemos el flujo de protones promedio

Donde P es la potencia ptica del rayo en watts.En conteo de fotones, la distribucin estadstica del conteo depende de la naturaleza de la fuente del rayo. Estudiando los casos extremos de una luz coherente y una catica, tenemos que para una fuente coherente, como por ejemplo un lser, la distribucin de probabilidad de que un fotn incida en el detector es una distribucin de Poisson, mientras que en el caso de una fuente catica de luz como una fuente trmica, el comportamiento estadstico del conteo tiene una distribucin Bose-Einstein.

Presin de Radiacin y Momentum.La presin de radiacin es igual a la densidad de energa de la onda. Por lo tanto

Pero tambin podemos expresar la presin de radiacin en trminos del vector de Poynting

Observemos que esta ecuacin tiene unidades de potencia sobre unidades de rea sobre unidades de velocidad o equivalentes. Esta ser la presin instantnea que ejercera un haz i ncidente sobre una superficie complemente absorbente. Debido a que los campos elctricos y magnticos en una onda electromagntica estn variando rpidamente, la ecuacin anterior la podemos expresar como una cantidad promediada sobre un intervalo de tiempo

Para una superficie perfectamente reflectiva tendramos que la luz llega con una velocidad +c y sale con una velocidad c por lo que se tendra un doble cambio de momentum, obteniendo

De las ecuaciones anteriores podemos observar que energa es transportada, entonces tendremos un momentum correspondiente a

Y su vector de momentum ser

Donde k es el vector de propagacin y .

Luz en materiaEl efecto neto de introducir un medio dielctrico, homogneo e isotrpico en una regin en el vaco, es el cambio de las constantes de permitividad y de permeabilidad y en las ecuaciones de Maxwell. La velocidad de fase en un medio se convierte en

La relacin de la velocidad de una onda electromagntica que se propaga en el vaco con una que se propaga en materia se denomina ndice de refraccin:

En trminos de la permitividad y la permeabilidad de un medio n se convierte en

Para cuestiones prcticas en el estudio de fenmenos pticos nos centraremos en materiales que son transparentes en el espectro visible. En dicho rango, los materiales de inters son esencialmente no-magnticos, es decir, que su constante de permeabilidad no se desva de 1 y por lo tanto se puede despreciar. Ajustando la formula anterior para dicha suposicin, llegamos a lo que es conocido como la relacin de Maxwell

Donde es la constante dielctrica esttica del medio. El problema es que n depende de la frecuencia. La dependencia de n en la longitud de onda de la luz es un efecto conocido como dispersin.

Scattering y DispersinUn tomo puede interactuar con la luz bsicamente de dos maneras: dependiendo de la frecuencia incidente o equivalentemente en la energa de fotones entrante. Generalmente el tomo scatter la luz, redireccionndola sin alterarla. De otra manera, si la energa del fotn iguala la energa de uno de los estados excitados, el tomo absorber la luz, haciendo un salto cuntico a ese nivel superior de energa.El proceso comn en el que una sustancia convierte luz en energa trmica es conocido como absorcin disipativa.Cuando un material sin resonancia en el espectro visible es baado con luz, scattering sin resonancia ocurre y le da la apariencia de una fuente de wavelets esfricos a cada tomo participante.La dispersin es el fenmeno donde el ndice de refraccin de un medio es dependiente de la frecuencia incidente. Para poder analizar fenmenos relacionados con la luz, es necesario considerar esta dependencia de la frecuencia. Cuando un campo elctrico es aplicado a un dielctrico, la distribucin de cargas es distorsionada, lo que contribuye a la generacin de momentos de dipolos elctricos, que al final contribuye al campo interno total. La resultante de la sumatoria de los momentos elctricos por unidad de volumen es llamada Polarizacin elctrica. En la mayora de los materiales la polarizacin y el campo elctrico son proporcionales y su relacin puede ser representada por:

El Espectro Fotn-Electromagntico.El espectro de ondas electromagnticas puede ser divido en radio frecuencia, microondas, infrarrojo, luz visible, ultravioleta, rayos X y rayos gamma.El siguiente cuadro resume la distribucin de los diferentes rangos en el espectro electromagntico: